TEORIA CIRCUITELOR ELECTRICE

Transcript

1 a 33 b C B c Prof. dr. ng. Petru Todos nverstatea Tehncă a Moldove, Chșnău, Facultatea de Energetcă ș ngnere Electrcă ucrarea este un vertabl suport ddactc pentru noţun fundamentale de teora crcutelor electrce. Prn conţnut ș prn abundenţa de exemple mente să clarfice cttorulu semnficaţa noţunlor teoretce, lucrarea va fi utlă atât studenţlor, cât ș specalștlor dea formaţ care desfășoară actvtăţ de cercetare aplcatvă ș proectare, precum ș ngnerlor de producţe care se confruntă cu probleme specfice de electrotehnca curenţlor tar, precum ș de electroncă ș telecomuncaţ.ezultat al experenţe autorulu în actvtatea ddactcă ș de cercetare ștnţfică desfășurate într-un medu academc de înaltă ţnută, lucrarea se remarcă prntr-o expunerea clară, sstematcă ș coerentă, cu noţunle prezentate într-o succesune bne studată ș exemple aplcatve alese cu multă gră. Prof. dr. ng. ucan Mandache nverstatea dn Craova, Facultatea de ngnere Electrcă TEOA CCTEO EECTCE ucrarea exprmă experenţa ddactcă precum ș a rezultatelor actvtăţ de cercetarc a autorulu într-un domenu de pregătre fundamentală a vtorlor ngner - teora crcutelor electrce. Manualul a fost conceput astfel încât să pregătească cttorul pentru calculul ș analza crcutelor electrce ș a structurlor neelectrce echvalente dn punct de vedere matematc (crcute magnetce, hdraulce,termce, etc.), în vederea optmzăr soluţe de proectare a acestora. ucrarea se adresează studenţlor de la Programele de ngnere Electcă, Energetcă, nformatcă Aplcată, dar poate fi utlă ș tuturor celor care doresc să aprofundeze metodeled de analză a crcutelor electrce ș neelectce. În lucrare sunt ncluse suficente noţun pentru a obţne cunoștnţelete toretce ș apttudnle practc prescrse de Programele respectve de stud pentru această dscplnă. Adran A. ADĂSCĂȚE A Adran A. ADĂSCĂȚE TEOA CCTEO EECTCE V B E - E S x v df dt l v p E se E E E Z sx ( s ) X - ( s ) X X m [( s )- ] t X X V EE p Xm E

2 Adran A. ADĂSCĂŢE TEOA CCTEO EECTCE PEFOMANTCA

3 Edtura PEFOMANTCA nsttutul Naţonal de nventcă, aş aş, Campusul nverstar Tudor Vladmrescu, Corp T4, Eta, CP, OP, as Tel/fax: Descrerea CP a Bblotec Naţonale a omâne ADĂSCĂŢE, Adran A. TEOA CCTEO EECTCE / Adran A. ADĂSCĂŢE. - aş : Performantca, 5 Conţne bblografe SBN eferenț ștnțfc: Prof. unv. dr. ng. Petru Todos nverstatea Tehncă a Moldove Prof. unv. dr. ng. ucan Mandache nverstatea dn Craova Consler edtoral: Prof. unv. dr. Traan D. Stănculescu Secretar edtoral: Octav Păuneţ EDTĂ ACEDTATĂ DE CNCSS BCEŞT, 4/3.6.3 Copyrght 5 Toate drepturle asupra aceste edţ sunt rezervate autorulu

4 CPNS. CONCEPTE DE BAZĂ AE TEOE CCTEO. Starea de electrzare. Tensunea electrcă. Tensunea electromotoare.. Starea electrocnetcă. Conducţe. ntenstatea curentulu electrc..3 Teoremele Krchhoff (formulare topologcă).3. Teorema Krchhoff (KC).3. Teorema Krchhoff (KV).4 Crcut electrc. Elemente dpolare.4.. Elemente pasve de crcut. ezstorul a. Clasfcarea rezstoarelor b. Conexun ale rezstoarelor b. Conexunea sere b. Conexunea paralel b3. Dvzorul de tensune b4. Dvzorul de curent.4. Elemente de crcut actve (surse).4.. Surse ndependente de tensune a. Generatorul deal de tensune b. Generatorul real de tensune c. Conexun ale surselor de tensune.4...surse ndependente de curent a. Generatorul deal de curent b. Generatorul real de curent c. Conexunle generatoarelor de curent.4..3 Echvalenţa dntre sursele reale de tensune ş sursele reale de curent.4..4 Surse dependente (controlate).4.3 Elemente de stocare a energe (elemente reactve).4.3. Condensatorul.4.3. Bobna (nductorul) a. Clasfcarea bobnelor b. elaţ de echvalenţă a bobnelor ce conţn condţ nţale c. Bobne lnare cuplate magnetc.5 Elemente de teora grafurlor

5 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce. TEHNCA ANAZE CCTEO. Tehnca transformăr surselor ş crcutulu. Analza crcutelor electrce cu autorul teoremelor Krchhoff.. Screrea matrceală a teoremelor lu Krchhoff a. Teorema Krchhoff b. Teorema Krchhoff c. Ecuaţa Joubert sub formă matrceală.. Consecnţe ale teoremelor Krchhoff ş a relaţe fundamentale a teore grafurlor a. Curenţ ndependenţ a unu crcut electrc b. Ecuaţ nodale ale unu crcut electrc (potenţale nodale).3 Tehnca analze în curent. Metoda curenţlor de contur. a. Analza în curent utlzând teoremele Krchhoff. b. Metoda curenţlor de contur b Crcute ce conţn surse reale b Crcute ce conţn surse deale de curent. b3 Crcute ce conţn surse dependente.4 Tehnca analze în tensune a crcutelor electrce a. Analza în tensune utlzând teoremele Krchhoff b. Metoda potenţalelor nodale de analză a crcutelor. b Crcute cu surse reale ndependente b Crcute ce conţn surse deale b3 Analza nodală în crcutele ce conţn surse dependente.5 Analza crcutelor electrce utlzând prncpul superpozţe 3. TEOEMEE CCTEO EECTCE 3. Teorema substtuţe 3. Operatorul de mpedanţă nternă al reţele dpolare. ezstenţa nternă a unu dpol 3.. Operatorul de mpedanţă nternă al reţele dpolare. 3.. Determnarea rezstenţe echvalente a dpolulu actv A) Determnarea rezstenţe echvalente în crcutele ce conţn surse ndependente B) Determnarea rezstenţe echvalente în crcutele ce conţn surse dependente

6 Cuprnsul 3.3 Teorema generatoarelor echvalente (Thévenn, Norton) 3.3. T eorema ge neratorulu echvalent d e t ensune (Thévenn) 3.3. T eorema ge neratorul e chvalent de c urent (Norton) E xemple de t ransformare a c rcutelor î n d pol echvalent a) Crcute ce conţn surse ndependente b) Crcute ce conţn surse dependente 3.4 T eorema de c onservare a p uter nstantanee î n c rcutele electrce 3.4. T eorema de c onservare a put er nstantanee î n reţelele închse (zolate) conexe ş fără cuplae magnetce cu alte reţele T eorema de c onservare a put er nstantanee î n reţele deschse cu n borne de acces Puterea maxmă transferată dpolulu echvalent în curent contnuu a. C rcutul e chvalent r eprezentat pr n d pol echvalent de tensune (Thévenn) b. Crcute de almentare reprezentate prn dpol echvalent de curent (Norton) 3.5. Teoremele de transfgurare ş reducere a reţelelor electrce Teorema Mllman Teorema de transfgurare a reţele stea în reţea trungh sau Y-Δ Teoremele de reducere a reţelelor la dpol echvalent a. educerea reţele sere la dpol echvalent a. Fe o reţea cu s elemente cuplate magnetc conectată în sere a. Crcut sere cu surse ş cuplae b. educerea reţele paralel la dpol echvalent b. eţea paralel cu cuplae b.. eţea paralel cu cuplae ş generatoare de tensune

7 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce 4. CCTE EECTCE NAE ÎN EGM AMONC PEMANENT 4.. Semnale perodce, alternatve ş snusodale. Defnţ Producerea t.e.m snusodale. Valor caracterstce. 4. eprezentăr smbolce ale semnalelor snusodale 4... eprezentarea geometrcă (prn fazor) ) eprezentarea cnematcă (nesmplfcată) ) eprezentarea polară 4.. eprezentarea analtcă (în complex) 4.3. Parametr crcutelor lnare de curent alternatv 4.3. ăspunsul crcutelor lnare în curent alternatv (analza comparatvă) ăspunsul în c.a. al elementelor smple de crcut a. ăspunsul în c.a. al rezstenţe b. ăspunsul condensatorulu în c.a. c. ăspunsul bobne în c.a ăspunsul în c.a. al unu dpol de ordnul. Analza în domenul tmp: Dpol -C, Dpolul ăspunsul în c.a. al crcutelor de ordnul. A. Analza dpolulu echvalent C sere A. ăspunsul dpolulu echvalent C paralel. B. Analza în complex a dpolulu de ordnul : mpedanţa complexă a dpolulu echvalent C sere; Dpol echvalent C paralel 4.4. Puter în crcute lnare de c.a. monofazat 4.4. Puterea nstantanee a dpolulu echvalent 4.4. Puterea actvă Puterea aparentă Puterea reactvă Expresle puterlor pentru crcutele dpolare smple

8 Cuprnsul eprezentarea în complex a puter (puterea complexă) 4.5. Teoremele crcutelor lnare în formă complexă Forma complexă a ecuaţlor Joubert Teoremele Krchhoff în formă complexă mpedanţe echvalente Teorema transferulu maxm al puter actve în regm permanent snusodal Analza în complex a crcutelor de curent alternatv monofazat A. Analza în complex a crcutelor ce conţn surse ndependente B. Analza crcutelor în c.a. ce conţn surse dependente C. educerea crcutelor electrce de curent alternatv prn generatoarele echvalente Thévenn ş Norton 4.6 Crcute cu elemente reale în regm snusodal Bobna reală: Bobna lnară reală fără mez; Bobna lnară cu mez conductor Condensatorul real în regm permanent snusodal 4.7. Crcute cuplate în regm permanent snusodal Tpur de cuplae educerea cuplaulu mutual la cel galvanc 4.8 ezonanţa crcutelor lnare în regm permanent snusodal 4.8. ezonanţa sere (rezonanţa tensunlor) 4.8. ezonanţa de curent (paralel) ezonanţa de curenţ în crcutele cu elemente reale ezonanţa în crcute cuplate magnetc 5. CADPO. FTE. 5.. Generaltăţ 5.. Multpol. Cuadrpol general ş cuadrpol dporţ 5.3. Cuadrpol rezstv nelnar 5.4. Elemente de crcut cuadrpolare Surse comandate Scheme echvalente ale tranzstoarelor bpolare Transformatorul deal

9 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce 5.5. Cuadrpol în regm permanent snusodal Ecuaţle cuadrpolulu Semnfcaţa fzcă ş determnarea expermentală a parametrlor cuadrpolulu Ssteme de parametr a cuadrpolulu Parametr teratve Parametr caracterstc Constanta de transfer. Constanta de atenuare. Constanta de fază 5.6. Scheme echvalente ale cuadrpollor Schema echvalentă în T Schema echvalentă în Π 5.7. nterconectarea cuadrpollor Gruparea sere-sere Gruparea paralel-paralel Conectarea în lanţ (cascadă) 5.8. Fltre electrce de frecvenţă 6. CCTE TFAZATE ÎN EGM PEMANENT SNSODA 6. Transmsa energe. Caracterzarea sstemulu trfazat de transmtere a energe. Propretăţle sstemelor trfazate. 6. eprezentarea în complex a sstemelor trfazate. Propretăţ. 6.3 Conexunle sstemelor trfazate 6.4. Analza crcutelor trfazate almentate cu tensun smetrce Consumator trfazat conectat în stea a) Consumator echlbrat b) Consumator dezechlbrat b. Stea cu nul de mpedanţă b. Stea fără nul 6.4. Consumator trfazat conectat în trungh a) Consumator echlbrat b) Consumator dezechlbrat Puter în reţele trfazate echlbrate sub tensun smetrce 6.5. Metoda componentelor smetrce Descompunerea unu sstem trfazat nesmetrc de mărm snusodale în ssteme smetrce. Teorema

10 Cuprnsul Stovs-Fortescue 6.5. Crcute trfazate echlbrate sub tensun nesmetrce a. Elementele statce ş dnamce b. eceptor trfazat echlbrat cu elementele statce, fără cuplae magnetce, conectat în stea, cu fr neutru c. eceptor trfazat echlbrat cu elemente statce fără cuplae magnetce conectate în stea fără fr neutru d. Crcut trfazat echlbrat cu elemente statce cuplate magnetc sub tensun nesmetrce Crcute trfazate dezechlbrate Puter în reţele trfazate dezechlbrate sub tensun nesmetrce a. Metoda drectă de calcul a puterlor b. Calculul puterlor în reţele trfazate dezechlbrate cu autorul componentelor smetrce 7. N EECTCE NG 7.. Crcute cu parametr repartzaţ 7.. Parametr lnec 7.3. Ecuaţle lnlor electrce lung 7.4. n lung omogene bflare în regm permanent snusodal 7.5. ndele de tensune ş de curent în cazul lnlor lung în regm snusodal 7.6. na fără dstorsun. na fără perder 8. CCTE NAE ÎN EGM PEODC NESNSODA 8. ntroducere. Analza armoncă a semnalelor 8.. Analza armoncă a funcţlor perodce 8.3. Exemple de semnale perodce partculare 8.4. Valor caracterstce ale semnalelor perodce nesnusodale 8.5. Puter ale crcutelor lnare în regm permanent nesnusodal 8.6.Elemente lnare de crcut în regm nesnusodal

11 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce. ezstorul.. Bobna deală 3. Condensatorul deal 8.7. Analza crcutelor în regm nesnusodal 8.8. Crcute lnare trfazate sub tensun smetrce nesnusodale 9. EGM TANZTO A CCTEO EECTCE NAE 9. Teoremele comutaţe 9.. Teorema a comutaţe 9.. A -a teoremă a comutaţe 9.. Metode de analză în domenul tmp a crcutelor electrce 9.. Metoda drectă de analză a crcutelor de ordnul 9... Soluţa generală a ecuaţlor dferenţale de ordnul 9... Partcularzarea soluţe generale pentru crcutele electrce exctate în cc ş ca Determnarea soluţe generale a regmulu tranztoru în crcutele de ordnul ce conţn surse ndependente. Aplcaţ tpce al e crcutelor d e o rdnul : Crcut n tegrator C; Crcut dervator C Determnarea soluţe generale a regmulu tranztoru în crcutele de ordnul ce conţn surse dependente 9.. Metoda varablelor de stare 9... Ecuaţle de stare 9... Schema structurală de calcul a regmulu tranztoru pentru ecuaţle ordnul ăspunsul crcutelor lnare de ordnul A. Mărm de stare ale crcutelor de ordn B. Soluţa ecuaţe dferenţale omogene a ecuaţlor de ordnul C. Ecuaţ de stare pentru crcutele de ordnul

12 Cuprnsul D. Schema structurală de calcul ataşată ecuaţlor de ordnul E. A plcarea m etode v arablelor d e stare în crcutele ce conţn surse dependente 9.3. Metode de analză în domenul frecvenţă 9.3. Metoda operaţonală (a transformate aplace) A. Propretăţle transformate aplace B. C alculul tra nsformate aplace a prncpalelor semnale utlzate în electrotehncă C. Determnarea funcţe orgnal cunoscând transformata aplace (Teoreme) 9.3. A plcarea t ransformate aplace în an alza regmurlor tranztor ale crcutelor electrce T ransformata aplace a el ementelor smple de crcut a. ezstorul b. Bobna deală c. Bobna cuplată magnetc d. Condensatorul e. A plcarea tra nsformate aplace unu dpol ce admte schemă echvalentă: A plcarea t ransformate aplace în analza crcutelor ce conţn surse ndependente Aplcarea t ransformate aplace în crcutele ce conţn surse dependente. ANAZA CCTEO EECTCE CE CONŢN AMPFCATOAE OPEAŢONAE. Analza în curent contnuu a confguraţlor de bază ale amplfcatoarelor operaţonale.. Confguraţa nenversoare.. Confguraţa nversoare..3 Amplfcatoare de tensune a. Crcutul de control a polartăţ amplfcăr b. Convertor de rezstenţă negatvă c Amplfcatorul sumator d. Amplfcatorul dferenţal e. Amplfcatorul de nstrumentaţe

13 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce..4 Amplfcatoare de transrezstenţă (convertoare curent - tensune)..5 Amplfcatoare de transconductanţă (convertoare tensune - curent)..6 Amplfcatoare de curent. ăspunsul în regm tranztoru al crcutelor electrce ce conţn amplfcatoare operaţonale.. ăspunsul crcutelor de ordnul ce conţn amplfcatoare operaţonale a) Crcutul de dferenţere b) Crcutul de ntegrare c) Crcutul ntegrator nenversor d) Crearea răspunsurlor dvergente.. ăspunsul crcutelor de ordnul ce conţn amplfcatoare operaţonale a) Crcute de ordnul pasve fără nductanţe b) Crcute de ordnul actve fără nductanţe c)crearea rădăcnlor poztve.3 ăspunsul în c.a. al crcutelor electrce ce conţn amplfcatoarelor operaţonale a) Crcutul ntegrator b) Crcutul dervator c)fltru trece os( low pass ) cu amplfcare d) Fltru trece sus cu amplfcare ( hgh pass ) e) Multplcator de capactate e) Smulator de nductvtate BBOGAFE Bblografe mnmală pentru studenţ Bblografe pentru elaborarea Cursulu, Semnarlor ș ucrărlor Expermentale de aborator

14 PEFAŢĂ Acest manual de curs se adresează studenţlor Facultăţ de ngnere Electrcă, Energetcă ş nformatcă Aplcată, nverstatea Tehncă Gh. Asach dn aş, ş tuturor celor care doresc să aprofundeze metodele de analză a crcutelor electrce. Teora crcutelor este o dscplnă fundamentală în pregătrea studenţlor în ngnera electrcă. Bazată pe legle fzc, această dscplnă operează cu abstractzăr necesare vtorulu ngner de profl electrc pentru a rezolva crcutele ş sstemele reale, la un nvel conceptual înalt, folosnd atât fzca ş matematca. Teora crcutelor lnare asgură abordarea corectă a dscplnelor de specaltate o fernd u n m odel u ntar d e n terpretare a f enomenelor d n crcutele electrce. Cursul de Teora c rcutelor el ectrce ar e ca o bect st udul fenomenelor electrce dn punctul de vedere al aplcaţlor tehnce, consttund pregătrea teoretcă de bază a vtorlor ngner electrcen. Dscplna pune la dspozţa studenţlor cunoştnţe teoretce ş practce refertoare la aplcarea fenomenelor electromagnetce în tehncă, având ca obectv însuşrea unor cunoştnţe elementare de electrotehncă. rmărnd aprofundarea cunoştnţelor asmlate la curs, în cadrul orelor de sem nar se v a f orma ş dezvolta deprnderea de a pune în ecuaţe ş rezolva o problemă, ar şednţele de laborator au scopul verfcăr expermentale a acestora. Consderând rolul de fundamentare teoretcă a ngnere electrce ş de învăţare a unor tehnc practce de analză ş proectare a crcutelor, Teora crcutelor electrce are un loc determnant în pregătrea studenţlor pentru studul atât al crcutelor electronce (curenţ slab) cât ş al crcutelor de putere (curenţ tar). ucrarea de faţă este o împletre între teore ş aplcaţ, specfc dfertelor etape ale actvtăţ de analză proectare a crcutelor electronce ş a crcutelor de putere. În scopul asgurăr une înţeleger sstematce ş de profunzme a obectvelor te ore c rcutelor, a m în cercat să realzăm un echlbru între conceptualzarea matematcă, susţnerea prncplor fzce ş abordarea ngnerească a aplcaţlor. 3

15 Adran A. Adăscălţe: Teora crcutelor electrce Această lucrare cuprnde captole, structurate după cum urmează: În captolul, nttulat ''Concepte de bază ale teore crcutelor'', sunt ntroduse noţun prvnd: starea de electrzare, tensunea electrcă, tensunea electromotoare; starea electrocnetcă, conducţe, ntenstatea curentulu electrc; te oremele K rchhoff; e lemente d polare d e c rcut; e lemente de teora grafurlor. Captolul, ' 'Tehnca analze crcutelor", est e co nsacrat: transformăr surselor ş crcutulu; analze crcutelor electrce cu autorul teoremelor K rchhoff; a nalze în c urent - metoda curenţlor de contur; analze în tensune a c rcutelor electrce - metoda potenţalelor nodale de analză a crcutelor; analze crcutelor electrce utlzând prncpul superpozţe. În c aptolul 3, n ttulat ' 'Teoremele crcutelor electrce'', s unt ntroduse noţun prvnd: teorema s ubsttuţe; operatorul de mpedanţă nternă al reţele dpolare; teorema generatoarelor echvalente de tensune (Thévenn), de curent (Norton); teorema de conservare a puter nstantanee în crcutele electrce; teoremele de transfgurare ş reducere a reţelelor electrce. În c aptolul 4, ' 'Crcute electrce lnare în regm armonc permanent'', se d efnesc: semnale perodce, alternatve ş snusodale; reprezentăr smbolce ale semnalelor snusodale; parametr crcutelor lnare de c urent a lternatv; p uter în c rcute ln are d e c.a. m onofazat; teoremele crcutelor lnare în formă complexă; crcute cu elemente reale în re gm s nusodal; c rcute c uplate în re gm p ermanent s nusodal; rezonanţa crcutelor lnare în regm permanent snusodal. Captolul 5, ' 'Cuadrpol. Fltre.", prezntă noţunle de: multpol; cuadrpol general ş cuadrpol dporţ; cuadrpol rezstv nelnar; elemente cuadrpolare de crcut; cuadrpol în regm permanent snusodal; scheme ech valente al e cu adrpollor; nterconectarea c uadrpollor; f ltre electrce de frecvenţă. Captolul 6, ' 'Crcute trfazate în regm permanent snusodal", est e consacrat: propretăţlor sstemelor trfazate de transmtere a energe; reprezentăr în complex a sstemelor trfazate; c onexunlor s stemelor trfazate; analze c rcutelor trf azate a lmentate c u te nsun s metrce; metode componentelor smetrce. În c aptolul 7, n electrce lung, su nt d scutate: c rcutele cu parametr repartzaţ; parametr lnec; ecuaţle lnlor electrce lung; lnle lung omogene b flare î n r egm pe rmanent s nusodal; unde le de 4

16 Prefaţă tensune ş de curent în cazul lnlor lung în regm snusodal; lna fără dstorsun; lna fără perder. Captolul 8, Crcute lnare în regm perodc nesnusodal, est e consacrat: analze armonce a semnalelor ş a funcţlor perodce; dezvoltăr în sere Fourer; prezentăr unor exemple de semnale perodce partculare; v alorlor c aracterstce a le s emnalelor p erodce n esnusodale; puterlor crcutelor lnare în regm permanent nesnusodal; comportăr elementelor ln are d e c rcut în re gm nesnusodal; analze crcutelor în regm n esnusodal; c rcutelor ln are trf azate sub tensun smetrce nesnusodale. În c aptolul 9, egmul tranztoru al crcutelor electrce lnare, sunt prezentate: teoremele comutaţe; metodele de analză în domenul tmp a crcutelor electrce; metodele de analză în domenul frecvenţă (Transformata aplace). Captolul, Analza crcutelor electrce ce conţn amplfcatoare operaţonale, este consacrat: analze în curent contnuu a confguraţlor de bază ale amplfcatoarelor operaţonale; răspunsulu în regm tranztoru al crcutelor electrce ce conţn amplfcatoare operaţonale; răspunsulu în c.a. al crcutelor electrce ce conţn amplfcatoarelor operaţonale. Pentru lustrarea tehnclor ş metodelor de analză prezentate în lucrare toate captolele cuprnd numeroase ş varate exemple. Toate exemplele au rezolvăr complete, unele în ma multe varante, cu comentar ş comparaţ între metode. od al experenţe ddactce precum ş al actvtăţ de cercetare a autorulu în d omenul te ore c rcutelor e lectrce, lu crarea e ste a stfel concepută încât să pregătească cttorul pentru u tlzarea c alculatorulu în analza crcutelor electrce ş structurlor neelectrce echvalente dn punct de vedere matematc, în vederea optmzăr soluţe de proectare a acestora. Au fost ntroduse ma multe refernțe bblografce exstente în spațul vrtual a l n ternetulu: c ursur w eb re alzate p e m ed v rtuale de nstrure (moodle), manuale cu stur web pentru studenț, resurse educațonale gratute. Autorul mulţumeşte tuturor coleglor ş studenţlor Facultăţ de ngnere E lectrcă, Energetcă ş nformatcă Aplcată (nverstatea 5

17 Adran A. Adăscălţe: Teora crcutelor electrce Tehncă Gh. Asach dn aş) care au ctt lucrarea s care au făcut numeroase observaţ despre conţnutul ş prezentarea manualulu. Autorul mulțumește în mod deosebt compane Natonal nstruments omana pe ntru a cordarea dr eptulu de utlzare a brandurlor Natonal nstruments: Electronc Worbench, Multsm, ltboard ș abvew n cadrul publcaţe Teora Crcutelor Electrce - Îndrumar de aborator (care completează prezentul manual de curs), mențonând că materalele au fost revzute s că aceste materale sunt n concordanta cu drepturle de copyrght ale Natonal nstruments. Autorul mulţumeşte în mod deosebt domnlor Prof. dr. ng. Petru Todos (nverstatea Tehncă a Moldove, Chşnău), Prof. dr. ng. ucan Mandache (nverstatea dn Craova) ş Prof. dr. ng. Cornelu azăr (nverstatea Tehncă Gh. Asach dn aş) care au ctt cu atenţe conţnutul ştnţfc al lucrăr ş au contrbut cu sugest utle la îmbunătățrea conțnutulu ștnțfc ș ddactc lucrăr. Autorul aş, August 5 6

18 CAPTO. CONCEPTE DE BAZĂ AE TEOE CCTEO. Starea de electrzare. Tensunea electrcă. Tensunea electromotoare. De la fzcă se ște că două corpur se electrzează prn f recare. Starea de electrzare presupune un schmb de sarcn între cele două corpur. Caracterzarea aceste stăr se face prn sarcna electrcă care reprezntă excesul de purtător de sarcnă de un semn faţă de purtător de sarcnă de semn opus. Sarcna elementară este consderată sarcna electronulu având valoarea e-,6-9 C. Sarcna unu corp electrzat va f: qne (nnumăr întreg). Pentru a caracterza acţunle ponderomotoare ce se exerctă între corpurle e lectrzate, se defneşte ntenstatea forţe ce acţonează asupra mculu corp electrzat ca f nd ntenstatea câmpulu electrc. Presupunând în câmpul produs de sursa q că exsta un corp de sarcnă q, între q ş q se q q r exerctă o forţă electrcă F, de c s arcna q pr oduce un 4 πε r r F q r câmp electrc de ntenstate E lm. (.) q q 4 πε r r ucrul mecanc efectuat pentru deplasarea corpulu de probă q pe lna de câmp E este: p p p p e dl q dl q dl q F E E E dl Wp Wp, (.) p p p p unde: Fe q E - forţa care se opune de plasăr pe lna de câmp electrc. ucrul mecanc este ntegrala unu produs scalar ş nu depnde de drum c numa de valorle nţale ş fnale. ntegrala: p p p q r q E dl q dl d r (.3) q p 4πε r r 4πε p p r p p p q r q E dl q dl (.4) q p 4 πε r r 4 πε r p p rp rp 7

19 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce nu depnde de drum c numa de dferenţa valorlor fnale ş nţale ale une funcţ scalare numtă potenţal. Defnm dferenţa de potenţal dntre două puncte prn relaţa: p E dl V V (.5) p p p Alegând un potenţal de refernţă V P rezultă valoarea mărm p scalare asocată punctulu P ca fnd Vp E dl. Dferenţa de potenţal dntre două puncte se numeşte tensune electrcă ş este exprmată prn relaţa V V E dl. (.6) Se defneşte tensunea electromotoare prn relaţa e E dl ş exprmă crculaţa ntenstăţ câmpulu electrc p e o rce c ontur închs. Generalzând, pentru orce forţă F, noţunea de câmp electrc prn relaţa F E lm dstngem următoarele tpur de câmpur: q q Fe - câmp Coulomban Ec lm ; (.7) q q Fm - câmp solenodal Es lm ; (.8) q q Fne - câmp mprmat E lm, (.9) q q unde: - q - sarcna electrcă; - Fe - forţa electrcă; - Fm - forţa magnetcă; - Fne - forţa neelectrcă; Atunc tensunea electromotoare este: e E dl cu E E E E. (.) Preczare: Γ c s Γ 8

20 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor Într-o batere electrcă, sub acţunea forţelor ch mce, ar e l oc separarea sarcnlor, ar dacă bornele batere sunt în gol constatăm: E dl E dl E dl, relaţe echvalentă cu u b e. (.) Γ C Deoarece ntenstatea câm pulu el ectrc E c depnde de m edu pr n permtvtatea ε, se ntroduce mărmea numtă nducţe electrcă D ε E, mărme ce nu depnde de propretăţle medulu. Fluxul aceste nducţ pe orce suprafaţă închsă este egal cu sarcna dn nterorul suprafeţe Σ (fg.). Fg.. q r r ϕ D da 4πr qε (.) ε 4π r r r Defnţe: Se defneşte capactatea electrcă sau condensatorul ca fnd sstemul format dn două corpur conductoare separate de un delectrc. aportul poztv dntre sarcna cu care se încarcă una dn armătur ş dferenţa de potenţal dntre cele două armătur, se numeşte capactate ş este ndependentă de sarcnă ş dferenţa de potenţal dntre armătur: q C >. (.3) V V Capactatea este dependentă de permtvtatea medulu dntre armătur, de geometra armăturlor ş dstanţa dntre acestea.. Starea electrocnetcă. Conducţe. ntenstatea curentulu electrc. Corpurle conductoare se pot afla, în afară de starea de electrzare, ş în starea electrocnetcă (de conducţe). 9

21 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Fg.. Aplcând unu conductor o tensune electrcă E l, ceea ce presupune exstenţa unu câmp electrc de ntenstate E, purtător de sarcnă q sunt deplasaţ faţă de reţeaua crstalnă a conductorulu cu vteza v. Constanta de proporţonaltate (dată de raportul dntre vteză ş ntenstatea câmpulu aplcat) se numeşte mobltate v µ p. E Presupunând că la momentul t electron se află în suprafaţa S, la momentul t t electron aung în S' parcurgând dstanţa dl v dt. Numărul de electron conţnuţ în volumul delmtat de S ş S' este dn n S dl, unde: n reprezntă denstatea de electron lber. Sarcna dn volumul elementar se obţne prn multplcarea cu q a relaţe de ma sus, obţnând: dq q dn n q S dl n q S v dt. Curentul electrc este mărmea fzcă ce caracterzează starea electrocnetcă ş reprezntă varaţa sarcn prn suprafaţa S a dq conductorulu:. După smple înlocur rezultă expresa acestu curent dt prn secţunea transversală a conductorulu: n q Sv n q S E μ p J S σ E S (.4) unde: n q v - fluxul purtătorlor de sarcnă. aportul dntre curent ş tensunea aplcată, G, poartă numele de conductanţă ar nversa acestu raport se numeşte rezstenţă. Î n baza relaţlor de ma sus expresa conductanţe este: S S G n q µ p σ. (.5) l l

22 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor Deoarece curentul reprezntă fluxul purtătorlor de sarcnă prn suprafaţa transversală a conductorulu S, ( n q v da da), atunc S S conductanţa reprezntă raportul efect - cauză pentru conductorul consderat, raport ndependent de valoarea curentulu ş a tensun aplcate, dar dependent de geometra ş conductanţa conductorulu. da G S (.6) E ds.3 Teoremele Krchhoff (formulare topologcă).3. Teorema Krchhoff Teorema Krchhoff este denumtă ş ecuaţa lu Krchhoff pentru nodur. N umm nod punctul de conexune a cel puţn tre elemente de crcut (surse ş consumator). Dacă numărul elementelor de crcut este ma mc de tre atunc avem un nod fctv (punct de conexune). Aşa cum în mecancă exstă o lege de conservare (a energe), se defneşte în electrotehncă, legea conservăr sarcn ce ndcă faptul că în orce suprafaţă închsă Σ sarcna se conservă: q ρ dv constant. Σ v dqσ Întrucât c urentul e lectrc ( Σ ) redă vteza de scădere a dt sarcn dn suprafaţa Σ, rezultă că în orce suprafaţă închsă curentul este nul. Σ v Σ Σ Fg..3 Teorema Krchhoff (T K ) are următoarea formulare generală: Curentul prn orce suprafaţă închsă este nul.

23 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Exemplfcăm formularea teoreme pe suprafeţele închse Σ ş Σ.(fg..3) a) - pe Σ defntă de suprafeţele reunte S S' A (A - ara laterală a conductorulu). Σ s S ' Al În relaţa de ma sus suma curenţlor este algebrcă, deoarece curentul este un flux a denstăţ de curent prn orce suprafaţă S ( da ). Asocnd u n sen s d e t recere ac estor curenţ ş ţnând cont de orentarea suprafeţe închse (fg..3), elementul de suprafaţă orentat spre exteror da n da ( S Σ ), rezultă semnul curenţlor pe fecare suprafaţă deschsă astfel: - prn S unghul dntre denstatea de curent ş versorul suprafeţe este (, n) π S curentul este negatv; - prn S' unghul dntre denstatea de curent ş versorul suprafeţe este (, n) S' este poztv; - prn A unghul d ntre de nstatea de c urent ş versorul suprafeţe π este (, n) Al. S S' În concluze, forma matematcă a teoreme pe suprafaţa Σ este: b) - pe suprafaţa Σ exstă curent numa la ntersecţa suprafeţe Σ cu planul conductoarelor. Conform regul stablte forma matematcă a teoreme Krchhoff pe această suprafaţă este: (.7) n Concluze: Suma algebrcă a ntenstăţlor curenţlor electrc dn laturle concurente unu nod este nulă. Convenţe: Curenţ ce ntră în nod sunt negatv, ar ce ce es dn nod sunt poztv. Asocerea sensurlor de refernţă pentru curenţ. Sensul de refernţă al une mărm scalare defnte prntr-o ntegrală de suprafaţă SP ce se sprnă pe o curbă închsă este sensul normale exteroare n la acea suprafaţă. S

24 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor.3. Teorema Krchhoff (T K ) Tensunea, conform enunţulu, este u b E ds v v reprezntă tensunea la bornele une latur. Să consderăm un contur închs (o buclă) format dn n latur (fg..4). Notând c u v K - potenţalele ataşate nodurlor (), tensunea la bornele latur este: ub E dl v v (.8) Întrucât crculaţa ntenstăţ câmpulu electrc coulomban este nulă 3 E dl E dl E dl... E dl..., pe orce c ontur: c c c Γ rezultă, prn înlocure, funcţe de potenţalul bornelor laturlor, următoarea relaţe: v v v v3... v v... ub ub... ub... (.9) dec: u. (.) b [ m] c ş Concluze: Fg..4 Suma tensunlor la bornele elementelor de crcut (bornele laturlor) ce aparţn une bucle este nulă. Aceasta este prma formulare a teoreme Krchhoff. A doua formulare a teoreme Krchhoff rezultă dn înlocurea tensun la bornele laturlor cu dependenţa acestea de sursele ş consumator exstenţ în latură. 3

25 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Să consderăm latura în care exstă o sursă e ş prezntă rezstenţa. Se asocază sensul curentulu prn latură dentc cu sensul surse (fg..5) ş se construeşte un contur închs format dn latura ş tensunea la borne u. b Fg..5 Ţnând cont de legea conducţe: Ec E ρ rezultă că în conductoare p artea Coulombană a câmpulu este descrsă de relaţa Ec ρ E. Crculaţa părţ columbene a câmpulu pe orce contur este nulă: dl ş, în consecnţă pe curba Γ rezultă: Γ E c e E c latura dl E V V c dl E c ds ds E ds Ec ds v v ρ e u latura latura b (.) (.) relaţe echvalentă cu: v v e (.3) denumtă ecuaţa Joubert a latur. Această ecuaţe exprmă dependenţa dntre tensunea la borne, tensunea electromotoare ş căderea de tensune pe o latura. Înlocund ecuaţa Joubert în teorema Krchhoff u b, rezultă: sau: ( m) (m) (m) ( e ) (.4) (m) e (.5) A doua formulare a teoreme Krchhoff este : Pe orce buclă suma t.e.m este egală cu suma căderlor de tensune pe elemente pasve. 4

26 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor Asocerea sensulu de refernţă pentru tensun. Sensul de refernţă al une mărm scalare defnte prntr-o ntegrală de lne este sensul de parcurgere al curbe..4 Crcut electrc. Elemente dpolare Defnţe: Numm crcut electrc ansamblul format dn surse ş consumator prevăzut cu legătur conductoare între ele. Sursele au rolul de a produce energe electromagnetcă, ar consumator, de a o transforma în alte forme de energe. Exemplul cel ma smplu este ofert de fg..6: egătură conductoare Fg..6 egătura conductoare este necesară deoarece, cunoaştem că orce crcut electrc este parcurs de curent el ectrc ar î nchderea acest ua î ntre sursă ş consumator se face prn calea de mnmă rezstenţă (ρmetal << ρaer). Nu putem dscuta despre un crcut electrc dacă între sursă ş consumator nu realzăm un contur închs (Γ) dn materal conductor (cu rol de cale de închdere a curentulu). În conformtate cu relaţa Ohm, în lungul că conductoare avem o l cădere de tensune f ρ, cădere de tensune ce pentru lungm S mc ale conductoarelor se neglează. Această aproxmaţe în asocere cu defnţa tensun electrce u v v conduce la următoarea concluze: Toate punctele unu conductor au acelaş potenţal. () A doua concluze ce rezultă dn noţunea de crcut electrc ş concluza () este: 5

27 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Valoarea curentul ce ntră prntr-un capăt al unu conductor este egală nstantaneu cu valoarea curentulu ce ese pe la celălalt capăt al conductorulu. () Altfel spus, neglăm fenomenul de propagare al curentulu în conductoare dn cauza dmensunlor mc ale acestora faţă de lungmea de undă a curentulu (crcute cu parametr concentraţ). Orce crcut electrc poate f descompus în elemente de crcut. Defnţe: Numm element de crcut sstemul caracterzat de mărm de ntrare ş mărm de eşre. zolarea d ntr-un crcut a unu el ement d e c rcut se f ace p rntr-o suprafaţă închsă Σ (magnară) ce ntersectează legăturle conductoare în n puncte numte borne. Elementul de crcut cu două borne de acces se numeşte dpol ş reprezntă numărul mnm de borne de acces pe care îl poate avea un element de crcut. Întrucât curentul exstă numa într-un c rcut î nchs, rezultă că prn una dn borne curentul ntră ar pe cealaltă ese, ar suma curenţlor la bornele de acces este nulă (fg..7). Fg..7 Observaţe: Suma curenţlor la bornele de acces este nulă pentru un dpol. (.6) Bornele de acces la care suma curenţlor este nulă formează o poartă. Dacă numărul bornelor de acces este ma mare de atunc defnm elemente multpolare (exemplu: tranzstorul). Fg..8 6

28 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor Tranzstorul, av ând t re b orne d e acces, est e element trpolar. Bornele tranzstorulu sunt grupate în două porţ (conform prncpulu de funcţonare al tranzstorulu). După numărul de porţ, elementele de crcut se clasfcă în: - unporţ (elemente dpolare); - dporţ (elemente trpolare sau cuadrpol, sau dporţ). Mărmle de ntrare ş de eşre ce caracterzează un crcut se numesc generc semnale. Semnalul de ntrare se numeşte exctaţe (x), ar semnalul de eşre se numeşte răspuns (y). elaţa de dependenţă dntre semnalele de eşre ş cele de ntrare se numeşte ecuaţe caracterstcă : y y [x(t), t] (.7) Numărul de ecuaţ caracterstce este egal cu numărul de porţ ale elementulu de crcut. Curbele y y(x) ( fg..9) pentru valor d ferte a le tmpulu t s e num esc caracterstc de funcţonare. n punc t M (x,y) c e aparţne caracterstc de funcţonare se numeşte punct de funcţonare. Fg..9 Forma caracterstc de funcţonare poate f: - lnară sau nelnară;- varablă sau nvarablă în tmp. Dstngem astfel următoarea clasfcare a elementelor de crcut: - elemente lnare nvarable în tmp, cu ecuaţa caracterstcă y C x ; - elemente lnare varable în tmp (parametrce) cu ecuaţa caracterstcă: y(t) C(t) x(t) ; - elemente nelnare nvarable în tmp cu ecuaţa caracterstcă y y(x) ; - elemente nelnare varable în tmp având ecuaţa caracterstcă y y[x(t),t]. ndependent de natura perech de mărm (x,y) elementul de crcut este un voc de termnat de pr odusul s emnalelor num t putere nstantanee. Întrucât în teora crcutelor lucrăm cu mărm electrce, semnalele su nt mărmle electrce tensune ş curent. 7

29 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Produsul tensune-curent se numeşte putere electrcă nstantanee p(t) u(t) (t) ş reprezntă varaţa energe electrce în raport cu tmpul dw p ( t). (.8) dt Dn punct de vedere al puter nstantanee, ce poate f poztvă dacă energa creşte sau negatvă dacă energa scade, elementele de crcut se clasfcă în: - elemente de crcut pasve, dacă în orce punct în planul caracterstc de funcţonare produsul u p > este poztv ( corespunde une puter prmte de elementul de crcut); - elemente de crcut actve, dacă în cel puţn un punct în planul caracterstc de funcţonare puterea nstantanee este negatvă. Elementele pasve capable să acumuleze energe în câmp electrc sau magnetc se numesc reactve. Asocerea sensurlor de refernţă pentru elementele dpolare Consderând crcutul e lementar d n f g.., să exemplfcăm asocerea sensurlor de refernţă pentru - dpolul generator, respectv pentru dpolul receptor. n acest sens consderam crcutul dn f g.. pe care îl descompunem în dpol generator ş receptor. Fg.. Aplcând legea conducţe pe conturul Γ al crcutulu, obţnem: ( E E ) ds ρjds ρ ds, sau e ( s ) A Γ Γ Γ (.9) Separând dpolul generator cu suprafaţa Cg magnară avem: a a a a ( E E ) ds E ds E ds ρ ds (.3) b, C g relaţe echvalentă cu : v b b b b v e (.3) a Pentru dpolul receptor câmpul electrc mprmat ( E ) este nul ar prn aplcarea leg conducţe rezultă: 8

30 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor a, r, b E ds ρ relaţe echvalentă cu: v b b a ds S v. a S b a E ds S, (.3) Notând tensunea la borne ub va vb în baza relaţlor de ma sus se pot defn următoarele regul de asocere între curenţ ş tensun, la bornele dpolulu generator respectv receptor. regula de la generatoare: Fg.. sensurle de refernţă ale tensun la borne b ş curentulu faţă de orcare dn bornele dpolulu sunt opuse (o mărme ntră, cealaltă ese). elaţle între mărmle electrce la bornele dpolulu sunt: - e ub sau ub e ub e (.33) p ub > dacă e dacă e regula de la receptoare: Fg.. - sensurle de refernţă ale tensun la borne b ş curentulu,prn laturle receptoare, concd (ambele ntră sau es faţă de aceeaş bornă). elaţle între mărmle electrce la bornele dpolulu sunt: u b S (.34) u b S p > deoarece - putere prmtă. S > 9

31 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Sntetc, pentru orce dpol a căru structură nternă este cunoscută, defnm următorul flux de putere între dpol: Fg..3 Generalzând ecuaţa dpolulu generator pentru orce dpol (generator sau receptor) ecuaţa Joubert a une latur : este: e u b z unde: z - operator ataşat curentulu, mpus de natura dpolulu..4.. Elemente pasve de crcut. ezstorul ezstorul este un element pasv de crcut ce prmeşte energe electrcă ş o transformă reversbl în căldură. Ecuaţa caracterstcă a rezstorulu este: u u( ( t), t) sau ( u( t), t) (.35) ar curba caracterstcă în planul (,) se numeşte caracterstca tensunecurent sau curent-tensune. Caracterstca curent tensune (efect dependent de cauză (u)) asocază tensun varabla ndependentă ar curentulu varabla dependentă. Fzc, tensunea este cauza ar curentul este efectul deoarece tensunea produce câmp electrc E sub acţunea cărua purtător de sarcnă se deplasează. În planul caracterstc -u curba caracterstcă poate avea orce formă. aportul ef ect - cauză este ndependent de efect ş de cauză, depnzând numa de pr opretatea m edulu ( ρ ) ş de dmensunle geometrce ale corpulu lungme ş secţune ş este întotdeauna un raport poztv. Enunţ: Numm conductanţă statcă (G) raportul dntre curent ş tensunea aplcată. Conductanţa este defntă prn relaţa: G d [S] (semens) (.36) u 3

32 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor În planul caracterstc, conductanţa reprezntă tangenta unghulu format de dreapta ce uneşte punctul de funcţonare cu orgnea axelor: tgα G. u Fg..4 Enunţ: Numm conductanţă dnamcă raportul dntre varaţa curentulu pe varaţa de tensune în urul punctulu de funcţonare: d d g( t) tgβ (.37) dv r( t) nversa conductanţe dnamce se numeşte rezstenţa dnamcă : r( t) ctgβ. (.38) tgβ Altfel s pus, rezstenţa dnamcă reprezntă varaţa de tensune ce produce o varaţe untară a curentulu. A. Clasfcarea rezstoarelor. ezstorul lnar nvarabl în tmp are smbolul redat în fg..5, ar curba caracterstcă în planul (;u) este o dreaptă în cadranele ş ce trece prn orgne. ezstenţa statcă este dentcă cu rezstenţa dnamcă ş nu depnde de valoarea curentulu ce trece prn crcut. (t) v(t) _ Fg..5 3

33 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Ecuaţa caracterstcă (t) G u(t) sau u(t) (t) ndcă o dependenţă lnară între semnale. P uterea nstantanee p u G u > este întotdeauna poztvă ndferent de sensul asocat tensun ş curentulu. ntegrala puter nstantanee pe un nterval se numeşte energe, ş este dată de relaţa: W este lowattul - oră. t t p( t )dt. ntatea de măsură a energe electrce 3 6 [KWh J/s 36s 3.6 Joule].. ezstorul lnar varabl în tmp (parametrc) este în tâlnt s ub denumrea de potenţometru având rezstenţa varablă în raport cu pozţa cursorulu. Smbolul ataşat este redat în fg..6, ar car acterstca est e o dreaptă dependentă de pozţa cursorulu. Ecuaţa caracterstcă este: G( t) u( t) sau u( t) ( t) ( t). Fg ezstoarele nelnare sunt elementele de crcut ce au rezstenţa electrcă dependentă de curentul ce trece prn crcut. ezstorul este complet determnat dacă se cunoaşte dependenţa ( u ) tabelat, a naltc sau grafc. Dn punct de vedere al forme curbe caracterstce (u), aceste rezstoare se clasfca în: nelnare cu caracterstcă smetrcă sau recproce. Caracterstca acestor rezstoare este smetrcă faţă de orgne, ele nefnd dependente de modul conectare al bornelor la sursă, altfel spus nu au borne polarzate. n exemplu d e re zstor n elnar s metrc îl c onsttue termstorul, care are rezstenţă varablă cu temperatura. Smbolul ş caracterstca unu astfel de rezstor sunt redate în fg..7: Fg..7 Termstorul 3

34 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor - nelnare cu caracterstcă nesmetrcă prezentând borne polarzate. Î n categora acestor rezstoare ntră maortatea componentelor electronce precum: - dodele redresoare cu smbolul ş caracterstca prezentate în fg..8; - dodele Zenner cu smbolul ş caracterstca prezentate în fg..9; - tranzstoarele cu smbolul ş caracterstca prezentate în fg.. (un exemplu) Fg..8 Dodă redresoare Fg..9 Doda Zenner. Fg.. Tranzstorul MOSFET (G - grlă, D - drenă, S - sursă). Observaţ:. Pentru rezstoarele ce nu prezntă borne polarzate dependenţa curent-tensune ( u) poate f redată ş în forma u u ( ) în car e curentul este varablă ndependentă, ar tensunea u este varablă dependentă. Exemplu: varstorul ce prezntă rezstenţă varablă cu tensunea aplcată ş are curba caracterstcă uu() (fg.). Fg.. 33

35 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce. ezstorul este complet defnt dacă se cunoaşte valoarea rezstenţe n, puterea dspată P, tensunea maxmă de lucru pentru a dezvolta P P n. B. Conexun ale rezstoarelor. Conexunea sere O latură ce conţne n rezstenţe înserate poate f redusă la o latură cu o rezstenţă echvalentă. Valoarea rezstenţe echvalente se obţne dn defnţa tensun la bornele latur ş dn mpunerea condţe de conexune... n n 3 n u E ds E ds E ds... (.39) Fg..a ezultă astfel valoarea rezstente echvalente asocate latur: n (.4) eq. Conexunea paralel ezstenţa echvalentă rezultă dn mpunerea condţe de conexune... n ş aplcarea teoreme Krchhoff obţnând după efectuarea unor calcule smple: B u AB 3 4 n 3 4 n AB A Fg..b n eq. (.4) 34

36 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor 3. Dvzorul de tensune În conexunea sere o utltate foarte mare o are dvzorul de tensune prezentat în fg..3. u u u u ( ) rezult ă u S u Fg..3 Defnm atenuarea tensun ( A ) ca fnd raportul dntre tensunea de eşre ş tensunea de ntrare. Această atenuare pentru dvzorul de tensune este: A. (.4) S 4. Dvzorul de curent Conexun pa ralel s e poate defn d vzorul de c urent ( fg..4) denumt ş atenuatorul de curent conform următoare relaţ: (.43) Gu ( G G u ) rezult G ă G G u Fg..4 Generalzând relaţa dvzorulu pentru n latur în paralel se poate eq determna curentul prn latura "" cu următoarea exprese:. latur 35

37 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Atenuarea dvzorulu de curent (A) este defntă prn relaţa: A. (.44) 5. Punţ rezstve Fg..5 Aplcând dvzorul de tensune pentru determnarea potenţalulu punctulu "P" respectv "N", obţnem: V V V V V V V V V S N P S S N S S P (.45) V V S S (.46) Condţa de echlbru a punţ (punte Wheatstone) este de egaltate a potenţalelor N P V V având următoarea formulare matematcă: anţur de rezstenţe Fg..6 36

38 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor ezstenţa echvalentă a crcutulu de ma sus se obţne utlzând dvzorul de curent: eq (.47) Elemente de crcut actve (surse) olul une surse este de a nţa tensunea ş curentul într-un crcut, fnd în general un e lement a ctv d e c rcut. P ot e xsta c rcute în c are n u toate sursele dn laturle crcutulu sunt elemente actve. În schemele electrce sursele le regăsm în două varante surse de curent ş de tensune..4.. Surse ndependente de tensune Sursele ndependente de t ensune s unt numte ş g eneratoare d e tensune ş pot f: - generatoare de tensune deale; - generatoare de tensune reale. a. Generatorul deal de tensune - este un el ement act v de crcut cu p ropretatea c ă tensunea la borne este rguros constantă ş nu de pnde de va loarea c urentulu de btat. Smbolul generatorulu deal de tensune ş caracterstca tensun la borne de curentul debtat b f () sunt redate în fg..7. Fg..7 egmurle de funcţonare ale acestu generator pot f (regmur mpuse de sarcnă): - regm de mers în gol: S, p ub ; (.48) l - regm de mers în sarcnă: S,, p e ; (.49) S 37

39 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce - regm de scurtcrcut: S,, p, motv pentru care nu poate funcţona în re gm d e s curtcrcut (p uterea nfntă nu- posbl fzc] Observaţe: O sursă deală de tensune ncodată nu trebue să funcţoneze în scurtcrcut. b. Generatorul real de tensune - conţne în sere cu generatorul o rezstenţă (rezstenţa nternă) ce lmtează curentul de scurtcrcut la o valoare fntă. Smbolul ataşat generatorulu real ş caracterstca acestua sunt prezentate în fg..8. Fg..8 egmul de f uncţonare a acestu generator funcţe de valoarea sarcn poate f: - regm de mers în gol: S,, p ; (.5) e - regm de mers în sarcnă: S,, p ; (.5) e - regm de scurtcrcut:, p,. ezstenţa nternă este rezstenţa echvalentă a dpolulu generator. S c. Conexun ale surselor de tensune Două sau ma multe surse de tensune pot f conectate în sere sau în paralel. Conexunea sere Tensunea electromotoare rezultantă este egală cu suma tensunlor electromotoare ale surselor. e n e ș S S n (.5) 38

40 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor Fg..9 Conexunea paralel (dervaţe) Sursele deale d e t ensune se pot conecta în paralel numa dacă au aceleaş tensun electromotoare. T.e.m. echvalentă a n surse reale de tensune conectate în paralel ş rezstenţa nternă echvalentă sunt exprmate prn relaţle: n e n e n ş (.53) Observaţe: Două surse deale cu t.e.m dferte nu se conectează în paralel deoarece apar curenţ de crculaţe între surse..4...surse ndependente de curent Sursele de curent m a su nt d enumte ş generatoare de curent. Î n schemele el ectrce su nt î ntâlnte ca g eneratoare deale, r espectv r eale de curent. a. Generatorul deal de curent Generatorul deal d e cu rent est e u n el ement act v d e c rcut cu propretatea că ntenstatea curentulu debtat este rguros constantă ş ndependentă de valoarea tensun la bornele sale. Smbolul generatorulu deal ş caracterstca u b f (g ) (sau f (u ) ), g b sunt redate în fgura de ma os: Fg..3 egmurle de funcţonare ale generatorulu deal de curent (regmur mpuse de încărcare) sunt: 39

