Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi
|
|
- Σκύλλα Μαυρογένης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. idrocarburi Tema 4. Chiralitate centrală, axială, planară. Conformație. Proiecții Fisher Izomerie optică (enantiomerie) Unele substanțe au proprietatea de a roti planul luminii polarizate, când sunt străbătute de aceasta [Nenițescu 1980, p ]. Asemenea substanțe se numesc optic active. Cele care rotesc planul luminii polarizate spre dreapta se numesc dextrogire și se notează cu +, iar cele care îl rotesc spre stânga se numesc levogire și se notează cu. În lumina naturală, vectorul electric (care oscilează perpendicular pe cel magnetic) are oscilații într-un număr infinit de planuri care cuprind direcția de propagare [Avram 1983, p. 376]. În lumina plan polarizată, vectorul electric (deci și cel magnetic) vibrează doar într-un singur plan, numit plan de polarizare. Substanțele optic active se divid în două clase, după cum activitatea optică este datorată structurii cristalului sau structurii moleculei. Un exemplu din prima clasă este cuarțul, care apare în natură într-o formă dextrogiră și una levogiră. Prin topire sau dizolvare activitatea optică a acestor substanțe dispare. Din cea de-a doua clasă fac parte mai ales substanțele organice, care rotesc planul luminii polarizate în orice stare fizică sau în soluție. Activitatea optică este, deci, o proprietate a moleculelor acestor substanțe și numai acestea prezintă interes pentru chimia organică. Primul caz cunoscut de stereoizomerie este cel al acidului tartric natural (C 4 6 O 6, OOC C(O) C(O) COO), care se depune din vinul nou sub forma sării acide de potasiu și este dextrogir. Prin recristalizare se formează mici cantități dintr-un izomer al său, acidul racemic, care este optic inactiv. Mai târziu s-a dovedit că acidul racemic este un amestec în proporții egale din două substanțe, acidul tartric dextrogir și izomerul său, levogir. Doi asemenea izomeri se numesc enantiomeri sau antipozi optici. În amestecul racemic acțiunea celor doi izomeri asupra luminii polarizate se compensează. Denumirea de racemic a fost ulterior extinsă la toate amestecurile de acest fel. Prin sinteză în laborator, pornind de la materii prime optic inactive, se obțin numai substanțe inactive. În celulele vii se sintetizează, de obicei, numai unul dintre enantiomeri. Enantiomerii au proprietăți fizice identice și se deosebesc numai prin activitatea optică, anume prin faptul că, în condiții identice, ei rotesc planul luminii polarizate cu același număr de grade, unul spre dreapta, altul spre stânga. Unghiul dintre planurile de rotație inițial și final este rotația optică. O altă proprietate diferită este punctul de topire: deși punctele de topire ale enentiomerilor trebuie să fie identice, la amestecul racemic el este mai ridicat sau mai coborât. Fiind compuși din aceiași atomi sau grupe de atomi, cu aceleași legături chimice, enantiomerii au aceeași structură. Reacțiile lor cu reactivi optic inactivi sunt, deci, identice. Cu reactivi chimici optic activi, enantiomerii (+) și ( ) pot reacționa cu viteze diferite, iar comportarea enantiomerilor față de organismele vii este uneori foarte diferită.
