ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ (Με εφαρμογές σε προβλήματα μηχανικής των υλικών, υπογείων έργων και σηράγγων)

Transcript

1 Γ. Ε. ΕΞΑΔΑΚΤΥΛΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ ΚΡΗΤΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΣΤΗ ΘΡΑΥΣΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ (Με εφαρμογές ε προβλήματα μηχανικής των υλικών, υπογείων έργων και ηράγγων) Χανιά 006

2 Eιαγωγή τη Θεωρία Ελατικότητας και τη Θραυτομηχανική (για Γεωφυικούς, Μεταλλειολόγους Μηχ., Μηχ. Ορυκτών Πόρων, Πολιτικούς Μηχανικούς και Αρχιτέκτονες Μηχ.) Γ. Ε. Eξαδάκτυλος,, Καθηγητής Υλη των παραδόεων του χειμερινού εξαμήνου (9ο εξάμηνο Μηχ.Ο.Π.) ο μάθημα. ο μάθημα. 3ο μάθημα. 4ο μάθημα. 5ο μάθημα. 6ο μάθημα. 7ο μάθημα. 8ο μάθημα. Ειαγωγή - Εφαρμογές της Θεωρίας Ελατικότητας και της Θραυτομηχανικής τη Γεωμηχανική & τη Μηχανική των Υλικών Βαικές εξιώεις του υνεχούς μέου (Νόμοι του Eule, διάνυμα ελκυτή, Θεώρημα και οριμός της τάης Cauch, Τοπικές εξιώεις πεδίου (νόμοι Cauch), oριμός των τροπών) Ακήεις για το επόμενο μάθημα Ειαγωγή την θεωρία της επίπεδης ελατικότητας Ταική υνάρτηη (ή δυναμικό) του A Λύη του προβλήματος του χονδρότοιχου ωλήνα υπό εωτερική και εξωτερική ομοιόμορφη πίεη Λύη του προβλήματος της κυκλικής ήραγγας - Ακήεις για το επόμενο μάθημα Μιγαδικές εκφράεις των διαρμονικών υναρτήεων (ΔΔu0) Οριμός αναλυτικών μιγαδικών υναρτήεων φ και ψ των Kolosov & Muskhelshvl Βαικές χέεις τάεων και μετατοπίεων Συνοριακές υνθήκες Επίλυη του ου θεμελιώδους προβλήματος της κυκλικής ήραγγας - Ακήεις για το επόμενο μάθημα Σύμμορφος μεταχηματιμός Ολοκληρώματα Cauch - Επίλυη του ου θεμελιώδους προβλήματος τoυ ελλειπτικού θαλάμου - Ακήεις για το επόμενο μάθημα Θεμελιώδεις τύποι ρωγμών και ρηγμάτων - Ταική υνάρτηη Westegaad - Tάεις και μετατοπίεις γύρω από τις αιχμές των ρωγμών - Ακήεις για το επόμενο μάθημα Tάεις και μετατοπίεις γύρω από τις αιχμές των ρωγμών Οριμός του Συντελετή Ενταης της Τάης - Ακήεις για το επόμενο μάθημα Κριτήρια θραύης

3 Κεφάλαιο ο: Ειαγωγή

4 . Ειαγωγή Θραύη ορίζεται ως «ο χηματιμός νέων επιφανειών το υλικό» και αποτελεί τρόπο εκδήλωης ατοχίας μιας κατακευής. Στο πιο βαικό επίπεδο (μικροκοπικό), το κύριο χαρακτηριτικό της ρηγμάτωης είναι η θραύη των ατομικών δεμών του τερεού. Όμως το μακροκοπικό επίπεδο, ως ρηγμάτωη μπορεί να χαρακτηριθεί η θραύη μιας κατακευής ε δύο ή περιότερα τμήματα, λόγω διάδοης ρωγμών ε αυτό (Σχ..α, β).

5 (α) (β) Σχήμα.. Ρηγμάτωη τιμεντοκολώνας εξαιτίας του ειμού το 99 την Αθήνα (Βαρδουλάκης, 000). Στο ενδιάμεο επίπεδο, το μεοκοπικό, η θραύη εκδηλώνεται με την μορφή της εκκίνηης διάδοης (ή επέκταης) και της υνένωης μικρο-ανοιγμάτων, λ.χ. πόρων και ρωγμών εντός των κόκκων και τα ύνορα των κόκκων του γεωϋλικού (Σχ..). (α) (β) Σχήμα.. Παραδείγματα μικρορηγμάτωης μεταξύ των κόκκων δοκιμίου μαρμάρου Διονύου που έχει υποτεί μονοαξονική κυκλική φόρτιη ε μεγενθύεις (α) 75 και (β) 500. Προκειμένου για κρυταλλικά πετρώματα ο κόκκος είναι υωμάτωμα κρυτάλλων.

6 Σε μια δεύτερη ματιά του προβλήματος της θραύεως των υλικών και των κατακευών ας θεωρήουμε μια ρωγμή ε μια κατακευή ή ένα δομικό τοιχείο. Λόγω της εφαρμογής επαναλαμβανόμενων φορτίων, αυτή η ρωγμή θα διαδοθεί με το χρόνο. Μεγαλύτερη ρωγμή ημαίνει μεγαλύτερη υγκέντρωη τάεων και κατά υνέπεια, ο ρυθμός αύξηης του μήκους της ρωγμής θα αυξάνει με τον χρόνο (Σχήμα.3.α). Επίης η παραμένουα αντοχή της ρηγματωμένης κατακευής μειώνεται ταδιακά με την αύξηη του μήκους της ρωγμής, όπως φαίνεται διαγραμματικά το χήμα.3.β. Μετά από κάποιο χρονικό διάτημα η αντοχή της κατακευής έχει απομοιωθεί τόο πολύ που δεν μπορεί να μεταφέρει τυχόν μεγάλα φορτία (π.χ. ειμός). Από την τιγμή αυτή η κατακευή είναι πιθανόν να καταρρεύει. (α)

7 (β) Σχήμα.3. Επίδραη του μεγέθους της ρωγμής την παραμένουα αντοχή μιας κατακευής. Σε χέη με το χήμα.3 η θεωρία της θραυτομηχανικής καλείται να απαντήει τα εξής ερωτήματα:. Πως εξαρτάται η παραμένουα αντοχή από το μέγεθος της ρωγμής; (Σχ..3.β.). Ποιο μέγεθος ρωγμής είναι ανεκτό για το εκτιμώμενο φορτίο λειτουργίας, δηλαδή ποιο είναι το κρίιμο μήκος ρωγμής; (Σχ..3.β.) 3. Πόο χρόνο παίρνει για να μεγαλώει το μήκος της ρωγμής απ το αρχικό το κρίιμο μήκος; (Σχ..3.α.) 4. Ποιο μήκος προϋπάρχουας ρωγμής μπορεί να επιτραπεί τη τιγμή που αρχίζει η λειτουργία μιας κατακευής; 5. Πόο υχνά πρέπει να επιβλέπεται μια κατακευή για ρωγμές; Σύμφωνα με τα ανωτέρω, κατά την μελέτη της θραύης των υλικών - την ιδεατή περίπτωη - πρέπει να θεωρηθούν διαφορετικοί παράγοντες, όπως τα διάφορα φαινόμενα

8 που λαμβάνουν χώρα το μικροκοπικό επίπεδο και ε διαφορετικές κλίμακες, όπως επίης και τα μακροκοπικά δεδομένα που αφορούν τον τρόπο εξωτερικής φόρτιης, περιβαλλοντικούς παράγοντες και την γεωμετρία του τερεού ώματος. Λόγω της πολύ μεγάλης πολυπλοκότητας των φαινομένων θραύης, δεν έχει διατυπωθεί μια ενοποιημένη θεωρία που να περιγράφει ικανοποιητικά όλα τα χετικά φαινόμενα που λαμβάνουν χώρα ε όλες τις κλίμακες. Αυτό που γίνεται ήμερα είναι ότι διατυπώνονται θεωρίες που αντιμετωπίζουν τα προβλήματα θραύης των υλικών, είτε από την μικροκοπική ή ατομική κοπιά (επιτήμη των υλικών), είτε από την μακροκοπική ή την κοπιά του υνεχούς μέου (εφαρμομένη μηχανική). Κατά τις υνήθεις τεχνικές εφαρμογές τα φαινόμενα θραύης αντιμετωπίζονται με την βοήθεια μακροκοπικών θεωριών, όπως η μηχανική του υνεχούς μέου και η κλαική θερμοδυναμική. Κατά την μακροκοπική αντιμετώπιη, θεωρείται ότι το μέο είναι υνεχές και διαχίζεται από μια ρωγμή ή πεπεραμένο αριθμό ρωγμών (περιοχές λύης της υνέχειας) και ότι αυτές οι ρωγμές είναι πολύ μεγαλύτερες από την μικροδομή του υλικού (Σχ..4). Τελευταίως έχει γίνει κατανοητό ότι δεν μπορεί να αγνοηθεί η επίδραη της μικροδομής των υλικών (λ.χ. κοκκώδη και κρυταλλικά υλικά, τρωιγενή υλικά κ.λπ) τα φαινόμενα θραύης (Eadaktlos, 998). Συμπεραματικά μπορούμε να πούμε ότι ο επιτημονικός κλάδος που αχολείται με την μελέτη της μηχανικής υμπεριφοράς τερεών ωμάτων που διαχίζονται από ρωγμές υπό την επίδραη τατικής ή δυναμικής μηχανικής φόρτιης και ενδεχομένως άλλων περιβαλλοντικών παραγόντων (λ.χ. θερμοκραία, ροή ύδατος, χημικές μεταβολές) αναφέρεται ως Θραυτομηχανική (Factue Mechancs). Ως υνεχές μέο θεωρείται εκείνο το οποίο η κατανομή της ύλης είναι υνεχής και όταν όλες οι χωρικές υναρτήεις των ποοτήτων που το περιγράφουν (πυκνότητα κ.λπ.) είναι υνεχείς.