41 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce - regm de mers în gol : s ; ub ; p ; - regm de mers în sarcnă : s ; ub ; p fntă ; - regm de scurtcrcut : s ; ub ; p. Observaţe: n generator de curent nu poate funcţona în gol. b. Generatorul real de curent - conţne în paralel cu generatorul deal o rezstenţă ce lmtează tensunea la borne la o valoare fntă în cazul funcţonăr în gol. Smbolul electrc ataşat ş car acterstca u b f (g ) este redată în fg..3. Fg..3 egmurle de funcţonare mpuse de încărcare sunt: - în gol : s ; ubg; pubg s - în sarcnă : g ; ub s g ; p u s, b s - în scurtcrcut : s; ub; p. c. Conexunle generatoarelor de curent Generatoarele de curent pot f conectate în sere sau dervaţe (paralel): - dervaţe - curentul to tal d ebtat d e g eneratorul echvalent est e g g g Fg..3 - sere - ncodată nu se conectează în sere generatoare deale de curent cu ntenstăţ dferte. 4

42 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor.4..3 Echvalenţa dntre sursele reale de tensune ş sursele reale de curent Pentru ca o sursa reală de tensune electromotoare "e" ş rezstenţă "" să fe echvalentă cu sursă reală de curent sunt necesare valor dentce ale curenţlor debtaţ pe aceeaş rezstenţă de sarcnă S. e - sursa de tensune reală debtează pe S curentul: u v s Fg sursa de curent real debtează pe aceeaş s curentul: g mpunând condţa de egaltate a curenţlor ce străbat sarcna e v se obţn relaţle de echvalenţă a surselor: g v Observaţe: elaţle de echvalenţă ale surselor reale de tensune cu surse reale de curent permt asocerea almentăr une sarcn oarecare s fe de la un dpol echvalent de tensune fe de la un dpol echvalent de curent Surse dependente (controlate) O sursă este dependentă dacă valoarea e este controlată fe de un curent, fe de o tensune dn crcut. Dn acest punct de vedere avem control al surselor fe în curent, fe în tensune. Sursele controlate pot f: - surse de tensune cu control în tensune (VCVS); - surse de tensune cu control în curent (CCVS); - surse de curent cu control în tensune (VCCS); - surse de curent cu control în curent (CCCS); Surse de tensune cu control în tensune (Voltage Controlled Voltage Source - VCVS) Sursele de t ensune c u c ontrol în t ensune a u s mbolul r edat în fg..34 ş ecuaţa caracterstcă: v K v v x ; s 4

43 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce unde: - v t.e.m. a surse; - vx tensunea de comandă (control); sau vb - Kv constantă admensonală.(v/v), sau A, sau u v x Av x _ v u v b tensunea de care depnde sursa constantă de proporțonaltate valoarea surse de tensune Fg..34 Surse de tensune cu control în curent (Current Controlled Voltage Source - CCVS) Sursele de tensune cu control în curent au smbolul redat în fg..35 ș ecuaţa caracterstcă: v K r x (.54) unde: - v t.e.m. a surse; - x curentul de comandă (control); - Kr constantă cu dmensunle une rezstenţe ce exprmă dependenţa t.e.m. a surse controlate, de curentul de comandă). _ v b x x a _ v r a curentul de care depnde sursa constantă de proporțonaltate valoarea surse de tensune Fg..35 4

44 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor Surse de curent cu control în tensune (Voltage Controlled Current Source - VCCS) Sursele de curent cu control în tensune au smbolul redat în fg..36 ş ecuaţa caracterstcă: K g v x (.55) unde: - K g - constantă de proporţonaltate cu dmensunle une conductanţe; - - curentul surse; - v x - tensunea de comandă (control). v x Gv x g v b tensunea de care depnde sursa constantă de proporțonaltate valoarea surse de curent _ v b MOSFET v g Model echvalent g m v g Fg..36 Surse de curent cu control în curent (Current Controlled Current Source CCCS) Sursele de c urent c u c ontrol î n c urent a u s mbolul d n f g..37 ş ecuaţa caracterstcă: K x (.56) unde: - K - constantă admensonală(a/a); - x - curentul de comandă (control); - - curentul surse. x A x Fg..37a Fg..37b 43

45 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce β b b Colector B B C current de care depnde sursa constantă de proporțonaltate valoarea surse de curent Bază Emtor Smbol Dspoztv be E Model Echvalent β B Transstor cu Joncțune Bpolară Fg..37 Exemple de surse dependente:. Transformarea rezstenţelor în surse dependente. Să consderăm o sursă deală de tensune ce almentează două rezstenţe - practc un dvzor de tensune (fg..38). Fg..38 Tensunea la bornele rezstenţe este: u u b cu, u b e, u u b. (.57) Notând: - K ş u b u x, (.58) v se obţne ecuaţa surse de tensune cu control în tensune u u b K v. Transformarea rezstenţe în sursă dependentă trebue să nu modfce puterea în c rcut. În prmul caz rezstenţa o p utem co nsdera ca aparţnând unu dpol receptor ce are puterea nstantanee poztvă dec prmtă. Transformarea rezstenţe în sursă dependentă trebue să conserve puterea în sensul de putere prmtă. Dpolul trece astfel în dpol generator. Pentru un dpol generator puterea prmtă este p u b <. Schema electrcă asocată crcutulu în condţle conservăr puter (putere prmtă) ş sensulu curentulu devne: 44

46 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor Fg..39 Să încercăm să generalzăm rezultatul obţnut pentru o sursă dependentă de tensune. Consderăm un potenţometru conectat la o sursă test de tensune cu valoarea de V conform fg..4 Defnm A Concluze: Fg..4 u - atenuarea. e Dacă constanta de proporţonaltate a surse dependente se obţne un atenuator de semnal (un potenţometru este un atenuator de semnal).. Transformarea surse dependente în rezstenţă echvalentă. Să consderăm un crcut format dntr-o rezstenţă ş două surse, una ndependenta cealaltă dependentă conectate conform fg..4. Fg..4 olul surse ndependente este de a crea un semnal de control, ar al surse dependente este de a răspunde la acest semnal. Ne nteresează răspunsul surse dependente, răspuns ce căutăm să-l obţnem apo sub forma une rezstenţe ataşate surse ndependente. 45

47 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Presupunând s emnalul de c ontrol e V ar p rn a plcarea teoremelor Krchhoff obţnem: e v e e ( ) e (.59) Valoarea rezstenţe echvalente asocate faţă de bornele surse ndependente este: Cazur partculare: a) Dacă: e V A Ω ech v v ech e (.6) ech e ech (.6) Concluze: Sursa dependentă are polartatea dn fgură ş este scurtcrcutată. b),999., Ω Exemplu:.9 (.9.A ); Ω ech ech Concluze: Sursa are aceeaş polartate, curentul păstrează semnul prn crcut dar cu valoare mult redusă. Sursa dependentă se comportă ca un atenuator. c) Ce se întâmplă dacă K [,]. Exemplu: - conectăm sursa dependentă cu aceeaş polartate faţă de sursa ndependentă (fg..4). e Fg..4 c. K < (coefcent de proporţonaltate negatv) (.6) 46

48 . Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor Sursa cu polartate nversă, curentul nu schmbă sensul prn rezstenţa V V A (.63) Ω ech Crcutele cu K< sunt denumte amplfcatoare cu reacţe negatvă. Valoarea negatvă a amplfcăr (K) este echvalentă cu schmbarea polartăţ surse dependente. c. K > Fg..43 e ( K) cu K > rezultă < schmbă de sens. e ech < ech ceea ce fzc nu era posbl. Concluz:. olul une surse dependente este de a crea unu dpol o rezstenţă echvalentă cu orce valoare aparentă.. Crcutele ce au K> sunt denumte amplfcatoare cu reacţe poztvă sau negatvă funcţe de semnul acestu coefcent. Semnul lu K dn ecuaţa ech mpune tpul reacţe. Valorle subuntare ale coefcentulu de proporţonaltate defnesc atenuatoarele. 3. Modelarea componentelor electronce prn surse dependente a. Modelarea funcţonăr tranzstorulu bpolar în AN prn surse dependente O mportantă aplcaţe a surselor dependente o consttue tranzstorul bpolar npn dn amplfcatoarele electronce. Tranzstorul npn, c u smbolul redat în fgura.44, conform prncpulu de funcţonare, amplfcă de β or curentul de bază B dacă valoarea tensun de ntrare depăşeşte căderea de tensune a oncţun bază - emtor. Caracterstca externă a tranzstorulu redă dependenţa curentulu dn colector funcţe de tensunea colector - emtor având ca p arametru curentul de bază. 47

49 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Fg..44 Modelul de tranzstor reprezentat în fgura.44 conform prncpulu de funcţonare al acestua asocază între colector ş emtor o sursă de curent comandată de curentul de bază. Exemplu. Pentru crcutul de ma os să se determne valoarea tensun de ntrare astfel încât la eşre să avem o tensune de V. Fg..45 tlzând modelarea tranzstorulu n pn c u v alorle tp ce BE,7V, β 5 rezultă pentru crcutul dn fgura de ma sus crcutul echvalent. Fg..46 Aplcând pe ochul de ntrare ş pe ochul de eşre teorema Krchhoff se obţne: BE b b E β Astfel dn a doua ecuaţe se obţne curentul de bază: c B (.64) E 5,5mA (.65) β 5 B c ar tensunea necesară aplcată la ntrare:,7 8,5 3,V b. Modelarea amplfcatorulu operaţonal prn surse dependente Funcţonarea unu amplfcator presupune aplcarea unu semnal de la o sursă pe poarta de ntrare ş obţnerea une replc mărte a acestua ce se aplcă pe o sarcnă. deal această funcţonare a amplfcatorulu operaţonal presupune o sursă la ntrare ş o sarcnă la eşre. 48

50 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor În funcţe de tpul surse conectate la ntrare (de tensune sau de curent) ş de tpul semnalulu ofert la eşre (tensune sau curent) putem defn: - amplfcatoare de tensune - amplfcatoare de curent - amplfcatoare de transrezstenţă - amplfcatoare de transconductanţă b.. Amplfcatorul de tensune n a mplfcator cu caracterstcă de transfer lnară admte pentru fecare poartă un dpol echvalent de tensune sau de curent. Poarta de ntrare este pur rezstvă ş pasvă modelată prntr-o rezstenţă de ntrare. Poarta de eşre este una actvă modelată prntr-o rezstenţă de eşre ş o sursă dependentă. Amplfcatorul de tensune are poarta de ntrare almentată de la o sursă de tensune reală ş aplcă sarcn o tensune de lucru mărtă de AOC (amplfcarea). Schema echvalentă adoptată pentru a mplfcatorul d e tensune este: Fg..47 Dn formula dvzorulu de tensune s e poa te de termna t ensunea aplcata porţ de ntrare: v v ar la eşre se obţne tensunea: v S S v O A OC v. (.66) O În absenţa încărcăr,v A OCv motv pentru care A OC se numeşte amplfcare în curent deschs. aportul eşre pe ntrare se numeşte amplfcare. v A (.67) v S OC ş conţne termen a două dvzoare de tensune unul reflectând eşrea ar al dolea ntrarea ş un termen al amplfcăr surse AOC comandate. Sarcna este în general ndezrablă ş (v/vs)<aoc. Pentru a obţne amplfcarea î n t ensune v /vsaoc se mpune <<. Dacă, amplfcatorul de tensune este deal. S >> S ş 49

51 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce b.. Amplfcatorul de curent Amplfcatorul de curent presupune almentarea porţ de ntrare de la o sursă de curent conform fgur: Fg..48 Aplcând dvzorul de curent pe crcutul de ntrare ş de eşre obţnem: S, A (.68) S S SC În caz de scurtcrcutare a sarcn, ASC motv pentru care ASC se numeşte amplfcarea de scurtcrcut. aportul sarcnă pe sursă poartă numele de amplfcare în curent. S A (.69) S S SC ce este dependentă de sursă ş sarcnă. Optmzarea transferulu semnalulu mplcă <<S ş >> ar la lmtă, se obţne un amplfcator deal de curent cu amplfcarea /SASC. b.3. Amplfcatoare de transrezstenţă ş transconductanţă a am plfcatorul d e t ensune sau d e cu rent r aportul semnalelor ntrare, eşre sunt admensonale ş se notează V/V sau A/A. Dacă ntrarea este un curent ar eşrea este o tensune amplfcatorul se numeşte de transrezstenţă având schema conform fgur: ar funcţa de transfer: v Fg..49 S A (.7) OC S S unde AOC - amplfcare fără sarcnă în V/A. Acest tp de amplfcator este convertor curent-tensune. Transferul optm se realzează pentru <<S ş <<. Dacă ntrarea este o tensune 5

52 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor ş eşrea este un curent atunc amplfcatorul este de transconductanţă conform modelulu: Fg..5 Amplfcarea sarcnă-sursă este: v A (.7) SC S S Acest model d e am plfcator est e aso cat t ranzstoarelor F ET cu valorle tp ce a le parametrlor A sc5ms,m Ω,oK Ω. Orcăru P putereasarcn amplfcator se defneşte amplfcarea în putere A, ce se exprmă în decbel, prn relaţa: A (db) log A. P P P PS putereasurse.4.3 Elemente de stocare a energe (elemente reactve).4.3. Condensatorul Energa electromagnetcă are două componente: una electrcă ş una magnetcă. Elementele de crcut ce au propretatea de a acumula energe se numesc elemente reactve. aportul dntre efect ş cauză în câmp electrostatc defneşte capactatea: D da q Σ A C ε (.7) V V d E ds cu smbolul în fg..5. Fg..5 Condensatorul este un element de crcut de ecuaţe caracterstcă: q q[u(t),t] sau u u[q(t),t] (.73) dacă se consdera varabla ndependentă tensunea u respectv sarcna q. Curba caracterstcă în planul q-u se numeşte caracterstca sarcnătensune. 5

53 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce În t eora crcutelor nteresează dependenţa tensune-curent sau curent-tensune. Ecuaţa de legătură pentru obţnerea aceste dependenţe este dată de curentul de deplasare: dq (.74) dt În acest e co ndţ, consderând tensunea varablă ndependentă, obţnem caracterstca curent-tensune -u a condensatorulu. Exemplul : n condensator almentat cu o tensune trapezodală conform fg..5.determna următoarea formă a curentulu prn condensator în baza d du ecuaţe ( C u) C dt dt Fg..5 a. Clasfcarea condensatoarelor Conform clasfcăr elementelor de crcut dstngem: Condensatorul lnar nvarabl în tmp Condensatorul lnar nvarabl în tmp are următoarea ecuaţe caracterstcă: q( t ) C u( t ) cu C > (.75) În planul (q,u) curba caracterstcă este o dreaptă ce trece prn orgne cu panta proporţonală cu C. Fg..53 dq dt Ecuaţa curent-tensune C (t) poate f exprmată ş în forma tensune-curent ndcând memora în tensune a condensatorulu: du dt 5

54 u C t Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor ( t )dt C ( t' )dt' C t ( t' )dt' u C C t ( t' )dt'. (.76) Almentând de la o sursă de curent un condensator, forma de varaţe a tensun la bornele acestua este redată în fg..53 Tensunea l a bor nele c ondensatorulu u( t) de pnde de t ensunea nţală u CO ş de valorle anteroare ale curentulu (< t'< t). În consecnţă condensatorul este complet determnat dacă se cunoaşte valoarea capactăţ C ş a tensun nţale de încărcare u CO. Fg..54 Dependenţa tensun de la bornele condensatorulu de tensunea nţală u CO ndcă o acumulare de energe în câm pul el ectrc al condensatorulu: t t u du u We C u u dt u C dt C d dt (.77) We C u q C Comparatv cu rezstorul ce absoarbe energa electrcă W p dt cu p ş o transformă reversbl în căldură, condensatorul absoarbe energa electrcă dn crcut, o stochează ş o returnează crcutulu. Fg

55 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Spre exemplfcare aplcând o tensune cu forma redată în fg..55 pe dwe o capactate de µ F se obţne puterea nstantanee p u, poztvă ş dt negatvă, cu valoarea constantă a energe (WµJ). Condensatorul lnar varabl în tmp (parametrc) Condensatorul ln ar v arabl în tm p (p arametrc) a re smbolul prezentat în fgura.56: Ecuaţa caracterstcă a condensatorulu varabl: q C(t) u(t) (.78) permte defnrea ecuaţe curent-tensune: dq du dc C u (.79) dt dt dt du unde: - C - componenta de pulsaţe a curentulu; dt dc - u - componenta parametrcă. dt Fg..56 sere. b. Conexun ale condensatoarelor Două sau ma multe condensatoare pot f conectate în paralel sau în Conexunea paralel Fg..57 Condţa de conexune este: u u... u ; Aplcând teorema Krchhoff n, cu du C dt rezultă: n du du C Ceq (.8) dt dt 54

56 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor Dn ecuaţa de ma sus putem dentfca valoarea capactăţ echvalente: Conexunea sere n C (.8) eq C Condţa de conexune Fg C Tensunea de la bornele capactăţ echvalente conform teoreme Krchhoff este suma căderlor de tensune pe condensatoarele conectate în sere u n u Dar du dt. Dervând în raport cu tmpul obţnem relaţa: du, ar dt C du dt C eq du dt. dec: C q n n C du dt. (.8) (.83) Capactatea echvalentă a unu sstem de două condensatoare sere este: C C Ceq. (.84) C C Observaţe: Pentru conexunea paralel capactăţle de valor foarte mc pot f neglate, ar pentru conexunea sere capactăţle mar pot f neglate. c. Teoremele de echvalenţă ale condensatoarelor După cum am arătat orce condensator este complet determnat de valoarea capactăţ C ş de tensunea nţală u C. t Ecuaţa tensune-curent u( t) u C ( t') dt' poate f pusă în C forma: t uc ( t) ( t' ) dt (.85) C 55

57 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Consderând condensatorul cu dpol receptor (fg..54), ecuaţa Joubert ataşată este: e u z (.86) unde: - t z C dt' - operator ntegral ataşat curentulu. C b C Fg..59 dentfcând termen rezultă: e u C, u b u(t) Pentru a încărca un condensator de capactate C ş tensune nţală u C, tensunea aplcată la borne trebue să depăşească valoarea t.e.m. echvalente. Prma teoremă de echvalenţă ndcă transformarea unu condensator cu condţ nţale nenule într-o capactate cu condţ nţale nule conectată în sere cu o sursă nternă ( e u C ) de t.e.m. cu valoarea constantă C. A doua teoremă de echvalenţă transformă un condensator cu condţ nţale nenule într-o sursă de curent deală conectată în paralel cu un condensator fără condţ nţale. Demonstraţa este smplă prn aplcarea teoremelor de echvalenţă ale surselor sau : t du Cu( t) C C ( t' ) dt' C C Cδ ( t) ( t) (.87) dt. Fg..6 În consecnţă orce condensator poate f reprezentat prntr-un dpol receptor fe de tensune fe de curent. 56

58 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor.4.3. Bobna (nductorul) Bobna este un element de crcut ce ar e propretatea de a p roduce flux magnetc când este parcursă de curent. aportul efect / cauză poartă numele de nductanţă (nductvtate). d ϕ SΓ SΓ N N Γ BdA N A Wb µ, [ Henry] l (.88) Hds A Ecuaţa caracterstcă a bobne este dată de dependenţa efect-cauză ϕ ϕ[ (t),t] ar smbolul bobne este: (t) v(t) _ Fg..6 Curba caracterstcă în pl anul f lux-curent s e numeşte car acterstca flux-curent. Ecuaţa de legătură între flux ş tensune este dată de legea nducţe electromagnetce: dϕsγ eγ Eds (.89) dt Γ ş reprezntă ecuaţa tensune-curent. Consderând o bobnă, c onform f gur.5 4, ş ap lcând l egea nducţe rezultă: b c d ϕs Γ d ϕsγ E ds E ds sau ub (.9) a b d t d t Pentru o bobnă deală (rezstenţă nulă) ecuaţa tensune - flux este: dϕsγ u (.9). d t Ecuaţa flux-tensune ndcă dependenţa fluxul magnetc de valoarea nţală a fluxulu dn bobnă ş de valorle anteroare ale tensun la bornele bobne: < t' < t : u( t) dt u( t) dt u( t') dt' ϕ ϕ u ( t') dt' (.9) SΓ t t t 57

59 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce a. Clasfcarea bobnelor Conform clasfcăr elementelor de crcut bobnele necuplate magnetc se clasfcă în: Bobne lnare nvarable în tmp Ecuaţa caracterstcă este ϕ cu >. În planul ϕ ϕ() este o dreaptă ce trece prn orgne (fg..56). Dependenţa tensune-curent d numtă ş caracterstca u f () este dată de relaţa u. dt Ecuaţa tensune - curent a bobne deale poate f scrsă în formă compactă uz (.93) unde: - z - operator dferenţal ataşat curentulu. Ecuaţa uu() ndcă faptul că pentru a avea tensune la bornele une bobne trebue să exste varaţe de curent. Almentând o bob na de la o sursă deală de curent cu forma curentulu dată de fg..56, tensunea la bornele bobne (ptr. 4mH), va f: Fg..6 Caracterstca (u) presupune almentarea bobne de la o sursă de tensune ş consderarea curentulu varabla dependente conform ecuaţlor: t t t udt u( t) dt u( t') dt' u( t') dt' (.94) În baza relaţlor de dependenţă, curentul prntr-o bobnă depnde de valoarea nţală a curentulu dn bobnă ş d e v alorle a nteroare ale tensun la bornele bobne. În consecnţă bobna este complet determnată de valoarea nductanţe ş de valoarea nţală a curentulu prn bobnă. Almentând o bobnă de la o sursă de tensune cu forma redată în fg..63, curentul prn bobnă este: 58

60 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor Fg..63 u t, pentru,4µh. Bobna lnară varablă în tmp ş necuplată magnetc (parametrcă) Ecuaţa caracterstcă a aceste bobne este: ϕ ( t) (t) (t) (.95) unde: - (t) nductanţa propre. Ecuaţa în tensune a bobne se obţne dn legea nducţe fnd: u dϕ d d. (.96) dt dt dt b. elaţ de echvalenţă a bobnelor ce conţn condţ nţale O bobnă lnară de nductvtate ş curent nţal lo poate f echvalată cu un dpol echvalent pe baza ecuaţe Joubert. Fg..64 Ecuaţa Joubert în tensune permte defnrea, în baza echvalenţe surselor de tensune în surse de curent, ecuaţe Joubert în curent e ech b z. Atunc: latur u b latura y e y latura y e b g e z g y u b latura (.97) z 59

61 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce ltma relaţe reprezntă ecuaţa Joubert în curent. S chemele echvalente asocate bobne lnare sunt redate în fg..65. c. Bobne lnare cuplate magnetc Fg..65 (t) () h(t) u dt (.98) O bobnă s parcursă de curentul s se numeşte cuplată magnetc cu al te n - bobne dacă fluxul magnetc este funcţe ş de ntenstăţle curenţlor dn celelalte bobne. φ S φ( (t), (t),..., n (t)) (.99) Bobnele f nd ln are f luxul to tal a l b obne s e ste o suma a fluxurlor elementare (mutuale) n φs S (.) unde: - SS φ S S o S - nductvtatea propre ce reprezntă raportul dntre fluxul propru al bobne s ş curentul ce la produs când cele n- bob ne nu s unt parcurse de curent; - φ S SK - nductvtatea mutuală; K S S K < SS >,S > - nductvtatea mutuală este funcţe de fluxul mutual produs de bobna faţă de fluxul propru al bobne s Pentru a r eprezenta în scheme, fără ambgutate, modul în c are se ntroduce în calcule nductvtatea mutuală se ndcă prn steluţe (astersc) bornele polarzate ale bobnelor. 6

62 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor Fg..66 egula de asocere a fluxurlor mutuale în analza crcutelor electrce: - fluxul mutual se consderă poztv dacă curenţ ce parcurg bobnele cuplate magnetc au acelaş sens faţă de bornele polarzate, altfel este negatv. Ecuaţa tensune-curent a bobne cuplate magnetc este: n n dϕs ds d u S SS S. (.) dt dt dt Ecuaţa în t ensune a bobne lnare cuplată magnetc poate f exprmată în funcţe de operatorul de mpedanţă z astfel: unde: z SS S n u S z S z S (.) SS d d SS, z S S - operator dferenţal ataşaţ curentulu. dt dt Dn ecuaţle tensune-curent ale bobne cuplate m agnetc se p ot obţne ecuaţle curent-tensune, ecuaţ de forma: S Γ S t usdt ΓS udt S ( ) S ΓS t n t u dt ( ) (.3) Exemplul nr. Exprmarea dependente curent-tensune pentru tre bobne cuplate magnetc. S 6

63 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Fg..67 Ecuaţa în tensune a fecăre bobne conduce la sstemul de ecuaţ: d d u ( ϕ) ( ϕ ϕ ϕ3) dt dt d d u ( ϕ) ( ϕ ϕ ϕ3) (.4) dt dt d d u3 ϕ3 ( ϕ3 ϕ3 ϕ33) dt dt Exprmând fluxurle funcţe de curenţ rezultă: d d d 3 u 3 d t d t d t u u 3 3 d d t d d t 3 d d t d d t 3 33 d 3 d t d 3 d t (.5) tlzând forma matrceală a dependenţe flux-curent [ ϕ ] [ ] [ ] ecuaţle de ma sus pot f scrse ş în forma curent-tensune astfel: unde: d dt Înmulţnd la stânga cu [ ] - [ ] 3 t [ u] [ ] [ ], [ u] dt [ ] [ ] t (.6) [ ] [ u] dt [ ] sau: [ ] [ ] () [ u ] dt [ ] - matrcea nductvtăţlor; S t 6

64 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor Elemente de teora grafurlor. Crcutele electrce se caracterzează dn punct de vedere topologc prn graful lor. Graful unu crcut se obţne înlocund, în schema electrcă, elementele pasve prn smple ln, generatoarele deale de tensune prn scurtcrcute, ar generatoarele deale de curent prntr-o latură întreruptă (bornă în gol). n graf este alcătut dn nodur ş latur. Dacă unu crcut electrc se asocază fecăre latur un sens de trecere al curentulu, graful asocat crcutulu se numeşte graf orentat. Nodul este punctul de conexune a cel puţn tre elemente de crcut. Dacă numărul de elemente de crcut este ma mc de tre nodul este fctv (supernod sau legătură echpotenţală). atura reprezntă legătura dntre nodur pe care exstă cel puţn un element de crcut. aturle ce nu conţn elemente de crcut s unt la tur scurtcrcutare. Nodurle conectate de laturle fctve au acelaş potenţal. n graf se numeşte conex dacă de la un nod oarecare al crcutulu se poate trece, parcurgând exclusv latur ale grafulu, la orce alt nod al acestua. Fg..68 n graf neconex poate f transformat într-un graf conex prn legarea la pământ a unu nod (prn alegerea unu potenţal de refernţă). n rol mportant în studul propretăţlor topologce ale grafurlor îl au bucla ş arborele. Bucla reprezntă totaltatea laturlor ce formează o curbă închsă. Arborele reprezntă legătura între toate nodurle unu crcut (graf) fără a forma bucle. 63

65 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce aturle ce aparţn arborelu se numesc ramur: ra. N otând c u n - numărul de nodur ale unu graf ş cu l - numărul de latur atunc, conform Enunţ arborelu, ramurle satsfac relaţa ran-. Observaţe: Într-un graf, ndferent de arborele ales, numărul de ramur este acelaş (ran-). aturle unu graf ce nu aparţn arborelu se numesc coarde sau oncţun. Numm buclă ndependentă, buclele ce conţn cel puţn o latură care nu aparţne celorlalte bucle. Modul cel ma smplu de a determna buclele ndependente este de ataşare a une coarde arborelu. Exemplu: Graful ataşat punţ Wheatstone admte arbor: Fg..69 Pentru graful dn stânga: - laturle,5 ale arborelu latura (coarda) formează bucla ; - laturle 4,5 (arbore) latura 3 formează bucla ; - laturle,4 latura 6 formează bucla. Concluz:. Numărul buclelor ndependente este egal cu numărul de coarde (bl-ra).. Numărul de latur ale unu crcut satsface relaţa lrab. Matrcle topologce ale unu crcut electrc Grafurle servesc l a lustrarea p ropretăţlor topologce ale crcutelor ar matrcle servesc la descrerea canttatvă a acestor propretăţ. În analza crcutelor se procedează astfel: - se desenează graful orentat ( graful cu sensurle curenţlor în latur); 64

66 Captolul. Concepte de bază ale teore crcutelor - se alege un arbore prncpal construndu-se buclele ndependente ş alegându-se un sens de parcurgere a fecăre bucle, consderat sens de refernţă. - se defnesc matrcle topologce ale crcutulu Matrcea de ncdenţă a laturlor la nodur [Ao]n l matrce cu dmensunea nodur x latur, de coefcenţ α, defnţ astfel:, dacă latura α, dacă latura, dacă latura ese dn nodul nt ră dnnodul nu este conectată la nodul Dacă se înlătură o lne oarecare în m atrcea [ ] A nxl se obţne matrcea redusă [ A ]. S uprmarea l ne c orespunde a leger nodul u nxl respectv ca nod de refernţă. Matrcea de apartenenţă a laturlor la bucle (ochur) - [ B] bxl este o matrce cu dmensunea bucle ndependente x latur, cu coefcenţ β b defnţ astfel: β, daca latura apartne bucle b( o) cu sensul de parcurgere al dentc cu sensul de refer nt a ales, daca latura apartne bucle b( o), dar cu sens opus sensulu de parcurgere al bucle, daca latura nu apartne bucle b( o) latur 65

67

68 CAPTO. TEHNCA ANAZE CCTEO. Tehnca transformăr surselor ş crcutulu Analza c rcutelor est e u n p roces sp ecfc d e d etermnare, prn calcul, a tensunlor ş curenţlor cunoscând sursele ş parametr crcutulu. O rce c rcut, exctat de surse, pr oduce un răspuns î n tensune sau curent. S copul an alze c rcutelor est e d e a d etermna răspunsul unu crcut la exctaţ date. Problema nversă, de determnare a crcutulu cunoscând exctaţle ş răspunsurle, este o problemă de snteză a crcutelor. evennd la analza crcutelor, aceasta urmăreşte determnarea smţulu fzc pentru crcute, prn învăţarea unor tehnc de analză. Orce analză presupune un suport matematc, însă, acest suport nu umbreşte sensul fzc al răspunsulu crcutulu. ăspunsul crcutulu poate f în curent sau în tensune. Analza crcutulu, în funcţe de răspuns, poate f: - analză în curent; - analză în tensune. Analza în curent presupune necunoscute ale crcutulu curenţ dn latur. Analza în tensune consderă că necunoscutele sunt tensunle de la bornele laturlor. În baza relaţlor de dependenţă tensune-curent de pe latur, se determnă tensunea (pentru analza în curent) sau curentul (pentru analza în tensune). Tehncle de analză a crcutelor se bazează pe aplcarea teoremelor Krchhoff, ndferent de tpul răspunsulu (curent sau tensune). Pentru crcutele complcate, aplcarea teoremelor Krchhoff conduce la ssteme de ecuaţ de mar dmensun, d fcl d e r ezolvat. O r educere a t mpulu d e calcul este posblă prn cunoaşterea tehnclor de analză. O prmă metodă de analză, utlzată în specal pentru crcutele smple, est e tehnca transformăr surselor ş a crcutulu, ut lzând teoremele d e echvalenţă ale surselor ş de reducere a crcutulu, teoreme prezentate în captolul anteror. 67

69 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Exemplfcăm această tehncă pe crcutul dn fgura.: V Fg.. În crcutul dn fg.., cunoscând sursele ş elementele de crcut pasve (rezstenţele) urmărm să determnăm valoarea tensun de la bornele rezstorulu de Ω. Soluţe: n prm pas în rezolvarea acestu crcut îl consttue transformarea acestua într-un crcut elementar prn transfgurarea surselor. Astfel, sursa de tensune de V ş rezstenţa de Ω este transformată într-o sursă reală de curent, ar sursa de curent de A ş rezstenţa de 8Ω într-o sursă reală de tensune, obţnând crcutul echvalent următor: Fg.. ezstenţele de Ω ş 3Ω se combnă într-o sngură rezstenţă paralel de Ω, ar rezstenţele de 5Ω ş 8Ω într-o rezstenţă sere de 3Ω. Pentru obţnerea unu crcut mult ma smplu se transformă sursa reală de curent (,5A) într-o sursă reală de tensune, obţnând: Fg..3 Cele două surse sere formează o sngură sursă de 4V de rezstenţă nternă 35Ω, ce debtează pe rezstenţa de Ω. S e d educe astfel tensunea la bornele rezstorulu de Ω. 4(/(5))4V (.) 68

70 Captolul. Tehnca analze crcutelor Problemă: Exersaţ această tehncă pe crcutul dn fg..4, determnând valoarea tensun de pe rezstorul de 4KΩ. Fg..4 Pentru rezolvarea c rcutelor c omplcate, a plcarea te hnc transformăr surselor ş crcutelor nu reduce semnfcatv tmpul de calcul. În această stuaţe trebue, pentru rezolvare, să apelăm la teoremele Krchhoff.. Analza crcutelor electrce cu autorul teoremelor Krchhoff Crcutul e lectrc este alcătut dn surse (generatoare electrce) ș receptoare (consumatoare electrce), conectate într-un anumt mod. Sursele produc energa electrcă. eceptoarele consumă energa electrcă, în sensul că energa electrcă este transformată în altă formă: energe termcă, mecancă, lumnoasă, acustcă etc. n crcut electrc are următoarea structură: - latur: porțun neramfcate de crcut pe care se află cel puțn o sursă sau un consumator; numărul de latur se notează cu l; - nodur: punctele de întâlnre (legătură sau conexune electrcă) a cel puțn tre latur; numărul de nodur se notează cu n; - bucle (ochur de crcut): porțun închse de crcut electrc, formate dn latur ș nodur; numărul de bucle se notează cu b sau o. În analza c rcutelor e lectrce c u a utorul te oremelor K rchhoff, prezentăm câteva consderaţ prvnd aplcarea practcă a teoremelor Krchhoff. Problema analze crcutelor se enunţă astfel: Cunoscând structura topologcă a crcutulu (latur, nodur, ochur) ş elementele de crcut de pe fecare latură (rezstenţe, bobne, condensatoare, surse), trebue să se determne curenţ tuturor laturlor ş tensunle la bornele elementelor de crcut. Toate acestea pot f calculate cu autorul teoremelor Krchhoff? ăspunsul este afrmatv, deoarece numărul necunoscutelor este dat de numărul laturlor dn crcut. Deoarece numărul laturlor este egal cu numărul ramurlor ş oncţunlor (coardelor), ar teorema Krchhoff (TK) se aplcă pe numărul de ramur, ar teorema Krchhoff (TK) pe numărul 69

71 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce de ochur (bucle, coarde), rezultă un ssteme de l ecuaţ cu l necunoscute. l ra b ( n ) b, (.) T K Sstemul celor l ecuaţ se compune dn: - (n-) - ecuaţ nodale (TK); - b - ecuaţ de ochur (bucle) (TK). Pentru rezolvare trebue ales sensul curenţlor ş tensunlor prn elementele de crcut. Se a un sens de refernţă arbtrar ales pentru fecare latură ca fnd sensul curentulu. ndcaţ: - pentru laturle ce conţn surse sensul curentulu se consderă în sensul surse; - în celelalte latur se a sensul curentulu cât ma apropat de cel fzc. 3 - se asocază fecăre latur regula de la receptoare (ambele mărm ntră sau es dn nod fg..5). T K Fg..5 Dacă, în urma calcululu, curentul în latur a rezultat poztv, atunc sensul, arbtrar ales, este sensul real. Dacă a rezultat negatv, atunc în latura sau laturle respectve, sensul real este opus celu arbtrar ales. Se alege p e f ecare och ( buclă) un sen s ar btrar d e p arcurgere. Semnul tensun de la bornele elementelor de crcut este poztv dacă, sensul tensun concde (cu regula asocată de la receptoare) cu sensul de parcurgere. În caz contrar, semnul tensun este negatv... Screrea matrceală a teoremelor lu Krchhoff A. Teorema Krchhoff: Teorema ne arată că suma algebrcă a ntenstăţlor curenţlor dn laturle concurente unu nod este nulă. 7

72 Captolul. Tehnca analze crcutelor ( ), ( latura), (.3) Această teoremă poate f formulată în aşa fel încât să ntervnă numa valorle absolute ale tuturor curenţlor laturlor dn crcut ş anume: l α, (.4) K,, dacă, curentul dn latura ese prn nodul unde: α K, dacă, curentul dn latura nt ră prn nodul, dacă latura nu concură în nodul elaţa de ma sus (TK) este valablă în orce nod ş întrucât TK se aplcă pe cele (n-) nodur, rezultă (orce combnaţe lnară de sume nule sumă nulă): n l α (.5) K, relaţe ce se poate exprma desfăşurat astfel: α α α... α sau matrceal:.... α, n,, α n,,3 α 3 n,3 3, l... α [, ( n) xl l x l n, l l (.6) α ] [ ] (.7) Forma matrceală a teoreme Krchhoff se poate scre: [ A] ( n ) x l [ ] (.8) unde: - [A] - matrcea redusă de ncdenţă a laturlor la nodur, matrce cu dmensunea [( n ) l] ; - [ ] - matrcea coloană a curenţlor dn laturle crcutulu, dmensunea matrc fnd l. B. Teorema Krchhoff Enunţ: Suma tensunlor la bornele laturlor ce formează un och este nulă. ( m) u (.9) 7

73 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce (numa laturle (m), m-och) Ş această teoremă poate f formulată în funcţe de valorle absolute ale tensunlor tuturor laturlor astfel: l β (.) m u unde:, sensul tensun dn latura este dentc cu sensul de parcurgere βm, sensul tensun dn latura este opus sensulu de parcurgere, daca latura nu apartne ochulu m Întrucât TK se aplcă tuturor celor o ochur ndependente, rezultă următorul sstem de ecuaţ de ochur. o l β u m sau matrceal [ ] [ ] o l u l m unde [ B ] o l este matrcea de ncdenţă a laturlor la ochur. B (.) C. Ecuaţa Joubert sub formă matrceală Consderând latura a unu crcut ce conţne t.e.m. e ş operator de mpedanţă z, c urentul p rn la tura asocat co nform r egul d e l a receptoare, prn aplcarea teoreme Krchhoff, ş consderând tensunea la bornele latur rezultă: e z u Fg..6 Ecuaţa de ma sus poate f scrsă ş în forma: e z (.) denumtă ecuaţa Joubert a latur. 7

74 Dscuţe: Captolul. Tehnca analze crcutelor Ecuaţa exprmă dependenţa curentulu prn latură de t.e.m. a latur ş tensunea la bornele acestea. Practc prntr-o latură a unu crcut închs crculă curent dacă în latură exstă surse sau / ş tensune la bornele latur. Afrmaţa este valablă numa dacă operatorul latur este defnt ( z, ). Ecuaţa Joubert aplcată celor l latur ale unu crcut conduce la sstemul de ecuaţ: e u z e u z el ul zl (.3) sau în formă matrceală: z z [ e ] [ u ] [ ] l l l zl l l [ e ] [ u ] [ z ] [ ] (.4) e - reprezntă matrcea t.e.m. ale laturlor; unde: [ ] l [ ] l [ z ] l l [ ] l l u - reprezntă matrcea coloană a tensunlor la bornele laturlor; - matrcea operatorlor de mpedanţă propr a laturlor; - matrcea curenţlor laturlor. Obs: Matrcea operatorlor de mpedanţă conţne elemente supradagonale s au s ubdagonale nenule dacă laturle crcutulu sunt cuplate magnetc. D. A doua formulare matrceală a teoreme Krchhoff Înlocund ecuaţa matrceală Joubert în prma formulare a teoreme Krchhoff, rezultă: sau în forma matrceală: o l m m o l m ( z e ) β u β (.5) o m m l o l m β e z (.6) m 73

75 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce [ ] [ ] o [ ] [ ] [ ] l e B o l z l l l l B (.7) Notând: s B ] [ e ] [ e - matrcea surselor pe ochurle ndependente. - [ o l l ] o - [ B] o l[ z ] l [ zm ] o - matrcea operatorlor de mpedanţă a laturlor - se obţne a doua formă a teoreme Krchhoff î n e xprmare matrceală scrsă matematc astfel: s e z (.8) [ ] o [ m ] [ ] o l l.. Consecnţe ale teoremelor Krchhoff ş a relaţe fundamentale a teore grafurlor Numărul laturlor unu crcut notat l este compus dn ramur r a ş oncţun b. Pentru rezolvarea acestu crcut numărul ecuaţlor trebue să fe egal cu numărul necunoscutelor. Sstemul de ecuaţ ce redă soluţle crcutulu se obţne dn aplcarea teoremelor Krchhoff. Î ntrucât l ra b ( n ) b, ar TK se aplcă nodurlor ş TK se aplcă pe ochur (bucle), rezultă aplcarea de (n-) or a teoreme Krchhoff ş de b or a TK: l ( n ) b (.9) TK A. Curenţ ndependenţ a unu crcut electrc Aplcarea TK furnzează (n-) ecuaţ nodale ce reprezntă relaţ de dependenţă între curenţ celor l latur ale unu crcut. Întrucât numărul ecuaţlor dn crcut este l ar (n-) curenţ sunt dependenţ, rezultă b curenţ lnar ndependenţ. Orce crcut electrc este caracterzat prn graful său. Alegând un arbore rezultă r a n ramur. C onstrund ochurle ( buclele) ndependente obţnem dn graful crcutulu b subgrafur de ochur parcurse de curenţ ndependenţ m (curenţ de ochur). Aceşt curenţ de ochur pot f determnaţ dn b ecuaţ de ochur dn aplcarea TK întrucât aceasta se aplcă pe ochur. Curenţ real dn laturle crcutulu sunt combnaţ lnare ale curenţlor ndependenţ (ochur). Cu alte cuvnte se poate consdera că crcutul electrc analzat se compune dn superpozţa topologcă a b crcute elementare. Exemplfcăm crcutele elementare pe crcutul dn fg..7a T K 74

76 Captolul. Tehnca analze crcutelor a) b) c) Fg..7 În fg..7.b a fost trasat arborele crcutulu ar în fg..7.c subgraful ochurlor ndependente. Curenţ ndependenţ dn subgraful ochurlor au sensul asocat de parcurgere al ochulu conform fgur. Întrucât dn superpozţa subgrafurlor o churlor s e reconsttue crcutul e lectrc, rezultă faptul că ntenstățle curenţlor real d n la turle crcutulu sunt superpozţa curenţlor dn ochurle (buclele) ndependente: exp m m m matrceal rmat m m m m m m m m m (.) Obs:. C urentul real dn latura este suma algebrcă a curenţlor dn ochurle cărora latura le aparţne.. Dacă curentul de och ( buclă) are sen sul cu rentulu r eal el se consderă poztv altfel negatv. 3. Întrucât graful se obţne dn superpozţa ochurlor ( buclelor) elementare, rezultă relaţa de dependenţă dntre curenţ real dn latură ş curenţ ndependenţ: o m m (.) care generalzată pentru toate laturle ale crcutulu conduce la forma matrceală : l o m m l β β sau în forma matrceală ] [ ] [ ] [ o m t v l l B 75

77 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Consecnţe: ) Aplcarea în tr-un c rcut a te oreme K rchhoff în e xprmarea curenţlor dn latur funcţe de curenţ ndependenţ, conduce la: t A ] [ ] [ A] [ B] [ ] (.) [ n l l n l l v m o Întrucât curenţ ndependenţ sunt dferţ de zero [ m ] rezultă: [ A ][ B] t (.3) adcă matrcele topologce ale unu crcut sunt ortogonale. ) Î nlocund curenţ de contur în forma matrceală a teoreme Krchhoff, rezultă un sstem de b ecuaţ cu b necunoscute. Soluţonarea acestu sstem permte determnarea curenţlor ndependenţ respectv a curenţlor dn laturle crcutulu: s [ B] o l[ z ] l l[ ] l [ e ] o (.4) t [ ] l [ B] l o[ m ] o Ecuaţa matrceală a curenţlor de contur este: t s t [ B ] o l[ z ] l l[ B] l o[ m] o [ e ] o, unde matrcea: [ z m, b] o o [ B] o l[ z ] l l[ B] l v reprezntă matrcea operatorlor de mpedanţă ale ochurlor ndependente. Screrea dezvoltată a sstemelor ecuaţlor de ochur conduce la un sstem de b ecuaţ cu b necunoscute m. v s zm z m... z om e o s zm z m... z om e o (.5) s zo m zo m... zoom e o o Observaţ: s ) T ermen d n m embrul d rept d e tp e o reprezntă suma t.e.m. întâlnte la parcurgerea ochulu o. ) Matrcea operatorlor de mpedanţă a ochurlor este o matrce pătratcă cu dmensunea o o ş conţne termen de forma z mb ş z mm. 3) T ermen de f orma z mb dn matrcea operatorlor de mpedanţă obţnuţ la ntersecţa lne m cu coloana b reprezntă operator de mpedanţă comun celor două ochur ş are forma: z β z β m,b - unde: - β m este coefcent al laturlor ce aparţn ochulu m. m b, 76

78 Captolul. Tehnca analze crcutelor - z este operatorul de mpedanţă al latur, latură ce aparţne atât ochulu m cât ş ochulu b. - b, β este coefcent al latur, ce aparţne ochulu b. Întrucât coefcenţ β m, ş b, β sunt a matrc topologce [B] ş ndcă apartenenţa latur la ochul m ş b, e pot f,,- după cum latura orentată aparţne ochulu în acelaş sens de parcurgere, nu aparţne, sau aparţne ochulu dar are sens opus parcurger acestua. În concluze, operatorul de mpedanţă comun ochurlor m ş b poate f: >, daca curent cclc parcurg latura n acelas sens ( βm <, βb < ) sau ( βm >, βb > ); <, daca curent cclc parcurg latura n sensur opuse zm, b βmz βb ( βm <, βb > ) sau ( βm <, βb > );, daca nt re cele doua ochur nu exsta nc o latura comuna. (.6) 3) Dacă între laturle ce aparţn ochulu m ş laturle ce aparţn ochulu b s unt cuplae magnetce, atunc operatorul de mpedanţă comun celor două ochur conţne ş eventualele cuplae magnetce cu semnul operatorulu de mpedanţă stablt la cuplae magnetce (funcţe de bornele polarzate ş sensul curenţlor cclc). 4) T ermen de f orma z m,m dn matrcea operatorlor de mpedanţă reprezntă suma operatorlor de mpedanţă întâlnţ la parcurgerea ochulu propru m. Semnul acestua este întotdeauna poztv întrucât z β z β β z >. (.7) m,m m m. m 4 ) Dacă între laturle ce aparţn aceluaș och (aceleaş bucle) sunt cuplae magnetce, operatorul de mpedanţă al ochulu conţne ş cuplaele dntre laturle ce aparţn aceluaş och. Semnul operatorulu datorat cuplaulu dntre laturle ce aparţn aceluaş och se stableşte în funcţe de sensul de trecere al curentulu de contur faţă de bornele polarzate ale elementelor de crcut. 77

79 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce B. Ecuaţ nodale ale unu crcut electrc (potenţale nodale) Efectuând o analză smlară cu a curenţlor de contur prvnd aplcarea te oremelor K rchhoff p entru re zolvarea u nu crcut electrc constatăm: - aplcarea teoreme Krchhoff pe un crcut cu l latur conduce la un sstem de b ecuaţ de dependenţă între tensunle de la bornele laturlor. Întrucât numărul de tensun la bornele laturlor este l, rezultă (n-) tensun ndependente. Determnarea celor (n-) tensun ndependente se face pornnd de la defnţa tensun la bornele une latur. Orce latură este conectată între două nodur ş ş-n consecnţă tensunea la bornele latur poate f scrsă ca dferenţă de potenţale ale nodurlor: Fecăru nod (,...,n) al crcutulu electrc se asocază un potenţal v conform defnţe potenţalulu. Alegerea nodulu n d e potenţal v n ca nod de refernţă nu modfca tensunle la bornele laturlor: ' ' v v vn, v v vn, etc. Tensunea une latur, defntă ca dferenţă de potenţal a nodurlor de co nectare, es te ndependentă de alegerea potenţalulu de refernţă ( v n sau punctul de la ): ' ' ' ' v v v ( v vn) ( v vn) v v (.8) În consecnţă, (n-) potenţale ataşate nodurlor crcutulu sunt ndependente ar c u a utorul lo r s e p ot d etermna te nsunle la bornele tuturor laturlor. Exemplfcăm această constatare pe crcutul dn fgura.8 Defnnd fecăru nod A, B, C, D potenţalele v A, vb, vc, vd, t ensunle l a bor nele laturlor sunt redate în fg..8: Fg..8 78

80 Captolul. Tehnca analze crcutelor D C B A matrceal sau A C C D C B D B D A B A v v v v u u u u u u v v u v v u v v u v v u v v u v v u (.9) În fnal rezultând: [ ] [ ] [ ] n t n l l v A u (.3) Alegerea unu nod de potenţal dat ca nod de refernţă mplcă suprmarea une coloane dn matrcea de ncdenţă a laturlor la n odur. ezultă astfel relaţa de dependenţă dntre tensunle la bornele laturlor ş potenţalele celor (n-) nodur: [ ] [ ] [ ] ) ( ) ( n t n l l v A u (.3) ezolvarea unu crcut electrc ce conţne l latur mplcă aplcarea TK de (n-) or ş a teoreme Krchhoff de b or rezolvare posblă dacă între tensunle la bornele laturlor ş curenţ dn latur este stabltă dependenţa prn ecuaţa Joubert: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] z u e u B A (.3) tlzarea v arablelor a uxlare v în r ezolvarea s stemulu d e ecuaţ reduce numărul de ecuaţ al sstemulu la (n-) ecuaţ nodale întrucât: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] t v A B u B cu [ ] v mplcă [ ] [ ] t A B (.33) Înmulţnd la stânga ecuaţa Joubert matrceală cu matrcea [ ] z rezultă: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] t v A z e z (.34) Notând: [ ] [ ] y z - matrcea operatorlor de admtanţă; [ ] [ ] [ ] l g l l l e y - matrcea necţlor de curent ale laturlor crcutulu; ecuaţa matrceală a nodurlor devne: 79

81 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce t [ A] ( n ) l [ g ] [ A] (n ) l [ y ] [ A] l (n ) [ v ] l l l (n) t [ A] [ y ] [ A] [ v ] [ A] [ ] sau Notând: - [ ] [ ] [ ] [ ] ( n ) l y A l ( n) y, s ( n) ( n ) nodurlor; l (.35) t A - matrcea admtanţelor s - [ A] ( n ) l [ g ] [ g ] (n) l g - matrcea necţlor de curent sau matrcea curenţlor nectaţ de surse în nodur, rezultă ecuaţa matrceală a nodurlor: s y v (.36) [. s ] [ ] [ ] ( n) ( n) ( n) g ( ) Consecnţe: ) Ecuaţa Joubert a une latur exprmă dependenţa tensun de la bornele latur de t.e.m. dn latură ş căderea de tensune de pe latură: e u z Aplcând teorema de echvalenţă a surselor reale de tensune în surse reale de curent se poate defn ecuaţa Joubert în curent. n sunt: Fg..9 e u e u z z z yug (.37) ecuaţa Joubert în tensune ecuaţa Joubert în curent Formele matrceale ale celor două ecuaţ pentru un crcut cu l latur - [ ] [ u ] [ z ] [ ] l l l l l e - ecuaţa matrceală Joubert în tensune; - [ ] [ y ] [ ] [ ] u l l l l g l - ecuaţa matrceală Joubert în curent. ) Între matrcea operatorlor de mpedanţă a laturlor ş matrcea operatorlor de admtanţă a laturlor exstă relaţa: z y (.38) [ ] [ ] l l l l 8

82 Captolul. Tehnca analze crcutelor 3) Matrcele topologce ale crcutulu sunt ortogonale: [ B ] [ A] t t t [ B] [ A] B A ( ) [ ] [ ] (.39) 4) Screrea dezvoltată a sstemulu de ecuaţ nodale conduce la: s yv yv... y,n vn g s yv yv... y,nvn g (.4) s yn, vn yn, v... yn,nvn g n ceea ce evdenţază: - termen dn membrul drept reprezntă suma curenţlor de scurtcrcut ce almentează nodul. Curentul de scurtcrcut al une latur reprezntă curentul ce trece prn latură, ca rezultat al decuplăr acestea dn crcut ş scurtcrcutăr capetelor latur (aducer în contact al nodurlor). - termen d e f orma y, s dn matrcea operatorlor de admtanţă reprezntă operator de admtanţă a laturlor comune nodurlor ş s ş are forma: unde: y,s α y α s (.4) α - coefcent de ncdenţă al latur la nodul ; y - operator de admtanţă al latur ; α - coefcent de ncdenţă al latur la nodul s s Întrucât y, s este operatorul latur ce conectează nodurle ş s, ar curentul prntr-o latură nu schmbă de sens, rezultă y,s α y α s <. - termen de forma y, reprezntă suma operatorlor de admtanţă a laturlor ce converg în nodul. Conform relaţe y, α y α α y > aceşt termen sunt întotdeauna poztv. Observaţ: În cazul exstenţe cuplaelor magnetce între laturle unu crcut aplcarea metode potenţalelor nodale este dfclă dn cauza semnulu cuplaulu în expresa termenlor y de admtanţă dntre nodur., s Observaţ generale refertoare la ara de aplcabltate a ecuaţlor de ochur ş ecuaţlor nodale: t 8

