REZISTENŢA MATERIALELOR

Transcript

1 MOCANU FLORENTINA REZISTENŢA MATERIALELOR PARTEA I Noţiuni recapituative Noţiuni fundamentae Încercarea materiaeor. Ipotee simpificatoare. Metode de cacu în Reistenţa materiaeor Teoreme şi metode energetice Soicitări axiae Cacuu convenţiona a bareor a forfecare Cacuu bareor de secţiune circuară a torsiune Soicitarea de încovoiere

2 Cuprins CAPITOLUL. NOŢIUNI RECAPITULATIVE.. Caracteristici geometrice ae suprafeţeor pane Aria Momentu static Momente de inerţie Variaţia momenteor de inerţie în raport cu axe paraee Variaţia momenteor de inerţie a rotirea sistemuui de referinţă. Momente de inerţie principae Modue de reistenţă Rae de inerţie. Eipsa de inerţie Cacuu caracteristicior geometrice Eemente de statică Forţe şi momente Ecuaţiie staticii.. 8 CAPITOLUL. NOŢIUNI FUNDAMENTALE.. Obiectu discipinei Casificarea corpurior soide Casificarea sarcinior Forţe şi momente exterioare Forţe şi momente interioare Reaţii diferenţiae între sarcini şi eforturi Tensiuni Ecuaţii de echivaenţă (reaţii între eforturi şi tensiuni) Soicitări simpe Depasări şi deformaţii CAPITOLUL. ÎNCERCAREA MATERIALELOR. IPOTEZE SIMPLIFICATOARE. METODE DE CALCUL ÎN REZISTENŢA MATERIALELOR.. Încercarea materiaeor Consideraţii generae Tipuri de epruvete Încercarea a tracţiune Soicitarea a compresiune Soicitarea a forfecare Soicitarea a torsiune Încercarea a încovoiere simpă.. 75

3 ..8 Încercări tehnoogice Determinarea durităţii Determinarea reiienţei Factori care infuenţeaă caracteristicie mecanice şi eastice ae 78 materiaeor..... Ipotee simpificatoare în Reistenţa Materiaeor Metode de cacu în Reistenţa Materiaeor CAPITOLUL 4. TEOREME ŞI METODE ENERGETICE 4.. Consideraţii generae Teoremee ui Capeyron. Lucru mecanic exterior Energia potenţiaă de deformaţie Principiu independenţei acţiunii forţeor şi a suprapunerii 0 efecteor (principiu Botmann) Teorema reciprocităţii ucruui mecanic virtua (teorema Betti) Teorema reciprocităţii depasărior (teorema ui Maxwe) Teoremee ui Castigiano Teorema energiei potenţiae minime (Menabrea) Metoda Maxwe-Mohr pentru determinarea derivateor 0 eforturior Metoda Mohr-Vereşceaghin Metoda eforturior.. 4 CAPITOLUL 5. SOLICITĂRI AXIALE 5.. Consideraţii generae Tensiuni şi deformaţii Energia potenţiaă de deformaţie Bare de ungime mare în câmp gravitaţiona Bare de secţiune variabiă (bara de egaă reistenţă) Probeme static nedeterminate.. 7 CAPITOLUL 6. CALCULUL CONVENŢIONAL AL BARELOR LA FORFECARE 6.. Introducere Cacuu tensiunii tangenţiae Energia potenţiaă de deformaţie Cacuu convenţiona a îmbinărior Îmbinări cu şuruburi sau nituri Cacuu convenţiona a îmbinărior sudate.. 69

4 6.4.. Cacuu convenţiona a îmbinărior cu adeivi CAPITOLUL 7. TORSIUNEA BARELOR DE SECŢIUNE CIRCULARĂ 7.. Consideraţii generae Deformarea bareor soicitate a torsiune Cacuu tensiunii tangenţiae Secţiunea raţionaă Cacuu momentuui de torsiune cunoscând puterea şi turaţia Energia potenţiaă de deformaţie Probeme static nedeterminate CAPITOLUL 8. SOLICITAREA DE ÎNCOVOIERE 8.. Consideraţii generae Studiu deformării grinior Cacuu tensiunior normae. Formua ui Navier Cacuu tensiunior tangenţiae a încovoierea simpă. Formua ui 04 Juravski Energia potenţiaă de deformaţie Trasarea diagrameor de eforturi Consideraţii privind cacuu grinior soicitate a încovoiere 8 simpă Fenomenu de unecare ongitudinaă Grini de egaă reistenţă Cacuu depasărior a încovoiere Generaităţi Ecuaţia diferenţiaă a axei neutre deformate (Euer) Metode de cacu a deformaţiior a încovoiere Grini static nedeterminate.. 57 Bibiografie

5 CAPITOLUL NOŢIUNI RECAPITULATIVE.. Caracteristici geometrice ae suprafeţeor pane În acest capito se preintă o recapituare minimaă caracteristicior geometrice ae suprafeţeor pane, absout necesară abordării discipinei de Reistenţa materiaeor. Pentru o suprafaţă pană, care poate fi cea a secţiunii transversae a unei bare, se va ucra în sistemu de referinţă Oy, axa Ox fiind aeasă pe direcţia axei barei. În categoria caracteristicior geometrice ae suprafeţeor pane se încadreaă: aria, momentee statice, momentee de inerţie, moduee de reistenţă, raee de inerţie.... Aria Cea mai simpă caracteristică geometrică a secţiunii transversae, aria secţiunii, are ca unitatea de măsură [mm ] şi se cacueaă cu integraa: 5

6 A A da (.) S-a considerat secţiunea compusă dintr-o infinitate de arii eementare da, integraa semnificând extinderea cacuuui pe toată secţiunea.... Momentu static Se consideră o figură pană de formă oarecare, de arie A, raportată a un sistem de axe rectanguare Oy (figura.). Momentee statice ae suprafeţei faţă de axee O, respectiv Oy se cacueaă cu reaţiie: S A yda (.) Sy A da Momentu static se măsoară în [mm ]. y da y A O Figura. Momentee statice se utiieaă pentru determinarea poiţiei centruui de greutate G a ariei secţiunii transversae. Dacă se noteaă cu G şi y G coordonatee centruui de greutate G a unei figuri (figura.) se pot scrie reaţiie: S AyG (.) Sy AG 6

7 y A G y G O G Figura. Din reaţiie (.) se observă că momentu static a secţiunii faţă de o axă care trece prin centru de greutate a secţiunii este nu. Sistemu de axe care are originea în centru de greutate a secţiunii transversae se numeşte sistem de axe centra, iar axee sunt axe centrae. Din reaţiie (.) reută coordonatee centruui de greutate: Sy G A (.4) S yg A Dacă o suprafaţă oarecare este compusă aceasta se divide în figuri simpe, pentru care se cunosc aria şi poiţia centruui de greutate, iar momentee statice ae întregii figuri se determină prin sumarea agebrică a momenteor statice ae figurior componente. Prin urmare: n S AiyGi i (.5) n Sy AiGi i Pentru o suprafaţă oarecare, care pate fi descompusă în figuri simpe, coordonatee centruui de greutate se cacueaă cu reaţiie: 7

