Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split Zavod za elektroenergetiku Katedra za električne mreže i postrojenja OPĆA ENERGETIKA
|
|
- Ανδρόνικα Καψής
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Split Zavod za elektroenergetiku Katedra za električne mreže i postrojenja OPĆA ENERGETIKA Doc. dr. sc. Ranko Goić, dipl. ing. el. šk.god. 2006/2007 OPĆA ENERGETIKA 1 Sadržaj predmeta Izvori i oblici energije Primarni, transformirani i korisni oblici energije Rezerve, vrste, osnovne karakteristike i pretvorbe neobnovljivih izvora energije Vrste, osnovne karakteristike i pretvorbe obnovljivih izvora energije Energetske bilance Energetika i okoliš Cijene i raspoloživost energenata Energetska efikasnost i racionalno korištenje energije Umreženi energetski sustavi (el. energija, prirodni plin i centralizirani toplinski sustavi) Principi tarifnih sustava u energetici Planiranje i gospodarenje u energetici (?) Zakonska regulativa (?) OPĆA ENERGETIKA 2 1
2 Literatura PREDAVANJA NA INTERNETU: B. Udovičić: Osnove energetike, ŠK Zagreb, B. Udovičić: Energija, društvo i okolina I, II, IV, Građevinska knjiga Beograd, 1988 H. Požar: Osnove energetike I, II, III, ŠK Zagreb, V. Paar: Energetska kriza: gdje (ni)je izlaz, Građevinska knjiga Zagreb, (?) OPĆA ENERGETIKA 3 Snaga & energija Energija je: - sposobnost vršenja rada na račun dovedene energije, ili - akumulirani rad ili sposobnost sustava da kroz odrđene procese obavi rad ili preda toplinu dw = F ds = F ds cos α Snaga: brzina korištenja energije ili transformacije jednog oblika energije u drugi dw t P = W = dt 2 P(t) dt t Osnovne SI jedinice: Energija: 2 2 J = N m (kg m s ) 1 Snaga: W = J s (kg m s ) OPĆA ENERGETIKA 4 2
3 Ostale jedinice za energiju Btu (British thermal unit): 1 Btu = 1055,06 J, 1 kwh = 3412 Btu OPĆA ENERGETIKA 5 Ostale jedinice za snagu OPĆA ENERGETIKA 6 3
4 Primjer 1: Koliko dnevno kwh pojedemo ako jedemo samo Milka čokolade za podmirenje energetskih potreba? Rješenje: 1 milka od 100 g sadrži 505 kcal energetske vrijednosti prosječno nam treba oko 2000 kcal energije dnevno 2000/505 = približno 4 čokolade Iz tablica konverzije: 1 kwh = 859,8 kcal 2000 kcal = 2000/859,8 kwh = 2,33 kwh Usporedba: toliko nam otprilike treba za 1 sat grijanja prostorije od 20m 2 OPĆA ENERGETIKA 7 Primjer2 : a) Koliko treba litara vode iz akumulacije Peruča da bi se proizveo 1 kwh električne energije u nizvodnim elektranama b) koliko kuna ima u punoj akumulaciji Peruča c) Koliki je energetski ekvivalent pune akumulacije Peruča preračunat u Milka čokolade Potrebni ulazni podaci: - iz pune akumulacije Peruča (potencijalna energija vode) može se proizvesti 400 GWh električne energije - puna akumlacija Peruča sadrži 541x10 6 m 2 vode = 541x10 9 l vode -prosječna cijena proizvodnje električne energije je 0,3 kn/kwh Rješenje: a) GWh = 400x10 6 kwh (u akumulaciji) - 541x10 9 l / 400x10 6 kwh = 1353 l/kwh = 1,353 m 3 /kwh b) - ako je cijena proizvedene el. en. 0,3 kn/kwh to znači da 1353 l vode u Peruči vrijedi 0,3 kn, a vrijednost pune akumulacije je 541x10 9 (l) x 0,3 (kn/kwh) / 1353 (l/kwh) ~ kn c) GWh = 400x10 6 kwh (u akumulaciji) - 1 Milka 505 kcal/1čokolada = 505 (kcal/1čokolada )/859,8 (kwh/kcal) = 0,59 kwh/1čokolada - 400x10 6 (kwh)/ 0,59 (kwh/1čokolada)= 678x10 6 čokolada u Peruči OPĆA ENERGETIKA 8 4
5 Pojavni oblici energije Dva osnovna oblika: A) NAGOMILANI B) PRIJELAZNI javlja se u slučajevima kad nagomilani oblik energije prelazi iz jednog oblika u drugi (energetske transformacije) ENERGIJA NAGOMILANA PRIJELAZNA KINETIČKA POTENCIJALNA UNUTRAŠNJA TERMIČKA KEMIJSKA NUKLEARNA ZRAČENJE OPĆA ENERGETIKA 9 Energetske pretvorbe PRIMARNI OBLICI ENERGIJE KORISNI OBLICI ENERGIJE PRETVORBENI OBLICI ENERGIJE Stupanj djelovanja pretvorbi: η = do bivena energija = dovedena energija gubici 1 dovedena energija dovedena energija < OPĆA ENERGETIKA 10 5
6 Primarni oblici energije su oni oblici koji se nalaze ili pojavljuju u prirodi (nekada se zovu i prirodni oblici energije). Obično se dijele prema slijedećim kriterijima: A) Obnovljivost: 1. Neobnovljivi izvori energije nafta, ugljen, zemni plin, uljni škriljci, nuklearna goriva, Zemljina unutrašnja toplina 2. Obnovljivi izvori energije drvo i otpaci, biomasa, bioplin, vodne snage, energija vjetra, energija plime i oseke, energija morskih struja i valova, toplina mora, energija Sunčeva zračenja Napomena: Bliska podjela prema kriteriju obnovljivosti je podjela na tzv. konvencionalne i nekonvencionalne oblike energije, te podjela na klasične i alternativne oblike energije. Ove podjele uglavnom odgovaraju podjeli na neobnovljive i obnovljive (eventualno s izuzetkom energije vodnih snaga) OPĆA ENERGETIKA 11 B) Tehno-ekonomskim mogućnostima iskorištavanja: 1. Izvori energije za koje nije tehnički rješen način iskorištavanja unutrašnja toplina Zemlje (dio koji ne izlazi na površinu u obliku vrućih izvora), fuzija, morske struje i valovi 2. Izvori energije za koje je tehnički rješen način iskorištavanja, ali nije ekonomski isplativo uljni škriljci, toplina mora, Sunčevo zračenje, vjetar, plima i oseka. 3. Izvori energije za koje je tehnički rješen način iskorištavanja, uz ekonomsku isplativost ugljen, nafta, plin, drvo i otpaci, biomasa, bioplin, fizija, vrući izvori, vodne snage Napomena: Navedena podjela između 2. i 3. grupe nije uvjek točna, ovisno o lokaciji izvora energije, njihovim karakteristikama, količini, blizini potrošača i sl. Naime, vrlo često se događa da energenti 3. grupe nisu isplativi, ali ima i slučajeva kad su neki iz 2. grupe ipak isplativi. Npr. - ako na nalazištu nekog goriva (plin, ugljen, nafta) nema velikih količina ili je daleko od mjesta upotrebe. - iskorištavanje energije sunca i energije vjetra na pogodnim lokacijama može biti isplativo OPĆA ENERGETIKA 12 6
