ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη
|
|
|
- Τίτος Ρέντης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 14 Μαΐου 2010 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 1/ 41
2 Περιεχόµενα σηµερινού µαθήµατος 1 Το Κανάλι Πολλαπλής Πρόσβασης (Multiple Access Channel - MAC) 2 Μοντέλο και περιοχή χωρητικότητας Σύγκριση µε CDMA, TDMA και FDMA ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 2/ 41
3 Αντιστοιχία µε συγγράµµατα Cover & Thomas: , 15.3 (χωρίς την απόδειξη του Θεωρήµατος Κωδικοποίησης Καναλιού) Gallager: Το ϐιβλίο του Gallager δεν αναφέρεται σε κανάλια πολλών χρηστών. Tse & Viswanath, Fundamentals of Wireless Communication (δωρεάν πρόσβαση στην Ιστοσελίδα του David Tse): 6.1 (για το Γκαουσιανό MAC). El Gamal & Kim, Lecture Notes on Network Information Theory (δω- ϱεάν πρόσβαση στην ιστοσελίδα του Young-Han Kim): Κεφάλαιο 4. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 3/ 41
4 Το Κανάλι Πολλαπλής Πρόσβασης (Multiple Access Channel - MAC) 1 Το Κανάλι Πολλαπλής Πρόσβασης (Multiple Access Channel - MAC) 2 Μοντέλο και περιοχή χωρητικότητας Σύγκριση µε CDMA, TDMA και FDMA ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 4/ 41
5 Κανάλι Πολλαπλής Πρόσβασης (Multiple Access Channel) Πολλοί χρήστες που επιθυµούν να επικοινωνήσουν µε ένα κεντρικό σταθµό. Παράδειγµα: Κινητά τερµατικά προς σταθµό ϐάσης. Το κανάλι πολλών χρηστών που έχει κατανοηθεί καλύτερα. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 5/ 41
6 Κανάλι Πολλαπλής Πρόσβασης (MAC) (2) Εως τώρα, η παράµετρος που επηρέαζε την επικοινωνία ήταν ο ϑόρυβος. Στο MAC, επιπλέον του ϑορύβου, η επικοινωνία επηρεάζεται από παρεµβολές (interference). Πόση πληροφορία µπορούµε να µεταδώσουµε για κάθε χρήστη, και πώς σχετίζονται µεταξύ τους οι χωρητικότητες των χρηστών; ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 6/ 41
7 Κανάλι Πολλαπλής Πρόσβασης (MAC) Ορισµοί Για απλοποίηση, ϑα αναφερθούµε, κατ αρχάς, σε MAC 2 χρηστών. ιακριτό MAC χωρίς µνήµη: Αποτελείται από 3 αλφάβητα X 1, X 2 και Y και πίνακα πιθανοτήτων µετάβασης p(y x 1, x 2 ). Κώδικας ((2 nr1, 2 nr2 ), n) για το MAC: Αποτελείται από δύο σύνολα ακεραίων W 1 = {1, 2,..., 2 nr1 } και W 2 = {1, 2,..., 2 nr2 } (σύνολα µηνυµάτων message sets), δύο συναρτήσεις κωδικοποίησης (encoding functions): X 1 : W 1 X n 1 και X 2 : W 2 X n 2, και µια συνάρτηση αποκωδικοποίησης (decoding function) g : Y n W 1 W 2. Θεωρούµε τέλειο συγχρονισµό µεταξύ των χρηστών. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 7/ 41
8 Μετάδοση στο MAC Ο χρήστης 1 επιλέγει ένα από 2 nr1 µηνύµατα οµοιόµορφα και στέλνει την αντίστοιχη κωδική λέξη στο κανάλι. Οµοίως, ο χρήστης 2 επιλέγει ένα από 2 nr2 µηνύµατα ανεξάρτητα από το χρήστη 1 και εκπέµπει την αντίστοιχη κωδική λέξη. Μέση Πιθανότητα Σφάλµατος: P (n) 1 e = 2 n(r1+r2) Pr{g(Y n ) (w 1, w 2 ) εστάλη το (w 1, w 2 )} (w 1,w 2) W 1 W 2 Ενα Ϲεύγος ϱυθµών µετάδοσης (R 1, R 2 ) είναι εφικτό για το MAC εάν υπάρχει ακολουθία κωδίκων (2 nr1, 2 nr2, n) τέτοια ώστε P (n) e 0. Ορισµός Η περιοχή χωρητικότητας (capacity region) του MAC είναι το κλειστό σύνολο (closure) των εφικτών (R 1, R 2 ). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 8/ 41
9 Η περιοχή χωρητικότητας του MAC είναι κυρτή Εστω R 1 = (R 1,1, R 2,1 ) και R 2 = (R 1,2, R 2,2 ) δύο Ϲεύγη ϱυθµών µετάδοσης που ανήκουν στην περιοχή χωρητικότητας, C, του MAC. Μπορούµε να µεταδώσουµε µε οποιοδήποτε κυρτό συνδυασµό λr 1 + (1 λ)r 2, 0 λ 1, µεταδίδοντας µε R 1 100λ % του χρόνου και µε R 2 100(1 λ) % του χρόνου (timesharing). Εποµένως, η περιοχή χωρητικότητας του MAC (και κάθε καναλιού όπου µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε timesharing) είναι κυρτή (convex). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 9/ 41
10 Περιοχή Χωρητικότητας MAC Θεώρηµα (Cover ): Η χωρητικότητα του MAC (X 1 X 2, p(y x 1, x 2 ), Y) είναι το κλειστό σύνολο (closure) της κυρτής γάστρας (convex hull) όλων των (R 1, R 2 ) που ικανοποιούν τις σχέσεις Περιοχή ϱυθµών (rate region) MAC 2 χρηστών για δεδοµένη p(x 1 )p(x 2 ) R 1 < I(X 1 ; Y X 2 ), R 2 < I(X 2 ; Y X 1 ), R 1 + R 2 < I(X 1, X 2 ; Y ) για κάποια κατανοµή p 1 (x 1 )p 2 (x 2 ) στο σύνολο X 1 X 2. ε ϑα το αποδείξουµε στο µάθηµα. Σηµείωση: Η κατανοµή εισόδου είναι p 1 (x 1 )p 2 (x 2 ) γιατί ϑεωρούµε ότι οι χρήστες δεν µπορούν να συνεργαστούν. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 10/ 41
11 Παράδειγµα Ανεξάρτητα BSC X 1 Y X 2 Μπορούµε να στείλουµε µε R 1 = 1 H(p 1 ) από το 1ο κανάλι, και, ταυτόχρονα, µε ϱυθµό R 2 = 1 H(p 2 ) από το 2ο κανάλι. Τα δύο κανάλια είναι ανεξάρτητα δεν εµφανίζεται παρεµβολή. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 11/ 41
12 Παράδειγµα Ανεξάρτητα BSC Περιοχή Χωρητικότητας R 2 C 2 = -H p 2 C 1 = -H p 1 R 1 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 12/ 41
