Η συνολική δυναµική ενέργεια της ταινίας προκύπτει από το άθροισµα των δυναµικών ενεργειών όλων των παραµορφωµένων χωρίων της [ p σ ]:
|
|
- Δορκάς Δράκος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΕΛΑΣΤΙΚΗΣ ΤΑΙΝΙΑΣ - ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΗΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΕΚΦΡΑΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ ΤΗΣ ΤΑΙΝΙΑΣ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΡΧΕΙΟΥ MODEUS Κ. Παπαµιχάλης ρ. Φυσικής, Υπεύθυνος του ΕΚΦΕ Α Αν. Αττικής τηλ: , kostaspapamichalis@gmail.com ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή µελετάµε τις µορφές που λαµβάνει µια ελαστική ταινία που ισορροπεί κάτω από τη δράση εξωτερικών δυνάµεων και δεδοµένων συνοριακών συνθηκών. Υπολογίζουµε θεωρητικά την αναλυτική έκφραση της καµπύλης που προσδιορίζει το σχήµα της ταινίας σε ορισµένες καταστάσεις ισορροπίας της, κάνοντας τις κατάλληλες προσεγγίσεις (Thomaszeewski B., Wacker M. (6)). Στη συνέχεια υποβάλλουµε µια πραγµατική ελαστική ταινία σε συνθήκες ανάλογες µε εκείνες που θεωρήσαµε στο θεωρητικό µοντέλο. Αποτυπώνουµε το σχήµα που αποκτά στην κατάσταση ισορροπίας της και το µεταφέρουµε σε αρχείο του εκπαιδευτικού λογισµικού MODEUS. Στο ίδιο αρχείο έχουµε εισάγει την αναλυτική έκφραση της «καµπύλης ισορροπίας» της ταινίας, σύµφωνα µε τις προβλέψεις του θεωρητικού µοντέλου και την απεικονίζουµε σε γράφηµα, ως προς το ίδιο σύστηµα αξόνων και µε την ίδια κλίµακα, µε το σχήµα -αποτύπωµα- της πραγµατικής ταινίας. Ελέγχουµε κατά πόσον οι δύο γραφικές απεικονίσεις της ταινίας η θεωρητική και η πειραµατική- ταυτίζονται ή όχι (Παπαµιχάλης Κ. Καµπούρης Κ. (8)). Ο εκπαιδευτικός στόχος της εργασίας είναι να αναδείξει το κεντρικό χαρακτηριστικό της επιστηµονικής µεθόδου: Την αξιολόγηση των θεωρητικών µοντέλων που συνθέτουµε για να κατανοήσουµε το φυσικό κόσµο, µέσω της σύγκρισης θεωρητικών προβλέψεων και πειραµατικών δεδοµένων (Ν. Αυγελής (1998)_ Holton G. ()_ Thornton R. K. (1995)). 1. ΤΟ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ Θεωρώ µια ευθύγραµµη ελαστική ταινία πλάτους α και µήκους. Το πάχος β της ταινίας είναι µικρό σε σχέση µε το πλάτος της α και το µήκος της. Όταν πάνω στην ταινία δεν ασκείται καµιά εξωτερική δύναµη, τότε το σχήµα της είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο (σχήµα 1). Υποθέτω ότι η ταινία είναι ελαστική: Αν εξωτερικές δυνάµεις ασκηθούν στην ταινία, το σχήµα της αλλάζει -η ταινία παραµορφώνεται. Το νέο σχήµα προσδιορίζεται από τις δυνάµεις που ασκούνται πάνω της. Ωστόσο, µετά την άρση των εξωτερικών δυνάµεων η ταινία λαµβάνει το αρχικό σχήµα της. Θα µελετήσουµε παραµορφώσεις όπου οι ακµές ΑΒ, Α Β και Γ, Γ µετασχηµατίζονται σε επίπεδες καµπύλες (διατηρούνται σε σταθερά επίπεδα, χωρίς βέβαια να λαµβάνονται υπόψη οι στερεές κινήσεις της ταινίας). Υποθέτουµε