8 n AiGi i G A n AiyGi i yg A (.6) în care: A i este aria întregii figuri; A n i A i - aria figurii i; Gi, y Gi - coordonatee centruui de greutate a figurii i. Observaţii ) Orice axă de simetrie conţine centru de greutate a figurii. ) La intersecţia a două axe de simetrie se găseşte centru de greutate. ) Ariie şi momentee statice ae unor gouri sunt considerate negative.... Momente de inerţie Pentru suprafaţa pană din figura. se pot defini: momente de inerţie axiae, moment de inerţie centrifuga, moment de inerţie poar.... Momente de inerţie axiae Momentee de inerţie axiae ae unei figuri, faţă de axee O şi respectiv Oy, sunt date de reaţiie: I y da A Iy da A (.7) 8

9 y A da y r O Figura.... Moment de inerţie centrifuga Momentu de inerţie centrifuga se determină cu reaţia: Iy yda (.8) A Axee în raport cu care I y 0 se numesc axe principae de inerţie. Faţă de aceste axe, momentee de inerţie axiae I şi I y au vaori maxime, respectiv minime. Axee principae care trec prin centru de greutate a figurii se numesc axe principae centrae.... Moment de inerţie poar Momentu de inerţie poar se determină cu reaţia: Ip r da (.9) A Dacă se apică teorema ui Pitagora pentru unu din triunghiurie formate în figura. reută r + y şi înocuind în reaţia.9 se obţine: Ip r da da + y da A A A respectiv I (.0) p I + I y Observaţii: ) Momentee de inerţie axiae şi poare sunt întotdeauna poitive. 9

10 ) Momentu de inerţie centrifuga poate fi poitiv, nu sau negativ. ) Unitatea de măsură pentru toate momentee de inerţie este [mm 4 ]. 4) Momentee de inerţie ae gourior se consideră negative. 5) Axee de simetrie sunt şi axe principae. 6) Momentu de inerţie poar este ega cu suma momenteor de inerţie axiae faţă de două axe perpendicuare oarecare care trec prin pou considerat...4. Variaţia momenteor de inerţie în raport cu axe paraee Se consideră o suprafaţă pană de arie A raportată a un sistem de referinţă centra, faţă de care momentee de inerţie ae suprafeţei sunt I, I y şi I y. Să se determine momentee de inerţie ae suprafeţei faţă de un at sistem de referinţă, având axee paraee cu primu (figura.4). Pe baa figurii se poate scrie: y y + yo + o (.) y 0 y da y O G y 0 A 0 O 0 Figura.4 Utiiând formuee generae pentru momente de inerţie, după efectuarea tuturor cacueor, se obţine: 0

11 I Iy I o o o I + yoa Iy + oa y Iy + oyoa o (.) unde: coordonatee 0 şi y 0 sunt uate cu semnu or şi repreintă coordonatee originii sistemuui vechi în nou sistem de coordonate. Reaţiie (.) se numesc reaţiie ui Steiner şi se enunţă astfe: momentu de inerţie axia faţă de o axă paraeă cu o axa centraă este ega cu momentu de inerţie faţă de axa centraă pus produsu dintre aria secţiunii şi pătratu distanţei dintre cee două axe, iar momentu de inerţie centrifuga este ega cu momentu de inerţie centrifuga faţă de axa centraă pus produsu distanţeor (dintre cee două axe) cu aria. Reaţiie (.) se foosesc frecvent pentru cacuu momenteor de inerţie ae figurior compuse. Adunând primee două reaţii (.) se obţine pentru momentu de inerţie poar următoarea expresie: Ipo Ip + (o + yo )A (.) Dacă se cunosc momentee de inerţie în raport cu nişte axe oarecare, atunci pentru axee care trec prin centru de greutate a figurii, paraee au axee date din reaţiie (.) reută: I I - y A o o Iy Iy - oa (.4) o Iy I y - oyoa o o Din utimee reaţii se observă că momentee de inerţie în raport cu axee centrae au cea mai mică vaoare în comparaţie cu momentee de inerţie pentru oricare ate axe paraee cu primee...5. Variaţia momenteor de inerţie a rotirea sistemuui de referinţă. Momente de inerţie principae

12 Dacă pentru o suprafaţă pană oarecare, de arie A se cunosc momentee de inerţie I, I y şi I y, faţă de un sistem de axe rectanguare Oy cu originea în centru de greutate (figura.5), se pune probema de a determina momentee de inerţie faţă de un sistem de referinţă rotit cu unghiu α faţă de primu. Coordonatee unui eement de arie da în nou sistem de axe, se exprimă în funcţie de coordonatee din vechiu sistem cu ajutoru reaţiior: o ysinα + cosα yo ysinα - sinα (.5) Se înocuiesc aceste expresii în reaţiie de definiţie pentru momentee de inerţie axiae şi momentu de inerţie centrifuga. y 0 y da 0 y y 0 O G 0 α A Figura.5 După efectuarea tuturor cacueor reută următoaree expresii cu ajutoru cărora se determină momentee de inerţie faţă de sistemu de axe rotit:

13 I o I + I y I + - I y cosα - I y sin α I yo I + I y I - - I y cosα + I y sin α (.6) I oyo I - I y sin α + I y cosα Dacă se adună primee două reaţii (.6) reută: I 0 + I y0 I + I y I p constant (.7) Reută că suma momenteor de inerţie axiae în raport cu orice pereche de axe ortogonae care trec printr-un po dat este constantă şi egaă cu momentu de inerţie poar indiferent de poiţia pe care aceste axe o ocupă prin rotirea în juru originii. Din reaţiie (.6) se observă că momentee de inerţie I şi I y variaă cu unghiu α. Vaorie extreme (maxime şi minime) ae momenteor, numite momente de inerţie principae se noteaă cu I şi I şi se determină cu reaţia: ( I ) - Iy + y I + Iy I, ± I (.8) 4 Pentru I I max se consideră semnu (+), iar pentru I I min semnu (-). Axee faţă de care momentee de inerţie axiae au vaori extreme se numesc axe principae de inerţie şi se noteaă cu şi. Direcţiie principae (direcţiie axeor principae) sunt date de ecuaţia: I y tg α (.9) I y - I Vaorie extreme ae momentuui de inerţie centrifuga I y corespund unui sistem de axe care fac un unghi de 45 o faţă de axee principae şi se cacueaă cu reaţia: I - I Iy, ± (.0)

14 Observaţii ) Axee de simetrie ae unei figuri sunt axe principae de inerţie. ) Momentu de inerţie centrifuga I y este nu în raport cu axee principae de inerţie. ) Pentru I y < 0 axa principaă (faţă de care momentu de inerţie este maxim) trece pin primu cadran, iar pentru I y > 0 prin cadranu a doiea. 4) Direcţiie principae sunt ortogonae. 5) Din punct de vedere practic un interes deosebit preintă momentee de inerţie centrae principae (momente cacuate în raport cu axee principae care trec prin centru de greutate a secţiunii). 6) Pentru secţiunie cu o singură axă de simetrie aceasta este axă principaă, iar a doua este perpendicuara pe aceasta prin centru de greutate...6. Modue de reistenţă..6.. Modue de reistenţă axiae Moduee de reistenţă axiae W şi W y sunt definite de reaţiie: I W ymax (.) Iy Wy max unde: y max distanţa de a axa O a punctu ce mai îndepărtat a secţiunii; max distanţa de a axa Oy a punctu ce mai îndepărtat a secţiunii Modu de reistenţă poar Se defineşte moduu de reistenţă poar ca raportu dintre momentu de inerţie poar şi distanţa de a po până a punctu ce mai îndepărtat a secţiunii: Ip W p (.) rmax Moduee de reistenţă se măsoară în [mm ]...7. Rae de inerţie. Eipsa de inerţie 4

