Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi"

Transcript

1 Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. idrocarburi An universitar Lector dr. Adriana Urdă Tema 3. Tautomerie. Conformație. Izomerie geometrică. Convenția Cahn Ingold Prelog Obiectivele temei: În acest curs sunt discutate câteva din formele de izomerie ale compușilor organici: tautomeria (în special cea ceto-enolică), izomeria de conformație a alcanilor și cicloalcanilor, dar și izomeria geometrică (cis-trans). Aceste noțiuni sunt importante pentru înțelegerea structurii spațiale a diferiților izomeri, structură care este esențială pentru înțelegerea comportamentului chimic al multor specii organice. Cuprins 1. Tautomerie 2. Izomerie de conformație. Conformeri 3. Izomerie geometrică (izomerie cis-trans) 4. Convenția Cahn Ingold Prelog 1. Tautomerie Două structuri izomere care diferă suficient de mult prin pozițiile relative ale atomilor lor nu sunt forme de rezonanță, ci de fapt sunt compuși izomeri diferiți, numiți tautomeri [endrickson, p. 188]. În majoritatea cazurilor ei au energii asemănătoare și se pot interconverti prin deplasările corespunzătoare de atomi. Această interconvertire este o reacție chimică (transformare tautomeră sau tautomerie) și nu o descriere a rezonanței, și se notează simbolic cu o săgeată dublă de echilibru ( ). Tautomeria implică întotdeauna formarea și ruperea legăturilor simple (σ) în cursul acestor transformări. Cel mai întâlnit tip de tautomerie este tautomeria protonului (denumită și tautomerie prototropică), ce se caracterizează prin eliminarea unui proton dintr-o moleculă și reatașarea lui (sau a altui proton) la un atom diferit din moleculă. Reacția este considerată tautomerie doar dacă protonul este deplasat ușor și rapid, ca în tautomerii având protonul legat de oxigen sau azot. Ex: tautomeria ceto-enolică, ce poate fi catalizată de un acid sau de o bază [McMurry, p. 843]. Intermediarul în cataliza acidă este un cation cu două forme de rezonanță, care poate pierde protonul legat de carbonul din poziția α față de gruparea carbonil. În transformarea catalizată de baze, intermediarul este un anion enolat, care se obține deoarece hidrogenii din poziția α față de gruparea carbonil au un caracter slab acid. Caracterul acid este dat de faptul că ionul enolat este stabilizat prin rezonanță. Protonarea anionului la oxigen conduce la forma enolică. Această tautomerie are o importanță deosebită în reacțiile organice. Cel mai simplu caz de tautomerie ceto-enolică este cel al alcoolului vinilic cu acetaldehida, cu echilibrul complet deplasat spre acetaldehidă: C 2 = C O C 3 C = O

2 Stabilitățile relative sau energiile tautomerilor pot fi calculate aproximativ din energiile acelor legături care suferă modificări în cursul transformării. Astfel, pentru cetonă vom avea suma energiilor legăturilor C = O (- 179 kcal mol -1 ), C C (- 83 kcal mol -1 ) și C (- 99 kcal mol -1 ), egală cu kcal mol -1. În același timp, pentru enol vom avea suma energiilor legăturilor C O (- 86 kcal mol -1 ), C = C (-146 kcal mol -1 ) și O (- 111 kcal mol -1 ), sumă egală cu kcal mol -1. Constatăm că cetona este mai stabilă cu - 18 kcal mol -1 față de enol și, de fapt, enolii simpli nu au fost izolați și se cunosc doar ca intermediari de reacție. Forma cetonică Forma cetonică Ion enolat Forma enolică Tautomeria ceto-enolică în cataliză acidă (stânga) sau bazică (dreapta). Forma enolică Atunci când dubla legătură a enolului este conjugată și stabilizată prin rezonanță, acesta poate deveni mai stabil decât cetona corespunzătoare: fenolul este un exemplu pentru care nu se cunoaște tautomerul cetonic posibil: O O În acest caz, suma energiilor pentru forma cetonică este (- 361 kcal mol -1 5 kcal mol -1 pentru energia de rezonanță) = kcal mol -1, față de (- 343 kcal mol kcal mol -1 pentru energia de rezonanță) = kcal mol -1 pentru forma fenolică. Diferența de energie este de -13 kcal mol -1 în favoarea formei fenolice. Dacă se includ într-un ciclu benzenic mai mulți enoli, rezonanța benzenului nu mai poate depăși diferența de energie. Astfel, rezorcinolul, deși cu caracter fenolic pronunțat, manifestă un caracter mai cetonic decât fenolul, iar floroglucinolul este chiar la limită și, în unele reacții, se comportă ca o tricetonă: 2

