10 ιαγωνιοποίηση Σελίδα 1 από 62. Κεφάλαιο 10 1 ιαγωνιοποίηση

Transcript

1 ιαγωνιοποίηση Σελίδα από 6 Κεφάλαιο ιαγωνιοποίηση Κεφάλαιο... ιαγωνιοποίηση.... ιαγωνιοποίηση.... Εφαρµογές της διαγωνιοποίησης πινάκων υνάµεις πινάκων Εξισώσεις διαφορών ιαφορικές εξισώσεις Επίλυση της εξίσωσης X =..... ιαγωνιοποίηση ειδικής κατηγορίας πινάκων Πραγµατικοί συµµετρικοί πίνακες (Real symmetric matrices) Ερµητιανοί πίνακες (Hermitia matrices) Ορθογώνιοι πίνακες (orthogoal matrices) Ερµητιανά Ορθογώνιοι Πίνακες (uitary matrices)...45 Ασκήσεις Κεφαλαίου...5 Λύσεις Ασκήσεων Κεφαλαίου...54 Έστω η γραµµική απεικόνιση f : (, ) = ( 4 5, ) f xy x y x y Είναι γνωστό από το κεφάλαιο 8.4 ότι ο πίνακας της παραπάνω γραµµικής, είναι ο { } απεικόνισης, ως προς την συνήθη βάση 4 5 =, τότε ο πίνακας της { } ενώ αντίθετα αν επιλέξουµε ως βάση την γραµµικής απεικόνισης θα είναι ο εξής : = Μάλιστα οι πίνακες, όπως δείξαµε στο κεφάλαιο 8.5 είναι όµοιοι, δηλαδή συνδέονται µέσω ενός αντιστρέψιµου πίνακα 4 5 = Παρατηρούµε δηλαδή ότι ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης εξαρτάται πάντα από την βάση την οποία επιλέγουµε. Μάλιστα όλοι οι πίνακες που αναπαριστούν µια γραµµική απεικόνιση f : X X µέσω διαφορετικής βάσης συνδέονται µεταξύ τους µε τον µετασχηµατισµό οµοιότητας που δείξαµε παραπάνω. Ένα από τα βασικά προβλήµατα της Γραµµικής Άλγεβρας που προκύπτει από το παραπάνω παράδειγµα είναι το εξής : «Έστω ότι έχουµε την γραµµική απεικόνιση Συγγραφέας : Ν. Καραµπετάκης

2 ιαγωνιοποίηση Σελίδα από 6 f : X X. Είναι δυνατό να υπολογίσουµε µια βάση του χώρου X ώστε ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης να είναι διαγώνιος;» Το πρόβληµα όπως αρχικά φάνηκε µε το παράδειγµα ανάγεται στην εύρεση ενός αντιστρέψιµου πίνακα Τ τέτοιου ώστε ο πίνακας να είναι διαγώνιος, όπου ο πίνακας Α είναι ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης ως προς την συνήθη βάση του χώρου X. Η απάντηση στο παραπάνω πρόβληµα όπως θα δούµε παρακάτω δεν είναι πάντα καταφατική. Στόχος λοιπόν του κεφαλαίου αυτού είναι να διατυπώσει πότε η λύση του παραπάνω προβλήµατος είναι εφικτή ή ισοδύναµα πότε µε µετασχηµατισµούς οµοιότητας µπορώ να διαγωνιοποιήσω έναν πίνακα Α. Επιπλέον µελετούµε ειδικές περιπτώσεις πινάκων όπως οι συµµετρικοί και ερµητιανοί πίνακες καθώς και οι ορθογώνιοι πίνακες. Πριν προχωρήσετε στην ανάγνωση του κεφαλαίου αυτού είναι χρήσιµο να κάνετε µια επανάληψη στις ενότητες , ώστε να θυµηθείτε : α) τον τρόπο µε τον οποίο υπολογίζω τον πίνακα µιας γραµµικής απεικόνισης, β) πως ορίζονται δύο πίνακες ως όµοιοι, και γ) την σχέση των όµοιων πινάκων µε την αλλαγή βάσης µιας γραµµικής απεικόνισης.

3 . ιαγωνιοποίηση Πίνακα Σελίδα από 6 Έστω η γραµµική απεικόνιση. ιαγωνιοποίηση f : x 4x 5x f = x x x Είναι γνωστό από το κεφάλαιο 8.4 ότι ο πίνακας της παραπάνω γραµµικής { } απεικόνισης, ως προς την συνήθη βάση E =, είναι ο 4 5 = γιατί f = = = f = = = (-5) + (-) Ας υποθέσουµε τώρα ότι έχουµε µια δεύτερη βάση του, έστω θέλουµε ο πίνακας ως προς την βάση αυτή να είναι διαγώνιος δηλ. λ = λ Θα πρέπει λοιπόν να ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις : f v = λ v + v f v = v + λ v E { v, v } = και ή ισοδύναµα θα πρέπει τα διανύσµατα v, v να είναι ιδιοδιανύσµατα του πίνακα που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές λ λ. Είναι γνωστό από το κεφάλαιο 9. ότι στον πίνακα, αντιστοιχούν οι παρακάτω ιδιοτιµές και ιδιοδιανύσµατα: 5 λ = V =, λ = V = Αν λοιπόν επιλέξω ως βάση του την E = ( 5 ),( ), { }.5 y x τότε θα έχουµε ως πίνακα της γραµµικής απεικόνισης πίνακα: = f τον παρακάτω διαγώνιο

4 . ιαγωνιοποίηση Πίνακα Σελίδα 4 από 6 Είναι σηµαντικό επίσης να δούµε µε ποιον τρόπο συνδέονται οι δύο βάσεις E, E του. Παρατηρούµε ότι κάθε διάνυσµα µε συντεταγµένες ab ως προς την βάση E { v, v } = θα γράφεται ως, E v 5 5 a v = a+ b= v = Pv b E P E E όπου v συµβολίζω τις συντεταγµένες του διανύσµατος v ως προς την συνήθη βάση E E. Αν πολλαπλασιάσουµε µε σχέση : P την παραπάνω σχέση από αριστερά θα έχουµε την v = P v E E Το παρακάτω διάγραµµα µας δείχνει τις σχέσεις µεταξύ των βάσεων του χώρου καθώς και τις γραµµικές απεικονίσεις ως προς τις διαφορετικές βάσεις. v E f v v : E E () ( E ) f v E v Pv E E () (4) v P v E E v E () f v v : E E ( E ) f v E ιάγραµµα.. Αλλαγή βάσης στην γραµµική απεικόνιση f. Από το παραπάνω διάγραµµα καταλήγουµε στα εξής δύο συµπεράσµατα : α) Από την σχέση () στο παραπάνω διάγραµµα έχουµε f v = v ( E ) E E β) Από τις σχέσεις () και () στο παραπάνω διάγραµµα έχουµε : () ve = Pv E f ( ve ) = P v E () f v E E = v E E το οποίο σε συνδυασµό µε την σχέση (4) του παραπάνω διαγράµµατος µας δίνει : f ( ve ) = Pv E E f ( ve ) = P P v E E ( 4 ) f ( ve ) = P f ( v ) E E E

5 . ιαγωνιοποίηση Πίνακα Σελίδα 5 από 6 Συνεπώς από (α) και (β), θα πρέπει να ισχύει : f v = v = P P v = P P E E E E ηλαδή οι πίνακες, είναι όµοιοι και ο πίνακας οµοιότητας είναι ο P που δηµιουργείται από τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα περιµέναµε από την θεωρία του κεφαλαίου 8.5., κάτι που ουσιαστικά Το παραπάνω παράδειγµα αποτελεί ειδική περίπτωση του παρακάτω θεωρήµατος. Θεώρηµα.. Έστω µια γραµµική απεικόνιση f : X X πεπερασµένης διάστασης πάνω στο F ( ή ) όπου X ένας διανυσµατικός χώρος. Ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης f διαγωνιοποιείται, δηλαδή η f µπορεί να παρασταθεί από έναν διαγώνιο πίνακα, αν και µόνο αν υπάρχει µια βάση του X, η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα του f. Τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου του πίνακα της γραµµικής απεικόνισης θα είναι οι ιδιοτιµές της f. Απόδειξη. ( ) Έστω E { e e e } =,,..., µια βάση του χώρου X η οποία αποτελείται από τα ιδιοδιανύσµατα της γραµµικής απεικόνισης f. Επειδή τα e, i =,,..., αποτελούν ιδιοδιανύσµατα της f θα έχουµε : f e = λ e + e + + e f e = e + λ e + + e f e = e + e + + λ e και συνεπώς ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης ( ) Αν ο πίνακας της f f θα είναι ο λ λ = λ διαγωνιοποιείται δηλαδή έχει την παραπάνω µορφή του πίνακα Α τότε θα ισχύει η προτελευταία σχέση και συνεπώς τα λ i και e i θα αποτελούν τις ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα της f. Από τα Θεωρήµατα 9.. και.. µπορούµε να αποδείξουµε εύκολα το παρακάτω Θεώρηµα. Θεώρηµα.. Έστω µια γραµµική απεικόνιση f : X X όπου πεπερασµένης διάστασης πάνω στο F ( ή ) της f έχει διαφορετικές ρίζες στο F ( ή ) διαγωνιοποιείται. Απόδειξη i X ένας διανυσµατικός χώρος. Αν το χαρακτηριστικό πολυώνυµο τότε η γραµµική απεικόνιση f

