Απαντήσεις σε απορίες

Transcript

1 Ερώτηση Η µέση ποσότητα πληροφορίας κατά Shannon είναι Η(Χ)=-Σp(xi)logp(xi)...σελ 28 Στο παραδειγµα.3 στη σελιδα 29 στο τέλος δεν καταλαβαίνω πως γίνεται η εφαρµογή του παραπάνω τύπου ηλαδη δεν βλεπω συντελεστη (-), καθως και να υπολογιζει το άθροισµα Σp(xi)... Ισχύει κάτι διαφορετικό σε αυτή την περίπτωση?? Στο παράδειγµα.3 ο τύπος εφαρµόζεται ωε εξής: Υπάρχουν Ν=256^ διαφορετικές εικόνες µε την ίδια πιθανότητα εµφάνισης p(xi)=/ν,=,2,...,n Άρα η µέση ποσότητα πληροφορίας είναι: H(X)=-Σ{p(xi) log(p(xi))}=-σ{(/ν) log (/N)} = = -Σ{(/Ν) [log ()-log(n)]}= = -Σ{(/Ν) [0-log(N)]}=Σ{(/Ν) log(n)} = N*(/N) log(n)= =log(n)=log(256^ ), που συµπίπτει µε το αποτέλεσµα που δίνει η ενδεικτική λύση της άσκησης ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.3/Ν.Δημητρίου / Σελίδα

2 Ερώτηση 2 εν καταλαβαίνω το σκεπτικο µε βαση το οποιο λυνεται η ασκηση.6 σελιδα 37. Πιο συγκεκριµενα φαινεται (π.χ για την Χ µεταβλητη) οτι αρχικα απο τις συνδιασµενες πιθανοτητες x,y υπολογιζει τις ακραιες πιθανοτητες της x(????) και στη συνέχεια, µια και απο εκφωνηση µας λεει οτι ειναι δυο, χρησιµοποιεί αυτές τις δυο τιµές για να υπολογίσει την Η(X). Όταν λεει ακραιες πιθανοτητες εννοει δυο οριακες τιµες µεταξυ των οποιων βρισκονται όλες οι άλλες τιµές, ή εννοεί όλες τις διακριτές τιµές που µπορεί να πάρει η Χ? ηλαδή ο τρόπος λύσης θα ήταν ο ίδιος αν η Χ είχε 5 διακριτές τιµές? Επίσης θα ήθελα να αναλύσετε το σκεπτικό για τα υποερωτήµατα 2, 3. Παραθέτω τους αναλυτικούς υπολογισµούς για την ΑΑ.6. Ο ίδιος τρόπος λύσης ακολουθείται και αν οι δυνατές τιµές των ανεξάρτητων µεταβλητών είναι περισσότερες από 2. Σχετικά µε την ΑΑ.6 έχουµε τα εξής: Θεωρούµε δύο τυχαίες µεταβλητές Χ,Y µε πιθανά σύµβολα x = 0, x2 = και y = 0, y = 2 ίνονται οι συνδυασµένες πιθανότητες: (, y ) p x (, y ) p x 2 (, y ) p x 2 (, y ) p x 2 2 = 8 = 8 = 2 = 4 Ζητούµενα: ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.3/Ν.Δημητρίου / Σελίδα 2