3 O O O O O Resorcinol (resorcină) O O O O Floroglucinol (floroglucină) 2. Izomerie de conformație. Conformeri. Stereochimia se ocupă cu modul de aranjare al atomilor unei molecule în spațiul tridimensional, deci cu structura spațială a moleculelor [Avram, p. 133]. Izomerii sterici sau stereoizomerii sunt acei izomeri ai compușilor chimici care diferă între ei prin modul diferit de orientare al atomilor moleculei în spațiu. Structura tridimensională exactă a unei molecule este deseori esențială pentru proprietățile sale și comportamentul ei biologic [McMurry, p. 93]. Aranjamentele spațiale diferite ale atomilor, rezultate din rotirea în jurul legăturii simple σ, se numesc conformații, iar moleculele care prezintă aceste aranjamente se numesc izomeri de conformație sau conformeri. Spre deosebire de izomerii de constituție (de catenă), conformerii nu pot fi izolați în cele mai multe dintre cazuri, datorită interconversiei foarte rapide. Așa cum am văzut în capitolul despre hibridizare, cele patru valențe ale carbonului hibridizat sp 3 sunt identice și îndreptate spre cele patru colțuri ale unui tetraedru regulat, al cărui centru este ocupat de atomul de carbon. De asemenea, am văzut că doi atomi legați între ei printr-o legătură simplă se rotesc liber, împreună cu toți substituenții lor, în jurul legăturii comune: Dacă nu ar avea loc o astfel de rotație liberă, ar trebui ca numărul izomerilor sterici să fie mult mai mare decât este în realitate [Nenițescu, p. 18]. Totuși, în timpul rotației în jurul unei legături, molecula trece prin unele stări mai sărace în energie, deci mai stabile, și altele mai puțin stabile. Rotația grupelor de atomi în jurul legăturilor simple nu este niciodată perfect liberă; este vorba mai curând de o rotație restrânsă. În cursul unei rotații complete, o moleculă de tipul etanului poate adopta o infinitate de conformații, dintre care două se disting prin pozițiile extreme, intercalate, respectiv eclipsate ale atomilor de hidrogen [McMurry, p. 93]: Rotație Conformație intercalată Conformație eclipsată În figurile de mai sus, imaginile celor două conformații se numesc formule de proiecție axială (sau capră, deoarece se aseamănă cu capra de tăiat lemne). Legătura C C este prezentată oblic, iar orientarea spațială este indicată prin prezentarea tuturor legăturilor C. Un alt tip de 3

4 Energie (kj/mol) reprezentare sunt proiecțiile Newman, care se deduc din cele de proiecție axială, și în care legătura C C este privită de la unul dintre capete. Cei doi atomi de carbon sunt figurați ca un cerc, legăturile C ale atomului din față se scriu în fața cercului, iar cele ale atomului din spate cu linii punctate sau care se opresc la circumferința cercului [McMurry, p. 93]: Atomul de carbon din spate Atomul de carbon din față Conformerul intercalat este mai stabil, datorită respingerilor dintre atomii de hidrogen, dar și între electronii legăturilor C [Nenițescu, p. 18]. Numai circa 1% din moleculele de etan au, la temperatura camerei, suficientă energie pentru a trece dintr-o poziție intercalată în una vecină (tot intercalată), printr-o rotație de 120. Fiecare moleculă suferă un număr mare de astfel de rotații într-o secundă, în funcție de temperatură. În cursul unei rotații complete (360 ), molecula etanului adoptă de trei ori o conformație mai stabilă, intercalată, și de trei ori o conformație mai instabilă, eclipsată. Unghi de rotație (grade) Fig. 1. Variația de energie pentru rotația moleculei etanului în jurul legăturii C C [ consultat în ] Problema rotației libere în jurul legăturilor simple devine mai complexă atunci când se studiază structura alcanilor mai mari [McMurry, p. 95], deoarece nu toate conformațiile intercalate au aceeași energie. În butan, de ex., conformația cu energia cea mai scăzută ce se obține prin rotația în jurul legăturii C2 C3 este cea în care cele două grupe metil sunt în poziția cea mai îndepărtată una de cealaltă (denumită anti-intercalat). C 3 C 3 C 3 C 3 Conformație anti-intercalată Conformație anti-eclipsată 4

5 Energie Prin rotirea cu 60 a carbonului din spate (împreună cu toți substituenții săi) se obține o conformație în care există două interacțiuni de eclipsare C 3 și una, conformație denumită anti-eclipsat. Printr-o nouă rotație cu 60 se obține o conformație mai săracă în energie decât cea antieclipsată, dar cu energie mai mare decât cea anti-intercalată. Această conformație se numește sin-intercalată (în limba engleză este denumită gauche) [McMurry, p. 95]. Nivelul mai ridicat de energie decât cel al conformerului anti-intercalat este datorat tensiunilor (împiedicărilor) sterice (interacțiuni repulsive care apar atunci când atomii sunt forțați să se apropie prea mult în spațiu). La o nouă rotație cu 60 se obține o conformație sin-eclipsată, în care există o interacțiune de eclipsare C 3 C 3 și două interacțiuni de eclipsare, ceea ce face ca energia acestui conformer să fie maximă (este cel mai puțin stabil). C 3 C 3 C 3 C 3 Conformație sin-intercalată Conformație sin-eclipsată Continuarea rotației conduce la conformații similare cu cele discutate: o conformație sinintercalată, apoi una anti-eclipsată și, la încheierea rotației (360 ), conformația anti-intercalată. Diagrama de variație a energiei pentru conformațiile butanului este prezentată în figura Fig. 2.Variația de energie pentru rotația moleculei butanului în jurul legăturii C2 C3 [McMurry, p. 97]. Aceleași principii se aplică tuturor alcanilor cu molecule mai mari. Conformația cea mai favorabilă este, pentru orice alcan, cea în care legăturile C C sunt în poziție anti-intercalată. Cu toate acestea, trebuie subliniat faptul că la temperatura camerei rotațiile în jurul legăturilor σ apar 5

