ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ

Transcript

1 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΕΣ Κουγιουµτζής ηµήτρης Γενικό Τµήµα, Πολυτεχνική Σχολή ΑΠΘ Θερινό Εξάµηνο 004

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ...4 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ...8. Περιγραφή τατιτικών δεδοµένων Πίνακας και διαγράµµατα υχνοτήτων Οµαδοποίηη και παρουίαη αριθµητικών δεδοµένων.... Περιγραφικά µέτρα τατιτικών δεδοµένων Μέτρα θέης Μέτρα µεταβλητότητας ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Βαικές Έννοιες της Πιθανότητας ειγµατοχώρος Γεγονότα και χέεις γεγονότων Πιθανότητα Κατανοµή Πιθανότητας Τυχαίων Μεταβλητών Κατανοµή πιθανότητας διακριτής τυχαίας µεταβλητής Κατανοµή πιθανότητας υνεχής τυχαίας µεταβλητής Κοινή κατανοµή πιθανότητας δύο τυχαίων µεταβλητών εµευµένες κατανοµές Παράµετροι κατανοµής τυχαίων µεταβλητών Βαικές Θεωρητικές Κατανοµές Τυχαίων Μεταβλητών ιωνυµική κατανοµή Κανονική κατανοµή ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Σηµειακή Εκτίµηη Κριτήρια καλών εκτιµητριών Κατανοµές πιθανοτήτων εκτιµητριών Εκτίµηη ιατήµατος Εµπιτούνης Βαικές ιδιότητες των διατηµάτων εµπιτούνης ιάτηµα εµπιτούνης για τη µέη τιµή µ ιάτηµα εµπιτούνης για την αναλογία p ιάτηµα εµπιτούνης της διαποράς ιάτηµα εµπιτούνης της διαφοράς δύο µέων τιµών ιάτηµα της διαφοράς δύο αναλογιών p p ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ ΚΑΙ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ...66

3 5. Συχέτιη δύο τ.µ Ο υντελετής υχέτιης ρ Σηµειακή εκτίµηη του υντελετή υχέτιης Απλή Γραµµική Παλινδρόµηη Το πρόβληµα της απλής γραµµικής παλινδρόµηης Σηµειακή εκτίµηη παραµέτρων γραµµικής παλινδρόµηης

4 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γενική ειαγωγή Για να µάθουµε για ένα φαινόµενο υνήθως πρώτα υλλέγουµε δεδοµένα. Στατιτική (statstcs) είναι η επιτήµη ή «τέχνη» του να µαθαίνουµε από τα δεδοµένα. Η τατιτική υνίταται τη υλλογή δεδοµένων, την περιγραφή τους και κυρίως την ανάλυη τους που οδηγεί και την απόκτηη υµπεραµάτων. Η υλλογή των δεδοµένων αναφέρεται κι ως δειγµατοληψία (samplg) κι αποτελεί ξεχωριτό πεδίο της τατιτικής που δεν θα µας απαχολήει ιδιαίτερα. Η περιγραφή των δεδοµένων και η παρουίαη υνοπτικών τοιχείων και γραφικών αναφέρεται ως περιγραφική τατιτική (descrptve statstcs). Η ανάλυη τατιτικών δεδοµένων και η ερµηνεία των αποτελεµάτων αναφέρεται ως τατιτική υµπεραµατολογία (statstcal ferece) και αποτελεί την βάη της τατιτικής και γι αυτό αναφέρεται απλά και ως τατιτική. Στατιτικές έννοιες και µέθοδοι είναι εργαλεία όχι απλά χρήιµα αλλά κι απαραίτητα για να καταλάβουµε τον κόµο γύρω µας. Αν για ένα φαινόµενο που µελετάµε δεν υπάρχει αβεβαιότητα ή τυχαιότητα δε χρειάζεται η τατιτική προέγγιη αφού καθοριτικά µοντέλα (determstc models) µπορούν να περιγράψουν το φαινόµενο επακριβώς. Στα πραγµατικά φαινόµενα όµως χεδόν πάντα υπάρχει ο παράγοντας της αβεβαιότητας ή τυχαιότητας κι αυτό κάνει ηµαντική τη γνώη των τατιτικών µεθόδων και µοντέλων για την επίλυη πραγµατικών προβληµάτων. Συγκεκριµένα για κλάδους της µηχανικής όπως η αρχιτεκτονική, η τατιτική µπορεί να βοηθήει την κατανόηη κάποιων χετικών φαινοµένων και διαδικαιών που περιέχουν αβεβαιότητα ή µεταβλητότητα. Για παράδειγµα αν θέλουµε να µελετήουµε την απόταη από το πίτι του φοιτητή το Πανεπιτήµιο, τότε δε µπορούµε να µιλήουµε µε βεβαιότητα γι αυτό το µέγεθος όους φοιτητές κι αν υµπεριλάβουµε για να υλλέξουµε τοιχεία για την απόταη. Μπορούµε όµως να υπολογίουµε τη µέη απόταη από ένα δείγµα φοιτητών. Ένα άλλο παράδειγµα είναι η χέη της κατανάλωης ηλεκτρικής ενέργειας ή νερού µε τη διάταη του χώρου ενός κτιρίου. Η εκτίµηη µιας τέτοιας χέης µπορεί να γίνει µόνο µε τατιτικές µεθόδους αφού οι µετρήεις ηλεκτρικής ενέργειας και διάταης χώρου για κάθε κτίριο επηρεάζονται από πολλούς άλλους παράγοντες κι εµπεριέχουν έτι τυχαιότητα. Πληθυµός είγµα ειγµατοληψία Όλες οι παρατηρήεις που υλλέγουµε είτε από οργανωµένα πειράµατα ή από απλές καταγραφές αποτελούν τα τατιτικά τοιχεία ή δεδοµένα (data) που θέλουµε να επεξεργατούµε µε τατιτικές µεθόδους για να καταλήξουµε ε υµπεράµατα. Τα δεδοµένα αυτά υλλέγονται από µια καθοριµένη υλλογή τοιχείων που αποτελεί τον πληθυµό (populato) που µας ενδιαφέρει. Για παράδειγµα µας ενδιαφέρει η κατανοµή της ηλικίας των ανθρώπων που µένουν ή κινούνται ε µια υγκεκριµένη περιοχή της πόλης (ίως αυτό µας δώει ενδείξεις για τη χρηιµοποίηη ή αποφυγή καλοπατιών ε υγκεκριµένα ηµεία ή κτίρια της πόλης!). Ο πληθυµός που µας ενδιαφέρει είναι όλοι οι άνθρωποι που κινούνται αυτήν την περιοχή. Για να γνωρίζουµε την κατανοµή της ηλικίας θα έπρεπε να µάθουµε την ηλικία 4

5 όλων των ανθρώπων που κινούνται την περιοχή, που είναι πρακτικά πολύ δύκολο ή αδύνατο. Αντί γι αυτό υλλέγουµε ένα υπούνολο του πληθυµού που λέγεται δείγµα (sample) µε κάποιον προκαθοριµένο τρόπο. Ας υποθέουµε πως διαλέγουµε να µετρήουµε την ηλικία των εκατό πρώτων ανθρώπων που επικέπτονται ένα πρωί το δηµοτικό γυµνατήριο της περιοχής. Το δείγµα λοιπόν αποτελείται από τα 00 αυτά άτοµα. Ένας ολόκληρος κλάδος της τατιτικής που λέγεται δειγµατοληψία αχολείται µε την οργάνωη και υλλογή των δειγµάτων. εν θα αχοληθούµε εδώ µε αυτό το θέµα αλλά θα ηµειώουµε πως για να είναι η τατιτική έρευνα έγκυρη πρέπει το δείγµα να είναι αντιπροωπευτικό (represetatve) του πληθυµού και τυχαίο (radom), δηλαδή τα τοιχεία του δείγµατος να έχουν υλλεχθεί µε τυχαίο τρόπο από τον πληθυµό. Στο παραπάνω παράδειγµα θα είχαµε οβαρές αµφιβολίες για την αντιπροωπευτικότητα του δείγµατος ως προς την ηλικία (θα περιείχε νέους κι ηλικιωµένους αλλά όχι εργαζόµενους που θα δούλευαν το πρωί που έγινε η δειγµατοληψία και που φυιολογικά ανήκουν την ενδιάµεη ηλικία), αλλά και ως προς την τυχαιότητα του δείγµατος (άτοµα µε µεγαλύτερη κινητική δρατηριότητα θα επικέπτονταν το γυµνατήριο). Ο βαικός κοπός της τατιτικής υµπεραµατολογίας και γενικότερα της τατιτικής είναι η µελέτη κι ανάλυη του δείγµατος που θα οδηγήει ε γενικά υµπεράµατα που αφορούν τον πληθυµό. Σε αντίθεη, η θεωρία πιθανοτήτων (probablty theory), που αποτελεί και τη βάη της τατιτικής, θεωρώντας γνωτές ιδιότητες του πληθυµού απαντάει ε ερωτήµατα για ένα δείγµα από τον πληθυµό (δες Εικόνα.). Πιθανότητες Πληθυµός είγµα Στατιτική Εικόνα. Σχέη µεταξύ πιθανοτήτων και τατιτικής Μεταβλητή Συνήθως ενδιαφερόµατε για κάποια υγκεκριµένα χαρακτηριτικά των τοιχείων του πληθυµού που µελετάµε: το πάχος του κάθε τοίχου ενός κτιριακού υγκροτήµατος, το φύλο και το χρόνο πουδών κάθε απόφοιτου του Πολυτεχνείου. Για τον πληθυµό του παραδείγµατος που χρηιµοποιήαµε παραπάνω το χαρακτηριτικό των ανθρώπων της περιοχής που µας ενδιαφέρει είναι η ηλικία. Οποιοδήποτε χαρακτηριτικό του οποίου η τιµή αλλάζει από το ένα τοιχείο του πληθυµού το άλλο λέγεται τυχαία µεταβλητή (radom varable) και για υντοµία θα γράφουµε τ.µ.. Στο εξής θα χρηιµοποιούµε κεφαλαία πλάγια λατινικά γράµµατα για να δηλώνουµε τις µεταβλητές, όπως = φύλο του απόφοιτου, Y = πάχος του τοίχου, και µε µικρούς πλάγιους λατινικούς χαρακτήρες θα υµβολίζουµε τις παρατηρήεις, όπως y, y,, y είναι παρατηρήεις της µεταβλητής Y. 5

