ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2000 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2000 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ"

Transcript

1

2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ o A.. Αν z = α + βi και z = γ + δi τότε : z z = (α + βi)(γ + δi) = αγ + αδi + βγi - βδ = (αγ - βδ) + (βγ + αδ)i z = (αγ - βδ) - (βγ + αδ)i z = (α - βi) (γ - δi) = αγ - αδi - βγi - βδ = (αγ - βδ) - (βγ + αδ)i άρα z z = z z Α.. α - 4, β - 5, γ -. Β.. Γ. B.. ος τρόπος : z 6 = ( + i) 6 = [( + i) ] 8 = (i) 8 = 8 i 8 = 56. ος τρόπος : ρ = z = + i = + = π π z = συν + iημ π συνφ = ημφ = φ = π π π π z = συν + iημ = συν + iημ π 6π 8 = συν + iημ = συν4π + iημ4π 4 4 = 56 + i = 56 ΘΕΜΑ ο Α. α. Πρέπει κ + λ - = λ + κ + λ = 4 ή λ = 4 - κ (). β. Πρέπει κ - κ - = κ - κ + κ - 5κ - = κ = ή κ = - Στη σχέση () για κ = έχουμε λ =. B. α Α = = = - - Ι β. Α 4 + Α + Α 999 = (Α ) + (Α ). Α + (Α ) 999. Α =. (-Ι) + (-Ι). Α + (-Ι) 999. Α = Ι + Ι. Α - Ι. Α = Ι

3 ΘΕΜΑ ο α. D f = (-, α) (α, +) και 4 D f άρα α = 4. β. Πρέπει λ εφαπτ. = λ ΑΜ = f (). - + ( - )( - α) - ( - + ) f () = = - α ( - α) - α - + α α + α - = = ( - α) ( - α) - α + α - α - f () = = = ( - α) (α - ) - - λ ΑΜ = = = - + α - = - α - α = γ. Αρκεί να δείξουμε ότι υπάρχει, τέτοιο ώστε f ( ) =. ος τρόπος H f είναι παραγωγίσιμη στο [, ] και f () = f () =. Από Θ.Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε f ( ) =. ος τρόπος - α + α - f () = = - α + α - = ( - α) Πρέπει Δ (-α) - 4 (α - ) 4α - α + 8 α - α + (α - )(α - ), που ι σχύει διότι α >. ΘΕΜΑ 4 ο α. γραπτά. φορές = βαθμολογήσεις κάθε πακέτο έχει 4 φακέλους. 5 γραπτά = γραπτά : = πακέτα βαθμολόγησης Κόστος βαθμολόγησης =. δρχ. = 4 δρχ = 4 χιλ. δρχ. () Επίδομα =. βαθμολογητές = δρχ. = χιλ. δρχ. () πακέτα Η διόρθωση θα διαρκέσει = μέρες () βαθμολογητές 6 6 Οι επόπτες θα πάρουν 4 = δρχ. = χιλ.δρχ. (4)

4 Από (), () και (4) έχουμε : 6 6 Κ () = = σε χιλ. δρχ., > β. Κ () = = - =, > 4 + Κ () - + Κ () Ελάχιστο κόστος για = 4 βαθμολογητές. γ. Ελάχιστο κόστος = Κ (4) = 48 χιλ. δρχ. Από τη σχέση (), για = 4 έχουμε ότι η διόρθωση των γραπτών θα γίνει σε 5 μέρες.

5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ o A. α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. β. Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ. Β.. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Λάθος. B.. Είναι γνησίως φθίνουσα στα [-,] και [,6], ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο [,]. ΘΕΜΑ ο - i α. Είναι Δ = -4 και z, = = - i. z = (- + i) = - i - = -i και z 4 = (-i) = -4 z = (- - i) = + i - = i και z 4 = (i) = -4 Άρα z - z = (-4) 5 - (-4) 5 =. β. v = 4k, kz z v = z 4k = (z 4 ) k = (-4) k IR v = 4k +, kz z v = z 4k+ = (z 4 ) k. z = -(-4) k + (-4) k i IR v = 4k +, kz z v = z 4k+ = (z 4 ) k. (z ) = -(-4) k i IR v = 4k +, kz z v = z 4k+ = (z 4 ) k. (z ) z = (-4) k - (-4) k i IR Άρα v = 4k, kιν* γ. Έχουμε συμμετρία ως προς τον άξονα - ΘΕΜΑ ο α. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με f () - e + κπ Είναι f () = e - + g () ημ και im g () = 5. H f είναι συνεχής στο =, άρα f () = im f () = im e - + g () ημ = im(e - ) + g () =, με κ Ζ. ημ im g () im ημ = + 5 =

6 β. im = im = im + g () - f () - f () e - + g () ημ e - ημ e - ημ = im + im g () im = + 5 =, e - e ημ διότι im = im = και im =. L'Hospital Άρα f () =. - h () - h () e f () - - f () γ. im = im = im e - f () Επομένως οι εφαπτόμενες των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και h στα σημεία Α (, f ()) και Β (, h ()) αντίστοιχα είναι παράλληλες. ΘΕΜΑ 4 ο α. Ρ () = 4 + = 4 - = = ime im = f () = f (), άρα h () = f (). 5 5 (t - 6) t + - (t - 6) t + t β. Ρ (t) = 4 + = 5 t t t + - t (t - 6) - t + t + = 4 = t + 4 t t + t Ρ (t) > > - t + t + > 4 5 t + 4

7 - - 5 Δ = - 4 (-) 5 = 69 και t = = t 5 P (t) + - P (t) - απορρίπτεται + H τιμή του προϊόντος αυξάνεται όταν < t < 5. γ. Η τιμή του προϊόντος γίνεται μέγιστη τη χρονική στιγμή t = 5. δ. H τιμή του προϊόντος μειώνεται όταν t > 5. t - 6 t - 6 t im Ρ (t) = im 4 + = 4 + = im im 5 t + t + t = 4 + im = 4 + = 4 > = P () + t

8 EΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 5 ΙΟΥΛΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ o A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4. A.. α. λ β. β α β α β α f () d, f () d + β α g () d, γ. λ f () d + μ g () d. β α f () = c = B.. f () = (6 + 4) d = c f () = Β.. α. f () = ( A (, ) C f ) d = c c = f () = Άρα f () = β. (e + ) d = e + = e + - ( + ) = e d = γ. d = d = = = π π (ημ + συν) d = -συν + ημ = 5. ΘΕΜΑ o α. z + 6 = 4 z + z + 6 = 6 z + (z + 6)(z + 6) = 6(z + )(z + ) zz + 6z + 6z + 56 = 6zz + 6z + 6z + 6-5zz = - 4 zz = 6 z = 6 z = 4

9 Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων Ο (, ) και ακτίνα ρ = 4. β. Άρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα σημεία της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ, με Α (, ) και Β (, ), δηλαδή η διχοτόμος της γωνίας Oy, με εξίσωση y =. ΘΕΜΑ o e e α. im = im =. - L'Hospital β. im f () = - - im( + α) = + α n( - ) im im n im e ( - e ) = im - = im L'Hospital e - ( - )e - + ( - e ) - + f () = ( - e ) ( - ) = e - e = - im im = - = e f () = + α Για να είναι η f συνεχής στο = πρέπει + α = α = -. γ. Η f είναι συνεχής στο [, ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως γινόμενο παραγωγισίμων f () = + α = - f () = ( - e ) n = Από Θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), τέτοιο ώστε f (ξ) =, δηλαδή η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο Α (ξ, f (ξ)) να είναι παράλληλη προς τον άξονα.

10 ΘΕΜΑ 4 o tf (t) α. f () = + dt = + tf (t) dt, με > (). H f είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις των παραγωγίσιμων f () =, f () = και f () = tf (t) dt. β. () f () = + tf (t) dt Παραγωγίζοντας κατά μέλη έχουμε : : f () + f () = f () + f () = f () = f () = () + tf (t) dt f () + f () = + f () ( n) > n + c Από συνέπειες Θ.Μ.Τ. f () = n + c f () =, με > n + Για = είναι f () = c =, άρα f () =, με >. n + ( n + ) - ( n + ) () - ( n + ) -n γ. f () = = = = + f () + - f () n + Ολικό μέγιστο f () = = - + n + im f () = im = - () f (A) = (-, ] n + im f () = im = im = () + + L'Hospital +

11 δ. Από () και () η C f έχει ασύμπτωτες τους άξονες και y y. f () > στο [, e] u = n και du = d e e n + ε. Ε = f () d = d = (u + )du = u = = e u = u = + u = + - = τ.μ.