2 Activitatea optică se măsoară cu polarimetrul, compus din două prisme între care se așează un tub de sticlă cu substanța sau soluția care se analizează [Nenițescu 1980, p. 24]. Una din prisme este fixă și polarizează lumina, cea de-a doua este mobilă și servește la determinarea unghiului de rotație. Puterea de rotație (rotația optică) a unei substanțe depinde de temperatură, de structura compusului și de lungimea de undă a luminii folosite, de aceea se lucrează cu lumină monocromatică și la temperatură constantă. Când planul luminii polarizate este rotit în sensul acelor de ceasornic (observatorul fiind plasat în fața fasciculului de lumină rezultant) se atribuie sensul de rotație pozitiv și și se spune că produsul este dextrogir (rotație spre dreapta). Compușii levogiri rotesc planul de polarizare spre stânga sau în sens contrar acelor de ceasornic. În mod obișnuit de folosesc semnele (+) sau ( ), dar uneori se folosesc prescurtările d și l, iar amestecul racemic este frecvent denumit amestec d,l [endrickson 1976, p. 232]. Deoarece unghiul de rotație, α, citit la polarimetru, depinde de lungimea stratului de substanță străbătut de lumină (iar în cazul soluțiilor și de concentrație), se definește o mărime numită rotație specifică, [α], independentă de acești parametri și prin care se poate măsura cantitativ activitatea optică [Nenițescu 1980, p. 24]. Rotația specifică este o caracteristică a substanței cercetate și reprezintă unghiul cu care deviază planul luminii polarizate 1 g de substanță în 1 cm 3 de lichid, pentru o lungime de 1 dm (10 cm) de strat străbătut: temp Rotatia specifica = α lungime de unda rotatie observata, = lungimea probei dm conc( g ) ml O substanță cu rotație specifică zero fieeste un amestec racemic, fie este formată din molecule simetrice, și acest fapt este foarte important pentru determinarea structurii. Apariția activității optice a fost atribuită de stereochimia clasică prezenței în moleculă a unui atom de carbon legat de patru substituenți diferiți, denumit carbon asimetric [Avram 1983, p. 368]. O moleculă care conține un atom de carbon asimetric este asimetrică și ea. Nu numai substanțele asimetrice (adică lipsite de elemente de simetrie) au activitate optică; există substanțe optic active deși moleculele lor au proprietăți de simetrie. Condiția necesară și suficientă pentru apariția activității optice este ca moleculele substanței să nu fie superpozabile, prin mișcări de translație sau rotație, cu imaginea lor în oglindă [Nenițescu 1980, p. 25]. Această proprietate a fost numită chiralitate (de la cheir = mână, în grecește). Moleculele care posedă această proprietate au fost numite chirale, iar moleculele care coincid cu imaginea lor în oglindă, achirale. Toți compușii optic activi sunt molecule chirale. Izomerii ai căror molecule sunt chirale și se comportă una față de alta ca imaginea în oglindă față de obiect se numesc enantiomeri. O moleculă care conține un atom de carbon asimetric este chirală; pot exista, deci, un izomer dextrogir, unul levogir și un amestec racemic. Ex.: acidul lactic (hidroxipropionic): 3 C C O COO 2
3 Activitatea optică dispare atunci când se suprimă chiralitatea moleculei; de ex., dacă în molecula acidului lactic se înlocuiește gruparea hidroxil cu un atom de hidrogen. De asemenea, activitatea optică dispare și atunci când unul din enantiomeri se transformă reversibil în celălalt, până când se ajunge la un amestec echimolecular al celor doi enantiomeri (amestec racemic). Transformarea aceasta (numită racemizare) poate avea loc spontan (ex. termic) sau sub acțiunea unor catalizatori acizi sau bazici. Un alt criteriu pentru stabilirea chiralității se bazează pe examinarea elementelor de simetrie. Simetrie, asimetrie și chiralitate Pentru a înțelege stereoizomeria, trebuie să examinăm și să înțelegem mai întâi noțiunea de simetrie și să o aplicăm la formele moleculare. Simetria este o proprietate geometrică a corpurilor (obiecte, molecule) care le conferă regularitate [Avram 1983, p. 369]. Un corp este considerat simetric din punct de vedere geometric dacă pentru fiecare punct material al acestuia există un al doilea punct care se suprapune peste primul în urma unor operații (reale sau imaginare) de rotație sau inversie (reflexie) în raport cu unele elemente geometrice ale corpului. Aceste elemente se numesc elemente de simetrie, iar operațiile efectuate în raport cu ele operații de simetrie. Se numește plan de simetrie un plan care divide obiectul în două jumătăți, fiecare dintre ele fiind imaginea de