ότι κατά την παραµόρφωση, το πάχος β και το πλάτος α της ταινίας διατηρούνται αναλλοίωτα. Επίσης, το επίπεδο συµµετρίας ΟΜΝΡ της ταινίας, παραµορφώνεται έτσι ώστε η ευθεία ΟΜ να µετασχηµατίζεται σε µια επίπεδη καµπύλη (σ) (σχήµα 1) (Thomaszeewski B., Wacker M. (6)): OM σ : y = y(x) Σε κάθε παραµόρφωση, το µήκος της καµπύλης σ διατηρείται αναλλοίωτο και ίσο µε το αρχικό µήκος της ταινίας. Η αναλυτική έκφραση της καµπύλης σ προσδιορίζει την παραµόρφωση της ταινίας. Πώς όµως θα βρούµε την αναλυτική έκφραση της καµπύλης σ, όταν η ταινία βρίσκεται σε µια κατάσταση στατικής ισορροπίας; Θεωρούµε ότι αν στην ταινία δεν ενεργούν εξωτερικές δυνάµεις, η δυναµική ενέργεια της ταινίας είναι ίση µε το µηδέν. Όταν η ταινία παραµορφωθεί Σχήµα 1 κάτω από τη δράση εξωτερικών δυνάµεων και βρεθεί σε µια νέα κατάσταση στατικής ισορροπίας, τότε το σχήµα που αποκτά (η καµπύλη σ), πρέπει να ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο απαιτήσεις: (Α) Η καµπύλη σ είναι συµβατή µε τους εξωτερικούς περιορισµούς (συνθήκες) που έχουµε επιβάλει στην ταινία. (Β) Από το σύνολο των καµπύλων κ που ικανοποιούν τη συνθήκη (Α), η καµπύλη σ είναι εκείνη που ελαχιστοποιεί την τιµή της ελαστικής δυναµικής ενέργειας V[κ] της ταινίας (anczos C. (197)): V[κ] V[σ] για κάθε κ που ικανοποιεί τη συνθήκη (Α). 1
2 Ώστε για να εκφράσουµε θεωρητικά την παραµόρφωση της ταινίας, πρέπει να υπολογίσουµε τη δυναµική ενέργειά της, ως συναρτησοειδές κάθε καµπύλης που ικανοποιεί τους εξωτερικούς περιορισµούς που έχουµε επιβάλει στην ταινία και να βρούµε την καµπύλη σ που αντιστοιχεί στην ελάχιστη τιµή της δυναµικής ενέργειας. [Υποθέτουµε ότι η δυναµική ενέργεια λόγω του βάρους της ταινίας είναι αµελητέα σε σχέση µε την ελαστική ενέργειά της.] 1Α. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΗΣ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΤΗΣ ΤΑΙΝΙΑΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΟΥ HOOK Για να υπολογίσουµε τη δυναµική ενέργεια ολόκληρης της ταινίας, θα εκφράσουµε τη δυναµική ενέργεια ( V) ενός στοιχειώδους παραµορφωµένου τµήµατός της σε συνάρτηση µε τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά του και στη συνέχεια θα αθροίσουµε όλα τα V κατά µήκος της ταινίας. Έστω ότι η ταινία βρίσκεται στην αρχική κατάσταση ισορροπίας της. Θεωρούµε ένα τµήµα της [ p], σχήµατος ορθογώνιου παραλληλεπίπεδου, απειροστού µήκους s, ύψους β και πλάτους α (σχήµα α). Η δυναµική ενέργεια του [ p] είναι, εξ ορισµού, ίση µε το µηδέν. Έστω ότι η ταινία υφίσταται παραµόρφωση -συµβατή µε τις προδιαγραφές που θέσαµε στην προηγούµενη παράγραφο- και ισορροπεί σε µια νέα κατάσταση. Το [ p] υφίσταται και αυτό παραµόρφωση και αποκτά το σχήµα του χωρίου [ p σ ] που εικονίζεται στο σχήµα β. Το παραλληλόγραµµο [ΖΗΘΙ], που βρίσκεται πάνω στο επίπεδο συµµετρίας του [ p], έχει κυρτωθεί: Σύµφωνα µε το µοντέλο