6 . ιαγωνιοποίηση Πίνακα Σελίδα 6 από 6 Επειδή το χαρακτηριστικό πολυώνυµο της f έχει διαφορετικές ιδιοτιµές, θα έχει σύµφωνα µε το Θεώρηµα 9.. γραµµικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα που θα αποτελούν µια βάση του χώρου X και συνεπώς από το Θεώρηµα.. θα διαγωνιοποιείται η f. Παράδειγµα.. Έστω η γραµµική απεικόνιση f : η οποία δίνεται από την σχέση (, ) = ( 5 +,6 ) f x x x x x x Να ελέγξετε αν η παραπάνω γραµµική απεικόνιση διαγωνιοποιείται. Απάντηση Από το παράδειγµα 9..4 έχουµε ότι οι ιδιοτιµές της γραµµικής απεικόνισης f είναι λ = 8& λ = και συνεπώς από το Θεώρηµα.. η γραµµική απεικόνιση f διαγωνιοποιείται. Αρκεί να διαλέξουµε ως βάση του χώρου τον χώρο που παράγεται από τα ιδιοδιανύσµατα της f που είναι,,,. Τότε ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης που θα προκύψει θα είναι διαγώνιος µε διαγώνια στοιχεία τις αντίστοιχες ιδιοτιµές της f δηλ. -8 και αντίστοιχα. Παράδειγµα..4 Έστω η γραµµική απεικόνιση f : η οποία δίνεται από την σχέση (, ) = (, ) f x x x x Να ελέγξετε αν η παραπάνω γραµµική απεικόνιση διαγωνιοποιείται. Απάντηση Από το παράδειγµα 9..5 έχουµε ότι η γραµµική απεικόνιση f δεν έχει ιδιοτιµές στο και συνεπώς δεν διαγωνιοποιείται. Αντίθετα αν η f οριζόταν ως εξής : f : τότε θα είχε τις διακεκριµένες ιδιοτιµές λ = i& λ = i και συνεπώς από το Θεώρηµα.. η γραµµική απεικόνιση f διαγωνιοποιείται. Αρκεί να διαλέξουµε ως βάση του χώρου τον χώρο που παράγεται από τα ιδιοδιανύσµατα της f που είναι i,, i,. Τότε ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης που θα προκύψει θα είναι διαγώνιος µε διαγώνια στοιχεία τις αντίστοιχες ιδιοτιµές της f δηλ. -i και i αντίστοιχα. Τι γίνεται όµως στην περίπτωση που δεν έχουµε διακεκριµένες ιδιοτιµές, αλλά έχουµε ιδιοτιµές µε αλγεβρική πολλαπλότητα µεγαλύτερη του ένα. Τότε το παραπάνω θεώρηµα µπορεί να γενικευτεί ως εξής : Θεώρηµα..5 Έστω µια γραµµική απεικόνιση f : X X πεπερασµένης διάστασης πάνω στο F ( ή ) όπου X ένας διανυσµατικός χώρος. Η f διαγωνιοποιείται αν και µόνο αν όλες οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου της f ανήκουν στο F ( ή ) και η πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής (αλγεβρική πολλαπλότητα) είναι ίση µε την διάσταση του αντίστοιχου ιδιοχώρου (γεωµετρική πολλαπλότητα).

7 . ιαγωνιοποίηση Πίνακα Σελίδα 7 από 6 Παράδειγµα..6 Έστω η γραµµική απεικόνιση f : η οποία δίνεται από την σχέση (,, ) = ( 4 5 +, +, ) f x x x x x x x x x x Να ελέγξετε αν η παραπάνω γραµµική απεικόνιση διαγωνιοποιείται. Απάντηση Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης f είναι ο ίδιος µε τον πίνακα στο παράδειγµα 9.. και 9... Συνεπώς έχουµε ότι η γραµµική απεικόνιση f έχει ιδιοτιµές τις - και µε αλγεβρική πολλαπλότητα και στο. Οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι V και V έχουν διάσταση ο καθένας ή ισοδύναµα οι ιδιοτιµές - και του πίνακα τις γραµµικής απεικόνισης έχουν γεωµετρική πολλαπλότητα και αντίστοιχα. Επειδή η αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής - δεν ταυτίζεται µε την αντίστοιχη γεωµετρική πολλαπλότητα δεν διαγωνιοποιείται σύµφωνα µε το Θεώρηµα..5 η f. Έστω ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης f ως προς την βάση {,,..., } E { e e e } E = ε ε ε, και ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης f ως προς την βάση βάση E =,,...,. Αν P είναι ο πίνακας µετάβασης από την βάση E στην, τότε σύµφωνα µε το κεφάλαιο 8.5, αλλά και το διάγραµµα.., θα ισχύει η σχέση = P P. Παρατηρούµε λοιπόν ότι η διαγωνιοποίηση µιας γραµµικής απεικόνισης f ανάγεται στην εύρεση ενός αντιστρέψιµου πίνακα P τέτοιου ώστε ο πίνακας = P P να είναι διαγώνιος, όπου ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης f. Παρακάτω λοιπόν θα ασχοληθούµε µε το ισοδύναµο πρόβληµα του προσδιορισµού συνθηκών κάτω από τις οποίες ένας πίνακας είναι διαγωνιοποιήσιµος. Ορισµός..7 Ένας πίνακας M[ ]( M[ ] ) θα ονοµάζεται διαγωνιοποιήσιµος εάν είναι όµοιος µε έναν διαγώνιο πίνακα ή ισοδύναµα αν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P M M τέτοιος ώστε ο πίνακας D= P P να είναι διαγώνιος. [ ]( [ ]) Οι διαγωνιοποιήσιµοι πίνακες έχουν µεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον διότι µπορούµε εύκολα όπως θα δούµε παρακάτω να υπολογίσουµε συναρτήσεις που προκύπτουν από αυτούς όπως η δύναµη πίνακα, ο υπολογισµός ενός πολυωνύµου µε στοιχεία πίνακες, ο υπολογισµός ενός εκθετικού πίνακα κ.α.. Ένα βασικό ερώτηµα που γεννιέται, είναι πως θα µπορέσουµε εύκολα να διαπιστώσουµε εάν ένας πίνακας είναι διαγωνιοποιήσιµος. Στο ερώτηµα αυτό έρχεται να απαντήσει το παρακάτω θεώρηµα που είναι άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος..5. Θεώρηµα..8 (α) Ένας πίνακας M[ ] ( M[ ]) είναι διαγωνιοποιήσιµος εάν και µόνο : α) όλες οι ιδιοτιµές του ανήκουν πάνω στο ( ) και β) η αλγεβρική πολλαπλότητα των ιδιοτιµών του ταυτίζεται µε την αντίστοιχη γεωµετρική πολλαπλότητα. Στην περίπτωση που ο πίνακας Α είναι διαγωνιοποιήσιµος, τότε ο αντιστρέψιµος M M ) που έχει ως στήλες τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α πίνακας [ ]( [ ]

8 . ιαγωνιοποίηση Πίνακα Σελίδα 8 από 6 είναι τέτοιος ώστε ο S = να είναι διαγώνιος µε στοιχεία στην κύρια διαγώνιο τις ιδιοτιµές του πίνακα Α. M M είναι διαγωνιοποιήσιµος εάν και µόνο το (β) Ένας πίνακας [ ]( [ ]) ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα Α, m πρωτοβάθµιων παραγόντων, δηλαδή m λ = λ λ λ λ λ λ λ, είναι γινόµενο διακεκριµένων όπου οι λ, λ,..., λ είναι ανά δύο διάφοροι. Παράδειγµα..9 Θεωρείστε τον πίνακα 4 = 4 M [ ] 4 που µελετήσαµε στο παράδειγµα Έχουµε αποδείξει στο παράδειγµα ότι οι ιδιοτιµές του πίνακα M [ ] είναι οι και 8 µε αλγεβρικές πολλαπλότητες και αντίστοιχα, ενώ οι γεωµετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιµών του [ ] είναι M επίσης και αντίστοιχα. Άρα βάσει του Θεωρήµατος..8α ο πίνακας διαγωνιοποιείται. Μάλιστα ο πίνακας Τ που σχηµατίζεται από τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α είναι τέτοιος ώστε P = 4 4 = 4 8 P P Ένας άλλος τρόπος ελέγχου για το αν ο πίνακας Α είναι διαγωνιοποιήσιµος είναι µε την εφαρµογή του Θεωρήµατος..8β. Σύµφωνα µε το θεώρηµα..8β ο πίνακας M [ ] θα είναι διαγωνιοποιήσιµος αν και µόνο αν το ελάχιστο του πολυώνυµο είναι γινόµενο διακεκριµένων πρωτοβάθµιων παραγόντων. Επειδή όµως το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα M [ ] είναι το χ ( λ) = ( λ ) ( λ 8) συνεπώς ο πίνακας M [ ] ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα M [ ] είναι το m ( λ) ( λ )( λ 8) Εύκολα µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι m ( ) ( I )( 8 I ) θα είναι διαγωνιοποιήσιµος αν και µόνο αν το S =. = =, και συνεπώς ο πίνακας M [ ] είναι διαγωνιοποιήσιµος.