6 Οι τιµές που παίρνει µια µεταβλητή µπορεί να είναι κατηγορίες και τότε λέγεται ποιοτική (qualtatve) τ.µ.. Η τ.µ. µπορεί επίης να παίρνει αριθµητικές τιµές ε κάποια µονάδα µέτρηης και τότε λέγεται ποοτική (quattatve) τ.µ.. Για παράδειγµα το φύλο του αποφοίτου είναι ποιοτική τ.µ. γιατί µπορεί να πάρει µόνο δύο τιµές που αντιτοιχούν τις δύο κατηγορίες (αρενικό και θηλυκό). Ο χρόνος πουδών του απόφοιτου ή το πάχος του τοίχου είναι ποοτικές τ.µ. γιατί παίρνουν αριθµητικές τιµές µε µονάδες µέτρηης το έτος (ή το εξάµηνο) και το εκατοτό αντίτοιχα. Η τ.µ. του χρόνου πουδών του αποφοίτου µπορεί να πάρει µόνο διακεκριµένες τιµές, από 5 χρόνια ή 0 εξάµηνα µέχρι κάποιο ανώτατο χρονικό όριο (εδώ κάποιος µπορεί να ιχυριτεί ότι αυτό το όριο δεν είναι υγκεκριµένο αλλά ταυτίζεται µε το χρόνο ζωής του ανθρώπου!). Μια τέτοια ποοτική τ.µ. λέγεται διακριτή (dscrete) ε αντίθεη µε µια ποοτική τ.µ. που παίρνει τιµές ένα υνεχές διάτηµα και λέγεται υνεχής (cotuous), όπως το πάχος του τοίχου που παίρνει τιµές ένα διάτηµα τιµών (ας πούµε από 5 ως 30 εκατοτά). Βέβαια την πράξη οι µετρήεις δεν είναι υνεχείς λόγω της περιοριµένης ακρίβειας της µέτρηης. Έτι για το πάχος του τοίχου ενώ θεωρητικά µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή µέα το διάτηµα, πρακτικά µπορεί να µετρηθεί µε ακρίβεια εκατοτού ή χιλιοτού, δηλαδή να πάρει µια τιµή από ένα ύνολο διακεκριµένων τιµών. εδοµένα Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι τα δεδοµένα εξαρτώνται από την κλίµακα µέτρηης που χρηιµοποιούµε. Μία πρώτη διάκριη προκύπτει από τη διαφοροποίηη των τ.µ. ε ποιοτικές και ποοτικές. Έτι αν τα δεδοµένα αφορούν ποιοτικές τ.µ., είναι δηλαδή κατηγορίες, χαρακτηρίζονται ως κατηγορικά (categorcal) δεδοµένα, ενώ όταν αφορούν ποοτικές τ.µ. και παίρνουν αριθµητικές τιµές χαρακτηρίζονται ως αριθµητικά (umercal) δεδοµένα ή απλά µετρήεις. Τα δεδοµένα λοιπόν για το φύλο του αποφοίτου είναι κατηγορικά ενώ τα δεδοµένα για το χρόνο πουδών του αποφοίτου και το πάχος του τοίχου είναι αριθµητικά. Σε κάποια προβλήµατα µπορεί να επιθυµούµε να µετατρέψουµε τα αριθµητικά δεδοµένα ε κατηγορικά οµαδοποιώντας τα. Για παράδειγµα για το χρόνο πουδών του αποφοίτου µπορούµε αντί για την ακριβή τιµή ε εξάµηνα να θεωρήουµε οµάδες ή κατηγορίες χρόνου πουδών όπως: () κανονική διάρκεια (0- εξάµηνα), () µε µικρή καθυτέρηη (3-6 εξάµηνα), (3) µε µεγάλη καθυτέρηη (περιότερα από 6 εξάµηνα!). Για τις κατηγορίες των κατηγορικών δεδοµένων η διάταξη µπορεί να είναι ηµαντική και τότε τα δεδοµένα λέγονται διατακτικά (ordal), όπως οι κατηγορίες χρόνου πουδών του αποφοίτου, ή µπορεί να µην είναι ηµαντική και τότε τα δεδοµένα λέγονται ονοµατικά (omal), όπως το φύλο του απόφοιτου. Σε αναλογία µε τη διάκριη των ποοτικών τ.µ. ε διακριτές και υνεχείς διακρίνουµε τα αριθµητικά δεδοµένα ε διακριτά και υνεχή. Τα υνεχή δεδοµένα χαρακτηρίζονται από δύο επιµέρους ιδιότητες που τα διακρίνουν άλλες δύο κατηγορίες: τα διατηµατικά (terval) δεδοµένα, για τα οποία οι διαφορές αριθµητικών τιµών είναι υγκρίιµες, και τα αναλογικά (rato) δεδοµένα, για τα οποία είναι υγκρίιµες όχι µόνο οι διαφορές αλλά κι ο λόγος των τιµών. Για παράδειγµα τα δεδοµένα ένταης του ειµού την κλίµακα 6

7 Rchter δε µπορούν να θεωρηθούν διατηµατικά γιατί η διαφορά 0. βαθµού το επίπεδο των 3 βαθµών δεν είναι το ίδιο µεγάλη όο το επίπεδο των 7 βαθµών (δε µπορεί να γίνει άµεη ύγκριη διαφορών τιµών χωρίς αναφορά το επίπεδο τιµών). Τα δεδοµένα του χρόνου πουδών των αποφοίτων είναι διατηµατικά γιατί οι διαφορές του χρόνου αποφοίτηης µπορούν να υγκριθούν. Βέβαια τα όρια δεν είναι ξεκάθαρα και κάποιος µπορεί να υποτηρίξει ότι µια διαφορά χρόνου πουδών που αναφέρεται ε χρόνους πουδών επιπέδου 0- εξαµήνων έχει µεγαλύτερη βαρύτητα απ ότι έχει η ίδια διαφορά που αναφέρεται ε επίπεδο χρόνου πουδών 0 εξαµήνων! Επίης δεν είναι πάντα ξεκάθαρο αν τα δεδοµένα είναι αναλογικά ή απλά διατηµατικά (µπορούµε να µιλάµε για υγκρίιµες αναλογίες ηλικίας;). Αυτή η τελευταία διάκριη δε θα µας απαχολήει τη υνέχεια και παραθέτεται µόνο για πληρότητα της παρουίαης των χαρακτηριτικών των δεδοµένων. Στην Εικόνα. παρουιάζονται ιεραρχικά οι κύριες διακρίεις των δεδοµένων εδοµένα Κατηγορικά Αριθµητικά Ονοµατικά ιατακτικά ιακριτά Συνεχή Εικόνα. Σχηµατική διάκριη των δεδοµένων 7

8 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σ αυτό το κεφάλαιο θα δούµε πρώτα τρόπους να παρουιάουµε τα δεδοµένα µε τατιτικούς πίνακες και διαγράµµατα και µετά να υνοψίουµε τα δεδοµένα υπολογίζοντας υνοπτικά µέτρα.. Περιγραφή τατιτικών δεδοµένων Κοιτώντας µια λίτα δεδοµένων, είτε αυτά είναι αριθµητικές τιµές ή κατηγορίες, είναι δύκολο να χηµατίουµε µια πρώτη εντύπωη για τα χαρακτηριτικά των δεδοµένων που µας ενδιαφέρουν. Οι τατιτικοί πίνακες και γραφικές παρατάεις αποτελούν χρήιµα µέα για να παρουιάουµε τα δεδοµένα καθαρά, ύντοµα και µε αφήνεια. Επίης µπορούν να αποκαλύψουν ηµαντικά χαρακτηριτικά των δεδοµένων, όπως το εύρος τους ή η υµµετρικότητα τους... Πίνακας και διαγράµµατα υχνοτήτων Ένα δείγµα που έχει χετικά µικρό αριθµό διακεκριµένων τιµών (κατηγορίες ή αριθµητικές τιµές) µπορεί εύκολα να παρουιατεί ένα πίνακα υχνοτήτων (frequecy table). Ο πίνακας υχνοτήτων παρουιάζει για κάθε παρατήρηη x τη υχνότητα εµφάνιης της f, δηλαδή πόες φορές εµφανίζεται η κάθε διακεκριµένη τιµή το δείγµα. Εύκολα µπορούµε επίης να υπολογίουµε και τη χετική υχνότητα (relatve frequecy) εµφάνιης ή αλλιώς το ποοτό (percet) p που ορίζεται από το λόγο της υχνότητας εµφάνιης f µιας τιµής x προς το ύνολο των παρατηρήεων του δείγµατος Εξ. f p =. Πολλές φορές για διατακτικά κατηγορικά ή διακριτά αριθµητικά δεδοµένα µας ενδιαφέρει κι η αθροιτική υχνότητα F µιας παρατήρηης x, που είναι το άθροιµα των υχνοτήτων των παρατηρήεων από τη µικρότερη µέχρι και τη x παρατήρηη, F f = j= j, όπου οι δείκτες και j αντιτοιχούν τις παρατηρήεις x και x j και είναι x j < x. Με τον ίδιο τρόπο ορίζεται και η αθροιτική χετική υχνότητα. Τα δεδοµένα του πίνακα υχνοτήτων εύκολα µπορούν να παραταθούν γραφικά ένα ραβδόγραµµα (bar chart), όπου η κάθε ράβδος παρουιάζει τη υχνότητα (ή τη χετική υχνότητα ή την αθροιτική υχνότητα) για κάθε παρατήρηη x. Η ίδια πληροφορία µπορεί να δοθεί µ ένα κυκλικό διάγραµµα ή διάγραµµα πίτας (pe chart) όπου το κάθε κοµµάτι της επιφάνειας του κύκλου («πίτα») παρουιάζει τη υχνότητα της αντίτοιχης τιµής. Υπάρχουν κι άλλου είδους γραφήµατα που είναι την ουία παραλλαγές του απλού ραβδογράµµατος, όπως το πολύγωνο υχνοτήτων που είναι η γραµµή που ενώνει τις κορυφές του ραβδογράµµατος. Παράδειγµα. (δωµάτια διαµερίµατος) Για τη µελέτη του αριθµού των διακεκριµένων δωµατίων ανά διαµέριµα ε µια περιοχή της πόλης υλλέχτηκαν τοιχεία από 0 διαµερίµατα πολυκατοικιών όπως δείχνει ο παρακάτω πίνακας. 8