15 Raee de inerţie sau de giraţie ae unei figurii, în raport cu un sistem de axe Oy sunt date de expresiie: i I A Iy iy A (.) Unitatea de măsură pentru raee de inerţie este cea de ungime [mm]. Pentru axee de inerţie principae centrae raee de inerţie principae sunt: I i A (.4) I i A Aceste rae de giraţie sunt semiaxee eipsei principae centrae de inerţie a figurii a cărei ecuaţie este: i y + i (.5)..8. Cacuu caracteristicior geometrice..8.. Caracteristicior geometrice pentru suprafeţe simpe Pentru suprafeţee simpe expresiie momenteor de inerţie se determină prin integrarea directă a formueor de definiţie. Apicaţii Ne propunem, de exempu, să determinăm momentu de inerţie pentru un triunghi oarecare (figura.6) de ăţime b şi înăţime h, în raport cu axa O care trece prin baa triunghiuui. Se consideră o suprafaţă eementară de arie da de forma unei fâşii paraee cu axa O, de ăţime b(y) şi înăţime dy. Din asemănarea triunghiurior se poate scrie b(y) şi respectiv expresia eementuui de arie: 5

16 y B da dy b(y) y h O b A Figura.6. b b( y) ( h - y) h (.6) b da b(y)dy (h - y) dy h Prin urmare: b h bh I y da y ( h - y) dy (.7) A h 0 Pentru câteva secţiuni simpe caracteristicie geometrice au următoaree expresii: - pentru dreptunghiu de înăţime h şi baă b: bh hb Abh; I ; Iy ; W - pentru pătratu de atură a (bh): bh 6 hb Wy (.8) 6 Aa a a ; I Iy ; W w y (.9) 6 - pentru cercu de diametru d, ca şi pentru pătrat, toate axee centrae ae secţiunii sunt principae şi toate momentee de inerţie centrae principae sunt egae. Simiar şi pentru hexagon, etc. În cau secţiunii circuare caracteristicie geometrice sunt date de reaţiie: 6

17 πd A ; 4 4 πd I Iy ; 64 πd W Wy ; 4 πd Ip ; πd Wp 6 (.0) - pentru un triunghi oarecare de ăţime b şi înăţime h, în raport cu sistemu de axe centra: bh A ; bh I ; 6 - pentru un poigon reguat cu n aturi de ungime a: 4 bh W (.) 4 πr πr I Iy sinα( cosα + ) ; Ip sinα( cosα + ) (.) α 6α π unde: α ; n R a sinα În afară de secţiunie simpe, ae căror caracteristicie geometrice sunt cacuate, în practica inginerească se foosesc profie standardiate (profi I, U, T cornier cu aripi egae şi neegae) ae căror caracteristici geometrice se găsesc tabeate Caracteristicior geometrice pentru suprafeţe compuse Pentru determinarea poiţiei axeor centrae principae şi a momenteor de inerţie principae centrae ae unei secţiuni compuse, care poate fi descompusă în figuri simpe, se vor parcurge următoaree etape: ) Se descompune secţiunea compusă în figuri simpe. ) Se aege unui sistem de referinţă arbitrar. ) Se determină poiţia centruui de greutate a secţiunii, cu reaţia (.6). 4) Se determină, utiiând reaţiie (.), momentee de inerţie axiae I, I y şi ce centrifuga I y faţă de sistemu de axe centra (un sistem de axe cu originea 7

18 în centru de greutate a secţiunii şi cu axee paraee cu cee ae sistemuui iniţia). 5) Se determină, cu reaţia (.9) unghiu de rotire a axeor principae. 6) Cu reaţia (.8) se determină momentee de inerţie principae. 7) Cu reaţiie (.) şi (.4) se determină moduee de reistenţă axiae şi respectiv raee de inerţie centrae. Etapee menţionate se apică pentru cau genera. În cau existenţei axeor de simetrie cacuu se simpifică (vei apicaţia următoarea). Apicaţii ) Să se determine caracteristicie geometrice ae unei secţiuni în formă de coroană circuară cu diametru exterior D şi ce interior d. (figura.7). y d O D Figura.7 Suntem în situaţia unei secţiuni cu două axe de simetrie. Prin urmare centru de greutate a coroanei circuare este a intersecţia axeor de simetrie. Aria şi momentee de inerţie ae coroanei se obţin prin sumarea agebrică a ariior şi momenteor or de inerţie ae cercurie concentrice. Prin urmare: π A (D 4 - d ); π I Iy (D 64 π 4 Ip (D d ) 4 d ) (.) 8

19 Moduee de reistenţă ae coroanei se determină cu reaţiie (.), (.): Observaţie W I Wy ymax Ip Wp rmax Ip D I D π D π 4 (D - 6D ( 4 4 D - d ); 4 d ) (.4) Moduee de inerţie ae unei secţiuni compuse nu se pot cacua prin sumarea agebrica a modueor de reistenta ae figurior componente. Raee de inerţie se cacueaă cu reaţia: 4 4 I π(d - d ) 4 i iy D + d (.5) A 64 π(d - d ) 4 ) Să se determine caracteristicie geometrice ae secţiunii din figura.8. t y y t 4t t G y max G 8t 8t t 8t max 8t Figura.8 Secţiunea are două axe de simetrie. La intersecţia or se afă centru de greutate G a secţiunii. Pentru determinarea caracteristicior geometrice, se aege sistemu principa centra Oy. Se descompune secţiunea în trei dreptunghiuri. 9

20 Aria secţiunii este suma ariior dreptunghiurior componente: A 8t + 6t 60t (.6) Utiiând reaţiie (.8), (.) se obţine: t( 4t) 8t( t) ( ) ( ) 4 I I + + 8t 8t - t 49t (.7) 4t( t) t( 8t) 4 I y I + 80t (.8) Moduee de reistenţă axiae se determină cu reaţiie (.): 4 I 49t W 65,8t ; ymax 9t (.9) I 4 y 80t Wy 45t max 4t Raee de inerţie principae se determină cu reaţiie (.4): i i iy i I A Iy A 4 49t 5t; 60t 4 80t,7t 60t (.40) ) Să se determine caracteristicie geometrice ae secţiunii din figura.9. Secţiunea are axă de simetrie verticaă. Aceasta trece prin centru de greutate a secţiunii şi se va cacua numai y G, faţă de axa O, aeasă arbitrar (cu reaţia.6). Faţă de sistemu de axe figurat centru de greutate a secţiunii are ordonata (abscisa fiind ero): AiyGi i t t 6t + 9t 4t 4t yg 0t (.4) A t t + 4t 9t 0

21 9t y y max 4t t t 4t y G 4t G 4t y G 0t O 6t Figura.9 Axa Oy (axa de simetrie) este axă de inerţie principaă. Sistemu de axe Gy este sistem principa centra. Momentee de inerţie centrae principae se determină cu reaţiie (.8), (.): t( t) ( ) ( ) 9t 4t ( ) 4 I I + 4t 6t + + 4t 6t 6t (.4) t ( t) 4t ( 9t) 4 I y I + 08t (.4) Se cacueaă moduee de reistenţă axiae şi raee principae de inerţie 4 I 6t W 6,t ymax 0t I 4 y 08t Wy 4t max 4,5t (.44) i i i y i I A Iy A 4 6t 7t 4 08t 7t 4,8t,t (.45) 4) Să se determine caracteristicie geometrice ae secţiunii compuse din figura.0. Suntem în situaţia unei secţiuni compuse oarecare fără axe de