83 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce ) Sstemul ecuaţlor de ochur rezultă dn aplcarea teoreme Krchhoff pe ochurle ndependente ale unu crcut: Întrucât în formularea TK ntervn numa tensun (la borne, t.e.m., căder de tensun) aplcarea metode curenţlor de contur în crcute ce conţn surse de curent se f ace numa după echvalenţa acestora cu surse de tensune. Dacă sursele de curent sunt deale graful crcutulu degenerează. ) Sstemul ecuaţlor nodale rezultă dn aplcarea TK în cele (n-) nodur ale crcutulu. În formularea TK ntervn numa curenţ dn laturle crcutulu, motv pentru care sursele de tensune se vor echvala cu surse ce curent. În crcutele ce prezntă surse deale de tensune sstemul ecuaţlor nodale îş reduce numărul de ecuaţ. 3) În crcutele ce conţn surse comandate pentru rezolvarea crcutulu, ndferent de metoda abordată, sstemul de ecuaţ trebue completat cu relaţle de dependenţă ntroduse de sursele comandate..3 Tehnca analze în curent. Metoda curenţlor de contur. A. Analza în curent utlzând teoremele Krchhoff. Această analză presupune asocerea varablelor în întreg crcutul a curenţlor dn latur. Pentru rezolvare avem două posbltăţ: - utlzarea sstemelor de ecuaţ rezultat dn aplcarea teoremelor Krchhoff ş ; - rezolvarea sstemulu de ecuaţ al curenţlor ndependenţ. În prmul caz, sstemul matrcal al ecuaţlor este: [ A] ( n ) l [ ] l (.4) [ B ] o l [ z ] [ ] [ B] [ ] l o l e l (.43) Exemplfcăm metoda pe crcutul următor: Fg.. Pentru rezolvarea crcutulu se alege un sens arbtrar pentru curenţ dn latur respectând ndcaţle dn.. - se asocază fecăre latur regula de la receptoare; 8

84 Captolul. Tehnca analze crcutelor - se dentfcă ş numerotează fecare latură a crcutulu; - se dentfcă numărul de nodur ale crcutulu, alegând un nod de refernţă. După parcurgerea acestor etape crcutul devne: Fg.. Se trasează în contnuare graful orentat al c rcutulu a legând arborele (4,5,6) ş constrund ochurle (buclele) ndependente. Fg.. Se alege un sens de parcurgere al ochurlor ndependente. Pe baza grafulu se determnă matrcle de ncdenţă a laturlor la nodur ş de apartenenţă a laturlor la ochur. 83

85 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Matrcea mpedanţelor ochurlor este: (.44) ar matrcea surselor este: (.45) (.46) Notă: ndcele nferor al matrc ndcă dmensunea acestea (ln x coloane). Spre exemplfcare, matrcea [ Z ] m 3 6 are 3 ln ş 6 coloane. Înlocund în ecuaţa matrceală a teoremelor Krchhoff ş rezolvând, se obţn curenţ dn latur:,5 ma ; ma ; 3 ma ; 4,5mA ; 5,5mA ; 6 ma. Semnul mnus al curenţlor ş 5 ne arată faptul că aceşta au sens opus faţă de cel adoptat. Consecnţele analze în curent la rezolvarea crcutelor prn utlzarea teoremelor Krchhoff Ecuaţa matrceală : (.47) conţne: - - matrcea parametrlor crcutulu; - ma - matrcea necunoscutelor; matrcea surselor. Soluţa ecuaţe matrceale este: 84

86 Captolul. Tehnca analze crcutelor (.48) Dacă crcutul conţne surse de tensune ş de curent, dn cele l necunoscute al e c rcutulu, num a l-l reprezntă curenţ prn laturle crcutulu întrucât l curenţ a surselor de curent sunt cunoscuţ. Necunoscutele sstemulu de ecuaţ sunt, în acest caz l-l curenţ ş l t ensun l a b ornele g eneratoarelor de curent. Sstemul m atrceal a l ecuaţlor crcutulu se obţn prn evdenţerea în teoremele Krchhoff a laturlor ce conţn surse de curent. Astfel, presupunând l laturle ce conţn surse de curent în graful asocat c rcutulu, a ceste la tur n u n tervn în trucât mpedanţa nternă a surselor de curent este nfntă. Notând [A] matrcea de ncdenţă a celor l-l latur la nodurle crcutulu, respectv [B] matrcea de apartenenţă a laturlor la ochurle ( buclele) ndependente d mensunle acest or m atrc fnd: respectv Aceste matrc sunt denumte matrc reduse de ncdenţă a laturlor la nodur respectv de apartenenţă a laturlor la ochur. Evdenţem în matrcea crcutulu de ncdenţă a laturlor la nodur, matrcea redusă presupunând că laturle ce conţn surse de curent au fost ultmele numerotate. unde: (.49) (.5) Cu aceste notaţ teorema Krchhoff în forma matrceală devne: (.5) (.5) unde am evdenţat curenţ necunoscuţ prn laturle cu mpedanţe ş curenţ nectaţ dn laturle l. Grupând termen necunoscuţ ş cunoscuţ în ecuaţa matrceală de ma sus, obţnem pentru teorema Krchhoff expresa: 85

87 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce A ] [ ] [A ] [ ] (.53) [ g Procedând smlar în construcţa matrc de apartenenţă a laturlor la ochur pentru întreg crcutul, obţnem: respectv Teorema Krchhoff are, în acest caz, forma: (.54) (.55) ezolvarea crcutulu mplcă cuplarea ecuaţlor matrceale rezultate dn: - teorema Krchhoff : [ A ] [ ] [ A ] [ g ]; (.56) - teorema Krchhoff : [ B ] [ u ] [ B ] [ u ] ; (.57) - ecuaţa Joubert : (.58) Grupând ecuaţle matrceale ş separând termen necunoscuţ după înlocurea ecuaţe Joubert în teorema Krchhoff, va r ezulta s stemul matrceal: sau B. Metoda curenţlor de contur (.59) B. Crcute ce conţn surse reale Analza în curent, dn prezentarea făcută la punctul a, se bazează pe aplcarea teoremelor Krchhoff. Această tehncă conduce la rezolvarea unu sstem de ecuaţ egal cu numărul laturlor unu crcut electrc. O reducere semnfcatvă a sstemulu de ecuaţ, respectv a tmpulu de calcul se obţne prn utlzarea ecuaţlor curenţlor de contur. Metoda de rezolvare mplcă înlocurea varablelor reale (curenţ dn la tur) c u v arablele n dependente [curenţ de och ( buclă), ndependenţ sau de contur]. Analza crcutelor prn curenţ de contur ndcă o descompunere topologcă a crcutelor complcate în crcute smple numte ochur (bucle) dn a căror reunre se reconsttue crcutul nţal. 86

88 Captolul. Tehnca analze crcutelor Sstemul matrceal al ecuaţlor curenţlor de contur conduce la rezolvarea a b ecuaţ de ochur (bucle) de forma: z, m, z, m,... z, o m, o e () z, m, z, m,... z, o m, o e () (.6).. zo, m, zo, m,... zo, o m, o e ( o) unde: - z, - suma operatorlor de mpedanţă întâlnţ la parcurgerea ochulu (); - e - suma algebrcă a t.e.m. a surselor întâlnte la parcurgerea () ochulu (); z - suma operatorlor de mpedanţă a laturlor ce aparţn atât -, ochulu () cât ş ochulu (). Semnul operatorulu poate f poztv sau negatv, după cum curenţ de contur parcurg latura comună ochurlor, în acelaş sens sau în sensur opuse. Întrucât în screrea drectă a ecuaţlor de ochur ntervn căderle de tensune pe elementele de crcut ş t.e.m. ale surselor, sursele de curent trebuesc transformate în surse de tensune. Exemplul : Fg..3 Pentru aplcarea metode curenţlor de contur, se echvalează sursa reală de curent cu sursa reală de tensune. După aplcarea teoreme de echvalenţă a surselor, crcutul devne: Fg..4 87

89 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Crcutul obţnut conţne 3 latur ş două nodur. Asocnd sensur de trecere a cu renţlor prn laturle crcutulu, se poate trasa graful orentat al crcutulu, respectv buclele (ochurle) ndependente: Fg..5 dentfcând operator de mpedanţă a sstemulu ecuaţlor de contur obţnem z, 3KΩ, z, KΩ, z, z,, z, 4KΩ, m,, m,, 3 m, m,. ezultă astfel următorul sstem de ecuaţ de soluţonat: 3 m, m, 8 (.6) m, 4 m, Metoda a -a Această metodă de rezolvare a crcutulu presupune determnarea grafulu orentat al crcutulu ş având în vedere că în graful asocat sursele de tensune se înlocuesc prn scurtcrcute( dacă sunt surse deale), a r sursele de curent prn rezstenţă nfntă (borne în gol). Prn această metodă se obţn buclele (ochurle) ndependente ale crcutulu. Fg..6 Observaţe: Graful unu crcut electrc ce conţne sursă de curent se reduce. Graful p ermte d etermnarea b uclelor (ochurlor) ndependente necunoscute. educerea numărulu laturlor crcutulu este evdentă prn echvalenţa surse de curent în sursă de tensune. Întrucât crcutul real nu poate f reconsttut dn curenţ de buclă (och) a grafulu rezultă că crcutul real ma conţne un curent de buclă 88

90 Captolul. Tehnca analze crcutelor (och) cunoscut, curent mpus de sursa de curent dacă ea ar acţona sngură pe acel contur. curenţ: Fg..7 Crcutul re al e ste f ormat d n tre bucle (ochur) parcurse d e ş m - necunoscuţ; - m - m 3 g 3mA cunoscut (mpus de sursa de curent). Sstemul ecuaţlor de ochur este, în acest caz, următorul: echvalent, după înlocur, cu: (.6) (.63) Concluz:. Or de câte or într-un crcut electrc debtează o sursă de curent, se construeşte o buclă (un och) ce va conţne numa această sursă. Curentul dn această buclă (acest och), este cunoscut fnd mpus de sursa de curent.. Graful asocat crcutulu permte determnarea celorlalţ curenţ ndependenţ (necunoscuţ) a crcutulu. B. Crcute ce conţn surse deale de curent. Se consderă crcutul dn fgura următoare ce conţne pe una dn latur o sursă deală de curent. ezolvarea acestu crcut prn metoda curenţlor de contur presupune determnarea buclelor (ochurlor) ndependente pentru care să se scre ecuaţle de ochur (bucle). Analza topologcă a crcutulu ndcă: - l 6; - n 4; - o l - (n ) 3. 89

91 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Întrucât graful asocat crcutulu nu conţne latura surse de curent, rezultă că pentru reconstturea crcutulu real, sursa de curent debtează pe o buclă ndependentă (un och ndependent). Fg..8 Obs: Graful orentat admte două bucle (ochur) ndependente. Crcut electrc Buclele ndependente ce reconsttue crcutul electrc Fg.. 9 Sstemul ecuaţlor de ochur (bucle) conţne do curenţ ndependenţ necunoscuţ m ş m ş un curent ndependent mpus de sursa de curent m3,5 ma. Sstemul de ecuaţ al crcutulu este: : 8 m (4,5) () ( 3) m m3 : 8 m () () () m m (.64) 3 : m,5 3 ar relaţle între curenţ ndependenţ ş curenţ real sunt: m m ; m ; 3 m ; 4 m ; m 3 5 m m (.65) 3 Concluze: Or de câte or avem o sursă ndependentă de curent sstemul ecuaţlor de ochur se reduce. B.3 Crcute ce conţn surse dependente Sursele de pendente pot f de t ensune s au de c urent c u c ontrol în tensune sau curent. Analza crcutelor prn metoda curenţlor de contur aplcându-se pe ochur, prezenţa surselor dependente de tensune cu control în curent sau tensune nu rdcă probleme în screrea ecuaţlor de ochur. 9

92 Captolul. Tehnca analze crcutelor Întrucât sstemul ecuaţlor de ochur are dmensunea b, egală cu numărul de ochur ndependente, ar sursa dependentă ntroduce o necunoscută (mărmea prn care este controlată sursa) pentru rezolvare sstemul trebue completat cu relaţa de dependenţă a surse controlate. Exemplul : Evdenţem prn crcutul următor modul de tratare al surse dependente n screrea sstemulu de ecuaţ al curenţlor de contur: În ecuaţle ochurlor sursa dependentă o tratăm ca pe o sursă ndependentă ar apo screm ecuaţa de dependenţă. Pentru crcutul analzat putem defn: : v x m (6 8 4) m (8) : 8 v x m 8 m (3 8 ) elaţa de dependenţă ntrodusă de sursa controlată este : v x 6 6 m Analza topologcă: - l3; - n; - ol-n. Concluz:. O sursă dependentă conduce la creşterea numărulu de necunoscute ş mplct a numărulu de ecuaţ pentru soluţonarea crcutulu.. În screrea sstemulu ecuaţlor de ochur sursa dependentă este tratată ca o sursă de t.e.m. cu valoare cunoscută (ex: vx), urmând ca apo să- fe redată dependenţa prntr-o ecuaţe suplmentară. Exemplul În c rcutele c e conţn surse de curent controlate în curent sau tensune, tehnca rezolvăr este smlara cele prezentate la surse ndependente de curent. Î n pr ncpu, a ceasta t ehnca pr esupune e vtarea latur surse de curent. În acest caz g raful asocat crcutulu degenerează, ar sstemul ecuaţlor de ochur îş reduce ordnul. 9

93 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Sstemul ecuaţlor ochurlor este : ) 6 m( 3) m () m3 (3) ) () (5 4) (5) 6 m m m3,5 cu m3 x x m m3 Obţnem astfel sstemul de ecuaţ de 3 ecuaţ cu tre necunoscute: 6 m 5 (,5 x ) 3 9 (,5 ) 5 6 m x,5 x m m3 Observaţ - Prezenţa surse de curent reduce numărul ecuaţlor de ochur, dar dependenţa surse ntroduce o ecuaţe suplmentară. - Sursa dependentă a fost tratată în rezolvarea probleme ca o sursă ndependentă, după care sstemul ecuaţlor a fost completat cu relaţa de dependenţă ntrodusă de sursă. Temă: - Să se rezolve prn metoda curenţlor de contur crcutele: a) b) Fg...4 Tehnca analze în tensune a crcutelor electrce Acest tp de analză presupune asocerea varablelor ndependente pe întreg crcutul, a tensunlor de la bornele laturlor. Cunoaşterea acestor 9

94 Captolul. Tehnca analze crcutelor tensun c onduce la determnarea curenţlor dn laturle crcutulu, dn ecuaţa Joubert în curent. Analza în tensune a crcutelor se poate face dn sstemul ecuaţlor Krchhoff sau cu ecuaţle nodale. A. Analza în tensune utlzând teoremele Krchhoff Sstemul matrceal a l te oremelor lu Krchhoff p entru un crcut cu l latur conduce la un sstem de l ecuaţ cu (n-) necunoscute furnzate de T s b necunoscute furnzate de T. tlzarea ecuaţe Joubert matrceală în curent : [ ] [ ] [ ] [ g ] S y lx u lxl lx lxl în T conduce la un sstem de ecuaţ cu l tensun necunoscute l a bornele laturlor necunoscute. Sstemul matrceal al analze n tensune este: [ A] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] S [ ] [ ] S ( n ) xl y u A ( n ) xl g lx g lx ( n) x (.66) B oxl u Notând [ y, ] [ A] (n )xl [ y ] (n )xl lxl - matrcea operatorlor de admtanţă a laturlor conectate în nodurle, rezultă ecuaţa matrceală: ' [ K ] [ u ] [ S ] lx u lxl lxl matrcea surselor matrcea necunoscutelor matrcea parametrlor Deoarece an alza î n t ensune cu a utorul t eoremelor K rchhoff n u reduce numărul ecuaţlor ş mplct al necunoscutelor, nu nsstăm în prezentarea rezolvăr aceste metode. Ea se pretează numa în rezolvarea numercă. B. Metoda potenţalelor nodale de analză a crcutelor. B. Crcute cu surse reale ndependente Metoda potenţalelor nodale de analză a crcutelor electrce presupune î nlocurea v arablelor reale cu varablele a uxlare (ndependente), care sunt potenţalele ataşate nodurlor. Sstemul ecuaţlor nodale conduce la rezolvarea a (n-) ecuaţ obţnute prn aplcarea teoreme a lu Krchhoff. 93

95 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Întrucât ecuaţle nodale sunt obţnute dn T rezultă că forma drectă de screre a sstemulu ecuaţlor nodale este folostă numa în crcutele ce conţn surse de curent. Dacă crcutul conţne surse de tensune, acestea vor f transformate prn teoremele de echvalenţă în surse de curent. Sstemul ecuaţlor de ochur în formă drectă este: S y, v y, v y,3 v3... y, n vn g () (.67) S y v y v... y v,,, n n g () unde: - y, - suma operatorlor de admtanţă a laturlor conectate în nodul ; - y,s - suma operatorlor de admtanţă a laturlor ce leagă nodurle ş s; - () s g - suma curenţlor de scurtcrcut ce almentează nodul sau suma surselor de curent ce almentează nodul. Exemple:. În crcutul dn fgura de ma os sunt cunoscute sursele ş parametr crcutulu. Să se determne potenţalele nodurlor, respectv tensunle la bornele laturlor.. Fg.. Analza topologcă: - l5; - n3; - ol-n3. Metoda de rezolvare.. dentfcăm dacă sursele de tensune pot f transformate în surse de curent. Crcutul obţnut este redat în fgura. Fg.. 94

96 Captolul. Tehnca analze crcutelor. Ataşăm fecăru nod un potenţal v ş alegem un nod de refernţă cu potenţal dentc nul (v3). 3. Dacă sursele de tensune pot f transformate în surse d e cu rent, aplcăm în formă drectă ecuaţle nodale ataşate nodurlor v ş v. S s y v y v g ; y v y v ( g ) ; (.68) () unde: - y - suma conductanţelor laturlor conectate în nodul ; - y - suma conductanţelor laturlor dntre nodurle ş. dentfcând operator de admtanţă obţnem: y,, y, y, (.69) 4 S 9 S g, g 5 () 3 () Observaţe: Tensunle sunt exprmate în V, rezstenţele în KΩ, ar curenţ în ma. Sstemul ecuaţlor nodale ataşat crcutulu este: 9 v v (.7) 5 v v 4 4 ezolvat prn elmnare gaussană admte soluţle: v V, v 6V. B. Crcute ce conţn surse deale Deoarece sstemul ecuaţlor nodale se obţne dn aplcarea TK, exstenţa surse deale de curent în crcutul analzat nu creează probleme de aplcare a metode potenţalelor nodale. Sursa de tensune deală într-un astfel de crcut, pentru nenţaţ, poate consttu un obstacol. O aprofundare a rolulu ş funcţonăr aceste surse c onsttue un prm pas în depăşrea acestu obstacol. Al dolea pas în rezolvarea probleme de analză îl consttue aprofundarea metode potenţalelor nodale, ş anume trebue reţnută dea că metoda provne dn aplcarea TK în cele n- nodur ale crcutulu. Să detalem aceste afrmaţ. Sursa deală de tensune, conform celor expuse în captolul, are propretatea că debtează t.e.m. ndferent de încărcare (curent). În consecnţă, t.e.m. a aceste surse este mpusă. Întrucât sursa este conectată la 95

97 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce două nodur, potenţalele ataşate acestor nodur sunt dependente, relaţa de dependenţă dntre ele este dată de t.e.m. a surse deale. Exemplfcăm această afrmaţe pe crcutul următor: Fg..3 Ecuaţa Joubert în tensune a latur 6 este: e6 u 6 z 6 6, cu z 6 (rezstenţă nulă). rezultând: e6 v v3 sau e 6 v v3 8 v. Dacă acest crcut este pasvzat, nodurle ş 3 consttue un sngur nod fctv. A plcarea metode de screre drectă a sstemulu de ecuaţ nodale nu este posblă, deoarece admtanţa latur 6 este nfntă. În acest caz trebue să depăşm al dolea obstacol în rezolvarea crcutulu ş anume să pornm de la bazele metode (teoremele Krchhoff). Alegând v 4 rezultă, dn analza topologcă a crcutulu numărul de nodur în care se aplcă teorema Krchhoff ( n 3 ). Întrucât p rn pasvzare avem un nod fctv (între nodurle ş 3 (o latură cu mpedanţă nulă), aplcăm TK în nodurle: 3 6 () : 4 ; ( ş 3) : (.7) Cu alte cuvnte consderăm nodul suprapus nodulu 3 ş screm TK. Explctăm în sstemul de ecuaţ al crcutulu, curenţ dn latur prn ecuaţa Joubert (numa pentru laturle ce conţn operator de mpedanţă (laturle, 3, 4, 5)) : v v,5 v 33 (.7) v3 v 4 v3 5 În plus ţnem cont de relaţa de dependenţă ntrodusă între potenţale de sursa deală de t.e.m. v3 v 8. Înlocund în TK obţnem un sstem de ecuaţ cu necunoscutele ( v ş v). Concluz:. Prezenţa une surse deale de tensune într-un c rcut e lectrc reduce numărul potenţalelor necunoscute ş mplct a ecuaţlor nodale. 96

98 Captolul. Tehnca analze crcutelor. Potenţalele nodurlor la care se conectează sursa deală de tensune pot f cunoscute dacă unul dn nodur este ales de refernţă. B.3 Analza nodală în crcutele ce conţn surse dependente Sursele d e cu rent controlate în curent sau tensune nu rdcă probleme în rezolvarea nodală a crcutelor. Ele sunt tratate în screrea TK ca surse de curent ndependente, urmând a completa sstemul ecuaţlor nodale cu relaţle de dependenţă ntroduse de surse. Exemplul Crcute ce conţn surse de curent comandate în tensune(vccs). Să se determne potenţalele nodurlor pentru crcutul dn fgura următoare: Fg..4 Analza topologcă: - l6; - n4; - bl-n3; mpunem potenţal de refernţă v4. Ecuaţa Joubert a latur 6 ce conţne sursa deală de tensune conduce la: 5 v3 v3 5V, potenţal mpus de sursa ndependentă de tensune. Pentru rezolvarea crcutulu prn potenţale nodale se aplcă TK în nodurle necunoscute (v ş v). (v) : (v) : 3 Sstemul este completat cu relaţa de dependenţă a surse comandate:,5 v x,5 ( 4 ),5 (v ) întrucât v x (v ). Dn ecuaţle Joubert ale laturlor ce conţn operator de admtanţă (conductanţă) se determnă curenţ funcţe de potenţale astfel: v v3 v v v v3 v. (.73) ; 4 3 ; 3 4 ; 5 97

99 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce v, v v v v v, v v v v v v v v v (.74) Se obţne sstemul de 3 ecuaţ ce admte soluţle v3v, v9v: Exemplul Crcute ce conţn surse de tensune comandate în curent (CCVS) rmărm să aplcăm metoda potenţalelor nodale pe crcutul de ma os. Fg..5 Aplcând TK în nodul rezultă: 3, cu: 3 v, v 4 x, 3 3. (.75) Înlocund obţnem ecuaţa: 3 4 v 3 v x (.76) completată cu relaţa de dependenţă: 3 v x. Sstemul de ecuaţ este echvalent cu cel obţnut prn aplcarea drectă a metode potenţalelor nodale tratând sursa de tensune dependentă ca o sursă reală de tensune. 3 v v x x (.77) Soluţa sstemulu de ecuaţ este: v6v, ma. 98

100 Captolul. Tehnca analze crcutelor Exemplul nr.3 Crcut ce conţn surse de tensune comandate în tensune (VCVS) Prn acest exemplu evdenţem analza prn metoda potenţalelor nodale a crcutelor ce conţn surse deale de tensune comandate în tensune. Fg..6 Întrucât crcutul conţne o sursă deală de tensune potenţalul v3 este mpus d e aceast a v 3 vx. P entru r ezolvarea c rcutulu presupunem cunoscut acest potenţal în screrea ecuaţlor nodale. Aplcarea T!K în nodul ş.determnă: v v x (.78) echvalent cu v v v ) ( v v v ) ( v v x x x (.79) Concluz:. Tratarea surse dependente ca o sursă ndependentă conduce la reducerea sstemulu de ecuaţ noda le. T eorema Krchhoff se aplcă numa în nodurle la care nu se conectează sursele deale de tensune.. Ecuaţle nodale pentru a f rezolvate trebuesc completate cu relaţle de dependenţă mpuse de sursele comandate 99

101 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce.5 Analza crcutelor electrce utlzând prncpul superpozţe Prncpul superpozţe este larg folost în explcarea fenomenelor fzce complcate. El presupune descompunerea fenomenulu într-o sumă de fenomene smple. Acest prncpu a fost utlzat ş în analza crcutelor prn metoda curenţlor de contur. Superpozţa folostă a fost una topologcă unde crcutul este o superpozţe a buclelor (ochurlor) ndependente, elementele de crcut aparţnând ma multor bucle (ochur). Superpozţa buclelor (ochurlor) ndependente reconsttue crcutul analzat. În electrotehncă, prncpul superpozţe se aplcă ş în cazul exctaţlor (surselor) păstrând topologa crcutulu. El are următoarea formulare răspunsul stablt de generatoare într-o reţea lnară este egal cu suma răspunsurlor stablte de fecare generator dacă ar acţona sngur în reţea. Practc pentru o reţea ce conţne ma multe surse, răspunsul pe o latură pasvă este egal cu suma răspunsurlor fecăre surse dacă celelalte surse su nt p asvzate. P asvzarea su rselor u nu c rcut el ectrc p resupune înlocurea surselor cu rezstenţele (sau mpedanţele) nterne. Astfel: - sursele deale de tensune sunt înlocute prntr-o latură cu rezstenţă nulă (scurtcrcut) - sursele reale de tensune sunt înlocute prn mpedanţă(rezstenţă) nternă - sursele de curent prn borne în gol (crcut deschs) Această pasvzare este posblă numa pentru sursele ndependente fe de tensune f e d e cu rent ( Observaţe: Sursele dependente nu pot f pasvzate). Exemple de aplcare a prncpulu superpozţe. În crcutul următor acţonează două surse. Conform prncpulu expus avem: Fg..7 ezolvarea crcutulu nţal (ce conţne ma multe surse) presupune rezolvarea crcutelor elementare ce conţn o sngură sursă. Curentul sau tensunea la bornele une latur este suma algebrcă a curenţlor dn aceeaş latură, latură ce aparţne tuturor crcutelor elementare. Astfel:

102 ' " ' cu ' ' ' ' ' " " 4 " 5 " 6 " 3 cu Captolul. Tehnca analze crcutelor " 6 ( sursa " " 5 de curent ( sursa pasvzata ) de tensune pasvzata ) (.8) Crcutul ce conţne sursa de t.e.m. conţne două bucle (ochur). Pentru a rezolva se aplcă metodele prezentate (Krchhoff, curenţ contur, potenţale nodale). Aplcăm curenţ contur: ' ' 4 3 ma 4 3 m (6 3) m ma 9 3 ' ' 4 5 ma (.8) 7 m(5 ) m ma 7 ' m m ma 3 7 Crcutul ce conţne sursa de curent poate f r ezolvat a plcând tehnca transfgurăr ş reducer, astfel: 6 6 " " ma " 3 ma 9 3 " 4 ma (.8) 7 " 5 5 ma 7 " ma 3 7 Curenţ real a crcutulu sunt: ( sens opus)

103 ma, Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce 4 ma, ma ( sens opus prn latura ), 3 3 (.83) 4 ma, ma, mA Prncpul superpozţe se aplcă când în crcut acţonează surse de frecvenţe dferte. În acest caz fecare crcut elementar conţne surse de aceeaş frecvenţă.

104 CAPTO 3. TEOEMEE CCTEO EECTCE 3. Teorema substtuţe Crcutele electrce sunt formate dn elemente de crcut prevăzute cu legătur conductoare între ele. O latură a unu crcut electrc este un dpol ş este complet defntă de caracterstca - u. Acest dpol poate f pasv (conţne numa elemente,,c) sau actv. Faţă de bornele une latur reţeaua electrcă la rândul e poate f prvtă ca un dpol actv sau pasv. Să consderăm o latură oarecare dntr-o reţea, cărea se aplcă tensunea u la borne ş este parcursă de curentul. Fg. 3. Enunţ: Într-un crcut electrc o latură pasvă parcursă de curentul ş având la borne tensunea u, poate f substtută (înlocută) fe cu un generator de tensune fe cu un generator de curent. Fg. 3. Demonstraţe: Întrucât latura selectată este un dpol receptor ecuaţa Joubert în tensune cu r egula d e l a r eceptoare est e: u z, s au f orma 3

105 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce echvalentă z u. Comparând cu ecuaţa generală Joubert - pentru latur actve rezultă: - e z sau e u, (3.) - Aceasta reprezntă ecuaţa Joubert a latur ce conţne numa sursa deală de tensune electromotoare e. Ecuaţa Joubert în curent a une latur de operator y este: yug, (3.) Această ecuaţe presupune exstenţa în paralel la aceeaş tensune u a două latur parcurse de curenţ g ş yu. O sursă deală de curent are admtanţa y, ar curentul nectat sub tensunea u are valoarea g. În concluze, o latură pasva poate f înlocută : - cu o sursă deală de tensune (e-z) sursa ce are sens opus curentulu dn latură; - cu o sursă deală de curent (g) având orentarea în sensul curentulu dn latură. 3. Operatorul de mpedanţă nternă al reţele dpolare. ezstenţa nternă a unu dpol 3.. Operatorul de mpedanţă nternă al reţele dpolare. Într-o reţea electrcă orce element de crcut poate f consderat conectat împreună cu alte elemente de crcut ş în ansamblu formând reţeaua complexă. Putem să punem problema ş nvers ş anume că orce element de crcut poate f selectat dntr-o reţea complcată. În consecnţă reţeaua este formată dn module de crcut, module ce pot f desenate, construte, analzate, testate ş reparate separat. n sstem famlar este ofert d e el ectronca s stemelor au do u nde su nt co nectate împreună, prn cablu, casetofonul, aparatul de rado, pc-up-ul ş staţa de amplfcare. Orcare d ntre a ceste m odule (a parate p rvte n dvdual) s unt alcătute dn subansamble numte crcute. nele dntre aceste module sunt foarte m c ş consttue crcutele ntegrate. Aceste crcute ntegrate sunt alcătute dn zec sau char sute de elemente de crcut precum rezstoare, capactoare, bobne, dode, tranzstoare fabrcate în cp-ul de slcu. ndferent de structură ş complextate, crcutulu la eşre se cuplează o sarcnă. Faţă de bornele sarcn, crcutul poate f prvt ca un dpol actv. Acestu dpol asocat reţele sau crcutulu trebue să- determnăm parametr. Conform clasfcăr prezentate în captolul 4

106 Captolul 3. Teoremele crcutelor electrce elementele dpolare actve conţn o tensune electromotoare echvalentă ş un operator de mpedanţă nternă zech Să presupunem că crcutul arbtrar ales conţne surse de tensune ş surse de curent. nteresează în contnuare să determnăm valorle lmtă ale curentulu, respectv ale tensun ce pot f aplcate une sarcn conectate la bornele dpolulu. Cu alte cuvnte căutăm să determnăm caracterstca -u a dpolulu actv. Pentru a rezolva problema să consderăm conform fgur următoare drept sarcnă latura cu operatorul de mpedanţă z. Fg.3.3 Aşa cum am menţonat, urmărm să echvalăm, faţă, de bornele sarcn, crcutul cu un dpol actv. Pentru aceasta aplcăm pentru latura teorema substtuţe,latura ce o putem înlocu prntr-o sursă de curent g, ce are la b orne t ensunea u. Crcutulu astfel obţnut î aplcăm pentru determnarea curentulu debtat prncpul superpozţe: Fg. 3.4 Conform prncpulu superpozţe tensunea u este eg ală cu suma contrbuţlor fecăre surse la bornele latur dacă fecare ar acţona sngură în reţea celelalte fnd pasvzate: uuoug, unde: - ug se determnă prn aplcarea teoreme Krchhoff pe oc hul crcutulu pasvzat, ugzech;, (3.3) Înlocund rezultă; uuo-z, (3.4) Caracterstca -u a dpolulu are forma prezentată în fgura 3.5: 5

107 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Fg. 3.5 Analza curbe -u la bornele dpolulu actv evdenţază: - tensunea la bornele dpolulu este cuprnsă între ş tensunea de mers în gol u; u (,u). - funcţonarea în gol a dpolulu mplcă z, ar t ensunea l a borne este t.e.m. furnzată de dpolul actv. - în funcţonarea în scurtcrcut a dpolulu, curentul este lmtat de operatorul de mpedanţă nternă al dpolulu zech. Î n c. c. acest o perator reprezntă rezstenţa nternă a dpolulu. Concluz:. - Orce c rcut electrc faţă de două borne poate f reprezentat prntr-un dpol echvalent. T.e.m. a d polulu e ste t ensunea de mers în gol a dpolulu, ar rezstenţa nternă (operatorul de mpedanţă ntern) este rezstenţa faţă de cele două borne a crcutulu pasvzat.. - egmul de funcţonare al orcăru dpol electrc este cuprns între mersul în gol ş scurtcrcut. atura pasvă cu operatorul de mpedanţă z poate f înlocută în crcut ş prntr-o sursă de t.e.m. având sens opus curentulu dn crcut. Aplcând acestu crcut prncpul superpozţe, curentul debtat de dpolul actv este superpozţa curenţlor dn latura dacă în crcut ar acţona câte o sngură sursă, conform scheme următoare: Fg

108 Captolul 3. Teoremele crcutelor electrce Se obţne astfel relaţa curentulu debtat de un dpol actv: u sc -, (3.5) zech dentfcând cu relaţa curentulu debtat dn prmul caz, rezultă: u sc - valoarea curentulu de scurtcrcut între bornele unu dpol. zech Concluze:. Curentul debtat de un dpol actv poate lua valor (la sarcnă varablă) între (mersul în gol) ş valoarea de scurtcrcut (borne scurtcrcutate). ezstenţa nternă a unu dpol actv poate f determnată ca raport între tensunea de mers în gol ş curentul de scurtcrcut faţă de bornele analzate 3. În reţelele pasve (ce nu conţn surse în nteror) tensunea la mersul în gol este nulă, dar ş curentul de scurtcrcut este nul. În această stuaţe, rezstenţa (mpedanţa) nternă a dpolulu se poate determna almentând bornele dpolulu de la o sursă u ce debtează curentul. ezstenţa echvalentă (operatorul de mpedanţă echvalent)a reţele este raportul dntre tensunea aplcată ş curentul absorbt de crcut. u z ech (3.6) Concluze generală: O reţea oarecare (cu sau fără surse în nteror) faţă de două borne de acces poate f consderată un dpol echvalent care are ecuaţa: u u u sc - - (3.7) zech zech zech 3.. Determnarea rezstenţe echvalente a dpolulu actv Pentru un crcut (reţea) oarecare faţă de două borne de acces poate f determnată rezstenţa nternă (operatorul de mpedanţă nternă) a reţele prn două relaţ ş anume: u u ech sau ech pentru dpol pasv (3.8) sc Cele două relaţ ale rezstenţe nterne a unu dpol mplcă două metode de determnare a acestea ş anume: 7

109 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce. rezstenţa nternă a unu dpol este raportul dntre tensunea de mers în gol între cele două borne ş curentul de scurtcrcut,. rezstenţa nternă a unu dpol se obţne prn pasvzarea tuturor surselor ndependente dn crcut ş aplcarea la bornele de acces a une surse de t.e.m. cunoscută ş măsurarea(determnarea) curentulu absorbt de crcut. u ech (3.9) A) Determnarea rezstenţe echvalente în crcutele ce conţn surse ndependente Exemplul - Metoda Să consderăm dvzorul de tensune dn fgura următoare, almentat de la o sursă de 4V c.c. Tensunea de eşre a acestu crcut este tensunea de pe rezstorul Ω Fg. 3.7 Tensunea de mers în gol pe rezstorul de Ω este: Ω u ab 4V 6V (3.) ( 3) Ω Curentul de scurtcrcut între bornele a,b, are valoarea: 4V uabo 6V s ab, 8mA ; ech 7, 5Ω (3.) 3Ω s ab, 8mA - Metoda a -a Pasvzând crcutul faţă de bornele a,b, rezstenţă echvalentă este egală cu rezstenţa crcutulu: Fg. 3.8 ech 8

110 Captolul 3. Teoremele crcutelor electrce 3 3 ech 3 7, 5 Ω (3.) 3 4 ceea ce este echvalent cu almentarea crcutulu pasvzat de la o sursă exteroară de tensune aportul dntre tensunea aplcată ş curentul debtat reprezntă rezstenţa crcutulu. u ech (3.3) Fg.3.9 Exemplul - Metoda Se consderă crcutul dn fgura următoare ş se urmăreşte determnarea rezstenţe echvalente a crcutulu faţă de bornele A - B. Fg. 3. Metoda de determnare a rezstenţe echvalente presupune determnarea tensun de mers în gol ş a curentulu de scurtcrcut între A ş B. Determnarea tensun de mers în gol între bornele A ş B presupune aflarea potenţalelor punctelor A ş B dn crcutul obţnut prn scoaterea dn crcutul nţal a rezstenţe. Fg. 3. Prn înlăturarea rezstenţe, crcutul se smplfcă degenerând în 9 două bucle ndependente parcurse de curenţ ma ş 5mA 6 3 mpus de sursa ndependentă de curent. 9

111 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Tensunea între bornele A ş B se determnă ca dferenţă a potenţalelor punctelor A ş B, potenţale obţnute dn căderea de tensune pe rezstenţele de 6 Ω respectv Ω. Asocnd regula de la receptoare între tensune ş curent pe o rezstenţă obţnem: A 6 C VA VC B C VB VC A C B C VA VB V (3.4) Curentul d e s curtcrcut în tre b ornele A ş B se determnă prn scurtcrcutarea bornelor A ş B în crcutul nţal ş rezolvarea crcutulu obţnut Fg. 3. Curentul de scurtcrcut se determnă dn TK aplcata în nodul A (sau î n nodul B ) scab 6, unde ş 6 se determnă rezolvând crcutul. Aplcând metoda potenţalelor nodale se deduce: 9 V A 5 sau V A V (3.5) valoarea potenţalulu după scurtcrcutare. Curenţ au următoarele valor: 9 VA VA 4 ma ; 6 ma ; scab 4mA (3.6) ezstenţa echvalentă va f: AB 6V ech 4Ω (3.6) scab 4mA - Metoda -a presupune pasvzarea surselor deale obţnând crcutul de ma os: 36 ech (36) 4Ω (3.7) 9

112 Captolul 3. Teoremele crcutelor electrce Fg. 3.3 Aceeaş valoare a rezstenţe se obţne dacă în crcutul de ma sus se aplcă o tensune u de la o sursă care debtează curentul. Fg. 3.4 ezolvarea acestu c rcut co nduce l a ex presa rezstenţe echvalente: 36 ech 4Ω. (3.8) 3 6 B) Determnarea rezstenţe echvalente în crcutele care conţn surse dependente ezstenţa echvalentă a unu crcut faţă de două borne ale une latur p asve se d etermnă cu relaţle prezentate ma sus. În determnarea rezstenţe echvalente trebue să se ţnă seama că sursa dependentă nu se pasvzează deoarece aceasta debtează numa în prezenţa mărm de control. Să consderăm crcutul dn fgura următoare ş să exemplfcăm determnarea rezstenţe echvalente faţă de bornele A ş B, prn cele două metode : Fg. 3.5

113 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce - Metoda de d etermnare p resupune cal culul t ensun d e m ers î n gol (în absenţa rezstorulu de Ω) faţă de bornele A ş B ş a curentulu de scurtcrcut rezultat al scurtcrcutăr bornelor A,B. Cele două mărm se determnă dn crcutele de ma os. Fg. 3.6 Determnarea tensun de mers în gol În prmul crcut tensunea de mers în gol reprezntă tensunea de pe rezstorul de 4Ω, conform relaţe lu Ohm, AB 4. Curentul se determnă dn aplcarea TK pe ochul format dn sursele de t.e.m. 6V ş 5Vx ş rezstenţele de Ω ş 4Ω. Întrucât t.e.m. a surse dependente este necunoscută (controlată de Vx) ecuaţa obţnută dn TK trebue completată cu relaţa de dependenţă 6 5 ( 4 ) sau V x 6. ezultă astfel sstemul : 6 5V x ( 4) V x,5v 8 cu soluţle: (3.9) V x 6 9 ma 4 9 Se obţne astfel tensunea de mers în gol: AB 4 9V. (3.) 4 Determnarea curentulu de scurtcrcut Curentul de scurtcrcut între bornele A,B se determnă dn crcutul dn fgura b. Întrucât rezstenţa de 4Ω este scurtcrcutată, curentul prn crcut e ste curentul de scurtcrcut dntre bornele A ş B. Aplcând TK rezultă: scab 6 5V x, relaţe ce trebue completată cu ecuaţa de dependenţă a surse comandate: 5 V V V 5V cu soluta V cu soluţa: V (3.) x x x x x V x x

114 Captolul 3. Teoremele crcutelor electrce Fg V x În consecnţă: scab 3mA. (3.) AB 9 ezstenţa echvalentă a crcutulu este: ech 3KΩ.(3.3) scab 3 - Metoda a -a presupune pasvzarea surselor ndependente ş almentarea crcutulu de la o sursă pe la bornele A,B. Fg. 3.8 Presupunând sursa de almentare o sursă test cu t.e.m. egală cu untatea, rezstenţa echvalentă este dată de relaţa: ech. (3.4) Determnarea rezstenţe echvalente presupune rezolvarea crcutulu de ma sus determnând dependenţa dntre tensunea aplcată ş curentul absorbt de crcut. Fg. 3.9 În acest sens, aplcând metoda curenţlor ndependenţ, rezultă: 3

115 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce 5V x cu ar (3.5) 4 completată cu relaţa de dependenţă a surse comandate: 5 V x Vx. tlzând metoda elmnăr, rezultă: (3.6) 4 sau Înlocund în relaţa rezstenţe echvalente, se obţne: 3 ech 3Ω (3.7) Observaţe: În crcutele dpolare ce nu conţn surse ndependente, tensunea la mers în gol ş curentul de scurtcrcut sunt nule. În acest caz, pentru determnarea rezstenţe echvalente se aplcă a doua metoda (a almentăr de la o sursă test). 3.3 Teorema generatoarelor echvalente (Thévenn, Norton) Aşa cum am arătat, o reţea electrcă faţă de bornele une latur pasve oarecare poate f consderată un dpol actv. Curentul prn latura pasvă este dat de relaţle: u u u - (3.8) zech zech z În baza relaţlor de ma sus, une reţele lnare oarecare, se pot ataşa două reprezentăr echvalente Teorema generatorulu echvalent de tensune (Thévenn) Enunţ: Într-o reţea lnară actvă răspunsul în curent prntr-o latură pasvă u de operator Z este dat de relaţa:. z eh z 4

116 Captolul 3. Teoremele crcutelor electrce Demonstraţe: Consderând l atura de ope rator z aparţnând une reţele lnare actve cărea se aplcă teorema substtuţe tensunea la borne satsface relaţa: u u o z sau u u eh (3.9) zeh z eh Crcut lnar Fg. 3. u Întrucât Z, rezultă:. (3.3) zeh z În consecnţă, une reţele lnare actve faţă de două borne se poate ataşa un dpol echvalent de tensune electromotoare ş operator de mpedanţă nterna Zech. Ecuaţa tensun la bornele sarcn este: u u z. eh Observaţ:. Generatorul ech valent d e t ensune permte determnarea curentulu d ntr-o latură pasvă Z fără a necesta rezolvarea completă a crcutulu.. Orce reţea faţă de două borne poate f echvalată prntr-un generator echvalent Teorema generatorul echvalent de curent (Norton) Enunţ: " Într-o reţea lnară actvă răspunsul în tensune prntr-o latură sc pasvă de operator Y este dat de relaţa: u." y y ech 5

117 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Demonstraţe: Consderând o reţea lnară actvă dn care a fost selectată o latură d e o perator Z curentul prn latura, după aplcarea teoreme substtuţe ş a prncpulu superpozţe este dat de relaţa: sc. Zech Conform aceste relaţ rezultă curentul dn latura, care este dferenţa dntre curentul de scurtcrcut în absenţa încărcăr ş curentul ce se scurge prn operatorul mpedanţe echvalente a dpolulu. În consecnţă, dpolul e ste re prezentat p rntr-o sursă reală de curent, conform fgur următoare: Crcut nar Fg. 3. u u sc sc. Înlocund rezultă: u z y yech z zech (3.3) Observaţ:. Trecerea dn d pol e chvalent de t ensune î n d pol e chvalent de curent se poate face utlzând teorema de echvalenţă a surselor u reale de tensune în surse reale de curent în baza relaţlor: sc, dar zech z eh z ech. sc ; z eh Fg. 3.. Aplcarea practcă a generatorulu de tensune ş curent se face or de câte or dorm să smplfcăm rezolvarea unu crcut prn descompunerea 6

118 Captolul 3. Teoremele crcutelor electrce acestua în crcute elementare echvalente, sau când se urmăreşte răspunsul fe în curent fe în tensune pe o sngură latură. 3. Dn cele prezentate rezultă că orce reţea poate f reprezentată prntr-un dpol echvalent de tensune sau de curent. Se pune problema când este utl a reprezenta o reţea prntr-un dpol echvalent de tensune ş când prntr-un dpol echvalent de curent? ăspunsul îl găsm dacă analzăm efcenţa transferulu de putere către sarcnă (sau r andament). Dacă operatorul de mpedanţă al sarcn este mult ma mc decât operatorul echvalent al dpolulu, atunc redăm dpolul prn generator echvalent de curent. Z << Z ech, ar sc (curenţ mar). (3.3) Dacă Z << Z atunc schema echvalentă asocată dpolulu este ech de tp generator echvalent de tensune, întrucât căderea de tensune nternă pe dpol este mcă ş u u Exemple de transformare a crcutelor în dpol echvalent A) Crcute ce conţn surse ndependente Crcutul dn fgura următoare să se reducă la dpol echvalent faţă de rezstenţa de Ω conectată între bornele A ş B. Fg. 3.3 Faţă de rezstenţa de Ω conectată între bornele A ş B crcutul se descompune în do dpol echvalenţ. În consecnţă, zona dn stânga rezstenţe respectv dn dreapta poate f echvalată prn dpol echvalent de tensune sau de curent. eprezentarea d pollor î n c rcut ech valent d e tensune sau d e cu rent este funcţe de rezstenţa nternă echvalentă a dpolulu. Presupunem că reprezentăm crcutul în dpol echvalenţ de tensune ( Thévenn). În această stuaţe avem pentru crcutul dn stânga, respectv dn dreapta bornelor A,B de determnat tensunle de mers în gol ş rezstenţele echvalente ale dpollor. educerea la dpol echvalent a crcutulu d n s tânga s arcn p resupune re zolvarea c rcutulu dn fgura

119 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Fg. 3.4 Tensunea AB este tensunea de pe sursa de curent întrucât căderle de tensune pe rezstenţele de Ω, respectv 3Ω sunt nule. Aplcând TK rezultă: AB 3 3, 5 cu ş 3 necunoscute ce urmează a f determnate dn rezolvarea crcutulu următor: Fg. 3.5 Trecând în varable reale, rezultă: ma; m m,3,75ma;,3ma (3.33) 4 4 AB 3, 75, 3, 5 8, 5, 75 9V. (3.34) 3 respectv: m ( 3),3 3 8 m ma 4 ezstenţa echvalentă a dpolulu dn stânga se poate determna alegând metoda pasvzăr crcutulu, rezultând: 3K ech,5 3 ( ll 3) 5KΩ Fg. 3.6 educerea la d pol e chvalent a c rcutulu d n d reapta sarcn presupune determnarea tensun de mers în gol ş a rezstenţe echvalente ataşate crcutulu dn fgura 3.7 Dpolul echvalent dn dreapta bornelor A,B conţne necunoscutele AB ş ech. Tensunea electromotoare a dpolulu se determnă dn rezolvarea următorulu crcut: Fg

120 Captolul 3. Teoremele crcutelor electrce Asocnd curenţ, ş 3 prn laturle crcutulu de ma sus rezultă prn aplcarea relaţe lu Ohm: AB-, unde ne cunoscuta se determna dn aplcarea metode curenţlor ndependenţ: m ( 5 5 ) m 5 5 (3.35) ma m În urma rezolvăr obţnem: AB (,5) 5V. m ma; m, 5mA ; 4 Pentru d etermnarea r ezstenţe nterne ech se aplcă metoda pasvzăr surselor faţă de bornele A,B, obţnând: ech ll( 5 5 ) KΩ Fg. 3.8 În consecnţă, dpol echvalenţ a crcutulu analzat sunt: Fg. 3.9 Curentul total prn rezstenţa de Ω este suma algebrcă a curenţlor debtaţ de dpol echvalenţ conform relaţe: 9 5 AB, 7mA (3.36) 5 B) Crcute ce conţn surse dependente În crcutul dn fgura următoare să se determne dpolul echvalent faţă de bornele (A,B) latur ce conţne rezstenţa de 5Ω. 9

121 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Fg. 3.3 Dpolul echvalent asocat crcutulu faţă de bornele A,B este redat în fgura următoare: Fg. 3.3 Acest dpol conţne necunoscutele AB ş ech. D etermnarea acestora se face dn crcutul nţal în absenţa rezstenţe de 5Ω. Determnarea tensun de mers în gol AB - se face dn rezolvarea următorulu crcut: Fg. 3.3 Tensunea AB reprezntă tensunea de pe rezstorul de Ω sau tensunea de la bornele surse de curent controlată în tensune. AB 3 cu 3 necunoscută ce se determnă prn rezolvarea crcutulu de ma sus. Analza topologcă a crcutulu ndcă l6, n4, bln3. Metoda de rezolvare cea ma smplă este a curenţlor de contur întrucât dn cele tre ecuaţ de ochur, un curent este mpus de sursa ndependentă de curent. Curenţ ndependenţ asocaţ crcutulu sunt redaţ în fgura următoare, ar sstemul ecuaţlor de bucle este:

122 Captolul 3. Teoremele crcutelor electrce V m m m3 x ( 3 ) ma Fg m ( 3 ) ( ) Vx m3 m m tlzând metoda elmnăr necunoscutelor, obţnem: m-.7 ma, m.7 ma, Vx7V, 3-.4 ma (3.38) Tensunea de mers în gol va f : AB, 4 8V, car e ar e m3 (3.37) polartate opusă faţă de bornele A,B. Determnarea rezstenţe echvalente a dpolulu generator - se poate face prn metoda pasvzăr crcutulu ş almentăr pe la bornele A,B de la o sursă ndependentă de curent g ce ar e l a borne t ensunea ug, conform fgur următoare: Fg Crcutul poate f reprezentat ş în forma următoare: Fg Alegând potenţalul borne B de refernţă (VB) atunc potenţalul borne A este egal cu tensunea sub care sursa deală de curent g debtează VA

123 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce ezolvarea crcutulu prn metoda potenţalelor n odale p ermte determnarea dependenţe dntre tensunea ş curentul g de pe generatorul deal de curent. Se obţn: V g (3.39) 6 x cu tensunea Vx exprmată prn dvzorul de tensune: Înlocund, rezultă: V x 5 6 (3.4) 5 sau (3.4) g g ezstenţa echvalentă a crcutulu dpolar este: ech/ Ω (3.4) Crcutul analzat se comportă faţă de bornele A,B ale rezstenţe de 5Ω ca un dpol echvalent cu t.e.m. 8V ş rezstenţă nternă de Ω, reprezentat conform fgur următoare: Fg Teorema de conservare a puter nstantanee în crcutele electrce Puterea nstantanee a unu dpol reprezntă varaţa energe în tmp ş este egală în orce moment cu produsul tensune-curent l a bor nele dpolulu. dw p( t ) v( t ) ( t ) (3.43) dt dw sau p( t ) u( t ) ( t ) (3.44) dt Puterea nstantanee la bornele unu dpol este poztvă sau negatvă, funcţe de tpul dpolulu (generator sau receptor). Astfel ea este poztvă dacă este cedată de dpolul generator ş prmtă de dpolul receptor sau negatvă, dacă este cedată de dpolul receptor ş prmtă de dpolul generator. În reţelele electrce cu l latur ş n nodur, puterea nstantanee a reţele este suma puterlor nstantanee dn toate laturle crcutulu.

