Γενική μορφή. β β β β. i=1,2,,n ο αριθμός των παρατηρήσεων k ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών 2 1,2

Transcript

1

2 Γενική μορφή Y = u,, k k, =,,,n ο αριθμός των παρατηρήσεων k ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταλητών Y = + Y,,... k, u Y,,... k, u Y=, =, =, u= Y, n, n... n k, n k un u

3 = Y ή = ΔY Δ Το αντιπροσωπεύει την μεταολή στο Υ που προέρχεται από μια μεταολή στο Χ κατά μια μονάδα όταν όλες οι άλλες ανεξάρτητες μεταλητές παραμένουν σταθερές

4 Γενική μορφή Παραδείγματα FC =, +, 9INC +,AGE +,53FSIZE +,33EDUC + uˆ FC = Μηνιαία οικογενειακή κατανάλωση φρούτων σε κιλά ΙΝC = Οικογενειακό εισόδημα σε ευρώ ΑGΕ = Ηλικία υπεύθυνου FSIZE = Μέγεθος οικογένειας EDUC = Εκπαίδευση υπεύθυνου (έτη σπουδών) HP = 58, +,SM + 7, 4BDRMS + 9,54BTHRMS + uˆ HP = Τιμή διαμερίσματος σε χιλ. ευρώ SM = Επιφάνεια σε τμ BDRMS = Υπνοδωμάτια BTHRMS = Μπάνια

5 Οι υποθέσεις Όλες οι ασικές υποθέσεις που αναφέρθηκαν στο υπόδειγμα απλής παλινδρόμησης ισχύουν και στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόμησης Y = + u Το υπόδειγμα είναι γραμμικό στις παραμέτρους Το σφάλμα u ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο ίσο με το μηδέν και σταθερή διακύμανση E[ u] = [ ] E uu = σ In = σ = σ σ σ Ομοσκεδαστικότητα Δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση

6 Στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόμησης προσθέτουμε τις υποθέσεις Καμία από τις ανεξάρτητες μεταλητές δεν μπορεί να εκφραστεί σαν γραμμικός μετασχηματισμός μιας ή περισσοτέρων από τις υπόλοιπες. (αποκλείει τελεια πολυσυγγραμικότητα) Ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταλητών (k) θα πρέπει να είναι μικρότερος του αριθμού των παρατηρήσεων (n).

7 Η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων Y = + u Πληθυσμός Y ˆ = ˆ Δείγμα mn ( uˆ uˆ ) ˆ uˆ = uˆ uˆ uˆ uˆ = [ ] [ ] Y ˆ Y ˆ = ˆ ˆ Y Y = YY Y ˆ ˆ Y + ˆ ˆ = Y Y ˆ Y + ˆ ˆ = Y + ˆ = ˆ Κανονικές εξισώσεις = Y [ ] Y ˆ =

8 Αποδεικνύεται ότι και στην περίπτωση της πολλαπλής παλινδρόμησης οι συντελεστές που προκύπτουν με την μέθοδοτωνελαχίστωντετραγώνωνείναιάριστοι, Γραμμικοί, Αμερόληπτοι Εκτιμητές των συντελεστών του πληθυσμού. Έτσι ˆ ~ N ( ), σ ˆ Όπου σ ˆ σ [ ] = Όταν το σ δεν είναι γνωστό χρησιμοποιείται ο εκτιμητής του σˆ uˆ uˆ u = = n k n k ˆ Το n-k εκφράζει τους αθμούς ελευθερίας Στην περίπτωση αυτή S ˆ = σˆ [ ]

9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = ˆ ˆ... ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ... ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ... ˆ, ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ, ˆ... ˆ, ˆ ˆ, ˆ ˆ k k k k k k k Var Cov Cov Cov Cov Var Cov Cov Cov Cov Var Cov Cov Cov Cov Var S

10 Παράδειγμα Υ 9 Χ Χ Y 9 4 = = ' = 'Y =

11 bˆ bˆ = bˆ bˆ Παράδειγμα = ,77 =,93,6,55 -, -,87 uˆ = -,6,96 -,65,6 uu ˆˆ 6,6 ˆ σ = = =,565 n k 7 3

12 Παράδειγμα S bˆ = σˆ [ ] = , ,746,4.3 =,565, ,4,67,63,3 =,63,33,66,3,66,9 S,67 b S b =,33 S,9 b S b,8 S b,576 = S,468 b

13 Ο συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού Μέτρο του αθμού προσαρμογής της ευθείας παλινδρόμησης στις παρατηρήσεις του δείγματος. Όπως και στην περίπτωση της απλής παλινδρόμησης συμολίζεται με R. ( Y Y) ( Y$ Y) ( Y Y$ ) = u$ Συνολικό Άθροισμα Τετραγώνων (Total Sum of Squares) - TSS. Ερμηνευόμενο Άθροισμα Τετραγώνων (Regresson Sum of Squares) - RSS. To Άθροισμα Τετραγώνων των σφαλμάτων (Error Sum of Squares) - ΕSS.

14 R RSS = = TSS ESS TSS R = ( Y Y) ( Y Y) ( Y Y) ( Y Y) $ $ = Μετράει την ερμηνευτική ικανότητα της εξίσωσης παλινδρόμησης. Το σημαντικότερο πρόλημα του συντελεστή πολλαπλού προσδιορισμού που υπολογίζεται με αυτό τον τρόπο είναι ότι η τιμή του αυξάνει πάντα όταν αυξάνει ο αριθμός των ανεξάρτητων μεταλητών.

