ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. «υπολογισμός του δείκτη τεκμαρτής μεταβλητότητας του ftse-20 και εξαγωγή συμπερασμάτων» Καραφλός Δημοσθένης Α.Μ.

Transcript

1 ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «υπολογισμός του δείκτη τεκμαρτής μεταβλητότητας του ftse-20 και εξαγωγή συμπερασμάτων» Καραφλός Δημοσθένης Α.Μ. ΜΑΠ Επιβλέπων καθηγητής: Νικόλαος Μυλωνάς

2 ΠΕΡΙΛΗΨΗ H Δημιουργία του δείκτη τεκμαρτής μεταβλητότητας (με ονομασία gvolix στο πλαίσιο της παρούσας εργασίας), που εξάγεται από τον δείκτη ftse-20, αποτελεί το αντικείμενο μελέτης της παρούσας εργασίας. Χρησιμοποιώντας δεδομένα από το χρηματιστήριο αξιών Αθηνών (ΧΠΑ), και εφαρμόζοντας στη συνέχεια την κατάλληλη μεθοδολογία, εξάγονται τα δεδομένα του gvolix, τα οποία χρησιμοποιούνται σε διάφορα μοντέλα, προκειμένου να εξαχθούν συμπεράσματα, για την πορεία του υποκείμενου δείκτη. 2

3 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Η παρούσα διπλωματική εργασία, εκπονήθηκε στο πλαίσιο του μεταπτυχιακού προγράμματος σπουδών Μαθηματικά αγοράς και Παραγωγής του Εθνικού και Καποδιστριακού πανεπιστημίου Αθηνών, και του Οικονομικού πανεπιστημίου Αθηνών. Η επίβλεψη της, έγινε από τον καθηγητή κ. Μυλωνά Νικόλαο, τον οποίο και ευχαριστώ για την ολοκλήρωση αυτής της εργασίας. 3

4 Πίνακας περιεχομένων Εισαγωγή Μεταβλητότητα και συναλλαγές Βιβλιογραφική ανασκόπηση Μεθοδολογία και θεωρητικό υπόβαθρο Περιγραφή στοιχείων Εμπειρικά αποτελέσματα Συμπεράσματα Βιβλιογραφία

5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα τελευταία χρόνια, έχει σημειωθεί τεράστια πρόοδος στον τομέα των χρηματοοικονομικών παραγώγων. Ειδικότερα, έχουν αναπτυχθεί ακόμα περισσότερο τα έξω-χρηματιστηριακά παράγωγα προϊόντα, τα οποία διαπραγματεύονται εκτός οργανωμένης χρηματιστηριακής αγοράς (OTC market). Συγκεκριμένα, στα προαναφερθέντα παράγωγα υπάρχει η υπό-κατηγορία των παραγώγων με υποκείμενο τίτλο την διακύμανση κάποιου περιουσιακού στοιχείου. Μέσω της αποτίμησης των παραγώγων μεταβλητότητας (volatility derivatives), προκύπτει η αναμενόμενη μεταβλητότητα. Εκμεταλλευόμενοι αυτήν την ευκαιρία οι συμμετέχοντες στην αγορά, δημιούργησαν τους δείκτες τεκμαρτής μεταβλητότητας (ΔΤΜ). Η κατασκευή του ΔΤΜ για τα δεδομένα της ελληνικής αγοράς είναι το περιεχόμενο της παρούσας εργασίας. Στο πρώτο μέρος παρουσιάζεται η μεταβλητότητα ως αντικείμενο θέσης στο χρηματιστήριο παραγώγων, και μετέπειτα η αποτίμηση του πιο διαδεδομένου εξω-χρηματιστηριακού παράγωγου προϊόντος, με υποκείμενο τίτλο την μεταβλητότητα (variance swap). Στη συνέχεια, παρουσιάζεται ο αλγόριθμος υπολογισμού του δείκτη τεκμαρτής μεταβλητότητας και πως μπορεί να εφαρμοστεί στα δεδομένα της αγοράς παραγώγων. Έπειτα, ακολουθεί στατιστική ανάλυση του ελληνικού ΔΤΜ, σε σύγκριση με τις αποδόσεις του υποκείμενου δείκτη, και η εξαγωγή χρήσιμων συμπερασμάτων. 5

6 Επίσης ακολουθεί στατιστική ανάλυση μεταξύ του ελληνικού ΔΤΜ και των VIX (των ΗΠΑ) και VDAX (Γερμανίας), ενώ παράλληλα υπολογίζεται και η διάχυση της μεταβλητότητας από το ένα χρηματιστήριο στο άλλο.tέλος, ακολουθεί η εφαρμογή του ΔΤΜ στη διαχείριση χαρτοφυλακίου, και συγκεκριμένα, στη διαχείριση κινδύνου, στην τεχνική ανάλυση, και την κερδοσκοπία μέσω στατιστικής εξισορροπητικής κερδοσκοπίας (statistical arbitrage). Η χρησιμότητα του υπολογισμού του ΔΤΜ σχετίζεται με την ποσοτικοποίηση των προσδοκιών των επενδυτών, αφού ο ΔΤΜ ουσιαστικά εξάγει την μεταβλητότητα που προσδοκούν οι επενδυτές. Εν κατακλείδι, η συνεισφορά της παρούσας εργασίας είναι ο υπολογισμός του ελληνικού ΔΤΜ και η ποσοτική ανάλυση που τον διέπει, που δεν έχει υπολογιστεί επίσημα, με σκοπό την εφαρμογή στα ελληνικά χρηματιστηριακά δρώμενα. 6

7 1.ΜΕΤΑΒΛΗΤΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΛΛΑΓΕΣ 1.1) Παράγωγα προϊόντα και μεταβλητότητα Από την εμφάνιση των πρώτων δικαιωμάτων χρηματοοικονομικών παραγώγων (options derivatives) επινοήθηκαν τεχνικές συναλλαγών στην μεταβλητότητα. Αυτό συνέβη, διότι σε τέτοιες περιπτώσεις επιτυγχάνεται κέρδος ανεξαρτήτως θετικής ή αρνητικής κατεύθυνσης, του περιουσιακού στοιχείου, αρκεί η τυπική απόκλιση των αποδόσεων του να είναι μεγάλη. Συγκεκριμένα, όταν ο επενδυτής έχει μια θετική θέση σε μια μετοχή, το κέρδος του είναι η συνάρτηση f(x)=x, όπου με x ορίζουμε την μεταβολή της τιμής. Το να λάβει κανείς θετική θέση στην μεταβλητότητα σημαίνει ότι έχει κέρδος όταν η τιμή της μετοχής μεταβάλλεται προς οποιαδήποτε κατεύθυνση. Αυτό σημαίνει ότι σημειώνονται κέρδη είτε η τιμή της μετοχής αυξηθεί, είτε μειωθεί. Διαγραμματικά η συνάρτηση των κερδών σε κάθε περίπτωση έχει ως εξής: Για θετική θέση σε μετοχή: 7

8 Για θετική θέση στη μεταβλητότητα της μετοχής: Ουσιαστικά, στην δεύτερη περίπτωση πρόκειται για μια τετραγωνική σχέση. Μια χρηματοροή σαν την παραπάνω μπορεί να επιτευχθεί με την χρήση του δικαιώματος αγοράς, αντισταθμίζοντας ως προς το δέλτα του δικαιώματος δυναμικά. Το έσοδο από μια μεταβολή της μετοχής με μεταβλητότητα σ είναι Γ Δt (Carr, Madan, 1998) και το συνολικό κέρδος είναι Net profit & Loss=, αν υποθέσουμε ότι Τ=0. Στον παραπάνω τύπο με Σ συμβολίζουμε την πραγματοποιηθείσα μεταβλητότητα. Επομένως πραγματοποιούνται κέρδη αν σ <Σ και ζημίες στην αντίθετη περίπτωση, όταν έχουμε θετική θέση. 8