6 atât de rapid încât există un echilibru între toți conformerii. Dacă molecula nu ar putea trece ușor dintr-o structură în alta, s-ar putea izola doi izomeri ai n-butanului. Totuși, nu au fost niciodată izolați izomerii unui compus saturat în care izomeria să se datoreze exclusiv împiedicării rotației în jurul legăturilor simple, datorită cantității mici de energie necesară rotației libere. La un anumit moment dat, însă, conformația mai stabilă este adoptată de un număr mai mare de molecule. Structura generalizată a unui alcan este prezentată în figura 3. Fig. 3. Cea mai stabilă conformație pentru un alcan este cea cu toate legăturile C C poziționate anti-intercalat [McMurry, p. 98]. În cazul cicloalcanilor, pe lângă tensionarea moleculelor produsă de eclipsarea legăturilor și cea datorată împiedicărilor sterice, apare o nouă sursă de tensionare, și anume cea datorată modificării mărimii unghiurilor de la valoarea normală de 109º28', în special pentru ciclurile mici și medii. Ciclopropanul este cicloalcanul cel mai tensionat, în special datorită mărimii unghiurilor și datorită faptului că toate legăturile sunt în conformație eclipsată [McMurry, p. 115]. Pentru a micșora valoarea tensiunii induse de unghiurile care nu pot ajunge la valoarea de 109º28', legăturile din ciclopropan sunt îndoite (orbitalii hibrizi sp 3 se suprapun sub un unghi, nu de-a lungul unei axe). Acest fapt explică și reactivitatea mai mare a ciclopropanului, deoarece legăturile C C sunt mai slabe (au energie mai mică) datorită suprapunerii parțiale a orbitalilor în legăturile îndoite. Fig. 4. Legătură C C tipică într-un alcan în comparație cu legătura îndoită din ciclopropan [McMurry, p. 115]. Ciclobutanul are o tensiune mai mică a ciclului în comparație cu ciclopropanul datorită unghiurilor sale, dar are mai mulți atomi de hidrogen și, deci, o tensiune mai mare datorată eclipsării. Ca urmare, tensiunea totală în primii doi cicloalcani este aproape egală [McMurry, p. 115]. Ciclobutanul nu este plat, ci ușor îndoit, astfel încât legăturile C C să nu fie în conformație exact eclipsată: 6

7 Conformația nu este exact eclipsată Conformația nu este exact eclipsată Fig. 5. Conformația ușor îndoită a ciclobutanului [McMurry, p. 116]. Ciclopentanul este un compus stabil, ușor de obținut, și s-a crezut că este o moleculă plană stabilă, deoarece unghiurile interne dintr-un pentagon regulat sunt de 108, o valoare foarte apropiată de unghiul unui tetraedru [endrickson, p. 218]. Totuși, ciclopentanul plan nu reprezintă conformația cea mai stabilă a moleculei, care ar implica un aranjament eclipsat al tuturor legăturilor din ciclu. Pentru a minimiza tensiunea, molecula de ciclopentan se deformează de la o conformație plană la una ușor pliată (plic), în care unghiurile de valență sunt mai tensionate (aprox. 105 ), dar numai o singură legătură mai rămâne eclipsată (cea opusă atomului de carbon ieșit din plan) și tensiunea globală este mai mică decât în forma plană. Fig. 6. Conformația ciclopentanului [McMurry, p. 116]. O mișcare de vibrație cu energie mică deplasează partea distorsionată sau pliată în jurul inelului ciclopentanic. Derivații ciclopentanului pot menține o distorsiune permanentă, astfel încât atomul de carbon care are un substituent voluminos este permanent deplasat față de planul celorlalți patru atomi de carbon. Rotație în sus Rotație în jos În cazul ciclohexanului se poate realiza o conformație în care toate unghiurile sunt tetraedrice și toate cele șase legături în conformație intercalată [endrickson, p. 219]. Deoarece acest ciclu nu prezintă o împiedicare sterică internă între atomii fără legături directe, el este lipsit de tensiune, spre deosebire de toate celelalte cicluri până la aprox. 14 atomi de carbon. Această conformație poartă numele de conformație scaun. Sunt posibile și alte conformații, de ex. cea baie, dar aceasta este mai puțin stabilă decât cea scaun cu aprox. 6 kcal mol -1, datorită faptului că 7