oglindire a celeilalte. Un asemenea plan de simetrie se numește deseori planul oglinzii (dacă jumătate dintr-un obiect oglindește cealaltă jumătate, obiectul este simetric). Imagine în oglindă Un obiect posedă un centru de simetrie atunci când există în interiorul său un punct, astfel situat încât orice dreptă ce trece prin acest punct întâlnește, în ambele direcții, la distanțe egale, aceleași forme structurale. Toate moleculele cu centru sau plan de simetrie sunt achirale și nu sunt optic active. Axa de rotație (de simetrie), C n, este o axă în jurul căreia putem roti obiectul cu un unghi 360 /n și obținem o figură identică cu cea inițială. Pentru n = 1 avem o axă de rotație C 1 (identitatea după rotire cu 360 ); orice obiect are o infinitate de asemenea axe. Axa C 2 (pentru n = 2) corespunde unei rotiri cu 180 pentru a obține identitatea figurii (ex. figura de mai jos, stânga), iar axa de rotație C 3 corespunde unei rotiri de 120 etc. Rotație 180 Inversiune Reflexie 3
4 Axa de rotație-reflexie, S n, este produsul a două operații de simetrie succesive: o rotație de 360 /n în jurul unei axe C n, urmată de reflexia într-un plan perpendicular pe axa de rotație. Dacă în acest fel se obține o figură identică cu cea inițială se spune că axa de rotație este de rotație-reflexie (vezi figura de mai sus, dreapta). Enantiomerii au aceeași geometrie a moleculelor (unghiuri, distanțe între atomi) și aceeași energie, și diferă între ei numai prin aranjarea atomilor în spațiu; ei sunt, deci, izomeri sterici [Nenițescu 1980, p. 25]. Toți izomerii sterici care nu se găsesc între ei în relația obiect imagine de oglindire (deci care nu sunt enantiomeri) se numesc diastereoizomeri. Diastereoizomerii sunt stereoizomeri în care distanțele între atomi nelegați direct între ei diferă de la un izomer la celălalt (izomeri de distanță) [Avram 1983, p. 370]. Prezintă diastereoizomerie izomerii geometrici cis trans, moleculele cu mai multe centre chirale, unii conformeri (vezi mai jos): Achiral Chiral În funcție de elementele de simetrie care determină chiralitatea moleculară se disting patru tipuri de chiralitate. Chiralitatea centrală caracterizează moleculele care au unul sau mai multe centre chirale (de ex. atomi de carbon asimetrici). Chiralitatea axială se raportează la o axă internucleară care poate deveni axă de chiralitate. Din această categorie fac parte unii izomeri de conformație, în care axa C C de rotație devine axă de chiralitate (vezi figura de mai sus). Un alt exemplu este dat de moleculele alenelor, spiranilor și izomerilor atropici. În acest din urmă caz (derivații bifenilului), datorită volumului prea mare al substituenților, cele două inele aromatice nu pot adopta o poziție coplanară, și rotația liberă în jurul legăturii dintre cicluri este împiedicată. Alenă Spirani Izomeri atropici (împiedicarea rotației inelelor datorită substituenților voluminoși) Chiralitatea planară se întâlnește la moleculele de tip ansa (mâner, în limba latină), diferențiate prin raportare la un plan al moleculei care reprezintă un plan de chiralitate. 4
5 Chiralitatea elicoidală se datorează formei de elice a scheletului moleculei, care se poate roti spre dreapta sau spre stânga (întânită în structura proteinelor sau a hexahelicenului). Structura proteinelor exahelicen Formule stereochimice Formulele de configurație, ce reproduc fidel modelul tetraderic al atomului de carbon asimetric, sunt incomode din punct de vedere grafic (ex. izomerii levogir și dextrogir ai acidului lactic) [Nenițescu 1980, p. 27]: În același scop se utilizează formulele de perspectivă (perspectivice), mai simple: C 3 C O O C C 3 COO COO În aceste formule liniile punctate reprezintă legături covalente dirijate în spatele planului hârtiei, iat liniile îngroșate legături dirijate deasupra planului hârtiei. Legăturile ce există în planul hârtiei se notează cu linii subțiri, pline. Mai simple, și de aceea mai utilizate, sunt formulele de proiecție Fischer. În aceste formule, toți substituenții se aduc într-un singur plan, în care se află și atomul asimetric: C 3 C O O C C 3 COO COO În această reprezentare convențională se presupune întotdeauna că cele două legături figurate vertical sunt dirijate în spate, iar legăturile orizontale sunt dirijate spre privitor. Datorită acestor convenții, utilizarea formulelor de proiecție de tip Fisher (necesară aunci când vrem să vedem dacă două molecule reprezentate prin astfel de formule sunt 5
