Α ΕΚΔΟΣΗ:31/01/2012. R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν οι σχέσεις

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΙΑ ΣΥΛΛΟΓΗ 5 ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΕ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Α ΕΚΔΟΣΗ:3// ΑΣΚΗΣΗ 7 (από Περικλή Παντούλα) Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο R, συνεχής στο σημείο και ισχύει m Να αποδείξετε ότι ισχύει ( ) = ΑΣΚΗΣΗ 7 (από Δημήτρη Κατσίποδα) Η συνάρτηση : R R είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν οι σχέσεις () = ( ) h lim h ( ) lim = 3 ( ) για κάθε (, ) ηµ 3 h = m R. α. Να δείξετε ότι () = β. Να αποδείξετε ότι () = 9 γ. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο A(, ()) δ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) = δεν μπορεί να έχει δύο διαφορετικές ρίζες στο διάστημα (, ) ε. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο ώστε ( ξ) = ξ στ. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν, (, ) τέτοια ώστε ( ) ( ) = Πηγή: Ι.Γαρατζιώτης - Π. Μάστακας (εκδόσεις Κέδρος) ΑΣΚΗΣΗ 73 (από Περικλή Παντούλα) 3 Έστω η συνάρτηση ( ) = e, R. 6 α. Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα, τα κοίλα και τα σημεία καμπής. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της 3 γ. Να δείξετε ότι e + + +, R 6 3 g( ) g ( ) δ. Έστω η συνάρτηση g: R R ώστε lim e g( ) = 6 Πηγή: Γ.Μπαϊλάκης (εκδόσεις Σαββάλας). Να δείξετε ότι g( ) lim =

2 ΑΣΚΗΣΗ 74 (από pito) ( a) + ( β ) Έστω τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση στο R τέτοια ώστε να ισχύει ( ) για κάθε πραγματικό. α. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( a, β ) τέτοιο ώστε ( ) = β. Να δείξετε ότι ( a) = ( β ) = γ. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( a, β) τέτοιο ώστε ( ξ ) =. Πηγή: Ε.Τσακουμάγκος Α.Μπαλωμένου (εκδόσεις Ελληνοεκδοτική) ΑΣΚΗΣΗ 75 (από Δημήτρη Κατσίποδα) Έστω συνάρτηση δύο φορές παραγωγίσιμη στο R με α. Να μελετηθεί η μονοτονία της 3 ( ) + 3 ( ) = για κάθε R. β. Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να ορίσετε την γ. Να βρεθεί το πρόσημο της δ. Να αποδείξετε ότι η έχει ένα μόνο σημείο καμπής, το οποίο και να προσδιορίσετε ( α) ( β) ( α) ε. Αν < α < β, να αποδείξετε ότι > α β α στ. i. Να βρεθεί η μονοτονία της g ( ) = ( ) ii. Να λυθεί η ανίσωση ( ) + < Πηγή: Κ.Ρεκούμης - Κ.Λαγός (εκδόσεις Μεταίχμιο) ΑΣΚΗΣΗ 76 (από pito) y y Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : (, + ) R με την ιδιότητα e ( ) e = ( ) y y e e για κάθε > και y πραγματικό καθώς και () = 6, () = 3. α. Να βρείτε την ( ) για >. β. Να βρείτε την ( ) στο (, + ). γ. Να βρείτε το ελάχιστο της. δ. Να δείξετε ότι η είναι κυρτή στο (, + ) και να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο A(, ()). ε. Αν για τους θετικούς a, βγ, R ισχύει aβγ = και a + β + γ =, να δείξετε ότι a + β + γ >. 3 Πηγή: Χ. Πατήλας (εκδόσεις Ελληνοεκδοτική)