9 . ιαγωνιοποίηση Πίνακα Σελίδα 9 από 6 Παράδειγµα.. Θεωρείστε τον πίνακα = M [ ] ο οποίος έχει ως ιδιοτιµή την µε αλγεβρική πολλαπλότητα. Είναι εύκολο να διαπιστώσει κανείς ότι V = και dimv =. Συνεπώς η γεωµετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής είναι που είναι διαφορετική της αλγεβρικής πολλαπλότητας και άρα ο πίνακας δεν είναι διαγωνιοποιήσιµος. Παρατηρήστε ότι δεν υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας a b =, ad bc c d τέτοιος ώστε a b a b = c d c d B a b a b c d = c d a= a a+ b= b a = c = ad cb = c= c c+ d = d Αν προσπαθήσουµε να εφαρµόσουµε το Θεώρηµα..8β θα διαπιστώσουµε ότι ο πίνακας Α είναι διαγωνιοποιήσιµος αν και µόνο αν το ελάχιστο του πολυώνυµο είναι γινόµενο διακεκριµένων πρωτοβάθµιων παραγόντων. Επειδή όµως το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα M [ ] είναι το χ ( λ) = ( λ ) συνεπώς ο πίνακας M [ ] ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα M [ ] θα είναι διαγωνιοποιήσιµος αν και µόνο αν το είναι το m ( λ) ( λ ) =. Εύκολα µπορούµε να διαπιστώσουµε ότι m ( ) = ( I) =, δεν είναι διαγωνιοποιήσιµος. και συνεπώς ο πίνακας [ ] M Σηµείωση. Μια υποπερίπτωση του Θεωρήµατος..8 είναι αυτή για την οποία ο πίνακας Α έχει απλές ιδιοτιµές, δηλαδή ιδιοτιµές των οποίων η αλγεβρική πολλαπλότητα είναι. Τότε η γεωµετρική πολλαπλότητα των ιδιοτιµών ταυτίζεται µε την αλγεβρική πολλαπλότητα και συνεπώς ο πίνακας διαγωνιοποιείται. Άρα στις περιπτώσεις αυτές δεν χρειάζεται να ελέγξουµε ποια είναι η γεωµετρική πολλαπλότητα των ιδιοτιµών.

10 . ιαγωνιοποίηση Πίνακα Σελίδα από 6 Αλγόριθµος διαγωνιοποίησης ενός πίνακα M[ ] ( M[ ]) Βήµα. Υπολόγισε τις ιδιοτιµές { λ, λ,..., λ }, λ, i του πίνακα Α. Βήµα. Υπολόγισε τα ιδιοδιανύσµατα {,,..., }, i e e e e που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές του πίνακα Α. Αν αυτά είναι στο πλήθος τότε ο πίνακας διαγωνιοποιείται και ακολούθησε τα παρακάτω βήµατα, διαφορετικά ο πίνακας δεν διαγωνιοποιείται. = e e e M M που έχει ως Βήµα. Σχηµάτισε τον πίνακα [ ] [ ]( [ ]) στήλες τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. Βήµα 4. Τότε λ λ S = = λv όπου λ i είναι η ιδιοτιµή που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσµα ei i. Ασκήσεις.. Να ελέγξετε ποιες από τις παρακάτω γραµµικές απεικονίσεις διαγωνιοποιείται: a f :, f x, y = 6x+ 8 y, x+ y ( b) f :, f ( x, y) = ( x y, x+ y) ( c) f :, f ( x, y, z) = ( x y z, x+ 5 z,4x y z) ( d) f :, f ( x, y) = ( x+ 4 y, x z). Να ελέγξετε ποιοι από τους παρακάτω πίνακες διαγωνιοποιούνται, και να φέρεται στην διαγώνια µορφή αυτούς οι οποίοι διαγωνοποιούνται. 6 [ ] [ ] = M ; = M ; = [ ] M 5 4 = M[ ] ; 5 = M4[ ] Ένα διάνυσµα x m ονοµάζεται γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα ενός πίνακα τύπου m που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ αν ( λi ) x m = αλλά m λi x m. Θεωρείστε τον πίνακα m

11 . ιαγωνιοποίηση Πίνακα Σελίδα από = M [ ] από τα παραδείγµατα 9.. και 9... Ο πίνακας αυτός έχουµε δείξει ότι έχει τις ιδιοτιµές - και µε αλγεβρικές πολλαπλότητες και αντίστοιχα, καθώς και γεωµετρικές πολλαπλότητες και αντίστοιχα. Ο πίνακας Α συνεπώς (γιατί;) δεν διαγωνιοποιείται. (α) Ελέγξτε αν ο πίνακας Α έχει γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα τύπου για την ιδιοτιµή λ=-, και αν ναι υπολογίστε το. (β) Αποδείξτε ότι το ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή - και το γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα τύπου που αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοτιµή είναι γραµµικώς ανεξάρτητα. (γ) ηµιουργήστε τον πίνακα P που περιέχει ως πρώτη και τρίτη στήλη τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές - και και ως δεύτερη στήλη το γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα τύπου που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή -, και στη συνέχεια υπολογίστε τον πίνακα P P. Η µορφή του πίνακα που σχηµατίζεται ονοµάζεται πίνακας Jorda.

12 . ιαγωνιοποίηση Πίνακα Σελίδα από 6 Λύσεις ασκήσεων.. (α) Ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης έχει δύο µιγαδικές ιδιοτιµές και συνεπώς η γραµµική απεικόνιση δεν διαγωνιοποιείται. Θα γινόταν η διαγωνιοποίηση αν η γραµµική απεικόνιση οριζόταν µε διαφορετικό πεδίο ορισµού και τιµών π.χ. f :. (β) Ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης έχει µια ιδιοτιµή (λ=) αλγεβρικής πολλαπλότητας και γεωµετρικής πολλαπλότητας και συνεπώς η γραµµική απεικόνιση δεν διαγωνιοποιείται. (γ) Ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης έχει διακεκριµένες ιδιοτιµές (,-,) και συνεπώς η γραµµική απεικόνιση διαγωνιοποιείται., i i και (δ) Ο πίνακας της γραµµικής απεικόνισης έχει ιδιοτιµές στο συνεπώς λόγω του ορισµού της συνάρτησης διαγωνιοποιείται. f : η γραµµική απεικόνιση. (α) Ο πίνακας έχει δύο διακεκριµένες ιδιοτιµές (-,) και συνεπώς διαγωνιοποιείται ή το ελάχιστο πολυώνυµο του πίνακα ( )( ) m λ = λ+ λ είναι γινόµενο πρωτοβάθµιων παραγόντων. (β) Επειδή ο πίνακας ορίζεται στο M [ ] και έχει δύο διακεκριµένες ιδιοτιµές ( ii, ) που δεν ανήκουν στο δεν διαγωνιοποιείται m ( λ) = λ +. Θα γινόταν η διαγωνιοποίσηση αν M [ ] ( m ( λ) ( λ i)( λ i) (γ) Ο πίνακας = + ). ( ) έχει τρεις διακεκριµένες ιδιοτιµές (-,,4) και συνεπώς διαγωνιοποιείται ( m λ = λ+ λ λ 4 ). (δ) Ο πίνακας 4 έχει µια ιδιοτιµή (λ=-) αλγεβρικής πολλαπλότητας και γεωµετρικής πολλαπλότητας και συνεπώς δεν διαγωνιοποιείται (αν τότε m = + I ). (ε) Ο πίνακας 5 = ( + ) m λ λ έχει 4 διακεκριµένες ιδιοτιµές (-,,,4) και συνεπώς διαγωνιοποιείται ( m λ = λ+ λ λ λ 4. (α) Παρατήρησε ότι και ( ) 4 5 ( ) ( ) = ( ) 4 5 ( ) ( ) = ). x x

13 . ιαγωνιοποίηση Πίνακα Σελίδα από 6 ( ) 4 5 ( ) ( ) = ( ) 4 5 ( ) ( ) = ( ) ( ) ) Συνεπώς το διάνυσµα (,, είναι ένα γενικευµένο ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή -. (β) λ + µ = λ = µ = (γ) λ λ = λ J J P x x P

14 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα 4 από 6. Εφαρµογές της διαγωνιοποίησης πινάκων... υνάµεις πινάκων Ας υποθέσουµε ότι ο πίνακας M[ ]( M[ ]) υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας M[ ]( M[ ]) είναι διαγωνιοποιήσιµος. Τότε τέτοιος ώστε S S = = = = = S S S S S Παρατήρησε ότι κάθε αναιρεί έναν, εκτός του αρχικού και του τελικού. Συνεπώς προκειµένου να υπολογίσουµε την δύναµη ενός πίνακα Α, αρκεί να υπολογίσουµε τον πίνακα µετασχηµατισµού Τ και την δύναµη ενός διαγώνιου πίνακα S. Από τον παραπάνω τύπο παρατηρούµε επίσης ότι οι ιδιοτιµές του είναι λ, λ,..., λ, οι -στές δυνάµεις των ιδιοτιµών και κάθε ιδιοδιάνυσµα του Α είναι και ιδιοδιάνυσµα του. Ο παραπάνω τύπος ισχύει και για αρνητικούς αριθµούς σε περίπτωση που ο πίνακας Α είναι αντιστρέψιµος και συνεπώς οι ιδιοτιµές του πίνακα θα είναι λ, λ,..., λ. Τέλος αν ο πίνακας διαγωνιοποιεί τον πίνακα, διαγωνιοποιεί επίσης και τον πίνακα. Παράδειγµα... Να υπολογιστεί η ν-οστή δύναµη του πίνακα 4 = 4 4 Απάντηση. Όπως διαπιστώσαµε στο παράδειγµα..9, υπάρχει πίνακας Τ τέτοιος ώστε και συνεπώς 4 4 = = 4 8 S 4 4 = = 4 8 = = 8