124 Captolul 3. Teoremele crcutelor electrce 3.4. Teorema de conservare a puter nstantanee în reţelele închse (zolate) conexe ş fără cuplae magnetce cu alte reţele. Enunţ: Puterea nstantanee a une reţele zolate egală cu suma puterlor nstantanee dn laturle crcutulu este nulă. l p (t) u (3.45) r Demonstraţe: elaţa puter nstantanee a une reţele poate f exprmată matrceal sub forma: t t pr (t) [u ] x [ ] xl [u ] xl [ ] lx (3.46) unde: u u [ u ] lx ;[ ] (3.47) u l Întrucât curenţ real dn laturle crcutulu pot f exprmaţ prn curenţ de bucle ar tensunle de la bornele laturlor prn potenţale ndependente: rezultă: (3.48) t t [ ] lx [B] lxv [ m ] ox ;[u ] lx [A] lx(n) [v ](n )x t t t t t [[A] [v ]] [B] [ ] [A] [B] [v ] [ ] p r (t) m m (3.49) Matrcle topologce ale crcutulu sunt ortogonale ş-n consecnţă produsul lor este nul. Consecnţă: Teorema de conservare a puter nstantanee a une reţele permte formularea ecuaţe de blanţ a puterlor (blanţ energetc). Această formulare se obţne prn înlocurea ecuaţe Joubert în teorema de conservare a puter nstantanee a reţele. t t p ( t ) [ u ] [ ] dar [ e ] [ u ] [ z ] [ ] (3.5) Înlocund rezultă: [ z ] [ ] [ e ] [ t (3.5) echvalentă cu: ( ) ] t t [ z ] lxl [ ] lx [ ] xl [ e ] lx [ ] xl. (3.5) Produsul dn membrul drept, ţnând cont de matrcea operatorlor de mpedanţă a laturlor poate f exprmată în forma: 3

125 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce l l l l l l z z... z z ],...,, [......z z... z (3.53) respectv membrul drept: [ ] l l l l l e e... e e,...,, e... e e (3.54) Întrucât operatorul de mpedanţă al une latur este: dt C dt d z (3.55) rezultă ecuaţa de blanţ energetc a puterlor: l l l l e dt C dt d (3.56) ce sntetc poate f scrsă sub forma: l l e m e dt dw dt dw p (3.57) Partcularzând pentru reţele de curent contnuu ecuaţa de blanţ a puterlor devne: l l E (3.58) Teorema de conservare a puter nstantanee în reţele deschse cu n borne de acces Fe o reţea deschsă cu ne borne de acces prn care se nectează curenţ, ar bornele au potenţalele v. Fg

126 Captolul 3. Teoremele crcutelor electrce Alegând potenţalul borne ne ca potenţal de refernţă rezultă tensunle dntre bornele exteroare: n n v v u. Conform teoreme substtuţe orce latură prn care trece curent ş are la borne tensune poate f înlocută fe prntr-o sursă de curent, fe prntro sursă de tensune rezultă că cele ne- latur exteroare corespunzătoare bornelor de acces pot f înlocute prn generatoare de curent. Aceste generatoare nectează în nodur curenţ ş au la borne tensunle n. În acest mod reţeaua deschsă cu l latur ş ne borne de acces a fost transformată într-o reţea închsă cu l(ne-) latur. Aplcând teorema de conservare a puter nstantanee în reţeaua închsă rezultă: e e n n l ) n ( l u u ) ( t p (3.59) Prmul termen dn relaţa de ma sus exprmă puterea nstantanee dn laturle nteroare ale reţele ar al dolea termen puterea nstantanee nectată pe la bornele de acces. elaţa de ma sus este echvalentă cu: e e e n n n l n n l v v u ) v ( v u (3.6) eţeaua cu ne borne d e acces co nsttue un m ultport ar su ma curenţlor ncdenț în bornele de acces este nulă ș rezultă: n n e (3.6) Alegerea potenţalulu borne ne potenţal de refernţă pentru întreaga reţea rezulta că puterea nstantanee a une reţele nteroare este egală în orce moment cu puterea nstantanee nectată pe la bornele de acces. l n e v u (3.6) Observaţe: Întrucât reţeaua deschsă analzată este arbtrară rezultă conform relaţe de ma sus că zolând o porţune de crcut dntr-o reţea în orce moment puterea nstantanee a porţun zolate este egală cu puterea nectată prn cele ne- borne de acces. Consecnţă: 5

127 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Înlocurea ecuaţe Joubert, defntă între tensunle ş curenţ de pe laturle nteroare ale reţele, în relaţa de conservare a puter nstantanee conduce la defnrea ecuaţe de blanţ a puterlor: Notând: acces. n e t t [ z ][ ][ ] [ e ][ ] v (3.63) n e p v - suma puterlor nstantanee nectate pe la bornele de p obţnem: b ne t s e [e ][ ] ne - puterea surselor dn reţeaua închsă. p - perderle Joule-entz dn reţeaua închsă dw dt p em p b p s Puterea maxmă transferată dpolulu echvalent în curent contnuu În acest captol se tratează numa transferul maxm de putere în reţele de c.c. Nu tratăm pentru cazul g eneral în trucât o peratorul d e d mpedanţă al une latur poate f z dt, ar nversul acest u operator în prezenţa une exctaţ varable în tmp presupune defnrea relaţe de nversune: y/z. evennd l a p uterea transferată în c.c. apare necestatea defnr condţlor pe care trebue să le îndeplnească sarcna pentru ca p uterea debtată de reţea pe această sarcnă să se maxmzeze. Orce reţea, faţă de bornele une latur pasve, poate f consderată un dpol echvalent f e d e tensune (Thévenn) fe de curent (Norton). dt C Fg Puterea nstantanee transferată sarcn este egală cu produsul dntre tensunea la bornele sarcn ş curentul absorbt de sarcnă, având expresa: 6

128 Captolul 3. Teoremele crcutelor electrce p (3.64) Exprmând curentul dn crcut cu autorul teoreme Krchhoff ş înlocund rezultă pentru dpolul echvalent de tensune: AB ; p AB (3.65) ech ( ech ) Puterea exprmată prn relaţa de ma sus admte un maxm pentru: p ; Înlocund în expresa puter condţa maxmă transferată unu dpol în c.c. AB AB p max 4 4 ech ech ech (3.66) rezultă puterea (3.67) Concluze: Condţa de maxmzare a puter transferate unu dpol de c.c. este ca rezstenţa dpolulu echvalent să fe egală cu rezstenţa latur (sarcn). Numm efcenţă a transferulu de putere (sau randament) raportul dntre puterea debtată pe consumator ş puterea surse: P P η (3.68) S În contnuare analzăm efcenţa transferulu de putere (sau randamentul) pe o rezstenţă de sarcnă când crcutul de almentare este reprezentat prn dpol echvalent de tensune sau de curent: a. Crcutul echvalent reprezentat prn dpol echvalent de tensune (Thévenn) P P S AB dar Fg AB ech P S ( ech ) (3.69) Efcenţa transferulu de putere (sau r andamentul) este exprmată prn raportul rezstenţă de sarcnă pe rezstenţă totală a crcutulu: 7

129 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce P η T (3.7) PS ech Pentru putere maxmă transferată sarcn, ech ar efcenţa transferulu (randamentul) este de 5%. P entru c a randamentul puter transferate să fe între 5 ş % trebue ca > ech. În consecnţă, or de câte or rezstenţa echvalentă este ma mcă decât rezstenţa de sarcnă dpolul echvalent este de tensune. În acest caz efcenţa transferulu este cuprnsă între η T (, 5 ). b. Crcute de almentare reprezentate prn dpol echvalent de curent (Norton) tlzarea d polulu d e c urent în re prezentarea c rcutelor d e almentare a sarcn conduce la următoarea relaţe a puter debtată pe sarcnă: ech p ech cu g obţnem: p g. ech ( ech ) (3.7) p Condţa de maxmzare ( )a acest e p uter l a sar cnă varablă conduce la ech ar v aloarea p uter m axme t ransferate este g pmax. 4 Efcenţa transferulu de putere pentru dpolul echvalent de curent este: P ech ech ech η unde P g, PS g g. PS ech ( ech ) ech (3.7) a putere maxmă transferată efcenţa dpolulu echvalent de curent este de 5%. Pentru ca efcenţa dpolulu să fe între,5- t rebue ca < ech. În aceste condţ or de câte or rezstenţa de sarcnă are valor ma m c d ecât r ezstenţa de sarcnă almentarea trebue făcută prntr-un dpol echvalent de curent Teoremele de transfgurare ş reducere a reţelelor electrce Teorema Mllman 8

130 Captolul 3. Teoremele crcutelor electrce Se consderă o reţea cu n nodur ş n ramur conectate în stea având potenţalele v, (,,...,n) ş vo potenţalul punctulu comun. Teoremă: Fg. 3.4 "Potenţalul vo al punctulu comun al reţele conectate în stea este dependent de potenţalelor celor n nodur prn relaţa: n v n y v z vo." (3.73) n n y z Demonstraţe: Aplcând teorema Krchhoff în nodul obţnem: Înlocund rezultă: n dar n v z v n v v v v (3.74) z z z z (3.75) Teorema de transfgurare a reţele stea în reţea trungh sau Y-Δ Fe o reţea deschsă în stea cu potenţale nodurlor v, v, v 3,v ar curenţ,, 3 ce parcurg operator de mpedanţă z, z, z3. Ne nteresează să determnăm condţa necesară ş sufcentă pentru a transfgura reţeaua stea n reţea polgon (trungh). 9

131 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce zolând reţeaua prntr-o suprafaţă închsă, această suprafaţă ntersectează reţeaua în tre borne de acces. În nterorul suprafeţe închse Σ fgurăm păstrând aceleaş borne de acces o subreţea polgon (trungh). Fg. 3.4 Conform t eoreme d e co nservare a p uter nstantanee, p uterea d n nterorul suprafeţe Σ este egală cu puterea nectată pe la bornele de acces. Pentru confguraţa stea: p 3 Y v p (3.76) Dn punct de vedere energetc orce element dn crcut este complet defnt de puterea nstantanee egală cu produsul curenttensune. Î n consecnţă, puterea dezvoltată în nterorul suprafeţe Σ, egală cu suma produselor dntre potenţale ş curenţ nectaţ pe la bornele de acces, trebue să fe aceeaş ndferent de confguraţa reţele dn nterorul suprafeţe Σ. Înlocund potenţalele bornelor de acces prn surse de tensune cu menţnerea potenţalulu bornelor de acces ş a curenţlor nectaţ prn nodur, în nterorul suprafeţe Σ obţnem pentru cele două confguraţ: Fg

132 Captolul 3. Teoremele crcutelor electrce Întrucât reţelele deschse stea sau trungh au fost transformate în reţele închse almentate de la cele tre surse pentru determnarea relaţlor de transfgurare aplcăm prncpul superpozţe. Fg Almentarea pe la bornele -: - pentru stea: v - v (z z ) ; - pentru trungh: v - v [ z ( z3 z) ] ; mpunând condţa de egaltate a potenţalelor ş curenţlor nectaţ prn nodurle de acces rezultă: z( z3 z3 ) () z z z (z3 z3 ) z z3 z3 Procedând smlar pentru almentarea pe la bornele -3 respectv 3- rezultă: z3( z z3 ) () z z3 z3 (z z3 ) z z3 z3 z3( z z3 ) (3) z z3 z3 (z z3 ) z z3 z3 Se obţne un sstem de tre ecuaţ ce tre necunoscute. elaţle pentru transformarea trungh - stea se obţn scăzând relaţa () dn relaţa() ş însumând rezultatul cu relaţa (): z z3 z3 z3 ()-() z z3 (4) z z3 z3 z z3 ()(4) z z z3 z3 Obţnem astfel: 3

133 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce z z z 3 (3.77) z z3 z3 Procedând smlar rezultă: z z Fg z z 3 (3.78) z z3 z3 z z (3.79) z z3 z3 elaţle pentru transformarea stea - trungh se obţn astfel: z ( z3 z3 ) z z z z3 z3 (3.8) z z 3 z z3 (3.8) z z z3 z3 z z3 z3 z (3.8) z z z3 z3 z z3 z3 z (3.83) Înlocund rezultă: 3

134 Captolul 3. Teoremele crcutelor electrce z z z z z z z z z z z z z z z z (3.84) ) ( ) ( ) ( z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z (3.85) z z z z z z z z z z z z z z z z z z z (3.86) ) ( ) ( 3 z z z z z z z z z z (3.87) 3 z z z z z z (3.88) Smlar: z z z z z z (3.89) z z z z z z (3.9) Observaţe: Operatorul de mpedanţă al latur partcularzat pentru latur rezstve z respectv p entru la tur n ductve dt d z sau s z permte determnarea relaţlor de transfgurare a rezstentelor r espectv a nductvtăţlor. În cazul condensatoarelor, operatorul de mpedanţă al latur este produsul a do scalar /C ş ntegrala în raport cu tmpul dt C z sau C s z. A stfel /C3/C/C3(/CC3)/(/C) ce după efectuarea calculelor rezultă C3CC3/(CCC3) 33

135 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Teoremele de reducere a reţelelor la dpol echvalent A. educerea reţele sere la dpol echvalent A. Fe o reţea cu s elemente cuplate magnetc conectată în sere: forma: Fg Tensunea pe elementul cuplat magnetc cu (s-) elemente este: s u z z sau: s z s z dar (3.9) Întrucât tensunea une bobne necuplate magnetc poate f scrsă în u z s. rezultă operatorul ataşat acestea: z z În consecnţă, reţeaua cu s elemente cuplate magnetc este transformată într-o reţea fără cuplae magnetce de operator zo. În reţeaua fără cuplae tensunea la bornele dpolulu este: u e s u z s e e ; z zee dar e (3.9) rezultând operatorul echvalent al reţele: s s s z e z z ze (3.93) A. Crcut sere cu surse ş cuplae operator Fg eţeaua cu cuplae se poate transforma în reţea fără cuplae de s z z. Aplcând ecuaţa Joubert atât reţele cât ş dpolulu 34

136 e s Captolul 3. Teoremele crcutelor electrce z - reţea fără cuplae; e e zee - element dpolar echvalent. ezultă, prn dentfcare tensunea electromotoare echvalentă n e e e ş operatorul de mpedanţă echvalent s z. e z Aplcaţe: Se consderă o latură ce conţne două bobne cuplate magnetc conectate în sere cu un condensator de capactate C3 încărcat cu tensunea co, ş un rezstor de rezstenţă 3. Să se determne dpolul echvalent asocat aceste latur. s eţea cu cuplae Dpol Fg eţea fără cuplae z În baza relaţlor stablte determnăm nţal operatorul de mpedanţă s z z 3 al bobnelor fără cuplae magnetce, operator ce au z forma: d ( ) dt (3.94) d ( ) dt Condensatorul încărcat este transformat într-un c ondensator fără condţ nţale în sere cu o sursă e e h( t ) (fg.3.47b). Operatorul de mpedanţă al dpolulu este: y d t ze z ( ) dt 4 dt C (3.95) 4 35

137 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce B. educerea reţele paralel la dpol echvalent B. eţea paralel cu cuplae Se consderă n elemente legate în paralel dn care s elemente sunt cuplate magnetc Exprmăm curentul prn elementul cuplat magnetc, respectv necuplat magnetc ş dentfcăm s u y u y ; s y y. Curentul total al dpolulu este: n s e e e u y u y e y y e z z (3.96) B.. eţea paralel cu cuplae ş generatoare de tensune În prncpu, se transformă reţeaua cuplată magnetc într-o reţea fără cuplae ar apo în dpol echvalent. Fg În reţeaua paralel fără cuplae avem ecuaţa Joubert: u y e y sau z u e (3.97) Aplcând teorema Krchhoff dentfcând rezultă: n n n e u y e y Dpol n n e ge e n ge e ge e y e y y e tensune de e y y curent de : : (3.98) n n e y cu y y y ; e z z e v v (3.99) 36

138 CAPTO 4. CCTE EECTCE NAE ÎN EGM AMONC PEMANENT 4.. Semnale perodce, alternatve ş snusodale. Defnţ. În regm v arabl v aloarea a (t) la u n m oment d at, a u nu s emnal oarecare (t.e.m, curent, tensune la borne) poartă denumrea d e valoare nstantanee. Numm semnal perodc u n sem nal v arabl î n t mp care la ntervale egale de tmp trece prn aceleaş valor luate în acelaş sens. n astfel de semnal satsface relaţa: a(t)a(tt),,±,±... (4.) unde: - T - este peroada ce reprezntă ntervalul de tmp între două trecer consecutve, ale semnalulu consderat, prn aceeaş valoare ş în acelaş sens. t Fg. 4. nversul peroade poartă denumrea de frecvenţă ş reprezntă numărul de trecer efectuate în untatea de tmp. ntatea de măsură în Sstemul nternaţonal este Hertz-ul: f [Hz] (4.) T Valoarea mede a semnalulu este egală cu meda artmetcă a valorlor nstantanee pe o peroadă ş este exprmată matematc prn relaţa: A t t T med a( t ) dt a( t ) dt t t t t T (4.3) n semnal perodc a căru valoare mede pe o peroadă este nulă poartă denumrea de semnal alternatv (fg. 4.). 37

139 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Fg. 4. Valoarea efectvă (efcace) a unu semnal alternatv este dată de relaţa: t T A a ( t )dt (4.3) t T Sensul fzc al valor efectve al curentulu îl reprezntă valoarea curentulu contnuu ce ar dezvolta aceeaş canttate de căldură într-un rezstor lnar în ntervalul consderat (de obce pe o peroadă). t Q ( t t ) dt t dt t t (4.4) t t t dacă t-tt atunc T dt (4.5) T t Mărmea snusodală este o mărme alternatvă a căre exprese analtcă poate f pusă sub forma de snus : a( t) Am sn( ω t γ ) (4.6) unde: - Am - valoarea maxmă (ampltudnea semnalulu); π - pulsaţa ω π f rad/s, sau vteza unghulară a fazorulu T (vectorul rottor) - ω t γ -argumentul sau faza semnalulu; - γ - faza nţală. Faza nţală se măsoară de la ultma trecere zero în sens crescător până la orgnea sstemulu de coordonate. Faza nţală este poztvă (γ > ), dacă la t mărmea snusodală avea valoarea nstantanee poztvă. Faza nţală este funcţe de momentul aleger sstemulu de coordonate (t). 38

140 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent Fg. 4.3 Fg. 4.4 elaţ de fază (numa pentru semnalele care au aceeaş frecvenţă) Două mărm snusodale de aceeaş frecvenţă, a(t)amsn(ωtγ) ş a(t)amsn(ωtγ) se numesc defazate dacă, dferenţa fazelor lor egală cu dferenţa fazelor nţale este nenulă. ωtγ-(ωtγ) γ - γ (4.7) Dferenţa fazelor nţale se numeşte "defaza" (notată ϕ γ - γ) ş se măsoară în "radan". Fg. 4.5 Defazaul dntre mărm poate f: ϕ γ - γ > - semnalul a defazat înantea semnalulu a (trece înantea lu a prn ) 39

141 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce ϕ γ - γ < - semnalul a defazat în urma semnalulu a; ϕ - semnale în fază; ϕ π ± - semnale în cvadratură; ϕ ± π - semnale în opozţe de fază. Operaţ cu mărm snusodale: - dervata unu semnal snusodal este tot un semnal snusodal: da ω A cos( ω γ ) ω sn( ω γ π m t A m t ) (4.8) dt dar defazat înante cu π ş cu modulul de ω or ma mare. - ntegrala unu semnal snusodal este tot un semnal snusodal: A m A m π a dt A m sn( ωt γ ) cos( ωt γ ) sn( ωt γ ) (4.9) ω ω dar defazat în urmă cu π ş cu modulul redus de ω or Producerea t.e.m snusodale. Valor caracterstce. Cel ma smplu procedeu de obţnere a une t.e.m. snusodale constă în rotrea unformă a une spre conductoare într-un câmp magnetc omogen de nducţe B. O B B d α O, ω Fg. 4.6 Conform leg nducţe electromagnetce, t.e.m. ndusă în spră este: dϕ d d e B nda [ N B Acos( B n) ] dt dt (4.) dt S p 4

142 cu: E Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent d dα e [ N B Acosα ] N B A( snα) dt dt (4.) e ω B Asn( ωt γ ) ω Φmax sn( ωt γ ) (4.) Φmax Expresa t.e.m. nduse poate f scrsă ş sub forma: e E sn( ω t γ ) Emax sn( ωt γ ) (4.3) Emax π f Φmax π f E N B A 4, 44 f N B A (4.4) Valor caracterstce semnalelor snusodale: - valoarea mede pe o peroadă prn defnţe este nulă: T T E med Em sn( t ) dt Em cos( t ) o T ω γ ω γ (4.5) T ω - valoarea mede pe o semalternanţă: med T γ T ω γ T ω Em π Em sn( t ) dt cos( t ) T ω γ ω γ γ ; ω (4.6) T γ ω T ω ω Em T Em Em Emed T [ ] T π cos cos (4.7) T π π T T - valoarea efectvă: T T E ( Em snω t) dt E m sn ωtdt (4.8) T T E T T E dt ( E cos tdt E T m m m T ω T (4.9) E E m (4.) În regm snusodal se defnesc următor factor: - factor de ampltudne: Em val. max. K a (4.) E val. efect - factor de formă: Em E val efect K π.. f (4.) E med E val. mede pe semalternanta T m π T 4

143 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce 4. eprezentăr smbolce ale semnalelor snusodale a o frecvenţă dată orce semnal snusodal este complet determnat de două mărm scalare: - ampltudne (sau valoare efectvă) - fază nţală. Metodele de reprezentare smbolcă a mărmlor snusodale constau în stablrea unor regul ce asocază fecăre mărm snusodale o magne în următoarele condţ: - reprezentarea să fe bunvocă (fecăre mărm se asocază o sngură magne ş nvers); - operaţlor de dervare ş ntegrare să le corespundă operaţ smple cu magn; - transformarea să fe cât ma smplă (în ambele sensur) eprezentarea geometrcă (prn fazor) Cuprnde două aspecte: ) eprezentarea cnematcă (nesmplfcată) În această reprezentare, une mărm snusodale: a(t) A sn ( ω t γ ) (4.3) î c orespunde un ve ctor de m odul egal cu ampltudnea A care se roteşte în plan în sens trgonometrc cu vteza unghulară egală cu pulsaţa ω ş formează în fecare moment t cu o axă de refernţă un ungh egal cu argumentul ( ω t γ ). Notăm Ox o axă ce formează cu vectorul A unghul γ,axa care se roteşte cu vteza ω. Aceasta se numeşte "axă orgne de fază". Fg

144 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent "Vectorul ro ttor d e m odul A ş argument (ωtγ) se numeşte fazor cnematc ar proecţa lu pe axa Oy este egală cu mărmea nstantanee. Notăm fazor cnematc al mărm a(t): F a( t) A ωt γ F Notaţa Kennelly (4.4) [ ] g Operaţ cu fazor a) amplfcarea cu un scal ar a u nu fazor est e un fazor cu modulul mărt de λ or: λa(t) λ A ωt γ F g Fg. 4.8 b) adunarea a do fazor este tot un fazor : a a OA OA A ωt γ A ωt γ F g Fg (4.5) Fg. 4.9 ezultatul adunăr este o mărme snusodală de ampltudne: A A A A A cos( γ γ ) (4.6) A snγ A snγ ar argumentul este: tgγ (4.7) A cosγ A cosγ 43

145 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce c) operaţlor de dervare ş ntegrare a mărmlor snusodale le corespund următor fazor geometrc: da d π ( Asn( ω t γ )) ωa cos( ωt γ ) ωasn( ωt γ ) (4.8) dt dt d π ( a) ω Aωt γ F gd (4.9) dt Fg. 4. Smlar ntegrăr î corespunde un fazor geometrc T A π adt ωt γ Fg ω. (4.3) ) eprezentarea polară În reprezentarea cnematcă vectorul se roteşte cu ω faţă de axa fxă Oxo (vectorul rottor se numeşte fazor). Întrucât axa orgne de fază se roteşte cu aceeaş vteza ω (axa Ox) reprezentarea acestu vector faţă de axa orgne de fază conduce la exprmarea mărm prntr-un ve ctor f x de argument egal cu faza nţală ş modul egal cu valoarea efectvă numt fazor polar a( t) Asn( ω t γ ) A γ Fp ( a( t)) fazor polar (4.3) da π π ω Asn( ωt γ ) ωa γ (4.3) dt A π A π adt sn( ωt γ ) γ (4.33) ω ω 44

146 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent 4.. eprezentarea analtcă (în complex) Dacă planulu geometrc yox se ataşează planul complex cu axa magnară Oy ş reală Ox avem reprezentarea în complex nesmplfcat a mărmlor snusodale. V ârfulu ve ctorulu A î corespunde un punct în planul complex ar ve ctorul OA un vector în planul complex. Dacă axe orgne de fază Ox se ataşează axa reală a planulu complex (axă ce se roteşte cu ω atunc vectorul dn planul polar î corespunde un fazor fx de modul egal cu valoare efcace ş argument egal cu fază nţală (complex smplfcat). a) eprezentarea în complex nesmplfcat Orcăre mărm snusodale a(t) A sn( ω t γ ) î c orespunde în planul complex mărmea: a A e ( ωt γ ) Fg. 4. Trecerea nversă (proecţa pe axa magnară). a(t) m{ a } m{ Acos( ω t γ ) A sn( ωt γ )} A sn( ωt γ ) (4.34) Dacă: a(t) A cos( ωt γ) a ( t g) A e ω, ar trecerea nversă mplcă: a(t) e{a}. Operaţ în complex: ( ωt γ ) ) Înmulţrea cu un scalar: λ a λ A e λ a (4.35) da ( ωt γ ) ) Dervarea: ω Ae ω a (4.36) dt - transformă operața de dervare în operaţe algebrcă de înmulţre cu ω. Versor ataşaţ planulu complex sunt - pentru axa reală 45

147 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce ş - pentru axa magnară, ş redă rotrea cu 9 grade a versorulu axe reale. π π π e cos sn ; d ω (4.37) dt 3) ntegrarea unu număr complex transformă operaţa de ntegrare a mărm snusodale în împărţre la ω. ( ωt γ ) a dt Ae a ; ω ω dt (4.38) ω Avanta: - operaţle ntegro-dferenţale sunt transformate în operaţ algebrce. b) eprezentarea în complex smplfcat Întrucât în teora crcutelor avem mărm de aceeaş pulsaţe, utlzăm reprezentarea în complex smplfcat - ce renunţă la în reprezentarea vectorulu complex ş la vteza de rotre ω. Fazor complecş sunt în repaus relatv faţă de axa orgne de fază. O astfel de reprezentare se obţne dentfcând planul complex cu planul abstract al fazorlor polar (axa reală ataşată axe orgne de fază). În concluze orcăru semnal de forma: a(t) Asn(ωtγ) î corespunde în planul complex mărmea A Ae γ Mărmea complexă A are modulul egal în valoare efectvă ş argument egal cu faza nţală γ. Între valoarea nstantanee complexă a ş valoarea efectvă complexă A exstă relaţa a A e ωt (4.39) Trecerea de la valoarea efectvă complexă la semnalul snusodal (reprezentarea în domenul tmp) se face utlzând relaţle: ωt e { e A} dacă a Acos( ωt γ ) a( t) (4.4) ωt m{ e dacă a Asn( ωt γ ) 4.3. Parametr crcutelor lnare de curent alternatv Parametr unu crcut sunt: - rezstenţa; - nductvtatea (M - ş mutuală pentru cuplae); C - capactatea; 46

148 u( t Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent Să consderăm un dpol lnar pasv cărua se aplcă tensunea ) sn( ω t γ ) sn( ωt γ ) (4.4) m u u Fg. 4. Dpolul fnd lnar ( y x ) rezultă că este străbătut de un curent de aceeaş formă cu exctaţa (tensunea) adcă tot snusodal de forma: ( t ) sn( ω t γ ) sn( ωt γ ). (4.4) m 4.3. ăspunsul crcutelor lnare în curent alternatv (analza comparatvă) Exctând un dpol lnar pasv cu un semnal snusodal răspunsul acestua depnde de parametr dpolulu dar are aceeaş formă de varaţe snusodală. Parametr dpolulu în nstantaneu sunt rezstenţa, nductvtatea ş capactatea. Căutăm să determnăm răspunsul dpolulu pentru o exctaţe snusodală cunoscută, când dpolul conţne rezstenţă, capactate, nductvtate sau combnaţ de tp -C, -, C ăspunsul în c.a. al elementelor smple de crcut A. ăspunsul în c.a. al rezstenţe A. ăspunsul în domenul tmp Aplcând o tensune alternatvă: u( t ) m sn( ω t γ u ) une rezstenţe în baza ecuaţe caracterstce u rezultă curentul prn rezstenţă: u m sn( ω t γ u ) m sn( ωt γ ) (4.43) m dentfcând obţnem: m, γ γ u, ϕ γ u γ. (4.44) 47

149 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Fg. 4.3 Pentru o rezstenţă ampltudnea tensun ş curentulu satsfac relaţa Ohm ( m m ) ş întotdeauna curentul ş tensunea rămân în fază. A. Analza prn reprezentăr smbolce tlzând reprezentărle polare ş în complex smplfcat obţnem următoarele dagrame pentru tensunea ş curentul unu rezstor. - reprezentarea polară u m p u m ( u ) F ) t sn( u γ γ ω (4.45) m u m p u m ) ( F ) t sn( γ γ γ ω (4.46) Fg. 4.4 a - reprezentarea în complex: u m u m e ) t sn( u γ γ ω (4.47) u m m u m e e ) t sn( γ γ γ ω (4.48) 48

150 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent cu relaţle nverse: u e Fg. 4.4 b ωt { e } ωt { e } (4.49) e Concluze: ndferent de tpul analze (în domenul tmp sau smbolcă) răspunsul rezstorul în curent alternatv este defnt de rezstenţa. elaţa dntre semnalul de exctaţe ş răspuns este lnară mărmle fnd în fază. B. ăspunsul condensatorulu în c.a. B. Analza în domenul tmp Presupunând aceeaş tensune: u m sn( ω t γ u ) (4.5) care exctă un condensator lnar, răspunsul în curent este dat de relaţa: du π C ω C m cos( ωt γ u ) ωc m sn( ωt γ u ) sn( ωt γ ) dt (4.5) π π γ u γ, ϕ γ u γ. (4.5) π S-a u tlzat denttatea trgonometrcă: cos α sn α putem scre: π ω C m sn( ωt γ u ) sn( ωt γ ) (4.53) m ωc m Curentul prn condensator în c.a. are ampltudnea ş faza: γ γ 9 (4.54) Între ampltudnea curentulu ş a tensun exstă o dependenţă lnară în orce moment dată de valoarea capactăţ înmulţtă cu frecvenţa unghulară (sau pulsața ). u 49

151 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Defazaul, între răspuns y( t ) Y sn( ω t γ ) ş exctaţe x( t ) X m sn( ω t γ x ), prn defnţe este: ϕ γ y γ x (defazaul fazelor nţale dntre răspuns ş exctaţe). În cazul exemplulu consderat exctaţa este tensunea ar răspunsul este curentul mplcând: ϕ γ γ u 9. Pentru o capactate rezultă o defazare cu 9 o înante, a curentulu faţă de tensune. B. Analza prn reprezentăr smbolce eprezentărle în coordonate polare ş complex smplfcat conduc la următoarele dagrame între tensune ş curent: - reprezentarea polară: m u m sn( ωt γ u ) Fp{ u } γ u (4.55) ω C m ω C m sn( ωt γ u 9 ) Fp{ } γ u 9 m y Fg reprezentarea în complex smplfcat m e γ u ω C m ( γ u 9 ) Fg. 4.6 e Concluze: ăspunsul condensatorulu în curent alternatv este defnt de două mărm ş anume ampltudne ş defaza. 5

152 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent C. ăspunsul bobne în c.a. C. Analza în domenul tmp Consderând exctaţa în tensune de forma u m sn( ω t γ u ) dependenţa curent - tensune este dată de relaţa: t t ( t ) u( t' ) m sn( ω t γ u )dt m cos( ωt γ u ) (4.56) ω adcă ( t ) m sn( ωt γ u 9 ) m sn( ωt γ ) (4.57) ω Ampltudnea curentulu ş faza nţală sunt date de relaţle: m m ω (4.58) γ γ u 9 Constanta de proporţonaltate dntre ampltudnea curentulu ş a tensun aplcate este dependentă de frecvenţă. Întotdeauna c urentul pr n bobnă este defazat în urma tensun. π Defazaul ϕ γ γ u 9. Dacă semnalul aplcat este un curent rezultă tensunea defazată înantea curentulu cu 9 o ş cu ampltudnea ω. m m C. Analza prn reprezentăr smbolce eprezentarea polară ş reprezentarea în complex smplfcat conduc la următoarele dagrame: Fg. 4.7 Cazur lmtă ale bobne s condensatorulu 5

153 a) Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Condensator Bobna ω ( crc. de c. c.) m m ω C m m ω b) ω ( frecvente nalte ) m m ω C m m ω Concluz:. a frecvenţe oase (sau în c.c.) condensatorul se comportă ca un crcut deschs ar la frecvenţe înalte ca un scurtcrcut.. Bobna în c.a. la frecvenţe oase se comportă ca un scurtcrcut ar la frecvenţe înalte ca un crcut deschs. D. Concluz ale analze comparatve Analza comparatvă a celor tre elemente smple de crcut ndcă până în prezent: în domenul tmp: - parametr dpolulu sunt ampltudnea răspunsulu ş defazaulu în reprezentarea smbolcă: - parametr dpolulu pot f defnţ prn generalzarea relaţe Ohm. Dacă în c.c. atunc î n c.a. î ntre valorle maxme ale tensun ş curentulu constanta de proporţonaltate este dependentă de natura dpolulu (, C, sau ) dar ş de frecvenţa semnalulu de exctaţe. O generalzare a relaţe Ohm mpune ntroducerea unu parametru al dpolulu ca să exprme abltatea acestua de a se opune trecer curentulu (smlar defnţe în c.c.). Numm mpedanţă raportul dntre valoarea efectvă a tensun ş Z d > ( Ω ) valoarea efectvă a curentulu:. (4.59) Z ˆ > ( Ω ) 5

154 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent ar Y ( S ), numtă admtanţă, reprezntă, dn punct de vedere fzc, Z raportul valorlor efectve ale curentulu ş tensun de la bornele dpolulu. Obs: - Dpolul poate f caracterzat în coordonate polare prn mpedanţă Z ş prn defaza. În concluze perechea mpedanţă-defaza sau admtanţă-defaza caracterzează dpolul ăspunsul în c.a. al unu dpol de ordnul A. Analza în domenul tmp Numm dpol de ordnul acea latură dn crcut ce conţne combnaţ între un element de crcut dspatv () ş un element de crcut ce acumulează energe (C sau ). A. Dpol -C almentat de la o sursă de tensune Fg. 4.8 u m cosωt aleasă orgne de fază exctă dpolul ce reacţonează modfcând răspunsul (curentul) atât în prvnţa valor efectve cât ş a defazaulu. Aplcând teorema Krchhoff ş ţnând cont de conexunea sere: duc C ar u u uc uc rezultă uc ( u ) rezultă dt d du d C ( u ) C C ecuaţe dferenţală de ordnul dt dt dt în raport cu curentul: d du C C (4.6) dt dt du Întrucât: u m cosωt, ω m snωt, curentul ca răspuns al dt exctaţe în tensune are valoarea: cos( ω t γ ϕ ) cos( ωt ϕ ) m u m 53

155 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce ş satsface ecuaţa dferenţală de ma sus. Înlocund în ecuaţa dferenţală obţnem: ωc m sn( ωt ϕ ) m cos( ωt ϕ ) ωc m snωt (4.6) tlzând denttatea: sn( ωt ϕ ) snωt cosϕ snϕ cosωt ş cos( ωt ϕ ) cosωt cosϕ snωt snϕ (4.6) înlocund ş dentfcând: ωc m(snωt cosϕ snϕ cosωt ) m(cosωt cosϕ snωt snϕ ) ωc m snωt (4.63) cosϕ ωc snϕ obţnem:. (4.64) m(snϕ ωc cosϕ ) ωc m Dn prma ecuaţe rezultă defazaul : tgϕ (4.65) ωc ar dn a doua valoarea ampltudn curentulu: mωc m sau snϕ ωc cosϕ ωc m Z. ( C ) ω ω C (4.66) tlzând denttatea trgonometrcă: cosϕ cu tgϕ (4.67) ωc tg ϕ ωc rezultă: cosϕ (4.68) ( ωc ) m Ampltudnea curentulu devne: mωc cosϕ[ tgϕ ωc ] ωc ar defazaul: ( ωc ) ωc ωc ωc ωc ω ( ωc ) m m m H( ) m m m ωc ( ωc ) (4.69) 54

156 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent ϕ arctg arctg arctg( ωc ) 9 arctg( ωc ) (4.7) ωc Notând c u ω - frecvenţa caracterstcă (sau pulsațe) C dependentă numa de parametr dpolulu, atunc funcţa H(ω) denumtă magntudne reflectă mărmea răspunsulu în c.a. faţă de răspunsul dpolulu ω în c. c., ar d efazaul ϕ( ω ) 9 arctg cu dependenţele funcţe de ω frecvenţă redate în fg H (ω ) ω ω ω ω Fg. 4.9 Cazur partculare: ω ) >> ω Funcţonarea la frecvenţe înalte conduce la H( ω ), ş în consecnţă capactatea se comportă ca un scurtcrcut, defazaul ϕ (ω ), ar crcutul se comportă rezstv. Întreaga tensune a surse se aplcă rezstenţe. Dpolul are comportament rezstv. Fzc, la frecvenţe înalte condensatorul nu are tmp să se încarce cu sarcnă. ω ) <<, mplcă funcţonarea la frecvenţe oase, ş în consecnţă ω condensatorul are tmp să acumuleze sarcn, magntudnea H( ω ) ; ϕ (ω ) 9 ; z, d polul are un c omportament capactv, echvalent cu crcutul dn fg. b. 55

157 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce a b Fg. 4. ω m 3), H( ω ), 77; ϕ 45 ; m. ω Funcţonarea crcutulu C la frecvenţă varablă este de tp fltru trece-sus în prvnţa curentulu. Puterea dspată pe rezstenţă are un maxm pentru frecvenţă lmtă superoară cu valoarea: P max m m P (4.7) m. m m - la ω ω, m ar puterea dspată Pω P max ş, în consecnţă, frecvenţa caracterstcă ω se ma numeşte ş frecvenţa înumătăţr puter. Concluze: Perechea magntudne - frecvenţă caracterstcă, caracterzează răspunsul dpolulu -C în domenul tmp. A. Dpolul - almentat de la o sursă de tensune Consderăm un crcut sere almentat de la o sursă de tensune cu frecvenţă varablă: m cosωt. Aplcând teorema Krchhoff rezultă: d u d u (4.7) dt dt 56

158 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent ăspunsul m cos( ωt ϕ) conduce prn înlocure în ecuaţa dferenţală de ordnul la: m ω cosω t m cos( ωt ϕ ) m sn( ωt ϕ ) (4.73) ω snϕ cosϕ sau la s stemul: dn care rezultă: ω m cosϕ snϕ m ω tgϕ. Dec : arctg ω m m ϕ respectv: m H( ω ). (4.74) ω ω Funcţonarea ca fltru a crcutulu - sere mplcă analza în funcţe de frecvenţa caracterstcă, ω, a magntudn ş a defazaulu. H( ω ) ω ω ; ω ϕ( ω ) arctg ω Fg. 4. Cazur partculare de funcţonare: ω a) <<, H( ω ), Z, ϕ (4.75) ω H( ω ) Crcutul se comportă rezstv, întreaga tensune se aplcă rezstenţe, bobna se comportă ca un scurtcrcut, ampltudnea curentulu dn crcut m fnd m. 57

159 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Fg. 4. ω b) >>, H( ω ), ϕ 9 (4.76) ω Bobna se comportă ca un crcut deschs comparatv cu sau văzut nvers rezstenţa ca un scurtcrcut. Caracterul crcutulu este nductv. Schema echvalentă este: Fg. 4.3 ω c), H( ω ), Z ω H( ω ) maorare de rezstenţă: m m m, P Pmax cu Pmax (4.77) Concluz: ) C rcutul - se comportă în frecvenţă ca un fltru trece os pentru semnalele a căror cu frecvenţă este în gama < ω < ω (un răspuns semnfcatv numa în banda (, ω ) îl oferă crcutul -). ) Banda de frecvenţă ω < ω < se numeşte bandă nterzsă; 3) Frecvenţa ω se numeşte frecvenţă caracterstcă (de tăere) ăspunsul în c.a. al crcutelor de ordnul. A. Analza în domenul tmp A. Analza dpolulu echvalent C sere 58

160 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent Dpolul sere C este exctat de tensunea u m cosωt. Aplcând duc teorema K rchhoff ş ţnând cont de relaţa C ş condţa de dt conexune sere obţnem următoarea ecuaţe de ordnul do: d d u u c sau u c u, dt dt ar ecuaţa d du d d C ( uc ) C C C este echvalentă cu: dt dt dt dt d d d C C C dt dt dt (4.78) Consderând răspunsul de tp snusodal: m cos( ω t ϕ) prn înlocure în ecuaţa dferenţală de ordnul do se obţne: ω C m cos( ωt ϕ) ωc m sn( ωt ϕ) m cos( ωt ϕ) ωc m cosωt Separând componentele în sn ωt ş cos ωt rezultă: ωc cosϕ snϕ ω C (4.79) ωc ωc m snϕ cosϕ m ω C ω C (4.8) Aceste ecuaţ au forma dentcă cu ecuaţle crcutulu -C c u ωc schmbarea de varablă: ωc. ω C Avem astfel expresa defazaulu ş a magntudn: m ωc m m m H ( ω) (4.8) ( ω C) ( ωc) ( ω C) ωc ω C ϕ arctg ωc ( ) (4.8) Funcţonarea la frecvenţă varablă a dpolulu ω C Expresa: ω ω C, ωc ωc C ω C prn ntroducerea parametrulu ω (pulsațe frecvenţă caracterstcă) C 59

161 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce ş numărul admensonal Q (factor d e c altate a l crcutulu C C ω C ω ω sere), poate f scrsă în forma: Q. ωc ω ω Înlocund în expresa ampltudn ş a defazaulu obţnem: ω ω H ( ω) ; ϕ( ω) arctgq (4.83) ω ω ω ω Q ω ω Observaţe: - ăspunsul în c.a. al crcutelor de ordnul a fost caracterzat prn parametr ampltudne ş frecvenţă caracterstcă ω; ar pentru crcutele de ordnul prn ampltudne ş do parametr ω ş Q. În aceste condţ în loc de o sngură curbă avem o famle de curbe cu Q parametru a tât pe ntru m agntudne H (ω) cat ş pentru defaza ϕ(ω) (fg. 4.) Fg

162 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent Cazur de funcţonare la frecvenţă varablă: ω a) << - la frecvenţe oase capactatea se comportă ca un crcut ω deschs co mparatv cu ş ; H ; ϕ 9 - rezultând o funcţonare tp capactv a crcutulu. ω b) >> - la frecvenţe înalte nductvtatea se comportă ca un ω crcut deschs comparatv cu C ş ; ; H ; ϕ 9 - rezultând o funcţonare tp nductv a crcutulu. ω c) - apare fenomenul de rezonanţă, motv pentru care ω - ω se numeşte frecvenţă unghulară (sau pulsațe) de m rezonanţă. H ; ϕ, m. Bobna ş condensatorul se comportă ca un scurtcrcut, crcutul având caracter rezstv. Puterea transferată atnge valoarea maxmă. Valoarea frecvenţe la care puterea dspată este umătate dn puterea maxmă determnă frecvenţa de tăere a fltrulu. ezultă că vor exsta două frecvenţe, una nferoară ω ş una superoară ω H (OW ş HGH). Frecvenţele de înumătăţre ale puter maxme trebue să fe date de H( ω ) condţa: H( ω ) H( ωh ) ω ω mpunerea aceste condţ mplcă: Q ecuaţe de ω ω ω ordnul ce rezolvată în raport cu conduce la soluţle: ω Concluze: ω ω ωh ω 4Q 4Q Q Q cu ωh ω (4.84) ω 6

163 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce o. - pentru < ω < ω ş ω H < ω < - banda de frecvenţă se numeşte bandă de blocare; o. - < ω < ω - banda de frecvenţă în această gamă se numeşte bandă de trecere. ăţmea benz este dată de relaţa: ω BW ω H ω (4.85) Q A. ăspunsul dpolulu echvalent C paralel. În acest caz se consderă exctaţa de la o sursă de curent ar răspunsul este tensunea la bornele dpolulu: Fg. 4.5 Sursa de curent almentează un crcut C paralel Pentru ω bobna se comportă ca un scurtcrcut conducând la u ar pentru ω condensatorul se comportă ca un scurtcrcut ş u, dec exstă o frecvenţă la care se obţne acel clopot al magntudn. Aplcând Krchhoff rezultă ecuaţa de ordnul : d u du d C u (4.86) dt dt dt Soluţa se determnă utlzând consderentele dualtăţ ş u, ş C respectv cu între C sere ş C paralel. ezultă astfel: m mh (ω) (4.87) 6

164 cu: - Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent ω H ( ω ) (4.88) ( ω C) ω ω C - ϕ( ω) arctg (4.89) ω Parametr ce caracterzează dpolul vor f: ω C ş C Q p (4.9) Concluze: Analza în domenul tmp este sugestvă dar laboroasă atunc când dpolul are o structură ma complexă. Dacă dpolul este de ordnul caracterzarea acestua este posblă prntr-un sngur pa rametru ω - frecvenţa unghulară caracterstcă. Dacă ordnul creşte caracterzarea acestua este posblă prn frecvenţa caracterstcă ω ş factorul de C caltate Qf(,,C). B. Analza în complex a dpolulu de ordnul Analza unu crcut ş mplct caracterzarea lu în reprezentarea polară mplcă do parametr Z ş defaza ϕ. Analza cea ma smplă ş comodă este în complex smplfcat unde mărmle de c.a. sunt transformate în mărm de c.c.: m ϕu m cos ( ωt ϕu ) e (4.9) în planul complex. Analza este posblă însă numa pentru mărmle de aceeaş frecvenţă. Numm mpedanţă complexă raportul dntre tensunea complexă ş curentul complex: d ϕ Z Z e (4.9) - cu modulul egal cu raportul valor efectve ale semnalelor; - ϕ - defazaul între semnale. 63

165 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Analza în complex a mărmlor snusodale este o analză în domenul frecvenţă unde semnalele sunt r eduse l a sem nale co ntnue ar parametrul dpolulu (mpedanţă complexă), este dependentă de frecvenţă. mpedanţa complexă reprezntă o generalzare în formă fazorală a relaţe Ohm. Pentru elementele smple de crcut mpedanţa complexă are forma: - pentru dpol rezstv: Z ; - pentru dpol pur nductv: Z ω ; - pentru dpol pur capactv: Z C. ωc ωc Pentru rezstenţă mpedanţa Z este deală ş ndependentă de frecvenţă, ar pentru condensator ş bobnă mpedanţa ndcă dependenţa de frecvenţă prn ω sau ar p rn s au - defazaul între curent ş ωc tensune. Sntetc în planul e-m,,mpedanţa complexă are valor în semplanul e>. Fg. 4.6 Cazur lmtă pentru ω ş respectv ω : - bobnă: lm Z (scurtcrcut) ω lm Z (crcut deschs) ω - condensator: lm Z (crcut deschs) ω lm Z C ω C (scurcrcut) B. mpedanţă complexa a dpolulu echvalent C sere 64

166 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent Pentru un dpol echvalent C sere sau paralel analzăm modul de obţnere al mpedanţe complexe. Dpolul C sere: Fg. 4.7 Aplcând teorema Krchhoff rezultă: u d dt C t o dt (4.93) Trecând în complex smplfcat: ω C ω ω ; (4.94) ωc unde: X Z ω ωc ω reactanţă. ωc X (4.95) Fg. 4.8 Consderând u m cos( ω t ϕ ), curentul prn dpolul C este de formă snusodală: m cosωt, unde: ϕ γ rasp γ exctate defaza. m ϕ m Trecând în complex: e, e 65

167 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce m ϕ ϕ Z e Ze Z cosϕ Z snϕ (4.96) m dentfcând, rezultă: snϕ actv Z cosϕ > cosϕ reactv X Z snϕ > (4.97) X ϕ arctg, Z X Concluze: ) ezstenţa în c.a. reprezntă partea reală a mpedanţe complexe Z, rezstenţă ce poate f sau nu dependentă de frecvenţă. Nu întotdeauna ea concde cu rezstenţa ohmcă a crcutulu. ezstenţa în c.a. reprezntă raportul dntre proecţa tensun pe axa curentulu s valoarea curentul dn crcut. ) eactanţa X reprezntă partea magnară a mpedanţe complexe ş este dependentă întotdeauna de frecvenţă, ndcând prezenţa elementulu d e st ocare a en erge î n crcut. Pentru acest aspect nductvtatea ş capactatea se numesc elemente reactve. Ea reprezntă raportul dntre proecţa tensun pe o axă perpendculară pe a curentulu s valoarea curentulu dn crcut. Dn punct de vedere al reactanţe, ma precs al rotr e cu sau - dstngem (fg.4.7): a) Z X aparţne cadranulu al planulu complex, mpedanţa este de t p nductv, ϕ > ş curentul este defazat în urma tensun. b) Z X aparţne cadranulu al planulu complex, mpedanţa este d e t p cap actv, ϕ < ş curentul este defazat înantea tensun. c) Z crcut pur rezstv, regm de rezonanţă pe care-l analzăm separat. 66

168 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent Fg. 4.9 Concluze: 3) Dpolul C sere admte o schemă echvalentă sere ş este caracterzat de mpedanţa complexă Z X Fg. 4.3 B. Dpol echvalent C paralel Dpolulu C paralel,(4.3) prn aplcarea teoreme Krchhoff putem determna curentul absorbt: Fg. 4.3 u t du udt C o dt (4.98) Trecând în complex smplfcat dependenta curent - tensune este: ωc ω (4.99) ωc ω (4.) 67

169 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce aportul Y G( ω ) B( ω ) se n umeşte admtanţă complexă B de modul Y G B ş defaza ϕ arctg, G Fg. 4.3 actv cosϕ unde: - G > - conductanţă; reactv snϕ - B > - susceptanţă. Concluze: ) Dpolul C paralel admte schema echvalentă: Fg Echvalenţa unu dpol în schema sere sau paralel este dată de relaţa de echvalenţă ce presupune egaltatea tensunlor ş a curenţlor a dpolulu: Z ; Z Y ZY sau Z (4.) Y ; Y (4.) X G B 68

170 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent G G B B X G B sau G X sau X B X (4.) 4.4. Puter în crcute lnare de c.a. monofazat 4.4. Puterea nstantanee a dpolulu echvalent Consderăm un dpol lnar cărua se aplcă tensunea snusodală u( t ) sn( ω t γ ) ş prn care trece curentul ( t ) sn( ω t γ ). u Fg Puterea nstantanee are expresa: p( t ) u( t )( t ) sn( ω t γ u )sn( ωt γ ). tlzând relaţa trgonometrcă: cosα cos β snα sn β cos α ± β snα sn β cos( α β ) cos( α β ) cosα cos β snα sn β (4.3) rezultă: p cosϕ cos( ωt γ u γ ). Expresa puter nstantanee conţne do termen(fg.4.33): - P cosϕ > - termen denumt putere actvă; ( ) [ ] π - p sn ωt γ u γ denumt putere osclantă. Fg

171 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce 4.4. Puterea actvă Energa pe o peroadă capablă a se transforma în altă formă de energe nclusv în lucrul mecanc este: T T W p( t )dt ( cosϕ cos( ωt γ u γ )) dt cosϕ T (4.4) o respectv puterea: W T P p~ T T pdt (4.5) o unde: - ~ p - reprezntă puterea actvă egală cu valoarea mede a puter nstantanee pe o peroadă sau pe un număr întreg de peroade. tlzând c onvenţa de semne pentru dpolul generator respectv receptor avem: P cosϕ ar Fg Z P Z cos G ϕ (4.6) Puterea aparentă Valoarea maxmă a puter actve reprezntă puterea aparentă (S > ) ş este egală cu produsul valorlor efectve ale tensun ş curentulu. Puterea aparentă caracterzează lmtele de funcţonare ale maşnlor ş aparatelor electrce. Ţnând cont de defnţa mpedanţe Z > rezultă: S Z > sau Y > (4.7) S Y > Numm factor de putere raportul dntre puterea actvă ş puterea aparentă: P K p ; < K p < ; ( K p cosϕ în regm snusodal) S 7

172 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent Puterea reactvă ntroducem, matematc, o putere complementară puter actve prn relaţa: Q snϕ S P (4.8) ar s mlar p uter a parente respectv actve S Z,P, ntroducem mărmea: Q X Z snϕ - reactanţă, ( B X - susceptanţă) (4.9) ezultă astfel: Q X B (volt - amper - reactv) (4.) Să analzăm ce reprezntă această putere reactvă pornnd de la expresa p uter nstantanee: p cosϕ cos( ωt γ u γ ) în care înlocum ϕ γ u γ γ u ϕ γ p cosϕ cos(ωt ϕ γ ) (4.) p cosϕ cos[( ωt γ ) ϕ] p cosϕ [ cos ( ωt γ )cosϕ sn ( ωt γ )snϕ] p cosϕ[ cos ( ωt γ )] snϕ sn ( ωt γ ) p p p p pp putere nstantanee de pulsate cosϕ sn ( ωt γ ) Z po putere nstantanee de osclate cosϕ sn ( ωt γ ) unde: - sn( ω t γ ) - valoarea nstantanee a cu rentulu, ar reprezentărle grafce sunt date în fg În baza demonstraţe de ma sus putem defn Puterea actvă (P), ce reprezntă valoarea mede a puter nstantanee de pulsaţe ş este defntă de relaţa: 7

173 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce P T T p p dt p v snϕ sn ( ωt γ ) Fg snϕ - este am pltudnea p uter de osclaţe ş reprezntă puterea reactvă Q. Q max{ pv } snϕ (4.) Fzc, în dpol pe lângă puterea nstantanee de pulsaţe a căru valoare mede este o măsură a puter electromagnetce ce se transformă în alte forme de energe (căldură, lucru mecanc, etc.) exstă ş o putere de osclaţe (ce osclează neamortzat în dpol) ce blochează încărcarea dpolulu cu putere actvă maxmă. Ampltudnea de osclaţe a aceste puter reprezntă puterea reactvă Expresle puterlor pentru crcutele dpolare smple a) ezstorul Fg. 4.38, ϕ Puter: - actvă - P cos ϕ S > ; - aparentă - S P ; - reactvă - Q. b) Bobna deală 7

174 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent π, ϕs ω Puter: - actvă: P cosϕ S - aparentă: S ω > - reactvă: Q X ω > - factorul de putere: K cos ϕ Alegând tensunea orgne de fază, curentul este defazat în urmă cu π. Puterea nstantanee la bornele bobne deale conţne numa componenta de osclaţe. p u p p sn ϕ sn ( ω t γ ) sn( ωt π ) (4.3) p p o sn ωt sn ωt (4.4) Q Fg Energa magnetcă a bobne: t t Q t W pdt Q sn ω tdt cos ωt (4.5) ω Q W ( cos ωt ) ω Valoarea mede a energe magnetce într-o peroadă: t t Q Q W ~ Wdt (cos ωt )dt (4.6) T T ω ω Q W ~ Wm ω 73

175 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce W m - energa magnetcă mede a bobne sub tensunea snusodală este egală cu valoarea energe magnetce a bobne parcursă de c.c. cu valoarea acestu curent egală cu valoarea efectvă a curentulu snusodal. Q - puterea reactvă este proporţonală cu energa magnetcă a bobne. (puterea de magnetzaţe a bobne) Q ωw m (4.7) c) Condensatorul Presupunând condensatorul exctat de o t ensune s nusodala curentul este: du C, dt fg. 4.4 Puter: - P C cosϕ - SC X C ω C B > (4.8) Q C snϕ ωc < - factorul de putere al condensatorulu: K C cosϕ. (4.9) Fg. 4.4 Partcularzând, expresa puter nstantanee pentru condensator ş reprezentând componentele acestea (fg.4.4) se poate defn: - energa electrcă pe condensator Q W t C C pdt ( cos ωt) o ω (4.) ~ t Q C C cu valoarea mede pe o peroadă: Wl WC dt Wcondensator. T ω ω 74