9 Στην πράξη είναι αδύνατο να πραγματοποιηθεί αντιστάθμιση σε συνεχή χρόνο. Ακόμα και αν ήταν εφικτό, τα κόστη συναλλαγών θα ήταν τεράστια. Επομένως, η αντιστάθμιση ως προς το δέλτα του δικαιώματος γίνεται σε διακριτό χρόνο. Με προσομοίωση monte carlo προσεγγίζουμε το τελικό κέρδος ή ζημία του δικαιώματος αγοράς με υποκείμενο τίτλο μια μετοχή, με ακίνδυνο επιτόκιο 0.01, τιμή μετρητοίς 10, μεταβλητότητα 20%, τιμή δικαιώματος αγοράς 0.6, τιμή εξάσκησης 10 και διάρκεια ως τη λήξη Τ=0.5. Στη συνέχεια προσομοιώνουμε, το τελικό κέρδος ή ζημία από την αρνητική θέση στο δικαίωμα, και από την δυναμική αντιστάθμιση όπως ορίζεται στο υπόδειγμα Black & Scholes. Το ιστόγραμμα έχει ως εξής με καθημερινή αντιστάθμιση : από όπου βλέπουμε ότι σχηματικά το τελικό κέρδος αντιστοιχεί σε κανονική κατανομή με το μέσο σχεδόν στο μηδέν. Βλέπουμε ότι στην πράξη υπάρχουν σφάλματα με την διακριτή αντιστάθμιση, που με σημαντική πιθανότητα μπορούν να οδηγήσουν ακόμα και σε μεγάλες ζημίες. 9

10 Παρακάτω θα αναλύσουμε την στρατηγική του τριγωνοειδούς ανοίγματος (straddle), που χρησιμοποιείται ευρέως, για την τοποθέτηση θέσεων που έχουν σκοπό την κερδοφορία από την μεταβλητότητα. Η θέση αυτή αποτελείται από ένα δικαίωμα αγοράς και ένα δικαίωμα πώλησης με τιμή εξάσκησης την τρέχουσα τιμή του υποκείμενου τίτλου στην αγορά. Δηλαδή, έχουμε για παράδειγμα ένα δικαίωμα αγοράς με αξία 13.75, ένα δικαίωμα πώλησης με αξία 10.25, τιμή εξάσκησης και τρέχουσα τιμή του δείκτη ftse-20 ίση με 225 μονάδες, ακίνδυνο επιτόκιο 1.21%. Το κέρδος από το δικαίωμα αγοράς είναι η τεθλασμένη γραμμή στο ακόλουθο σχήμα: ενώ από το δικαίωμα πώλησης είναι η τεθλασμένη γραμμή στο ακόλουθο σχήμα: 10

11 Επομένως, η συνδυασμένη θέση των δύο δικαιωμάτων δημιουργεί ένα τριγωνοειδές άνοιγμα (straddle), όπως στο ακόλουθο σχήμα: όπου το τριγωνοειδές άνοιγμα απεικονίζεται με την κίτρινη γραμμή. Παρατηρούμε από την παραπάνω συνάρτηση κέρδους, ότι στο συγκεκριμένο παράδειγμα, για να αποφέρει η θέση στην μεταβλητότητα τα απαραίτητα αποτελέσματα, πρέπει η τελική τιμή να είναι είτε μικρότερη από 200, είτε μεγαλύτερη από 250. Η παραπάνω θέση, χρειάζεται και δυναμική αντιστάθμιση, προκειμένου το τελικό 11

12 κέρδος να μην εξαρτάται μόνο από την καταληκτική τιμή, αλλά και από την «διαδρομή» της τιμής. Επομένως, με δυναμική αντιστάθμιση στο υποκείμενο περιουσιακό στοιχείο, χρησιμοποιώντας συμβόλαια μελλοντικής εκπλήρωσης (ΣΜΕ), επιτυγχάνουμε έκθεση στην μεταβλητότητα. 1.2) Παράγωγα προϊόντα ανταλλαγής, με υποκείμενο τίτλο την διακύμανση (variance swaps) Χρησιμοποιώντας την παραπάνω ανάλυση, είδαμε πως μπορούμε να δημιουργήσουμε κάποιες υποτυπώδες θέσεις στην μεταβλητότητα. Όλες οι μέθοδοι που έχουν επινοηθεί, χρησιμοποιούν κάποιους συνδυασμούς δικαιωμάτων και ΣΜΕ. Οι συμμετέχοντες στην αγορά όμως, ήθελαν να δημιουργήσουν καθαρή έκθεση στην μεταβλητότητα, αφού με τους προαναφερθέντες τρόπους, η έκθεση στην μεταβλητότητα, δεν ήταν «καθαρή», επειδή το τελικό κέρδος συσχετιζόταν από την πορεία του υποκείμενου τίτλου. Tέλος, για «καθαρή» έκθεση στην μεταβλητότητα, χρειάζεται να «εγκαταστήσουμε» τριγωνοειδή ανοίγματα για όλες τις τιμές εξάσκησης, γεγονός αδύνατο, αφού το πλήθος τους είναι διακριτό. Έτσι επινοήθηκαν τα variance swaps. Τα συμβόλαια αυτά πληρώνουν την διαφορά μεταξύ της μελλοντικής πραγματοποιηθείσας διακύμανσης και της σταθερής τιμής. Η πληρωμή του variance swap (σύμφωνα με Demeterfi et. Al. 1999) είναι η εξής: *(RV(T)- ) 12

13 όπου με RV(T) συμβολίζουμε την πραγματοποιηθείσα διακύμανση μεταξύ του χρονικού διαστήματος [0,Τ] και ισούται: RV(T) με r= Με Α συμβολίζεται ο παράγοντας ετησιοποίησης που είναι συνήθως 252 ημέρες και με n συμβολίζεται ο αριθμός ημερών του οποίου θέλουμε να υπολογίσουμε την διακύμανση. Στον τύπο του RV(T) υποθέτουμε ότι ο μέσος των λογαριθμικών αποδόσεων είναι μηδέν, ενώ με συμβολίζουμε την ονομαστική αξία σε όρους διακύμανσης όπου είναι ίσο με Πρακτικά το συμβολίζει το ποσό που εισπράττει ο κάτοχος του swap, για κάθε μονάδα μεταβλητότητας RV(T) μεγαλύτερη από την. Άρα έχουμε π(τ)=, το οποίο συμβολίζει την τελική χρηματοροή του variance swap. Διαφορίζοντας την παραπάνω εξίσωση, μπορούμε να υπολογίσουμε τους συντελεστές ευαισθησίας: vega : v(t)= σ(τ-t) το οποίο, παρατηρούμε ότι είναι γραμμικό στην μεταβλητότητα σ. Η διακύμανση του, είναι W(t)=, όπου για t=0, το W(t)=1 στη λήξη Τ. theta : θ(t)=-, το οποίο παρατηρούμε ότι είναι ανεξάρτητο από την πάροδο του χρόνου δεδομένου ότι Τ=1. 13

14 Παρατηρούμε, ότι η αξία του variance swap μειώνεται και στη λήξη η αξία του θήτα ισούται ακριβώς με. Γάμμα: Γ(t)= 14

15 2.ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ Όλα ξεκίνησαν το 1973 όταν οι Black και Scholes (1973) και ο Merton (1973), προσπάθησαν να αποτιμήσουν τα χρηματοοικονομικά δικαιώματα, με αποτέλεσμα να καταλήξουν στον διάσημο τύπο των Black και Scholes ο οποίος έφερε «επανάσταση» στον χώρο των χρηματοοικονομικών, αφού χρησιμοποίησε μαθηματικά πρωτόγνωρα για τον χώρο αυτό. Τελικά καταλήξανε στον εξής τύπο για την δίκαιη τιμή ενός δικαιώματος αγοράς (Ευρωπαϊκού τύπου) : και για δικαίωμα πώλησης (Ευρωπαϊκού τύπου): 15