15 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα 5 από = Εξισώσεις διαφορών Έστω M [ ]. Τότε η εξίσωση : x,,, = x =.. καλείται ως εξίσωση διαφορών. Πολλά προβλήµατα καταλήγουν στην επίλυση εξισώσεων διαφορών όπως το παραπάνω. Αυτό που µας ενδιαφέρει είναι να υπολογίσουµε την λύση της παραπάνω εξίσωσης διαφορών, ενώ µεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζει και η µελέτη της συµπεριφοράς των λύσεων. Θεώρηµα... Η εξίσωση διαφορών,,,. x = x =. έχει ως λύση την x = x. Απόδειξη Οι παραπάνω εξισώσεις µπορούν να γραφούν ως : x = x = = = x x x x x = x = x = x... Υποθέτουµε λοιπόν ότι η λύση ισχύει για = x = x Θα δείξουµε ότι η σχέση ισχύει και για =+ : x = x = + + x = x Παράδειγµα... Μια χώρα διαιρείται σε γεωγραφικές περιοχές. Σύµφωνα µε στατιστικές κάθε χρόνο το 5% της περιοχής µετακινείται στην περιοχή και 5% στην περιοχή. Από τους κατοίκους της περιοχής, 5% µετακινείται στην περιοχή και % στην περιοχή. Τέλος από τους κατοίκους της περιοχής, % µετακινείται στην περιοχή και 5% στην περιοχή. Τι ποσοστό του πληθυσµού κατοικεί στην κάθε περιοχή µετά από µεγάλο χρονικό διάστηµα ; Μελετήστε το παράδειγµα αυτό µετά την ολοκλήρωση του κεφαλαίου του ου τόµου του ΣΕΥ, όπου γίνεται αναφορά στο όριο ακολουθίας.

16 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα 6 από 6 Απάντηση Έστω x () i η πιθανότητα ένα άτοµο του πληθυσµού να µένει στην περιοχή στο τέλος του χρόνου i, και η πιθανότητα ένα άτοµο του πληθυσµού που βρίσκεται p ij στην χώρα i να είναι στην χώρα j στην επόµενη χρονική παρατήρηση. Εφόσον το 5% της περιοχής µετακινείται στην περιοχή και 5% στην περιοχή (δηλαδή συνολικά % µετακινείται), άρα το 9% της περιοχής παραµένει στην περιοχή. Επίσης από τους κατοίκους της περιοχής, 5% µετακινείται στην περιοχή και από τους κατοίκους της περιοχής, % µετακινείται στην περιοχή. Συνεπώς η πιθανότητα ένα άτοµο να βρίσκεται στην περιοχή κατά την επόµενη παρατήρηση θα είναι : 9 5 x( i) = x( i ) + x( i ) + x( i ) Εφόσον το 5% της περιοχής µετακινείται στην περιοχή και % στην περιοχή (δηλαδή συνολικά 5% µετακινείται), άρα το 75% της περιοχής παραµένει στην περιοχή. Επίσης από τους κατοίκους της περιοχής, 5% µετακινείται στην περιοχή και από τους κατοίκους της περιοχής, 5% µετακινείται στην περιοχή. Συνεπώς η πιθανότητα ένα άτοµο να βρίσκεται στην περιοχή κατά την επόµενη παρατήρηση θα είναι : x( i) = x( i ) + x( i ) + x( i ) Εφόσον το % της περιοχής µετακινείται στην περιοχή και 5% στην περιοχή, (δηλαδή συνολικά 5% µετακινείται), άρα το 85% της περιοχής παραµένει στην περιοχή. Επίσης από τους κατοίκους της περιοχής, 5% µετακινείται στην περιοχή και από τους κατοίκους της περιοχής, % µετακινείται στην περιοχή. Συνεπώς η πιθανότητα ένα άτοµο να βρίσκεται στην περιοχή κατά την επόµενη παρατήρηση θα είναι : 5 85 x( i) = x( i ) + x( i ) + x( i ) Οι παραπάνω τρεις εξισώσεις µπορούν να γραφούν ως :

17 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα 7 από x() i x( i ) x() i = x( i ) x() i x( i ) 5 85 xi xi Η λύση του παραπάνω συστήµατος σύµφωνα µε το Θεώρηµα... είναι : Για να υπολογίσουµε τον πίνακα προηγούµενης ενότητας και έχουµε : 9 5 x( ) x() x( ) = x() x( ) x() 5 85 x x εφαρµόζουµε την µεθοδολογία της 4 7 Βήµα. Ιδιοτιµές του πίνακα Α :,,. Εφόσον οι ιδιοτιµές είναι απλές (έχουν 5 αλγεβρική πολλαπλότητα ), ο πίνακας διαγωνιοποιείται. a= 889ê, 5ê, ê <, 85ê, 75 ê, 5ê<, 85ê, ê, 85ê<< :: 9,, >, :, 4, >, :,, 7 >> Eigevalues@ ad :, 4 5, 7 > Βήµα. Ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στις παραπάνω ιδιοτιµές : 7 4,, 7 Eigevectors@ a D :: 7, 4,>, 8,, <, 8,, <> 7 Βήµα. Σχηµατίζω τον πίνακα πίνακα Α. t= D R που έχει ως στήλες τα ιδιοδιανύσµατα του 7 = 4 7

18 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα 8 από 6 :: 7,, >, : 4,, >, 8,, <> 7 Βήµα 4. Τότε S = 4 = = S = 4 ( 4 ) ( 7 ) Είναι εύκολο να παρατηρήσουµε ότι το όριο της παραπάνω δύναµης όταν είναι ο πίνακας ( li m 4 7 =, lim ) : 5 = lim 4 4 = = s= 88,, <, 8, H4ê 5L, <, 8,, H7ê L << :8,, <, :, J 4 5 N 7,>, :,, J N >> t.s.iverse@ tdêêsimplify êê MatrixForm ij 5 H L 5 H L 5 H L y 6 I I 7 M M 6 I+ I 7 M 5 M 6 I I 7 M M 5 H L 5 H L θα 5 H L z { Στο ίδιο αποτέλεσµα θα καταλήγαµε αν χρησιµοποιούσαµε την συνάρτηση MatrixPower[a,] για να υπολογίσουµε την -οστή δύναµη του πίνακα a. MatrixPower@ a, DêêSimplify êê MatrixForm ij 5 H L 5 H L 5 H L y 6 I I 7 M M 6 I+ I 7 M 5 M 6 I I 7 M M 5 H L 5 H L Το όριο του παραπάνω πίνακα όταν είναι : Limit@MatrixPower@a, D, IfiityDêê MatrixForm ij y z { 5 H z L {

19 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα 9 από 6 Επειδή x () i,=,, αποτελούν την πιθανότητα ένα άτοµο του πληθυσµού να µένει στην περιοχή,, και αντίστοιχα, συνεπώς ( ) ( ) ( ) x + x + x =, όποιες και αν είναι οι πιθανότητες αυτές. Συνεπώς η λύση της εξίσωσης διαφορών καθώς το θα είναι : x ( ) lim x = lim x = x = x ( ) = ( x( ) + x( ) + x( ) ) = Η επίλυση της παραπάνω εξίσωσης διαφορών θα µπορούσε να λυθεί µε την συνάρτηση RSolve του Mathematica όπως παρακάτω : D == == D == @D<,Eêê FullSimplify 5 H H7 + 8 L C@D +4 5 C@DL, i j J 7 6 N y z + J 7 { N C@D, 65 H H 75 + L C@D + H L C@DL>> Σηµείωση. Όλα αυτά ισχύουν κάτω από την προϋπόθεση ότι η διαδικασία είναι µαρκοβιανή, ότι δηλαδή η πιθανότητα οποιασδήποτε µελλοντικής κατάστασης της διαδικασίας, όταν η παρούσα κατάσταση είναι γνωστή δεν αλλοιώνεται από επιπλέον δεδοµένα που αφορούν την συµπεριφορά της διαδικασίας στο παρελθόν. Ο πίνακας Α στο παραπάνω παράδειγµα λέγεται πίνακας µετάβασης της παραπάνω διαδικασίας. Όταν σε ένα σύστηµα, όπως αυτό του παραπάνω παραδείγµατος, η κατάσταση την χρονική στιγµή i π.χ. x ( i ), εξαρτάται µόνο από την κατάσταση του συστήµατος την αµέσως προηγούµενη χρονική στιγµή i- π.χ. x ( i ), τότε η διαδικασία αυτή καλείται Μαρκοβιανή διαδικασία. Οι πίνακες όπως ο Α καλούνται επίσης ως Μαρκοβιανοί πίνακες ή πίνακες πιθανοτήτων ή στοχαστικοί πίνακες. Μπορούµε να παρατηρήσουµε ότι τα στοιχεία κάθε στήλης του πίνακα Α και γενικά των Μαρκοβιανών πινάκων έχουν άθροισµα. Επίσης παρόµοια µε το παράδειγµα 6.6., σελ. του Α Τόµου, µπορούµε να δείξουµε ότι µια από τις ιδιοτιµές του Μαρκοβιανού πίνακα είναι η µονάδα, ενώ µπορεί επίσης να δειχθεί ότι όλες οι υπόλοιπες ιδιοτιµές είναι µικρότερες ή ίσες της µονάδας, γεγονός που οδηγεί την δύναµη του πίνακα όταν το σε έναν σταθερό πίνακα, όπως στο προηγούµενο παράδειγµα. Άµεση συνέπεια του συµπεράσµατος αυτού είναι ότι όλες οι µαρκοβιανές διαδικασίες οδηγούνται σε µια σταθερή τιµή όταν το.