22 simetrie şi prin urmare pentru determinarea caracteristicior geometrice se vor parcurge toate etapee preentate în paragrafu..7.. t y t y y 0,7t 8t 5t t 4t O,5t 5t y G t O G G,4t 0,8t,6t Figura.0 Se descompune secţiunea compusă în două dreptunghiuri şi se aege arbitrar sistem de referinţă Oy. Se determină cu reaţia (.6) coordonatee centruui de greutate faţă de sistemu de referinţă arbitrar: AiyGi i yg Ai i AiGi i G Ai i 5t t t + 6t t 4t,6t; 5t t + 6t t 5t t,5t + 6t t 5t t + 6t t (.46) t,7t Se cacueaă cu ajutoru reaţiior ui Steiner (reaţiie.), momentee de inerţie centrae (faţă de sistemu de axe centra Gy, un sistem de axe cu originea în centru de greutate a figurii şi cu axee paraee cu sistemu de axe aes iniţia): 5t( t) ( ) ( ) t 6t ( ) 4 I + 5t t,6t + + t 6t,4t 88,5t (.47)

23 t( 5t) ( ) ( ) 6t t ( ) 4 I y + 5t t 0,8t + + t 6t 0,7t 7t (.48) ( ) ( ) 4 I y t 5t,4t -,6t + t 6t - 0,7t 0,8t - 9,t (.49) Cu reaţia (.9) se determină, unghiu de rotire a axeor principae: I 4 y 9,t tgα,, I 4 4 y - I 7t -88,5t (.50) α 4 ;α Momentee de inerţie centrae principae se determină cu reaţia (.8): I + Iy I, ± 88,5t 4 + 7t 4 ± ( I - I ) 4 y + I y ( 88,5t 4-7t 4 ) ( ) 4 + 9,t 4 (.5) 4 4 I, 6,75t ± 8,85t (.5) Reută I 0,6 t 4 ; I,9 t 4 Cu reaţiie (.4) se determină raee de inerţie principae: 4 I 0,6t i,4 t A t (.5) 4 I,9t i,04 t A t 5) Să se determine caracteristicie geometrice pentru suprafaţa pană din figura.. Expresiie caracteristicior geometrice se determină prin integrarea directă a formueor de definiţie. Se consideră o suprafaţă eementară de arie da de forma unei fâşii paraee cu axa Oy, de ăţime d şi înăţime y.

24 y y a O y da G d A y G h y(b) G b Figura. Aria suprafeţei se cacueaă ţinând cont de reaţia (.): b b ab A da yd a d (.54) A 0 0 Dar ab y(b)h. Prin urmare se poate scrie: bh A (.55) Reaţiei (.55) i se poate da următoarea interpretare: aria segmentuui de paraboă din figura. este egaă cu / din aria dreptunghiuui circumscris, de aturi b şi h. Cu aceaşi eement de arie da se pot cacua momentu static şi momentu de inerţie faţă de axa 0y, ţinând cont de reaţiie (.) şi (.7): b 4 ab b h Sy da a d (.56) A b 4 Iy da a d A 0 5 ab 5 b h 5 (.57) 4

25 În mod simiar se pot determina caracteristicie geometrice faţă de axa O, considerând un eement de arie parae cu această axă. Se obţine: bh S şi 0 h b I (.58) 4 Poiţia centruui de greutate G pentru suprafaţa pană considerată se determină cu ajutoru reaţiior (.4): G yg Sy A S A b h 4 bh 0 b bh 4 h bh 0 (.59).. Eemente de statică... Forţe şi momente Se consideră o forţă F ρ ρ ρ ρ, cu componentee X,Y, Z, apicată în punctu M de coordonate x, y, (figura.). Dacă α, β, γ sunt unghiurie dintre direcţia forţei şi axee de coordonate se poate scrie: ρ ρ ρ ϖ F X + Y + Z (.60) F X + Y + Z unde: X Fcosα Y Fcosβ Z Fcosγ (.6) ρ ρ ρ ρ F(X,Y,Z) y M(x,y,) x 5

26 Figura. Momentu unei forţe se poate cacua faţă de un po şi în raport cu o axă. În ambee cauri sensu vectoruui moment se stabieşte cu regua burghiuui drept. Moduu momentuui unei forţe F ρ faţă de un punct O (faţă de un po) se cacueaă cu reaţia (.6) şi este ega cu produsu dintre moduu forţei şi braţu acesteia. Braţu forţei b repreintă mărimea perpendicuarei dusă din po pe suportu forţei (vei figura.): M F b (.6) ρ F dreapta suport b sensu rotirii O Figura. Teorema ui Varignon: Fie un sistem de forţe care admite ca sistem echivaent o reutantă unică. Suma momenteor forţeor în raport cu un punct este egaă cu momentu reutantei sistemuui, cacuat în raport cu aceaşi punct. Conform teoremei ui Varignon, momentu unei forţe este ega cu suma agebrică a momenteor componenteor forţei. Momentu forţei faţă de pou O mai poate fi exprimat şi ca produs vectoria dintre vectoru de poiţie a forţei (care uneşte pou O cu punctu de apicaţie a forţei) şi forţă: ρ ρ ρ M r F (.6) Momentu este perpendicuar pe panu format de vectorii r ρ şi F ρ. Aşa cum am preciat sensu momentuui este dat de regua burghiuui drept (burghiu 6

27 este rotit în sensu de suprapunere a ui r ρ peste F ρ pe drumu ce mai scurt), iar mărimea momentuui se determină cu reaţia (.6). Dacă r x, r y, r respectiv X, Y, Z sunt componentee vectorior r ρ şi F ρ, iar i ρ, ρ j, k ρ sunt versorii axeor Ox, Oy şi respectiv O momentu poar se poate determina cu reaţia: ρ ρ ρ M r F ρ i rx X ρ j ry Y ρ k r Z (.64) ρry i Y r Z ρrx + j X r Z ρrx + k X ry Y sau ρ ρ ρ ρ M Mx i + M y j + M k ρ M M x + M y + M (.65) Moduu momentuui unei forţe în raport cu o axă este ega cu moduu momentuui proiecţiei forţei pe panu norma a axă, cacuat în raport cu punctu în care axa înţeapă panu. Cupu (figura.4) este format din două forţe paraee, egae şi de sensuri contrare. Acesta produce numai rotaţie şi se repreintă printr-un vector iber, perpendicuar pe panu cupuui. sensu rotirii F O d/ d/ F Figura.4 7

28 Moduu momentuui care caracterieaă un cupu se cacueaă cu reaţia: M F d (.66) Reducerea unei forţe în raport cu un punct a corpuui este preentată în figura.5. Se pune probema reducerii în punctu O a forţei F ρ, care acţioneaă în B. Reducerea se face prin adăugarea şi scăderea forţei F ρ în punctu O. Astfe forţa F ρ care acţioneaă în B poate fi înocuită cu o forţă F ρ care acţioneaă în O şi momentu M ρ care caracterieaă cupu produs de cee două forţe barate. De obicei O este aes în centru de greutate a secţiunii. b F F F F M F b O B O B O B F Figura.5... Ecuaţiie staticii Pentru ca un corp sau un sistem de corpuri, afat sub acţiunea forţeor ρ ρ ρ F,F,..., Fn, să fie în echiibru, este necesar şi suficient ca forţa reutantă şi momentu reutant să fie nue ( R ρ 0; M ρ 0). Prin urmare trebuie satisfăcute condiţiie: n n Xi 0 Mi(ox) 0 i i n n Yi 0 Mi(oy) 0 (.67) i i n n Zi 0 Mi(o) 0 i i Reaţiie (.67) exprimă faptu că sumee agebrice ae proiecţiior tuturor forţeor şi ae momenteor faţă de cee trei axe trebuie să fie nue. 8

