Οδηγός λύσης θέματος 1

Transcript

1 Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος Οδηγός λύσης θέματος 1 Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ

2 Αρχείο δεδομένων (DataSet1.txt) Χρονικές εποχές παρατηρήσεων (t) e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e+01.. Τιμές παρατηρήσεων (b)

3 Τι προσπαθούμε να κάνουμε ; Παρατηρήσεις (b) Κυρίαρχη τάση (m) Σήματα (s) Σφάλματα (v) Συνολική εκτίμηση συνάρτησης στα σημεία μέτρησης (y)

4 Τι (άλλο) προσπαθούμε να κάνουμε ; y 2 =? y 3 =? y 1 =? t A = t B = t Γ = Πρόγνωση τιμών της άγνωστης συνάρτησης σε τρία σημεία που δεν διαθέτουμε μετρήσεις

5 Περιοδικό μοντέλο κυρίαρχης τάσης T = 1 year T = 0.5 year m( t ) A cos( 2 t ) B sin( 2 t ) A cos( 4 t ) B sin( 4 t )

6 Signal co-variance Συνάρτηση συμ-μεταβλ. σήματος 4000 C(0) 3000 C s, s o i j A C( ) 2000 C(0)/ Time lag (days) (*) το σήμα μεταξύ σημείων που απέχουν > days έχει πρακτικά αμελητέα συμμεταβλητότητα!

7 Signal co-variance Συνάρτηση συμ-μεταβλ. σήματος 4000 C(0) 3000 C s, s o i j A C( ) 2000 C(0)/ Time lag (days) (*) για τον αριθμητικό υπολογισμό των τιμών C(τ), η απόσταση τ πρέπει να εισαχθεί σε decimal years (όχι σε days)!

8 Signal correlation Συνάρτηση συσχέτισης σήματος R( ) Time lag (days) (*) το σήμα μεταξύ σημείων που απέχουν > days έχει πρακτικά αμελητέα συσχέτιση!

9 Διαδικασία λύσης & προ-επεξεργασία δεδομένων

10 Βασικές συμβουλές (για εκτέλεση υπολογισμών στο MATLAB) o Εισάγετε τα δεδομένα από το αρχείο και αποθηκεύστε τις τιμές των χρονικών εποχών (t) και των παρατηρήσεων (b) σε αντίστοιχα διανύσματα. o Δημιουργήστε και αποθηκεύστε όλους τους βασικούς πίνακες που χρειάζονται για την εφαρμογή των αλγορίθμων της συνόρθωσης (Α, Α', C v, C s, C s's, C s' ). o Για την ανάγνωση τoυ αρχείου και την αποθήκευση των δεδομένων, καθώς και για τη δημιουργία των πινάκων συμμεταβλητοτήτων των σημάτων, μπορείτε να συμβουλευτείτε τις σχετικές οδηγίες που δίνονται στο σύντομο εγχειρίδιο του ΜATLAB (διαθέσιμο από την ιστοσελίδα του μαθήματος).

11 Απόσπασμα του πίνακα σχεδιασμού Α (731 4) Α1 Β1 Α2 Β2 t i e e cos(2πt i ) sin(2πt i ) cos(4πt i ) sin(4πt i )

12 Πίνακας σχεδιασμού Α' (3 4) Α1 Β1 Α2 Β2 t Α t Β t Γ cos(2πt i ) sin(2πt i ) cos(4πt i ) sin(4πt i )

13 Απόσπασμα του πίνακα C v ( )

14 Απόσπασμα του πίνακα C s ( ) s 1 (at t 1 ) s 2 (at t 2 ) s 3 (at t 3 ) s 4 (at t 4 ) s 5 (at t 5 ) s 1 (at t 1 ) s 2 (at t 2 ) s 3 (at t 3 ) s 4 (at t 4 ) s 5 (at t 5 ) o s, s i j A ij C (*) η τιμή της απόστασης τ ij πρέπει να είναι εκφρασμένη σε decimal years (όχι σε days)!

15 Πίνακας C s' (3 3) s' 1 (at t A ) s' 2 (at t B ) s' 3 (at t Γ ) s' 1 (at t A ) s' 2 (at t B ) s' 3 (at t Γ ) o s, s i j A ij C (*) η τιμή της απόστασης τ ij πρέπει να είναι εκφρασμένη σε decimal years (όχι σε days)!

16 Απόσπασμα του πίνακα C s's (3 731) s 1 (at t 1 ) s 2 (at t 2 ) s 3 (at t 3 ) s 4 (at t 4 ) s 5 (at t 5 ) s' 1 (at t A ) s' 2 (at t B ) s' 3 (at t Γ ) o s, s i j A ij C (*) η τιμή της απόστασης τ ij πρέπει να είναι εκφρασμένη σε decimal years (όχι σε days)!

17 Αποτελέσματα συνόρθωσης

18 Αποτελέσματα συνόρθωσης Παράμετροι κυρίαρχης τάσης Εκτιμήσεις Α ± Β ± Α ± Β ± T 1 T 1 xˆ A M A A M b T 1 1 Cxˆ ( A M A)

19 Πίνακας συντελεστών συσχέτισης για εκτιμήσεις παραμέτρων Α1 Β1 Α2 Β2 Α Β Α Β T 1 T 1 xˆ A M A A M b T 1 1 Cxˆ ( A M A)

20 Eκτίμηση κυρίαρχης τάσης 300 Data Estimated trend mˆ ( t) mˆ ( t ) Aˆ cos(2 t ) Bˆ sin(2 t ) Aˆ cos(4 t ) Bˆ sin(4 t )

21 Τιμές της κυρίαρχης τάσης στα σημεία μετρήσεων και η ακρίβεια τους 300 Data Estimated trend mˆ Axˆ SQRT diag( C ) mˆ

