ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Θεωρία Ισοδύναμης Χωρητικότητας για Μοντελοποίηση Εξυπηρετητών Μεταβλητού Ρυθμού και Εφαρμογές σε Ασύρματα Δίκτυα ΙΕΕΕ Εμμανουήλ Ν. Καφετζάκης ΑΘΗΝΑ ΜΑΙΟΣ 2011

2

3 ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ Θεωρία Ισοδύναμης Χωρητικότητας για Μοντελοποίηση Εξυπηρετητών Μεταβλητού Ρυθμού και Εφαρμογές σε Ασύρματα Δίκτυα ΙΕΕΕ Εμμανουήλ Ν. Καφετζάκης ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: Ιωάννης Σταυρακάκης, Καθηγητής Ε.Κ.Π.Α. ΤΡΙΜΕΛΗΣ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗΣ: Ιωάννης Σταυρακάκης, Καθηγητής Ε.Κ.Π.Α. Λάζαρος Μεράκος, Καθηγητής Ε.Κ.Π.Α. Ευστάθιος Χατζηευθυμιάδης, Επίκουρος Καθηγητής Ε.Κ.Π.Α. ΕΠΤΑΜΕΛΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ Ιωάννης Σταυρακάκης, Καθηγητής Ε.Κ.Π.Α. Λάζαρος Μεράκος, Καθηγητής Ε.Κ.Π.Α. Ευστάθιος Χατζηευθυμιάδης, Κίμων Κοντοβασίλης, Επίκουρος Καθηγητής Ε.Κ.Π.Α. Δ/ντής Ερευνών του Ι.Π. & Τ. Ε.Κ.Ε.Φ.Ε. "Δημόκριτος" Χαράλαμπος Σκιάνης, Επίκουρος Καθηγητής Παν. Αιγαίου Σταύρος Τουμπής, Επίκουρος Καθηγητής Ο.Π.Α. Αθανασία Αλωνιστιώτη, Λέκτορας Ε.Κ.Π.Α. Ημερομηνία Εξέτασης: 02/05/2011

4

5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Πολλές απαιτητικές δικτυακές εφαρμογές επιζητούν στοχαστικές εγγυήσεις ποιότητας υπηρεσίας. Όσον αφορά τις εγγυήσεις που σχετίζονται με τις απώλειες των πακέτων δεδομένων, η ασυμπτωτική θεωρία που βασίζεται στις έννοιες του Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης και της Ισοδύναμης Χωρητικότητας αποδείχθηκε κατάλληλη για τον υπολογισμό μικρών πιθανοτήτων απωλειών σε συστήματα αναμονής με (σύνθετες) χρονικά μεταβαλλόμενες διεργασίες εισόδου και εξυπηρέτησης. Επίσης, η ασυμπτωτική θεωρία οδήγησε στη δημιουργία απλών μηχανισμών ελέγχου κίνησης για την επιβολή των σχετικών εγγυήσεων. Το γεγονός αυτό ώθησε στην περαιτέρω εφαρμογή της θεωρίας για τον υπολογισμό ή/ και την επιβολή χρονικών εγγυήσεων ποιότητας υπηρεσίας. Ωστόσο, μέχρι σήμερα αυτή η εφαρμογή σε συστήματα αναμονής με χρονικά μεταβαλλόμενο ρυθμό εξυπηρέτησης επικαλούνταν μόνο ευριστικά επιχειρήματα. Η παρούσα διατριβή καλύπτει αυτό το κενό, θεμελιώνοντας αυστηρά τη χρήση της θεωρίας του Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης και της Ισοδύναμης Χωρητικότητας για τον ασυμπτωτικά ακριβή υπολογισμό ή/και την επιβολή της πιθανότητας η καθυστέρηση να υπερβεί ένα δοσμένο κατώφλι σε συστήματα αναμονής με μεταβαλλόμενο ρυθμό εξυπηρέτησης. Ειδικότερα, η διατριβή αποδεικνύει αυστηρά την ευρέως χρησιμοποιούμενη ευριστική σχέση μεταξύ των εκθετικών ρυθμών φθίσης των πιθανοτήτων υπέρβασης του περιεχομένου ενός ταμιευτήρα και των πιθανοτήτων υπέρβασης της καθυστέρησης σε αυτόν. Η μελέτη των συστημάτων αναμονής με χρονικά μεταβαλλόμενους εξυπηρετητές καθίσταται ολοένα και πιο σημαντική στις μέρες μας, λόγω της ευρείας εξάπλωσης της ασύρματης δικτύωσης. Ένα ασύρματο τερματικό μπορεί να θεωρηθεί ως ένας χρονικά μεταβαλλόμενος εξυπηρετητής δεδομένων, εξαιτίας των αυξομειώσεων του ρυθμού εξυπηρέτησης στο φυσικό επίπεδο ή στο επίπεδο πρόσβασης μέσου (Medium Access Control - MAC). Ακολουθώντας αυτήν τη συλλογιστική, η διατριβή εφαρμόζει τα γενικά αποτελέσματα της θεωρίας του Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης και της Ισοδύναμης Χωρητικότητας στο πρότυπο ασύρματης τοπικής δικτύωσης ΙΕΕΕ Προς αυτήν την κατεύθυνση, η διατριβή αποδεικνύει ότι ένα τερματικό ΙΕΕΕ μπορεί να μοντελοποιηθεί ως ένας Ημί-Μαρκοβιανός εξυπηρετητής δεδομένων του τύπου On/Off, με γνωστές κατανομές για τις περιόδους On και Off, και στη συνέχεια υπολογίζει τη συνάρτηση Ισοδύναμης Χωρητικότητας αυτού του εξυπηρετητή On/Off. Τα παραχθέντα γενικά αποτελέσματα χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση της πιθανότητας υπερχείλισης του ταμιευτήρα MAC ΙΕΕΕ , καθώς και της πιθανότητας η καθυστέρηση σε αυτόν να παραβιάσει ένα δοσμένο χρονικό όριο. Τα γενικά αποτελέσματα επιπλέον οδηγούν στη δημιουργία απλών πολιτικών ελέγχου κίνησης, προκειμένου να επιβληθούν οι σχετικές εγγυήσεις ποιότητας υπηρεσίας.

6 Για την εύρεση της Ισοδύναμης Χωρητικότητας ενός τερματικού ΙΕΕΕ γίνεται η υπόθεση ότι, εκτός από το παρατηρούμενο τερματικό, όλα τα υπόλοιπα ανταγωνιστικά τερματικά έχουν πάντα ένα πακέτο δεδομένων προς μετάδοση (δηλ., θεωρούνται ως κορεσμένα). Αυτή είναι μία συντηρητική υπόθεση που οδηγεί σε πολύ ακριβή αποτελέσματα στην περίπτωση δικτύων με υψηλό φορτίο κίνησης. Μετέπειτα η υπόθεση κόρου αίρεται, ωστόσο η προτεινόμενη προσέγγιση παραμένει εφαρμόσιμη, εφόσον κάποιες απλές παράμετροι του μοντέλου για την εύρεση της Ισοδύναμης Χωρητικότητας ενός τερματικού ΙΕΕΕ μπορούν να μετρηθούν κατανεμημένα από το τερματικό (αντί να υπολογιστούν βάσει της υπόθεσης κόρου). Όλες οι σχετικές παράμετροι μπορούν να μετρηθούν αξιόπιστα σε σύντομο χρονικό διάστημα, αφού τα αντίστοιχα γεγονότα συμβαίνουν συχνά υπό όλα τα φορτία κίνησης. Η προσαρμογή του μοντέλου σε όλα τα φορτία κίνησης δεν απαιτεί καμία γνώση των χαρακτηριστικών της εισερχόμενης κίνησης. Τελειώνοντας, η διατριβή παρουσιάζει τη χρήση της συνάρτησης Ισοδύναμης Χωρητικότητας των τερματικών ΙΕΕΕ ως εργαλείου σχεδιασμού: Η μορφή της εν λόγω συνάρτησης υποδεικνύει συγκεκριμένες παραμέτρους των κατανομών οπισθοχώρησης, οι οποίες, εάν τροποποιηθούν καταλλήλως, οδηγούν σε μεγαλύτερες τιμές Ισοδύναμης Χωρητικότητας. Συνεπώς, σε καλύτερη επίδοση καθυστέρησης και σε καλύτερη επίδοση απωλειών πακέτων. Θεματική Περιοχή: Λέξεις Κλειδιά: Μοντελοποίηση Δικτύων αποδοχή κίνησης, ΙΕΕΕ , Ισοδύναμη Χωρητικότητα, ποιότητα υπηρεσίας, μοντελοποίηση εξυπηρετητή vi