13 Παράδειγµα υαδικό Πολλαπλασιαστικό Κανάλι Οι X 1 και X 2 παίρνουν τιµές στο σύνολο {0, 1} {0, 1}. Y = X 1 X 2. Οταν X 1 = 1, µπορούµε να στείλουµε R 2 = 1 bit/χρήση καναλιού µε οµοιόµορφη κατανοµή της X 2. R 1 = 0, δεδοµένου ότι η X 1 δεν αλλάζει. Οµοίως, όταν X 2 = 1, µπορούµε να στείλουµε R 1 = 1 bit/χρήση καναλιού µε οµοιόµορφη κατανοµή της X 1. R 2 = 0. Μπορούµε να πετύχουµε οποιοδήποτε Ϲεύγος (λ, 1 λ), 0 λ 1 µε διαµέριση στο χρόνο (timesharing). ηλαδή, ``παγώνουµε το X 2 για 100λ % του χρόνου και µεταδίδουµε µε οµοιόµορφα κατανεµηµένη X 1 (αντίστροφα για το υπόλοιπο 100(1 λ) %). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 13/ 41
14 Παράδειγµα υαδικό Πολλαπλασιαστικό Κανάλι Περιοχή Χωρητικότητας R 2 C 2 = C 1 = R 1 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 14/ 41
15 Παράδειγµα υαδικό MAC ιαγραφής Οι X 1 και X 2 παίρνουν τιµές στο σύνολο {0, 1} {0, 1}. Y = X 1 + X 2. Εάν Y = 1 δε γνωρίζουµε εάν η είσοδος ήταν (X 1, X 2 ) = (1, 0) ή (0, 1). Εάν ϑέσουµε X 1 = 1, µπορούµε να µεταδώσουµε µε R 2 = 1 bit/χρήση καναλιού (µε οµοιόµορφη X 2 ). Εάν ϑέσουµε X 2 = 1, µπορούµε να µεταδώσουµε µε R 1 = 1 bit/χρήση καναλιού (µε οµοιόµορφη X 1 ). Μπορούµε να στείλουµε µε R 1 + R 2 > 1 bit/χρήση καναλιού; ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 15/ 41
16 Παράδειγµα υαδικό MAC ιαγραφής (2) Εστω ότι χρησιµοποιούµε οµοιόµορφη X 1. Εποµένως, R 1 = 1 bit/χρήση καναλιού. Από τη σκοπιά του χρήστη 2 το κανάλι είναι δυαδικό κανάλι διαγραφής µε πιθανότητα διαγραφής p = 1/ Εποµένως, µπορούµε να στείλουµε επιπλέον 1/2 bits του χρήστη 2! ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 16/ 41
17 Παράδειγµα υαδικό MAC ιαγραφής Περιοχή Χωρητικότητας R 2 C 2 = C 1 = R 1 Μπορούµε, επίσης, να επιτύχουµε οποιοδήποτε Ϲεύγος (R 1, R 2 ) = (0.5 + λ, 1 λ), 0 λ 0.5 µε timesharing. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 17/ 41
18 Περιοχή επιτεύξιµων ϱυθµών µετάδοσης (Rate Region) R 2 I X 2 ;Y X 1 I X 2 ;Y I X 1 ;Y I X 1 ;Y X 2 R 1 Θεωρούµε δεδοµένη p(x 1 )p(x 2 ). Η περιοχή εφικτών ϱυθµών µετάδοσης (όχι η περιοχή χωρητικότητας) ϕαίνεται στο Σχήµα. Σηµείο Β: Η X 1 αποτελεί ϑόρυβο για τη µετάδοση της X 2. Ο µέγιστος ϱυθµός για τη µετάδοση της X 2 ισούται µε I(X 2 ; Y ). Στο δέκτη, ανιχνεύεται αρχικά η X 2. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 18/ 41
19 Περιοχή επιτεύξιµων ϱυθµών µετάδοσης (Rate Region) (2) R 2 I X 2 ;Y X 1 I X 2 ;Y I X 1 ;Y I X 1 ;Y X 2 R 1 εδοµένης, τώρα, της τιµής x 2 της X 2, ο δέκτης προχωρά στην αποκωδικοποίηση της X 1. Ο R 1 ισούται µε x 2 p(x 2 )I(X 1 ; Y X 2 = x 2 ) = I(X 1 ; Y X 2 ). Προφανώς, µπορούµε να επιτύχουµε και οποιαδήποτε άλλη τιµή R 2 < I(X 1 ; Y X 2 ). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 19/ 41
20 Περιοχή επιτεύξιµων ϱυθµών µετάδοσης (Rate Region) (3) R 2 I X 2 ;Y X 1 I X 2 ;Y I X 1 ;Y I X 1 ;Y X 2 R 1 Σηµεία C και D: Αντίστοιχα µε τα Α και Β, αλλά µε τους ϱόλους των X 1 και X 2 ανεστραµµένους. Επιπλέον του ϱυθµού µετάδοσης αλλάζει και η σειρά αποκωδικοποίησης στο δέκτη. ηλαδή, για το σηµείο Β αποκωδικοποιείται πρώτα η X 2, ενώ για το σηµείο C αποκωδικοποιείται πρώτα η X 1. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 20/ 41
21 ιαδοχική Αποκωδικοποίηση (Successive Decoding) στο MAC Η ιδέα της διαδοχικής αποκωδικοποίησης (successive decoding ή successive interference cancellation -- SIC) είναι κεντρική στο MAC (καθώς και στο degraded Broadcast Channel, όπως ϑα δούµε στη συνέχεια). Π.χ. για το σηµείο Β. Αποκωδικοποιούµε τη X 2 ϑεωρώντας τη X 1 ως ϑόρυβο. Ανάλογα µε την τιµή της X 2, από τη σκοπιά της X 1 ϐλέπουµε X 2 διαφορετικά κανάλια. Αφού ϐρούµε την τιµή της X 2 επιλέγουµε το (ένα από τα X 2 ) κανάλι που ``βλέπει η X 1 και αποκωδικοποιούµε µε ϐάση αυτό το συγκεκριµένο κανάλι. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 21/ 41
22 ιαδοχική Αποκωδικοποίηση (Successive Decoding) στο MAC (2) Αντίστροφα, για το σηµείο C, αποκωδικοποείται πρώτα η X 1 και η X 2 αποκωδικοποιείται µε ϐάση ένα από X 1 διαφορετικά κανάλια. Στο, η επιλογή καναλιού γίνεται µε αφαίρεση, όπως ϑα δούµε στη συνέχεια. Το τµήµα µεταξύ των Β και C επιτυγχάνεται µε timesharing. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 22/ 41
23 Περιοχή επιτεύξιµων ϱυθµών µετάδοσης (Rate Region) (4) R 2 I X 2 ;Y X 1 I X 2 ;Y I X 1 ;Y I X 1 ;Y X 2 R 1 Το ευθύγραµµο τµήµα BC έχει κλίση 45 o. (Αποδείξτε το ως άσκηση) Αποδεικνύεται, επίσης (δείτε π.χ. Σηµειώσεις El Gamal & Kim) ότι µπορούµε να επιτύχουµε οποιοδήποτε σηµείο της περιοχής επιτεύξιµων ϱυθµών µετάδοσης χωρίς να απαιτείται timesharing εφαρ- µόζοντας από κοινού αποκωδικοποίηση των X 1 και X 2 στο δέκτη (αντί για SIC). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 23/ 41