3 ΑΣΚΗΣΗ 77 (από Βασίλη Κακαβά) Έστω συνάρτηση :[, + ) R που είναι συνεχής και γνήσια αύξουσα, για την οποία ισχύει ότι ( ) + ( ( )) = για κάθε [, + ) α. Να δείξετε ότι ( ) για [, + ) και ότι () =. ( ) e ( ) β. Να δείξετε ότι η εξίσωση + = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (,). ( ) ( ) γ. Αν η είναι παραγωγίσιμη στο = να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της στο σημείο της A(, ()). ΑΣΚΗΣΗ 78 (από Περικλή Παντούλα) Έστω οι συναρτήσεις, g: (, + ) R, όπου η είναι παραγωγίσιμη, με ( ) = και ( e ) = να ισχύει ( ) ( ) = +, για κάθε > όπου c R e ce g, ώστε α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση φ ( ) = ( ) + ln ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [, e ] β. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ, ώστε ( ξ) = lnξ γ. Να βρείτε την σταθερά c δ. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης Πηγή: Γ.Μπαϊλάκης (εκδόσεις Σαββάλας) ΑΣΚΗΣΗ 79 (από Δημήτρη Κατσίποδα) * Δίνεται η συνάρτηση ( ) = e, R α. Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα β. Να μελετήσετε την συνάρτηση ως προς την κυρτότητα γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της δ. Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης ( ) ln + ε. Να βρείτε το όριο lim Πηγή: Α.Μπάρλας (εκδόσεις Ελληνοεκδοτική) e α =, για τις διάφορες τιμές του α R

4 ΑΣΚΗΣΗ 8 (από Γιάννη Σταματογιάννη) Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο R με () = και ικανοποιεί τη συνθήκη ( + 3) h ( ) h ( ) lim = e για κάθε R τότε h h α. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης β. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα γ. Να βρείτε τα ακρότατα και τα σημεία καμπής Πηγή: Γ. Κομπότης (εκδόσεις Κωστόγιαννος) ΑΣΚΗΣΗ 8 (από Δημήτρη Κατσίποδα) Δίνεται η συνάρτηση ( ) = ( ) e + 3+, R α. Να βρεθούν και β. Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα και να βρεθούν τα σημεία καμπής. γ. Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία και τα τοπικά ακρότατα. δ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της ε. Να λύσετε την εξίσωση ( ) = και να προσδιορίσετε το πρόσημο της στ. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της C Πηγή: Σημειώσεις Μπ.Στεργίου με τίτλο Γενικά Θέματα στην Κατεύθυνση της Γ (/5/8) ΑΣΚΗΣΗ 8 (από pito) Δίνεται η συνάρτηση ( ) = e +. α. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα, να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της και το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e( ) = ea για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού a γ. Να δείξετε ότι e < +, >. δ. Να λύσετε την εξίσωση ( ) = ( ) + ln

5 ΑΣΚΗΣΗ 83 (από dennys) Έστω οι συναρτήσεις, g: R R με τύπους ( ) = e και g ( ) =. α. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της ( ) στο A(,) εφάπτεται και της g ( ) a β. Να δειχθεί ότι υπάρχει ακριβώς ένα a (, ) τέτοιο ώστε e + a+ = γ. Έστω h ( ) = ( ) g ( ), να δείξετε ότι : i. h ( ) a a για κάθε R ii. Η εξίσωση h ( ) = έχει ακριβώς δυο λύσεις ΑΣΚΗΣΗ 84 (από Νίκο Αλεξανδρόπουλο) Έστω συνάρτηση με ( ) = e + ηµ + e. α. Να προσδιορισθεί το σύνολο τιμών της. β. Nα δειχθεί ότι η εξίσωση ( ) = έχει μοναδική λύση ΑΣΚΗΣΗ 85 (από Χάρη Γ. Λάλα) Αν η συνάρτηση : R R είναι παραγωγίσιμη στο ΑΣΚΗΣΗ 86 (από Βασίλη Κακαβά) lim a * a R +, να δειχθεί ότι: = ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a a a a Έστω συνάρτηση : R R συνεχής και g: R R γνήσια αύξουσα ώστε να ισχύει ln( ( )) = g ( ) για κάθε R. α. Να δείξετε ότι η είναι γνήσια αύξουσα στο R. Β. Να δείξετε ότι: ( ()) + ( ()) + ( (3)) i) lim = + ( (4)) ( ()) + ( (3)) ( ()) + ( ()) + ( (3)) ii) lim = ( (4)) ( ()) ( (3)) + ( ()) () γ. Αν ισχύει ότι lim = g() με () να δείξετε ότι g () = ln. δ. Αν () = και ισχύει lim g ( ) = +, να δείξετε ότι υπάρχει (, + ) τέτοιο ώστε ( ) = +