7 C) Prema fizikalnim svojstvima, primarni oblici energije mogu se podijeliti na nosioce: 1. Kemijske energije drvo i otpaci, ugljen, sirova nafta, zemni plin, uljni škriljci, biomasa, bioplin 2. Nuklearne energije nuklearna goriva 3. Potencijalne energije vodne snage, plima i oseka 4. Kinetičke energije vjetar, energija morskih struja i valova 5. Toplinske energije geotermička, toplinska energija mora 6. Energije zračenja Sunčevo zračenje OPĆA ENERGETIKA 13 Primjer: ukupna svjetska potrošnja primarnih oblika energije (Izvor: International Energy Outlook, 2002). OPĆA ENERGETIKA 14 7
8 Pretvorbeni oblici energije su oni oblici koji se određenom energetskom transformacijom dobiju iz primarnih oblika, ali se u takvom obliku ne koriste, već se dalje pretvaraju u korisne oblike energije. Jasno, postoji i varijanta direktne pretvorbe primarnih oblika energije u korisne oblike. Najčešći oblici pretvorbe primarnih oblika energije u pretvorbene: 1. Isplinjavanje pretvorba ugljena kojoj je glavni krajnji produkt koks 2. Rasplinjavanje pretvorba ugljena u plinove 3. Izgaranje pretvorba kemijske energije u toplinsku energiju 4. Destilacija pretvorba sirove nafte u derivate 5. Degazolinaža odvajanje lakih od teških ugljikovodika (prerada naftnog plina) 6. Nuklearne reakcije pretvorba nuklearne energije u unutrašnju (toplinsku) energiju 7. Turbinske pretvorbe pretvorbe potencijalne i kinetičke energije u mehanički energiju 8. Zračenje pretvorba sunčevog isijavanja u toplinsku ili električnu energiju OPĆA ENERGETIKA 15 Korisni oblici energije su oni oblici koje koriste potrošači za neposrednu primjenu. Dijele se na : 1. Toplinsku energiju (osigurava se parom i vrelom vodom, izgranjem u ložištima i električnom energijom) 2. Mehaničku energiju (osigurava se električnom energijom, toplinskom energijom, potencijalnom i kinetičkom energijom) 3. Kemijsku energiju (osigurava se električnom enrgijom, koksom itd.) 4. Energiju za rasvjetu i napajanje elektroničkih uređaja OPĆA ENERGETIKA 16 8
9 1. Ugljen 2. Nafta Fosilna goriva 3. Zemni plin 4. Nuklearna goriva 5. Uljni škriljci 6. Zemljina unutrašnja toplina Neobnovljivi izvori energije Rezerve neobnovljivih izvora energije 1. Iskoristive rezerve rezerve koje se mogu iskorištavati uz današnje ekonomske i tehničke uvjete 2. Poznate rezerve rezerve za koje se može pretpostaviti da se nalaze u zemljinoj kori, a utvrđuju se na osnovu kvaliteta i debljina slojeva 3. Ukupne (geološke) rezerve se procjenjuju na osnovu poznavanja geoloških uvjeta i sličnosti s poznatim nalazištima OPĆA ENERGETIKA 17 Rezerve ugljena (sve vrste) miljardi tona Potrošnja (1999) Oceanija i N. Zeland Ostatak Afrike Kanada, Meksiko Ostatak Azije Južna Amerika Kazahstan Južna Afrika Njemačka Australija Indija Ostatak Evrope Kina Rusija USA Ukupne rezerve: 984*10 9 t Potrošnja (1999): 4,4*10 9 t Ukupne rezerve Hrvatska (?): 39*10 6 t Potrošnja Hrvatska (1999): 0,37*10 6 t OPĆA ENERGETIKA 18 9
10 Rezerve sirove nafte i NGL-a Potrošnja (1999) Ukupno Oceanija Ostatak Sjeverna Amerika Ostatak Južna Amerika miljardi tona Brazil Alžir Ostatak Evrope Norveška Ostatak Afrike Ostatak Bliski Istok Nigerija Ostatak Azije USA Meksiko Libija Kina Rusija Venecuela Iran UAE Kuvajt Irak S. Arabija Ukupne rezerve: 141*10 9 t Potrošnja (1999): 3,5*10 9 t Ukupne rezerve Hrvatska (?): 0,011*10 9 t Potrošnja Hrvatska (1999): 0,0052*10 9 t OPĆA ENERGETIKA 19 Rezerve prirodnog plina miljardi kubnih metara Potrošnja (1999) Oceanija Ostatak Južna Amerika Indonezija Malezija Turkmenistan Irak Ostatak Bliski Istok Ostatak Sjeverna Amerika Ostatak Afrike Nigerija Venecuela Alžir USA S. Arabija Ostatak Evropa UAR Ostatak Azija Katar Iran Rusija Ukupne rezerve: *10 9 m 3 Potrošnja (1999): 2.388*10 9 m 3 Ukupne rezerve Hrvatska (?): 34*10 9 m 3 Potrošnja Hrvatska (1999): 2,7*10 9 m 3 OPĆA ENERGETIKA 20 10
11 Procjena trajanja neobnovljivih izvora energije Udio fosilnih goriva u ukupnim zalihama: Ugljen 65% Nafta 19% Plin 16% Procjena trajanja: Smeđi ugljen 513 g. Kameni ugljen 151 g. Nafta 44 g. Plin 66 g. Uran 40 g. Napomene: - ove procjene su uvijek vrlo nepouzdane - najveća je nepoznanica koliko ima neutvrđenih rezervi - npr. prije 30-tak godina se računalo s otprilike istim rezervama nafte kao i danas - problem je i s procjenama razvoja novih tehnologija - npr. prije 30-tak godina se predviđalo da će se za 30 godina tehnološki riješiti način iskorištavanja energije fuzije (danas samo optimisti vjeruju da će se riješiti prije 30 godina) OPĆA ENERGETIKA 21 Osnovne karakteristike: Ugljen Ogrijevna moć (gornja): količina topline koja se oslobodi izgranjem 1 kg ugljena uz uvjet da se produkti izgranja ohlade do temperature koju su gorivo i zrak imali prije izgaranja, pri čemu se pretpostavlja da se sva vodena para kondenzirala. Jedinica: MJ/kg Količina sumpora (i ostalih kemijskih elemenata i spojeva) Količina hlapljivih sastojaka Količina ugljika Količina pepela Osnovne vrste ugljena: Kameni ugljen i antracit: ogrijevna moć > 23,7 MJ/kg (ili 29,3 ovisno o klasifikaciji), maximalno do ~ 38 MJ/kg Mrki ugljen: 12,56 MJ/kg < ogrijevna moć < 23,7 MJ/kg (ili 29,3) Lignit: ogrijevna moć < 12,56 MJ/kg, minimalno do ~ 7,5 MJ/kg (treset ogrijevna moć 6,3-8,4 MJ/kg) (drvo ogrijevna moć ~15 MJ/kg) OPĆA ENERGETIKA 22 11