9 Πίνακας. Αριθµός δωµατίων ε δείγµα 0 διαµεριµάτων Η µεταβλητή που µετρήαµε είναι ο αριθµός δωµατίων διαµερίµατος. Τα δεδοµένα του Πίνακας. µπορούν να χαρακτηριτούν είτε αν διακριτά αριθµητικά (ως αριθµοί από το ως το ανώτατο αριθµό δωµατίων) ή αν διατακτικά κατηγορικά (κατηγορίες διαµεριµάτων µε βάη τον αριθµό δωµατίων, γκαρονιέρα, δυάρι κτλ.). Με βάη τον Πίνακας. δεν είναι εύκολο να µελετήουµε την υχνότητα εµφάνιης των διαφόρων αριθµών δωµατίων. Ποιος αριθµός δωµατίων εµφανίζεται υχνότερα; Είναι περιότερα διαµερίµατα 4 ή 5 δωµατίων; Για να απαντήουµε ε τέτοια ερωτήµατα µπορούµε να µετρήουµε πόες φορές εµφανίζεται ο κάθε αριθµός δωµατίων και να φτιάξουµε έτι τον πίνακα υχνοτήτων. Αυτούς τους απλούς υπολογιµούς µπορούµε εύκολα να τους κάνουµε µόνοι µας αλλά όταν το δείγµα είναι µεγάλο θα χρειατεί να χρηιµοποιήουµε κάποιο υπολογιτικό πρόγραµµα. Εδώ χρηιµοποιούµε το τατιτικό πακέτο SPSS και οι πίνακες και τα γραφήµατα που παρουιάζονται είναι από αυτό το τατιτικό πρόγραµµα. Για να κάνουµε του υπολογιµούς το SPSS αποθηκεύαµε τα δεδοµένα µας ε µια τήλη µε το όνοµα «rooms». ROOMS Vald Total Cumulatve Frequecy Percet Vald Percet Percet Πίνακας. Πίνακας υχνοτήτων για τον αριθµό δωµατίων 0 διαµεριµάτων. Ο Πίνακας. παρουιάζει τις τιµές (αριθµός δωµατίων x για από ως 9) την πρώτη τήλη, τη υχνότητα f της κάθε τιµής x τη δεύτερη τήλη και τη χετική υχνότητα (ποοτό) την τρίτη τήλη. Επιπλέον το αθροιτικό ποοτό παρουιάζεται την πέµπτη τήλη. (Η τέταρτη τήλη είναι για να διαχωρίει τα ποοτά όταν υπάρχουν µη αναγνωρίιµες τιµές τα δεδοµένα και δε θα µας απαχολήει). Από τον πίνακα υχνοτήτων είναι φανερό πως τα περιότερα διαµερίµατα το δείγµα µας έχουν ή 3 δωµάτια, λιγότερα διαµερίµατα έχουν 9

10 δωµάτιο ή 4 δωµάτια κι ακόµα λιγότερα έχουν 5 δωµάτια, ενώ βρέθηκαν ελάχιτα διαµερίµατα µε πάνω από 5 δωµάτια. Σηµείωη: Όταν υπάρχει κάποιο εύρος τιµών που δεν έχει υψηλή υχνότητα, υνήθως οµαδοποιούµε αυτές τις τιµές ε µια καινούρια κατηγορία. Στο παράδειγµα, µπορούµε να δηµιουργήουµε την κατηγορία «x>5» που θα υµπεριλαµβάνει τις τιµές µεγαλύτερες του 5. Στο SPSS δηµιουργούµε την κατάλληλη καινούρια τήλη δεδοµένων µε το όνοµα «rooms». Στην Εικόνα. παρουιάζεται το ραβδόγραµµα όταν έχουµε την κάθε τιµή ως µια κατηγορία και όταν χρηιµοποιούµε την οµαδοποίηη όπως ορίτηκε την παραπάνω Σηµείωη. Στην Εικόνα. οι υχνότητες των δωµατίων (µετά την οµαδοποίηη) δίνονται ε µορφή κυκλικού διαγράµµατος. (α) (β) 40 ROOMS 40 ROOMS Frequecy Frequecy >5.00 ROOMS ROOMS Εικόνα. Ραβδόγραµµα του αριθµού δωµατίων των 0 διαµεριµάτων, (α) όταν ο κάθε αριθµός δωµατίων αποτελεί µια κατηγορία και (β) όταν οι αριθµοί δωµατίων µεγαλύτεροι του 5 αποτελούν µια κατηγορία. 0.83% 5.83% % rooms % % % Εικόνα. Κυκλικό διάγραµµα για τα δωµάτια διαµεριµάτων µετά από οµαδοποίηη των «πολλών δωµατίων». 0

11 Όλα τα παραπάνω γραφήµατα απεικονίζουν την ίδια υνοπτική πληροφορία και είναι περιότερο θέµα προωπικής προτίµηης η επιλογή του ενός ή του άλλου τύπου γραφήµατος... Οµαδοποίηη και παρουίαη αριθµητικών δεδοµένων Όταν τα δεδοµένα είναι αριθµητικά και ο αριθµός των διακεκριµένων τιµών είναι µεγάλος ή οι τιµές ανήκουν ένα διάτηµα τιµών τότε οι πίνακες και τα γραφήµατα υχνοτήτων των τιµών δεν προφέρονται για την απεικόνιη των δεδοµένων. Σε τέτοιες περιπτώεις πρώτα χωρίζουµε τα δεδοµένα ε οµάδες (groups), ή κλάεις διατηµάτων, και µετά παρουιάζουµε τη υχνότητα οµάδας, δηλαδή τον αριθµό των δεδοµένων ε κάθε οµάδα, είτε ε πίνακα ή ε γράφηµα. Το εύρος τιµών της κάθε οµάδας είναι υνήθως το ίδιο. εν υπάρχει υγκεκριµένος τρόπος να το καθορίουµε και το διαλέγουµε ανάλογα µε την κλίµακα τιµών για την οποία µας ενδιαφέρει να δούµε διαφορές. Γενικά φροντίζουµε να είναι τέτοιο ώτε να µην προκύπτουν πολλές οµάδες µε αποτέλεµα να έχουµε µικρές υχνότητες γιατί τότε δε µπορούµε να διακρίνουµε κάποιο χηµατιµό τα δεδοµένα. Από την άλλη δε θα πρέπει οι οµάδες να είναι πολύ λίγες γιατί τότε δε θα µπορούµε να διακρίνουµε διαφορές παρά µόνο για µεγάλες κλίµακες τιµών. Για το χωριµό των δεδοµένων ε οµάδες βρίκουµε πρώτα τη µικρότερη (ελάχιτη) και µεγαλύτερη (µέγιτη) τιµή x m και x max αντίτοιχα και υπολογίζουµε το εύρος των δεδοµένων R= x max - x m. ιαιρώντας το R µε τον αριθµό των οµάδων που επιλέγουµε έχουµε το εύρος τιµών της κάθε οµάδας το οποίο υνήθως τρογγυλοποιούµε για να έχουµε εύχρητα νούµερα. Η πρώτη οµάδα έχει αν κάτω άκρο του διατήµατος κάποιον κατάλληλα τρογγυλοποιηµένο αριθµό µικρότερου του x m, τα διατήµατα των οµάδων είναι ιοµήκη και το διάτηµα της τελευταίας οµάδας περιλαµβάνει το x max. Για τα διατήµατα διαλέγουµε υµβατικά να είναι κλειτά από αριτερά (να περιέχουν την ακραία µικρότερη τιµή) κι ανοιχτά από δεξιά (να µην περιέχουν την ακραία µεγαλύτερη τιµή). Έχοντας οµαδοποιήει τα αριθµητικά δεδοµένα µπορούµε να κάνουµε τον πίνακα και τα γραφήµατα υχνοτήτων όπως και πριν. Ειδικότερα για το ραβδόγραµµα για την κάθε ράβδο παίρνουµε το κέντρο του διατήµατος που αντιτοιχεί ε κάθε οµάδα. Επίης δεν υπάρχει διάτηµα µεταξύ των ράβδων και το γράφηµα αυτό λέγεται ιτόγραµµα (hstogram). Στον κάθετο άξονα του ιτογράµµατος µπορεί να είναι η υχνότητα f, η χετική υχνότητα (ποοτό) p, ή ακόµα η αθροιτική υχνότητα F για την κάθε οµάδα. Όταν τα δεδοµένα είναι χετικά λίγα, µε µικρούς θετικούς αριθµούς µπορούµε να παρουιάουµε την κατανοµή τους µε φυλλογράφηµα (stem ad leaf plot). Χωρίζουµε τα δεδοµένα ε δύο µέρη: το µίχο (stem) και το φύλλο (leaf) ανάλογα µε τα ψηφία των µετρήεων του δείγµατος. Το φύλλο έχει µόνο το τελευταίο ψηφίο (και κάνουµε τρογγυλοποίηη των αριθµών αν χρειατεί). Για παράδειγµα, αν τα δεδοµένα είναι διψήφια ο µίχος είναι το ψηφίο της δεκάδας και το φύλλο το ψηφίο της µονάδας. Έτι τις µετρήεις 3 και 7 θα τις δηλώναµε ως εξής