12 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Β. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ o α. f () = = e + (e + ) e - (e - ) (e + ) - (e - )(e + ) e (e + ) - e (e - ) e = = >, για κάθε IR. (e + ) (e + ) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR, άρα και, δηλαδή αντιστρέψιμη. e - y = ye + y = e - y + = e - ye e + y + = e ( - y) e = - y - f (y) = + y + y = n - y + y n - y + - y - Άρα f () = n, (-, ). y + y > ( + y)( - y) > - y - y > y < y < - < y <

13 - + + β. f () = n = = =. - - = -u d = -du - - n - - = u = - = - u = + - u γ. I = f ()d = d = - n du - + u - n u - u = du = - n du = - I I = I = - u + u ΘΕΜΑ o - z - + z ( - z)( - z) - ( + z)( + z) α. f () = = + z + z - z - z + zz - - z - z - zz -(z + z) -4Re(z) = = = + z + z + z Re( z) -4Re(z) -4Re(z) im f () = im = im = im = z -4Re(z) -4Re(z) -4Re(z) im f () = im = im = im =. + z (z + )(z + ) > (z - )(z - ) β. z + > z - z + > z - zz + z + z + > zz - z - z + (z + z) > 4Re(z) > f () = -4Re(z) = -4Re(z) + z + z - = 4Re(z) - z z + z - -z z + f () f ()

14 γ. -4Re(z) - z 4 z Re(z) Re(z) τοπ. μέγιστο f - z = = = - z + z z z -4Re(z) z -4 z Re(z) Re(z) τοπ. ελάχιστο f z = = = - z + z z z Δ = -, - z με f γν. αύξουσα -4Re(z) im f () = im = z Re(z) f (Δ f συνεχής ) =, Re(z) z im f () = f - z = - z z f (Δ ), άρα η f δεν έχει ρίζες στο Δ Δ = - z, z με f γν. φθίνουσα Re(z) f - z = z Re(z) Re(z) f (Δ ) = -, Re(z) z z f z = - z f (Δ ), άρα η f έχει μοναδική ρίζα στο Δ Δ = z, + με f γν. αύξουσα f συνεχής Re(z) im f () = f z = - z z Re(z) f (Δ ) = -, -4Re(z) z im f () = im = z f (Δ ), άρα η f δεν έχει ρίζες στο Δ Re(z) Re(z) Επομένως f (A) = f (Δ ) f (Δ ) f (Δ ) = -, z z και η f () = έχει μοναδική ρίζα στο ΙR.

15 ΘΕΜΑ 4 o α. f ()f () + (f ()) = f ()f () [f ()f ()] = f ()f () Από εφαρμογή σχολικού βιβλίου f ()f () = c e και για = έχουμε f (). f () = c =. Άρα f ()f () = e f ()f () = e [f ()] = (e ) Από συνέπειες Θ.Μ.Τ. έχουμε f () = e + c και για = έχουμε f () = + c = c =. Επομένως f () = e. Η f δεν έχει ρίζες, άρα από συνέπειες του Θ. Bolzano η f θα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο IR και επειδή f () = >, θα είναι f () >, για κάθε IR. Επομένως f () = e. g (t) β. Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h () = - dt -. Είναι h () = - - g (t) + e t dt + f (t) H h είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών g (t) h () = - < και h () = - dt> διότι : t + e g (t) () t t t e e e + e + e t + e + e () g (t) Από (), () () t + e

16 g (t) g (t) t t + e + e Άρα - και - dt g (t) g (t) dt - dt dt t t + e + e g (t) - dt - h () > t + e επομένως από Θ. Bolzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της h στο διάστημα (, ). g (t) g (t) g () h () = - - dt = - dt = - + e + e + e g () Από την () έχουμε - - t t g () e + e h () h () >, για κάθε [, ] Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] και η εξίσωση h () = έχει μοναδική ρίζα στο [, ].

17 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Β. α. Σωστό, β. Λάθος, γ. Λάθος, δ. Σωστό. Γ. Σχολικό βιβλίο σελίδα 79 ΘΕΜΑ ο α) Είναι τα σημεία του κύκλου με κέντρο Ο (, ) και ακτίνα που βρίσκονται στον άξονα ή πάνω από τον άξονα. 4 β) z = z = 4 zz = 4 z = z y 4 w = z + = z + z = Re(z) z Όπως φαίνεται στο σχήμα το πραγματικό μέρος του z, άρα και η εικόνα του w κινείται πάνω στο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ. B - y O A ΘΕΜΑ ο α. im f () = im + - = im > + - = im = im = im = + + +

18 + - f () + - β. im = im = im γ = im = im = - = λ - - < im f () - λ = im = im = im < = im = im = = β Άρα η πλάγια ασύμπτωτη της C f στο -, είναι η y = f () f () = + - = - = = f () + άρα f () + + f () = f () = f () + f () =. f δ. Από (γ) ερώτημα έχουμε : = - f () + f () + d = - d = - nf () d = - nf () () f () = - nf () - nf () = - n( - ) = n( - ) ( + ) = n = n = n( + ). - ( - )( + ) -

19 ΘΕΜΑ 4 ο α. Η f είναι συνεχής στο IR και f (), για κάθε IR. Από συνέπειες Θ. Bolzano η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο IR. Επομένως η f είναι γνησίως μονότονη. β. Είναι f () = - f ( - ), για κάθε IR. Για = έχουμε f () = - f () f () = f () =. Άρα το = είναι ρίζα της f () = και επειδή η f είναι γνησίως μονότονη, η ρίζα αυτή είναι μοναδική. Επομένως η εξίσωση f () = έχει μοναδική ρίζα τη =. γ. Έστω ότι η C g τέμνει τον άξονα στο σημείο Α (, ). f ( ) Πρέπει g ( ) = = f ( ) =, άρα Α (, ) f ( ) f () - g () - g () f () f () im = im = im - - f () ( - ) f () f () = im = im im - f () - f () = f () =, f () f () f () - f () διότι im = im = f () και - - f συνεχής im = = f () im f () f () άρα g () = = εφ45, επομένως η εφαπτομένη της C g στο σημείο Α (, ), στο οποίο αυτή τέμνει τον άξονα, σχηματίζει με αυτόν γωνία 45.

20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΙΟΥΛΙΟΥ 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Β. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Σωστό. Γ. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 ΘΕΜΑ o α. Είναι f () f () f (). H f είναι παραγωγίσιμη στο IR, με f () = ( + m ) =. ln + m. lnm - 4. ln4-5. ln5 H f παρουσιάζει ελάχιστο στο =. Από Θ. Fermat, f () = ln + lnm - ln4 - ln5 = ln + lnm = ln4 + ln5 lnm = ln m = m =. β. Για m =, είναι f () = f () E = f () d = f () d = ( ) d = = τ.μ. n n n4 n5 n n n4 n5 ΘΕΜΑ o α. z + = f (α) ΙR άρα z + = z + z + = z + z z z z z zz + z = z z + z zz - z z + z - z = zz(z - z) - (z - z) = (z - z) (zz - ) = z - z = ή zz - = z = z ή zz = Im(z) z ΙR ή z = z = z =.

21 f (β) + = f (α) άρα f (β) < f (α). β. z + = f (α) z + = f (α) z + + = f (α) z z z γ. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () =. f (α) + f (β). η g είναι συνεχής στο [-, ] ως πολυωνυμική. g (-) = - f (α) + f (β) g () = f (α) + f (β) g (-). g () = [- f (α) + f (β)]. [f (α) + f (β)] = f (β) - f (α) < από (β) από Θ. Bolzano η g () = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (-, ). ΘΕΜΑ 4 o Θέτω t = u. Είναι dt = du. α. f () = + f (t) dt Όταν t = τότε u = Όταν t = = + f (u) du τότε u = άρα η f είναι παραγωγίσιμη στο (, +), ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων. β. f () = + f (u) du = + f () f () - f () = f () e - f () e = e f () e = e Άρα f () e = e d = -e d = - e - () -e d = - e + e d = - e - e + c και e - e + c f () = f () = ce - e Για = είναι f () = + f (u) du = () = f () = ce = c - c = c = () f () = e f () = e - ( + ). ()

22 γ. f () = e - > για >, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, + ) f () =, άρα η f έχει μοναδική ρίζα στο [, + ) την =. + im im im e - = +, + e δ. f () = (e - - ) = διότι im e = + και im = im = + + L' Hospital + e το im f () είναι κακώς ορισμένο διότι - δεν υπάρχει διάστημα της μορφής (-, α), με α ΙR, που να ορίζεται η f, αφού D = [, + ). ΣΧΟΛΙΟ : Το ότι ζητήθηκε να υπολογιστεί ένα όριο που ήταν κακώς ορισμένο είναι «περίεργο». Ίσως αγνοήθηκε ότι D f = [, + ). f e

23 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΕΤΑΡΤΗ ΘΕΜΑ ο A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5. Β.α. Σωστό, β. Λάθος, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Σωστό, στ. Σωστό. ΘΕΜΑ ο α. Έστω z = + yi και z = α + βi. Τότε + α = 4 () z + z = 4 + 4i ( + α) + (y + β) = i y + β = 4 () - α = 5 () z - z = 5 + 5i ( - α) + (y + β) = i y + β = 5 (4) = Από (), () και από (), (4) α = Άρα z = + i και z = + i. y = β = β.i. Η εικόνα του μιγαδικού z βρίσκεται στον κυκλικό δίσκο με κέντρο Κ (, ) και ακτίνα ρ =, ενώ η εικόνα του μιγαδικού w βρίσκεται στον κυκλικό δίσκο με κέντρο Λ (, ) και ακτίνα R =. (ΚΛ) = ( - ) + ( - ) = = R + ρ, άρα οι κυκλικοί δίσκοι εφάπτονται εξωτερικά, δηλαδή υπάρχουν μοναδικοί μιγαδικοί αριθμοί z, w, έτσι ώστε z = w (στο σχήμα η εικόνα τους είναι το κοινό σημείο των κυκλικών δίσκων). y A O y K M Λ Β ii. H μέγιστη τιμή του z - w είναι η απόσταση (ΑΒ), όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα και είναι ίση με R + ρ = 4.