29 Dacă forţee sunt copanare (sunt situate în panu xoy), reaţiie (.67) se reduc a următoaree trei ecuaţii de echiibru independente: unde: n Xi 0 i n Yi 0 i n Mi(o) 0 i X i - proiecţia forţei F ρ i pe axa Ox; Y i - proiecţia forţei F ρ i pe axa Oy; (.68) M i(o) - momentu forţei ρ F i faţă de axa O (faţă de punctu O în care axa O înţeapă panu xoy). Observaţie: În unee situaţii primee două ecuaţii din reaţiie (.68) pot fi înocuite cu ecuaţii de momente, obţinându-se un sistem de trei ecuaţii, format astfe: - o ecuaţie de proiecţie a forţeor şi două de moment, cu preciarea că proiecţia forţeor nu se face pe o direcţie normaă a dreapta determinată de cee două puncte faţă de care se scriu ecuaţiie de momente; - trei ecuaţii de momente, scrise faţă de trei puncte care nu sunt coiniare. Dacă nu se respectă aceste condiţii ecuaţiie scrise nu sunt toate independente, unee fiind combinaţii iniare ae ceorate. 9

30 CAPITOLUL NOŢIUNI FUNDAMENTALE.. Obiectu discipinei Reistenţa materiaeor este o discipină de baă în pregătirea inginerior. Aceasta studiaă comportarea corpuui soid deformabi sub acţiunea sarcinior exterioare, a vibraţiior sau a oboseii şi stabieşte metode de cacu şi reaţii cantitative matematice care asigura în condiţii economice reistenţa, rigiditatea şi stabiitatea ansamburior de maşinior şi construcţiior Reistenţa materiaeor este discipina care studiaă efecteor sarcinior exterioare pe şi în interioru corpuui uând în consideraţie proprietatea acestuia de a se deforma. Cacuee de dimensionare şi verificare se efectueaă prin impunerea condiţiior de reistenţă, rigiditate, stabiitate şi respectiv economicitate, ţinând cont de caracteristicie mecanice ae materiaeor. 0

31 Cunoştinţee dobândite prin studiu Reistenţei materiaeor stau a baa tuturor discipinior de cacu şi proiectare ae maşinior şi construcţiior, discipina fundamentând prin noţiunie teoretice şi metodee de reovare conceptee tehno- ştiinţifice şi cunoştinţee necesare pregătirii inginereşti... Casificarea corpurior soide După raportu dintre cee trei dimensiuni principae corpurie soide studiate de reistenţa materiaeor se pot casifica în trei mari grupe:. corpuri ungi, care au o dimensiune mut mai mare decât ceeate două Eementee caracteristice ae acestei grupe sunt axa ongitudinaă (ocu geometric a centreor de greutate ae secţiunii transversae), respectiv forma şi dimensiunie secţiunii transversae (secţiunea normaă pe axa ongitudinaă). La rându ei, această categorie poate fi casificată astfe: - bare (care după forma axei pot fi: drepte, cotite, curbe). După destinaţie şi soicitarea a care sunt supuse baree drepte, de secţiune constantă pe toată ungimea, variabiă continuu sau în trepte (bare cu tronsoane), se numesc: - tiranţi, tije-pentru tracţiune; - tije, stâpi, cooane-pentru compresiune; - ştifturi, pene-pentru forfecare; - grini, osii-pentru încovoiere; - arbori pentru răsucire şi răsucire cu încovoiere. - caburi, fire (dacă dimensiunie secţiunii transversae sunt negijabie). Acestea sunt soicitate numai a tracţiune.. corpuri subţiri, care au o dimensiune mut mai mică decât ceeate două

32 Se caracterieaă din punct de vedere geometric prin forma şi dimensiunie suprafeţei mediane şi prin grosimea măsurată perpendicuar pe suprafaţa mediană. Corpurie din această categorie pot fi casificate astfe: - păci (circuare, eiptice, dreptunghiuare, etc.); - membrane (a care grosimea este mică şi care nu pot preua soicitări transversae sau de compresiune); - anveope, înveitori (vase, tuburi, carcase, cupoe).. corpuri a care cee trei dimensiuni au vaori comparabie În această categorie intră: - bie, roe; - fundaţii, picioare de pod, baraje. Pentru fiecare categorie de corpuri există reaţii de cacu specifice... Casificarea sarcinior Forţee şi momentee care soicită corpu se numesc sarcini. În Reistenţa materiaeor se consideră forţee şi momentee concentrate ca fiind vectori egaţi (nu este permisă depasarea punctuui de apicaţie pe dreapta suport) şi se opereaă mai mut cu moduu acestora. Sarcinie se pot casifica după cum urmeaă:. După mărimea suprafeţei pe care acţioneaă - sarcini concentrate (forţe şi momente care acţioneaă pe suprafeţe ae corpurior care pot fi considerate mici în raport cu dimensiunie corpuui). - sarcini distribuite (forţe şi momente care acţioneaă pe suprafeţe mari). În practică sarcinie pot fi uniform (figura.a) şi iniar distribuite(figura.b) sau pot fi întânite şi forţe distribuite după egi paraboice (figura.c),

33 exponenţiae, etc. Intensitatea forţeor distribuite în pan se exprimă în [N/mm] sau va fi măsurată în [N/mm ] (în cau forţeor provenite din presiune, a greutăţii unei înveitori sau a unei păci). În figura. se preintă porţiuni de grindă încărcate cu diverse forţe distribuite şi se indică forţee concentrate static echivaente. Se demonstreaă că intensitatea forţei reutante concentrate (măsurată în [N]), static echivaentă cu cea distribuită, este numeric egaă cu aria suprafeţei, cuprinsă între curba de variaţie a forţei distribuite şi grindă şi că punctu de apicaţie a forţei reutante coincide cu abscisa centruui de greutate a suprafeţei respective. Aceeaşi observaţii sunt vaabie şi în cau forţeor axiae distribuite uniform, respectiv iniar sau o forţeor care au o ată orientare faţă de corp. G a ) / b ) q q G Q q q ( x ) a x + b x + c G Q q / q ( / ) q Q q / c ) Figura.. Observaţii: a) Pentru o bară de secţiune constantă, confecţionată dintr-un materia omogen, greutatea este o forţă uniform distribuită. Intensitatea acestei forţe distribuite poate fi afată împărţind greutatea barei a ungimea acesteia [N/mm] şi repreintă deci greutatea unităţii de ungime.