3 Η ποσότητα πληροφορίας που λαµβάνουµε αν µας γνωστοποιείται το αποτέλεσµα της τ.µ.χ Ζητείται δηλαδή η ποσότητα H( X ) 2 H ( X ) = p xi log p x i= ( i ) ( ) ( ) Ισχύει ότι 2 p( x) = p( x, y j) = p( x, y) + p( x, y2) = + = j= 2 3 p x p x y p x y p x y p x ( 2) = ( 2, j) = ( 2, ) + ( 2, 2) = + = = ( ) j= αυτές είναι οι ακραίες πιθανότητες ως προς x H ( X ) = p( xi) log( p( xi) ) = log log = 0.8bits i= Ζητείται η ποσότητα πληροφορίας που λαµβάνουµε αν µας γνωστοποιείται το αποτέλεσµα της τ.µ.υ Ζητείται δηλαδή η ποσότητα H( Y ) οµοίως: Ισχύει ότι 2 5 p( y ) = p( x, y ) = p( x, y ) + p( x, y ) = + = i 2 i= 2 3 p y p x y p x y p x y p y ( ) = (, ) = (, ) + (, ) = + = = ( ) 2 i i= αυτές είναι οι ακραίες πιθανότητες ως προς y ( ) H ( Y ) = p( y j) log p( y j) = log log = 0.95bits i= j ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.3/Ν.Δημητρίου / Σελίδα 3

4 Ζητείται η ποσότητα πληροφορίας που λαµβάνουµε αν µας γνωστοποιείται το αποτέλεσµα του συνθέτου πειράµατος (Χ,Υ) Ζητείται δηλαδή η ποσότητα H( X, Y ) Με βάση τη σχέση στη σελ. 34, έχουµε ότι ( ) 2 2 (, ) ( i, j) log ( i, j) H X Y = p x y p x y = i= j= ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) = p x, y log p x, y p x, y log p x, y 2 2 ( ) ( ) p x, y log p x, y p x, y log p x, y = = log log log log =.75bits Ζητείται η ποσότητα πληροφορίας που λαµβάνουµε αν µας γνωστοποιείται το αποτέλεσµα της Υ αν γνωρίζουµε το αποτέλεσµα της Χ. Ζητείται δηλαδή η ποσότητα H( Y X ) Με βάση τις σχέσεις στη σελ. 36, έχουµε ότι ( ) ( ) = ( i) ( i) = ( i, j) log ( j i) H Y X H Y x p x p x y p y x i= i= j= Ισχύει όµως και ότι H(Χ,Υ)=Η(Χ)+Η(Υ/Χ)=Η(Υ)+Η(Χ/Υ) άρα Η(Υ/Χ)=Η(Χ,Υ)-Η(Χ)= =0.94 bits και (στις λύσεις υπάρχει) Η(Χ/Υ)=Η(Χ,Υ)-Η(Υ)= =0.8 bits ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.3/Ν.Δημητρίου / Σελίδα 4

5 Ερώτηση 3 Σχετικά µε την κωδικοποίηση Huffman (σελίδα 33 από παρουσίαση) δεν καταλαβαίνω πως γίνεται η επιλογή των bits. Ξεκινώ από αριστερά και επιλέγω τα bit που είναι στην ίδια ευθεία ή επιλέγω τα bit που είναι στην ίδια ευθεία µε το χαρακτήρα και ανεβαίνω και στην γραµµή του προηγούµενου χαρακτήρα? Π.χ Για το Β ξεκινώντας από αριστερά σε ευθεία είναι 0 που συµφωνει µε τον πίνακα. Για το Ε όµως µε τον ίδιο τρόπο βγαίνει 0 σε ευθεία και ανεβαίνοντας προς τα πάνω µια γραµµή, που είναι 0 και δεν συµφωνεί µε τον πίνακα. Ανάλογα συµβαίνει και µε το Α και τους υπόλοιπους χαρακτήρες. Με βάση τη διαφάνεια 34, έχουµε τα εξής: Για κάθε σύµβολο ξεκινάµε από τη θέση του συµβόλου και διατρέχουµε το γράφο ακολουθώντας τους επιµέρους κλάδους (όπως αυτοί έχουν σχεδιαστεί). Αν κάποιος κλάδος έχει κάποιο ψηφίο (0/), το γράφουµε. Στο τέλος (φτάνοντας στο δεξιό άκρο του γράφου (το κυκλωµένο '')) παίρνουµε τη λέξη που σχηµατίστηκε και την αντιστρέφουµε για να προκύψει η κωδική λέξη Huffman. Να δείτε και τα παρακάτω σχήµατα όπου περιγράφεται ο τρόπος στο συγκεκριµένο παράδειγµα για διάφορα σύµβολα. Έχουµε την κατασκευή του γράφου µε τον αλγόριθµο Huffman: ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.3/Ν.Δημητρίου / Σελίδα 5

