2. APROXIMAREA ŞI INTERPOLAREA FUNCŢIILOR

Transcript

1 Tr CICONE Metode uerce î ger ecoocă. APROXIMAREA ŞI INTERPOLAREA FUNCŢIILOR Î odere feoeeor (fzce ecooce oce etc.) ute dee puş î tuţ de pu fucţ ecuocute c epree ş defte dor pr vore d ute pucte (vor cre î geer ut dte eperete repectv prov d eperete ăurător odje etc.). Petru pute efectu dferte ccue uerce pe z dteor eperete (etre vor î pucte dferte de cee cuocute evure uor operţ tetce tdrd precu dervre u tegrre) ete eceră găre ue fucţ de prore cu o foră tcă pă uşor de evrt îtr-u gort de ccu. Aprore ue fucţ pote f ută ş dcă fucţ cu cre treue ă operă ete cuocută dr re o foră copctă greu de put uerc. Î cet cz pr ccuu voror fucţe orge îtr-o ere de pucte e juge o tuţe ră cu ce precedetă (fucţe cuocută îtr-u uăr ft de pucte). Fe [] R tervu î cre ut cuocute vore fucţe (tervu de prore) ş [] N puctee î cre ete cuocută fucţ cu cre operă (fucţ de prot). Acete pucte (deute odur) foreză o reţe de odur cuocută ş u deure de şr de dvzu. Vore cuocute e fucţe f cre treue protă e oteză cu. Evdet f( ) cu eţue că epre fucţe f u ete î geer cuocută. Deterre ue fucţ de prore g() u e pote fce decât dcă e pue u crteru de prore. Î prcpu crtere de prore e îprt î două ctegor:. Fucţ de prore TREBUIE ă trecă pr puctee cuocute: ( ) K g (.) Î cetă tuţe g ete o fucţe de terpore r operţ de deterre e e ueşte terpore. L codţ de ză (.) e pot dăug ş te codţ cu prvre cotutte dervtte u tor crctertc e fucţe î ute pucte d tervu zt. Se oervă că terpore e preupue că odure de terpore ( ) ut cuocute ect efd fectte de eror.. Fucţ de prore NU TREBUIE ă trecă pr puctee cuocute dr ă proeze cât e vore cuocute tuţe tpcă proăr dteor eperete eret fectte de eror. Î cet cz e pot foo urătoree crter: () Mzre ter e fucţe de prore fţă de ce orgă: f g [ ] { (.) Evdet că dcă fucţ orgă ete cuocută î pucte ( ) ec. (.) deve: { ( ) g (. ) Metod de prore corepuzătore cetu crteru ete cuocută u uee de prore -. () Mzre ue pătrteor teror fucţe de prore fţă de ce orgă. Î for geeră cetă uă e epră prtr-o tegră căre vore treue ztă: Cp. 5-6

2 Tr CICONE Metode uerce î ger ecoocă [ g ] S f d (.) D puct de vedere geoetrc codţ de u îeă că u ror dette de grfcee fucţor f ş g treue ă fe ă. Cu fucţ orgă ete cuocută pr vore dcrete î ute pucte ( ) ec. (.) deve: [ g ] S (. ) Metod de prore corepuzătore cetu crteru ete cuocută u uee de etod ceor c pătrte. Î prctcă etodee d cetă dou ctegore e uec etode de prore pre deoere de terpore deş cet d ură ete î eeţă tot o etodă de prore. O ză coprtvă ceor două etode de prore rtă că dcă etod - e foczeză upr eror e troduă pr prore etod ceor c pătrte e foczeză upr ue eroror dferet de eu or pe tot doeu de prore. Rdcre pătrt fecăre eror re rou petru evt copere eroror poztve cu cee egtve... INTERPOLAREA Reved terpore preupuâd odure de terpore ( ) dtcte d codţ de terpore (.) rezută u te de () codţ cre î od or coduce u te de () ecuţ cu tot tâte ecuocute. U d pree îtreăr cre e şte ete cre ete for fucţe g? Se şte d Ager Lră că dcă ve de rezovt u te de ecuţ ete de prefert c cet ă fe u te de ecuţ re otv petru cre egere fore fucţe g ete porttă. Souţ ete de gă u et de () fucţ r depedete (otte g g g g ) r fucţ de terpore g ă fe deftă c o coţe ră cetor : g g ude cr (deute ş cotte u pretr) repreztă cee () ecuocute e teuu (. ). C eepe de etur de fucţ r depedete e pot d ooee fucţe trgooetrce u cee epoeţe. Atfe terpore pooă e zeză pe ooee defte de fucţe ; cete ut de deprte cee utzte etur de fucţ de terpore. Iterpore trgooetrcă (cuocută ş c dezvotre î er Fourer) e zeză pe fucţe co co co. Iterpore epoeţă (cuocută ş c dezvotre î er de puter) e zeză pe fucţe e e e ş evetu pe veree cetor e - e - e -. (.4) et qure etod ete deure d egeză etu de fucţ g coţe eeete dtcte ître cre u etă reţ de egătură cee ce reve pue că u etă R\{} tfe îcât g. Cp. 5-6