24 Γενική Μορφή Περιοχής Χωρητικότητας MAC Για να ϐρούµε την περιοχή χωρητικότητας του MAC πρέπει να πάρουµε το κλειστό σύνολο (closure) της ένωσης όλων των πε- ϱιοχών επιτεύξιµων ϱυθµών (για όλες τις p(x 1 )p(x 2 )). Για παράδειγµα, για να µεγιστοποιήσουµε τον R 1, ενδέχεται να πρέπει να ``παγώσουµε τη X 2 σε µια τιµή x 2 για την οποία µεγιστοποιείται η I(X 1 ; Y X 2 = x 2 ) : max R 1 = max p1(x 1)p 2(x 2) I(X 1 ; Y X 2 ) = max p1(x 1)p 2(x 2) x 2 p 2 (x 2 )I(X 1 ; Y X 2 = x 2 ) max p1(x 1) {max x2 I(X 1 ; Y X 2 = x 2 )}. Αν δεν υπάρχει κατανοµή p 2 (x 2 ) µε περισσότερες από µία µη µηδενικές µάζες η οποία µεγιστοποιεί τον R 1, τα σηµεία Α και Β ταυτίζονται. Στο Παράδειγµα 11.2, για να µεγιστοποιήσουµε τον R 1 πρέπει να ``παγώσουµε τη X 2 στο 1 (και αντιστρόφως). Εποµένως, το πεντάγωνο εκφυλίζεται σε τρίγωνο. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 24/ 41
25 Γενική Μορφή Περιοχής Χωρητικότητας MAC (2) Ωστόσο, ενδέχεται να υπάρχει κατανοµή p 2 (x 2 ) µε µη µηδενική εντροπία για την οποία ισχύει ότι max p1(x 1)p 2(x 2) x 2 p 2 (x 2 )I(X 1 ; Y X 2 = x 2 ) = max p1(x 1) {max x2 I(X 1 ; Y X 2 = x 2 )}. Στο Παράδειγµα 11.3, µπορούµε να επιτύχουµε το µέγιστο ϱυθµό R 1 = 1 και, ταυτόχρονα, R 2 = 0.5 bit (µε οµοιόµορφη κατανοµή p 2 ). Παρατηρήστε ότι, ακόµα και αν είχαµε ``παγώσει τη X 2 σε µία σταθερή τιµή, δε ϑα µπορούσαµε να µεταδώσουµε µε R 1 > 1. Παρόλο που στο Παράδειγµα 11.3 η περιοχή επιτεύξιµων ϱυθµών για οµοιόµορφες p 1 και p 2 ταυτίζεται µε την περιοχή χωρητικότητας, στη γενική περίπτωση η χωρητικότητα είναι ένα κυρτό σύνολο που προέρχεται από την ένωση πενταγώνων (ή εκφυλισµένων πενταγώνων). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 25/ 41
26 Γενική Μορφή Περιοχής Χωρητικότητας MAC (3) Οπως ϑα δούµε, µία πολύ σηµαντική ειδική περίπτωση όπου όλα τα σηµεία στο όριο της περιοχής χωρητικότητας επιτυγχάνονται από µία µόνο κατανοµη p 1 (x 1 )p 2 (x 2 ) είναι το. Γενικά, αποδεικνύεται ότι αρκεί timesharing µεταξύ 2 το πολύ κατανοµών p 1 (x 1 )p 2 (x 2 ) για να επιτευχθεί οποιοδήποτε σηµείο της περιοχής χωρητικότητας του MAC 2 χρηστών. Για λεπτοµέρειες, δείτε Σηµειώσεις El Gamal & Kim. Αποδεικνύεται, επίσης, ότι οποιοδήποτε σηµείο της περιοχής χω- ϱητικότητας, C, µπορεί να επιτευχθεί χωρίς timesharing µε χρήση coded time sharing (για λεπτοµέρειες, δείτε Σηµειώσεις El Gamal & Kim). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 26/ 41
27 ιευκρίνιση: 2 είδη timesharing 1 Timesharing µεταξύ ϐιβλίων κωδίκων για δεδοµένη p 1 (x 1 )p 2 (x 2 ) (και, εποµένως, δεδοµένη rate region). Για κάθε ένα από τα δύο σηµεία χρησιµοποιούµε SIC στο δέκτη. Η σειρά SIC αλλάζει όταν αλλάζουµε σηµείο. Μπορούµε να µην κάνουµε timesharing αν χρησιµοποιήσουµε από κοινού (ταυτόχρονη) αποκωδικοποίηση των X 1 και X 2 στο δέκτη. 2 Timesharing µεταξύ Q = 2 διαφορετικών κατανοµών p 1 (x 1 )p 2 (x 2 ) προκειµένου να επιτύχουµε οποιοδήποτε σηµείο της περιοχής χω- ϱητικότητας. Μπορούµε να µην κάνουµε timesharing αν χρησιµοποιήσουµε coded timesharing (δε ϑα επεκταθούµε σε αυτό το µάθηµα). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 27/ 41
28 Γενίκευση MAC για m χρήστες X 1 X 2 p y x 1 x 2 x m Y X m Θεώρηµα (Cover ): Η περιοχή χωρητικότητας του MAC m χρηστών είναι το κλειστό σύνολο (closure) της κυρτής γάστρας (hull) των διανυσµάτων R = (R 1, R 2,..., R m ) που ικανοποιούν τις σχέσεις R(S) I(X(S); Y X(S c )) για όλα τα σύνολα S {1, 2,..., m}, όπου S c το συµπλήρωµα του S και για όλες τις κατανοµές εισόδου (µε ανεξάρτητα X i ). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 28/ 41
29 Μοντέλο και περιοχή χωρητικότητας Σύγκριση µε CDMA, TDMA και FDMA 1 Το Κανάλι Πολλαπλής Πρόσβασης (Multiple Access Channel - MAC) 2 Μοντέλο και περιοχή χωρητικότητας Σύγκριση µε CDMA, TDMA και FDMA ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 29/ 41
30 Μοντέλο και περιοχή χωρητικότητας Σύγκριση µε CDMA, TDMA και FDMA 2 χρηστών W 1 n X 1 P 1 Z n Y n W 1,W 2 W 2 n X 2 P 2 Τη χρονική στιγµή i, ο δέκτης λαµβάνει σήµα Y i = X 1i + X 2i + Z i, όπου ο ϑόρυβος Z είναι i.i.d N (0, N). Επίσης, ο κάθε ποµπός i έχει περιορισµό ισχύος P i. Οι X 1 και X 2 είναι ανεξάρτητες. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 30/ 41
31 Μοντέλο και περιοχή χωρητικότητας Σύγκριση µε CDMA, TDMA και FDMA 2 χρηστών (2) Για την I(X 1 ; Y X 2 ) µπορούµε να γράψουµε I(X 1 ; Y X 2 ) = h(y X 2 ) h(y X 1, X 2 ) (a) γιατί; = h(x 1 + X 2 + Z X 2 ) h(x 1 + X 2 + Z X 1, X 2 ) = h(x 1 + Z X 2 ) h(z X 1, X 2 ) = h(x 1 + Z) h(z) = h(x 1 + Z) 1 2 log(2πe)n (a) 1 2 log(2πe)(p 1 + N) 1 2 log(2πe)n = 1 ( 2 log 1 + P ) 1. N ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 31/ 41
32 Μοντέλο και περιοχή χωρητικότητας Σύγκριση µε CDMA, TDMA και FDMA 2 χρηστών (3) Οµοίως, I(X 2 ; Y X 1 ) ( ) 1 2 log 1 + P2 N. Η X 1 και η X 2 πρέπει να ακολουθούν γκαουσιανή κατανοµή (N (0, P 1 ) και N (0, P 2 ), αντίστοιχα). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 32/ 41