6 Στα επόµενα σχήµατα φαίνεται ο τρόπος προσδιορισµού κάποιων συµβόλων : ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.3/Ν.Δημητρίου / Σελίδα 6

7 ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.3/Ν.Δημητρίου / Σελίδα 7

9 Ερώτηση 4 Σχετικά µε τη συνδυασµένη ποσότητα πληροφορίας ο τύπος σελίδα 30, παρ "..Η(Χ,Υ).." και ο αντίστοιχος στη σελίδα 34 "Συνδυασµένη ποσότητα πληροφορίας... Η(Χ,Υ)..." εκφράζουν το ίδιο πραγµα? Η απορια προεκυψε γιατι στη µια περιπτωση Η(Χ,Υ)=ΣΣpijlogpij (pij ανεξάρτητες µεταβλητες) ενω στην περιπτωση στη σελιδα 34 Η(Χ,Υ)=ΣΣp(xi, yj)logp(xi, yj) (p(xi, yj) συνδυασµένες πιθανότητες) Προσοχή: Ο τύπος στη σελ. 30 σχετίζεται µε ανεξάρτητες τ.µ. οπότε (σκεφτείτε το σχηµατικά: επειδή στο σχετικό σχήµα µε τα σύνολα, τα Η(Χ) και Η(Υ) δεν έχουν σηµεία τοµής) όντως ισχύει Η(Χ,Υ)=Η(Χ)+Η(Υ). Ερώτηση 5 Επισης Η(Χ,Υ) = Η(Χ)+Η(Υ) Η(Χ,Υ) = Η(Χ)+Η(Χ/Υ) οποτε Η(Χ)+Η(Υ) =Η(Χ)+Η(Χ/Υ)=>Η(Υ)=Η(Χ/Υ) το οποιο δεν ισχύει γιατί είναι Η(Υ)>=Η(Χ/Υ). Αντίστοιχα εξηγείται και η ερώτησή σας αυτή: Γενικά, όταν οι Χ,Υ έχουν κάποιο ποσοστό εξάρτησης (τα σύνολα Η(Χ) και Η(Υ) έχουν κάποια σηµεία τοµής) ισχύει ότι Η(Χ,Υ)=Η(Χ)+Η(Υ/Χ)=Η(Υ)+Η(Χ/Υ)=Η(Χ/Υ)+Η(Υ/Χ)+Ι(Χ;Υ) Αν οι Χ,Υ είναι ανεξάρτητες, τότε Η(Χ)=Η(Χ/Υ) και Η(Υ)=Η(Υ/Χ) και Ι(Χ;Υ)=0, οπότε από την παραπάνω έκφραση έχουµε την απλούστερη: Η(Χ,Υ)=Η(Χ)+Η(Υ) Επίσης, όταν οι Χ,Υ είναι πλήρως εξαρτηµένες (ταυτίζονται) τότε Η(Χ)=Η(Υ)=Ι(Χ;Υ) και Η(Χ/Υ)=Η(Υ/Χ)=0 οπότε Η(Χ,Υ)=Η(Χ)=Η(Υ)=Ι(Χ;Υ). ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.3/Ν.Δημητρίου / Σελίδα 9