22 Εκτίμηση σημάτων & σφαλμάτων (στα σημεία μετρήσεων) sˆ C M ( b Axˆ ) s vˆ C M ( b Axˆ) v

23 Εκτίμηση σημάτων & σφαλμάτων (στα σημεία μετρήσεων) Στατιστικά στοιχεία αποτελεσμάτων Σήματα Σφάλματα max min mean σ Sqrt(Co) = 60 (θεωρητική τυπική απόκλιση σήματος) σ v = 40 (θεωρητική τυπική απόκλιση θορύβου)

24 Ακρίβεια εκτίμησης σημάτων (στα σημεία μετρήσεων) SQRT diag( C es ) ˆ C es ˆ

25 Συνολική εκτίμηση της συνάρτησης (στα σημεία μετρήσεων) yˆ Axˆ sˆ

26 Ακρίβεια εκτίμησης των τιμών της συνάρτησης (στα σημεία μετρήσεων) C ey ˆ SQRT diag( C ey ) ˆ

27 Εκτίμηση σημάτων (στα σημεία πρόγνωσης) Χρονική εποχή Αποτελέσματα t A = = ± ŝ t Β = = ± t Γ = ŝ 3 = ± ŝ sˆ C M ( b Axˆ ) C es ˆ ss...

28 Εκτίμηση των τιμών της συνάρτησης (στα σημεία πρόγνωσης) Χρονική εποχή Αποτελέσματα yˆ Axˆ sˆ C ey ˆ t A = = ± ŷ t Β = = ± ŷ t Γ = ŷ 3 = ±

29 Παρατηρήσεις σχετικά με τον τρόπο υπολογισμού των αποστάσεων τ

30 Αρχείο δεδομένων Ημερήσιες εποχές e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e+01.. Αντίστοιχες παρατηρήσεις

31 Οι χρονικές εποχές των παρατηρήσεων (t) Ημερήσιες εποχές (στο διάστημα ) t 1 = t 2 = t 3 = t 4 = t 5 = t 6 = t 7 = t 8 = t 1 = t 2 = /365 = t 3 = /365 = t 4 = /365 = t 5 = /365 = t 6 = /365 = t 7 = /365 = t 8 = /365 = Τιμές από το αρχείο DataSet1.txt Τιμές από αναλυτικό υπολογισμό

32 Οι αποστάσεις μεταξύ των εποχών των παρατηρήσεων Έχουμε δεδομένα σε κάνναβο ή όχι ; Δt 1,2 = Δt 2,3 = Δt 3,4 = Δt 4,5 = Δt 5,6 = Δt 6,7 = Δt 7,8 = Δt 1,2 = Δt 1,2 = Δt 3,4 = Δt 4,5 = Δt 5,6 = Δt 6,7 = Δt 7,8 = Με βάση τις αρχικές τιμές από το αρχείο DataSet1.txt Με βάση αναλυτικό υπολογισμό

33 Δύο διαφορετικές προσεγγίσεις για τον υπολογισμό του πίνακα C s. load DataSet1.txt Ιnput = DataSet1; t = Input(:,1); b = Input(:,2); A = ; Co = ; Cs = zeros(length(t)); for i = 1:1:length(t) for j = 1:1:length(t) tau = abs((j - i) / 365); Cs(i,j) = Co / ((1+(A*(tau^2)))^2); end end... load DataSet1.txt Ιnput = DataSet1; t = Input(:,1); b = Input(:,2); A = ; Co = ; Cs = zeros(length(t)); for i = 1:1:length(t) for j = 1:1:length(t) tau = abs( t(j) t(i) ); Cs(i,j) = Co / ((1+(A*(tau^2)))^2); end end..

34 Oι τιμές των αποστάσεων τ με βάση τις προηγούμενες προσεγγίσεις

35 Oι τιμές των αποστάσεων τ με βάση τις προηγούμενες προσεγγίσεις

36 Απόσπασμα του πίνακα C s με βάση τις προηγούμενες προσεγγίσεις s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 1 s 2 s 3 s 4 s η προσέγγιση

37 Απόσπασμα του πίνακα C s με βάση τις προηγούμενες προσεγγίσεις s 1 s 2 s 3 s 4 s 5 s 1 s 2 s 3 s 4 s η προσέγγιση

38 Αποτελέσματα συνόρθωσης Παράμετροι κυρίαρχης τάσης Εκτιμήσεις Α ± Β ± Α ± Β ± η προσέγγιση

39 Αποτελέσματα συνόρθωσης Παράμετροι κυρίαρχης τάσης Εκτιμήσεις Α ± Β ± Α ± Β ± η προσέγγιση

40 Εκτίμηση σημάτων (στα σημεία πρόγνωσης) Χρονική εποχή Αποτελέσματα t A = = ± t Β = = ± t Γ = ŝ 3 = ± ŝ 1 ŝ 2 1 η προσέγγιση

41 Εκτίμηση σημάτων (στα σημεία πρόγνωσης) Χρονική εποχή Αποτελέσματα t A = = ± t Β = = ± t Γ = ŝ 3 = ± ŝ 1 ŝ 2 2 η προσέγγιση

42 Τεχνική έκθεση o Αναλυτική περιγραφή της διαδικασίας επίλυσης του θέματος και όλων των σχετικών αλγορίθμων που χρησιμοποιήθηκαν. o Παράθεση των αποτελεσμάτων σε κατάλληλους πίνακες με τη βοήθεια συνοδευτικών γραφημάτων. o Παράθεση του σχετικού κώδικα ή των υπολογιστικών φύλλων που δημιουργήσατε. o Κριτικός σχολιασμός των αποτελεσμάτων.