16 όπου: S η τρέχουσα τιμή του υποκείμενου τίτλου, Κ η τιμή εξάσκησης, Τ-τ ο χρόνος μέχρι την λήξη, r το ακίνδυνο επιτόκιο, σ η μεταβλητότητα των αποδόσεων του υποκείμενου τίτλου Ν(.) η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της τυποποιημένης κανονικής κατανομής. Παρατηρούμε ότι όλες οι μεταβλητές είναι γνωστές, εκτός από την μεταβλητότητα των αποδόσεων του υποκείμενου τίτλου. Πρακτικά, οι τιμές των δικαιωμάτων προκύπτουν από τις δυνάμεις της προσφοράς και της ζήτησης, δηλαδή οι τιμές τους είναι αποτέλεσμα διαπραγμάτευσης. Επομένως, αν εισάγουμε στην παραπάνω εξίσωση την τιμή του δικαιώματος, μπορούμε να υπολογίσουμε την μεταβλητότητα σ. Η μεταβλητότητα σ, στις υποθέσεις των Black και Scholes, θεωρείται σταθερή μέχρι την λήξη του δικαιώματος. Το αποτέλεσμα που εξάγεται αν λύσουμε την παραπάνω εξίσωση ως προς σ, είναι η τεκμαρτή μεταβλητότητα (implied volatility), η οποία ουσιαστικά μας υποδηλώνει την μεταβλητότητα των αποδόσεων του τίτλου S, την οποία προσδοκά η αγορά. 16

17 Παρακάτω, παρατηρούμε πως συνδέεται η μεταβλητότητα με την τιμή του δικαιώματος αγοράς με βάση την εξίσωση των Black και Scholes: Παρατηρούμε ότι η μεταβλητότητα είναι πολύ μεγάλη όσο πιο χαμηλή είναι η τιμή της μετοχής ή του δείκτη. Επίσης γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι όσο αυξάνεται η τιμή τόσο μειώνεται η μεταβλητότητα. 17

18 Με σταθερό το χρόνο, η τεκμαρτή μεταβλητότητα έχει το εξής διάγραμμα: Το παραπάνω μοντέλο, υποθέτει σταθερή τυπική απόκλιση. Στη συνέχεια ο Heston (1993), χρησιμοποίησε μοντέλα κίνησης Brown με στοχαστική τυπική απόκλιση. Συγκεκριμένα, η μαθηματική αποτύπωση του μοντέλου του Heston έχει ως εξής: d =μ dt+ d (1) d =κ(θ- )dt+ξ d (2) όπου, d και d είναι διαδικασίες Wiener με συντελεστή συσχέτισης ρ μ είναι η μέση απόδοση του περιουσιακού στοιχείου θ είναι η μακροχρόνια διακύμανση κ είναι ο ρυθμός με τον οποίον η διακύμανση επιστρέφει στο θ ξ είναι η μεταβλητότητα της μεταβλητότητας. 18

19 Για παράδειγμα, έχουμε μια πραγματοποίηση της (2) με θ=0.1, ξ=0.1, κ=1, με αρχική συνθήκη 0.1 Με την πάροδο του χρόνου, η τεκμαρτή μεταβλητότητα των δικαιωμάτων, χρησιμοποιήθηκε από τους Carr και Madan, (1998) στην μελέτη που εκπονήσανε για τις συναλλαγές στην μεταβλητότητα και πως αυτές συνδέονται με την τεκμαρτή μεταβλητότητα. Συγκεκριμένα καταλήξανε στον τύπο:, που αναφέρθηκε και σε προηγούμενη ενότητα. Στον παραπάνω τύπο με Σ συμβολίζουμε την πραγματοποιηθείσα μεταβλητότητα. Επομένως αν σ <Σ πραγματοποιούνται κέρδη και στην αντίθετη περίπτωση αν σ >Σ, δηλαδή έχουμε θετική θέση, πραγματοποιούνται ζημιές. Άρα ο τύπος αυτός, μας αποτυπώνει το καθαρό κέρδος ή ζημία από την δυναμική αντιστάθμιση ενός δικαιώματος, προκειμένου να επιτυγχάνουμε έκθεση στην μεταβλητότητα. 19

20 Έπειτα, ο Derman (1999) αντιτάθηκε στις συναλλαγές της μεταβλητότητας, αντισταθμίζοντας δυναμικά ένα δικαίωμα ως προς το δέλτα του. Ειδικότερα, επικεντρώθηκε στο γεγονός ότι είναι αδύνατο κάποιος να αντισταθμίζει συνεχόμενα, δηλαδή άπειρες φορές την μέρα, με αποτέλεσμα η διακριτή αντιστάθμιση να οδηγεί και σε πιθανές απώλειες. Καθοριστικής σημασίας ήταν η συνεισφορά των Demeterfi et. al. (1999), οι οποίοι δημιούργησαν το variance swap και το αποτίμησαν. Συγκεκριμένα, η αποτίμησή του έχει ως εξής: Επειδή η πληρωμή ενός variance swap είναι *(RV(T)- ) πρέπει να βρούμε την για την οποία η παρούσα αξία του variance swap είναι μηδέν. Αρχικά υποθέτουμε ότι ο υποκείμενος τίτλος ακλουθεί την κίνηση Brown =μdt + d (3) Εφαρμόζοντας τον τύπο του Ito έχουμε d(log )=(μ- ) dt + d (4) αφαιρώντας κατά μέλη έχουμε d(log )= dt (5) Επομένως μια προσέγγιση της neutral expectation) είναι η ακίνδυνη μέση τιμή (risk ] (6) 20

21 Λύνοντας τη (5) ως προς έχουμε ( d(log ))*2 Οπότε το ολοκλήρωμα (6) γράφεται ln ] Ο όρος υποδηλώνει το κόστος αντιστάθμισης με στάθμιση προκειμένου να έχουμε αξία 1. Οπότε έχουμε =rt (υπό τιμολόγηση δίχως κίνδυνο) που σημαίνει ότι η ανασταθμισμένη θέση αξίας 1, έχει μελλοντική τιμή που αυξάνεται με τον ρυθμό του κόστους ευκαιρίας. Ως προς το δεύτερο μέρος: Γράφουμε τη σχέση ln ως εξής: ln ln + ln, όπου είναι μια αυθαίρετη παράμετρος. Σύμφωνα με τους Carr και Madan(2002) η σχέση- ln μπορεί να μετασχηματισθεί με τον ακόλουθο τρόπο: - ln (7) Άρα E[- ln ] E[ ln ] -[ -1] + + Η εξίσωση (7) μας δίνει τις εξής πληροφορίες: 21

22 Αρχικά, έχουμε μια αρνητική θέση (1/ ) σε ένα συμβόλαιο μελλοντικής εκπλήρωσης με τιμή Επίσης, έχουμε θετική θέση με στάθμιση (1/ ) σε δικαιώματα αγοράς με τιμές εξάσκησης k για k από έως και θετική θέση σε δικαιώματα πώλησης σε τιμή εξάσκησης k για k από 0 έως Οπότε η τελική σχέση είναι : (rt-( -1) ln + + ) Τελικά ο παράγοντας επιλέγεται έτσι ώστε =, αφού το συμβόλαιο μελλοντικής εκπλήρωσης έχει θεωρηθεί ως το ιδανικό σημείο στο οποίο εναλλάσσουμε τα δικαιώματα πώλησης σε δικαιώματα αγοράς. Άρα (rt-( -1) ln + + ) (rt-(1-1) ln + + ) (rt rt+ + ) ( + ) (8) Έτσι καταλήγουμε στην τελική εξίσωση της δίκαιης τιμής του variance swap, η οποία θα μας βοηθήσει να υπολογίσουμε τον ελληνικό ΔΤΜ. 22

