1.MĂSUREA MOMENTULUI DE INERŢIE, VERIFICAREA TEOREMEI LUI STEINER.

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1.MĂSUREA MOMENTULUI DE INERŢIE, VERIFICAREA TEOREMEI LUI STEINER."

Ἀδράστεια Φραγκούδης
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 .MĂSUREA MOMENTULU DE NERŢE, VERFCAREA TEOREME LU STENER. ntroduere teoretiă Momentu de inerţie este o mărime fiziă e araterizează distribuţia masei în juru unei axe. Pentru o masă m, puntiformă, afată a distanţa r faţă de axă, momentu de inerţie este mr. Momentu de inerţie este o mărime aditivă, adiă, daă avem un sistem de punte materiae atuni m r k k. Daă este vorba de un orp ontinuu, r dm unde k integraa se fae pe întreg voumu V a orpuui, dm este un eement de masă iar r este distanţa de a eementu de masă a axa de rotaţie. Se poate demonstra ă, momentu de inerţie faţă de o axă oareare este ega u momentu de inerţie faţă de o axă, paraeă u prima, are tree prin entru de masă a orpuui pus produsu dintre masa orpuui, m, şi pătratu distanţei dintre ee două axe, d : + md (teorema ui Steiner). Măsurarea momentuui de inerţie faţă de o axă şi verifiarea teoremei ui Steiner este sopu aestei prime părţi a urării. Verifiarea teoremei ui Steiner se va efetua foosind două orpuri iindrie are iniţia se vor pune în osiaţie în juru unei axe are tree prin entru or de masă iar apoi faţă de o axă afată a o distanţă d faţă de entru or de masă. V Figura Figura Una din metodee experimentae de măsurare a momentuui de inerţie faţă de o axă este ea are fooseşte suspensia trifiară. Aparatura şi proedeu experimenta Metoda suspensiei trifiare: o patformă iruară de masă m 54 g şi rază R este suspendată de trei fire de ungime dispuse simetri şi fixate a periferia patformei (Figura ). Firee sunt fixate în partea superioară de un dis de rază miă, r, fix, are prin

2 intermediu unei pârghii serveşte şi a imprimarea mişării patformei. Firee nu sunt egate diret de disu superior, i prin intermediu unor şuruburi e permit variaţia fină a ungimii fireor, în sopu stabiirii orizontaităţii patformei. Axu disuui superior se sprijină pe un suport fixat pe perete. Daă punem în mişare patforma, printr-o miă depasare unghiuară u un unghi α, aeasta va avea o mişare osiatorie. În aeastă mişare, patforma se roteşte de-o parte şi de ata a poziţiei de ehiibru, şi în aeaşi timp se ridiă şi oboară u înăţimea h. Energia potenţiaă a patformei în puntu de înăţime maximă (energie inetiă nuă): m gh, se transformă în energie inetiă, ând patforma tree prin poziţia de ehiibru: unde ω este momentu de inerţie faţă de axa de rotaţie (indiee zero este pentru ă axa de rotaţie tree prin entru de masă a sistemuui) iar ω este viteza unghiuară a orpuui ând tree prin poziţia de ehiibru., Daă α este depasarea unghiuară (miă) se poate arăta ă înăţimea a are se ridiă patforma este Rrα h iar energia potenţiaă este U Rrα mg mgrr α. Energia inetiă se srie: ω α& E. Înăţimea h se poate aua din h BC - BC. BC ( R ). BC AB AC r AB AC AC. A C î obţinem din AC OC OA, adiă A C OC + OA O C OA osα ( ) A C r + R rr osα. BC r R + rr osα. BC BC rr os α h adiă BC + BC BC + BC 4rR sin α / h. Daă unghiu a este mi, α α BC + BC Rrα atuni BC + BC iar h QED. sin. Daă este mut mai mare deât diferenţa ( r ) R,

3 Ştim ă, daă energiie inetiă şi potenţiaă a unui orp depind de oordonata q după egie: E Aq& şi Bq U, mişarea orpuui este una osiatorie, u T A π. B În azu nostru, mişarea osiatorie va avea perioada: T π. m grr Măsurând perioada unui astfe de pendu, putem aua momentu de inerţie a orpuui are se roteşte, în azu nostru momentu de inerţie a patformei: m grr T. Razee patformei R şi a disuui superior r se măsoară u şuberu, masa m a unui orp se obţine prin ântărire u baanţa (m 576 g) iar ungimea a fireor de suspensie se măsoară u o rigă. Perioada de osiaţie se măsoară u un ronometru: se măsoară timpu în are au o de osiaţii, şi se repetă măsurătoarea de trei ori.! Se vor imprima patformei osiaţii de ampitudine miă. Modu de uru: Se auează momentu de inerţie a patformei goae, măsurând perioada de osiaţie T a patformei goae (3 măsurători); Se montează două orpuri iindrie pe axu din entru patformei, unu peste eăat, astfe a axa de osiaţie să treaă prin entru or de greutate. Se măsoară perioada de osiaţie T a sistemuui patformă orpuri (3 măsurători) şi se auează momentu de inerţie a sistemuui u ajutoru formuei: ( + m ) grr m T, unde m este masa unui orp. Momentu de inerţie a unui orp (faţă de axa are tree prin entru ui de masă) se auează uşor:. Se aşează orpurie simetri pe patformă, a distanţe egae, d, de axu entra (distanţee maxime), se măsoară perioada de osiaţie T a sistemuui patformă orpuri (3 măsurători) şi se auează momentu de inerţie a sistemuui: ( + m ) grr m T. Momentu de inerţie a unuia dintre orpuri (faţă de o axă, paraeă u prima, dar are nu tree prin entru de masă a orpuui) se auează uşor:. 3