34 b) Forţee de greutate şi de inerţie (forţe masice) sunt forţe distribuite. Greutatea a fost înocuită cu o forţă reutantă concentrată, static echivaentă, care acţioneaă în centru de greutate a corpuui. c) Înocuirea forţeor distribuite cu forţe concentrate nu este posibiă decât într-un număr imitat de situaţii (de ex. cacuu reacţiunior) când corpu încă este considerat rigid. Uterior această înocuire nu mai este admisă, deoarece ar modifica modu de deformare a corpuui. d) Momentee distribuite se întânesc rar în practică.. După variaţia or în timp - sarcini statice (intensitatea sarcinii creşte într-un timp reativ îndeungat şi rămâne constantă după ce a atins intensitatea maximă). - sarcini dinamice, care pot fi periodice sau aperiodice. Tot în această categorie intră şi sarcinie care se apică cu viteă mare (de ex. şocurie). În acest ca intensitatea sarcinii variaă de a ero a o vaoare maximă într-un timp foarte scurt. În figura. sunt repreentate categoriie de sarcini menţionate. F, M F const. a) b) c) P min P max t [sec] a) sarcini statice b) sarcini dinamice cu oc c) sarcini dinamice periodice Figura... După importanţă - sarcini principae (repreintă sarcinie prevăute care sunt practic preuate de corpu care este studiat); 4

35 - sarcini secundare (greutatea proprie a corpuui, forţee de frecare, forţee provenite din presiunea vântuui); - sarcini extraordinare sau accidentae. Aceste sarcinie pot fi prevăute sau neprevăute şi apar întâmpător a intervae de timp. Cu toate ca acţioneaă intermitent pot avea efecte catastrofae. Se datoresc unor catacisme (cutremure, inundaţii) sau unor accidente din procesee tehnoogice (expoii)..4. Forţe şi momente exterioare.4.. Reaeme şi reacţiuni.4... Tipuri de reaeme În Reistenţa materiaeor corpurie sunt figurate şi studiate în egătură cu ate corpuri înconjurătoare, adică împreună cu egăturie sau reaemee or. Acestea au rou de a suprima anumite grade de ibertate ae corpuui. Acest ucru se reaieaă prin apariţia în reaem a unor forţe (care împiedică una sau două transaţii) şi/sau momente (care împiedică rotirea). Forţee şi momentee care apar în reaeme se numesc reacţiuni. În categoria sarcinior exterioare intră şi reacţiunie care împreună cu sarcinie care soicită corpu formeaă un sistem în echiibru. Cacuu reacţiunior repreintă o probemă importantă în Reistenţa materiaeor. În tabeu. se preintă tipurie de reaeme, repreentărie schematiate şi reacţiunie care apar în fiecare tip de reaem. Pentru fiecare tip de reaem utima repreentare din tabe indică repreentarea penduară. Se utiieaă în specia primee repreentări schematiate. Reemarea simpă suprimă un grad de ibertate (transaţia pe direcţia verticaă) şi permite transaţia pe direcţia oriontaă şi rotirea. Practic această reemare se poate reaia prin agăre, prin intermediu unor roe. 5

36 Denumirea reaemuui Nr de grade de ibertate suprimate Tabeu. Repreentări schematiate Reemare simpă V V V Articuaţia ciindrică H V H V (simpă) H M H M Încastrarea V V Articuaţia ciindrică sau articuaţia simpă suprimă două grade de ibertate (transaţia pe direcţia verticaă şi pe direcţia oriontaă ) şi permite rotirea). Practic această reemare se poate reaia prin agăre de aunecare sau rostogoire. Încastrarea suprimă transaţia pe două direcţii şi rotirea deci preia toate gradee de ibertate. Baree încastrate a un capăt şi ibere a ceăat se numesc bare în consoă. O grindă fixată în id, o bară sudată de un corp masiv fix pot fi considerate bare încastrate. Reaemee preentate în tabeu. pot fi considerate în mod idea perfect rigide deoarece au deformaţii mut mai mici decât corpurie pe care e fixeaă. În practică pot fi întânite şi reaeme a căror deformaţii nu mai pot fi negijate 6

37 (arcuri, tampoane de cauciuc, reemarea şineor pe so, etc.) care sunt numite reaeme tasabie (eastice) Cacuu reacţiunior Cacuu anaitic aa reacţiunior se efectueaă cu respectarea următoareor etape: - schematiarea formei corpuui; - schematiarea moduui de reemare (stabiirea tipuui de reaem şi figurarea reacţiunior corespunătoare); - schematiarea moduui de încărcare (stabiirea forţeor şi a cupurior); - scrierea ecuaţiior de echiibru pentru sistemu de sarcini copanare (reaţiie (. 65)) cu aegerea arbitrară a convenţiior de semne; - reovarea sistemuui de ecuaţii, determinarea şi verificarea reacţiunior. Observaţii: ) Cacuu reacţiunior se efectueaă în ipotea că deformaţiie eastice şi depasărie sunt în genera mici în raport cu dimensiunea corpurior şi deci nu infuenţeaă sensibi vaoarea reacţiunior. Prin urmare ecuaţiie de echiibru sunt scrise pentru poiţia iniţiaă a corpuui considerat rigid şi nedeformat. ) În pan pot fi scrise numai trei ecuaţii independente. De obicei, acestea sunt: două ecuaţii de proiecţii a forţeor şi o ecuaţie de momente (reaţiie. 65). ) Ecuaţiie de echiibru mai pot fi scrise sub una din formee: - o ecuaţie de proiecţie a forţeor şi două de moment, cu preciarea că proiecţia forţeor nu se face pe o direcţie normaă a dreapta determinată de cee două puncte faţă de care se scriu ecuaţiie de momente; - trei ecuaţii de momente, scrise faţă de trei puncte care nu sunt coiniare. 4) Dacă număru reacţiunior este ce mut ega cu număru ecuaţiior de echiibru, acestea pot fi cacuate din ecuaţiie staticii. Asemenea sisteme se 7

38 numesc static determinate. Condiţia pentru ca un sistem să fie static determinat poate fi scrisă: NN NE (.) unde: NN număru necunoscuteor (reacţiuni sau uneori eforturi); NE număru ecuaţiior staticii care nu sunt identic nue. 5) Dacă număru necunoscuteor (reacţiunior) depăşeşte pe ce a ecuaţiior de echiibru sistemu este static nedeterminat. La aceste sisteme: NN > NE (.) Diferenţa dintre număru de necunoscute şi număru ecuaţiior de echiibru poartă numee de grad (ordin) de nedeterminare. În acest ca reacţiunie se determină prin reovarea sistemuui format din ecuaţiie de echiibru competate cu un număr de ecuaţii scrise în urma studierii deformaţiior corpuui, ega cu gradu de nedeterminare. Apicaţii Să se cacuee reacţiunie pentru următoaree grini: ) grinda în consoă încărcată cu o forţă concentrată (figura.) M H V Figura.. F de echiibru: Se figureaă reacţiunie V, H, M din încastrare şi se scriu cee trei ecuaţii X i 0 H 0 Y i 0 V - F 0 V F (.) M 0 F - M 0 M F Suma de momente a fost scrisă faţă de încastrare. 8

39 ) grinda în consoă soicitată de un moment concentrat (figura.4) H M V M Figura.4 Se figureaă reacţiunie V, H, M şi se scriu ecuaţiie de echiibru: Xi 0 H 0 Yi 0 V 0 (.4) M( ) 0 M - M 0 M M ) grinda reemată soicitată de o forţă concentrată (figura.5) H F V a b V Figura.5 Se figureaă reacţiunie V, H, V şi se scriu ecuaţiie de echiibru: Xi 0 H 0 (.5) Yi 0 V - F + V 0 (.6) Utima ecuaţie are două necunoscute. Pentru a evita reovarea unui sistem, se vor scrie două ecuaţii de moment, faţă de reaemee şi (ecuaţii care conţin o singură necunoscută V şi respectiv V ): 9