20 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα από 6.. ιαφορικές εξισώσεις. Μια εξίσωση η οποία εµπεριέχει παραγώγους µιας η και περισσοτέρων εξαρτηµένων µεταβλητών ως προς µια ή περισσοτέρους ανεξάρτητες µεταβλητές ονοµάζεται διαφορική εξίσωση. Ένα από τα απλούστερα είδη διαφορικών εξισώσεων είναι αυτό της µορφής : f ' x = af x, a Ας θεωρήσουµε την συνάρτηση g( x) f ( x) =. Είναι εύκολο να παρατηρήσουµε ότι : ax e ' ax ax ax f ( x) f '( x) e f ( x) ae ( f '( x) af ( x) ) e g' ( x) = ax = = = ax ax e e e Συνεπώς η συνάρτηση a Επειδή g( x ) είναι σταθερή δηλ., f ( x) ax g( x) = c= f ( x) = ce f = ce = c θα έχουµε ότι e ax ax = ( ) f x e f g x = c x και συνεπώς Ας υποθέσουµε τώρα ότι θέλουµε να λύσουµε την πιο γενική µορφή της παραπάνω διαφορικής εξίσωσης : y'( x) = y( x) όπου y ( x) y ( x ), y( x) = y ( x) Για την επίλυση του παραπάνω συστήµατος διαφορικών εξισώσεων, υπολογίζουµε M M τέτοιο ώστε ο πίνακας = D έναν αντιστρέψιµο πίνακα [ ]( [ ]) να είναι διαγώνιος. Ο πίνακας M[ ]( M[ ]) είναι ο πίνακας των δεξιών ιδιοδιανυσµάτων του πίνακα Α. Μπορούµε τότε να παρατηρήσουµε ότι : ( x) ( x) z( x) y x = = ' = y' ( x ) = z' ( x ) z' ( x) z( x) z' ( x) Dz( x) z ( x) λ z( x) λ y' x y x y x y x = = ' z λ ' z ' = = = ' z ( x) = = λ z( x) λi x { zi( x) e zi( ), i,,..., } { zi x izi x, i,,..., } και συνεπώς η λύση του παραπάνω συστήµατος διαφορικών εξισώσεων είναι η εξής: Μπορείς να επανέλθεις στο κεφάλαιο αυτό όταν θα έχεις µελετήσει το κεφάλαιο του ου τόµου του ΣΕΥ.

21 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα από 6 y ( x) ( ) ( ) y x z x e z e z y x z x z = = = λ x λ x y( x) z x e z ( ) e z ( ) λ x λ x λx λx y( ) = z( ) e z e λ x y x e y λx = e y λ x y ( x) e y ( ) ( ) = ( ) z y Παράδειγµα... Να βρεθούν οι παραγωγίσιµες συναρτήσεις y( x), y( x), y( x), x για τις οποίες γνωρίζουµε ότι: ' y( x) = y( x) + y( x) ' y( x) = y( x) + y( x) ' y( x) = y( x) y( x) + y( x) όπου οι τόνοι δηλώνουν παραγώγιση ως προς τη µεταβλητή x και ισχύει y() =, y() =, y() = Απάντηση Θέτοντας y( x) = y( x) y( x) y( x) dy ' ' ' = y x y x y x dx το παραπάνω σύστηµα γράφεται dy Y dx =, όπου = Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α είναι: λ χ( λ) = det λi = λ λ Αναπτύσσοντας ως προς την η στήλη προκύπτει λ χ( λ) = ( λ ) = ( λ )[( λ ) ] = ( λ )( λ 6λ+ 8) = ( λ ) ( λ 4) λ Οι ιδιοτιµές (ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου) είναι το 4 και το µε αλγεβρικές πολλαπλότητες και αντίστοιχα. Ο ιδιοχώρος V 4 που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = 4 προκύπτει από την επίλυση του συστήµατος: x x x = x = x ( 4I ) x = x+ x = x = x x x+ x + x = Εποµένως

22 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα από 6 V4 = Ο ιδιοχώρος V που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ = προκύπτει από την επίλυση του συστήµατος: x x x = ( I ) x = x x = x+ x = x = x x x+ x = Εποµένως τα διανύσµατα του ιδιοχώρου είναι της µορφής x x x + x x x x x x x = = + = +, x, x x x x + x και άρα V =, Αποδείξαµε λοιπόν ότι η αλγεβρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιµής ισούται µε την γεωµετρική της πολλαπλότητα. Άρα ο πίνακας Α διαγωνοποιείται (Θεώρηµα..8 ). Αν θέσουµε = τότε γνωρίζουµε ότι ο πίνακας είναι αντιστρέψιµος και 4 = D= µε = Εφαρµόζοντας την φόρµουλα επίλυσης που αναφέραµε παραπάνω θα έχουµε : 4x y( x) e y( ) x y( x) = e y( ) = x y( x) e y( ) 4x e x = e = x e e + e = e e e + e 4x x 4x x 4x x

23 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα από 6 Το παραπάνω σύστηµα θα µπορούσε να λυθεί µε την συνάρτηση DSolve του Mathematica ως εξής : DSolve@8y '@xd + y '@xd '@xd + D ==, D, y@ D <, x x D,y@ x D<,x D x H+ x x H + x x H + x L<<..4 Επίλυση της εξίσωσης X = Προκειµένου να επιλύσουµε την εξίσωση πινάκων X = όπου M [ ] πίνακας ο οποίος διαγωνιοποιείται, υπολογίζουµε τον πίνακα P των ιδιοδιανυσµάτων για τον οποίο ισχύει D= P P ή ισοδύναµα = PDP και συνεπώς έχουµε να επιλύσουµε την ισοδύναµη σχέση : X = PDP P X P= D ( P XP) = D P XP P XP P XP = D Y Επιλύουµε λοιπόν την Y = D ως προς Y, η οποία µπορεί να περιέχει και άπειρες λύσεις, και στο τέλος οι λύσεις µας θα είναι της µορφής X = PYP (γιατί;). Παράδειγµα..4. Ναεπιλύσετε την εξίσωση 6 5 X = 9, [ ] X M Απάντηση Βήµα ο. Υπολογίζουµε τον πίνακα P των ιδιοδιανυσµάτων για τον οποίο ισχύει D= P P. Ο πίνακας έχει ιδιοτιµές τις 9, 4 και αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα τα (, ),( 5, ) και. Συνεπώς ο πίνακας P είναι ο παρακάτω : 5 P = = 4 9 D P P Βήµα ο. Θεωρώ τον µετασχηµατισµό Y = P XP και υπολογίζω την λύση της εξίσωσης : Y = D : ± Y = ± Βήµα ο. Υπολογίζω την λύση της αρχικής εξίσωσης X = PYP

24 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα 4 από 6 5 ± 5 X = PYP = ± ( )( ± ) ± ( 5)( ± ) ( ± ) 5 ( 4)( ± ) + 5( ± ) ( )( ± ) + ( ± ) ( ± ) ( ± ) 5( ± ) 4( ± ) = = = Συνεπώς οι λύσεις που θα πάρουµε για τους πιθανούς συνδυασµούς των προσήµων θα είναι οι παρακάτω : 5 5 X ; X = = ; X = ; X = 7 7 I[]:= a = 88 6, 5<, 8, 9<< -6-5 Out[]= J 9 N I[]:= x= 88x, x<, 8x, x4<< x x Out[]= J x x4 N I[]:= Solve@x.x a, 8x, x, x, x4<d Out[]= 88x Ø-, x4 Ø, x Ø-5, x Ø <, 8x Ø-, x4 Ø 7, x Ø-, x Ø <, x Ø, x4 Ø-7, x Ø, x Ø-, x Ø, x4 Ø-, x Ø 5, x Ø- 8 < 8 << = Ασκήσεις.. Να υπολογιστεί η ν-οστή δύναµη του πίνακα 4 = 4 4. Ο παρακάτω πίνακας µας δίνει το ποσοστό µετακίνησης φοιτητών µεταξύ Πανεπιστήµιων λόγω µετεγγραφών. Πανεπιστήµιο Πατρών Εθνικό Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης Πανεπιστήµιο Πατρών Εθνικό Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Αριστοτέλειο Πανεπιστήµιο Θεσσαλονίκης 7% 5% 5% 5% 8% 5% 5% % 75%

25 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα 5 από 6 Αν υποθέσουµε ότι ο αριθµός των φοιτητών παραµένει σταθερός (δεν προσθέτουµε δηλαδή τον πληθυσµό των φοιτητών που εγγράφεται κάθε χρονιά) τι ποσοστό των φοιτητών παραµένει σε κάθε Πανεπιστήµιο µετά από,,4,... χρόνια;. Προσπάθησε να λύσεις την παρακάτω εξίσωση διαφορών F = 5F 6F όπου F = F =. + + Σηµείωση. Θέσε x = F, y = F+ = x+ και προσπάθησε να γράψεις τις εξισώσεις που προκύπτουν ως x+ x y = + y όπου. 4. Να βρεθούν οι παραγωγίσιµες συναρτήσεις y( x), y( x), x για τις οποίες γνωρίζουµε ότι: ' y( x) = y( x) + y( x) ' y( x) = y( x) + y( x) όπου οι τόνοι δηλώνουν παραγώγιση ως προς τη µεταβλητή x και ισχύει y () =, y () = 4 5. Προσπαθήστε να λύσετε την παρακάτω διαφορική εξίσωση : y''' x y'' x y' x + y x = όπου y( ) =, y' ( ) =, y'' ( ) =. Υπόδειξη. Ορίστε τις νέες µεταβλητές y x = y x = ' = ' = '' = ' y x y x y x y x y x y x και σχηµατίστε ένα σύστηµα διαφορικών εξισώσεων µε άγνωστες y x, y x, y x ). συναρτήσεις ( 6. Να επιλύσετε την εξίσωση X = 6 7, [ ] X M 7. Για ποιες τιµές των a,b,c,d ο πίνακας Α διαγωνιοποιείται a b = c d

26 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα 6 από 6 Λύσεις ασκήσεων.. ηµιουργώ τον πίνακα ιδιοδιανυσµάτων P του πίνακα Α P = και άρα 8 8 D= = P P = I[]:= a= 884,, <, 8, 4, <, 8,, 4<< 4 4 yz z 4{ I[]:= MatrixPower@a, DêêSimplify i Out[]= j 8 = P D P D P = ( + 8 ) ( + 8 ) ( + 8 ) + ( 8 ) ( 8 ) ( 8 ) + ( + 8 ) ( + 8 ) ( + 8 ) P Out[]= i j H+ +8 L H- + 8 L H- + 8 L H- + 8 L H+ +8 L H- + 8 L H- + 8 L y H- + 8 L z { H+ +8 L.