8 prezintă două legături eclipsate. Cea mai tensionată dintre conformații este cea plană. Ca urmare, ciclohexanul și aproape toți derivații săi există preferențial în conformația scaun: Plan Scaun Scaun (proiecție Newman) Baie Examinând cele 12 poziții de substituție ale inelului ciclohexanic, se observă că există două tipuri diferite, cu câte șase poziții fiecare. Pozițiile sau legăturile ecuatoriale (e) sunt dispuse aproximativ în planul ciclului, în timp ce cele șase poziții sau legături axiale (a) sunt dispuse perpendicular pe ciclu, paralel cu axa acestuia, deasupra și dedesubtul ciclului, în două grupuri de câte trei, fiind paralele între ele. Fig. 7. Pozițiile ecuatoriale () și axiale () în conformația scaun a ciclohexanului [McMurry, p. 119]. Datorită existenței pozițiilor ecuatoriale și axiale în ciclohexan, ne-am putea aștepta să găsim doi izomeri ai compușilor monosubstituiți ai acestuia, dar acest lucru nu se întâmplă [McMurry, p. 119]. Există un singur metilciclohexan, de ex. (sau bromociclohexan, sau ciclohexanol etc.), deoarece inelele de ciclohexan sunt mobile din punct de vedere conformațional. Conformerii substituiți axial și ecuatorial sunt interconvertibili, deoarece deformarea unui ciclohexan scaun poate să-l transforme în forma baie și aceasta, la rândul ei, să fie transformată într-o altă formă scaun, în care cele șase poziții ecuatoriale să devină axiale și invers [endrickson, p. 219]. Prin această transformare conformațională toate pozițiile substituenților sunt inversate: Un substituent ecuatorial devine axial (și invers), iar bariera de deformare a formei scaun și transformarea sa în forma baie este mică, de aprox. 11 kcal mol -1. Aceasta înseamnă că procesul are o viteză foarte mare la temperatura camerei. Majoritatea moleculelor de metilciclohexan vor avea gruparea metil în orientare ecuatorială, mai stabilă, dar diferența de energie este suficient de mică pentru a avea molecule și în orientarea axială. Orientarea axială 8

9 este mai puțin stabilă datorită împiedicărilor sterice dintre gruparea metil și atomii de hidrogen aflați în pozițiile 3 și 5 ca substituenți la nucleu [McMurry, p. 123]: Fig. 8. Împiedicările sterice în cazul orientării axiale pentru un ciclohexan monosubstituit [McMurry, p. 123]. Putem face, astfel, diferența dintre configurație și conformație. Prin configurația unei molecule se înțelege aranjarea atomilor în spațiu, fără a ține seama de formele care diferă doar prin rotația unor grupe de atomi în jurul uneia sau mai multor legături simple. Conformațiile unei molecule care posedă o anumită configurație sunt aranjări diferite ale atomilor în spațiu, care diferă între ele doar prin rotația în jurul unor legături simple. Diferiții conformeri ai unei molecule au aceeași configurație. Mărimea barierei de energie de rotație în jurul unor legături simple depinde de natura și volumul substituenților. În cazul etanului aceasta este destul de mică (2,75 kcal mol -1 ), în timp ce la Cl 3 C CCl 3 este mult mai mare (aprox. 10 kcal mol -1 ), din cauza razei mari a atomilor de clor, care produc împiedicări sterice. 3. Izomerie geometrică (izomerie cis-trans) Izomerii geometrici sunt o categorie de stereoizomeri care au atomii conectați în aceeași ordine, dar care diferă unul de altul prin modul diferit de orientare al atomilor în raport cu un centru sau plan al moleculei. Transformarea unui izomer geometric în altul implică schimbarea locului între doi substituenți prin ruperea formală a unei legături covalente. Izomerii geometrici ai cicloalcanilor și alchenelor se diferențiază în raport cu un plan al moleculei, respectiv al legăturii duble. Ei se deosebesc prin proprietățile lor fizice (punct de fierbere, punct de topire, spectre etc.) și unele proprietăți chimice, fiecare stereoizomer reprezentând o moleculă bine definită, ce poate fi izolată prin metode curente de lucru [endrickson, p. 209]. În cicloalcanii cu inele mici și normale (C 3 -C 7 ), datorită structurii ciclice, rotația în jurul legăturilor C C nu este permisă fără ca inelul să se rupă. Ca urmare, se consideră că ciclul are două fețe, una superioară și alta inferioară, iar substituenții de la atomii de carbon se vor găsi deasupra și dedesubtul planului ciclului. Dacă doi substituenți se găsesc pe aceeași față a ciclului izomerul este cis (din limba latină, de aceeași parte ), iar dacă se găsesc legați pe fețe opuse izomerul este trans (din limba latină, de cealaltă parte ), prin analogie cu dublele legături: cis-1,2-dimetilciclopropan trans-1,2-dimetilciclopropan 9