12 Način pridobivanja: Jamska ili podzemna eksploatacija Površinska eksploatacija -način iskorištavanja ugljena ovisi prvenstveno o karakteristikama nalazišta (količina, debljina sloja, količina jalovine i dubina nalazišta), te kvaliteti ugljena, tj. o ukupnoj ekonomičnosti - za ugljen lošije kvalitete (manje ogrijevne moći) najčešće se ne isplati podzemna eksploatacija bez obzira na utvrđenu količinu - podzemnu eksploataciju otežavaju prvenstveno plinovi (metan) Cijene ugljena: a) Niže su u odnosu na druge energente (ukoliko se uspoređuje za primjenu u kojoj su moguće različite vrste goriva). Za proizvodnju električne energije se uspoređuje cijena promatranog goriva u odnosu na količinu dobivene toplinske energije u termoelektrani ($/GJ). Npr. 4 $/GJ za prirodni plin 1,7 $/GJ za kameni ugljen 0,26 $/GJ za nuklearno gorivo b) Stabilnije su u odnosu na cijene nafte i prirodnog plina, prvenstveno zbog veće disperzije proizvođača OPĆA ENERGETIKA 23 Usporedba cijena Ugljen Prirodni plin Nafta Nuklearna goriva $/10 6 Btu OPĆA ENERGETIKA 24 12
13 Nafta i zemni plin OPĆA ENERGETIKA 25 Sirova nafta i zemni plin su smjese različitih ugljikovodika, s primjesama dušika, kisika, sumpora i ostalih kemijskih elemenata. Glavni sastavni dio nafte su naftenski ugljikovodici (cikloparafini), te u manjim količinama parafinski ugljikovodici (alkani) i aromatski ugljikovodici. U nalazištima nafte redovito se pojavljuje i zemni plin. Nafta se vadi pomoću bušotina koje mogu biti na kopnu i moru, a ostvaruje se na tri načina: - prirodnom erupcijom, -pomoću dubinskih crpki - podizanjem plinom (utiskivanjem plina smanjuje se gustoća nafte a onda i tlak, što omogućava djelovanje kao kod eruptivnog nalazišta) Do postrojenja za preradu (rafinerija), nafta se dovodi: - naftovodima - brodskim i željezničkim prijevozom Osnovni derivati nafte su: rafinerijski plin, ukapljeni plin, benzini, petrolej, plinska ulja, loživa ulja i neenergetski produkti (maziva, motorna ulja, kruti produkti). Tekuća goriva produkti destilacije nafte imaju brojne tehnološke prednosti u odnosu na kruta goriva (npr. ugljen): veća toplinska vrijednost, bolje miješanje sa zrakom i potpunije izgaranje, sadrže manje pepela i vode, itd.) OPĆA ENERGETIKA 26 13
14 Zemni plin sastoji se od metana, etana, propana, butana, manjim dijelom pentana, heksana i viših ugljikovodika, te ostalih primjesa (dušik, ugljični dioksid, sumporni dioksid, helij itd.) Ukoliko se plin nalazi zajedno s naftom, u njemu se redovito nalaze određene količine viših ugljikovodika koje su pri normalnoj temperaturi u tekućem stanju (NGL natural gas liquids) Eksploatira se kao i nafta, bušotinama na kopnu i moru. Do potrošača ili postrojenja za preradu, plin se dovodi: - plinovodima - transportom u ukapljenom stanju (zauzima ~600 puta manje prostora u odnosu na plinovito stanje): LNG - liquified natural gas (UPP ukapljeni prirodni plin) LPG - liquified petroleum gas (UNP ukapljeni naftni plin) Plinovita goriva imaju brojne prednosti u odnosu na tekuća a pogotovo u odnosu na kruta goriva: pri izgaranju ne ostavljaju krute ostatke ni pepeo, manje su količine štetnih otpadnih plinova, bolje se miješaju sa zrakom, jednostavnija je izvedba plinskih ložišta, lakša je regulacija izgaranja, itd. OPĆA ENERGETIKA 27 Uljni škriljci i bituminozni pijesak Uljni škriljci su sedimentno stijenje s određenom količinom raspršenih organskih tvari ugljikovodika. Bituminozni pijesak je smjesa pijeska, mineralnih materijala i bitumena. Uljni škriljci najčešće se nalaze neposredno ispod površine tla u slojevima, slično kao ugljen. Za razliku od nafte i plina, ugljikovodici u uljnim škriljcima i bituminoznom pijesku su u krutom stanju, pa je eksploatacija otežana (potrebna je rafinacija i odjeljivanje ulja). Drugi je problem u maloj količini ulja u ukupnoj količini rude (raspon od nekoliko litara do nekoliko stotina litara po toni), pa je iskorištavanje najčešće ekonomski neopravdano. Zbog toga ni rezerve ovih energenata nisu dobro utvrđene osim na nalazištima s većim udjelom ulja (Estonija, Kanada). Odjeljeno ulje se mora dalje prerađivati, najčešće u sintetičku sirovu naftu, pri čemu dolazi do ispuštanja većih količina štetnih plinova na bazi sumpora i dušika. OPĆA ENERGETIKA 28 14
15 Nuklearna goriva Prirodna nuklearna goriva za fisiju: - Uran (U-235) - Torij (Th-232) Uran i torij dobivaju se iz ruda koje moraju imati određeni postotak urana odnosno torija da bi se eksploatacija ekonomski isplatila (postotak urana u rudi je najčešće ispod 0.1%). Za fisiju se koriste i umjetna nuklearna goriva: - Uran U-233 (dobiva se iz Th-232) - Plutonij Pu-239 (dobiva se iz U-238) Nuklearna goriva se u energetske svrhe primjenjuju isključivo za proizvodnju električne energije. Npr. iz 1 grama U-235 dobije se ~ kwh električne energije (prosječna godišnja potrošnja el. energije 7 kućanstava u RH). Prirodna nuklearna goriva za fuziju: deuterij (D) ili teški vodik litij (Li) OPĆA ENERGETIKA 29 Geotermička energija podrazumijeva energiju nagomilanu u unutrašnjosti Zemljine kore u obliku vruće vode odnosno pare (hidrogeotermička energije), te topline suhih stijena. Za sada se iskorištava vruća para i voda koja na površinu izvire prirodnim putem, te eventualno preko odgovarajućih bušotina s manjih dubina. Za iskorištavanje toplinske energije suhih stijena u unutrašnjosti zemljine kore, te vode i pare na većim dubinama još nema prihvatljivog tehno-ekonomskog rješenja. Iskorištavanje je moguće za: - grijanje i pripremu tople vode - proizvodnju električne energije (para pri većim temperaturama) - neenergetske namjene Geotermička energija OPĆA ENERGETIKA 30 15