3 Tr CICONE Metode uerce î ger ecoocă Î prezetu cur teţ e v îdrept dor upr terpoăr re oţue de ză putâd f po uşor etrpote pre te ctegor de terpore. Atfe d egre ecuţor (.) ş (.4) rezută teu de () ecuţ re: cre î foră trceă etă e cre: (.5) r î for codetă: [ X ] [ A] [ Y ] (.5 ) (.5 ) Rezovre teuu coduce deterre ceor () coefceţ poo. Se oervă că detertu trce coefceţor teuu ete de tp Vderode cre ete gur eu dcă vore ut dtcte (dcă j j j < ). Rezută că teu ete copt detert dec ouţ teuu (.5) ete ucă petru o fucţe ş o dvzue dte. Cu te cuvte poou de terpore ete uc petru tot tervu []. Petru u uăr c de odur ( ) teu e pote rezov uşor cr ş u (fără u ccutor progr) ş cu e v răt jo. Petru vor r e u ete evoe de utzre uu ccutor progr petru rezovre teuu de ecuţ. Totuş dcă uăru pucteor de terpore ete re deterre poouu de terpore pr rezovre drectă teuu (.5) ete dfcă ş erecodă. De- ugu tpuu -u propu forte ute vrte de geerre poouu de terpore efcce î czu terpoăr uu re uăr de pucte. Î cet cur e vor prezet două dtre cete poou Newto repectv poou Lgrge. Petru prezet pr vrtă (poou Newto) ete eceră defre dfereţeor dvzte. Iterpore ră ( ) Î ce pă etodă de terpore terpore ră e utzeză c fucţe de terpore g() fucţ pooă de grdu I: g (.6) Evdet fd vor de u poo de grdu I ut ecere două pucte de terpore de coordote ( ) repectv ( ). D codţ c drept g ( ) ă trecă pr puctee de terpore dcă coordotee cetor două pucte ă tfcă ec. (.6) rezută teu de două ecuţ cu două ecuocute ş : căru ouţe ete Cp. 5-6

4 Tr CICONE Metode uerce î ger ecoocă Cp (.7) Î geer petru două pucte coecutve dtr-u şr de dvzu cre defec tervu de terpore [ ; ] fucţ de terpore de grdu I re epre: g (.8) Iterpore procă ( ) Iterpore procă ete poă dcă e cuoc tre pucte de terpore. Să preupue cete pucte defte pr coordotee ( ) ( ) ş repectv ( ). Poou de terpore de grdu do î foră cocă ete: g (.9) Rezută teu de tre ecuţ cu tre ecuocute: cu ouţ: D D D (.) ude D ete detertu teuu. După cu e rercă cr î cet cz pu ouţ e oţe după ccue retv oroe. O vrtă rpdă de deterre poouu de terpore e oţe pr recrere cetu î for: g (.) D codţe de terpore cre î for: g g g (.) rezută coefceţ poo ş.