9 Σχήμα.4. Η παραδοχή του υνεχούς μέου με ρωγμές και υπόγεια ανοίγματα.. Ιτορική Αναδρομή Από αρχαιοτάτων χρόνων, ήταν γνωτό ότι η παρουία εγκοπών ή ρωγμών διευκόλυνε πολύ την θραύη ξύλων, μαρμάρων, πολύτιμων λίθων κ.λπ. Με την πρόοδο που έλαβε χώρα του τρεις τελευταίους αιώνες η μεταλλουργία, η χρήη του ξύλου και των πετρωμάτων ως δομικών τοιχείων ε κατακευές αντικατατάθηκε ε ημαντικό βαθμό από μέταλλα και κράματα. Αν και φαινομενικά οι κατακευές αυτές είχαν χεδιατεί με υψηλούς υντελετές αφαλείας, εντούτοις δεν ήταν λίγες οι περιπτώεις εκείνες απρόμενων ατοχιών. Μερικά απ αυτά τα ατυχήματα που έλαβαν χώρα πριν τον δεύτερο παγκόμιο πόλεμο και που ήταν αποτέλεμα κατατροφικών ατοχιών κρίιμων υνιτωών μεγάλων κατακευών και μεταφορικών μέων ή μηχανημάτων που χετίζονταν με την παραγωγή ενέργειας, προκάλεαν ημαντικές απώλειες ανθρωπίνων ζωών και ευρύτατες φθορές ε ιδιοκτηίες. Μια λεπτομερής αναφορά τέτοιων κατατροφικών ατυχημάτων ε δεξαμενές αποθηκεύεως πετρελαίου, λέβητες υψηλών πιέεων, ρότορες τουρμπίνων γεννητριών, ατμολέβητες, αγωγούς, γέφυρες, ιδηροτροχιές κ.λπ. μπορεί

10 να βρεθεί τον Τόμο V του Lebowtz, H. (Ed.) (Lebowtz, 998. Factue. Vol. V, Academc Pess). Οι πρώτες θεωρίες αντοχής των υλικών βαιζόντουαν το κριτήριο της μέγιτης τάεως του Rankne. Όμως το φαινόμενο κλίμακας, που παίζει ημαντικό ρόλο τη θραύη, ήταν γνωτό πριν από την ειαγωγή της έννοιας της τάεως. Σε ένα από τα εικονογραφημένα βιβλία του ο Leonado da Vnc περιγράφει τα πειράματα του επί της θραύης ιδηρών υρμάτων και πως το απαιτούμενο βάρος για την θραύη αυτών αυξάνεται καθώς το μήκος των υρμάτων υποδιπλαιάζεται ε διαδοχικές δοκιμές. Σχήμα.5. Σχήματα που παρουιάζουν το φαινόμενο της κλίμακος (τα δύο πρώτα είναι του Leonado da Vnc, το τρίτο και το τέταρτο του Galleo Galle). Το 858 ο Kamasch προτείνει εμπειρική χέη, για τη φέρουα ικανότητα μεταλλικών υρμάτων, της μορφής : B u A (.a) d όπου Α, Β είναι ταθερές, d η διάμετρος του ύρματος και u η τάη ατοχίας. Παρόμοια χέη επιβεβαιώθηκε αργότερα από τα πειράματα του Gffth (9) ε υαλονήματα. Οι πρώτες μελέτες των Wohle το 860 και Kommes το 9 ε πειράματα κόπω-

11 ης, κατέδειξαν επίης ότι η αντοχή εξαρτάται και από την ποιότητα της επιφάνειας των δοκιμίων και ειδικά από επιφανειακές εγκοπές. Αυτά τα πειραματικά αποτελέματα, έδειξαν ότι η λείανη ότι η λείανη και τίλβωη των δοκιμίων αυξάνει την αντοχή κατά 0 έως 50%. Αυτές οι εμπειρικές παράμετροι Α, Β, τράβηξαν το ενδιαφέρον του Gffth για την αντοχή των υλικών. Όμως πριν αναφερθούμε την θεμελιώδη υνειφορά του Gffth, αξίζει να ημειωθεί η εργαία του Weghadt (907, 995) που είναι εξόχως ημαντική απ την πλευρά των τερεών ωμάτων. Σε ένα αξιοημείωτο άρθρο, αλλά μη ευρέως γνωτό, ο Weghadt διετύπωε τη λύη της γραμμικής ελατικής φήνας, που υποβάλλεται ε ημειακή φόρτιη P ε μια από τις ακμές της και την ειδική περίπτωη του προβλήματος της ρωγμής (Σχ..5). Σχήμα.6. Το πρόβλημα της φήνας. Η λύη αυτή περιλαμβάνει με αρκετή λεπτομέρεια την αυμπτωτική υμπεριφορά του ταικού πεδίου την κορυφή της φήνας και την ειδική περίπτωη του προβλήματος της ρωγμής. Αυτή θα πρέπει να είναι και η πρώτη λύη, που αναγνωρίζει την ιδιομορφία του τύπου p της τάης ( είναι η απόταη απ την κορυφή της φήνας), καθώς επίης και την εξάρτηη τoυ εκθέτη p από την γωνία της φήνας και από την υμμετρία της φόρτιης. Στην ειδική περίπτωη που η γωνία της φήνας γίνεται λαμβάνεται η γεωμετρία της ρωγμής και ο πρώτος όρος του αναπτύγματος των τάεων είναι της μορφής / πολλαπλαιαμένος με κατάλληλη υνάρτηη που δίνει την γωνιακή κατανομή του όρου αυτού. Με βάη τα παραπάνω ο Weghadt διετύπωε τα παρακάτω ερωτήματα:

12 Με δεδομένες τις παραμέτρους αντοχής του ελατικού μέου, ποιο είναι το μέγεθος της δύναμης P που είναι αναγκαίο για την θραύη του υλικού και ποιο ημείο και κατεύθυνη θα εκκινήει και θα διαδοθεί η ρωγμή; Αφού ο Weghadt δέχθηκε την εφαρμογή του κριτηρίου μέγιτης τάης έφθαε το έξής παράδοξο: ενώ η θεωρία προβλέπει άπειρη τάη την αιχμή της ρωγμής για αυθαίρετα μικρή δύναμη P, εντούτοις τα πειραματικά δεδομένα δίδουν πεπεραμένη τιμή της φόρτιης P. Για την αντιμετώπιη αυτού του παραδόξου ο Weghadt διετύπωε ότι:.εφόον ε ένα ελατικό υλικό η θραύη δεν εκκινεί ένα μοναδικό αλλά ε μια μικρή περιοχή, τότε το κριτήριο θραύης δεν θα λάβουμε υπόψη μας την μέγιτη τάη ή τροπή, άλλα το ολοκλήρωμα αυτών ε μια μικρή περιοχή. Εφόον οι ιδιόμορφες τάεις είναι ολοκληρώιμες τότε η υνιτώα των θα είναι πεπεραμένη ποότητα. Συνεπώς μ αυτήν την παραδοχή ουιατικά παρέκαμψε το πρώτο ερώτημα και απάντηε το πρώτο κέλος του δεύτερου ερωτήματος, ότι δηλαδή η θραύη θα εκκινήει απ την αιχμή της ρωγμής. Κατόπιν προχώρηε την διερεύνηη του προβλήματος της γωνίας με την οποία θα διαδοθεί η ρωγμή με βάη το κριτήριο της μέγιτης διατμητικής τάης ή της μέγιτης εφελκυτικής τάης. Άρα ο Weghadt ουιατικά πρότεινε ότι το κριτήριο θραύης θα αφορά την ύγκριη της μέης τάης ε μικρή περιοχή πέριξ της αιχμής με την θεωρητική αντοχή του τερεού που δίδεται απ τη χέη: Eγ c (.b) c όπου: Ε μέτρο του Young [FL - ], γ επιφανειακή ενέργεια [FL - ] και c είναι η παράμετρος του πλέγματος [L]. Σημειώνεται ότι ο πιο λεπτομερής υπολογιμός της θεωρητικής αντοχής των τερεών δίνει: c 4 E 3 (.) Το 90, o A. A. Gffth (Gffth 90) δημοίευε την θεωρία περί διαδόεως ρωγμών. Η θεωρία αυτή προέβλεπε ότι μια προϋπάρχουα ρωγμή θα διαδοθεί αν ταπεινωνόταν η υνολική ενέργεια του υτήματος. Η ανάλυη των τάεων που χρηιμοποι-

13 ήθηκε από τον Gffth για τον υπολογιμό της αποθηκευμένης ελατικής ενέργειας από το ρηγματωμένο ώμα βαίθηκε τη δημοιευμένη το 93 εργαία του Ingls (93) που αφορούε το πρόβλημα μικρής ελλειπτικής οπής ε πλάκα που υποβάλλεται ε μονοαξονικό εφελκυμό. Ο Gffth έκανε πρώτος την παραδοχή ότι προϋπάρχουν ρωγμές το υλικό, οι οποίες είναι μεγάλες υγκριτικά με τις ατομικές και μοριακές αποτάεις. Η βαική αρχή που διετύπωε τη θεωρία του ο Gffth, ήταν ότι τα τερεά ώματα κατέχουν επιφανειακή ενέργεια όπως και τα ρευτά και για να διαδοθεί μια ρωγμή (ή για να αυξηθεί η επιφανειακή της ενέργεια) η αντίτοιχη επιφανειακή ενέργεια πρέπει να αποδοθεί από την εξωτερικά προδιδόμενη ενέργεια ή από την εκροή της επιφανειακής ενέργειας του τερεού. Χρηιμοποιώντας την λύη του Ingls ο Gffth, υπολόγιε την αύξηη της ενέργειας παραμόρφωης και με βάη το ιοζύγιο ενέργειας υπολόγιε την τάη θραύης ως εξής: γe * πα (.3) oπου Ε * Ε το μέτρο Young για υνθήκες επιπέδου εντάεως και E * E /( ν ) [FL - ] για υνθήκες επιπέδου παραμορφώεως και α το μιό του μήκους της ρωγμής [L]. Μια από τις μεγαλύτερες υνειφορές του Iwn τη Θραυτομηχανική, είναι ότι κατέδειξε τον καθολικό χαρακτήρα των αυνπτωτικών πεδίων των τάεων και των μετατοπίεων την γειτονιά της αιχμής της ρωγμής ε ένα γραμμικό ελατικό τερεό. Ο Iwn (957) έδειξε ότι για μικρή ακτινική απόταη απ την αιχμή της ρωγμής (Σχ..7) ιχύουν οι χέεις: K j f j (.4) π όπου fj είναι υναρτήεις της γωνίας θ οι οποίες είχαν βρεθεί προηγουμένως από τους Weghadt, Westegaad και Sneddon για δεδομένες γεωμετρίες ρωγμών και υνθήκες φόρτιης. Ο Iwn απεκάλεε τον υντελετή K Συντελετή εντάεως των Τάεων.

