PROF. DR. MARINCA VASILE
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- Ὑάκινθος Πολίτης
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1 RPORT DE CERCETRE Grt: Nr. 5 utor: PROF. DR. RNC SLE verstte: POLTENC TŞOR FC. ECNCĂ
2 ETODE NERCE ORGNLE PLCTE ÎN STDL BRŢLOR PRETRCE Ş NELNRE PROF. DR. RNC SLE, NERSTTE POLTENC TŞOR FC. ECNCĂ. NTRODCERE Î ee e urmeză e rouem să uem î evdeţă um âtev dtre metodee orge romtve de rezovre euţor dfereţe rmetre ş ere re r î studu vrţor. Orgtte ostă u um î modu de trtre î dru vrţor, î rte metodee sut fooste î mtemt ş î eemetee de outte soută re etru rm dtă î urăre ştţfe e memror oetvuu de eretre. stfe metod fuţor se su eveţe re sut uţ uosute ş fooste î tertur de sette. Pe de tă rte, metod tertv-vrţoă î vrt rezettă î ee e urmeză re etru rm dtă î urăr ştţfe e uor oortor est roet. m foost rogrme de u re e-u ftt ş făuţ î rezovre roemeor ărute. Rezuttee sut omrte u ee uosute î tertur de sette. Fuţe se ue sut fooste î studu vrţor de torsue e uor re euforme Tmoşeo ftă e suorţ est. Souţ este oţută r trsformre euţor dfereţe ordre î euţ tegre ş o este sut rezovte umer. Fuţe se ue stsf odţe geometre, de otutte ş mtă. Studu ue î evdeţă efetee rgdtăţ, egăturor este ş mseor dţoe. etod eveţe re este o metodă ostrutvă forte uţ uosută î tertură: euţ Berou-Euer este trsformtă îtr-u oertor oom r estu se ă o trsformre eoeţă. Foosd trsformt Le, se uge ssteme dfereţe re fte. Br Berou-Euer srtă e suorţ mut ş ţotă de o forţă ă este studtă r termedu fuţe u Gree. Se studză r suusă dferte egătur geometre, r r Tmoşeo oţâd mse oetrte este studtă u utoru trsformte Le. De semee se ţe sem ş de erţ de rotţe mseor oetrte. etod tertv-vrţoă tă î studu reor Tmoşeo oţâd mse dţoe este o tă metodă orgă, studtă de oetvu de eretre este teme. Rezuttee oţute sut ute î umerose urăr ştţfe î ţră ş străătte.. FOLOSRE FNCŢLOR SPLNE CBCE PENTR STDL BRŢLOR BRELOR TOŞENKO NENFORE tervu [,] este dvzt edstt : < < < < u : N r,,, N sut vor fte rtrr. Fuţe S sut otue îmreuă u rmee două dervte ş od u î utee,,n. Fuţe S sut fuţ se î rort u măsur. Se oţe: '' '' '' S '' - 6 ude S. Cotutte u S î, foosd reţ S - S odue sstemu de euţ:
3 '' o '' '' N '' '' 6 '' N ' '' 6 6 re se m sre î formă mtră stfe: ' ' [ P ]{ } [ Q]{ } { }, ' N o N o N, N u [P] ş [Q] mtr ătrte de ordu NN r{ }ş{ } mtr ooă de ordu N. D reţ oţem: ude N '' ' ' o o N N ' ' [ ] [ ] ; [ ] o o N N { } P Q rţe ue re euforme Tmoşeo sut dte de euţe: 5 Q Q ; Q ; ; 6 t t E KG otţe fd ee uosute. Serâd vree, resuuem,tye ωt ; Ψ,t Ψ e ωt ;,t e ωt ; Q,t Q e ωt 7 stfe ă se oţe sstemu: Presuuem ă d Q d d dy Q ω Y; Q ω ; d d E d KG C ; C ude C este o osttă, este ugme re r, sut ş etru. Foosd erese dmesoe: _ Q Y ; ; ; ; η 9 E E euţe dfereţe 8 se sru î form: d G dη,, ude G Ω C η ; G ; G Ω r C ; G C G s ; G C η ; Ω ω E ; r eţ G. Pr tegrre sstemuu e tervu [,η], oţem: ; s E K G 8