15 Ο διορθωμένος συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού Όταν προστίθεται μια ανεξάρτητη μεταλητή υπάρχει όφελος αλλά και κόστος. Αυξάνει η τιμή του συντελεστή πολλαπλού προσδιορισμού Χάνεται ένας αθμός ελευθερίας (n-k) Ο διορθωμένος συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού λαμάνει υπόψη τόσο το κόστος όσο και το όφελος ( ) ˆ ( ) R Y Y n k n = = n k ( ) Y Y ( n ) ( R ) Ο διορθωμένος συντελεστής είναι μικρότερος από τον R, θα είναι ίσοι μόνο όταν R = και είναι δυνατό να πάρει αρνητικές τιμές

16 Παράδειγμα: Γραμμικό Υπόδειγμα Πολλαπλής παλινδρόμησης - Εκτίμηση Προσδιοριστικοί παράγοντες της ζήτησης υπηρεσιών αστικών συγκοινωνιών Στατιστικά στοιχεία από 4 περιοχές μιας χώρας για τις μεταλητές BTR = Λειτουργία αστικών συγκοινωνιών σε χιλ. ώρες FR = Τιμή εισιτηρίου σε GP = Τιμή ενζίνης σε INC = Κατά κεφαλή μέσο ετήσιο εισόδημα σε POP = Πληθυσμός σε χιλ. DENS = Πυκνότητα πληθυσμού (άτομα/τ. χιλ.) ΑRΕΑ = Έκταση περιοχής σε τ. χιλ.

17 34, , 7886,3, 65,9 6, , 349,93,6 63,6 9 49, ,3 83,93,6 5, 8 464, ,9 87,93,6 763,9 7 36, ,4 63,79,7 594,3 6 35, 5 74, 589,93,5 47, , , 58,87,5 37,6 4 35, , 734,99,6 94, 3, ,8 74,94, 879, 48, ,7 67,87,75 3,9 4, 7 486,5 77,89,5 74,6 333, 343 4,4 75,89,5 7,7 9 8, , 536,89,75 739, 8 79, 7 56,8 64,9, 648, 7 78, 5 399, 539,88,85 837,9 6 8, , 748,97,5 7343,3 5 4, , 563,9, 937,5 4 47, , 783,9,6 878,8 3 8, , 7768,3,75 36, 3, , 793,88,85 73, AREA DENS POP INC GP FR BTR A/A 6, ,6 55,96,6 3933,5 4 55, ,8 7643,9,75 4, , ,7 7633,9,75 47, 38 44, ,3 7539,88, 56, 37 58, , 33,9,75 8, 36 53, , 744,9,75 46, , ,6 886,9,75 66,7 34 3, 38 7, 84,98,5 83, 33 6, , 59,85,5 65, 3 6, ,9 639,8,85 769, 3 8, , 7743,87, 544, 3 3, , 549,93,5 698,5 9 55, ,6 57,89, 385,8 8 34, ,6 5944,9,75 55,7 7 36, , 749,9, ,6 6 3, ,3 53,, 33, 5 99, , 33,88,6 39,4 4 5, , 39,96,5 56,4 3 55, , 39,96,5 9,8 95, , 6537,86,5 68,3 AREA DENS POP INC GP FR BTR A/A Γραμμικό Υπόδειγμα Πολλαπλής παλινδρόμησης - Εκτίμηση

18 ˆ = 75,3 ˆ = 36, ˆ = 53,5 ˆ 3 =,95 ˆ 4 =, 76 ˆ 5 =,6 ˆ =,74 6 Γραμμικό Υπόδειγμα Πολλαπλής παλινδρόμησης - Εκτίμηση S = ˆ , 376, , -73,5 4,5 8,5 768, -376,7 3489,3-7538,,3 4,5 -,4 -, , -7538, 74647, 3, -7,4-4, 3 54,7-73,5,3 3,,4, -, -,6 4,5 4,5-7,4,,53 -, -,349 8,5 -,,4-4,3, -,,3,8-768, -,9 54,7 -,6 -,349,8 3, BTR = 75,3 36,FR + 53,5GP,95INC +,76POP +,6DENS,74AREA (637,9) (45,) (654,5) (,65) (,3) (,59) (,8) u ˆ 74,9 σ ˆ ˆ = 55378,3 n k = 4 7 = R u ( Y Y) σ = ˆ = = =,9 378 R n = ( R ) =,97 n k

19

20 Στατιστικός έλεγχος συγκεκριμένου συντελεστή Μονόπλευρος έλεγχος H : = γ H : < γ t = ˆ γ S ˆ tα, n k Διατύπωση της υπόθεσης Υπολογισμός της στατιστικής t ητιμήτηςστατιστικήςt από τους πίνακες για επίπεδο σημαντικότητας α και n-k αθμούς ελευθερίας Η Η απορρίπτεται αν t > t α,n k

21 Δίπλευρος έλεγχος H : = γ H : γ Διατύπωση της υπόθεσης t t α /, n k = ˆ γ S ˆ Υπολογισμός της στατιστικής t ητιμήτηςστατιστικήςt από τους πίνακες για επίπεδο σημαντικότητας α και n-k αθμούς ελευθερίας Η Η απορρίπτεται αν t > tα /, n k

22 Παράδειγμα: BTR = 75,3 36,FR + 53,5GP,95INC +,76POP +,6DENS,74AREA (637,9) (45,) (654,5) (,65) (,3) (,59) (,8) H : = H: ˆ γ 53,5 t = = = -,83 tα /, n k= t,5,33 =,38 654,5 S ˆ,83 <,38 Η Η δεν απορρίπτεται

23 Παράδειγμα: BTR = 75,3 36,FR + 53,5GP,95INC +,76POP +,6DENS,74AREA (637,9) (45,) (654,5) (,65) (,3) (,59) (,8) H : = H : > 4 4 t ˆ γ,76 = = = 7,48 tα, n k= t,5,33 =,645,3 S ˆ 7,48 >,645 Η Η απορρίπτεται