10 Este evident că cei doi 1,2-dimetilciclopropani sunt molecule diferite și deci reprezintă substanțe chimice diferite din punct de vedere fizic deoarece au forme diferite și pot fi transformate una în alta doar prin ruperea legăturilor dintre gruparea metil și hidrogenul de la unul din atomii de carbon și refacerea legăturii în celălalt sens. Acest proces reprezintă o reacție chimică, care transformă o substanță în alta. Ca urmare, cele două molecule sunt doi compuși izomeri diferiți (stereoizomeri). Izomeria geometrică se întâlnește și la compuși ce conțin legături duble C = C, unde este o consecință a rotației limitate în jurul acestor legături [endrickson, p. 209]. De exemplu, doi compuși diferiți conțin aceeași secvență de atomi, OOC C = C COO; unul este acidul maleic, celălalt este acidul fumaric. Aceste substanțe au proprietăți fizice net diferite: primul se topește la 135 C, al doilea la 287 C. Acidul maleic încălzit în vas deschis la 140 C formează anhidridă maleică și apă. Spre deosebire de acesta, acidul fumaric rămâne netransformat dacă este supus aceluiași tratament. Totuși, la 275 C acidul fumaric pierde apă, formând anhidridă maleică. Reacția inversă, de scindare a anhidridei maleice cu apă, formează doar acid maleic: 140 C 275 C Acid maleic Anhidridă maleică Acid fumaric În acidul maleic cele două grupări carboxil sunt atașate de aceeași parte a dublei legături, în timp ce în acidul fumaric ele se află de părți opuse. Acidul maleic poate pierde apă cu formarea unei anhidride ciclice, deoarece cele două grupări carboxil sunt apropiate între ele și pot interacționa una cu cealaltă. În acidul fumaric, cele două grupări sunt prea îndepărtate pentru a interacționa direct, dar dacă este încălzit puternic se izomerizează lent (prin rotație în jurul dublei legături) la acid maleic, care, la temperatura la care are loc izomerizarea, se transformă rapid în anhidridă. Perechile de izomeri geometrici sunt denumite izomeri cis (când grupările sunt situate de aceeași parte a dublei legături) și trans (când grupările se află de o parte și de alta a dublei legături). Pentru ca o dublă legătură să poată prezenta izomerie geometrică, ea trebuie să aibă la fiecare capăt doi substituenți diferiți între ei. Dacă la unul dintre atomii de carbon substituenții sunt identici, molecula nu mai prezintă izomerie geometrică. Izomeri geometrici Molecule identice Stabilitatea relativă a doi izomeri geometrici se determină de obicei luând în considerare împiedicarea sterică [endrickson, p. 213] (vezi subcapitolul 2. Izomerie de conformație, în acest curs). O altă metodă pentru determinarea stabilității relative este compararea energiei degajate la hidrogenarea celor doi izomeri: cu cât se degajă mai multă energie, cu atât izomerul este mai puțin stabil (are un nivel energetic mai ridicat). 10

11 Pozițiile cis față de o dublă legătură sunt, spațial, destul de apropiate (și nu se pot roti) și, dacă grupele atașate în cis au o dimensiune suficient de mare, vor suferi tensiuni datorită presiunilor reciproce; această tensiune nu există în izomerul trans. În general izomerul având cele două grupări voluminoase de la fiecare capăt al dublei legături în cis este cel mai puțin stabil dintre cei doi izomeri posibili. Astfel, cis-2-butena este ceva mai puțin stabilă decât trans-2-butena, în timp ce diferențele de energie între cis- și transstilben (1,2-difeniletenă, ce are grupări fenil mai voluminoase) sunt atât de mari încât amestecul la echilibru la temperatura camerei conține de 10 4 ori mai mult izomer trans decât cis. Dacă grupările respective nu sunt resturi de hidrocarburi, ralația este mai puțin categorică: de ex., 1,2- dihaloetenele (cu excepția diiododerivaților) sunt mai stabile în forma cis, deși fenomenul nu este clar explicat. trans-2-butenă cis-2-butenă trans-stilben cis-stilben Deoarece au stabilitate mai scăzută decât izomerii trans, izomerii cis se transformă adesea în izomeri trans, la încălzire sau sub influența unor catalizatori, cu degajare de energie. În ciclurile nesaturate cu număr mic de atomi de carbon, dublele legături sunt în configurație cis. Cea mai mică cicloalchenă suficient de stabilă pentru a exista în configurație trans este trans-ciclooctena. Ciclohexenele adoptă configurația scaun (mai exact semi-scaun, deoarece una din laturi este plană și nu pliată, din cauza dublei legături) și nu configurația baie. 4. Convenția Cahn Ingold Prelog Deoarece la moleculele la care dubla legătură este tri- sau tetrasubstituită notația cis-trans este ambiguă, a fost necesară introducerea unei noi nomenclaturi în care se ține seama de prioritatea substituenților [Nenițescu, p. 42] (alchenă trisubstituită = trei substituenți alții decât la dubla legătură; tetrasubstituită = patru substituenți alții decât la dubla legătură). Pentru o moleculă de tip abc = Cde se evaluează prioritățile substituenților, în ordinea descrescătoare a numărului atomic al primilor atomi legați de carbonii implicați în dubla legătură. Se aleg, dintre substituenții a și b și apoi dintre substituenții d și e, cei cu prioritatea cea mai mare (numărul atomic mai mare). Dacă cei doi substituenți astfel aleși se găsesc de aceeași parte a dublei legături, se adaugă la denumirea substanței prefixul Z, iar dacă se află unul de o parte și celălalt de alta, prefixul E (din limba germană, zusammen = împreună, entgegen = opus). Acest set de reguli este denumit convenția Cahn Ingold Prelog, după chimiștii care l-au propus. Mai mare Mai mare Mai mare Mai mică C = C C = C Mai mică Mai mică Mai mică Mai mare Izomer Z Izomer E 11