14 Σχήμα.7. Σύτημα υντεταγμένων την αιχμή της ρωγμής. Αν και ο Smekal ε μια ειρά άρθρων μεταξύ του 9 και 935 παρατήρηε ότι εκτός από τις προϋπάρχουες ρωγμές πρέπει να δοθεί και ιδιαίτερη προοχή τις ανομοιογένειες που εμπεριέχουν τα υλικά, εντούτοις δεν υπάρχει ένδειξη ότι η ανάπτυξη μετά από το 934 της θεωρίας εξαρθρώεων (dslocaton theo) εξάκηε ημαντική επιρροή την ανάπτυξη της θραυτομηχανικής, εκτός κατά την τελευταία 0-ετία ε έρευνες που αφορούν περί αιχμών των ρωγμών. Ο Webull παρουίαε την τατιτική θεωρία της θραύεως το 939 καταδεικνύοντας το φαινόμενο κλίμακας των ψαθυρών υλικών λόγω παρουίας ετερογενειών ε αυτά Κατόπιν το 944 οι Zene και Holloman υχέτιαν την θεωρία διαδόεως ρωγμών του Gffth με την ψαθυρή θραύη ανελατικών υλικών. Επίης το 945 ο Oowan παρατήρηε υντεταγμένη πλατική παραμόρφωη τις επιφάνειες υλικών που είχαν ατοχήει με ψαθυρό τρόπο. Κατόπιν το 958 ο Iwn παρατήρηε ότι τη διατήρηη της ενέργειας τύπου Gffth, πρέπει να ληφθεί υπ όψη και το έργο της πλατικής παραμόρφωης(παραμορφωιακή ενέργεια που αποθηκεύεται το ώμα ιούται με την επιφανειακή ενέργεια υν το έργο της πλατικής παραμόρφωης). Η ίδια άποψη διατυπώθηκε και από τον Oowan, ο οποίος κατέδειξε ότι αν τροποποιηθεί η υνθήκη ατοχίας του Gffth έτι ώτε να λαμβάνεται υπ όψη το πλατικό έργο, τότε είναι ικανή και αναγκαία υνθήκη για την πρόβλεψη της ψαθυρής θραύης. Ο Iwn το 955 πρότεινε και το 957 απέδειξε ότι η ενεργειακή προέγγιη είναι

15 ιοδύναμη με αυτήν της εντάεως της τάης ύμφωνα με την οποία υμβαίνει θραύη όταν λάβει χώρα κρίιμη διανομή τάεων που είναι χαρακτηριτική του υλικού. Έως το 959 η αρχή των Gffth-Iwn της μηχανικής των οξειών ρωγμών είχε γίνει γνωτή ευρέως γνώτη και η ASTM (Amecan Socet fo Testng and Mateals) δημιούργηε ειδική επιτροπή για την αντιμετώπιη πρακτικών προβλημάτων θραύεων. Αναγνωρίθηκε επίης το γεγονός ότι για την πειραματική μελέτη τέτοιων προβλημάτων έπρεπε να χεδιατούν δοκίμια με τεχνητές ρωγμές. Έτι ακολούθηε η εκτέλεη πειραμάτων προδιοριμού της θραυτικής τιβαρότητας ε υνθήκες επιπέδου παραμορφώεως. Κατά την περίοδο από το 956 έως ήμερα ερευνητές όπως οι Hll, Allan and Southwell, Lee, Neabe, Halt, Dugdale, McClntock και άλλοι διετύπωαν αναλυτικές μεθόδους για την μελέτη του εντατικοπαραμορφωιακού πεδίου τη γειτονιά οξειών εγκοπών. Η εργαία των τριών τελευταίων ερευνητών επεκτάθηκε ώτε να περιλαμβάνει και ρωγμές. Οι υνθήκες για την δυναμική διαδιδόμενων ρωγμών διατυπώθηκαν ε πρώτη φάη το 948 από τον Mott. Μια ανακόπηη της μεταγενέτερης ανάπτυξης αυτήν την περιοχή αποδίδεται από τον Shadn και τον Feund. Ανακεφαλαιώνοντας, η ιτορία της Θραυτομηχανικής επιδεικνύει ανάπτυξη και τη θεωρία και τα πειράματα. Η θεωρητική ανάπτυξη της Θραυτομηχανικής, βαίτηκε πάνω τη γραμμική ελατικότητα των απειροτών τροπών. Αυτή η προέγγιη επιβεβαιώνεται από τις πειραματικές μετρήεις. Δύο δεκαετίες πριν έχουν γίνει και θεωρητικές αναλύεις της πλατικής ζώνης πληίον της αιχμής της ρωγμής..3. Τρόποι Φορτίεως Ρωγμών Τα εντατικά πεδία των αιχμών των ρωγμών μπορούν να υποδιαιρεθούν ε τρείς βαικούς τύπους με καθέναν από αυτούς να υναρτάται με ένα τοπικό τύπο παραμόρφωης όπως το Σχ..8.

16 (α) (β) (γ) Σχήμα.8. Οι βαικοί τρόποι παραμόρφωης των χειλών των ρωγμών. (α) Τύπος Ι, (β) Τύπος ΙΙ και (γ) Τύπος ΙΙΙ Οι τρόποι αυτοί είναι : (α) ο «ανοικτός» τύπος (εφελκυμός) (τύπος Ι) που είναι υμμετρικός ως προς τα επίπεδα O και Oz κατά τον οποίο ιχύει η κάτωθι χέη τη επιφάνεια της ρωγμής, u uz 0 (.5) (β) ο τύπος της «ολίθηης» των χειλών της ρωγμής (τύπος ΙΙ) που είναι υμμετρικός ως προς το επίπεδο O και αντι-υμμετρικός ως προς το Oz και τον οποίο ιχύει προς το επίπεδο Oz και τον οποίο ιχύει η κάτωθι χέη την επιφάνεια της ρωγμής, u uz 0 (.6) και (γ) ο τύπος του «ψαλιδιμού» ή αντι-επίπεδης ολίθηης (τύπος ΙΙΙ) των χειλών της ρωγμής που είναι αντι-υμμετρικός ως προς τα επίπεδα O και Oz και τον οποίο ιχύει η κάτωθι χέη το επίπεδο της ρωγμής u u 0 (.7) Στο ημείο αυτό ημειώνεται ότι και την Τεκτονική Γεωλογία γίνεται παρόμοια ταξινόμηη των βαικών τύπων παραμόρφωης των ρηγμάτων τα οποία διακρίνονται κυρίως ε τύπους ΙΙ και ΙΙΙ (Σχ..9).

17 Σχήμα.9. Tαξινόμηη ρηγμάτων την Τεκτονική Γεωλογία. Φιλοοφία και Σκοπός: Η βαική φιλοοφία της Θραυτομηχανικής βρίκεται την παραδοχή ότι το ελατικό πεδίο τάεων τη γειτονία της αιχμής της ρωγμής ελέγχει τη υμπεριφορά της. Η επίδραη αυτού του ελατικού πεδίου τάεων μπορεί να μετρηθεί με τον υντελετή εντάεως των τάεων (ΣΕΤ), που υμβολίζεται με Κ, ή εναλλακτικά από τον ρυθμό εκροής της ενέργειας παραμόρφωης g που όπως θα δούμε ε επόμενο κεφάλαιο ορίζεται από τη χέη ( ν) K ( ν) K K g I II III G G (.7β) G Η κατανόηη αυτών των ποοτήτων και η χέη τους είναι βαική για αυτή την κατανόηη αυτής της προέγγιης. Επιπροθέτως, γίνεται η παραδοχή ότι από όλες τις ρωγμές ε μια κατακευή ή δοκίμιο, μόνο μια ρωγμή παίζει κρίιμο ρόλο την ατοχία. Με άλλα λόγια, ο μηχανιμός που απαιτεί την υνένωη μικρο-ρωγμών ε

18 μακρο-ρωγμή δεν περιλαμβάνεται τη μαθηματική μοντελοποίηη που ακολουθεί. Αυτό γίνεται διότι επιθυμούμε την ύγκριη με τα πειραματικά αποτελέματα ε προ-ρηγματωμένα δοκίμια με μια τεχνητή ρωγμή και γιατί ε πραγματικές εφαρμογές ατοχίας κατακευών, αυτή (δηλαδή η ατοχία) εκδηλώνεται υνήθως με μια μόνο ρωγμή. Πρέπει επίης να τονιθεί ότι η ανάλυη που ακολουθεί είναι ακριβής μόνο για ψαθυρή θραύη που εκκινεί από οξεία ρωγμή..4 Η Κατανομή της Τάης την Αιχμή της Ρωγμής Σχήμα.0. Ρωγμή ε άπειρο ώμα. Τύπος ρωγμής Ι (Mode Ι): Λύη των τάεων:

19 3 cos cos sn 3 sn sn cos 3 sn sn cos θ θ θ τ θ θ θ θ θ θ a a a (.8) ( ) ρφωη παραμ πεδη επ ν η τ πεδη επ ό ί ά ί z, 0, Ενώ η λύη για τις μετατοπίεις δίδεται από τις εξής χέεις: 0 cos sn sn cos / / z I I u G K u G K u θ ν θ π θ ν θ π (.9) Σχήμα.. Κατανομή της ελατικής τάης την αιχμή της ρωγμής ( ) πα που θ π I j I j K ό f K :, (.0)

20 Σχήμα.. Πλατική ζώνη την αιχμή της ρωγμής K K (.) I * I Y, ή p * π π Y p Y Κριτήριο θραύης: Για άπειρο ώμα K IC π a (.) C όπου Κ ΙC είναι ιδιότητα του υλικού όπως θα δούμε παρακάτω. Για πεπεραμένο ώμα a K π a f (.3) w όπου w η χαρακτηριτική διάταη του πεπεραμένου ώματος.