6 superpozabile sau nu) trebuie făcută cu multă grijă. Formulele de proiecție nu pot fi rotite în plan cu 90 sau 270 pentru că, în acest fel, se obține formula enantiomerului. De asemenea, nu este permisă scoaterea din plan sau schimbarea locului a doi substituenți între ei. În schimb, rotirea în plan cu 180 (și evident și cu 360 ) nu schimbă configurația moleculei. Convenția de notare a configurației atomului de carbon asimetric. Configurația unui atom de carbon asimetric înseamnă identificarea aranjării spațiale relative ale celor patru grupări atașate [endrickson 1976, p. 234]. Configurația absolută indică ordinea substituenților astfel încât să se poată diferenția cei doi enantiomeri și să se definească chiralitatea lor. Configurația relativă descrie raportul dintre doi atomi asimetrici, unul față de altul (și anume cis sau trans substituiți la un ciclu). Datorită faptului că nu există o relație simplă între configurație și sensul rotației planului luminii polarizate, a devenit necesară introducerea unui mod univoc de notare a configurației moleculelor chirale, denumită convenția Cahn Ingold Prelog, după numele celor care au stabilit acest sistem în 1956 [Nenițescu 1980, p. 28]. Sistemul utilizat pentru indicarea configurației absolute prevede că, dacă o moleculă conține un atom de carbon asimetric, cei patru atomi atașați la carbonul asimetric sunt aranjați mai întâi în ordinea scăderii numărului lor atomic [endrickson 1976, p. 234]. Dacă doi sau mai mulți dintre acești primi atomi au acelați număr atomic, se recurge la compararea numărului atomic al celui de-al doilea grup de atomi atașați de prima serie de atomi. Dacă ambiguitatea persistă, se compară al treilea, al patrulea set de atomi etc. (pornind de la atomul de carbon asimetric) până când se poate face o selecție. Legăturile multiple sunt tratate ca legături simple separat, astfel încât carbonul din CO este considerat ca fiind legat de 2 O + 1. Configurație R, (+) Configurație S, ( ) Pentru a denumi un model tridimensional al izomerului, se privește din partea opusă grupării cu prioritatea minimă și se notează secvența, în ordinea scăderii priorității, pentru celelalte trei grupări, ca fiind în sensul sau în sensul opus acelor de ceasornic. Când este în sensul acelor de ceasornic se folosește simbolul R (din limba latină, rectus = dreapta). Când secvența este în sens contrar acelor de ceasornic se folosește simbolul S (din latină, sinister = stânga). Ne putem imagina această reprezentare ca o roată, cu atomul având prioritatea minimă (de obicei atomul de hidrogen) ca fiind așezat pe direcția osiei, iar celelalte trei grupări cu prioritate superioară plasate în sensul acelor de ceasornic (R -) sau in sens contrar (S -) (vezi figura de mai sus). Ex: molecula de 2-butanol: C 3 C 2 C*(O) C 3 Secvența grupelor la C-2: O, C 2 5, C 3, Pe baza numerelor atomice, oxigenul are prioritatea maximă, iar hidrogenul are prioritatea minimă. Pentru a face diferența între C-1 și C-3 (prioritățile 3 și 2), trebuie comparați atomii legați de C-1 (,, ) cu cei legați la C-3 (C,, ). Este evident că C-3 are prioritate mai mare, iar grupele se pot ordona în secvența O, C-3, C-1,. Această secvență de prioritate se citește în sensul acelor de ceasornic la unul dintre enantiomeri și acesta are configurația R. Celălalt va avea secvența în sens contrar acelor de ceasornic și are configurația S: 6
7 Configurație S 1 3 Configurație R Și alți atomi, în afară de carbon, pot fi asimetrici, însă deoarece asemenea centre asimetrice sunt de obicei tetraedrice, se constată aceeași comportare și se folosește aceeași nomenclatură. La moleculele care conțin mai multe centre asimetrice, se studiază fiecare centru asimetric și i se atribuie o anumită configurație, iar în denumire se introduc termenii R sau S prin simpla inserare a numărului atomului de carbon asimetric respectiv înaintea literei [endrickson 1976, p. 236]: 3-s-cloro-2-s-hidroxipentan Structurile care conțin două sau mai multe centre asimetrice pot exista în mai mult de două modificații stereoizomere. Unele sunt perechi de enantiomeri optic activi; altele pot fi simetrice și deci optic inactive. Mulți produși naturali conțin 2 10 centre asimetrice în moleculă, iar molecule de tipul amidonului și proteinelor conțin sute de centre asimetrice. Numărul de stereoizomeri posibili având aceeași formulă structurală se numește numărul de izomeri al acelei structuri. Structurile cu catenă liniară, fără proprietăți speciale de simetrie, au un număr de izomeri egal cu 2 n, în care n este numărul de atomi de carbon asimetrici din structura respectivă. Deoarece orice structură