176 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent Energa electrcă mede a condensatorulu sub tensune snusodală este egală cu energa electrcă a condensatorulu sub tensune contnuă egală cu valoarea efectvă a tensun snusodale. QC ωw l (4.) Putere reactvă este egală proporţonală cu energa condensatorulu (puterea de încărcare a condensatorulu). Concluze: Pentru un dpol echvalent (sere sau paralel), avem: sere paralel a reactv a reactv a cosϕ a cosϕp reactv snϕ reactv snϕp P snϕs P snϕp G S Z S Y < Q snϕ X ( X X C ) > Q snϕ snϕ Q snϕ ( B P C P B ) (4.) Fg eprezentarea în complex a puter (puterea complexă) Puterea nstantanee p(t) u(t) (t) nefnd o mărme snusodală de aceeaş pulsaţe cu tensunea ş curentul dn crcut, nu se poate reprezenta în acelaş plan complex. Este însă posbl să se defnească o mărme complexă ce înglobează într-o exprese uncă puterea actvă, reactvă ş aparentă numtă puterea complexă. Mărmle tensune ş curent admt magnle complexe: ( ωt γ u ) u e (4.3) ( ωt γ ) e 75

177 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Mărmea putere complexă se defneşte pornnd de la expresa puter nstantanee: p cosϕ ( cos ωt) snϕ sn ωt (4.4) pp Întrucât în e xpresa p uter n stantanee n tervne defazaul dntre tensune ş curent ( cos ϕ ). Produsul a două mărm complexe ce conţne dferenţa de fază nţală poate f scrs în complex numa prn înmulţrea une mărm cu mărmea a doua conugată. γ a γb ( γ a γ b ) ex: a ae, b be a b* abe (4.5) Defnm, în complex nesmplfcat, puterea aparentă complexă prn relaţa: ( ωt γ u ) ( ωt γ ) ( γ u γ ) S u * e e e ϕ S u * e cos ϕ sn ϕ (4.6) S P Q ar în complex smplfcat, puterea aparentă complexă: γ ϕ S * e u γ e e cosϕ sn ϕ (4.7) S P Q Atât P cât ş Q pot f poztve sau negatve în funcţe de dpol receptor sau generator. p P e{ S } Q m{ S } Fg Pentru dpol echvalent sere, expresa puter este: S * Z * Z ( X ) X (4.8) ar pentru dpolul echvalent paralel: 76

178 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent B G Z Y Y Z, * Y * * Y, Y Y * * Y * Y*) ( * * S (4.9) Q P B G B ) ( G S 4.5. Teoremele crcutelor lnare în formă complexă Forma complexă a ecuaţlor Joubert Consderând o latură parcursă de sub tensunea la borne u, latură de operator z, ecuaţa Joubert este: Fg t dt C dt d z u e ± - ecuaţa în tensune cu mărm nstantanee. Trecând mărmle în complex: ϕ u e e u e E E e γ γ (4.3) ezultă că magnea în complex a latur este redată prn mpedanţa complexă Z. Fg Forma complexă a ecuaţe Joubert în tensune este: Z E ± cu ϕ ϕ X X arctg X X Z Ze X X Z C C C, ) ( ) ( (4.3) 77

179 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Forma complexă a ecuaţe Joubert în curent se obţne prn aplcarea teoreme de echvalenţă a surselor sau pornnd de la forma nstantanee a ecuaţe Joubert în curent. g Fg y e y u sau y u (4.3) Y cu Y g, g Y E (4.33) Z Teoremele Krchhoff în formă complexă a) Teorema Krchhoff - (enunţată pe mărm nstantanee) "Suma algebrcă a valorlor nstantanee a curenţlor dn laturle concurente unu nod este nulă." (4.34) ( ) ( ) are următorul enunţ în complex: "Suma algebrcă a magnlor în complex ale curenţlor dn laturlor concurente unu nod este nulă." b) Teorema Krchhoff are următorul enunţ în complex: "Suma algebrcă a magnlor în complex a tensunlor la bornele laturlor ce aparţn unu och este nulă." u (prma formulare) (4.35) ( m ) ( m ) - a doua formulare, ţnând cont de ecuaţa Joubert are următoarea screre matematcă: Z (4.36) E ( m ) ( m ) Obs: T eoremele g enerale al e c rcutelor su nt valable pe magn complexe ataşate mărmlor nstantanee. 78

180 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent mpedanţe echvalente a) educerea la dpol echvalent a reţele sere Fg În nstantaneu: n z u unde u u Trecând î n c omplex: n Z dar: n e Z Z mpunând condţa de conexune sere: (acelaş curent, aceeaş magne în complex) rezultă: n e n e e e e n e X X X Z dar X Z Z Z (4.37) a) eţea sere cu elemente cuplate magnetc Fg nstantaneu: n n n z z s y u dar dt d z u (4.38) n ω ω n ω ω (4.39) Apo trecând dn reţea fără cuplae în dpol echvalent: 79

181 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce n e n e Z Z z z (4.4) n n n e n e X X X (4.4) modulul mpedanţe n Z e Z suma modulelor mpedanţelor b) educerea reţele paralel la dpolul echvalent Fg Y u y e e n n n n Y Y u y (4.4 mpunând condţa de legare în paralel rezultă: n e n e n e B B G G Y Y (4.43) Teorema transferulu maxm al puter actve în regm permanent snusodal Să consderăm un generator de tensune E ş mpedanţă nternă Z debtând pe o reţea de mpedanţă S Z : Aplcând teorema Krchhoff rezultă: ) ( S Z g Z E (4.44) 8

182 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent ) ( S g S g S g X X E Z Z E (4.45) Fg. 4.5 Puterea actvă transferată sarcn este: ) ( ) ( S g S g S S S X X E P (4.46) a) Sarcna S varablă. Maxmzarea puter transferate mplcă: ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( S S S g S S g S g S S X X X X E P (4.47) de unde rezultă: ) ( S g g S X X (4.48) Dacă: S g X X (egale ş opuse), atunc: g S g max E P 4 b) S X varabl. Maxmzarea puter transferate mplcă: ( ) ) X X ( ) ( ) X X ( E X P S S S g S S (4.45) S g X X ) ( E P g S S rezstenta S max (4.46) c) S ş S X varable. Maxmzarea puter transferate mplcă: * S Z g Z. g g g S S S X Z X Z * S Z g Z transfer maxm al puter. (4.47) 8

183 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Analza în complex a crcutelor de curent alternatv monofazat Analza î n c omplex a c rcutelor el ectrce p ermte t ransformarea sstemulu de ecuaţ ntegro-dferenţal al crcutulu într-un s stem d e ecuaţ a căru rezolvare este mult ma smplă. Procesul de transformare a sstemulu de ecuaţ ntegro-dferenţale în sstem algebrc necestă asocerea unor magn complexe aferente mărmlor reale (tensun, curenţ, t.e.m.) dar ş asocerea unor mpedanţe complexe sau admtanţe complexe pentru operator de mpedanţă respectv de admtanţă a laturlor crcutulu. Sntetc această transformare este redată de tabelul următor. Mărm reale nstantanee - curent u - tensune e - t.e.m. - rezstenţă - nductanţă C - capactate d - operator de dervare dt dt - operator de ntegrare z y d dt dt C d G dt C dt Z Y magne în complex E C ω X B ω ω ωc G (4.48) A. Analza în complex a crcutelor ce conţn surse ndependente Transformarea mărmlor ş operatorlor dn domenu tmp în domenul complex conduce la asocerea magn c rcutulu î n c omplex. Consderăm crcutul următor în domenul tmp parcurs de mărmle nstantanee ndcate în fgura 4.5; 8

184 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent Fg. 4.5 magnea în complex a crcutulu, obţnută prn aplcarea restrcţlor prezentate, este: Fg. 4.5 Analza topologcă a crcutulu conduce la n3, l7, bl-n5. ezolvarea crcutulu este posblă prn metodele enumerate în captolul. În pr ezentulu crcut n<b dec este ndcat să se aplce analza nodală ce conduce la un sstem de două ecuaţ cu necunoscutele complexe V ş V. Crcutul poate f restrâns ca număr de latur (l5) prn utlzarea teoremelor de reducere. Astfel latura ş fnd în paralel are mpedanţa echvalentă: ( ) ( ) Z ; Z (4.49) ( ) ar laturle 3 ş 4 au mpedanţa echvalentă: Z 34. Obţnem crcutul: Fg

185 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Sstemul de ecuaţ nodale în complex are forma: V V V V 5 / 7 o 43, 5 V e 4 soluţle fnd: 7 3 o 47, 6 V 3, 58e 4 5 În domenul tmp potenţalele nodale sunt: t v e{v e } cos( t 43, 5 v e{v e t } 3, 58 )(V ) cos( t 47, 6 o o )(V ) (4.5) (4.5) (4.5) B. Analza crcutelor în c.a. ce conţn surse dependente Sursa dependentă fnd controlată de o mărme nstantanee dn crcut, magnea ataşată surse dependente este magnea în complex a mărm ce o controlează. Spre exemplfcare să consderăm crcutul dn fg magnea în complex a acestu crcut este prezentată în fg Fg Fg Aplcând metoda potenţalelor nodale pentru rezolvarea crcutulu se obţne sstemul: 84

186 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent V V e V V V V x V cu soluţle complexe: V V, e, 4e o 67, 5 o 3, 6 3 x (4.53) (4.54) Aplcarea metode curenţlor de contur în an alza c rcutelor est e smlară cele prezentate în captolul. Exemplfcăm această metodă pe crcutul dn fg Fg magnea în complex a crcutulu este: Fg Sstemul de ecuaţ al curenţlor ndependenţ este: cu soluţle complexe: 6 ( ) 4 x ( 3) () x (4.55) o o 65,8 74,3,8e (A);,79e (A) (4.56) 85

187 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce C. educerea crcutelor electrce de curent alternatv prn generatoarele echvalente Thevenn ş Norton Aplcarea t eoreme g eneratoarelor ech valente c rcutelor ce funcţonează în c.a. monofazat mplcă determnarea faţă de bornele analzate a tensun de mers în gol, a curentulu de scurtcrcut ş a operatorulu de mpedanţă ntern al crcutulu. Întrucât rezolvarea se face în domenul complex, ar mărmlor l se ataşează magn complexe rezultă că raportul magnlor complexe dntre tensunea de mers în gol ş curentul de scurtcrcut faţă de două borne se va num mpedanţă complexă nternă a crcutulu. ABo Z ech (4.57) SC AB A doua metodă de determnare a mpedanţe complexe ataşate unu dpol echvalent, mplcă pasvzarea tuturor surselor ndependente de tensune ş curent ş almentarea pe la bornele de acces de la o sursă test. aportul tensune complexă aplcată crcutulu pe curent complex defneşte mpedanţa complexă conform fgur următoare: Fg Exemplfcăm reducerea une reţele ce conţne sursă comandată la dpol echvalent Thévenn pe crcutul următor: Fg educerea la dpol echvalent de tensune mplcă determnarea mpedanţe nterne echvalente a crcutulu ş tensunea de mers în gol la 86

188 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent bornele AB. Aplcând metoda pasvzăr pentru determnarea mpedanţe echvalente obţnem: Fg. 4.6 respectv t ensunea d e mers î n g ol d e l a b ornele 8, 5 bornele surse dependente 7, 9e. ABo este t ensunea de l a ABo În concluze crcutul de ma sus poate f echvalat prn următorul generator echvalent: Fg Crcute cu elemente reale în regm snusodal Bobna reală a) Bobna lnară reală fără mez Γ Fg. 4.6 Aplcând legea nducţe pe Γ: dφ sp d Eds Eds Eds dt ( ) dt u b d dt (4.58) 87

189 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Ecuaţa n tensune cu valor nstantanee ale mărmlor trecută în complex de vne b b ωb cărea î corespunde următoarea dagramă de fazor: dar: cu b Fg ϕb Z Z ω X Z e (4.59) b X b b b b ϕ b arctg (4.6) b Admtanţa complexă a bobne este dată de relaţa: b X b Yb Gb B b Z Z Z b b b b b b (4.6) b) Bobna lnară cu mez conductor Aplcând tensune snusodală la bornele une bobne de rezstenţă neglablă, bobna ce conţne un crcut magnetc dn materal conductor, pe baza leglor nducţe ş crcutulu magnetc avem: dϕ - dn legea nducţe: Eds rezultă ecuaţa în tensune a dt Γ bobne. u - dn legea fluxulu magnetc: Γ b dϕ ω NΦ (4.6) dt φ B da, φ BA - rezultă fluxul în fază cu nducţa. - dn le gea c rcutulu magnetc: H ds N H l, rezultă ntenstatea câmpulu magnetc H în fază cu. Dn cauză curenţlor turbonar nduş în mezul conductor bobna absoarbe de la reţea o putere actvă egală cu puterea de perder în mezul conductor. Puterea dn mezul conductor în tmp, se transformă reversbl în 88

190 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent căldură. Deoarece absoarbe putere actvă de la reţea rezultă că între curent ş tensune exstă un defaza dfert de π. Presupunem φ în axa reală ar nducţa ş ntenstatea câmpulu magnetc decalate prn unghul δ Fe. Trecând în complex ecuaţle bobne cu mez conductor putem constru dagrama de fazor dn fg Fg.4.64 ocul geometrc al dependenţe nducţe de ntenstatea câmpulu magnetc este o elpsă redată în fgura 4.65, de ecuaţe: B H HB cosδ sn δ (4.63) B H H B m m m m Fg.4.65 Consecnţe: ) Energa magnetcă transformată prn efect electrocalorc datortă curenţlor nduş în mezul conductor este: W m. H H m sn( ωt δ ) B B snωt db ωb W m m cosωtdt HdB Γ HdB H mωbm cosωt sn( ωt m δ )dt (4.64) 89

191 W m Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce ωb H m T m cosωt sn( ωt δ )dt (4.65) T T Wm ωbmh m cosδ cosωt snωtdt snδ cos ωtdt ntroducând relaţle: ' Bm Bm cosδ '' Bm Bm snδ (4.66) '' π '' '' expresa energe devne : W ω H mb T H mb T πh mb T (4.67) B ) Deoarece permeabltatea magnetcă în nstantaneu este µ, H defnm permeabltatea magnetcă complexă (pentru H He, δ B Be ): B µ µ (cosδ snδ ) H (4.68) unde: ' µ - permeabltatea magnetcă elastcă (conservatvă) '' µ - permeabltatea magnetcă vâscoasă (de atenuare) '' ' '' µ µ µ µ tgδ ' µ µ (4.69) ' '' r µ r µ r '' '' Întrucât Wm π H mb Wm πµ H m - perderle sunt proporţonale la o anumtă ampltudne a câmpulu magnetc (Hm) cu p ermeabltatea magnetcă vâscoasă. 3) D eoarece ωφ, ar între flux ş curent exstă un ungh de perder datorat prezenţe mezulu conductor, atunc φ µ r - reprezntă nductvtatea bobne în absenţa mezulu conductor. Bobne se aplcă, în acest caz, tensunea ωφ ω µ ' '' ' '' ( µ ) X µ X µ, unde: o X. r µ r m m X X (4.7) µ r r r Dn d agrama f azorlor complecş ş ecuaţa de ma sus rezultă schema echvalentă sere ataşată bobne: r 9

192 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent Tensunea defnm: Fg a are două componente faţă de axa curentulu ş X m m r a r sn δ cosδ m m (4.7) 4) Descompunerea curentulu în două componente, una actvă ar a doua reactvă permte asocerea une scheme echvalente paralel pentru bobna cu mez conductor. Fg Dacă consderăm: ' X µ X µ X µ r ' r ( µ ) r' ' '' µ µ r µ µ r r r (4.7) X µ r X µ X r µ r ( G m B m ) m X m unde: - G m, B m. Zm Zm Puterea absorbtă de la reţea: P cos ϕ G (4.73) m m ' '' µ P putere actva tg δ (4.74) µ ' Q putere reactva factor de caltate al elementulu de crcut. tgδ r '' 9

193 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Condensatorul real în regm permanent snusodal Dacă la bornele unu condensator se aplcă o tensune snusodală, exstă posbltatea ca această tensune să fe defazată în urma curentulu cu un ungh ma mc de π. În acest caz co ndensatorul absoarbe putere actvă de la reţea ş îl numm c ondensatorul c u p erder. Aceste p erder su nt determnate de mperfecţunle delectrculu ş procesele de polarzare cclcă. Să consderăm un condensator lnar cu perder în delectrc. Curentul prn condensator este dat de legea conservăr sarcn: dq ar în complex: ωq (4.75) dt Consderând sarcna Q în axa reală dn legle câmpulu electromagnetc rezultă: - dn le gea f luxulu e lectrc: DdA Q D nducţa electrcă în fază cu sarcna Q ; - dn defnţa tensun electrce: Edr tensunea în fază cu ntenstatea câm pulu electrc E. În baza relaţlor defnte putem constru următoarea dagramă de fazor: fază) E E(D) Fg Valorle nstantanee pentru E(t) ş D(t) sunt (alegând E orgne de E Em snωt, D Dm sn( ωt δ ) (4.76) Elmnând varabla tmp, rezultă locul geometrc al dependenţe de forma: 9

194 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent E D ED cosδ sn δ (4.77) Em Dm EmDm Energa consumată în untatea de volum a delectrculu este: W e EdD (4.78) W e Γ E m E snωtd m snωtωd [ D sn( ωt δ )dt] m m cos( ωt δ )dt (4.79) ' '' '' Notând: Dm Dm cosδ, Dm Dm snδ rezultă We πemdm aportul dntre nducţa electrcă complexă ş ntenstatea complexă a câmpulu se numeşte permtvtatea electrcă complexă. E Ee D De δ (4.8) D D ' '' ε ( cosδ snδ ) ε ε (4.8) E E ' unde: ε ε cosδ - permeabltatea elastcă (conservatvă). '' ε ω sn δ - permeabltatea vâscoasă (de atenuare). Se defneşte permtvtate relatvă complexă a condensatorulu ε ' '' ε r ε r ε r (4.8) ε Schemele echvalente ale condensatoarelor reale pot f asocate în baza următoarelor relaţ: - schema paralel Q ωc ωε C ωc ε B ε (4.83) ω r r ' '' ' '' ( ε ε ) B ε B B (4.84) r r r ε r r Fg Defnnd conductanţa de perder, respectv susceptanţa condensatorulu, rezultă: u snδ G P G - puterea actvă (4.85) 93

195 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce r cosδ B Q B - puterea reactvă (4.86) Schema echvalentă paralel trece într-o schemă sere în baza relaţlor: ' '' Ι ( ε r ε r ) (4.87) ' '' B ωc ε B ε ε B εr ε r r r r ' ε r B ε r r '' ε r ( c X c ) ( c X c ) (4.88) B ε Fg. 4.7 Aceleaş scheme echvalente rezultă dn dagrama de fazor (fg.4.7): - descompunând curenţ (în două componente perpendculare ş colnare tensun ) rezultă: u snδ G (4.89) r cosδ B u snδ c - descompunând tensunea rezultă: (4.9) cosδ X c Puterea P cosϕ c G este puterea absorbtă de reţea. Fg

196 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent 4.7. Crcute cuplate în regm permanent snusodal Tpur de cuplae Două crcute sunt cuplate dacă procesele ce au loc într-unul dn crcute nfluenţează desfăşurarea proceselor dn cel de-al dolea crcut. Cuplaele sunt de două tpur: - galvanc; - mutual. Crcutul ce conţne sursa este crcut prmar ar celălalt secundar. amura comună celor două crcute este element de c upla ( pentru cele galvance). Dstngem următoarele tpur de cuplae galvance: - cupla prn nductvtate propre Fg. 4.7 Defnm coefcentul de cupla: radacna patrata a reactan telor de reac tan ţa latur comune acelas tp cu reac tan ta comuna dn cele doua crcute X (4.9) XX X ω unde: X ω( ) (4.9) X ω( ) ( )( ) (4.93) - cupla prn capactate respectv coefcentul de cupla Fg X X X, unde: 95

197 X Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce X ωc C C X ωc ωc ω CC ωca C C ω CC ωc ωc b C C (4.94) a b (4.95) C ( C C)( C C) C C C C ω CC CC C C - cuplaul mutual realzat prn câmp magnetc Cuplaul mutual a două crcute are coefcentul de cupla X X X Fg (4.96) Orce crcut cuplat mutual p oate f re prezentat p rntr-un c rcut echvalent cuplat galvanc educerea cuplaulu mutual la cel galvanc Să consderăm două ramur de nductvtăţ ş cuplate mutual prn nductvtatea, ramur supuse dferenţe de potenţal v A v X respectv va-vx (fg.4.75). C onsderând v X v x, (acelaş potenţal), rezultă că cele două ramur au un punct comun v X v x (orcare ar f graf neconex devne conex prn alegerea potenţalulu de refernţă) (fg.4.76). Fg Fg educerea cuplaulu mutual la unul galvanc este posblă ş prn următorul artfcu matematc: 96

198 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent Fg d d d d u ( ) dt dt dt dt (4.97) d d d d u ( ) dt dt dt dt (4.98) rezultă: d d u ( ) ( ) dt dt (4.99) d d u ( ) ( ) dt dt (4.) Trecând în complex smplfcat: ω ) ω ( ) (4.) ( ( ) ω( ω ) (4.) Schema echvalentă ataşată este: Fg Pentru schema echvalentă în T, factorul de cupla este conform defnţe: ω (4.3) ω( ) ω ω( ) ω [ ][ ] Dacă bobnele au bornele polarzate opuse, atunc ecuaţle: d d ; dt dt u conduc la următoarea schemă echvalentă: d d u dt dt (4.4) 97

199 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce fg Ecuaţle trecute în complex smplfcat prn înmulţre cu * respectv cu *, conduc la ecuaţa blanţ a puterlor: * ω ± ) ω ( ± ) * (4.5) ( * * ± ) ω ( ) * { *} P cosϕ e{ ω ( )} P (4.7) * P cos e{ ω ( )} P ω ( ± (4.6) * e{ } P em ϕ (4.8) ω puterea electromagnetcă transferată prn câmp electromagnetc între prmar ş secundar. 4.8 ezonanţa crcutelor lnare în regm permanent snusodal Se consderă un dpol lnar pasv, având nclus în structura sa atât bobne cât ş condensatoare. Dpolul este exctat de un semnal snusodal ar răspunsul acestua are ampltudnea ş faza nţală dependentă de frecvenţa semnalulu de exctaţe. Dacă frecvenţa semnalulu de exctaţe ş / sau parametr dpolulu varază, atunc defazaul dntre semnalul răspuns ş de exctaţe este nul. egmul de funcţonare al dpolulu în care defazaul este nul poartă denumrea de regm de rezonanţă. Deoarece ϕ arctg Xe e sau Be arctg e ϕ anularea defazaulu mplcă Xe, sau Be, relaţ ce reprezntă condţle de rezonanţă a unu dpol ezonanţa sere (rezonanţa tensunlor) n astfel de regm poate f obţnut prn conectarea în sere a unu rezstor, bobnă deală ş condensator deal almentate fe de la un generator deal de tensune, fe de la unul deal de curent. Fg

200 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent Ecuaţa în complex a tensun la bonele dpolulu este: ϕ X X C Z C unde Z Ze (4.9) Z ( X XC ) e Xe (4.) Condţa de rezonanţă: X e πf X C X C ω ω C ω (4.) conduce la posbltăţle de realzare a rezonanţe prn: - varaţa frecvenţe semnalulu de exctaţe; - modfcarea nductvtăţ sau capactăţ. Dagrama de fazor la rezonanţă este: Fg. 4.8 mpedanţa crcutulu la rezonanta este. Zω ω ω (4.) ωc ω ω Curentul dn crcut la rezonanţă are valoare maxmă fnd lmtat numa de rezstenţa crcutulu. (4.3) Întrucât la rezonanţă ω ω C ω ω - ş sunt ndependente de tensunea de almentare este posbl ca tensunea pe elementul reactv să fe ma m are d ecât t ensunea d e almentare, c onducând l a aparţa supratensunlor. > Condţa de exstenţă a supratensunlor este: ω C ω ω ω dar C ω. N umm Z C ω ω > ; - mpedanţă caracterstcă raportul dntre tensunea pe elementul reactv ş curentul dn crcut la rezonanţă. Condţa de aparţe a supratensunlor poate f exprmată ş prn negaltatea: 99

201 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce >, Z C Z > - apar supratensun. (4.4) Numm factor de caltate al crcutulu rezonant raportul dntre tensunea pe elementul reactv ş tensunea de almentare defnt de relaţa: C C C Z Qs ωω ωω ωω nversul factorulu de caltate QS ωω. (4.5) d se numeşte factor de amortzare ce reprezntă, dn punct de vedere, fzc raportul dntre tensunea aplcată crcutulu ş tensunea de la bornele elementulu reactv. eprezentând grafc (fg,4.8): f ( ω) ş C f ( ω) : ω ω (4.6) ω ωc rezultă maxmzarea tensun pe bobna deală pentru pulsaţa: ω ω ω > ω (4.7) d ar maxmzarea tensun pe capactate pentru: C ω ω C ω d ω C < ω (4.8) fg. 4.8 Dacă ω C < atunc nu ma apar supratensun d < d > - condţa de nexstenţă a supratensunlor. Osclaţ de energe la rezonanţa tensunlor Valorle nstantanee ale en erge î nmagaznate î n câm pul el ectrc (condensator) respectv câmpul magnetc sunt:

202 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent W T u C dt cos ωt γ C ωc e C C, Wm (4.9) unde: - sn( ωt γ ) ar ( ). Energa totală înmagaznată în crcutul sere este suma energe dn condensator ş bobnă, ar la rezonanţă, energa înmagaznată are valoarea: W cos ωt γ sn ωt γ (4.) r ( ) r [ ( ) ( )] ( ) r sau funcţe de valoarea maxmă a curentulu: m Wr m C m ct. (4.) Concluze: a rezonanţă au loc osclaţ neamortzate ale energe între bobne ş condensatoare. Î n acest r egm n u ar e loc schmb de energe între surse ş câmpul electromagnetc al crcutulu. Sursele furnzează energe numa rezstoarelor în care se produc efecte Joule-entz ezonanţa de curent (paralel) Acest regm p oate f re alzat la b ornele u nu c rcut f ormat d n gruparea paralel,, C almentată de la o sursă snusodală de tensune sau de curent (fg.4.83). fg Curentul absorbt de dpol este: C du G dt C dt Trecând în complex relaţa de ma sus obţnem: [G (B B )] Y cu C G B (4.) (4.3) Condţa de obţnere a rezonanţe mpusă dpolulu conduce la posbltăţle practce de obţnere a rezonanţe: B B BC ω C (4.4) ωc

203 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Admtanţa crcutulu : Y G B la rezonanţă devne: Y G. eprezentarea funcţe de frecvenţă a admtanţe ş susceptanţelor este redată în fg Fg a rezonanţă C ar curentul absorbt de la sursă, r G, - are valoare mnmă. Deoarece C este posbl în cazul rezonanţe paralel ca valoarea efectvă a curentulu prn elementul reactv să fe mult ma mare decât valoarea curentul absorbt de la reţea: C ω ω > ω ω ; ω C G > dar ω C C > G Satsfacerea aceste condţ conduce la aparţa supracurenţlor. Notând: - C Y Q C Y - admtanţa caracterstcă ωω ωc r r C - factorul de caltate al crcutulu: C ω C G Y G curent pe elementul reactv tensunea crcutulu. (4.5) r p /d (4.6) ω ω ωω r condţa de aparţe a supracurenţlor devne: C > G Osclaţle de energe ce au loc în bobnă ş condensator conduc la aceleaş concluz ca ş în cazul rezonanţe tensunlor ezonanţa de curenţ în crcutele cu elemente reale Se consderă crcutul paralel format dntr-o bobnă reală ( ş ) ş condensator real ( ş C) cărora l se ataşează schema echvalentă sere:

204 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent Fg Ecuaţle în domenul tmp ş complex ale crcutulu sunt: u y u y e e Y Y Y Y ) Y (Y (4.5) Admtanţa complexă echvalentă a crcutulu este : e C C ) ( C Y Y Y ω ω ω ω ω ω (4.6) e e e B G C C ) ( C ) ( Y ω ω ω ω ω ω (4.7) mpunând condţa de rezonanţă B e rezultă: C C ) ( B e ω ω ω ω (4.8) posbltăţle de obţnere a rezonanţe prn modfcarea:, C,,, ω - frecvenţa reţele. Dagrama fazorlor la rezonanţă poate f una dn varantele expuse în fg.4.85: Fg Concluze: Dn dagrama de fazor rezultă componentele reactve ale curenţlor egale ş opuse (curenţ ş pot f dferţ). 3

205 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Este posbl ca amb curenţ ( ş ) sau unul dn curenţ să depăşească curentul total r la rezonanţă ceea ce produce supracurenţ. Dacă rezonanţa se realzează prn varaţa frecvenţe surse de exctaţe, dn condţa Be rezultă pulsaţa de rezonanţă: ω ωc ; ω r C C (4.9) ω ω C C C ω C ω C r (4.3) C C Cazur de obţnere a rezonanţe: a) b) > ş C < ş C c) dacă > atunc ωr este o mărme reală; C < atunc ωr este o mărme reală; C C atunc rezonanţa are loc la orce frecvenţă a semnalulu de exctaţe. În această stuaţe: - admtanţa echvalentă este : C Y C G (4.3) ω C C ωc - crcutul este complet aperodc ş curentul este ndependent de frecvenţă, având valoarea:. - defazaul dntre ş în orce moment ş la orce frecvenţă este de 9 o. 4

206 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent Fg tgϕ ω ω C (4.3) C tg ωc V ω C ϕ (4.33) tgϕtgϕ π ϕ ϕ (4.34) - Dn dagrama de fazor rezultă că tensunea pe condensator C ş curentul prn bobnă sunt în fază ar energle înmagaznate în elementele reactve sunt: W ş W (4.35) e C e m Energle câmpulu magnetc ş electrc osclează în fază de aceea nu se produc osclaţle de energe. Dacă uc ş cresc, at unc su rsele (generatoarele) furnzează energe atât rezstoarelor cât ş câmpul electromagnetc al crcutulu, când uc ş descresc energa înmagaznată în câmp se transformă în efect electrocalorc ezonanţa în crcute cuplate magnetc ndependent de natura cuplaulu a două crcute, este posbl ca prn varaţa fe a frecvenţe semnalulu de exctaţe, fe a parametrlor să se realzeze rezonanţa în crcutul prmar sau în cel secundar sau smultan în ambele crcute. Să consderăm crcutul cuplat magnetc dn fgura 4.88: Fg

207 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Ecuaţle în complex ale celor două ochur furnzează relaţle: C C ω ω ω ω ω ω (4.36) ) X ( ) X ( ω ω X ω ω (4.37) X X ω sau: X X X X ω ω (4.38) mpedanţa echvalentă la poartă de ntrare este: e e e X Z unde: - e X X X X ω - reprezntă reactanţa echvalentă a porţ de ntrare. Pentru a obţne rezonanţa prn varaţa frecvenţe la poarta de acces a crcutulu prmar este necesar ş sufcent ca Xe:. (rezonanţa tensunlor) rezultând: C C C r r r r r r r ω ω ω ω ω ω ω (4.39) Făcând aproxmaţa X <<, rezultă: C C r r r r r ω ω ω ω ω sau (4.4) ( ) ( ) 4 C C C C C C r r ω ω (4.4) Înmulţnd relaţa de ma sus cu C C rezultă: 4 4 C C C C r ω r ω (4.4) 6

208 Captolul 4. Crcute electrce lnare în regm armonc permanent Notând σ denumt coefcent de dsperse ecuaţa de ma sus 4 σωr ω ω ω r ωω. ădăcnle reale ş poztve ale aceste ecuaţ sunt: poate f scrsă în forma: ( ) ( ω ω ) ' '' ω ω ± 4σωω ωr, ωr (4.43) ş reprezntă valorle pulsaţlor la care are loc rezonanţa tensunlor. Dacă cuplaul este slab σ soluţle tnd la valorle propr de ' '' rezonanţă ale crcutulu prmar respectv secundar ω r ω ; ωr ω. În tre pulsaţ exstă negaltăţle: ' ''' ' ω r < ωr < ωr (4.44) În consecnţă în astfel de crcute exstă ma multe frecvenţe de rezonanţă. ezonanţele de tensune ş de curent se succed astfel, după o rezonanţă a tensunlor următoarea rezonanţă la creşterea frecvenţe este de curent. 7

209

210 CAPTO 5. CADPO EECTC 5.. Generaltăţ Dntre s stemele te hnce, la c are a plcarea teore c uadrpolulu prezntă un nteres deosebt, pot f menţonate: transformatoarele electrce, fltrele electrce, ln le electrce l ung, amplfcatoarele, a tenuatoarele, crcutele de corecţe ale sstemelor de reglare automată, unele crcute electrce de măsură, maşnle electrce sau combnaţ ale acestora, etc. Deoarece î n te ora c uadrpolulu comportarea c rcutelor e lectrce cuadrpolare se urmăreşte faţă de bornele de legătură cu exterorul, pentru studul crcutelor respectve se folosesc semnale care se defnesc faţă de borne, respectv care se măsoară la borne. Astfel de semnale sunt tensunle la borne ş curenţ prn borne. O altă grupă de parametr care se d efnesc, respectv se măsoară la borne, o consttue parametr cuadrpolulu, despre care se va vorb ulteror. Port Port ntrare ețea _ eșre _ Fg 5. În f g.5. est e p rezentat g enerc u n cu adrpol, p entru ca re au f ost ndcate semnalele de acces în borne. Dacă pentru fecare dntre perechle de borne - ş - ale cuadrpolulu curenţ prn borne sunt egal ş de sens contrar faţă de cuadrpol, el se numeşte cuadrpol sau dport. Pentru acesta se pot scre ecuaţle: ' ' (5.) (5.) 9

211 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Denumrea de cuadrpol dport provne de la aceea că el poate f consderat ca având două porţ. Prn poartă se înţelege o pereche de borne pentru care este îndeplntă condţa ca suma algebrcă a curenţlor dn conductoarele crcutulu exteror conectate la bornele respectve să fe nulă. Generalzând această termnologe, un multpol cu n borne d e a cces, grupate în n porţ se numeşte multport sau n-port. Bornele cărora l se aplcă o tensune dn exteror sunt borne receptoare ş se numesc de ntrare sau prmare, ar b ornele l a car e su nt conectate crcute receptoare sunt borne generatoare ş se numesc borne de eşre sau secundare. Pentru screrea ecuaţlor cuadrpolulu, se adoptă regula d e as ocere a s ensurlor d e r efernţă de la receptoare la bornele de ntrare ş regula de asocere a sensurlor de refernţă de la generatoare la bornele de eşre. Cuadrpol se pot clasfca pe baza aceloraş crter care se utlzează ş în teora crcutelor electrce. Astfel, cuadrpol p ot f a ctv s au p asv după cum conţn sau nu surse de energe; dacă sursele nu sunt ndependente e se numesc neautonom. O clasfcare ma largă se face pe baza teoreme recproctăţ în cuadrpol recproc ş nerecproc. După comportarea faţă de cele două perech de borne se deosebesc cuadrpol smetrc ş nesmetrc. După caracterul parametrlor elementelor de crcut componente cuadrpol pot f lnar ş nelnar, cu parametr concentraţ sau parametr repartzaţ. n cuadrpol poate f almentat în sens drect ( pe la poarta de ntrare), sau în sens nvers ( la poarta de eşre). Crcutelor electrce d e t p cu adrpol l e co respund sch eme el ectrce cuadrpolare, pe baza cărora se studază aceste crcute. Metodele specfce de r ezolvare a s tructurlor c uadrpolare c onsttue teora cuadrpolulu. Î n această teore comportarea crcutelor electrce se urmăreşte faţă de bornele de legătură cu exterorul. Această partculartate caracterstcă lmtează

212 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce domenul de aplcaţe al teore cuadrpolulu în specal la acele probleme la care este sufcent să se cunoască curenţ ş tensunle la borne. O partculartate esenţală a teore cuadrpolulu constă în aceea că permte rezolvarea crcutelor electrce cuadrpolare faţă de perechle de borne în legătură cu exterorul, char fără cunoaşterea în detalu a structur lor nteroare. 5.. Multpol. Cuadrpol general ş cuadrpol dporţ În cel ma general înţeles, cuadrpolul electrc este un crcut electrc care a re p atru b orne d e acc es cu exterorul. Asupra st ructur nterne a cuadrpolulu nu se mpune nc o restrcţe, astfel încât ea poate să fe oarecare. Numa în ceea ce prveşte legătura cuadrpolulu cu exterorul se mpune condţa că aceasta să se facă exclusv pe la borne. Noţunea de cuadrpol electrc nu se referă la un anumt crcut electrc.ea are u n d omenu d e ap lcabltate f oarte larg, r eferndu-se n prncpu la toate crcutele care satsfac defnţa dată. Crcutelor electrce cuadrpolare l e co respund scheme elecrce cuadrpolare, pe baza cărora se studază aceste crcute. În unele cazur structura cuadrpolară apare explct numa în schemele electrce. Crcutele ş schemele electrce cuadrpolare se întâlnesc într-un număr mare în dfertele domen ale electrotehnc ş ele se referă la ssteme tehnce de cea ma mare mportanţă practcă. Noţunea de cuadrpol nu trebue însă înţeleasă numa în sensul smplu al dentfcăr unor structur cu patru borne de acces. mportanţa aceste noţun apare în legatură cu exstenţa une metode specfce de rezolvare a structur cuadrpolare, metodă care se încadrează într-un s stem or ganzat de cunostnţe, care consttue teora cuadrpolulu. Teora c uadrpolulu f ace p arte d n teora c rcutelor e lectrce, f nd caracterzată prn anumte partculartăţ, care determnă de altfel ş domenul d e p robleme unde f olosrea e est e c ea m a r aţonală. În teora cuadrpolulu comportarea crcutelor electrce se urmăreşte faţă de bornele

213 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce de legatură cu e xterorul. Această partculartate c aracterstcă lmtează domenul de aplcaţe al teore cuadrpolulu în prncpal la acele probleme, la care este sufcent să se cunoască curenţ ş tensunle la borne. Este ev dent c ă rezolvarea crcutelor e lectrce cu adrpolare, atunc când structura l or nteroară este cunoscută, se p oate face ş pr n m etode obşnute ale teore crcutelor el ectrce. În problemele menţonate, aplcarea teore cuadrpolulu conduce în general la o smplfcare esenţală a operaţe de stablre a ecuaţe schemelor cuadrpolare, în prncpal că nu necestă determnarea curenţlor ş tensunlor dn nteror. Acest avanta devne c u atît m a e vdent, c u c ât schema electrcă a crcutulu este ma complexă. Teora cudrpolulu conduce dec la o rezolvare expedtvă ş prn aceasta la o însemnată econome de tmp. O partculartate esenţală a teore cuadrpolulu constă în aceea că permte rezolvarea crcutelor electrce cuadrpolare faţă de perechle d e borne în legatură cu exterorul, char fară cunoaşterea în detalu a structur lor nteroare. Această observaţe se referă la cazul când cuadrpol sunt realzaţ. Dacă cuadrpolul realzat are o structură foarte complcată sau necunoscută, teora cuadrpolulu oferă sngura metodă de analză ce poate f practc aplcată. Permţând tratarea untară a unor probleme de bază ce ntervn la un număr mare de crcute electrce cuadrpolare care altfel pot f dferte atât ca strucură cât ş ca domen de aplcaţe, se poate consdera că teora cuadrpolulu consttue partea comună a teore acestor crcute. Deoarece în te ora c uadrpolulu comporarea c rcutelor e lectrce cuadrpolare se urmăreşte faţă de bornele de legatură cu exterorul, este natural ca în cadrul aceste teor să se folosească pentru studul crcutelor respectve mărm care se defnesc faţă de borne, respectv care se m ăsoară la borne dacă cuadrpolul este realzat. Astfel de mărm sunt tensunle la borne ş curenţ prn borne. O altă grupă de mărm care se defnesc, respectv se măsoară la borne, o constue parametr cuadrpolulu. În fg.5. se ndcă curenţ pr n bor ne pentru un c uadrpol oa recare. Î n total

214 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce sunt pa tru c urent (, ',, ' ), ş şase tensun la borne ( ', ', ', ', ', ' ) c orespunzătoare cel or 6 C 4 perech de borne care se pot consdera. Dntre acestea se consderă prncpalele perech de borne ş. Dacă pentru fecare dntre perechle de borne ş a le cuadrpolulu c urenţ pr n bor ne s unt e gal ş d e sen s c ontrar f aţă de cuadrpol, el se numeşte cuadrpol în înţeles restrâns sau cuadrpol dport. Dacă curenţ prn borne sunt dferţ el se numeste cuadrpol general. În cazul unu cuadrpol dport se pot scre relaţle: ' ' ş (5.3) care nu sunt sat sfacute de c uadrpolul ge neral. A tunc c ând s e f oloseşte termenul smplu de cuadrpol, fără nc o specfcaţe, se înţelege obşnut cuadrpol dport. Denumrea de cuadrpol dport provne de fapt, dn consderaţa că acest tp de cuadrpol poate f prezentat ca având două porţ. Prn poartă se înţelege o pereche de borne la care este îndeplntă condţa că suma algebrcă a curenţlor dn conductoarele crcutulu exteror conectate la bornele respectve să fe nulă relaţa (5.3). Generalzând această termnologe, un multpol c u n borne de a cces, gr upate î n n porț se numeşte multport sau n-port. Bornele, cărora l se aplcă o tensune dn exteror, sunt bor ne receptoare ş se n umesc b orne d e ntrare sau p rmare, ar bornele, la car e sunt co nectate crcute r eceptoare, sunt bor ne ge neratoare ş se n umesc borne de eşre sau secundare. Pentru screrea ecuaţlor, obşnut se adoptă regula de a socere a sensurlor de refernţă de la receptoare la bornele de 3

215 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce ntrare ş regula de asocaţe a sensurlor de refernţă de la generatoare la bornele de eşre. Pentru o ma bună întelegere a noţunlor de cuadrpol dport ş cuadrpol general sunt necesare unele explcaţ. Cuadrpolul în înţeles restrâns apare în general ca un crcut ntermedar între un generator ş un receptor, ca re n u su nt l egate d rect în tre e le. O astfel de dspozţe este arătată schematc în f g.5.. În această fgură se consderă un c uadrpol pasv, f ormat d ntr-o combnaţe oarecare de rezstenţe, nductvtaţ ş capactaţ. a bor nele, al e cu adrpolulu este co nectat u n g enerator de t.e.m. e ş mpendanţă nteroară Z, ar l a b ornele est e co nectat crcutul receptor caracterzat prn mpendanţa Z. B ornele s unt d ec borne de ntrare, ar sunt borne de eşre. Se poate obs erva între generator ş receptor nu exstă nc o altă legătură în afară de cea realzată prn ntermedul cuadrpolulu. Egaltatea curenţlor pentru fecare dntre perechle d e bor ne ş este astfel evdenţată. a cuadrpolul dport schmbul de putere electromagnetc cu exterorul se face pe la cele două perech de borne ş (porț), la care sunt conectate crcutele dpolare exteroare. Pe măsură ce crcutele electrce sunt ma complexe apare necestatea consderăr cazurlor ma generale ş anume când curenţ prn borne, pentru fecare dn perechle de borne ş ale cuadrpolulu nu ma sunt egal. Se poate obţne în mod smplu o magne despre cuadrpolul general, presupunând că între bornele ş a le c uadrpolulu se c onectează mpedanţa exteroara Z3. Datortă curentulu 3 care se stableşte în mpedanţa Z3 curenţ pr n borne ş, r espectve ş, nu m a s unt egal. În aceste condţ, cuadrpolul încadrat în c henar este un c uadrpol ' general ( ş ' ). Dacă se consderă Z, dec 3, cuadrpolul devne dn nou cuadrpol restrâns. 4

216 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce Cuadrpolul general presupune dec exstenţa unu schmb de putere electromagnetc cu exterorul ş pe la bornele, la care este conectată mpedanţa exteroara Z3. Deoarece cuadrpolul general poate f prezentat ca având tre porţ el se ma numeşte ş cuadrpol trport. Deş în cazu l cuadrpolulu general curenţ prn borne sunt dferţ, în c rcutele exteroare ale fecărea dntre cele 3 perech de borne curenţ sunt egal. a început teora cuadrpolulu (dport) a fost formulată în legătură cu rezolvarea unor probleme de telecomuncaţ. În scurtă vreme ea a fost aplcată în cele ma dferte domen ale electrotehnc ş c har în a lte domen. Astfel noţunea de cuadrpol a fost generalzată ş pe ntru un ele ssteme mecance. mportanţa teore cuadrpolulu dport a fost confrmată pe depln în cursul celor aproxmatv şase decen de la prmele e formulăr. Dntre s stemele te hnce la c are aplcarea teore c uadrpolulu d port prezntă un nteres de osebt pot f m enţonate: ln e lectrce lu ng, fltre electrce, amplfcatoare, atenuatoare, transformatoare electrce, crcute de corecţe ale sstemelor de reglare automată, gratoare, unele crcute electrce de m ăsură, maşn el ectrce sau co mbnaţ a le a cestora e tc. T eora cuadrpolulu general este dată ma recent. Dn punct de vedere al utltăţ practce, în pr ezent pe pr mul pl an s e g ăseşte încă teora cu adrpolulu dport. Problemele legate de rezolvarea schemelor electrce dn ce în ce ma complexe deschd însă teora cuadrpolulu general un domenu de aplcaţe tot ma larg. Cuadrpol se pot clasfca pe baza aceloraş crter care se utlzează ş în teora crcutelor electrce. Astfel cuadrpol pot să fe actv sau pasv, după cum conţn sau nu surse de energe; dacă sursele su nt ndependente cuadrpol ( actv) s e num esc autonom, ar da că sursele nu s unt ndependente e se n umesc neautonom. O clasfcare ma largă se face pe baza t eoreme r ecproctăţ în cuadrpol re cproc ş nerecproc. După comportament faţă de cele două perech d e b orne se d eosebesc cu adrpol smetrc ş nesmetrc. După caracterul parametrlor elementelor de crcut 5

217 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce componente cuadrpol pot f: lnar ş nelnar; cu parametr concentraţ ş parametr repartzaţ. Dacă transferul de energe are l oc numa într-un sngur sens cuadrpol se numesc undrecţonal, ar dacă are loc în ambele sensur e se numesc bdrecţonal. Se ma pot deoseb cuadrpol de curent contnuu ş curent alternatv Cuadrpol rezstv nelnar a. Ecuaţ caracterstce. Cuadrpolul rezstv nelnar se defneşte la fel ca dpolul rezstv nelnar; este un element de crcut statc; ecuaţle pe care le satsfac tensunle ş curenţ sunt ecuaţ de stare nelnară; în locul curbe caracterstce tensune-curent sau curent-tensune, ntervn s uprafeţe caracterstce bdmensonale în s steme de c oordonate trdmensonale, ar ecuaţle capătă formele următoare: Fg. 5. (u,u); (u,u) (5.4) pentru cuadrpolul cu control de tensune la ntrare ş eşre; uu(,); uu(,) (5.5) pentru cuadrpolul cu controlul de curent la ntrare ş eşre; uu(,u); (,u) (5.6) pentru cuadrpolul cu control de curent la ntrare ş tensunea la eşre; (u,); uu(u,) (5.7) 6

218 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce pentru cuadrpolul cu control de tensune la ntrare ş de curent la eşre. De ex emplu, ecu aţe u (,) î co respunde suprafaţa caracterstcă reprezentată în fg.5.. b. Analza unu cuadrpol rezstv nelnar prn metoda mclor componente (analza la semnal mc). Fe c uadrpolul rezstv n elnar c u c ontrol d e curent la c are e c onectat la bornele de ntrare un generator ndependent de tensune electromotoare e, în sere cu rezstorul, ar la eşre e conectat rezstorul. Tensunle u,u ş curenţ, sunt soluţ ale ecuaţlor cuadrpolulu. uu(,); uu(,); (5.8) ş ale ecuaţlor ochurlor de la ntrare ş eşre, ue-; u; (5.9) Fg. 5.3 Exstenţa ş unctatea soluţlor ecuaţlor ( ) depnde de nelnartatea funcţlor u(,) ş u(,); soluţa poate f uncă, să nu exste ş pot f ma multe soluţ. Fe,,, soluţa uncă a sstemulu de ecuaţ ( ) corespunzând une t.e.m. contnue E: (,); (,); (5.) E-;; (5.) Dacă suprafeţele caracterstce u(,) ş u (,) s unt s ufcent d e netede, une mc varaţ a t ensun ge neratorulu e ( t),( e( t) << E), e(t)e e(t), î corespund mc varaţ a le te nsunlor u(t) ş u(t), respectv ale curenţlor (t) ş (t), denumte ncrementale, u(t) u(t) ;u(t) u (t); (5.) 7

219 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce (t) (t); (t) (t). (5.3) Analza c uadrpolulu rezstv n elnar la s emnalul m c p erturbator e(t) e smlară cu analza corespunzătoare a re zstorulu n elnar. Înlocund e xpresle l u e, u,u,, dn ( 9-) în ecuaţle (5-6) ș ţnând seama de (7-8) rezultă: uu(, ); uu(, ); (5.4) u e- ; u ; (5.5) Dacă se dezvoltă în se re Taylor membr a ecuaţlor 5- ş se reţn numa prm tre termen a dezvoltăr, se obţne: u u u (, ) (, ) u u (, ) (, ) ( ) ( ) ; u u u (, ) (, ) u u (, ) (, ) ( ) ( ) ; (5.6) (5.7) în care s-a notat cu ) ş ) rezstenţele dnamce de ntrare ş cu ( ( ( ) ş ( ) rezstenţe dnamce de transfer: u u ( ) ; ( ) ; (5.8) ( u u ) ; ( ) ; (5.9) Înlocund (5.3) ş (5.4) în (5.) se deduc ecuaţle: u ( ) ( ) ; u ( ) ( ) ; (5.) sau matrcal: în care: u r, 8

220 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce u, u ; ; u. (5.), a semnal mc, ecuaţle nelnare (5.7) trec în ecuaţle lnare corespunzătoare (5.7) ş cuadrpolul este lnar fg. 5.. Î n punc tele de funcţonare P (,, ) dn spaţul,, u suprafeţele caracterstce u u, ),, se aproxmează prn planele tangente. ( ezolvând ecuaţle (5.5) ş (5.), se obţn răspunsurle ncrementale u, u ş la semnal mc e,, e; e; (5.) ( ) u e; u e; (5.3) ( )(. (5.4) ) 5.4. Elemente cuadrpolare de crcut Surse comandate Sursele deale s unt modele matematce care modelează generatoarele reale (fzce) de tensune sau curent. Sursa deală de tensune are mpedanţă de eşre nulă. Sursa deală de curent are mpedanţa de eşre nfntă. Smbolul, relaţle matematce ş caracterstca (,u) sunt prezentate în fgura de ma os: (t) (t) V sau (t), uorcât Fg

221 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Sursele comandate sunt modele matematce ce caracterzează elemente de crcut de tp dport, care la poarta de eşre pot f modelate ca surse deale, valoarea mărm de eşre (tensune sau curent) fnd dependentă de valoarea mărm de ntrare (tensune sau curent). Ele modelează crcute reale care îndeplnesc funcţa de amplfcare. După tpul mărm comandate (de eşre) ş cel al mărm de comandă (de ntrare) întâlnm 4 tpur de surse comandate: - sursa de tensune comandată în tensune (STCT): u A u - sursa de tensune comandată în curent (STCC): u r u - sursa de curent comandată în curent (SCCC): u A u - sursa de curent comandată în tensune (SCCT): u g u Amplfcatorul operaţonal (AO) e ste un crcut ( ntegrat s au d scret) prevăzut cu două borne de ntrare ş o bornă de eşre, furnzând la eşre o tensune (faţă de masă) egală cu replca amplfcată a tensun dntre cele două borne de ntrare. Smbolul utlzat pentru AO este prezentat ma os:

222 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce v v - v o (t) A (v -v ) - Fg. 5.5 Amplfcatorul operaţonal realzează amplfcare mare, bandă de frecvenţă sufcent de largă în aplcaţ uzuale, mpedanţă de ntrare mare ş cea de eşre mcă. În funcţe de aplcaţa concretă, modelul adoptat pentru AO poate f dfert. Aceste modele se împart în două categor: lnare ş nelnare. Cel ma smplu (ş ma utlzat) model lnar este cel numt nulatornorator, aceste două cuvnte desemnând denumrle unporţlor degeneraţ ce modelează ntrarea, respectv eşrea amplfcatorulu operaţonal. În acest model, de numt amplfcator operaţonal deal, acc eptabl î n maortatea aplcaţlor, se consderă amplfcarea, banda de frecvenţă ş mpedanţa de ntrare nfnte, ar mpedanţa de eşre nulă. Smbolul ş relaţle matematce sunt prezentate ma os: Fg. 5.6 Se pot face o sere de observaţ în legătură cu acest model: - nulatorul ş noratorul apar întotdeauna în pereche; - noratorul are întotdeauna un termnal legat la masă; - nulatorul mpune două restrcţ semnalelor aplcate la bornele sale, ar noratorul nc una;

223 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce - pe model nu sunt preczate bornele de ntrare nversoare ş nenversoare, însă într-o aplcaţe concretă ele se preczează în aşa fel încât stabltatea crcutulu să fe asgurată. Analza crcutelor cu AO se face în cazurle smple cu legle lu Krchoff, ar î n cazu r ma co mplcate cu metoda Nathan, care este în esenţă o generalzare a te oreme te nsunlor n odale p entru crcute c u e lemente degenerate. În ambele metode deea este de a folos cele restrcţ pe care le mpune nulatorul. enunţând pe rând la dealzărle făcute în modelul de ma sus se obţn o sere de modele lnare care se aprope dn ce în ce ma mult de amplfcatorul operaţonal real, care are amplfcare fntă ş dependentă de frecvenţă, mpedanţă de ntrare mare, dar fntă, mpedanţă de eşre mcă, dar nenulă. În ca zul î n care nvelul se mnalulu d e ntrare este s ufcent d e mare pentru a oblga tensunea de eşre să atngă valoarea tensun de almentare este necesară adoptarea unu model nelnar. Două sunt nelnartăţle prncpale care se manfestă în funcţonarea AO: ntrarea în saturaţe ş vteza maxmă de varaţe a semnalulu la eşre (slew-rate, v teza de osclațe este defntă ca vteza de varațe a tensun pe untatea de tmp). Prma este pusă în evdenţă ma os c u a utorul unor c aracterstc d e t p comparator, respectv de amplfcator cu lmtare: amplfcator lnar Fg. 5.7