21 .5 Το Κριτήριο Θραύης του Gffth Θεωρούμε προφορτιμένη πλάκα ε τάη με διαμπερή ευθύγραμμη ρωγμή μή-κους α, όπως φαίνεται το Σχ.. 3α (α) (β) Σχ ημα..3. α)άπειρη πλάκα με ακίνητα άκρα που περιέχει διαμπερή ρωγμή, β)διάγραμμα φορτίου επιμήκυνης της πλάκας. Ο Gffth (9) διατύπωε ενεργειακό κριτήριο θραύης δηλαδή κριτήριο για την περαιτέρω διάδοη της ρωγμής το δοκίμιο που μαθηματικά αποδίδεται από την παρακάτω χέη: du dw (.4) da da Η παραπάνω χέη ημαίνει ότι η ρωγμή θα διαδοθεί όταν ο ρυθμός εκροής ελατικής ενέργειας U το δοκίμιο, λόγω της διάδοης της ρωγμής (εμβαδόν τριγώνου OAC το Σχ..3.β), θα γίνει ίος με το ρυθμό κατανάλωης επιφανειακής ενέργειας W που είναι αναγκαίος για τη δημιουργία νέας επιφάνειας της ρωγμής.

22 Ο ρυθμός εκροής ελατικής ενέργειας δίνεται από τη χέη (Boek, 974) : du π a G (.5) da E ενώ ο ρυθμός κατανάλωης ενέργειας για την δημιουργία νέας επιφάνειας από τη χέη: dw R (.6) da Εξιώνοντας τις παραπάνω χέεις κατά τη θραύη προκύπτει η χέη που υνδέει την αντοχή της ρηγματωμένης πλακας ε εφελκυμό C με την κρίιμη εκροή ελατικής ενέργειας EG IC GIC και το μήκος της ρωγμής α, ως εξής : C (.7) πa Ο κρίιμος Συντελετής Ένταης της Τάης δίδεται από τις χέεις.8 &.9, ανάλογα με την γεωμετρία του προβλήματος. K G IC K IC C π a GIC (επίπεδη τάη) (.8) E K K & G (επίπεδη παραμόρφωη) (.9) I IC IC ( ν ) E ( ν )E I.6 Θραυτομηχανική και Αντοχή των Υλικών Στην προέγγιη της Αντοχής των Υλικών, δίδεται η γεωμετρία της κατακευής - η οποία υποτίθεται δεν έχει καμμία ατέλεια - για την οποία ζητείται να προδιοριθεί η φέρουα ικανότητα της. Ένας τρόπος για να γίνει αυτός ο υπολογιμός, είναι να βρεθεί η χέη του εξωτερικού φορτίου με την μέγιτη τάη που αναπτύεται εντός της κατακευής. Κατόπιν εφαρμόζοντας ένα κριτήριο ατοχίας τύπου Rankne, υγκρίνεται η μέγιτη αυτή τάη με την αντοχή του υλικού (τάη διαρροής ή τάη θραύης). Ένας παραδεκτός χεδιαμός είναι αυτός που δίνει μέγιτη τάη μικρότερη από την αντοχή του υλικού, η οποία μειώνεται ανάλογα με τον υντελετή αφάλειας. Η

23 ύγκριη αυτής της προέγγιης με την αντίτοιχη που ακολουθείται τη Θραυτομηχανική μπορεί να γίνει με την βοήθεια του παραδείγματος το χ..4. Στην απλή κατακευή του Σχ..0α ένα κυκλικό άνοιγμα διαμέτρου R, υποβάλλεται ε μονοαξονικό εφελκυτικό εντατικό πεδίο. Όπως φαίνεται το χ..0α η μέγιτη εφελκυτική τάη, δρα το ύνορο του ανοίγματος και χετίζεται με την εξωτερική τάη με την απλή χέη: ma 3 (.0) Σχήμα.0α. Κυκλικό άνοιγμα διαμέτρου R που υποβάλλεται ε εφελκυτική τάη. Μπορεί να θεωρηθεί ότι το άνοιγμα δεν θα ατοχήει, αν η μέγιτη δεν υπερβεί την αντοχή του πετρώματος Y, η οποία απομειώνεται κατάλληλα με υντελετή

24 αφάλειας S που λαμβάνει υπ όψη την μεταβλητότητα της αντοχής του πετρώματος ή μεγαλύτερα φορτία λειτουργίας: Y Y ma S 3 S (.) Αν ικανοποιείται η ανωτέρω ανίωη τότε η κατακευή (δηλ. η ήραγγα) θα είναι αφαλής, τουλάχιτον απ την άποψη της αντοχής των υλικών. Κατόπιν ας θεωρήουμε ότι το πέτρωμα, διαχίζεται από ρωγμές και ότι μια τέτοια ρωγμή βρίκεται εκεί που αναμένεται να εκδηλωθεί η μέγιτη τάη, όπως φαίνεται το χ..0β. Όπως θα καταδειχθεί ε επόμενο Κεφάλαιο η κρίιμη μηχανική παράμετρος ρηγματωμένων ωμάτων είναι ο Συντελετής Εντάεως των Τάεων. Αυτή η παράμετρος που υμβολίζεται με Κ, μπορεί να προδιοριθεί από κατάλληλη μαθηματική ανάλυη, παρόμοια με αυτή που ορίζεται για τον υπολογιμό των τάεων ε άρρηκτη κατακευή. Για ρωγμή πολύ μικρότερη από την ακτίνα του ανοίγματος (α<<r) η ανάλυη της ρηγματωμένης ήραγγας του χ..0β δίνει: K πα (.) Το βαικότερο κριτήριο ατοχίας τα πλαίια της θραυτομηχανικής διατυπώνεται ως εξής: K K IC S (.3) όπου KIC είναι ιδιότητα του υλικού και ονομάζεται Θραυτική Στοιβαρότητα ε Συνθήκη Επίπεδης Παραμόρφωης, η οποία απομειώνεται κατάλληλα, όπως και την περίπτωη της αντοχής των υλικών, με τον υντελετή αφάλειας S. Άρα η ανίωη που δίνει το αφαλές φορτίο λειτουργίας της ήραγγας λαμβάνει τη μορφή: < K IC, ( α R) S πα << (.4) Η ύγκριη των χέεων (.) και (.4) είναι ενδεικτική της διαφοράς των θεωριών της αντοχής των υλικών και της θραυτομηχανικής. Ήτοι, και οι δύο χέεις περιέχουν μια παράμετρο ενδεικτικής αντοχής του υλικού είτε την τάη διαρροής ή την θραυτική τιβαρότητα - αλλά χαρακτηρίζονται από μια βαική διαφορά: Κατά την θραυτομηχανική προέγγιη, ειάγεται μια νέα δομική παράμετρος που είναι το μέγεθος της ρωγμής α. Στην θραυτομηχανική λοιπόν, το μέγεθος της είναι θεμελιώδης δομι-

25 κή παράμετρος. Είναι η θεώρηη αυτής της παραμέτρου που διαχωρίζει την Αντοχή των Υλικών από την Θραυτομηχανική. Κατά την τελευταία προεγγιη είναι δυνατόν να διατυπωθούν δύο ερωτήματα, ήτοι: Ποιό είναι το μέγιτο μήκος προϋπάρχουας ρωγμής α έτι ώτε η τάη ατοχίας να μην είναι μικρότερη από προκαθοριμένη μέγιτη τάη λειτουργίας; Ποιά είναι η επίδραη του μήκους προϋπάρχουας ρωγμής επί της αντοχής του δομικού τοιχείου; Σχήμα.0 β. Κυκλικό άνοιγμα με ρωγμή το ύνορο του..7 Διάδοη Ρωγμής ε Κόπωη

26 Όπως αναφέρθηκε την.4 ο υντελετής ένταης της τάης εκφράζει την ένταη των τάεων και των παραμορφώεων την αιχμή της ρωγμής. Η έννοια του ΣΕΤ έχει νόημα αν το μέγεθος της πλατικής ζώνης είναι μικρό. Επίης, είναι λογικό ότι ο ρυθμός διάδοης μιας ρωγμής ε κόπωη ανά κύκλο φόρτιης προδιορίζεται από τον ΣΕΤ. Αν δύο διαφορετικές ρωγμές ευρίκονται ε ίδιο καθετώς τάης, δηλαδή έχουν ίδιο ΣΕΤ τότε θα επιδείξουν ίδιο ρυθμό διάδοης. ΔΚ Κ da dn ma Κ mn Κ ma ( ΔΚ) f { S π a} Q ma ( π a) Σχήμα.. f (.5) a Σχήμα..

27 Σχήμα.3. Η δεύτερη εξίωη από τις χέεις.5 την περιοχή (Β) του χήματος.3. δίδεται ως εξής: da dn C( ΔΚ) n (.6) όπου οι όροι C, n προδιορίζονται πειραματικά.8 Επίλογος Αναφέρθηκε ότι η διάδοη μιας ρωγμής και η θραύη εξαρτώνται από τον Συντελετή Ένταης Τάης (ΣΕΤ). Ο ΣΕΤ έχει κεντρικό ρόλο την θραυτομηχανική. Η γενική αρχή είναι ότι η γνώη του ΣΕΤ για μια ρωγμή ε μια κατακευή μπορεί να οδηγήει την πρόβλεψη της διάδοης της ρωγμής και τον χρόνο που μεολαβεί μέχρι την θραύη.