asimetrică are un enantiomer, numărul total (2 n ) de enantiomeri poate fi scris ca ½(2 n ) = 2 n-1 perechi de enantiomeri, adică 2 n-1 amestecuri racemice posibile pentru o structură cu n atomi asimetrici. Molecula cu un singur carbon asimetric are 2 1 = 2 stereoizomeri, adică doar o pereche de enantiomeri. Diastereoizomerii sunt stereoizomeri, dar nu sunt imagini în oglindă unii față de alții; ei au aceeași configurație la cel puțin un centru asimetric, dar totodată au configurații diferite la cel puțin un centru asimetric. Diastereoizomerii sunt molecule diferite fizic și au proprietăți fizice și chimice diferite. În general, doi stereoizomeri sunt enantiomeri doar dacă centrele asimetrice ale unuia sunt inversate la celălalt. Toate celelalte perechi de stereoizomeri sunt diastereoizomeri. Astfel, dacă o moleculă cu patru centre asimetrice are configurațiile RSRR, atunci enantiomerul său este SRSS, iar SSSR, SSRR etc. sunt diastereoizomeri. Se diferențiază doar un singur caz special de diastereoizomeri: doi diastereoizomeri care diferă ca și configurație la un singur centru asimetric se numesc epimeri. Un epimer al lui RRRR ar fi RSRR, iar un altul al fi RRRS, dar RSSR este un diastereoizomer și nu enantiomerul sau epimerul lui RRRR. Uneori substanțele au proprietăți speciale de simetrie și nu se mai aplică formula 2 n. Acest lucru este ilustrat de acidul tartric: 7
8 Se cunosc trei stereoizomeri. Doi dintre aceștia sunt o pereche de enantiomeri, cu p.t. = 170 ; cel de-al treilea este simetric și are p.t. = 140 C. Acidul (+) tartric Acidul ( ) tartric Acidul mezo-tartric Se poate vedea că cele două formule din partea dreaptă reprezintă același compus: dacă se rotește oricare din cele două formule cu 180 în planul paginii în jurul legăturii C C centrale, formula se poate suprapune peste cealaltă. Molecula având plan de simetrie nu poate avea modificații enantiomere. Compușii simetrici care conțin atomi de carbon asimetrici se numesc compuși mezo. Rezultatul este un fel de racemat intern, cu doi atomi asimetrici care se compensează unul pe altul de fiecare parte a planului de simetrie. Acidul mezo-tartric este un diastereoizomer al acidului (+) sau ( )-tartric. Numărul de izomeri al acidului tartric este, deci, 3 și nu 4. Odată cu creșterea numărului de centre asimetrice crește și dificultatea de reprezentare a formulelor tridimensionale explicite ale moleculelor. Cel mai frecvent, reprezentările tridimensionale ale unei molecule liniare sunt înlocuite prin formulele de proiecție Fischer, care se utilizează în mod special la zaharide. În moleculele acestora aproape fiecare atom de carbon este asimetric, iar numărul de stereoizomeri este mare. Bibliografie 1. Avram, M. (1983). Chimie Organică, vol. 1, Editura Academiei RSR, București, endrickson, J. B., Cram, D. J., ammond, G. S., Chimie Organică, Editura Științifică și Enciclopedică, București, Nenițescu, C. D., Chimie Organică, vol I, Editura Didactică și Pedagogică, București,
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραActivitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenţilor în vederea asigurării de şanse egale
POSDRU/156/1.2/G/138821 Investeşte în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operaţional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educaţiaşiformareaprofesionalăînsprijinulcreşteriieconomiceşidezvoltăriisocietăţiibazatepecunoaştere
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραI. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare.
Capitolul 3 COMPUŞI ORGANICI MONOFUNCŢIONALI 3.2.ACIZI CARBOXILICI TEST 3.2.3. I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Reacţia dintre
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότερα2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραActivitatea A5. Introducerea unor module specifice de pregătire a studenților în vederea asigurării de șanse egale
Investește în oameni! FONDUL SOCIAL EUROPEAN Programul Operațional Sectorial pentru Dezvoltarea Resurselor Umane 2007 2013 Axa prioritară nr. 1 Educația și formarea profesională în sprijinul creșterii
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Sulfonarea benzenului este o reacţie ireversibilă.
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότερα4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραCURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi
Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραAlgebra si Geometrie Seminar 9
Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραReflexia şi refracţia luminii.