27 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα 7 από 6 Έστω x i η πιθανότητα ένα άτοµο του πληθυσµού να είναι στο Πανεπιστήµιο στο τέλος του χρόνου i, και η πιθανότητα ένα άτοµο του πληθυσµού που βρίσκεται στο Πανεπιστήµιο i να είναι στο Πανεπιστήµιο j στην επόµενη χρονική παρατήρηση. Εύκολα παρατηρούµε ότι : x( i) = x( i ) + x( i ) + x( i ) 5 8 x( i) = x( i ) + x( i ) + x( i ) x( i) = x( i ) + x( i ) + x( i ) Οι παραπάνω τρεις εξισώσεις µπορούν να γραφούν ως : x() i x( i ) 5 8 x() i = x( i ) x() i x( i ) xi xi Η λύση του παραπάνω συστήµατος σύµφωνα µε το Θεώρηµα... είναι : p ij x( ) x() 5 8 x( ) = x() x( ) x() x x Για να υπολογίσουµε τον πίνακα προηγούµενης ενότητας και έχουµε : εφαρµόζουµε την µεθοδολογία της

28 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα 8 από 6 Βήµα. Ιδιοτιµές του πίνακα Α :,,. Εφόσον οι ιδιοτιµές είναι απλές 5 (έχουν αλγεβρική πολλαπλότητα ), ο πίνακας διαγωνιοποιείται. I[]:= a= 887ê, 5ê, 5 ê<, 85ê, 8ê, ê<, 85ê, 5ê, 75 ê<< Out[]= i j yz 4 { z I[]:= Eigevalues@aD Out[]= :,, 5 > Βήµα. Ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στις παραπάνω ιδιοτιµές : 8 9,, 7 I[]:= Eigevectors@aD Out[]= ij yz - - { Βήµα. Σχηµατίζω τον πίνακα R που έχει ως στήλες τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. 8 = 9 7 I[4]:= t= raspose@%d Out[4]= ij yz - { Βήµα 4. Τότε

29 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα 9 από 6 S = = = S ( = ) ( 5 ) Είναι εύκολο να παρατηρήσουµε ότι το όριο της παραπάνω δύναµης όταν θα είναι ο πίνακας ( lim ( ), lim ( = ) = ) : lim = = I[5]:= MatrixPower@a, DêêSimplify Out[5]= ij J 5 N 7 56 J9+ 7J 5 N - J 5 N 4 - N J - J N N J N J- + J 5 N N - 8 J- + J 5 N N - 7 J- J 7 N N J N H L yz { Το όριο του παραπάνω πίνακα όταν είναι : I[6]:= Limit@MatrixPower@a, D, IfiityD Out[6]= ij yz 8 { Επειδή x i,=,, αποτελούν την πιθανότητα ένα άτοµο του πληθυσµού να παραµείνει στο Πανεπιστήµιο,, και αντίστοιχα, συνεπώς x + x + x =, όποιες και αν είναι οι πιθανότητες αυτές. Συνεπώς η λύση της εξίσωσης διαφορών καθώς το θα είναι :

30 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα από x ( ) x lim x = lim x = x = = 7 ( x( ) + x( ) + x( ) ) = Μετά τον µετασχηµατισµό θα πάρουµε το σύστηµα x+ x x =, y = y y που έχει λύση την ή ισοδύναµα την z z+ z z z = z = z = z = = F + = 6 5 I[]:= RSolve@8f@+ D 5 f@+ D 6 f@d, f@d, f@d <,f@d,d Out[]= :: f HL Ø I - M>> 4. Το σύστηµα γράφεται ισοδύναµα ως ' y ( x) y( x) y, ' y ( x) = = y( x) y( ) 4 z '( x) z x z το οποίο και έχει λύση την x x x e ( ( + e ) y ( ) ( + e ) y ( y )) x x z x = = e z = y ( x) x x x e (( e ) y( ) e y( ) y + + ) Λαµβάνοντας υπόψη τις συνθήκες y() =, y() = 4 που θα πρέπει να ικανοποιούνται e e ( ( + e ) y( ) ( + e ) y( ) ) y e = = y ( ( ) 5 e e e y e y y + + ) e και συνεπώς η λύση που αναζητούµε είναι η

31 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα από 6 ( + 5 x) ( + 5 x) x 4 y ( x) e e e = y x 4 ( x ) e e e I[]:= DSolve@ <, Out[]= 99y HxL Ø -x- I x M, y HxL Ø -x- I x M== 5. Μετά τον µετασχηµατισµό y x = y x θα έχουµε '( x) = ' = ' = '' = ' y x y x y x y x y x y x ' y x y x y ' y x = y x, y = ' y x y x y z z x z η οποία έχει ως λύση την x x e + e x x x z( x) = e z( ) = e + e x x e + e και άρα x x y( x) = y ( x) = e + e ( ) I[]:= DSolve@ 8y'''@xD y''@xd y'@xd + y@xd, y@d, y'@d, y''@d <, y@xd,xd Out[]= ::yhxl Ø -x I+ x M>>

32 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα από 6 6. Βήµα ο. Υπολογίζουµε τον πίνακα P των ιδιοδιανυσµάτων για τον οποίο ισχύει D= P P. Ο πίνακας έχει ιδιοτιµές τις 4, και αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα τα,,,. Συνεπώς ο πίνακας P είναι ο παρακάτω : P = και 4 = 6 7 D P P Βήµα ο. Θεωρώ τον µετασχηµατισµό Y = P XP και υπολογίζω την λύση της εξίσωσης : Y = D : ± Y = ± Βήµα ο. Υπολογίζω την λύση της αρχικής εξίσωσης X = PYP ± X = PYP = ± ( )( ± ) ( )( ± ) ( ± ) ( ± ) ( )( ± ) + ( ± ) ( )( ± ) + ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± ) ( ± ) = = = Συνεπώς οι λύσεις που θα πάρουµε για τους πιθανούς συνδυασµούς των προσήµων θα είναι οι παρακάτω : 4 4 X ; X ; X = = = ; X = = I[]:= a= 88, <, 86, 7<< - - Out[]= J 6 7 N I[]:= x= 88x, x<, 8x, x4<< x x Out[]= J x x4 N I[]:= Solve@x.x a, 8x, x, x, x4<d Out[]= 88x Ø-4, x4 Ø 5, x Ø-, x Ø 6<, 8x Ø, x4 Ø-, x Ø, x Ø-<, 8x Ø, x4 Ø, x Ø-, x Ø <, 8x Ø 4, x4 Ø-5, x Ø, x Ø-6<< 7. Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Α είναι χ ( λ) = λ ( a + d ) λ+ ( ad bc). Όταν το πολυώνυµο αυτό έχει διακεκριµένες ρίζες και συνεπώς η διακρίνουσα του είναι διάφορη του µηδενός, D = a+ d 4 ad bc τότε ο πίνακας Α πάντα

33 . Εφαρµογές της ιαγωνιοποίησης Πίνακα Σελίδα από 6 διαγωνιοποιείται στο (ενώ διαγωνιοποιείται στο µόνο όταν D = a+ d 4 ad bc >). Στην περίπτωση που η διακρίνουσα είναι µηδέν D ( a d) 4( ad bc) = + = τότε έχουµε µια διπλή ρίζα την a+ d a+ d λ =. Για λ = έχουµε το σύστηµα : a+ d d a a b b x x = a d x = d a x + c d c Η λύση του παραπάνω συστήµατος θα πρέπει να µας οδηγήσει σε a+ d γραµµικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα προκειµένου η ιδιοτιµή λ = να έχει γεωµετρική πολλαπλότητα και συνεπώς θα πρέπει : d a d a b b ra ra = = d a d a c c d a = c= { a= d, c=, b= } b = Συνεπώς θα έχουµε περιπτώσεις για τις οποίες διαγωνιοποιείται ο πίνακας Α: D ( a d) ( ad bc) (α) (β) { a= d, c=, b= } = + 4 Για τις υπόλοιπες περιπτώσεις ο πίνακας δεν διαγωνιοποιείται.