12 Μίχος Φύλλο 3,7 ιατάουµε µε αυτόν τον τρόπο τα ψηφία όλων των δεδοµένων φροντίζοντας τα ψηφία την περιοχή του φύλλου να είναι ε αύξουα ειρά. Συνήθως χηµατίζουµε µια κάθετη γραµµή για να διαχωρίουµε το µίχο από το φύλλο. Στην ουία το φυλλογράφηµα οµαδοποιεί τα δεδοµένα µε βάη το µίχο. Γι αυτό και µπορούµε να διαλέξουµε άλλη διάταξη το µίχο, π.χ. πεντάδες αντί για δεκάδες που θα χώριζε τους αριθµούς 3 και 7 ε δύο γραµµές (η µία για αριθµούς από 0 µέχρι και 4 κι άλλη για αριθµούς από 5 µέχρι και 9). Το φυλλογράφηµα έχει τα χαρακτηριτικά του ιτογράµµατος που δείχνει την κατανοµή των δεδοµένων. Μας επιτρέπει όµως ακόµα να εντοπίουµε εύκολα τυπικές ή αντιπροωπευτικές τιµές του δείγµατος, π.χ. την κεντρική τιµή των δεδοµένων (αυτή που έχει τα µιά δεδοµένα µικρότερα και τα άλλα µιά µεγαλύτερα). Παράδειγµα. (ανάφλεξη υλικού ταπεταρίας) Στον Πίνακας.3 δίνονται οι χρόνοι ανάφλεξης 30 δοκιµίων κάποιου υλικού ταπεταρίας που εκτέθηκε τη φωτιά (µε ακρίβεια δεύτερου δεκαδικού του δευτερολέπτου) Πίνακας.3 Χρόνοι ανάφλεξης ε δευτερόλεπτα 30 δοκιµίων από κάποιο υλικό ταπεταρίας. Ονοµάζουµε τη µεταβλητή του χρόνου ανάφλεξης. Ο µικρότερος χρόνος είναι x m =.5s, ο µεγαλύτερος χρόνος είναι x max =9.45s και το εύρος των δεδοµένων είναι R=7.93. ιαλέγουµε να χωρίουµε τα δεδοµένα ε 8 οµάδες εύρους s αρχίζοντας από την τιµή.5. Ο πίνακας υχνοτήτων δίνεται τον Πίνακας.4. TIMES 8 groups Vald Total Cumulatve Frequecy Percet Vald Percet Percet Πίνακας.4 Πίνακας υχνοτήτων των χρόνων ανάφλεξης χωριµένων ε 8 οµάδες.

13 Cout Cout Στην Εικόνα.3 δίνονται το ιτόγραµµα υχνοτήτων και το ιτόγραµµα αθροιτικών υχνοτήτων. Φαίνεται και γραφικά ότι η υψηλότερη υχνότητα αντιτοιχεί το διάτηµα τιµών [ ) που δίνεται από τη ράβδο κεντραριµένη το κέντρο του διατήµατος. Αθροιτικά βλέπουµε πως τα 0 από τα 30 δοκίµια δίνουν χρόνους ανάφλεξης ως και 6.5s, που δίνεται από τη ράβδο του ιτογράµµατος αθροιτικής υχνότητας για το διάτηµα [ ) µε κέντρο το 6. (α) (β) tme tme Εικόνα.3 Ιτόγραµµα των χρόνων ανάφλεξης χωριµένων ε 8 οµάδες (α) υχνότητες και (β) αθροιτικές υχνότητες. Στον Πίνακας.5 παρουιάζεται το φυλλογράφηµα των χρόνων ανάφλεξης, αφού πρώτα έχει γίνει τρογγυλοποίηη των δεδοµένων το πρώτο δεκαδικό. Μίχος είναι οι µονάδες και φύλλο τα πρώτα δεκαδικά. Η κεντρική τιµή µπορεί εύκολα να βρεθεί από το φυλλογράφηµα. Είναι ο χρόνος ανάφλεξης 5.0s, που προκύπτει από τη θέη 5 της περιοχής του φύλλου καθώς µετράµε από πάνω προς τα κάτω. Φυλλογράφηµα των χρόνων ανάφλεξης TIME Stem-ad-Leaf Plot Μίχος Φύλλο Frequecy Stem & Leaf Stem wdth:.00 Each leaf: case(s) Πίνακας.5 Φυλλογράφηµα των χρόνων ανάφλεξης, τα αριτερά ε τυπική απλή µορφή και δεξιά όπως το δίνει το SPSS. Ο πίνακας και το ιτόγραµµα υχνοτήτων (αλλά και το φυλλογράφηµα) δείχνουν µικρές υχνότητες για όλες τις οµάδες (από µέχρι 6) και δε µπορούµε έτι να εκτιµήουµε τη διαφορά τη υχνότητα των οµάδων. Μπορούµε να πούµε αν οι χρόνοι ανάφλεξης επιπέδου που έχουν υχνότητα 4 είναι πιο πιθανοί από τους χρόνους ανάφλεξης ε επίπεδο που έχουν υχνότητα 3; 3

14 Για να πάρουµε µεγαλύτερες υχνότητες χωρίζουµε τα δεδοµένα ε 4 οµάδες, η κάθε µια εύρους s και παίρνουµε τον παρακάτω πίνακα υχνοτήτων. TIMES 4 groups Vald Total Cumulatve Frequecy Percet Vald Percet Percet Πίνακας.6 Πίνακας υχνοτήτων των χρόνων ανάφλεξης χωριµένων ε 4 οµάδες. Οι υχνότητες είναι φυικά µεγαλύτερες και φαίνονται έτι καλύτερα οι διαφορές µεταξύ των οµάδων. Για παράδειγµα η δεύτερη οµάδα (επίπεδο χρόνου ανάφλεξης ) έχει υψηλότερη υχνότητα από την τέταρτη (επίπεδο χρόνου ανάφλεξης ), αλλά αυτή η πληροφορία δε µας αρκεί αν ενδιαφερόµατε για µικρότερα διατήµατα χρόνου. Από τον παραπάνω πίνακα δε µπορούµε να αποφανθούµε για τη διαφορά τους χρόνους επιπέδου κι επιπέδου που ρωτήαµε παραπάνω. Ίως θα έπρεπε να χωρίουµε τα δεδοµένα ε 6 οµάδες. Βλέπουµε λοιπόν πως δεν υπάρχει ακριβής και µοναδικός τρόπος οµαδοποίηης των δεδοµένων. Από το ιτόγραµµα ή το φυλλογράφηµα των αριθµητικών τιµών του δείγµατος µπορούµε να αναγνωρίουµε χαρακτηριτικά της κατανοµής της τυχαίας µεταβλητής που µελετάµε. Το χήµα του ιτογράµµατος ή φυλλογραφήµατος µπορεί να υποδηλώνει µονοκόρυφη (umodal) κατανοµή, αν οι υχνότητες εµφανίζουν µία µόνο κορυφή, ή κατανοµή µε περιότερες κορυφές. Επίης µπορεί να υποδηλώνει υµµετρική (symmetrc) κατανοµή αν το αριτερό κοµµάτι του χήµατος είναι καθρέπτης του δεξιού. Επίης µια µονοκόρυφη κατανοµή µπορεί να φαίνεται λοξή ή αύµµετρη (skewed), θετικά λοξή αν η δεξιά ουρά προεκτείνεται πολύ ε χέη µε την αριτερή, κι αρνητικά λοξή αν υµβαίνει το αντίθετο. (α) (β) (γ) (δ) Εικόνα.4 Λείες καµπύλες ιτογραµµάτων χαρακτηριτικών κατανοµών: (α) υµµετρική µονοκόρυφη, (β) µε δύο κορυφές, (γ) θετικά λοξή και (δ) αρνητικά λοξή. 4

15 Στην Εικόνα.4 δίνονται διαγραµµατικά οι παραπάνω περιπτώεις µε λείες γραµµές (που υποθετικά υνδέουν τις κορυφές των ράβδων του κάθε ιτογράµµατος).. Περιγραφικά µέτρα τατιτικών δεδοµένων Ο πίνακας υχνότητας, το ιτόγραµµα και το φυλλογράφηµα αποτελούν µορφές υνοπτικής παρουίαης των δεδοµένων για να µελετήουµε ποιοτικά την κατανοµή τους. Στη υνέχεια θα υπολογίουµε ποοτικά µεγέθη που περιγράφουν µε περιληπτικό τρόπο τα βαικά χαρακτηριτικά των δεδοµένων και λέγονται υνοπτικά ή περιγραφικά µέτρα (summarsg or descrptve statstcs). Κάθε τέτοιο µέτρο υπολογίζεται από το δείγµα κι όπως θα δούµε τα επόµενα κεφάλαια αποτελεί εκτίµηη κάποιας παραµέτρου της κατανοµής της τ.µ. που παρατηρήαµε. Θα αχοληθούµε µε δύο τύπους περιγραφικών µέτρων: τα µέτρα θέης (measures of locato) που προδιορίζουν χαρακτηριτικές θέεις των δεδοµένων. τα µέτρα µεταβλητότητας (varablty measures) που δίνουν περιληπτικά τη διακόρπιη και µεταβλητότητα των δεδοµένων... Μέτρα θέης Σηµαντικότερα µέτρα θέης είναι τα µέτρα κεντρικής τάης που προδιορίζουν ένα κεντρικό ηµείο γύρω από το οποίο τείνουν να υγκεντρώνονται τα δεδοµένα. Τα κυριότερα µέτρα κεντρικής τάης είναι: η δειγµατική µέη τιµή (sample mea) ή αριθµητικός µέος (arthmetc mea), ή µέος όρος (average), η δειγµατική διάµεος (sample meda), η δειγµατική επικρατούα τιµή (sample mode) Μέη τιµή Η δειγµατική µέη τιµή είναι το πιο γνωτό και χρήιµο µέτρο του κέντρου των δεδοµένων. Έτω x, x,, x, οι τιµές των παρατηρήεων του δείγµατος για µια µεταβλητή που µελετάµε. Η δειγµατική µέη τιµή υµβολίζεται x κι ορίζεται ως Εξ. x x = + x + + x = Η µέη τιµή είναι το «κέντρο ιορροπίας» των δεδοµένων. Για να καταλάβουµε τη φυική της ηµαία ας φαντατούµε µία ανίδα πάνω την οποία κορπίζουµε ένα αριθµό ίδιων βαριδιών. Το ηµείο τήριξης της ανίδας (ώτε να ιορροπεί ε οριζόντια θέη) είναι η µέη τιµή της θέης των βαριδιών πάνω τη ανίδα, όπως φαίνεται και το παρακάτω χήµα = x. 5