Reflexia şi refracţia luminii. 1. Cu cat se deplaseaza o raza care cade sub unghiul i =30 pe o placa plan-paralela de grosime e = 8,0 mm si indicele de refractie n = 1,50, pe care o traverseaza? Caz particular
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραIzomeria. compusilor organici
Izomeria compusilor organici lasificarea izomerilor izomerii izomeri structurali (izomeri de constitutie) stereoizomeri izomeri de configuratie 3 izomeri de conformatie 3 3 3 izomeri geometrici optici
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότερα5.1. Noţiuni introductive
ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE TEST 2.4.1 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. Rezolvare: 1. Alcadienele sunt hidrocarburi
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραTeoria mecanic-cuantică a legăturii chimice - continuare. Hibridizarea orbitalilor
Cursul 10 Teoria mecanic-cuantică a legăturii chimice - continuare Hibridizarea orbitalilor Orbital atomic = regiunea din jurul nucleului în care poate fi localizat 1 e - izolat, aflat într-o anumită stare
Διαβάστε περισσότερα2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale
Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.5.ARENE TEST 2.5.2 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Radicalul C 6 H 5 - se numeşte fenil. ( fenil/
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραBazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi
Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. idrocarburi An universitar 2013-2014 Lector dr. Adriana Urdă Tema 3. Tautomerie. Conformație. Izomerie geometrică. Convenția Cahn Ingold Prelog Obiectivele temei:
Διαβάστε περισσότεραGeometrie computationala 2. Preliminarii geometrice
Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a V-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότεραa. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)
Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului
Διαβάστε περισσότεραBazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi
Bazele Teoretice ale Chimiei Organice. Hidrocarburi Tema3. Tautomerie. Stereoizomerie. Configurație. Convenția Cahn-Ingold-Prelog Tautomerie Două structuri izomere care diferă suficient de mult prin pozițiile
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1
CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραLUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII
LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII Tema lucrării: 1) Determinarea puterii rotatorii specifice a zahărului 2) Determinarea concentraţiei unei soluţii de zahăr 3) Determinarea dispersiei
Διαβάστε περισσότεραREACŢII DE ADIŢIE NUCLEOFILĂ (AN-REACŢII) (ALDEHIDE ŞI CETONE)
EAŢII DE ADIŢIE NULEFILĂ (AN-EAŢII) (ALDEIDE ŞI ETNE) ompușii organici care conțin grupa carbonil se numesc compuși carbonilici și se clasifică în: Aldehide etone ALDEIDE: Formula generală: 3 Metanal(formaldehida
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE TEST 2.3.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Acetilena poate participa la reacţii de
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότερα2. STRUCTURA COMPUŞILOR ORGANICI Legături chimice. Tipuri de legături. Hibridizare. e-chimie 19. Cap.2 Structura compuşilor organici.
Cap.2 Structura compuşilor organici 2. STRUCTURA COMPUŞILOR ORGANICI Cuprins: 1. Legături chimice. Tipuri de legătură. ibridizare 2. Izomeria 3. Analiza strucutrală a compuşilor organici Obiective: 1.
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 1-INTRODUCERE ÎN STUDIUL CHIMIEI ORGANICE Exerciţii şi probleme
Capitolul 1- INTRODUCERE ÎN STUDIUL CHIMIEI ORGANICE Exerciţii şi probleme ***************************************************************************** 1.1. Care este prima substanţă organică obţinută
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE
Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.4.ALCADIENE Exerciţii şi probleme E.P.2.4. 1. Scrie formulele de structură ale următoarele hidrocarburi şi precizează care dintre ele sunt izomeri: Rezolvare: a) 1,2-butadiena;
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότεραTranzistoare bipolare şi cu efect de câmp
apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine
Διαβάστε περισσότεραPDF created with FinePrint pdffactory trial version
9. Structura compuşilor organici. Izomerie (Anexã) Precizat pentru prima oarã de Butlerov (1861) conceptul de structurã chimicã este definit de felul şi numãrul relaţiilor reciproce existente între atomii
Διαβάστε περισσότεραCURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR
CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la
Διαβάστε περισσότεραEditura Sfântul Ierarh Nicolae 2010
Ion Moise Editura Sfântul Ierarh Nicolae 2010 ISBN 978-606-577-038-6 Lucrare publicată în Sala de Lectură a Editurii Sfântul Ierarh Nicolae, la adresa http://lectura.bibliotecadigitala.ro Coordonator ştiinţific
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραSeria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg
Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραLectia III Produsul scalar a doi vectori liberi
Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:
Διαβάστε περισσότερα3. REPREZENTAREA PLANULUI
3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).
Διαβάστε περισσότεραCum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme
Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότερα7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL
7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in
Διαβάστε περισσότερα