40 F M( ) 0 V - F a 0 V a (.7) F b M( ) 0 V - F b 0 V (.8) În mute exempe este mai avantajos să se aeagă această variantă. Cu ajutoru reaţiei (.6) se verifică dacă reacţiunie au fost corect cacuate (reacţiunie astfe cacuate vor fi înocuite în reaţie pe care o transformă într-o identitate, dacă au fost corect determinate). Înocuind (.7) şi (.8) în (.6) reută: Fb - F F a F ( a + b) + - F F - F 0.5. Forţe şi momente interioare Încărcând corpu cu sarcini, acesta se deformeaă ca urmare a variaţiei distanţeor interatomice. Dacă sarcinie nu depăşesc anumite vaori, pentru care depasarea atomior se face în juru poiţiei de echiibru, atomii revin în poiţia de echiibru după îndepărtarea sarcinior şi corpu are un comportament perfect eastic. Ruperea corpuui înseamnă de fapt desfacerea egăturior dintre perechie de atomi, separate prin secţionare. Chiar înainte de începutu soicitării corpuui în interioru ui există forţe puternice de atracţie între atomi, moecue care îi conservă forma şi voumu (forţe de coeiune). Sub acţiunea forţeor exterioare apar în corp forţe interioare supimentare care caută să se opună deformării corpuui. Atât forţee de coeiune cât şi forţee interioare supimentare nu apar în studiu echiibruui corpuui, ee făcându-şi echiibru în interior. Pentru a pune în evidentă forţee interioare şi ae transpune în categoria forţeor exterioare în Reistenta materiaeor se fooseşte metoda secţiunior. Sensu atribuit termenuui de secţionare este acea de suprimare a egăturior interioare dintre particuee afate de o parte şi de ceaată a suprafeţei cu care imaginar s-a tăiat corpu. Metoda secţiunior transferă 40

41 eforturie din categoria forţeor şi momenteor interioare în cea a forţeor şi momenteor exterioare. Metoda constă în: - se secţioneaă imaginar corpu soid în ona în care urmeaă să fie determinate forţee interioare (eforturie); - se repreintă pe porţiunie de corp reutate prin secţionare sarcinie exterioare şi forţee interioare aferente (pe cee două părţi reutate în urma secţionării se figureaă acţiunea părţii îndepărtate asupra părţii rămase); - se ioeaă oricare din cee două părţi reutate după secţionare; - se apică ecuaţiie de echiibru a sarcinie exterioare şi forţee interioare repreentate pe câte o porţiune a soiduui secţionat. Se consideră un corp soid asupra căruia acţioneaă un sistem de sarcini în echiibru (figura.6a) în care se face o secţiune imaginară cu panu P norma pe axa ongitudinaă şi se pun în evidenţă forţee interatomice de egătură. Aceste forţe sunt perechi, egae şi de sensuri contrare, conform egii acţiunii şi reacţiunii (figura.6b). F I F P F F i II F n F I F A a) b) A M ρ R F i F II I R ρ R ρ G G c) M ρ R F n F i II F n Figura.6. Corpu se secţioneaă în două părţi I si II. Cât timp nu se introduce nici o ată forţă în afara ceor iniţiae, cee două porţiuni de bară nu mai sunt în 4

42 echiibru. Dacă se îndepărteaă porţiunea II, pentru ca porţiunea I să rămână în echiibru va trebui ca în secţiunea de separaţie să se apice o forţă R ρ, care acţioneaă într-un punct oarecare a secţiunii. Aceasta repreintă reutanta tuturor forţeor de egătură de pe secţiunea uneia din părţi şi trebuie să echiibree forţee de pe partea înăturată. Reducând această forţă a centru de greutate G a secţiunii se va obţine reutanta R ρ şi momentu reutant M ρ R, numite eforturi (figura.6c). Eforturie R ρ şi M ρ R de pe cee două faţete sunt egae şi de sensuri contrare. Se aege un sistem triortogona de axe principa centra cu originea în G (centru de greutate a secţiunii transversae) în care axa Ox coincide cu axa geometrică a corpuui. Componentee eforturior după cee trei axe sunt (figura.7): y y F I T T y T 0 G R N x F I M M M y 0 G M R M x x F F a) b) Figura.7. - componenta N, normaă a secţiune, se numeşte forţă axiaă şi apare în cau soicitărior de tracţiune sau compresiune (soicitări axiae); - componentee T y şi T sunt în panu secţiunii şi se numesc forţe tăietoare; - componenta M x este normaă pe secţiune, apare a torsiunea (răsucirea) bareor şi se numeşte moment de torsiune; - componentee M şi M y sunt în panu secţiunii, se numesc momente de încovoiere (momente încovoietoare) şi apar a soicitarea de încovoierea. 4

43 Utiiând metoda secţiunior cee şase componente ae eforturior sunt puse în evidenţierea şi scriind ecuaţiie de echiibru pentru o porţiune din corpu astfe secţionat, eforturie se pot determina după cum urmeaă: - forţa axiaă N este egaă cu suma agebrică a tuturor proiecţiior forţeor exterioare pe axa Ox (axa barei); - forţee tăietoare T y şi T sunt egae cu suma agebrică a proiecţiior tuturor forţeor exterioare pe axa Oy şi respectiv O; - momentu de torsiune M x este ega cu suma agebrică a tuturor cupurior exterioare dirijate după axa Ox; - momentee încovoietoare M şi M y sunt egae cu suma agebrică a tuturor momenteor exterioare faţă de axa Oy şi respectiv O. Observatie: În pan se există ce mut trei componente nenue. Dacă se cunosc vaorie eforturior atunci se poate stabii care sunt cee mai soicitate puncte ae corpuui şi pe această baă se poate aprecia dacă corpu reistă sau nu sarcinior apicate sau se pot cacua dimensiunie corpuui astfe încât reistenţa acestuia să fie asigurată. Utiiând definiţiie de mai sus se pot stabii eforturie în orice secţiune a corpuui şi se pot trasa curbee or de variaţie, numite diagrame de eforturi. În pan pentru trasarea acestor diagrame se foosesc următoaree regui de semne: - forţa axiaă este considerată poitivă atunci când produce o soicitare de întindere în secţiunea considerată şi negativă atunci când produce o soicitare de compresiune; - forţa tăietoare este considerată poitivă atunci când actioneaa de jos în sus în stânga secţiunii sau de sus în jos în dreapta secţiunii; 4

44 - momentu încovoietor este considerat poitiv când grinda este deformată încât concavitatea curbei este orientată în sus; în situaţie contrară momentu încovoietor este negativ. Aceste regui de semne sunt obigatorii..6. Reaţii diferenţiae între sarcini şi eforturi Se considera o bară dreaptă încărcată cu două sarcini distribuite oarecare q y (x) şi q x (x). Se ioeaă un eement de ungime dx (figura.9a). Pe ungimea dx sarcinie q y (x) şi q x (x) se consideră constante. Se figureaă eforturie (figura.9b) şi se scriu ecuaţiie de echiibru pentru eementu de bară considerat: Xi 0 ( N + dn) + qx ( x) dx - N 0 (.9) ( T + dt )- q ( x) dx - T 0 Yi 0 y y y y (.0) dx M( ) 0 M - Tydx - q y ( x) dx - ( M + dm ) 0 (.) q y (x) q x (x) A Q y q y (x) dx Q y q y (x)dx M q x (x) N T y +dt y M +dm N+dN a) dx b) T y Figura.9 Din primee două reaţii, respectiv din ecuaţia de momente (.) (în care se negijeaă infiniţii mici de ordinu a doiea) reută următoaree reaţiie diferenţiae între sarcini şi eforturi: 44