7 ABSTRACT Many demanding network applications rely on stochastic Quality of Service (QoS) guarantees. With respect to loss-related performance, the asymptotic theory based on the notions of Effective Bandwidth and Effective Capacity has proved successful for calculating low loss probabilities in queueing systems with complex time-varying input and server processes and for formulating simple admission control tests to enforce associated QoS guarantees. This success has motivated the application of the theory to the calculation and enforcement of delay-related QoS too. However, up to now this application has only been justified on the basis of heuristic arguments when the queue is served at a variable rate. The thesis fills this gap, by formally establishing that the Effective Bandwidth/Capacity theory may be applied for asymptotically correct calculation and/or enforcement of delay tail-probabilities in systems with variable rate servers too. In particular, the heuristically suggested linkage between the exponential decay rates of the buffer content and delay probability tails through the server's Effective Capacity function is formally shown to apply. Due to the prevalence of wireless networking, systems with time-varying servers are becoming all the more important. Indeed, a wireless station can be regarded as a timevarying data server, due to rate fluctuations at the physical or at the medium access control layer. In this context, the thesis proceeds with an application of the general results to IEEE WLANs. In doing so, the thesis first establishes that an IEEE mobile station can be regarded as a Semi-Markovian data server of the On/Off type, with known distributions for the On and Off periods, and subsequently derives the Effective Capacity function of this On/Off server. The general results can then be used for computing buffer overflow and delay violation probabilities in IEEE WLANs, and for employing simple traffic control policies to enforce related QoS guarantees. The IEEE Effective Capacity computation assumes a saturated environment for the calculation of a certain collision probability. This is a conservative assumption that becomes very accurate in a highly loaded network. Subsequently, the saturation assumption is relaxed and the proposed approach is shown to be still applicable, provided that a few simple model parameters can be distributively measured by the stations (instead of being calculated on the basis of the saturation assumption). All required parameters can be reliably measured in a short time, since the corresponding events occur frequently under all traffic loads. This adaptation of the model to all network loads still avoids the requirement for any knowledge of input traffic details. Finally, the thesis illustrates the usage of the Effective Capacity function of the IEEE stations as a design tool: Towards this end, the form of the said function highlights certain parameters of the backoff window distributions, which, if appropriately tailored, may

8 lead to higher Effective Capacity values, hence to better delay-related (or loss-related) performance. Subject Area: Keywords: Network Modeling admission control, Effective Capacity, IEEE , QοS, server modeling

9 ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα διδακτορική διατριβή μου ανατέθηκε από τον Τομέα Επικοινωνιών και Επεξεργασίας Σήματος του Τμήματος Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών του Πανεπιστημίου Αθηνών. Πραγματοποιήθηκε στο Ινστιτούτο Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών (Ι.Π. & Τ.) του Εθνικού Κέντρου Έρευνας Φυσικών Επιστημών (Ε.Κ.Ε.Φ.Ε.) "Δημόκριτος" ( ), με οικονομική υποστήριξη (υποτροφία εσωτερικού) από το Υπουργείο Ανάπτυξης. Από τη θέση αυτή οφείλω και επιθυμώ να εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες στο Διευθυντή Ερευνών του Ι.Π. & Τ. του Ε.Κ.Ε.Φ.Ε. "Δημόκριτος" και κύριο επιβλέποντα της διατριβής μου (ελπίζω τώρα πλέον και φίλο μου) Κίμωνα Κοντοβασίλη για την ερευνητική μεθοδολογία που μου δίδαξε και για την καθοδήγηση του σε αυτήν την προσπάθεια. Πάντοτε ήταν διαθέσιμος να ακούσει τις απορίες μου και να συζητήσει πιθανές λύσεις των προβλημάτων που προέκυπταν. Χωρίς τις καίριες, πολύτιμες συμβουλές του η εκπόνηση της διατριβής θα ήταν ανέφικτη. Θα ήταν παράληψη μου να μην εκφράσω τις ευχαριστίες μου στον Καθηγητή του Πανεπιστημίου Αθηνών Ιωάννη Σταυρακάκη, ο οποίος με εμπιστεύτηκε και μου επέτρεψε να εκπονήσω τη διδακτορική διατριβή μου στο Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ευχαριστώ επίσης τον Ιωάννη Ιωακειμίδη, Διπλωματούχο Μηχανολόγο Μηχανικό και επιστήθιο φίλο μου, για την πολύτιμη βοήθεια που προσέφερε στην τελική διόρθωση της διατριβής. Ένας μεγάλος αριθμός ανθρώπων συνετέλεσε έμμεσα σε αυτή μου την προσπάθεια, παρέχοντας τους αναγκαίους οικονομικούς πόρους και το κατάλληλο περιβάλλον εργασίας/ ξεκούρασης. Ευχαριστώ τον Αναπληρωτή Καθηγητή του Ανώτατου Τεχνολογικού Ιδρύματος Πειραιά, Αθανάσιο Σπυριδάκο για την ευκαιρία απόκτησης εμπειρίας διδασκαλίας που μου προσέφερε. Το όμορο των περιοχών μελέτης των διατριβών μας υπήρξε η αφορμή για τις επιστημονικές συζητήσεις και τις ώρες ψυχανάλυσης με τον Υποψήφιο Διδάκτορα και φίλο μου Ιωάννη Γιαννουλάκη για αυτό και τον ευχαριστώ, όπως επίσης όλους τους υπόλοιπους συναδέλφους του Ε.Κ.Ε.Φ.Ε. "Δημόκριτος" για το ευχάριστο περιβάλλον εργασίας και για τις γνώσεις και εμπειρίες που μοιράστηκαν μαζί μου. Ευχαριστώ επίσης όλους τους φίλους μου για τις απαραίτητες στιγμές χαλάρωσης και ξεγνοιασιάς, σε στεριά και θάλασσα. Τελειώνοντας οφείλω ευχαριστίες στην οικογένεια μου για την ψυχολογική και οικονομική συνδρομή της. Η διατριβή αφιερώνεται στους γονείς μου. Αθήνα, Μάιος 2011 Εμμανουήλ Ν. Καφετζάκης

10

11 Περιεχόμενα Σελίδα Έγκρισης Περίληψη Abstract Πρόλογος Ευχαριστίες Περιεχόμενα Κατάλογος Σχημάτων Κατάλογος Πινάκων iii v vii ix xi xv xvii A Κύριο Μέρος 1 1 Εισαγωγή Κίνητρο Συνεισφορά της Διατριβής Η Δομή της Διατριβής Θεωρία Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης & Ισοδύναμης Χωρητικότητας Εισαγωγή Ασυμπτωτική Πιθανότητα Υπέρβασης για το Supremum μίας Στοχαστικής Διεργασίας Εφαρμογή Θεωρίας για Περιεχόμενο Ταμιευτήρα Υπολογισμός Συνάρτησης Ισοδ. Χωρητικότητας Ημί-Μαρκοβιανά Μοντέλα Εξυπηρετητών Ημί-Μαρκοβιανοί Εξυπηρετητές Τύπου On/Off xi

12 3 Θεμελίωση Θεωρίας Ισοδ. Εύρους Ζώνης/Χωρητικότητας για Υπολογισμό/ Επιβολή Καθυστέρησης Εισαγωγή Υπολογισμός Πιθανοτήτων Υπέρβασης Καθυστέρησης με Χρήση Ισοδ. Χωρητικότητας Παροχή Εγγυήσεων για Πιθανότητες Υπέρβασης της Καθυστέρησης Διαφορετικές Έννοιες Καθυστέρησης με Ίδια Ασυμπτωτική Συμπεριφορά Πρότυπο Ασύρματης Τοπικής Δικτύωσης ΙΕΕΕ Πρόσβαση Μέσου με Χρήση DCF IEEE Επισκόπηση Έρευνας σε Θέματα Ανάλυσης Επίδοσης της DCF IEEE Εύρεση Ισοδ. Χωρητικότητας του MAC IEEE Υπολογισμός Πιθανότητας Μετάδοσης & Υπό Συνθήκη Πιθανότητας Σύγκρουσης Υπολογισμός Ισοδ. Χωρητικότητας IEEE Ημί-Μαρκοβιανή Αλυσίδα για Μοντελοποίηση του ΙΕΕΕ Σύμπτυξη Καταστάσεων Διατύπωση Συνάρτησης Ισοδ. Χωρητικότητας IEEE Προσαρμογή του Μοντέλου Ισοδ. Χωρητικότητας ΙΕΕΕ σε Μη Κορεσμένα Περιβάλλοντα Χρήση Ισοδ. Χωρητικότητας ΙΕΕΕ για Παροχή Εγγυήσεων QoS Παροχή Εγγυήσεων για Πιθανότητα Υπερχείλισης Ταμιευτήρα Παροχή Χρονικών Εγγυήσεων QoS Τροποποίηση Κατανομών Οπισθοχώρησης για Βελτιωμένη Ισοδ. Χωρητικότητα IEEE Επαλήθευση του Μοντέλου Ισοδ. Χωρητικότητας ΙΕΕΕ Καμπύλες Ισοδ. Χωρητικότητας ΙΕΕΕ Επαλήθευση Μοντέλου ΙΕΕΕ για Εκτίμηση Περιεχομένου Ταμιευτήρα Επαλήθευση Μοντέλου ΙΕΕΕ για Εκτίμηση/Επιβολή Χρονικών Εγγυήσεων QoS Ενσωμάτωση & Επαλήθευση Μοντέλου στην Κατανεμημένη Πλατφόρμα Προσομοίωσης UNITE Πλατφόρμα Συντονισμού Προσομοίωτων UNITE Έλεγχος Αποδοχής Κίνησης Επικοινωνία μεταξύ Μονάδων VDT Σενάρια για Επαλήθευση Αλγορίθμου Αποδοχής Κίνησης xii

