Εκθετική Συνάρτηση. 1) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: 2) Υπολογίστε τις συντεταγμένες της τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

Transcript

1 1 Εκθετική Συνάρτηση 1) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: α) 5-4 f()=e β) 5-1 f()=3e γ) f()= δ) f()= 3- e -1 ) Υπολογίστε τις συντεταγμένες της τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων -1 f()=e και g()=e. 3) Να βρεθούν τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f()=(4- )e - με τους άξονες. Ομοίως για την συνάρτηση f()=(3-)e. 4) Να βρεθεί η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f() στο σημείο με συντεταγμένες (0,f(0)), όταν: α) γ) f() 3e και 0=1, (y=-6+9) β) f() e 3 και 0=0, (y=+1) δ) f() f() 3 e και 0=0, (y=e3+e3) 4 e και 0=- (y=+5) ε) f()=3e και 0= 5 (y=-6+18) ς) f()= 3- και 0=0. 5) Υπολογίστε τις συντεταγμένες της τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f()=e και g()=e, καθώς και την εφαπτόμενη της κάθε μιας, στο κοινό τους σημείο. 6) Υπολογίστε τις συντεταγμένες της τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων -+1 f()=e και 6- g()=e, καθώς και την εφαπτόμενη της κάθε μιας, στο κοινό τους σημείο. 7) Δίνεται η συνάρτηση f()=a e b, όπου f(0)=4 και f (0)=-. Να δειχτεί ότι f()= 4e. 1-8) Δίνονται οι συναρτήσεις f()=e - και g()= 1. Δείξτε ότι έχουν κοινή εφαπτομένη στο e σημείο με τετμημένη 0=1.

2 9) Ποια από τις επόμενες συναρτήσεις έχει την γραφική παράσταση του σχήματος; a) f()=e -1 - b) f()=-e + c) f()=e Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. 10) Το διάγραμμα δείχνει την γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f() (μαύρη) και τις παραγώγου της f () (κόκκινη). Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης στα σημεία: A(-1,f(- 1)), B(0,f(0)), C(1,f(1)) και D(,f()). f() y f'() (A: y=-4-1, B: y=-, C: y=-1, D: y=-4) 11) Οι δύο γραφικές παραστάσεις Α και Β σε ποιες από τις συναρτήσεις f1()=3e -, f()=4-e, f3()=3e, f4()=+e - αντιστοιχούν;

3 3 Α Β 1) Ποια από τις παρακάτω συναρτήσεις έχει την γραφική παράσταση του σχήματος; a) f()=e - +1 b) f()=e +1 c) f()=-e 13) Δίνεται η συνάρτηση f()=a 10 b. Να βρεθούν τα a, b αν f(0) = 4 and f() = ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() = Ae B και της παραγώγου της f () φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Να βρεθούν τα Α, Β.

4 4 y 0 f() f ' () (A = 4, B = ½) 15) Να λυθεί η εξίσωση: + e = 1 e.. 16) Δίνονται οι συναρτήσεις f()=e 1- και g()= e 1-. α) Να βρεθεί το Π.Ο τους. β) Τα κοινά σημεία τομής τους. γ) Οι εφαπτόμενες στα κοινά σημεία τους. 17) Ο πληθυσμός μιας αποικίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο N(t)=N0e ct, όπου το t είναι ο χρόνος σε λεπτά και N(t) ο πληθυσμός σε χιλιάδες. N0 α) Αν γνωρίζουμε ότι όταν t=5 min ο πληθυσμός είναι t 5 να δείξετε ότι N(t)=N0. β) Αν Ν0= χιλιάδες και το N(t)= 1 της χιλιάδας να βρεθεί το t. 8 18) Η θερμοκρασία ενός υγρού μέσα σε ένα δοχείο δίνεται από τον τύπο T(t)=T0e ct, όπου t ο χρόνος που έχει περάσει σε ώρες και T(t) η θερμοκρασία στο τέλος του χρόνου t σε βαθμούς Κελσίου. T0 α) Αν γνωρίζουμε ότι όταν t=3h η θερμοκρασία είναι 6 β) Αν γνωρίζουμε ότι T0=36 0 C και T(t)=1 0 C να βρεθεί το t. t 3 να δειχθεί ότι T(t)=T0 6.

5 5 19) Οι ετήσιες πωλήσεις ενός προϊόντος δίνονται από τον τύπο P()=P0e c όπου το παριστάνει τα έτη που το προϊόν μπήκε στην αγορά και το P() το πλήθος των πωλήσεων σε χιλιάδες. α) Αν γνωρίζουμε ότι στο τέλος του ου έτους οι πωλήσεις ήταν 3 P0, να δειχθεί ότι: 3 P()=P0 β) Αν Ρ0=4 χιλιάδες και P()=9 χιλιάδες να υπολογισθεί το. 0) Να αντιστοιχίσετε τις συναρτήσεις: f1()=-e, f()=+e -, f3()=e -1, f4()=e + με τις παρακάτω γραφικές παραστάσεις: Α Β Γ Δ

6 6 Ασκήσεις με χρήση μικροϋπολογιστή. 1) Σε μια καλλιέργεια μικροβίων κατά την διάρκεια ενός πειράματος αν ρίξουμε μια συγκεκριμένη ουσία τα μικρόβια εξοντώνονται σε 7,5 ώρες. Ο πληθυσμός κατά την διάρκεια αυτών των 7,5 ωρών δίνεται από τον τύπο: f()=(a-b)e 0,5, όπου το f() παριστάνει τις χιλιάδες των μικροβίων μετά ακριβώς από ώρες που εισάγεται η ουσία με 0 7,5. α) Να βρεθούν τα a, b. β) Αν a=15 και b= τότε i) Να υπολογισθεί ο πληθυσμός των μικροβίων μετά την 1 η, 5 η και 7 η ώρα. ii) Να βρεθεί με την βοήθεια του υπολογιστή μέχρι πότε ο αριθμός των μικροβίων αυξάνεται και πότε αρχίζει και μειώνεται καθώς και πότε γίνεται μέγιστος και ποια είναι η μέγιστη τιμή του. iii) Πότε ο πληθυσμός γίνεται 30000; ) Η συγκέντρωση ενός αναβολικού στο αίμα ενός αθλητή δίνεται από τον τύπο: f()=-α(-1) e +, 0 όπου είναι οι μήνες μετά την λήψη του αναβολικού και f() η ποσότητα που ανιχνεύεται στο αίμα μετά μήνες. Η παραπάνω ουσία (το αναβολικό) σε κανονικές συνθήκες δεν ανιχνεύεται στο αίμα. α) Να βρεθεί το α. Στα επόμενα ερωτήματα το α να ληφθεί ίσο με. β) Να βρεθεί για πόσο χρόνο η συγκέντρωση του αναβολικού αυξάνεται στο αίμα και πότε αρχίζει να ελαττώνεται. γ) Αν είναι γνωστό ότι η επιτρεπόμενη ποσότητα στον οργανισμό για συμμετοχή σε αγώνες είναι μέχρι και 0,5 να βρεθεί ποια χρονικά διαστήματα μπορεί να λάβει μέρος στους αγώνες ο αθλητής. δ) Μετά από πόσο χρόνο δεν θα υπάρχει η παραπάνω ουσία στο αίμα του; 3) Κάποιος κατέθεσε στην τράπεζα ένα ποσό το οποίο μεταβάλλεται σύμφωνα με τον τύπο f(t)=4000 1,1 t 6 α) Τι ποσό κατέθεσε στην τράπεζα;, όπου t 0 ο χρόνος σε έτη και το f(t) σε ευρώ.

7 7 β) Το ποσό αυξάνεται ή μειώνεται με την πάροδο του χρόνου; Δικαιολογείστε την απάντησή σας. γ) Πόσο θα είναι το ποσό μετά από 18 χρόνια; δ) Μέσα σε ποια χρονιά θα ξεπεράσει το ποσό τα 5500 ; ε) Πόσο τοις εκατό είναι η αύξηση του ποσού τον 6 ο χρόνο σε σχέση με το αρχικό ποσό; Απαντήσεις: α) 4000 γ) 7086,4 δ) 10 η ε) 1% 4) Ο πληθυσμός μιας χώρας μεταβάλλεται σύμφωνα με τον τύπο f(t)=ca t όπου t είναι ο χρόνος σε έτη με t=0 την 1 η Ιανουαρίου 1990, το δε f(t) υπολογίζεται σε εκατομμύρια. Την 1 η Ιανουαρίου 1990 ο πληθυσμός ήταν 49 εκατομμύρια, ενώ την 1 η Ιανουαρίου 1995 ο πληθυσμός ήταν 63 εκατομμύρια. α) Να υπολογισθούν το c και το a. Έστω c=49 και a= β) Να δειχθεί ότι ο πληθυσμός αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου. γ) Σε πόσο χρόνο από την ο πληθυσμός θα φτάσει τα 500 εκατομμύρια; δ) Στις 1 Ιουλίου 010 ο πληθυσμός ήταν περίπου Λειτουργεί σωστά το μοντέλο; Απαντήσεις: α) c=49, a=1.011 β) f (t)>0 γ) t=63,7 έτη δ) ναι, f(0,5)=311, ,9(e -1) 5) Α) Σε ένα δέντρο αναπτύσσονται παράσιτα σύμφωνα με τον τύπο n()= όπου e +e το είναι ο χρόνος σε μέρες από την στιγμή που άρχισαν να εμφανίζονται τα παράσιτα και n() ο πληθυσμός τους σε χιλιάδες μετά από μέρες από την εμφάνισή τους. α) Να βρεθεί ο πληθυσμός τους i) την 3 η ώρα αφότου εμφανίστηκαν ii) την 5 η ώρα αφότου εμφανίστηκαν και iii) σε μια μέρα αφού εμφανίστηκαν. (Τα αποτελέσματα να στρογγυλευτούν στην πλησιέστερη μονάδα). β) Ο αριθμός των παράσιτων αυξάνεται ή μειώνεται με την πάροδο του χρόνου και γιατί; γ) Να υπολογισθεί το lim n(), ποια η έννοιά του; δ) Αν στο δέντρο ο πληθυσμός των παράσιτων ξεπεράσει τον αριθμό των το δέντρο ξεραίνεται. Από την στιγμή που εγκαθίσταται ο πληθυσμός (=0) πόσες ώρες περνάνε για να ξεραθεί το δέντρο; (1 ημέρα = 4 ώρες) Β) Το δέντρο ραντίζεται 16,1 ώρες μετά την εμφάνιση των παρασίτων. Ο πληθυσμός των παρασίτων (σε χιλιάδες) που απομένει μετά από μέρες από το ράντισμα δίνεται από τον τύπο k()=-ln(+0,199), όπου k() ο πληθυσμός τους σε χιλιάδες.

8 8 α) Πόσος ήταν ο πληθυσμός την ώρα της έναρξης του ραντίσματος; β) Μετά από πόσο χρόνο από την έναρξη του ραντίσματος του ραντίσματος τα παράσιτα θα εξολοθρευθούν; γ) Από την στιγμή που εμφανίστηκε τα παράσιτα πόσος χρόνος πέρασε μέχρι την εξαφάνισή τους; Απάντηση: Α) α) β) n ()>0 (με τον υπολογιστή) γ) 1 475, δ) 3,9 ώρες Β) α) 1614 β) 0,801 μέρες ή 19, ώρες γ) 35,3 ώρες 6) Ένα ποσό s αν μείνει στην τράπεζα n χρόνια με επιτόκιο 4% γίνεται b, όπου b=s (1.04) n (1). Α) Μετά από πόσα χρόνια το ποσό αυτό θα διπλασιαστεί; (17,67) Β) Αν καταθέσουμε 100 για 1 χρόνια πόσος θα γίνει ο λογαριασμός μας μετά το τέλος του 1 ου χρόνου; (160,1) Τα αποτελέσματα να στρογγυλοποιηθούν στο πλησιέστερο εκατοστό. Γ) Ο τύπος (1) να γραφεί στη μορφή b=ke a n Τα αποτελέσματα να στρογγυλοποιηθούν στο πλησιέστερο χιλιοστό. (k=s, a=0,039) Δ) Αν θεωρήσουμε το b ως συνάρτηση του n, να δειχθεί ότι η b(n) είναι μια αύξουσα συνάρτηση. 7) Το δηλητήριο ενός θανατηφόρου σκορπιού μέσα στο σώμα συμπεριφέρεται σύμφωνα με 50 τον τύπο P(t) = 4+e -10(t-1) όπου t είναι ο χρόνος σε ώρες και P(t) τα σωματίδια του δηλητηρίου σε χιλιάδες. α) Ο αριθμός των σωματιδίων με την πάροδο του χρόνου αυξάνεται ή ελαττώνεται; β) Να γίνει η γραφική παράσταση της Ρ(t) με τιμές για τον άξονα των y από -1 έως 15. γ) Να υπολογισθεί το lim P(t). Δώστε μια εξήγηση για το αποτέλεσμα. (5/) t δ) Ο θάνατος επέρχεται όταν ο αριθμός των σωματιδίων του δηλητήριου φθάσει τις Ποια χρονική στιγμή επέρχεται ο θάνατος από την ώρα που θα τσιμπηθεί ένα άτομο από σκορπιό; (1,18) 8) Χρησιμοποιείστε τον υπολογιστή για τους υπολογισμούς στα ερωτήματα a), c) και d).