24 ΘΕΜΑ ο α. Έστω ότι η f δεν είναι -. Τότε υπάρχουν α, β IR, με α < β και f (α) = f (β). Από Θ. Rolle στο [α, β], υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (α, β) τέτοιο ώστε f (ξ) =. Άτοπο διότι f (), για κάθε IR. Άρα η η f είναι -. β. Τα σημεία Α (, 5) και Β (-, ) είναι σημεία της C f άρα f () = 5 και f (-) =. f - (- 4 + f ( - 8)) = - άρα f (f - (- 4 + f ( - 8))) = f (-) -4 + f ( - 8) = f ( - 8) = 5 f ( - 8) = f () και επειδή η f είναι - θα είναι - 8 = = 9 =. γ. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [-, ] Από Θ. Μέσης τιμής υπάρχει ένα τουλάχιστον (-, ), τέτοιο ώστε f () - f (-) 5-4 f ( ) = = = = 668 και λ ε = - - (-) + 668, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο Μ (, f ( )) της C f, στο οποίο η εφαπτομένη της C f είναι κάθετη στην ευθεία (ε). ΘΕΜΑ 4 ο f () - α.i. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () =,. Είναι f () =. g () + και επειδή η f είναι συνεχής στο IR, θα είναι f () = im f () = im g ()+ = β. f () - f () g () + ii. f () = im = im = im g () + - = im img () + = 5 + = + λ f () im = im im + f () + λ f () + λ + λ = + + = f () f () f () + λ + λ im = = f () f () + + im im = λ + = 9 λ = 8 f () = f () =

25 γ. i. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = f (). e -. Είναι g () = (f () - f ()). e - >, διότι f () > f (), για κάθε IR. Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο IR. < g () < g () f (). e - <, άρα f () < και. f () > > g () > g () f (). e - >, άρα f () > και. f () > Επομένως. f () >, για κάθε. ii. Είναι f () - f () >, για κάθε IR. Άρα f () - f () d > f () d - f () d > f () - f () d > f () - f () > f () d < f (). f () d

26 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 5 ΙΟΥΛΙΟΥ 6 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ o A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α.. Σχολικό βιβλίο σελίδα Β. α. ΣΩΣΤΟ, β. ΛΑΘΟΣ, γ. ΣΩΣΤΟ, δ. ΣΩΣΤΟ, ε. ΛΑΘΟΣ. ΘΕΜΑ o e + e + e - + e + e α) f () = + = + + e + e + + e + e - e + e e - e = = < e + e άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο IR. β) + + e + e - e + e e d = d = d f () + e + e + e e = +(e - ) d + e + e e = d + (e - ) d + e = + (e - ) n( + e ) + c

27 5 γ) Είναι άρα για είναι και επειδή η f είναι γν. φθίνουσα f (5 ) f (6 ) () 7 Όμοια άρα για είναι και επειδή η f είναι γν. φθίνουσα f (7 ) f (8 ) () (+) Από () και () f (5 ) + f (7 ) < f (6 ) + f (8 ). ΘΕΜΑ o α) (4 - z) = z (4 - z) = z 4 - z = z 4 - z = z 4 - z z 4 - z 4 - z zz 6-4z - 4z + zz = zz 4(z + z) = 6 Re(z) = 4 Re(z) = Άρα οι εικόνες των μιγαδικών z ανήκουν στην ευθεία =. β) i. Είναι f () = +. Επίσης f () = 6 + α και f () = 5. (ε) : y - f () = f (). ( - ) (ε) : y = 5 + α - 4 Α (, -) (ε) α = Για α = είναι (ε) : y = 5 -

28 y ii. Σχεδιάζοντας τη γραφική παράσταση της f, την ευθεία (ε) και την κατακόρυφη ευθεία = 5, 7 5 (, 7) το ζητούμενο εμβαδόν (γραμμοσκιασμένο) είναι : E = [f () - (5 - )] d = ( ) d = ( ) d - ( - ) 5 4 = ( - ) d = = - = τ.μ ΣΧΟΛΙΟ : Το ότι στην εκφώνηση της άσκησης για τον υπολογισμό του εμβαδού του χωρίου αναφερόταν και ο άξονας ήταν περιττό στοιχείο και μάλλον μπέρδευε τους μαθητές. O 5 ΘΕΜΑ 4 ο α) i. Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = ln, >. g () =, >. Εφαρμόζουμε Θ.Μ.Τ. με τη g στο [, + ] Υπάρχει ένα τουλάχιστον (, + ), τέτοιο ώστε f ( + ) - f () n( + ) - n g ( ) = = = n( + ) - n ( +) - Άρα = n( + ) - n. Αρκεί να δείξω ότι <, το οποίο ισχύει διότι <. Επομένως n( + ) - n <.

29 β) ii. f () = n( + ) - ( + ) n = n( + ) + - n - ( + ) + = n( + ) + - n = n( + ) - n - - < + διότι n( + ) - n - < από α)i) ερώτημα και - < + Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, + ) n + (+ ) im n + = im + + n + = im L'Hospital + = im + = im = α > α α + α α + γ) (α + ) = α n(α + ) = nα α n(α + ) = (α + ) nα α n(α + ) - (α + ) nα = f (α) =

30 Βρίσκουμε το σύνολο τιμών της f im f () = im n( + ) - ( + ) n = - (- ) = + + im f () = im n( + ) - ( + ) n = im n( + ) - n - n = im n( + ) - n + - n + = im n - n + (β) = im n + - n = - (+ ) = - + Άρα f (A) = IR. Είναι f (A) άρα η f (α) = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, +) και επειδή η f είναι - ως γνησίως φθίνουσα στο (, +), τότε η ρίζα αυτή είναι μοναδική.

31 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 7 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ o A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 7 Α.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 46 Β. α. ΛΑΘΟΣ (π.χ. η f () = 5) β. ΛΑΘΟΣ γ. ΣΩΣΤΟ δ. ΣΩΣΤΟ ε. ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑ ο = u ημ ημ ημu α. lim f () = lim = lim = lim = u αν u - τότε u β. H f είναι συνεχής στο =, άρα lim f () = lim f (). lim - l f () = l im f () = im ( + α + βσυν) = β άρα β = Για > είναι f () = + α - βημ. π π π f = π + α - βημ = π α = β Επομένως α = β =. γ. π π f () d = ( + + συν) d = + + ημ π π = +. π

32 ΘΕΜΑ ο e α. f () = (e - e ln) = e -, > e e f () = e - = e + >, > άρα η f είναι γν. αύξουσα στο (, + ). f Για > f () > f () f () >, άρα η f είναι γν. αύξουσα στο (, + ). f β. Για < < f () < f () f () <, άρα η f είναι γν. φθίνουσα στο (, ). + f () Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f () = e, άρα f () f () f () e, για κάθε >. γ f () d = f () d + f () d f () d - f () d - f () d = f () d + f () d - f () d = f () d - f () d =. + Προφανής λύση η = ().

33 Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με + 4 g () = f () d - f () d, > Είναι g () = f () d - f () d + διότι = f ( + ) - f ( > και = f ( + ) - f ( + ) > f στο (, + ) + < + f ( + ) < f ( + ) + ) f ( + ) - f ( + ) > Άρα η g είναι γν. αύξουσα στο (, + ) και η εξίσωση g () = έχει μια το πολύ ρίζα (). Από () και () προκύπτει ότι η g () = έχει μοναδική ρίζα τη =. ΘΕΜΑ 4 ο α. Είναι z = α + βi και z - z = γ ΙR z = γ + α + βi. z = α + γ + βi = α + α - αβi + γ + αγ - βγi - z - α + βi + z + α - βi (α + γ + βi)( + α - βi) = - α + βi (α + α + β + γ + αγ - ) + (β - βγ)i = α + α + β + γ + αγ - = () β β - βγ = βγ = β γ =. + βi + αβi + β - + α - βi = Άρα z - z =.

34 β. γ = () α + α + β + + α - = α + β + 4α = C : + y + 4 = A + B - 4Γ = 6 > άρα ο C είναι κύκλος με κέντρο Κ (-, ) και ακτίνα ρ =. A K O -4 - C Είναι z = α + βi και α + β + 4α =, άρα η εικόνα του z κινείται στον κύκλο C. Tα σημεία Α (-4, ) και Ο (, ) εξαιρούνται διότι β. Άρα ο ζητούμενος γ.τ. είναι ο κύκλο ς C χωρίς τα σημεία Α και Ο. γ. z = (α + βi) = α - β + αβi z Ι Re(z ) = α - β = α = β και επειδή αβ >, θα είναι α = β (). Είναι α + β + 4α = α + 4α = α(α + ) = και επειδή αβ >, θα είναι α + = α = -. Από () έχουμε α = β = -, άρα z = - - i. (z + + i) = (- - i + + i) = (- - i) = ( + i) = ( + i) = (i) (z + - i) = (- + i + - i) = (- + i) = ( - i) = ( - i) = (-i) = (i) Άρα (z + + i) - (z + - i) = (i) - (i) =.