16 Neke pretvorbe prirodnih oblika energije u prikladnije oblike Isplinjavanje ugljena: postupci kojim se djelovanjem topline iz ugljena izlučuju plinovite i tekuće tvari, pri čemu ne dolazi do kemijske promjene: a) švelovanje pri temperaturama o C, najčešće se koristi mrki ugljen, a rjeđe kameni ugljen b) koksiranje pri temperaturama do 1100 o C, redovito se koristi kameni ugljen - provodi se grijanjem bez pristupa zraka - produkti: - koks i koksni plin - polukoks - katran, benzol, amonijak itd. OPĆA ENERGETIKA 31 Rasplinjavanje ugljena: kemijski proces kojim se gorivi sastojci ugljena pretvaraju u gorive plinove izgaranjem, uz pepeo kao kruti ostatak - postoje dvije vrste rasplinjavanja: a) u plinskim generatorima b) podzemno rasplinjavanje u nalazištima ugljena, najčešće kod onih gdje više nije ekonomski isplativo vađenje ugljena, a postoje uvjeti za rasplinjavanje - produkti: različite vrste plinskih goriva Degazolinaža prirodnog plina: postupak kojim se vrši prerada prirodnog plina, izdvaja se tekući naftni plin i pripremaju plinovi za direktnu potrošnju (etan, propan, butan itd.) OPĆA ENERGETIKA 32 16
17 Destilacija nafte: osnovni postupak prerade nafte kojim se postupno izdvajaju mješavine srodnih ugljikovodika sa sličnim fizikalnim osobinama destilacijom se na određenim temperaturama izdvajaju komponente frakcije različitih temperatura isparavanja, i to u tri faze: zagrijavanje, isparavanje i kondenzacija vrste destilacije nafte: atmosferska, vakuumska, destilacija pod tlakom itd. osnovni produkti: - rafinerijski plin iskorištava se kao gorivo u rafinerijama i industriji ili kao sirovina u kemijskoj industriji - ukapljeni plinovi iskorištavaju se u industriji i kućanstvima kao gorivo - tehnički ili specijalni benzini ne koriste se za energetske svrhe - motorni benzin se koristi se za pogon motora s unutrašnjim izgaranjem - teški benzini se koriste za razne neenergetske namjene, te eventualno za proizvodnju nekih plinova -petrolejse koristi kao gorivo - gorivo za mlazne motore je smjesa benzina i petroleja - dizelsko gorivo (vrlo lako, lako srednje i teško) služi za pogon dizel motora - neenergetska ulja - ulja za loženje (ekstralako, lako, srednje i teško loživo ulje) upotrebljava se za loženje peći za grijanje, parnih kotlova, za tehnološke peći, za pogon brodova i kao zamjensko gorivo u plinskim elektranama - kruti produkti su parafin, bitumen, petrolkoks itd. OPĆA ENERGETIKA 33 Destilacija nafte: OPĆA ENERGETIKA 34 17
18 Pretvorba kemijske energije u unutrašnju termičku energiju Izgaranje je proces pretvorbe kemijske energije sadržane u nekom gorivu u unutrašnju termičku energiju (kinetička energija molekula koje se gibaju i potencijalna energija molekula kao posljedica privlačnih i odbojnih sila koje djeluju među njima). Proces izgaranja je kemijska reakcija različitih tvari (goriva u svim agregatnim stanjima) u dodiru s kisikom, a produkti izgaranja su plinovi i pepeo. Osim goriva i zraka, za početak procesa izgaranja je potrebna dovoljno visoka temperatura zapaljenja, a za nastavak izgaranja je potrebno osigurati odvođenje nastale topline. Izgaranje se vrši u ložištima, a dobivena termička energija može se koristiti u obliku: - korisne energije (npr. toplina za grijanje prostorija) - transformirane energije za daljnju transformaciju (npr. toplina za zagrijavanje vode i proizvodnju vode u parnom kotlu) Ložišta moraju biti tehnički prilagođena određenoj vrsti goriva, a nekad mogu biti prilagođena i za različite vrste goriva. Parni kotao je izmjenjivač topline koji toplinu oslobođenu izgaranjem goriva dovodi vodi i vodenoj pari, da bi se na izlazu iz parnog kotla dobila vodena para pri određenom tlaku i temperaturi. OPĆA ENERGETIKA 35 <-Osnovni prikaz parnog kotla Elementarni princip rada parnog kotla -> OPĆA ENERGETIKA 36 18
19 Pretvorbe unutrašnje termičke energije u mehaničku energiju Osnovne vrste pretvorbe: a) Preko klipnih strojeva: - parni klipni strojevi koriste vodenu paru koja se u cilindar dovodi izvana - motori s unutrašnjim izgaranjem koriste gorivo koje izgara unutar cilindra: -Ottoproces - Sabathe proces ili kombinirani dizel proces b) Preko turbina (motori s vanjskim izgaranjem): - parna turbina koristi vodenu paru kao pogonski medij - plinska turbina kao pogonski medij koristi smjesu zraka i plinova izgaranja OPĆA ENERGETIKA 37 Toplinski stroj Spremnik topline (ulaz) T in Q in W=Q in -Q out η W Q in Qin Q = Q in out T η = 1 T out ( Carnot-ov idealni proces ) in Stroj W Mehanička energija Q out Spremnik topline (izlaz) T out OPĆA ENERGETIKA 38 19