9 9 Δύο κοντάρια ύψους 3 μέτρων το καθένα είναι τοποθετημένα έτσι ώστε να απέχουν μεταξύ τους 8 μέτρα. Μεταξύ των κορυφών των κονταριών κρέμεται ένα σχοινί. Η κατάσταση αυτή παρουσιάζεται στο παραπάνω σχήμα. Η καμπύλη που σχηματίζεται από το σχοινί δίνεται από την εξίσωση y=c(e +e - ), όπου c ένας πραγματικός αριθμός. a) Δείξτε ότι c=0,055 με ακρίβεια τριών δεκαδικών ψηφίων. b) Υπολογίστε το μικρότερο ύψος του σχοινιού πάνω από το έδαφος. c) Δύο σημεία πάνω στο σχοινί απέχουν μέτρα από το έδαφος. Προσδιορίστε την απόσταση μεταξύ αυτών των δύο σημείων. d) Πόσο μακρύ είναι το σχοινί; Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο: b L f d a 1 ( ( )). 9) Σ ένα μικρό νησί του Ειρηνικού τον 18 ο αιώνα οι Άγγλοι άποικοι εισήγαγαν μερικά ζευγάρια λαγών, ώστε να μπορούν να εξασκούνται στο αγαπημένο τους σπορ το κυνήγι. Η κατάσταση γρήγορα τέθηκε εκτός ελέγχου λόγω ανυπαρξίας αρπακτικών στο νησί. Ο αριθμός των λαγών αύξανε σύμφωνα με τον τύπο: Ρ()= e a, όπου είναι ο χρόνος σε έτη. Ο χρόνος 0 είναι η χρονιά που έγινε η εισαγωγή των λαγών στο νησί και P() είναι ο αριθμός των λαγών ως συνάρτηση του χρόνου, το δε a είναι μια σταθερά. α) Πόσους λαγούς εισήγαγαν οι Άγγλοι στο νησί; (10) β) Να υπολογισθεί το a με 6 δεκαδικά ψηφία αν γνωρίζουμε ότι στο τέλος της τετάρτης χρονιάς υπήρχαν 1439 λαγοί. ( ) γ) Μετά από πόσα χρόνια ο αριθμός των λαγών θα είναι 000; (6.74)

10 10 δ) Μετά από 5 χρόνια ποιος θα είναι ο αριθμός των λαγών στο νησί; (948) ε) Μετά από πάρα πολλά χρόνια πόσοι θα είναι οι λαγοί στο νησί; ( lim Ρ()=3000 ) 10) Οι ετήσιες πωλήσεις μιας εταιρείας ενός νέου προϊόντος σε χιλιάδες δίνεται από τον τύπο - 5 V()=3 (1- e ), 0 όπου είναι ο χρόνος σε έτη από την στιγμή που εμφανίστηκε το προϊόν. α) Να υπολογισθεί ο αριθμός των προϊόντων που πουλήθηκαν το 1 ο το ο και το 3 ο έτος. Ποιο είναι το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης; (δικαιολόγηση) β) Μετά από πόσο καιρό η εταιρεία θα πουλήσει 990 προϊόντα; () γ) Να υπολογισθεί το lim V(). Ποια η σημασία του αποτελέσματος για τις πωλήσεις; 0 δ) Να σχεδιασθεί η γραφική παράσταση της V() μαζί με την ευθεία y=3. 11) Υπολογίσθηκε ότι το μοντέλο που δίνει τον αριθμό των συσκευών DVD στα γαλλικά 80 νοικοκυριά δίνεται από τη συνάρτηση f(t) = -t 1+me τοις εκατό) το έτος 1998+t. όπου t 0 και το f(t) είναι το ποσοστό (επί α) Να βρεθεί η τιμή του m, αν γνωρίζουμε ότι το ποσοστό των νοικοκυριών το 1998 με DVD ήταν 0,8%. (99) β) Πως μεταβάλλεται η συνάρτηση f(t);(γν, αύξουσα) γ) Να υπολογιστεί το ποσοστό των νοικοκυριών το 011 και το 01 με προσέγγιση δύο δεκαδικών ψηφίων. (79,98%-79,99%) δ) Στο βάθος του χρόνου πόσο θα είναι το ποσοστό των νοικοκυριών που θα έχουν DVD; (80% με όριο)