35 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 8 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ o A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 47 Β. α. Σωστό β. Λάθος γ. Σωστό δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ ο α. ος τρόπος + i Αν z = είναι η μια ρίζα της εξίσωσης z + βz + γ =, + i η άλλη ρίζα είναι η z =. Τύποι Vieta + i - i S = z + z = + = -β -β S = = = -β α -β = β = - + i - i + Ρ = z z = = = 4 γ γ Ρ = = = γ α γ =

36 ος τρόπος + i Αν z = + i + i + β + γ = + i - + i + β + γ = i β + β i + + γ = - + i + β + β i + γ = (β + γ - ) + (β + ) = β = - β + γ - = είναι η ρίζα της εξίσωσης z + βz + γ =, τότε β = - γ = β + = β + γ - = β. Το z είναι ρίζα της εξίσωσης z - z + =, άρα z - z + = oς τρόπος (z + )(z - z + ) = z + = oς τρόπος z - z + = z = z - () () z = z - - z z = - () z = z - z z = - oς τρόπος z (z - ) = - z - z + = z z = - z = z - oς 4 τρόπος + i z = ( + i ) + i + ( i) + ( i) = = i i -8 = = = z = -

37 γ. w = z - z w = Im(z ) i w = i w = Άρα ο γ.τ. των εικόνων του w είναι ο κύκλος με κέντρο Ο (, ) και ακτίνα ρ =. - α. f () = ( - n) = - =, > ΘΕΜΑ ο f () = > - = = = + f () - + f () Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο το f () =, άρα f () f () f (), για κάθε >. β. im f () = im( - n) = άρα έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία = ( y y). f () - n n im = im = im - = +, διότι n ( n) im = im = im = και im = +. L'Hospital + () άρα δεν έχει οριζόντιες ή πλάγιες ασύμπτωτες. + + n γ.i. im g () = im = im = im = im = L'Hospital f () f () - - g () = k Για να είναι η g συνεχής στο = πρέπει im g () = g () k = -. +

38 γ.ii. η g είναι συνεχής στο [, e] g () = - < g () g(e) < ne g (e) = = > f (e) e - Από Θ. Βοlzano υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της g () = στο (, e). ΘΕΜΑ 4 ο α. t - t - e [f (t) + F (t)] dt = e [F (t) + F (t)] dt F () = f () d = f () t - t - = [e F (t) + e F (t)] dt t - = [e F (t)] dt t - = e F (t) - = e F () - e F () - = F () - e = F () β. Για > είναι : F () h () = t f (t)dt F () t f (t)dt - F () t f (t)dt = t f (t)dt f () t f (t)dt - F () f () = t f (t) dt f () t f (t)dt - F () = <, διότι t f (t)dt

39 γ. f () > t f (t)dt > Θεωρούμε τη συνάρτηση φ, με φ () = t f (t)dt - F (), Είναι φ () = t f (t)dt - F () = f () - F () - F () = f () - F () - f () = - F () < διότι f () > και F () = f (t)dt >, για > Επομένως η φ είναι γνησίως φθίνουσα στο [, + ) Για > φ φ () < φ () t f (t)dt - F () < h F () f (t)dt > h () < h () < < t f (t)dt t f (t)dt και επειδή t f (t)dt >, αφού f () > και > t f (t)dt f (t)dt < t f (t)dt t f (t)dt f (t)dt < t f (t)dt F () F () δ. h () = = t f (t)dt = () t f (t)dt Είναι F (t)dt = (t) F (t)dt = t F (t) - t F (t)dt () F () F () = F () - t f (t)dt = F ( ) - =

40 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 9 ΙΟΥΛΙΟΥ 9 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ o A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Α.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 88 Β. α. Σωστό β. Σωστό γ. Λάθος δ. Λάθος ε. Σωστό ΘΕΜΑ ο α. Αν z = + yi, τότε ( - i)z + ( + i)z - 8 = ( - i)( + yi) + ( + i)( - yi) - 8 = +yi - i + y + - yi + i + y - 8 = 4 + y - 8 = y = y = () άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι η ευθεία (ε) : y = β. Από τη σχέση () για y = έχουμε =, άρα z = Από τη σχέση () για = έχουμε y = 4, άρα z = 4i γ. z + z + z - z = + 4i + - 4i = (-4) = = 4

41 ΘΕΜΑ ο A. Έστω im f () = L IR. + f () και e = (λ + ) + + f () = n, > (λ + ) f () = u f () u L im e = im e = e ΙR + im f () = L ul (λ + ) + + άρα και im ΙR + + O παρονομαστής είναι πρώτου βαθμού πολυώνυμο άρα πρέπει και ο αριθμητής να είναι επίσης πρώτου βαθμού άρα λ + = λ = - B. Για λ = - είναι f () = n( + ) - n( + ), > - α. f () = - = >, για > ( + )( + ) άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-, + ) im f () = im [ n( + ) - n( + )] = im f () = im [ n( + ) - n( + )] = u + + = im n = im nu = im = u + + άρα το σύνολο τιμών της f είναι το (-, ). β. im f () = - και im f () =, άρα η C f έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την = - και η C f έχει οριζόντια ασύμπτωτη την y = ( ) γ. Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα f () = -α <. Το -α ανήκει στο σύνολο τιμών της f Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-, + ), άρα η εξίσωση f () = -α έχει μοναδική λύση, για κάθε α

42 ΘΕΜΑ 4 ο f () - 4f () + 4f () = ke, () f () - f () g () = -, e g () = - f () - f () e f () - f () e - f () - f () e = 6 - (e ) f () - f () - f () + 4f () = 6 - e f () - 4f () + 4f () = 6 - () e ke = 6 - = 6 - k e = (6 - k) () α. Η f είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών Η f είναι παραγωγίσιμη στο [, ] με g () = (6 - k) f () - f () f () - f () g () = = = e 4 f () - f () f () + e - f () g () = - = e e 4 e = - = - = 4 e Άρα η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle. β. Από Θ. Rolle υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), τέτοιο ώστε () f (ξ) - 4f (ξ) + 4f (ξ) g (ξ) = 6ξ - = ξ e ξ 6ξe - f (ξ) + 4f (ξ) - 4f (ξ) = ξ f (ξ) + 4f (ξ) = 6ξe + 4f k = 6 () (ξ) ξ > γ. g (ξ) = (6 - k)ξ = 6 - k = k = 6 () g () =, για κάθε [, ], άρα g σταθερή στο [, ] και επειδή g () =, θα είναι g () =, για κάθε [, ]

43 δ. Για κάθε [, ] είναι : g () = - = = ( ) = f () - f () e f () - f () e f () e συνέπειες Θ.Μ.Τ. f () = + c e f () = ( + c)e (4) = (4) f () = ( + c)e e = ( + c)e c = (4) c = f () = e, [, ] ε. f () d = e = e d d e = d e e = - () d e e 4 = e - - d e e 4 4 = e - - e e e 4 4 4e - e - e + e 4 4 e - e = e = = 4 4

44 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α4. α. Λάθος, β. Λάθος, γ. Σωστό, δ. Σωστό, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β Β. Τα z, z είναι ρίζες τις εξίσωσης z - Sz + P =, με S = z + z = - και P = z. z = 5 Η εξίσωση z +z + 5 = έχει διακρίνουσα -6 και ρίζες z = - + i και z = - - i. B. w - z + w - z = z - z w = + yi + yi + - i + + yi + + i = - + i + + i y - 4y ( + ) + (y - ) + ( + ) + (y + ) = 4i y + 4y + y = + y + - = ( + ) + y = = 4 άρα ο γ.τ. των εικόνων του w είναι ο κύκλος C με κέντρο Κ(-, ), ακτίνα ρ = 4 και εξίσωση ( + ) + y = 4. B. Είναι Re(w) + Im(w) = + y = y = - () ( + ) + y () = (-) - 4 = = = - ή = 5. Για = - από την () προκύπτει y =, άρα w = - + i = z Για = 5 από την () προκύπτει y = 6 -, άρα w = - 6 i 5 5 5

45 Β4. Αν Α, Β είναι οι εικόνες των w και w αντίστοιχα, τότε w - w = (AB) = μήκος χορδής του κύκλου C Είναι w - w = 4 = ρ, άρα η ΑΒ είναι διάμετρος του κύκλου C και το Κ μέσο του ΑΒ η λύση Η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των w, w ισούται με το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους, άρα Αν Λ είναι η εικόνα Λ K του μιγαδικού w + w Ο τότε ΟΛ = ΟΑ + ΟΒ A ΟΛ = ΟΚ = (-, ) C άρα Λ (-, ) και w + w = - και - w + w = - = η λύση Αν w = α + βi και w = γ + δi, τότε Α (α, β) και Β (γ, δ). Επίσης w + w = (α + γ) + (β + δ)i To K (-, ) είναι το μέσο του ΑΒ, άρα α + γ α + γ K = - = α + γ = - β + δ β + δ y K = = β + δ = Επομένως w + w = - και w + w = - = - B ΘΕΜΑ Γ Γ. im f () = im ( - ) n + - = f άρα η C έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την = (y y) f im f () = im ( - ) n + - = + άρα η C δεν έχει οριζόντιες ασύμπτωτες f () ( - ) n im = im = im n + - = άρα η C δεν έχει πλάγιες ασύμπτωτες f

46 - Γ. f () = n + + = n + -, > f () = + >, για >, άρα η f είναι γν.αύξουσα στο (, + ) f < < f () < f () f () <, άρα η f > f () > f () f () >, άρα η f είναι γν. φθίνουσα στο (, ) f είναι γν. αύξουσα στο (, + ) Γ. Στο Δ = (, ) η f είναι συνεχής και γνησίως φθίνουσα Είναι + - f συνεχής im f () = +, im f () = f () = - άρα f (Δ ) = (-, +) και επειδή f (Δ ) η εξίσωση f () = έχει ακριβώς μια λύση στο Δ Στο Δ = [, +) η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα Είναι f () = -, im f () = + + άρα f (Δ ) = [-, +) και επειδή f (Δ ) η εξίσωση f () = έχει ακριβώς μια λύση στο Δ Άρα η εξίσωση f () = έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες. Γ4. Είναι f ( ) = f ( ) = με < <. η λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h () = f (), >. η h είναι συνεχής στο [, ] f () - f () η h είναι παραγωγίσιμη στο (, ) με h () = h ( ) = h ( ) = από Θ. Rolle προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(, ), τέτοιο ώστε h (ξ) = ξ f (ξ) - f (ξ) = ξ f (ξ) - f (ξ) = () ξ η λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () =. f () - f (), > η γ είναι συνεχής στο [, ], ως πράξεις συνεχών g ( ) = f ( ) - f ( ) = f ( ) <, διότι > και f ( )< g ( ) = f ( ) - f ( ) = f ( ) >, διότι > και f ( )> από Θ. Bolzano προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ(, ), τέτοιο ώστε g (ξ) = ξ f (ξ) - f (ξ) = ()