µας, τα ευθύγραµµα τµήµατα ΗΘ και ΙΖ, διατηρούν το σχήµα και το µήκος τους α αναλλοίωτα. Τα ΖΗ και ΘΙ µετασχηµατίζονται σε τόξα, αλλά διατηρούν το αρχικό τους µήκος s αναλλοίωτο. Το µήκος s είναι το µήκος στοιχειώδους τόξου της ζητούµενης καµπύλης σ, η οποία προσδιορίζει το σχήµα της παραµορφωµένης ταινίας, στη νέα κατάσταση ισορροπίας της. Σχήµα : Παραµόρφωση ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου στοιχειώδους µήκους s, της ελαστικής ταινίας Θεωρούµε δύο παραλληλόγραµµα του [ p], παράλληλα και συµµετρικά ως προς το [ΖΗΘΙ], που απέχουν από αυτό απόσταση z. Τα αντίστοιχα τµήµατα Ζ Η, Θ Ι και Ζ Η, Θ Ι έχουν µετασχηµατιστεί σε τόξα, και τα νέα µήκη τους ( s, s ) έχουν διαφοροποιηθεί ως προς την αρχική τιµή τους s. Σύµφωνα µε το σχήµα β, ισχύουν οι σχέσεις: s = R φ s = (R + z) φ (1) s = (R z) φ όπου R η ακτίνα καµπυλότητας της καµπύλης σ, στην περιοχή του χωρίου της ταινίας, που έχουµε επιλέξει. Η επιµήκυνση ή η συµπίεση των απειροστών στρωµάτων της ταινίας εξασφαλίζεται µε τη δράση δυνάµεων από γειτονικά της στρώµατα (σχήµα β). Οι δυνάµεις αυτές είναι ελαστικές, δηλαδή ικανοποιούν το νόµο του Hook (Fetter A., Walecka J. (3)_Craggs J.W. (1973)). Έτσι, η δύναµη df +z, που ασκείται στο παραµορφωµένο παραλληλεπίπεδο, που ορίζεται από την επιφάνεια [Ζ Η Θ Ι ] και έχει ύψος (πάχος) dz,
3 είναι ανάλογη της επιµήκυνσης ( s - s) που έχει υποστεί το µήκος του από την αρχική του κατάσταση. Στην περίπτωσή µας, ο νόµος του Hook λαµβάνει τη µορφή : s s Y = T(z) s () ( ) ηλαδή: Η επιµήκυνση του µήκους s ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου που έχει βάση το ορθογώνιο Ζ Η Θ Ι και ύψος dz: (Α) Είναι ανάλογη της τάσης Τ(z) που ασκείται κάθετα στην επιφάνεια του παραλληλεπιπέδου, την κάθετη στο Ζ Η. Η επιφάνεια αυτή είναι ορθογώνιο διαστάσεων dz, α, (Β) Είναι ανάλογη του αρχικού µήκους s, του Ζ Η, (Γ) Η σταθερά Y εξαρτάται από το υλικό της ταινίας. Η τάση Τ(z) είναι ίση µε τη δύναµη ανά µονάδα επιφάνειας, επί της οποίας ασκείται: df T(z) = z (3) α dz Από το συνδυασµό των σχέσεων 1-3 και το σχήµα β, προκύπτουν οι εξισώσεις: Y α df+ z = z dz R (4) Y α df z = z dz R Οι δυνάµεις df +z και df -z αποτελούν ζεύγος. Όλα αυτά τα στοιχειώδη ζεύγη, για z από έως β/ έχουν προκαλέσει την καµπύλωση του τµήµατος [ p] της ταινίας κατά γωνία φ. Το έργο όλων αυτών των ζευγών έχει αποθηκευτεί ως ελαστική δυναµική ενέργεια V στο παραµορφωµένο χωρίο [ p σ ] της ταινίας. Κατά την καµπύλωση του παραλληλεπιπέδου [ p], η γωνία καµπυλότητας φ µεταβάλλεται σταδιακά από την τιµή έως τη φ. Η αντίστοιχη ακτίνα καµπυλότητας R είναι συνάρτηση της φ, αλλά το µήκος s = R φ διατηρείται αµετάβλητο. Σύµφωνα µε την επισήµανση αυτή, το έργο του ζεύγους των δυνάµεων df +z και df -z υπολογίζεται από τις ακόλουθες διαδοχικές ισότητες: φ ( ) ( ) dw = df R + z dφ+ df R z dφ = z + z z φ dφ = Yαz dz = = Yαz dz φ R Yαz dz = φ dφ = s ( φ) φ s Το έργο όλων των ζευγών df +z και df -z για <z<β/, υπολογίζεται µε ολοκλήρωση του dw z από έως β/. Οπότε η ελαστική δυναµική ενέργεια V που έχει παγιδευτεί στο παραµορφωµένο χωρίο [ p σ ], είναι: ( ) φ Y z =β / Yαβ 3 αβ 3 φ z 4 s 4 s (5) z= V = dw = = s Η συνολική δυναµική ενέργεια της ταινίας προκύπτει από το άθροισµα των δυναµικών ενεργειών όλων των παραµορφωµένων χωρίων της [ p σ ]: s= 3 s= Yαβ φ V[ σ ] = V = s s= 4 s= s Η τελευταία σχέση, για και για s, γράφεται: s= ( ) (6) s= V[ σ ] = µ κ(s) ds 3 1 dφ Yαβ όπου κ (s) = = είναι η καµπυλότητα της καµπύλης σ (Kuhnel W. (6)) και µ. R(s) ds 4 Καταλήξαµε στο γνωστό από τη βιβλιογραφία συµπέρασµα ότι η ελαστική δυναµική ενέργεια της ταινίας εκφράζεται ως το ολοκλήρωµα του τετραγώνου της καµπυλότητας της καµπύλης σ, που προσδιορίζει την παραµόρφωση του επιπέδου συµµετρίας της ταινίας (Thomaszeewski B., Wacker M. (6)_ Hoffman K. (9)_ Sagan H. (199)). 3
4 1Β. ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΠΟΥ ΙΚΑΝΟΠΟΙΕΙ Η ΚΑΜΠΥΛΗ σ Σύµφωνα µε το πρόγραµµά µας, η καµπύλη σ: y=y(x), που προσδιορίζει αναλυτικά το σχήµα της ελαστικής ταινίας, που ισορροπεί κάτω από τους εξωτερικούς περιορισµούς που έχουµε επιβάλει σε αυτή, είναι εκείνη που ικανοποιεί τις εξωτερικές συνθήκες και ταυτόχρονα ελαχιστοποιεί το συναρτησοειδές της δυναµικής ενέργειας της ταινίας (σχέση 6). Το πρόβληµά µας ανάγεται σε ένα πρόβληµα µεταβολών συναρτησοειδούς υπό συνθήκες. Για την επίλυσή του χρησιµοποιούµε µια τροποποιηµένη τεχνική πολλαπλασιαστών agrange (Sagan H. (199), paragraph 6.6). Σύµφωνα µε την τεχνική αυτή, οι περιορισµοί που ικανοποιεί κάθε υποψήφια καµπύλη, προσδιορίζονται από τις θέσεις των άκρων της καµπύλης σ και την προβολή της στους άξονες Ox και Oy. Με τη βοήθεια του σχήµατος 3, εκφράζουµε αναλυτικά τις συνθήκες κάτω από τις οποίες θα απαιτήσουµε την ελαχιστοποίηση του συναρτησοειδούς της δυναµικής ενέργειας της ταινίας: cosθ ds = a sinθ ds = y (7) όπου ds το στοιχείο µήκους της καµπύλης σ και θ η γωνία που σχηµατίζει το εφαπτόµενο διάνυσµα της σ µε τον άξονα Ox (σχήµα 3). Η ζητούµενη καµπύλη προκύπτει ως λύση της εξίσωσης µεταβολών: δ V[ σ] λ cosθ ds λ sinθ ds = (8) 1 όπου το συναρτησοειδές V[σ] δίνεται από τη σχέση 6 και οι σταθερές λ 1, λ είναι πολλαπλασιαστές agrange, που θα υπολογιστούν από τις συνοριακές συνθήκες του προβλήµατος. Η καµπυλότητα εκφράζεται µέσω της γωνίας θ, από την εξίσωση (σχήµα 4): dφ dθ κ (s) = = (9) ds ds Οπότε, η εξίσωση µεταβολών 8, ανάγεται στην: dθ δ µ +λ1 cosθ+λ sinθ ds = ds (1) όπου η ζητούµενη καµπύλη σ εκφράζεται σε συντεταγµένες θ, s, µε τη µορφή θ=θ(s). Η εξίσωση Euler-agrange, που προκύπτει από τη 1 έχει τη µορφή (ogan J. D. ()_ anczos C. (197)): d θ = µ θ+µ θ (11) sin cos 1 ds όπου οι σταθερές µ 1 =-λ 1 /µ, µ =λ /µ, θα υπολογιστούν από τις συνοριακές συνθήκες. Με βάση την 9 και τις σχέσεις: dy = sinθ ds, dx = cosθ ds, από την 11 συνάγεται η εξίσωση: κ[ σ ] = µ y µ x + C (1) 1 Αν η αναλυτική έκφραση της καµπύλης σ, δίνεται σε Καρτεσιανές συντεταγµένες, µε τη µορφή y=y(x), τότε η καµπυλότητα κ ικανοποιεί Σχήµα 3: Η προβολή της καµπύλης σ στον άξονα Oy προσδιορίζεται από τα σηµεία (,) και (,y ), ενώ στον άξονα Ox από τα (,) και (,a). Σχήµα 4 4