12 Ordinea de prioritate pentru diferiți atomi atașați la dubla legătură este (în ordinea descrescătoare a numărului atomic) [McMurry, p. 181]: Br (35) > Cl (17) > S (16) > P (15) > O (8) > N (7) > C (6) > 2 (2) > 1 (1) Observăm că, pentru izotopi ai aceluiași element, izotopul mai greu (deuteriu 2 ) are prioritate în fața izotopului mai ușor (protiu 1 ). Dacă nu se poate decide prioritatea pe baza primului atom din substituent (cel legat de atomul de carbon implicat în dubla legătură), se trece la următorii atomi legați de primul, până se găsește prima diferență. Legăturile multiple sunt considerate echivalente cu mai multe legături simple (C = C este echivalentă cu două legături simple C C). De exemplu, pentru 3-fenil-2-pentenă, unul dintre atomii de carbon este substituit cu C 2 5 și C 6 5, iar prioritatea cea mai mare o are C 6 5 (primii atomi sunt C, deci au aceeași prioritate, dar în C 2 5 primul atom de carbon este legat de un atom de carbon și doi hidrogeni, în timp ce în C 6 5 primul atom de carbon este legat de trei atomi de carbon o legătură C C și una C = C). La celălalt atom de carbon este prioritară gruparea C 3 față de. Ca urmare, cele două fenilpentene izomere se denumesc astfel: C 6 5 C 3 C 6 5 C = C C = C C 2 5 C 2 5 C 3 (Z)-3-fenil-2-pentenă (E)-3-fenil-2-pentenă În cazul triplei legături, atomii implicați în legătură sunt coliniari, deci nu pot exista stereoizomeri. Rezumatul temei Tautomerii sunt izomeri de constituție (de structură) care se transformă rapid unii în alții printr-o reacție de migrare a unui atom, numită tautomerie. Tautomeria ceto-enolică este cea mai întâlnită formă a tautomeriei de proton. În mod obișnuit, forma cetonică este cea stabilă, dar atunci când forma enolică este prezentă într-o moleculă stabilizată prin conjugare, enolul este mai stabil decât cetona. Stereochimia se ocupă cu structura spațială a moleculelor. Izomerii sterici (stereoizomerii) sunt acei izomeri care diferă între ei prin modul diferit de orientare al atomilor moleculei în spațiu. Conformerii (izomeri de conformație) sunt stereoizomeri rezultați prin rotirea liberă în jurul legăturilor simple σ. Din infinitatea de conformații posibile pentru alcani, cele intercalate au energia cea mai scăzută, iar cele eclipsate energia cea mai ridicată. Diferența de energie apare din respingerile dintre atomii substituenți ai carbonilor de la capetele legăturii ce se rotește, dar și dintre electronii legăturilor dintre carbon și acești substituenți. Majoritatea moleculelor de alcani se găsesc (la un moment dat) în conformații intercalate pentru toate legăturile C C. La cicloalcani, pe lângă tensionarea moleculelor produsă de eclipsarea legăturilor și cea datorată împiedicărilor sterice, apare tensionarea datorată modificării mărimii unghiurilor de la valoarea normală de 109º28', în special pentru ciclurile mici și medii. Cu excepția ciclopropanului, cicloalcanii superiori adoptă conformații ne-plane, pentru a micșora tensiunea în moleculă. La ciclohexan, conformația adoptată este cea scaun, în care toate unghiurile sunt cele tetraedrice și toate legăturile C C sunt intercalate, deci molecula este complet netensionată. 12