6 ΑΣΚΗΣΗ 87 (από Νίκο Αλεξανδρόπουλο) 5 5 Έστω συνάρτηση με ( ) = + ηµ. ln 5 α. Να δειχθεί ότι η παρουσιάζει καμπή στο =. β. Nα βρεθεί η εφαπτομένη στο =. ΑΣΚΗΣΗ 88 (από Νίκο Αλεξανδρόπουλο) ( ) 6 ηµ (6 3) Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R με lim = και lim = (5) α. Να δειχθεί ότι η εξίσωση ( ) = + έχει μια τουλάχιστον λύση στο (3,5). β. Αν η είναι κυρτή, να βρεθεί το πλήθος των ριζών της ( ) = στο (3,5). ΑΣΚΗΣΗ 89 (από Περικλή Παντούλα) 3 3 Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) 3 ln ( ), (, ) g = + R. = και ( ) 5 ln, α. Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των δύο συναρτήσεων, έχουν μοναδικό κοινό σημείο, το οποίο και να βρεθεί. β. Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτομένων των C και C g στο κοινό τους σημείο. γ. Να βρεθούν τα σύνολα τιμών των δύο συναρτήσεων, και να αποδειχθεί ότι υπάρχει μία μόνο ρίζα της στο (, ) και μία μόνο ρίζα της g στο (, ) Πηγή: Μαντάς (εκδόσεις Μαντά) Βιβλίο από Δέσμες ΑΣΚΗΣΗ 9 (από dennys) α. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα ακριβώς r > τέτοιο ώστε lnr + r 3= β. Δίνεται η συνάρτηση : (, + ) R με ( ) = ( )( ln ) i. Μελετήστε την ( ) ως προς μονοτονία και ακρότατα. ii. Για τον αριθμό r του ερωτήματος (α) να δείξετε ότι: ( r ) α. ( ) + για κάθε > r β. Υπάρχει o > r τέτοιο ώστε ( o) + ( o) =

7 ΑΣΚΗΣΗ 9 (από Κώστα Ρεκούμη) Η συνάρτηση : R R είναι παραγωγίσιμη και ισχύουν: ( ), για κάθε R α.i. Να αποδείξετε ότι () = 5 ii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε ( ) ( ) + ηµ ( 4) lim = + = ( ) β. Αν επιπλέον ισχύει ( ) + ( ) =, για κάθε R, τότε: i. Να αποδείξετε ότι () = ii. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής της παράστασης στο σημείο της (, ()) iii. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε ( ξ 3) ( ξ) + ( ξ) = ΑΣΚΗΣΗ 9 (από dennys) α. Δίνεται ( ) = ln( e ). Ποιά είναι η μονοτονία της, τα ακρότατα της και οι ρίζες της; β. Αν g( ) = ln( e ) να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες των ( ), g ( ), εκεί που τέμνονται από την ευθεία = o >, τέμνονται πάνω στον άξονα y' y γ. Να αποδείξετε ότι η ( ) έχει δυο σημεία καμπής r, r για τα οποία ισχύουν οι σχέσεις: ( r ) r r r ( r) e = ( r )( r) () και e = () r ΑΣΚΗΣΗ 93 (από dennys) Έστω μια συνάρτηση ( ),που ορίζεται στο [,] και είναι παραγωγίσιμη και ισχύει: ( ) () + () + για κάθε [,] α.i Να αποδείξετε ότι υπάρχει c (,) τέτοιο ώστε ( c) = () () ii. Να αποδείξετε ότι () =, και () = iii. Να βρείτε την μονοτονία της ( ) και να αποδείξετε ότι ( ) για κάθε [,] iv. Να αποδείξετε ότι ( ) για κάθε [,] Aν t (,) τυχαίος, να δείξετε ότι: β.i. Υπάρχει r (, t) τέτοιο ώστε t ( r ) = () t + ii. Υπάρχει r ( t,) τέτοιο ώστε ( t ) ( r ) = ( t) iii. Να βρείτε τον τύπο της ( ) για κάθε [,]