20 Termoelektrane Energetske transformacije: kemijska energija unutrašnja termička energija kinetička energija mehanička energija električna energija Vrste: a) Dizel termoelektrane b) Plinske termoelektrane c) Parne termoelektrane d) Kombinirane plinsko-parne elektrane ili kombi elektrane e) Kogeneracijske termoelektrane ili termoelektrane-toplane (parne i kombi) Osnovni podaci: - vrsta goriva koje koristi (može biti samo jedno ili više vrsta) - maksimalna snaga i tehnički minimum -specifični potrošak topline i korisnost - brzina i troškovi pokretanja i zaustavljanja - brzina promjene snage - napon na kojemu je TE priključena na električnu mrežu - faktor snage itd. OPĆA ENERGETIKA 39 Osnovna shema parne termoelektrane Parni kotao proizvodi vodenu paru Kondenzator kondenzira paru na izlazu iz turbine Turbina pretvara unutrašnju termičku energiju pare u kinetičku energiju mehaničku energiju rotaciju osovine koja pokreće stator električnog generatora Generator pretvara mehaničku u električnu energiju Crpka omogućava cirkulaciju pare u zatvorenom krugu OPĆA ENERGETIKA 40 20
21 Prostorna shema parne termoelektrane (na ugljen) Dimnjak skladište ugljena parovod turbina generator Transformator + el. postrojenje traka za transport uglja rijeka ili more (parni kotao) rashladna voda kondenzator OPĆA ENERGETIKA 41 Kako bi to mali Ivica objasnio OPĆA ENERGETIKA 42 21
22 Pretvorbe i efikasnost u termoelektrani TE GORIVO ložište TOPLINA kotao PARA turbina+kond. MEH. ENERG. generator ELEKTR. ENERG. transformator ELEKTR. ENERG. gubici 1-3% gubici 5-8% gubici ca 50% gubici 1-2% gubici 0.5-1% Prijenosna mreža Distribucijska mreža potrošači npr. gubici 2-4% gubici 4-12% η 1 = 0, OPĆA ENERGETIKA 43 Primjer 1: koliko treba ugljena za 12-satni rad el. radijatora snage 1000 W? 1000W*12h = 12kWh Gubici energije u distributivnoj i prijenosnoj mreži: 15% ==> treba proizvesti X kwh, 0,85 * X = 12kWh ==> X = 12 / 0,85 = 14,1kWh Pretvaranje u MJ: 1 kwh=3,6 MJ ==> 14,1kWh = 50,8MJ Efikasnost termoelektrane na ugljen je oko 38% ==> za proizvodnju 50,8MJ el. en. treba 50,8MJ / 0,38 = 133,7MJ unutrašnje kemijske energije ugljena Ogrjevna moć kamenog ugljena ugljena: npr. 25,5 MJ/kg (TE Plomin) ==> treba nam 133,7MJ / 25,5 MJ/kg = 5,2 kg Primjer 2: koliko to košta? Samo gorivo: 5,2kg ugljena u nabavi, uključujući prijevoz (velike količine za termoelektranu) ~ 0,36 kn/kg ==> 5,2kg * 0,36 kn/kg = 1,87kn Ukupna proizvodna cijena: je ~ 3,5USc/kWh = 0,22kn/kWh ==> 14,1 kwh košta 0,22 kn/kwh * 14,1 kwh = 3,1 kn (+PDV) Potrošač plaća za 12kWh: u višoj tarifi: 0,61 kn/kwh ==> ukupno 12x0,61 = 7,3 kn (+PDV) u nižoj tarifi: 0,32 kn/kwh ==> ukupno 12x0,32 = 3,8 kn (+PDV) OPĆA ENERGETIKA 44 22
23 Primjer 3: koliko bi isto koštalo potrošača ako se grije na prirodni plin iz mreže? 12kWh = 3,6x12 = 43,2 MJ Ogrijevna moć prirodnog plina: 33,3 MJ/m 3 ==> treba 43,2MJ / 33,3 MJ/m 3 = 1,3 m 3 plina Cijena plina za kućanstva: ~ 2kn/m 3 (u zagrebačkoj plinari) ==> ukupni trošak: 2kn/m 3 * 1,3 m 3 = 2,6 kn (+PDV) Za domaći rad: Koliko bi potrošača koštalo grijanje na ukapljeni plin (iz boce), uz pretpostavku iste količine korisne energije (12 kwh)? OPĆA ENERGETIKA 45 Iskorištavanje geotermalne energije za proizvodnju el. energije Varijanta 1: Direkno iskorištavanje vodene pare za pokretanje parne turbine (T pare >150 o C) Varijanta 2: Vodena para preko izmjenjivača topline zagrijava medij u sekundarnom krugu koji ima niže vrelište (100 o C<T pare <150 o C) OPĆA ENERGETIKA 46 23
24 Osnovna shema plinske termoelektrane Gorivo (plin ili ekstra lako loživo ulje) a) Otvoreni proces El. energija Osovina Zrak Smjesa zraka i plinova izgaranja K Kompresor upija zrak iz okoline i komprimira ga do određenog tlaka KI Komora izgaranja: dovedeni komprimirani zrak miješa se s gorivom koje izgara (plinovi izgaranja) T Turbina: plinovi izgaranja ekspandiraju u turbini koja pokreće generator i kompresor G Generator M Motor za pokretanje kompresora OPĆA ENERGETIKA 47 b) Otvoreni proces uz zagrijavanje zraka nakon kompresije Smjesa zraka i plinova izgaranja Gorivo Z Zagrijač zraka Zrak c) Zatvoreni proces Gorivo Zrak Plinovi Izgaranja OPĆA ENERGETIKA 48 Rashladna voda 24
25 Presjek plinske turbine OPĆA ENERGETIKA 49 Osnovne razlike između parnih i plinskih termoelektrana: parne termoelektrane imaju veći stupanj djelovanja (korisnost): ~40% parne, 25-30% plinske izgradnja parnih termoelektrana je skuplja (~2:1) i duže traje troškovi goriva po jedinici proizvedene el. energije redovito su manji za parne termoelektrane, pogotovo ako se radi o termoelektranama na ugljen (~1:2) plinske termoelektrane imaju manje troškove pokretanja i zaustavljanja plinske termoelektrane brže ulaze u pogon i fleksibilnije su u radu: moguća je brža promjena snage plinske termoelektrane su ekološki prihvatljivije: ispuštaju manje količine štetnih plinova kod plinskih termoelektrana može se javiti problem opskrbe gorivom: -u slučaju da se plin dovodi plinovodom, potrebni su dugoročni ugovori s isporučiteljem (vrlo često samo jednim) - u varijanti kad se koristi ukapljeni plin, ovog problema nema, ali su troškovi (cijena plina) znatno veći OPĆA ENERGETIKA 50 25
26 Kombinirane plinsko-parne termoelektrane (kombi TE) osnovna ideja: otpadna toplina na izlazu iz plinske turbine iskorištava se za zagrijavanje vode pripremu pare koja pokreće parnu turbinu na taj način povećava se ukupni stupanj djelovanja, trenutno je to nešto više od 50%, a razvojem tehnologije se očekuje dostići do 60% moguće je više varijanti ovisno o broju generatora i načinu povezivanja turbina: Multi-shaft - po jedna plinska i parna turbina, svaka pokreće svoj generator - dvije (ili više) plinskih turbina i jedna parna turbina Single-shaft - po jedna plinska i parna turbina na zajedničkoj osovini, s jednim generatorom OPĆA ENERGETIKA 51 Multi-shaft OPĆA ENERGETIKA 52 26
27 Single-shaft OPĆA ENERGETIKA 53 Termoelektrane - toplane Unutrašnja termička energija vodene pare dobivene u kotlu termoelektrane može se dijelom iskoristiti za direktnu industrijsku potrošnju, a drugi dio se privodi parnoj turbini za proizvodnju električne energije. Otpadna toplina iz turbine se može preko toplovodne mreže iskoristiti za grijanje. Ukupni stupanj djelovanja (ukupna izlazna energija toplinska i električna u odnosu na ulaznu unutrašnju kemijsku energiju goriva) na ovaj način može dostići i preko 90%. Zbog gubitaka energije u toplinskoj mreži stvarni stupanj djelovanja je manji. Tehnološka para za industriju Gorivo Kotao Generator Parna turbina Otpadna toplina Kondenzator Rashladna voda Pumpa OPĆA ENERGETIKA 54 27
28 Kombi termoelektrana - toplana Otpadni plinovi Gorivo Izmjenjivač topline Generator 2 Komora izg. Parna turbina Kompresor Plinska turbina Generator 1 Otpadna toplina Zrak OPĆA ENERGETIKA 55 Nuklearne elektrane Nuklearne elektrane mogu se smatrati i kao podvrsta termoelektrana, budući da je osnovna funkcionalna razlika jedino u načinu dobivanja vodene pare. Toplinsku energiju osigurava kontrolirana lančana reakcija nuklearnog goriva. OPĆA ENERGETIKA 56 28
29 Primarno reaktorsko postrojenje Sekundarno postrojenje Osnovni djelovi nuklearne elektrene su: Nuklearni reaktor uređaj u kojemu se održava kontrolirana nuklearna reakcija, a proizvedena toplina se odgovarajućim prijenosnim medijem izvodi iz reaktora Parogenerator izmjenjivač topline u kojem rashladno sredstvo reaktora predaje dio svoje toplinske energije vodi odnosno pari u sekundarnom krugu nuklearne elektrane. Cirkulaciona crpka rashladnog sredstva reaktora omogućava cirkulaciju rashladnog sredstva u primarnom krugu reaktora Tlačnik održava potreban tlak i kompenzira promjene volumena rashladnog sredstva uslijed promjene temperature Zaštitna posuda (kontejment) služi za smještaj i zaštitu primarnog kruga NE i dijela reaktorskog pomoćnog postrojenja Klasični sistemi dijelovi NE koji se nalaze i u TE (turbina, generator, kondenzator, crpke) OPĆA ENERGETIKA 57 Jezgru reaktora (tip PWR) čine: - Gorivi elementi: cijevi od specijalnih legura ispunjene UO 2 - Regulacijske i zaustavne šipke - Moderator: ima funkciju usporavanja procesa fisije (neutrone) - Rashladni fluid - Konstrukcijski elementi Nuklearne elektrane se obično dijele s obzirom na vrstu rashladnog sredstva reaktora: 1. Reaktori hlađeni i moderirani običnom vodom pod tlakom, PWR (Pressurized Water Reactor) npr. NE Krško 2. Reaktori hlađeni i moderirani kipućom vodom, BWR (Boiling Water Reactor) 3. Reaktori hlađeni i moderirani teškom vodom, HWR (Hevy Water Reactor) 4. Reaktori hlađeni plinom i moderirani grafitom, GCR (Gas Cooled Reactor), AGR (Advanced Gas Reaktor), HTGR (High Temperature Gas Reaktor) 5. Brzi oplodni reaktori hlađeni tekućim metalima, nemaju moderatora, LMFBR (Liquid Metal Fast Breeder Reactor) OPĆA ENERGETIKA 58 29
30 NE Krško 1 reaktor 2 crpke 3 parogeneratori 4 tlačnik 5 visokotlačni dio turbine 6 niskotlačni dio turbine 7 generator 10 - kondenzator OPĆA ENERGETIKA 59 Karakteristike NE: Dobre: - niska cijena goriva (po jedinici proizvoedene el. energije) - nema ispuštanja štetnih plinova u atmosferu Loše: -veliki investicijski troškovi -nema fleksibilnosti u radu -problem s tretmanom i skladištenjem nuklearnog otpada OPĆA ENERGETIKA 60 30
KORIŠTENJE VODNIH SNAGA
KORIŠTENJE VODNIH SNAGA ENERGIJA I SNAGA Energija i snaga Energija je sposobnost obavljanja rada. Energija se u prirodi javlja u različitim oblicima. Po zakonu o održanju energije: energija se ne može
Διαβάστε περισσότεραPARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)
(Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom
Διαβάστε περισσότεραKORIŠTENJE VODNIH SNAGA ENERGIJA I SNAGA
KORIŠTENJE VODNIH SNAGA ENERGIJA I SNAGA Energija i snaga Energija je sposobnost obavljanja rada. Energija se u prirodi javlja u različitim oblicima. Po zakonu o odrţanju energije: energija se ne moţe
Διαβάστε περισσότεραUtjecaj izgaranja biomase na okoliš
7. ZAGREBAČKI ENERGETSKI TJEDAN 2016 Utjecaj izgaranja biomase na okoliš Ivan Horvat, mag. ing. mech. prof. dr. sc. Damir Dović, dipl. ing. stroj. Sadržaj Uvod Karakteristike biomase Uporaba Prednosti
Διαβάστε περισσότεραTermodinamika i energetika. Energetika
Energetika Problematika kojom se energetika bavi obuhvaća: pretvorbu izvornih oblika energije u električnu i toplinsku energiju projektiranje energetskih postrojenja razvoj, konstrukciju i održavanje energetske
Διαβάστε περισσότεραObnovljivi izvori energije
Obnovljivi izvori energije i odrziv razvoj Energija vodenih tokova (hidroenergija) Energija plime i oseke Energija morskih struja Energija valova Obnovljivi izvori energije 1 EJ/god TWh/god Solarno zracenje
Διαβάστε περισσότεραELEKTRIČNA POSTROJENJA
ELEKTRIČNA POSTROJENJA Literatura: Požar, H. Visokonaponska rasklopna postrojenja, Tehnička knjiga, Zagreb Tehnički priručnik Končar Elektroenergetski sustav Međusobno povezani skup proizvodnih, prijenosnih
Διαβάστε περισσότεραProf. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1
(Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 REGENERATIVNI ZAGRIJAČI NAPOJNE VODE Regenerativni zagrijači napojne vode imaju zadatak da pomoću pare iz oduzimanja turbine vrše predgrijavanje napojne vode
Διαβάστε περισσότεραENERGETSKI SUSTAVI ZA PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE
Prof. dr. sc. Zmagoslav Prelec List: ENERGETSKI SUSTAVI ZA PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE ENERGETSKI SUSTAVI S PARNIM PROCESOM - Gorivo: - fosilno (ugljen, loživo ulje, prirodni plin) - nuklearno(u