5 τις σχέσεις (Kuhnel W. (6)): y d y [ ] dy κ σ = =, όπου: y ( ) 3 / dx 1+ y ( 1+ y ) 1 / dx Αντικαθιστώντας στη 1, έχουµε τη διαφορική εξίσωση, της οποίας λύση είναι η «καµπύλη ισορροπίας» σ: y = µ 3 / 1 y µ x+ C (13) 1+ y ( ) όπου C σταθερά. 1Γ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ Η εξίσωση 1 ή η ισοδύναµή της 13, είναι µη γραµµική εξίσωση, που λύνεται δύσκολα. Οι σταθερές µ 1, µ και C, καθορίζονται από τις συνοριακές συνθήκες που επιβάλλουµε στην ταινία και ουσιαστικά προσδιορίζουν το σχήµα της, στο πλαίσιο των εξισώσεων 1, 13. Για παράδειγµα, στην αρχική κατάσταση ισορροπίας της ταινίας, όπου η ελαστική δυναµική ενέργειά της είναι µηδέν, η καµπύλη σ είναι µια ευθεία. Αν το ένα άκρο της ταινίας είναι το σηµείο (,) και το άλλο το σηµείο (,), τότε η ευθεία y= πρέπει να προκύπτει ως λύση της Πραγµατικά, αν η σ είναι ευθεία, τότε κ= και από τη 1 προκύπτει ότι η εξίσωση της σ είναι η: µ 1 y µ x+ C = Από τις συνοριακές συνθήκες x=, y= και x=, y=, προκύπτει ότι C=, µ =, οπότε η λύση της 1 είναι η ευθεία y=, όπως περιµέναµε,. Ας επιχειρήσουµε να βρούµε µια προσεγγιστική -µη τετριµµένη- λύση της 13, την οποία, καθώς και τα όρια της προσέγγισης, θα ελέγξουµε πειραµατικά. Αναζητούµε λύση, η οποία αντιστοιχεί στην κατάσταση ισορροπίας της ταινίας που εικονίζεται στο σχήµα 5. Μια τέτοια λύση, εµφανίζει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά: α) Το x λαµβάνει τιµές στο διάστηµα [,a], όπου <(-a)/<<1. Το µήκος της καµπύλης σ είναι σταθερό, και ίσο µε : a ds = (14) β) Το τετράγωνο της κλίσης της καµπύλης σ είναι πολύ µικρότερο της µονάδας: dy y = << 1 dx γ) Οι συνοριακές συνθήκες της σ εκφράζονται µε τις σχέσεις: y()=, y ()=θ, y(a)=, y (a)= -θ. δ) Η σ έχει άξονα συµµετρίας τον y=a/. ηλαδή υποθέτω ότι ισχύει: y(x)=y(a-x) για κάθε x [,a]. Για x=ε>, ε και αναπτύσσοντας τη συνάρτηση y(x) σε σειρά Taylor, στα σηµεία x= και x=a προκύπτει: ε ε y() +ε y() + y () = y(a) ε y (a) + y (a) και σύµφωνα µε τις συνοριακές συνθήκες της υπόθεσης (γ), έχουµε τη συνθήκη: y (a) = y () (15) Από την εφαρµογή της συνθήκης 15 στην εξίσωση 13, λαµβάνουµε µ =. Προσεγγίζουµε το αριστερό µέρος της 13 κάνοντας χρήση της υπόθεσης β, καταλήγουµε στη µη οµοιογενή γραµµική διαφορική εξίσωση: y +µ y = C (16) 1 Σχήµα 5 5