8 ΑΣΚΗΣΗ 94 (από Απόστολο Τιντινίδη) Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και κοίλη στο [ αβ, ]. Αν γνωρίζετε ότι ( α) ( β) = = τότε: < β. Να βρείτε το πρόσημο της α. Να δείξετε ότι: ( α) ( β) γ. Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( αβ) τέτοιο ώστε ( ) ( ), ΑΣΚΗΣΗ 95 (από Απόστολο Τιντινίδη) Δίνεται η συνάρτηση ( ) ln ( ) = + +. α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της και να δείξετε ότι είναι γνησίως αύξουσα σ' αυτό. β. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η C είναι κυρτή ή κοίλη καθώς και τα ενδεχόμενα σημεία καμπής. ( ) γ. Να βρείτε το όριο lim + ln ( ) = + 3. δ. Να λύσετε την εξίσωση ( ) ΑΣΚΗΣΗ 96 (από Χρήστο Κανάβη) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ( ) = ln +. 4 α. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει ακριβώς ένα σημείο τομής με τον ' β. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης δεν δέχεται οριζόντια εφαπτομένη. ( ) γ. Να δείξετε ότι + για κάθε <. 4ln ΑΣΚΗΣΗ 97 (από Απόστολο Τιντινίδη) α. Για τις συναρτήσεις hg, ισχύει πως h ( ) g ( ) για κάθε κοντά στο, όπου R { ± }. Να δείξετε ότι: i. lim g ( ) = lim h ( ) = ii. lim h ( ) = + lim g ( ) = +

9 β. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει : ( ) = για κάθε R. + e i. Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η είναι κυρτή ή κοίλη καθώς και τα ενδεχόμενα σημεία καμπής. ii. Να δείξετε ότι η g ( ) = ( ) είναι γνησίως αύξουσα στο R iii. Να βρείτε το σύνολο τιμών της iv. Να υπολογίσετε το όριο lim ( + ) ( ) + ΑΣΚΗΣΗ 98 (από parmenides5) Έστω η δυο φορές παραγωγίσιμη : R R με ( ) > για κάθε R, ώστε lim ( ) =. Να δείξετε ότι : α. η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα β. ισχύει ( ) > για κάθε R. + Πηγή: Γ. Μπαϊλάκης (εκδόσεις Σαββάλας) ΑΣΚΗΣΗ 99 (από Περικλή Παντούλα) Δίνεται η μη μηδενική συνάρτηση : R R α. Να αποδείξετε ότι ( ) = β. Αν ισχύει ( ) =, τότε να αποδείξετε ότι: i. Η είναι παραγωγίσιμη στο R ii. Η συνάρτηση g: R R iii. Να βρεθεί ο τύπος της με g( ) ( ) με ( y) 4 y ( ) ( y) + = για κάθε y, R. = είναι σταθερή στο R ΑΣΚΗΣΗ (από Δημήτρη Κατσίποδα) Δίνεται η συνάρτηση : (, + ) R με ( ) = ln a aln a, > α. Να βρείτε το a > αν ισχύει ( ) για κάθε > Για a = e: e β. Να μελετηθεί η ως προς την μονοτονία και να δείξετε ότι e για κάθε > e γ. Να λύσετε την εξίσωση e =, > β γ δ. Να προσδιορίσετε τους θετικούς βγ, αν ισχύει β + γ + για κάθε > Πηγή: Γ.Μιχαηλίδης (εκδόσεις Διόφαντος)