23 Το 1993, δημιουργήθηκε επίσημα ο πρώτος δείκτης τεκμαρτής μεταβλητότητας γνωστός και ως «Sigma Index» χρησιμοποιώντας μια πιο εύκολη τεχνικά μέθοδο που πρότεινε ο Whaley (1993). To 2000 ο Whaley, ισχυρίστηκε ότι μια αρνητική απόδοση του δείκτη, οδηγεί στην απότομη αύξηση της ζήτησης για δικαιώματα πώλησης. Το αποτέλεσμα είναι ότι αυξάνονται οι τιμές των δικαιωμάτων πώλησης και οδηγούν σε μεγαλύτερα επίπεδα τεκμαρτής μεταβλητότητας. Αυτό ισχύει σε μεγάλο βαθμό, αλλά στην αντίθετη περίπτωση, όπου δηλαδή αυξάνεται ο δείκτης, δεν είναι αναγκαίο να αυξάνεται η ζήτηση για δικαιώματα αγοράς. Οπότε υπάρχει θεωρητικά μια αρνητική σχέση μεταξύ των αποδόσεων του δείκτη και της μεταβολής της τεκμαρτής μεταβλητότητας του δείκτη. Επίσης ο Whaley πρότεινε και το αντίστοιχο μοντέλο παλινδρόμησης που μπορεί να επιβεβαιώσει την παραπάνω θεωρία και το οποίο θα παρουσιασθεί σε άλλη ενότητα. Τελικά, ο White το 2009, έδωσε την μεθοδολογία υπολογισμού ενός ΔΤΜ που είναι μέχρι και σήμερα ο πιο διαδεδομένος, βασιζόμενος στον τύπο (8) και ο οποίος θα εφαρμοστεί στο πλαίσιο αυτής της εργασίας. 23

24 Τέλος, από το μοντέλο του Heston που παρουσιάσθηκε παραπάνω, προκύπτει ενας πιο άμεσος τρόπος υπολογισμού του ΔΤΜ που αναλύεται ως εξής: Σύμφωνα με τον Heston (1993, Bouzoubaa-Osseiran, exotic options and hybrids a guide to structuring pricing and trading, Wiley finance) η μέση ετησιοποιημένη διακύμανση είναι : Ε[ ]= (θ- ) +θ Επομένως, γνωρίζοντας τις παραμέτρους θ, κ,, μπορούμε να θέσουμε Τ= και να έχουμε έναν πολύ γρήγορο υπολογισμό του ΔΤΜ. 24

25 3.ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ Παρακάτω θα αναλυθούν τα μοντέλα που χρησιμοποιήθηκαν στην παρούσα διπλωματική εργασία. Αφορούν τον υπολογισμό του gvolix καθώς και την εκτίμηση της σχέσης μεταξύ του gvolix και των αποδόσεων του ftse-20. Έπειτα εξετάζεται και η μετάδοση μεταβλητότητας του gvolix προς τους αντίστοιχους δείκτες VIX και VDAX. Επιπροσθέτως, θα αναλυθούν και τα μοντέλα διαχείρισης κινδύνου και ανάλυσης που χρησιμοποιούνται. 3.1)Αλγόριθμος υπολογισμού του δείκτη τεκμαρτής μεταβλητότητας Ουσιαστικά, για να υπολογίσουμε το δείκτη τεκμαρτής μεταβλητότητας του ftse-20, πρέπει να υπολογίσουμε την δίκαιη τιμή του variance swap, πάνω στο δείκτη αυτό, με αναφορά τις επόμενες 30 ημέρες. Βέβαια, η ακριβής εφαρμογή του τύπου της δίκαιης τιμής του variance swap είναι αδύνατο να υπολογιστεί στην πράξη, αφού υποθέτει ότι έχουμε τιμές για τα δικαιώματα αγοράς και πώλησης από το μηδέν έως το άπειρο. Σε γενικές γραμμές πολλοί τρόποι έχουν προταθεί για την εύρεση της δίκαιης τιμής, αλλά στα πλαίσια της εργασίας θα χρησιμοποιηθεί ο τρόπος υπολογισμού που εφαρμόζεται στο CBOE, για την εξαγωγή της προσδοκώμενης μεταβλητότητας 30 ημερών. 25

26 Όπως είδαμε η ζητούμενη τιμή δίνεται στην εξίσωση (8) ( + ) (8) Η οποία για τα διακριτά δεδομένα της αγοράς γίνεται = Q( ) (9) όπου : Τ ο χρόνος μέχρι τη λήξη η πρώτη τιμή εξάσκησης που βρίσκεται κάτω από το ΣΜΕ του δείκτη και η τιμή εξάσκησης ενός δικαιώματος που βρίσκεται εκτός χρηματικής αξίας (out of the money) Αν, τότε υπολογίζουμε τον τύπο για δικαίωμα αγοράς, και αν τότε υπολογίζουμε τον τύπο για δικαίωμα πώλησης. Επίσης αν, υπολογίζουμε τον τύπο και για τα δύο δικαιώματα. Με Q( ) συμβολίζουμε τον μέσο όρο του ανοίγματος αγοράς - πώλησης για κάθε τύπο δικαιώματος, αλλά στα πλαίσια της παρούσας εργασίας χρησιμοποιούμε τιμές κλεισίματος. Με =, και με συμβολίζουμε το ακίνδυνο επιτόκιο, το οποίο στο πλαίσιο της εργασίας θεωρείται το Euribor. Στον τύπο (9) έχει προστεθεί και ο όρος, όπου με συμβολίζουμε την τιμή του ΣΜΕ του δείκτη. Ο τελευταίος όρος έχει προστεθεί για να συμβάλλει στην ευστοχία των υπολογισμών. Οπότε ο τύπος (9) γίνεται τελικά: = Q( ) (10) 26

27 Η αναλυτική μέθοδος του αλγόριθμου έχει ως εξής: Έχουμε τις ημερήσιες τιμές κλεισίματος των δικαιωμάτων από όπου αρχικά βρίσκουμε τους χρόνους έως την λήξη και για τις δύο σειρές δικαιωμάτων ως ποσοστό του χρόνου και. 27

28 Έπειτα προσδιορίζουμε την τιμή F από τις τιμές των δικαιωμάτων με τον ακόλουθο τρόπο: F=τιμή εξάσκησης+ *(τιμή δικαιώματος αγοράς-τιμή δικαιώματος πώλησης) όπου η τιμή εξάσκησης είναι εκείνη που η απόλυτη διαφορά μεταξύ των δικαιωμάτων αγοράς και πώλησης είναι ελάχιστη. Έτσι υπολογίζουμε τις τιμές,. Έπειτα η τιμή ορίζεται ως η αμέσως χαμηλότερη τιμή από τις,. Στη συνέχεια υπολογίζουμε τον τύπο (10) για κάθε σειρά δικαιωμάτων = Q( ) [ ] = Q( ) [ ] όπου ο τελικός τύπος υπολογισμού του δείκτη τεκμαρτής μεταβλητότητας του ftse-20 είναι: Gvolix=100 α= ( )+ ( )) ενώ για τον υπολογισμό του Gvolix σε μηνιαία βάση Gvolix=100 α= ( )+ ( )) 28

29 Παρατηρούμε ότι ο δείκτης υπολογίζεται με μια παρεμβολή μεταξύ των και. Όταν ο αριθμός ημερών λήξης της δεύτερης σειράς δικαιωμάτων είναι μικρότερος του 30, η στάθμιση του είναι αρνητική. Τότε η στάθμιση του είναι μεγαλύτερη της μονάδας, αλλά η συνολική στάθμιση είναι πάντα μονάδα. 3.2) Μοντέλο whaley Σύμφωνα με whaley (2000), το μοντέλο παλινδρόμησης που προτείνεται για τον προσδιορισμό της σχέσης μεταξύ του gvolix και των αποδόσεων του ftse-20 είναι: =c + Δgvolix + +u όπου: οι ημερήσιες λογαριθμικές αποδόσεις του δείκτη Δgvolix η ημερήσια μεταβολή του gvolix και η μεταβολή του Δgvolix αν αυτή είναι θετική. 3.3) Εξισώσεις Gemmil-Kamiyama Παρακάτω θα χρησιμοποιηθούν οι εξισώσεις των Gemmill Kamiyama (1997) για την εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν την διάχυση μεταβλητότητας (volatility spillover). Για να εξεταστεί η μετάδοση της μεταβλητότητας, χρησιμοποιούνται τρείς εξισώσεις γραμμικής πολυμεταβλητής παλινδρόμησης: 29