10 Ερώτηση 6 Ακόµα όταν στη σελίδα 34 περίπου στη µέση αναφέρει "..ακραίες ποσότητες πληροφορίας... " καθως και στη προηγουµενη σειρά "...ακραίες πιθανότητες.." τι εννοεί?? ηλαδη απο ενα συνολο ποσοτήτων ή πιθανοτήτων να βρούµε το πρώτο και το τελευταίο στοιχείο? Γενικά όταν έχετε πολλαπλές τυχαίες µεταβλητές (στο παράδειγµα έχει 2, τις Χ,Υ) ως 'ακραίες' πιθανότητες ή ποσότητες πληροφορίας χαρακτηρίζουµε αυτές που υπολογίζονται για καθεµιά από τις τ.µ. δηλ οι p(xi) είναι οι ακραίες πιθανότητες ως προς την τ.µ. Χ αντίστοιχα η Η(Χ) είναι η ακραία ποσότητα πληροφορίας ως προς τη Χ (Σp(xi)log(p(xi)). Ο όρος 'ακραία' αναφέρεται για να δηλώσει ότι ελέγχουµε για κάθε ενδεχόµενη τιµή xi το συνδυασµό της µέ όλες τις πιθανές yj, οπότε (αντιστοιχώντας τις p(xi,yj) σε πίνακα ) οι p(xi)=p(xi,y)+p(xi,y2)+...+p(xi,yn) αντιστοιχούν στην άκρη του πίνακα (αθροίζοντας όλες τις πιθανότητες που περιέχονται στη γραµµή του xi.) Ερώτηση 7 Όταν δίνεται κάποιος κώδικας (π.χ {0, 0,, 000, 00}) µε ποια µέθοδο µπορεί κάποιος να συµπεράνει οτι ο κώδικας αυτός προέρχεται από κάποιο αλγόριθµο (π.χ fano) και οχι απο κάποιο άλλο π.χ Huffman??? Σχετικά µε την αναγνώριση ενός άµεσου κώδικα αν είναι Huffman, το κρίτηριο είναι οι µεγαλύτερου µεγέθους λέξεις του να είναι ίσου µεγέθους και ανά 2 να διαφέρουν στο τελευταίο bit. ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.3/Ν.Δημητρίου / Σελίδα 0

11 Ως προς τον Shannon, µπορεί να γίνει διερεύνηση αν τα µήκη των κωδικών λέξεων προέρχονται από τον γνωστό κανόνα µε τις πιθανότητες εµφάνισης που δεν τηρείται πάντοτε από τους άλλους αλγόριθµους. Συνδυαστικά λοιπόν -κι εφόσον είναι γνωστες οι πιθανότητες εµφάνισης των συµβόλων- αν ο κώδικας δεν φαίνεται να είναι Huffman, µπορούµε να ελέγξουµε αν τα µήκη των κωδικών λέξεων ακολουθούν τον κανόνα του Shannon. Αν ναι, τότε µπορεί να προέρχεται από τον αλγόριθµο του Shannon. Αν δεν τηρείται ο κανόνας αυτός, τότε προέρχεται από άλλο αλγόριθµο, ενδεχοµένως Fano. Ερώτηση 8 Για την ασκ 2. οι ακολουθίες που προκύπτουν από τον πολ/σµο ειναι το αποτελεσµα του πολ/σµου µεταξυ CxC2 π.χ 0x0=00 η η συνθεση των ακολουθιών C,C2 π.χ 00 Οπως αναφέρει και η υπόδειξη της άσκησης, ισχύει το 2ο, δηλ συνθέτουµε την κάθε κωδική λέξη µε 2 συστατικά, το πρώτο είναι η λέξη C και το 2ο η λέξη C2, δηλ. CxC2=00 Ερώτηση 9 Στην σελίδα 40 το Η(Χ) πινάκας. Στην σελιδα 48 σχεση (2.) το Η(S) Στη σελίδα 49 σχέση (2.5) το Η(Μ) Στη σχέση (2.9) σελίδα 57 το Η(C) Τα παραπάνω σε τι διαφέρουν ; Για τα Η(S) και Η(C) είναι ίδια µε διαφορετικό σύµβολο(s αντι για C); Μπορείτε να δώσετε ένα αντιπροσωπευτικό παράδειγµα για το καθένα από τα παραπάνω; Κατ'ουσία δεν υπάρχει διαφορά στον τύπο υπολογισµού. Έχετε ένα σύνολο πιθανών ενδεχοµένων (π.χ. οι τιµές της τ.µ. Χ στη σελ. 40, τα σύµβολα S στη σελ.48, τα ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.3/Ν.Δημητρίου / Σελίδα