10 ΑΣΚΗΣΗ (από Στάθη Κούτρα) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R, για την οποία ισχύει η σχέση: α. Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ( ) ( ) συν ( ) β. Να αποδείξετε ότι : ( ) ( ),, + = για κάθε R y y y R γ. Να δείξετε ότι: ( ) +, R δ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της και την ΑΣΚΗΣΗ (από Στάθη Κούτρα) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : (, ) ( ) + R, για την οποία ισχύει η σχέση: = ( ) + για κάθε (, + ) e α. Να εκφράσετε την ( ) συναρτήσει μόνο του ( ) για κάθε (, + ) β. Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως μονότονη γ. Να μελετήσετε την ως προς τα κοίλα δ. Να βρείτε τον τύπο της αντίστροφης συνάρτησης ΑΣΚΗΣΗ 3 (από Στάθη Κούτρα) α. Να αποδείξετε ότι e > > ln για κάθε (, + ) β. Μια κατακόρυφη ευθεία tt, (, ) ( ) = e και g( ) = ln στα σημεία AB, αντίστοιχα. i. Να βρείτε την απόσταση ( AB ) συναρτήσει του t (, + ) και έστω ότι ( AB) = d ( t) ii. Να δείξετε ότι η εξίσωση d ( t) (, ) iii. Να αποδείξετε ότι η απόσταση d γίνεται ελάχιστη για κάποιο t (,) = + τέμνει τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων = έχει ακριβώς μια λύση και μάλιστα αυτή ανήκει στο διάστημα

11 ΑΣΚΗΣΗ 4 (από Χρήστο Κανάβη) = ln + e +. 3 α. Να μελετηθεί η συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. lim lim. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο ( ) ( ) β. Να βρεθούν τα όρια ( ) και ( ) + γ. Να βρεθούν οι ασύμπτωτες της συνάρτησης και το σημείο τομής τους. δ. Να προσδιοριστεί η θέση της C ως προς τις ασύμπτωτες. Πηγή: Annales corrigées - Mathématiques - Bac, Vuibert ΑΣΚΗΣΗ 5 (από Δημήτρη Κατσίποδα) ln Δίνεται η συνάρτηση ( ) =, > α. Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. β. Να βρείτε το σύνολο τιμών της κ γ. Για τις διάφορες τιμές του κ R να βρείτε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης = e, > συν δ. Να λύσετε την εξίσωση ( ηµ ) = ( συν ) ηµ π στο διάστημα (, ) ε. Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ξ (, + ) ώστε η εφαπτομένη της C στο σημείο της M( ξ, ( ξ )) να τέμνει τον άξονα yy στο ln ( + ) ln στ. Να δείξετε ότι για κάθε e ισχύει ( + ) < < ( ) lim ln ( + ) ln ζ. Να υπολογίσετε το όριο ( ) + Πηγή: Β. Παπαδάκης (εκδόσεις Σαββάλας) και Γ. Μιχαηλίδης (εκδόσεις Διόφαντος) ΑΣΚΗΣΗ 6 (από pito) Έστω η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R για την οποία ισχύουν ( + ) = (3 ) και ( ) α. Να λύσετε την εξίσωση ( ) =.,3 και ισχύει () < (), να μελετήσετε την ως προς τη β. Αν επιπλέον η είναι συνεχής στο [ ] μονοτονία και να βρείτε τις θέσεις των ολικών ακροτάτων στο [,3 ] Πηγή: Α.Μπάρλας (εκδόσεις Ελληνοεκδοτική)