30 = + + (11) = + + (12) (13) Η εξίσωση (11) εξετάζει αν υπάρχει ταυτόχρονη σχέση μεταξύ των μεταβολών των δεικτών. Η εξίσωση (12) εξετάζει κατά πόσο οι μεταβολές των δεικτών vix και vdax της προηγούμενης ημέρας, επηρεάζουν την μεταβολή του gvolix, δηλαδή κατά πόσο οι vix και vdax οδηγούν τον gvolix. Τέλος, η εξίσωση (13) εξετάζει και τις δυο επιδράσεις των εξισώσεων (11) και (12) ταυτόχρονα. Αξίζει να σημειωθεί ότι η μεταβλητή t συμβολίζει την ημερολογιακή παρατήρηση, αφού όπως είναι γνωστό, η ώρα έναρξης της χρηματιστηριακής συνεδρίασης στις ΗΠΑ αρχίζει μισή ώρα πριν περατωθεί η συνεδρίαση του χρηματιστηρίου Αθηνών. 3.4) ΑΞΙΑ ΣΕ ΚΙΝΔΥΝΟ (VALUE AT RISK) Σε επόμενη ενότητα θα αναφερθούμε στο VaR. Στο παρόν παράρτημα, θα αναλύσουμε το VaR με την χρήση του mathematica 9. 30

31 Σύμφωνα με τον Hull (2000), η πιθανοκατανομή της πορείας ενός αξιογράφου είναι η εξής: Log(v T ) Normal [( - /2) T+Log(v), T] Με το mathematica μπορούμε να προσομοιώσουμε την Κίνηση Brown εύκολα, και να εξάγουμε συμπεράσματα. Για παράδειγμα: 31

32 Παρακάτω, θα προσομοιώσουμε την πιθανοκατανομή της τελικής αξίας, ενός αξιόγραφου: fprice = Table[-99, {npaths}]; distnd = NormalDistribution[0, 1]; npaths=10000; S0=1; =0.1 T=1; For[i = 1, i npaths, i++, e = RandomReal[distND]; ST = S0 Exp[(r - σ2/2) T + e σ Sqrt[T]]; fprice[[i]] = ST ]; 32

33 Με βάση τον ορισμό του VaR, ορίζουμε την συνάρτησή του ως εξής : Για σ=0.1 και επίπεδο σημαντικότητας 0.01 η συνάρτηση του VaR έχει τιμή. Αυτό σημαίνει με τον τρόπο που έχει οριστεί η συνάρτηση, ότι υπάρχει 1% πιθανότητα το 1 που έχουμε επενδύσει, να γίνει μικρότερο από 0.80, ή αλλιώς να έχουμε απώλειες 20%. 33

34 Για παράδειγμα βλέπουμε παρακάτω ένα διάγραμμα μιας ανέλιξης με το VaR τοποθετημένο στον κατακόρυφο άξονα: Το VaR γενικότερα, χρησιμοποιείται στην πράξη και σαν εντολή διακοπής ζημίων (stop-loss order). Όπως βλέπουμε, στην παραπάνω ανέλιξη, μια χρήση του VaR ως εντολή διακοπής ζημιών, θα προστάτευε έναν επενδυτή από τεράστιες ζημίες. 34

35 3.5 ) Κινητοί μέσοι όροι (ΚΜΟ) Οι ΚΜΟ χρησιμοποιούνται ευρέως στον τομέα της χρηματοοικονομικής, συγκεκριμένα από τους συμμετέχοντες στην αγορά, αλλά δεν αναγνωρίζονται επίσημα από την επιστημονική κοινότητα. Με τον συμβολισμό αυτό, έχουμε τον εξής τύπο για μια μεταβλητή σ με πλήθος t: = 35

36 4. ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Στην παρούσα ενότητα θα παρουσιασθούν τα στοιχεία που χρησιμοποιήθηκαν στην διπλωματική εργασία, καθώς και τα στατιστικά τους δεδομένα. Συλλέγοντας τις ημερήσιες τιμές κλεισίματος των δικαιωμάτων με υποκείμενο τίτλο τον δείκτη ftse-20 (πηγή: και εφαρμόζοντας τον αλγόριθμο που παρουσιάστηκε σε προηγούμενη ενότητα στην γλώσσα προγραμματισμού visual basic for applications (VBA) στα ημερήσια στοιχεία για την περίοδο 3/1/2005 έως 8/6/2012, εξάγουμε τις τιμές του δείκτη τεκμαρτής μεταβλητότητας 30 ημερών του ftse-20. Η μεταβλητότητα αναφέρεται σε μηνιαία βάση. Ουσιαστικά, το δείγμα των δικαιωμάτων που χρησιμοποιήθηκε, περιλαμβάνει τις ημερήσιες τιμές κλεισίματος για την περίοδο 3/1/2005 έως 8/6/2012, και περιέχει τα δικαιώματα αγοράς, και πώλησης, για όλες τις τιμές εξάσκησης που είναι διαθέσιμες σε κάθε ημερήσια παρατήρηση. Τέλος, στο δείγμα περιέχονται οι σειρές δικαιωμάτων αγοράς και πώλησης των δύο διαθέσιμων ημερομηνιών λήξης, οι οποίες είναι διαθέσιμες στο κάθε ημερήσιο δελτίο κλεισίματος τιμών δικαιωμάτων, δηλαδή η πρώτη ληκτότητα είναι η Τρίτη Παρασκευή του τρέχοντος μηνός και η δεύτερη ληκτότητα είναι η Τρίτη Παρασκευή του επόμενου μήνα. Στη σελίδα 27 έχουμε ένα παράδειγμα ενός ημερήσιου δελτίου που περιγράφεται παραπάνω. 36

37 Οι παρακάτω αριθμοί είναι ποσοστά πολλαπλασιασμένα επί 100 μέσος 9,9805 διάμεσος 8, τυπική απόκλιση 5, δειγματική διακύμανση 25,32881 κύρτωση 2, ασυμμετρία 1, ελάχιστο 1, μέγιστο 39,

38 από όπου και βλέπουμε τα διαχρονικά επίπεδα του gvolix. Είναι εμφανής η άνοδος του επιπέδου του gvolix από το Σεπτέμβριο του 2008 και έπειτα, όταν δηλαδή συνέβη η χρεοκοπία της Lehman Brothers. Ο μέσος όρος του gvolix μέχρι και Σεπτέμβριο του 2008 ήταν 6,8 %, ενώ έπειτα ο μέσος όρος είναι 15,34% όπου αυτή η άνοδος θα μπορούσε να αποδοθεί στην αβεβαιότητα που προκάλεσε το γεγονός της τραπεζικής κρίσης στις ΗΠΑ. Παράλληλα οφείλεται και στην κρίση χρέους της Ελλάδας και της Ευρωζώνης γενικότερα. Την 27/4/2010 όπου έγινε η υποβάθμιση της πιστοληπτικής ικανότητας της Ελλάδας σε junk, είχαμε ως αποτέλεσμα την αύξηση των ανοιγμάτων των ομολόγων (spreads), οδηγώντας τον gvolix στο υψηλότερο του επίπεδο 45,7%. Παρακάτω παρατίθεται ένα διάγραμμα με κατακόρυφο άξονα τον gvolix και οριζόντιο την πραγματοποιηθείσα μεταβλητότητα: 38

39 όπου ο δειγματικός συντελεστής συσχέτισης είναι 74,5%. Οι αποδόσεις του δείκτη σε συνάρτηση με τη μεταβολή του gvolix απεικονίζονται στο παρακάτω γράφημα: από όπου διαγραμματικά παρατηρούμε ότι υπάρχουν θετικές μεταβολές του gvolix που συνοδεύουν αρνητικές αποδόσεις του δείκτη. 39

40 Παρακάτω παρατίθεται ένα διάγραμμα που απεικονίζει την πορεία του δείκτη ftse-20 και του gvolix: ftse-20 gvolix ftse-20 Μέσος (σε μονάδες) 1473,669 Διάμεσος (σε μονάδες) 1581,365 τυπική απόκλιση (σε μονάδες) 771,7019 δειγματική διακύμανση (σε μονάδες 2 ) ,8 κύρτωση -1,31044 ασυμμετρία 0, Ελάχιστο (σε μονάδες) 169,8861 Μέγιστο (σε μονάδες) 2842,341 40