4 η G S t η dt ude S t sut fuţe se. Îmărţd tervu [,] î N terve edstte ş îoud η,, N ude î euţe, se oţe: G η S η dη o,,, N o o Îoud î, oţem: '' g o u g, oefeţ u ş resetv d susttuţ făută. Foosd odţe mtă η ş η î euţe, oţem: ' ' ; o o N N Susttum reţe 5 î euţe ş este î oţem u sstem de euţ omogee î : N g g s o g N s sn, s s 5 Î egătură u euţe 6 se trodu mtre următore:,n 6 [] [][G] [] [B],,, 7 Souţ eă sstemuu 6 odue ure determtuu rterst determt eur: Souţe euţe 8 odu fre oefetuu freveţă de form:
5 Ω ω E Î ee e urmeză, osderăm r Tmoşeo î osoă, u u or greu ătu er. Codţe mtă sut:...., Ψ, Q m ; Ψ. m Cu otţe Φ ;,mtre [] ş [] d 5 sut: m o [ ] ; [ ] s Ω Ω r ΦΩ Φ Ω 9 ΦΩ s Petru dferte vor e ostte ş etru ϕ, r, oţem vore rmetruu Ω re sut omrte u ee uosute î [] r metod Smso: Prezetu studu Lurre [] N 5 N,8,8, ,789,785.78,776,77,76,758,755,78,7,79,79,75,7. ETOD ECLENŢE LNRE ÎN STDL BRŢLOR BRELOR BERNOLL-ELER Euţ dfereţă etă vrţor ue re Berou-Euer este de form: "' ' E u odţe mtă etru r î osoă: ', Petru re metode eveţe re EL, osderăm trsformre: stfe ă euţ deve: ' w ; u '
6 dw du uw ; w ; d d E r odţe dev: w ; u Evre ră dede de do rmetr Z ş Z stfe ă se ote sre:,, vz Z e Zw Zu Sstemu r oresuzător sstemuu este: ăm trsformt Le: 5 ' v v v 6 Lv,, s s v e d stfe ă euţe 6 se ot sre mtr: Y 7 ude mtre este mtre eură ftă: u euee: s,... s... s s de ordu troduem mtre eură ftă: B B B B B... B K... B 9 B... B... B K K
7 ,,versă mtre ş de u rorette B dg E,E,E, u E mtre utte - de ordu, euţ 7 re souţ: BY Ţâd ot ă î reţ este morttă um rm e, se oţe: s B s Y âd trsformt Le versă: L s v î reţ, se determă souţ etă euţe : L s re î zu re Berou-Euer deve r truere:. m B Y, Petru E [KN/m ], / [m ] ş defd εm - / [,] oţem etru dferte vor e u ml m: m ε 8,57 * -,6 * ,8 * ,89 * -6 Oservţ : Cee două metode rezette î studu vrţor ere du rezutte forte ue î omrţe u ee uosute î tertutră rm metodă su erore de truere stsfăătore dou metodă. etodee sut uţ uosute eretătoror, r r rogrme sefe e utor du rezutte ree re u fost ute î mute urăr ştţfe î ţră ş străătte. Cee rezette î est mter sut o rte rezutteor orge oţute de oetvu de eretre î utm.. BRŢLE NE BRE B-E SPRNTĂ PE SPORŢ LTPL Ş CŢONTĂ DE O FORŢĂ LĂ Î est rgrf se osderă o ră Berou-Euer re se sră î R ute ş este ţotă de forţ osttă ă P:
8 , t, t E P t R ude F sut forţe de egătură r este fuţ u Dr. Serâd vree, se oţe euţ dfereţă: W F t, [,] R PW W F ude ω E Souţ euţe este de form: R W FG,, ude G,, este fuţ u Gree, re v f souţ euţe: G, λ, PG, λ, G, λ, λ 5 î re odţe mtă vor f eeş euţ. Euţ rterstă se oţe etru,, R î euţ, stfe ă rezută u sstem R dmeso de euţ gere omogee [ ]{ F} { } 6 ude eemetee mtre [] sut G,, 7, Determtu mtre oefeţor eg u zero, odue euţ rterstă d re se dedu vore ror e sstemuu u egătur:, r,, Petru determ euţ rterstă, urmeză să se ueze fuţ u Gree d euţ 5. Petru est, fe [,λ] resuue ă G este de form: ude r ş se G os Bs C os Ds 8 P Q, Q P, Q P 9 G Pr dervre reţe 8, duă re se îoueşte, se oţ rmetr ţ: G, W λ ; C,, λ ; B D θ, ; C G G, ; PG, ; B D λ, λ λ Îoud î 8 este odţ, se oţe:
9 os os W G, λ; os os θ s s s s Petru [ λ, ], fuţ u Gree deve: W θ G, λ ; os os s s os os s s s λ s λ Fuţ u Gree, treue să fe smetră, de treue să smăm oure u ş λ ître ee, stfe ă: N λ, ; ; λ G, λ ; N, λ; ; λ ude N, λ; W os os os os s θ s s s s λ s λ 5 stuţ: Prmetr ţ W, θ, ş se determă d odţe mtă. Se osderă următoree.. Br duu rtută: W [ ], θ s s s s λ λ, 5 ss λ s s λ 6 s s.. Br duu îstrtă: W, θ, [ os os s λ osλ os λ s os s os λ s s s λ s s λ
10 [ os ososλ s λ s λ os os os s os λ s s os] s s s osλ os λ 7.. Br îstrtă u ăt ş eră eăt: W, θ, [ sλ s λ osλ os λ s os os s 8 os os sλ s λ s s sλ s λ] [ osλ os λ s s osλ os λ os os osλ os λ s λ s λ os s s os] os os.. Br îstrtă u ăt ş rtută eăt: W, θ, [s s λ ss λ] s 9 [ oss λ os s λ] oss os s.5. Br eră mee ete: W [ os os sλ s λ osλ os λ s os 5 5 os s s s s λ s λ] θ [ os os osλ os λ sλ 5 s λ os s s os ss os λ osλ], 6 6 os os s s Cu este roem este de omet rezovtă. Oservţ : Studu făut î estă rte roetuu ue î evdeţă umerose sete de re treue să se ţă sem îtr-u z rt. Br B-E este totuş o euţe smftă vrţor reor, dr re v treu geerztă, î sesu de ţe sem ş de te odţ forţe tăetore, forţe de erţe, mse tşte, et.. de este urur se vor ţe sem î ee e urmeză.
11 5.BRŢLE BRELOR TOŞENKO CONŢNÂND SE CONCENTRTE Euţe de mşre vrţ de îovoere e ue re drete, Tmoşeo uforme, oţâd u umăr de mse oetrte sut: t m T σ 5 t T 5 E 5 G T 5 ude m este ms ţoâd î utu de ssă, r σ este dstruţ u Dr. Emâd ş T d euţe 5-5, oţem: t G E 55 t m G σ 56 ăm metod serăr vreor etru euţe 55 ş 56 resuuâd:,t e t ; Ψ,t e t, 57 Foosd otţe: E E KG ; ; 58 ş âd trsformt Le euţor stfe oţute deduem: s s s s s s os os s s os os
12 os os s s s s s s os os s s os os s s os 59 ude ; m 6 r este dstruţ u evsde. Ître oefeţ, estă reţe:,,,,, ; ; 6 Î est rgrf, vom osder odţe mtă etru r î osoă re sut: ; ; 6 Reţe 6 dev: ; ; ; 6 Souţe 59 sut î est z: 6 65 ude: s os os s s K C s 66 C s s os os K 67
13 K C s s os os [ os os ] 68 K C s s os os 69 âd dervtee î sesu dstruţor î ş 5 ş uâd odţ de esteţă souţor ş etrve, otem euţ usţor ror su form:,, det 7 Cosderăm eemu umer r de rof u următoree rterst: E, 6 m N, E G 8, 7,8 m g, [m ]; 65[m ];,, [m]. Petru, m,,5 [g], rmee două usţ sut rezette î teee ş. m Teu : usţ fudmetă m ,7 6, 5, 6,5,7,8 5 8,8 56,7, Teu : usţ Oservţ : D euţ 7 se ot oţe ş eete usţ. Î tertur de sette, sut uţe zur âd se ţe sem de deformţ de forfere, erţ de rotţe ş mse oetrte, dr studu făut este omet euţe u Love, fe studu este făut u metode romtve Reg, Ger su r metode eermete. Souţe dte î est rgrf sut oţute etru două euţ dfereţe omete; se stes reţ ître osttee re r; odţe mtă sut omogee. 6. BRŢLE BRELOR TOŞENKO. EFECTL SELOR CONCENTRTE Ş NERŢE DE ROTŢE CESTOR
14 Fţă de rgrfu reedet, vom ţe sem î us ş de erţ de rotţe mseor oetrte. Euţe vrţor de îovoere e ue re fte, omogee oţâd msee oetrte m de momete de erţe, sut: t m T 7 t T 7 E 7 g T 7 Emâd fuţe ş T ître euţe 7-7, oţem: t G E 75 t m G 76 Petru euţe 75 ş 76, ăm metod serăr vreor, resuuâd:,, ;, e t e t t t 77 Cu otţe d rgrfu 5 ş î us, reţe 75 ş 76 dev: Pr dervre î sesu dstruţor ş emâd d 78 ş 79, oţem două euţ dfereţe î ş : ] [ ] [ 8 ] [ ] [ 8 âd trsformt Le euţor 8 ş 8, oţem două euţ gere d re r re trsformte Le verse, vem: s os os {