12 µηνύµατα Μ στη σελ. 49 και οι κωδικολέξεις C στη σελ.57) και για να υπολογίσετε το µέσο πληροφοριακό περιεχόµενό τους - που εξαρτάται από τις πιθανότητες εµφάνισής τους pi χρησιµοποιείτε τον τύπο Σpi*log(pi). Ερώτηση 0 εν καταλαβαινω την ανισοτητα Kraft στη σελιδα 54 (σχεση (2.6)) Μπορείτε να δώσετε να παράδειγµα για συγκεκριµένο αλφάβητο q, και µε συγκεκριµένες κώδικες λέξεις µήκους li που να δείχνει την εφαρµογή της σχέσης 2.6? ** H ανισότητα Kraft εκφράζει τη συνθήκη που ισχύει σε εναν άµεσο κώδικα, του οποίου το µέσο µήκος προσεγγίζει (αν δεν ισούται) µε την εντροπία των υπό κωδικοποίηση συµβόλων. Για την περίπτωση των δυαδικών κωδίκων που βλέπουµε σε όλες τις ασκήσεις, το κωδικό αλφάβητο έχει τα 2 ψηφία 0, άρα q=2. Ας δούµε το παράδειγµα που συζητήσαµε και στην ΟΣΣ: Για τα σύµβολα Β,Ε,Α,Η,Θ,Γ,,Ζ έχουµε αντίστοιχα τις πιθανότητες εµφάνισης /4, /4, /8, /8, /8, /6, /32, /32 και αντίστοιχα το κάθε σύµβολο έχει ποσότητα πληροφορίας 2,2,3,3,3,4,5,5 που συµπίπτει και µε το µήκος της κωδικής λέξης µετά την κωδικοποίηση Huffman. Επειδή οι πιθανότητες είναι της µορφής (/2)^k, βλέπουµε ότι τα µήκη συµπίπτουν µε την ποσότητα πληροφορίας του κάθε συµβόλου Αν υπολογίσετε το άθροισµα Σq^-li αυτό ισούται µε (2^-2 )+(2^-2 )+(2^-3 )+(2^-3 )+(2^-3 )+(2^-4 )+(2^-5 )+(2^-5 )= =((/2)^2 )+((/2)^2 )+((/2)^3 )+((/2)^3 )+((/2)^3 )+((/2)^4 )+((/2)^5 )+((/2)^5 )= =(/4)+(/4)+(/8)+(/8)+(/8)+(/6)+(/32)+(/32)=. ηλ. το Σq^-li συµπίπτει µε το άθροισµα των πιθανοτητων εµφάνισης (επειδή ακριβώς τα µήκη συµπίπτουν µε την ποσότητα πληροφορίας του κάθε συµβόλου). Αν οι πιθανότητες δεν ήταν της µορφής (/2)^k, τότε τα µήκη των κωδικών λέξεων είναι µεγαλύτερα (για τα σύµβολα που ο λογαριθµος της πιθανότητας εµφάνισής τους δεν είναι ακέραιος) οπότε και το άθροισµα Σq^-li θα είναι µικρότερο της µονάδας. ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.3/Ν.Δημητρίου / Σελίδα 2