47 Η μοναδικότητα του ξ προκύπτει από τη μονοτονία της g. g () = [. f () - f ()] = f () >, άρα η g είναι γν. αύξουσα. H εφαπτομένη της C f στο σημείο Μ (ξ, f (ξ)) είναι : (ε) : y - f (ξ) = f (ξ). ( - ξ) Για να διέρχεται η (ε) από την αρχή των αξόνων αρκεί οι συντεταγμένες του Ο να επαλήθεύουν την εξίσωση της (ε), δηλαδή - f (ξ) = f (ξ). ( - ξ) - f (ξ) = - ξ. f (ξ) ξ. f (ξ) - f (ξ) = που ισχύει από τη σχέση (). ΘΕΜΑ Δ Δ. Η f είναι κυρτή στο IR, άρα η f είναι γν. αύξουσα στο IR. f < f () < f () f () <, άρα η f είναι γν. φθίνουσα στο (-, ) f > f () > f () f () >, άρα η f είναι γν. αύξουσα στο (, + ) Η f παρουσιάζει ολικό ελάχιστο για = την τιμή f () =, άρα f (), για κάθε IR. f(t)dt f(u)du f(t)dt + im im im + + Δ. = = = + ημ ημ ημ Δ. ημ ημ διότι im = im = = και η λύση im f (u) du f () = im = im f () L'Hospital im f () = f () = = im f () im = + f () + f () + f () f () + = f () + = συνέπειες ΘΜΤ n f () + = ( ) n f () + = + c Για = έχουμε nf () = c c = Άρα n f () + = f () + = e f () = e -

48 η λύση f () + = f () + f () - f () = f () e - f () e = - e + e f () e + f () e = (- ) e + (- ) e συνέπειες ΘΜΤ f () e = - e f () e = - e + c Για = έχουμε f () e = + c c = e Άρα f () e = - e + f () = - + e - - ή Δ4. η λύση h () = f ( + ) - f (), h () = f ( + ) - f () > διότι η f είναι γν. αύξουσα στο IR και + > άρα η h είναι γν. αύξουσα στο [, + ) h () = 4 f () - f () = e - 5 > h h () h () άρα h () >, άρα η h είναι γν. αύξουσα στο [, + ) η λύση h () = f ( + ) - f (), f () = e - = (e - ) >, για > άρα η f είναι γν. αύξουσα στο [, + ) f Είναι + > f ( + ) > f () h () >, άρα η h είναι γν. αύξουσα στο [, + ) H ανίσωση γίνεται ++ 6 f (t) dt < f (t) dt h ( ++) < h (4) ++ 4 Είναι + + = ( + ) και 4 > και επειδή η h είναι γνησίως αύξουσα στο [, +) έχουμε + + < < - < < f () = e -

49 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα Α. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Σωστό, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ Β z = + yi B. z - i = + Im(z) + yi - i = + y B. y > - + (y - ) = + y + (y - ) = (y + ) + y - y + = y + y + = 4y w(w + i) = i(w + i) ww + wi = wi - z = + yi w + (w - w)i + = + y + yi i + = + y - 6y + 9 = 8 + (y - ) = 8 άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι y = 4 κύκλος με κέντρο Κ (, ) και ακτίνα ρ = 8 = Β. Αναζητούμε τα κοινά σημεία των δύο γεωμετρικών τόπων = 4y () + y - 6y + = () () () 4y + y - 6y + = y - y + = y = y= () = 4 = Άρα Α (, ) και Β (-, ). B4. (ΚΑ) = (ΚΒ) = ρ = ΚΑΒ ισοσκελές (ΑΒ) = ( + ) + ( - ) = 6 Π.Θ. ΚΑΒ ορθογώνιο (ΚΑ) + (ΚΒ) = = 6 Μ μέσο του ΑΒ Μ (, ) Μ μέσο του ΚΛ Λ (, -) u = - i

50 ΘΕΜΑ Γ Γ. (t) = 6 (t) = (6t), t Aπό συνέπειες Θ.Μ.Τ. (t) = 6t + c, t Για = είναι () = c =, άρα (t) = 6t, t Γ. Παρατήρηση : Έπρεπε να εξηγηθεί γιατί ο παρατηρητής χάνει την οπτική επαφή με το κινητό στο Α. Έστω f () =, με f () =, > Αναζητούμε την εφαπτομένη (ε) της C που διέρχεται από το σημείο Π (, ). (ε) : y - f ( ) = f ( ) ( - ) (ε) : y - = ( - ) Π C f - = (- ) - = - = 4 = = ή = 4 Για = 4 y = (t ) = 4 6t = 4 t = min ή t = 5sec 4 Άρα η οπτική επαφή διαρκεί 5sec Γ. η λύση Η εφαπτομένη της C f στο Α (4, ) (ε) είναι η (ε) : y = 4 + A (4, ) Άρα το ζητούμενο εμβαδόν είναι : 4 E = + - d = d + d + d = + - = = f m η λύση Το ζητούμενο εμβαδόν είναι : 4 (ΟΠ)+(ΑΒ) 4 6 E = (OΠΑΒ) - d = (ΟΒ) - = 6 - = Β 4 m

51 Γ4. η λύση Μ (, y) M (, ) M (6t, 4 t ) d (t) = (ΠΜ) = (6t - ) + (4 t - ) = 56t + 6t - 8 t + d (t) = 56t + 6t - 8 t + = 56t t + 6t - 8 t + Θεωρούμε συνάρτηση g, με g (t) = 56t + 8 -,t > t g (t) = 56 + >, άρα η g είναι γν.αύξουσα στο (, + ) t t ος τρόπος H g είναι συνεχής στο, 64 4 ως πράξεις συνεχών g = = -4 < 64 g = = 68 > 4 Από Θ. Bolzano η g έχει μια τουλάχιστον ρίζα t στο,, και επειδή g γνησίως αύξουσα η ρίζα αυτή είναι μοναδική. ος τρόπος H g είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο Δ =, 4 im g (t) = im 56t = t t t g = = 68 4 Άρα g (Δ) = -, 68. Είναι -, 68, άρα η g έχει μια τουλάχιστον ρίζα t, 4 και επειδή g γνησίως αύξουσα η ρίζα αυτή είναι μοναδική. t

52 d () > g () > g () > g (t ) > t g t + d () - + d () Η d είναι γν. φθίνουσα στο (, t ] και γν. αύξουσα στο [t, +). Η απόσταση d γίνεται ελάχιστη τη χρονική στιγμή t, 4 η λύση Μ (, y) M (, ) M (6t, 4 t ) d (t) = (ΠΜ) = (6t - ) + (4 t - ) = 56t + 6t - 8 t + d (t) = 56t + 6t - 8 t + = 56t t + 6t - 8 t + Είναι d (t) >, για t > 4, άρα η d είναι γν. αύξουσα στο, + 4 Η συνάρτηση d είναι ορισμένη και συνεχής στο, 4, άρα από θεώρημα μέγιστης ελάχιστης τιμής υπάρχει t, 4 τέτοιο ώστε η d να παρουσιάζει ελάχιστο στο t. d () = d = d = < d () < d , άρα η d να παρουσιάζει ελάχιστο στο σημείο t, 4. Επομένως η απόσταση d γίνεται ελάχιστη τη χρονική στιγμή t, 4. t

53 ΘΕΜΑ Δ f συνεχής f () f () Δ. f () = im f () = im = im im = + f () =, f () - f () f () f () = im = im = + f () = - (ε) : y - f () = f () ( - ) (ε) : y = Δ. Θ.Μ.Τ. με τη συνάρτηση f στο διάστημα [, ] Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ), τέτοιο ώστε f () - f () f (ξ) = f (ξ) = f () - f () - Είναι f () < f () - f () () f () < f (ξ) Επίσης f (), για κάθε IR και επειδή η f είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη, από συνέπειες Θ. Bolzano η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο IR. oς τρόπος oς τρόπος () () Η f είναι γνησίως μονότονη στο IR. Είναι < ξ και f () < f (ξ) από () Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο ΙR, Θ.Μ.Τ. με τη συνάρτηση f στο διάστημα [, ξ] Υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ f (ξ) - f () f (ξ ) = >, από () ξ - (, ξ), τέτοιο ώστε Επομένως είναι f () >, για κάθε IR, Άρα η f είναι κυρτή στο IR. Δ. η λύση Η εφαπτομένη της C f στο σημείο Ο (, ) είναι η (ε) : y =. H f είναι κυρτή στο ΙR, άρα η C f βρίσκεται πάνω από την (ε) με εξαίρεση το σημείο επαφής Ο (, ) f () f () - g () και το = ισχύει για =. Άρα η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο την τιμή g () =.