224 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce Fg. 5.9 A doua manfestare nelnară constă în aceea că, în funcţonarea cu nvel mare al semnalulu de ntrare ş la frecvenţă rdcată, semnalul de la eşrea AO nu ma reuşeşte să urmărească varaţle rapde ale semnalulu aplcat la ntrare, astfel încât forma tensun de eşre apare dstorsonată (la frecvenţe foarte mar, practc trunghulară). Se pune astfel în evdenţă o vteză maxmă de varaţe a semnalulu la eşrea AO, denumtă slew-rate (S), măsurată în V/μs ş care consttue un parametru de catalog. Explcaţ ma amănunţte asupra orgn aceste manfestăr vor f prezentate la cursul de Crcute ntegrate lnare. Pentru scopul aceste prezentăr ne vom mulţum cu un calcul smplu care lustrează relaţa dntre acest parametru ş mărmle dn crcut. Să presupunem că la eşrea AO avem un semnal snusodal cu ampltudnea Vo ş pulsaţa ωo: (t)v sn v o ω t (5.5) Se şte că vteza de varaţe a une mărm este dată de dervata acestea în raport cu tmpul, în consecnţă vteza de varaţe a tensun la eşrea AO se calculează cu relaţa: dvo V oω o cosω ot dt (5.6) de unde rezultă că valoarea maxmă a acestea este: dvo S ( ) max V oω o [V/ µ s] dt (5.7) Se pot face acum o sere de observaţ: 3

225 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce - această manfestare nelnară apare ma întâ la trecerle p rn zero a le semnalulu de eşre; - S se determnă măsurând panta semnalulu trunghular de la eşre (la cursul d e crcute ntegrate lnare se va arăta că, în realtate, pantele crescătoare ş descrescătoare nu sunt rguros egale); - într-o aplcaţe concretă, cunoscând valoarea tensun de almentare ( egală cu valoarea maxmă la care ar putea aunge Vo ) ş ctnd dn catalog valoarea S pentru amplfcatorul operaţonal folost se poate determna valoarea maxmă a frecvenţe de lucru până la care această manfestare nelnară nu va apare, mărme denumtă bandă de câştg ntegral: S ω max (5.8) V Scheme echvalente ale tranzstoarelor bpolare O aplcaţe a elementelor actve comandate o consttue utlzarea lor în stablrea schemelor echvalente ale tranzstoarelor NPN ș PNP. Se consderă tranzstorul PNP al căru smbol, cu borna comună la bază, este reprezentat în fg.5.5, în care s-a adoptat regula de asocere a sensurlor de refernţă de la receptoare pentru ambele porţ ale cuadrpolulu. Ecuaţle Ebers-Moll, al e t ranzstorulu, co nsderat el ement d e c rcut cuadrpolar cu control de tensune, sunt următoarele: qeue / T qeuc / T a ( e ) a ( e ); (5.9) e qeue / T qeuc / T a ( e ) a ( e ); (5.3) c 4

226 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce a b Fg. 5. În care s-a notat cu: qe-sarcna electrcă a electronulu, -constanta lu Boltzmann, T -temperatura î n gr ade Kelvn, u e, uc -tensunle la bornele cuadrpolulu, e, c- curenţ corespunzător ş a constante. Elmnând între cele doua ecuaţ termenul în care s-a notat: a α c a ; e q u / T e e ş apo termenul e q u / T e c se obţn ecuaţle: q u / T eαcce ( e e e ) (5.3) e ). (5.3) q u / T αeecc( e c a α e ; e a ; a a a a aa c a. (5.33) a În membr a ecuaţlor ( ) se regăsesc expresle curenţlor dode semconductoare cu oncţune PN având caracterstca Schot. Prn urmare e este ntenstatea curentulu nvers de saturaţe a dode emterbază cu colectorul deschs ( c,) ş c este ntenstatea curentulu nvers de saturaţe a dode colector-bază cu emterul deschs ( e). Ecuaţlor ( ) le corespunde schema echvalentă reprezentată în f g 5..b, c onţnând dode cu oncţun ş su rse co mandate (generatoare de curent cu control de curent). În fg.5..a s-au reprezentat caracterstcle e(ue) pentru dferte valor ale curentulu c ş caracterstcle c(uc) pe ntru d ferte v alor a le c urentulu e. Î ntr-o prmă aproxmaţe, caracterstcle se înlocuesc cu segmente de dreaptă. 5

227 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Transformatorul deal Transformatorul deal este un model dealzat al transformatorulu fără perder c u c upla p erfect. a acest m odel se a unge co nsderând permeabltatea magnetcă relatvă a mezulu foarte mare. În acest caz reluctanţa mezulu poate f consderată nulă ş teorema lu Ampère: Φfm NN, (5.34) devne: NN, (5.35) Împărţnd ecuaţa cu N ţnând cont de e xpresa r aportulu d e transformare, se obţne expresa smplă: N n, unde n (5.36) N a nversarea sen sulu d e înfăşurare a l une a d ntre b obne ( de exemplu, una secundară relaţa dntre curenţ se scre: - n, (5.37) De r emarcat c ă puterea totală la b ornele t ransformatorulu deal e ste nulă: Pu u u n (-/n) u - u, (5.38) nterpretarea acestu rezultat este smplă: energa acumulată în câmpul magnetc d n t ransformatorul deal est e n ulă. S mbolul transformatorulu deal este prezentat în fgura de ma os. Fg. 5. 6

228 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce care reprezntă ecuaţle transformatorulu deal, a vând r aportul de transformare egal cu raportul rezstenţelor de graţe, n r g ; (5.39) n r g a) O bobnă de n ductvtate C r g, ş curent nţal ( ) este echvalentă cu un condensator de capactate C ş t ensune nţală u c () rg (), conectat la bornele unu grator de rezstentă de graţe rg. Înlocund în ecuaţle caracterstce curentul prn condensator, se obţne: du C, (5.4) dt du u rg C. (5.4) dt Dervând în raport cu tmpul amb membr a cele de a doua ecuaţe caracterstca ş înlocund dn care se deduce echvalenţa: du în ecuaţa (5.3) rezultă: dt d u r g C, (5.4) dt r g C. (5.43) Dn a doua ecuaţe caracterstcă scrsă la momentul t rezultă uc()rg(); b) n c ondensator d e cap actate C r g ş tensune nţală uc() est e uc () echvalent cu o bobnă de nductvtate ș curent nțal (), rg 7

229 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce conectată la bornele unu grator d e r ezstenţă de graţe r g. D emonstraţa este smlară Cuadrpol n regm permanent snusodal Ecuaţle cuadrpolulu elaţle stablte între curenţ ş tensunle la borne reprezntă ecuaţle cuadrpolulu. Acestea caracterzează complet comportarea cuadrpolulu faţă de bornele de legătură cu exterorul. Se pot stabl două astfel de relaţ, pentru cele două porţ ale cuadrpolulu. Se consderă (fg.5.) un cuadrpol lnar pasv funcţonând în regm permanent snusodal. Fg. 5. Se analzează cuadrpolul dat cu metoda curenţlor de buclă. Crcutul conţne b bucle ndependente dn care una este cea care conţne poarte de ntrare, ar o a doua va conţne poarta de eşre. Sstemul dat de metoda curenţlor de buclă va avea b ecuaţ dn care se pun în evdenţă cele corespunzătoare buclelor ce conţn cele două porţ: Z Z Z b ' ' ' Z Z Z b ' ' ' Z Z Z b b bb ' b ' b ' b (5.44) Curenţ celor două porţ s e vor d etermna cu autorul t eoreme suprapuner efectelor: 8

230 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce ' ' (5.45) Sstemul dat de metoda curenţlor de buclă se rezolvă de exemplu prn regula lu Krammer : ( ) ' Z Z Z Z Z Z bb b b b (5.46) ( ) ' Z Z Z Z Z Z bb b b b (5.47) în care s-a notat prn determnantul sstemulu: bb b b b b Z Z Z Z Z Z Z Z Z (5.48) Curenţ celor două porţ ale cuadrpolulu analzat se pot scre dec sub forma: (5.49) 9

231 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Coefcenţ acestor ecuaţ au valor complexe ş dmensunea unor admtanţe, aşa încât se pot face următoarele notaţ: Y Y Y Y (5.5) Cu aceste notaţ, curenţ celor două porţ ale cuadrpolulu au forma: Y Y Y Y (5.5) Sstemul obţnut reprezntă ecuaţle cuadrpolulu în funcţe de parametr admtanţă. Aceste ecuaţ pot f scrse ş matrcal sub forma: Y (5.5) în care: [ ] [ ] [ ] Y Y. (5.53) Y Y [ ] [ ] [ Y] Sstemul ecuaţlor cuadrpolulu în raport cu parametr admtanţă se rezolvă funcţe de tensunle celor două porţ ale căror tensun sunt consderate necunoscute. unde s-a notat: Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y (5.54) 3

232 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce Y Y Y (5.55) Y Y Coefcenţ curenţlor dn sstemul anteror au dmensunea unor mpedanţe ş se notează ca atare: Z Z Y Y Y Y Z Z Y Y Y Y (5.56) Cu aceste notaţ sstemul devne: Z Z Z Z (5.57) Sstemul obţnut reprezntă ecuaţle cuadrpolulu funcţe de parametr mpedanţă. Acesta poate f scrs sub formă matrcală: Z (5.58) în care [ ] [ ] [ ] [ ] Z Z Z. (5.59) Z Z Pentru determnarea ecuaţlor fundamentale al e cu adrpolulu, s e rezolvă sstemul ecuaţlor funcţe de parametr mpedanţă în raport cu tensunea ş curentul la poarta de ntrare. Se obţn astfel valorle acestor semnale de forma: Z Z Z ( Z ) Z Z Z Z (5.6) 3

233 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce în car e se n otează cu A, A, cuadrpolulu, ale căror valor sunt: A, A parametr f undamental a A A Z Z Z Z Z Z Z A A Z Z Z (5.6) Ecuaţle fundamentale ale cuadrpolulu vor avea forma: A A A A (5.6) Ş acest sstem poate f scrs matrcal în funcţe de matrcle semnalelor de ntrare, de eşre ş a matrce parametrlor fundamental: [ A] (5.63) Semnfcaţa fzcă ş determnarea expermentală a parametrlor cuadrpolulu Deoarece d oar t re dn ce patru parametr ce caracterzează funcţonarea unu cuadrpol sunt ndependenţ rezultă că sunt necesare tre încercăr expermentale pentru determnarea lor. A V CP V Fg

234 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce Acestea sunt: o încercare de funcţonare în gol a cuadrpolulu almentat în sens drect o încercare de funcţonare în scurtcrcut a cuadrpolulu almentat în sens drect o încercare de funcţonare în gol sau în scurtcrcut a cuadrpolulu almentat în sens nvers. Se consderă un cuadrpol lnar pasv ş recproc almentat drect ş având poarta de eşre în gol (fg.5.3). Se consderă ecuaţle cuadrpolulu funcţe de parametr mpedanţă cărora l se adaugă condţa de funcţonare cu poarta de eşre în gol: Z Z Z Z (5.64) Prn urmare ecuaţle devn: Z Z (5.65) de unde se pot determna: Z (5.66) care reprezntă mpedanţa echvalentă la ntrarea cuadrpolulu la mers în gol, Z (5.67) care reprezntă mpedanţa de transfer între poarta de eşre ş cea de ntrare la mers în gol. Dacă pentru acelaş cuadrpol se consderă ecuaţle funcţe de parametr fundamental: 33

235 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce A A A A (5.68) cărora l se adaugă aceeaş condţe de funcţonare cu poarta de eşre în gol, se obţn ecuaţle: A A (5.69) dn care rezultă: A (5.7) parametru admensonal având semnfcaţa raportulu de transformare între tensunea de ntrare ş cea de eşre la mers în gol, A (5.7) are dmensunea une admtanţe, numtă admtanţa de transfer între poarta de ntrare ş cea de eşre la mers în gol. V A CP V Fg. 5.4 Pentru cuadrpolul almentat nvers ş având poarta de eşre în gol (fg.5.4) se porneşte de la ecuaţle scrse funcţe de parametr fundamental. 34

236 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce ' A ' A ' ' A A ' ' (5.7) ' Înlocund în acestea condţa de funcţonare în gol,, se obţne: dec: ' ' A A ' ' (5.73) ' ' A, (5.74) parametru care are semnfcaţa raportulu de transformare a tensunlor la gol la almentare nversă a cuadrpolulu. Dn condţa de recproctate, care se presupune că este îndeplntă pentru cuadrpolul analzat, poate f determnat cel de al patrulea parametru fundamental funcţe de celalţ tre determnaţ anteror: A A A (5.75) A Se consderă un cuadrpol lnar pasv ş recproc almentat în sens drect ş cu poarta de eşre în scurtcrcut (fg.5.5). sc A s V V c Fg. 5.5 Se consderă ecuaţle cuadrpolulu funcţe de parametr admtanţă: sc sc 35

237 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Y Y Y Y (5.76) cărora l se adaugă condţa de funcţonare cu poarta de eşre în scurtcrcut:. (5.77) Sstemul anteror devne: sc sc Y Y sc sc (5.78) de unde se obţn: Y sc (5.79) sc admtanţa la scurtcrcut la poarta de ntrare sc Y (5.8) admtanţa de transfer între poarta de eşre ş poarta de ntrare a cuadrpolulu scurtcrcutat Dacă se consderă ecuaţle fundamentale: A A A A sc (5.8) alătur de condţa de funcţonare în scurtcrcut :, se obţne sstemul: sc sc A A sc sc (5.83) de unde: A sc (5.84) sc 36

238 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce parametru având dmensunea une mpedanţe, numtă mpedanţa de transfer între poarta de ntrare ş cea de eşre la scurtcrcut, sc A (5.85) sc parametru admensonal semnfcând raportul de transformare a curenţlor de scurtcrcut Ssteme de parametr a cuadrpolulu n ansamblu de mărm care determnă în mod unvoc comportarea cuadrpolulu reprezntă un sstem de parametr ndependenţ a acestua. În mod evdent, cele patru constante care ntervn în fecare dn sstemele de ecuaţ prezentate reprezntă ssteme de parametr ndependenţ a cuadrpolulu. Aceste constante nu sunt însă sngur parametr care depnd exclusv de s tructura nteroară a cuadrpolulu. Alegerea p arametrlor ndependenţ a unu cuadrpol este o problemă complexă care trebue analzată de la caz la caz, deoarece nu exstă un sstem unc de parametr ndependenţ care să fe avantaos în toate stuaţle. O clasfcare ma generală a prncpallor parametr a unu cuadrpol se p oate f ace p e b aza r egmurlor f oloste l a d efnrea, r espectv determnarea lor. Dn acest punct de vedere se deosebesc: - - parametr defnţ pe baza regmurlor de funcţonare în gol ş în scurtcrcut a cuadrpolulu; - parametr defnţ pe baza exstenţe unu anumt raport între tensunle de la cele două perech de borne ale cuadrpolulu; - - parametr defnţ pe baza exstenţe unor anumte relaţ de legătură între mpedanţele de ntrare ş de eşre ale cuadrpolulu. Prma cat egore o co nsttue t ocma s stemele d e p arametr A, Z, Y. Parametr dn a doua categore sunt ntroduş prn almentarea cuadrpolulu pe la ambele capete în condţ partculare. Aceşt parametr sunt admtanţele echvalente care rezultă la cele două porţ, atunc când cuadrpolul care se 37

239 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce studază este presupus almentat pe la ambele capete cu tensun egale, în fază ş în opozţe (regm de încercare). Într-un caz m a g eneral se p oate consdera regmul de almentare al cuadrpolulu pe la ambele capete tot cu tensun în fază ş în opozţe dar de valor dferte. În cea de a trea categore sunt cuprnş parametr teratv ş parametr caracterstc, la care ne vom refer în contnuare Parametr teratv Se consderă un lanţ format dntr-un număr teoretc nfnt de cuadrpol dentc, în general nerecproc ş nesmetrc, astfel dspuş încât perechle de borne necorespondente să fe legate împreună. Cele două posbltăţ sunt ndcate în f g.5.6. mpedanţa de ntrare a lanţulu de cuadrpol prvt dnspre bornele de almentare - (fg.5.6.a) se numeşte mpedanţă teratvă drectă, Z. Dacă se consderă lanţul de cuadrpol almentat în sens nvers (fg.5.6.b), mpedanţa de ntrare faţă de bornele - se numeşte mpedanţă teratvă nversă, Z. Se poate observa că în cazul unu lanţ (teoretc) nfnt de cuadrpol, mpedanţa de ntrare este ndependentă de mpedanţa receptorulu, presupus conectat la capătul lanţulu. Dec această mărme depnde numa de structura nternă a cuadrpollor dn lanţ, consttund un parametru pentru cuadrpol componenţ. mpedanţele teratve se pot defn ş pentru un sngur cuadrpol. Ţnând seama de faptul că mpedanţa de ntrare a pr mulu c uadrpol nu dferă de mpedanţa de ntrare a celu de al dolea cuadrpol dn lanţ, deoarece ş faţă de acesta lanţul se poate consdera format dntr-un număr nfnt de cuadrpol, mpedanţele teratve se defnesc pe baza condţe de egaltate a mpedanţelor de ntrare ş de eşre ale cuadrpolulu (fg.5.7). 38

240 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce Z CP CP a CP CP Z b Fg. 5.6 Z CP Z Z CP Z a b Fg. 5.7 Dacă cuadrpolul este almentat la poarta de ntrare rezultă mpedanţa teratvă Z, ar dacă cuadrpolul este almentat la poarta de eşre se obţne mpedanţa teratvă Z. Pentru un cuadrpol mpedanţele teratve se defnesc dn condţle: pentru Z Z Z nt r Z (5.86) pentru ' ' Z Z ' Z nt r Z ' (5.87) 39

241 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Pe baza acestor condţ se pot obţne expresle mpedanţelor teratve în funcţe de dfertele constante ale cuadrpolulu. apoartele de transformare ale tensunlor, curenţlor sau puterlor (sau nversele a cestor rapoarte), pe ntru un c uadrpol închs pe mpedanţa teratvă sunt de asemenea parametr a cuadrpolulu. În teora cuadrpolulu se f olosesc m a frecvent l ogartm n atural a nverselor ac estor r apoarte. Folosrea logartmlor natural este ustfcată de faptul că duce la ntroducerea funcţlor hperbolce, cu autorul cărora dfertele expres se smplfcă. Parametr care rezultă se numesc constante de transfer sau constante de propagare Parametr caracterstc Z c CP CP CP Fg. 5.8 Se presupune un lanţ format dntr-un număr nfnt de mare d e cuadrpol nesmetrc ş dentc, astfel dspuş încât perechle de borne corespondente să fe legate împreună. (fg.5.8). În această dspunere, fecare cuadrpol reprezntă magnea în oglndă a cuadrpolulu alăturat, faţă de bornele comune. În acest caz, mpedanţele de ntrare a prmulu cuadrpol ş a celu de al dolea cuadrpol dn lanţul nfnt nu ma sunt egale. mpedanţa de ntrare Zc a lanţulu prvt dnspre bornele - se numeşte mpedanţă caracterstcă drectă, ar mpedanţa de ntrare Zc faţă de bornele - se numeşte mpedanţă caracterstcă nversă. 4

242 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce Z c CP Z c Z c CP Z c a b Fg. 5.9 mpedanţele caracterstce se pot defn ş pentru un sngur cuadrpol (fg.5.9). Ele reprezntă o pereche de mpedanţe Zc ş Zc care sa tsfac următoarele condţ: dacă mpedanţa Zc este conectată la bornele - a le c uadrpolulu, mpedanţa de ntrare faţă de bornele de almentare - este Zc, ar dacă mpedanţa Zc este conectată la bornele -, mpedanţa de ntrare faţă de bornele de almentare - este Zc. elaţle de defnţe pentru mpedanţele caracterstce sunt: pentru Z Z c Z nt r Zc (5.88) pentru ' ' Z Z ' c Z nt r Z ' c (5.89) În lteratura de specaltate mpedanţele caracterstce se ma numesc ş mpedanţe magn Constanta de transfer. Constanta de atenuare. Constanta de fază Corespunzător mpedanţelor caracterstce se defnesc constantele de transfer drectă ş nversă g c ş g c. Acestea se defnesc prn relaţle: 4

243 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce ' ' ' ' e e g c g c (5.9) În cazul cuadrpolulu nerecproc parametr ndependenţ sunt Zc, Zc, g c ş g c. Dacă cuadrpolul este recproc constantele de transfer sunt egale g g g c, astfel că sstemul de parametr caracterstc este alcătut c c dn tre mărm: Zc, Zc ş g. Dacă cuadrpolul este smetrc cele două c mpedanţe caracterstce sunt egale Z c Z c Z c. n cuadrpol recproc ş smetrc este caracterzat dec numa prn parametr Zc ş g. Se poate c observa că la cuadrpol smetrc mpedanţele caracterstce ş teratve concd. mpedanţa caracterstcă reprezntă în acest caz acea mpedanţă Zc care conectată la bornele de eşre ale cuadrpolulu determnă o mpedanţă de ntrare egală cu Zc. Elementele dfertelor matrce ce caracterzează cuadrpolul se pot exprma în funcţe de parametr caracterstc. Pentru cazul partcular al unu cuadrpol recproc ş smetrc se vor determna în contnuare parametr fundamental în funcţe de ce caracterstc. Dn ecuaţle cuadrpolulu funcţe de parametr fundamental, mpedanţa de ntrare se exprmă: A Z A A nt. (5.9) r A A A A A 4

244 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce Ţnând seama de faptul că dacă cuadrpolul este închs pe mpedanţa caracterstcă Z c (cuadrpol adaptat) rezultă Z nt r Z c, dec rezultă: Z A Z c c (5.9) A A A Z Ecuaţa (5.9) este o ecuaţe de ordn do în raport cu Zc care se rezolvă ţnând seama ş de condţa de smetre a cuadrpolulu rezultând: A c Z c (5.93) A Împărţnd cele două ecuaţ ale cuadrpolulu funcţe de parametr fundamental prma la ar a doua la se obţn expresle: A A A A Z c A A A Z c A A A A A A A (5.94) respectv Se poate dec scre: g e c A A A (5.95) g c Este evdentă ş relaţa: ( A A A ) ln (5.96) e g c A A A (5.97) pentru obţnerea cărea s-a ţnut seama de condţa de recproctate a cuadrpolulu det [ A ]. 43

245 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Prn adunarea respectv scăderea relaţlor (.95) ş (.97) se obţne: A g g c c e e A ch g c c (5.98) A sh g (5.99) Parametr fundamental pot f exprmaţ funcţe de mpedanţa caracterstcă ş constanta de transfer sub forma: A Z c sh g A sh c g (5.) Z c forma în care: Matrcea parametrlor fundamental poate f scrsă sub forma: ch g Z c sh g c c [ A] (5.) sh g ch g c c Z c Constanta de transfer fnd o mărme complexă poate f scrsă sub - α este constanta de atenuare - β este constanta de fază. c g c α β (5.) Consderând c uadrpolul a lmentat în regm permanent snusodal ş tensunle la cele două porţ ale sale exprmate în formă exponenţală, γu γu e e (5.3) pe baza relaţe (5.3) se poate scre: g c ( γ uγ u ) e e (5.4) respectv g ( γ γ ) ln c u u (5.5) 44

246 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce dec: α ln β γ u γ u (5.6) Tot dn relaţa (5.3) tensunea la eşrea cuadrpolulu poate f exprmată ca: γu α β α ( γu β) e e e e e (5.7) g c e Comparând această exprese cu forma generală exponenţală a tensun la eşrea cuadrpolulu rezultă: γ u γ e u α β < (5.8) adcă, de-a lungul cuadrpolulu tensunea de almentare îş dmnuează ampltudnea, ar tensunea de eşre dn cuadrpol este în întârzere de fază faţă de tensunea de ntrare cu β. Dacă se consderă un lanţ de n cuadrpol (recproc ş smetrc) dentc închs pe mpedanţa caracterstcă Zc, mpedanţa caracterstcă ş constanta de transfer a întregulu lanţ se exprmă funcţe de parametr caracterstc a u nu cu adrpol c omponent. M atrcea pa rametrlor fundamental corespunzătoare lanţulu de cuadrpol consderat este: [ A] ch n g c sh n g Z c c Z c sh n g ch n g c c (5.9) 5.6. Scheme echvalente ale cuadrpollor Plecând de la ecuaţle cuadrpolulu se pot stabl dferte scheme echvalente ale acestua. Deoarece în ecuaţle cuadrpollor recproc ntervn patru parametr dn care doar tre sunt ndependenţ, schemele 45

247 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce echvalente vor conţne tre elemente dstncte conectate cel ma adesea în T sau Π Schema echvalentă în T Se consderă un cuadrpol reprezentat sub forma une scheme echvalente în T (fg.5.), a căre parametr sunt Z, Z ş Z. Se analzează această schemă cu autorul teoremelor lu Krchhoff, pe ntru de termnarea parametrlor scheme echvalente în funcţe de parametr fundamental ş nvers. Elementele topologce ale scheme în T sunt: r 3, n, b. Z Z Z Fg. 5. Se obţne sstemul: Z Z Z Z (5.) ezolvând acest sstem în domenul complex funcţe de semnalele la poarta de ntrare a cuadrpolulu, se obţne: Y ( Z Y ) ( Z Z Z Z Y ) ( Z Y ) (5.) unde s -a notat cu Y admtanţa latur transversale dn schema echvalentă: Y. Z 46

248 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce Pentru c a schema în T să fe echvalentă cu schema generală a cuadrpolulu, acest sstem trebue să fe echvalent cu ecuaţle cuadrpolulu funcţe de parametr fundamental: A A A A (5.) Prn d entfcarea m embru cu membru a expreslor tensun ş curentulu la poarta de ntrare a cuadrpolulu se obţn parametr fundamental funcţe de ce a scheme echvalente în T: A A Z Y Y A A Z Z Z Y Z Z Y (5.3) sau prn rezolvarea sstemulu funcţe de necunoscutele Z, Z ş Z se determnă parametr scheme echvalente în T funcţe de ce fundamental: Z (5.4) A Z Z A (5.5) A A (5.6) A Z T Z T Z Fg

249 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Pornnd de la condţa de smetre (A A ) se poate determna ş structura cuadrpolulu în T s metrc (f g.5.), car e v a av ea d oar d o p arametr ndependenţ: Z Z A A A A Z A Z T (5.7) Schema echvalentă în Π Se consderă un cuadrpol reprezentat sub forma une scheme echvalente în Π a căre parametr sunt: Z mpedanţa longtudnală ş Y, Y admtanţele laturlor transversale (fg.5.). Z B A C Y Y Fg. 5. Se an alzează schema echvalentă în Π cu a utorul t eoremelor lu Krchhoff în domenul complex, pentru determnarea parametrlor scheme echvalente în funcţe de parametr fundamental ş nvers. Z B B C A B Z B Z C Z Z C A (5.8) 48

250 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce Prn r ezolvarea s stemulu co nsderând ca n ecunoscute sem nalele l a poarta de ntrare a cuadrpolulu, se obţne: ( Z Y ) Z ( Y Y Z Y Y ) ( Z Y ) (5.9) Se compară expresle tensun ş curentulu determnate cu ecuaţle cuadrpolulu funcţe de parametr fundamental. A A A A (5.) Prn dentfcarea termen cu termen a fecărea dn cele două ecuaţ se determnă valorle parametrlor fundamental funcţe de ce a scheme echvalente în Π: A A Z Y Y Y Y Y Z A A Z Z Y (5.) Z B A C Y Π Y Π Fg. 5.3 Dacă sstemul obţnut se rezolvă consderând ca necunoscute parametr scheme echvalente în Π, rezultă: Z A (5.) 49

251 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Y Y A A A A A Z A Z (5.3) Condţa de smetre A A adăugată valorlor determnate a parametrlor cuadrpolulu arată că în cazul cuadrpolulu smetrc doar do parametr sunt ndependenţ, dec schema echvalentă va conţne doar două elemente dstncte (fg.5.3): A A Z A, Y Y. (5.4) A Z 5.7. nterconectarea cuadrpollor Do sau ma mulţ cuadrpol pot f nterconectaţ astfel încât gruparea lor să poată f înlocută prntr-un cuadrpol echvalent pentru care regmul de funcţonare să nu se modfce. Vom analza, în cele ce urmează câteva conexun ale cuadrpollor Gruparea sere-sere Se consderă do cuadrpol lnar pasv ş recproc, fecare caracterzat prn parametr mpedanţă. În cazul conectăr în sere cuadrpol componenţ au acelaş curent de ntrare ş acelaş curent de eşre, ar tensunle la borne se însumează (fg.5.3). Fecare dn ce do cuadrpol a grupăr poate f caracterzat p rn ecuaţle scrse funcţe de parametr mpedanţă: sau matrcal: ' Z ' Z ' ' ' ' Z Z ' ' ' ' (5.5) 5

252 respectv: sau matrcal: Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce '' '' ' ' '' ' [ Z ] ' '' Z Z '' [ Z ] '' '' '' '' '' '' ' Z Z '' '' '' '' (5.6) (5.6) (5.7) CP [Z ] CP [Z ] Fg. 5.4 Corespunzător grupăr sere-sere tensunea la bornele porţlor de ntrare ş eşre ale cuadrpolulu echvalent se obţne prn sumarea tensunlor porţlor omoloage ale cuadrpollor grupăr, prn urmare: ' ' '' '' (5.8) 5

253 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Înlocund expresle tensunlor celor do cuadrpol în această ultmă relaţe se poate scre matrcal: Z Z ' ' Z Z '' '' Z Z ' ' Z Z '' '' (5.9) Dacă se consderă că ş cuadrpolul echvalent grupăr este caracterzat tot prn matrcea parametrlor mpedanţă, atunc aceasta este: [ Z ] [ Z ] [ ] ' Z '' (5.3) Matrcea mpedanţă a cuadrpolulu echvalent grupăr sere-sere a do s au m a mulţ cuadrpol este egală cu suma matrcelor mpedanţă ale cuadrpollor conexun Gruparea paralel-paralel În cazul aceste conexun porţle omoloage ale cuadrpollor conectaţ sunt legate în paralel, dec tensunea este aceeaş pentru porţle de ntrare ale cuadrpollor conexun, ar porţle de eşre au de asemenea aceeaş tensune ( fg.5.5). În acest caz este avantaos să caracterzăm cuadrpol prn matrcea admtanţă. CP [Y ] CP [Y ] Fg

254 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce Consderând cazul a do cuadrpol, pentru fecare dntre aceşta se vor scre ecuaţ funcţe de parametr admtanţă, sub forma matrceală: [ ] ' ' ' ' ' Y (5.3) [ ] '' '' '' '' '' Y (5.3) a fecare dntre cele două perech de borne curenţ cuadrpollor componenţ se sumează, dec se poate scre: '' '' ' ' (5.33) Pe baza relaţlor anteroare se poate scre: '' '' '' '' ' ' ' ' Y Y Y Y Y Y Y Y (5.34) sau efectuând operaţle: '' ' '' ' '' ' '' ' Y Y Y Y Y Y Y Y (5.35) Dacă se consderă că ş cuadrpolul ech valent est e c aracterzat p rn matrcea admtanţă, respectv ecuaţle corespunzătoare acestua au forma: [ ] Y (5.36) atunc, dn compararea ultmelor două relaţ rezultă: [ ] [ ] [ ] ' Y '' Y Y (5.37) 53

255 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce adcă, în cazul cuadrpollor conectaţ paralel-paralel matrcea admtanţă a cuadrpolulu echvalent este egală cu suma matrcelor admtanţă ale cuadrpollor componenţ Conectarea în lanţ (cascadă) Do sau ma mulţ cuadrpol sunt conectaţ în lanţ dacă poarta de eşre a unu cuadrpol este legată cu poarta de ntrare a CP [A ] CP [A ] Fg. 5.6 cuadrpolulu următor (fg.5.6). Pentru studul aceste conexun este utl să se folosească ecuaţle cuadrpolulu funcţe de parametr fundamental, în care mărmle de ntrare sunt exprmate funcţe de cele de eşre. Se consderă do cuadrpol conectaţ în lanţ, pentru care ecuaţle funcţe de parametr fundamental se scru sub forma matrceală: ' ' ' A ' A A A ' ' ' ' (5.38) '' '' A A '' '' A A '' '' '' '' (5.39) Se pune problema determnăr elementelor matrce parametrlor fundamental corespunzătoare cuadrpolulu echvalent grupăr în lanţ, funcţe de elementele matrcelor parametrlor fundamental a cuadrpollor 54

256 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce componenţ. Semnalele de eşre a prmulu cuadrpol fnd aceleaş cu ' '' ' semnalele de ntrare ale celu de al dolea cuadrpol ( ş ) ' ', dn cele două relaţ anteroare se poate scre: ' ' ' A ' A A A ' ' A A '' '' A A '' '' '' '' (5.4) Deoarece ecuaţa funcţe de parametr fundamental a cuadrpolulu echvalent este: rezultă că: sau A A A A ' ' ' A ' A A A A A ' ' A A A A [ A] [ A ] [ ] ' A '' '' '' '' '' A A '' '' (5.4) (5.4) (5.43) În cazul conexun în lanţ a n cuadrpol, se obţne în mod analog: n [ A] A (5.44) Matrcea fundamentală a cuadrpolulu echvalent grupăr în lanţ este egală cu produsul matrcelor fundamentale ale cuadrpollor componenţ. a efectuarea produsulu d ntre matrcele cuadrpollor componenţ, acestea trebue să fe ntroduse în aceeaş ordne în care se succed ş cuadrpol componenţ. Produsul matrcelor nefnd comutatv, elementele matrce produs depnd de succesunea factorlor. 55

257 5.8. Fltre de frecvenţă Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Crcute smple pentru selectarea frecvenţelor Fltre Trece-Jos sunt utlzate p entru a permte trecerea sem nalelor (undelor) de oasă frecvență ș atenuează undele snusodale de frecvențe înnalte. Frecvența de tăere ωc este utlzată pentru a face dferenţa între banda de trecere (ωc<ω) ş banda de oprre (ωc> ω). n exemplu elementar de două fltre trece os pasve este prezentat ma os. ω V ω C V o V Vo Fg. 5.7 V V V V V V ωc ωc ωc θ tg ωc C [ ( ωc) ] ωc / () () (3) pentru frecventa de taere Castgul este (4) Dn (3), se observa ca unghul de faza V V ω V V ω V / V ω θ tg ω /. Substtund n () rezulta ωc pentru frecventa de taere este 45 56

258 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce aportul Vo se notează cu H ( ω) V, ș este denumt Funcța de transfer a fltrulu pentru răspunsul la frecvență. eprezentarea câștgulu în funcțe de frecvenţă ş unghul de fază în funcțe de frecvență, cunoscute ca răspunsul la frecvenţă este așa cum se arată în fgură V o /V.6.4. ω c 4 6 ω, rad/s 8 θ ω c ω, rad/s Fg. 5.8 Fg. 5.9 Fltre Trece-Sus este utlzat pentru a st opa (bloca) semnalele snusodale de oasă frecvenţă ş a lăsa să treacă semnalele snusodale de înaltă. Pulsaţa de tăere ωc este utlzată pentru a se face dstncţa între banda de blocare (ωc<ω) ş banda de trecere (ωc> ω). n exemplu elementar de două fltre trece-sus pasve este prezentat în fgura de ma os. V V ωc ωc Vo V θ tan ωc [( ωc) ] ωc / (5) (6) (7) ω V V ω ω Vo V ω θ tan ω / 57

259 ω C Consderan Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Pentru frecventa de taere, Castgul / ωc pentru frecventa de taere c d (7), unghul de faza. Substtutnd n (6) rezulta 45 ω C V V o V ω V o Fg. 5.3 Câştgul în funcţe de frecvenţă, respectv unghul de fază în funcţe de frecvenţă cunoscute ca răspuns în frecvenţă este reprezentat în fgură. Fg. 5.3 Fltre Trece-Bandă (a) ezonanţa paralel pentru crcute C ω C C ω V o V o ( ω C ) ω Fg

260 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce n crcut electrc este în rezonanță atunc când tensunea la bornele de ntrare ș curentul prn crcut sunt în fază. Admtanţa crcutulu este Y ( ω C ). a r ezonanţă Y este p ur ω conductvă ş ω C, ş ω o. Admtanţa crcutulu este ω C mnmă sau mpedanţa crcutulu la rezonanţă, dată de Z(ω o ), est e maxmă. Astfel, tensunea la eşre pentru rezonanţă este maxmă ş este dată de V (ω ) o o V (ω ) V o / Y, V ω ω ω o 3 4 ω, /s 5 Fg Pulsaţle ω ş ω pentru care puterea de eșre scade la umătate dn valoarea sa pentru frecvența de rezonanță sunt numte frecvențe pentru umătate de putere sau frecvenţe de tăere. Pentru aceste frecvenţe denumte ş frecvenţe de tăere sau frecvenţe de colţ (unghulare), tensunea de eşre este Vo ( ω c.77 Vo ( ω o ). A cest c rcut care p ermte tre cerea tuturor frecvențelor aparţnând benz de frecvențe ( ω < ω < ω ) est e d enumt fltru trece-bandă. Crcutul, care funcţonează în acest de frecvenţe, este denumt crcut (fltru) trece-bandă. β ω ω Frecvenţele de tăere sunt obţnute dn: 59

261 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Vo ( ω c ) (5.45) ω C ω ezolvând ecuaţa obţnem pentru ω ω C C C, ş ω (5.46) C C C Dn relaţle de ma sus, se obţne, ω ω, sau lăţmea de bandă a C crcutulu este β C Frecvenţele de tăere pot f scrse în funcţe de ω ş β astfel: β β β β ω ω o, ş ω ω o (5.47) Dn aceste relaţ rezultă că ω o meda geometrcă a pulsaţlor ω ş ω,.e., ω o ω ω (5.48) Deoarece β este nvers proporţonal cu,.e., dacă se mcşorează, resultă o lăţme de bandă ma mare (largă). Pulsaţa de rezonanţă ( ω o C ) este o funcţe de ş C. Astfel, prn austarea nductanţe ş a capactăţ C, se poate obţne valoarea dortă a pulsaţe (frecvenţe) de rezonanţă C; în tmp ce prn austarea valor rezstenţe este reglată lăţmea benz de trecere ș înălțmea curbe de răspuns. Fneţea (acutatea) rezonanţe este măsurată 6

262 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce canttatv d e factorul de caltate Q. F actorul d e c altate est e d efnt ca raportul dntre pulsaţa de rezonanţă ş lăţmea benz de trecere. Substtund pe ω Q o (5.49) β β ş ω o factorul de caltate poate f exprmat C C ca C Q ω o C ω (5.5) o a rezonanţă ş C au expresle V o ω o Vo / Q Q ş Q C ω ocvo Vo Q (5.5) C Q V o Q Fg a rezonanţă, în funcţe de valoarea factorulu de caltate Q, ş C pot f de câteva or ma mar decât curentul de sarcnă prn crcut (amplfcarea curentulu). 6

263 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce (b) ezonanţa în crcute C Sere V ω C V C ω V V o V ( ω ) ωc Fg n crcut electrc este în rezonanță atunc când tensunea l a b ornele d e ntrare ș curentul prn crcut sunt în fază. mpedanţa crcutulu este Z ( ω ). a rezonanță Z este p ur ω C resstv ş ω, r ezultând a stfel ω o. mpedanţa ω C C crcutulu l a rezonanță, dată de expresa Z(ω o ) este mnmă, ar curentul prn crcut are valoare maxmă. Astfel, tensunea de eşre la rezonanță este maxmă ş este dată de expresa V ω ) ( ω ). o ( o o V (ω ) (ω ) V o (ω), V ω ω o ω 3 4 ω, /s 5 Fg

264 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce Pulsaţle ω ş ω pentru care puterea de eșre scade la umătate dn valoarea sa pentru frecvența de rezonanță sunt numte frecvențe pentru umătate de putere sau frecvenţe de tăere. Pentru aceste frecvenţe denumte ş frecvenţe de tăere sau frecvenţe de colţ (unghulare), tensunea de eşre este V ( ω.77 V ( ω ). A cest c rcut care p ermte tre cerea tuturor o c o o frecvențelor aparţnând benz de frecvențe ( ω < ω < ω ) est e d enumt fltru trece-bandă. Crcutul, care funcţonează în acest de frecvenţe, este denumt crcut (fltru) trece-bandă. β ω ω (5.5) Frecvenţele de tăere sunt obţnute dn: V Vo ( ω c ) V (5.53) ( ) ω ω C ezolvând ω se obţne ω C, ş ω (5.54) C Dn relaţa de ma sus, se obţne, ω crcutulu este ω β Frecvenţele de tăere pot f scrse în funcţe de ω ş β sunt:, sau lăţmea de bandă a β β β β ω ω o, ş ω ω o (5.55) ezultă că ω o este meda geometrcă a pulsaţlor ω şω,.e., 63

265 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce ω o ω ω (5.56) Se observă că β este proportonală cu,.e., cu cât rezstenţa este ma mare lăţmea de bandă este ma mare. Pulsaţa de rezonanţă ( ω o ) este C o funcţe care depnde de ş C. Astfel, austând ş C se obţne frecvenţa de rezonanţă dortă; ar prn austarea rezstenţe, se reglează lăţmea benz ş înălţmea curbe de răspuns. Acutatea (fneţea) rezonanţe este măsurată canttatv cu autorul factorulu de caltate Q. Factorul de caltate este defnt de raportul dntre pulsaţa de rezonanţă ş lăţmea benz de trecere. Substtund ω Q o (5.57) β β ş ω o factorul de caltate poate f exprmat ca C ω Q ω C o o C (5.58) a rezonanţă V ş VC sunt exprmate ca fnd egale cu V ω ω ) QV o ( V QV V V C ( ω ) QV ω C o VC QV Fg 5.37 După cum se poate observa la rezonanță, în funcțe de factorul Q, V ș VC poate f de multe or ma mare decât tensunea de almentare (amplfcare de tensune) 64

266 Captolul 5. Cuadrpolul electrc. Fltre electrce Pentru un crcut cu un factor de caltate foarte înaltă Q, frecvențele de colț β β pot f aproxmate cu autorul expreslor ω ω o, ș ω ω o Fltru Stop-Bandă n fltru Stop-Bandă este proectat pentru a opr toate frecvențele aflate în banda de frecvențe (pulsaţ) ( ω < ω < ω ). Pentru crcutul C sere se au în consderaţe bornele de eşre ale combnaţe ş C legate în sere. V V ω ω C V o V V o ( ω ) ω C ( ω ) ω C Mărmea câştgulu în tensune este Fg V o V ω ω C ω ω C / (5.59) Pentru ω, nductorul se comportă ca un scurt-crcut, ar capactatea se comportă ca un crcut deschs, ar V o V, ar câştgul în tensune este egal c u ( untatea). P entru ω, nductorul se comportă ca un crcut deschs ar capactatea se comportă ca un scurt-crcut, ş V o V, ar câştgul în tensune este egal cu (untatea). a rezonanţă Z este pur rezstv ş ω, ast fel ω o ω C zero, pentru ω o. C. Valoarea câştgulu în tensune este 65

267 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce V o (ω-/(ωc), V ω ω o ω 3 4 ω, /s 5 Fg Frecvenţele de tăere, lăţmea benz, ş factorul de caltate au aceleaş exprese c a în c azul f ltrulu trece-bandă realzat cu elementele,, C conectate î n ser e, β, β β ω ω o, ş β β ω ω o 66

268 CAPTO 6. CCTE TFAZATE ÎN EGM PEMANENT SNSODA 6. Transmsa energe. Caracterzarea sstemulu trfazat de transmtere a energe. Propretăţle sstemelor trfazate. Energa electrcă produsă în centralele electrce prn transformarea altor forme de energe (în specal mecancă) se transmte în locurle de utlzare cu autorul lnlor electrce. Să analzăm cel ma smplu sstem de transmtere a energe electrce, ş anume cel alcătut dntr-un ge nerator, două conductoare (lne) ş un receptor (fg.6.). Fg.6. Trecerea curentulu prn conductorul lne este datorată acţun câmpulu electrc mprmat ce are drecţa axală ( E ρ J ). Conform leg crcutulu magnetc o rce cu rent el ectrc p roduce câmp m agnetc d e ntenstate H. În c oncluze, în n terorul c onductorulu l nle c âmpulu magnetc sunt cercur concentrce denstăţ de curent J. Aplcând teorema energe electromagnetce: d Wem PJ PΣ (6.) d t unde: - P S da ; Σ Σ - S E H - vector de transmtere a energe, rezultă că, în nterorul conductorulu, vectorul de transmtere este orentat spre suprafaţa conductorulu. S E a H (6.) ar puterea transmsă este: PΣ S d A ( E a H ) ( d S d S ) Σ (6.3) 67

269 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce P Σ E a d S H d S f lungme lne În concluze, conductorul este sedul transformăr energe electrce în căldură, aceasta transmţându-se spre suprafaţa conductorulu. În exterorul conductorulu dn legle câmpulu electromagnetc rezultă conservarea componentelor tangenţale ale câmpulu electrc pe suprafaţa conductorulu. Totodată, între cele două conductoare exstă un câmp electrc de natură columbană (EC - în nterorul conductorulu este nul). Vectorul de transmtere a energe în exterorul conductorulu este: S e E e H e ( E ea E c ) H e E ea H e E c H e (6.4) Celor două componente ale vectorulu de transmtere le corespund puterle: PΣ c E ea H e d AC ( ) f respectv: P Σc E c H e d Ab E c d S H e ( ) 3 d S b (6.5) Σb Σb conductor la În consecnţă, conform prme formule puterea dezvoltată în conductor este transmsă, prn ara laterală a conductorulu, medulu ar ceea ce se t ransmte pe o lne electrcă este puterea PΣ b b egală cu produsul dntre tensunea la borne (între conductoare)ş curentul lne. Observaţ:. Transmterea energe electrce nu se realzează prn conductor c în spaţul dn urul conductorulu. Conductorul este sedul transformăr energe electrce în căldură. El are rolul de ghdare al transmse între generator ş receptor.. O rce t ransmtere d e en erge se face cu perder. Perderle fnd rezultă că prn lne curentul trebue să abă valor mnme. Transmterea energe electrce cu aceeaş putere prntr-o lne este posblă cu perder mc dacă tensunea dntre conductoare este rdcată. În cazul transmse energe electrce monofazate la cos ϕ, puterea transmsă ce revne unu conductor este π y d ( t) Y d sn( ωt γ d ) ; y d ( t) Y d sn ωt γ d ; 3 (6.6) 4π y 3d ( t) Y d sn ωt γ d 3 P J 68

270 Captolul 6. Crcute trfazate în regm permanent snusodal În cazul une transms trfazate cu conductoarele de lne dmensonate la N, puterea actvă maxmă transmsă este 3 N N, unde N este tensunea între conductoarele lne. Fecăru conductor î revne de / 3 ma multă putere transmsă decât pentru o lne monofazată. Numm sstem trfazat un an samblu d e t re s steme monofazate, în care cele t re t ensun electromotoare au ace eaş pulsaţe dar faze nţale dferte. Tensunle electromotoare sunt produse prn transformarea energe mecance în energe electrcă în centralele electrce de către generatoarele trfazate. Numm sstem trfazat smetrc un ansamblu de tre mărm snusodale ce au aceeaş valoare efectvă (ampltudne) ş aceeaş frecvenţă ş sunt defazate între ele cu un ungh de π / 3. Î ntr-un s stem trfazat smetrc de mărm snusodale suma valorlor nstantanee în orce moment este nulă. Funcţe de succesunea trecer prn zero a celor tre mărm snusodale y, y ş y3 dstngem: - ssteme trfazate de succesune drectă în care mărmea y h ( t) Y h sn( ωt γ h ) ; y h ( t) Y h sn( ωt γ h ) ; este y 3h ( t) Y h sn( ωt γ h ) decalată în urma mărm y ( t ) cu un un gh de π / 3. n sstem trfazat de succesune drectă poate f exprmat matematc prn relaţle: y Y sn ( ω t) (6.7) y Y sn ( ω t π / 3) (6.8) y 3 Y sn ( ω t 4π / 3) (6.9) - ssteme trfazate de succesune nversă în care mărmea y (t) este decalată înantea mărm y (t) cu un ungh de π / 3. Sstemul trfazat de succesune nversă este exprmat matematc prn relaţle: y Y sn ( ω t) (6.) y Y sn ( ω t π / 3) (6.) y Y sn ( ω t 4 / 3) (6.) 3 π 6. eprezentarea în complex a sstemelor trfazate. Propretăţ. Planul complex ataşat reprezentăr mărm snusodale este determnat de axa reală ş magnară. Fecăre axă se ataşează un versor (modul untate) astfel versorul axe reale este ar al cele magnare este. 69

271 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Sstemul de coordonate ales este ortogonal ar între versor exstă propretatea că rotrea cu 9 în sens trgonometrc al unua îl determnă pe celălalt. Fg. 6. Deoarece în planul complex orce număr are două forme de screre, forma cartezană redată prn partea reală ş magnară a numărulu complex ş forma polară unde numărul este complet determnat de modul (argument) ş unghul ce-l face axa reală (fază nţală). Exemplfcăm pe un număr arctg ϕ complex: A a b a b e Ae. (6.3) Dacă mărmea complexă A are modulul untatea A atunc pentru m{a}, Ae ϕ a, ar pentru e{a}, A e π π ceea ce arată rotre cu versorulu axe reale determnă versorul axe magnare. În baza aceste constatăr deducem: e π, 3 e π 3 ( ), b a 4 e π 4 ( )... etc. arctg (6.4) Complex conugatul unu număr este A a b Ae are acelaş modul dar este rott î n sens nvers t rgonometrc c u ung hul arctg(b/a) ϕ. eprezentarea în acelaş plan complex a unu sstem trfazat de mărm snusodale presupune alegerea unea dntre mărm drept orgne de fază. Întrucât defazaul între mărm este de π / 3, magnea în complex a celorlalte se obţne prn rotrea cu π / 3 a mărm orgn de fază. Asocnd un sstem trfazat de coordonate în planul complex putem trasa tre axe de π /3 4π /3 versor, e ş e. Notăm versor acestor axe, a, a conform fg.6.3. * b a 7

272 Captolul 6. Crcute trfazate în regm permanent snusodal Fg.6.3 Sstemul trfazat de axe defnt în planul complex are următoarele π /3 propretăţ: a e, a a a a *, a a, a 3, a 4 a, e tc. Sstemele trfazate de mărm drecte respectv nverse admt în planul complex următoarea reprezentare, respectv screre: γ γ e e d d a d a 3d a d 3 a Fg Conexunle sstemelor trfazate Să consderăm tre ssteme monofazate de tra nsmtere a energe alcătute dn tre surse de tensun electromotoare: - e E snωt ; (6.5) - e E sn( ωt / 3) ; (6.6) 3 π - e 3 E sn( ωt 4π / 3). (6.7) Presupunem că fecare sursă almentează un consumator de mpedanţă Z Z. Z 3 7

273 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce a) Conexunea stea (Y) Fg. 6.5 Fecare crcut component în care acţonează o sursă se numeşte fază. Dacă Z Z Z3, Z q Zq Z3q, E, E a E, E a E, ' ' 3' atunc p rn conductorul de î ntoarcere a l curentulu v a c rcula un c urent N 3. Fg. 6.6 Conexunea astfel realzată se numeşte stea ş pentru transportul energe a vem maxmum pa tru c onductoare. C urentul c e t rece pr ntr-o mpedanţă se numeşte curent de fază, ar curentul ce trece prn lna de transport se numeşte curent de lne. Este evdent că pentru această conexune curentul de lne este egal cu cel de fază. Tensunle defnte între bornele -, -, 3 - se numesc tensun de fază. Tensunle dntre două conductoare ale lne de transport (-, -3, 3-) se numesc tensun de lne. Calculăm tensunea de lne între conductoarele ş., e O eo E snωt E sn( ωt π / 3) (6.8), e O eo 3E sn( ω t π / 6) (6.9) π / 6 π / 6 sau, în mărm complexe: E E E e e., 3 e 7

274 Captolul 6. Crcute trfazate în regm permanent snusodal Fg. 6.7 Consecnţă: elaţle între mărmle de fază ş cele de lne, pentru conexunea stea sunt: - lne fază (6.9) 3 (6.) - lne fază b) Conexunea trungh ( ) Să presupunem cele tre crcute monofazate în care acţonează tensunle de fază conectate conform scheme următoare: Fg. 6.8 Notăm curenţ prn fazele consumatorlor A, B, C, curenţ ce formează un sstem trfazat smetrc în poteza că Z Z Z3, ş E, E a E, E a E. Dacă se realzează conexunle A Y, B Z, C X la consumator ş ', 3' respectv 3 ' la sursă, se obţne conexunea trungh atât la consumator cât ş la sursă. Prn aceste puncte de conexune între două conductoare ale lne de transport, tensunea de lne este tensunea de fază a surse lne fază. Curentul to tal ce trece prntr-un conductor de lne este dferenţa a do curenţ de fază. Astfel: A C ş are modulul 3 A conform dagrame f azorale ataşate sstemulu trfazat. Valoarea complexă a curentulu de lne este: π / 6 e. A C 3 A 73