13 είτε για παράδειγµα τον κώδικα του θέµατος 4 στην περυσινή 4η γραπτή εργασία Ερώτηση Στη σελιδα 56 περίπου στη µεση, στη σχεση Υ=Σpil*i+c(Σq-l*i) Ti συµβολιζει στη σχεση το c, και το αστερι στα l*i??? To c=/ln(q). To l*i=log(pi), όπου στην ανάλυση δεν θεωρείται απαραίτητα ακέραιος (αυτό υποδηλώνει το σύµβολο *). Ερώτηση 2 Σελιδα 67 θεώρηµα Shannon - MacMilan. To ε και δ τι εκφράζουν; Επίσης είναι λίγο δυσνόητη η έκφραση πιθανά και ποιο πιθανά µηνύµατα. Μπορείτε να το αναλύσετε κάπως η να δώσετε κάποιο παράδειγµα? Εδώ γίνεται αναφορά σε πηγές των οποίων τα πιθανά µηνύµατα µπορούν να διαχωριστούν σε 'πιθανά' και σε 'λιγότερο πιθανά'. Το όριο για να αντιστοιχίσουµε τα µηνύµατα στις 2 αυτές κατηγορίες είναι η τιµή του κωδικού µήκους lo. Επιλέγοντας το lo, αναφέρεται ότι µπορούν να βρεθούν κατάλληλοι θετικοί ε,δ που να ικανοποιούν τις προταθείσες σχέσεις του θεωρήµατος που ουσιαστικά είναι εκφράσεις που συνδέουν τις πιθανότητες των µηνυµάτων των δυο αυτών κατηγοριών µε τις αντίστοιχες εντροπίες. Πέρα από την παρατήρηση της δραστηριότητας που ακολουθεί το θεώρηµα για τις πηγές µέγιστης εντροπίας, δεν νοµίζω ότι υπάρχει λόγος να δείτε κάτι επιπλέον, δεν έχουµε δει σε ασκήσεις την εφαρµογή του θεωρήµατος αυτού. Αυτό που µπορείτε να σκεφτείτε είναι ότι, ξεκινώντας από την πηγή µέγιστης εντροπίας µε τα ισοπίθανα µηνύµατα, εαν αρχίσουµε να αλλάζουµε τις πιθανότητες εµφάνισης µε κάποια σύµβολα να έχουν πολύ µικρότερες πιθανότητες εµφάνισης, αρχίζουν να δηµιουργούνται 2 'πόλοι' µηνυµάτων, µε αθροιστικές πιθανότητες και εντροπίες που αυξοµειώνονται αντίστοιχα όσο πιο ανοµοιόµορφη είναι η κατανοµή των πιθανοτήτων των συµβόλων. Αξιο παρατήρησης είναι και το γεγονός ότι η συνολική ποσότητα πληροφορίας της πηγής ανοµοιόµορφων συµβόλων ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.3/Ν.Δημητρίου / Σελίδα 3

14 µειώνεται σε σχέση µε την πηγή οµοιόµορφων συµβόλων, ενώ προφανώς η αθροιστική πιθανότητα εµφανισης τους παραµένει σταθερή και ίση µε. Ερώτηση 3 Σελιδα 89 παράδειγµα 3.2, και 9 παράδειγµα 3.3. εν καταλαβαίνω πως από µια είσοδο 0 µπορούν να προκύψουν έξοδοι µε δυο διαφορετικές τιµές π.χ, 2 ** Αυτό εξηγείται µε την επίδραση θορύβου, αν π.χ το αλφάβητο των συµβόλων είναι κατάλληλου µήκους, τότε από τη επίδραση του θορύβου τα σύµβολα µπορούν να θεωρηθούν ότι µεταπίπτουν σε άλλα σύµβολα που δεν έχουν σχέση µεταξύ τους. π.χ. αν έχουµε 2 εισόδους µε τα σύµβολα που κωδικοποιούνται ως 000, τότε, θεωρώντας ότι το ο bit του κάθε συµβόλου δεν επηρεάζεται, µε επίδραση του θορύβου από το ο σύµβολο λαµβάνουµε τα πιθανά 00 0 ενώ από το 2ο λαµβάνουµε τα 0 00, που µεταξύ τους είναι όλα διαφορετικά. Ερώτηση 4 Επίσης σελίδα 98 δεν καταλαβαίνω των ορισµό των διακριτών καναλιών µε µνήµη. Μπορείτε να κάνετε κάποια ανάλυση η να δώσετε κάποιο παράδειγµα;; ** Σε κανάλια µε µνήµη θεωρούµε ότι τα διαδοχικά σφάλµατα σε ένα κανάλι είναι συσχετισµένα, όπως περίπου θεωρούσαµε στις πηγές Markov ότι συσχετίζονται τα διαδοχικά σύµβολα. είτε στη σελ. 99 το σχήµα 3.7, όπου το ενδεχόµενο ένα κανάλι να προκαλέσει σφάλµα στο µεταδιδόµενο σύµβολο εξαρτάται από το αν προκάλεσε σφάλµα ή όχι στο προηγούµενο σύµβολο. Να δείτε και το πιο σύνθετο µοντέλο στο σχήµα 3.8 όπως και το σχετικό παράδειγµα, πέραν αυτού δεν υπάρχει κάποια σχετική άσκηση διότι η σχετική ενότητα είναι εκτός ύλης. Ερώτηση 5 Σχετικά µε την άσκηση 3: ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.3/Ν.Δημητρίου / Σελίδα 4