5 Tr CICONE Metode uerce î ger ecoocă Cp (.)... Dfereţe dvzte Fd dte perece de vor ( ) e defeşte dfereţ dvztă de ordu corepuzătore puctuu pr rportu: (.4) u geer petru puctu : (.5) Î coture e defeşte dfereţ dvztă de ordu corepuzătore puctuu pr rportu: (.6) Urâd ceş prcpu e defeşte dfereţ dvztă de ordu corepuzătore puctuu pr rportu: (.7) Se oervă că î geer dfereţ dvztă de ordu e cotrueşte food () pucte. Deorece foruee de defre (.4)(.6) ut recurve ete ută deterre ue forue de ccu drect dfereţe dvzte de ordu. Î cet e e dezvotă epre (.6) food reţ de defţe (.5): (.8) Se oervă că tere d eru drept egtăţ de u e oţ pr perutăr crcure tfe că pute gă o foră codetă de eprre dfereţe dvzte de ordu tfe: j j j (.9) Pecâd de cet e deotreză retv uşor pr ducţe tetcă foru geerztă petru dfereţ dvztă de ordu : j j j (.)

6 Tr CICONE Metode uerce î ger ecoocă Azâd ecuţe (.9) ş (.) e oervă că ut etrce dcă vore dfereţe dvzte u depde de orde î cre e coderă puctee ( ); dec oc pute cre că: ( ) ( ) (.) Î prctcă ete cood ă e ccueze dfereţee dvzte recurv decât pr utzre forue (.) v. Teu For Newto poouu de terpore Dcă cre dfereţ dvztă de ordu corepuzătore uu puct orecre ; d tervu de terpore [ ] d ec. (.5) ve: ( ) (.) de ude rezută: ( ) (.) Sr pord de dfereţ dvztă de ordu cră î rport cu puctu orecre () ve: ( ) de ude rezută: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) (.4) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (.5) Pr geerzre petru tote cee () pucte d tervu de terpore [ ] ve: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) (.6) Ţâd cot că f() ec. (.6) pote f cră î foră retrâă: P R f (.7) ude P ( j ) ( ) (.8) j ete poou Newto de terpore de grdu cu dfereţe dvzte r R ( )( )( )( ) ( ) (.9) ( j ) ( ) j ete retu u erore de prore terpore pooă. Se verfcă edt că erore ete uă î tote puctee de terpore dcă R ( ) dec poou P îdepeşte codţ de terpore (.). Eepu - Teu.. ş Cp

7 Tr CICONE Metode uerce î ger ecoocă Cp Teu.. Eepu de dezvotre dfereţeor dvzte u foră teră f( ) Teu.. Eepu uerc de te cu dfereţe dvzte f( ) / 4 / / 9/4

8 Tr CICONE Metode uerce î ger ecoocă Erore de terpore dcă retu R u pote f ettă decât dcă e cuoşte fucţ protă f() ş dervtee e. Totuş o ză teretă cu cocuz ute pote f dezvottă coderâd fucţ ură: Q () z () P () z ( z ) ( ) f (.) cre e ueză petru z repectv z dec re () zerour. Adţâd că f() ete dervă de ( ) or pute pc teore u Roe fucţe Q(z) precu ş dervteor e. Cu fucţ re ( ) zerour ve uccev ( ) zerour petru dervt I zerour petru dervt II- ş î f rezută că dervt de ordu ( ) re u zero pe cre î otă cu ξ. Apcâd rţoetu cet ecuţe (.) pr dervre uccevă de ( ) or poou Newto P e ueză tfe că oţe : ( ) ( )! ( ) f ξ (.) Pr urre dcă troduce ec. (.) î epre retuu (.9) oţe: R ( ) f ( ξ ) j j ( )! (.) Rezută tutv că retu ete c dcă ete jocu u-tervuu de terpore deft de odure dcete. Evuăr ecte u pot f făcute dervt de ordu () u ete cuocută. Pe de tă prte dcă e fă î fr tervuu de terpore [] ve de fce cu operţ de etrpore ş după cu e vede erore de prore pote f re. Oervţ: () Î prctcă ete recodă terpore cu u uăr redu de odur ( pâă 5 odur) cee propte de puctu î cre e cută vore fucţe. () Dcă d eru drept forue de terpore (.6) reţe dor do tere oţe ecuocut ecuţe terpoăr re (.8) deduă îceputu cptouu pe o ce drectă. Sr dcă reţe tre tere d eru do juge epre terpoăr proce ec. (.) () Se oervă că poou Newto cu dfereţe dvzte re ceeş foră cu dezvotre î ere Tor tructă...5. For Lgrge poouu de terpore O tă vrtă de defre poouu de terpore pecă de dee eprăr î fucţe de vore fucţe î puctee de terpore ş uu et de fucţ octe: Se deotreză uşor de eepu pr ducţe tetcă egtte: d d ( z )! Cp