4 Daă teorema ui Steiner este oretă, d + m. Verifiaţi daă rezutatee experimentuui Dvs. verifiă teorema ui Steiner, reprezentând pe un grafi şi d + m, împreună u erorie orespunzătoare. Expiaţi modu în are aţi auat erorie. AXE PRNCPALE DE NERŢE ntroduere teoretiă În azu mişării de rotaţie a unui orp rigid oareare în juru unei axe fixe, direţia vetoruui moment ineti L r nu oinide, în genera, u direţia vitezei unghiuare ω r (ω r axa de rotaţie), Figura. Este azu, de obiei, a orpurior are nu au simetrie faţă de axa de rotaţie. Legătura dintre viteza momentu ineti L r şi viteza unghiuară ω r e făută de momentu de inerţie. L r ω r, unde yx zx xy zy xz yz zz este tensoru moment de inerţie,,... sunt momentee de inerţie faţă de axee sistemuui de oordonate iar xy momentee de inerţie entrifugae.,... sunt Se poate arăta însă, ă pentru fieare orp rigid există e puţin o posibiitate de a aege axee de oordonate în aşa fe înât momentee entrifugae să se anueze iar tensoru moment de inerţie să ie diagona:.cu aeastă aegere a zz axeor, daă rotim rigidu în juru unei axe de oordonate momentu ineti şi viteza r unghiuară au aeeaşi direţie, Figura, adiă este vaabiă euaţia: L ω r, unde este momentu ineti faţă de aea axă. Figura. Figura. 4

5 Aeste axe se numes axe prinipae de inerţie, iar momentee de inerţie în raport u aeste axe se numes momente prinipae de inerţie. Axee de simetrie ae orpuui sunt, de ee mai mute ori si axe prinipae de inertie. Fie o axă, variabiă în spaţiu, e tree printr-un punt fix a orpuui rigid, punt aes a originea sistemuui de oordonate xyz (Figura 3). Presupunem ă fae unghiurie α, β şi γ u axee de oordonate, osα, osβ şi osγ fiind osinuşii diretori ai direţiei u axee de oordonate ( os α,osβ, os γ) r. Figura 3 Se poate arăta ă momentu de inerţie a orpuui faţă de axa,, se poate srie în funţie de momentee de inerţie faţă de axee sistemuui de oordonate şi momentee de inerţie entrifugae astfe: α + β + γ zz αβ xy αγ xz βγ unde u α, β şi γ am notat osinuşii diretori ai axei. Vom înera să verifiăm experimenta aeastă formuă foosind un orp omogen de formă paraeipipediă (paraeipiped dreptunghi). Cee trei axe de simetrie ae orpuui (perpendiuare) sunt şi axe prinipae de inerţie iar momentee entrifugae de inerţie sunt nue faţă triedru axeor prinipae de inerţie. Exprimând în funţie de momentee de inerţie prinipae, obţinem: yz α + β + γ. zz 5

6 Aparatura şi proedeu experimenta Metoda utiizată pentru determinarea momenteor de inerţie este ea a suspensiei trifiare, desrise a îneputu urării. Corpu paraeipipedi are aturie a, b,. Corpu este găurit după direţiie axeor prinipae şi de-a ungu diagonaei, eea e permite fixarea ui după aeste direţii în entru patformei. Figura 4 Pentru auarea momenteor de inerţie faţă de axe ae orpuui paraeipipedi avem nevoie pentru îneput, de momentu de inerţie a patformei. Se măsoară perioada de osiaţie a patformei, ronometrând de osiaţii ompete (3 măsurători), momentu de inerţie a patformei fiind dat de reaţia: m grr T, unde m este masa patformei, g aeeraţia gravitaţionaă, R raza patformei, r raza disuui superior, ungimea fireor de suspensie iar T este perioada de osiaţie a patformei. Pentru auarea momenteor de inerţie prinipae,, zz şi a momentuui de inerţie în raport u diagonaa prinipaă, se aşează orpu în mijou patformei, pe rând, după direţiie normae a feţee paraeipipeduui şi după direţia diagonaei prinipae, măsurând timpu în are sistemu efetuează de osiaţii ompete şi repetând măsurătoarea de trei ori ( măsurători). 6

7 ( m + m ) grr Utiizând reaţia: i T i unde i,, 3, iar m este masa orpuui, obţinem momentee de inerţie ae sistemuui patformă orp, aesta din urmă fiind orientat după direţiie menţionate. Momentee de inerţie prinipae,, zz şi momentu de inerţie faţă de diagonaa prinipaă,, e obţinem prin săderea din momentee de inerţie ae sistemuui patformă orp a momentuui de inerţie a patformei. Cosinuşii diretori, α, β şi γ, ai diagonaei prinipae faţă de direţiie prinipae de inerţie sunt daţi de reaţiie: a ( a + b + α, / / ) b β, γ. / ( a + b + ) ( a + b + ) Cu aeste date se verifiă reaţia α + β + γ zz. Verifiaţi daă, în imita erorior experimentae, ei doi termeni ai egaităţii auaţi din datee măsurate de dumneavoastră, sunt egai (reprezentare grafiă). Cum aţi auat erorie termenior din stânga şi dreapta egaităţii? m.855 kg; m.655 kg; R. m; r.5 m;.84 m; g 9.8 m/s ; a 3.5 m; b 5.5 m; 4.5 m 7

Σχετικά έγγραφα

Beton de egalizare. Beton de egalizare. a) b) <1/3

Beton de egalizare. Beton de egalizare. a) b) <1/3 II.6.. Fundaţii ti taă de eton armat Fundaţiie ti taă de eton armat entru stâi şi ereţi de eton armat ot fi de formă rismatiă (Fig. II.4-a) sau formă de oeis (Fig. II.4-).