12 ΑΣΚΗΣΗ 7 (από Περικλή Παντούλα) a Δίνεται η συνάρτηση ( ) = ln + aa, R. Αν ( ) για κάθε (, ) α. Να βρείτε τον a R Για την τιμή του a που βρήκατε: β. Να μελετήσετε την ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα γ. Να μελετήσετε την ως προς την κυρτότητα και τα σημεία καμπής δ. Να υπολογίσετε τα όρια lim ( ) και lim ( ) + + ε. Να βρείτε το σύνολο τιμών της και να λύσετε την εξίσωση ( ) = + > + λ + 6 λ + στ. Να λύσετε την ανίσωση ln ( λ ) ln ( λ 6) Πηγή: Χ.Γκουβιέρος Θ. Διαμαντόπουλος (εκδόσεις Ξιφαράς) +, τότε: ΑΣΚΗΣΗ 8 (από Περικλή Παντούλα) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : [, ] R τέτοια, ώστε ( ) + i ( ) Δίνεται επίσης ότι ο μιγαδικός i ( ) α. ( ) = και ( ) = β. Η εξίσωση ( ) = έχει ακριβώς μία λύση στο διάστημα (, ) γ. Η εξίσωση ( ) ( ) = έχει τουλάχιστον μία λύση στο (, ) Πηγή: Γ.Μπαϊλάκης (εκδόσεις Σαββάλας) >, για κάθε R. = + είναι φανταστικός και έχει μέτρο. Να δείξετε ότι: ΑΣΚΗΣΗ 9 (από Απόστολο Τιντινίδη) Έστω η συνεχής συνάρτηση : (, ) R ( ) ( ) ( ln ) α. Να βρείτε το () β. Να εξετάσετε αν η C έχει ασύμπτωτες + για την οποία ισχύει = ηµπ για κάθε > γ. Να εξετάσετε αν υπάρχουν αβ, R, ώστε για τη συνάρτηση g με να ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θ. Rolle στο [,] α + ( ), αν < < g ( ) = β, αν = Πηγή: Γ.Μπαϊλάκης (εκδόσεις Σαββάλας)

13 ΑΣΚΗΣΗ (από dennys) Δίνονται οι συναρτήσεις, g: (, + ) R για τις οποίες ισχύει ( ) g( ) + ln για κάθε >. α. Αν οι συναρτήσεις έχουν πλάγιες ασύμπτωτες στο + τις e, e αντίστοιχα, να δείξετε οτι οι ευθείες e, eείναι κάθετες. ( + 5) h ( 3) h + ln β. Αν ισχύει πως lm i = και () =, να βρεθεί ο τύπος της ( ) h sin(4h) γ. Αν η πλάγια ασύμπτωτη της g ( ) διέρχεται από το σημείο A (, ), ποια είναι η εξίσωση της; ΑΣΚΗΣΗ (από Περικλή Παντούλα) Η συνάρτηση : [, e] [, 4], όπου το [, 4] είναι το σύνολο τιμών της, είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με ( ) = και ( e) = e+. Να δείξετε ότι: α.i. Υπάρχουν, (, e) με τέτοια ώστε ( ) = ( ) = ii. Υπάρχει ξ (, e) τέτοιο ώστε ( ξ ) = iii. Υπάρχει ένα τουλάχιστον o (, e) τέτοιο ώστε ( o) ( ( o) 3 ( o) ) = o C σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη co (, e) ξ ξ με ( ) τέτοια ώστε ( ξ ) ( ξ ) = β.i. Η ευθεία e: + y = e+ τέμνει την ii. Υπάρχουν, (, e) ξ ξ, e Πηγή: Χ.Γκουβιέρος Θ. Διαμαντόπουλος (εκδόσεις Ξιφαράς) ΑΣΚΗΣΗ (από Δημήτρη Κατσίποδα) Δίνεται η συνάρτηση συνεχής στο διάστημα [, ], παραγωγίσιμη δύο φορές στο διάστημα (, ), για την οποία επίσης γνωρίζουμε ότι () = 3 και ( ) ( ) = ( ) για κάθε [, ] Έστω και οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει z i =.Να αποδείξετε ότι : α. H δεν έχει σημεία καμπής. β. ( ) ( ) + 3= γ. H συνάρτηση g ( ) = ( ) διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, ). δ. H είναι κοίλη ε. ( ) = + 4, [, ] στ. Η γραφική παράσταση της είναι μέρος του γεωμετρικού τόπου των μιγαδικών z και ότι η εφαπτομένη της στο σημείο που είναι η εικόνα του z για τον οποίο το z γίνεται μέγιστο, είναι παράλληλη στον άξονα. Πηγή: Θέμα 3 από την Συλλογή Επαναληπτικών Ασκήσεων του gastone