16 Μέη τιµή Εικόνα.5 Σχηµατική παρουίαη της µέης τιµής. ιάµεος Η δειγµατική διάµεος είναι ένα άλλο µέτρο του κέντρου των δεδοµένων και ορίζεται ως η κεντρική τιµή όταν διατάξουµε τα δεδοµένα ε αύξουα ειρά. Θα τη υµβολίζουµε ~ x. Αν ο αριθµός των δεδοµένων είναι περιττός τότε ~ x είναι η τιµή τη θέη (+)/, ενώ αν το είναι άρτιος τότε το ~ x είναι το ηµιάθροιµα των τιµών τις θέεις / και /+. Για παράδειγµα ε δείγµα τριών τιµών η διάµεος είναι η δεύτερη µικρότερη και ε δείγµα τεάρων τιµών η διάµεος είναι ο µέος όρος της δεύτερης και τρίτης µικρότερης τιµής. Επικρατούα τιµή Η δειγµατική επικρατούα τιµή χρηιµοποιείται επίης για να δηλώει την κεντρική τάη των δεδοµένων κι ορίζεται ως η τιµή που εµφανίζεται µε τη µεγαλύτερη υχνότητα. Αν υπάρχουν πάνω από µία τέτοιες τιµές, τότε όλες αυτές θεωρούνται επικρατούες τιµές. Η δειγµατική µέη τιµή είναι το πιο ηµαντικό από τα τρία µέτρα κεντρικής τάης και θα µας απαχολήει ιδιαίτερα καθώς θα τη χρηιµοποιήουµε τη τατιτική υµπεραµατολογία (τα επόµενα κεφάλαια) για να βγάλουµε υµπεράµατα για τη µέη τιµή µ του πληθυµού. Για τον υπολογιµό της µέης τιµής χρηιµοποιούνται όλες οι τιµές του δείγµατος, ενώ για τη διάµεο µόνο η τάξη τους. Γι αυτό και η µέη τιµή επηρεάζεται από µακρινές τιµές αλλά όχι η διάµεος. Για ονοµατικά κατηγορικά δεδοµένα δεν έχει νόηµα να µιλάµε για διάµεο και µέη τιµή όπως δεν έχει νόηµα να µιλάµε για επικρατούα τιµή για αριθµητικά δεδοµένα που οι τιµές τους δεν επαναλαµβάνονται (υνεχή ή διακριτά που παίρνουν πολλές διακεκριµένες τιµές). Για διατακτικά κατηγορικά δεδοµένα µπορούµε να υπολογίουµε τη διάµεο αλλά όχι τη µέη τιµή. Έτι η µέη τιµή χρηιµοποιείται µόνο ε αριθµητικά δεδοµένα. Όταν η κατανοµή των αριθµητικών δεδοµένων είναι µονοκόρυφη και υµµετρική, τότε και τα τρία µέτρα κεντρικής τάης υµπίπτουν. Παράδειγµα.3 (έκταη αγροτεµαχίου) Για την αρχιτεκτονική τοπίου ορίτηκε µια περιοχή µε 0 αγροτεµάχια και η έκταη τους είναι (ε m ) Η µέη τιµή του δείγµατος είναι (όπου οι παρατηρήεις x, =,,0 είναι οι εκτάεις των 0 αγροτεµαχίων) x = 0 = 5. 6

17 Οι παρατηρήεις είναι διατεταγµένες ε αύξουα ειρά, το πλήθος τους είναι άρτιο (=0), άρα η εύκολα προκύπτει ότι η δειγµατική διάµεος είναι ~ x / + x / + x5 + x x = = = = 390. εν έχει νόηµα να βρούµε την επικρατούα τιµή αυτά τα δεδοµένα (τυπικά θα ήταν το 400 που εµφανίζεται δύο φορές). Παρατηρούµε ότι η δειγµατική µέη τιµή είναι µεγαλύτερη από τη διάµεο επειδή επηρεάζεται από τις δύο πολύ µεγάλες τιµές ε χέη µε τα υπόλοιπα δεδοµένα. Ποια από τα δύο µέτρα είναι πιο χρήιµο εξαρτάται από το τι θέλουµε να µάθουµε από τα δεδοµένα. Αν θέλουµε να βρούµε µια τυπική τιµή για το µέγεθος αγροτεµαχίου τότε η διάµεος είναι πιο κατάλληλη, ενώ αν θέλουµε να εκτιµήουµε το υνολικό µέγεθος του τοπίου γνωρίζοντας τον υνολικό αριθµό των αγροτεµαχίων τότε θα χρηιµοποιούαµε τη δειγµατική µέη τιµή. Η ύπαρξη µακρινών παρατηρήεων το δείγµα δυκολεύει τη τατιτική περιγραφή κι ανάλυη. Γι αυτό θα πρέπει πριν προχωρήουµε να βεβαιωθούµε ότι η µακρινή παρατήρηη είναι ωτή και πρέπει να υµπεριληφθεί ή αν υποπτευόµατε ότι δεν είναι ακριβής να την αγνοήουµε. Για παράδειγµα µια µεγάλη δαική έκταη 5000m µπορεί κατά λάθος να έχει υµπεριληφθεί ένα δείγµα όπως αυτό το Παράδειγµα.. Είναι φανερό ότι αν θα είχε υµπεριληφθεί αυτή η τιµή η δειγµατική µέη τιµή θα εκτιµούε την κεντρική τάη µε πολύ µεγαλύτερη (και λανθαµένη) τιµή από αυτή της διαµέου... Μέτρα µεταβλητότητας Εκτός από την κεντρική τάη µας ενδιαφέρει επίης και η µεταβλητότητα ή διαπορά των παρατηρήεων. Όταν τα δεδοµένα είναι υγκεντρωµένα γύρω από µια κεντρική τιµή, δηλαδή η διαπορά των δεδοµένων είναι µικρή, τότε η κεντρική τιµή αντιπροωπεύει ικανοποιητικά τα δεδοµένα. Από την άλλη, όταν τα δεδοµένα είναι πολύ κορπιµένα τα µέτρα κεντρικής τιµής δε δίνουν καλή περιληπτική περιγραφή των δεδοµένων. Επίης, διαφορετικά δείγµατα από τον ίδιο πληθυµό µπορεί να έχουν το ίδιο µέτρο κεντρικής τάης αλλά να διαφέρουν κατά κάποιο ηµαντικό τρόπο. Χρηιµοποιώντας το παράδειγµα µε τα βαρίδια και τη ανίδα της Εικόνα.5, βλέπουµε το παρακάτω χήµα πώς δύο δείγµατα που έχουν την ίδια µέη τιµή µπορεί να διαφέρουν ηµαντικά και κατά χαρακτηριτικό τρόπο ως προς τη διαπορά τους Εικόνα.6 Σχηµατική παρουίαη δύο δειγµάτων ίου πλήθους µε ίδια µέη τιµή και διαφορετική µεταβλητότητα. Τα κυριότερα µέτρα διαποράς είναι: το δειγµατικό εύρος (sample rage), R, 7

18 η δειγµατική διακύµανη ή δειγµατική διαπορά (sample varace), s, και η δειγµατική τυπική απόκλιη (stadard devato), s. τα εκατοτιαία ηµεία (percetles) και το ενδοτεταρτηµοριακό εύρος (terquartle rage). Εύρος Όπως αναφέρθηκε παραπάνω το εύρος των δεδοµένων R= x max - x m είναι η διαφορά της ελάχιτης από τη µέγιτη τιµή του δείγµατος. Το εύρος υπολογίζεται εύκολα αλλά δεν είναι ανθεκτικό µέτρο µεταβλητότητας. Εξαρτάται µόνο από τις δύο ακραίες παρατηρήεις κι αγνοεί τις υπόλοιπες παρατηρήεις και γι αυτό µπορεί να αλλάζει ηµαντικά από δείγµα ε δείγµα (ίδιου πλήθους κι από τον ίδιο πληθυµό). Γενικά το εύρος αυξάνει όταν µεγαλώνει το δείγµα καθώς αναµένεται να υµπεριληφθούν πιο ακραίες τιµές. ιαπορά Η διαπορά ή διακύµανη µετράει τη µεταβλητότητα των παρατηρήεων γύρω από τη µέη τιµή. Αν ορίουµε την απόκλιη µιας παρατήρηης x από τη µέη τιµή x ως x - x, είναι φανερό πως το άθροιµα όλων αυτών των αποκλίεων είναι 0 ( ( x x) = 0 ), αφού οι θετικές αποκλίεις για τιµές = µεγαλύτερες του x είναι το ύνολο ίδιες µε τις αρνητικές αποκλίεις για τιµές µικρότερες του x. Γι αυτό διαλέγουµε να αθροίουµε όχι τις αποκλίεις αλλά τα τετράγωνα των αποκλίεων. Επίης για να πάρουµε ένα µέτρο της µέης απόκλιης θα πρέπει να διαιρέουµε µε το πλήθος των παρατηρήεων. Όµως για τεχνικούς λόγους που θα εξηγήουµε παρακάτω διαιρούµε µε - αντί για, και η δειγµατική διαπορά s δίνεται ως Εξ.3 s = = ( x x) Για τους υπολογιµούς χρηιµοποιούµε τον παρακάτω πιο εύχρητο τύπο Εξ.4 s = x = Η διαπορά s προκύπτει από τα τετράγωνα των παρατηρήεων και γι αυτό είναι δύκολο να την ερµηνεύουµε. Γι αυτό ορίζουµε τη δειγµατική τυπική απόκλιη s, που είναι απλά η θετική ρίζα της δειγµατικής διαποράς s. Η τυπική απόκλιη s µετριέται την ίδια µονάδα µέτρηης µε τα δεδοµένα κι εκφράζει (όπως δηλώνει η ονοµαία) την τυπική απόκλιη των δεδοµένων από τη δειγµατική µέη τιµή, δηλαδή µέχρι πόο περιµένουµε µια τυπική τιµή της µεταβλητής να απέχει από τη µέη τιµή. Χρήη του - αντί για Όπως η δειγµατική µέη τιµή x εκτιµά τη µέη τιµή του πληθυµού µ, έτι και η δειγµατική διαπορά s εκτιµά τη διαπορά του πληθυµού. Αν γνωρίζαµε τη µ τότε θα τη χρηιµοποιούαµε τον τύπο για τον υπολογιµό του s, αλλά υνήθως η µ είναι άγνωτη. Οι παρατηρήεις x, τείνουν να είναι πιο κοντά τη x παρά τη µ κι άρα οι υπολογιµοί µε βάη τις αποκλίεις x.. 8