9 Tr CICONE Metode uerce î ger ecoocă Cp L (.) ude ut pooe de grd cre pot f deterte d codţ de terpore (.): L (.4) Scrd î foră etă egtăţe d ec. (.4) oţe: de ude pr detfcre rezută că fucţe e ueză petru tote puctee de terpore puţ puctu î cre fucţ treue ă vore. Acetă cocuze pote f forztă tetc tfe: petru petru K K 4 (.5) Dec fecre poo re zerour dtcte tfe că pote f eprt î for: A (.6) î cre cott A e pote deter d codţ cee ce coduce foru: A (.7) Itroducâd epre cotteor A î ec. (.6) rezută epree fe e fucţor Lgrge: (.6 ) tfe că poou Lgrge pote f cr î for codetă: C L (.9) ude coefceţ C u epree: C (.4) cee ce perte reducere uăruu de operţ rtetce. 4 Fucţe ut re cu fucţe de tp treptă defte cu ou Kroecer.

10 Tr CICONE Metode uerce î ger ecoocă Eepu Petru vor tete de jo poou Lgrge re for: L ( )( )( 4) ( )( )( 4) 4 f( ) 5 ( )( )( 4) ( )( )( 4) ( )( )( 4) ( )( )( 4) ( )( )( ) ( 4 )( 4 )( 4 ) () () () 5 Totuş ccuu vor fucţe prote food for Lgrge poouu de terpore ecetă ute operţ eeetre decât for Newto. De eee dcă u et de pucte de terpore e dugă u ou puct petru deter ou foră poouu Lgrge treue reute tote ccuee de îceput. Pe de tă prte poou Newto treue dor dăugt u tere cre e oţe î ur dăugăr ue upetre î teu cu dfereţe dvzte ccuee precedete fd pătrte. Î c utzre poou Lgrge ete vtjoă î czu ccuuu cocotet dervteor fucţe î ceş puct...6. Iterpore cu fucţ pe Utzre uu gur poo de terpore petru îtregu terv [] dferet pr ce foră ete reprezett ete ueor dezvtjoă. U coveet jor ete geert de fptu că cete ş-ute fore goe de terpore u ut covergete 5. Î pu cr dcă terpore ete covergetă creştere uăruu de odur eceră creşter precze de prore coduce creştere porttă vouuu de ccue cre î ecudr pr efectu de propgre eroror re c rezutt ş cceture eroror de prore. Petru e cet coveet e pote utz terpore pooă pe porţu (udvzu dcete e doeuu []). Fucţe de terpore cotrute î cet fe e uec fucţ pe. Ee ut crcterzte pr ceeş foră pe fecre u-terv (ce dee for pooă) ş pr codţe de rcordre î odure de grţă dtre uterve. Petru defre fucţor pe e coderă î tervu [] o reţe de odur (ute ş pucte de dvzue) ( ) cotrute tfe îcât pru ş utu ă cocdă cu tee tervuu de terpore: repectv. Acete odur defec utervee de terpore I [ ]. Pr defţe fucţ S: [] R e ueşte fucţe pe de ordu dcă: () retrcţe e pe utervee I ut pooe de ceş grd : S I () S ete dervă de (-) or pe tervu [] (dcă S ete o fucţe de că C (-) pe [] ). ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( ) ( ) (.4) Fucţe pe defte tfe ut fără defceţă. Dcă e reuţă o ere de codţ de rcordre tfe îcât fucţ S ă u fe de că C (- e oţ fucţ pe cu defceţă. 5 Pr defţe terpore ete covergetă dcă pr ărre uăruu de odur coderte pe tervu [] creşte precz de prore. Cp. 5-6