13 Aceste conformații sunt deseori reprezentate prin proiecții Newman. Dintre cele două poziții posibile pentru substituenții ciclohexanului (axială și ecuatorială), poziția ecuatorială este preferată, deoarece moleculele cu substituenți ecuatoriali sunt mai stabile (lipsesc împiedicările sterice dintre atomii substituenților axiali). Izomeria geometrică (cis-trans) este întânită la alchene și compuși ciclici, unde atomii sunt poziționați diferit în funcție de un plan al moleculei (planul dublei legături la alchene, planul ciclului la moleculele ciclice). Izomerul în care substituenții care se găsesc de aceeași parte a planului este numit cis, iar cel în care substituenții se găsesc de o parte și de alta a planului este numit trans. Prezintă izomerie geometrică acele molecule care au substituenți diferiți la atomii de carbon implicați în legătura dublă. În general, izomerii trans sunt mai stabili decât cei cis. Pentru moleculele la care dubla legătură este tri- sau tetrasubstituită se folosește notația Z (echivalent cu cis) sau E (echivalent cu trans). Pentru desemnarea izomerului ca fiind Z sau E se folosesc regulile conveției Cahn-Ingold-Prelog. Bibliografie 1. Avram, M. (1983). Chimie Organică, vol. 1, Editura Academiei RSR, București, endrickson, J. B., Cram, D. J., ammond, G. S., Chimie Organică, Editura Științifică și Enciclopedică, București, Nenițescu, C. D., Chimie Organică, vol I, Editura Didactică și Pedagogică, București, consultat în data de consultat în data de

Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi

Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi Tema3. Tautomerie. Stereoizomerie. Configurație. Convenția Cahn-Ingold-Prelog Tautomerie Două structuri izomere care diferă suficient de mult prin pozițiile

Διαβάστε περισσότερα

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale POSDRU/156/1.2/G/138821 Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenților în vederea asigurării de șanse egale

Activitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenților în vederea asigurării de șanse egale Investește în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operațional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educația și formarea profesională în sprijinul creșterii

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

Teoria mecanic-cuantică a legăturii chimice - continuare. Hibridizarea orbitalilor

Teoria mecanic-cuantică a legăturii chimice - continuare. Hibridizarea orbitalilor Cursul 10 Teoria mecanic-cuantică a legăturii chimice - continuare Hibridizarea orbitalilor Orbital atomic = regiunea din jurul nucleului în care poate fi localizat 1 e - izolat, aflat într-o anumită stare

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Sulfonarea benzenului este o reacţie ireversibilă.

Διαβάστε περισσότερα

I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare.

I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Capitolul 3 COMPUŞI ORGANICI MONOFUNCŢIONALI 3.2.ACIZI CARBOXILICI TEST 3.2.3. I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Reacţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

REACŢII DE ADIŢIE NUCLEOFILĂ (AN-REACŢII) (ALDEHIDE ŞI CETONE)

REACŢII DE ADIŢIE NUCLEOFILĂ (AN-REACŢII) (ALDEHIDE ŞI CETONE) EAŢII DE ADIŢIE NULEFILĂ (AN-EAŢII) (ALDEIDE ŞI ETNE) ompușii organici care conțin grupa carbonil se numesc compuși carbonilici și se clasifică în: Aldehide etone ALDEIDE: Formula generală: 3 Metanal(formaldehida

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE TEST 2.3.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Acetilena poate participa la reacţii de

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi

Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. idrocarburi Tema 4. Chiralitate centrală, axială, planară. Conformație. Proiecții Fisher Izomerie optică (enantiomerie) Unele substanțe au proprietatea de a roti

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

2. STRUCTURA COMPUŞILOR ORGANICI Legături chimice. Tipuri de legături. Hibridizare. e-chimie 19. Cap.2 Structura compuşilor organici.

2. STRUCTURA COMPUŞILOR ORGANICI Legături chimice. Tipuri de legături. Hibridizare. e-chimie 19. Cap.2 Structura compuşilor organici. Cap.2 Structura compuşilor organici 2. STRUCTURA COMPUŞILOR ORGANICI Cuprins: 1. Legături chimice. Tipuri de legătură. ibridizare 2. Izomeria 3. Analiza strucutrală a compuşilor organici Obiective: 1.

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi

Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi Tema 1. Hibridizare.Legătura chimică localizată.polaritate.efect inductiv Scurt istoric Despărțirea chimiei în două mari ramuri, anorganică și organică,

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Exerciţii şi probleme E.P.2.4. 1. Scrie formulele de structură ale următoarele hidrocarburi şi precizează care dintre ele sunt izomeri: Rezolvare: a) 1,2-butadiena;

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Editura Sfântul Ierarh Nicolae 2010

Editura Sfântul Ierarh Nicolae 2010 Ion Moise Editura Sfântul Ierarh Nicolae 2010 ISBN 978-606-577-038-6 Lucrare publicată în Sala de Lectură a Editurii Sfântul Ierarh Nicolae, la adresa http://lectura.bibliotecadigitala.ro Coordonator ştiinţific

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Tema 5 (S N -REACŢII) REACŢII DE SUBSTITUŢIE NUCLEOFILĂ. ŞI DE ELIMINARE (E - REACŢII) LA ATOMULDE CARBON HIBRIDIZAT sp 3