45 dn -qx (x) dx dty q y (x) dx dm Ty dx (.4) Aşadar, derivata forţei axiae N în raport cu x este egaa cu intensitatea încărcării q x ce acţioneaă în ungu barei uată cu semn schimbat. Derivata forţei tăietoare T y în raport cu variabia x este egaă cu intensitatea încărcării transversae q y, iar derivata momentuui încovoietor M este egaă cu forţa tăietoare în secţiunea considerată. Din utimee două reaţii (.) se poate scrie: d M dx q y ( ) x (.).7. Tensiuni Se ia în considerare un eement de arie A, din juru punctuui M de pe suprafaţa secţiunii corpuui studiat anterior. Dacă aria eementară este suficient de mică repartiţia forţeor de egătură poate fi considerată aproximativ constantă, iar reutanta R ρ a acestor forte poate fi apicată în centru de greutate a eementuui. Tensiunea medie pe suprafaţa A se poate cacua cu reaţia: ρ ρ R pmed A (.4) A Considerând materia continuă se poate restrânge oricât de mut eementu de suprafaţă în juru punctuui M, trecerea a imită fiind permisă în aceste condiţii. Se obţine astfe vaoarea tensiunii în punctu M: ρ p ρ dr M im da 0 da (.5) 45

46 Unitatea de măsura a tensiunii este [N/mm MPa] şi depinde atât de dr ρ cât şi de orientarea eementuui de suprafaţă da (tensiunea fiind o mărime tensoriaă). F A y R F τ y p I M O x da I M O σ x x F F Figura.0 Tensiunea poate fi descompusă (vei figura.0) în două componente: - pe direcţia normaei în componenta σ x, numită tensiune normaă (orientată de direcţia axei Ox); - pe panu secţiunii în componenta τ, numită tensiune tangenţiaă. La rându său, componenta τ poate fi descompusă în panu yo, (a care Ox este normaă) obţinându-se componentee τ xy şi τ x (figura.) care sunt paraee cu axee Oy şi respectiv O. Pentru cee două tensiuni tangenţiae semnificaţia indicior este următoarea: primu indice desemneaă axa normaă a panu secţiunii (axa Ox ) iar a doiea axa cu care tensiunea este paraeă (axee Oy şi respectiv O). F F τ τ x I τ x y M da O y x p P σ x Figura.. 46

47 .8. Ecuaţii de echivaenţă (reaţii între eforturi şi tensiuni) Se consideră porţiunea I, afată în echiibru, ioată din corpu soid considerat prin metoda secţiunii. Se figureaă cee şase eforturie (N T y T respectiv M x M y M ) şi cee trei tensiunie (σ x τ xy τ x ) într-un punct M a secţiunii (vei figurie.a şi.b), situat a distantee, y faţă de cee două axe respectiv r faţă de centru de greutate Se aege un sistem de referinţă cu originea în centru de greutate a secţiunii transversae. F F I da τ τ x T y τ xy M σ x y T y N O G F y τ xy τ da M y τ x σ x r M y x I M x M O G x F a) b) Figura. Pentru porţiunea de corp considerată se scriu ecuaţiie de echiibru în secţiune (trei ecuaţii de proiecţii ae forţeor pe axe şi trei ecuaţii de moment faţă de axe vei reaţiie.64), forţee eementare fiind egae cu produsu dintre tensiuni şi eementu de suprafaţă da: N σ da A x (.6) T y τ da A xy (.7) 47

48 T τ da A x (.8) ( τ -τ y) τrda Mx xy x da (.9) A A M y σ da A x (.0) M σ yda A x (.) Ecuaţiie de echiibru (.6-.) stabiesc reaţii între eforturi şi tensiuni şi se numesc ecuaţii de echivaenţă. Fiecare integraă se referă a aria totaă A a secţiunii transversaa a corpuui soid. Deoarece nu conţin caracteristici fiice de materia aceste ecuaţii sunt vaabie pentru orice corp soid..9. Soicitări simpe Cee mai simpe cauri întânite în practică sunt cee în care pe secţiunea corpuui apare o singură componentă a eforturior şi respectiv tensiunior. Acestea se numesc soicitări simpe. Există patru soicitări simpe: soicitărie axiae (tracţiune sau compresiune), forfecare, torsiune şi încovoiere (vei tabeu.). Tracţiunea şi compresiunea se numesc soicitări axiae deoarece suporturie forţeor sunt dirijate tangent a axa geometrica a barei. La acestea diferă între ee numai semnu eforturior, tensiunior şi aungirior specifice: poitive pentru tracţiune şi negative pentru compresiune. La comprimarea bareor vete (ungi în raport cu dimensiunea secţiunii transversae), peste anumite vaori ae forţei bara părăseşte forma rectiinie şi apare fenomenu de fambaj (pierderea stabiităţii). Fambaju nu este o soicitare. Forfecarea este produsă de două forţe egae şi de sens contrar ce acţioneaă pe un suport perpendicuar pe axa geometrică a corpuui. 48

49 Tabeu. Soicitarea Schema de soicitare Efort nenu Tensiune Tracţiune N N N > 0 σ > 0 N N Compresiune N < 0 σ < 0 Forfecare (Tăiere) T T T y (sau T ) τ Torsiune (Răsucire) Încovoiere M x M x M x M M M (sau M y ) τ σ Soicitarea de torsiune este produsă de cupuri de forţe conţinute în pane perpendicuare pe axa geometrică a corpuui. Soicitarea de încovoiere poate fi încovoiere pură şi încovoiere simpă. Prin încovoiere pură se înţeege deformarea unei grini produsă de un sistem de forţe static echivaente care produc în secţiunea transversaă un moment încovoietor, a cărui vector este dirijat după una din axee principae ae secţiunii transversae. În cau soicitării de încovoiere simpă în secţiunea transversaă a grinii apare pe ângă un moment încovoietor şi o forţă tăietoare. În practică se întânesc şi soicitărie compuse. Acestea se produc atunci când în secţiunea corpuui apar simutan ce puţin două componente ae eforturior şi tensiunior..0. Depasări şi deformaţii Se înţeege prin depasare modificarea poiţiei unui punct sau a unei secţiuni a corpuui. Reistenţa Materiaeor se ocupă cu studiu depasărior 49

50 eastice sau easto-pastice produse ca urmare a deformării corpuui, atunci când acesta îşi modifică dimensiunie şi forma geometrică iniţiaă. Prin deformaţie se înţeege modificarea distanţei dintre puncte sau secţiuni, sau a unghiurior dintre două segmente duse printr-un punct. Modificărie ungimior segmenteor se numesc deformaţii iniare iar modificărie unghiurior deformaţii unghiuare sau unecări. Deformaţiie depind de forma şi dimensiunie corpuui, de mărimea şi modu de apicare a sarcinior şi de anumite caracteristici mecanice ae materiaeor. Dacă deformaţiie dispar după înăturarea sistemuui de sarcini (corpu revine a forma şi dimensiunie iniţiae), se spune că avem deformaţii eastice. Pentru majoritatea materiaeor utiiate a reaiarea structurior de reistenţă deformaţiie eastice sunt foarte mici în raport cu dimensiunie corpurior confecţionate din aceste materiae. Se face preciarea că, în cee ce urmeaă ne vom referi a deformaţii eastice mici. Se considera un corp soid. Punctee C, D din interioru corpuui determină segmentu [CD], iar punctee M, O, N segmentee [OM] şi [ON] astfe încât între acestea să există un unghi drept (figura.). După deformarea corpuui punctee se depaseaă în C, D, M, N şi O. F i F C C M D N D M O N O F n Figura. Se defineşte ca fiind deformaţie iniară absoută variaţia ungimii segmentuui [CD]: δ [C' D']-[CD] - 0 (.) 50