54 η λύση Είναι g () = f () -, IR. g () = f () -, IR. g () > f () - > f () > f () > f () και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα θα είναι > - + g () - + g () Η g παρουσιάζει ολικό ελάχιστο την τιμή g () = f () =. im ημ ημ = im = +, διότι g () g () ημ im = και im g () =, με g (). Δ4. Eίναι g () και το "=" ισχύει μόνο για =, άρα Δ5. g ()d > f () d > f () - d > f ()d - d > Eίναι g (), άρα Ε = g () d = e - 5 f () - d = e - 5 f () d - = e - f () d > 5 f () d - 5 d = e - Θεωρούμε συνάρτηση h, με h () = f (t) dt -, [, ] H h είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών () f () d = e - () h () = f (t) dt - = e - - = e - 4 < h () = f (t) dt - > από Δ4 Από Θ. Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο ώστε ξ h (ξ) = f (t) dt - = f (t) dt =. ξ

55 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 46 Α4. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ Β z - z - z - - z B. w I w = - w = - = z + z + z + z + B. (z - )(z + ) = ( - z)(z + ) zz + z - z - = z - - zz - z zz = zz = z = z = z = zz = z = () z 4 z z () 4 z - = z - z 4 = Imzi = 6 Im 4 zi 4 = 6 Im 4 z IR z B. Ισχύουν : z = () και z = () () + z + z = z + zz + z = z + z z + z = 4 z () z B4. w Ι, άρα w = βi, με βιr Έστω u = + yi, με, y ΙR i i u - ui = - w + yi - ( + yi)i = - βi w βi + yi - i + y = - βi ( + y) + (y - )i = - βi β β y - = - β + y = () β y - = - - y = άρα οι εικόνες του u ανήκουν στην υπερβολή - y =

56 ΘΕΜΑ Γ Γ. f () + = e f () = e - e - Για είναι f () = f συνεχής e - e f () = im f () = im = im = DL'H e -, αν Άρα f () =, αν = e - e- e + Γ. Για είναι f () = = e - f () - f () - e - - im = im = im - e - e = im = im = DL'H DL'H e - e +, αν Άρα f () =, αν = Θεωρούμε τη συνάρτηση g, με g () = e - e +, g () = e, IR IR - + g () - + g g min = g () =, άρα g () >, για κάθε. Επομένως f () >, για κάθε ΙR, άρα f γν. αύξουσα στο IR, άρα f, άρα f αντιστρέψιμη.

57 e - im f () = im = - - f e - e im f () = im = im = DL'H + - D = f (IR) = im f (), im f () = (, + ) f - + Γ. (ε) : y - f () = f () ( - ) (ε) : y - = (ε) : y = + oς τρόπος H f είναι κυρτή στο IR, άρα η C f βρίσκεται πάνω από την εφαπτομένη ( ε) με εξαίρεση το σημείο επαφής Α (, ), άρα f () + f () + και το "=" ισχύει μόνο για =. Eπομένως η εξίσωση f () = + έχει ακριβώς μια λύση την =. oς τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h () = f () - -, IR Eίναι h () = f () -, IR f κυρτή < f ( ) < f ( ) f ( ) < f ( ) f f ( ) - < f ( ) - h ( ) < h ( ) άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο ΙR, επομένως η h () = έχει το πολύ μια ρίζα στο IR. h () = f () - =, άρα η h () = έχει μοναδική ρίζα το. Eπομένως η εξίσωση f () = + έχει ακριβώς μια λύση την =. n Γ4. im ( n) = im = im = im (-) = + + DL'H im+ n f () = u f () = im f () = + u im nu = άρα im f () = ( ) f () = = + n n im n im + + n

58 ΘΕΜΑ f () f (t). f () + + e = e f (t) t + dt +, > () t Παραγωγίζουμε κατά μέλη και έχουμε : = e f () + f () f () f () + - e + e f () + f () = - - e -e f () = - -f () e = + f () -f () f () -f () από συνέπειες Θ.Μ.Τ. προκύπτει ότι e = + + c () Aπό την () για = έχουμε : f () f () f () + e = f () + e = Θεωρούμε τη συνάρτηση S, με S () = + e, Είναι S () = + e >, άρα η S είναι γνησίως αύξουσα άρα η S είναι " - ". IR S " - " f () f () + e = S (f ()) = S () f () = = f () = -f () () e = + c = + c c = c = -f () () e = + e f () f () e = + f () + e + = = f () = n, > +

59 . F () = f (t) dt = f (), > F () = f () = n = = = =, > To πρόσημο της f άρα και την κυρτότητα της f την καθορίζει ο παράγοντας ( - ) + F () + - F σ.κ. F () = f (t) dt =, άρα σημείο καμπής της C το Σ (, ) H F είναι παραγωγίσιμη στο [, β] Από Θ.Μ.Τ. υπάρχει ξ (, β), τέτοιο ώστε F (β) - F () F (β) F (ξ) = = = λ ε β - β - άρα υπάρχει ξ (, β), τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C στο σημείο της Μ (ξ, F (ξ)) είναι παράλληλη στην (ε). F F Είναι F () < στο [, β], άρα η F είναι γνησίως φθίνουσα στο [, β], άρα το ξ είναι μοναδικό.

60 . Θεωρούμε συνάρτηση φ, με φ () = ( - )[F (β) + ( - β)f (β)] + (β - )( - )( + ), [, ] Η φ συνεχής στο [, ] ως πράξεις συνεχών φ () = - [F (β) + ( - β) f (β)] <, διότι F στο [, + ) F (β) < ξ < β F (ξ) > F (β) > f (β) β - F (β) > (β - ) f (β) F (β) + ( - β) f (β) > φ () = 8 (β - ) > Από Θ. Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ), τέτοιο ώστε φ ( ) = ( - )[F (β) + ( - β)f (β)] + (β - )( - )( + ) = ( - ) [F (β) + ( - β)f (β)] ( - ) ( - ) F (β) + ( - β) f (β) (β - ) ( + ) (β - )( - ) ( + ) ( - ) ( - ) + = = F (β) + ( - β) f (β) (β - ) ( + ) άρα η εξίσωση + = - - έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) Θα δείξουμε ότι για κάθε > ισχύει : t f dt t f (t) dt f (u) du t f (t) dt f (t) dt t f (t) dt () t = u t = u dt = du t u

61 oς τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση h, με h () = f (t) dt - t f (t) dt, > h () = f (t) dt - t f (t) dt = () f (t) dt + f (t) dt - t f (t) dt = f (t) dt + f () - f () = f (t) dt = F () f (A) = (-, ], άρα f () - f () και το "=" ισχύει μόνο για = αν < <, τότε -f (t) dt > f (t) dt > h () > αν >, τότε -f (t) dt > - f (t) dt > h () < + h () + - h h ma = h () = Eπομένως για κάθε > είναι : h () f (t) dt - t f (t) dt t f dt t f (t) dt ()

62 oς τρόπος αν < t, τότε : - t ( - t) f (t), άρα f (t) ( - t) f (t) dt f (t) dt - tf (t) dt f (t) dt tf (t) dt - f (t) dt - tf (t) dt f (t) dt tf (t) dt αν t, τότε : - t ( - t) f (t) -( - t) f (t), άρα f (t) -( - t) f (t) dt - f (t) dt + tf (t) dt - f (t) dt - tf (t) dt f (t) dt tf (t) dt Επομένως για κάθε > ισχύει : f (t) dt tf (t) dt () t f dt t f (t) dt

63 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ IOYNIΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤA MAΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 7 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6 Α4. α. Σωστό, β. Λάθος, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β B. Η εξίσωση γίνεται : - w i + z = Πρέπει Δ = - w i - 4 z = w i w i = 6 z z = () 6 -β w i Το είναι διπλή ρίζα άρα = = α 4 w i = 4 () ος τρόπος ος τρόπος Το είναι ρίζα της εξίσωσης άρα - w i + z = - w i + 8 ( ) 6-8 w i + w i = w i 6 = w i - 4 = w i - 4 = w i = 4 () Επομένως ο γ.τ. των εικόνων του w είναι ο κύκλος C με κέντρο Κ (4, ) και ακτίνα ρ = 4 () 4 ( ) z = z = 6 Επομένως ο γ.τ. των εικόνων του z είναι ο κύκλος C με κέντρο O (, ) και ακτίνα ρ =

64 B. (ΟΚ) = (4 - ) + ( - ) y = = 5 = 5 Είναι (ΟΚ) = ρ + ρ, άρα οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά σε ένα σημείο Α (σχήμα) Επομένως υπάρχει μοναδικός μιγαδικός αριθμός, η εικόνα του οποίου ανήκει και στους δύο παραπάνω γεωμετρικούς τόπους. O A 4 K ος B. τρόπος (αλγεβρική λύση) w = (OB) = (OK) + ρ = = 9 ma y B z - w z + -w z - w + w z - w + w ma z - w + 9 z - w O A 4 K z + w z + w z + w + w z + w + w ma z + w + 9 z + w

65 ος τρόπος (γεωμετρική λύση) Έστω Μ (z), Λ (w) οι εικόνες των μιγαδικών z, w αντίστοιχα. Η απόσταση των εικόνων τους είναι (ΜΛ) = z w. z w = (BΓ) = (ρ + ρ ) = ma άρα z w z + w = z - (-w) είναι η απόσταση των εικόνων των z και -w. Ο γ.τ. των εικόνων του -w είναι ο κύκλος C, ο συμμετρικός του C ως προς το Ο, με κέντρο Κ (-4, -) και ακτίνα ρ = ρ = 4. z + w ma = (B Α) = (ρ + ρ ) = άρα z + w B4. z - z - zz = 5 z (z - - z) = 5 (-) + 4Im(z) z = z z - z - = 5 (z - z) - = 5 Im(z) i - = Im(z) i = 5 = Im (z) = 5 6Im (z) = 6 Im (z) = Im(z) = z = Re (z) + Im (z) = Re (z) + = Re (z) = Re(z) = Eπομένως z = ± i

66 ΘΕΜΑ Γ Γ. Για κάθε ΙR είναι : f () + [f () - ] = -f () f () + f () - + f () = f () - + f () = από συνέπειες Θ.Μ.Τ. είναι f () - + f () = c Για = έχω : f () - + f () = c c = Επομένως για κάθε ΙR είναι : f () - + f () = f () + f () = ( + )f () = f () = + f () = = + ( + ) ( + ) - ( ) ( + ) = = = ( + ) ( + ) ( + ) και το "=" ισχύει μόνο για = άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο ΙR Γ. Η f είναι συνεχής στο IR, άρα δεν έχει κατακόρυφες ασύμπτωτες f () im = im + = im = im = = λ imf () - λ = im - = im = im = = β άρα η C f έχει πλάγια ασύμπτωτη στο - την y = f () im = im + = im = im = = λ im f () - λ = im - = im = im = = β άρα η C έχει πλάγια ασύμπτωτη στο + την y = f

67 Γ. f 5( + ) - 8 f 8( + ) 5( + ) - 8 8( + ) 5( + ) 8( + ) + 8 5( + ) 8 ( + ) + ( + ) ( + ) f f + f + - f - Γ4. Έστω συνάρτηση h, με h () = f (t) dt,, Η συνάρτηση f είναι συνεχής άρα η συνάρτηση f, με f () = f (t) dt είναι παρ/μη στο [, ],άρα και συνεχής η h είναι συνεχής στο [, ] ως πράξεις των συνεχών f, f, με f () = - και f, με f () =. η h είναι παραγωγίσιμη στο (, ) ως πράξεις παραγωγίσιμων με - h () = f f (t) dt h () = f (t) dt = και h = f (t) dt = Άρα από θ. Rolle η εξίσωση h () = έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (, ) Επομένως υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ, τέτοιο, ώστε ξ -ξ f (t) dt = -ξ (ξ - ) f (ξ - ξ).

68 ΘΕΜΑ Δ Δ. H f είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη, άρα η f, με f (t) = η f, με f (u) = f (t ) - f (t) u f (t) f (t) επομένως η f, με f (u) = f () = + u συνεχής ως πράξεις συνεχών, άρα - dt f (t) - dt du f (t) συνεχής ως παραγωγίσιμη, f (t) - dt du f(t) u, παραγωγίσιμη. f (t) - () f (t) Παραγωγίζουμε και έχουμε f () = + dt, > f () - Παραγωγίζουμε και έχουμε για κάθε >, f () = f () f () f () = f () - f () f () + = f () Δ.α. Είναι f (). f (), για κάθε >,άρα f () και f (). Η f είναι συνεχής στο (, +) και f (), για κάθε >, άρα από συνέπειες θ. Bolzano, η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, +). u f (t) - Είναι f () = + dt du = >, f (t) επομένως f () >, για κάθε >. Η f είναι συνεχής στο (, +) και f (), για κάθε >, άρα από συνέπειες θ. Bolzano, η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο (, +). f (t) - Είναι f () = + dt = > (), f (t) επομένως f () >, για κάθε >.

69 β. f () = + f () f (), για κάθε > Eίναι f () >, για κάθε >, άρα f ()= + f () f () Η f είναι συνεχής στο =, άρα f () = im f ( im im im ) = + f () f () = + f () f () f () = = + f () f () = = f () f () f () - f () () - Δ.α. g () = = = f () f () f () f () - - g () = = = και g () = = = - f () f () (ε) : εφαπτομένη της C στο σημείο Μ (, g ()) (ε) : y - g () = g () ( - ) y = - + g H g είναι κυρτή άρα η C βρίσκεται πάνω από την (ε) Eπομένως f () -( - ) f () d > f () d - ( - ) f () d > g με εξαίρεση το σημείο επαφής Μ, άρα g () -, για κάθε > β. Για κάθε > είναι : f ()> f () g () - - f () ( - ) f () f () Για = είναι : f () > ( - ) f () άρα f () ( - ) f (), για κάθε f () - ( - ) f (), για κάθε και το "=" δεν ισχύει παντού f () > ( - ) f () d f () - f () > ( - ) f () d > ( - ) f () d ( - ) f () d <

70 Δ4. Eίναι h () >, για κάθε [, ] Ε = ( ) = f () f () d = f () f () - f () f () d = f () = - f () f () - d f () f () - f () f () - f () f () f () d d = - f () - f () d = - f ( + ) d f ()d Ε Άρα Ε = - Ε + Ε + Ε = + f () f ()d Ε = + f () - f () Ε = + E = E = τ.μ.

71 Για κάθε > Από το Δ έχουμε: f () - f () f () + = f () () Eίναι f () >, άρα f () = f () Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, +) ως πράξεις παραγωγίσιμων. Παραγωγίζοντας κατά μέλη έχουμε : f ()f () + f ()f () = f ()f () f ()f () - f ()f () = f ()f () - f ()f () f () = = f () f () f () άρα από συνέπειες Θ.Μ.Τ. είναι = c f () () = f () f () + = f () f () + = f () = = f () f () (4) = c = c, άρα = ή f () =. f () f () Από συνέπειες Θ.Μ.Τ. είναι f () = c. Για = είναι f () = c =, άρα f () =. Είναι f () = () και από συνέπειες Θ.Μ.Τ. είναι f () = + c. Για = είναι f () = + c = c =, άρα f () =, >. H f είναι συνεχής στο =, άρα f () =, για κάθε. > Δ.α. g () ( - ), που ισχύει β. (4) f ()=f()= ( - ) f () d = ( - ) d = ( - ) d Δ4. = - = - = < E = h () d = f () d = d = d = = - = τ.μ. Μια δεύτερη λύση για τα Δ, Δ4

72 Γενικό Λύκειο Νεστορίου Σχολικό έτος -4 Βοηθητικό Υλικό της Γ Λυκείου

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ

ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρ ΜΑΙΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ ο 5 + i Α. Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός z =. + i α) Να γράψετε τον z στη μορφή α + βi, α, β IR. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε τη σωστή απάντηση. δ) Το z

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ. y > x + (y - 1) = 1 + y x + (y - 1) = (y + 1) = y + 2y + 1. B2. w(w + 3i) = i(3w + i) ww + 3wi = 3wi - 1

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ. y > x + (y - 1) = 1 + y x + (y - 1) = (y + 1) = y + 2y + 1. B2. w(w + 3i) = i(3w + i) ww + 3wi = 3wi - 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. A2. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; Μονάδες 2. Α3. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες 6

ΘΕΜΑ Α. A2. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; Μονάδες 2. Α3. Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle. Μονάδες 6 Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ http://edu.klimaka.gr ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

1 1 1 (x yi) x yi = = = 2 (x - 1) + y 2

1 1 1 (x yi) x yi = = = 2 (x - 1) + y 2 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 98 Α. Σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10

A1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x)=συνx είναι παραγωγίσιμη στο και για κάθε x ισχύει. = ημx Μονάδες 10 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

z - 3i + z + 3i = 2 z - 3i + z - 3i = 2 2 z - 3i = 2 z - 3i = 1 άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι

z - 3i + z + 3i = 2 z - 3i + z - 3i = 2 2 z - 3i = 2 z - 3i = 1 άρα ο γ.τ. των εικόνων του z είναι ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδες 6-6 Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 8 Α3.

Διαβάστε περισσότερα

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x

β) Μια συνάρτηση f είναι 1-1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat. (Απάντηση : Θεώρημα σελ. 260 σχολικού βιβλίου) Μονάδες 4

Α2. Να διατυπώσετε το θεώρημα του Fermat. (Απάντηση : Θεώρημα σελ. 260 σχολικού βιβλίου) Μονάδες 4 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α Αν μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε

Διαβάστε περισσότερα

1 ο κύκλος C με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = 2

1 ο κύκλος C με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ = 2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ :3

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ :3 ΘΕΜΑ Α ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ :3 Α. Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεμάτων στα Μαθηματικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 9 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηματικός teomail@schgr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα τα

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Α Δ Ι Κ Ε Σ Ε Π Α Ν Α Λ Η Π Τ Ι Κ Ε Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( ) Α.. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝ/ΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f () σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.

Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x. Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 11 Ιουνίου 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα Ιουνίου 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ (Ενδεικτικές Απαντήσεις) ΘΕΜΑ Α Α Απόδειξη θεωρήματος σελ 99 σχολικού βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014 ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μια συνάρτηση f: Α R η οποία είναι. Να γράψετε τον ορισμό της αντίστροφης συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος με κέντρο

Επομένως ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z είναι ο κύκλος με κέντρο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο.