Tema 5 (S N -REACŢII) REACŢII DE SUBSTITUŢIE NUCLEOFILĂ. ŞI DE ELIMINARE (E - REACŢII) LA ATOMULDE CARBON HIBRIDIZAT sp 3 Tema 5 REACŢII DE SUBSTITUŢIE NUCLEOFILĂ (S N -REACŢII) ŞI DE ELIMINARE (E - REACŢII) LA ATOMULDE CARBON IBRIDIZAT sp 3 1. Reacții de substituție nucleofilă (SN reacții) Reacţiile de substituţie nucleofilă

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

Cicloalcani - hidrocarburi saturate ciclice: monociclice (C n. H 2n. ) biciclice (C n. H 2n-2

Cicloalcani - hidrocarburi saturate ciclice: monociclice (C n. H 2n. ) biciclice (C n. H 2n-2 icloalcani - hidrocarburi saturate ciclice: monociclice ( n 2n ) biciclice ( n 2n-2 ) Denumire: prefixul ciclo + numele alcanului cu acelaşi număr de atomi de carbon. Poziţia substituenţilor se reprezintă

Διαβάστε περισσότερα

Bazele Chimiei Organice

Bazele Chimiei Organice Bazele Chimiei Organice An universitar 2016-2017 Lector dr. Adriana Urdă Partea a 3-a. Clase de compuși organici; polaritatea legăturilor covalente; aciditate bazicitate; corelații între proprietățile

Διαβάστε περισσότερα

ŞTIINŢA ŞI INGINERIA. conf.dr.ing. Liana Balteş curs 7

ŞTIINŢA ŞI INGINERIA. conf.dr.ing. Liana Balteş curs 7 ŞTIINŢA ŞI INGINERIA MATERIALELOR conf.dr.ing. Liana Balteş baltes@unitbv.ro curs 7 DIAGRAMA Fe-Fe 3 C Utilizarea oţelului în rândul majorităţii aplicaţiilor a determinat studiul intens al sistemului metalic

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

V O. = v I v stabilizator

V O. = v I v stabilizator Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,

Διαβάστε περισσότερα

Unitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon

Unitatea atomică de masă (u.a.m.) = a 12-a parte din masa izotopului de carbon ursul.3. Mării şi unităţi de ăsură Unitatea atoică de asă (u.a..) = a -a parte din asa izotopului de carbon u. a.., 0 7 kg Masa atoică () = o ărie adiensională (un nuăr) care ne arată de câte ori este

Διαβάστε περισσότερα

Cicloalcani - hidrocarburi saturate ciclice: monociclice (C n H 2n ) biciclice (C n H 2n-2 )

Cicloalcani - hidrocarburi saturate ciclice: monociclice (C n H 2n ) biciclice (C n H 2n-2 ) icloalcani - hidrocarburi saturate ciclice: monociclice ( n 2n ) biciclice ( n 2n-2 ) Denumire: prefixul ciclo + numele alcanului cu acelaşi număr de atomi de carbon. Poziţia substituenţilor se reprezintă

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme

Διαβάστε περισσότερα

Reflexia şi refracţia luminii.

Reflexia şi refracţia luminii. Reflexia şi refracţia luminii. 1. Cu cat se deplaseaza o raza care cade sub unghiul i =30 pe o placa plan-paralela de grosime e = 8,0 mm si indicele de refractie n = 1,50, pe care o traverseaza? Caz particular

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

În mod uzual, studiul hidrocarburilor are la bază următoarea clasificare: saturate aciclice/ciclice: alcani/cicloalcani

În mod uzual, studiul hidrocarburilor are la bază următoarea clasificare: saturate aciclice/ciclice: alcani/cicloalcani ap.6 idrocarburi 6. IDABUI uprins: 1. idrocarburi alifatice 1.1. idrocarburi alifatice saturate - alcani şi cicloalcani 1.2. idrocarburi alifatice nesaturate - alchene - diene - alchine 2. idrocarburi

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 1-INTRODUCERE ÎN STUDIUL CHIMIEI ORGANICE Exerciţii şi probleme

Capitolul 1-INTRODUCERE ÎN STUDIUL CHIMIEI ORGANICE Exerciţii şi probleme Capitolul 1- INTRODUCERE ÎN STUDIUL CHIMIEI ORGANICE Exerciţii şi probleme ***************************************************************************** 1.1. Care este prima substanţă organică obţinută

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Electronegativitatea = capacitatea unui atom legat de a atrage electronii comuni = concept introdus de Pauling.

Electronegativitatea = capacitatea unui atom legat de a atrage electronii comuni = concept introdus de Pauling. Cursul 8 3.5.4. Electronegativitatea Electronegativitatea = capacitatea unui atom legat de a atrage electronii comuni = concept introdus de Pauling. Cantitativ, ea se exprimă prin coeficienţii de electronegativitate

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

Câmp de probabilitate II

Câmp de probabilitate II 1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente

Διαβάστε περισσότερα

3. REPREZENTAREA PLANULUI

3. REPREZENTAREA PLANULUI 3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie

Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016 16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα