ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ i Πισ τοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασ ία με θέμα Μελέτη Μετασ χηματισ μών που δίνουν πληροφορία σ το πεδίο Χρόνου-Συχνότητας Του φοιτητ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Συσ τημάτων και Αυτόματου Ελέγχου (Σ.Α.Ε) ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ : ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογισ τών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπισ τημίου Πατρών ΚΟΥΜΠΗ ΝΙΚΟΛΑΟΥ 7024 Θέμα Μελέτη Μετασ χηματισ μών που δίνουν πληροφορία σ το πεδίο Χρόνου-Συχνότητας Επιβλέπων ΔΕΡΜΑΤΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Πάτρα, Ιούλιος 2016

2 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ i Πισ τοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασ ία με θέμα Μελέτη Μετασ χηματισ μών που δίνουν πληροφορία σ το πεδίο Χρόνου-Συχνότητας Του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογισ τών ΚΟΥΜΠΗ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΤΟΥ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗ 7024 Παρουσ ιάσ τηκε δημόσ ια και εξετάσ τηκε σ το Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογισ τών σ τις / / Ο Επιβλέπων ΔΕΡΜΑΤΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Τ.&Τ.Π. Ο Διευθυντής του Τομέα ΦΑΚΩΤΑΚΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Τ.&Τ.Π.

3 ii Αριθμός Διπλωματικής Εργασ ίας: Θέμα: Μελέτη Μετασ χηματισ μών που δίνουν πληροφορία σ το πεδίο Χρόνου- Συχνότητας Φοιτητής: ΚΟΥΜΠΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Επιβλέπων: ΔΕΡΜΑΤΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Περίληψη *Η παρούσ α διπλωματική εργασ ία ασ χολείται με την έννοια του μετασ χηματισ μού και ιδιαίτερα αυτών που παρέχουν πληροφορία σ το από κοινού πεδίο χρόνου-σ υχνότητας. Ο μετασ χηματισ μός είναι αρκετά σ ημαντικό εργαλείο σ την ανάλυσ η και σ την επεξεργασ ία σ ήματος, αφού μας επιτρέπει να μεταβαίνουμε σ τις διάφορες αναπαρασ τάσ εις της πληροφορίας με σ κοπό να αντιληφθούμε καλύτερα κρυμμένα χαρακτηρισ τικά της. Με τον τρόπο αυτό γίνεται πιο αποδοτική η επεξεργασ ία, η μεταφορά αλλά και η αποθήκευσ ή της. Στο πρώτο κεφάλαιο γίνεται λόγος για τα απαραίτητα μαθηματικά εργαλεία -τους χώρους Banach και Hilbert, προκειμένου να γίνουν κατανοητές οι έννοιες του μετασ χηματισ μού και της αναπαράσ τασ ης. Στο δεύτερο κεφάλαιο μέσ ω παραδειγμάτων τονίζεται η ανάγκη για διαφορετικές αναπαρασ τάσ εις της πληροφορίας. Στο τρίτο και μεγαλύτερο κεφάλαιο της εργασ ίας εισ άγεται η έννοια της χρονοσ υχνοτικής ανάλυσ ης και παρουσ ιάζονται δύο χρονοσ υχνοτικές κατανομές. Το τέταρτο κεφάλαιο έχει ως αντικείμενο μια σ ύντομη μελέτη της θεωρίας των πλαισ ίων, τα οποία κατά κάποιο τρόπο γενικεύουν την έννοια της βάσ ης των διανυσ ματικών χώρων. Στη σ υνέχεια σ το πέμπτο κεφάλαιο μελετάται μια ιδιαίτερη κατηγορία πλαισ ίων, τα πλαίσ ια Gabor, τα οποία αποτελούν ίσ ως το πιο χρήσ ιμο εργαλείο της χρονοσ υχνοτικής ανάλυσ ης και επεξεργασ ίας. Στο έκτο κεφάλαιο εισ άγεται ο κλασ ματικός μετασ χηματισ μός Fourier και γίνεται λόγος για τη σ χέσ η του με τις χρονοσ υχνοτικές κατανομές. Ο κλασ ματικός μετασ χηματιμός Fourier σ τη πορεία δίνει το κίνητρο σ το να γίνουν πειραματισ μοί με κλασ ματικής τάξης Gabor σ υσ τήματα των οποίων εξετάζουμε την ποιότητα τους. Στο τέλος της εργασ ίας παρατίθενται οι κώδικες οι οποίοι έχουν γραφτεί σ ε Matlab και αφορούν κυριώς τους παραπάνω πειραματισ μούς. Ενας οδηγός για το Time frequency toolbox του Matlab TFSA 7.0 (B. Boashash) μπορεί να βρεθεί εδώ

4 Περιεχόμενα Οι Χώροι Banach και Hilbert Διανυσ ματικοί χώροι με νόρμα Προσ εγγίσ εις σ ε χώρους με νόρμα Σειρές σ ε χώρους με νόρμα Ακολουθίες Cauchy και Πλήρεις Μετρικοί Χώροι Χώροι εσ ωτερικού γινομένου Unitary και Self adjoint τελεσ τές Η έννοια του μετασ χηματισ μού και της αναπαράσ τασ ης Ορθοκανονικές βάσ εις και οι αντίσ τοιχες αναπαρασ τάσ εις Τα χαρακτηρισ τικά της βάσ ης και τα χαρακτηρισ τικά της αναπαράσ τασ ης Χρονοσ υχνοτική ανάλυσ η σ ημάτων Ανάγκη για χρονοσ υχνοτική αναπαράσ τασ η Προδιαγραφές Χρονοσ υχνοτικής Κατανομής Η κατανομή Wigner (WD) Το μιγαδικό ισ οδύναμο (analytic signal) Ιδιότητες της κατανομής Wigner Γεωμετρία της κατανομής Wigner Η αρχή της Αβεβαιότητας Συντομος μετασ χηματισ μός Fourier (STFT) Βαθμοί ελευθερίας και χρονοσ υχνοτικός φορέας Εισ αγωγή σ τη θεωρία των Frames Βασ ικές έννοιες Το θεμελιώδες θεώρημα της γραμμικής άλγεβρας και ο ψευδοαντίσ τροφος Ανάλυσ η Συσ τημάτων Gabor Συσ τήματα μετατοπίσ εων και διαμορφώσ εων Ανάλυσ η σ ε πεπερασ μένες διασ τάσ εις Ο κλασ ματικός μετασ χηματισ μός Fourier (Frft) Ο Frft ως μονοπαραμετρική ομάδα Σχεσ η του Frft με τις χρονοσ υχνοτικές κατανομές

5 iv Περιεχόμενα 7 Πειραματισ μοί σ ε κλασ ματικά Gabor σ υσ τήματα Γενικά Η περίπτωσ η α m,n = α Περίπτωσ η α = Περίπτωσ η α = π Περίπτωσ η μεταβλητής γωνίας Πρώτη περίπτωσ η μεταβλητής γωνίας Δεύτερη περίπτωσ η μεταβλητής γωνίας Επίλογος Αʹ Κώδικες σ ε Matlab Αναφορές

6 1 Οι Χώροι Banach και Hilbert Οι χώροι Hilbert μπορούν να θεωρηθούν σ αν απειροδιάσ τατες εκδόσ εις των χώρων R n και C n. Συγκεκριμένα ο τρόπος με τον οποίο δομείται ένας χώρος Hilbert μας επιτρέπει να επεκτείνουμε ιδιότητες των R n και C n και μάλισ τα, και τους τρόπους με τους οποίους τις χειριζόμασ τε σ τους αφηρημένους χώρους Hilbert. Τα αξιώματα ενός διανυσ ματικού χώρου μας επιτρέπουν την πρόσ θεσ η διανυσ μάτων και τον βαθμωτό πολλαπλασ ιασ μό. Αυτά όμως δεν είναι αρκετά, εφοδιάζουμε λοιπόν το χώρο με μία μετρική και θέτοντας την απαίτησ η αυτός να είναι πλήρης ως προς τη μετρική αυτή, καταλήγουμε να έχουμε έναν χώρο Banach. Το σ ημαντικό χαρακτηρισ τικό των χώρων Hilbert είναι ότι αποτελούν πλήρεις χώρους εσ ωτερικού γινομένου. Αυσ τήρα λοιπόν μιλώντας, ένας χώρος Hilbert είναι ένας χώρος Banach όπου η μετρική επάγεται από εσ ωτερικό γινόμενο.

7 2 1 Οι Χώροι Banach και Hilbert 1.1 Διανυσματικοί χώροι με νόρμα Οπως θα φανεί και σ τη σ υνέχεια δουλεύοντας σ ε έναν διανυσ ματικό χώρο, θέλουμε να έχουμε τη δυνατότητα να μετράμε. Για το λόγο αυτό είναι αναγκαίο να μπορεί να ορισ τεί πάνω σ τον χώρο μια σ υνάρτησ η με τα παρακάτω χαρακτηρισ τικά. Ορισ μός 1.1. (Νόρμα) Εσ τω ένας μιγαδικός διανυσ ματικός χώρος V. Μια σ υνάρτησ η. :V V C λέγεται νόρμα σ τον V αν ισ χύουν τα παρακάτω (ι) u 0, u, ɛv (ιι) u = 0 u = 0 (ιιι) au = a u u, ɛv aɛc (ι ) u + v u + v u, vɛv Ορισ μός 1.2. (Μετρικός χώρος) Εσ τω V ένας διανυσ ματικός χώρος. Μία σ υνάρτησ η d:v V R λέγεται μετρική αν ικανοποιούνται τα παρακάτω (ι) d(v, u) 0, v, uɛv (ιι) d(v, u) = d(u, v), v, uɛv (ιιι) d(v, u) = 0 v = u (ι ) d(v, u) d(v, w) + d(w, u), v, u, wɛv Ενας χώρος για τον οποίο μπορεί να ορισ τεί μια τέτοια σ υνάρτησ η λέγεται μετρικός χώρος και σ υμβολίζεται (V, d). Απο τα παραπάνω γίνεται φανερό οτι ένας διανυσ ματικός χώρος με νόρμα γίνεται μετρικός χώρος ορίζοντας d(u, v) = u v. Ορισ μός 1.3. (Σύγκλισ η σ ε χώρους με νόρμα) Μια ακολουθία {u n} nɛn σ ε έναν διανυσ ματικό χώρο V λέμε ότι σ υγκλίνει σ το uɛv όταν ε > 0 NɛN τέτοιο ώσ τε u n u < ε, n N 1.2 Προσεγγίσεις σε χώρους με νόρμα Γενικά ένας χώρος περιέχει σ τοιχεία τα οποία ενδεχομένως να θέλουμε να γνωρίσ ουμε. Εχοντας λοιπόν σ τη διάθεσ ή μας ένα γνωσ τό υποσ ύνολο μας ενδιαφέρει να γνωρίζουμε την ικανότητα που έχουν ακολου- Σχόλιο : Γενικά η έννοια του μετρικού χώρου δεν απαιτεί από το σ ύνολο V να έχει κάποια αλγεβρική δομή. Η σ υνάρτησ η d όπως ορίσ τηκε πιο πάνω μπορεί κάλλισ τα να ορισ τεί σ ε ένα απλό σ ύνολο. Εδώ απλά ο ορισ μός επεκτείνεται για να σ υμπεριλάβει την αλγεβρική δομή του διανυσ ματικού χώρου.

8 1.3 Σειρές σ ε χώρους με νόρμα 3 θίες του υποσ υνόλου να προσ εγγίζουν όσ ο καλά θέλουμε εμείς σ τοιχεία του χώρου. Για το λόγο αυτό χρειαζόμασ τε μια έννοια η οποία να ορίζει τέτοιου είδους προσ εγγίσ εις. Ορισ μός 1.4. (Πυκνό υποσ ύνολο) Εσ τω W ένα υποσ ύνολο του χώρου V. Το W είναι πυκνό υποσ ύνολο του V, όταν κάθε σ τοιχείο uɛv είναι οριακό σ ημείο μιας ακολουθίας {w n} nɛn ɛw. Δηλαδή όταν ( ε > 0)( kɛn) w k u < ε, uɛv 1.3 Σειρές σε χώρους με νόρμα Στο σ ημείο αυτό θέλουμε να εισ άγουμε την έννοια του γραμμικού σ υνδυασ μού σ ε χώρους άπειρης διάσ τασ ης. Εξετάζουμε δηλαδή ακολουθίες {u n} nɛn ɛv με την ιδιότητα : κάθε uɛv να μπορεί να γραφτεί σ αν k=1 c ku k,όπου {c k } kɛn κατάλληλη ακολουθία σ υντελεσ τών. Το πρώτο βήμα είναι να ξεκαθαρίσ ουμε τι σ ημαίνει σ ύγκλισ η ενός γραμμικού σ υνδυασ μού σ τοιχείων ενός χώρου άπειρης διάσ τασ ης. Για το λόγο αυτό εισ άγουμε το μερικό άθροισ μα Ν k=1 c ku k. Ορισ μός 1.5. (Σύγκλισ η άπειρης σ ειράς σ ε χώρους με νόρμα) Εσ τω {u n} nɛn ɛv μια ακολουθία σ ε έναν νορμαρισ μένο χώρο V. Λέμε ότι η άπειρη σ ειρά Ν k=1 uk είναι σ υγκλίνουσ α σ το uɛv αν u Ν k=1 uk 0, N. Οταν αυτό ισ χύει γράφουμε u = k=1 uk. Στο σ ημείο αυτό θα ορίσ ουμε τη γραμμική θήκη (span) μιας άπειρης ακολουθίας διανυσ μάτων σ τον V. Ορισ μός 1.6. (Γραμμική θήκη) Δεδομένης μιας ακολουθίας {u n} nɛn σ το χώρο V, έσ τω span{u n} nɛn ο διανυσ ματικός χώρος που αποτελείται από όλους τους πεπερασ μένους γραμμικούς σ υνδυασ μούς των διανυσ μάτων u n, δηλαδή span{u n} n=n n=1 = {a 1u a N u N NɛN, a 1,..., a N ɛc}. Με βάσ η τον ορισ μό 1.5 καταλήγουμε σ το ότι Ορισ μός 1.7. u = k=1 c k u k span{u n} n=n n=1 πυκνό σ τον V. Ο λόγος για τον οποίο δόθηκαν οι τελευταίοι δύο ορισ μοί είναι γιατί παίζουν σ ημαντικό ρόλο σ την ένοια της βάσ ης, την πίο σ ημαντική έννοια των διανυσ ματικών χώρων. Μία ακολουθία λοιπόν {u n} nɛn είναι μια βάσ η του V αν για κάθε uɛv υπάρχουν μοναδικοί σ υντελεσ τές {c n} nɛn τέτοιοι ώσ τε u = k=1 c ku k. Ο ορισ μός αυτός είναι μια επέκτασ η της έννοιας της βάσ ης σ ε χώρους πεπερασ μένης διάσ τασ ης. Παρακάτω θα γίνει λόγος για μια ειδίκη κατηγορία βάσ εων, τις ορθοκανονικές βάσ εις. Οι χώροι Hilbert μας εξοπλίζουν με τα κατάλληλα εργαλεία προκειμένου να καταφέρουμε να ορίσ ουμε την ορθογωνιότητα και την έννοια της ορθογώνιας-ορθοκανονικής βάσ ης.

9 4 1 Οι Χώροι Banach και Hilbert 1.4 Ακολουθίες Cauchy και Πλήρεις Μετρικοί Χώροι Ο ορισ μός 1.3 μιλάει για τη σ ύγκλισ η σ ε χώρους με νόρμα, παρ ολα αυτά αντιμετωπίζει ένα σ οβαρό πρόβλημα. Προκειμένου να αποφανθούμε για το αν η ακολουθία {u n} nɛn είναι σ υγκλίνουσ α, ο ορισ μός αυτός απαιτεί εκ των πρωτέρων τη γνώσ η του σ ημείου σ ύγκλισ ης ή τουλάχισ τον μια καλή εκτίμησ η του. Στη περίπτωσ η αυτή όπου δουλεύουμε σ ε διανυσ ματικούς χώρους, το να μαντέψουμε το σ ημείο σ ύγκλισ ης σ ημαίνει να μαντέψουμε μια ολόκληρη σ υνάρτησ η κάτι το οποίο προφανώς αποτελεί τεράσ τια πληροφορία. Μια λύσ η σ το αδιέξοδο αυτό δίνει ο παρακάτω ορισ μός Ορισ μός 1.8. Εσ τω (V, d) ένας μετρικός χώρος. Μία ακολουθία {u n} nɛn σ τον V λέγεται ακολουθία ςαυςηψ αν για κάθε ε > 0 υπάρχει n 0(ε)ɛN τέτοιος ώσ τε n, m n 0 d(u n, u m) < ε Αξίζει να σ ημειωθεί πως σ την περίπτωσ η του σ υνόλου των πραγματικών αριθμών (με μετρική την απόλυτη τιμή της διαφοράς δύο πραγματικών αριθμών), πάντα μια ακολουθία cauchy είναι και σ υγκλίνουσ α και το αντίσ τροφο. Στην περίπτωσ η όμως ενός γενικού μετρικού χώρου κατι τέτοιο δεν ισ χύει. Παρ ολα αυτά, κάθε σ υγκλίνουσ α ακολουθία είναι ακολουθία cauchy αν και κάτι τέτοιο και πάλι δε λύνει το πρόβλημα το οποίο αναφέρθηκε παραπάνω αφού δε μπορούμε ακόμα να αποφανθούμε για το αν μια ακολουθία του χώρου είναι όντως σ υγκλίνουσ α. Παρακάτω φαίνεται ένα χαρακτηρισ τικό παράδειγμα όπου μια ακολουθία cauchy δεν είναι σ υγκλίνουσ α. Παράδειγμα 1.1: Θεωρούμε το διανυσ ματικό χώρο V = {f :[0, 1] R f συνεχης} με τη μετρική ˆ d(f 1, f 2) = f 1(x) f 2(x) dx Ορίζουμε την ακολουθία σ υνεχών σ υναρτήσ εων σ τον V 0, 0 x 1 2 f n = n(x 1/2), 1/2 < x < n 1, x 1 2 n [0,1]

10 1.4 Ακολουθίες Cauchy και Πλήρεις Μετρικοί Χώροι 5 Σχήμα 1.1. ακολουθία cauchy η οποία αποκλίνει Εύκολα αποδεικνύεται πως η δοσ μένη ακολουθία είναι cauchy. Από την παραπάνω εικόνα παρατηρούμε όμως πως σ υγκλίνει σ ε μία ασ υνεχή σ υνάρτησ η, σ τη βηματική, δηλαδή έξω από τον V. Παρ ολο που όπως ειπώθηκε πιο πάνω μια ακολουθία cauchy δεν είναι απαραίτητα σ υγκλίνουσ α, οι περισ σ ότεροι χώροι σ τους οποίους εμπίπτουν τα πρακτικά προβλήματα ικανοποιούν το χαρακτηρισ τικό αυτό. Χώροι με αυτή την ιδιότητα λέγονται πλήρεις, ή χώροι Banach. Με άλλα λόγια σ τη πράξη περιοριζόμασ τε σ ε χώρους όπου κάθε ακολουθία cauchy είναι σ υγκλίνουσ α. Ορισ μός 1.9. Εσ τω (V, d) μετρικός χώρος. Ο V λέγεται πλήρης, αν κάθε ακολουθία cauchy {x n}ɛv σ υγκλίνει μέσ α σ τον V. Η έννοια της πληρότητας είναι πολύ σ ημαντική αφού μας εξασ φαλίζει πως ο χώρος δε περιέχει τρύπες. Δηλαδή δουλεύοντας σ ε έναν πλήρη χώρο είναι εξασ φαλισ μένο πως επιχειρώντας μια προσ έγγισ η, αυτή θα γίνεται πάντα από σ ημεία του χώρου σ ε σ ημεία του χώρου. Επίσ ης δουλεύοντας σ ε έναν πλήρη χώρο είναι πιο εύκολο να γνωρίζουμε πότε μια ακολουθία σ υγκλίνει. Κατ αντισ τοιχία με τους χώρους R n και C n όπου τα σ τοιχεία τους είναι πεπερασ μένες ακολουθίες της μορφής x = {x n} n=n n=1 = (x 1, x 2,..., x n), με x = n=n n=1 x2 n ορίζουμε το χώρο l 2 (N) := { {xn} n= n=1 x n= nɛc, n=1 xn 2 < }. Αποδεικνύεται εύκολα ότι ο l 2 (N) είναι πλήρης ως προς τη νόρμα ( n= n=1 xn 2) 1/2. Ο χώρος l 2 (N) έχει πολύ μεγάλη σ ημασ ία αφού ακόμα και αν έχουμε καθορίσ ει το χώρο των σ υναρτήσ εων τον οποίο επιβάλλει το μοντέλο, η επεξεργασ ία με χρήσ η υπολογισ τή απαιτεί την αναπαράσ τασ η των σ υναρτήσ εων με ακολουθίες δεδομένων. Πηγαίνοντας ένα βήμα παραπέρα, οι ακολουθίες αυτές θα πρέπει να είναι πεπερασ μένες σ ε μήκος. Το παρακάτω Λήμμα 1.1 μας εξασ φαλίζει πως κάθε σ τοιχείο του l 2 (N) μπορεί να προσ εγγισ τεί αυθαίρετα καλά από μια ακολουθία ακολουθιών των οποίων μόνο πεπερασ μένοι σ ε πλήθος όροι θα είναι μη μηδενικοί. Λημμα 1.1 Εσ τω V = { {x n} n= n=1 xnɛc, nɛn, και n0ɛn xn = 0, n > n0 }. (ι) Ο V είναι υπόχωρος του l 2 (N). (ιι) Ο V είναι πυκνός σ τον l 2 (N).

11 6 1 Οι Χώροι Banach και Hilbert 1.5 Χώροι εσωτερικού γινομένου Ορισ μός (Χώρος εσ ωτερικού γινομένου) Εσ τω V ένας διανυσ ματικός χώρος. Μια απεικόνισ η.,. : V V C για την οποία ισ χύουν (ι) αv + βw, u = α v, u + β v, u, u, v, w ɛv,α, β ɛc (ιι) v, w = v, w, u, vɛv (ιιι) v, v 0, vɛv, με την ισ ότητα να ισ χύει αν v = 0 Λέγεται εσ ωτερικό γινόμενο σ τον V. Ενας διανυσ ματικός χώρος εφοδιασ μένος με εσ ωτερικό γινόμενο λέγεται χώρος εσ ωτερικού γινομένου. Επίσ ης, παρατηρούμε πως το εσ ωτερικό γινόμενο είναι γραμμικό ως προς την πρώτη μεταβλητή και αντιγραμμικό ως προς τη δεύτερη, είναι δηλαδή μια sesquilinear μορφή. Λημμα 1.2. Εσ τω V διανυσ ματικός χώρος εσ ωτερικού γινομένου. Τότε η σ υνάρτησ η v := v, v, vɛv ορίζει μια νόρμα σ τον V. Ορισ μός (Ο χώρος Hilbert) Ενας χώρος εσ ωτερικού γινομένου είναι χώρος Hilbert όταν είναι χώρος Banach και η νόρμα επάγεται από εσ ωτερικό γινόμενο. Από δω και σ το εξής θα ασ χοληθούμε αποκλεισ τικά με τους χώρους Hilbert L 2 (R) και l 2 (N). Οπου L 2 (R) := {f :R C xɛr f(x) 2 dx < } και l 2 (N) := {{x n} n= n=1 x n= nɛc, n=1 xn 2 < }. Ο χώρος L 2 (R) είναι χώρος Hilbert ως προς το εσ ωτερικό γινόμενο f, g = f(x)g(x)dx, f, gɛl2 (R). ( 1/2. Η επαγώμενη νόρμα είναι η f 2 = dx) f(x) 2 Απο δώ και σ το εξής θα θεωρούμε πως το σ ώμα πάνω σ το οποίο ορίζεται ο χώρος είναι το σ ώμα των μιγαδικών αριθμών.

12 1.6 Unitary και Self adjoint τελεσ τές 7 Ο χώρος l 2 (N) γίνεται χώρος Hilbert ως προς το εσ ωτερικό γινόμενο x, y = n= n=1 x ny n, ( x,yɛl 2 (N). Η επαγώμενη νόρμα είναι η x 2 = n=1 x n 2) 1/2. Μια αρκετά σ ημαντική έννοια σ ε χώρους με εσ ωτερικό γινόμενο είναι η ορθογωνιότητα. Σε έναν χώρο Hilbert H θα λέμε οτι δύο σ τοιχεία v, w είναι ορθογώνια όταν v, w = 0 και θα γράφουμε v w. Ενα σ ύνολο διανυσ μάτων {v n} n= n=1 σ τον H είναι ένα ορθογώνιο σ ύσ τημα αν v l, v k = 0 για κάθε k l. Ενα ορθογώνιο σ ύσ τημα {v n} n= n=1 για το οποίο επιπλέον ισ χύει v n = 1 για κάθε nɛn λέγεται ορθοκανονικό σ ύσ τημα. Στον ορισ μό 1.6 είδαμε ότι τα σ τοιχεία {v n} n= n=1 του V αποτελούν μια βάσ η, όταν κάθε σ τοιχείο vɛv έχει μια μοναδική αναπαράσ τασ η της μορφής v = k=1 c ku k. Ο λόγος για τον οποίο ενδιαφερόμασ τε η βάσ η να είναι και ορθοκανονικό σ ύσ τημα είναι διότι μας δίνεται ένας εύκολος τρόπος να υπολογίσ ουμε τους σ υντελεσ τές {c k } kɛn. Θεώρημα 1.1. Για μια ορθοκανονική βάσ η {v n} n= n=1 τα παρακάτω είναι ισ οδύναμα (ι) u = n=1 u, v n v n, uɛh (ιι) n= n=1 u, v n 2 = u 2, uɛh (ιιι) span{v n} nɛn =H (ι ) Για ένα u που ανήκει σ το H και για το οποίο ισ χύει u, v n = 0 για κάθε n, τότε u = 0 Η πρώτη ισ ότητα μας δείχνει ακριβώς αυτό που είπαμε παραπάνω. Στους χώρους Hilbert η εύρεσ η μιας ορθοκανονικής βάσ ης μας παρέχει έναν εύκολο τρόπο να υπολογίζουμε την αναπαράσ τασ η των σ τοιχείων του χώρου. Επιπλέον, η πρώτη σ χέσ η μας λέει ότι έχουμε καταφέρει να θέσ ουμε σ ε 1-1 αντισ τοιχία τους χώρους L 2 (R) και l 2 (N). Με άλλα λόγια έχουμε φτιάξει έναν ισ ομορφισ μό μεταξύ του L 2 (R) και του l 2 (N). Η δεύτερη σ χέσ η μας λέει ότι ο ισ ομορφισ μός αυτός είναι ισ ομετρικός. Στη πραγματικότητα όλοι οι χώροι Ηιλβερτ είναι αλγεβρικά και μετρικά ταυτόσ ημοι. Η παρατήρησ η αυτή, σ ε σ υνδυασ μό με το Λήμμα 1.1, μας καταδεικνύει ότι δουλεύοντας σ ε υπόχωρους με πεπερασ μένη διάσ τασ η (κάτι το οποίο επιβάλλεται σ τη πράξη) την οποία επιλέγουμε εμείς, μπορούμε να προσ εγγίζουμε όσ ο καλά εμείς θέλουμε οποιοδήποτε σ τοιχείο του H. 1.6 Unitary και Self adjoint τελεστές Ορισ μός Εσ τω H ένας χώρος Ηιλβερτ και ένας γραμμικός και σ υνεχής (και άρα φραγμένος) τελεσ τής T : H H. (ι) Ο T λέγεται Self adjoint αν T = T (ιι) Ο T λέγεται unitary αν T 1 = T Η μελέτη των φραγμένων γραμμικών τελεσ τών είναι τεράσ τιο κεφάλαιο των χώρων Hilbert. Εδώ θα αναφερθούν μόνο ορισ μένα χαρακτηρισ τικά τελεσ τών που ανήκουν σ άυτές τις δύο κατηγορίες. Ενα σ τοιχείο uɛh λέγεται ιδιοδιάνυσ μα του τελεσ τή T όταν ικανοποιεί την εξίσ ωσ η T u = λu. Υποθέτοντας λύσ εις u 0, λ u, u = λu, u = T u, u = u, T u και σ την περίπτωσ η που ο T είναι self adjoint u, T u = u, T u = u, λu =λ u, u λ = λ. Δηλαδή ένας s.a. τελεσ τής έχει ιδιοτιμές που βρίσ κονται σ την πραγματική ευθεία. Από την άλλη για έναν unitary τελεσ τή u, u = u, T T u = T u, T u = λu, λu = λλ u, u = λλ = 1 = λ 2 = 1. Με άλλα λόγια οι ιδιοτιμές ενός unitary τελεσ τή βρίσ κονται πάνω σ τον μοναδιαίο κύκλο. Ενας τελεσ τής ο οποίος δρα σ ε εναν διανυσ ματικό χώρο πεπερασ μένης διάσ τασ ης, αναπαρίσ ταται σ αν πίνακας ως προς τη βάσ η αυτή. Η εξίσ ωσ η ιδιοτιμών, είναι ανεξάρτητη της αναπαράσ τασ ης την οποία Στη πραγματικότητα θεωρούμε έναν αντιπρόσ ωπο απο κάθε κλάσ η ισ οδυναμίας σ υναρτήσ εων των οποίων οι τιμές διαφέρουν σ ε ένα διάσ τημα μηδενικού μέτρου κατα Lebesque

13 8 1 Οι Χώροι Banach και Hilbert διαλέγουμε να τη λύσ ουμε. Αυτό σ ημαίνει πως οι ιδιοτιμές αναφέρονται σ τον τελεσ τή υπό την αφηρημένη έννοια και δεν σ υνδέονται με κάποια σ υγκεκριμένη αναπαράσ τασ η. Παρ ολα αυτά το γεγονός αυτό μας δίνει το πλεονέκτημα η εξίσ ωσ η αυτή να λύνεται πιο απλά σ ε κάποιες αναπαρασ τάσ εις. Σχετικά με τα παραπάνω, η αναπαράσ τασ η ενός s.a τελεσ τή είναι παντα ένας πραγματικός και σ υμμετρικός πίνακας ενώ η αναπαράσ τασ η ενός unitary τελεσ τή είναι πάντα ένας ορθογώνιος πίνακας. Στο επόμενο κεφάλαιο θα φανεί οτι αυτό που ονομάζουμε μετασ χηματισ μός είναι απλά ένας unitary τελέσ της.

14 2 Η έννοια του μετασ χηματισ μού και της αναπαράσ τασ ης. Με τον όρο σ ήματα αναφερόμασ τε σ ε οντότητες οι οποίες φέρουν ένα ποσ ό πληροφορίας. Ενα σ ήμα μπορεί να μοντελοποιηθεί με σ υναρτήσ εις μιας ή πολλών μεταβλητών. Στη παρούσ α εργασ ία ασ χολούμασ τε με σ ήματα τα οποία μοντελοποιούνται με σ υναρτήσ εις μίας μεταβλητής. Η έννοια της αναπαράσ τασ ης πηγάζει από το γεγονός οτι μπορούμε να μοντελοποιήσ ουμε ένα σ ήμα με παραπάνω από μια σ υναρτήσ εις και κάθε μία απο αυτές να περιέχει το ίδιο ακριβώς ποσ ό πληροφορίας, να αναπαρισ τά δηλαδή την ίδια αφηρημένη οντότητα - σ ήμα. Ο λόγος για τον οποίο καταφεύγουμε σ τις διαφορετικές αναπαρασ τάσ εις είναι διότι με αυτό τον τρόπο κάποια χαρακτηρισ τικά του σ ήματος γίνονται περισ σ ότερο εμφανή. Προκειμένου να μεταβαίνουμε από μια αναπαράσ τασ η σ ε μια άλλη χρειαζόμασ τε σ υναρτήσ εις οι οποίες να μην αλλοιώνουν σ ε καμία περίπτωσ η το περιεχόμενο του σ ήματος. Η μετάβασ η από μια αναπαράσ τασ η σ ε μια άλλη λέγεται μετασ χηματισ μός και οι σ υναρτήσ εις οι οποίες επιτυγχάνουν τη μετάβασ η αυτή είναι οι unitary τελεσ τές. Υπάρχει σ τένη σ ύνδεσ η μεταξύ της έννοιας της αναπαράσ τασ ης και της έννοιας της βάσ ης ενός διανυσ ματικού χώρου, σ υγκεκριμένα η φύσ η των σ υναρτήσ εων της βάσ ης καθορίζει τη φύσ η της αντίσ τοιχης αναπαράσ τασ ης.

15 10 2 Η έννοια του μετασ χηματισ μού και της αναπαράσ τασ ης. 2.1 Ορθοκανονικές βάσεις και οι αντίστοιχες αναπαραστάσεις Μοντελοποιώντας το σ ήμα με μια σ υνάρτησ η f(x), γνώσ η του σ ήματος σ ημαίνει γνώσ η των τιμών f(x) σ ε κάθε x. Με άλλα λόγια είναι απαραίτητη η γνώσ η της σ υμπεριφοράς της f πάνω σ τους πραγματικούς αριθμούς. Ενας άλλος τρόπος να λάβουμε την ίδια πληροφορία είναι να δούμε το πως αλληλεπιδρά η f με άλλες σ υναρτήσ εις. Η λογική αυτή είναι προιόν της θεωρίας των χώρων Hilbert (η οποία γενικεύει θα λέγαμε την ευκλείδια γεωμετρία) και γενικότερα της σ υναρτησ ιακής ανάλυσ ης. Αυτό που κάνουμε, λοιπόν, είναι να λαμβάνουμε μια σ υγκεκριμένη αναπαράσ τασ η ακολουθώντας τη λογική που επιβάλλει το θεώρημα αναπαράσ τασ ης του Riesz. Στο προηγούμενο κεφάλαιο είδαμε οτι από τη σ τιγμή που έχουμε καθορίσ ει μια ορθοκανονική βάσ η {e n} nɛn, έχουμε εξασ φαλίσ ει ότι κάθε σ τοιχείο του χώρου μπορεί να γραφτεί σ τη μορφή f = f, e n e n n=1 Η ακολουθία f, e n = f(x)e n(x)dx =f e(n),nɛn δηλαδή οι σ υντελεσ τές του αναπτύγματος ως προς τη σ υγκεκριμένη βάσ η, εκφράζει ακριβώς ότι περιγράψαμε παραπάνω. Προκειμένου να γίνουν κατανοητά τα προηγούμενα ας σ κεφτούμε ένα διάνυσ μα σ τον τρισ διάτατο χώρο. Φέρνοντας κάθετες σ τους άξονες ενός αυθαίρετου ορθοκανονικού σ υσ τήματος, σ την ουσ ία αντικαθισ τούμε το αφηρημένο γεωμετρικό αντικείμενο με μια διατεταγμένη τριάδα αριθμών. Εχουμε αποδώσ ει δηλαδή σ ε κάθε διάνυσ μα του τρισ διάσ τατου χώρου μοναδική ταυτότητα. Ο διανυσ ματικός χώρος R 3 μοντελοποιεί το διανυσ ματικό χώρο των τρισ διάσ τατων διανυσ μάτων -ο τρισ διάσ τατος χώρος είναι ισ ομετρικά ισ όμορφος με τον R 3. Αναφερόμενοι σ το ίδιο γεωμετρικό διάνυσ μα, διαφορετικά σ υσ τήματα σ υντεταγμένων οδηγούν κάθε φορά σ ε διαφορετική αναπαράσ τασ η και άρα σ ε διαφορετικές υπολοιήσ εις του ίδιου χώρου. Στο σ ημείο αυτό θα εξετάσ ουμε πιο προσ εκτικά τη σ χέσ η μεταξύ διαφορετικών αναπαρασ τάσ εων και τους μετασ χηματισ μούς μεταξύ αυτών. Για το σ κοπό αυτό θεωρούμε δύο ορθοκανονικές βάσ εις {e n} nɛn και {w n} nɛn του χώρου H, τέτοιες ώσ τε e n = T w n, nɛn. Προκειμένου η {e n} nɛn να είναι όντως μια ορθοκανονική βάσ η, η σ υνάρτησ η T πρέπει να ικανοποιεί ορισ μένους περιορισ μούς. Ενα σ τοιχείο του χώρου H θα γράφεται σ τη μορφή f = nɛn f e(n)e n f = f w(n )w n n ɛn Στόχος είναι να βρεθεί μία σ χέσ η μεταξύ της αναπαράσ τασ ης f e(n) και f w(n). Για το λόγο αυτό, κάθε σ τοιχείο της βάσ ης {w n} nɛn το εκφράζουμε σ αν γραμμικό σ υνδυασ μό των σ τοιχείων της βάσ ης {e n} nɛn, w n = nɛn w n, en en. Αντικαθισ τώντας σ τη δεύτερη εξίσ ωσ η και σ υγκρίνοντας την με την πρώτη προκύπτει ότι f e(n) = w n, e n f w(n ) n ɛn Θέτοντας w n, e n = w n, T w n = T (n, n ) η παραπάνω γράφεται f e(n) = T (n, n )f w(n ) n ɛn ή σ ε μορφή πινάκων f e = T f w

16 2.2 Τα χαρακτηρισ τικά της βάσ ης και τα χαρακτηρισ τικά της αναπαράσ τασ ης. 11 Η τελευταία εξίσ ωσ η εκφράζει τον μετασ χηματισ μό από την αναπαράσ τασ η f w (n) σ την αναπαράσ τασ η f e (n). Η σ υνάρτησ η T (n, n ) είναι ο πυρήνας του μετασ χηματισ μού. Στο σ ημείο αυτό θα γίνει φανερό πως ο τελεσ τής T πρέπει να είναι αναγκασ τικά unitary. Εξ ορισ μού e n = T w n, οπότε για f 1,f 2 ɛh με f 1 = n=1 f 1, w n w n, f 2 = n=1 f 2, w n w n, ισ χύει ότι T T f 1, f 2 = T f 1, T f 2 = n=1 f 1, w n e n, n=1 f 2, w n e n = n=1 f 1, w n f 2, w n = f 1, f 2. Η τελευταία σ χέσ η σ υνεπάγεται ότι T T = I= T 1 = T. Εναλλακτικά μπορούμε να σ κεφτούμε ότι, ο μόνος τρόπος να διατηρήσ ουμε την ιδιότητα της βάσ ης είναι να διατηρήσ ουμε τα μήκη και της γωνίες, οι unitary είναι τελεσ τές με την ιδιότητα αυτή. Ενα απλο παράδειγμα είναι το εξής, θεωρώντας μία βάσ η του χώρου R 2 οποιαδήποτε άλλη σ το χώρο αυτό προκύπτει από την περισ τροφή του σ υσ τήματος σ υντεταγμένων, δηλαδή από τη δράσ η ενός πίνακα σ τροφής-της αναπαράσ τασ ης ενός unitary τελεσ τή-πάνω σ τα διανύσ ματα βάσ ης. 2.2 Τα χαρακτηριστικά της βάσης και τα χαρακτηριστικά της αναπαράστασης. Τα κριτήρια με βάσ η τα οποία θα επιλέξουμε μια σ υγκεκριμένη αναπαράσ τασ η επιβάλλονται από την ε- κάσ τοτε εφαρμογή. Στη πράξη, βέβαια, ενδιαφερόμασ τε για αναπτύγματα της μορφής n=n n=1 cnen, όπου το σ ύνολο {e n} n=n n=1 είναι μια ορθοκανονική βάσ η του υπόχωρου V του χώρου ενδιαφέροντος H. Δηλαδή αναζητούμε λύσ η του προβλήματος { } n=n argmin c n f c ne n n=1 η οποία, ως γνωσ τόν, προκύπτει να είναι c n = f, e n. Με άλλα λόγια, η καλύτερη προσ έγγισ η είναι η κάθετη προβολή σ τον υπόχωρο V. Στο κεφάλαιο 1 δείξαμε ότι ο { {c n} n= n=1 cnɛc, nɛn, και n0ɛn cn = 0, n > } n0 είναι πυκνό υποσ ύνολο του l 2 (N), ο οποίος με τη σ ειρά του είναι ισ ομετρικά ισ όμορφος με τον L 2 (R). Το γεγονός αυτό μας λέει ότι αυξάνοντας την διάσ τασ η του V, οδηγούμασ τε κάθε φορά σ ε καλύτερη προσ έγγισ η ˆf της f. Προκύπτει, λοιπόν, το ερώτημα κατά πόσ ο τα χαρακτηρισ τικά του υπόχωρου V είναι κατάλληλα σ το να αναπαρασ τήσ ουν ένα σ υγκεκριμένο σ ήμα. Με άλλα λόγια, είναι δυνατό να υπάρχει διαφορετικός υπόχωρος ο οποίος για το ίδιο N να πετυχαίνει πιο οικονομική αναπαράσ τασ η ισ οδύναμα πιο γρήγορη σ ύγκλισ η της έκφρασ ης n=n n=1 cnen Κοιτώντας την cn = f, en το πρόβλημα ανάγεται σ την εξεύρεσ η μιας ορθοκανονικής βάσ ης με διαφορετικά χαρακτηρισ τικά από την {e n} n=n n=1. Παρουσ ιάζονται σ τη σ υνέχεια δύο παραδείγματα τα οποία επιβεβαιώνουν τον προβληματισ μό αυτό. Το θεώρημα της δειγματοληψίας μας εξασ φαλίζει πως κάθε σ ήμα πεπερασ μένου εύρους ζώνης w μπορεί να γραφτεί σ τη μορφή f = n=n n=1 fnsinc ( ) t nt w. Ας εξετάσ ουμε τη σ υμπεριφορά του αναπτύγματος σ ε ένα σ υγκεκριμένο t 0, f(t 0) = n=n n=1 fnsinc ( t 0 ) nt w. Η σ υνάρτησ η sinc, εκτός του ότι δεν έχει πεπερασ μένο φορέα, παρουσ ιάζει και αργή μείωσ η, με t. Το χαρακτηρισ τικό της αυτό έχει ως αποτέλεσ μα μια αργή σ ύγκλισ η της παραπάνω έκφρασ ης, αφού ο υπολογισ μός ενός μόνο f(t 0) απαιτεί πάρα πολλά δείγματα, διότι ακόμα και για μεγάλο n η σ υνεισ φορά της sinc ( t 0 ) nt w σ τη τιμή f(t0) είναι μεγάλη. Η κατάσ τασ η γίνεται χειρότερη όταν η f έχει πεπερασ μένο φορέα και απότομη σ υμπεριφορά. Με την ίδια λογική μπορούμε να καταλάβουμε ότι η προσ έγγισ η ενός σ ήματος μικρής διάρκειας από ένα τριγωνομετρικό πολυώνυμο θα είχε ως αποτέλεσ μα μια αρκετά αργή σ ύγκλισ η της σ ειράς. Περιορισ μοί σ τα χαρακτηρισ τικά της βάσ ης δεν τίθενται μόνο με βάσ η τη ταχύτητα της σ ύγκλισ ης αλλά και με βάσ η την εκάσ τοτε εφαρμογή. Ο μετασ χηματικός Fourier μας πληροφορεί για το σ υχνοτικό περιεχόμενο του σ ήματος, παρ ολα αυτά η γνώσ η του που εμφανίζονται σ το χρόνο οι διάφορες σ υχνότητες είναι κρυμμένη σ τη σ υνάρτησ η της φάσ ης. Με άλλα λόγια ο μετασ χηματισ μός Fourier δεν επαρκεί σ το να μας πει το πως μεταβάλλεται με το χρόνο το σ υχνοτικό περιεχομένο του σ ήματος, κάτι το οποίο σ ε σ υγκεκριμένες εφαρμογές είναι σ ημαντική γνώσ η. Για την αδυναμία αυτή ευθύνεται και πάλι η φύσ η των σ υναρτήσ εων της βάσ ης.

17

18 3 Χρονοσ υχνοτική ανάλυσ η σ ημάτων Η χρονοσ υχνοτική ανάλυσ η και επεξεργασ ία σ ημάτων αφορά την ανάλυσ η και επεξεργασ ία σ ημάτων των οποίων το σ υχνοτικό περιεχόμενο μεταβάλλεται με το χρόνο. Στη πράξη υπάρχουν πολλές περιπτώσ εις σ τις οποίες εμφανίζονται σ ήματα τέτοιας φύσ ης. Χαρακτηρισ τικό παράδειγμα είναι τα σ ήματα ομιλίας. Μια σ υχνότητα μπορεί να κάνει την εμφανισ ή της ή και να διακοπεί σ ε κάποια χρονική σ τιγμή, μια σ υχνότητα μπορεί να μεταβάλλεται με σ υνεχή αλλά άγνωσ το τρόπο απο μία τιμή σ ε μία άλλη. Τέτοιου είδους σ ήματα αναπαρίσ τανται καλύτερα απο χρονοσ υχνοτικές κατανομές, οι οποίες βασ ικά είναι σ υναρτήσ εις που δείχνουν το πως η ενέργεια του σ ήματος κατανέμεται σ το διδιάσ τατο επίπεδο χρόνου - σ υχνότητας. Από την άλλη, η διαδικασ ία της επεξεργασ ίας μπορεί να γίνει περισ σ ότερο αποδοτική εκμεταλλευόμενοι χαρακτηρισ τικά της πληροφορίας τα οποία μας προδίδει μια χρονοσ υχνοτική αναπαράσ τασ η.

19 14 3 Χρονοσ υχνοτική ανάλυσ η σ ημάτων 3.1 Ανάγκη για χρονοσυχνοτική αναπαράσταση Στην ανάλυσ η και επεξεργασ ία σ ήματος οι κυριότερες αναπαρασ τάσ εις είναι η αναπαράσ τασ η σ το πεδίο του χρόνου f(t) και η αναπαράσ τασ η του πεδίο της σ υχνότητας ˆf(ω), όπου f(t) = R ˆf(ω)e iωt dω και ˆf(ω) = R f(t)e iωt dt. Εξετάζοντας τη δεύτερη έκφρασ η (χώρις να ισ χύει κάτι διαφορετικό και για την πρώτη) βλέπουμε οτι οι σ υναρτήσ εις βάσ ης εκμεταλλεύονται ολόκληρη τη χρονική αναπαράσ τασ η προκειμένου να αποκτήσ ουμε πλήρη γνώσ η για τη σ υνεισ φορά ˆf(ω) μιας σ υχνότητας ω ακόμα και αν αυτή σ τη πραγματικότητα εμφανίζεται μόνο σ ε κάποιο μικρό χρονικό διάσ τημα. Βεβιασ μένα θα μπορούσ αμε να σ υμπεράνουμε πως ο μετασ χηματισ μός Fourier δε λαμβάνει υπ όψιν του αυτή τη χρονική εξάρτησ η. Κάτι τέτοιο όμως είναι λάθος αφού ως unitary τελεσ τής δε μπορεί να αλλοιώσ ει την πληροφορία του σ ήματος. Στη πραγματικότητα αυτή η χρονική εξάρτησ η είναι κρυμμένη σ τη σ υνάρτησ η φάσ ης του M.F. η οποία όμως σ τις περισ σ ότερες περιπτώσ εις είναι πολύ δύσ κολο να ερμηνευθεί. Το γεγονός αυτό γίνεται καλύτερα αντιληπτό με τα παρακάτω παραδείγματα. Στις παρακάτω εικόνες φαίνονται οι σ υναρτήσ εις x 1[n] = cos(2π0.2n) + cos(2π0.4n), 1 < n < 1000 x 2[n] = { cos(2π0.2n), 1 < n < 300 cos(2π0.4n), 300 < n < 1000 Και οι δύο ακολουθίες έχουν 1000 δείγματα και οι ψηφιακες σ υχνότητες των ημιτόνων είναι λ 1 = 0.2, λ 2 = 0.4. Στο σ ήμα x 1[n] και οι δύο σ υχνότητες εκτείνονται σ ε όλο το χρονικό διάσ τημα των χιλίων δειγμάτων, ενώ σ το σ ήμα x 2[n] η σ υχνότητα λ 1διαρκεί 300 δείγματα και η λ 2διαρκεί για τα επόμενα 700. Παρόλα αυτά βλέπουμε ότι το φάσ μα πλάτους αδιαφορεί για τη χρονική αυτή κατανομή του σ υχνοτικού περιεχομένου και τελικά η πληροφορία αυτή αποκαλύπτεται σ τη σ υνάρτησ η φάσ ης. Σχήμα 3.1. Αναπαρασ τάσ εις των σ ημάτων σ το πεδίο του χρόνου

20 3.1 Ανάγκη για χρονοσ υχνοτική αναπαράσ τασ η 15 Σχήμα 3.2. Αναπαρασ τάσ εις (DFT) των δύο σ ημάτων Σχήμα 3.3. Αντίσ τοιχες σ υναρτήσ εις φάσ ης Μια άλλη σ ημαντική κατηγορία σ ημάτων τα οποία παρουσ ιάζουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον είναι τα chirp. Το σ ήμα αυτό, μεταβάλλει το σ υχνοτικό του περιεχόμενο σ υνεχώς απο μία αρχική ψηφιακή σ υχνότητα λ 0 σ ε μια τελική λ 1. Στην εικόνα 3.4 παρατηρούμε τις χρονικές αναπαρασ τάσ εις δύο σ ημάτων chirp αρισ τερά λ 0 < λ 1 και δεξια λ 0 > λ 1. Προφανώς και τα δύο σ ήματα φέρουν διαφορετική πληροφορία. Από την αναπαράσ τασ η σ το πεδίο του χρόνου, η σ υχνοτική μεταβολή γίνεται εμφανής, αλλά όχι και ο τρόπος με τον οποίο πραγματοποιείται. Στο πεδίο της σ υχνότητας τα δυο σ ήματα προκύπτουν να έχουν ακριβώς το ίδιο φασ μα πλάτους. Πάλι η χρονική πληροφορία κρύβεται σ τη φάσ η αλλά ακόμα κι έτσ ι είναι πολύ δύσ κολο να αναγνωρισ τεί ο τρόπος με τον οποίο διαμορφώνεται το ημίτονο.

21 16 3 Χρονοσ υχνοτική ανάλυσ η σ ημάτων Σχήμα 3.4. Χρονική αναπαράσ τασ η σ ήματων chirp. Αρισ τερά η σ υχνότητα αυξάνεται, δέξια μειώνεται. Ο νόμος FM παραμένει κρυφός Σχήμα 3.5. Αναπαρασ τάσ εις ( DFT ) των δύο chirp Σχήμα 3.6. σ υναρτήσ εις φάσ ης των δύο chirp 3.2 Προδιαγραφές Χρονοσυχνοτικής Κατανομής Οπως φάνηκε και σ τα προηγούμενα οι αναπαρασ τάσ εις χρόνου και σ υχνότητας αδυνατούν να αποκαλύψουν ορισ μένα χαρακτηρισ τικά σ ημάτων με μεταβλητό σ υχνοτικό περιεχόμενο. Μια λύσ η σ το πρόβλημα αυτό θα δινόταν από μια σ υνάρτησ η δύο μεταβλητών D(t, f), η οποία θα είχε τις παρακάτω ιδανικές προδιαγραφές.

22 3.3 Η κατανομή Wigner (WD) 17 Η σ υνάρτησ η D(t, f) να είναι πραγματική. Για t = t = σταθερο η D(t, f) να μας λέει ποιες σ υχνότητες εμφανίζονται τη χρονική σ τιγμη t. Για f = f = σταθερο η D(t, f ) να μας λέει ποιες χρονικές σ τιγμές εμφανίζεται η σ υχνότητα f. Η D(t, f) να μας δίνει μια εκτίμησ η για τη σ τιγμιαία σ υχνότητα του σ ήματος. Το ολοκλήρωμα R 2 D(t, f)dtdf = E, όπου E η ενέργεια του σ ήματος. Το ολοκλήρωμα R 2 D(t, f)dtdf = E( ) Μια τέτοια σ υνάρτησ η θα λέγεται χρονοσ υχνοτική κατανομή (time frequency distribution,tfd). Εχουν προταθεί πολλές (TFD) και οι ιδιότητες της κάθε μιας την καθισ τούν κατάλληλη σ ε σ υγκεκριμένες εφαρμογές. Λόγω του ότι μια (TFD) περιέχει όλη την πληροφορία για το σ ήμα, είναι δελεασ τικό να τη δούμε σ αν εναλλακτική αναπαρασ τάσ η του σ ήματος, όπως κάναμε με τις αναπαρασ τάσ εις σ το πεδίο του χρονου και σ το πεδίο της σ υχνότητας. Παρ ολα αυτά υπάρχουν λόγοι για τους οποίους ο παραπάνω ισ χυρισ μός αποτυγχάνει. Δεν είναι πάντοτε δυνατό να αποκτήσ ουμε τη σ υνάρτησ η D(t, f) χρησ ιμοποιόντας τη λογική που υποδεικνύει η παράγραφος 2.1. Οι (TFD) δε σ χετίζονται πάντα με γραμμικό τρόπο (οπως απαιτεί το εσ ωτερικό γινόμενο) με άλλες αναπαρασ τάσ εις του σ ήματος. Παρ ολα αυτά σ υχνά σ τη βιβλιογραφία σ υνηθίζεται να αποδίδεται και η ονομασ ία χρονοσ υχνοτικές αναπαρασ τάσ εις σ ε σ υναρτήσ εις που ικανοποιούν τις παραπάνω ιδιότητες. 3.3 Η κατανομή Wigner (WD) Η κατανομή wigner W x(t, f) ενός σ ήματος x με αναπαράσ τασ η σ το πεδίο του χρόνου x(t) ορίζεται απο την παρακάτω σ χέσ η ˆ W x(t, f) = x(t + τ/2)x (t τ/2)e i2πfτ dτ τɛr Χονδρικά μιλώντας η σ υνάρτησ η W x(t, f) δίνει τη κατανομή της ενέργειας του σ ήματος πάνω σ το (TF) επίπεδο. Αυτό μπορεί να φανεί ώς εξής ˆ W x(t, f) = x(t + τ/2)x (t τ/2)e i2πfτ dτ = τɛr ˆ W x(t, f)e i2πfτ df = x(t + τ/2)x (t τ/2) = ˆ ˆ ˆ W x(t, f)e i2πfτ df = x(t + τ/2)x (t τ/2)dt = και θέτοντας τ = 0 ˆ ˆ ˆ W x(t, f)dfdt = x(t)x (t)dt = x, x = x 2 Στο σ ημείο αυτό αξίζει να σ ημειωθεί πως η σ υνάρτησ η W x(t, f) δεν πρέπει να ερμηνεύεται σ αν η ενέργεια του σ ήματος σ το σ ημείο (t, f), ο λόγος θα φανεί σ την παράγραφο 3.7. Παρ όλα αυτά λαμβάνοντας ένα σ ημείο (t, f ) και μια περιοχή γύρω από αυτό π(t, f ) προσ εγγισ τικά μπορούμε να θεωρήσ ουμε Ο ορισ μός της σ υνάρτησ ης σ τιγμιαίας σ υχνότητας θα δωθεί σ ε επόμενη παράγραφο.

23 18 3 Χρονοσ υχνοτική ανάλυσ η σ ημάτων τον μέσ ο όρο της W x(t, f) σ άυτή την περιοχή σ αν την πυκνότητα της ενέργειας του σ ήματος γύρω από το (t, f ). Η (WD) περιέχει όλη την πληροφορία που φέρει το σ ήμα δε θα ήταν λοιπόν παράλογο να ζητήσ ουμε από την W x(t, f) να πάρουμε πίσ ω την x(t). Αυτό μπορεί να γίνει εύκολα θέτοντας t = τ/2 σ την έκφρασ η ˆ W x(t, f)e i2πfτ df = x(t τ/2)x (t τ/2) = x(t) = 1 ˆ x (0) x(t) = 1 x (0) W x(τ/2, f)e i2πfτ df = ˆ W x(t/2, f)e i2πft df όπου η σ υνάρτησ η δύο μεταβλητών μέσ α σ το ολοκλήρωμα πρέπει να είναι νομιμη κατανομή Wigner. Η τελευταία παρατήρησ η ίσ ως με μια πρώτη ματιά να φαίνεται προφανής, σ ε μια κατάσ τασ η όμως όπου επιχειρείται φιλτράρισ μα σ το (TF) πεδίο, η έξοδος Y (t, f) του χρονοσ υχνοτικού φίλτρου H(t, f) δεν θα είναι απαραίτητα η κατανομή Wigner κάποιου σ ήματος αλλά απλά μια σ υνάρτησ η δύο μεταβλητών και άρα ο παραπάνω τύπος δε θα έχει κανένα νόημα να εφαρμοσ τεί. Προκειμένου να αποκτηθεί μια ιδέα του πως η (WD) ικανοποιεί τις απαιτήσ εις της παραγράφου 3.2 παρακάτω φαίνονται οι (WD) των σ ημάτων της παραγράφου 3.1. Σχήμα 3.7. Οι κατανομές Wigner των σ ημάτων x 2 και x 1και chirp Σε όλες τις περιπτώσ εις το πλήθος των δειγμάτων έχει μειωθεί κατά μια τάξη μεγέθους. Στη πρώτη εικόνα βλέπουμε το σ ήμα x 2[n]. Η ψηφιακή σ υχνότητα 0.2 εμφανίζεται σ αν μια ράχη σ τα πρώτα 30 δείγματα και όμοια η 0.4 σ τα επόμενα 70. Στη δεύτερη εικόνα φαίνεται το σ ήμα x 1[n], μόνο που εδώ ανάμεσ α από τις δυο αναμενόμενες ράχες εμφανίζεται ενδιάμεσ α και μία τρίτη, αναγκάζοντας μας να ερμηνεύσ ουμε την ύπαρξη και ενός τρίτου όρου σ το άθροισ μα, ψηφιακής σ υχνότητας λ = 0.3. Αυτό είναι ένα απο τα μειονεκτήματα της (WD), αυτός ο φαινομενικά τρίτος όρος ονομάζεται ενδιάμεσ ος όρος (cross term) και είναι αποτέλεσ μα του μη γραμμικού τρόπου με τον οποίο χειρίζεται το σ ήμα η (WD). Σε επόμενη παράγραφο θα μελετηθούν με λεπτομέρεια τέτοιου είδους φαινόμενα της κατανομής Wigner. Οι τελευταίες δύο εικόνες δείχνουν τα δυο σ ήματα chirp, πλέον έιναι προφανής ο τρόπος (γραμμικός) με τον οποίο μεταβάλλεται το σ υχνοτικό περιεχόμενο. Και τα δύο chirp μεταβάλλουν το σ υχνοτικό τους περιεχόμενο από την ψηφιακή σ υχνότητα λ 0 = 0.01 (αντίσ τοιχα λ 0 = 0.4) σ την λ 1 = 0.4 (αντίσ τοιχα λ 1 = 0.01) σ ε διάσ τημα 100 δειγμάτων. Προκειμένου να εξετάσ ουμε την μαθηματική ορθότητα των παραπάνω αποτελεσ μάτων χρειαζόμασ τε την έννοια του μιγαδικού ισ οδύναμου ενός σ ήματος (analytic signal).

24 3.4 Το μιγαδικό ισοδύναμο (analytic signal) 3.4 Το μιγαδικό ισ οδύναμο (analytic signal) 19 Εσ τω X(f) =F{x(t)}. Δεδομένης της ερμιτιανής σ υμμετρίας του Μ.F, όλη η απαραίτητη πληροφορία βρίσ κεται σ τις θετικές σ υχνότητες. Μηδενίζοντας λοιπόν τον Μ.F σ τις αρνητικές σ υχνότητες μπορούμε να υποθέσ ουμε πως θα υπάρχει ένα σ ήμα z(t) το οποίο φέρει την ίδια ακριβώς πληροφορία με το αρχικό x(t) και το οποίο θα είναι αναγκασ τικά μιγαδικό. Το z(t) είναι το μιγαδικό ισ οδύναμο του αρχικού x(t). Ισ χύει επίσ ης και το αντίσ τροφο, οποιοδήποτε μιγαδικό σ ήμα ο Μ.F του οποίου είναι μηδέν σ τις αρνητικές σ υχνότητες είναι το μιγαδικο ισ οδύναμο κάποιου πραγματικού σ ήματος. Το z(t) γράφεται σ τη μορφή z(t) = a(t)e jϕ(t). x(t) z(t) [a(t), ϕ(t)] Η σ υναρτήσ η z(t) ή ισ οδύναμα το ζεύγος [a(t), ϕ(t)] χαρακτηρίζουν πλήρως το σ ήμα x. Στη περίπτωσ η του γραμμικού chirp εύκολα υπολογίζεται ότι z(t) = e j(2π(0.01t+0.002t2 /2)). ˆ W x(t, f) = z(t/2 τ/2)z (t/2 τ/2)e i2πfτ dτ = ˆ τɛr τɛr e j(2π(0.01(t/2 τ/2)+0.002(t/2 τ/2)2 )) e j(2π(0.01(t/2+τ/2)+0.002(t/2+τ/2)2 )) e i2πfτ dτ = ˆ τɛr ˆ τɛr ˆ e j(2π(0.01τ+0.002τt/2) e i2πfτ dτ = τɛr e j(2π( t)τ e i2πfτ dτ = e j(2π d(0.01t+0.002t2 /2) dt τ e i2πfτ dτ = F{e j(2π d(0.01t+0.002t2 /2) dt τ } = δ(f ( t)) Ιδανικά λοιπόν η (WD) του chirp είναι μηδεν παντού εκτός απο την ευθεία f(t) = 0.002t = d(0.01t+0.002t2 /2) = 1 dϕ. Οπως φαίνεται και απο το σ χήμα, η σ υνάρτησ η αυτή εκφράζει κατα dt 2π dt κάποιον τρόπο, γύρω από ποια σ υχνότητα σ υγκεντρώνεται το φάσ μα του σ ήματος κάθε χρονική σ τιγμή. Στη γενικότερη περίπτωσ η ορίζεται σ αν το κέντρο βάρους ως προς f της W (t, f) = W f (t) του σ ήματος σ ε κάθε χρονική σ τιγμη και λέγεται σ τιγμιαία σ υχνότητα (instantaneous frequency). Ο λόγος για τον οποίο επιλέχθηκε το γραμμικό chirp είναι γιατι αποτελεί την πιο απλή περίπτωσ η σ ήματος με μεταβλητό σ υχνοτικό περιεχόμενο.

25 20 3 Χρονοσ υχνοτική ανάλυσ η σ ημάτων 3.5 Ιδιότητες της κατανομής Wigner Παρακάτω παραθέτονται ιδιότητες της κατανομής Wigner οι οποίες θα χρειασ τούν σ ε επόμενες παραγράφους. W x (t, f) = W x(t, f) x(t ξ) W x(t ξ, f) e i2πξt x(t) W x(t, f ξ) Wx(t, f)df = x(t) 2 Wx(t, f)dt = X(f) 2 1/M x(t/m) Wx(t/M, Mf) fwx(t,f)df = 1 fi(t) fwx(t,f)df 2π Αν x(t) = 0 έξω από το [ξ 1, ξ 2], τότε W x(t, f) = 0 έξω από το [t = ξ 1, t = ξ 2] Αν X(f) = 0 έξω από το [ξ 1, ξ 2], τότε W x(t, f) = 0 έξω από το [f = ξ 1, f = ξ 2] x (t)h(t)dt 2 = W x(t, f)w h (t, f)dtdf h(t) x(t) W h (t t, f)w x(t, f)dt (σ υνέληξη ως προς t) h(t)x(t) W h (t, f f )W x(t, f )df (σ υνέληξη ως προς f) Η (WD) είναι παντού πραγματική αλλά όχι και θετική, κάτι το οποίο όπως αναφέρθηκε και πριν έρχεται σ ε αντίθεσ η με την ερμηνεία της (WD) σ αν μια σ υνάρτησ η η οποία δίνει την κατανομή ενέργειας του σ ήματος. Συγκεκριμένα η μόνη σ υνάρτησ η για την οποία η (WD) είναι παντού θετική είναι η x(t) = ) 1/4 e αt2 /2 e i(ω 0t+βt 2 ( /2) α π Μερικές ιδιότητες της (WD) θεωρούνται ορισ μένες φορές ανεπιθύμητες. Η (WD) δεν είναι μια γραμμική σ υνάρτησ η ως προς το σ ήμα κάτι το οποίο σ υνεπάγεται η κατανομή wigner του αθροίσ ματος δυο σ ημάτων να μην είναι το άθροισ μα των επιμέρους κατανομών, οι επιπρόσ θετοι όροι που εμφανίζονται είναι οι cross terms. Αυτό είναι το κόσ τος που πληρώνουμε, η μη γραμμικότητα σ υμφωνεί με την ερμηνεία της (WD) σ αν το μέσ ο για να δούμε την κατανομή ενέργειας του σ ήματος σ το χρόνο και τη σ υχνότητα, παρ ολα αυτά όταν έρθει η σ τιγμή να ερμηνεύσ ουμε τα αποτελέσ ματα οι ενδιάμεσ οι όροι αν και απαραίτητοι δυσ κολεύουν την διαδικασ ία αυτή. Θεωρούμε σ το σ ημείο αυτό την κατανομή ωιγνερ μιας σ υνάρτησ ης ˆx(t) = nɛn μια ορθοκανονική βάσ η του V H τότε ˆ ( ) ( ) Wˆx (t, f) = c ne n(t + τ/2) c n e n (t τ/2) e i2πfτ dτ = τɛr nɛn n,n c nc n (ˆ n ɛn ) e n(t + τ/2)e n (t τ/2)e i2πfτ dτ = n,n c nc n Wen,e n (t, f) cnen(t), όπου {en}n=n n=1 Αν η παραπάνω σ χέσ η ερμηνευθεί σ αν το ανάπτυγμα της Wˆx (t, f) σ τις W en,en (t, f) τότε παρατηρούμε πως οι σ υντελεσ τές c n,n = c nc n. Αυτό επιβεβαιώνει το γεγονός πως η (WD) περιέχει όλη την πληροφορία για ένα σ ήμα το οποίο αναπαρίσ ταται απο μία σ υνάρτησ η μιας μονο μεταβλητής.

26 3.6 Γεωμετρία της κατανομής Wigner 3.6 Γεωμετρία της κατανομής Wigner 21 Θεωρούμε ένα σ ήμα x με αναπαράσ τασ η σ το πεδίο του χρόνου x(t). Υποθέτουμε επίσ ης πως x(t) = 0, t / [t 1, t 2]. Κοιτώντας τον ορισ μό της (WD) W x(t, f) = x(t+τ/2)x (t τ/2)e i2πfτ dτ, για ένα σ ταθερό f η W x(t, f ) μηδενίζεται, όταν μηδενίζεται το γινόμενο R(t, τ) = R t(τ) = x(t + τ/2)x (t τ/2), τɛr. Για t = t 1,R t1 (τ) = 0 τɛr, όμοια για t = t 2 και προφανώς το ίδιο ισ χύει t < t 1 και t > t 2. Άρα W x(t, f) = 0 f, και για ολα τα t / [t 1, t 2]. Με τον ίδιο τρόπο φαίνεται πως W x(t, f) = 0 t και για όλα τα f / [f 1, f 2] όταν ˆx(f) = 0, f / [f 1, f 2]. Παρακάτω θα δούμε ένα απο τα αρνητικά χαρακτηρισ τικά της (WD). Θεωρούμε ένα άλλο σ ήμα x, για το οποίο x(t) 0 tɛ[t 1, t 2] [t 3, t 4]. Οπως φάνηκε και πριν, σ ίγουρα με tɛ[t 1, t 2] [t 3, t 4], υπάρχουν τɛr τέτοια ώσ τε R t(τ) = x(t + τ/2)x (t τ/2) 0 και επίσ ης σ ίγουρα με t / [t 1, t 4] R t(τ) = 0 τɛr. Αν tɛ(t 2, t 3) τότε παρ ολο που x(t) = 0 μπορούν και πάλι να βρεθούν τɛr τέτοια ώσ τε R t(τ) 0 και άρα W x(t, f) 0. Σάυτή την περίπτωσ η λοιπόν υπάρχει ολόκληρο διάσ τημα σ το οποίο το x(t) μηδενίζεται ταυτοτικά παρ ολα αυτά η W x(t, f) εκεί είναι μη μηδενική αναγκάζοντάς μας να υποθέσ ουμε την παρουσ ία ενέργειας σ το χρονικό διάσ τημα αυτό. Αυτό είναι αποτέλεσ μα της μεγάλης μνήμης η οποία εισ άγεται μέσ ω του ορισ μού, τοπικά χαρακτηρισ τικά του σ ήματος τείνουν να εμφανίζονται σ αν ολικά. Παρακάτω θα δούμε πώς δημιουργούνται οι ενδιάμεσ οι όροι (cross terms). Παίρνουμε την πιο απλή περίπτωσ η όπου x(t) = x 1(t) + x 2(t). Τότε ˆ W x(t, f) = x(t + τ/2)x (t τ/2)e i2πfτ dτ = τɛr τɛr ˆ W x(t, f) = (x 1(t + τ/2) + x 2(t + τ/2))(x 1(t τ/2) + x 2(t τ/2))e i2πfτ dτ = ˆ W x1 (t, f) + W x2 (t, f) + 2Re{ x 1(t + τ/2)x 2(t τ/2)e i2πfτ dτ} τɛr τɛr Σχήμα 3.8. (WD) ενδιάμεσ οι όροι Ο τρίτος όρος της παραπάνω σ χέσ ης, ο οποίος σ υμβολίζεται με W x1,x 2 (t, f),είναι ο ενδιάμεσ σ ος όρος (cross term) και εμφανίζεται πάντα για ένα σ ήμα πολλών σ υνισ τωσ ών (Multi component, Mc) (το τι ακριβώς ορίζουμε σ αν Mc σ ήμα θα γίνει καλύτερα αντιληπτό σ ε παρακάτω παράγραφο όπου θα μιλήσ ουμε για τον STFT).

27 22 3 Χρονοσ υχνοτική ανάλυσ η σ ημάτων Προκειμένου να ερμηνεύσ ουμε σ ωσ τά την (WD) είναι απαραίτητο να μπορούμε να αναγνωρίζουμε τους ενδιάμεσ ους όρους. Αρχικά θα εξετάσ ουμε το που εντοπίζονται οι όροι αυτοι πανω σ το (TF) επίπεδο και σ τη σ υνέχεια τη μορφή τους. Εσ τω πως οι φορείς των W x1 (t, f) και W x2 (t, f) είναι S 1και S 2αντίσ τοιχα εννοώντας πως έξω από τα σ ύνολα αυτά οι δύο κατανομές είναι κατα προσ έγγισ η μηδενικες. Δεδομένων αυτών θέλουμε να υπολογίσ ουμε τον φορέα της W x1,x 2 (t, f). Ισ χυεί ότι ˆ ˆ W x1,x 2 (t, f) 2 = W x1 (t + τ/2, f + v/2)w x2 (t τ/2, f v/2)dτdv τ,v Η σ χέσ η δείχνει το πώς εξαρτάται το πλάτος της W x1,x 2 (t, f) από τις τιμές των W x1 και W x2. Παίρνοντας δύο σ ημεία (t 1, f 1)ɛS 1, (t 2, f 2)ɛS 2 φτιάχνουμε τα (t 12 = t 1+t 2 2, f 12 = f 1+f 2 2 ), τ 12 = t 1 t 2και v 12 = f 1 f 2 και αντικαθισ τώντας σ την εξίσ ωσ η t = t 12 και f = f 12 είναι σ ίγουρο πως όταν τ = τ 12 και v = v 12 (t 12 + τ 12/2, f 12 + v 12/2)ɛS 1 και (t 12 τ 12/2, f 12 v 12/2)ɛS 2 και άρα W x1,x 2 ( t 1+t 2 2, f 1+f 2 2 ) 0,δηλαδή ο φορέας του ενδιάμεσ ου όρου εντοπίζεται πάντα σ το μέσ ο των S 1και S 2. Μένει τώρα να εξετάσ ουμε τη μορφή των ενδιάμεσ ων όρων. Θεωρώντας την απλή περίπτωσ η όπου x 1(t) = E f T tx(t) και x 2(t) = E f T tx(t) όπου το x είναι βασ ικής ζώνης. Επειτα απο πράξεις προκύπτει ότι W x1,x 2 (t, f) = e i(f t/2 + t f/2) W x(t, f) + e i(fδt/2 + tδf/2) W x(t, f) = 2W x(t, f)cos(2π(f t + t f)). Απο την παραπάνω σ χέσ η παρατηρούμε πως οι ενδιάμεσ οι όροι έχουν γενικά ταλαντούμενη μορφή. Η ταλάντωσ η γίνεται εντονότερη όσ ο η απόσ τασ η μεταξύ των κατανομών W x1 και W x2 αυξάνει (εδώ t και f ). Στις παρακάτω εικόνες φαίνεται η κατανομή Wigner του x[n] = x 1[n] + x 2[n], 1 < n < 100 όπου x 1[n] = cos(2π0.4n) για τα πρώτα 20 δείγματα και x 2[n] = cos(2π0.1n) σ τα τελευταία 40.

28 3.6 Γεωμετρία της κατανομής Wigner 23 Σχήμα 3.9. Η ακολουθία x[n] Σχήμα κατανομή wigner της x[n].contour plot Σχήμα surf plot wigner της x[n] Εκτός απο τους ενδιάμεσ ους όρους οι οποίοι εμφανίζονται σ τις περιπτώσ εις Mc σ ημάτων υπάρχει και μια άλλη κατηγορία εσ ωτερικών ενδιάμεσ ων όρων, οι inner artifacts, οι οποίοι κάνουν την εμφάνισ ή τους ακόμα και αν το σ ήμα δεν είναι Mc, αλλα παρουσ ιάζει μη γραμμική σ τιγμιαία σ υχνότητα.

29 24 3 Χρονοσ υχνοτική ανάλυσ η σ ημάτων Θεωρώντας πάλι τη σ χέσ η ˆ ˆ W in,x(t, f) 2 = W x(t + τ/2, f + v/2)w x(t τ/2, f v/2)dτdv τ,v Σχήμα εσ ωτερικοί ενδιάμεσ οι όροι (inner artifacts) και κοιτώντας την παραπάνω εικόνα οπου απεικονίζεται ένα (quatradic chirp) παρατηρούμε πως βρίσ κουμε σ ημεία (t, f ) μέσ α σ το κοίλο τμήμα της καμπύλης για τα οποία υπάρχουν τ, v τέτοια ώσ τε τα γινόμενα W x(t + τ/2, f + v/2)w x(t τ/2, f v/2) 0 να σ υνεισ φέρουν σ το άθροισ μα. 3.7 Η αρχή της Αβεβαιότητας Ας υποθέσ ουμε πως θέλουμε να μετρήσ ουμε τη σ υχνότητα ενός καθαρού ημιτόνου. Η διαίσ θησ η μας λέει οτι όσ ο πιο πολύ ώρα παρακολουθούμε το ημίτονο, τόσ ο πιο σ ίγουροι θα ήμασ τε για τη μέτρησ η. Το γεγονός αυτό γίνεται πιο έντονο πηγαίνοντας σ ε σ υνεχώς μικρότερες σ υχνότητες. Με άλλα λόγια αν t ο χρόνος σ τον οποίο κάνουμε τη μέτρησ η και f το σ φάλμα της μέτρησ ης, παρατηρούμε πως τα δυο αυτά μεγέθη είναι κατά κάποιο τρόπο αντισ τρόφως ανάλογα. Εσ τω τώρα δύο ημίτονα των οποίων η σ υχνότητα διαφέρει κατά ένα ποσ ό f. Ας υποθέσ ουμε πως ο τρόπος που μετράμε τη σ υχνότητα του κάθε ενός δίνεται απο έναν δείκτη πλήθους κύκλων (περιόδων) σ ε δοσ μένο χρόνο. Τότε για να καταφέρουμε να ξεχωρίσ ουμε τα δυο σ ήματα, ισ οδύναμα να αντιληφθούμε τη διαφορά f, πρέπει οι δύο δείκτες σ τον ιδιο χρόνο να διαφέρουν κατά τουλάχισ τον έναν κύκλο, δηλαδή θα πρέπει (f + f) t f t 1 f t 1. Οταν δύο σ υχνότητες διαφέρουν κατά f για να τις διακρίνουμε απαιτείται χρόνος t 1/ f, αντίσ τροφα αν ο χρόνος παρατήρησ ης είναι t μπορούμε να διακρίνουμε σ υχνότητες που διαφέρουν τουλάχισ τον κατα f 1/ t. Στην παρακάτω εικόνα φαίνονται 2 ημίτονα ψηφιακής σ υχνότητας λ 0 = 0.01 και λ 1 = 0.02, λ = 0.01 min{ t} = 100, δειγματα.

30 3.8 Συντομος μετασ χηματισ μός Fourier (STFT) 25 Σχήμα Επεκτείνοντας τον παραπάνω σ υλλογισ μό ας υποθέσ ουμε πως θέλουμε να μάθουμε το σ υχνοτικό περιεχόμενο ενός σ ήματος σ ε ένα πεπερασ μένο χρονικό διάσ τημα t. Οποιες και αν είναι πραγματικά οι σ υχνότητες εκείνες τις χρονικές σ τιγμές, εμείς θα μπορούμε να διακρίνουμε μόνο αυτές που διαφέρουν κατα f 1/ t. Άρα δεν μπορούμε να έχουμε πλήρη γνώσ η του σ υχνοτικού περιεχομένου του σ ήματος εξετάζοντάς το σ ε ένα πεπερασ μένο χρονικό διάσ τημα, ισ οδύναμα διαλέγοντας σ υναρτήσ εις βάσ ης ημίτονα πεπερασ μένου χρόνου ναι μεν γινόμασ τε πιο σ υγκεκριμένοι σ το χρόνο αλλα η αβεβαιότητα που έχουμε είναι f. Θέλοντας μηδενική αβεβαιότητα f σ τη σ υχνότητα (πλήρη διακριτική ικανότητα, πλήρη γνώσ η του σ υχνοτικού περιεχομένου) απαιτείται να μετρήσ ουμε τα ημίτονα για άπειρο χρόνο ισ οδύναμα να κάνουμε Μ.F σ το σ ήμα. Θεώρημα 1. Για μια σ υνάρτησ η fɛl 2 (R) και με α, βɛr ( R (t α)2 f(x) 2 dt ) ( ) (ω 2 R β)2 ˆf(ω) dω 1 4π f 2 Με την ισ ότητα να ισ χύει για πολλαπλάσ ια της M ξ T yϕ c(t), όπου ϕ c(t) = (2/c) 1/4 e πt2 /c Το παραπάνω θεώρημα βασ ικά λέει πως μια σ υνάρτησ η δε μπορεί να έχει ταυτόχρονα πεπερασ μένη διάρκεια και πεπερασ μένο εύρος ζώνης. 3.8 Συντομος μετασχηματισμός Fourier (STFT) Κοιτώντας τις απαιτήσ εις μιας χρονοσ υχνοτικής κατανομής ίσ ως ο πιο προφανής τρόπος να δούμε πως μεταβάλλεται το σ υχνοτικό περιεχόμενο ενός σ ήματος x είναι ο STFT. Η ιδέα είναι η εξής: Προκειμένου να εκτιμήσ ουμε το σ υχνοτικό περιεχόμενο γύρω απο μια σ υγκεκριμένη χρονική σ τιγμή t η x(t) πολλαπλασ ιάζεται με ένα χρονικό παράθυρο με άρτια σ υμμετρία μετατοπισ μένο σ το t σ τη σ υνάρτησ η που προκύπτει εφαρμόζεται ο M.F. ˆ W F x (w) (t, f) = x(τ)w (τ t)e i2πfτ dτ Τα αποτελέσ ματα του stft εξαρτώνται απο την επιλογή του παραθύρου w. Επιλέγοντας μικρό μήκος παραθύρου επιτυγχάνουμε καλύτερη χρονική διακριτική ικανότητα (resolution) αλλά κακή εκτίμησ η του σ υχνοτικού περιεχομένου σ το διάσ τημα αυτό και αντισ τροφα μεγάλο μήκος παραθύρου έχει ως αποτέλεσ μα μεγάλη αβεβαιότητα σ το χρόνο αλλά μεγαλύτερη ακρίβεια σ την εκτίμησ η του σ υχνοτικού περιεχομένου. Ο stft μπορεί να ερμηνευθεί με τους παρακάτω τρόπους. Σε μία σ υγκεκριμένη χρονική σ τιγμή t ο stft είναι ο M.F του σ ήματος πολλαπλασ ιασ μένου με το χρονικό παράθυροw (τ t ). Ως προς τη μεταβλητή f ο stft ερμηνεύεται σ αν μια τράπεζα φίλτρων κρουσ τικών αποκρίσ εων w (t)e i2πft.

31 26 3 Χρονοσ υχνοτική ανάλυσ η σ ημάτων Σε ένα σ υγκεκριμένο σ ημείο (t, ω = 2πf) W F x (w) (t, ω) = x, E ωt tw Ο adjoint W F (w) :L 2 (R 2 ) H του W F (w) είναι W F (w) (h) = h(t, f)e ωt tw(t)dtdf. Αποδεικνύεται R 2 οτι σ την περίπτωσ η που w, w = 1 η σ υνάρτησ η W F (w) :H R(W F (w) ) L 2 (R 2 ) είναι unitary τελεσ τής και άρα W F (w) W F (w) = I. Άρα W F x (w) (t, f)e ωt tw(t)dtdf=x(t). R 2 Το τετράγωνο του μέτρου του stft SP x(t, f) = W F x (w) (t, f) λέγεται φασ ματογράφημα (spectrogram) και εκφράζει την ενέργεια του σ ήματος σ αν σ υνάρτησ η του χρόνου και της σ υχνότητας. Εύκολα φαίνεται ότι SP x+y(t, f) = SP x(t, f) + SP x(t, f) + 2Re{W F x (w) (t, f)w Fy (w) (t, f)}. Σε α- ντίθεσ η με την κατανομή wigner ο τρίτος όρος (cross term) επιβιώνει μόνο αν υπάρχει επικάλυψη των W F x (w) (t, f) και W Fy (w) (t, f). Οπως φάνηκε από την παράγραφο 3.7 μια καλή διακριτότητα σ το χρόνο σ υνεπάγεται μια κακή διακριτότητα σ τη σ υχνότητα. Το μήκος του παραθύρου λοιπόν σ τον stft παίζει σ ημαντικό ρόλο σ την ακρίβεια των αποτελεσ μάτων. Οταν κρίνεται απαραίτητο το μήκος του παραθύρου πρέπει να είναι τέτοιο ώσ τε τα φασ ματικά χαρακτηρισ τικά του σ ήματος εντός του παραθύρου να θεωρούνται σ ταθερά. Στο παρακάτω παράδειγμα φαίνεται πως διαφορετικά μήκη παραθύρων εμφανίζουν διαφορετικά αποτελέσ ματα ως προς την ιδια τη φύσ η του σ ήματος. Σχήμα μήκος παραθύρου : Λ=7 δείγματα

32 3.8 Συντομος μετασ χηματισ μός Fourier (STFT) 27 Σχήμα μηκος παραθύρου :Λ=53 δείγματα Στις παραπάνω εικόνες χρησ ιμοποιήθηκε ένα FM σ ήμα, μήκους 64 δειγμάτων της μορφής x[n] = e i(2πλcn λ d λm cos(2πλmn)). Το x[n] επίσ ης μπορεί εναλλακτικά να γραφτεί σ τη μορφή x[n] = c k e i2π(λc+κλm)n κ, όπου c κ κατάλληλοι σ υντελεσ τές. Παρατηρούμε δηλαδή πως το x[n] μπορεί να ειδωθεί και σ αν σ τάσ ιμο σ ήμα (χωρίς μεταβολή σ υχνοτικού περιεχομένου) πολλών σ υνισ τωσ ών. Στην εικόνα (3.14) το μικρό μήκος παραθύρου μας αναγκάζει να θεωρήσ ουμε το σ ήμα σ αν μεταβλητού σ υχνοτικού περιεχομένου και μιας σ υνισ τώσ ας (λόγω της μιας ράχης που εμφανίζεται), σ υμφωνώντας έτσ ι με την πρώτη έκφρασ η. Αντίθετα, το μεγάλο μήκος παραθύρου εικόνα 3.15 μας αναγκάζει να θεωρήσ ουμε το σ ήμα σ αν μια επαλληλία σ τάσ ιμων ημιτόνων. Με άλλα λόγια το μήκος του παραθύρου μπορεί να παραποιήσ ει τη γνώσ η μας για τα χαρακτηρισ τικά του σ ήματος. Στη πρώτη περίπτωσ η το παράθυρο μικρού μήκους εγκλώβιζει κάθε φορά ένα σ τάσ ιμο ημίτονο και έτσ ι μπορεί να αποτυπώσ ει τον FM νομο. Στη δεύτερη περίπτωσ η το παράθυρο μεγάλου μήκους βλέπει κάθε φορά παραπάνω από μια σ υχνότητες. Μερικές ιδιότητες του stft οι οποίες θα χρειασ τούν παρακάτω είναι οι εξής : Αν T y : L 2 (R) L 2 (R), T yf = f(x y) και M ξ : L 2 (R) L 2 (R), Μ ξ f = e iξt f(x) και D α : L 2 (R) L 2 (R), D αf = 1 α f( x ) α (W F (w) M ξ T yf)(t, ω) = e ι2π(ξ ω)y (W F (w) M ξ T yf)(t y, ω ξ) (W F (Dαw) D αf)(t, ω) = W F (w) (f)( t α, αω) Ορίζοντας για c > 0 τη κανονικοποιημένη γκαουσ ιανή σ υνάρτησ η εύρους c ως Γράφοντας ϕ για ϕ c=1,ισ χύει ότι ϕ c = D cϕ ϕ c(t) = (2/c) 1/4 e πt2 /c W F (w) (D cϕ)(t, ω) = W F (w) (ϕ c)(t, ω)=ϕ c+1(t)ϕ c+1 c (ω)e 2π c+1 c tω

33 28 3 Χρονοσ υχνοτική ανάλυσ η σ ημάτων 3.9 Βαθμοί ελευθερίας και χρονοσυχνοτικός φορέας Απο το θεώρημα (3.1) είναι προφανές πως μια σ υνάρτησ η και ο M.F της δε μπορούν να έχουν ταυτόχρονα πεπερασ μένο φορέα. Μπορούμε ωσ τόσ ο να σ υμφωνήσ ουμε σ ε ένα κλάσ μα ε της ενέργειας του σ ήματος και να ορίσ ουμε σ αν ενεργό εύρος ζώνης Ω και ενεργή χρονική διάρκεια Τ του σ ήματος τις ποσ ότητες για τις οποίες ικανοποιούνται ( f(t) 2 ) 1/2 ε f και αντίσ τοιχα ( ( f(ω) 2 ) 1/2 ε f, t t Τ ω ω Ω όπου t και ω κατάλληλα κέντρα. Η ποσ ότητα Ν = [ Ω Τ] είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίσ η της μονάδας και εκφράζει τους βαθμούς ελευθερίας του σ ήματος, είναι το ελάχισ το πλήθος μιγαδικών σ υντελεσ τών οι οποίοι χαρακτηρίζουν το σ ήμα, είναι η ελάχισ τη διάσ τασ η που πρέπει να έχει κάθε υπόχωρος span{v n} nɛn = H L 2 (R) για να είναι η nɛn fv(n)vn μια 1 ε προσ έγγισ η του σ ήματος. Το γινόμενο Ω Τ μπορεί να ειδωθεί και σ αν το εμβαδόν πάνω σ το TF επίπεδο ενός ορθογωνίου πλευρων Τ και Ω. Συμπερασ ματικά λοιπόν, το σ ύνολο των σ ημάτων, ο χρονοσ υχνοτικος φορέας των οποίων είναι το ορθογώνιο με πλευρές Τ και Ω, προσ εγγίζονται 1 ε καλά από έναν υπόχωρο διάσ τασ ης Ν. Παραπάνω όμως φάνηκαν περιπτώσ εις σ ημάτων των οποίων ο χρονοσ υχνοτικός φορέας ήταν υποσ ύνολο ενός ορθογώνιου εμβαδού N. Η χρονοσ υχνοτική ανάλυσ η δηλαδή μας λέει οτι υπαρχουν σ ήματα διάρκειας Τ και ενεργού εύρους ζώνης Ω τα οποία απαιτούν Ν < [ Ω Τ] και άρα μια πιο οικονομική αναπαράσ τασ η. Το ερώτημα είναι πως ορίζεται η διάσ τασ η του υπόχωρου σ τις περιπτώσ εις αυτές. Στη πράξη ενδιαφερόμασ τε για δείγματα της σ υνάρτησ ης W F x (w) (t, ω),t = nt 0ω = mω 0. Τότε ˆ W F x (w) (nt 0, mω 0) = x(t)w (t nt 0)e imω0t dt = x, M mω0 T nt0 w = w n,m Οι σ υντελεσ τές w n,m = W F x (w) (nt 0, mω 0), λέγονται σ υντελεσ τές Gabor. Το σ ύνολο των σ ημείων (nt 0, mω 0) ορίζουν ένα πλέγμα σ το TF επίπεδο. Οταν t 0ω 0 < 1 για ένα σ ήμα διάρκειας Τ και ε- νεργού εύρους ζώνης Ω αλλά όχι απαραίτητα τετράγωνου χρονοσ υχνοτικού φορέα (με κάποια απο τις πλευρές παράλληλη σ ε κάποιον από τους άξονες) οι μη μηδενικοί σ υντελεσ τές Gabor θα είναι σ ε πλήθος ( Τ/t 0)( Ω/ω 0). Η τελευταία ποσ ότητα ορίζεται σ αν το πλήθος των βαθμών ελευθερίας σ την περίπτωσ η αυτή. Στη γενική περίπτωσ η λοιπόν ορίζουμε το πλήθος των βαθμών ελευθερίας του σ ήματος σ αν το εμβαδό του χρονοσ υχνοτικού του φορέα το οποίο γενικά θα είναι μικρότερο ή ίσ ο από Ω Τ. Θα μπορούσ ε λοιπόν να υποτεθεί πως η έκφρασ η αυτή είναι κατάλληλη για να κάνουμε χρονοσ υχνοτική ανάλυσ η αλλά και σ ύνθεσ η. Το πρώτο και κύριο μέλημα της είναι το σ ύνολο {M mω0 T nt0 w} να φτιάχνει μια ορθοκανονική βάσ η προκειμένου αυτή να έχει κάποιο νόημα. Το πρόβλημα είναι προφανές πως ανάγεται σ την κατάλληλη επιλογή των t 0, ω 0 και w. Η πίο λογική επιλογή είναι να ορίσ ουμε { h m(t nl), nl < t < (n + 1)L w n,m(t) = 0 αλλού με h m(t) = ei2πmt/l L. Το πρόβλημα με το σ ύνολο αυτό είναι ότι ακόμα και αργές σ υναρτήσ εις θα ανακατασ κευασ τούν έχοντας παρασ ιτικά, γρήγορα τμήματα. Αυτό οφείλεται σ το ότι μεταξύ 2 σ υνεχόμενων διασ τημάτων δημιουργούνται ασ υνέχειες, αφού η προβολή του σ ήματος σ ε κάθε διάσ τημα γίνεται ανεξάρτητα από την επόμενη. Παρακάτω φαίνεται ένα σ ύσ τημα της μορφής αυτής για L = 100 σ το οποίο όμως έχει χρησ ιμοποιηθεί γκαουσ ιανό παράθυρο. Δηλαδή h m(k) = ϕ c(k) ei2πmk/l L Η απαίτησ η αυτή δίνεται σ το κεφάλαιο 5.

34 3.9 Βαθμοί ελευθερίας και χρονοσ υχνοτικός φορέας 29 Σχήμα M m10t n10,n = 0,..7,m = 0,..5 Σχήμα M m10 T 40 ϕ 3, m = 0,..5 m=5 m=4 m=3 m=2 m=1 m=0

35

36 4 Εισ αγωγή σ τη θεωρία των Frames Στη μελέτη των διανυσ ματικών χώρων μια απο τις σ ημαντικότερες έννοιες είναι αυτή της βάσ ης. Η εύρεσ η μιας βάσ ης μας εξασ φαλίζει πως μπορούμε να εκφράσ ουμε κάθε σ τοιχείο του χώρου σ υναρτήσ ει των δομικών σ τοιχείων της βάσ ης και με τον τρόπο αυτό να ανάγουμε τη μελέτη των χαρακτηρισ τικών του χώρου σ τα χαρακτηρισ τικά της βάσ ης. Παρ όλα αυτά οι σ υνθήκες που πρέπει να ικανοποιεί ένα σ ύνολο προκειμένου να χαρακτηρισ τεί ως βάσ η είναι αρκετά περιορισ τικές: Απαιτούμε από το σ ύνολο να είναι γραμμικά ανεξάρτητο και πολύ σ υχνά απαιτούμε την ορθοκανονικότητα ως προς το εσ ωτερικό γινόμενο. Οι περιορισ μοί αυτοί καθισ τούν πολύ δύσ κολο εως και αδύνατο το να βρούμε ορθοκανονικά σ ύνολα που να έχουν χαρακτηρισ τικά τα οποία επιβάλει μια σ υγκεκριμένη εφαρμογή. Στόχος είναι να αναζητήσ ουμε άλλα εργαλεία τα οποία να ικανοποιούν τις απαιτήσ εις μας και ταυτόχρονα να μπορούμε να τα χειρισ τούμε με παρόμοιο τρόπο όπως τις ορθοκανονικές βάσ εις. Τα εργαλεία αυτά είναι τα frames.

37 32 4 Εισ αγωγή σ τη θεωρία των Frames 4.1 Βασικές έννοιες Ορισ μός 4.1. Μια ακολουθία {g k } kɛn σ τοιχείων ενός χώρου Hilbert H λέγεται πλαίσ ιο αν υπάρχουν σ ταθερές A,B> 0 τ.ω A x 2 nɛn x, g k 2 B x 2, xɛh Τα A, B εξαρτώνται αποκλεισ τικά από το σ ύνολο {g k } kɛn και όχι από το εκάσ τοτε xɛh. Τα A, B είναι το άνω και κάτω φράγμα του frame. Στόχος μας είναι να επιλέξουμε ένα σ ύνολο {g k } kɛn για το οποίο οι σ υντελεσ τές x, g k να μπορούν να χαρακτηρίσ ουν πλήρως κάθε xɛh και επίσ ης να μπορούμε να ανακατασ κευάσ ουμε το x από τα x, g k με έναν ευσ ταθή τρόπο. Αυτό το εξασ φαλίζει η δεξιά ανίσ ωσ η. Ορίζοντας το τελεσ τή T : H l 2 (N) με T x = ( x, g k ) kɛn, κάθε xɛh χαρακτηρίζεται πλήρως από τα x, g k αν ισ χύει ισ οδυναμία με x 1, x 2ɛH, x 1 = x 2 T x 1 = T x 2 Λόγω της γραμμικότητας του H και του T η παραπάνω ισ οδυναμεί με την T (x 1 x 2) = 0, δηλαδή θέλουμε T x = 0 x = 0. Με άλλα λόγια οι σ υντελεσ τές x, g k χαρακτηρίζουν πλήρως το x όταν ο μηδενοχώρος του T είναι το μηδενικό διάνυσ μα. Αποδεικνύεται εύκολα ότι ο adjoint του T είναι ο T : l 2 (N) H με T c k = kɛnc k g k. Ο τελεσ τής S = T T : H H με Sx = kɛn x, g k g k λέγεται τελεσ τής του frame (frame operator). Προφανώς υπάρχουν άπειρα κάτω και άνω φράγματα τα οποία ικανοποιούν τις παραπάνω ανισ ότητες. Ορίζοντας σ αν A opt =sup{a} και σ αν B opt = imf{b}, σ την περίπτωσ η όπου A opt = B opt το σ ύνολο {g k } kɛn καλείται tight frame. Θεώρημα 4.1. Δεδομένου ένος frame {g k } kɛn με άνω και κάτω φράγματα B, A ισ χύουν τα παρακάτω (ι) Ο S είναι αυτοσ υζυγής και θετικά ορισ μένος, (ιι) Ορίζεται ο S 1 και το σ ύνολο {S 1 g k } kɛn = { g k } kɛn ικανοποιεί επίσ ης τις απαιτήσ εις του ορισ μού (4.1) με φράγματα 1 A, 1 B και καλείται δυικό frame του {g k} kɛn, (ιιι) Το σ ύνολο{s 1/2 g k } kɛn είναι tight frame με A = B = 1. Ορίζοντας τον T : H l 2 (N) με T x = ( x, S 1 g k )kɛn = S 1 x, g k = T S 1 x = T T S 1 x = T T (T T ) 1 x = x Δηλαδή x = kɛn x, S 1 g k gk = x, g k S 1 g k. kɛn Καταφέραμε λοιπόν να εκφράσ ουμε κάθε σ τοιχείο του H σ αν έναν γραμμικό σ υνδυασ μό διανυσ μάτων τα οποία δεν είναι ούτε καν γραμμικά ανεξάρτητα. Για ένα frame {g k } kɛn η μικρότερη και η μεγαλύτερη ιδιοτιμή του τελεσ τή S αντισ τοιχούν σ τα βέλτισ τα φράγματα A opt, B opt αντίσ τοιχα. 4.2 Το θεμελιώδες θεώρημα της γραμμικής άλγεβρας και ο ψευδοαντίστροφος Στο σ ημείο αυτό θα εξετάσ ουμε με μεγαλύτερη λεπτομέρεια τον ορισ μό (4.1) απο την σ κοπιά της γραμμικής άλγεβρας. Κάθε πίνακας A σ υνδέεται με 4 θεμελειώδης υπόχωρους. Το χώρο σ τηλών του A Το χώρο γραμμών του A Το μηδενοχώρο του A Το μηδενοχώρο του A T

38 4.2 Το θεμελιώδες θεώρημα της γραμμικής άλγεβρας και ο ψευδοαντίσ τροφος 33 Δεδομένου λοιπόν ενός πίνακα A : R n R m, ορίζουμε τον χώρο σ τηλών του A να είναι το σ ύνολο Col(A) ={xɛr m x = n c k a k, c k ɛr n }, όπου {a k } n κ=1 οι σ τήλες του A. Ομοια το σ ύνολο Row(A) = κ=1 {xɛr m x = m c k a T k, c k ɛr m } είναι ο χώρος γραμμών του A, όπου {a Τ k } n κ=1οι γραμμές του Α. Το σ ύνολο κ=1 N (A) = {xɛr n Ax = 0} αποτελείται από τα διανύσ ματα του R n τα οποία είναι κάθετα σ τις γραμμές του A (και άρα και σ τους γραμμικούς σ υνδυασ μούς τους) και λέγεται μηδενοχώρος του A. Ομοια ορίζουμε τον μηδενοχώρο του A T,N (A T ) = {xɛr n A T x = 0}. Γίνεται φανερό λοιπόν ότι Col(A) N (A T ) και Row(A) N (A). Η μέθοδος της απαλοιφής Gauss μας λέει πως το πλήθος των διανυσ μάτων - γραμμών που επιζούν μετά απο γραμμικούς σ υνδυασ μούς τους είναι η διάσ τασ η του χώρου των γραμμών του A. Το εκπληκτικό είναι πως ο αριθμός αυτός είναι ίδιος και με το πλήθος των γραμμικά ανεξάρτητων σ τηλών του. Συμπερασ ματικά λοιπόν, η τάξη ενός πίνακα είναι η διάσ τασ η του χώρου γραμμών που είναι ίσ η με τη διάσ τασ η του χώρου σ τηλών, Col(A) = Row(A) και άρα dim(col(a)) = dim(row(a)). Από την άλλη dim(n (A)) = n rank(a) και dim(n (A T )) = m rank(a). Οι δλτο προηγούμενες σ χέσ εις μας λένε πως R n = Row(A) N (A) και R m = Col(A) N (A T ) ισ οδύναμα xɛr n, x = x Row(A) +x N (A) και Ax = A(x Row(A) +x N (A) ) = Ax Row(A) ɛcol(a), xɛr m, x = x Col(A) + x N (A T ) και Ax = A(x Col(A) + x N (A T )) = A T x Col(A) ɛrow(a). Από τα παραπάνω σ υμπεραίνουμε πως μεταξύ του χώρου γραμμών και του χώρου σ τηλών του, ένας πίνακας λειτουργεί σ αν μετασ χηματισ μός-ο χώρος σ τηλών κάθε πίνακα είναι μια άλλη αναπαράσ τασ η του χώρου γραμμών του και αντίσ τροφα. Σχήμα 4.1. Οι τέσ σ ερις θεμελιώδεις υπόχωροι Θεωρώντας το σ ύνολο των διανυσ μάτων {g 1,..., g m}, g k ɛc n,k = 1,.., m με m > n αυτό αναγκασ τικά είναι γραμμικά εξαρτημένο. Θεωρώντας το σ ήμα xɛc n εισ άγωντας τον πίνακα c k = x, g k, k = 1,.., m g1 T. T =.. g T m

39 34 4 Εισ αγωγή σ τη θεωρία των Frames c = T x, cɛc m Δεδομένου ότι (αυσ τηρά μιλώντας) ο T δεν έχει αντίσ τροφο, το ερώτημα είναι πως μπορούμε να βρούμε διανύσ ματα { g 1,..., g m}, g k ɛc n, k = 1,.., m τέτοια ώσ τε m m x = c k g k = x, g k g k k=1 k=1 ισ οδύναμα αρκεί να βρούμε έναν δεξιό αντίσ τροφο T του T, T T = I. Ομως ο T έχει δεξιό αντίσ τροφο αν και μόνο αν rank(t ) = n span{g k } = C n N (T ) = {0}. Ο δεξιός αντίσ τροφος του T δεν είναι μοναδικός. Ο T = (T T ) 1 T δίνει αντίσ τροφη εικόνα σ το χώρο γραμμών με το ελάχισ το μήκος. Ο πίνακας T λέγεται ψευτοαντίσ τροφος του T. Σχήμα 4.2. Περίπτωσ η πλήρους τάξης Η δράσ η και του T περιορίζεται σ το χώρο σ τηλών του T. Αυτό είναι και ένα απο τα πλεονεκτήματα που έχουν τα frames. Επιλέγουμε να αναπαρασ τήσ ουμε μια σ υνάρτησ η με περισ σ ότερους σ υντελεσ τές απ ότι έχει ανάγκη και ελπίζουμε πως μια αλλοίωσ η της ακολουθίας θα έχει την περισ σ ότερή της ενέργεια σ τον N (T ). Δημιουργώντας πλεονασ μό-γραμμικές σ υσ χετίσ εις σ την αναπαράσ τασ η καταφέρνουμε και την κάνουμε περισ σ ότερο ανθεκτική σ τον θόρυβο. Αξίζει σ το σ ημείο αυτό να σ ημειωθεί πως παρόλο που cɛc m μόνο n σ ε πλήθος σ υνισ τώσ ες του c παραμένουν γραμμικά ανεξάρτητες Παρακάτω θα δώσ ουμε ένα απλό αλλά πολύ χρήσ ιμο παράδειγμα για τη σ υνέχεια. Παράδειγμα 4.1. Για n = 2 έσ τω το σ ύσ τημα {g k } 3 k=1 που δίνεται απο τα g 1 = 2,g 2 = 1,g 3 = Τότε 2 0 T = και T = Άρα S = T T = Η διάσ πασ η ιδιοτιμών του S

40 4.2 Το θεμελιώδες θεώρημα της γραμμικής άλγεβρας και ο ψευδοαντίσ τροφος S = απ οπου προκύπτει ότι A opt = και B opt= Το δυικό frame S T = το tight frame S 1/ T = Σχήμα 4.3. το frame του παραδείγματος 4.1 Σχήμα 4.4. το δυικό frame του παραδείγματος 4.1

41 36 4 Εισ αγωγή σ τη θεωρία των Frames Σχήμα 4.5. το tight frame του παραδείγματος 4.1 Σχήμα 4.6. τα ιδιοδιανύσ ματα του πίνακα S (frame operator) Καταρχάς παρατηρούμε από τους υπολογισ μούς του παραδείγματος, πως το frame είναι κακής ποιότητας δεδομένου πως οι ιδιοτιμές του τελεσ τή S είναι A opt = και B opt= Παρακάτω θα αποδειχθεί πως τα ιδιοδιανύσ ματα του S,τα οποία αντισ τοιχούν σ τις ιδιοτιμές A opt και B opt, δείχνουν τις περιοχές οπου το frame παρουσ ιάζει χαμηλή και υψηλή σ υγκέντρωσ η αντίσ τοιχα. Ξεκινώντας από την διάσ πασ η ιδιοτιμών του πίνακα S γενικά S = UΛU 1 = UΛU T T = UΛU U T T U = Λ U T (U T ) = Λ Θέτοντας F =U T, η παραπάνω εξίσ ωσ η γράφεται F F = Λ u T 1. u 1, g 1 u 1, g n F =... g 1... g n =... u T u m, g 1 u m, g n m και u 1, g 1 u m, g 1. F =.. u 1, g n u m, g n

42 4.2 Το θεμελιώδες θεώρημα της γραμμικής άλγεβρας και ο ψευδοαντίσ τροφος 37 Άρα u 1, g 1 u 1, g n u 1, g 1 u m, g 1.. F F =.. = Λ =.. u m, g 1 u m, g n u 1, g n u m, g n λ 1... λ n Παρατηρούμε λοιπόν πως λ i = n κ=1 u(λ i), g k 2, i = 1, 2,..., n. Οι ιδιοτιμές του frame τελεσ τή εκφράζουν τη σ υγκέντρωσ η των σ τοιχείων του frame γύρω απο τα ιδιοδιανύσ ματα του S. Μεγάλη ιδιοτιμή λοιπόν σ ημαίνει πως γύρω απο το αντίσ τοιχο ιδιοδιάνυσ μα υπάρχει μεγάλη σ υγκέντρωσ η του frame. Μικρή ιδιοτιμή σ ημαίνει πως σ την περιοχή που υποδεικνύει το αντίσ τοιχο ιδιοδιάνυσ μα η σ υγκέντρωσ η του frame είναι χαμηλή. Την απόδειξη επιβεβαιώνουν και οι εικόνες (4.1) (4.4). Στην πρώτη περίπτωσ η (4.1) τα σ τοιχεία του frame είναι σ υγκεντρωμένα πάνω σ τον άξονα x με μηδενική σ υγκέντρωσ η σ τον άξονα y κάτι το οποίο φαίνεται και από τα αντίσ τοιχα ιδιοδιανύσ ματα της εικόνας (4.4). Απο την άλλη το δυικό του frame πάντα καλύπτει τα κενά του frame. Θα γίνει μια προσ πάθεια προκειμένου να αποδειχθεί έσ τω και με χαλαρούς περιορισ μούς ο παραπάνω ισ χυρισ μός. Εσ τω {g k } kɛn ένα frame και xɛh. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε πως x = 1. Υποθέτουμε επίσ ης πως τα χαρακτηρισ τικά του σ υνόλου διαφέρουν αρκετά από τα χαρακτηρισ τικά της x, δηλαδή x, g k 2 = x, g k 2 2 < ε, με ε μικρό k Αν {d k } = { S 1 g k } το δυικό frame, τότε = x, k 1 = x = x 2 = x, x x, g k d k = k x, g k x, d k Από την ανίσ ωσ η Cauchy Shwartz 1 = x, g k x, d k k 2 < k x, g k 2 k x, d k 2 < ε k x, d k 2 = x, d k 2 > 1 ε Δηλαδή η σ υνολική προβολή της x πάνω σ το δυικό frame είναι μεγάλη. k

43

44 5 Ανάλυσ η Συσ τημάτων Gabor 5.1 Συστήματα μετατοπίσεων και διαμορφώσεων Ορισ μός 5.1. Μια υποομάδα Λ της (R 2, +) καλείται πλέγμα αν υπάρχει αντισ τρέψιμος πίνακας A τέτοιος ώσ τε Λ = AZ 2. Στην περίπτωσ η που ο A είναι διαγώνιος το πλέγμα λέγεται διαχωρίσ ιμο. Ο πλεονασ μός του Λ ορίζεται να είναι Λ := 1 det(a). Παραγοντοποιώντας τον A = UΣV, det(a) = det(uσv ) = Π i σ i και άρα Λ := 1 Π i σ i. Η πυκνότητα του πλέγματος εξαρτάται απο τις ιδιάζουσ ες τιμές του πίνακα A. Στην περίπτωσ η που ο A είναι διαγώνιος, A = diag(a, b) Λ := 1 ab. Ορισ μός 5.2. Δεδομένου ενός πλέγματος Λ και μιας παραθυρικής σ υνάρτησ ης gɛl 2 (R) το σ ύνολο G(g, Λ) := {π(λ)g : λɛλ} λέγεται σ ύνολο Gabor. Αν τα g, Λ είναι τέτοια ώσ τε η δυάδα G(g, Λ) να έιναι frame τότε το σ ύνολο λέγεται Gabor frame με frame τελεσ τή S g,λ. Αν το Λ είναι διαχωρίσ ιμο τότε γράφουμε G(g, a, b), όπου a, b τα διαγώνια σ τοιχεία του A. Για κατάλληλα επιλεγμένο παράθυρο g και κατάλληλα επιλεγμένο Λ η σ υνάρτησ η x c(λ) = W F (g) (x)(λ) = x, π(λ)g, λɛλ λέγεται μετασ χηματισ μος Gabor της x ως προς την δυάδαg(g, Λ). Ο αντίσ τροφος μετασ χηματισ μός δίνεται από την c λɛλc(λ)π(λ)γ όπου γ κατάλληλο δυικό παράθυρο. Ετσ ι μπορούμε να γράψουμε

45 40 5 Ανάλυσ η Συσ τημάτων Gabor x = λɛλ x, π(λ)g π(λ)γ = λɛλ x, π(λ)γ π(λ)g Το ερώτημα που προκύπτει λοιπόν είναι: Για ποιες επιλογές g, Λ το σ ύνολο G(g, Λ) είναι frame. Στην εργασ ία αυτή ασ χολούμασ τε με την περίπτωσ η όπου g = ϕ c και A = diag(a, b). Τότε το σ ύνολο G(ϕ c, Λ) είναι frame αν και μόνο αν Λ := 1 ab > 1. (Μια περαιτέρω λεπτομερειακή ανάλυσ η του πότε η δυάδα G(g, Λ) είναι frame γίνεται σ το σ υγγραμα της Ingrid Daubechies : Τen lectures on wavelets). 5.2 Ανάλυση σε πεπερασμένες διαστάσεις Με το περιορισ μό ότι σ τη πράξη ασ χολούμασ τε με χώρους πεπερασ μένης διάσ τασ ης, ένα διάνυσ μα xɛl 2 (R) αναπαρίσ ταται σ αν ένα διάνυσ μα σ τον C N. Αυτό σ ημαίνει ότι x = (x(0),..., x(n 1)). Ορίζουμε λοιπόν τον τελεσ τή M l x(n) := e j2πnl/l x(n) ο οποίος αντισ τοιχεί σ ε διαγώνιο πίνακα. Επίσ ης ορίζουμε τον T k x(n) := x(n k) με kɛz Το πρόβλημα είναι πως υπάρχουν kɛz για τα οποία το x(n k) δεν υπάρχει. Για το λόγο αυτό επεκτείνουμε περιοδικά την x ορίζοντας x(n) = x(nmodn). Τότε T k x(n) := x(n k) = x((n k)modn). Οι αναπαρασ τάσ εις των δύο αυτών τελεσ τών είναι e j2πl/ν... 0 M l = e j2π(n 1)l/N Ο πίνακας μετατόπισ ης έχει ως γραμμές κυκλικές μεταθέσ εις της δ(n k) T k =

46 5.2 Ανάλυσ η σ ε πεπερασ μένες διασ τάσ εις 41 Τότε αν A = diag(a, b) π(λ) := π(k, l) := M l T k με λɛλ και g = (g(0),..., g(n 1)) T, g k,l = π(λ)g = M l T k g. Θέτοντας â = N a και b = N b ο πίνακας G = ( g 0,0, g 1,0,..., gâ 1,0 ; g 0,1,..., gâ 1,1 ;...; g 0, b 1...gâ 1, b 1 ) T ɛc â bxn Οι â 1 πρώτες σ τήλες του G T είναι μετατοπισ μένες εκδόσ εις της g, οι επόμενες â 1 είναι μετατοπισ μένες εκδόσ εις της M 1 g κλπ... Ο τελεσ τής του frame είναι S = G G. Το δυικό frame προκύπτει απο τις σ τήλες του G = (G G) 1 G

47

48 6 Ο κλασ ματικός μετασ χηματισ μός Fourier (Frft) Ο κλασ ματικός μετασ χηματισ μός Fourier (Frft) υπάγεται σ την κατηγορία των κανονικών μετασ χηματισ μών (canonical transforms). Συγκεκριμένα ο Frft είναι μια μονοπαραμετρική υποομάδα ισ όμορφη με την SO(2). Θα μπορούσ αμε να πούμε πως είναι μια γενίκευσ η του κλασ σ ικού M.F. Υπάρχουν πολλοί τρόποι να ορίσ τει ο μετασ χηματισ μός αυτός. Ο Frft μας προτρέπει να δούμε τα πεδία του χρόνου και της σ υχνότητας σ αν δυο ειδικές περιπτώσ εις μιας ολόκληρης οικογένειας πεδίων. Υπάρχει σ ημαντική σ χέσ η του κλασ ματικού μετασ χηματισ μού Fourier με την κατανομή Wigner αλλα και με το spectrogram. Αυτή η σ ύνδεσ η είναι που δείχνει τις σ υμμετρίες της πληροφορίας αναγκάζοντας μας να αντιληφθούμε ένα σ ήμα σ αν μια αφηρημένη οντότητα, με άπειρες αναπαρασ τάσ εις.

49 44 6 Ο κλασ ματικός μετασ χηματισ μός Fourier (Frft) 6.1 Ο Frft ως μονοπαραμετρική ομάδα Ο M.F F : L 2 (R) L 2 (R) μπορεί να ερμηνευθεί σ αν μια σ τροφή κατά γωνία π. Συγκεκριμένα το σ ύνολο 2 G 1 = {F, F 2, F 3, F 4 = Id} όπου Fx = ˆx(ω) και F 2 = F F είναι κυκλική αβελιανή ομάδα τάξης 4 (G 1, ) με πράξη τη σ ύνθεσ η. Η ομάδα των περισ τροφικών σ υμμετριών του τετραγώνου G 2 = {T, T 180, T 270, T 360 = Id} είναι ισ όμορφη με την ομάδα (G 3, ) = {i, 1, i, 1}. Αυτό σ ημαίνει πως μπορούμε να δούμε τη δράσ η της (G 3, ) πάνω σ το C σ αν σ τροφές κατα γωνία π. Υπολογίζοντας τους πίνακες των (G1, ), (G2, ) 2 και (G 3, ) παρατηρούμε πως αυτοι διαφέρουν μόνο σ υμβολικά, κατι το οποίο μας επιτρέπει να δούμε τον M.F σ αν σ τροφή του σ ήματος κατά γωνία π. Ο Frft γενικεύει τα παραπάνω ενσ ωματώνοντας τον F σ ε 2 μία ομάδα η οποία ταυτόχρονα είναι και διαφορίσ ιμη πολλαπλότητα. Με άλλα λόγια ψάχνουμε για έναν μετασ χηματισ μό, τον οποίο θα σ υμβολίζουμε με F a και ο οποίος θα είναι ισ όμορφος με την SO(2). Ορισ μός 6.1. Για aɛr, ορίζουμε τον a -τάξης κλασ ματικό μετασ χηματισ μό Fourier μιας σ υνάρτησ ης xɛl 2 (R) K a(u a, u) = δ(u 0 u) F a x(u a) = x a(u a) := K a(u a, u)x(u)du 1 icotαe iπ((u 2 a +u2 )cotα 2u aucsc(α)) R, a 2k, a = 4k, kɛz, α = aπ 2 δ(u 0 + u), a = 4k ± 2 Με a = σταθ. και u a = σταθ. μπορεί να ορισ θεί η σ υνάρτησ η c ua,a(u) = K a(u; u a) η οποία επεκτείνεται σ την οικογένεια σ υναρτήσ εων {c ua,a(u)} uaɛr Για u a = 0 c 0,a(u) = e iπ(u2 cotα) και Ετσ ι c ua,a(u) = e iπu2 a tan(a) T uasec(a)c 0,a(u) x a(u a) = e iπu2 a tan(a) x, T uasec(a)c 0,a(u) Παρακάτω φαίνεται η σ υνάρτησ η c 0,a(u) για διάφορες τιμές της παραμέτρου a. Σχήμα 6.1. α = π

50 6.1 Ο Frft ως μονοπαραμετρική ομάδα 45 Σχήμα 6.2. α = π Σχήμα 6.3. α = π Σχήμα 6.4. a = 0.5π Μπορεί να αποδειχθεί πως το σ ύνολο G = {F a } aɛr με πράξη τη σ ύνθεσ η μετασ χηματισ μών είναι ομάδα ομοιόμορφη με την SO(2). Δηλαδή, ορίζεται σ υνάρτησ η π : SO(2) (G, ) τέτοια ώσ τε A 1 = A(a 1), A 2 = A(a 2)ɛSO(2)π(A 1A 2) = π(a 1) π(a 2) = F a 1 F a 2. Αποδεικνύεται πως κάθε σ τοιχείο A της SO(2) μπορεί να γραφτεί σ τη μορφή A = e J, όπου ο πίνακας J είναι οποιοσ δήποτε αντισ υμμετρικός πίνακας (Jɛso(2)) Ετσ ι με ) ( 0 1 J = α = αl, A = e J = 1 0 n 0 Για τις δυνάμεις του A έχουμε A n n!

51 46 6 Ο κλασ ματικός μετασ χηματισ μός Fourier (Frft) A 4n = α 4n I A 4n+1 = α 4n+1 L A 4n+2 = α 4n+2 I A 4n+3 = α 4n+3 L Τότε e J = n 0 ( ) ( ) A n = 1 α2 + α4 α I + α α3 + α5 α L n! 2! 4! 6! 3! 5! 7! A = e J = cos(α)i + sin(α)l Ομως με A = A(a)ɛSO(2) A(a) = ( ) ( cos(α) sin(α) = sin(α) cos(α) α= aπ tan(α) 1 ) ( cos(α) 0 0 1/cos(α) ) ( ) 1 tan(α) 0 1 Με = Q tan(α) M cos(α) R tan(α) Q tan(α), M cos(α), R tan(α) ɛso(2) π(a(a)) = π(q tan(α) ) π(m cos(α) ) π(r tan(α) ) π(q tan(α) ), π(m cos(α) ), π(r tan(α) )ɛg Άρα ο κλασ ματικός μετασ χηματισ μός Fourier μπορεί να γραφτεί F a = π(q tan(α) ) π(m cos(α) ) π(r tan(α) ) = Q M R Οι πυρήνες των μετασ χηματισ μών αυτών είναι Ετσ ι Ομοια Ετσ ι Q(u, υ) = e iπtan(α)u2 δ(u υ) Qx = e iπtan(α)u2 δ(u υ)x(υ)dυ R = e iπtan(α)u2 x(u) M(u, υ) = cos(α)δ(u cos(α)υ)

52 6.2 Σχεσ η του Frft με τις χρονοσ υχνοτικές κατανομές 47 Mx = cos(α)δ(u cos(α)υ)x(υ)dυ R Τέλος = 1/cos(α)x(u/cos(α)) Άρα R(u, υ) = e iπ/4 1/tan(α)e iπ(u υ)2 tan(α) Rx = e iπ/4 1/tan(α)e iπ(u υ)2tan(α) x(υ)dυ R = x(u) e iπ/4 1/tan(α)e iπ(u υ)2 tan(α) Συμπερασ ματικά λοιπόν ο κλασ ματικός μετασ χηματισ μός Fourier ισ οδυναμεί με μια σ υνέληξη με ένα γραμμικό chirp ακολουθούμενη από μια κλιμάκωσ η ακολουθούμενη απο εναν πολλαπλασ ιασ μό με ένα γραμμικό chirp. Παρατηρώντας επίσ ης πως SO(2) (R, +) ισ χύει οτι A 1 = A(a 1), A 2 = A(a 2)ɛSO(2) a 1, a 2ɛR A(a 1)A(a 2) = A(a 1 + a 2) π(a(a 1)A(a 2)) = π(a(a 1 + a 2)) = F a 1+α 2. F a 1 F a 2 = F a 1+α 2 Απο τα παραπάνω είναι προφανές πως F a=0 = I, ενώ F a=1 = F και (F a ) 1 = F a 6.2 Σχεση του Frft με τις χρονοσυχνοτικές κατανομές Θεώρημα 6.1. Αν xɛl 2 (R) και F a x=(f a x)(u a) και x W x(t, f) τότε W F a x(t, f) = W x(tcos(α) fsin(α), tsin(α) + fcos(α)) = W x((a(a)x) T ) ( ) t όπου x = f Θεώρημα 6.2. Εσ τω fɛl 2 (R), t, ω, aɛr με ( ) ( ) τ t = A(α) y ω τότε M ωt tf a f = e 2πi(t2 ω 2 )sin(2a)/(4 tωsin 2 a) F a M τ T yf Απόδειξη. Εσ τω c := e 2πi((t2 ω 2 )sin(2a)/4 tωsin 2 a), τότε για κάθε hɛl 2 (R) h, M ωt tf a f = (V F a f h)(t, ω) = cv f F a h(y, τ) = c F a h, M τ T yf = h, cf a M τ T yf.

53 48 6 Ο κλασ ματικός μετασ χηματισ μός Fourier (Frft) Θεώρημα 6.3. Για f, gɛl 2 (R), aɛr = V gf(tcosa ωsina, (V R a gf a f)(t, ω) = (V gf)(y, τ)e 2πi((t2 ω 2 )(sin2a/4) tωsin 2 a). V R a gf a f(t, ω) = V Q cota D sina FQ cota gq cotad sinafq cotaf(t, ω) = V Dsina FQ cota gd sinafq cotaf(t, ω tcota)e iπt2 cota t = V FQ cota gfq cotaf( sina = V Q cota gq cotaf(tcosa ωsina, 2, tcosa + cota ωsina)e iπt t 2 cota sina )e iπt e 2πi(t2 cota tω) t 2 cota(tcosa cota 2tω) ωsina))eiπ(t e iπcota(t2 cos 2 a 2tωsinacosa+ω 2 sin 2 a) sina 1 = V gf(tcosa ωsina, t( sina cos2 a sina ) + 2 ω 2 )sinacosa 2tωsin 2 a) ωcosa)eiπ((t = V gf(y, τ)e 2πi((t2 ω 2 )(sin2a/4) tωsin 2 a)

54 6.2 Σχεσ η του Frft με τις χρονοσ υχνοτικές κατανομές 49 Σχήμα 6.5. Απεικόνισ η της διάσ πασ ης του πίνακα A(a)

55

56 7 Πειραματισ μοί σ ε κλασ ματικά Gabor σ υσ τήματα Το τελευταίο μέρος της εργασ ίας αφορά πειραματισ μούς που γίνονται με χρήσ η του Matlab σ ε σ υσ τήματα Gabor, των οποίων η παραθυριακή σ υνάρτησ η είναι ο κλασ ματικός μετασ χηματισ μός Fourier διευρυμένης gaussian. Συγκεκριμένα γίνεται μια μελέτη της σ υμπεριφοράς αυτού του τύπου σ υσ τήματος αρχικά για την περίπτωσ η μιας σ ταθερής γωνίας α και σ τη σ υνέχεια για τη γενικότερη περίπτωσ η οπου α = α m,n. Ο τρόπος με τον οποίο οποίο γίνεται η αξιολόγησ η είναι οι ιδιοτιμές του frame τελεσ τή και οι αντίσ τοιχοι ιδιοχώροι. 7.1 Γενικά Δεδομένων a, b, s > 0 και α m,nɛr Λ θα μελετηθούν σ υσ τήματα της μορφής {g m,n} m,nɛz τα οποία ορίζουμε ως g m,n := M nb T maf αm,n D sϕ Ετσ ι κάθε σ υνάρτησ η του σ υσ τήματος {g m,n} m,nɛz είναι μια διευρυμένη γκαουσ ιανή σ υνάρτησ η, η οποία αρχικά σ τρέφεται σ το TF επίπεδο κατα γωνία α m,n και σ τη σ υνέχεια μετατοπίζεται σ το σ ημείο (ma, nb) του πλέγματος Λ. Θα εξετάσ ουμε για διάφορες επιλογές της σ υνάρτησ ης α m,n την ποιότητα του παραπάνω σ υσ τήματος. Πιο σ υγκεκριμένα θα εξετάσ ουμε το πως οι διάφορες επιλογές της σ υνάρτησ ης α m,n αντανακλώνται σ τις ιδιοτιμές του τελεσ τή του σ υσ τήματος προκειμένου να αποφανθούμε για την ποιότητα του. Ολα τα σ υμπεράσ ματα θα βασ ισ τούν σ ε αριθμητικούς υπολογισ μούς και άρα οι χώροι οι οποίοι εμπλέκονται είναι σ αφώς πεπερασ μένης διάσ τασ ης. 7.2 Η περίπτωση α m,n = α Για δεδομένα a, b > 0 θα εξετάσ ουμε την περίπτωσ η όπου α m,n = α m, nɛz. Στην περίπτωσ η αυτή το σ ύσ τημα g m,n := M nb T maf α D sϕ = g α,s m,n είναι ένα gabor frame με Λ = az bz. Θα εξετάσ ουμε την ποιότητα αυτού του τύπου σ υσ τήματων για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων α, s. Είναι προφανές πως τα βέλτισ τα φράγματα του frame τελεσ τή, ισ οδύναμα η μεγαλύτερη και η μικρότερη ιδιοτιμή του, θα έιναι σ υναρτήσ εις των παραμέτρων αυτών. Συμβολίζουμε τα βέλτισ τα φράγματα του frame τελεσ τή με A(α, s) και B(α, s). Φτιάχνοντας μια σ υνάρτησ η gauss ϕ s μήκους 540 δειγμάτων διευρυμένη με s = 3 και ένα διαχωρίσ ιμο πλέγμα με a = b = 18 υπολογίζουμε για κάθε γωνία aɛ[0, π 2 ] το σ ύσ τημα gm,n := M nb T maf α D sϕ = g α,3 m,n. Επειτα υπολογίζεται ο frame τελεσ τής S(α). Μέσ ω της διάσ πασ ης ιδιάζουσ ων τιμών υπολογίζουμε την

57 52 7 Πειραματισ μοί σ ε κλασ ματικά Gabor σ υσ τήματα μικρότερη και μεγαλύτερη ιδιοτιμή για κάθε α. Στην εικόνα φαίνονται τα βέλτισ τα φράγματα του σ υσ τήματος A(α, 3) και B(α, 3). Σχήμα 7.1. Βέλτισ τα άνω και κάτω φράγματα του σ υσ τήματος g α,3 m,n Από τις παραπάνω εικόνες κατ αρχάς παρατηρούμε ότι και τα δύο γραφήματα παρουσ ιάζουν σ υμμετρία γύρω από την τιμή για α = π, δηλαδή για a = 0.5. Αυτό είναι λογικό αφού η ποιότητα του 2 σ υσ τήματος θα είναι ίδια για γωνίες εκατέρωθεν του π, αρκεί λοιπόν να εξετάσ ουμε τη σ υμπεριφορά των 4 A(α, 3) και B(α, 3) για 0 < α < 0.7. Το σ ύσ τημα για α = 0 παρουσ ιάζει ελάχισ τη ιδιοτιμή η οποία αγγίζει το κάτι το οποίο δεν εξασ φαλίζει το μονοσ ήμαντο της αναπαράσ τασ ης. Επίσ ης για τις υπόλοιπες τιμές του α τα φράγματα του σ υσ τήματος είναι αρκετά μακριά με έναν λόγο max{a(α, 3)}/max{B(α, 3)} = 1/10. Για κάθε τιμή του α με το σ ύσ τημα να είναι κακής ποιότητας, οι υπολογισ μοί δείχνουν πως αɛ[0, π ] 2 οι δύο σ υναρτήσ εις μεταβάλλονται ταυτόχρονα με αντίθετους ρυθμούς μεταβολής, κάτι το οποίο επίσ ης επιβεβαιώνει την κακή ποιότητα του σ υσ τήματος αυτού, ενώ μας επιτρέπει να ανάγουμε τη μελέτη της ποιότητας του frame μόνο εξετάζοντας μια από τις δύο σ υναρτήσ εις,(a(α, 3)). Επίσ ης και τα δύο φράγματα και ιδιαίτερα το κατώτερο παρουσ ιάζει αρκετά μεγάλη ευαισ θησ ία σ τις μεταβολές της παραμέτρου α.

58 7.2 Η περίπτωσ η α m,n = α 53 Σχήμα 7.2. παράγωγοι ως προς α των δύο φραγμάτων Προκειμένου να γίνει κατανοητός ο τρόπος με τον οποίο οι δύο παράμετροι επιδρούν σ τα φράγματα του σ υσ τήματος, γίνεται μια γενίκευσ η της εικόνας 7.1 σ την εικόνα 7.3, η οποία φαίνεται παρακάτω. Για σ ήμα μήκους 540 δειγμάτων και βήμα πλέγματος a = b = 18 η εικόνα 7.3 δείχνει τα βέλτισ τα άνω και κάτω φράγματα για aɛ[0, π 2 ] και για sɛ[1.05, ], όπου οι τιμές του s δειγματολειπτούνται γεωμετρικά. Σχήμα 7.3. Η σ υνάρτησ η A(α, s) Οι περιοχές μπλέ χρώματος υποδεικνύουν χαμηλές τιμές του φράγματος A και άρα σ υσ τήματα κακής ποιότητας. Επίσ ης παρατηρούμε πως το διάγραμμα παρουσ ιάζει σ υμμετρία γύρω απο την τιμή π = Για το λόγο αυτό η μελέτη μπορεί να περιορισ τεί σ το διάσ τημα aɛ[0, π ]. Οι μεγαλύτερης έκτασ ης μπλέ 4 περιοχές εμφανίζονται κοντά σ το a = 0. Για a = 0 οι σ υναρτήσ εις g m,n σ χηματίζουν οριζόντιες γραμμές σ το TF επίπεδο. Κατα μήκος αυτών υπάρχει μεγάλη επικάλυψη μεταξύ των γειτονικών g m,n κάτι το οποίο σ υνεπάγεται μεγάλο άνω φράγμα, ένω ταυτόχρονα τα κενά ανάμεσ α σ τις γραμμές αυξάνουν, οδηγώντας σ ε ένα χαμηλό κάτω φράγμα και δηλώνοντας την αδυναμία του σ υσ τήματος να μπορεί να εκφράσ ει σ ήματα αυτού του εύρους ζώνης. Είναι προφανές ότι παιραιτέρω αύξησ η της παραμέτρου s ενισ χύει το φαινόμενο αυτό. Η δεύτερη μεγάλη μπλέ περιοχή εμφανίζεται κοντά σ την περιοχή του a = 0.7. Η κατάσ τασ η σ την περίπτωσ η αυτή ειναι ακριβώς η ίδια μονο που πλέον οι οριζόντιες ευθείες γίνονται διαγώνιες.

59 54 7 Πειραματισ μοί σ ε κλασ ματικά Gabor σ υσ τήματα Περίπτωσ η α = 0 Οπως ειπώθηκε και παραπάνω σ την περίπτωσ η αυτή περιμένουμε το σ ύσ τημα να παρουσ ιάσ ει κακή σ υμπεριφορά, αδυνατώντας να δημιουργήσ ει σ υγκεκριμένες σ υναρτήσ εις. Δεν είναι παράλογο λοιπόν πως παρουσ ιάζει κάτω φράγμα αρκετά κοντά σ το μηδέν, σ υγκεκριμένα Α= και αρκετά υψηλό άνω φράγμα Β= Παρακάτω φαίνονται οι αντίσ τοιχοι ιδιοχώροι οι οποίοι επιβεβαιώνουν τον παραπάνω ισ χυρισ μό. Σχήμα 7.4. πλέγμα α=β=18, Λ=540, L L = 900 σ ημεία πλέγματος Σχήμα 7.5. Ιδιοχώρος που αντισ τοιχέι σ το φράγμα Α=