15 Στην εκφώνηση αναφέρει να σχηµατιστεί ο άριστος κώδικας για το δεδοµένο αλφάβητο. Πρέπει να επιλέξουµε απο Huffman, Fano, shannon, ή απλως αναφέρουµαι οτι ο Huffman ειναι καλύτερος και δινουµαι το κωδικά σύµφωνα µε αυτό. Επίσης αν χρειάζεται επιλογή, αυτό γίνεται δοκιµάζοντας ξεχωριστά τον καθένα και βλέποντας το αποτέλεσµα? Όταν αναφερόµαστε σε άριστο κώδικα υπονοείται ο Huffman. Μπορείτε όµως να δείτε και οι άλλοι 2 εναλλακτικοί τι αποτέλεσµα θα έχουν, σε κάποιες περιπτώσεις και οι 3 κώδικες οδηγούν σε άριστες λύσεις. Ερώτηση 6 Μοναδικά αποκωδικοποιήσιµος κώδικας είναι αυτός που οι δυνατές ακολουθίες των κωδικών λέξεων είναι διαφορετικές. Όταν εξετάζω κάποια δυνατή ακολουθία πρέπει να εξαντλώ όλα τα ψηφία η µπορώ να αποµονώσω επιλεκτικά κάποια ενδιάµεσα και να ισχυριστώ οτι αφου αυτά σχηµατιζουν καποια αλλη κωδικη λεξη δεν είναι µοναδικά αποκωδικοποιήσιµος κώδικας, και να αγνοησω τα υπόλοιπα ψηφία? Π.χ εστω οτι εχω τον κώδικα 0=Α, 00=Β, =Γ, 0= και εχω την ακολουθία 000 η οποια ειναι προφανως ΑΑ µπορώ να αγνοησω το αρχικο και το τελικο 0 και να πω ότι είναι και Γ?? **Όχι, θα πρέπει να βρείτε ένα αντιπαράδειγµα µε βάση το οποίο διαφορετικές σειρές συµβόλων αντιστοιχούν στην ίδια σειρά bits, χωρίς να παραλείψετε κάποια από αυτά. Για τον κώδικα που αναφέρετε, ο αποκωδικοποιητής λαµβάνει την ακολουθία 000, µε την ανάγνωση του '0' το αντιστοιχίζει στο Α, µε την ανάγνωση του '0' ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.3/Ν.Δημητρίου / Σελίδα 5