15 s os os s s [ s s ] s [os ] s } ] os 8 s os os { s os os s s [ s s ] s [os ] s } ] os 8 Reţe 6 ş 6 rămâ ş î est rgrf, ve. Petru r î osoă, odţe mtă sut: ; ; 8 Petru est t de ră, d odţe 8, oţem: C C 85 K K 86 ude os os os os [ C s s os os ] s s 87 [ [ L os s os s s os os s } 88
16 [ 89 ] s os s os os s os s s s m K ] 9 os os os os s s s s os os K [ ] os os s s 9 Souţe 8 ş 8, u utoru reţor 85, 86 ş 6, dev: * * * * 9 ude ; * [ ] o o o os os * 9 * * s s 9 r sut dte de formuee76 ş 77,,, Petru, î 9 ş 9 ş etru souţ ee ş, determtu oefeţor treue să fe u, ee e odue euţ usţor ror: ude este smou u Kroeer.,, det 95 Petru te tur de re, roedur este semăătore. Codţ de ortgotte etru modure orme este de form { ] } q d E m q q, 96 Cu { ş { uosute, defeţ totă, ugu de îovoere, mometee ş forţee ot f determte.
17 C eemu umer, osderăm r de rof "" de rgrfee terore, î us m\m\. Prmee două usţ etru dferte vor e dstţeor ş e mseor m t, sut rezette î teee ş. m , 67, 6,9 5,75 7, 9,8 8 7, 57, 5,8 9,8,5 8,59 68,8 5,,77 6,5 8,, 7, 65,9 58,6,7 5,7,9 5 7,5 6,99 6,79 8,8 5,7,8 8 75,6 7,87 69,8 59,8 59,77 9,87 Teu : usţ ,995 78,7 78,5 78, 78,6 78,5 8 78,59 78,5 78,5 78,5 78,889 79, 78,9 78,8 78,779 78,99 79,9 8, 78, 78, 78,6 78,9 79,88 8, 5 79, 78, 78,69 78,99 79,99 79,89 8 8, 87, 9,67 95,79,, Teu : usţ m Petru te egătur e re, modu de trtre este og eu rezett m sus, odţe mtă 6smâdu - se oresuzător. D euţ 95se ot oţe ş eete usţ. 7. PLCRE ETODE NTERT - RŢONLE ÎN STDL BRŢLOR BRELOR TOŞENKO CONŢNÂND SE DŢONLE Petru euţe 6-6 de rgrfu 5 vom metod tertv - vrţoă. estă metodă este reet foostă î tertur de sette etru determre usţor reor Tmoşeo. estă metodă este rd overgetă r muttor u Lgrge sut determţ otm u utoru teore vrţoe. Î geer metod tertv - vrţoă se ote orăru sstem dfereţ er de form: LuNug 97 ude L este u oertor r r N u oertor er. Petru sstemu 97 rouem souţ tertvă î form: u u λ [ L u s N u~ s g s ] ds 98 ude λ, este u muttor Lgrge re ote f detft otm v teor vrţoă, osdert restrţe stfe u ~ este
18 u ~ u,,... semfă vrţ u u r d u u d etod tertv - vrţoă este efetvă, smă, de mre reze ş se ă ue se rg de roeme ere u romţ rd overgete souţ etă. Petru roeme re, souţ etă ote f oţută um duă o sgură terţe, deoree muttoru u Lgrge ote f et detft. Cu otţe 58 euţe 55 ş 56 se sru su form: 99 om te rousă etru rezov euţe 99 ş. Petru est vom sre ee două euţ î form tertvă: s s s sds,, λ,,,, [ ]ds s s s,,,,, λ Notăm ă vrţe ţe sut ue:, o, o O ş ţâd sem de reţ: s,,, d F F ds u o următoree odţ de stţortte F ds F d F ds, - d ds ds F F ds λ, λ λ ds,, o λ λ λ, [ λ λ ] 5,,, ds Petru muttor u Lgrge λ, ş λ u o de, odţe: ; ; s λ λ λ s ; λ ; λ λ λ 6 s s λ 7 Petru zure ree, um m mtt rgrfee reedete, > s de su ott,, otem muttor u Lgrge: foosd dettte: s s s ;, λ, 8 λ s S s [ s s ] s s,, d 9, s,, os [, s, s ] s s d, s,, eute 5 ş 5 ot f srse su form:
19 [ ],,,, os s d s s,, s os ude este dstruţ u evsde. Petru r osoă se ştu odţe mtă: ; ; stfe ă utem ege terţe ţe su form: ; os, s s s ; s, s s B s Cu ş B ostte re urmeză s fe determte. Îoud ş oţem:, ;, ;, ; B, Oţem est fe, romţ de ordu tre, su form: ] B B s, s s os os os s 5 [ ] s B s B, s os os os s os s s 6 D odţe ş,,,, oţem u sstem de dou euţ gere re ş omogee u dou euosute. Petru souţ etrve î ş B, determtu oefeţor treue să se ueze, stfe ă oţem urmtore euţe usţor ror: { [ ] [ ] } [ ] { [ ] } { [ s s s s s s s s s s s s os os os os s os s os os os s s os [ ] } s os os s 7
20 Euţ 7 fost rezovtă u utoru rogrmuu TCD u eeş dte umere de rgrfu 7. Rezuttee sut treute î teee 5 ş 6. m , 65,97 66, 5 66, 66,5 66, , 66,9 66, Teu 5: usţ d euţ 8 m ,57,, 5 66,9 6,7, , 6,65,5 Teu 6: usţ d euţ 8 8. CONCLZ Î est roet e-m rous să rătăm ă usţe ror e reor de t Berou-Euer u od î zu reor de t, T,, O et u ee e reor de t Tmoşeo. Î mod erot, î uee urăr ştţfe de sette se frmă ă rmee usţ etru ee două tur de re sut rote vore. Î rtă se roue um studu vrţor reor de t Berou-Euer, ee e odue rezutte re u sut oforme u rete. est uru este us î evdeţă î zu ostruţor îte, oduror, tururor, et. Î tote zure, oetvee rouse î est ret u fost îdete îmâd eretăre teorete u ee eermete re s-u fzt î dru ortoreor de eă ş rţ de Futte de eă. Fzre estu roet s- fut duă u mre voum de muă. u fost eesre uoştţe de meă, rezsteţ mtereor, teor esttăţ, mtemtă ş formtă. u fost greţ de- ugu tmuu u mre umăr de eretător. Rezuttee u fost fost făute uosute dferte mfestăr ştţfe î ţră dr ş î Rus, sre, Od, Germ, g, S, Ser ş d reum ş î dferte revste de sette. Rezuttee oţute vor f geerzte ş etse îdeose umerosee feomee ere re or eret î studu vrţor. ee rezutte u fost ute î dferte revste de restgu de sette. tee vor f fzte î ersetvă ş vor fe oetu uu vtor otrt de eretre. BBLOGRFE.. RNC, N.ERŞN - romte etod For Free rto ss of Tmoseo Bem sg Cu Se Futos - terto our of oust d rto - o. Nr RNC, N.ERŞN - se of u se futos for ss of free vrtos of est restred o-uform Tmoseo ems - Proeed.of te Seve t.cogress o Soud d rto, Grms - Prtere, Germ.. RNC,- Free vrtos ss of s oded Tmoseo em wt te romte metod of te u se futos - Cof. r.me, Tmşor RNC, B. RNC - Te o-er edg vrtos of Berou - Euer -Cof. r.me., Tmşor RNC, N.ERŞN, B. RNC, - ew romte t teque for o-er sstems - ee F.g.uedor
21 6.. RNC, N.ERŞN - Te effet of ser deformto, of rotr ert d of omresse fore o te freque of uform em - Yugosv Cof. ose d rto, Nş RNC - Te et souto te se of ert o-er Cu roem - ss d Num.Com. of So. Of No-Ler Sstem -v.de est Tmşor, erose Reser d deveo.of S r Fore RNC, N.ERŞN - Ntur frequees of restred tever em rrg ev t od - Fourt t. Cogress o Soud d rto, St.Petersurg, Russ , vo. 9.. RNC, N.ERŞN - Te et souto of te free vrtos of steed erou-euer ems d wt t mss - Fourt t.cogress o Soud d rto, St.Petersurg, Russ , vo...tsud, C.ort, T.Som - metod for vrto ss of tered Tmoseo em wt ostrt t ots d rrg ev t od.of Soud d rto, RNC: Te et souto te se of ert oer Cu roem Proeed. Of te t. Cof. v. est Tmşor 997,. -.. RNC, N. ERSN: Te fuee of omressve ods o te tur frequees of Tmoseo te ems, Te 6 t sre Cof. o e. Eg. Cof. Proeed. f 996, RNC, N. ERSN, B. RNC: Trsverse vrto of tever em wt ed mss suet to rmo se etto Proeed t Cof. o e. r. Tom 7 6 Tmşor, RNC, B. RNC, N. ERSN: O te resose of te seod mode of tever em - Ft verstts, o., N., Nş Yugosv, RNC, B. RNC, N. ERSN: O te resose of te seod mode of tever em - Ft verstts, o., N., Nş Yugosv, RNC: to of odfed omoto Perturto etod to Noer Ostos v re RNC, N. ERŞN: modfed terto Perturto etod for some o-er roems v re RNC, N. ERŞN: Te ostor wt u est restorg fore, t. Cof. Nose d rto Nş Ser,.D RNC, N. ERŞN: O te geerzed der Po equto er v.. u, rd RNC, N. ERŞN: Perod souto of te fored Duffg ostor wt te modfed omoto erturt metod v re 5
CAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
def def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
r t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s
r t r r é té tr q tr t q t t q t r t t rrêté stér ût Prés té r ré ér ès r é r r st P t ré r t érô t 2r ré ré s r t r tr q t s s r t t s t r tr q tr t q t t q t r t t r t t r t t à ré ér t é r t st é é
P r s r r t. tr t. r P
P r s r r t tr t r P r t s rés t t rs s r s r r t é ér s r q s t r r r r t str t q q s r s P rs t s r st r q r P P r s r r t t s rés t t r t s rés t t é ér s r q s t r r r r t r st r q rs s r s r r t str
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Uverstte Spru Hret Fcultte de Stte Jurdce Ecoome s Admstrtve Crov Progrmul de lcet Cotbltte ş Iormtcă de Gestue Dscpl Mtemtc Aplcte î Ecoome tulr dscplă Co uv dr Lur Ugureu SUBIECE ote subectele se regsesc
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CURS EODE NUERICE PENRU SISEE DE ECUAŢII LINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ I etode drecte: Gss; LU; Choesy; Choesy mtrc
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ρ ρ s ::= sd sd ::= K x sk xotse se sk ::= K (sk x) se ::= x K se se se x = se xotse se xotse se x sp se se l lo sp ::= x l K sp x(x ) l ::= char number lo ::= se (+ = = < > ) se se se ot ::= τ ɛ τ
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Journl of Alger umer Teor: Avne n Applon Volume umer 9 Pge -7 MATRICES WITH COVOLUTIOS OF BIOMIAL FUCTIOS THEIR DETERMIATS AD SOME EXAMPLES ORMA C SEVERO n PAUL J SCHILLO Meove Lne Wllmvlle Y USA e-ml:
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M p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
Pierre Grandemange. To cite this version: HAL Id: tel https://tel.archives-ouvertes.fr/tel
Piégeage et accumulation de positons issus d un faisceau pulsé produit par un accélérateur pour l étude de l interaction gravitationnelle de l antimatière Pierre Grandemange To cite this version: Pierre
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