13 8 Συμπεράσματα & Μελλοντική Εργασία Συμπεράσματα Μελλοντική Εργασία B Παραρτήματα 95 I Απόδειξη Λήμματος II Απόδειξη Θεωρήματος III Αναγκαία Συνθήκη για ωbc > IV Απόδειξη Πρότασης και Υπολογισμός E [T bc ] & Var [T bc ] 105 Βιβλιογραφία 111 Γλωσσάρι 117 Συμβολισμοί Μεγεθών 121 Ευρετήριο 127 xiii

14 xiv

15 Κατάλογος Σχημάτων 4.1 Η αρχιτεκτονική του προτύπου ΙΕΕΕ Μετάδοση ενός MPDU χωρίς RTS/CTS Μετάδοση ενός MPDU με RTS/CTS Λογικό διάγραμμα του τρόπου πρόσβασης DCF ΙΕΕΕ Μαρκοβιανή αλυσίδα διακριτού χρόνου για τη δυναμική των μετρητών οπισθοχώρησης IEEE Ισοδύναμη Ημί-Μαρκοβιανή αλυσίδα για το MAC ΙΕΕΕ Η Ισοδύναμη Χωρητικότητα συναρτήσει της απολύτου τιμής του εκθέτη QoS Η Ισοδύναμη Χωρητικότητα ενός τερματικού σε WLAN με εννέα επιπλέον μη κορεσμένα τερματικά Συναρτήσεις Ισοδ. Χωρητικότητας (a C ( θ) συναρτήσει του θ) για ένα τερματικό σε ένα WLAN με 9 επιπλέον κορεσμένα τερματικά και διαφορετικές κατανομές παραθύρων οπισθοχώρησης (κυανή: καθιερωμένη, κόκκινη: τροποποιημένη με α = 0.5) Αναλυτικά και προσομοιωτικά αποτελέσματα της πιθανότητας υπερχείλισης για δέκα τερματικά. Το μη κορεσμένο τερματικό είναι φορτισμένο με kbps (96.35% της ρυθμαπόδοσης κόρου) Φορτίο παρατηρούμενου τερματικού: 140 kbps Poisson. Φορτίο των υπόλοιπων εννέα ανταγωνιστικών τερματικών: 70 kbps Poisson Αναλυτικά και προσομοιωτικά αποτελέσματα για τις πιθανότητες υπέρβασης της καθυστέρησης σε ένα τερματικό υπό δύο διαφορετικά σενάρια φόρτισης, σε ένα WLAN που επίσης περιέχει εννέα επιπλέον κορεσμένα τερματικά Αναλυτικά και προσομοιωτικά αποτελέσματα για την ουρά της καθυστέρησης όταν το τερματικό δέχεται τέσσερις και πέντε ροές On/Off, πέραν της κίνησης υποβάθρου Poisson xv

16 7.8 Προσομοιωτικά αποτελέσματα για την ουρά της καθυστέρησης σε ένα τερματικό. Το WLAN περιέχει δέκα μη κορεσμένα τερματικά. Κάθε τερματικό φορτίζεται με κίνηση Poisson, μέσου ρυθμού 550 kbps Αρχιτεκτονική της πλατφόρμας συντονισμού VDT του προσομοιωτή Ανταλλαγή μηνυμάτων μεταξύ μονάδων για την αρχικοποίηση μίας συνόδου, με έλεγχο αποδοχής κίνησης Διάγραμμα ροής του αλγορίθμου αποδοχής κίνησης xvi

17 Κατάλογος Πινάκων 7.1 Οι τιμές των παραμέτρων για τα αριθμητικά αποτελέσματα που αναφέρονται στην πρώτη έκδοση του προτύπου ΙΕΕΕ Οι τιμές των παραμέτρων για τα αριθμητικά αποτελέσματα που αναφέρονται στο πρότυπο ΙΕΕΕ g Σχετική διαφορά από την καθιερωμένη Ισοδ. Χωρητικότητα, για διαφορετικές κατανομές παραθύρων οπισθοχώρησης και διαφορετικό αριθμό τερματικών στο WLAN. Οι τιμές της Ισοδ. Χωρητικότητας υπολογίστηκαν στο θ = 10 3 bit Παράμετροι εισόδου για τη μέθοδο αποδοχής κίνησης Προσομοιωτικά αποτελέσματα από τον Πυθαγόρα VDT xvii

18 xviii

19 Μέρος A Κύριο Μέρος 1

20

21 1 Εισαγωγή Τα τελευταία χρόνια η επικράτηση του προτύπου ασύρματης τοπικής δικτύωσης ΙΕΕΕ είναι καθολική. Όμως, λόγω της συνεχώς αυξανόμενης ανταλλαγής πολυμεσικού υλικού, ένα δίκτυο ΙΕΕΕ πρέπει να παρέχει υπηρεσία σε απαιτητικές δικτυακές εφαρμογές, γεγονός για το οποίο δεν είχε αρχικά σχεδιαστεί. Κύριο γνώρισμα των απαιτητικών δικτυακών εφαρμογών (π.χ., μετάδοση εικονορροής ή ήχου σε πραγματικό χρόνο) είναι η απαίτηση για παροχή Ποιότητας Υπηρεσίας (Quality of Service - QoS). Λόγω όμως της τυχαιότητας στο μηχανισμό πρόσβασης μέσου του προτύπου IEEE , η υπηρεσία που λαμβάνει ένα τερματικό IEEE δεν είναι εγγυημένη. Εξαρτάται άμεσα από τον αριθμό των ανταγωνιστικών τερματικών και από το φορτίο της κίνησης δεδομένων σε αυτά. Επομένως, άμεσο ζητούμενο είναι η δημιουργία ενός μηχανισμού για τον έλεγχο αποδοχής κίνησης, ώστε να διασφαλιστεί η αιτούμενη ποιότητα υπηρεσίας σε κάθε τερματικό ΙΕΕΕ Προς αυτήν την κατεύθυνση είναι αναγκαία τόσο η κατάλληλη μοντελοποίηση ενός τερματικού ΙΕΕΕ , όσο και η ανάπτυξη κατάλληλων μαθηματικών εργαλείων. Αυτή η διατριβή συμβάλει και στις δύο κατευθύνσεις: παρουσιάζει μία καινοτόμα μοντελοποίηση για την εξυπηρέτηση που λαμβάνει ένα τερματικό ΙΕΕΕ και θεμελιώνει την εφαρμοσιμότητα της θεωρίας του Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης και της Ισοδύναμης Χωρητικότητας για την παροχή χρονικών εγγυήσεων QoS. Το κίνητρο της έρευνάς μας αναπτύσσεται στην Ενότητα 1.1. Η συνεισφορά μας σκιαγραφείται στην Ενότητα 1.2, όπου αναφέρονται επίσης οι δημοσιεύσεις που προέκυψαν στα πλαίσια της παρούσας διατριβής. Τέλος, στην Ενότητα 1.3 δίδεται η δομή της διατριβής. 1.1 Κίνητρο Σήμερα η ασύρματη δικτύωση μεταξύ υπολογιστών θεωρείται δεδομένη, κυρίως μέσω των Ασύρματων Τοπικών Δικτύων (Wireless Local Area Network - WLAN). Από τις διαθέσιμες επιλογές ασύρματης τοπικής δικτύωσης, η οικογένεια ασύρματων προτύπων IEEE Εμμανουήλ Ν. Καφετζάκης 3