33 Μοντέλο και περιοχή χωρητικότητας Σύγκριση µε CDMA, TDMA και FDMA 2 χρηστών Περιοχή Χωρητικότητας Ορίζουµε τη χωρητικότητα του καναλιού AWGN µε λόγο σήµατος προς ϑόρυβο x ως C(x) 1 log(1 + x). 2 Η περιοχή χωρητικότητας του γκαουσιανού MAC 2 χρηστών δίνεται από τις σχέσεις Χωρητικότητα γκαουσιανού MAC 2 χρηστών R 1 C ( P1 N ), R 2 C ( P2 N ) και R 1 + R 2 C ( ) P1 + P 2 N και επιτυγχάνεται µε X 1 N (0, P 1 ) και X 2 N (0, P 2 ). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 33/ 41
34 Μοντέλο και περιοχή χωρητικότητας Σύγκριση µε CDMA, TDMA και FDMA 2 χρηστών Περιοχή Χωρητικότητας (2) C R 2 P 2 N C P 2 P 1 +N C P 1 P 2 +N C P 1 N R 1 ( P Μπορούµε να επιτύχουµε ϱυθµό µετάδοσης έως και C 1+P 2 ) N, σα να είχαµε, δηλαδή, έναν ποµπό που εκπέµπει µε ισχύ P 1 + P 2. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 34/ 41
35 Μοντέλο και περιοχή χωρητικότητας Σύγκριση µε CDMA, TDMA και FDMA 2 χρηστών Σχόλια Θεωρούµε το σηµείο Β. Ο δέκτης αποκωδικοποιεί πρώτα την πλη- ϱοφορία του ποµπού ( 2, ϑεωρώντας ) τη µετάδοση του ποµπού 1 ως ϑόρυβο: R 2 = C. P 2 P 1+N Στη συνέχεια, ο δέκτης αφαιρεί από το σήµα Y το αποκωδικοποιη- µένο σήµα X 2. Εποµένως, το µόνο άγνωστο σήµα που αποµένει είναι ο ϑόρυβος, και R 1 = C ( P 1 N ). Για το σηµείο C εφαρµόζεται η αντίθετη διαδικασία. ηλαδή, αποκωδικοποίηση του X 1 ϑεωρώντας ότι το X 2 είναι ϑόρυβος, αφαίρεση του X 1 από το Y και αποκωδικοποίηση του X 2 παρουσία µόνο του ϑορύβου. Η διαδικασία αυτή ονοµάζεται διαδοχική αποκωδικοποίηση (successive decoding), διαδοχική απαλοιφή παρεµβολών (successive interference cancellation -- SIC) ή onion peeling. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 35/ 41
36 Μοντέλο και περιοχή χωρητικότητας Σύγκριση µε CDMA, TDMA και FDMA 2 χρηστών Σχόλια (2) Οπως αναφέρθηκε και προηγουµένως, στην ειδική περίπτωση Γκαουσιανού MAC, µια κατανοµή είσόδου (το γινόµενο δύο Γκαουσιανών) αρκεί για να επιτύχουµε οποιοδήποτε σηµείο της περιοχής χωρητικότητας. Ωστόσο, ανάλογα µε το σηµείο, αλλάζουν οι κωδικές λέξεις που πρέπει να στείλουµε. Για παράδειγµα, ένας τρόπος για να µεταδώσουµε µε max(r, R) (στη µέση της ευθείας BC) είναι να µεταδίδουµε το 50% του χρόνου µε ϐιβλίο κωδίκων που επιτυγχάνει το σηµείο Β και το άλλο 50% µε ϐιβλίο κωδίκων που επιτυγχάνει το σηµείο C. Εποµένως, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε καλούς κώδικες που έχουν σχεδιαστεί για το κανάλι AWGN ενός χρήστη και στο Γκαουσιανό MAC. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 36/ 41
37 Μοντέλο και περιοχή χωρητικότητας Σύγκριση µε CDMA, TDMA και FDMA Σύγκριση µε CDMA uplink Uplink: Μετάδοση πληροφορίας από χρήστες σε σταθµό ϐάσης. Εµπίπτει στο µοντέλο του MAC (παρόλο που, στη γενική περίπτωση, είναι MAC µε διαλείψεις (fading)). Στα συµβατικά συστήµατα CDMA ο κάθε χρήστης αποκωδικοποιείται ϑεω- ϱώντας την επικοινωνία των άλλων χρηστών ως παρεµβολή (σηµείο Ε). Με χρήση SIC αυξάνεται ο συνολικός ϱυθµός µετάδοσης και το πρόβληµα near-far παύει να υφίσταται. C R 2 P 2 N C P 2 P 1 +N C P 1 P 2 +N C P 1 N R 1 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 37/ 41
38 Μοντέλο και περιοχή χωρητικότητας Σύγκριση µε CDMA, TDMA και FDMA Σύγκριση µε FDMA uplink Εστω ότι οι δύο χρήστες µοιράζονται το ϕάσµα. Ο χρήστης 1 χρησι- µοποιεί W 1 Hz, ενώ ο χρήστης 2 χρησιµοποιεί W 2 Hz. Το συνολικό ϕάσµα ισούται µε W 1 + W 2 = W Hz. Ο κάθε χρήστης εκπέµπει µόνος του στο κανάλι AWGN που του αναλογεί. Εποµένως, ( R 1 = W 1 log 1 + P ) 1 R 2 = W 2 log ( NW 1 ) ( = (W W 1 ) log P 2 NW 2 ) P 2 N(W W 1 ) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 38/ 41
39 Μοντέλο και περιοχή χωρητικότητας Σύγκριση µε CDMA, TDMA και FDMA Σύγκριση µε FDMA uplink (2) C R 2 P 2 N C P 2 P 1 +N C P 1 P 2 +N C P 1 N R 1 Η καµπύλη εφάπτεται µε το όριο της περιοχής χωρητικότητας σε ένα µόνο σηµείο στο οποίο ισχύει P 1 /W 1 = P 2 /W 2. Εποµένως, στη γενική περίπτωση, η χρήση FDMA στο MAC είναι υποβέλτιστη (suboptimal). ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 39/ 41
40 Μοντέλο και περιοχή χωρητικότητας Σύγκριση µε CDMA, TDMA και FDMA Σύγκριση µε TDMA uplink Ο χρήστης 1 µεταδίδει για α100 % του συνολικού χρόνου. Η µέση ισχύς του κατά τη διάρκεια µετάδοσης είναι P 1 /α (έτσι ώστε η συνολική του ενέργεια στη µονάδα του χρόνου να ισούται µε P 1 ). Ο χρήστης 2 µεταδίδει για (1 α)100 % του συνολικού χρόνου. Η µέση ισχύς του κατά τη διάρκεια µετάδοσης είναι P 2 /(1 α). Εποµένως, ( R 1 = αw log 1 + P ) 1 NαW ( ) P 2 R 2 = (1 α)w log 1 + N(1 α)w Η ίδια περιοχή, όπως και στην περίπτωση FDMA. ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 40/ 41
41 Μοντέλο και περιοχή χωρητικότητας Σύγκριση µε CDMA, TDMA και FDMA MAC: Σχόλια FDMA/TDMA υποβέλτιστες, εκτός εάν P i /W i = c για όλους τους χρήστες i. CDMA υποβέλτιστη, εκτός εάν ο δέκτης χρησιµοποιεί SIC (onion peeling). ( ) i R i i C Pi. Εποµένως, για κάθε επιπρόσθετο χρήστη που N εµφανίζεται στο κανάλι η συνολική χωρητικότητα αυξάνει! Ωστόσο, λόγω της λογαριθµικής ( ) σχέσης µεταξύ P και C, η χωρητικότητα ανά χρήστη 1 m C i Pi 0 για αριθµό χρηστών m. N ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη 41/ 41