275 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Fg. 6.9 Concluze: Conexunea trungh a sstemelor trfazate conduce la următoarele relaţ între mărmle de fază ş cele de lne: 3 ; lne fază Analza crcutelor trfazate almentate cu tensun smetrce Consumatorul tr fazat poate f c onectat în s tea s au t rungh a r funcţe de relaţa dntre mpedanţele fazelor poate f echlbrat sau dezechlbrat. N umm consumator trfazat echlbrat dacă mpedanţele complexe al e f azelor su nt dentce: Z A Z B Z C, al tfel el este dezechlbrat Consumator trfazat conectat în stea a) Consumator echlbrat Z A ZB ZC Presupunem un consumator trfazat echlbrat conectat în stea cu nul (Y) ş urmărm să determnăm dstrbuţa tensunlor, a curenţlor prn consumator, în cazul almentăr de la un sstem trfazat smetrc de tensun. (la sursă). lne fază Fg. 6. ezolvarea acestu crcut este smlară cu a crcutulu de c.a. cunoscând, a, 3a, Z A ZB ZC, ş Z - mpedanţa nululu. 74

276 Captolul 6. Crcute trfazate în regm permanent snusodal Teorema Krchhoff afrmă următoarele relaţ: O O 3O AN BN CN O O O (6.) unde: O Z O O Curenţ prn fazele crcutulu sunt daţ de relaţle: AN BN CN AN, BN, CN (6.) ZA ZB ZC Aplcând teorema Krchhoff în nodul N obţnem: A B C O (6.3) Scrnd t eorema Krchhoff funcţe de mărmle ş parametr cunoscuţ a crcutulu obţnem relaţa de dependenţă a tensun dntre punctul de nul al surse ş al consumatorulu (N) numtă tensune de deplasare a nululu. O O 3O Z Z Z Z Z Z Z A B C O ZO O (relaţa Mllman) (6.4) A B C O Sstemul de almentare fnd smetrc ş mpedanţele complexe ale fazelor egale, rezultă O ndependent de exstenţa sau nexstenţa conductorulu de nul. În consecnţă, sstemul tensunlor de almentare a consumatorulu este dentc cu sstemul surse. b) Consumator dezechlbrat Z A Z B Z C În cazul consumulu negal pe faze prezenţa sau absenţa conductorulu de nu l afectează dstrbuţa tensunlor ş curenţlor pe consumator. b. Stea cu nul de mpedanţă O Tensunea d e d eplasare a n ululu este ze ro O. S stemul d e tensun al surse este forţat să devnă sstem aplcat consumatorulu, însă curenţ prn faze sunt dferţ. Dezechlbrul acestor curenţ este scurs prn conductorul de nul având valoarea A B C O. b. Stea fără nul În această stuaţe sstemul de tensun aplcat consumatorulu este dfert d e al s urse d e al mentare. T ensunle p e co nsumator d evn nesmetrce, nesmetre măsurablă ş calculablă prn tensunea de deplasare a nululu. Pentru analza dstrbuţe tensunlor ş curenţlor se calculează tensunea de deplasare a nululu cu relaţa Mllman. 75

277 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Se determnă tensunle pe fazele consumatorulu cu teorema Krchhoff, ş, în sfârşt, curenţ de fază cu relaţle Ohm. Se verfcă, în fnal, teorema Krchhoff: A B C Consumator trfazat conectat în trungh Conexunea trungh mplcă exstenţa numa a tre tensun de lne egale cu tensunle de fază. n consumator trfazat conectat în trungh la reţeaua ndustrală 3 38V / 5Hz trebue să rezste la o tensune aplcată pe fază de 38V. Presupunem un consumator trf azat c onectat în tr ungh almentat d e la u n s stem trf azat s metrc d e te nsun (de l ne),, a, a. rmărm să determnăm dstrbuţa tensunlor ş,3, 3,, curenţlor pe consumator pentru valor dferte ale mpedanţe de sarcnă. a) Consumator echlbrat Z Z Z AB BC CN Fg. 6. Notăm,, 3 curenţ prn lna de transport ş A B C O curenţ prn fazele consumatorulu. Curenţ prn fazele consumatorulu se pot calcula dn relaţle Ohm: AB, AB ; ZAB ZAB BC, BC ; ZBC ZBC AB, AB (6.5) ZAB ZAB ar ce de lne dn aplcarea teoreme Krchhoff în nodurle A, B, C: (6.6) ; AB CA ; AB CA AB CA În consecnţă în conexunea trungh sstemul de tensun al surse este ş sstem al consumatorulu, ar curenţ de fază formează un sstem trfazat smetrc. b) Consumator dezechlbrat ZAB ZBC ZCN elaţle de calcul sunt cele de ma sus sngura dferenţă fnd exstenţa unu curent de crculaţe în bucla trunghulu. În concluze, ncodată alternatoarele nu se vor conecta în trungh. Observaţ:. Noţunea de smetre în sstemele trfazate se referă la semnale ce pot f curenţ sau tensun. Pentru ca un sstem trfazat să fe smetrc trebue 76

278 Captolul 6. Crcute trfazate în regm permanent snusodal ca semnalele să abă aceeaş frecvenţă, acelaş modul ş să fe defazate cu un ungh de π / 3 între ele.. Noţunea de echlbrat sau dezechlbrat se referă la consumator (mpedanţă). Consumatorul trfazat este echlbrat dacă mpedanţele complexe pe toate fazele sunt dentce, dec consumul pe fecare fază este acelaş Puter în reţele trfazate echlbrate sub tensun smetrce Se consderă un receptor trfazat echlbrat sub tensun smetrce,, 3 ş curenţ,, 3, N (fg.6.) Fg 6. Puterea complexă transmsă receptorulu pe la bornele,, 3 ş este: * * * * S V V V 3 3 V ( N ) (6.7) Deoarece N 3, înlocund în relaţa de ma sus, se obţne: * * * * * * S ( V V ) ( V V ) ( V 3 V ) (6.8) Întrucât, ; ; 3 3 (6.9) ; a ; 3 a formula puter transmse receptorulu se transformă astfel: * * * * S a ( a ) 3 P Q (6.3) unde P ş Q sunt puterle actvă ş reactvă, P3cosϕ ; Q3snϕ (6.3) ϕ fnd defazaul dntre tensunea de fază ş curentul de fază. Dacă receptorul e conectat în stea, l 3, l ş puterle complexă S, actvă P ş reactvă Q se exprmă în funcţe de mărmle l ş l, cum urmează: * S 3 ; P 3 cosϕ ; Q 3 sn ϕ (6.3) l l l l l l 77

279 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Dacă receptorul e conectat în trungh l f, l 3 f, ş înlocund în formula puter transmse receptorulu se regăsesc formulele obţnute în cazul conectăr în stea. Pentru măsurarea puter actve este sufcent un wattmetru a căru bobnă de tensune se montează între conductorul faze întâ ş frul neutru ar bobna de curent se conectează în sere cu conductorul prme faze (fg.6.3a). Dacă lpseşte frul neutru, se realzează un punct neutru artfcal cu tre rezstenţe conectate în stea (fg.6.3b). ndcaţa wattmetrulu multplcată cu tre reprezntă puterea actvă. Fg. 6.3 Compensarea puter reactve în sstemele trfazate echlbrate smetrce Pentru îmbunătăţrea factorulu de putere în reţele trfazate echlbrate ş smetrce, se pot utlza tre condensatoare având capactăţ egale. Dacă se conectează în stea condensatoarele de capactate C puterea reactvă are expresa: Q C ω, ar dacă se conectează în trungh 3 λ f condensatoarele de capactate C, se obţne: Q 3C ωl. a aceeaş putere reactvă Q, capactatea condensatoarelor montate în trungh C rezultă de tre or ma mcă decât capactatea condensatoarelor montate în stea C λ, C λ C (6.33) 3 Prn urmare este ma avantaos pentru compensarea puter reactve în reţelele trfazate, să se utlzeze condensatoarele conectate în trungh Metoda componentelor smetrce eţelele trfazate se concep ca ssteme echlbrate în regm smetrc de tensun ş curenţ. Generatoarele se construesc astfel ca tensunle lor 78

280 Captolul 6. Crcute trfazate în regm permanent snusodal electromotoare să fe smetrce, ar lnle de transmse aerene sau cablurle se dmensonează cu consumator dstrbuţ echlbrat pe fecare fază încât ş curenţ să consttue ssteme smetrce. Datortă conectărlor ş deconectărlor dferte pe fecare fază a consumatorlor precum ş avarlor care pot nterven - scurtcrcute ş întreruper apar în reţea dezechlbrăr ş nesmetr. Analza reţelelor trfazate dezechlbrate sub tensun ş curenţ nesmetrc, prn metoda drectă examnată la captolul precedent, are dezavantaul că nu pune în evdenţă pentru elementele de crcut dnamce, abaterle de la regmul smetrc. Comportarea înfăşurărlor trfazate ale maşnlor electrce sub tensun ş curenţ nesmetrc este dfertă de comportarea rezstoarelor, bobnelor ş condensatoarelor. Acestea dn urmă, denumte elemente statce, nu sunt nfluenţate de modul în care se succed tensunle sau curenţ. În schmb, mpedanţele înfăşurărlor maşnlor electrce sunt dferte dacă tensunle ş curenţ sunt de succesun dferte: elementele de acest fel se numesc dnamce. Cu metoda componentelor smetrce se analzează pe modelul regmurlor s metrce, re gmurle n esmetrce a le c rcutelor t rfazate conţnând elemente statce ş dnamce Descompunerea unu sstem trfazat nesmetrc de mărm snusodale în ssteme smetrce Teorema Stovs-Fortescue: n sstem trfazat nesmetrc de mărm snusodale se d escompune în tre ssteme de mărm snusodale: un sstem de succesune drectă, în care fecare mărme e defazată înantea cele care î succede cu π/3; un sstem de succesune nversă, în care fecare mărme e defazată în urma cele care î su ccede cu π/3; un sstem homopolar, în care mărmle au ampltudn egale ş sunt în fază. Fe y(t), y(t), y3(t), sstemul trfazat nesmetrc, y( t) Y sn( ω t γ ) ; y( t) Y sn( ωt γ ) ; y3( t) Y3 sn( ωt γ 3) (6.34) reprezentat în complex (fg.6.4a): γ γ γ3 Y Y e ; Y Y e ; Y Y (6.35) e

281 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Fg. 6.4 Se notează cu: yd(t), yd(t), y3d(t), sstemul trfazat smetrc drect, ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 sn ; 3 sn ; sn 3 π γ ω π γ ω γ ω d d d d d d d d d t Y t y t Y t y t Y t y (6.36) cu: y(t), y(t), y3(t), sstemul trfazat smetrc nvers, ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 sn ; 3 sn ; sn 3 π γ ω π γ ω γ ω t Y t y t Y t y t Y t y (6.37) ş cu: yh(t), y h(t), y 3h(t), s stemul trf azat s metrc o mopolar (sau homopolar), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h h h h h h h h h t Y t y t Y t y t Y t y γ ω γ ω γ ω sn ; sn ; sn 3 (6.38) cu magnle în complex (fg.5.6 b, c, d), h h h h h h d d d d d d Y Y Y Y Y Y Y a Y ay Y Y Y ay Y Y a Y Y Y ; ; ; ; ; ; (6.39) În c onformtate c u te orema S tovs-fortescue, relaţle d ntre componentele corespunzătoare ale sstemelor drect, nvers ş omopolar sunt, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ; ; t y t y t y t y t y t y t y t y t y t y t y t y h d h d h d (6.4) respectv în complex, 8

282 Captolul 6. Crcute trfazate în regm permanent snusodal Y Y ( t) Y d ( t) Y ( t) Y h( t) ; ( t) Y d ( t) Y ( t) Y h( t) ; ( t) Y ( t) Y ( t) Y ( t); (6.4) Y 3 3d 3 3h Cele tre mărm ale fecărua dntre sstemele drect ş nvers se exprmă cu autorul operatorulu a astfel, Y d Yd ; Yd a Yd ; Y3d ayd (6.4) Y Y ; Y ay ; Y3 a Y (6.43) în car e f azor Yd, Y ş Yh, se n umesc componenta drectă, nversă ş omopolară ale sstemulu trfazat nesmetrc Y, Y ş Y Crcute trfazate echlbrate sub tensun nesmetrce Analza regmurlor n esmetrce d n c rcutele trf azate lnare cu metoda co mponentelor s metrce s e f ace p e b aza t eoreme superpozţe astfel: se consderă separat regmurle stablte de componentele drecte ş nverse ş omopolare ale tensunlor ş apo se suprapun răspunsurle corespunzătoare. Crcutele fnd echlbrate ş componentele tensunlor ş curenţlor alcătund ssteme smetrce, este sufcent să se calculeze numa pentru una dn faze, utlzând scheme monoflare. Se obţn în acest fel schemele de succesune drectă, nversă ş omopolară, ar dn superpozţa lor se deduc răspunsurle dn reţea. a. Elementele statce ş dnamce. Se consderă tre elemente dentce cu plate m agnetc ( fg.6.5, a), la bornele cărora sstemele componentelor de t ensune d recte d, a d, a d, nverse, a, a ş omopolare h, h, h stablesc curenţ de succesune drectă d, a d, a d nverse, a, a ş omopolare h, h, h (fg.6.5 b, c, d). Dacă rapoartele dntre fazor componentelor de tensune prn fazor componentelor de curent sunt: d h Z Z m ; Z Z m (6.44) d h Fg.6.5 8

283 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Elementele se numesc statce ş sunt caracterzate de mpedanţele complexe statce propre Z ş mutuală Zm. Elementele se numesc dnamce dacă rapoartele fazorlor componentelor de tensune prn fazor componentelor de curent sunt dferte, d h Z d ; Z ; Z h (6.45) d h ş sunt caracterzate de mpedanţele complexe dnamce drectă d, nversă ş omopolară Zh. ezstoarele, bobnele ş condensatoarele sunt elemente statce. Înfăşurărle statoarelor ş rotoarelor maşnlor electrce aflându-se în mşcare relatvă nu pot f caracterzate prn nductvtăţ mutuale statce; de exemplu, nductvtatea mutuală msr dntre o înfăşurare statorcă s ş una rotorcă r nu este egală cu nductvtatea mrs ş în consecnţă generatoarelor ş motoarelor electrce nu l se aplcă teorema recproctăţ. n generator electrc este caracterzat de tensunle electromotoare drectă Ed, nversă E ş omopolară Eh ş de mpedanţele dnamce Zd, Z, Zh, a r m otorul e lectrc este caracterzat d e aceasta dn urmă. Practc, părţle reale ale componentelor dnamce ale maşnlor electrce sunt neglable în raport cu părţle magnare ş mpedanţele se pot aproxma prn reactanţele corespunzătoare Xd, X, Xh. eactanţele nversă ş omopolară sunt ma mc decât reactanţa drectă ş se dau sub formă de procente în raport cu Xd. b. eceptor trfazat echlbrat cu elementele statce, fără cuplae magnetce, conectat în stea, cu fr neutru. Fe c rcutul tr fazat e chlbrat consttut dn tre elemente statce de mpedanţe Z conectate în stea, cu fr neutru de mpedanţă ZN (fg.6.6a), sub tensun la borne nesmetrce,, 3 de componente d,, ş h. În conformtate cu teorema superpozţe, curenţ,, 3 ş N, se obţn însumând curenţ care se stablesc dacă se consderă că la bornele crcutulu se aplcă tensunle drecte, nverse ş omopolare (fg.5.8b,c,d). În regmurle smetrce drect ş nvers, componentele curenţlor d ş prn mpedanţele prme faze au expresle: d d ; (6.46) Z Z 8

284 Captolul 6. Crcute trfazate în regm permanent snusodal Fg.6.6 ş curenţ prn frul neutru sunt nul. Prn mpedanţele celorlalte două faze curenţ se obţn multplcând pe d ş cu a,respectv cu a, prn urmare e sufcent să se calculeze numa pe ntru una d n f aze. S chemele corespunzătoare reprezentate în fg.6.6a,b se numesc schema de succesune drectă Sd, respectv schema de succesune nversă S. În re gm s metrc o mopolar (fg.6.6d), c omponenta h se de duce aplcând teorema a doua a lu Krchhoff crcutulu No. h Zh 3ZNh (6.47) dn care rezultă: h h (6.48) Z 3Z N Schema monoflară conţne mpedanţă Z ş mpedanţa frulu neutru ZN multplcată cu 3 ş se numeşte schema de succesune omopolară Sh (fg.6.6c). ntroducând expresle lu d, ş h, în relaţle dntre componentele corespunzătoare sstemelor drect, nvers ş omopolar, se obţn curenţ, ş 3. c. eceptor trfazat echlbrat cu elemente statce fără cuplae magnetce conectate în stea fără fr neutru (fg.6.7a). Se dau tensunle de 83

285 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce lne n esmetrce, 3 ş 3 cu componentele smetrce drectă ld ş nversă l, componenta omopolară lh, fnd nulă. În re gm s metrc d rect (f g.6.7b) componenta drectă d se calculează aplcând a doua teoremă a lu Krchhoff crcutulu dndd, : ld Zd Za d, dn care rezultă: ld d (6.49) ( a )Z Smlar, se obţne pentru componenta nversă expresa (fg.6.7c) l ( a )Z (6.5) Notând c u fd d ş f componentele de fază corespunzătoare componentelor de lne. ld π / 6 l π / 6 d e ld ; e l (6.5) a 3 a 3 expresle componentelor drectă ş nversă, devn: d d ; (6.5) Z Z Schemele de succesune drectă Sd ş nversă St sunt dentce cu schemele corespunzătoare ale receptorulu trfazat cu fr neutru (fg.6.6a,b). d. Crcut trfazat echlbrat cu elemente statce cuplate magnetc sub tensun nesmetrce. Se consderă tre elemente statce dentce cu mpedanţele propr Z ş mutuale Zm sub tensun nesmetrce, ş 3 (fg.5.a). Ecuaţle crcutulu, aceleaş pentru orce mod de conexune - stea sau trungh sunt următoarele: 3 Z Z m Z m Z m Z Z m Z Z Z m m ; ; ; (6.53) Fg

286 Captolul 6. Crcute trfazate în regm permanent snusodal Fg.6.8 Înlocund t ensunle ş curenţ prn expresle lor în funcţe de componentele smetrce, se obţne: ( ) ( ) ( ) h d m h d m h d h d a a Z a a Z Z ( ) ( ) ( ) h m m d m h d Z Z Z Z Z Z (6.54) ( ) ( ) ( ) h d m h d h d m h d a a Z a a Z Z a a ( ) ( ) ( ) h m m d m h d Z Z Z Z a Z Z a a a (6.55) ( ) ( ) ( ) h d m h d h d m h d a a Z a a Z Z a a ( ) ( ) ( ) h m m d m h d Z Z Z Z a Z Z a a a (6.56) dn care se deduc ecuaţle: ( ) ( ) ( ) Z Z Z Z Z Z m h m d m d ; ; (6.57) Ecuaţlor de ma sus, le corespund schemele de succesune drectă Ss, nversă S ş omopolară Sh reprezentate în fg.6.8 b,c ş d Crcute trfazate dezechlbrate n s stem s metrc sau n esmetrc de t ensun ap lcat u nu c rcut trfazat dezechlbrat stableşte curenţ nesmetrc. Componentele smetrce de succesune drectă, nversă ş omopolară cu sunt ndependente ş relaţle dntre ele fnd complcate nu se pot stabl scheme monofazate Sd, S ş Sh, ca în cazul crcutelor echlbrate. În general, dezechlbrul reţelelor nu este total, fnd posblă separarea părţlor echlbrate ş dezechlbrate. De exemplu, avarle d e întrerupere a fazelor sau de scurcrcutare ale acestora cu sau fără arc electrc, - mono, b sau trfazat, - pot f modelate prn elementele trfazate dezechlbrate, conectate la reţeaua echlbrată. Calculul regmurlor nesmetrce în reţelele conţnând receptoare dezechlbrate se face pe baza teoreme substtuţe în modul următor: se înlocuesc mpedanţele elementelor dezechlbrate prn tensun nesmetrce, 85

287 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce care se descompun în componente smetrce corespunzătoare; aceste componente î mpreună cu cele ale curenţlor alcătuesc necunoscute auxlare. eţea echlbrată cu receptor statc dezechlbrat. Se consderă o reţea trfazată conţnând în afară de partea echlbrată e un e lement dezechlbrat fără cuplae magnetce de mpedanţe Z, Z ş Z3, conectate în stea sau trungh (fg.6.9 a). Notând cu, ş 3 tensunle ş cu, ş 3 curenţ, ecuaţle elementulu de crcut sunt următoarele: Z ; Z ; 3 Z 3 3 (6.58) Înlocund tensunle ş curenţ prn expresle lor în funcţe de componentele lor smetrce, se deduc ecuaţle: d Zh d Z Zd h ; Zd d Zh Z h ; (6.59) Z Z Z ; h d d h h Fg.6.9 în care s-a notat cu Zd, Z, Zh următoarele mpedanţe de calcul: Zh ( Z Z Z 3) 3 Zd ( Z az a Z 3) (6.6) 3 Z ( Z a Z az 3) 3 Schemele drectă Sd, nversă S ş omopolară Sh (fg.6.9 b,c,d) ale părţ echlbrate e, consderate ca dpol Thévenn, au ecuaţle: E d d Z ABd d ; E Z AB ; E h h Z ABh h (6.6) respectv ca dpol Norton (fg.6.e,f,g). 86

288 Captolul 6. Crcute trfazate în regm permanent snusodal d d Y ABd d ; Y AB ; h h Y ABh h (6.6) în care s-au notat cu: Ed, E ş Eh componente smetrce ale tensunlor electromotoare în gol; dg, g ş hg componentele smetrce ale necţlor de curent; ZABd, ZAB ş ZABh respectv YABd, YAB ş YABh mpedanţele, respectv admtanţele reţelelor pasvzate Sd, S ş Sh. Obţnem un sstem de 6 ecuaţ cu 6 necunoscute, d,, h, d,, h. După rezolvarea sstemulu, se obţn necunoscutele,, 3,,, ş 3 ş dn s chemele S d, S ş Sh se calculează curenţ ş tensunle elementelor părţ echlbrate e Puter în reţele trfazate dezechlbrate sub tensun nesmetrce a. Metoda drectă de calcul a puterlor Se consderă receptorul trfazat dezechlbrat cu neutrul N accesbl sub tensun ş curenţ nesmetrc,,, N (fg.6.a). Puterea complexă S se calculează cu formula: * * * S 3 3 (6.63) dn care se deduc puterle actvă P ş reactvă Q, P cosϕ cosϕ 33 cosϕ3 (6.64) Q sn ϕ sn ϕ 33 sn ϕ3 (6.65) în care ϕ, ϕ, ϕ3 sunt defazaele dntre tensunle de fază,, 3 ş curenţ corespunzător,, 3 (fg.6.b). Pentru măsurarea puter actve se utlzează tre wattmetre cu bobnele de tensune conectate între fecare fază ş punctul neutru, ar bobnele de curent în sere cu fecare conductor de fază (fg.6.a). Fg.6. Dacă neutrul crcutulu nu e accesbl, tensunle reţele sunt date prn componentele lor de lne, 3, 3. Înlocund în formula puter S complexe, 3 - -, se obţne: * * * * * * S (6.66) ar puterle actvă P ş reactvă Q au expresle următoare: 87

289 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce P ϕ (6.67) 3 cosϕ3 3 cosϕ3 ; Q 3 cosϕ3 3 cos unde ϕ3 ş ϕ3 fnd defazaele dntre tensunle 3, 3 ş curenţ ş. Pentru măsurarea puter actve, utlzează două wattmetre cu bobnele de tensune conectate între fazele ş 3, respectv ş 3, ar bobnele de curent în sere cu conductoarele ş. b. Calculul puterlor în reţele trfazate dezechlbrate cu autorul componentelor smetrce Puterea complexă S a une reţele trfazate dezechlbrate în regm nesmetrc de tensun ş curenţ are expresa: * * * S 3 3 (6.68) Înlocund tensunle cu expresle în funcţe de componentele lor smetrce, ; a fd fd 3 a fd a f fh ; ş grupând după aceste componente, se obţne, * * * * * * * * * S fd ( a a 3 ) f ( a a 3 ) fh ( 3 ) ; (6.7) respectv * * * S 3 fd fd 3 f f 3 fh fh (6.7) în care s-a ţnut seama de relaţle: a * a ; (a ) * a. Separând părţle reală ş magnară, se deduc expresle puterlor actvă P ş reactvă Q în funcţe de componentele smetrce de tensune ş curent, P 3 fd fd cosϕd 3 f f cosϕ 3 fh fh cosϕh (6.7) Q 3 fd fd sn ϕd 3 f f sn ϕ 3 fh fh sn ϕh (6.73) în care ϕd, ϕ, ϕh sunt defazaele dntre componentele smetrce de tensune ş cele de curent. f a f fh fh ; 3 (6.69) 88

290 CAPTO 7. N EECTCE NG 7.. Crcute cu parametr repartzaţ În cap tolele p recedente s -au s tudat c rcute electrce flforme, formate d n el emente d e c rcut caracterzable sep arat numa p rntr-o rezstenţă electrcă, o nductvtate sau o cap actate. A stfel d e c rcute electrce, care admt scheme echvalente consttute dn elemente deale de crcut (,, C) (în număr fnt) se numesc crcute cu parametr concentraţ. În numeroase aplcaţ tehnce, aproxmarea parametrlor concentraţ nu este însă valablă. nle electrce lung sunt foloste pentru transportul energe electrce la dstanţe mar, înfăşurărle (bobnele) transformatoarelor electrce ş alte crcute electrce nu au câmpul electrc, câmpul magnetc ş transformarea de energe electromagnetcă (prn efect Joule-enz) concentrate în părţ dstncte ale crcutulu, c le au repartzate, practc, în tot lu ngul c rcutulu. A stfel d e c rcute s e n umesc crcute cu parametr repartzaţ. Acumularea de s arcn î n l ungul crcutulu, caracterzată prn capactatea electrcă, se face ca în regmurle varable în tmp ntenstatea curentulu electrc să vareze în lungul conductoarelor(ne-ramfcate al e ) crcutelor cu parametr repartzaţ. a lnle electrce lung mperfecţunea zolaţe prn care trece un curent electrc între conductoarele lne contrbue la varaţa ntenstăţ curentulu electrc în lungul acestora. 7.. Parametr lnec nle e lectrce lu ng care s unt c onsttute d ntr-un s stem de conductoare flforme, paralele, cu lungmea foarte mare faţă de dstanţa dntre el e se utlzează pentru transmterea la dstanţe mar a energe electromagnetce (în electroenergetcă) sau a semnalelor electromagnetce (în telecomuncaţle pe fre). Consderăm lna bflară dn fgura 7., de lungme l ş notăm cu - bornele de ntrare (dnspre generator) ş cu bornele de eşre (dnspre receptor). S-a consderat un element de lne, de lungme dx, 89

291 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Fg. 7. stuat la dstanţa x de începutul lne (respectv dstanţa x de sfârşt). Pentru lna bflară se defnesc următor parametr lnec: a) ezstenţa lnecă (rezstenţa totală a celor două conductoare pe untatea de lungme) : u f Ω lm x lm, (7.) x x x m unde: uf este căderea de tensune dn lungul unea dntre porţunle de conductor, pe lungmea x; curentul dn conductor dn dreptul acele porţun; rezstenţa ambelor conductoare pe porţunea x. Dn relaţa (7.) rezultă 9

292 Captolul 7. n electrce du f dx. (7.) b) nductvtatea lnecă (nductvtatea sstemulu de două conductoare pe untatea de lungme a lne): Φ H lm x lm, (7.3) x x x m unde Φ sete fluxul magnetc prn suprafaţa sprntă de cele două conductoare de l ungme x (suprafaţă haşurată în fgura 7.), a r es te nductvtatea propre corespunzătoare aceste porţun a lne. Dn relaţa (7.3) rezultă: dφ dx. (7.4) c) Capactatea lnecă (capactatea sstemulu de două conductoare pe untatea de lungme a lne): q C F C lm lm. (7.5) x u x x x m unde: q este sarcna electrcă localzată pe suprafaţa unua dntre conductoare pe porţunea x; u tensunea dntre acest conductor ş celălalt în dreptul aceste porţun; C - capactatea între cele două conductoare pe porţunea x. Dn relaţa (7.5) rezultă: dq Cudx (7.6) d) Conductanţa lnecă de zolaţe (sau perdtanţa) (conductanţa zolaţe dntre conductoarele lne pe untatea de lungme): g G S Ω G lm u x lm, (7.7) x x x m m unde: g este curentul de conducţe, care se închde prn zolantul mperfect dntre cele două porţun de conductoare pe lungmea x; G conductanţa corespunzătoare aceste porţun dn zolaţa lne. Dn relaţa (7.7) rezultă: d g G udx. (7.8) Dacă parametr lnec,, C, G nu depnd de dstanţa x, lna se numeşte omogenă. 9

293 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce 7.3. Ecuaţle lnlor electrce lung În fgura 7. sunt notate cu u ş tensunea ş curentul dn lne la un moment dat la dstanţa x de la începutul lne. În acelaş moment, la dstanţa u x dx, tensunea ş curentul dn lne vor f u dx, respectv dx. x x Modfcarea tensun pe porţunea dx se datorează atât rezstenţe dx cât ş nductvtăţ dx dntre frele conductoare. Teorema întâ a lu Krchhoff aplcată nodulu A dn fg. 7. conduce la ecuaţa: u dx G dx u Cdx, (7.9) x t unde: G dx u reprezntă curentul de conducţe ce se scurge între conductoare pe porţunea dx; u C dx - curentul de d eplasare ca re s e sc urge î ntre conductoare t datortă prezenţe capactăţ între fre ş a faptulu că exstă varaţa în tmp a tensun u (dec a ntenstăţ câmpulu electrc). După smplfcăr, ecuaţa (7.9) se reduce la forma: u G u C (7.) x t Teorema a doua a lu Krchhoff aplcată achulu ABCDA dn fgura 7. conduce la ecuaţa: u u u dx dx dx, (7.) x t unde: dx este căderea de tensune pe rezstenţa porţun dx; dx - căderea de tensune datortă nductvtăţ propr a lne t (datortă fluxulu magnetc varabl în tmp care străbate suprafaţa haşurată în fg. 7.). După smplfcăr, ecuaţa (7.) devne: u. (7.) x t Ecuaţle cu dervate parţale (7.) ş (7.) reprezntă ecuaţle lnlor lung denumte ş ecuaţle telegrafştlor (ecuaţ de ordnul ). 9

294 Captolul 7. n electrce Semnul mnus care apare în cele două ecuaţ trebue nterpretat prn faptul că atât curentul cât ş tensunea u scad în drecţa creşter varable x(de la generator către receptor). Dacă în loc de varabla x se ntroduce varabla x (măsurată de la receptor către generator), legate prn relaţa: x x l const., adcă dx - dx, ecuaţle lnlor lung se vor scre sub forma: Gu C x' u t u x' t. (7.3) Determnare tensun ş a curentulu ca funcţ de t ş x pe b aza rezolvăr ecuaţlor telegrafştlor (7. ş 7. sau sstemul 7.3), care sunt ecuaţ cu dervate parţale smultane, în condţ nţale ş de fronteră date (adcă în regm tranztoru) în cazul general al lnlor omogene este o problemă complcată, care se face cu metode operaţonale (de exemplu cu autorul transformăr aplace). În cele ce urmează vom studa lnle lung numa în regm permanent snusodal n lung omogene bflare în regm permanent snusodal În regm permanent snusodal, tensunea ş curentul sunt în fecare punct al lne lung, funcţ snusodale de tmp de aceeaş frecvenţă, de forma : u u( x, t) ( x) sn[ ω t ψ ( x) ] (7.4) ( x, t) ( x) sn[ ωt ψ ( x) ϕ( x) ], (7.5) în care valorle efectve (x) ş (x) precum ş fazele nţale ψ(x) ş [ψ(x)- ϕ(x)] sunt ndependente de punctul consderat x al lne. Aceste mărm se pot reprezenta în complex smplfcat, magnle lor fnd funcţ de varabla spaţală x: ( ) ( ) ( ) ψ ( x) u x,t x x e (7.6) [ ψ ( x) ϕ ( x) ] ( x,t) ( x) ( x) e (7.7) Dervatele parţale ale acestor mărm se reprezntă astfel: u x dx (7.8) u ω t (7.9) ş analog pentru curent: 93

295 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce d ; ω. (7.) x dx t Folosnd aceste reprezentăr în complex, ecuaţle telegrafştlor (7.) ş (7.) se reprezntă în complex prn următorul sstem de ecuaţ dferenţale ordnare în varabla x: d ( ω ) (7.) dx d ( G ωc ), dx care reprezntă forma complexă a ecuaţlor de ordnul întâ ale telegrafştlor. P rn d ervare s e p oate el mna su ccesv o rcare d ntre funcţle necunoscute sau ş se obţn următoarele ecuaţ: d ( ω )( G ωc ) dx d ( ω )( G ωc ), (7.) dx care reprezntă forma complexă a ecuaţlor de ordnul al dolea ale telegrafştlor. Dacă se notează : γ ( ω )( G ωc ) α β ( α > ) (7.3) γ numndu-se constanta de propagare a lne, α - constanta de atenuare, ar β - constanta de fază a lne (vez p aragraful 7.5), ecuaţle (7.) s e pot scre smplfcat: d d γ ; γ. (7.4) dx dx a rezolvarea acestor ecuaţ trebue să se ţnă seama că ş sunt legate prn ecuaţle de ordnul întâ (7.), de aceea se rezolvă numa una dntre ecuaţ, de exemplu aceea a tensun, curentul deducându-se apo dn (7.). Ecuaţa caracterstca dn (7.4) fnd: p γ, (7.5) cu soluţle: p, ± ( α β ), (7.6) rezultă soluţa generală a tensun γx γx ( x) A e B e, (7.7) în care A ş B sunt constante arbtrare, în general complexe. 94

296 Captolul 7. n electrce Curentul se obţne înlocund expresa lu (x) d n ( 7.7) î n pr ma ecuaţe dn (7.): ( ) [ ] x x e B e A l dx d x γ γ ω γ ω. (7.8) Dacă se notează: C G C G Z c ω ω ω γ γ ω, (7.9) Zc numndu-se mpedanţa caracterstcă complexă a lne, soluţle generale (7.7) ş (7.8) ale forme complexe a ecuaţlor telegrafştlor se pot pune sub forma: ( ) x x e B e A x γ γ ( ) x c x c e Z B e Z A x γ γ, (7.3) în car e co nstantele arbtrare co mplexe A ş B sunt determnate p rn condţle de la capetele lne. Astfel, în cazul când se dau tensunea ş curentul la bornele de ntrare a lne (x ), dn relaţle (7.3) se obţn: B A ) ( ( ) Z c B A. (7.3) Dn sstemul (7.3) rezultă: ( ) Z A c ( ) Z B c. (7.3) Înlocund valorle lu A ş B dn (7.3) ş (7.3), se obţne: ( ) x x c x x e e Z e e x γ γ γ γ ( ) x x x x e e Z e e x γ γ γ γ, (7.33) Acestea se pot scre sub forma: ( ) x sh Z x ch x c γ γ 95

297 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce ( ) x sh Z x ch x c γ γ, (7.34) care reprezntă forma complexă a ecuaţlor lnlor lung bflare, lnare ş omogene, în regm snusodal în funcţe de mărmle de ntrare. Dacă se dau tensunea ş curentul de la bornele de eşre ale lne (x l), rezultă dn (7.3): ( ) l l e B e A l γ γ ( ) l c l c e Z B e Z A l γ γ (7.35) de unde rezultă relaţle: ( ) Z e A c l γ ( ) Z e B c l γ, (7.36) sau ( ) l c e Z A γ ( ) l c e Z B γ. (7.37) Înlocund e xpresle c onstantelor A ş B dn ( 7.37) în soluţle generale (7.3), rezultă: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x l x l c x l x l e e Z e e x γ γ γ γ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x l x l c x l x l e e Z e e x γ γ γ γ. (7.38) Aceste soluţ se pot exprma în funcţe de dstanţa x l x, măsurată de la sfârştul lne, ş cu autorul funcţlor hperbolce se pot scre sub forma: ( ) ' ' ' x sh Z x ch x c γ γ ( ) ' ' ' x sh Z x ch x c γ γ (7.39) care reprezntă forma complexă a ecuaţlor lnlor lung bflare, lnare ş omogene, în regm snusodal, în funcţe de mărmle de eşre. 96

298 Captolul 7. n electrce 7.5. ndele de tensune ş de curent în cazul lnlor lung în regm snusodal Dn relaţle (7.3) rezultă că repartţa spaţală a tensun ş a ntenstăţ curentulu, la un moment dat t, se obţne prn adunarea a câte două componente: ( x) d ( x) ( x) ( x) d ( x) ( x), (7.4) respectv, în valor nstantanee: u(x, t) ud(x, t) u(x, t) (x, t) d(x, t) (x, t) (7.4) numte: undă drectă de tensune (ud), undă drectă de curent (d), undă nversă de tensune (u) ş undă nversă de curent (). Astfel, valoarea complexă a unde drecte de tensune este (a se compara 7.3 cu 7.4): γ x Ae (7.4) d ( ) x cu coefcentul ( ) ψd A d d d e. (7.43) Aşadar, rezultă: γx ψd ( α β ) d ( x) d e d e e (7.44) sau αx ( βxψd ) d ( x) d e e. (7.45) Valoarea nstantanee corespunzătoare este: u x, t m ωt e αx e sn ωt βx ψd (7.46) d ( ) { } ( ) d d Această undă drectă este o undă moblă amortzată, în sensul că repartţa e de-a lungul lne se deplasează pe lne cu o vteză v de l a începutul sp re sf ârştul lne ş se amortzează după exponenţala e -αx. Î n fgura 7., a) se reprezntă o astfel de undă atenuată, la momentele t ş t t. În mod asemănător se poate scre unda nversă de t ensune ( vez relaţa 7.3): γx γx γ ( lx' ) γl γx' γx' ( x) B e e ' e e e B e, (7.47) care are aceeaş formă ca ş unda drectă (vez relaţa 7.4), dacă se exprmă în funcţe de varabla x l-x. Aceasta componentă corespunde, prn urmare, une unde atenuate nverse care se propagă cu aceeaş vteză v în sensul x lor n egatv, a tenuându-se în sensul e de propagare cu aceeaş atenuare α pe untate de lungme. 97

299 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce În analoge cu tensunea, dn relaţa a doua (7.3) ma rezulta că ş curentul se obţne prn suprapunerea a două componente: curentul drect d ( x) d γx d e (7.48) Z c Z c ş curentul nvers (sau reflectat) ( x) γx e (7.49) Z c Z c elaţa (7.46) ustfcă denumrea de constantă de atenuare date părţ reale α a constante de propagare ş de constantă de fază dată părţ magnare β dn constanta de propagare. Se defneşte lungmea de undă λ ca fnd creşterea dstanţe x corespunzătoare une creşter cu π a argumentulu unde respectve (sau cea ma mcă dstanţă dntre cele două puncte în care undele respectve sunt în fază): ωt - βx ψd - [ωt - β(x λ) ψd] π (7.5) ş dec π λ. (7.5) β Vteza de fază a une unde faţă de sensul poztv al axe x este prn defnţe vteza unu punct fctv mobl în care faza unde este constantă. Astfel, pentru undele drecte, dn condţa ω t βx ψd const. (7.5) rezultă vteza de fază: dx ω πf v λf. (7.53) dt β β Coefcentul de reflexe al undelor la sfârştul lne (x l) este prn defnţe raportul dntre complexul tensun unde nverse ş complexul tensun unde drecte la sfârştul lne (vez relaţa 7.35): l ( Z ) c c Z γ B e Z Z c K, (7.54) γl d Ae ( Z ) Z Z c c Z c unde: Zc / este mpedanţa complexă a receptorulu conectat la sfârştul lne; Z mpedanţa caracterstcă complexă a lne. 98

300 Captolul 7. n electrce Observaţe Dacă receptorul conectat la sfârştul lne are o mpedanţă complexă Z egală cu mpedanţa caracterstca complexă a lne, adcă: Z Zc, (7.55) coefcentul de reflexe este nul (K ) ş ca urmare nu exstă unde reflectate, deoarece K d, adcă: ( x) d ( x) ; ( x) d ( x). (7.56) nle la care este conectat un receptor cu mpedanţa egală cu mpedanţa caracterstcă complexă a lne se numesc ln adaptate na fără dstorsun. na fără perder Dependenţa de frecvenţa a constante de propagare (γ), a co nstante de fază (β) ş dec a vteze de fază (v ω/β) face ca d ezavantaele dntre componentele (armoncele) de frecvenţe dferte ale unu semnal (de exemplu, un curent purtător de nformaţ) transms prntr-o lne lungă să nu fe aceleaş la începutul ş la sfârştul lne. Pentru elmnarea aceste dstorsun a semnalelor cauzată de vteza de fază dfertă a armoncelor componente de frecvenţe dferte, se folosesc lnle fără dstorsune a căror parametr satsfac condţa lu Heavsde: G. (7.57) C În acest caz, constanta de propagare a lne fără dstorsun are expresa: γ ( ω )( G ωc ) G ω C. (7.58) Aşadar: α G e γ (7.59) [ ] [ γ ] ω C β m. (7.6) Ca urmare, conform relaţe (7.53), rezultă o vteză de fază: ω v (7.6) β C ndependentă de frecvenţă. Pentru o lne bflară aerană cu conductoare paralele de dametru a foarte mc faţă de dstanţa d dntre axele conductoarelor ş faţă de lungmea l a acestora, nductvtatea ş capactatea lnecă au valorle: 99

301 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce µ d ln (7.6) π a πε C (7.63) d ln a ş dec vteza de fază este 8 v 3 m / s, (7.64) C ε µ egală cu vteza de propagare a lumn în vd. mpedanţa caracterstcă complexă a une ln fără dstorsun este: ω Z c. (7.65) G ωc G C Pentru realzarea l u Heavsde (7.57) se măreşte nductvtatea cablurlor t elefonce, ntercalând în ser e cu acest ea b obne d e mare nductvtate (procedeul Pupn). nle fără perder sunt ln dealzate cu ; G. (7.66) Ele satsfac condţa lu Heavsde (7.57) ş sunt ln fără dstorsun cu o constantă de atenuare (vez relaţa 7.59) nulă: α G (7.67) nle fără perder au mpedanţa caracterstcă (vez relaţa 7.65): Z c (7.68) C ş o repartţe spaţală perodcă snusodală (ne-amortzată) a tensun ş curentulu, dea-lungul lne (vez relaţa 7.46). 3

302 CAPTO 8. CCTE NAE ÎN EGM PEODC NESNSODA 8. ntroducere. Analza armoncă a semnalelor Până în prezent am studat comportarea crcutelor lnare dacă exctaţa este snusodală. În realtate tensunle ş curenţ prntr-o reţea electrcă sunt dferţ de forma snusodală. Abaterea acestora d e l a forma snusodală se numeşte dstorsune sau deformare. n astfel de exemplu îl consttue bobna nelnară (cu mez de fer) cărea dacă se aplcă o tensune snusodală (exctaţe) răspunsul acestea (curentul) este nesnusodal. Fg. 8. Presupunând o bob na cu mez de fer (fg.8.) almentată de la o sursă de tensune snusodală u sn ωt rezultă ecuaţa în tensune a bobne cu mez de fer prn aplcarea teoreme a doua a lu Krchhoff: dφt d d dφu b u ( Φσ Φu ) σ, (8.) dt dt dt dt d unde: σ este fluxul de dsperse cu o dependenţă lnară faţă de dt curentul d n c rcut ( σ ~µ). Dependenţa flux-curent Φu() este nelnară datorată prezenţe crcutulu feromagnetc al bobne ar ecuaţe în tensune a bobne cu mez de fer î corespunde următoarea schemă echvalentă: ϕ u Fg. 8. 3

303 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce d dϕu u b σ N dt dt, (8.) dϕu u( t ) N dt Consderând că bobna are b ş σ neglable (f apt a propat d e dϕu realtate) atunc tensunea de almentare u u ( t) N. dt Dn relaţa de ma sus se poate determna forma de varaţe a fluxulu magnetc π π ϕu u( t) dt snωt sn ωt Φmax sn ωt N N ωn (8.3) Fluxul m agnetc utl (în mezul feromagnetc) este snusodal ş se află în urma tensun cu π. Forma de varaţe a curentulu ce parcurge bobna este funcţe de dependenţa Φuf() a materalulu feromagnetc care la altă scară, (vez legle câmpulu electromagnetc), reprezntă dependenţa Bf(H) Φ S B d A, Γ H d N (8.4) SΓ Γ Pentru materalele feromagnetce mo cu dependenţa flux curent (fg.8.3) atât tmp cât se lucrează cu tensun mc fluxul magnetc are punctul maxm de funcţonare numa în zona lnară (OM) ar curentul este snusodal. Fg

304 Captolul 8. Crcute lnare în regm perodc nesnusodal Dacă punctul de funcţonare aunge în zona de saturaţe fluxul magnetc rămâne snusodal, ar curentul are forma nesnusodală prezentată în fg.8.4 Fg Construcţa grafcă a forme de varaţe a curentulu. a un moment t dat (fg.8.5.) bobne î corespunde un flux ϕ cărua în caracterstca ϕϕ() î corespunde curentul. Valoarea acestu curent se rabate pe vertcală, ar în dependenţa acestua funcţe de tmp, corespunde valor curentulu la momentul de tmp t dat. Pentru materalele feromagnetce ce prezntă cclu de hsterezs (dure) curentul este deformat ş nu ma este în fază cu fluxul (fg.8.5). Fg a ϕu c urentul este mpus d e H c ar pe ntru a nularea f luxulu remanent Φrem curentul are o valoare dfertă de zero. Construcţa grafcă a forme de varaţe a curentulu - la mo ment t oarecare pe curba de creştere a fluxulu î corespunde un curent 33

305 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce - la m omentul t la acelaş flux magnetc pe curba descendenta a caracterstc flux curent curentul este nul ar fluxul poztv egal cu valoarea remanentă Pentru acest ultm caz ecuaţa în tensune a bobne cu mez de fer este d dφu u b σ u cu u( t) N - t.e.m. de autonducţe. dt dt eprezentând ecuaţa de ma sus în complex smplfcat, prn alegerea fluxulu magnetc în axa reală, rezultă dagrama de fazor (fg.8.6) ş schema echvalentă (fg.8.7): Φ m b X σ unde ω (8.5) Blanţul de puter al bobne se obţne prn amplfcarea ecuaţe de ma sus cu valoarea complex conugată a curentulu rezultând: * * b X σ ar prn separarea părţ reale s magnare Pcosϕb e{*}pjph (8.6) QsnϕQ σ QH (8.7) Fg. 8.6 Fg. 8.7 Exctând o bobnă cu mez de fer de la o sursă de curent snusodală, tensunea la bornele bobne este nesnusodală. 8.. Analza armoncă a funcţlor perodce Orce funcţe perodcă y(t)y(tnt) ce îndeplneşte condţle Drchlet (mărgntă, netedă pe porţun, număr fnt de dscontnutăţ y dt < ) poate f reprezentată (admte o dezvoltare) prntr-o sere trgonometrcă denumtă sere Fourer de forma: 34

306 Captolul 8. Crcute lnare în regm perodc nesnusodal n A sn( t ) y( t) A ω γ (8.8) unde A componenta contnuă a funcţe A valoarea efectvă a armonc de ordnul γ faza nţală a armonc de ordn. Altfel spus orce funcţe perodcă nesnusodală este o sumă de funcţ snusodale de pulsaţ dferte ( ). Alte f orme al e ser e sn(ωtγ) ş anume n Fourer se obţn dn dezvoltarea funcţe ( A sn t cosγ A snγ t) y( t) A ω cos ω (8.9) Notând B Acosγ, ar C Asnγ, rezultă C C tg γ γ arctg, r espectv A B C sau B B B ϕ arctg C Determnarea coefcenţlor sere Fourer se face dn dezvoltarea y( t) A B sn ω t C cos ωt (8.) ntegrând ser a Fourer pe durata une peroade y(t) se determnă componenta contnuă: T T T T (8.) y( t) dt A dt B sn ωt dt C cos ωt dt T rezultând A y( t) dt T Valorle efectve ale fundamentale ş armonclor sere Fourer se pot determna prn înmulţrea cu snωτ sau cosωτ a funcţe nesnusodale ş ntegrarea pe durata une peroade T T n T y ( τ )sn ωτ dτ A sn ωt dt B sn ωt dt C sn ω t cos ω t dt cos ωt n T sn ωt T T T B y( t)sn ω t dt respectv C y( t)cos ω t dt (8.) T 35

307 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Forma complexă a sere trgonometrce se obţne dn forma ωt ωt complexă a funcţlor trgonometrce sn ωt ( e e ) respectv ωt ωt cos ωt e e ( ) y( t) A B ωt ωt ωt ωt ( e e ) C ( e e ) C B ωt C B ωt A e e (8.3) C B ωt C B ωt A e e Dacă însumarea se face după în ultmul termen al exprese de ma sus atunc: y( t) A C B e ωt C B e ωt (8.4) ωt y( t) Φ e (8.5) arctg C B ϕ Φ Ae Ae unde: AΦ ;. Aceeaş formă complexă a sere Fourer rezultă s dn înlocurea coefcenţlor: T A y( t) dt (8.6) T T B y( t)sn ω t dt (8.7) T T C y( t)cos ω t dt (8.8) T În expresa funcţe f(t): T T T T y (t) y( τ) dτ y( τ)sn ωτsn ωt dτ y( τ)cosωτcosωt dτ (8.9) T T T y (t) y( τ) ( sn ωτsn ωt cosωτcosωt) dτ (8.) B C T 36

308 Captolul 8. Crcute lnare în regm perodc nesnusodal T y( t) y( τ )[ cos ω( t τ ) ] dτ T ω( tτ ) [ ω( tτ )] e e T (8.) T ω(tτ) ω(tτ) y (t) y( τ) e e dτ (8.) y(t) T T y( τ) e ω(tτ) dτ T ωτ y( τ)e dτ e T Φ ( ω) ωt ωt y (t) Φ e, unde Φ Φ ω T ϕ ωτ ) e y( τ)e dτ T (8.3) ( (8.4) Funcţa Φ este o funcţe de varablă complexă cu modulul dependent de frecvenţă denumt ampltudne spectrală dar funcţa Φ are ş argumentul dependent de frecvenţă. eprezentarea funcţe de frecventa ΦΦ(ω) a modululu conduce la defnrea spectrulu de frecvenţă al ampltudnlor (spectrul dscret) ar reprezentarea argumentulu ϕϕ(ω) conduce la spectrul de frecvenţă al fazelor nţale Fg. 8.8 Concluze: Orce semnal perodc este o sumă de semnale complexe * (combnaţe lnară). Astfel funcţa x(t)xmcosωt pr ovne dn x (t) ( x x ) cu: x x e x * m x ωt e x ωt m m x (cosωt m snωt) (8.5) (cosωt snωt) (8.6) 37

309 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce 8.3. Exemple de semnale perodce partculare a) Semnale pare satsfac ecuaţa y(t)y(-t)y(t-t) Sera Fourer devne: Fg. 8.9 y (t) A B sn ωt C cosωt (8.7) y ( t) A B sn ω( t) C cosω( t) ar prn mpunerea condţe de funcţe pară: A B sn ωt C cosωt A B sn ωt C cosωt (8.8) rezultă: B unde: y( t) Φ Φ Dezvoltarea în sere a funcţe pare este: y (t) A C cosωt, T T A y( τ ) dτ ; C T y( τ ) cos ωτ dτ, s au: T e T T ωt y( τ)e ωτ dτ T T y( τ)(cos ωτ sn ωτ) dτ cu: având numa parte reală (vez reprezentarea complexă a mărmlor snusodale trecute dn cosnus). y (t) A A n sn(nωt γ n ) n A sn(ωt γ ) fnd pară n. y (t) A (8.9) b) Semnalele mpare satsfac relaţa y(t) -y(-t) -y(t-t) 38

310 Captolul 8. Crcute lnare în regm perodc nesnusodal Fg. 8. mpunând condţa de semnal mpar y(t) -y(-t) rezultă: A A B sn ωt B C sn ω( t) cos ωt C cos ω( t) (8.3) cu: unde: y(t) B cosωt T B y( τ )sn ωτ dτ sau sera complexă: ωt y(t) Φ e T T T ωτ Φ y( τ ) e dτ y( τ )(cos ωτ sn ωτ ) dτ, dar: T T y( t) A An sn( n t γ n) n ω, n (8.3) y( t) A A sn(( ) t γ ) ω (8.3) 8.4. Valor caracterstce ale semnalelor perodce nesnusodale a) Valoarea efectvă. F e y (t) A defnţe valoarea efectvă Y a unu semnal y(t) este: T A sn(ωt γ ). C onform T Y y (t) dt (8.33) 39

311 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce ) sn( ) sn( ) sn( t A t A A A t A A y γ ω γ ω γ ω (8.34) ) sn( ) )sn( sn( ) ( sn p q p q q p q p t A A t q t p A A t A A y γ ω γ ω γ ω γ ω (8.35) ) sn( ) )sn( sn( ) ( sn T p q p q T q p q p T T T T dt t A T A t q t p A A T dt t A T dt A T dt y T γ ω γ ω γ ω γ ω (8.36) ntroducând smbolul δ q p, q p, pq ş deoarece: ) cos( ) )sn( sn( q p pq T q p dt t q t p γ γ δ γ ω γ ω (8.37) rezultă: T A A A dt y T Y (8.38) 3... d n A A A A A A A A Y (8.39) unde: n d A A A Y se numeşte rezduul deformant. 3

312 Captolul 8. Crcute lnare în regm perodc nesnusodal Defnm în regm snusodal ş nesnusodal următor factor: egm snusodal - de ampltudne (v ârf) K Y Y max efectva max v - de formă K f Y Y medt π K K egm nesnusodal v f Y max Y Y T T Y y(t) dt Pentru regmul nesnusodal se defneşte Y Yd Kd (,) ş se numeşte factor de dstorsune. Y Y Y 8.5. Puter ale crcutelor lnare în regm permanent nesnusodal Dacă unu dpol se aplcă o tensune nesnusodală ş un curent nesnusodal rezultă că absoarbe o putere nstantanee egală cu produsul up. Dacă u (t) sn(ωt γ u ) ar (t) sn(ωt γ ) expresa puter nstantanee va f: p u p q p q sn( ωt γ sn( pωt γ pu ) )sn( qωt γ ) q sn( ωt γ (8.4) a) Puterea actvă reprezntă valoarea mede a puter conform relaţe u ) 3