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Γ. Το µέτρο της διαφοράς δύο µιγαδικών αριθµών είναι ίσο µε την απόσταση των εικόνων τους στο µιγαδικό επίπεδο. ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΕΜΠΤΗ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 16 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 16 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 6 MAΪΟΥ Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (6/5/,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω μια συνάρτηση f, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

y > x + (y - 1) = 1 + y x + (y - 1) = (y + 1) = y + 2y + 1 w(w + 3i) = i(3w + i) ww + 3wi = 3wi - 1

y > x + (y - 1) = 1 + y x + (y - 1) = (y + 1) = y + 2y + 1 w(w + 3i) = i(3w + i) ww + 3wi = 3wi - 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 6 ΙΟΥΝΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Α A. Α. Α3. α. β. γ. δ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2002 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Α) Έστω η συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [α,β] με f(α) f(β). Να αποδείξετε ότι για κάθε αριθμό η μεταξύ των f(α) και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ιουνίου 4 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Απαντήσεις Επαναληπτικών Θεμάτων Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 63. Α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9. Α3. Σχολικό βιβλίο σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 Θέµα ο ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ B. α) Λάθος διότι η f είναι «-» που σηµαίνει δεν είναι πάντα γνησίως µονότονη. β) Σωστό διότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. β α ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω µια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > 0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ IOYNIOY 4 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ σελ. από 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε μια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρμοσμένα στις επιταγές του ΔΝΤ (IMF:.4o μεσοπρόθεσμο.) ( WWF:.εξοικονόμηση πόρων.) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ TEXΝΟΛΟΓ. 5... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

G(x) = G(x) = ΘΕΜΑ 1o

G(x) = G(x) = ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 8 ΙΟΥΛΙΟΥ 003 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεµάτων στα Μαθηµατικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης

Αναλυτικές λύσεις όλων των θεµάτων στα Μαθηµατικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων Θεολόγης Καρκαλέτσης Αναλυτικές λύσεις όλων των θεµάτων στα Μαθηµατικά των Πανελλαδικών εξετάσεων και των Επαναληπτικών εξετάσεων 3 Θεολόγης Καρκαλέτσης Μαθηµατικός teomail@sch.gr Πρόλογος Στο βιβλίο αυτό περιέχονται όλα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 007 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ 1 o A.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2015 Διάρκεια: 3 ώρες

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2015 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A 5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 5 Διάρκεια: 3 ώρες A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του,στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Να αποδείξετε ότι Αν f ()

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 3 ΙΟΥΝΙΟΥ 03 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015

Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 2000-2015 Θέµατα Εξετάσεων Γ Λυκείου Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης 000-05 Περιεχόµενα Θέµατα Επαναληπτικών 05............................................. 3 Θέµατα 05......................................................

Διαβάστε περισσότερα

Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή"

Τομέας Mαθηματικών ρούλα μακρή Τομέας Mαθηματικών "ρούλα μακρή" ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Πρότυπου Εκπαιδευτικού Οργανισμού ρούλα μακρή ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΉΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Ε Ν Δ Ε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Α. α) Να αποδείξετε ότι, αν z 1 =α+βi και. είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί, τότε

ΘΕΜΑ 1ο Α. α) Να αποδείξετε ότι, αν z 1 =α+βi και. είναι δύο μιγαδικοί αριθμοί, τότε ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 6 ΙΟΥΛΙΟΥ 001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και ένα εσωτερικό σηµείο του Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο αυτό, να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών

Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων. Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών Πανελλήνιες Εξετάσεις Ημερήσιων Γενικών Λυκείων Εξεταζόμενο Μάθημα: Μαθηματικά Προσανατολισμού, Θετικών & Οικονομικών Σπουδών Ημερομηνία: Ιουνίου 08 Απαντήσεις Θεμάτων Θέμα Α Α.. Θεωρία σχολικού βιβλίου,

Διαβάστε περισσότερα

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,

). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1, ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που

Διαβάστε περισσότερα

40 επαναληπτικά θέματα

40 επαναληπτικά θέματα 4 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Σχολικό έτος 4 Ελεύθερη διάθεση για εκπαιδευτικούς σκοπούς ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. x + 5= 6 (1) και. x = 1, οπότε η (2) γίνεται 1 5x + 1= 7 x = 1 ΘΕΜΑ Β. Άσκηση 1. Να βρείτε τον αριθμό x R όταν. Λύση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.

1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÊÏÑÕÖÇ ÓÅÑÑÅÓ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 19 ΜΑΪΟΥ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α

Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση f παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα (α, β), µε εξαίρεση ίσως ένα σηµείο του, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. α) Έστω η συνάρτηση f ( ) = a µε R και p a.να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f '( ) = a ln a. β) Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β') ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΉΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Ε Ν Δ Ε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÏÅÖÅ. x και f ( x ) >, τότε f ( ) 0 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 3 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµα ο Α. α) Έστω η συνάρτηση ( ) στο R και ισχύει: f '( ) ηµ f = συν. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ιουνίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ Α Α.. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 7 Α.. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 6 Α. Βλέπε σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι:

( ) ( ) ɶ = = α = + + = = z1 z2 = = Οπότε. Έχουµε. ii) γ) 1ος Τρόπος. Οπότε Ελάχιστη απόσταση είναι: ΘΕΜΑ ο Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω f µία συνεχής συνάρτηση σ ένα διάστηµα [α, β] Αν G είναι µία β παράγουσα της f στο [α, β], τότε f ( t) dt = G( β )

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα. Αν F είναι μια παράγουσα της στο, τότε να αποδείξετε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ. σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 05 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ σε µια σελίδα Α4 ανά έτος.. προσαρµοσµένα στις επιταγές του ΝΤ (IMF: 4o µεσοπρόθεσµο.) ( WWF:.εξοικονόµηση πόρων.) MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 5 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΟΓΕΝΩΝ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ...

Διαβάστε περισσότερα

Κατεύθυνσης. Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων

Κατεύθυνσης. Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων 4 Ιουνίου Μαθηματικά Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελληνίων Εξετάσεων Ημερησίων Γενικών Λυκείων Θέμα Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 6 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 4 Α. Σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

Π Ρ Ο Ο Π Τ Ι Κ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α. Α1. Απόδειξη σελίδα 194. Α2. Ορισμός σελίδα 188. Α3. Ορισμός σελίδα 259

Π Ρ Ο Ο Π Τ Ι Κ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α. Α1. Απόδειξη σελίδα 194. Α2. Ορισμός σελίδα 188. Α3. Ορισμός σελίδα 259 ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 Α. Απόδειξη σελίδα 94 Α. Ορισμός σελίδα 88 Α. Ορισμός σελίδα 59 Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. z yi, yir z 4 z ( 4) yi 4 ( ) yi ( 4) 4( y ) 4 y...

Διαβάστε περισσότερα

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Θ Ε Μ Α Τ Α Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Θ Ε Μ Α Τ Α Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θ Ε Μ Α Τ Α Π Ρ Ο Α Γ Ω Γ Ι Κ Ω Ν Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ω Ν Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 3 Α Π Ο Λ Υ Τ Η Ρ Ι Ε Σ Ε Ξ Ε Τ Α Σ Ε Ι Σ Θ Ε Τ Ι Κ Η Κ Α Τ Ε Υ Θ Υ Ν Σ Η ΘΕΜΑ ο : Α.. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α + + i = βi () β + αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι πραγµατικός αριθµός. β) Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με R(z ) = και R(z ) = Αν f() ( z )( z )( z

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙΔΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ ΟΜΑΔΑ Β ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 25 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 25 MAΪΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 MAΪΟΥ 5 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY. 0, τότε είναι και παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ-Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟY Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε είναι και συνεχής στο σημείο αυτό Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ., στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f x ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 15 MAΪOY 14 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1

α) Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 =1 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ΕΥΤΕΡΑ 6 ΜΑΪΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, ÏÅÖÅ

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ. οι f, g είναι συνεχείς στο και f (x) = g (x) για κάθε εσωτερικό σηµείο του, ÏÅÖÅ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 8 ΘΕΜΑ ο Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α. α. Έστω δυο συναρτήσεις f, g ορισµένες σε ένα διάστηµα. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο και f () g ()

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

= R {x συν x = 0} ισχύει: 1 ( εφ x)' = συν

= R {x συν x = 0} ισχύει: 1 ( εφ x)' = συν ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΗΡΑΚΛΕΙΤΟΣ ΚΩΛΕΤΤΗ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 08 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σχολικό βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2015 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 2015 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ 5 ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Α. Απόδειξη, σελ.94 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία, σελ.88 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία, σελ.59 σχολικού βιβλίου Α4. α) Λ β) Σ γ) Λ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Θεωρία σελ. 7 Β. Θεωρία σελ. 47 Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος (βρίσκεται "κάτω" από τη γραφική παράσταση) ε. Λάθος (π.χ. ()

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9-5- ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό βιβλίο σελ. Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 79 Α. Σχολικό βιβλίο σελ. 7 Α. α) ΣΩΣΤΟ β) ΣΩΣΤΟ γ) ΛΑΘΟΣ δ) ΛΑΘΟΣ ε) ΣΩΣΤΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. α) Αν z=x+yi 0, z = ρ και θ ένα όρισµα του z, να αποδείξετε ότι ο z παίρνει τη µορφή z=ρ (συνθ + iηµθ) Μονάδες 8,5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΤΟΥ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΚΝΩΝ ΕΛΛΗΝΩΝ ΥΠΑΛΛΗΛΩΝ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΤΡΙΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚA (ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920

Για παραγγελίες των βιβλίων 2310610920 Για παραγγελίες των βιβλίων 369 Θέματα Προσομοίωσης Πανελλαδικών D.A.T. ΘΕΜΑ o ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 8 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό βιβλίο, σελίδα 99 Α. α) Ψ β) Η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

β. Αν f (x) 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τι συμπεραίνετε για τη μονοτονία της συνάρτησης f ; Μονάδες 4,5

β. Αν f (x) 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τι συμπεραίνετε για τη μονοτονία της συνάρτησης f ; Μονάδες 4,5 ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΘΕΜΑ o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 6 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) A. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ευτέρα, 8 Μα ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 2 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Άρα ο γ. τ. των εικόνων των μιγαδικών z είναι ο κύκλος κέντρου Ο(0,0) κι ακτίνας ρ=2. 4 z. 4 w 4 w 4. Πράγματι: w (1 1) 4

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Άρα ο γ. τ. των εικόνων των μιγαδικών z είναι ο κύκλος κέντρου Ο(0,0) κι ακτίνας ρ=2. 4 z. 4 w 4 w 4. Πράγματι: w (1 1) 4 ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 5 ΜΑΪΟΥ 5 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα ενδιαμέσων

Διαβάστε περισσότερα