28 .9 Βιβλιογραφία Eadaktlos, G., (998). Gadent elastct wth suface eneg: Mode-I cack poblem. Int. J. Solds Stuctues Vol. 35, Nos 5-6, pp Gffth, A.A., (90). The phenomena of uptue and flow of solds. Phlosophcal Tansactons Ro. Soc. (London) Sees A, Vol., pp Ingls, C.E., (93). Stesses n a plate due to the pesence of cacks and shap cones. Tansactons, Inst. Naval Achtects, Vol. 60. Iwn, G.R. (948). Factue dnamcs factung of metals. Am. Soc. of Metals, Cleveland, pp Iwn, G.R. (955). Onset of fast cack popagaton n hgh stength steel and alumnum allos. VRL Dept Poc. 955 Sagamoe Confeence on Odnance Mateals, Vol. II, Sacuse Unv. Pess, Sacuse, N.Y Iwn, G.R. (957). Analss of stesses and stans nea the end of the cack. J. Appl. Mech., Vol. 4, p. 36. Iwn, G.R. (96). Jounal of Appled Mechancs, Tansactons of ASME, Sees E, Vol. 84, Dec. 96, pp Κύρια βιβλία Pake, A.P., (98).Τhe Mechancs of Fatgue and Factue. F&N Spon. Methuen, NY. Boek, D., (98). Elementa Engneeng Factue Mechancs. Matnus-Njhoff, 3 d Revson, Ed. 98.

29 Κεφάλαιο ο : Βαικές Εξιώεις του Συνεχούς Μέου

30 . Ειαγωγή Στην παρούα ενότητα, μελετώνται οι βαικές εξιώεις πεδίου που διέπουν την δυναμική ιορροπία ενός υνεχούς μέου (ρευτού ή τερεού) που μπορεί να είναι ή να μην είναι ελατικό. Βρίκονται οι τοπικές εξιώεις πεδίου (νόμοι του Cauch), από την μελέτη της ιορροπίας των γραμμικών και γωνιακών ροπών (νόμοι του Eule) ε αυθαίρετο τμήμα του τερεού υνεχούς ώματος. Η μεταβλητότητα των ιδιοτήτων και η πολυπλοκότητα των γεωλογικών χηματιμών κάνουν αδύνατη τη μαθηματική περιγραφή του μέου ε μικροκοπική κλίμακα όπου διακρίνονται τα ύνορα των υτατικών τοιχείων (κόκκοι, κρύταλλοι, ύδωρ, αέρας κ.λπ.). Ετι μία λεπτομερής μικροκοπική περιγραφή του γεωλογικού μέου μπορεί να αντικαταταθεί από ένα μέο υλικό τοιχείο το οποίο καλείται Αντιπροωπευτικός Στοιχειώδης Ογκος (Repesentatve Element Volume, REV) που είναι αρκετά μεγάλος ώτε να επικιάζει τις μικροκοπικές αυνέχειες και ανομοιογένειες των επί μέρους υτατικών τοιχείων, και από την άλλη πλευρά να είναι αρκετά μικρός ώτε να μην περιλαμβάνονται οι αυνέχειες του μέου την αμέως μεγαλύτερη κλίμακα (χ..α).

31 Σχήμα..α. Προδιοριμός του Στοιχειώδους Αντιπροωπευτικού Όγκου ενός γεωλογικού μέου. Ένας τυπικός αντιπροωπευτικός όγκος ενός μερικώς κορεμένου με ύδωρ πορώδους γεωλογικού μέου φαίνεται το χ..β. Το μέγεθος του όγκου είναι τέτοιο που οι απομονωμένοι πόροι δεν θεωρούνται ξεχωριτά κατά τις μακροκοπικές θερμοδυναμικές διαδικαίες. Η υπόθεη της «υνέχειας» υποθέτει ότι οι φυικές ιδιότητες μεταβάλλονται υνεχώς από το ένα μακροκοπικό γεωμετρικό ημείο το άλλο. Αρα, αυτή η υπόθεη επαληθεύει την ύπαρξη μιας κλίμακος που ορίζει τις διατάεις του REV που είναι κατάλληλες ε μια εφαρμογή.

32 Σχήμα.β. Μέος όγκος ενός μερικώς κορεμένου με ύδωρ γεωλογικού χηματιμού. Η παραδοχή της υνέχειας ημαίνει ότι η θεωρία του υνεχούς μέου βαίζεται την θεωρία των ορίων εφόον όλες οι ιδιότητες έχουν υνεχή μεταβολή το χώρο και το χρόνο. Παραδείγματος χάριν, όπως φαίνεται το χ..γ η πυκνότητα του υνεχούς μέου ορίζεται ως εξής δm dm ρ Lm (.) πυκν ό τητα το ημείο δv 0 δv dv Σχήμα.γ. Πεπεραμένος όγκος και ημείο υνεχούς μέου.

33 . Νόμοι του Eule Θεωρούμε τερεά ώματα την επιφάνεια των οποίων δρουν επιφανειακές δυνάμεις που υνήθως ορίζονται ανά μονάδα επιφάνειας και καλούνται Επιφανειακοί Ελκυτές (λ.χ. υδροτατική πίεη ε βυθιμένα ώματα). Ο επιφανειακός ελκυτής υμβολίζεται με το ύμβολο t [FL - ]. Ένας άλλος τύπος δυνάμεων, είναι αυτές που δρουν ταυτόχρονα επί όλων των υλικών ημείων του ώματος και καλούνται Δυνάμεις Πεδίου υμβολίζονται δε με f [FM - ] (λ.χ. βαρυτικές δυνάμεις) Εκτός από τους επιφανειακούς ελκυτές και τις δυνάμεις πεδίου ή καθολικές δυνάμεις, μπορούν να οριθούν και επιφανειακά ζεύγη δυνάμεων και διπλές δυνάμεις πεδίου. Έτω ότι ένα ώμα κατέχει χώρο R και έχει επιφάνεια R.Τότε, η υνιταμένη δύναμη που δρα επί του ώματος και υμβολίζεται με F δίδεται από την εξίωη οριμού: F tds ρ fdv R R (.) Η υνιταμένη ροπή L (που λαμβάνεται ως προς την αρχή Ο του υτήματος αναφοράς) ορίζεται ως εξής: L tds ρ fdv (.3) R R όπου ρ είναι η πυκνότητα μάζας του ώματος και το διάνυμα θέης. Η κίνηη του ώματος υπακούει τους νόμους του νόμους του Eule: ος Νόμος του Eule (ή νόμος διατήρηης της γραμμικής αδράνειας): Ο ρυθμός μεταβολής της γραμμικής αδράνειας P ώματος R είναι ίος με την υνιταμένη εξωτερική δύναμη F που δρα επί του ώματος. Έτω v(,t) το πεδίο ταχύτητας του τερεού τη τιγμή t, τότε ο πρώτος νόμος του Eule μπορεί να διατυπωθεί ε διανυματική μορφή ως εξής:

34 R R P tds ρ fdv (.4) ή ε μορφή με δείκτες: P ρ fdv tds R R (.5) όπου: dp d P ρ vdv dt dt R (.6) ος Νόμος του Eule (ή νόμος διατήρηης της γωνιακής αδράνειας): ο ρυθμός μεταβολής της γωνιακής αδράνειας Η ώματος R, ιούται με την υνιταμένη εξωτερική ροπή L που δρα επί του ώματος. Έτι ο δεύτερος νόμος μπορεί να γραφτεί ως εξής: H ds ρ fdv t R R (.7) ή ε μορφή με δείκτες: t ds H ρ R R f dv (.8) όπου, η γωνιακή αδράνεια ως προς την αρχή του υτήματος υντεταγμένων ορίζεται ως εξής: H ρ vdv ή H ρ ejk jv kdv (.9) R Και ο παράγων μετάθεης ejk ορίζεται ως: R (,,3) (,3,) ή (3,,) e jk, (, j,k) (,3,) (3,,) ή (,,3) (.0) 0 (,3,) Σημείωη: Το εξωτερικό γινόμενο δύο διανυμάτων ορίζεται ως εξής:v w(v w j )e jk e k όπου: e k (k,,3) είναι το μοναδιαίο διάνυμα βάης.

35 .3 Διάνυμα ελκυτή και τανυτή τάης Ειάγονται δύο ημαντικές έννοιες της μηχανικής του υνεχούς μέου, ήτοι: Ο εωτερικός επιφανειακός ελκυτής Ο τανυτής τάεως που κατόπιν χρηιμοποιούνται για να εκφράουν τις επιφανειακές τάεις που μεταδίδονται κατά μήκος οποιαδήποτε τοιχειώδους επιφάνειας του υλικού. Κατόπιν εφαρμόζοντας τους νόμους του Eule για αυθαίρετη περιοχή του υνεχούς μέου, κατατρώνονται οι τοπικές εξιώεις ιορροπίας που καλούνται νόμοι του Cauch..3. Διάνυμα Ελκυτού Η βαική έννοια του υνεχούς μέου δηλαδή ο Εωτερικός Επιφανειακός Ελκυτής μπορεί να διατυπωθεί ως έξης: η μηχανική δράη των υλικών ημείων, που βρίκονται τη μια πλευρά αυθαίρετης επιφάνειας του υλικού εντός του ώματος, επί των υλικών ημείων που βρίκονται την αντίθετη πλευρά, περιγράφεται με ομάδα ελκυτών καταλλήλως προδιαγεγραμμένων επί της επιφάνειας αυτής. Με βάη αυτή την έννοια (ή το αξίωμα), ένα τμήμα του ώματος μπορεί να αποκοπεί και να αντικαταταθεί με κατάλληλους επιφανειακούς ελκυτές, που προδιαγράφονται το νέο ύνορο (δηλαδή το ύνορο αποκοπής), χωρίς αυτή η αντικατάταη να επηρεάζει την κίνηη και την παραμόρφωη του εναπομείναντος τμήματος του ώματος. Σημειώνεται ότι η αφαίρεη αυτή υλικού, δεν πρέπει να μεταβάλλει τις δυνάμεις πεδίου, υμπεριλαμβανομένων και των δυνάμεων αλληλεπίδραης που δρουν το παραμένων τμήμα.

36 Σχήμα.: Επιφανειακός Ελκυτής t (n) τη τοιχειώδη επιφάνεια ds. Αν ένα ημείο της επιφάνειας ds και n είναι το κάθετο μοναδιαίο διάνυμα επι της επιφάνειας αυτής, η μηχανική δράη των υλικών ημείων που βρίκονται προς την πλευρά της ds που δείχνει το n, επί των υλικών ημείων της αντίθετης πλευράς, παριτάνεται με τον επιφανειακό ελκυτή t (n) που δρα επί της ds (βλ. χ..). Είναι προφανές ότι οι επιφανειακοί ελκυτές εξαρτώνται, γενικά, από τον προανατολιμό της τοιχειώδους επιφάνειας ds όπως αυτός προδιορίζεται από το διάνυμα n, καθώς επίης και από την θέη της τον χώρο, αλλά όχι από το χήμα της. Θεμελιώδες θεώρημα Cauch. Αρχίζουμε με την παραδοχή - κλειδί ότι εκτός από το ότι μεταβάλλεται το χώρο και το χρόνο, ο ελκυτής του μοναδιαίου καθέτου διανύματος n της υπόψην επιφάνειας. ~ t είναι επίης υνάρτηη ~ t t(,t, n) (.)

37 Το θεμελιώδες θεώρημα του Cauch διατυπώνει ότι η εξάρτηη είναι γραμμική και - νεπώς υπάρχει τανυτής, t ~ ~ ~ τέτοιος ώτε t n (.) ~ ~ ~ ~ Απόδειξη.. Αρχίζουμε με ένα μικρό τετράεδρο με αριθμημένες πλευρές -4. Σχήμα.3 Τετράεδρον της τάης. Εφαρμόζουμε τον ο νόμο του Εule (εξί..), όπου οι αδρανειακές και οι δυνάμεις πεδίου αγνοούνται εφόον είναι ανάλογες με τον όγκο του ώματος, ο οποίος υγκρινόμενος με το εμβαδόν της επιφάνειας που υνιτά η απειροτή ποότητα μεγαλύτερης τάξης, θεωρείται αμελητέος. Οο το τετράεδρο εκφυλίζεται ε ημείο, ο ος νόμος του Eule απαιτεί ότι το διανυματικό άθροιμα των δυνάμεων (ελκυτής επιφάνεια) ε κάθε πλευρά του πρέπει να ιορροπεί. Αρα

38 ~ 4 k k ~ k ~ 0 A n t (.3) και υνεπώς α 3 k k ~ k ~ ~ 4 ~ n t n t (.4) όπου 4 k k A / A α. (.5). Για κάθε υνεχές μέο Β ιχύει ότι ~ B ~ 0 da n (.6) Εφαρμόζοντας αυτή τη χέη το τοιχειώδες τετράεδρο λαμβάνουμε α 3 k ~ k k ~ 4 n n (.7) 3. Αντικαθιτώντας βρίκουμε α α 3 k ~ k ~ k 3 k ~ k k ~ n t n t (.8) που ιχύει για κάθε μέγεθος του τετραέδρου, υνεπώς το μοναδιαίο κάθετο διάνυμα πρέπει να είναι γραμμικό και ολοκληρώνεται η απόδειξη για την ύπαρξη του τανυτού της τάης ~ ~. j j j n t (.9)

39 Ο τανυτικός χαρακτήρας της τάης προκύπτει απ το γεγονός ότι το αριτερό ~ ~ μέλος της (.9) είναι διάνυμα για οποιοδήποτε μοναδιαίο διάνυμα n. ~ Η ανωτέρω χέη (.9) αποτελεί το Θεώρημα του Cauch για τα διανύματα ελκυτών. Αν αντί του επιπέδου n επιλεγεί το επίπεδο m -n τότε t(m ) t( n) t(e)n t(n) (.0) που ημαίνει ότι τα διανύματα ελκυτών που δρουν ε αντίθετες πλευρές της επιφάνειας έχουν το ίδιο μέτρο αλλά αντίθετη φορά (3ος νόμος του Νewton). Αν j είναι η j-υνιτώα του διανύματος ελκυτού που δρά επί της επιφάνειας με μοναδιαίο διάνυμα e, τότε ιχύει η εξίωη: ( e ) e j j t (.) Όπου το ύμβολο ( ) αναφέρεται την πράξη του Εωτερικού Γινομένου. Ο ελκυτής της τάεως t( n ) μπορεί επίης να εκφρατεί υναρτήει των υνιτωών του κατά την έννοια των αξόνων των υντεταγμένων, δηλαδή: ( n ) t ( n ) e j t j (.) Η υνιτώα του τανυτή τάης j, παριτά την ορθογώνια προβολή πάνω τον άξονα j, του διανύματος ελκυτού (ή επιφανειακής τάης) που δρα το επίπεδο που είναι κάθετο την διεύθυνη. Για την θετική έδρα αυτού του επιπέδου, (η θετική πλευρά του επιπέδου που είναι κάθετο την διεύθυνη είναι αυτή της οποίας το μοναδιαίο κάθετο διάνυμα δείχνει προς την θετική φορά της ), η θετική j υποδηλώνει εκείνη τη υνιτώα που δείχνει προς την θετική φορά της j. Αυτή η υνήθως χρηιμοποιούμενη ύμβαη πρόημου, παρουιάζεται το χ..3, το οποίο γίνεται η παραδοχή ότι όλες οι υνιτώες του τανυτή είναι θετικές. Οι υνιτώες, και 33 που είναι κάθετες τα αντίτοιχα επίπεδα υντεταγμένων καλούνται Ορθές Τάεις. Οι εφαπτομενικές υνιτώες, 3 και 3 καλούνται Διατμητικές Τάεις.

40 Σχήμα.3 Συνιτώες του τανυτή τάεως Cauch. Η ορθή τάη που δρά επι του επιπέδου με εμβαδόν ds με μοναδιαίο κάθετο διάνυμα n είναι η ορθή υνιτώα του αντίτοιχου διανύματος ελκυτού t(n) κατά την διεύθυνη του n. Αν αυτή η ποότητα παραταθεί με N(n) έχουμε: N (n) t (n) n (n n) j n j n (.3) Η διατμητική τάη που δρα επί του ds είναι η εφαπτομεμενική υνιτώα S(n) του t(n) και αποδίδεται από την χέη: (n) (n) (n) (n) ( S ) t t (N ) (.4).4 Οι νόμοι του Cauch Ας θεωρηθεί η κίνηη ενός τμήματος Β ενός τερεού ώματος. Συμβολίζουμε με R, την περιοχή που καταλαμβάνει το Β ε δεδομένη χρονική τιγμή και με δr το ύνορο της με εξωτερικό μοναδιαίο διάνυμα n. Σύμφωνα με τα παραπάνω, η επίδραη των υλικών ημείων έξω απ αυτή την περιοχή επί αυτών εντός αυτής προδιορίζεται

41 πλήρως από τους επιφανειακούς ελκυτές t(n) επί του υνόρου δr. Έτι οι νόμοι κίνηης του Eule δίνουν: ρ( f v)dv n ds 0 R R ρ ( f v)dv ( n )ds 0 (.5) R R ή ε μορφή με δείκτες ρ (f j v j)dv n jds 0 R R jejk (f k v k )dv ejk j(n l lk )ds 0 R R ρ (.6) όπου χρηιμοποιήθηκε η χέη (.) και f είναι η υνιτώα της δύναμης πεδίου. Με βάη το Θεώρημα του Gauss * οι ανωτέρω εξιώεις λαμβάνουν την μορφή: R (ρf )dv j, 0 (.7) Η παραπάνω εξίωη πρέπει να ιχύει για αυθαίρετη περιοχή R που ημαίνει ότι: ρ f 0 (.8) j, Σύμφωνα με το θεώρημα του Gauss, το επιφανειακό ολοκλήρωμα τη δεύτερη από τις εξιώεις (.0) γίνεται: * θεώρημα Gauss n t kds R R t k, dv

42 R R R ejk jnllkds R R ejk ( j,llk jlk,l )dv ejk ( δ jllk jlk,l )dv ejk ( jk jlk,l )dv (ejk jlk ), l dv (.9) όπου χρηιμοποιήθηκαν οι ταυτότητες j,l δ jl, δjα jk αk. Αντικαθιτώντας την (.9) την δεύτερη εκ των εξιώεων (.6) έχουμε: ejk [ jk ( j lk,l ρf k )]dv 0 (.30) R Άλλα από την εξίωη ιορροπίας των (.) ο όρος μέα την παρένθεη πρέπει να είναι μηδενικός, ήτοι ejk jkdv 0 ejk jk 0 (.3) R Αν αναπτυχθεί η (.4) παίρνουμε , 0, 0 (.3) Συνεπώς όλες οι διατμητικές τάεις είναι υμμετρικές j j (.33) και από τις εννέα αρχικές υνιτώες του τανυτού των τάεων, μόνο έξι απ αυτές είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους.

43 .5 Τροπή Έτω ένα μικρό ορθογωνικό τοιχείο ABCD που φαίνεται το χ..4. Μετά την παραμόρφωη αυτού του τοιχείου μεταβάλλεται το εμβαδόν και το χήμα του και καταλαμβάνει την νέα θέη Α B C D. Όπως οι τάεις, έτι και οι τροπές είναι δύο ειδών, δηλαδή η ορθή τροπή ε που εκφράζει την αναλογική αύξηη ή μείωη των μηκών του τοιχείου και η διατμητική τροπή ( j) μείωη των γωνιών του τοιχείου. ε j που εκφράζει την αναλογική αύξηη ή Σχήμα.4 Τροπή ενός επίπεδου τοιχείου. Από το χ..4 η άμεη (ή ορθή) τροπή κατά την διεύθυνη O, ε, ορίζεται ως η αύξηη του μήκους του ως προς το αρχικό, δηλαδή ε A B AB (.34) AB

44 Αγνοώντας όρους τάξεως ( u / ) έχουμε ( u / )d u ε (.35) d ε Οι εξιώεις των ορθών τροπών μπορούν να διατυπωθούν ως εξής: u v w, ε, εzz z (.36) όπου u, v και w υμβολίζουν τις μετατοπίεις προς τις κατευθύνεις, και z, αντιτοίχως. Οι δείκτες δείχνουν την διεύθυνη της τρόπης, οι θετικές τροπές χετίζονται με αύξηη του μήκους και οι αρνητικές με μείωη του μήκους. Με κοπό να βρούμε ένα μέτρο της διατμητικής παραμόρφωης του τοιχείου παρατηρούμε ότι : κλίη κλίη αύξηη του ύψους v () γωνία (ad) (για μικρές γωνίες) οριζόντιο μήκος αύξηη του μήκους u () γωνία (ad) (για μικρές γωνίες) ύψος (.37) Η διατμητική τροπή ε ορίζεται ως το μιό της αύξηης της πιο απομεμακρυμένης γωνίας του τοιχείου, άρα : ε v u (.38) Η τεχνική διατμητική τροπή ορίζεται ως γε. Οι δύο δείκτες έχουν την ίδια ημαία όπως και τις διατμητικές τάεις. Θετική διατμητική τάη είναι αυτή που τείνει να μειώει την γωνία της κορυφής του τοιχείου που είναι πιο απομεμακρυμένη ως προς τους θετικά κατευθυνόμενους άξονες υντεταγμένων. Οι εξιώεις που υνδέουν τις τροπές με τις μετατοπίεις έχουν ως εξής: ε ε ε z z v u w u z w v z (.39)

45 Περιορίζοντας την προοχή μας το επίπεδο (,) έχουμε τις κάτωθι εξιώεις τροπών ε ε ε u v, v, u (.3) Οι τρείς υνιτώες των τροπών προκύπτουν από τις δύο υνιτώες της μετατόπιης, υνεπώς πρέπει να επιβληθούν κάποιοι περιοριμοί επί των επιτρεπτών τροπών. Οι τροπές πρέπει να είναι υμβατές μεταξύ τους. Παραγωγίζοντας τις εξιώεις (.3) βρίκουμε ε ε ε v u v, u (.3) Από τις χέεις (.3) προκύπτει ο περιοριμός για τις τροπές ή όπως αλλιώς καλείται Εξιωη Συμβιβατού των Τροπών ως εξής: 0 ε ε ε (.33).6 Bιβλιογραφία Fedeck, D. and Chang, T.S., Contnuum Mechancs, Scentfc Publshes, Inc., Cambdge, 97. Pake, A.P., The Mechancs of Factue and Fatgue, E. & F. N. Spoon, USA, 98.

46 .7 Aκήεις ου Κεφαλαίου:. Σε ένα υνεχές μέο οι υνιτώες της τάεις δίνονται από το μητρώο α j 0 b 0 b α c c α όπου α, b, c είναι ταθερές. Να βρεθεί το διάνυμα του ελκυτού t το ημείο ( 3) του επιπέδου 3 6 με n > 0.. Αν t και t είναι τα διανύματα ελκυτού ε ένα ημείο P που αντιτοιχούν τα μοναδιαία κάθετα διανύματα n και n, αντίτοιχα, να δείξετε ότι η υνιτώα του t την κατεύθυνη του n είναι ίη με τη υνιτώα του t την κατεύθυνη του n.

47 Κεφάλαιο 3 ο : Ειαγωγή τη Θεωρία Ελατικότητας

48 3. Γενική Ανακόπηη H επίπεδη ελατικότητα είναι ένα πολύ καλά μελετημένο αντικείμενο την ευρύτερη περιοχή της «Μηχανικής των Στερεών Σωμάτων». Οι βάεις της θεωρίας της επίπεδης ελατικότητας τοποθετήθηκαν ένα αιώνα πριν από ερευνητές όπως ο A (πραγματικό δυναμικό τάης, 86), Μawell (διαρμονική εξίωη για την ταική υνάρ-τηη A, 868), Gousat (επίλυη της διαρμονικής εξίωης, 898), Mtchell (τάεις ανεξάρτητες των ελατικών ιδιοτήτων του υλικού, 899), Kolosov (μιγαδικές εκφράεις της λύης της διαρμονικής εξίωης, 909), Μaguee (διαρμονική εξίωη του δυναμικού των μετατοπίεων, 933), και Muskhelshvl (ολοκληρώματα Cauch και τεχνικές υμμόρφου μεταχηματιμού, 934) μεταξύ πολλών άλλων. Κατωτέρω παρουιάζεται η ανακόπηη των κυριότερων μεθόδων που έχουν εφαρμοθεί απότο 860 έως ήμερα για την επίλυη του επίπεδου προβλήματος της ελατικότητας. Η ανακόπηη αυτή έχει γίνει απ τον P.P. Teodoescu (Appled Mechancs 7

49 Revews, Mach964, pp ) και Tedoescu (966) και προβάλλει περιότερο μεθόδους των εφαρμομένων μαθηματικών. Εν υντομία η ανακόπηη αυτή θίγει τα παρακάτω θέματα: I. Ειαγωγή (860) Βαικές Μαθηματικές Αρχές Nave, Ostogadsk, Cauch, Posson, Clapeon. Γενική Διατύπωη Προβλημάτων Lame, Beltam (ο A ειήγαγε την θεωρία του δυναμικού το 86). ΙΙ. Υπολογιτικές μέθοδοι Στάδιο - Στοιχειώδη διαρμονικά πολυώνυμα - Η φ ε μορφή Foue 3 - Μιγαδικές υναρτήεις 4 - Φωτοελατικότητα (Νέα) 5 - Προεγγιτικές μέθοδοι με τη χρήη υπολογιτού (πεπεραμένα τοιχεία, υνοριακά τοιχεία, διακριτά τοιχεία κ.λπ.) Α. Ημι αντίτροφες μέθοδοι. Έμμεη Παραδοχή για την φ και ικανοποίηη Συνοριακών Συνθηκών (υντομογρ. Σ.Σ). Λ.χ. δέξου ότι η φ μπορεί να αναπτυχθεί ε ειρά Foue και εκτίμηε τους υντελετές έτι ώτε η φ να ικανοποιεί τις Σ.Σ.. Άμεη Παραδοχή για την φ που ικανοποιεί μερικές υνθήκες τoυ μονού ή ζυγού της μεταβλητής (λ.χ. ανάλυη με ειρές Foue) και προδιοριμός παραμέτρων από τις υνοριακές υνθήκες. Β. Αναλυτικές μέθοδοι. Ακριβείς Κλειτής μορφής, υναρτήεις δυναμικών πραγματικές ή μιγαδικές. Προεγγιτικές 4 a) Άπειρες ειρές που ικανοποιούν φ 0και τις Σ.Σ. ακριβώς 73

50 4 b) Άπειρες ειρές που ικανοποιούν φ 0 και τις Σ.Σ. προεγγιτικά c) Μέθοδοι των μεταβολών (vaaton methods) όπου διακρίνονται δύο περιπτώεις: c) Βαική εξίωη (govenng equaton): Ακριβώς Συνοριακές υνθήκες : Προεγγιτικά c) Το αντίτροφο d) Μέθοδοι τελετών: ) Μεταχηματιμοί Foue ) Μεταχηματιμοί Laplace 3) Μεταχηματιμοί Melln 4) Μεταχηματιμοί Wene Hopf, κ.λπ e) Πεπεραμένες διαφορές (fnte dffeences) f) Συνοριακών τοιχείων (bounda elements) g) Πεπεραμένων τοιχείων (fnte elements) h) Ανάλογα (analogues) ) Φωτοελατικότητα j) Ψαθυρά επικαλύμματα (bttle coatngs) ΙΙΙ. Τύποι Προβλημάτων Συνοριακών Τιμών. ο θεμελιώδες πρόβλημα. Δίνονται οι τάεις ε τμήμα του υνόρου. ο θεμελιώδες πρόβλημα. Δίνονται οι μετατοπίεις ε τμήμα του υνόρου. 3ο θεμελιώδες πρόβλημα. Μικτό (δίνονται τάεις και μετατοπίεις) ε τμήμα υνόρου IV. Εφαρμογές. Ανυψωτές τάεων (εφαρμογή βοηθητικών υναρτήεων δυναμικού, μιγαδικών ή πραγματικών). Ρωγμές. Προβλήματα επαφών v. Αδρανειακές δυνάμεις (δυναμικά προβλήματα) 74

51 v. Ανιότροπα ώματα v. Στρωιγενή ώματα v. Κοκκώδη υλικά v. Βικο ελατικότητα. Ελατο - πλατική ανάλυη. Πεπεραμένες παραμορφώεις. Μη γραμμικές κατατατικές εξιώεις. Ελατο δυναμική 3. Επίλυη Διδιάτατων Προβλημάτων της Γραμμικής Θεωρίας Ελατικότητας ε Ιότροπα Μέα με την Ταική Συνάρτηη Α 3.. Ταική υνάρτηη του A ε Καρτειανό ύτημα υντεταγμένων Σ αυτό το κεφάλαιο μελετώνται βαικά επίπεδα προβλήματα της γεωμηχανικής με την βοήθεια της θεωρίας της ελατικότητας. Ως ελατικά υλικά νοούνται εκείνα τα οποία ανακτούν πλήρως το αρχικό χήμα και μέγεθος τους μετά την απομάκρυνη των αρχικών τάεων. Στην υνέχεια οι δυνάμεις πεδίου ή καθολικές δύναμεις (bod foces) 3 αγνοού-νται απ τις εξιώεις της επίπεδης ελατικότητας. Σ αυτήν την περίπτωη οι τάεις μπορούν να εκφραθούν με τη βοήθεια μόνο μιας βοηθητικής υναρτήεως που καλείται υνάρτηη τάεως ή υνάρτηη του A 4, η οποία είναι ημαντική την επίπεδη ελατικότητα. Επίης, για την λύη των επίπεδων προβλημάτων ελατικότητας απαιτείται η ολοκλήρωη του υτήματος των εξιώεων που υνίταται από: α) τις εξιώεις ιορροπίας [βλ. εξίωη (.)], τ τ 0 0 (3.) 3 Δηλαδή οι δυνάμεις εκείνες που εξακούνται ταυτόχρονα όλα τα ημεία του ώματος (λ.χ βαρυτιακές δυνάμεις, ηλεκτρομαγνητικές δυνάμεις κ.α.) 4 Άγγλος ατροφυικός που έξηε τον 9 ο αιώνα 75

52 β) και την εξίωη υμβιβατού των τροπών ε υνθήκες επιπέδου τάεως (plane stess) και επιπέδου παραμορφώεως (plane stan) (Tmoshenko and Goode, 970) 5 ( ) 0 ( ) 0 (3.) αφού ληφθούν υπόψιν οι υνοριακές υνθήκες του υπόψιν προβλήματος. Η πρώτη εκ των εξιώεων (3.) παριτά την ικανή και αναγκαία υνθήκη για την ύπαρξη υναρτήεως Β (, ), τέτοιας ώτε: B B τ, (3.3) Η δεύτερη εκ των εξιώεων (3.) είναι η ικανή και αναγκαία υνθήκη για την ύπαρξη υναρτήεως (, ) Α τέτοιας ώτε : A A, τ (3.4) Η ύγκριη των δύο εκφράεων της τ καταδεικνύει ότι: A B (3.5) U τέτοιας ώτε: U A, Από την χέη (3.5) προκύπτει η ύπαρξη πραγματικής υναρτήεως (, ) U B (3.6) 5 Aπό την εξίωη (.33) για υνθήκες επιπέδου τάης ε ( ν ), ε ( ν ), ε τ E E G ή για υνθήκες επιπέδου παραμόρφωης ([ ] ) ([ ε ν ν[ ν], ε ν ] ν[ ν] ), ε τ, E E G z ν( ) όπου GΕ/((ν)), το μέτρο διάτμηης του ελατικού τερεού 76

53 Αντικαθιτώντας τις ανωτέρω εκφράεις που δίνουν τα Α, Β τις προηγούμενες εξιώεις (3.3) και (3.4) προκύπτει ότι οι τάεις μπορούν να εκφραθούν υναρτήει μιας και μόνο πραγματικής υναρτήεως (, ) U κατά τον ακόλουθο τρόπο: U, U τ, U (3.7) Η υνάρτηη U καλείται υνάρτηη τάεως ή υνάρτηη του A. Μπορεί να δειχθεί ότι ο υνδυαμός των εξιώεων (3.) και (3.) οδηγεί ε μία μόνο διαρμονική (bhamonc) εξίωη: 4 U 4 U 4 U 0, 4 4 ΔΔU 0 4 U 0 (3.8) 3.. Ταική υνάρτηη του A ε πολικό ύτημα υντεταγμένων Παράδειγμα 3.: Χονδρότοιχος ωλήνας υπό εωτερική και εξωτερική ομοιόμορφη πίε-η Ακολούθως θα παρουιαθεί η λύη ενός βαικού προβλήματος της γεωμηχανικής με τη βοήθεια της ταικής υναρτήεως του A ε πολικές υντεταγμένες. Το πρόβλημα αυτό είναι η ήραγγα ή η γεώτρηη που υποβάλλεται ε ομοιόμορφη εωτερική και εξωτερική πίεη (χ. 3.α) και λύθηκε από τον G. Lamé. 77

54 (α) (β) Σχήμα 3. Το υπόψην επίπεδο πρόβλημα είναι φυικό να λυθεί ε πολικές υντεταγμένες (,θ) (χ. 3.β). Οι εξιώεις ιορροπίας χωρίς την παρουία καθολικών δυνάμεων πάιρνουν τη μορφή (Tmoshenko and Goode, 970) τ θ θ 0, θ τ τ θ θ θ (3.9) 0 θ 78

55 79 Οι εξιώεις (3.9) ικανοποιούνται αν θέουμε τάική υνάρτηη ( ),θ U έτι ώτε θ θ θ τ θ θ θ U U U, U, U U (3.0) Άκηη: Να αποδειχθεί ότι οι εξιώεις (3.0) ικανοποιούν τις εξιώεις ιορροπίας (3.9). Τέλος μπορεί να καταδειχθεί ότι η εξίωη υμβιβατού των τροπών (3.) μπο-ρεί να λάβει την ακόλουθει μορφή ε πολικές υντεταγμένες 0 U U U θ θ (3.) Παρατηρούμε ότι η κατανομή των τάεων για το υπόψην πρόβλημα είναι υμμετρική ως προς τον άξονα-oz που είναι κάθετος το επίπεδο του χαρτιού, επομένως η ταική υνάρτηη U δεν εξαρτάται από την γωνία θ (αξονουμμετρικό πρόβλημα). Άρα η εξίωη υμβιβατού (3.)λαμβάνει την μορφή: 0 d du d U d d U d d U d d du d U d d d d d (3.) Η παραπάνω εξιώη είναι υνήθης διαφορική εξιώη η οποία μπορεί να αναχθεί ε γραμμική διαφορική εξίωη με ταθερούς υντελετές, ειάγωντας τον μεταχηματιμό t e (3.3) Καταυτόν τον τρόπο η γενική λύη της εξίωης (3.) έχει την μορφή D C log B Alog U (3.4) όπου Α, Β, C, D είναι ταθερές ολοκλήρωης που προδιορίζονται απο τις υνοριάκές υνθήκες. Από τις εξιώεις (3.4) και (3.0) οι ταικές υνιτώεις λαμβάνουν τη μορφή :

56 A B( log ) C, A θ B(3 log ) C, τθ 0 (3.5) Οι εκφράεις των ακτινικών, εφαπτομενικών και διατμητικών τροπών αντίτοι-χα, υναρτήη των μετατοπήεων u, uθ, έχουν ως εξής: εθ u ε, u ε u θ θ, θ u u θ u θ θ (3.6) όπου u είναι η ακτινική μετατόπιη και u θ η εφαπομενική μετατόπιη. Αντικαθιτώντας τις εξιώεις (3.6) τις κάτωθι εξιώεις του Hooke για κατάταη επίπεδου παραμορφώεως (plane stan) ν ε E ν εθ θ E εθ τθ G ν ν ν ν θ,, (3.7) και θεωρώντας τις (3.5)μπορούμε κατόπιν ολοκληρώεως να βρούμε τις μετατοπίεις, ν A ( ν) u B log, E ( ν) ν B ( ν)c Hsn θ K cos θ, ν ν 4( ν )Bθ uθ F H cos θ K sn θ E (3.8) όπου F, H και Κ είναι ταθερές ολοκλήρωης που θα προδιοριθούν απο τις υνθήκες τήριξης του ώματος. 80

57 Επιτρέφοντας κατόπιν τις εξιώεις (3.5) παρατηρούμε ότι άν δεν υπάρχει οπή την αρχή των υντεταγμένων, τότε οι ταθερές Α και Β είναι μηδενικές εφόον την αντίθετη περίπτωη οι τάεις θα είναι άπειρες για 0. Άρα για ένα κυκλικό ώμα χωρίς οπή το κέντρο του και χωρίς καθολικές δυνάμεις μόνο μια αξονουμμετρική λύ-η θα υπάρχει, ήτοι θ (ct) και το ώμα θα είναι ε κατάταη ομοιόμορφου εφελκυμού η ομοιόμορφης θλίψης προς όλες τις κατευθύνεις το επίπεδο του. Απ την άλλη πλευρά άν υπάρχει οπη το κέντρο του ώματος και για Β0 (εφόον αν Β 0 η εφαπτομενική υνιτώα της μετατόπιης u θ δεν ανακτά την ίδια τιμή μετά από μία πλήρη περιτροφή κατά π) οι εξιώεις (3.5) λαμβάνουν την μορφή A C A θ C (3.9) Αν a και b υμβολίζουν την εωτερική και εξωτερική ακτίνα του κυλίνδρου (χ. 3.α) τότε οι υνοριακές υνθήκες έχουν ως εξής: ( ) a p, ( ) b p0 (3.0) Αντικαθιτώντας τις (3.0) την πρώτη εκ των εξιώεων (3.9) βρίκουμε τις παρακάτω εξιώεις A C p, a A (3.) C p 0 b από τις οποίες μπορούν να βρεθούν οι ταθερές Α και C ως εξής a b (p p ) A 0 b a p a p b C 0 (b a ) (3.) Αντικαθιτώντας τις χέεις (3.) τις (3.9) βρίκουμε τις τάεις ως ακολούθως 8

58 8 0 ) ( ) ( θ θ τ a b a p p b a b p p b a a b a p p b a b p p b a (3.3) Παράδειγμα 3.: Επίλυη προβλημάτων με την υνάρτηη του A και την ημι-αντίτροφη μέθοδο Γενικά είναι πολύ δύκολο να βρεθούν κλειτές λύεις των μερικών διαφορικών εξιώεων με προδιαγεγραμμένες υνοριακές υνθήκες που υναντώνται τη θεωρία της ελατικότητας. Σύμφωνα με την ημι-αντίτροφη μέθοδο κάνουμε μια υπόθεη για την υνάρ-τηη A και την αντικαθιτούμε την δι-αρμονική εξίωη, έτι ώτε να προκύψουν υνήθεις διαφορικές εξιώεις Το πρόβλημα της φήνας Για παράδειγμα το πρόβλημα της άπειρης επίπεδης φήνας με υγκεντρωμένο φορτίο την κορυφή της (βλ. χ. 3.), υποθέτουμε ότι η υνάρτηη του A ε πολικές υντεταγμένες έχει την μορφή: F(θ ) U (3.4) Σχήμα 3.: Άπειρη, επίπεδη φήνα με οριζόντια υγκεντρωμένη

59 δύναμη P την κορυφή της Αντικαθιτώντας την (3.4) την δι-αρμονική υνάρτηη προκύπτει η εξής διαφορική εξίωη: ( θ ) d F( θ ) d F U F( θ ) 0 (3.5) 4 dθ dθ Για να αποφύγουμε τον απειριμό των τάεων την κορυφή της, απομονώνουμε ένα μικρό τμήμα αυτής και το αντικαθιτούμε με κατάλληλο διάνυμα τάης κατά της λεπτομέρειες του χήματος Σχ Σχήμα 3.3: Αποφυγή απειριμού την γωνία της φήνας με την απόπαη μιας απειροτής περιοχής γύρω από την κορυφή Εφόον η υνιταμένη των και τ θ κατά την έννοια του μικρού κυκλικού υνό-ρου, πρέπει να είναι ίη με την δύναμη (ανά μονάδα μήκους) P. Τότε ύμφωνα με το θεώρημα του Sant Venant η κατανομή των τάεων λίγο μακρύτερα από αυτό το ύνορο θα είναι χεδόν ίδια με αυτή του αρχικού προβλήματος. Έτι οι υνοριακές υνθήκες για α είναι: 83