11 Tr CICONE Metode uerce î ger ecoocă Fucţ pe de ordu I Î czu terpoăr pe de ordu I pe fecre uterv e cotruec pooe de grdu îtâ cotrute pr puctee de terpore fără c o codţe upetră petru dervte. D puct de vedere grfc e oţe o e pogoă rezuttă d pcre uccevă pe fecre u-terv terpoăr re. Cu u e pue c o codţe upetră dervteor î geer fucţ pe de ordu I ete cotuă dr u ete dervă î odur. Mtetc fucţe pe de ordu I e epră c o fucţe de grdu I cre trece pr odu : ( ) (.4) ude [ ] -. 6 Necuocutee cre repreztă de fpt pt fecăru eget rezută d codţ de terpore (v. ş terpore ră): ( ) - Rezută edt ecuocut foruă pte drepte cre ueşte două pucte: Dec fucţ pe de ordu îtâ deftă pr etu de ecuţ: ( ) ete evdet cotuă dr edervă. [ ] - (.4) Apcre drectă fucţe pe de ordu I e îtâeşte î czu tegrăr uerce pr etod trpezeor. Fucţ pe de ordu II Î cet cz fucţ de terpore ete fortă d pooe de grdu do cre gură cotutte fucţe ş pre dervte î odure reţee. Epre e ete: ( ) ( ) (.44) ude [ ] -. Î cetă foră pro tfce codţ de cotutte î odu : ( ) Cee două cotte ecuocute d ec. (.44) e ccueză d codţe de cotutte petru fucţe ş pr dervtă după cu ureză. Codţ de rcordre î odu coduce ecuţ: ( ) ( ) ( ) (.45) de ude prtr-o geră pă e oţe: ( ) ( ) (.46) 6 Coveţ de otţe: () tervu de terpore ete ărgt de odure: ş. () pru dce poouu de terpore repreztă grdu cetu r doe dce ete oct tervuu de terpore. Cp. 5-6

12 Tr CICONE Metode uerce î ger ecoocă Cp. 5-6 Pe de tă prte codţ de cotutte dervte î odure de grţă dtre două terve e cre u for: (.47) Ecuţ de u ete vă petru tote odure terore d doeu de terpore [] dcă -. Pe de tă prte dervre epree (.44) prtcurztă petru două terve coecutve coduce : (.48 ) (.48 ) Cu proee defte pe terve vece treue ă ă dervtee ege troducâd (.48) î (.47) ve: (.49) Egtte de u ete vă petru tote tervee puţ utu: [ ] -. Dcă e troduce otţ petru uge utervuu I ş e coă ecuţe (.49) cu (.47) rezută teu de (-) ecuţ cu ecuocute : (.5) Cu uăru ecuocuteor ete cu o utte re decât ce ecuţor petru rezovre proee e dugă o codţe upetră cre de oce ete pt cure îtr-uu dtre puctee de grţă: u.... Fucţ pe de ordu III Fucţ pe de ordu III cuocută ş u uee de fucţe pe cucă ete u dtre cee foote fucţ de terpore. Avâd ş dervt de ordu II cotuă e perte ş cotrou rze de curură de ude ve ş tereu prctc. For e pooă ete: (.5) ude [ ] -. Codţe de cotutte î odure terore - ut: ) ( (.5) Dervâd de două or epre (.5) oţe uccev petru utervu I repectv I : 6 (.5) 6 (.54) Itroducâd epree dervteor î egtăţe (.5) după ccue gerce retv pe rezută teu:

13 Tr CICONE Metode uerce î ger ecoocă Cp. 5-6 (.55) u pr core ecuţor : c λ ρ (.56) ude c λ ρ ρ λ ρ (.57) Ecuţe (.56) î uăr de (-) corepuzătore dceu (-) ut ufcete tfe că treue tşte îcă două codţ corepuzătore oduror de cpetee tervuu. Uzu e pu ptee î puctee de cpăt: repectv -. Se juge tfe teu de ecuţ trdgo: c c c c. ρ λ ρ λ ρ λ (.58) Deorece < λ ρ rezută că trce teuu ete dgo dotă pe ş dec veră. Pr urre teu (.58) re ouţe ucă. Î czu î cre ptee cure cpete ut copet ecuocute ete recodă puere codţor de dervtă ecudă uă: (.59) cee ce coduce ecuţe: (.6) Se deotreză că cete codţ ute codţ ture coduc ce etedă cură de terpore.