14 ΑΣΚΗΣΗ 3 (από Χρήστο Τσιφάκη) Η συνάρτηση είναι συνεχής στο [ αβ, ], παραγωγίσιμη στο (, ) γνησίως φθίνουσα στο ( αβ, ). αβ με ( α) = ( β) = και η είναι α. Αποδείξτε ότι ( ) > για κάθε ( αβ, ). β. i. Αποδείξτε ότι υπάρχει ένα μόνο ( αβ, ) ώστε η να παρουσιάζει μέγιστο στο. 4 ( ) ii. Αποδείξτε ότι υπάρχουν, ( αβ, ) ώστε ( ) ( ). β α γ. Αν επιπλέον η είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ( αβ, ), αποδείξτε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) ώστε i. ( ξ ) < ii. β α ( ) ( ξ ) Πηγή: Θέματα ΕΜΕ () ΑΣΚΗΣΗ 4 (από pito) α. i. α. Να δείξετε ότι > ln για κάθε > β. Να δείξετε ότι e > για κάθε πραγματικό. ii. Να λύσετε την εξίσωση + e = β. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : R R για την οποία ισχύει Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σημείο τομής της ( ) ( ) + e = για κάθε R. C με την ευθεία =. Πηγή: Α. Μπάρλας, (εκδόσεις Ελληνοεκδοτική) ΑΣΚΗΣΗ 5 (από dennys) ( ) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : R Rγια την οποία ισχύει : ( ) + e = + για κάθε R. α. Να αποδείξετε ότι e ( + ) για κάθε R β. Να αποδείξετε ότι ( ) για κάθε R και lim ( ) = γ. Να αποδείξετε ότι ( ) ln( + ) για κάθε και lim ( ) = + + δ. Να αποδείξετε ότι η ( ) είναι γνησίως αύξουσα και στρέφει τα κοίλα κατω. ε. Να βρείτε το σύνολο τιμών της στ. Να δείξετε ότι η ( ) αντιστρέφεται και βρείτε την ( )

15 ΑΣΚΗΣΗ 6 (από Δημήτρη Κατσίποδα) Έστω συνάρτηση παραγωγίσιμη στο R, για την οποία ισχύει : ( α ) > α, ( α) < α και ( α + ) > α +, για κάποιο α R. α. Να αποδείξετε ότι, η γραφική παράσταση της και η διχοτόμος του oυ και 3 oυ τεταρτημορίου έχουν δυο τουλάχιστον κοινά σημεία. β. Να αποδείξετε ότι, η εξίσωση ( ) = ( ) έχει μια τουλάχιστον λύση στο διάστημα ( α, α + ) γ. Αν επιπλέον η είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο R να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α, α + ) ώστε ( ξ ) > Πηγή: Θέμα από την Συλλογή Επαναληπτικών Ασκήσεων του gastone ΑΣΚΗΣΗ 7 (από Περικλή Παντούλα) Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : (, + ) R για την οποία ισχύουν ( ) = και ( ) ( ) = για κάθε (, + ). ( ) i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h( ) = είναι γνησίως αύξουσα στο (, + ) ii. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης iii. Η συνάρτηση g ( ) είναι παραγωγίσιμη στο R διερχόμενη από το σημείο (, ) τέτοια ώστε g ( ) g ( ) = ( ) για κάθε R. Να βρείτε το lim ln Πηγή: Γ.Μπαϊλάκης (εκδόσεις Σαββάλας) ΑΣΚΗΣΗ 8 (από Δημήτρη Κατσίποδα) Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση : (, + ) R για την οποία ισχύουν () = και ( ) ( ) = για κάθε >. α. Να δείξετε ότι ( ) = για κάθε >. β. Ένα σημείο M κινείται στη C και έστω A η προβολή του M στον άξονα.το σημείο A απομακρύνεται από την αρχή των αξόνων O (,), με ρυθμό τετμημένη του M είναι 3, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής: µν o. Τη χρονική στιγμή t που η sec