16 επίσης κάνει την αντιστοίχιση στο Α και µε το '0' αποφαίνεται για το, συνεπώς δεν υπάρχει θέµα πολλαπλής αποκωδικοποίησης. Γενικά, όταν έχετε τον ίδιο αριθµό bits/σύµβολο, ο µη ιδιάζων κώδικας θα είναι και µοναδικά αποκωδικοποιήσιµος και µη προθεµατικός-άµεσος. Παρακάτω µπορείτε να δείτε λίγο µια σχετική ανάλυση και τα κριτήρια για τη διερεύνηση ενός µοναδικά αποκωδικοποιήσιµου κώδικα. ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.3/Ν.Δημητρίου / Σελίδα 6

18 Ερώτηση 7 Στον πίνακα που µας είχατε κάνει στον πίνακα όπου βάζουµε στην η στήλη π.χ. τα y, y2 κλπ... και στην η γραµµή π.χ. τα x, x2,..., όπου το άθροισµα κάθε γραµµής ισούται µε, σε κάθε κελί βάζουµε την P(xi, yi) ή την P(xi/yi)... Οπότε το άθροισµα κάθε στήλης δίνει το H(X,Y) ή το P(X/Y)??? Προσοχή: Υπάρχει ο πίνακας συνδυασµένης πιθανότητας p(xi,yj) που κάθε στοιχείο του περιέχει την πιθανότητα να συµβεί το xi ΚΑΙ το yj (δείτε π.χ. την άσκηση ΓΕ4/0304/Θ2) και ο πίνακας δεσµευµένης πιθανότητας p(yj/xi) που κάθε στοιχείο του περιέχει την πιθανότητα να συµβεί το yj Ε ΟΜΕΝΟΥ του xi (π.χ. δείτε την άσκηση ΓΕ4/090/Θ). Επίσης, πίνακες δεσµευµένης πιθανότητας έχουµε στην περίπτωση πηγών Markov και στην περίπτωση δυαδικών καναλιών όπου οι πίνακες αυτοί εκφράζουν τις πιθανότητες µετάβασης από µια αρχική κατάσταση (π.χ. αρχικό σύµβολο στην περίπτωση των πηγών Markov ή ψηφίο εισόδου στο δυαδικό κανάλι) σε µια τελική κατάσταση (π.χ. επόµενο σύµβολο στην περίπτωση των πηγών Markov ή ψηφίο εξόδου από το δυαδικό κανάλι). Στην περίπτωση του πίνακα συνδυασµένης πιθανότητας p(xi,yj), το άθροισµα κάθε γραµµής δίνει την αντίστοιχη ακραία πιθανότητα ως προς xi και το άθροισµα κάθε στήλης δίνει την αντίστοιχη ακραία πιθανότητα ως προς yj (υποθέτοντας ότι τα xi συµβολίζουν διαφορετικές γραµµές και τα yj συµβολίζουν διαφορετικές στήλες). Στην περίπτωση του πίνακα δεσµευµένης πιθανότητας, το άθροισµα της κάθε γραµµής ισούται µε διότι αν π.χ. έχουµε 2 πιθανές εξόδους σε ένα κανάλι y,y2 και 2 πιθανές εισόδους x,x2, εφοσον έχουµε ως είσοδο το x θα έχουµε ως µόνες ενδεχόµενες εξόδους τα y ή y2 άρα p(y/x)+p(y2/x)=. Οι ποσότητες πληροφορίας H(X), Η(Υ), Η(X,Y) H(X/Y) προκύπτουν από τις πιθανότητες που περιέχονται στους παραπάνω πίνακες. Αν βέβαια δίνεται ο ενας από τους 2 µπορούν να υπολογιστούν οι υπόλοιπες απαιτούµενες πιθανότητες από τις αντίστοιχες σχέσεις της θεωρίας. π.χ. αν έχετε τις πιθανόητες p(xi,yj) και p(xi) µπορείτε να υπολογίσετε τις πιθανότητες p(yj/xi)=p(xi,yj)/p(xi) κ.ο.κ. ΕΑΠ/ΠΛΗ22/ΑΘΗ.3/Ν.Δημητρίου / Σελίδα 8