19 x x δίνουν µικρότερες τιµές απ ότι αν χρηιµοποιούαµε τις αποκλίεις x µ. Για να αντιταθµίουµε αυτήν την τάη για υποεκτίµηη της διαποράς του πληθυµού διαιρούµε µε - αντί για. Μία άλλη πιο τεχνική εξήγηη βαίζεται τους βαθµούς ελευθερίας (degrees of freedom). Οι «ελεύθερες» παρατηρήεις αποτελούν τους βαθµούς ελευθερίας. Για τον υπολογιµό της x διαιρούµε µε τους βαθµούς ελευθερίας αφού δεν έχουµε καµιά υνθήκη για τις παρατηρήεις που χρηιµοποιούµε. Για τον υπολογιµό της s όµως έχουµε της υνθήκη = ( x x) = 0, δηλαδή αν ξέρουµε - από τις αποκλίεις µπορούµε να βρούµε αυτήν που αποµένει. Άρα για τον υπολογιµό της s οι βαθµοί ελευθερίας είναι - και γι αυτό διαιρούµε µε -. Εκατοτιαία ηµεία ενδοτεταρτηµοριακό εύρος θηκόγραµµα Η διάµεος χωρίζει τα δεδοµένα τα δύο. Μπορούµε να ορίουµε άλλα ηµεία χωριµού του διατεταγµένου υνόλου τιµών που παίρνουµε από το δείγµα. Τέτοια ηµεία είναι τα εκατοτιαία. Μια παρατήρηη είναι το p- εκατοτιαίο ηµείο όταν ποοτό παρατηρήεων το πολύ p% είναι µικρότερες απ αυτήν την παρατήρηη ( 0 p ). Η διάµεος είναι το 50- εκατοτιαίο ηµείο. Αλλά χαρακτηριτικά εκατοτιαία ηµεία είναι αυτά που ορίζουν τέταρτα ή τεταρτηµόρια (quartles). Το 5-εκατοτιαίο ηµείο είναι το πρώτο ή κατώτερο τεταρτηµόριο (frst or lower quartle) και το υµβολίζουµε Q, ενώ το 75-εκατοτιαίο ηµείο είναι το τρίτο ή ανώτερο τεταρτηµόριο (thrd or upper quartle) και το υµβολίζουµε Q 3. Το πρώτο και τρίτο τεταρτηµόριο ορίζονται όπως η διάµεος αλλά περιορίζοντας το ύνολο των δεδοµένων τα αντίτοιχα υπούνολα (κατώτερο ή ανώτερο µιό). Η διαφορά Ι=Q Q 3, λέγεται ενδοτεταρτηµοριακό εύρος και δίνει το εύρος που καλύπτουν τα µιά από τα δεδοµένα που είναι πιο κοντά την κεντρική τιµή (διάµεο). Το Ι είναι ένα άλλο µέτρο διαποράς των δεδοµένων, πιο ανθεκτικό από το εύρος R, που δεν ορίζεται ως προς τη δειγµατική µέη τιµή κι άρα δεν επηρεάζεται απ αυτήν. Η διάµεος, το πρώτο και τρίτο τεταρτηµόριο και η ελάχιτη και µέγιτη τιµή των δεδοµένων αποτελούν τη ύνοψη των 5 αριθµών (fve umber summary). Γραφικά η παρουίαη της ύνοψης των 5 αριθµών γίνεται µε το θηκόγραµµα (box plot) ε οριζόντια ή κάθετη θέη όπως δείχνει το παρακάτω χήµα. x m Q ~ x Q 3 x max Εικόνα.7 Σχηµατική παρουίαη οριζόντιου θηκογράµµατος. 9

20 Το θηκόγραµµα που παράγει κάποιο τατιτικό πρόγραµµα, όπως το SPSS, µπορεί να διακόπτει τις γραµµές που ενώνουν τα άκρα του κουτιού µε την ελάχιτη και µέγιτη τιµή (που λέγονται µύτακες (whskers)) ε κάποια άλλα ηµεία και να παρουιάζει µε ειδικά ύµβολα τις υπόλοιπες µακρινές τιµές. Για το κοπό αυτό χρηιµοποιείται κάποιο κριτήριο για να χαρακτηριτεί µια µακρινή τιµή x αν ύποπτη ακραία τιµή (outler), ή ακραία τιµή (extreme). Το κριτήριο είναι η απόταη της τιµής από τα άκρα του κουτιού (από το Q ή Q 3 ). Τυπικά αν η απόταη αυτή είναι µεγαλύτερη από.5 Ι (όπου τελειώνει ο µύτακας) τότε η τιµή χαρακτηρίζεται ύποπτη ακραία, ενώ αν είναι µεγαλύτερη από 3 Ι χαρακτηρίζεται ακραία. Συνέχεια, Παράδειγµα.3 (έκταη αγροτεµαχίου) Στο προηγούµενο παράδειγµα υπολογίαµε µέτρα κεντρικής τάης για την έκταη αγροτεµαχίου ε δείγµα 0 αγροτεµαχίων, δηλαδή βρήκαµε τη δειγµατική µέη τιµή x = 5 m και τη δειγµατική διάµεο ~ x = 390 m. Τώρα θα υπολογίουµε µέτρα µεταβλητότητας των ίδιων δεδοµένων. Η µικρότερη έκταη το δείγµα είναι x m =50m και η µεγαλύτερη x max =500m. Άρα το εύρος των δεδοµένων είναι R =350m και είναι µεγάλο εξαιτίας της µεγάλης τιµής του x max. Για να βρούµε τη διαπορά για τις εκτάεις αγροτεµαχίων του δείγµατος, υπολογίζουµε πρώτα το άθροιµα τετραγώνων των παρατηρήεων x = = = κι αντικαθιτώντας το τον τύπο βρίκουµε ( ) = s = x x = m 4. = Η δειγµατική τυπική απόκλιη είναι s= =46.8m, δηλαδή η αντιπροωπευτική (τυπική) απόκλιη από τη µέη έκταη 5m της έκταης κάποιου αγροτεµαχίου περιµένουµε να είναι περίπου 40m, που είναι αρκετά µεγάλη (περίπου όη και η µέη έκταη!). Η ύνοψη των 5 αριθµών δίνεται παρακάτω όπου παρουιάζεται χηµατικά η εύρεη του πρώτου και τρίτου τεταρτηµορίου. x m =50 ~ x = 390 xmax = Q =300 Q 3 =450 Έχοντας βρει τη ύνοψη των 5 αριθµών µπορούµε εύκολα να παρατήουµε το θηκόγραµµα. Στην Εικόνα.8 δίνεται το θηκόγραµµα ε κατακόρυφη θέη, όπως υπολογίτηκε από το SPSS. Παρατηρούµε ότι τα ηµεία 9 και 0 (µε τιµές 000m και 500m αντίτοιχα) δεν ενώνονται µε το πάνω άκρο της θήκης ή κουτιού (δηλαδή το ηµείο Q 3 ). Αυτό γίνεται γιατί η απόταη τους από το Q 3 είναι µεγαλύτερη από.5 Ι. Μάλιτα η απόταη 0

21 και για τις δύο τιµές είναι µεγαλύτερη από 3 Ι. Γι αυτό χαρακτηρίζονται ακραίες και το SPSS τις υµβολίζει µε ατερίκους N = 0 AREA Εικόνα.8 Θηκόγραµµα για το δείγµα έκταης 0 αγροτεµαχίων. Παράδειγµα.4 (Χρόνος ανάφλεξης δύο υλικών ταπεταρίας) Στο Παράδειγµα. παρουιάαµε περιγραφικά και γραφικά τις 30 παρατηρήεις του χρόνου ανάφλεξης κάποιου υλικού ταπεταρίας. Ας το ονοµάουµε υλικό. Επίης έχουµε µετρήει το χρόνο ανάφλεξης 0 δοκιµίων κάποιου άλλου υλικού ταπεταρίας ( υλικό ), και τα δεδοµένα δίνονται τον παρακάτω πίνακα Πίνακας.7 Χρόνοι ανάφλεξης (δευτερόλεπτα) 0 δοκιµίων του υλικού. Θέλουµε να υγκρίνουµε το χρόνο ανάφλεξης των δύο υλικών από τα δείγµατα που έχουµε τον Πίνακας.3 και τον Πίνακας.7. Πρώτα χηµατίζουµε το κοινό φυλλογράφηµα για να υγκρίνουµε τις κατανοµές χρόνων για τα δύο υλικά. Επειδή το εύρος των χρόνων για τα δύο υλικά είναι περίπου το ίδιο µπορούµε να υµπτύξουµε τα δύο φυλλογραφήµατα ε ένα όπως φαίνεται παρακάτω. Υλικό Υλικό Φύλλο Μίχος Φύλλο Πίνακας.8 Φυλλογράφηµα των χρόνων ανάφλεξης για τα δύο υλικά.