41 Παρατηρούμε ότι μέχρι τον Σεπτέμβριο του 2009 ο gvolix, έχει ξεκάθαρη αρνητική σχέση με την εξέλιξη του δείκτη λειτουργώντας σαν καθρέφτης του ftse-20. Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι από τα τέλη του 2009 μέχρι τα τέλη του Ιανουαρίου του 2010, πάλι έχουμε αρνητικές μεταβολές μεταξύ ftse-20 και gvolix. Με την παρατεταμένη πτώση του ftse-20, ο gvolix συνεχίζει να αυξομειώνεται και να συγκεντρώνεται σε υψηλά επίπεδα, δείγμα της αβεβαιότητας που επικράτησε και του φόβου για τα μακροοικονομικά της Ελλάδας. Για αυτό το λόγο άλλωστε, δείκτες τύπου gvolix ονομάζονται και δείκτες του φόβου των επενδυτών (investor fear gauge). Παρακάτω έχουμε τα στατιστικά της Δgvolix που απεικονίζει την μεταβολή του ΔΤΜ: 41

42 Δgvolix Οι παρακάτω αριθμοί είναι ποσοστά πολλαπλασιασμένα επί 100 μέσος 0,0058 διάμεσος -0,02953 τυπική απόκλιση 2,98 κύρτωση 21,12769 ασυμμετρία -0,134 ελάχιστο -23,622 μέγιστο 27,14711 Βλέπουμε ότι ο μέσος είναι σχεδόν μηδέν και η τυπική απόκλιση είναι περίπου 3. Ομοίως, τα αντίστοιχα στατιστικά για τις ημερήσιες λογαριθμικές αποδόσεις του δείκτη: 42

43 Λογαριθμικές αποδόσεις μέσος διάμεσος -0, ,00434 τυπική απόκλιση 0,9739 κύρτωση 6,8315 ασυμμετρία 0,2132 ελάχιστο -4,2536 μέγιστο 7,11 Η κατανομή των λογαριθμικών αποδόσεων είναι αρκετά κοντά στην τυποποιημένη κανονική κατανομή, αφού ο μέσος είναι και η τυπική απόκλιση είναι σχεδόν μονάδα. Τέλος, παρατίθενται τα στατιστικά στοιχεία των vix και vdax που θα χρησιμοποιηθούν για την διάχυση της μεταβλητότητας: Για τον vix: 43

44 μεταβλητή vix Οι παρακάτω αριθμοί είναι ποσοστά πολλαπλασιασμένα επί 100 μέσος 6,41 διάμεσος 5,74 μέγιστο 23,3 ελάχιστο 2,85 τυπική απόκλιση 3,17 ασυμμετρία 1,188 κύρτωση 7,63 Και για τον vdax: 44

45 μεταβλητή vdax Οι παρακάτω αριθμοί είναι ποσοστά πολλαπλασιασμένα επί 100 μέσος 7,023 διάμεσος 6,23 μέγιστο 24,026 ελάχιστο 3,48 τυπική απόκλιση 2,93 ασυμμετρία 1,954 κύρτωση 8,028 Ενώ παρατηρούμε ότι οι δείκτες vix και vdax έχουν κοντινούς μέσους και τυπικές αποκλίσεις, ο gvolix έχει σχεδόν διπλάσιο μέσο και τυπική απόκλιση. Αυτό μπορεί να εξηγηθεί από το γεγονός ότι το ελληνικό χρηματιστήριο άρχισε να συσχετίζεται με τα καθημερινά γεγονότα που αφορούσαν τα μακροοικονομικά δεδομένα της Ελλάδας, με αποτέλεσμα την μεγάλη αυτή απόκλιση. Επίσης, δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι το ελληνικό χρηματιστήριο παραγώγων έχει αισθητά λιγότερη ρευστότητα από τα αντίστοιχα των ΗΠΑ και Γερμανίας. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα να υπάρχουν μεγαλύτερες αποκλίσεις από την θεωρητική δίκαιη τιμή του variance swap, σε σχέση με τα άλλα δυο χρηματιστήρια. 45

46 Παρακάτω παρατίθεται ο πίνακας των συνδιακυμάνσεων μεταξύ τον ημερήσιων μεταβολών των τριών δεικτών: ΔGVOLIX ΔVDAX ΔVIX ΔGVOLIX ΔVDAX ΔVIX Αντίστοιχα για τις μεταβολές των δεικτών έχουμε: Δvix: 46

47 μεταβλητή Δvix Οι παρακάτω αριθμοί είναι ποσοστά πολλαπλασιασμένα επί 100 μέσος 0,0035 διάμεσος -0,025 μέγιστο 4,77 ελάχιστο -5,011 τυπική απόκλιση 0,61 ασυμμετρία 0,76 κύρτωση 18,34 Δvdax: 47

48 μεταβλητή Δvdax Οι παρακάτω αριθμοί είναι ποσοστά πολλαπλασιασμένα επί 100 μέσος 0,0047 διάμεσος -0,017 μέγιστο 6,32 ελάχιστο -4,34 τυπική απόκλιση 0,529 ασυμμετρία 1,753 κύρτωση 26,32 48

49 5. ΕΜΠΕΙΡΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ 5.1) Συσχετισμός μεταβολών του gvolix και αποδόσεων του ftse-20 Σύμφωνα με Whaley(2000) το μοντέλο της παλινδρόμησης που χρησιμοποιείται για να εξετάσουμε την σχέση μεταξύ gvolix και ftse- 20 είναι το εξής γραμμικό μοντέλο πολυμεταβλητής παλινδρόμησης =c + Δgvolix + +u όπου : οι ημερήσιες λογαριθμικές αποδόσεις του δείκτη Δgvolix η ημερήσια μεταβολή του gvolix και η μεταβολή του Δgvolix αν αυτή είναι θετική. Το αποτέλεσμα της παλινδρόμησης σύμφωνα με τα ελάχιστα τετράγωνα έχει ως εξής = Δgvolix με P-value Οι συντελεστές και c δεν συμπεριληφθήκανε επειδή δεν ήταν στατιστικά σημαντικοί. Το αποτέλεσμα της παλινδρόμησης επιβεβαιώνει την αρνητική σχέση μεταξύ gvolix και ftse-20. Ουσιαστικά, για 1% θετική μεταβολή του gvolix έχουμε %*1% πτώση στον ftse

50 Η παλινδρόμηση που προηγήθηκε μας δίνει τη δυνατότητα να εξετάσουμε αν διάφορα φαινόμενα επηρέασαν τη σχέση μεταξύ gvolix και δείκτη. Χρησιμοποιώντας στο προηγούμενο μοντέλο την ψευδομεταβλητή D που μας βοηθάει να χωρίζουμε το δείγμα μας, εκτιμούμε το παρακάτω υπόδειγμα: = D + Δgvolix + DΔgvolix +u Το πρώτο γεγονός που εξετάζεται είναι η χρεωκοπία της Lehman Brothers που πυροδότησε μετέπειτα την τραπεζική κρίση. D=1, μετά την χρεωκοπία D=0 αλλού. Με την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων έχουμε: = Δgvolix. Ο συντελεστής D και είναι. δεν ήταν στατιστικά σημαντικός για α=5%, ενώ οι Παρατηρούμε δηλαδή ότι η χρεωκοπία της Lehman Brothers μετατόπισε την γραμμή της παλινδρόμησης κατά , ενώ η κλίση της είναι στο. Συμπερασματικά, μπορούμε να εξάγουμε το συμπέρασμα ότι αυτό το γεγονός επηρέασε σημαντικά την σχέση μεταξύ ftse-20 και gvolix. Το επόμενο γεγονός που θα εξεταστεί είναι η υποβάθμιση της Ελλάδας στην κατηγορία junk όσον αφορά την πιστοληπτική της ικανότητα. Σε αυτήν την περίπτωση D=1, μετά την υποβάθμιση, D=0 αλλού. 50