313 P T T p( t ) dt T Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce T q p T dt T T T sn( ωt sn( pωt γ )sn( qωt γ q ) dt δ pqcos( γ upγ q ) p q pu p q exsta nt egrala γ ) dt T T sn( ωt γ u ) dt (8.4) ezultă astfel : P cosϕ sau P cosϕ cosϕ... cosϕ... n n cosϕn (8.4) în care ϕ este defazaul dntre armoncle de tensune ş curent. b) Puterea reactvă (prn smetre) Q este egală cu suma puterlor reactve ale armonclor. Q snϕ - suma puterlor reactve corespunzătoare tuturor armonclor c) Puterea aparentă S se defneşte prn produsul valorlor efectve ale tensun ş curentulu S - produs va lor e fectve c u d S, d n regm nesnusodal pătratul puter aparente nu este egal cu suma pătratelor puterlor actvă ş reactvă c S... (8.43) d d S P Q D unde D ( pq q p p q pq cos( p ϕq )) p q cu: ϕ γ γ, ϕq γ uq γ q. p up p ϕ (8.44) 3

314 Captolul 8. Crcute lnare în regm perodc nesnusodal Fg. 8. ξ (S ş S); ϕ (S ş P) (8.45) S cos ϕ P, cosξ S S (8.46) Factorul de putere în regm nesnusodal se defneşte la fel ca în regm snusodal < cosϕ Kp. P P P S P S cosϕcosξ S P Q D S S S S K Deoarece D ( p q q p p q pq cos( ϕp ϕq )) p q ş în cazul rezonanţe pe toate armoncle D ( pq q p ) p q ; K cosϕcosξ nu se anulează puterea deformantă. Pentru ca puterea deformantă D să fe p q nulă, trebue ca ct.. D ec pq qp ş ϕp ϕq, condţe ce p q mplcă rezonanţa pe toate armoncle cu ampltudn proporţonale. 8.6.Elemente lnare de crcut în regm nesnusodal. ezstorul. Se consderă un rezstor la bornele cărua se aplcă tensunea sn(ωt γ u ) u (t) având componenta contnuă nenula s coefcentul de dstorsune u Fg. 8. Aplcând r elaţa Ohm se determnă curentul s coefcentul de dstorsune al acestua : u sn(ωt γ u ) sn(ωt γ ) (8.47) 33

315 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce,, ϕ γ u γ (8.48) Concluze: ezstorul nu modfcă forma curentulu faţă de a tensun. - Fg. 8.3 K d K du (8.49) - puterea absorbtă P cosϕ. Bobna deală (faţă de componenta contnuă bobna deală se comportă ca un scurtcrcut) Dn ecuaţa d dt Fg. 8.4 u, dec u se deduce ntenstatea curentulu sn(ωt γ u ) dt sn(ωt γ u π ) (8.5) ω sn(ωt γ (8.5) ), ϕ γ u γ π, lm ω - coefcentul de dstorsune al tensun (reduce gradul de deformare) K du ar al curentulu K ω d < ω K du (8.5) 34

316 Captolul 8. Crcute lnare în regm perodc nesnusodal Bobna deală reduce gradul de deformare al curentulu faţă de cel al tensun. - puter ale bobne deale P S Q D Q sn ϕ (ω) Fg. 8.5 > 3. Condensatorul deal (8.53) (8.54) Fg. 8.6 du Dn ecuaţa C ωc dt, ωc, ϕ γ γ. rezultă: u π (ωc K d > (ωc ) ( ) ) sn(ωt γ u π ) sn(ωt γ ) ( ) K du (8.55) lm Armoncle de curent contrbue la m odfcarea pronunţată a forme curentulu faţă de a tensun. S Q D Fg. 8.7 (8.56) 35

317 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce 8.7. Analza crcutelor în regm nesnusodal În regm nesnusodal curenţ (t) ş tensunle u(t) fnd funcţ perodce de tmp, admt dezvoltăr în sere Fourer ş notând n respectv un armoncle de ordnul n ecuaţle Krchhoff se scru astfel utlzând teorema superpozţe. TK TK pentru valor contnu n ( s) n n ( t) pentru fundamentala n ( s) n ( s) n n ( s) pentru armonca de ordn n ( s) (8.57) TK (m) (m) ( ) (m) (m) (m) suma tensunlor la borne pentru (m) pentru fundamentala pentruarmonca de ordn (8.58) Se consderă, spre exemplfcare, următorul crcut a lmentat c u u8snωt6sn3ωt, f5hz. Dacă rω, determne valorle nstantanee ale curenţlor, P, S, Q, ş D. 5 mh, C mf π π să se Fg. 8.8 ezolvare: Aplcăm teorema superpozţe ş cele două teoreme Krchhoff pentru rezolvare. 36

318 Captolul 8. Crcute lnare în regm perodc nesnusodal Fg. 8.9 uuu38snωt6sn3ωt (8.59) a) Pentru fundamentala u8snωt, Z Z C 3 r ω π5,8e π r,8e ωc 5 3 π5 π π 4 π 4 (8.6) (8.6) Curenţ prn bobnă ş condensator sunt: 8 8 π 4 π 4,8, 8 e (8.6) Z e 8 8 π 4 C π 4 C,8, 8 e (8.63) Z e Curentul total este dat de expresa: π 4 π 4 Z Z C,8,8 e e,8 cu Z e (8.64) Z e Z Z C e e (8.65) 8,3sn( ωt π 4) rezultând C 8,3sn( ωt π 4) (8.66) 4snωt b) Pentru armonca a trea: r 3ω 6 (8.67) Z 3 r 3ωC Z3 ZC3 Z Z Z C3 Z e 3 C3 3 (8.68) (8.69) 37

319 3 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Z ,5 e ( 6) 7 3 C3 8, 4 Z C3 3 C3 Z m 6 e 3 6 e e3 m 3ωt { 3 e } 3ωt { C3 e } 3ωt { e } 3 m Puterle sunt exprmate prn relaţle: 8 (8.7) (8.7) (8.7) (8.73) (8.74) (8.75) S VA (8.76) P cos ϕ 3 3 cos ϕ3 84 cos 63 cos 5W (8.77) Q; D 8.8. Crcute lnare trfazate sub tensun smetrce nesnusodale n sstem de tre mărm perodce y,y,y3 alcătuesc un sstem trfazat smetrc de succesune drectă, dacă mărmea y rezultă dn mărmea y cu o întârzere de o treme de peroadă ş mărmea y3 rezultă dn mărmea y cu o întârzere de două trem de peroadă. Fg. 8. Presupunând sstemul trfazat smetrc de tensun nesnusodale: 38

320 Captolul 8. Crcute lnare în regm perodc nesnusodal ) ( 3 ) ( ) ( ) ( 3 π t y T T t y t y T t y t y t y t y (8.78) Dezvoltărle în sere Fourer ale mărmlor y, y ş y3 sunt: ) sn( ) ( n n t n Y t y γ ω (8.79) 3 sn 3 sn ) ( π γ ω γ ω n t n Y T t n Y t y n n n n (8.8) sn 3 sn ) ( π γ ω γ ω n t n Y T t n Y t y n n n n (8.8) ş pun în evdenţă propretăţle:. pentru armoncle de ordn n3 ( ) t Y y 3 3,3 3 sn γ ω (8.8) ) sn( sn ,3 t Y t Y y γ ω π γ ω (8.83) ) sn( sn ,3 3 t Y t Y y γ ω π γ ω (8.84) mărmle sunt în fază ş alcătuesc ssteme omopolare. armoncle de ordn n(3) ( ) 3 3,3 ) (3 sn t Y y γ ω (8.85) 3 ) (3 ) (3 sn 3 3,3 π γ ω t Y y (8.86) 3 4 ) (3 ) (3 sn 3 3 3,3 π γ ω t Y y (8.87) alcătuesc sstem de succesune drectă. 39

321 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Fg armoncle de ordn n3 prntr-un calcul smlar alcătuesc un sstem de succesune nversă. a) Conexunea stea fără nul Fg. 8. Dn relaţa 3, în care: ( ); ( ),3,3,3 ( ) 3 3,3 3,3 3,3,3,3,3 (8.88) rezultă: ( ) ( ),3,3 3,3,3,3 3,3,3,3 3,3 sstem smetrc drect sstem smetrc nvers ( ) (8.89) Prn urmare, curenţ de lne nu conţn armoncle multplu de 3. În reţelele de frecvenţă ndustrală curenţ ş tensunle conţn numa armoncle mpare, valoarea efectvă a curentulu de lne are expresa l 5 7 ar tensunea de lne: f,3 f,3 f,3 f,3 f,3 f,3 (f,3 f,3 ) ( f,3 f 3,3 ) (f,3 f,3 (,3,3 ) (8.9) Tensunle de lne nu conţn armonc multplu de 3. Valorle efectve ale tensunlor de fază respectv de lne sunt:... ; l l l5... f 3 5 3

322 Captolul 8. Crcute lnare în regm perodc nesnusodal b) Conexunea stea cu nul Dn relaţa 3N, rezultă curentul prn conductorul de nul: (,3,3 3,3 ) 3 3 (8.9) Prn u rmare, conductorul de nul este pa rcurs de un c urent c are conţne numa armonc multplu de 3. c) Conexunea trungh Tensunea în lungul laturlor trunghulu este egală cu suma tensunlor la bornele laturlor trunghulu rezultând p tensunea nterorul trunghulu conţne numa armonc de ordn 3. Această tensune stableşte un curent de crculaţe care va conţne numa armonc multplu de 3. Căderle de tensune în fecare dn laturle trunghulu fnd egale cu suma armonclor multplu de 3, tensunle la bornele laturlor n u vor conţne armoncle multplu de 3. Înfăşurărle alternatoarelor trfazate se conectează în stea, evtându-se conexunea trungh dn cauza curentulu de crculaţe ce poate încălz înfăşurărle char la o funcţonare în gol a alternatorulu. Curentul de lne egal cu dferenţa a do curenţ dn laturle trunghulu nu conţne armonc multplu de 3. 3

323

324 CAPTO 9. EGM TANZTO A CCTEO EECTCE NAE Numm regm tranztoru trecerea unu sstem de la o stare stablă la o altă stare stablă. Cele două stăr stable se ma numesc ş regmur permanente. Analza crcutelor electrce n regm tranztoru este posblă: - în domenul tmp (reprezentare drectă a mărm funcţe de tmp) prn următoarele metode: a) metoda drectă b) a varablelor de stare c) metoda răspunsulu tranztoru la exctaţe treaptă - în domenul frecvenţă (utlzează reprezentăr smbolce ale funcţlor) prn următoarele metodele: a) aplcarea transformate Fourer(metoda spectrală) b) aplcarea transformate aplace (metoda operaţonală) 9. Teoremele comutaţe În crcutele ce conţn bobne ş condensatoare trecerea d e l a u n regm p ermanent l a u n al t r egm n u ar e l oc nstantaneu d eoarece, î n regmur dferte energa înmagaznată în câmpul electromagnetc al crcutulu are valor dferte. Orce varaţe a energe într-un nterval Wem presupune o varaţe a puter surse conform relaţe p lm. Dacă S t t trecerea de la o stare la alta stare are loc nstantaneu ( t ) puterea surse ar f nfntă ceea ce nu este posbl practc ş fzc. 9.. Teorema a comutaţe Să consderăm o bobnă cărea se aplcă o tensune. Dn legea nducţe electromagnetce se deduce tensunea la bornele bobne deale în baza cărea se calculează fluxul magnetc dϕ t t t u ϕ u dt u( t) dt u( t) dt Φ() u( t) dt, (9.) dt Deoarece tensunea u(t) este ntegrablă rezultă ca fluxul este o funcţe contnuă ş în momentul nţal t- fluxul este Φ(-)Φ() Analzând nvers dacă fluxul Φ ar f dscontnuu atunc tensunea la bornele bobne tnde la nfnt (nu este posbl fzc). Concluz: 33

325 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Fluxul magnetc nu poate trece brusc de la o valoare fntă la altă valoare fntă În crcutele lnare relaţa de dependenţa flux curent este Φ s-n consecnţa curentul într-o bobnă lnară nu varază în salt. 9.. A -a teoremă a comutaţe Energa electrcă înmagaznată într-un co ndensator est e d ata d e relaţa q W e C (9.) C Varaţa aceste energ reprezntă puterea nstantanee la bornele dq condensatorulu. Curentul prn condensator este d efnt de relaţa. Dacă sarcna q ar vara în sal t cu rentul p rn co ndensator ar av ea v aloare nfntă, ceea ce nu este posbl fzc. Concluz: t Sarcna q q( ) dt este o funcţe contnuă s nu varază în salt. Pentru c rcutele lnare, dependenţa sarcnă - tensune este dată de relaţa qcu ş, în consecnţă, tensunea pe un condensator nu varază în salt (tensunea este funcţe contnuă). 9.. Metode de analză în domenul tmp a crcutelor electrce Pentru an alza î n d omenul tmp a le c rcutelor e lectrce în re gm tranztoru se aplcă: - metoda drectă pentru crcutele de ordnul ş - metoda varablelor de stare pentru crcute de ordn ma mare sau egal cu 9.. Metoda drectă de analză a crcutelor de ordnul Dacă crcutul electrc supus analze conţne un sngur element conservatv (reactv) ecuaţa caracterstcă ce descre dn punct de vedere matematc comportarea crcutulu este o ecuaţe dferenţală de ordnul. Crcutele d e o rdnul p ot f -C, - ser e sau p aralel. A ceste crcute pot f sub exctaţe propre sau mpropre. ăspunsul sstemulu sub exctaţe propre poartă numele de răspuns natural. Crcutul este sub exctaţe propre dacă dn ecuaţa dferenţală de ordnul pe c are o satsface răspunsul, mpunând condţle de regm dt 34

326 Captolul 9. egmul tranztoru al crcutelor electrce lnare permanent, acesta (răspunsul) se poate determna drect dn exctaţe. În contnuare sunt p rezentate ta belat c rcutele d e o rdnul în re gm d e exctaţe propre: Tabel 9.. Crcute C Aplcând teorema de t ransformare a surselor d e tensune în surse de curent faţă de bornele condensatorulu e(t) u u C du C C dt du C e (t) C u dt C ; g C u C ; u g C e g u C du C dt g C du C dt C Tabel 9.. Crcute Aplcând t eorema d e transformare a surselor d e tensune î n su rse d e curent faţă de bornele bobne u g d u dt d dt d g dt e g d g dt e d dt 35

327 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce dy Ecuaţle de tpul τ y( t ) x( t ) sunt ecuaţ de ordnul în dt d regm de exctaţe propre. Dacă se anulează varaţa în tmp se dt obţne regmul pe rmanent ar răspunsul are aceeaş formă de varaţe cu exctaţa y(t)x(t). ăspunsul y(t), egal cu exctaţa x(t), este răspunsul natural pentru crcutele în regm de exctaţe propre. Să analzăm răspunsul natural pentru crcutul C c unoscând încărcarea contnuă a condensatorul cu tensunea uc de la zero la tensunea E (f g.9.). Presupunând condensatorul încărcat cu tensunea E în caz de scurcrcutare a crcutulu C se obţne ecuaţa ce descre descărcarea unu condensator în condţ nţale nenule (C()E) C, r elaţe echvalentă cu uc. Curentul de descărcare înlocut în ecuaţa prezentată conduce la ecuaţa dferenţală de ordnul : d C C C (9.3) dt Fg.9. Fg.9. Ecuaţa caracterstcă a dferenţale de ordn este Cp ar pt t τ soluţa are forma: C Ae Ae - cu A constantă ce se determnă dn condţle nţale s anume la t, tensunea ce încarcă condensatorul este CCEA. A ceastă constantă înlocută în ecuaţa tensun ce descre t τ descărcarea condensatorulu conduce la C Ee, relaţe ce descre evoluţa tensun pe condensator la descărcare. a încărcarea condensatorulu în condţ nţale nule C() dc ecuaţa în tensune a crcutulu este neomogenă: C C E ş dt admte soluţ de forma: C C C f unde c reprezntă soluţa ecuaţe omogene ar cf - soluţa mpusă de exctaţe. În regm permanent pentru crcutul analzat (exctaţe în c.c.) CfE ar soluţa ecuaţe 36

328 Captolul 9. egmul tranztoru al crcutelor electrce lnare pt t τ t τ omogene a re f orma C Ae Ae. Astfel se obţne C Ae E. Constanta de ntegrare dn relaţa prezentată se determnă dn mpunerea condţlor nţale ş anume: - la t, tensunea ce încarcă condensatorul este nulă C rezultând astfel constanta de ntegrare A-E. Se determnă astfel evoluţa în τ tmp a tensun de încărcare a condensatorulu ( t C E e ) cu reprezentarea grafcă dn fg.9.3: Fg. 9.3 Metoda clască de rezolvare a acestor ecuaţ constă în rezolvarea ecuaţa omogene. Soluţa găstă dă un proces lber de anulare (stngere) denumtă soluţe de regm lber yl(t). a soluţa generală a ecuaţe omogene se adaugă o soluţe partculară a ecuaţe neomogene. Aşa se obţne soluţa generală a ecuaţe neomogene, dn care, cu o alegere adecvată a constante se obţne soluţa corespunzătoare condţlor nţale date. Dacă este vorba de crcute cu exctaţe constantă sau exctaţe snusodală, se obţne medat soluţa partculară. Soluţa generală se exprmă dec: y(t)yl(t) yf(t) (9.4) Observaţe: Soluţa ecuaţe omogene este datorată energe înmagaznate în elementul reactv. Întotdeauna lm ( t), cu yl soluţe de regm lber (a ecuaţe omogene) y l t 9... Soluţa generală a ecuaţlor dferenţale de ordnul dyl. Ecuaţle de ordnul omogene τ y l admt soluţ de dt pt forma: y Ae. Soluţa este denumtă componentă de regm lber. Această soluţe înlocută în ecuaţa dferenţală conduce la următoarea formă: pt pt τ pae Ae sau ( τ p ) Ae pt. Deoarece Ae pt (fnd soluţe), atunc relaţa τp, se numeşte ecuaţa caracterstcă a ecuaţe dferenţale de ordnul. 37

329 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce mpunând condţle nţale la t, y(t) y(), rezultă evoluţa în t τ tmp a c omponente de r egm l ber yl y( ) e redată în grafcul dn fg.9.4. Fg Constanta de tmp τ reprezntă tmpul după care răspunsul îş atnge valoarea de regm permanent dacă ar avea aceeaş vteză de varaţe cu cea dn momentul nţal. Ea reprezntă tmpul deal de atngere a răspunsulu permanent dacă răspunsul ar avea aceeaş vteză de varaţe cu cea dn momentul nţal.(răspuns deal) ăspunsul crcutulu în momentul tτ este: y() y() y ( τ ) y() e,37y() (9.5) e,7 ceea ce conduce la următoarea observaţe că după tτ semnalul răspuns are ampltudnea redusă de e or. De foarte multe or dorm să estmăm care este tmpul t ε după care răspunsul y(t) are valoarea ε dn valoarea nţală y(). În această stuaţe: t τ y(t) ε t y(t) ε τ y(t)εy(), da r y (t) y() e rezultând e t τln sau t τlnε cu ε y(t) y() y() ε ce are valoarea cuprnsă între ş ( <ε<). t τ 3. Dacă în domenul tmp soluţa este y (t) y() e, în planul ecuaţe caracterstce p ( planul p) soluţe î corespunde un punct pe axa τ reală cu valoarea pσ. Întrucât în planul ecuaţe caracterstce p σ ω deducem atenuarea: τ y( t) t τ tp σt ωt σ y( t) e e e e rezultând: e t respectv y() y() y( t) σ ln t y() 4. Soluţa ecuaţe dferenţale neomogene de ordn se obţne astfel: multplcăm ecuaţa dferenţală cu (/τ) e t/τ ε y() 38

330 rezultând: atunc: Captolul 9. egmul tranztoru al crcutelor electrce lnare τ dy dt τ dy dt d dt e t τ y x( t) e (9.6) ye τ dy e dt x t e τ y e τ t τ t τ t τ ( ) sau (9.7) t τ t τ t τ [ ye ] t τ t τ [ ye ] x( t) e d dt τ ntegrând în raport cu ξ de la zero la t rezultă: t d [ ] t y( ξ ) e ξ τ dξ x( ξ ) e ξ τ dξ dξ τ t t τ t τ y( t) y() e e x e d ( ξ ) ξ τ ξ y τ l y f (9.8) (9.9) (9.) (9.) Soluţa ecuaţe neomogene este yylyf, unde: yl componenta lberă mpusă de condţle nţale denumta s răspuns natural mpus numa de stărle nţale yf componenta forţată mpusă de exctaţe 9... Partcularzarea soluţe generale pentru crcutele electrce exctate în cc ş ca. Crcutul de ordnul exctat în curent contnuu x(t)x(t)xsct admte următoarea soluţe: t τ t τ ξ τ t y( t) y() e e X τ e (9.) τ t τ t τ t τ t τ X τ e y( t) y() e Xτe e (9.3) τ τ (9.4) t τ t τ t τ t τ y( t) y() e X ( e ) y() e X Xe stare ntala raspuns permanent exctate ntala mpunerea condţe de regm permanent conduce la y(t) t y( ) X (9.5) t τ ( y() y f ()) e y f ( ) solute regm tranztoru solute regm permanent 39

331 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Crcutul de ordnul exctat în c.a x(t)xmcosωt a dmte următoarea soluţe: t τ (9.6) t t t τ ξ τ Xme ξ τ y f e Xm cosωt e dξ e cosωξ dξ τ τ ezolvând prn părţ ntegrala în baza notaţlor următoare : ξ τ du e dξ ξ τ τ u e (9.7) dv cos ωξ dξ v snωξ ω rezultă: snωξ e ω Notând: t ξ τ e τω t t ξ τ snωξ dξ. (9.8) t t e ξ τ snωξ dξ e ξ τ cosωξ e cos d ξ τ ωξ ξ, ş în baza ω ωτ aceloraş notaţ aplcând ntegrarea prn părţ rezultă: ξ τ du e dξ ξ τ τ u e (9.) dv snωξ dξ v cosωξ ω τ A e ξ cosωξ (9.) ω τ t ω τ t ξ τ ξ τ snωξ e e cosωξ (9.) ω τ ω ω τ ω τ t τ t τ snω cosω ω τ e t e t ω ω τ ω τ Atunc soluţa forţată de exctaţe a ecuaţe este: t τ t τ t τ X me ω τ e e y cosωt snωt τ ω τ ω τ ω ω τ X m t τ y f [ cosωt ωτ ωt e ] ω τ sn t (9.3) f (9.4) (9.5) 33

332 Captolul 9. egmul tranztoru al crcutelor electrce lnare tlzând denttatea trgonometrcă ( ωτ ) [ cos( ωt arctgωτ )] cosωt ωτ snωt înlocută n soluţa forţată de exctaţe conduce la: X m X m t τ y f cos( ωt arctgωτ ) e ω τ τ ω y ( ) X f y ( ) m f cos( arctgωτ ) τ ω (9.6) În baza notaţlor de ma sus se poate defn soluţa completă de regm tranztoru sub forma: t τ y t ( y() y f ()) e y f ( ) (9.7) soluta de regm tranztoru soluta mpusa de regmul permanent Determnarea soluţe generale a regmulu tranztoru în crcutele de ordnul ce conţn surse ndependente Exemplul Să consderăm spre exemplfcare un crcut C ce prezntă condţ nţale c()5v, crcut cuplat la t la o sursă de curent contnuu de valoare EV. rmărm să determnăm tensunea la bornele condensatorulu. ezolvare: Ecuaţa crcutulu rezultă dn aplcarea teoreme Krchhoff astfel: d C e(t)e CE, dar C (9.8) dt dc C C E. Soluţa conform celor prezentate anteror dt este: t τ CCtCp cu Ct Ae (9.9) Cp mpusă de exctaţe având valoarea CpE. ezultă astfel: t τ C (t) Ae E (9.3) mpunând condţle nţale ş anume la t, C(t)C()AE AC()-E se obţne evoluţa în tmp a tensun la bornele condensatorulu. t τ ( t) () E e (9.3) [ ] E C C 33

333 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Fg. 9.5 Exemplul Crcutul C exctat în ca cu e(t)cosπ 3 t, ω 3 următoarea ecuaţe dferenţală d τ dt C C E m cosωt c onduce la. Soluţa aceste ecuaţ t τ este d e f orma CCtCp cu Ct Ae ar Cp soluţe a ecuaţe în regm permanent snusodal. Deducem soluţa ecuaţe dferenţale în regm permanent snusodal prn reprezentarea în complex a aceleaş ecuaţ Em obţnând ω C C C e. ezolvarea în complex conduce la: E m Em C C, ωc ωc (9.3) Em relaţe echvalentă cu C arctgωc ω ( C) e sau restrânsă sub forma: Em arctgωc C e ω τ (9.33) Trecând dn planul complex în domenul tmp soluţa este: ωt Em Cp ( t) e{ e C} ω τ cos( ωt arctgωτ ) (9.34) Soluţa generală a ecuaţe neomogene este: t τ Em C ( t) Ae ω τ cos( ωt arctgωτ ) (9.35) mpunând condţle nţale ş anume la t, C(t)C()5V rezultă valoarea constante de ntegrare A: 33

334 C ( t) Captolul 9. egmul tranztoru al crcutelor electrce lnare C C Em () A cos( arctgωτ ), ω τ () E m ω τ cos Aplcaţ tpce ale crcutelor de ordnul. Crcut ntegrator C Em A C () cos () ω τ y y () E f ( arctgωτ ) (9.36) t τ ( arctgωτ ) m e cos( ωt arctgωτ )` ω τ (9.37) Fg. 9.6 Consderând tensunea pe condensator Co tensune de eşre, forma de varaţe în tmp a acestea este redată în fgura Crcut dervator C Fg. 9.7 Fg. 9.8 d Consderând t ensunea p e r ezstor C tensune de dt eşre, forma de varaţe în tmp a acestea este redată în fgura 9.8. Generalzarea constante de tmp pentru orce reţea de ordnul Constanta de tmp pentru reţele C este τc respectv τ/ pentru orce reţea 333

335 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce Determnarea soluţe generale a regmulu tranztoru în crcutele de ordnul ce conţn surse dependente Exemplul Crcutul d n f gura 9.9 f uncţonează cu întrerupătorul închs. a momentul t se deschde. Să se traseze varaţa tensun v(t) de pe rezstenta de KΩ. a) În regm permanent (înante de descărcare) stablm tensunea C() ce încarcă condensatorul. ezolvare: v 5 Potenţalul V este mpus de sursa rezultând,5ma. x Aplcând TK pe ochul obţnem: v 4 x, v 4,5 v V (9.38) uc()v-v5-(-v)7v (9.39) b) În regm tranztoru, la deschderea întrerupătorulu, crcutul echvalent este: Fg.9.9. Tensunea la bornele condensatorulu este: u C c t dt dt c u ( ) c t c dt (9.4) t cărea î corespunde ecuaţa Joubert uc( ) uc dt. c rmărm în contnuare să asocem faţă de bornele condensatorulu încărcat cu tensunea c o rezstenţă echvalentă a crcutulu (fg. 9.). Fg. 9. În această stuaţe putem exprma comod curentul de descărcare al condensatorulu conform relaţlor: uc()ucueg, u eg du c eg C. ezultă: dt 334

336 Captolul 9. egmul tranztoru al crcutelor electrce lnare du c u c () u c eg C (9.4) dt Soluţa aceste ecuaţ este uc(t)ucucp cu t τ u t c Ae τ uc( t ) uce (9.4) ucp uc( ) mpunerea condţlor la lmtă (regm permanent) t, c onduc l a uc, u cp. Curentul de descărcare este dat de relaţa t du C C C u τ c e dt. Înlocurea constante de tmp a crcutulu în τ soluţa de ma sus conduce la următoarea relaţe a curentulu de descărcare u t c τ e. eg În prezentarea anteroară avem de rezolvat problema determnăr rezstente echvalente asocate crcutulu. P entru d etermnarea acest ea avem posbltatea almentăr crcutulu de la o sursă ndependentă exteroară, în absenţa latur condensatorulu încărcat, caz în care rezstenţa echvalentă este: u x u eg ; x 5x u 5x u x 4x 5x (9.43) u u u x eg 5 u x 5Ω (9.44) 5 În baza aceste rezolvăr curentul de descărcare al condensatorulu respectv t ensunea l a b ornele r ezstorulu d e Ω devn 7 t 7 5 t 7 t τ τ τ e ; v( t ) 5x e e V Valoarea înante de comutare a tensun pe rezstorul de Ω rezultă dn aplcarea teoreme Krchhoff 5 v4x v 4 V. 9.. Metoda varablelor de stare 9... Ecuaţle de stare Metoda varablelor de stare este o metodă de calcul avantaoasă atât pentru crcutele lnare, cât ş pentru cele nelnare. Metoda constă în ntroducerea v arablelor d e s tare - tensunle condensatoarelor ş curenţ 335

337 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce bobnelor (mărmle ce nu varază în salt) - pe baza unu sstem de ecuaţ dferenţale de ordnul pentru care se exprmă soluţa cu autorul funcţlor de matrce. Avantaele prncpale ale metode consstă în faptul că metoda a în consderare smplu condţle nţale, se programează uşor pe calculatoarele numerce ş poate f generalzată pentru orce crcute. Ca exemplu se consderă un crcut osclant sere fără perder, du d crcut cărua î corespund ecuaţle: C c l ; l -l-uce. dt dt În notaţe matrceală ecuaţle se scru: d uc C uc e dt l (9.45) Această exprese este un caz partcular al ecuaţe dferenţale dy matrceale Ay bx, în care y este vectorul de stare care descre starea dt electrcă a crcutulu în spaţul stărlor. Matrcele coefcenţlor A,b se numesc matrcea de tranzţe a sstemulu ş respectv matrcea asocată vectorulu de ntrare x. Soluţa aceste ecuaţ este smlară cele dscutate în subcaptolul anteror (7...) Schema structurală de calcul a regmulu tranztoru pentru ecuaţle ordnul Ecuaţa dferenţală pe care o satsface crcutul sau C este de dy, t t t τ τ τ ordnul c u forma: τ y x(t), având soluţa y y()e e x(t') e dt' dt τ soluţe ce evdenţază componentele răspunsulu dacă este exprmată sub următoarea formă: t τ y y() y t () e y( ). (9.46) y y tranz perm Ecuaţa dferenţală de ordnul poate f scrsă sub forma ecuaţe de stare astfel: dy d y x( t) [ y] [ y] [ x( t) ] dt dt τ (9.47) τ τ τ t 336

338 Captolul 9. egmul tranztoru al crcutelor electrce lnare mplementarea aceste ecuaţ pe un calculator necestă următoarea schemă structurală: Fg.9. schemă ce se nţalzează prn y() adcă pentru t, yy(). ezolvarea aceste ecuaţ mplcă cunoaşterea valor nţale y(). ăspunsul y este varabla de stare (uc sau ) ceea ce confrmă încă odată că bobna sau condensatorul este complet defnt de valorle ş () respectv C ş uc() ăspunsul crcutelor lnare de ordnul Presupunem că în crcut exstă elemente reactve de ambele tpur, atât cât ş C. Studul acestor crcute poate f redus la studul ecuaţe satsfăcute de crcutul C sere, respectv C paralel. A. Mărm de stare ale crcutelor de ordn a) C sere exctat în tensune Fg.9.. Aplcând în crcutul dn fgura 9. teorema Krchhoff se obţne d ecuaţa în tensune e ( t ) uc. Al egând v arabla d e stare dt tensunea pe c ondensator u c prn mpunerea condţe de conexune duc c C rezultă: dt duc d duc d u duc e ( t) C C uc C c C e( t) dt dt dt dt dt (9.48) d uc duc e( t) uc (9.49) dt dt C C 337

339 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce du ezolvarea mplcă cunoaşterea uc() ş c. Tensunea nţală dt t a condensatorulu uc() este cunoscută dar dervata acestea nu este explct du cunoscută c. Aceasta este determnată dn curentul nţal prn dt t duc duc ( ) bobnă astfel: C C. dt t dt t C Dacă se alege varablă de stare curentul dn bobna duc ( c C ) ecuaţa pe care o satsface acest curent se obţne dervând dt ecuaţa tensunlor de d d du de d d de c dt dt dt dt dt dt dt C. (9.5) dt d d de Împărţnd prn rezultă:. ezolvarea dt dt C dt d d duc mplcă cunoaşterea () ş C dt t dt dt t b) C rcut C p aralel co nsderând g ruparea p aralel C î n car e elementele reactve prezntă condţ nţale, dn aplcarea teoreme Krchhoff rezultă: Fg. 9.3 gc (9.5) u duc g C (9.5) dt d mpunerea condţe de conexune uc u uc conduce la: dt d d d d g g C dt dt dt C dt C (9.53) C 338

340 Captolul 9. egmul tranztoru al crcutelor electrce lnare d d g dt C dt C ecuaţe în care varabla de stare este curentul C prn bobnă. tlzarea tensun condensatorulu drept varablă de stare uc necestă defnrea următoare ecuaţ (dervarea relaţe curenţlor dn dg d d dc teorema Krchhoff): dt dt dt dt u du c, c C (9.54) dt dg duc d d uc ( ) C dt dt dt dt (9.55) d d u uc u dt dt (9.56) dg duc uc d uc d u d c duc g atunc: C sau u c. dt dt dt dt C dt C C dt B. Soluţa ecuaţe dferenţale omogene a ecuaţlor de ordnul Ecuaţa generală a crcutelor de ordnul d y dy este ξω ω y x, ecuaţe obţnută pe baza următoarelor dt dt notaţ: ξω ω C sau ξω ω C C. (9.57) pt Dacă presupunem varabla de stare de forma y Ae, soluţe nenulă a ecuaţe dferenţale, ecuaţa caracterstcă este: y p ξω p ω p ξω p ω cu rădăcnle: p [ ] ω. ξ ± ξ Matematc, dacă:. ξ> atunc, τ τ p p p ω ξ ξ ; τ ω ξ ξ ω ξ ξ p ω ξ ξ τ p, p. (9.58) 339

341 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce În acest caz ( p, p ) soluţa ecuaţe omogene este aperodcă, pt pt (fg.9.4). În exprmare matematcă avem soluţa y e (t) Ae A e, în care constantele se determnă dn condţle nţale ş anume: t, dy dt t y() A A τ A A τ Planul ecuaţe caracterstce τ dy() A y() τ τ τ dt τ dy() A y() τ τ τ dt y (9.59) t Parametrul ω Fg. 9.4 C C C ξ reprezntă rata Z atenuăr. Factorul de caltate al crcutulu este ZQ face ca rata atenuăr exprmată funcţe de acesta să fe care Q ω C ξ. Q, cu. Dacă ξ atunc ξ se obţne regmul aperodc crtc în τ, p p, τ, ω ξ. Soluţa ecuaţe crcutulu este în acest ω ξ τ p caz reprezentată în fg.9.5. ξωt αt ye (C Ct)e (C Ct) e Planul ecuaţe caracterstce Fg Dacă ξ<, atunc ω ω ( ξ ) d ar rădăcnle sunt: p ξω ± ωd α ± ωd (9.6) unde: α - coefcent de amortzare ş ωd pseudopulsaţe αt Soluţa ecuaţe este (fg.9.6): y Ae cos( ω t β ) d 34

342 Captolul 9. egmul tranztoru al crcutelor electrce lnare Planul ecuaţe caracterstce t Fg. 9.6 C. Ecuaţ de stare pentru crcutele de ordnul Metoda varablelor de stare constă în transformarea ecuaţlor dferenţale de ordnul ş superor în ssteme de ecuaţ de ordnul. Varablele de stare utlzate sunt curenţ prn bobne ş tensunle de la bornele condensatoarelor uc. În contnuare exemplfcăm transformarea ecuaţe dferenţale de ordnul într-un sstem de două ecuaţ de ordnul. d u c du c C u e(t) (9.6) dt e dt Varablele de stare uc ş conduc la defnrea sstemulu. du c C dt d u dt c e(t) c du c c C înlocute în ecuaţa de ma sus dt rearanate sub forma: du c dt C d u dt c (9.6) d u dt C u c e(t) c (9.63) d dt [ y] [ A][ y] [ B][ x(t) ] ecuaţe smlară cu a crcutulu de ordnul d dt τ τ ce are forma [ y] [ y] [ x(t) ]; τ - constantă de tmp (de tranzţe). 34

343 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce D. Schema structurală de calcul ataşată ecuaţlor de ordnul Fg. 9.7 E. Aplcarea metode varablelor de stare în crcutele ce conţn surse dependente Exemplfcăm metoda varablelor de stare pe crcutul dn fg.9.8. Fg.9.8. Mărmle de stare sunt curenţ prn bobne ş tensunle de la bornele condensatoarelor. În crcutele ce conţn surse dependente, s stemul ecuaţlor de stare trebue completat cu relaţa de dependenţă ntrodusă de sursa comandată. În screrea sstemulu de ecuaţ sursa dependentă se tratează ca una ndependentă. Sstemul de ecuaţ ataşat crcutulu dn fg.9.8 este: S C C v v v dt d (9.64) 5 V 34

344 Captolul 9. egmul tranztoru al crcutelor electrce lnare C rezultat al aplcăr teoreme Krchhoff C, ş al defnţe tensun pe bob ne: v s V. d dt vs vc dv dt d dt ş 5 vc, unde vs 5 vc, 9.3. Metode de analză în domenul frecvenţă 9.3. Metoda operaţonală (a transformate aplace) Fnd dată o funcţe varablă f(t), netedă pe porţun pentru t>, ce σ t satsface negaltatea f ( t) < Ae cu σ> pe ntru t >t (creşte ma lent decât o exponenţală), se defneşte transformata aplace (sau magnea aplace) prn relaţa: F t ( p) [ f ( t)] f ( t) e pt dt, (9.65) unde: - F(p) funcţe de varablă complexă, pσω (σ>σ pentru a creşte ma lent ca exponenţală). Funcţa f(t) se numeşte funcţe orgnal ar F(p) funcţe magne. A. Propretăţle transformate aplace. nartate [ α f (t) βg(t) ] α [ f (t)] β[ g(t) ] αf(p) βg(p) (9.66). Teorema valorlor lmtă lm F( p) p lm p f ( t) e pt dt (9.67) π p σ ω σ ; p t (9.68) t lm pf( p) lm f ( t) f ( ) (9.69) p t lm t lm pf( p) f ( t) f ( ) (9.7) p 3. Transformata aplace a dervate df (t) df (t) ; ntegrând prn părţ:(uv) u vuv. ezultă dt u v(uv) -uv dt df dt e pt dt pt pt pt cu notaţle ( fe )' e f ( p)e 343

345 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce pt ( f (t)e ) pt dt pf (t)e dt df (t) df (t) pt d e dt (9.7) dt dt dt pt f ( t) e pf( p) pf( p) lm f ( t) f ( ) t df (t) pf(p) f ( dt n d f n p F(p) p n dt n ) y() p n dy() dt n d y() n dt (9.7) (9.73) 4. Transformata aplace a ntegrale t t pt F(p) f (t)dt f (t')dt' e dt (9.74) p întrucât (uv) uv u v ş consderăm t pt pt e u f (t')dt', v e dt p t pt t pt e e F(p) f (t)dt f (t)dt f (t) dt (9.75) p p p 5. Teorema întârzer t pt p(t' τ) pτ pt' [ f (t τ) ] f (t τ)e dt f (t')e dt' e f (t')e dt' (9.76) τ s-a substtut t - τ t dec t t τ ar dtdt pτ [ f (t τ) ] e F(p) (9.77) 6. Teorema atenuăr λt λt pt (pλ)t [ e f (t)] e f (t)e dt f (t)e dt F(p λ) (9.78) 7. Teorema asemănăr pt f (t) t p [ ] f (t) f (t)e dt e d(t) F (9.79) B. Calculul transformate aplace a prncpalelor semnale utlzate în electrotehncă Sursele de curent contnuu sunt, în general, multplu al funcţe treaptă untară, funcţe prezentată în fg

346 Captolul 9. egmul tranztoru al crcutelor electrce lnare Fg.9.9 Această funcţe, matematc, are următoarea defnţe: h (t), t <, t >. Ea poate f consderată conform relaţe h(t) lmf (t), lmta une funcţ rampă f(t) (fg.9.). Modelând funcţa rampă prn relaţa următoare:,t < ε f ( t ) t ε pentru t, f ( t ). (9.8), ε < t < ε ε În ntervalul (-ε,ε) funcţa f(t) poate f aproxmată prntr-o dreaptă de ecuaţe f(t)atb. Constantele a ş b se pot determna dn condţle la lmtă, astfel: t, f(t) b (9.8) b t ε, f ( t ) aε b a ε (9.8) b t ε, f (t) aε b a (9.83) ε ε Fg

347 atunc: Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce f ( t b t t ε ) t b b b ( t ε ) ; ε ε ε ε Dervata aceste funcţ se numeşte mpuls untar df dt ε t ε f (t). ε ; pe ntru t < ε df df ε,. Notăm δ (t) lm unde: δ( t ) ε < t < ε. dt ε dt ε t > ε Suprafaţa determnată de mpulsul untar, de lăţme ε ş înălţme /ε, are ara untate. a lmtă mpulsul untar are reprezentarea dn fg.9., însă, fzc, ara trebue să se conserve, motv pentru care t) dt. Transformata pt aplace a mpulsulu untar [ δ(t) ] δ(t)e dt. δ( Fg.9.. T ransformata aplace a mpulsulu treaptă [ ] ch(t) ch(t)e pt dt se obţne dn formula de ntegrare prn părţ, (uv) uv u v, unde se notează uch(t) ş pt e v p [ ch(t) ]. Înlocund rezultă: d dt pt e ch(t) dt p pt pt e e c c dt ch(t) e p p p pt c p (9.84) λt. Transformata aplace a funcţe exponenţale f (t) e λt pt (pλ)t [ f (t)] e e dt e dt (9.85) p λ 3. Transformata aplace a funcţe snusodale f(t)ymsnωt. 346

348 funcţe: Captolul 9. egmul tranztoru al crcutelor electrce lnare Substtund: sn e t ω t e ωt ω se obţne transformata aplace a ωt ωt e e pt y m ωt pt y m ωt pt [ y m sn ωt] y m e dt e e dt e e dt (9.86) y m ωt pt y m (p ω)t y m e e dt e dt (9.87) p ω y p ω ω t y m p ω p ω y p ω (p ω) p ω m m m [ sn ω t] (9.88) y ω (p ω ) y m y [ m sn ω ] (9.89) Smlar se obţne transformata aplace a funcţe cosnusodale: y ωt e e ωt y p ω p ω m [ m cosωt] y m ym p p ω (9.9) C. Determnarea funcţe orgnal cunoscând transformata aplace (Teoreme) ) Teorema dervăr d (F(p)) dp ) Teorema ntegrăr p F(p)dp d f (t)e dp f (t) t pt pt dt [ tf (t)] e dt [ tf (t)] (9.9) (operaţa nversă dervăr) (9.9) 3) Teorema Melln Fourer σ ω f (t) π F(p)e pt dp σ > σ (9.93) σ ω 4) Teorema Heavsde P(p) Dacă F (p) unde p rădăcnle numtorulu sunt reale ş dstncte Q(p) atunc funcţa magne poate f descompusă astfel: n P(p) c c c c P(p) F (p) ( p p ) c (9.94) lm(p p p p ) P(p) Q(p) Q(p) p p p p p p p p P(p ) lm p p Q(p) p p P(p ) Q(p p lm p p p P(p ) ) Q'(p ), unde: Q'(p ) Q(p) dq dp (9.95) p p 347

349 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce ezultă funcţa magne de forma F (p) p p Q'(p ) p orgnal corespunzătoare este: P(p pt f (t) e. Q'(p ) ) c P(p ) p, ar funcţa Dacă numtorul are rădăcn nule p funcţa magne poate f descompusă în fracţ smple astfel: P(p) c c Q(p) p p p Coefcenţ fracţlor smple pentru rădăcnle nenule se calculează smlar ar coefcentul rădăcn nule se determnă cu relaţa P(p) P(p) c lmp lmp p Q(p) p pq (p) P() P() Q () P(p. Obţnem în acest mod funcţa magne de forma F (p) având funcţa orgnal dată de expresa Q () p pq '(p ) p p P() P(p ) pt f (t) e. Q () p Q '(p ) ) 9.3. Aplcarea transformate aplace în analza regmurlor tranztor ale crcutelor electrce Analzăm în contnuare comportarea elementelor smple de crcut în regm tra nztoru d etermnând p entru f ecare e lement ecuaţa în domenul magne ş schema operaţonală asocată Transformata aplace a elementelor smple de crcut a. ezstorul Fg.9. Ecuaţa dn domenul tmp u(t)(t) admte următoarea magnea operaţonală: [ u(t) ] [ (t) ] [ (t) ] (p) (p) (p) (p) Defnm î n dom enul magne Z(p) mpedanţa operaţonală a elementulu dpolar. mpedanţa operaţonală a rezstorulu este: nversa acestea (p) Y (p) Z(p) (p) se numeşte admtanţă operaţonală. Z (p). 348

350 Captolul 9. egmul tranztoru al crcutelor electrce lnare b. Bobna deală Fg.9.3 Aplcând t ransformata aplace relaţe (t) ()h(t) t u (t) dt rezultă ecuaţa în domenul magne pentru o bobnă deală ( p ) ( p ) ( p ) cu Z ( p ) p Y( p ). p p p p p Schemă operaţonală ataşata ecuaţe operaţonale este: Fg. 9.4 Dn ecuaţa în tensune a bobne (t) ()h(t) t u (t) dt, pr n d dervare, rezultă ( ) δ( t ) u( t ). Trecând în dom enul magne dt se obţne ecuaţa operaţonală ş schema ataşată (fg.9.5). p( E Y (p) Fg.9.5 p ) ( p ) (9.96) (9.97) p (9.98) (p) p(p) (9.99) Observaţe: Ecuaţe Joubert e±ubz, p rn ap lcarea t ransformate aplace conduce la următoarea magne operaţonală a ecuaţe: E(p)±(p)Z(p)(p). 349

351 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce c. Bobna cuplată magnetc Tensunea la bornele bobne, în domenul tmp, este: Fg.9.6a d n d d u (9.) dt dt dt Aplcând transformata aplace rezultă: n d u (p) ( p (p) ()) (9.) dt n n ( p ) p ( p ) ( ) n (9.) E () - suma tensunlor condţlor nţale. Schemă operaţonală echvalentă a bobnelor cuplate magnetc este: d. Condensatorul Ecuaţlor dn domenul tmp Fg.9.6b Fg.9.7a t duc c C sau uc c( t )dt uc dt C, prn aplcarea transformate aplace, le corespund următoarele ecuaţ operaţonale: ( p ) C[ p ( p ) u c c c uc( ) c( p ) pc c( p ) C c( ) c( p ) p ] (9.3) c( p ) (9.4) pc 35

352 Captolul 9. egmul tranztoru al crcutelor electrce lnare c uc c( p ) ; (9.5) C p p c uc c( p ) ; (9.6) pc p uc c c( p ) Zc( p ) c( p ) (9.7) p pc Ec c( p ) Zc( p ) c( p ) Zc( p ) (9.8) pc Concluz: În aplcarea transformate aplace pentru elementele reactve trebue determnate condţle nţale înante de comutare. aportul tensune operatonala curent operatonal se numeşte mpedanţă operaţonală Z(p). nversa mpedanţe operaţonale este admtanţa operaţonală. e. Aplcarea transformate aplace unu dpol ce admte schemă echvalentă: e. Sere Fg.9.7b Ecuaţa tensune-curent la bornele dpolulu este: t d d u u uc u dt dt dt C dt C C uc ( ) t dt (9.9) Aplcând transformata aplace rezultă: uc ( p ) ( p ) p( p( p ) ( )) ( p ) sau p C p 35

353 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce uc ( p ) ( p ) p ( ) (9.) pc p Ec Ecuaţa Joubert ataşată dpolulu este: E c e. Paralel (p) Z(p)(p) cu Z (p) p pc. (9.) Fg. 9.8a Ecuaţe curent-tensune a dpolulu sere: t u du c C u dt C dt t u duc u dt u dt C dt () sau (9.) (9.3) aplcându- transformata aplace, conduce la următoarea relaţe operaţonală: C[p u c ], relaţe ce poate f restrânsa n forma : p p p pc Cu p Ecuaţa Joubert în curent a une latur are forma: c (9.4) e u s g yus ce z z yu ;. admte următoarea magne operaţonală: [ ] Y dentfcând forma operaţonală a ecuaţe Joubert cu ecuaţa operaţonală a crcutulu rezultă: Yg cu g C c g s. p Aplcarea transformate aplace în analza crcutelor ce conţn surse ndependente Se consderă crcutul dn fgura 9.8b ce funcţonează cu sursa de curent, sursa de tensune fnd scurcrcutată. a momentul t > se cuplează sursa de tensune e (e 5V). Să se determne varaţa în tmp a tensun v de pe rezstenţa KΩ. g 35

354 Captolul 9. egmul tranztoru al crcutelor electrce lnare Fg.9.9a ezolvarea crcutulu mplcă determnarea condţlor nţale pentru elementele reactve. Valorle mărmlor de stare () ş uc() rezultă dn funcţonarea nţală t < a crcutulu. În regmul staţonar. (t < ) elementele reactve sunt înlocute prn comportamentul lor în c.c. ar crcutul are următoarea confguraţe Fg.9.9b. Determnarea condţlor nţale necesta rezolvarea crcutulu dn fgura 9.9b. n acest sen s ap lcam m etoda r educer c rcutulu l a d pol echvalent. A plcând dvzorul de curent obţnem curentul nţal ce parcurge bobna : (),5 A 4 5 g Tensunea ce încarcă condensatorul poate f consderată fe tensunea de pe rezstenţa de Ω, fe tensunea de pe rezstenţa de 4Ω 4 obţnând u (),5 V, u () 4,5 4 V. 5 c g e 5 c 4 4 g Cunoscând condţle nţale ş reprezentându-le p rn su rse se obţne crcutul de analzat, (fg.9.9c), crcut analzat în regm tranztoru prn asocerea magn operaţonale. 5 5 Fg.9.9c. 353

355 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce n r ezolvarea c rcutulu se ap lcă metoda potenţalelor nodale rezultat al aplcăr teoreme Krchhoff în nodul v ş v:, (9.5) 4 c c g relaț completate cu 4 5 v p, 4 Forma operaţonală a ecuaţlor nodale este: 5 v p 4 v,p v,5 v v 4 4 p p, p p v v p ezolvând sstemul de ecuaţ rezultă: p p v p 75 ( p 6p 5) v, (9.6) v v v, c pcv. p pc (9.7) (9.8) - (9.9) Pentru determnarea funcţe orgnal se deduc rădăcnle p 3 4 p 3 ± ± 4. (9.) 3 4 p Descompunerea în fracţ smple a exprese potenţalulu operaţonal, necestă determnarea a tre coefcenţ v p p 75 c c c 3. (9.) p(p p)(p p ) p p p p p ezultat al calculelor matematce deducem următoarele valor ale coefcenţlor 3 3 P() 75 P(p ) c 3, c 4(4 3) e, c 3 e Q() 5 p(p p ) (9.) Înlocund în expresa potenţalulu operaţonal v e e p 4 p p 3 4 se obţne varaţa în domenul tmp a potenţalulu v rezultat al aplcăr transformate aplace nverse 354

356 5 4 Captolul 9. egmul tranztoru al crcutelor electrce lnare (34 )t 4 (3 4 )t (t) 3 e e e e v cos 4t arctg 4 ; relaţe echvalentă cu v (t) 3,5e 3t Aplcarea transformate aplace în crcutele ce conţn surse dependente Se consderă pentru exemplfcare crcutul dn fgura 9.3 c e funcţonează cu întrerupătorul (space) deschs. În momentul t > este suntată rezstenţa de Ω. Să se determne varaţa în tmp a curentulu surse de 8V. Fg Pentru rezolvare trebue să determnăm condţle ntale ale crcutulu, crcut consderat la t< (fg.9.3) la v Fg.9.3 Aplcarea teoreme Krchhoff în crcutul dn fgura 9.3 conduce v x v dn care rezultă: v x V. 8 x x Condţle nţale sunt: v ( ) v ; (9.3) - V C x 355

357 Adran A. Adăscălţe: Teora Crcutelor Electrce 8 v x - ( ) 3A ; (9.4) Schema operaţonală a crcutulu,ţnând cont de relaţle C V c ( ),5 4 ; ( ) 3 p p devne (fg9.3): Fg. 9.3 Deoarece întrerupătorul este închs, v x (p) 8/ p ar re zolvare p rn metoda potenţalelor nodale conduce la : (s) 8 v(s) 3 s v(s) 8 / s v(s),5 s,5 s 4 / s 8 v(s) s 3,5 s s (9.5) Elmnând v (s) se obţne magnea operaţonală a curentulu: 3 s 4 s 96 (s) s (s 4 s 8) dn care deducem varaţa n domenul tmp a acestua: ( t > ) 3 [ 4 e t cos( t 657, )] A (9.6) 356

358 CAPTO. ANAZA CCTEO EECTCE CE CONŢN AMPFCATOAE OPEAŢONAE. Analza în curent contnuu a confguraţlor de bază ale amplfcatoarelor operaţonale.. Confguraţa nenversoare Confguraţa nenversoare a amplfcatorulu operaţonal este prezentată în fg..a. Aceasta conţne un amplfcator operaţonal ş două rezstenţe externe ş.ezstenţa conectată între eşre ş o ntrare se numeşte rezstenţă de reacţe. fb a _ V _ V _ a) Schema confguraţe nenversoare a A.O. Fg.. b) Modelul confguraţe nenversoare Pentru uşurarea analze se utlzează modelul prezentat în fgura..b. tlzând ecuaţa vo a ( vp vn ) a vd ş formula dvzorulu de tensune se obţne: v O a ( vp vn ) a v vo (.) ( / ) Prn ntermedul dvzorulu de tensune se ntroduce o reacţe negatvă, astfel încât la ntrarea nversoare vom avea semnalul de ntrare 357