34 . ιαγωνιοποίηση Ειδικής Κατηγορίας Πινάκων Σελίδα 4 από 6.. ιαγωνιοποίηση ειδικής κατηγορίας πινάκων... Πραγµατικοί συµµετρικοί πίνακες (Real symmetric matrices) Ορισµός... Ένας πραγµατικός πίνακας [ ] M λέγεται συµµετρικός αν είναι ίσος µε τον ανάστροφο του δηλ. αν =. Είναι προφανές από τον παραπάνω ορισµό ότι η έννοια του συµµετρικού και ερµητιανού πίνακα ταυτίζονται στην περίπτωση των πραγµατικών πινάκων και συνεπώς έχουν τις ίδιες ιδιότητες. Παράδειγµα... Ο πίνακας είναι συµµετρικός εφόσον = M [ ] ή αλλιώς a = a. = ij ji Θεώρηµα... Εάν M [ ] είναι πραγµατικός συµµετρικός πίνακας, τότε : (α) οι ιδιοτιµές του πίνακα Α είναι πραγµατικές, (β) τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α µπορούν να επιλεγούν ώστε να έχουν πραγµατικές ιδιοτιµές, (γ) τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές είναι κάθετα µεταξύ τους, (δ) ο πίνακας Α είναι διαγωνιοποιήσιµος, (ε) τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α µπορούν κατάλληλα να επιλεγούν ώστε να αποτελέσουν µια ορθοκανονική βάση. Απόδειξη. (α) Ας θεωρηθεί ότι ο πίνακας [ ] M x, x τέτοιο ώστε x = λx. Παρατηρούµε ότι ( λ ) έχει µια ιδιοτιµή λ. Τότε υπάρχει λ x x = x x = x x Επειδή γενικά ισχύει η σχέση uv= vu για κάθε uv,, θα έχουµε και x x x x =. Χρησιµοποιώντας την παρατήρηση αυτή θα έχουµε : = λx x = x x = x x = x x = x x Επειδή ο πίνακας θα έχουµε x= λx x= λx x =λ x και συνεπώς η παραπάνω σχέση γράφεται ισοδύναµα ως

35 . ιαγωνιοποίηση Ειδικής Κατηγορίας Πινάκων Σελίδα 5 από 6 x = λ x x x = x x λx x= x x = x λx = λx x = λ λ x x= Επειδή όµως το x θα έχουµε x x και συνεπώς λ λ = λ = λ το οποίο αποδεικνύει ότι ο αριθµός λ είναι πραγµατικός. (β) Έστω ότι στην ιδιοτιµή λ αντιστοιχεί το ιδιοδιάνυσµα x= a+ bi, τότε θα δείξουµε ότι το διάνυσµα x+ x = a+ bi + a bi = a αποτελεί επίσης ιδιοδιάνυσµα του πίνακα Α που αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοτιµή. Παρατήρησε ότι x x λx λx λx x + x = x + x = λx + λx = λ x + x. = = = = και συνεπώς (γ) Έστω xy, δύο ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν στις δύο διακεκριµένες ιδιοτιµές λ, µ δηλ. x = λ x, y = µ y. Θέλουµε να δείξουµε ότι το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων x, y είναι µηδέν. Παρατηρώ ότι : y= µ y ( µ ) ( λ ) ( λ µ ) = x y = x y x y = x y x y = x y x y = x y x= λx όπου x y επειδή x, y. Συνεπώς λ µ = λ = µ. (δ) Στον Τόµο Α, φασµατικό θεώρηµα 6. σελ.7. (ε) Αρκεί να χρησιµοποιήσουµε την µέθοδο Gram-Schmidt για να δηµιουργήσουµε µια ορθοκανονική βάση για τα ιδιοδιανύσµατα του ιδιοχώρου που δηµιουργείται από κάθε διαφορετική ιδιοτιµή του πίνακα Α. Οι βάσεις που θα δηµιουργήσουµε µε τον τρόπο αυτό θα είναι κάθετες µεταξύ τους σύµφωνα µε την πρόταση (γ). Παράδειγµα...4 ίνεται ο πίνακας = M [ ] Ο πίνακας Α είναι συµµετρικός, µε πραγµατικές ιδιοτιµές { 6,, } όπως άλλωστε θα περιµέναµε από το Θεώρηµα...α. Τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα + +,, έχουν πραγµατικές τιµές (Θεώρηµα...β) και είναι κάθετα µεταξύ τους : =,, = =

36 . ιαγωνιοποίηση Ειδικής Κατηγορίας Πινάκων Σελίδα 6 από 6 M είναι συµµετρικός (δηλ. = ). Τότε σύµφωνα µε το θεώρηµα που διατυπώθηκε παραπάνω µπορούµε να υπολογίσουµε πάντα γραµµικώς ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα τα οποία να είναι κάθετα µεταξύ τους. Μπορούµε επιπλέον να κανονικοποιήσουµε τα µήκη τους σε. Συνεπώς µπορούµε Έστω ο πίνακας [ ] πάντα να επιλέξουµε τα ιδιοδιανύσµατα { } x, x,..., x του πίνακα να αποτελούν µια ορθοκανονική βάση του R. Ας θεωρήσουµε τον πίνακα Q ο οποίος έχει ως στήλες τα ιδιοδιανύσµατα { x, x,..., x } π.χ. Q= [ x x x ]. Τότε x x x x x x x x xx xx xx QQ [ x x x ] = = = = I x xx xx xx ή ισοδύναµα Q = Q. Συνεπώς η διαγωνιοποίηση = D µε = Q, = Q γίνεται Q Q = D = QDQ = QDQ Καταλήγουµε λοιπόν στο συµπέρασµα ότι : Θεώρηµα...7 (Φασµατικό Θεώρηµα) Ένας πραγµατικός συµµετρικός πίνακας [ ] µορφή = QDQ M µπορεί να παραγοντοποιηθεί στην - µε τα ορθοκανονικά ιδιοδιανύσµατα στον Q και τις ιδιοτιµές στον D. Ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή αν υπάρχει πίνακας Q M [ ] µε την ιδιότητα QQ = Q Q = I, τέτοιος ώστε = QDQ όπου ο πίνακας D είναι διαγώνιος, τότε ο πίνακας Α θα είναι συµµετρικός. Η παραγοντοποίηση αυτή του πίνακα = QDQ είναι γνωστή και ως Schur παραγοντοποίηση (Schur decompositio ή Schur factorizatio). Αλγόριθµος Schur παραγοντοποίησης συµµετρικού πίνακα Βήµα ο. Υπολόγισε τις ιδιοτιµές { } { V, V,..., V } λ λ λ του πίνακα. = QDQ λ, λ,..., λ και τους αντίστοιχους ιδιοχώρους Βήµα ο. Μετέτρεψε την βάση του κάθε ιδιοχώρου V λ σε ορθοκανονική i χρησιµοποιώντας την µέθοδο Gram-Schmidt. Βήµα ο. Σχηµάτισε τον πίνακα Q από τα διανύσµατα της ορθοκανονικοποιηµένης βάσης των V λ. i Παράδειγµα...8 Θεωρείστε τον πίνακα = M [ ]

37 . ιαγωνιοποίηση Ειδικής Κατηγορίας Πινάκων Σελίδα 7 από 6 µε τα κάθετα µεταξύ τους ιδιοδιανύσµατα + +,, τα οποία µπορούν να ορθοκανονικοποιηθούν ώστε να έχουν µήκος (το πρώτο ιδιοδιάνυσµα έχει µήκος + + = και συνεπώς διαιρούµε όλα τα στοιχεία του πρώτου ιδιοδιανύσµατος µε, ενώ όµοια δουλεύουµε µε τα υπόλοιπα ιδιοδιανύσµατα) + +,, Άρα θα έχουµε = + D Q Q.. Ερµητιανοί πίνακες (Hermitia matrices) Ορισµός... Ένας µιγαδικός πίνακας [ ] ανάστροφο του δηλ. αν M λέγεται ερµητιανός αν είναι ίσος µε τον συζυγή H =. Παράδειγµα... Ο πίνακας + i i = i 4 i M + i + i i [ ]

38 . ιαγωνιοποίηση Ειδικής Κατηγορίας Πινάκων Σελίδα 8 από 6 είναι ερµητιανός διότι H = ή aij = aji 4. Οι ιδιότητες που αναφέραµε για τους πραγµατικούς συµµετρικούς πίνακες ισχύουν και για τους ερµητιανούς πίνακες. Θεώρηµα... Εάν M [ ] είναι ερµητιανός πίνακας, τότε : (α) οι ιδιοτιµές του πίνακα Α είναι πραγµατικές, (β) τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές είναι κάθετα µεταξύ τους, (γ) ο πίνακας Α είναι διαγωνιοποιήσιµος, (δ) τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α µπορούν κατάλληλα να επιλεγούν ώστε να αποτελέσουν µια ορθοκανονική βάση. Παρατήρησε σε αντίθεση µε το θεώρηµα για τους πραγµατικούς συµµετρικούς πίνακες, όταν ο πίνακας είναι µιγαδικός δεν µπορούµε να επιλέξουµε πάντα τα ιδιοδιανύσµατα να έχουν πραγµατικές τιµές (ποιο σηµείο της απόδειξης δεν ισχύει ;). Παράδειγµα...4 Έστω ο πίνακας i = i i M i Οι ιδιοτιµές του πίνακα Α είναι {,, } a= 88, I, <, 8 I,, I <, 8, I, << 88,, <, 8,, <, 8,,<< Eigevalues@ ad è 9,!!!, è!!! = [ ] ενώ τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα είναι, i( + ), i( + ) Eigevectors@ adêêfullsimplify 98,, <, 9, I + è!!! M,=, 9, I + è!!! M,== Παρατήρησε ότι τα παραπάνω ιδιοδιανύσµατα είναι κάθετα µεταξύ τους. Το φασµατικό θεώρηµα γενικεύεται ως εξής : 4 Ο συζυγής του µιγαδικού αριθµού x = a+ bi, όπου ab,, είναι ο x = a bi (δες κεφάλαιο του ΣΕΥ)..

39 . ιαγωνιοποίηση Ειδικής Κατηγορίας Πινάκων Σελίδα 9 από 6 Θεώρηµα...5 (Φασµατικό Θεώρηµα) Ένας ερµητιανός πίνακας [ ] = QDQ πίνακας * * Q M µπορεί να παραγοντοποιηθεί στην µορφή - µε τα ορθοκανονικά ιδιοδιανύσµατα στον Q και τις ιδιοτιµές στον D. Ο είναι ο συζυγής ανάστροφος του πίνακα Q. Ισχύει και το αντίστροφο, δηλαδή αν υπάρχει πίνακας = QDQ Q M [ ] µε την ιδιότητα * * QQ = Q Q = I, τέτοιος ώστε όπου ο πίνακας D είναι διαγώνιος, τότε ο πίνακας Α θα είναι συµµετρικός. Η παραγοντοποίηση αυτή του πίνακα = QDQ είναι γνωστή και ως Schur παραγοντοποίηση (Schur decompositio ή Schur factorizatio)... Ορθογώνιοι πίνακες (orthogoal matrices) Ορισµός... Ένας πίνακας [ ] M λέγεται ορθογώνιος αν είναι αντιστρέψιµος και ο αντίστροφος του ταυτίζεται µε τον ανάστροφο του δηλ. =. Παράδειγµα... Ο πίνακας = M [ ] είναι ορθογώνιος γιατί = = = I = Μερικές από τις ιδιότητες των ορθογώνιων πινάκων αναφέρονται στο παρακάτω θεώρηµα : Θεώρηµα... (α) Η ορίζουσα ενός ορθογώνιου πίνακα M [ ] είναι ίση µε ±. (β) Ένας πραγµατικός πίνακας είναι ορθογώνιος αν και µόνο αν οι στήλες του αποτελούν µια ορθοκανονική βάση. (γ) Οι ιδιοτιµές ενός ορθογωνίου πίνακα έχουν απόλυτη τιµή ίση µε την µονάδα πρδ. λ =. (δ) Τα ιδιοδιανύσµατα ενός ορθογώνιου πίνακα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές είναι κάθετα µεταξύ τους. (ε) Το γινόµενο δύο ορθογωνίων πινάκων είναι ορθογώνιος πίνακας.

40 . ιαγωνιοποίηση Ειδικής Κατηγορίας Πινάκων Σελίδα 4 από 6 Απόδειξη. (α) Γνωρίζουµε ότι det[ ] σχέση θα έχουµε [ ] [ ] ( ) Έστω ο πίνακας Q [ x x x ] = det και επίσης = I. Από την τελευταία det [ ] = det [ ] [ ] det = det I det det = det = det = ± (β) = του οποίου οι στήλες αποτελούν i = j ορθοκανονική βάση δηλ. xi xj =. Τότε i j x x x x x x x x xx xx xx QQ [ x x x ] = = = = I x xx xx xx ή ισοδύναµα Q = Q και συνεπώς ο πίνακας Q είναι ορθογώνιος. ( ) Από την παραπάνω σχέση επίσης εύκολα διαπιστώνουµε ότι αν ο πίνακας Q i = j είναι ορθογώνιος τότε θα πρέπει να ισχύει η σχέση xi xj = και i j συνεπώς οι στήλες του θα αποτελούν µια ορθοκανονική βάση. (γ) Έστω ένας ορθογώνιος πίνακας M [ ] µε ιδιοτιµή λ και αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα x, x δηλ. x = λx. Τότε θα έχουµε : Επειδή όµως = I ( λ ) ( λ ) λ ( λ ) x x = x x = x x = x x = x x x x = x x x άρα λ = λ =. (δ) Έστω ένας ορθογώνιος πίνακας M [ ] µε διαφορετικές ιδιοτιµές λ, µ στις οποίες αντιστοιχούν τα ιδιοδιανύσµατα xy,, x, y δηλ. x = λx και y = µ y. Για να δείξουµε ότι τα διανύσµατα x, y είναι ορθογώνια θα πρέπει να υπολογίσουµε το εσωτερικό τους γινόµενο : = I x= λx ( λ ) ( µ ) λµ ( λµ ) x y = x y = x y = x y = x y x y = y= µ y εν µπορεί να ισχύει η σχέση λµ = γιατί από το (γ) κάθε ιδιοτιµή έχει απόλυτη τιµή ίση µε την µονάδα και συνεπώς αν ίσχυε αυτή η ισότητα θα είχαµε λ λ = λµ = λ λ µ = λ µ = λ = µ το οποίο όµως δεν ισχύει αφού υποθέσαµε ότι οι ιδιοτιµές είναι διαφορετικές µεταξύ τους. Συνεπώς θα πρέπει να ισχύει η σχέση x y = που αποδεικνύει ότι τα ιδιοδιανύσµατα x, y είναι ορθογώνια. (ε) Έστω QR M [ ], δείξουµε ότι ο πίνακας QR ορθογώνιοι πίνακες δηλ. QQ = I και είναι ορθογώνιος. Παρατήρησε ότι RR I QQ I = = = = = QR QR QRR Q QI Q I RR = I. Τότε θα

41 . ιαγωνιοποίηση Ειδικής Κατηγορίας Πινάκων Σελίδα 4 από 6 Είδαµε στο Φασµατικό Θεώρηµα...7 ότι κάθε συµµετρικός πίνακας M [ ] µπορεί να παραγοντοποιηθεί ως = QDQ όπου ο πίνακας Q M [ ] είναι ορθογώνιος και ο πίνακας D M [ ] είναι διαγώνιος. Η παραπάνω παραγοντοποίηση συµµετρικών πινάκων µπορεί να γενικευτεί και σε µη συµµετρικούς πίνακες όπως αναφέρεται στο παρακάτω θεώρηµα. Θεώρηµα...4 (Schur), όπου ο Α έχει µόνο πραγµατικές ιδιοτιµές. Τότε υπάρχει ένας Έστω M [ ] ορθογώνιος πίνακας [ ] Q M τέτοιος ώστε Q Q= όπου ο πίνακας M [ ] είναι άνω τριγωνικός. Παρακάτω δίνουµε ένα παράδειγµα όπου αναφέρουµε την µεθοδολογία που εφαρµόζουµε προκειµένου να υπολογίσουµε τους πίνακες Q,. Παράδειγµα...5 ίνεται ο πίνακας 4 5 = M [ ] Είναι γνωστό από το παράδειγµα.. ότι µια από τις ιδιοτιµές του πίνακα Α είναι το u =. Μπορούµε να λ = στο οποίο αντιστοιχεί και το ιδιοδιάνυσµα [ ] κανονικοποιήσουµε το διάνυσµα αυτό ώστε να έχει µήκος και συνεπώς να πάρουµε στη θέση του το u =. Χρησιµοποιώντας την µέθοδο Gram-Schmidt υπολογίζουµε διανύσµατα vw, τέτοια ώστε τα { uvw,, } να αποτελούν µια ορθοκανονική βάση. Αρχικά παρατηρούµε ότι τα διανύσµατα u =, v=, w= αποτελούν µια βάση του. Χρησιµοποιώντας την µέθοδο Gram-Schmidt έχουµε:

42 . ιαγωνιοποίηση Ειδικής Κατηγορίας Πινάκων Σελίδα 4 από 6 v u u u ; v v u = = = = = u u = w u w v w = w u v = u u v v = u v w u = =, v, w u = = = = = v w Ένας άλλος τρόπος που θα µπορούσαµε να εφαρµόσουµε για να συµπληρώσουµε την βάση σε ορθοκανονική θα ήταν να υποθέσουµε ότι v w v= v, w= w v w µε µέτρα v + v + v =, w + w + w = και κάθετα µεταξύ τους και µε το διάνυσµα u, v+ v =, w+ w =, vw + vw + vw = Λύνοντας το παραπάνω (αρκετά δύσκολο) σύστηµα θα πάρουµε :

43 . ιαγωνιοποίηση Ειδικής Κατηγορίας Πινάκων Σελίδα 4 από 6 Solve9v + v + v, w + w + w, v + v ==, w +w, v w + v w + v w =, 8v,v,v,w,w,w <E Solve ::svars : Equatios may ot give solutios for all "solve " variables. More ::v, w, v, v, w è!!!,w è!!! >, :v, w, v, v, w è!!!,w è!!! >, :v, w, v, v, w è!!!,w è!!! >, :v, w, v, v, w è!!!,w è!!! >, :v è!!! w,w "############# "############## w w,v,v è!!! :v è!!! w,w "############# w,v :v è!!! w,w "############# w,v "############# w è!!! "############# w è!!!,v,v :v è!! w!,w "############ w # "############# w,v,v è!!! "############# w è!!! "############# w è!!! "############# w è!!! "############# w è!!!,w w >,,w w >,,w w >,,w w >> Μια λύση εκ των οποίων είναι και αυτή που βρήκαµε µε την µέθοδο Gram-Schmidt. Στη συνέχεια σχηµατίζουµε τον πίνακα Q που έχει ως στήλες τα ιδιοδιανύσµατα {,, } u v w : Q = και εκτελούµε τον πολλαπλασιασµό Q Q = = Παρατηρούµε ότι ο πίνακας έχει ήδη γίνει άνω τριγωνικός, γεγονός που δεν συµβαίνει σε όλες τις περιπτώσεις. λόγω της επιλογής των διανυσµάτων uvw,, θα έχουµε u u = u λu = λ u = λ v u v u v u = λ = λ = w u w λu λ w u = = = και συνεπώς καταφέραµε να πάρουµε τον πίνακα µε την µορφή :