51 Με την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων έχουμε: = Δgvolix, ο συντελεστής δεν ήταν στατιστικά σημαντικός για α=5%, ενώ οι D και είναι. Παρατηρούμε ότι μετά από την υποβάθμιση, η γραμμή της παλινδρόμησης μειώθηκε κατά , δηλαδή περισσότερο από την χρεωκοπία της Lehman Brothers. Επίσης, η κλίση της γραμμής αυξήθηκε στο. Συμπερασματικά, βλέπουμε ότι τα γεγονότα αυτά επηρεάσανε σημαντικά την σχέση μεταξύ ftse-20 και gvolix, κυρίως με οριζόντια μετατόπιση της καμπύλης. 5.2) Σύγκριση gvolix με τους δείκτες vix και vdax Παρακάτω παρατίθεται ένα γράφημα της πορείας των δεικτών vix και vdax για την περίοδο 17/5/2005-8/6/2012 : (πηγή άντλησης ιστορικών στοιχείων: gvolix vix vdax 51

52 Διαγραμματικά φαίνεται ότι η προσδοκώμενη μεταβλητότητα του ftse-20 ήταν αρκετά υψηλότερη, ιδίως από το 2009 και έπειτα. Τα δεδομένα και των τριών δεικτών, αναφέρονται στην τεκμαρτή μεταβλητότητα, υπολογισμένη σε μηνιαία βάση. Παρακάτω θα χρησιμοποιηθούν οι εξισώσεις των Gemmill Kamiyama (1997) για την εξαγωγή συμπερασμάτων που αφορούν την διάχυση μεταβλητότητας (volatility spillover): = + + (11) = + + (12) (13) Με ελάχιστα τετράγωνα έχουμε από την εξίσωση (11): = Οι συντελεστές της σταθεράς και του vix, δεν συμπεριληφθήκανε στο υπόδειγμα, επειδή δεν ήταν στατιστικά σημαντικοί για α=5% και 10%. Από την εξίσωση (12) δεν προκύπτει κανένας συντελεστής στατιστικά σημαντικός για α=5% και 10%. Τέλος από την εξίσωση (13) όπως είναι αναμενόμενο λόγω της μη στατιστικής σημαντικότητας της εξίσωσης (12), οδηγούμαστε στην εξίσωση (11). 52

53 Επομένως, συμπεραίνουμε ότι ο gvolix δεν οδηγείται από τους άλλους δυο δείκτες, και ότι έχει στατιστικά σημαντική σχέση με τον αντίστοιχο δείκτη της Γερμανίας. Εφαρμόζοντας τις ίδιες εξισώσεις μέχρι και την 30/12/2008 προκύπτουν τα ίδια αποτελέσματα, με τη διαφορά ότι ο συντελεστής διαμορφώνεται στο 0.14, ενώ με έλεγχο Chow έχουμε σαν αποτέλεσμα P-value= Αυτό σημαίνει ότι ο συντελεστής ήταν στατιστικά σημαντικά διαφορετικός από το 2009 και έπειτα. Στη συνέχεια θα εφαρμόσουμε την ίδια μέθοδο για τον vix : = + + (14) = + + (15) (16) Με ελάχιστα τετράγωνα έχουμε: από την (14): = από την (15): = και από την (16): Όσοι συντελεστές δεν συμπεριλήφθηκαν δεν ήταν στατιστικά σημαντικοί για α=5% και 10%. Από τα αποτελέσματα, παρατηρούμε ότι υπάρχει μια διάχυση μεταβλητότητας από το γερμανικό χρηματιστήριο προς αυτό των ΗΠΑ, ενώ η διάχυση από το ελληνικό χρηματιστήριο, δεν είναι στατιστικά σημαντική. 53

54 Αντίστοιχα, παρακάτω εκτιμούμε τις ακόλουθες εξισώσεις για τον δείκτη vdax: = + + (17) = + + (18) (19) Με ελάχιστα τετράγωνα έχουμε: από την εξίσωση (17): = από την (18): = και από την (19) καταλήγουμε στην (17) λόγω μη στατιστικής σημαντικότητας των συντελεστών. Παρατηρούμε ότι ο gvolix και ο vix, επηρεάζουν στατιστικά σημαντικά τον vdax, ενώ ο vix οδηγεί τον vdax με αρνητική σχέση. Ενδιαφέρον έχει να δούμε πως επηρέασε ο gvolix τους vdax και vix, με την οικονομική κρίση που εκδηλώθηκε στην ΕΕ, ξεκινώντας από την Ελλάδα. Οπότε με D ονομάζουμε μια ψευδομεταβλητή που έχει τιμή 1 αν η ημερομηνία είναι από το 2010 και μετά, και μηδέν αλλού. Εκτιμάμε το υπόδειγμα γραμμικής πολυμεταβλητής παλινδρόμησης για τον vix: = όπου τα αποτελέσματα με ελάχιστα τετράγωνα είναι:, ενώ οι υπόλοιποι συντελεστές δεν ήταν στατιστικά σημαντικοί. 54

55 Παρατηρούμε ότι οι μεταβολές του gvolix επηρεάζουν στατιστικά σημαντικά τις μεταβολές του vix μόνο από την αρχή της οικονομικής και κρίσης και έπειτα. Η αντίστοιχη εκτίμηση για τον vdax είναι: = Εκτιμώντας έχουμε:, όπου οι συντελεστές που δεν συμπεριλήφθηκαν δεν ήταν στατιστικά σημαντικοί. Παρατηρούμε δηλαδή ότι ο gvolix επηρεάζει τον vdax, με τον ίδιο τρόπο ακριβώς πριν και μετά την οικονομική κρίση. Αυτό το αποτέλεσμα είναι πολύ σημαντικό διότι μας πληροφορεί ότι επηρεάζει δυο διαφορετικές αγορές, οι οποίες έχουν και διαφορετικές ώρες διαπραγμάτευσης. Αυτό επιβεβαιώνει και την γενικότερη αντίληψη, ότι τα νέα των μακροοικονομικών της Ελλάδας, επηρεάζουν όλες τις χρηματιστηριακές αγορές παγκοσμίως. 5.3) Εφαρμογή του δείκτη τεκμαρτής μεταβλητότητας στην διαχείριση χαρτοφυλακίου Ο ΔΤΜ μπορεί να χρησιμοποιηθεί ενεργά στη διαχείριση χαρτοφυλακίου, με διάφορους τρόπους. Καταρχάς μπορεί να εφαρμοστεί στην διαχείριση κινδύνου, ως εισροή για τα μέτρα κινδύνου VaR και CVaR. Παρακάτω, θα παρουσιαστεί το μέτρο κινδύνου VaR, με α=1%, και στη συνέχεια θα οριστεί ως stop loss strategy, δηλαδή θα υπολογιστεί το ημερήσιο VaR του δείκτη και θα αποτελεί το σημείο από το οποίο θα πυροδοτείται η πώληση αν αυτό παραβιαστεί. 55

56 Στο πλαίσιο της εργασίας το VaR, με α=1%, υπολογίζεται από την προαναφερθείσα κατανομή, όπου είναι ο ΔΤΜ, και τον μέσο μ μπορούμε να τον υπολογίσουμε από τα ΣΜΕ του δείκτη ως εξής: Το ΣΜΕ έχει θεωρητική τιμή F=, οπότε λύνοντας ως προς r, έχουμε αντίστοιχα την τεκμαρτή απόδοση. Ως v θεωρούμε το 1. Για ημερήσιες συναλλαγές, το ημερήσιο VaR για αξία 1 είναι: ημερήσιο VaR ημερήσιο VaR Παρακάτω παρατίθεται το διάγραμμα των ημερήσιων αποδόσεων του δείκτη : αποδόσεις ftse αποδόσεις ftse