16 i. των αποστάσεων AM και OM ii. της γωνία MOA iii. της απόστασης OB, όπου B το σημείο τομής της εφαπτομένης της C στο M με τον άξονα Πηγή: Β.Παπαδάκης (εκδόσεις Σαββάλας) ΑΣΚΗΣΗ 9 (από dennys) 3 Δίνεται το πολυώνυμο P( ) = a + b + c + d με abcd,,, Ra, > Αν το πολυώνυμο έχει τρείς πραγματικές ρίζες ρ, ρ, ρ 3 να αποδείξετε ότι α. b > 3ac β. Το πολυώνυμο παρουσιάζει ακριβώς δύο τοπικά ακρότατα. γ. Αν,, οι θέσεις τοπικών ακροτάτων τότε: P ( ) + P ( ) = δ. Δεν είναι δυνατόν το πολυώνυμο να έχει σημείο καμπής σε κάποιο από τα, ε. Ανάμεσα στα ακρότατα έχει ακριβώς ενα σημείο καμπής P ( ) στ. Αν η γραφική παράσταση της ( ) = έχει πλάγια ασύμπτωτη την y = + 5 και + c + d 3 κατακόρυφες τις =, = 3 να αποδείξετε ότι P ( ) = + 3 ΑΣΚΗΣΗ (από dennys) Έστω η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση ( ) : (, + ), για την οποία ισχύουν: α. Να δείξετε ότι η συνάρτηση 3 ( ) e β. Να δείξετε ότι ( ) = e για κάθε > γ. Να βρείτε το σύνολο τιμών της ( ) δ. Να δείξετε ότι: = για κάθε > και () = e, () = g( ) = ( ) ( ) + e είναι σταθερή στο (, + ) i. Η εξίσωση της εφαπτομένης της ( ) είναι στο σημείο A(, ()) είναι ii. e ( + )( e) για κάθε > y= ( e ) + ( e ) ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 6// 3// Πηγή Απαντήσεις

17 ΕΠΙΛΟΓΗ + ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΥΛΛΟΓΗΣ: 6// 3// Πρότειναν οι: Απόστολος Τιντινίδης Βασίλης Κακαβάς Γιάννης Σταματογιάννης Δημήτρης Κατσίποδας Κώστας Ρεκούμης Νίκος Αλεξανδρόπουλος Περικλής Παντούλας Στάθης Κούτρας Χρήστος Κανάβης Χρήστος Τσιφάκης dennys parmenides5 pito Έλυσαν (*) οι: Απόστολος Τιντινίδης Βασίλης Κακαβάς Γιάννης Κουτσούκος Γιάννης Σταματογιάννης Δημήτρης Ιωάννου Δημήτρης Κατσίποδας Κώστας Ρεκούμης Νίκος Αλεξανδρόπουλος Περικλής Παντούλας Ροδόλφος Μπόρης Στάθης Κούτρας Χρήστος Στραγάλης Χρήστος Τσιφάκης dennys parmenides5 pito Πηγή Απαντήσεις (*)