24 Στατιστικός έλεγχος δύο ή περισσοτέρων συντελεστών συγχρόνως Ο έλεγχος αυτός είναι γνωστός σαν Wald Test Χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να ελέξουμε αν ένα υποσύνολο των ανεξάρτητων μεταλητών έχει στατιστικά σημαντική επίδραση στην ερμηνευόμενη μεταλητή. Y + = k k Το αρχικό υπόδειγμα στο οποίο δεν υπάρχει κανένας περιορισμός Y + = m m Το υπόδειγμα αυτό περιέχει m από τους k συντελεστές του προηγούμενου υποδείγματος. Στο υπόδειγμα αυτό υπάρχει ο περιορισμός ότι k-m συντελεστές είναι ίσοι με το μηδέν u v

25 έτσι H : m = m + = m + =,..., = k = H : Ένας τουλάχιστον από τους συντελεστές είναι διάφορος του μηδενός Κριτήριο ΕSS ΕSS U $u Yπόδειγμα χωρίς περιορισμούς ΕSS R $v Yπόδειγμα με περιορισμούς Αν η διαφορά ΕSS R - ΕSS U είναι μικρή τότε θεωρούμε ότι οι k-m συντελεστές δεν συμάλλουν στην ερμηνεία της Υ και άρα μπορούν να μην συμπεριληφθούν στο υπόδειγμα. Δηλαδή, η υπόθεση Η γίνεται δεκτή. πότε όμως η διαφορά αυτή είναι μικρή?

26 F = ESSR ESSU d. f. R d. f. U ESSU d. f.( U) ( ) ( ) d.f.(u) οι αθμοί ελευθερίας στο υπόδειγμα χωρίς περιορισμούς d.f.(r) οι αθμοί ελευθερίας στο υπόδειγμα με περιορισμούς F = ESS R ( n m) ( n k ) = ESS U n k ESS U ESS R ESS k m ESS U n k F α, k m, n k Η τιμή της στατιστικής F από τους πίνακες, σε επίπεδο σημαντικότητας α και αθμούς ελευθερίας k-m και n-k. H H απορρίπτεται αν F > Fα, k m, n k U

27 Παράδειγμα: BTR = 75,3 36,FR + 53,5GP,95INC +,76POP +,6DENS,74AREA (637,9) (45,) (654,5) (,65) (,3) (,59) (,8) u σ ˆ ˆ = 55378,3 n k = 4 7 = H : = = H: ή/και BTR = 3,3,94INC +,735POP +,5DENS,43AREA (,) (,63) (,) (,57) (,695) u ˆ ˆ σ = 53455,7 n k = 4 5 =

28 F ESSR ESSU = k m = 7 5 =,44 ESSU n k 4 7 Fα, k m, n k = F,5,,33 = 3, 9,44 < 3, 9 Η Η δεν απορρίπτεται H : = = = H: ή/και 4 ή/και BTR = 343, 33,9FR +,5INC + 6,38AREA (333,9) (387,3) (,78) (,974) u ˆ ˆ σ = 5485, n k = 4 4 =

29 F ESSR ESSU = k m = 7 4 = 7, ESSU n k 4 7 Fα = = 7, >,89, k m, n k F,5,3,33,89 Η Η απορρίπτεται

30 Έλεγχος της ερμηνευτικής ικανότητας του υποδείγματος συνολικά H Y v : = + H : Y = u k k Αποδεικνύεται ότι στην περίπτωση αυτή η στατιστική F έχει άμεση σχέση με τον συντελεστή προσδιορισμού R. F = R ( ) k ( R ) ( n k) H H απορρίπτεται αν F > F α, k, n k

31 Παράδειγμα: BTR = 75,3 36,FR + 53,5GP,95INC +,76POP +,6DENS,74AREA (637,9) (45,) (654,5) (,65) (,3) (,59) (,8) R =,9 F ( k ) ( R ) ( n k) ( ) (,9) ( 4 7) R,9 7 = = = 64,94 F α, k m, n k = F,5,6,33 =,39 64,94 >,39 Η Η απορρίπτεται

32 Στατιστικός έλεγχος γραμμικού συνδυασμού συντελεστών Περίπτωση η: Γραμμικός συνδυασμός συντελεστών = Y + = u H : = 3 oς τρόπος: Αν ισχύει η Η Y + ( + 3 ) + 4 u = Y = + + Z Όπου Z = + 3 Το υπόδειγμα αυτό (με περιορισμό) συγκρίνεται με το αρχικό (χωρίς περιορισμό) με άση το κριτήριο F u

33 oς τρόπος: Ορίζουμε νέο συντελεστή d έτσι ώστε όταν ισχύει η Η το d= Δηλαδή, d = 3 Με άση τον ορισμό αυτό Y + ( ) d u ( ) + 3 d u = Y + = Y + = + + Z d u Όπου Z = + 3 Εκτιμάται η τελευταία συνάρτηση και ελέγχεται η στατιστική σημαντικότητα του d με άση το κριτήριο t. Ελέγχεται δηλαδή η υπόθεση d=. Αν αυτή γίνει αποδεκτή τότε = 3.

34 u Y = Περίπτωση η : Γραμμικός συνδυασμός συντελεστών = σταθερά : 3 = + + H ( ) u Y = Αν ισχύει η Η oς τρόπος: ( ) ( ) u Y = u Z Z W = 4 4 (Υπόδειγμα με περιορισμό) Το υπόδειγμα αυτό (με περιορισμό) συγκρίνεται με το αρχικό (χωρίς περιορισμό) με άση το κριτήριο F

35 oς τρόπος: Ορίζουμε νέο συντελεστή d έτσι ώστε όταν ισχύει η Η το d= 3 = Δηλαδή, d Με άση τον ορισμό αυτό ( ) u d Y = ( ) ( ) u d Y = u d Z Z W = Εκτιμάται η τελευταία συνάρτηση και ελέγχεται η στατιστική σημαντικότητα του d με άση το κριτήριο t. Ελέγχεται δηλαδή η υπόθεση d=. Αν αυτή γίνει αποδεκτή τότε =.

36 Παράδειγμα: BTR = 75,3 36,FR + 53,5GP,95INC +,76POP +,6DENS,74AREA (637,9) (45,) (654,5) (,65) (,3) (,59) (,8) u σ ˆ ˆ = 55378,3 n k = 4 7 = Αρχικό υπόδειγμα (χωρίς περιορισμούς) BTR = + FR + GP + INC + POP + DENS + AREA

37 Υπόθεση ος τρόπος H : + = H: Αν ισχύει η Η = 3 4 BTR = + FR + GP INC + POP + DENS + AREA ( ) BTR = + FR + GP + POP INC + DENS + AREA BTR = + FR + GP + Z + DENS + AREA Εκτίμηση της παραπάνω συνάρτησης BTR ˆ = 7, 4 635,6FR + 7, GP +,33Z +, 434DENS + 8,99AREA ESS R = u = ˆR

38 F ESSR ESSU = k m = 7 6 = 38,57 ESSU n k 4 7 Fα = =, k m, n k F,5,,33 4,4 38,57 > 4,4 Η Η απορρίπτεται

39 Υπόθεση ος τρόπος: H : + = H: Ορίζουμε + = d = d ( ) BTR = + FR + GP + d INC + POP + DENS + AREA ( ) BTR = + FR + GP + dinc + POP INC + DENS + AREA BTR = + FR + GP + dinc + Z + DENS + AREA Εκτίμηση της παραπάνω συνάρτησης BTR ˆ = 75,3 36,FR + 53, 4GP +,5INC +,75Z +,6DENS,74AREA (637,9) (45,) (654,5) (, 45) (,76) (,59) (,8)

40 t dˆ,5 = = = S,45 dˆ 6, tα = = /, n k t,5,33,3 6, >,3 Η Η απορρίπτεται

41 Υπόθεση ος τρόπος: H : + + = 5 Αν ισχύει η Η H : = 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) BTR = + FR + GP + INC + POP + DENS + AREA BTR = + FR + GP FR + INC + POP + DENS FR + AREA BTR FR = + GP FR + INC + POP + DENS FR + AREA W = + Z + INC + POP + Z + AREA Εκτίμηση της παραπάνω συνάρτησης W ˆ = 95, + 336,7 Z,95 INC +,77 POP +,6 Z,8 AREA ESS R = u = ˆR

42 F ESSR ESSU = k m = 7 6 =,4 ESSU n k 4 7 Fα = =, k m, n k F,5,,33 4,4,4 < 4,4 Η Η δεν απορρίπτεται

43 Υπόθεση ος τρόπος: H : + + = 5 Ορίζουμε d H : = = d 5 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) BTR = + d FR + GP + INC + POP + DENS + AREA BTR = + FR dfr + GP FR + INC + POP + DENS FR + AREA BTR FR = dfr + GP FR + INC + POP + DENS FR + AREA W = dfr + Z + INC + POP + Z + AREA Εκτίμηση της παραπάνω συνάρτησης Wˆ = 75,3 + 77,4FR + 53,5Z,95INC +,76POP +,6Z,74AREA (637,9) (66,6) (654,5) (,65) (,3) (,59) (,8)

44 t dˆ 77,4 = = = S 66,6 dˆ,67 tα = = /, n k t,5,33,3,67 <,3 Η Η δεν απορρίπτεται

45 Υπόθεση 3 ος τρόπος: H : + 3 = H : Αν ισχύει η Η 4 =,5,5 6 (,5,5 ) BTR = + FR + GP + INC + POP + DENS + AREA ( ) BTR = + FR + GP + INC +,5POP + DENS + AREA,5 POP ( ) BTR,5POP = + FR + GP + INC + DENS + AREA,5 POP W = + FR + GP + INC + DENS + Z Εκτίμηση της παραπάνω συνάρτησης Wˆ = 3,8 35,FR+ 8,GP,4INC+,6DEN +,649Z ESS R = u = ˆR

46 F ESSR ESSU = k m = 7 6 =,9 ESSU n k 4 7 Fα = =, k m, n k F,5,,33 4,4,9 < 4,4 Η Η δεν απορρίπτεται

47 Υπόθεση 3 ος τρόπος: H : + 3 = H : Ορίζουμε d = =,5 d,56 (,5,5 ) BTR = + FR + GP + INC + d POP + DENS + AREA ( ) BTR = + FR + GP + INC +,5POP dpop + DENS + AREA,5 POP ( ) BTR,5POP = + FR + GP + INC dpop + DENS + AREA,5 POP W = + FR + GP + INC dpop + DENS + Z Εκτίμηση της παραπάνω συνάρτησης Wˆ = 75,3 36,FR + 53,4GP,94INC,545POP +,6DEN,74Z (637,9) (45,) (654,5) (,65) (,59) (,59) (,8)

48 Αλλαγή στις μονάδες μέτρησης Έστω ότι Υ*, Χ *,Χ * είναι οι μεταλητές με αλλαγμένες μονάδες μέτρησης και ότι: Y* = λ Y Αποδεικνύεται πως: y * = λ Χ για j =, j j j ˆ ˆ ˆ λ *, * ˆ, ˆ λ = λ = * = ˆ y y y λ λ Επομένως οι τιμές των εκτιμητών θα αλλάξουν εκτός και αν: λ = λ. = λ Σε αυτήν την περίπτωση θα αλλάξει μόνο το y Ομοίως και για τα τυπικά σφάλματα: λ λ ˆ ˆ, s y y s = λ * ys ˆ = s ˆ, s ˆ = s ˆ * * λ λ Όμως οι τιμές της στατιστικής t για τον έλεγχο της υπόθεσης j = δεν επηρεάζεται: * ( ) j y j j j tj* = λ λ tj s = λ λ s = s = * j ( ) y j j j ˆ.

49 Κριτήρια επιλογής παλινδρομήσεων Εκτός από το διορθωμένο συντελεστή προσδιορισμού υπάρχουν και άλλα δύο κριτήρια που χρησιμοποιούνται: Κριτήριο πληροφοριών Akake Μπεϋσιανό κριτήριο Schwarz = n uˆ + k AIC ln n uˆ k n SBC = ln + ln Επιλέγουμε το υπόδειγμα με την μικρότερη τιμή για τα κριτήρια αυτά.

50 Άσκηση Έστω ότι η προσφερόμενη ποσότητα (Υ) ενός αγαθού, είναι γραμμική συνάρτηση της τιμής του (Χ ) και τους ύψους των ημερομισθίων (Χ ) τα οποία είναι απαραίτητα για την παραγωγή του. Δηλαδή, η συνάρτηση προσφοράς είναι: Y = u Y Από την εκτίμηση της εξίσωσης ρέθηκε: Y ˆ = 89,534 +,53 7, 47 Α) Να ελεγχθεί αν η συνδυασμένη επίδραση των μεταλητών, πάνω στην Υ είναι σημαντική. Δίνεται R =,87. H H : = = : ή/ και F R = ( k ) ( R ) ( n k ) F,87 ( 3 ) (,87) ( 5 3) = = = 8,65 > F = 3,89 ( ).5,, 8,65

51 Άσκηση B) Να υπολογισθεί η ελαστικότητα προσφοράς ως προς την τιμή στο σημείο των μέσων και να επεξηγηθεί. ε ΥΧ Yˆ ˆ = = Y Y 3,67 =,53 =,398 85,4 Αυτό σημαίνει ότι αν η τιμή του αγαθού αυξηθεί κατά %, δεδομένου ότι τα ημερομίσθια παραμένουν σταθερά, τότε η προσφορά του αγαθού θα αυξηθεί κατά,398%. Γ) Να υπολογιστεί ο διορθωμένος συντελεστής προσδιορισμού. R n = n k ( R ) 5 =, ( ) 4 =,73 =,798

52 Άσκηση Έστω ότι από ένα δείγμα παρατηρήσεων εκτιμήθηκε η συνάρτηση: ˆ Y = (.57 ) (. ) (.56) Α) Να γίνει στατιστικός έλεγχος του υποδείγματος (α=.5). ˆ : = 8.79 t = = = 3.4 t = 3.4 > t(.5 ) =.365,7 :.57 H H H H H H H H : = : : = : : = = t = t = : ή/ και S ˆ ˆ S ˆ ˆ S ˆ F R = ( k ) ( R ) ( n k ) F R,957 ( 3 ) (,957) ( 3) = = = > F = 4.74 = ( ).957 ESS = = = 3.7 t t( ). = 3.7 > =.365.5,,7.5, = = 6. t t( ).56 = 6. > =.365.5,

53 Άσκηση Β) Να ελεγχθεί αν + = (α=.5) με το κριτήριο t και F. H H : + = : + Ορίζουμε d = = d ( ) Y = + d + ( ) Y = + d + ( ) Y = d + W = d + Z Εκτίμηση της παραπάνω συνάρτησης α /, n k,5,7 Wˆ = Z (.57) (.66) (.56) dˆ.58 t = = =.95 S ˆ.66 d t =.95 < t = t =,365 Η Η δεν απορρίπτεται

54 Άσκηση Β) Να ελεγχθεί αν + = (α=.5) με το κριτήριο t και F. H H : + = : + = ( ) Y = + + ( ) Y = + W = + Z + u Εκτίμηση της παραπάνω συνάρτησης F ESSR ESSU = k m = 3 =.9 ESSU 4.6 n k 3 Wˆ = Z (.3) (.8) < F(,5 ),,7 = 5,59 R =.93 ESS = 4.5 Η Η δεν απορρίπτεται

55 Άσκηση Γ) Να ελεγχθεί αν + =5 (α=.5) με το κριτήριο t και F. H H : + = 5 : + 5 Ορίζουμε d = 5 = 5 d ( 5 ) Y = + d + ( ) Y = + 5 d + ( ) Y 5 = d + W = d + Z Εκτίμηση της παραπάνω συνάρτησης α /, n k,5,7 Wˆ = Z (.57) (.67) (.56) dˆ 4.58 t = = =.75 S ˆ.67 d t =.75 > t = t =,365 Η Η απορρίπτεται

56 Άσκηση Γ) Να ελεγχθεί αν + =5 (α=.5) με το κριτήριο t και F. H H : + = 5 : + 5 = 5 ( 5 ) Y = + + ( ) Y 5 = + W = + Z + u Εκτίμηση της παραπάνω συνάρτησης F ESSR ESSU = k m = 3 = 7.56 ESSU 4.6 n k 3 Wˆ =.75.4Z (.8) (.39) > F(,5 ),,7 = 5,59 Η Η απορρίπτεται R =.79 ESS = 8.33

57 Άσκηση 3 Έστω ότι η ζητούμενη ποσότητα (Υ) ενός αγαθού, είναι γραμμική συνάρτηση της τιμής του (Χ ) καιτηςτιμήςενόςυποκατάστατου αγαθού (Χ ). Δηλαδή, η συνάρτηση ζήτησης είναι: Y = u Από την εκτίμηση της εξίσωσης ρέθηκε: Y Yˆ = ( 43. ) ( 5.43 ) ( 8.84) ESS = 7.6 Α) Να ελεγχθεί η στατιστική σημαντικότητα των συντελεστών, (α=.5). ˆ : = t = = = 6.8 t = 6.8 > t(.5 ) = 3.8,3 : 5.43 H H H H : = : t = S ˆ S ˆ ˆ 3.5 = =.6 t t( ) 8.84 R =.6 < = 3.8 =.5,3.99

58 Άσκηση 3 B) Να ελεγχθεί αν η συνδυασμένη επίδραση των συντελεστών, είναι σημαντική (α=.5). H H : = = : ή/ και F ( k ) ( R ) ( n k ) F =,9 > F(.5 ),,3 = 9,55 Γ) Να ελεγχθεί αν = και με το κριτήριο F. Εκτιμάμε την συνάρτηση: Y = + + v Yˆ = R =.98 F ESS R = = 73.4 ESSR ESSU = k m = 3 =.6 ESSU 7.6 n k 6 3,99 ( 3 ) (,99) ( 6 3) = = < F(.5 ),,3 =..9

59 Άσκηση 3 Δ) Να εκτιμηθεί η σταυροειδής ελαστικότητα ζήτησης στο σημείο των μέσων. Yˆ ε ΥΧ = 6.4 = ˆ = 3.5 =.4 Y Y 8.3 Αν η τιμή του αγαθού αυξηθεί κατά % ενώ η τιμή του αγαθού παραμένει σταθερή, η ζητούμενη ποσότητα από το αγαθό θα μειωθεί κατά.4%. Το πρόσημο δεν είναι το αναμενόμενο για υποκατάστατα αγαθά. Σφάλμα εξειδίκευσης;;

60

61 Εξειδίκευση Επιλογή των κατάλληλων ανεξάρτητων μεταλητών Παράλειψη σχετικής μεταλητής Άσχετη μεταλητή στο υπόδειγμα Επιλογή της κατάλληλης μορφής της συνάρτησης

62 Παράλειψη σχετικής μεταλητής Το ˆ k αντιπροσωπεύει την μεταολή της Υ ύστερα από μια μεταολή της Χ k κατά μία μονάδα όταν όλες οι άλλες ανεξάρτητες μεταλητές παραμένουν σταθερές σε κάποιο επίπεδο. Παράλειψη μιας μεταλητής Δεν παραμένουν όλες οι ανεξάρτητες μεταλητές σταθερές Πιθανή μεροληψία στους συντελεστές της συνάρτησης

63 Έστω Αν παραλείψουμε την Χ Y + = + + Y = + + u * u * u = u + Όπου * Eu = E u + = E ( ) ( ) Γενικά ( ) ( * Cov ) Cov u,, Y = ˆ ˆ + ( ) * + ˆ u Όταν Cov, Παραίαση ασικής υπόθεσης E ( ˆ ) E ˆ ( ) Μέρος της διακύμανσης του Υ που αποδίδεται στο Χ οφείλεται στο Χ

64 E ( ˆ ) = + aˆ = aˆ + aˆ + wˆ Συνήθως τα ή/και ˆα είναι άγνωστα. Από τα αναμενόμενα πρόσημα είναι δυνατό να προλέψουμε το πρόσημο της μεροληψίας Μεροληψία > αν > και ˆ α > ή < και ˆ α < Μεροληψία < αν > και ˆ α ή < και < ˆ α > Μεροληψία = όταν = ή/και ˆ α =

65 Αποδεικνύεται ομοίως ότι οι διακυμάνσεις των συντελεστών είναι θετικά μεροληπτικές, δηλαδή οδηγούν σε υπερεκτιμήσεις ακόμα και αν οι Χ, Χ είναι ασυσχέτιστες. Άρα ο έλεγχος υποθέσεων και τα διαστήματα εμπιστοσύνης δεν είναι αξιόπιστα. Συμπέρασμα: όταν παραλείπεται μια σχετική μεταλητή επηρεάζεται η αξιοπιστία των αποτελεσμάτων αφού οι εκτιμητές των συντελεστών και των διακυμάνσεων είναι μεροληπτικοί.

66 Παράδειγμα: Έστω Q = P +.5I D Πιθανή ένδειξη προλήματος εξειδίκευσης Αναμενόμενο πρόσημο< μεροληψία > Αν, για λόγους ευκολίας, υποθέσουμε ότι Ρ και Ι δεν συσχετίζονται α > P Η συνάρτηση ζήτησης ενός αγαθού. Πιθανή περίπτωση η παράλειψη της τιμής ενός άλλου αγαθού. Το ερώτημα είναι αν αυτό είναι υποκατάστατο ή συμπληρωματικό. Όπου Χ ημεταλητήπουέχειπαραληφθεί Χ ο συντελεστής του Χ (αν είχε συμπεριληφθεί) α ΡΧ ο συντελεστής που προκύπτει από P = a + ap + w

67 Γενικά, αναμένουμε ότι οι τιμές κινούνται στην ίδια κατεύθυνση. Δηλαδή α ΡΧ > Αν Χ η τιμή ενός συμπληρωματικού < a > P Μεροληψία < Αν Χ ητιμήενόςυποκατάστατου > a > P Μεροληψία > Συμπέρασμα: Το πιθανότερο είναι ότι έχει παραληφθεί η τιμή ενός υποκατάστατου

68 Η διαπίστωση πόσες και ποιες μεταλητές έχουν παραληφθεί είναι δύσκολη υπόθεση Συνήθως το υπόδειγμα που εκτιμάται θεωρείται το σωστό (Γιαποιολόγοναεκτιμηθείέναυπόδειγμαπουδενθεωρείταισωστό) Γι αυτό απαιτείται προσεκτική ανάλυση πριν την εκτίμηση Ποιες είναι οι μεταλητές που προκύπτουν από τη θεωρία Ποια είναι τα αναμενόμενα πρόσημα Ποια είναι η εμπειρία από άλλες παρόμοιες εργασίες

69 Προσθήκη άσχετης μεταλητής Έστω Y = + + u ηπραγματικήσυνάρτηση * και Y = u η συνάρτηση που * πρόκειται να εκτιμηθεί όπου u = u Αφού = στον πληθυσμό η προσθήκη του Χ δεν δημιουργεί πρόλημα μεροληψίας Η προσθήκη άσχετης μεταλητής Αυξάνει τις τιμές των σημαντικότητα των ˆ S ˆ και άρα μειώνει την στατιστική Μειώνει την τιμή του R

70 Κριτήρια για την αφαίρεση άσχετης μεταλητής Ηθεωρία Η στατιστική σημαντικότητα του αντίστοιχου συντελεστή (έλεγχος t) Το R Σημαντικές αλλαγές στους υπόλοιπους συντελεστές Αν κανένα από τα παραπάνω δεν ισχύει η μεταλητή αφαιρείται Αν ισχύουν ορισμένα απαιτείται η κρίση του ερευνητή ασισμένη περισσότερο στην θεωρητική επιχειρηματολογία και λιγότερο στην στατιστική

71 Η επιλογή των μεταλητών πρέπει να ασίζεται περισσότερο στην θεωρία και την εμπειρία και να ελαχιστοποιείται ο αριθμός των «εναλλακτικών εξειδικεύσεων». Θα πρέπει να αποφεύγονται τεχνικές που ασίζονται στην λογική επαναληπτικών εκτιμήσεων και επιλογή μιας συνάρτησης με κριτήριο την στατιστική σημαντικότητα μόνο Stepwse παλινδρόμηση Data mnng Εξαίρεση: όταν οι μεθοδολογίες αυτές χρησιμοποιούνται για να διατυπωθεί μια νέα θεωρία ή όταν γίνεται προσπάθεια να αποδεχτεί η αντοχή των αποτελεσμάτων σε διαφορετικές εξειδικεύσεις

72 Έλεγχος εξειδίκευσης RESET (Regresson Equaton Specfcaton Error Test) Έστω ˆ ˆ ˆ Y = + + ˆ η συνάρτηση που εκτιμήθηκε Εκτιμάται η συνάρτηση Y = Yˆ + Yˆ + Yˆ v Ελέγχεται H ˆ = ˆ = ˆ : = Αν η υπόθεση Η απορριφθεί υπάρχει ένδειξη προλήματος εξειδίκευσης Το RESET δεν οηθά στην κατεύθυνση της λύσης του προλήματος Χρησιμοποιείται κυρίως για να επιεαιώσει το πρόλημα

73 Παράδειγμα: Έστω Yˆ = 6, +,6 +,7 R =, 46 η συνάρτηση που εκτιμήθηκε Όπου Υ η οικογενειακή δαπάνη για τρόφιμα, Χ το οικογενειακό εισόδημα και Χ ο αριθμός ατόμων στην οικογένεια. Y = Yˆ + Yˆ + Yˆ + Εκτιμάμε την συνάρτηση: Και παίρνουμε: 3 4 Y = 33,3 7,4 ˆ ˆ ˆ 6,6 + 8,3Y,7Y +,3Y + v R =, 48 F = R R k m RU n k U R,48,46 = 6 3,48 =, < F(.5 ),,35 = 3, 7 Δεχόμαστε ότι 3 = 4 = 5 =, άρα δεν υπάρχει σφάλμα εξειδίκευσης. 5 4 v

74 Έλεγχος με τον πολλαπλασιαστή Lagrange για προσθήκη μεταλητών Έστω ˆ ˆ ˆ ˆ η συνάρτηση που εκτιμήθηκε () ον : Εκτιμάται η περιορισμένη μορφή () και υπολογίζονται τα κατάλοιπα û ον : Εκτιμάται η παλινδρόμηση Υπολογίζεται το Y = + + Μήπως θα έπρεπε να εκτιμήσουμε την () ;; : Y = v ˆ = u b b b b b b e nr 3 ον : Εάν nr > χα,k m η περιορισμένη μορφή () απορρίπτεται.

75 Παράδειγμα: Έστω Yˆ =,67 +,64 R =,34 Όπου Υ η οικογενειακή δαπάνη για τρόφιμα, Χ το οικογενειακό εισόδημα. Είναι σημαντική η προσθήκη της Χ (αριθμός ατόμων στην οικογένεια); Εκτιμάμε την συνάρτηση: u = v nr = 7, > χ Και παίρνουμε: uˆ = 4,553,4 +,7 η συνάρτηση που εκτιμήθηκε R =,8 ( ).5, = 3,84 Απορρίπτουμε την περιορισμένη μορφή άρα η προσθήκη της Χ είναι σημαντική.

76 Η μορφή της συνάρτησης Η επιλογή της μορφής της συνάρτησης θα πρέπει να στηρίζεται κυρίως στην θεωρία, στην εμπειρία και στην κοινή λογική και ελάχιστα στον αθμό προσαρμογής της στα στοιχεία του δείγματος. Γραμμική και προσθετική μορφή Y + = k k u = Y = ΔY Δ Υποθέτει ότι η μεταολή στο Υ ύστερα από μια μεταολή στο Χ κατά μία μονάδα είναι σταθερή (ανεξάρτητη από το Χ και Υ ) Συνήθως η θεωρία προτείνει μόνο το πρόσημο η επιλογή εκτός αν υπάρχει σοαρός λόγος για το αντίθετο

77 Διπλή λογαριθμική μορφή ln Y ln ln... ln + = k k u = ln ln Y = % % Δ Δ Y Ελαστικότητα Υποθέτει ότι η ελαστικότητα είναι σταθερή. Το % μεταολής στο Υ ύστερα από μια μεταολή στο Χ κατά % είναι σταθερό Πραγματική μορφή k u Y = e e k Προσοχή! Στις μηδενικές και αρνητικές τιμές των μεταλητών

78 Χ ln Y = + ln + ln (Διατηρώντας το Υ σταθερό) Χ Υ > < < ln Y = + ln + ln (Διατηρώντας το Χ σταθερό) < Χ

79 Παράδειγμα: Q A I P A P B P C 8 34, 4, 5,7 78,3 3 45, 38, 5, 79, , 46, 495, 53, 4,3 39,5 37,3 38, 54, 55,3 54,7 63,7 79, 79, 77,4 8, Υποθέτουμε όλες τις τιμές σταθερές , 65, 39,3 37,8 69,8 65,9 8,4 83, , 7, 77, 85, 95, 93,, 7, 35, 38,4 4, 38,6 39,8 39,7 5, 48,9 58,3 57,9 64,5 7, 73, 67,8 79, 95,4 94, 3,5 9,9 85,5 93,7 6, 4,8 4, 4, 7,6 4,9 43,6 Ζητούμενη ποσότητα (Q) , 575, 76,, 56,5 63,7 6,6 58,9 7,6 3,9 9,8 8, 39, 65,5 3,3 9,6,,, 3, Εισόδημα (I) 5 6, 66,4 4,,6 5 48, 7,4 68, 3,6

80 Γραμμική Qˆ = 8,67 +,I A (,987) (,8),889 Διπλή λογαριθμική ln Qˆ =, 6 +, 33ln I A 95 4 R = 957 R,,, = Ζητούμενη ποσότητα (Q) Εισόδημα (I) 4, 6 lnq 4 3,9 3,8 3,7 3,6 3,5 3,4 Ζητούμενη ποσότητα (Q) ,3 6 6,5 7 7,5 8 3 lni Εισόδημα (Ι)

81 Ημιλογαριθμική μορφή () (λογαριθμική-γραμμική) = ln ln Y Y + = k k = % ΔY Δ Πραγματική μορφή κ Y = e K+ + u k Υποθέτει ότι η ποσοστιαία μεταολή στο Υ ύστερα από μια μεταολή στο Χ κατά μία μονάδα είναι σταθερή u Υ > ln Y = + + (Διατηρώντας το Χ σταθερό) < Χ

82 Εφαρμογή: Μέσος ετήσιος ρυθμός μεταολής Y = Y ( ) T + r t ln Y = ln Y + T ln( + r) t ln Y t = + T = ln Y = ln( + r ) Y = e r e =

83 Παράδειγμα: T Χ Ρ P ΕΤΗ Γραμμική Pˆ = 48,6 + 49, (6,3) (4,8) R =,863 Μέση ετήσια μεταολή P ΕΤΗ

84 ln Pˆ = 4,6 +,87 P (,54) (,5) R =,988 = e =,755 r e = =,6 ln P 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3,,,, ΕΤΗ Μέση ετήσια ποσοστιαία αύξηση P ˆ,755(,6) T t = + P ΕΤΗ

85 Ημιλογαριθμική μορφή () (γραμμική-λογαριθμική) Y = + ln + ln ln + u k k Y ΔY = = ln % Δ Υποθέτει ότι η μεταολή στο Υ ύστερα από μια μεταολή στο Χ κατά % είναι σταθερή Υ < > Αν διατηρήσουμε όλα τα Χ, εκτός του Χ, σταθερά Χ

86 Παράδειγμα: Γραμμική Qˆ = 8,67 +,I A (,987) (,8),889 R = Ζητούμενη ποσότητα (Q) Εισόδημα (I) Ημιλογαριθμική Qˆ = 4,8 +,95ln I A (3,3) (,456),97 Απόλυτη μεταολή στη ζητούμενη ποσότητα ύστερα από μια μεταολή στο εισόδημα κατά % R = Q Ζητούμενη ποσότητα (Q) ln I,,, 3, Εισόδημα (I)

87 Πολυωνυμική μορφή Παράδειγμα Y + = u Y = + Υποθέτει ότι η μεταολή στο Υ ύστερα από μια μεταολή στο Χ δεν είναι σταθερή αλλά εξαρτάται από την ίδια τη μεταλητη. Υ Υ > < < > Χ Χ

88 Παράδειγμα: L Q MP AP TC AC AC AP L Q

89 Γραμμική Μέσου Προϊόντος AP = 48,76 +,78L (,383) (,5) R =, 676 Πολυωνυμική Μέσου Προϊόντος AP = 4,64 +,65L,9L (,554) (,) (,5) R =,98 AP AP L L

90 Γραμμική Μέσου Κόστους AC = 6,38,Q (,33) (,) R =,73 Πολυωνυμική Μέσου Κόστους AC = 6,798,5Q +,3Q (,33) (,) (,) R =, AC AC Q Q

91 Αντίστροφη μορφή Παράδειγμα Y + Y = = + + Υποθέτει ότι η μεταολή στο Υ ύστερα από μια μεταολή στο Χ δεν είναι σταθερή αλλά εξαρτάται από την ίδια τη μεταλητή. Υ u Αν διατηρήσουμε όλα τα Χ, εκτός του Χ, σταθερά + > < Χ

92 Παράδειγμα: W U,8,4 8,5, 8,4,5 4,5,5 4,3, 6,9, 8,, 5,,3 3,6,8,6,9,6,5 4,,4 3,6,8 3,7, 4,8,5 4,3,3 4,6,4 W W = Ποσοστιαία μεταολή στους μισθούς U = Ποσοστό ανεργίας U

93 Γραμμική W =,343 3,88U (,7) (,43) R =,3 W Αντίστροφη =,48 + 8,74 U (,67) (,847) R =, W W U U

94 Αλληλεπίδραση μεταλητών Παράδειγμα Y + = u Y = + 3 Υποθέτει ότι η μεταολή στο Υ ύστερα από μια μεταολή στο Χ δεν είναι σταθερή αλλά εξαρτάται από την δεύτερη μεταλητή

95 Παράδειγμα: Q A I P A P B P C 8 34, 4, 5,7 78,3 3 45, 38, 5, 79, , 46, 495, 53, 4,3 39,5 37,3 38, 54, 55,3 54,7 63,7 79, 79, 77,4 8, Qˆ = 9,37 +,7I,3P +,77P +,9P,3( IP ) R A A B C A (4,79) (,7) (,8) (,6) (,4) (,7) =, , 39,3 69,8 8, , 665, 7, 77, 85, 37,8 38,4 4, 38,6 39,8 65,9 64,5 7, 73, 67,8 83,9 85,5 93,7 6, 4,8 Qˆ I A =,7,3P A 4 95, 39,7 79, 4, 43 93, 5, 95,4 4, , 7, 35, 45, 575, 48,9 58,3 57,9 56,5 63,7 94, 3,5 9,9 7,6 3,9 7,6 4,9 43,6 39, 65,5 Qˆ P A A =,3,4I 49 76, 6,6 9,8 3,3 5, 58,9 8, 9,6 5 6, 66,4 4,,6 5 48, 7,4 68, 3,6