57 Βλέπουμε ότι οι πραγματοποιηθείσες αποδόσεις παραβιάζουν κατά πολύ και τα δύο όρια. Επομένως κρίνεται αναγκαίος ο προσδιορισμός τουλάχιστον του κάτω ορίου μιας θέσης, προκειμένου αυτή να είναι διατηρήσιμη ως προς τον κίνδυνο. Αν το εφαρμόζαμε στην πράξη, τότε το κατώτατο όριο παραβιάζεται συνολικά 824 φορές στο δείγμα μας προκαλώντας σχεδόν μηδενικές απώλειες. Βέβαια, αυτό στην πράξη δεν μπορεί να εφαρμοστεί, αφού οι καθημερινές συναλλαγές έχουν μεγάλο κόστος, το οποίο θα απορροφούσε τα υπερκέρδη που προκύπτουν από την εφαρμογή αυτής της στρατηγικής. Επομένως, κρίνεται αναγκαίο να εφαρμοστεί η ίδια στρατηγική για μεγαλύτερο χρονικό ορίζοντα. Ένας άλλος τομέας που μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο ΔΤΜ είναι αυτός της τεχνικής ανάλυσης. Μπορεί ο συγκεκριμένος τομέας να στερείται επιστημονικής επάρκειας, αλλά στην πράξη χρησιμοποιείται εκτενώς. Συγκεκριμένα, έχουμε καταλήξει στο συμπέρασμα ότι οι ΔΤΜ σχετίζονται αρνητικά με τις αποδόσεις του υποκείμενου δείκτη. Άρα μπορεί να εφαρμοστεί τεχνική ανάλυση στο διάγραμμα του gvolix, και στα χαμηλά σημεία του να έχουμε σήμα πώλησης, αφού αυτό σημαίνει ότι αν αυξηθεί ο ΔΤΜ, θα έχουμε αρνητικές αποδόσεις. Αντίστοιχα, τα υψηλά σημεία του, αποτελούν σήματα αγοράς, επειδή με την πάροδο του χρόνου, αν μειωθεί ο ΔΤΜ θα έχουμε άνοδο της αγοράς. Οι παραπάνω συναλλαγές μπορούν να πραγματοποιηθούν στις προθεσμιακές αγορές με την χρήση των ΣΜΕ. 57

58 Παρακάτω ακολουθεί το διάγραμμα του gvolix με τους κινητούς μέσους όρους 12 και 26 ημερών: gvolix gvolix 12 per. Mov. Avg. (gvolix) 26 per. Mov. Avg. (gvolix) /4/2005 1/4/2006 1/4/2007 1/4/2008 1/4/2009 1/4/2010 1/4/2011 1/4/2012 Βρίσκουμε τις τομές των κινητών μέσων όρων και πραγματοποιούμε συναλλαγές ως εξής: αν ο ΚΜΟ12 διασπά ανοδικά τον ΚΜΟ26, τότε έχουμε σήμα αγοράς, ενώ όταν συμβεί το αντίθετο, τότε κλείνουμε την θέση μας και δημιουργούμε αρνητική θέση. Η στρατηγική αυτή μας έδωσε ένδειξη για 105 συναλλαγές. 58

59 Η πιθανοκατανομή τους έχει ως εξής: Με μέσο 0,011 και τυπική απόκλιση 13%. Παρατηρούμε ότι οι αποδόσεις με αυτή τη στρατηγική έχουν μεγάλη πυκνότητα κοντά στο μηδέν, αλλά υπάρχουν και πολλές ακραίες αποδόσεις. Αν εφαρμόζονταν οι συναλλαγές με την ημερολογιακή τους σειρά, η τελική απόδοση θα ήταν 36% για την περίοδο 4/1/2005-8/6/2012. Βέβαια, θα ήταν πιο αποδοτικό η στρατηγική αυτή να ακολουθείται και από μια άλλη στρατηγική διακοπής ζημιών προκειμένου να μην πραγματοποιούνται τόσο μεγάλες απώλειες σε κάποιες μεμονωμένες περιπτώσεις. 59

60 Επίσης, ο gvolix μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την στρατηγική του στατιστικού arbitrage. Συγκεκριμένα, όπως έχει επισημανθεί και στην βιβλιογραφία, η διακύμανση έχει την τάση επιστροφής στον μέσο (mean reversion property), η οποία ιδιότητα, χρησιμοποιείται και σε πολλά στοχαστικά μοντέλα (Heston, 1993). Έτσι, μπορούμε να έχουμε θετική θέση στην μεταβλητότητα όταν αυτή είναι σε χαμηλά επίπεδα και αρνητική όταν είναι σε υψηλά επίπεδα. Η κερδοσκοπία από θετική θέση στην μεταβλητότητα μπορεί να επιτευχθεί με την αγορά ενός δικαιώματος αγοράς, και με την δυναμική αντιστάθμισή του ως προς το δέλτα. Το κέρδος από αυτήν την στρατηγική έχει επισημανθεί σε προηγούμενη ενότητα. Επίσης, μπορούν να χρησιμοποιηθούν και τα straddle, που έχουν περιγραφεί και πιο πριν για τον ίδιο σκοπό. Πρέπει όμως να γίνεται δυναμική αντιστάθμιση ως προς το δέλτα της θέσης. Στην περίπτωση αυτή υπάρχουν πάλι και περιπτώσεις ζημίας λόγω της διακριτής αντιστάθμισης. 60

61 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Συμπερασματικά, η κατασκευή του ΔΤΜ, οδήγησε σε πολύ χρήσιμα συμπεράσματα, καθώς μπορεί να αποδώσει πολλές πληροφορίες. Αρχικά, θα μπορούσε κανείς να συμβουλεύεται τον ΔΤΜ, σαν ένα μέτρο, του κατά πόσο ακριβά είναι τα δικαιώματα (λόγω τεκμαρτής μεταβλητότητας), προκειμένου να γίνει αντιστάθμιση, δηλαδή πόσο ακριβή είναι η ασφάλιση. Επίσης, ο ΔΤΜ αποτελεί ένα σημαντικό μέτρο των προσδοκιών των επενδυτών, λόγω της στατιστικά σημαντικής αρνητικής σχέσης του με τον υποκείμενο τίτλο των δικαιωμάτων. Μια άλλη χρήση του μπορεί να είναι η διάγνωση διάχυσης μεταβλητότητας μεταξύ των αγορών παγκοσμίως και επομένως ο εντοπισμός παραγόντων που επηρεάζουν μια συγκεκριμένη αγορά. Επιπλέον ο ΔΤΜ μπορεί να χρησιμοποιηθεί και σαν εργαλείο προκειμένου να διαφοροποιήσουμε ένα χαρτοφυλάκιο ή και να διαχειριστούμε καλύτερα τον κίνδυνο που συνοδεύει αυτό το χαρτοφυλάκιο. Τέλος, χρήσιμη θα ήταν και η ανάλυση των παραγόντων που οδηγούν σε μεταβολή έναν ΔΤΜ. Δηλαδή, αν μια μεταβολή του ΔΤΜ εξαρτάται περισσότερο από τα δικαιώματα αγοράς ή πώλησης. Συμπερασματικά, η κατασκευή των ΔΤΜ, συνοδεύεται από πολλά πλεονεκτήματα, όπως τα παραπάνω, ενώ παράλληλα μπορούμε να χρησιμοποιούμε τον ΔΤΜ και για την τιμολόγηση εξωχρηματιστηριακών παραγώγων προϊόντων. 61

62 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1].More Than You Ever Wanted to Know About Volatility Swaps (The Journal of Derivatives, 6-4 Summer 1999, pp. 9-32) [2]. Carr Peter, and Madan, Dileep, 1998, Towards a theory of volatility trading, in Risk Book on Volatility. ed. by Robert A. Jarrow, Risk, New York, pp [3].CBOE the cboe volatility index-vix, White, 2009 [4]. RE Whaley the investor fear gauge - The Journal of Portfolio Management, iijournals.com [5]. G Skiadopoulos, The Greek implied volatility index: construction and properties, Applied Financial Economics, Taylor & Francis [6].E DERMAN When You Cannot Hedge Continuously, The Corrections of Black-Scholes (RISK, 12-1 Jan.1999, pp ) [7]. Jorion, Value AT Risk, the new benchmark for managing financial risk, third edition, Mc Graw Hill [8]. Bouzoubaa-Osseiran, exotic options and hybrids, a guide to structuring pricing and trading, Wiley finance [9]. Black, Fischer; Scholes, Myron. "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Journal of Political Economy 81 (3): [10]. "A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bond and Currency Options", by Steven L. Heston, The Review of Financial Studies 1993 Volume 6, number 2, pp

63 [11]. Merton, Robert. "Theory of Rational Option Pricing". Bell Journal of Economics and Management Science 4 (1): [12]. Hull, John C. (1997). Options, Futures, and Other Derivatives. Prentice Hall. ISBN