22 Κεφ. 1: Εισαγωγή είναι η πλέον διαδεδομένη, με μεγάλη ποικιλία σχετικών προϊόντων στην αγορά. Με την ονομαστική ταχύτητα λειτουργίας στα 54 Mbps να είναι συνήθης, η ασύρματη τοπική δικτύωση ανταγωνίζεται πλέον την ενσύρματη. Ωστόσο, παρά τη μακροχρόνια ύπαρξη και μελέτη του προτύπου ΙΕΕΕ , σημαντικά ζητήματα επίδοσης και ελέγχου κίνησης δεν είχαν ως τώρα διερευνηθεί. Η αποτίμηση της επίδοσης του προτύπου ΙΕΕΕ είναι σχετικά σύνθετο πρόβλημα, λόγω της τυχαιότητας του μηχανισμού οπισθοχώρησης στο επίπεδο ελέγχου πρόσβασης μέσου και την αλληλεξάρτηση των ασύρματων τερματικών. Αυτή η τυχαιότητα του προτύπου IEEE οδηγεί σε πιθανές συγκρούσεις πακέτων δεδομένων, με συνέπεια ένα ασύρματο τερματικό να έχει ουσιαστικά χρονικά μεταβαλλόμενο ρυθμό εξυπηρέτησης και ταυτόχρονα η ρυθμαπόδοση του δικτύου IEEE να υπολείπεται σημαντικά του ονομαστικού ρυθμού μετάδοσης bits στο ασύρματο μέσο. Απ' όσα είμαστε σε θέση να γνωρίζουμε, η πολυπλοκότητα του μηχανισμού οπισθοχώρησης του δικτύου ΙΕΕΕ δεν επέτρεψε μέχρι σήμερα να προταθεί κάποιος μηχανισμός ελέγχου αποδοχής κίνησης που να εγγυάται στοχαστικές απαιτήσεις QoS (πέραν αυτών που αναφέρονται σε μέσες τιμές), ώστε να υποστηριχθούν απαιτητικές δικτυακές εφαρμογές. Οι στοχαστικές εγγυήσεις QoS και πιο συγκεκριμένα αυτές που σχετίζονται με χαμηλές τιμές συγκεκριμένων Πιθανοτήτων Υπέρβασης (Tail-Probabilities) είναι ιδιαίτερα σημαντικές, αφού είναι ικανές να περιγράψουν τις απαιτήσεις για ποιότητα υπηρεσίας των πολυμεσικών εφαρμογών λόγω της ανοχής των συγκεκριμένων εφαρμογών σε στιγμιαία υποβάθμιση της προσφερόμενης υπηρεσίας. Για την παροχή εγγυήσεων QoS που σχετίζονται με πιθανότητες υπέρβασης (όπως, π.χ., της πιθανότητας υπερχείλισης ταμιευτήρα ή της πιθανότητας η καθυστέρηση σε μία ουρά να παραβιάσει ένα χρονικό κατώφλι) είναι κατάλληλες οι ασυμπτωτικές προσεγγίσεις. Αυτές οι προσεγγίσεις τις περισσότερες φορές βασίζονται στη Large Deviations Theory. Ειδικότερα, η θεωρία του Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης και της Ισοδύναμης Χωρητικότητας είναι ιδιαιτέρως ελκυστική για την παροχή εγγυήσεων QoS, αφού μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εκτίμηση πιθανοτήτων υπέρβασης που σχετίζονται με την επίδοση ενός συστήματος, συνδυάζοντας ξεχωριστά μοντέλα για τις διεργασίες εισερχόμενης κίνησης και εξυπηρέτησης. Επιπλέον, η συγκεκριμένη θεωρία οδηγεί άμεσα στη δημιουργία σχετικών πολιτικών ελέγχου αποδοχής κίνησης δεδομένων. Έχοντας αυτά υπ' όψιν, αποφασίσαμε να μοντελοποιήσουμε τις διακυμάνσεις του ρυθμού εξυπηρέτησης στο επίπεδο MAC IEEE μέσω της θεωρίας του Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης και της Ισοδύναμης Χωρητικότητας. Η σχετική θεωρία συνδέει του πόρους του συστήματος (δηλ., την εξυπηρέτηση του τερματικού ΙΕΕΕ και το μέγεθος του ταμιευτήρα του) με την εισερχόμενη κίνηση και με τις απαιτήσεις QoS των εφαρμογών. Το επιθυμητό μοντέλο Ισοδύναμης Χωρητικότητας ΙΕΕΕ θα πρέπει να παρέχει ένα ικανοποιητικό πλαίσιο για την προσέγγιση πιθανοτήτων υπέρβασης και για την κατασκευή σχετικών μηχανισμών ελέγχου κίνησης με έναν ενιαίο τρόπο. Παράλληλα επιθυμούμε να είναι εφαρμόσιμο υπό τυχαίες μορφές εισερχόμενης κίνησης (εφόσον αυτές 4 Εμμανουήλ Ν. Καφετζάκης

23 1.2 Συνεισφορά της Διατριβής οι μορφές έχουν μία καλώς ορισμένη συνάρτηση Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης). Αυτό δε θα ήταν εφικτό εφόσον ακολουθούνταν κλασσικές προσεγγίσεις της θεωρίας αναμονής, όπου θα απαιτούνταν ένα ξεχωριστό μοντέλο και πιθανώς μία διαφορετική μεθοδολογία για κάθε διαφορετική μορφή κίνησης που μπορεί να συναντηθεί. 1.2 Συνεισφορά της Διατριβής Όπως αναφέρθηκε, πολλές απαιτητικές δικτυακές εφαρμογές επιζητούν στοχαστικές εγγυήσεις QoS. Όσον αφορά τις εγγυήσεις που σχετίζονται με τις απώλειες των πακέτων δεδομένων, η ασυμπτωτική θεωρία που βασίζεται στις έννοιες του Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης και της Ισοδύναμης Χωρητικότητας αποδείχθηκε κατάλληλη για τον υπολογισμό μικρών πιθανοτήτων απωλειών σε συστήματα αναμονής με (σύνθετες) χρονικά μεταβαλλόμενες διεργασίες εισόδου και εξυπηρέτησης. Επίσης, η ασυμπτωτική θεωρία οδήγησε στη δημιουργία απλών μηχανισμών ελέγχου κίνησης για την επιβολή των σχετικών εγγυήσεων. Το γεγονός αυτό ώθησε στην περαιτέρω εφαρμογή της θεωρίας για τον υπολογισμό ή/ και την επιβολή χρονικών εγγυήσεων ποιότητας υπηρεσίας. Ωστόσο, μέχρι σήμερα αυτή η εφαρμογή σε συστήματα αναμονής με χρονικά μεταβαλλόμενο ρυθμό εξυπηρέτησης επικαλούνταν μόνο ευριστικά επιχειρήματα. Η παρούσα διατριβή καλύπτει αυτό το κενό, θεμελιώνοντας αυστηρά την εφαρμοσιμότητα της θεωρίας του Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης και της Ισοδύναμης Χωρητικότητας για τον ασυμπτωτικά ακριβή υπολογισμό (ή/και την επιβολή) της πιθανότητας η καθυστέρηση να υπερβεί ένα δοσμένο κατώφλι σε συστήματα αναμονής με μεταβαλλόμενο ρυθμό εξυπηρέτησης. Ειδικότερα, η διατριβή αποδεικνύει αυστηρά την ευρέως χρησιμοποιούμενη ευριστική σχέση μεταξύ των εκθετικών ρυθμών φθίσης των πιθανοτήτων υπέρβασης του περιεχομένου ενός ταμιευτήρα και των πιθανοτήτων υπέρβασης της καθυστέρησης σε αυτόν. Η μελέτη των συστημάτων αναμονής με χρονικά μεταβαλλόμενους εξυπηρετητές καθίσταται ολοένα και πιο σημαντική στις μέρες μας, λόγω της ευρείας εξάπλωσης της ασύρματης δικτύωσης. Ένα ασύρματο τερματικό μπορεί να θεωρηθεί ως ένας χρονικά μεταβαλλόμενος εξυπηρετητής δεδομένων, εξαιτίας των αυξομειώσεων του ρυθμού εξυπηρέτησης στο φυσικό επίπεδο ή στο επίπεδο πρόσβασης μέσου. Ακολουθώντας αυτήν τη συλλογιστική, η διατριβή εφαρμόζει τα γενικά αποτελέσματα της θεωρίας του Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης και της Ισοδύναμης Χωρητικότητας στο πρότυπο ασύρματης τοπικής δικτύωσης ΙΕΕΕ Προς αυτήν την κατεύθυνση, η διατριβή αποδεικνύει ότι ένα τερματικό ΙΕΕΕ μπορεί να μοντελοποιηθεί ως ένας Ημί-Μαρκοβιανός εξυπηρετητής δεδομένων του τύπου On/Off, με γνωστές κατανομές για τις περιόδους On και Off, και στη συνέχεια υπολογίζει τη συνάρτηση Ισοδύναμης Χωρητικότητας αυτού του εξυπηρετητή On/Off. Ο εξυπηρετητής βρίσκεται στην Κατάσταση On, έχοντας ρυθμό μετάδοσης Εμμανουήλ Ν. Καφετζάκης 5

24 Κεφ. 1: Εισαγωγή δεδομένων ίσο με την ονομαστική ταχύτητα του προτύπου, κατά τη διάρκεια της επιτυχούς μετάδοσης του ωφέλιμου φορτίου ενός πακέτου δεδομένων. Σε όλες τις άλλες καταστάσεις του πρωτοκόλλου πρόσβασης μέσου (δηλ., της οπισθοχώρησης του τερματικού, της σύγκρουσής του με άλλα τερματικά, του χρόνου για τη μετάδοση των πακέτων σηματοδοσίας πριν και μετά από μία επιτυχημένη μετάδοση πακέτου) ο εξυπηρετητής είναι στην Κατάσταση Off. Οι χρόνοι παραμονής στις δύο καταστάσεις περιγράφονται λεπτομερώς από τις αντίστοιχες ροπογεννήτριες. Τα παραχθέντα γενικά αποτελέσματα της θεωρίας Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης/Χωρητικότητας χρησιμοποιούνται για την εκτίμηση της πιθανότητας υπερχείλισης του ταμιευτήρα MAC ΙΕΕΕ , καθώς και της πιθανότητας η καθυστέρηση σε αυτόν να παραβιάσει ένα δοσμένο χρονικό όριο. Τα γενικά αποτελέσματα επιπλέον οδηγούν στη δημιουργία απλών πολιτικών ελέγχου κίνησης, προκειμένου να επιβληθούν οι σχετικές εγγυήσεις ποιότητας υπηρεσίας. Για την εύρεση της Ισοδύναμης Χωρητικότητας ενός τερματικού ΙΕΕΕ γίνεται η υπόθεση ότι, εκτός από το παρατηρούμενο τερματικό, όλα τα υπόλοιπα ανταγωνιστικά τερματικά έχουν πάντα ένα πακέτο δεδομένων προς μετάδοση (δηλ., θεωρούνται ως κορεσμένα). Αυτή είναι μία συντηρητική υπόθεση που οδηγεί σε πολύ ακριβή αποτελέσματα στην περίπτωση δικτύων με υψηλό φορτίο κίνησης. Μετέπειτα η υπόθεση κόρου αίρεται, ωστόσο η προτεινόμενη προσέγγιση παραμένει εφαρμόσιμη, εφόσον κάποιες απλές παράμετροι του μοντέλου για την εύρεση της Ισοδύναμης Χωρητικότητας ενός τερματικού ΙΕΕΕ μπορούν να μετρηθούν κατανεμημένα από το τερματικό (αντί να υπολογιστούν βάσει της υπόθεσης κόρου). Όλες οι σχετικές παράμετροι μπορούν να μετρηθούν αξιόπιστα σε σύντομο χρονικό διάστημα, αφού τα αντίστοιχα γεγονότα συμβαίνουν συχνά υπό όλα τα φορτία κίνησης. Η προσαρμογή του μοντέλου σε όλα τα φορτία κίνησης δεν απαιτεί καμία γνώση των χαρακτηριστικών της εισερχόμενης κίνησης. Τελειώνοντας, η διατριβή παρουσιάζει τη χρήση της συνάρτησης Ισοδύναμης Χωρητικότητας των τερματικών ΙΕΕΕ ως εργαλείου σχεδιασμού: Η μορφή της εν λόγω συνάρτησης υποδεικνύει συγκεκριμένες παραμέτρους των κατανομών οπισθοχώρησης, οι οποίες, εάν τροποποιηθούν καταλλήλως, οδηγούν σε μεγαλύτερες τιμές Ισοδύναμης Χωρητικότητας. Συνεπώς, σε καλύτερη επίδοση καθυστέρησης και σε καλύτερη επίδοση απωλειών πακέτων. Η ορθότητα της μοντελοποίησης του προτύπου ΙΕΕΕ επαληθεύτηκε από εκτεταμένες προσομοιώσεις. Χρησιμοποιήθηκαν ο (ανοικτού κώδικα) προσομοιωτής δικτύων ns-2 [31], αλλά και η κατανεμημένη πλατφόρμα προσομοίωσης UNITE [40]. Αρχικώς, με την έμμεση μέτρηση της Ισοδύναμης Χωρητικότητας ΙΕΕΕ επαληθεύτηκε η ορθότητα του μοντέλου. Στη συνέχεια, διαπιστώθηκε ότι το μοντέλο είναι σε θέση να προβλέψει με ακρίβεια τους εκθετικούς ρυθμούς φθίσης των πιθανοτήτων υπέρβασης για το περιεχόμενο του ταμιευτήρα MAC IEEE και των πιθανοτήτων υπέρβασης για την καθυστέρηση των πακέτων του. 6 Εμμανουήλ Ν. Καφετζάκης

25 1.3 Η Δομή της Διατριβής Συνοψίζοντας, οι κύριες συνεισφορές της διατριβής είναι: Η θεμελίωση της εφαρμοσιμότητας της θεωρίας του Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης και της Ισοδύναμης Χωρητικότητας για τον υπολογισμό ή/και την επιβολή χρονικών εγγυήσεων QoS. Η μοντελοποίηση ενός τερματικού ΙΕΕΕ ως Ημί-Μαρκοβιανού εξυπηρετητή δεδομένων του τύπου On/Off. Ο υπολογισμός της συνάρτηση Ισοδύναμης Χωρητικότητας ενός τερματικού ΙΕΕΕ Η δυνατότητα υπολογισμού ή/και επιβολής της πιθανότητας υπερχείλισης στον ταμιευτήρα MAC IEEE , καθώς και των πιθανοτήτων υπέρβασης για την καθυστέρηση σε αυτόν. Η χρήση της συνάρτησης Ισοδύναμης Χωρητικότητας ΙΕΕΕ ως εργαλείου σχεδιασμού αποτελεσματικότερων πρωτοκόλλων πρόσβασης μέσου. Στα πλαίσια της διατριβής προέκυψαν οι παρακάτω δημοσιεύσεις: E. Kafetzakis, K. Kontovasilis, and I. Stavrakakis, "A Novel Effective Capacity- Based Framework for Providing Statistical QoS Guarantees in IEEE WLANs," submitted for publication to Elsevier Computer Communications, E. Kafetzakis, K. Kontovasilis, and I. Stavrakakis,"Effective Capacity-based Stochastic Delay Guarantees for Systems with Time-Varying Servers, with an Application to IEEE WLANs," Elsevier Performance Evaluation (2011), doi: /j.peva E. Kafetzakis, K. Kontovasilis, and L. Sarakis, "A Distributed Simulator Coordination Platform and its Application for Integrating an IEEE Effective Capacity-based Admission Control Algorithm," Simutools09, March 3-5, Rome, Italy, Η Δομή της Διατριβής Το υπόλοιπο της διατριβής είναι δομημένο ως εξής: Στο Κεφάλαιο 2 συζητούνται αποτελέσματα από τη Large Deviations Theory για το supremum μίας στοχαστικής διεργασίας. Με τη χρήση της εξίσωσης του Lindley, αυτά τα αποτελέσματα οδηγούν στη "συνήθη" εφαρμογή της θεωρίας του Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης/Χωρητικότητας, δηλ., αυτής που σχετίζεται με τις πιθανότητες υπέρβασης για το περιεχόμενο ενός ταμιευτήρα. Το Κεφάλαιο 2 δεν αποτελεί απλώς μία ανασκόπηση προηγούμενων αποτελεσμάτων γενικεύει Εμμανουήλ Ν. Καφετζάκης 7

26 Κεφ. 1: Εισαγωγή καταλλήλως αυτά τα αποτελέσματα, ώστε να είναι χρήσιμα αργότερα για την εύρεση της κατανομής της καθυστέρησης. Επιπλέον, η σχετική θεωρία επεκτείνεται για τον υπολογισμό της Ισοδύναμης Χωρητικότητας των Ημί-Μαρκοβιανών εξυπηρετητών. Τα αποτελέσματα εξειδικεύονται περαιτέρω για την περίπτωση των εξυπηρετητών του τύπου On/Off. Το Κεφάλαιο 3 αρχικά θεμελιώνει ότι η καθυστέρηση που υφίσταται η αφικνούμενη κίνηση σε μία ουρά που εξυπηρετεί βάσει της σειράς άφιξης έχει την ίδια κατανομή με το supremum μίας άλλης στοχαστικής διεργασίας. Στη συνέχεια, εφαρμόζει τα αποτελέσματα του Κεφαλαίου 2, σε συνδυασμό με άλλα προϋπάρχοντα αποτελέσματα για αντίστροφες διεργασίες και σύνθεση διεργασιών, παρέχοντας μία αυστηρή δικαιολόγηση της εφαρμοσιμότητας της θεωρίας του Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης/Χωρητικότητας για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων υπέρβασης για την καθυστέρηση. Προκειμένου να γίνει κατανοητό το προτεινόμενο μοντέλο Ισοδύναμης Χωρητικότητας για ένα τερματικό ΙΕΕΕ , είναι αναγκαία η γνώση του υποστρώματος MAC. Στο Κεφάλαιο 4 παρουσιάζονται τα βασικά στοιχεία του προτύπου ΙΕΕΕ , δίνοντας έμφαση στο υπόστρωμα MAC. Στο Κεφάλαιο 5, περιέχεται μία από τις κύριες συνεισφορές της παρούσας διατριβής: η ανάπτυξη ενός Ημί-Μαρκοβιανού μοντέλου On/Off, κατάλληλου για τον υπολογισμό της Ισοδύναμη Χωρητικότητας του αλγορίθμου πρόσβασης ΙΕΕΕ Κατόπιν, συζητούνται υπολογιστικά και αλγοριθμικά θέματα σχετικά με την εφαρμογή της γενικής θεωρίας των Κεφαλαίων 2 3 για την ειδική συνάρτηση Ισοδύναμης Χωρητικότητας του μοντέλου On/Off. Υπολογίζονται οι πιθανότητες υπέρβασης και διατυπώνονται οι σχετικοί μηχανισμοί αποδοχής κίνησης. Το Κεφάλαιο 6 παρουσιάζει πώς η συνάρτηση Ισοδύναμης Χωρητικότητας των τερματικών ΙΕΕΕ μπορεί να χρησιμεύσει για τη στοχευμένη επιλογή των παραμέτρων των παραθύρων οπισθοχώρησης. Στο Κεφάλαιο 7 επαληθεύεται η συνάρτηση Ισοδύναμης Χωρητικότητας του επιπέδου MAC ΙΕΕΕ , συγκρίνοντας αναλυτικά με προσομοιωτικά αποτελέσματα. Τα προσομοιωτικά αποτελέσματα ελήφθησαν με τη βοήθεια του προσομοιωτή δικτύων ns-2 ή μέσω της κατανεμημένης πλατφόρμας προσομοίωσης δικτύων UNITE. Στο Κεφάλαιο 8 παρουσιάζονται τα συμπεράσματα αυτής της διατριβής. Τέλος, στα Παραρτήματα I IV περιέχονται οι αποδείξεις διάφορων θεωρημάτων. 8 Εμμανουήλ Ν. Καφετζάκης

27 2 Θεωρία Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης & Ισοδύναμης Χωρητικότητας Σε αυτό το κεφάλαιο συζητείται η "συνήθης" εφαρμογή της θεωρίας του Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης/Χωρητικότητας, δηλ., αυτή που σχετίζεται με τις πιθανότητες υπέρβασης για το περιεχόμενο ενός ταμιευτήρα. Η Ενότητα 2.1 εξηγεί την ονομασία της Θεωρίας του Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης/Χωρητικότητας και τονίζει τη σπουδαιότητα της, ενώ στην Ενότητα 2.2 παρουσιάζονται αποτελέσματα από τη Large Deviations Theory για το supremum μίας στοχαστικής διεργασίας. Με τη χρήση της εξίσωσης του Lindley, αυτά τα αποτελέσματα οδηγούν στη "συνήθη" εφαρμογή της θεωρίας του Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης/Χωρητικότητας. Δεν ανασκοπούνται απλώς γνωστά αποτελέσματα αυτά γενικεύονται καταλλήλως, ώστε να είναι χρήσιμα αργότερα για την εύρεση της κατανομής της καθυστέρησης. Στην Ενότητα 2.3 εφαρμόζεται η σχετική θεωρία για την εκτίμηση/επιβολή της πιθανότητας υπέρβασης ενός κατωφλίου για το περιεχόμενο ενός ταμιευτήρα. Τέλος, η Ενότητα 2.4 επεκτείνει τη θεωρία παρέχοντας ένα τρόπο υπολογισμού της Ισοδύναμης Χωρητικότητας των Ημί-Μαρκοβιανών εξυπηρετητών. Τα αποτελέσματα εξειδικεύονται περαιτέρω για την περίπτωση των εξυπηρετητών τύπου On/Off. 2.1 Εισαγωγή Βασική προϋπόθεση για την εξάπλωση πολλών απαιτητικών δικτυακών εφαρμογών είναι η υποστήριξη των απαιτήσεών τους για ποιότητα υπηρεσίας. Όταν οι απαιτήσεις QoS αφορούν αυστηρά άνω φράγματα για τις πιθανότητες υπέρβασης ενός μεγέθους, η Large Deviations Theory αποτελεί ιδανική επιλογή για την παροχή των σχετικών εγγυήσεων. Αυτή η θεωρία ακολουθήθηκε για την παροχή εγγυήσεων QoS που σχετίζονται με το ενδεχόμενο υπερχείλισης ενός ταμιευτήρα και τελικώς οδήγησε στη Θεωρία του Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης και της Ισοδύναμης Χωρητικότητας. Η συγκεκριμένη θεωρία παρέχει μία (ασυμπτωτική) διασύνδεση των χαρακτηριστικών της πηγής, των πόρων του συστήματος Εμμανουήλ Ν. Καφετζάκης 9

28 Κεφ. 2: Θεωρία Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης & Ισοδύναμης Χωρητικότητας (δηλ., της χωρητικότητας του εξυπηρετητή και του μεγέθους του ταμιευτήρα) και των απαιτήσεων QoS. Ένας μεγάλος αριθμός εργασιών συνετέλεσε στην ανάπτυξη της θεωρίας (βλ., π.χ., την [24] για μία επισκόπηση), η οποία εφαρμόστηκε για πρώτη φορά στα ενσύρματα δίκτυα Ασύγχρονου Τρόπου Μετάδοσης (Asynchronous Transfer Mode - ATM). Η θεωρία του Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης περικλείει τις λεπτομέρειες της κίνησης από μία χρονικά μεταβαλλόμενη πηγή σε μία μόνο συνάρτηση, τη συνάρτηση Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να εκφραστεί η ελάχιστη χωρητικότητα του εξυπηρετητή που είναι απαραίτητη για να ικανοποιηθεί μία συγκεκριμένη απαίτηση QoS (σχετιζόμενη με πιθανότητες υπέρβασης). Η θεωρία αναπτύχθηκε αρχικώς για συστήματα αναμονής με σταθερό ρυθμό εξυπηρέτησης. Για την περίπτωση που ο ρυθμός εξυπηρέτησης είναι χρονικά μεταβαλλόμενος, ανεξαρτήτως από τα δεδομένα εισόδου, η θεωρία γενικεύτηκε ορίζοντας τη συνάρτηση Ισοδύναμης Χωρητικότητας, η οποία είναι ικανή να αιχμαλωτίσει την εκρηκτικότητα (burstiness) του εξυπηρετητή. Μολονότι αυτή η γενίκευση προτάθηκε πριν αρκετά χρόνια (βλ., π.χ., [10, 11, 47]), δεν έτυχε μεγάλης προσοχής μέχρι πρόσφατα (βλ., π.χ., [2, 43, 48, 51]) που η σπουδαιότητα της ασύρματης επικοινωνίας αυξήθηκε σημαντικά. Αυτό οφείλεται στο ότι η πλειονότητα αυτών των συστημάτων χαρακτηρίζεται από μεταβλητό ρυθμό εξυπηρέτησης, συνεπώς η έννοια της Ισοδύναμης Χωρητικότητας είναι κατάλληλη για τη μοντελοποίηση αυτών των συστημάτων. 2.2 Ασυμπτωτική Πιθανότητα Υπέρβασης για το Supremum μίας Στοχαστικής Διεργασίας Θεωρούμε μία στοχαστική διεργασία Y (t), t T. Το πεδίο του χρόνου μπορεί να είναι είτε διακριτό (T = Z o +), είτε συνεχές (T = R o +). Ενδιαφερόμαστε για τις ασυμπτωτικές πιθανότητες υπέρβασης της Σε μία τυπική εφαρμογή, Q = sup Y (t). (2.1) t T Y (t) = V (t) C(t), (2.2) όπου V (t) είναι ο όγκος των δεδομένων που τροφοδοτούν ένα σύστημα ταμιευτήρα-εξυπηρετητή στο χρονικό διάστημα ( t, 0] και C(t) είναι ο όγκος των δεδομένων που δύναται να εξυπηρετηθεί στο ίδιο διάστημα. Τότε, από την εξίσωση του Lindley, η διεργασία Q είναι το περιεχόμενο του ταμιευτήρα στο χρόνο μηδέν, εφόσον το σύστημα αναμονής έχει ξεκινήσει τη λειτουργία του άδειο άπειρο χρόνο νωρίτερα. Εάν η Y (t) έχει στατικές (Stationary) αυξήσεις, η Q είναι επίσης στατική. Ανεξάρτητα από τη στατικότητα, η Q στη (2.1) είναι πάντα το στοχαστικό άνω φράγμα του περιεχομένου του ταμιευτήρα σε οποιοδήποτε πεπερασμένο χρόνο μετά την έναρξη της λειτουργίας του συστήματος από άδεια κατάσταση. 10 Εμμανουήλ Ν. Καφετζάκης

29 2.2 Ασυμπτωτική Πιθανότητα Υπέρβασης για το Supremum μίας Στοχαστικής Διεργασίας Στο Κεφάλαιο 3, θα ασχοληθούμε με την κατασκευή μίας στοχαστικής διεργασίας τέτοιας ώστε το supremum της (2.1) να έχει την ίδια κατανομή με την καθυστέρηση που υφίσταται η αφικνούμενη κίνηση σε μία ουρά που εξυπηρετεί βάσει της σειράς άφιξης (First Come First Served - FCFS). Στην παρούσα διατριβή, θα χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη υπόθεση σχετικά με τις ιδιότητες της λογαριθμικής ροπογεννήτριας της Y (t), ασυμπτωτικά καθώς t : Υπόθεση ) Το όριο u Y (θ) lim t t 1 log E [ e θy (t)] (2.3) υπάρχει με την επεκτεταμένη έννοια για όλα τα θ R. Έστω D Y {θ R u Y (θ) < + } το ουσιώδες πεδίο (Effective Domain) της u Y ( ) και συμβολίζουμε το εσωτερικό του με D o Y. 2) Το D o Y είναι μη κενό και περιέχει το μηδέν. 3) Η u Y ( ) είναι Λεία (Essentially Smooth) συνάρτηση, δηλ. παραγωγίσιμη σε όλο το D o Y και Απότομη (Steep) (δηλ., το lim n u Y (θ n) = για κάθε ακολουθία θ n που παίρνει τιμές στο D o Y και συγκλίνει σε κάποιο συνοριακό σημείο του Do Y ). Αφού η κυρτότητα της λογαριθμικής ροπογεννήτριας log E [ e θy (t)] διατηρείται από το όριο, η u Y ( ) στη (2.3) είναι αυτομάτως κυρτή με u Y (0) = 0. Τα Στοιχεία 1 και 2 της Υπόθεσης εγγυώνται (βλ., π.χ., Λήμμα στο [13]) ότι u Y (θ) > παντού, οπότε το ουσιώδες πεδίο D Y είναι ακριβώς το σύνολο όπου η u Y ( ) είναι πεπερασμένη. Επιπλέον, από την κυρτότητα, το D Y είναι πάντα ένα διάστημα, δηλ., υπάρχουν θy l < 0 < θu Y (αφού 0 DY o ) τέτοια ώστε Do Y = (θl Y, θu Y ). Κάθε συνοριακό σημείο μπορεί να είναι πεπερασμένο ή άπειρο. Εάν ένα συνοριακό σημείο είναι πεπερασμένο ανήκει στο σύνορο του DY o (η απότομη ιδιότητα του Στοιχείου 3 της Υπόθεσης εφαρμόζεται σε αυτό), αλλά μπορεί να ανήκει ή να μην ανήκει στο D Y. Η κυρτότητα επιπλέον υποδηλώνει ότι η u Y ( ) είναι συνεχής στο D o Y και άνω ημισυνεχής (Semicontinuous) στα θu Y και θl Y (δηλ., lim sup θ θ u Y u Y (θ) u Y (θ u Y ) και παρομοίως για θ θl Y ). Συνήθως, η Υπόθεση επαυξάνεται ώστε να συμπεριλαμβάνει την επιπλέον απαίτηση η u Y ( ) να είναι κάτω ημισυνεχής 1. Στην περίπτωση αυτή, όταν το άνω συνοριακό σημείο θ u Y (κάτω συνοριακό σημείο θl Y ) είναι πεπερασμένο, η u Y ( ) είναι αριστερά- (δεξιά-) συνεχής σε αυτό. Η Υπόθεση μαζί με την επιπλέον συνθήκη κάτω ημισυνέχειας, διασφαλίζει την εφαρμοσιμότητα του Θεωρήματος Gärtner-Ellis (βλ., π.χ., Στοιχείο c του Θεωρήματος στο [13]) για την Y (t)/t. Όμως, στην παρούσα διατριβή δεν απαιτούμε η u Y ( ) να είναι κάτω ημισυνεχής ο κύριος λόγος είναι ότι η στοχαστική διεργασία που 1 Από την κυρτότητα, η ιδιότητα αυτή αυτομάτως εξασφαλίζεται στο DY o, αλλά όχι αναγκαστικά στο σύνορο του DY o. Εμμανουήλ Ν. Καφετζάκης 11

30 Κεφ. 2: Θεωρία Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης & Ισοδύναμης Χωρητικότητας σχετίζεται την καθυστέρηση σε ένα σύστημα ταμιευτήρα-εξυπηρετητή FCFS δεν ικανοποιεί πάντα την απαίτηση ημισυνέχειας, ακόμα και όταν οι διεργασίες της εισερχόμενης κίνησης και της κίνησης που δύναται να εξυπηρετηθεί την ικανοποιούν. Χωρίς την υπόθεση ημισυνέχειας, το κάτω φράγμα του Θεωρήματος Gärtner-Ellis δεν ισχύει πλέον στη συνηθισμένη του μορφή. Αντ' αυτού, ένα χαλαρότερο φράγμα ισχύει, (βλ., π.χ., Στοιχείο b του Θεωρήματος στο [13]), που κάνει χρήση της έννοιας των εκτεθειμένων σημείων του u Y ( ), του μετασχηματισμού Fenchel-Legendre της u Y ( ). Θα γίνει φανερό στη συνέχεια ότι αυτή η χαλαρότερη μορφή αρκεί για να θεμελιώσει τα αποτελέσματα που μας ενδιαφέρουν. Σημειώνουμε ότι η Υπόθεση έχει μία επιπλέον συνέπεια: Από την ανισότητα Jensen t 1 log E [ e θy (t)] θe [Y (t)]/t, οπότε u Y (θ)/θ lim sup t E [Y (t)]/t για κάθε θ > 0. Αφού η u Y (0) υπάρχει, λαμβάνοντας το όριο θ 0 προκύπτει u Y (0) lim sup t (E [Y (t)]/t). Αυτό το αποτέλεσμα, συνδυαζόμενο με απολύτως ανάλογα επιχειρήματα που αφορούν το lim inf t (E [Y (t)] /t) για θ < 0, αποδεικνύει ότι το lim t (E [Y (t)] /t) υπάρχει και ότι u Y (0) = lim t E [Y (t)] t r Y. (2.4) Εάν η Y ( ) έχει στατικές (ή με την ευρεία έννοια στατικές) αυξήσεις τότε το r Y είναι απλώς η μέση αύξηση στη μονάδα του χρόνου. Λαμβάνοντας υπ' όψιν τη (2.4), ορίζουμε τη συνάρτηση "ρυθμού" a Y ( ) σχετιζόμενη με την u Y ( ) όπως ακολουθεί: u Y (θ)/θ, θ D Y {0}, a Y (θ) r Y, θ = 0. (2.5) Αφού η u Y ( ) είναι κυρτή με u Y (0) = 0, μπορεί να αποδειχτεί (βλ., π.χ., Λήμμα 2.1 στην [26]) ότι η a Y ( ) είναι αύξουσα στο D Y και συνεχής στο D o Y. Θεωρούμε θ Y sup{θ R u Y (θ) 0}. (2.6) Αφού u Y (0) = 0, πάντα ισχύει θ Y 0. Το ακόλουθο λήμμα συνοψίζει σχετικά στοιχεία: Λήμμα ) u Y (θ) > 0 για όλα τα θ > θy (u Y (θ) = + εάν θ D Y ). 2) Εάν θy > 0, τότε u Y (θ) 0 για όλα τα 0 < θ < θy. 3) Εάν θy Do Y τότε: 12 Εμμανουήλ Ν. Καφετζάκης

31 2.2 Ασυμπτωτική Πιθανότητα Υπέρβασης για το Supremum μίας Στοχαστικής Διεργασίας 1) το θ Y είναι ρίζα της u Y ( ), δηλ., u Y (θ Y ) = 0 και u Y (θ) > 0 για όλα τα θ Do Y τέτοια ώστε θ > θ Y. 2) Επιπλέον, εάν υπάρχει θ o > 0 τέτοιο ώστε u Y (θ o ) < 0, τότε το θ Y θετική ρίζα της u Y ( ) και u Y (θ Y ) > 0. είναι η μοναδική 4) Εάν r Y < 0 τότε υπάρχει θ o > 0 τέτοιο ώστε u Y (θ o ) < 0, οπότε θ Y > 0. Συνεπώς, θ Y = 0 υποδηλώνει r Y 0. Το Λήμμα είναι απλή συνέπεια της κυρτότητας της u Y ( ) και της Υπόθεσης Ολόκληρη η απόδειξη βρίσκεται στο Παράρτημα I. Η ποσότητα θy συνδέεται άμεσα με τις πιθανότητες υπέρβασης της Q στη (2.1). Όντως, υπό κατάλληλες συνθήκες, lim b b 1 log Pr{Q > b} = θy. Σημαντικά αποτελέσματα που σχετίζονται με αυτήν την ασυμπτωτική έκφραση εμφανίζονται στις [10,14,17]. Το αποτέλεσμα της [10] ισχύει για διεργασίες διακριτού χρόνου (T = Z o +) και απαιτεί ένα σύνολο υποθέσεων πιο περιοριστικών από αυτών της Υπόθεσης (ειδικότερα, D Y = R και E [ e θy (t)] να ικανοποιεί επιπλέον συνθήκες φραγής, για όλα τα t T). Η εργασία [17] είναι πιο γενική, αλλά ωστόσο αντιμετωπίζει κυρίως την περίπτωση διακριτού χρόνου. Επίσης απαιτεί θy Do Y (αντιμετωπίζει κυρίως την περίπτωση που καλύπτεται από το Στοιχείο 3.2 του Λήμματος 2.2.1). Το αποτέλεσμα της [14] είναι το πιο γενικευμένο: Θεωρεί ασυμπτωτικές λογαριθμικές ροπογεννήτριες της μορφής lim t vt 1 log E [ ] e θv ty (t)/a t, που γενικεύουν τη γραμμική αλλαγή κλίμακας v t = a t = t με την οποία καταπιάνονται οι [10, 17] και επίσης χρησιμοποιείται εδώ, και επιπλέον παρέχει αποτελέσματα για τις διεργασίες συνεχούς χρόνου (T = R o +) μέσω επιπλέον τοπικών υποθέσεων κανονικότητας για αυτές τις διεργασίες. Εντούτοις, τα αποτελέσματα της [14] είναι εκπεφρασμένα ως ξεχωριστά άνω και κάτω φράγματα για τις πιθανότητες υπέρβασης και δεν αποδεικνύεται ότι αυτά τα όρια είναι πάντα ίσα. Επιπλέον, όλα τα αναφερθέντα αποτελέσματα των [10,14,17] απαιτούν η u Y ( ) να είναι κάτω ημισυνεχής (το αποτέλεσμα της [10] κεκαλυμμένα, ζητώντας D Y = R). Για να αντιμετωπιστούν αυτοί οι περιορισμοί, παρέχεται μία γενίκευση των Θεωρημάτων 2.1 και 2.2 της [14] για την ειδική περίπτωση v t = a t = t. Θεώρημα Έστω ότι η Υπόθεση ισχύει. Για το Στοιχείο 2 του θεωρήματος μόνο, εάν T = R o + επιπλέον υποτίθεται ότι, είτε η Υπόθεση 2.3 της [14] ισχύει, είτε η Y ( ) είναι η διαφορά δύο ανεξάρτητων διεργασιών, που η κάθε μία έχει μη αρνητικές αυξήσεις και μία ασυμπτωτική λογαριθμική ροπογεννήτρια όπως αυτή ορίζεται στη (2.3). Έστω θ Y στη (2.6). Τότε, με Q όπως στη (2.1), όπως 1) lim inf b b 1 log Pr{Q > b} θ Y. Οπότε, εάν θ Y = 0 τότε lim b log Pr{Q > b} = 0. 2) Εάν υπάρχει θ o > 0 τέτοιο ώστε u Y (θ o ) < 0 (σε αυτή την περίπτωση αναγκαστικώς θ Y > 0) τότε lim b b 1 log Pr{Q > b} = θ Y. Εμμανουήλ Ν. Καφετζάκης 13