Διαβάστε περισσότεραUpotreba tablica s termodinamičkim podacima
Upotreba tablica s termodinamičkim podacima Nije moguće znati apsolutnu vrijednost specifične unutarnje energije u procesnog materijala, ali je moguće odrediti promjenu ove veličine, koja odgovara promjenama
Διαβάστε περισσότεραSKRIPTA IZ KOLEGIJA: PROIZVODNJA I PRETVORBA ENERGIJE
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU RUDARSKO-GEOLOŠKO-NAFTNI FAKULTET SKRIPTA IZ KOLEGIJA: PROIZVODNJA I PRETVORBA ENERGIJE Nositelj kolegija: dr. sc. Damir Rajković, redoviti profesor na Rudarsko-geološko-naftnom fakultetu
Διαβάστε περισσότεραENERGETIKA. Studij: Kemijsko inženjerstvo (V semestar) prof. dr. sc. Igor Sutlović
Fakultet keijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za terodinaiku, strojarstvo i energetiku ENERGETIKA Studij: Keijsko inženjerstvo (V seestar) prof. dr. sc. Igor Sutlović Goriva se dijele na: kruta, tekuća
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα1. BRODSKE TOPLINSKE TURBINE
1. BRODSKE TOPLINSKE TURBINE 2. PARNOTURBINSKI POGON Slika 2. Parnoturbinski pogon 3. PRINCIP RADA PARNE TURBINE Slika 3. Princip rada parne turbine 4. PLINSKOTURBINSKI POGON Slika 4. Plinskoturbinski
Διαβάστε περισσότεραProf.dr.sc. Sejid Tešnjak. Prof.dr.sc. Igor Kuzle
Općenito o elektranama Prof.dr.sc. Sejid Tešnjak Prof.dr.sc. Davor Grgić Prof.dr.sc. Igor Kuzle Uvod Što su to elektrane... Elektrane su postrojenja u kojima se oblici unutrašnje energije (nuklearna, kemijska,
Διαβάστε περισσότεραkonst. Električni otpor
Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBA 5: ODREĐIVANJE OGRJEVNE MOĆI KRUTIH GORIVA
VJEŽBA 5: ODREĐIVANJE OGRJEVNE MOĆI KRUTIH GORIVA 14. VRSTE GORIVA I IZGARANJE 14.1 Definicija i podjela goriva Gorivo je materija koja ima mogućnost oslobađanja energije kao posljedice promjene kemijske
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραZg-St. USPOREDBA RAZLIČITIH ENERGENATA ZA POTREBE GRIJANJA OBITELJSKE KUĆE BRUTO POVRŠINE 150 m 2 NA LOKACIJAMA ZAGREB I SPLIT.
USPOREDBA RAZLIČITIH ENERGENATA ZA POTREBE GRIJANJA OBITELJSKE KUĆE BRUTO POVRŠINE 15 m 2 NA LOKACIJAMA ZAGREB I SPLIT TIPSKA MJERA U Hrvatskoj se grijanje obiteljskih kuća najčešće provodi korištenjem
Διαβάστε περισσότεραEliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare
Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska
Διαβάστε περισσότερα10. BENZINSKI MOTOR (2)
11.2012. VELEUČILIŠTE U RIJECI Prometni odjel Zdenko Novak 10. BENZINSKI MOTOR (2) 1 Sustav ubrizgavanja goriva Danas Otto motori za cestovna vozila uglavnom stvaraju gorivu smjesu pomoću sustava za ubrizgavanje
Διαβάστε περισσότεραTOPLINSKA BILANCA, GUBICI, ISKORISTIVOST I POTROŠNJA GORIVA U GENERATORU PARE
(Generatori are) List: TOPLINSKA BILANCA, GUBICI, ISKORISTIVOST I POTROŠNJA GORIVA U GENERATORU PARE Generator are je energetski uređaj u kojemu se u sklou Clausius-Rankineova kružnog rocesa redaje tolina
Διαβάστε περισσότεραKogeneracijska postrojenja
Kogeneracijska postrojenja (ZA INŽENJERE ELEKTROTEHNIKE) Kemal Hot Elektrotehnički odjel Tehničko veleučilište u Zagrebu Studeni, 2010. TVZ-EO: Kogeneracijska postrojenja U v o d Kogeneracija: simultana
Διαβάστε περισσότεραIz poznate entropije pare izračunat ćemo sadržaj pare u točki 2, a zatim i specifičnu entalpiju stanja 2. ( ) = + 2 x2
1. zadata Vodena para vrši promjene stanja po desnoretnom Ranineovom cilusu. Kotao proizvodi vodenu paru tlaa 150 bar i temperature 560 o C. U ondenzatoru je tla 0,06 bar, a snaga turbine je 0 MW. otrebno
Διαβάστε περισσότεραOpća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava
Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija
SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!
Διαβάστε περισσότεραKORIŠTENJE VODNIH SNAGA
KORIŠTENJE VODNIH SNAGA ENERGIJA [Nm]=[J]=[Ws] Oblici energije: Energija položaja - potencijalna energija : E P = mgh Energija gibanja -kinetička energija : E K = mv 2 /2 Energija dovođenja ili odvođenja
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραPT ISPITIVANJE PENETRANTIMA
FSB Sveučilišta u Zagrebu Zavod za kvalitetu Katedra za nerazorna ispitivanja PT ISPITIVANJE PENETRANTIMA Josip Stepanić SADRŽAJ kapilarni učinak metoda ispitivanja penetrantima uvjeti promatranja SADRŽAJ
Διαβάστε περισσότεραRAD, SNAGA I ENERGIJA
RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPostupak rješavanja bilanci energije
Postupak rješavanja bilanci energije 1. Postaviti procesnu shemu 2. Riješiti bilancu tvari 3. Napisati potreban oblik jednadžbe za bilancu energije (zatvoreni otvoreni sustav) 4. Odabrati referentno stanje
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότεραEMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZVOR EMISIJE
Prof. dr. sc. Z. Prelec INŽENJERSTO ZAŠTITE OKOLIŠA Poglavlje: (Emisija u atmosferu) List: 1 EMISIJA ŠTETNIH SASTOJAKA U ATMOSFERU IZ PROCESA IZGARANJA IZGARANJE - IZOR EMISIJE Izgaranje - najveći uzrok
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραRad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet
Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραENERGETSKA POSTROJENJA
(Parne turbine) List: 1 PARNE TURBINE Parne turbine su toplinski strojevi u kojima se toplinska energija, sadržana u pari, pretvara najprije u kinetičku energiju, a nakon toga u mehanički rad. Podjela
Διαβάστε περισσότεραI.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?
TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja
Διαβάστε περισσότεραAlarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ
Alarmni sustavi 07/08 predavanja 12. i 13. Detekcija metala, izvori napajanja u sustavima TZ pred.mr.sc Ivica Kuric Detekcija metala instrument koji detektira promjene u magnetskom polju generirane prisutnošću
Διαβάστε περισσότεραENERGETIKA. Studij: Kemijsko inženjerstvo (V semestar) prof. dr. sc. Igor Sutlović
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za termodinamiku, strojarstvo i energetiku ENERGETIKA Studij: Kemijsko inženjerstvo (V semestar) prof. dr. sc. Igor Sutlović Prirodni plin nije jedino
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότεραProizvodnja i potrošnja električne energije
Proizvodnja i potrošnja električne energije Električna struja Usmjereno gibanje elektrona. Struja ovisi o naponu i otporu strujnog kruga: I = (A) Električna snaga: P = U I (W) Električna energija: W =
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραKORIŠTENJE VODNIH SNAGA
KORIŠTENJE VODNIH SNAGA TURBINE Povijesni razvoj 1 Osnovni pojmovi hidraulički strojevi u kojima se mehanička energija vode pretvara u mehaničku energiju vrtnje stroja što veći raspon padova što veći kapacitet
Διαβάστε περισσότερα4 PRORAČUN DOBITAKA TOPLINE LJETO
4 PRORAČUN DOBITAKA TOPLINE LJETO Izvori topline u ljetnom razdoblju: 1. unutrašnji izvori topline Q I (dobitak topline od ljudi, rasvjete, strojeva, susjednih prostorija, ) 2. vanjski izvori topline Q
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραINTELIGENTNO UPRAVLJANJE
INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI
21. ŠKOLSKO/OPĆINSKO/GRADSKO NATJECANJE IZ GEOGRAFIJE 2014. GODINE 8. RAZRED TOČNI ODGOVORI Bodovanje za sve zadatke: - boduju se samo točni odgovori - dodatne upute navedene su za pojedine skupine zadataka
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα4. PRETVORBE OBLIKA ENERGIJE
4. PRETVORBE OBLIKA ENERGIJE 4.1. Uvod 4.2. Pretvorba kemijske energije u unutarnju termičku 4.3. Pretvorba unutarnje toplinske energije u mehaničku 4.4. Pretvorba potencijalne energije u mehaničku i obratno
Διαβάστε περισσότεραNovi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju
Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada
Διαβάστε περισσότεραFTN Novi Sad Katedra za motore i vozila. Teorija kretanja drumskih vozila Vučno-dinamičke performanse vozila: MAKSIMALNA BRZINA
: MAKSIMALNA BRZINA Maksimalna brzina kretanja F O (N) F OI i m =i I i m =i II F Oid Princip određivanja v MAX : Drugi Njutnov zakon Dokle god je: F O > ΣF otp vozilo ubrzava Kada postane: F O = ΣF otp
Διαβάστε περισσότεραKaskadna kompenzacija SAU
Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su
Διαβάστε περισσότεραPRIMJER 3. MATLAB filtdemo
PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραĈetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.
Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραEKONOMIČNA PROIZVODNJA I RACIONALNO KORIŠTENJE ENERGIJE
List:1 EKONOMIČNA PROIZVODNJA I RACIONALNO KORIŠTENJE ENERGIJE NEKI PRIMJERI ZA RACIONALNO KORIŠTENJE ENERGIJE UTJECAJNI FATORI EKONOMIČNOSTI POGONA: Konstrukcijska izvedba energetskih ureñaja, što utječe
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραFakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc.
Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Lidija Furač Pri normalnim uvjetima tlaka i temperature : 11 elemenata su plinovi
Διαβάστε περισσότεραKORIŠTENJE VODNIH SNAGA TURBINE
KORIŠTENJE VODNIH SNAGA TURBINE Osnovni pojmovi hidrauliĉki strojevi u kojima se energija vode pretvara u mehaniĉku energiju vrtnje stroja što veći raspon padova što veći kapacitet što veći korisni uĉinak
Διαβάστε περισσότεραEnergija biomase Obnovljivi izvori energije: vrste, potencijali, tehnologije
ENERGIJA BIOMASE Postanak: Biomasa su sve biorazgradive tvari biljnog i životinjskog porijekla, dobivene od otpada i ostataka poljoprivredne i šumarske industrije. Biomasa dolazi u: čvrstom, tekućem (biodizel,
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότεραPOMOĆNI SUSTAVI U ENERGETSKIM PROCESIMA SUSTAV ZA REKUPERACIJU KONDENZATA
Prof. dr. sc. Z. Prelec, dipl. ing. List: 1 POMOĆNI SUSTAVI U ENERGETSKIM PROCESIMA Sustav za rekuperaciju kondenzata Rashladni sustav SUSTAV ZA REKUPERACIJU KONDENZATA U raznim energetskim, procesnim
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI)
IZRAČUNAVANJE POKAZATELJA NAČINA RADA NAČINA RADA (ISKORIŠĆENOSTI KAPACITETA, STEPENA OTVORENOSTI RADNIH MESTA I NIVOA ORGANIZOVANOSTI) Izračunavanje pokazatelja načina rada OTVORENOG RM RASPOLOŽIVO RADNO
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραGrafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova
Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički
Διαβάστε περισσότεραPeriodičke izmjenične veličine
EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike
Διαβάστε περισσότεραLANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE
LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραNOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA. Imenovanje aromatskih ugljikovodika
NOMENKLATURA ORGANSKIH SPOJEVA Imenovanje aromatskih ugljikovodika benzen metilbenzen (toluen) 1,2-dimetilbenzen (o-ksilen) 1,3-dimetilbenzen (m-ksilen) 1,4-dimetilbenzen (p-ksilen) fenilna grupa 2-fenilheptan
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραPROCESI PRERADE NAFTE
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za tehnologiju nafte i petrokemiju Zagreb, Savska cesta 16 / II PROCESI PRERADE NAFTE Prof. Katica Sertić - Bionda PROCESI PRERADE
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4
UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραRačunarska grafika. Rasterizacija linije
Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραDUALNOST. Primjer. 4x 1 + x 2 + 3x 3. max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 (P ) 1/9. Back FullScr
DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 DUALNOST Primjer. (P ) 4x 1 + x 2 + 3x 3 max x 1 + 4x 2 1 3x 1 x 2 + x 3 3 x 1 0, x 2 0, x 3 0 1/9 (D)
Διαβάστε περισσότεραPOTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE
**** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA
Διαβάστε περισσότεραMatematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO
Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραSVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD. Igor Blažinić. Zagreb, 2015.
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Igor Blažinić Zagreb, 2015. SVEUČILIŠTE U ZAGREBU FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE DIPLOMSKI RAD Mentori: Izv.prof. dr. sc. Dražen
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραOSNOVI ELEKTRONIKE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA
ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET U BEOGRADU KATEDRA ZA ELEKTRONIKU OSNOVI ELEKTRONIKE SVI ODSECI OSIM ODSEKA ZA ELEKTRONIKU LABORATORIJSKE VEŽBE VEŽBA BROJ 1 OSNOVNA KOLA SA DIODAMA Autori: Goran Savić i Milan
Διαβάστε περισσότερα