22 Από το φυλλογράφηµα του Πίνακας.8 φαίνεται ότι η κεντρική θέη του χρόνου ανάφλεξης του πρώτου υλικού είναι ίως µεγαλύτερη. Επίης ο χρόνος ανάφλεξης για το δεύτερο υλικό έχει µικρότερο εύρος τιµών κι άρα µικρότερη µεταβλητότητα από το πρώτο. Υπολογίζουµε παρακάτω τα µέτρα κεντρικής τάης και µεταβλητότητας. Μέτρο Υλικό (τ.µ. Χ ) Υλικό (τ.µ. Χ ) Μέη τιµή (από την Εξ.) x = s x = s ιάµεος ~ x = 5. 3 s ~ x = s Εύρος R = s R = s ιαπορά (από την Εξ.4) s 4. s s. = Τυπική απόκλιη s =. 03 s s =. 45 Πρώτο τεταρτηµόριο Q = 4. s Q = 3. 4 s Τρίτο τεταρτηµόριο Q = 7. 3 s Q = 5. 3 s 3 Ενδοτεταρτηµοριακό εύρος I = 3. s I =. 9 s = s s Οι τιµές των ποοτικών µέτρων κεντρικής τάης και µεταβλητότητας επιβεβαιώνουν τις παρατηρήεις µας µελετώντας το φυλλογράφηµα. Έχοντας τις τιµές των τεταρτηµορίων και των ακραίων τιµών µπορούµε να χηµατίουµε τα θηκογράµµατα για τα δύο υλικά. Στην παρακάτω εικόνα παρουιάζονται τα θηκογράµµατα για τα δύο δείγµατα ένα γράφηµα (από το SPSS) χρόνος ανάφλεξης (s) tme υλικό tme Εικόνα.9 Θηκόγραµµα του χρόνου ανάφλεξης για τα δύο υλικά. Τα υνοπτικά µέτρα που υπολογίαµε καθώς και τα γραφήµατα (φυλλογραφήµατα, θηκογράµµατα) που χηµατίαµε οδηγούν τις ίδιες παρατηρήεις: η µεταβλητότητα (δειγµατική διαπορά, εύρος και ενδοτεταρτηµοριακό εύρος) του χρόνου ανάφλεξης του πρώτου υλικού είναι µεγαλύτερη από αυτή του δεύτερου υλικού,

23 η κεντρική τάη (δειγµατική µέη τιµή και διάµεος) του χρόνου ανάφλεξης του πρώτου υλικού είναι µεγαλύτερη από αυτή του δεύτερου υλικού. Σηµείωη: Όταν τα δεδοµένα αποτελούνται από διακεκριµένες αριθµητικές τιµές x, =,,m, για µικρό m, κι έχουν αντίτοιχη υχνότητα f, τα διάφορα µέτρα κεντρικής τάης και διαποράς υπολογίζονται πάλι µε τον ίδιο τρόπο ή τους ίδιους τύπους. Απλά θεωρούµε ότι οι τιµές των x επαναλαµβάνονται f, φορές. Για παράδειγµα η δειγµατική µέη τιµή δίνεται ως εξής όπου f fm x + x + x + + xm + xm + xm f x = = f + f = m f = = m m. Συνέχεια, Παράδειγµα. (δωµάτια διαµερίµατος) m x + + f Σύµφωνα µε τον πίνακα υχνοτήτων (δες Πίνακας.) η υχνότητα και η αθροιτική υχνότητα των διαφόρων αριθµών δωµατίων είναι: x m = f x ωµάτια x Συχνότητα f Αθροιτική υχνότητα Ο µέος αριθµός των 0 δωµατίων είναι: x = f x = = = 0 που είναι περίπου η τιµή 3. Η δειγµατική διάµεος µπορεί εύκολα να βρεθεί πως είναι 3. Η διάµεος είναι ο µέος όρος των τιµών την 60 η και 6 η θέη όταν τα δεδοµένα είναι διατεταγµένα ε αύξουα ειρά, που ύµφωνα µε την αθροιτική υχνότητα αντιτοιχεί την τιµή 3. Είναι φανερό πως η επικρατούα τιµή, δηλαδή η τιµή µε τη µεγαλύτερη υχνότητα είναι επίης 3. Για τη µεταβλητότητα, υπολογίζουµε τη δειγµατική διαπορά από τον τύπο Εξ.4 χρηιµοποιώντας ότι η υχνότητα f δίνει τον αριθµό επαναλήψεων της τιµής x : m 9 s = f x x = f x 9x =.5. = 9 = Η δειγµατική τυπική απόκλιη είναι s =.5 =. 58. Η τιµή της τυπικής απόκλιης δε µπορεί να ερµηνευτεί άµεα µια και δεν είναι ακέραιος αριθµός. Παρατηρούµε ότι το πρώτο τεταρτηµόριο είναι Q = (το 5-ποοτιαίο ηµείο, δηλαδή ο µέος όρος της 30 ης και 3 ης τιµής που ύµφωνα µε την αθροιτική υχνότητα αντιτοιχεί την τιµή ). Αντίτοιχα το τρίτο τεταρτηµόριο είναι Q =4. Το ενδοτεταρτηµοριακό εύρος είναι I = Q3 Q = 4 =. Το παρακάτω θηκόγραµµα παρουιάζει γραφικά αυτά τα τοιχεία. Παρατηρούµε ότι οι αριθµοί δωµατίων 7,8 και 9 χαρακτηρίζονται ως ύποπτες ακραίες τιµές του δείγµατος µε τα κριτήρια του SPSS. 3

24 N = 0 ROOMS Εικόνα.0 Θηκόγραµµα των δωµατίων διαµερίµατος. Από τα παραπάνω µέτρα που υπολογίαµε παρατηρούµε ότι ο αριθµός δωµατίων των διαµεριµάτων τείνει προς την τιµή 3, αλλά περιµένουµε να έχουµε ηµαντικές αποκλίεις από αυτήν την τιµή: η τυπική απόκλιη υποδηλώνει αποκλίεις ως και δύο τιµών, δηλαδή από ως 5 δωµάτια, και το ενδοτεταρτηµοριακό εύρος ορίζει πως το 50% των διαµεριµάτων θα έχουν από ως 4 δωµάτια. Οι παρατηρήεις που κάνουµε µε βάη τα υνοπτικά µέτρα και γραφήµατα, όπως παραπάνω, δεν αποτελούν υµπεράµατα που µπορούµε να γενικεύουµε αλλά µας επιτρέπουν να χηµατίουµε υποκειµενικές εντυπώεις (subjectve mpressos) για το δείγµα ή τα δείγµατα (αν µελετάµε παραπάνω από µία τ.µ.). Η απόκτηη υποκειµενικών εντυπώεων µε τα µέα της περιγραφικής τατιτικής που παρουιάαµε αυτό το κεφάλαιο αποτελεί το πρώτο βήµα της τατιτικής µελέτης του δείγµατος. Το επόµενο βήµα είναι η µεθοδική τατιτική ανάλυη που θα µας δώει τη δυνατότητα να βγάλουµε υµπεράµατα για τον πληθυµό χετικά µε τα προβλήµατα που µας ενδιαφέρουν. Η τατιτική ανάλυη βαίζεται ε βαικές αρχές της θεωρίας πιθανοτήτων. Γι αυτό πριν προχωρήουµε τη τατιτική ανάλυη θα παρουιάουµε περιληπτικά το επόµενο κεφάλαιο κάποιες απαραίτητες και βαικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. 4

25 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Σ αυτό το κεφάλαιο θα παρουιάουµε περιληπτικά κάποια τοιχεία πιθανοτήτων, απαραίτητα για την τατιτική ανάλυη που θα αχοληθούµε τα επόµενα κεφάλαια. Γι αυτό κι η ειαγωγή της θεωρία πιθανοτήτων που γίνεται εδώ είναι ύντοµη και δεν είναι ε καµιά περίπτωη πλήρης. 3. Βαικές Έννοιες της Πιθανότητας 3.. ειγµατοχώρος Υποθέτουµε πως η τυχαία µεταβλητή (τ.µ.) παίρνει τιµές ε κάποιο ύνολο δυνατών τιµών που το ονοµάζουµε γενικά δειγµατικό χώρο ή δειγµατοχώρο S (sample space). Ο δειγµατοχώρος µπορεί να έχει οποιουδήποτε τύπου τοιχεία ύµφωνα µε τους τύπους τοιχείων που ορίαµε για τα δεδοµένα το Κεφάλαιο. Παραδείγµατα: [Κατηγορικά τοιχεία] Υποθέτουµε κάποιον πληθυµό, π.χ. όλα τα κτίµατα τα οποία αναφέρεται η µελέτη που κάνουµε, και η κατηγορική τ.µ. είναι το πάχος του τοίχου. Αν χαρακτηρίουµε το πάχος ενός τοίχου ως µικρό (α), µεαίο (β) και µεγάλο (γ), τότε ο δειγµατοχώρος των δυνατών χαρακτηριµών για το πάχος ενός τοίχου έχει τα τρία κατηγορικά τοιχεία και είναι S={α,β,γ}. [ ιακριτά αριθµητικά τοιχεία] Όταν αναφερόµατε τα δωµάτια ενός πιτιού ο δειγµατοχώρος είναι S={,,3,4,5,,Κ} για κάποιο ανώτατο όριο δωµατίων Κ. Η τ.µ. είναι ο αριθµός δωµατίων και µπορεί να πάρει οποιαδήποτε από τις τιµές του S. [Συνεχή αριθµητικά τοιχεία] Ο δειγµατοχώρος S µπορεί να µην είναι διακεκριµένος, όπως παραπάνω, αλλά υνεχής, δηλαδή οι δυνατές τιµές της τ.µ. µπορεί να δίνονται από κάποιο διάτηµα των πραγµατικών αριθµών. Αν θεωρήουµε αν τ.µ. το χρόνο ανάφλεξης ενός υλικού ταπεταρίας ο δειγµατοχώρος είναι κάποιο διάτηµα (0,α) (όπου α ένας θετικός αριθµός που µπορεί να πηγαίνει και το άπειρο ). 3.. Γεγονότα και χέεις γεγονότων Οποιαδήποτε υλλογή τοιχείων του δειγµατοχώρου ονοµάζεται γεγονός (evet). Το γεγονός λοιπόν µπορεί να είναι ένα απλό γεγονός (smple evet) αν αποτελείται µόνο από ένα τοιχείο του δειγµατοχώρου ή ύνθετο γεγονός (compoud) αν αποτελείται από περιότερα από ένα τοιχεία του δειγµατοχώρου. Για παράδειγµα µπορούµε να ορίουµε το ύνθετο γεγονός «το πίτι έχει ή 3 δωµάτια» ως Α= Χ= ή Χ=3, ορίζοντας το γεγονός µε τη βοήθεια της τ.µ. Χ του αριθµού δωµατίων του πιτιού, ή ως Α={,3} µε τη βοήθεια υνόλων τοιχείων (ως υπούνολο του S). Το S είναι από µόνο του ένα γεγονός όπως και το κενό ύνολο που δεν έχει κανένα τοιχείο. Το παραπάνω γεγονός Α µπορεί να θεωρηθεί ως η ένωη (uo) δύο απλών γεγονότων, του γεγονότος Α = Χ=, ή απλά Α ={} και του γεγονότος Α 3 = Χ=3, ή απλά Α 3 ={3}, και υµβολίζεται Α= Χ= Χ=3 ή Α=Α Α 3. Το ύµβολο χρηιµοποιείται όταν περιγράφουµε τα γεγονότα αν τιµές κάποιας τ.µ. και το ύµβολο όταν περιγράφουµε τα γεγονότα µε τη 5