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη (2η έκδοση, 20/5/2013)
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη (2η έκδοση, 20/5/2013) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 14 Μαΐου 2013 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 17 Μαΐου 2011 (2η έκδοση, 21/5/2011) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η & 12η διάλεξη
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η & 12η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 13 & 27 Μαΐου 2014 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχ. Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 11η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 25 Απριλίου 2013 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 6η διάλεξη
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 6η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 24 Μαρτίου 2010 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 2 Ιουνίου 2015 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχ. Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 12η
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 4η διάλεξη (4η έκδοση, 11/3/2013)
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 4η διάλεξη (4η έκδοση, 11/3/2013) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 5 Μαρτίου 2013 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη (2η έκδοση, 7/5/2013)
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη (2η έκδοση, 7/5/2013) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 23 Απριλίου 2013 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 10η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 21 Μαΐου 2015 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας
EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια. Παράδοση: Έως 22/6/2015
EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Φυλλάδιο 13 Δ. Τουμπακάρης 30 Μαΐου 2015 EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Διακριτά και Συνεχή Κανάλια Παράδοση:
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 2η διάλεξη (3η έκδοση, 11/3)
ΕΕ728 Προχωρηµένα Θέµατα Θεωρίας Πληροφορίας 2η διάλεξη (3η έκδοση, 11/3) ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 19 Φεβρουαρίου 2013 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Προχωρηµένα
22Α004 - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Τελική Εξέταση
22A004 (eclass EE278) Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Φυλλάδιο 11 Δ. Τουμπακάρης 6 Ιουνίου 2013 22Α004 - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Τελική Εξέταση Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες. 4 ασκήσεις
ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η διάλεξη
ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 15 Μαρτίου 2010 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 4η
Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 9 : Κανάλι-Σύστημα Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Χωρητικότητα Χ ό καναλιού Το Gaussian κανάλι επικοινωνίας Τα διακριτά
EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Ενδεικτικές Λύσεις
EE78 (Α004 - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Φυλλάδιο 15 Δ Τουμπακάρης 3 Ιουνίου 015 EE78 (Α004 - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας 3η σειρά ασκήσεων Ενδεικτικές Λύσεις 1 Υποβέλτιστοι κώδικες
EE728 (22Α004) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Λυμένες ασκήσεις σε Κανάλια
EE78 (Α4) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Φυλλάδιο 4 Δ. Τουμπακάρης 5 Ιουνίου 5 EE78 (Α4) - Προχωρημένα Θέματα Θεωρίας Πληροφορίας Λυμένες ασκήσεις σε Κανάλια. *Τα κανάλια με μνήμη έχουν μεγαλύτερη
Ασκήσεις στο µάθηµα «Επισκόπηση των Τηλεπικοινωνιών»
Ασκήσεις στο µάθηµα «Επισκόπηση των Τηλεπικοινωνιών» Άσκηση 1 Πρόκειται να µεταδώσουµε δυαδικά δεδοµένα σε RF κανάλι µε. Αν ο θόρυβος του καναλιού είναι Gaussian - λευκός µε φασµατική πυκνότητα W, να βρεθεί
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Πληροφορίας: Χωρητικότητα Καναλιού Χωρητικότητα Καναλιού Η θεωρία πληροφορίας περιλαμβάνει μεταξύ άλλων: κωδικοποίηση πηγής κωδικοποίηση καναλιού Κωδικοποίηση πηγής: πόση
Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Μάθηµα 9 ο : Συστήµατα πολλαπλής πρόσβασης
Μάθηµα 9 ο : Συστήµατα πολλαπλής πρόσβασης Στόχοι: Στο τέλος αυτού του µαθήµατος ο σπουδαστής θα γνωρίζει: Τι είναι οι τεχνικές πολλαπλής πρόσβασης και ποια η ανάγκη χρήσης τους στις δορυφορικές επικοινωνίες
Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής
Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Εργαστήριο Επεξεργασίας Σημάτων και Τηλεπικοινωνιών Ασύρματες και Κινητές Επικοινωνίες Συστήματα πολλαπλών χρηστών και πρόσβαση στο ασύρματο κανάλι Τι θα δούμε στο
, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.
Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι
Κεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης
Κεφάλαιο 1 Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις του.
Παράμετροι σχεδίασης παλμών (Μορφοποίηση παλμών)
Παράμετροι σχεδίασης παλμών (Μορφοποίηση παλμών) Κύριοι παράμετροι στη σχεδίαση παλμών είναι (στο πεδίο συχνοτήτων): Η Συχνότητα του 1ου μηδενισμού (θέλουμε μικρό BW). H ελάχιστη απόσβεση των πλαγίων λοβών
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΠΛ 4: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ Θεωρητικές Ασκήσεις (# ): ειγµατοληψία, κβαντοποίηση και συµπίεση σηµάτων. Στην τηλεφωνία θεωρείται ότι το ουσιαστικό περιεχόµενο της
Εργαστήριο 8: Τεχνικές πολλαπλής πρόσβασης στα Δίκτυα Κινητών Επικοινωνιών
Εργαστήριο 8: Τεχνικές πολλαπλής πρόσβασης στα Δίκτυα Κινητών Επικοινωνιών Σε ένα σύστημα τηλεπικοινωνιών πολλών χρηστών, όπου περισσότεροι από ένας χρήστες στέλνουν πληροφορίες μέσω ενός κοινού καναλιού,
Προχωρημένα Θέματα Ασυρμάτων Επικοινωνιών (3) Αγγελική Αλεξίου
Προχωρημένα Θέματα Ασυρμάτων Επικοινωνιών (3) Αγγελική Αλεξίου alexiou@unipi.gr 1 Capacity (Χωρητικότητα) 2 Θεωρία πληροφορίας Μέχρι τώρα εξετάζαμε μόνο συγκεκριμένα σχήματα επικοινωνίας. Η θεωρία πληροφορίας
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Πληροφορίας: Κωδικοποίηση Πηγής Ψηφιακή Μετάδοση Υπάρχουν ιδιαίτερα εξελιγμένες τεχνικές αναλογικής μετάδοσης (που ακόμη χρησιμοποιούνται σε ορισμένες εφαρμογές) Επίσης,
Περιεχόµενα διαλέξεων 2ης εβδοµάδας
Εισαγωγή οµή και πόροι τηλεπικοινωνιακού συστήµατος Σήµατα Περιεχόµενα διαλέξεων 1ης εβδοµάδας Εισαγωγή Η έννοια της επικοινωνιας Ιστορική αναδροµή οµή και πόροι τηλεπικοινωνιακού συστήµατος οµή τηλεπικοινωνιακού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΕ 10 Δορυφορικές Επικοινωνίες Θερινό εξάμηνο 2008 Διάλεξη 5 η Επίκουρος Καθηγητής Νικόλαος Χ. Σαγιάς Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst207
Δίαυλος Πληροφορίας. Η λειτουργία του περιγράφεται από:
Δίαυλος Πληροφορίας Η λειτουργία του περιγράφεται από: Πίνακας Διαύλου (μαθηματική περιγραφή) Διάγραμμα Διαύλου (παραστατικός τρόπος περιγραφής της λειτουργίας) Πίνακας Διαύλου Χρησιμοποιούμε τις υπό συνθήκη
Επιδόσεις της σύνδεσης για κάλυψη µε κεραία πολλαπλής δέσµης σε σχέση µε κάλυψη µε κεραία απλής δέσµης
Επιδόσεις της σύνδεσης για κάλυψη µε κεραία πολλαπλής δέσµης σε σχέση µε κάλυψη µε κεραία απλής δέσµης Η συνολική ποιότητα της σύνδεσης µέσω ραδιοσυχνοτήτων εξαρτάται από την 9000 απολαβή της κεραίας του
ιαφορική εντροπία Σεραφείµ Καραµπογιάς
ιαφορική εντροπία Σεραφείµ Καραµπογιάς Για πηγές διακριτού χρόνου µε συνεχές αλφάβητο, των οποίων οι έξοδοι είναι πραγµατικοί αριθµοί, ορίζεται µια άλλη ποσότητα που µοιάζει µε την εντροπία και καλείται
Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Πληροφορία Μέτρο πληροφορίας Μέση πληροφορία ή Εντροπία Από κοινού εντροπία
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Κ 17 Επικοινωνίες ΙΙ Χειμερινό Εξάμηνο Διάλεξη 3 η Νικόλαος Χ. Σαγιάς Επίκουρος Καθηγητής Webpage: http://eclass.uop.gr/courses/tst15
Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Συστήματα Επικοινωνιών
Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 5: Μαθιόπουλος Παναγιώτης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιγραφή ενότητας Πλεονεκτήματα-Μειονεκτήματα ψηφιακών επικοινωνιών, Κριτήρια Αξιολόγησης
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.
Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
1 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. / 2. Οι όροι Eb. και Ec
Τµήµα Μηχανικών Υπολογιστών, Τηλεπικοινωνιών και ικτύων ΗΥ 44: Ασύρµατες Επικοινωνίες Εαρινό Εξάµηνο -3 ιδάσκων: Λέανδρος Τασιούλας η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Θεωρήστε ένα κυψελωτό σύστηµα, στο οποίο ισχύει το
p(x, y) = 1 (x + y) = 3x + 6, x = 1, 2 (x + y) = 3 + 2y, y = 1, 2, 3 p(1, 1) = = 2 21 p X (1) p Y (1) = = 5 49
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 206-207 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Από κοινού συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη
Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους
Μάθηµα 12 ο : Πολλαπλή πρόσβαση µε διαίρεση κώδικα (CDMA, code division multiple access)
Μάθηµα 2 ο : Πολλαπλή πρόσβαση µε διαίρεση κώδικα (CDMA, code division multiple access) Στόχοι: Στο τέλος αυτού του µαθήµατος ο σπουδαστής θα γνωρίζει: Τa λειτουργικά χαρακτηριστικά της τεχνικής πολλαπλής
Κεφάλαιο 6 Παράγωγος
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ 5. Εισαγωγή Ο σκοπός κάθε συστήματος τηλεπικοινωνιών είναι η μεταφορά πληροφορίας από ένα σημείο (πηγή) σ ένα άλλο (δέκτης). Συνεπώς, κάθε μελέτη ενός τέτοιου συστήματος
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ:
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Ιανουάριος-Φεβρουάριος 7 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυχία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε
Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ
Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ Διάλεξη 11: Κωδικοποίηση Πηγής Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα 1. Αλγόριθμοι κωδικοποίησης πηγής Αλγόριθμος Fano Αλγόριθμος Shannon Αλγόριθμος Huffman
Ψηφιακές Επικοινωνίες
Ψηφιακές Επικοινωνίες Ενότητα 2: Παναγιώτης Μαθιόπουλος Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή (1) Οι Ψηφιακές Επικοινωνίες (Digital Communications) καλύπτουν σήμερα το
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ. Εργαστήριο 8 ο. Αποδιαμόρφωση PAM-PPM με προσαρμοσμένα φίλτρα
Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Εργαστήριο 8 ο Αποδιαμόρφωση PAM-PPM με προσαρμοσμένα φίλτρα Βασική Θεωρία Σε ένα σύστημα μετάδοσης
Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 5 : Θόρυβος Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Είδη θορύβου Περιγραφή θορύβου Θεώρημα Shannon Hartley Απόδοση ισχύος και εύρους
Θέματα Συστημάτων Πολυμέσων
Θέματα Συστημάτων Πολυμέσων Ενότητα # 6: Στοιχεία Θεωρίας Πληροφορίας Διδάσκων: Γεώργιος K. Πολύζος Τμήμα: Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Επιστήμη των Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ
Τηλεπικοινωνιακά Συστήματα ΙΙ Διάλεξη 1: Χωρητικότητα Καναλιών Το θεώρημα Shannon - Hartley Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ατζέντα 1. Δυαδική σηματοδοσία 2. Μορφές δυαδικής σηματοδοσίας 3.
1 Το ϑεώρηµα του Rademacher
Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.
ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ
ΕΙΣ. ΣΥΣΤ. ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ 011-1 16/1/011 9:45:1 µµ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΑΝΑΛΙΩΝ & ΟΡΙΑ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΑΥΤΩΝ ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΥΡΟΣ ΖΩΝΗΣ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΒΙΒΑΣΗΣ ΙΑΚΡΙΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Η ΣΧΕΣΗ ΜΕΤΑΞΥ ΕΥΡΟΥΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 2 : Πληροφορία και Εντροπία Διάλεξη: Κώστας Μαλιάτσος Χρήστος Ξενάκης, Κώστας Μαλιάτσος Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Πιθανότητες Πληροφορία Μέτρο
Μοντέλο Επικοινωνίας Δεδομένων. Επικοινωνίες Δεδομένων Μάθημα 6 ο
Μοντέλο Επικοινωνίας Δεδομένων Επικοινωνίες Δεδομένων Μάθημα 6 ο Εισαγωγή Με τη βοήθεια επικοινωνιακού σήματος, κάθε μορφή πληροφορίας (κείμενο, μορφή, εικόνα) είναι δυνατόν να μεταδοθεί σε απόσταση. Ανάλογα
Γενική Ισορροπία-Ευηµερία. 2ο Θεµελιώδες Θεώρηµα των Οικονοµικών της ευηµερίας. Notes. Notes. Notes. Notes. Κώστας Ρουµανιάς.
Γενική Ισορροπία-Ευηµερία Κώστας Ρουµανιάς Ο.Π.Α. Τµήµα. Ε. Ο. Σ. 19 Απριλίου 2013 Κώστας Ρουµανιάς (.Ε.Ο.Σ.) Γενική Ισορροπία-Ευηµερία 19 Απριλίου 2013 1 / 20 Το πρώτο Θ.Θ.Ο.Ε. µας λέει ότι κάθε Βαλρασιανή
ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΚΑΙ ΑΠΟ ΟΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ
ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ ΚΑΙ ΑΠΟ ΟΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εξετάζονται οι βασικοί συµβιβασµοί (δυνατότητες ανταλλαγής) µεταξύ των εξής σχεδιαστικών παραµέτρων ψηφιακών τηλεπικοινωνιακών συστηµάτων: Εύρους
ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη
ΕΕ725 Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η διάλεξη ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Τµήµα ΗΜ&ΤΥ, Πανεπιστήµιο Πατρών 23 Μαρτίου 2010 ηµήτρης-αλέξανδρος Τουµπακάρης Ειδικά Θέµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών 5η
3 Αναδροµή και Επαγωγή
3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα
Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται
Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Η ασάφεια και τα Ασαφή Σύνολα ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η έννοια του ασαφούς συνόλου εισήχθη από τον Zadeh το 1965 και δηµιούργησε πραγµατική
Κεφάλαιο 2 Πληροφορία και εντροπία
Κεφάλαιο 2 Πληροφορία και εντροπία Άσκηση. Έστω αλφάβητο Α={0,} και δύο πηγές p και q. Έστω οτι p(0)=-r, p()=r, q(0)=-s και q()=s. Να υπολογιστούν οι σχετικές εντροπίες Η(Α,p/q) και Η(Α,q/p). Να γίνει
11 Το ολοκλήρωµα Riemann
Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την
Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων:
Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f(n) είναι O( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C και n
Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος
Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων
Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων Τα σύγχρονα συστήµατα επικοινωνίας σε πολύ µεγάλο ποσοστό διαχειρίζονται σήµατα ψηφιακής µορφής, δηλαδή, σήµατα που δηµιουργούνται από ακολουθίες δυαδικών ψηφίων. Τα
Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Κινητές επικοινωνίες. Κεφάλαιο 6 Τεχνικές πoλυπλεξίας - CDMA
Κινητές επικοινωνίες Κεφάλαιο 6 Τεχνικές πoλυπλεξίας - CDMA 1 Πολυπλεξία Η πολυπλεξία επιτρέπει την παράλληλη μετάδοση δεδομένων από διαφορετικές πηγές χωρίς αλληλοπαρεμβολές. Τρία βασικά είδη TDM/TDMA
Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων
Περιεχόμενα 1 Κωδικοποίησ η Πηγής 2 Χωρητικότητα Διακριτών Καναλιών 2 / 21
Θεωρία Πληροφορίας και Στοιχεία Κωδίκων Κωδικοποίησ η Πηγής και Χωρητικότητα Διακριτών Καναλιών Διδάσ κων: Καλουπτσ ίδης Νικόλαος Επιμέλεια: Κατσ άνος Κωνσ ταντίνος Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι
Συστήματα Επικοινωνιών ΙI
+ Διδάσκων: Δρ. Κ. Δεμέστιχας e-mail: cdemestichas@uowm.gr Συστήματα Επικοινωνιών ΙI Ψηφιακή μετάδοση στη βασική ζώνη + Ιστοσελίδα nιστοσελίδα του μαθήματος: n https://eclass.uowm.gr/courses/icte302/ +
A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ
A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή
Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University
( ) log 2 = E. Σεραφείµ Καραµπογιάς
Παρατηρούµε ότι ο ορισµός της Η βασίζεται στη χρονική µέση τιµή. Για να ισχύει ο ορισµός αυτός και για µέση τιµή συνόλου πρέπει η πηγή να είναι εργοδική, δηλαδή H ( X) ( ) = E log 2 p k Η εντροπία µιας
= 5 cos(2π500t π/2) + 9 cos(2π900t + π/3) cos(2π1400t) (9) H(f) = 4.5, αλλού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-15: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ιάρκεια : 3 ώρες Ρήτρα τελικού : 4.5/10.0 Θέµα 1ο - 5
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ
Σχολή Θετικών Επιστημών Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Τμήμα Επιστήμης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ & ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ ΙI Εργαστήριο 8 ο : Προσαρμοσμένα Φίλτρα Βασική
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ. Κεφάλαιο 3 : Πηγές Πληροφορίας Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 3 : Πηγές Πληροφορίας Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Διακριτές Πηγές Πληροφορίας χωρίς μνήμη Ποσότητα πληροφορίας της πηγής Κωδικοποίηση
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΛΟΓΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #6 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1. Το προβληµα του διακριτου λογαριθµου Στο µάθηµα αυτό ϑα δούµε κάποιους αλγόριθµους για υπολογισµό διακριτών λογάριθµων. Θυµίζουµε ότι στο
X(t) = A cos(2πf c t + Θ) (1) 0, αλλού. 2 cos(2πf cτ) (9)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 05-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Τυχαίες ιαδικασίες Ασκηση. Εστω
Ατοµική Θεωρία Ζήτησης
Κεφάλαιο 1 Ατοµική Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις
Να χαρακτηρίσετε ως σωστές ή λανθασµένες τις επόµενες προτάσεις: Α3. Τα ελεύθερα αγαθά αποτελούν αντικείµενο µελέτης της Οικονοµικής Επιστήµης.
ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΕΩΝ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 8 (για καλά διαβασµένους) ΟΜΑ Α Α Να απαντήσετε στις επόµενες ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Α1. Όταν η ζήτηση αποδίδεται γραφικά
Σ ή. : υαδικά. Ε ό. ή Ενότητα
1η Θεµατική Θ ή Ενότητα Ε ό : υαδικά δ ά Συστήµατα Σ ή Μονάδα Ελέγχου Ψηφιακοί Υπολογιστές Αριθµητική Μονάδα Κρυφή Μνήµη Μονάδα Μνήµης ιαχείριση Μονάδων Ι/Ο ίσκοι Οθόνες ικτυακές Μονάδες Πληκτρολόγιο,
Μετάδοση πληροφορίας - Διαμόρφωση
Μετάδοση πληροφορίας - Διαμόρφωση MYE006: ΑΣΥΡΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΑ Ευάγγελος Παπαπέτρου ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ. Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Διάρθρωση μαθήματος Μετάδοση Βασικές έννοιες Διαμόρφωση ορισμός είδη
x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.
Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε
Περίληψη Προηγούμενου Μαθήματος Κανάλια επικοινωνίας με θόρυβο και η χωρητικότητά τους
ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Γ Κοντογιάννης Πέμπτη Μαΐου 7 Φυλλάδιο #3 Πρίληψη Προηγούμνου Μαθήματος Κανάλια πικοινωνίας μ θόρυβο και η χωρητικότητά τους Πώς πριγράφουμ ένα κανάλι πικοινωνίας; Τι θα πι «θόρυβος»;
Μετάδοση πληροφορίας - Διαμόρφωση
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧ. Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μετάδοση πληροφορίας - Διαμόρφωση MYE006-ΠΛΕ065: ΑΣΥΡΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΑ Ευάγγελος Παπαπέτρου Διάρθρωση μαθήματος Βασικές έννοιες μετάδοσης Διαμόρφωση ορισμός
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html ευτέρα 30 Μαρτίου 2015 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν όλοι
Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων
Στροβιλισµός πεδίου δυνάµεων Θεωρείστε ένα απειροστό απλό χωρίο στο χώρο τόσο µικρό ώστε να µπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται σε ένα επίπεδο Έστω ότι το χωρίο αυτό περικλείει εµβαδόν µέτρου Το έργο που
Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων
Μεταπτυχιακό Υπολογιστικής Φυσικής Εργασία στο µάθηµα Ανάλυση εδοµένων ηµήτρης Κουγιουµτζής E-mail: dkugiu@auth.gr 30 Ιανουαρίου 2018 Οδηγίες : Σχετικά µε την παράδοση της εργασίας ϑα πρέπει : Το κείµενο
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης
Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Ρυθμού Παραμόρφωσης Θεωρία Ρυθμού-Παραμόρφωσης Θεώρημα Κωδικοποίησης Πηγής: αν έχω αρκετά μεγάλο μπλοκ δεδομένων, μπορώ να φτάσω κοντά στην εντροπία Πιθανά Προβλήματα: >
( y) ( x) ( 0) ( ) ( 0) ( y) ( ) ( ) ( ) Παραδείγµατα και εφαρµογές. 1)Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα 1
76 Παραδείγµατα και εφαρµογές )Έστω D απλά συνεκτικός τόπος στο R που φράσσεται από την ( κατά τµήµατα C ) καµπύλη Αποδείξτε ότι το εµβαδόν Α ( D) του D δίνεται από τους τύπους Α D = d = d Απόδειξη (Ι)