32 Κεφ. 2: Θεωρία Ισοδύναμου Εύρους Ζώνης & Ισοδύναμης Χωρητικότητας Η απόδειξη, που βρίσκεται στο Παράρτημα II, κάνει χρήση των Θεωρημάτων 2.1 και 2.2 της [14] (το πρώτο από αυτά τροποποιημένο ώστε να αντανακλά το χαλαρότερο κάτω όριο Gärtner-Ellis) και του Λήμματος Η μέθοδος της απόδειξης καθιστά ξεκάθαρο ότι η απαίτηση για απότομη συνάρτηση στο Στοιχείο 3 της Υπόθεσης είναι απαραίτητη μόνο όταν θy Do Y. Εάν θ Y Do Y, τα αποτελέσματα του Θεωρήματος ισχύουν επίσης όταν η u Y ( ) είναι παραγωγίσιμη αλλά όχι απότομη. Το Στοιχείο 2 του Θεωρήματος μπορεί να εκληφθεί ως μία απόδειξη ότι το κάτω και το άνω φράγμα των Θεωρημάτων 2.1 και 2.2 της [14], όπως εξειδικεύονται για τη γραμμική αλλαγή κλίμακας, πάντα συμπίπτουν. Όσον αφορά τις επιπλέον συνθήκες που απαιτούνται για τις διεργασίες συνεχούς χρόνου, ας σημειωθεί ότι ικανή (αλλά όχι αναγκαία) συνθήκη για να ικανοποιείται η Υπόθεση 2.3 της [14] είναι οι αυξήσεις της Y ( ) να είναι φραγμένες. Η εναλλακτική συνθήκη του Θεωρήματος ικανοποιείται αυτόματα στις πραγματικές ουρές, όπου η Y ( ) είναι η διαφορά του συνόλου των δεδομένων που τροφοδοτούν το σύστημα μείον το ποσό των δεδομένων που δύνανται να εξυπηρετηθούν. Αυτές οι δύο διεργασίες είναι μη αρνητικές ποσότητες. Το Στοιχείο 4 του Λήμματος εξασφαλίζει ότι όταν r Y < 0 (δηλ., όταν το σύστημα είναι ευσταθές), το Στοιχείο 2 του Θεωρήματος εφαρμόζεται, οπότε το όριο μπορεί να υπολογιστεί. Το επόμενο πόρισμα αποδεικνύει ότι όταν η συνάρτηση ρυθμού a Y ( ) είναι γνησίως αύξουσα, τότε η ύπαρξη του ορίου είναι πάντα εξασφαλισμένη: Πόρισμα Εάν οι υποθέσεις στην αρχή του Θεωρήματος ικανοποιούνται και επιπλέον η a Y ( ) στη (2.5) είναι γνησίως αύξουσα, τότε πάντα lim b b 1 log Pr{Q > b} = θ Y. Απόδειξη. Εάν a Y (0) < 0, τότε από τη συνέχεια a Y (θ) < 0 για όλα τα θ > 0 αρκετά κοντά στο μηδέν, οπότε u Y (θ) = θa Y (θ) < 0 και το Στοιχείο 2 του Θεωρήματος μπορεί να εφαρμοστεί. Εάν a Y (0) 0, από την αυστηρή μονοτονία a Y (θ) > 0, θ > 0, οπότε το Στοιχείο 1 του θεωρήματος εφαρμόζεται με θ Y = 0. Δοσμένης μίας στοχαστικής διεργασίας Y (t), t T, το Θεώρημα καθορίζει τον ασυμπτωτικό ρυθμό φθίσης των πιθανοτήτων υπέρβασης της Q. Όμως, πολλές πρακτικές εφαρμογές της θεωρίας αναμονής επιζητούν τον "αντίστροφο" στόχο ο ρυθμός φθίσης να είναι κάτω φραγμένος 2 από κάποιο κατώφλι που καθορίζεται από τις απαιτήσεις QoS. Το Πόρισμα συνδέει εγγυήσεις ποιότητας υπηρεσίας με σχετικές συνθήκες εκπεφρασμένες σε όρους της ασυμπτωτικής λογαριθμικής ροπογεννήτριας u Y ( ). Όπως θα δούμε αργότερα σε αυτό το κεφάλαιο, αυτές οι συνθήκες βασικά θέτουν ένα όριο στον όγκο της κίνησης που εισέρχεται στην ουρά, οπότε δρουν ως έλεγχοι αποδοχής κίνησης. Πόρισμα Έστω ότι οι υποθέσεις στην αρχή του Θεωρήματος ισχύουν. Τότε, για κάθε θ > 0: 2 Οι ρυθμοί φθίσης ορίζονται ως θετικές ποσότητες στο Θεώρημα και στο Πόρισμα ο ρυθμός φθίσης είναι θ Y, και όχι θ Y. 14 Εμμανουήλ Ν. Καφετζάκης

33 2.2 Ασυμπτωτική Πιθανότητα Υπέρβασης για το Supremum μίας Στοχαστικής Διεργασίας 1) Εάν u Y (θ) < 0, lim b b 1 log Pr{Q > b} θ. 2) Εάν lim sup b b 1 log Pr{Q > b} < θ, u Y (θ) 0. 3) Επιπλέον, εάν η a Y ( ) είναι γνησίως αύξουσα και sup D Y θ u Y = +, τότε u Y (θ) 0 lim b b 1 log Pr{Q > b} θ και ισότητα στο ένα σκέλος της ισοδυναμίας υποδηλώνει επίσης ισότητα στο άλλο σκέλος. Απόδειξη. Όσον αφορά το Στοιχείο 1, η συνθήκη u Y (θ) < 0 και η (2.6) οδηγεί στην θ θ Y = lim b b 1 log Pr{Q > b}, όπου η τελευταία ισότητα παρέχεται από το Στοιχείο 2 του Θεωρήματος Για το Στοιχείο 2 του πορίσματος, συνδυάζουμε τη συνθήκη με το Στοιχείο 1 του Θεωρήματος για να λάβουμε θy lim inf b b 1 log Pr{Q > b} lim sup b b 1 log Pr{Q > b} < θ. Οπότε, θ < θy και u Y (θ) 0 από το Στοιχείο 2 του Λήμματος Όσον αφορά το Στοιχείο 3, η αυστηρή μονοτονία της a Y ( ) και το Πόρισμα εγγυώνται την ύπαρξη του ορίου στο δεξί σκέλος της ισοδυναμίας. Η κατεύθυνση από το αριστερό στο δεξί σκέλος ακολουθεί τα επιχειρήματα που χρησιμοποιήθηκαν για την απόδειξη του Στοιχείου 1. Επιπλέον, ισότητα στο αριστερό σκέλος για κάποιο θ > 0 και η αυστηρή μονοτονία της a Y ( ) υποδηλώνουν ότι θ = θy και η ισότητα στο δεξί σκέλος ισχύει επίσης. Για το αντίστροφο, υποθέτουμε ότι το δεξί σκέλος της ισοδυναμίας ισχύει τότε, το Πόρισμα οδηγεί στη θ θy. Εάν θ Y = + και τα δύο σκέλη της ισοδυναμίας ισχύουν με αυστηρή ανισότητα (το αριστερό σκέλος λόγω της αυστηρής μονοτονίας της a Y ( )). Ειδάλλως, θ Y Do Y (λόγω της υπόθεσης sup D Y = + ), και αυτό το γεγονός, σε συνδυασμό με την αυστηρή μονοτονία της a Y ( ) καθιστά το Στοιχείο 3.2 του Λήμματος εφαρμόσιμο. Συνεπώς, η θ < θy (αντ. θ = θ Y ) οδηγεί στο να ισχύουν και τα δύο σκέλη της ισοδυναμίας με αυστηρή ανισότητα (αντ. ισότητα). Το Στοιχείο 1 του Πορίσματος δηλώνει ότι η συνθήκη u Y (θ) < 0 είναι ικανή για να εξασφαλίσει ότι ασυμπτωτικά o εκθετικός ρυθμός φθίσης των πιθανοτήτων υπέρβασης της Q είναι κάτω φραγμένος από θ. Το Στοιχείο 2 είναι το μερικώς αντίστροφο, δείχνοντας ότι η ελαφρώς πιο γενική συνθήκη u Y (θ) 0 είναι αναγκαία για να ισχύει ένα τέτοιο φράγμα. Σύμφωνα με το Στοιχείο 3, η αυστηρή μονοτονία της συνάρτησης ρυθμού επιτρέπει την πλήρη ισοδυναμία. Η απαίτηση για sup D Y θy u = + σε αυτό το τελευταίο στοιχείο είναι μία τεχνική συνθήκη για να αποκλείσει τις περιπτώσεις για τις οποίες θy = θu Y < + και u Y (θy ) 0. (Σ' αυτές τις περιπτώσεις η ισοδυναμία παύει να ισχύει για θ = θy, αλλά εξακολουθεί να ισχύει για θ < θ Y.) Όπως φανερώνεται στην απόδειξη, η τεχνική συνθήκη απαιτείται μόνο για τα επιχειρήματα από το δεξί στο αριστερό σκέλος της ισοδυναμίας. Σημειώνεται ότι τα δύο πρώτα στοιχεία του Πορίσματος μπορούν να θεωρηθούν ως γενικεύσεις του Θεωρήματος 3.8 και του μέρους (i) του Θεωρήματος 3.9 της [10] σε ένα ευρύτερο πλαίσιο. Εμμανουήλ Ν. Καφετζάκης 15