26 βοήθεια υνόλων τοιχείων. Και τα δύο ύµβολα διαβάζονται ως ή. Ας θεωρήουµε ένα άλλο γεγονός Β ως «το πίτι έχει 3 ή περιότερα δωµάτια», Β= Χ 3 ή Β={3,4,,Κ}. Η ένωη των δύο ύνθετων γεγονότων Α και Β είναι ένα νέο ύνθετο γεγονός Γ = (Χ= Χ=3) Χ 3 = Χ, ή αν ύνολα τοιχείων Γ=Α Β={,3} {3,,Κ}={,3,,Κ}, δηλαδή το γεγονός Γ περιγράφεται ως «το πίτι έχει ή περιότερα δωµάτια». Η ένωη λοιπόν δύο ύνθετων γεγονότων είναι ένα νέο γεγονός που περιέχει τοιχεία είτε από το ένα γεγονός, είτε από το άλλο γεγονός, ή κι από τα δύο γεγονότα. Αντίθετα η τοµή (tersecto) δύο γεγονότων είναι ένα γεγονός που περιέχει µόνο τα κοινά τοιχεία των δύο γεγονότων. Η τοµή των παραπάνω γεγονότων Α και Β είναι το γεγονός = (Χ= Χ=3) Χ 3 = Χ=3, ή αν ύνολο τοιχείων =Α Β={,3} {3,,Κ}={3}, δηλαδή το γεγονός περιγράφεται «το πίτι έχει 3 δωµάτια». Το ύµβολο χρηιµοποιείται για να δηλώουµε την τοµή όταν περιγράφουµε τα γεγονότα µε τη βοήθεια της τ.µ. και το ύµβολο όταν περιγράφουµε τα γεγονότα µε τη βοήθεια υνόλων τοιχείων. Και τα δύο ύµβολα διαβάζονται ως και. Μπορούµε επίης να ορίουµε ένα γεγονός ως τη µη πραγµατοποίηη κάποιου άλλου γεγονότος. Έτι µπορούµε να ορίουµε το γεγονός «το πίτι δεν έχει ή 3 δωµάτια» που το υµβολίζουµε A και λέγεται υµπλήρωµα (complemet) του Α, όπου Α «το πίτι έχει ή 3 δωµάτια». Γενικά το υµπλήρωµα A ενός γεγονότος Α περιέχει όλα τα τοιχεία του δειγµατοχώρου που δεν περιέχονται το Α. Στο παράδειγµα µας είναι A = ' = = 3' = ' = > 3' ή αν ύνολα τοιχείων A = {,3} = {,4,..., K}. Αν η τ.µ. Χ είναι ο χρόνος ανάφλεξης υλικού ταπεταρίας κι ορίουµε το γεγονός Α= 4.0<Χ<6.0, δηλαδή ο χρόνος ανάφλεξης να είναι µεταξύ 4.0s και 6.0s, τότε το υµπληρωµατικό γεγονός είναι A = Χ<4.0 Χ>6.0. Τα υµπληρωµατικά γεγονότα Α και A δεν έχουν κοινά τοιχεία. Γενικά δύο γεγονότα που δεν έχουν κοινά τοιχεία λέγονται ξένα µεταξύ τους ή αυµβίβατα (mutually exclusve ή dsjot). Είναι φανερό πως τα γεγονότα Α και A υνθέτουν το δειγµατοχώρο, S=Α A κι αποτελούν ένα διαµεριµό του S. Γενικά τα γεγονότα A, A,, A, αποτελούν διαµεριµό του S αν είναι αυµβίβατα και S= A A A. Ο δειγµατοχώρος µπορεί να αποτελείται από ύνθετα τοιχεία, δηλαδή να αναφέρεται ε υνδυαµό δύο ή περιότερων µεταβλητών. Για παράδειγµα, εκτός από το πάχος του τοίχου µε δυνατές τιµές (α) µικρό, (β) µεαίο και (γ) µεγάλο (S Χ ={α,β,γ}), ας θεωρήουµε και µια άλλη τ.µ. Υ για την ηχοµόνωη του τοίχου, που δηλώνει αν ο τοίχος περιέχει ηχοµονωτικό υλικό (ν=ναι) ή δεν περιέχει (ο=όχι) κι ο αντίτοιχος δειγµατοχώρος είναι S Υ ={ν,ο}. Μπορούµε λοιπόν να ορίουµε έναν νέο δειγµατοχώρο S που περιέχει ζευγάρια όλων των δυνατών υνδυαµών των τοιχείων του S Χ και S Υ και είναι S = S Χ S Υ ={(α,ν), (α,ο), (β,ν), (β,ο), (γ,ν), (γ,ο)} όπου το υµβολίζει την ύζευξη των δύο δειγµατοχώρων. Κάθε ζεύγος τοιχείο του S ορίζεται από ένα τοιχείο του S Χ κι ένα τοιχείο του S Υ. Ένα γεγονός Ε που ανήκει το S έχει αν τοιχεία τα ζεύγη του S. Το γεγονός Ε «ο τοίχος έχει µικρό πάχος και µονωτικό υλικό» που δίνεται ως Ε= Χ=α, 6

27 Υ=ν ={(α,ν)} ηµαίνει ότι προδίδουµε τον τοίχο δύο διαφορετικού τύπου ιδιότητες, δηλαδή να έχει µικρό πάχος (Χ=α) και µονωτικό υλικό (Υ=ν). Εδώ το και δεν υµβολίζει την τοµή δύο γεγονότων αλλά την ταυτόχρονη πραγµατοποίηη τους. Θα µπορούε να θεωρηθεί αν τοµή αν είχαµε ορίει πρώτα τα γεγονότα Α=«ο τοίχος έχει µικρό πάχος» και Β=«ο τοίχος έχει µονωτικό υλικό» ως γεγονότα του S, δηλαδή Α={(α,ν),(α,ο)} και Β={(α,ν),(β,ν),(γ,ν)}. Τότε το γεγονός Ε προκύπτει από την τοµή των Α και Β ως Ε=Α Β={(α,ν),(α,ο)} {(α,ν),(β,ν),(γ,ν)}={(α,ν)} Πιθανότητα Μπορούµε να καταλάβουµε την έννοια της πιθανότητας από τη χετική υχνότητα p που ορίαµε το προηγούµενο κεφάλαιο ως το λόγο της υχνότητας f εµφάνιης κάποιας διακεκριµένης τιµής x της τ.µ., όπου x S, ως προς το ύνολο των παρατηρήεων του δείγµατος (δες Εξ.). Αν είχαµε τη δυνατότητα να υλλέξουµε αυθαίρετα πολλές παρατηρήεις, δηλαδή αν το πήγαινε το άπειρο, τότε το όριο της χετικής υχνότητας είναι η πιθανότητα (probablty) η τ.µ. να πάρει την τιµή x, που υµβολίζεται P(Χ=x ) ή απλά P(x ) και δίνεται ως Εξ 3. f P( = x ) = lm. Ορίζοντας το να τείνει το άπειρο ηµαίνει ότι εξετάζουµε τη υχνότητα εµφάνιης της τιµής x τον πληθυµό. Έτω για παράδειγµα ότι θέλουµε να ορίουµε την πιθανότητα ένα πίτι να έχει δωµάτια. Ο πληθυµός που µας ενδιαφέρει µπορεί να είναι όλα τα πίτια µιας πόλης. Στην περίπτωη αυτή ο πληθυµός είναι πεπεραµένος και το όριο δεν τείνει το άπειρο. Και πάλι όµως δε µπορούµε να γνωρίζουµε αυτήν την πιθανότητα επακριβώς παρά µόνο αν ελέγξουµε το πλήθος των πιτιών της πόλης. Γενικά ένα οποιοδήποτε γεγονός A µπορούµε να αντιτοιχίουµε πιθανότητα P(A) που µετράει την βεβαιότητα (ή αβεβαιότητα) εµφάνιης του A. Για παράδειγµα η πιθανότητα του γεγονότος «το πίτι έχει 0 δωµάτια», P(Χ=0), είναι µικρή γιατί είναι πολύ απίθανο ένα τυχαίο πίτι της πόλης να έχει 0 δωµάτια. Από την άλλη, η πιθανότητα του γεγονότος «το πίτι έχει λιγότερα από 0 δωµάτια», P(Χ<0), είναι πολύ µεγάλη γιατί είναι χεδόν βέβαιο ότι αν διαλέξουµε ένα πίτι την τύχη αυτό θα έχει λιγότερα από 0 δωµάτια. Για να θεµελιώουµε µαθηµατικά την έννοια της πιθανότητας θεωρούµε τα παρακάτω τρία αξιώµατα:. 0 P ( A), για κάθε γεγονός A.. P(S)=. 3. P A + A ) = P( A ) + P( ) για A και A αυµβίβατα. ( A Μπορεί να αποδειχθεί ότι το αξίωµα 3 γενικεύεται για αυµβίβατα γεγονότα A, A,, A, ως + A + + A ) = P( A ) = P( A 7