6 όπου τα µ 1 και C, καθώς και οι δύο σταθερές που απαιτούνται για τον καθορισµό µονοσήµαντης λύσης της 16 θα υπολογιστούν από τις τρεις εναποµείνασες ανεξάρτητες συνοριακές συνθήκες της υπόθεσης (γ) και τη σχέση 14. Η λύση της 16, που είναι συµβατή µε τις απαιτήσεις του µοντέλου, επιτυγχάνεται για µ 1 k >. Ακολουθώντας τυπικές διαδικασίες επίλυσης εξισώσεων του είδους της 16 και για την περίπτωση θ = (όπου η ταινία εφάπτεται στον άξονα Ox τόσο στο x=, όσο και για x=a), λαµβάνουµε την ακόλουθη αναλυτική έκφραση της καµπύλης σ: 1 π a y( x) = a ( a) cos x + 1 π a (17) Ώστε σύµφωνα µε το θεωρητικό µοντέλο µας, και εφόσον ισχύουν οι υποθέσεις (α-δ), το σχήµα της ελαστικής ταινίας στην κατάσταση ισορροπίας της, προσδιορίζεται από την καµπύλη σ, της οποίας η αναλυτική έκφραση περιγράφεται από τη σχέση 17.. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΤΗΣ ΕΛΑΣΤΙΚΗΣ ΤΑΙΝΙΑΣ ΠΟΥ ΙΣΟΡΡΟΠΕΙ, ΣΤΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΤΟΥ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ MODEUS - ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η σχέση 17 περιγράφει αναλυτικά τη µορφή που λαµβάνει µια ελαστική ταινία µήκους, όταν ισορροπεί, κάτω από τις συγκεκριµένες προσεγγίσεις και συνοριακές συνθήκες, που αναφέρθηκαν στην παράγραφο 1. Στην παράγραφο ελέγχουµε κατά πόσον το µοντέλο µας µπορεί να περιγράψει µε αξιοπιστία καταστάσεις ισορροπίας µιας πραγµατικής ελαστικής ταινίας. Στην ταινία επιβάλλουµε εξωτερικές συνθήκες τέτοιες, ώστε να εξασφαλίζεται η ικανοποίηση τόσο του πλαισίου της προσέγγισης, όσο και των συνοριακών συνθηκών, κάτω από τις οποίες προέκυψαν οι καταστάσεις ισορροπίας που προβλέπονται από το θεωρητικό µοντέλο µας. Επιπλέον ελέγχουµε τα όρια της προσέγγισης, που εκφράζεται µε τη σχέση 17, µεταβάλλοντας την τιµή του a στο διάστηµα (,]. Η διαδικασία αυτή επιτυγχάνεται σε αρχεία του εκπαιδευτικού λογισµικού Modellus, µε απευθείας σύγκριση της θεωρητικής καµπύλης που εκφράζεται µε τη σχέση 17, µε το αποτύπωµα της µορφής της πραγµατικής ταινίας. Τα δύο γραφήµατα παρατίθενται σε κοινό σύστηµα αξόνων, µε την ίδια κλίµακα και µε κοινές τις τιµές των παραµέτρων a και, καθώς και τις συνοριακές συνθήκες (Παπαµιχάλης Κ., Παληός Γ., Χρονόπουλος Χ. ()_ Παπαµιχάλης Κ., Παπαευσταθίου Ε., Βαλλιάνος. (9)_ Παπαµιχάλης Κ., Ψυχάρης Σ., Φραγκάκης Κ. (7)). Τα αποτελέσµατα φαίνονται στις εικόνες 6, 7, 8 και 9. Η ταύτιση της θεωρητικής καµπύλης µε τη µορφή της ταινίας στην κατάσταση της ισορροπίας της είναι πολύ ικανοποιητική για τιµές του a, τέτοιες ώστε (-a)/ 1%. Η απόκλιση θεωρητικού - πραγµατικού συστήµατος είναι εµφανής στο 4 ο γράφηµα, όπου =8,15cm και a=4cm, οπότε (-a)/=15%. Επιπρόσθετα, η παρούσα εργασία αποσκοπεί να αναδείξει στο µαθητή του Λυκείου που έχει έφεση προς τις φυσικοµαθηµατικές επιστήµες, την πεµπτουσία της επιστηµονικής µεθόδου: Τα φαινόµενα που παρατηρούµε στο φυσικό κόσµο, επιδιώκουµε να τα περιγράψουµε µε µαθηµατικά µοντέλα (Holton G. ()_ Bisdikian G & Psillos D. (5)_ Thornton R. K. (1995)). Τα µοντέλα αυτά δεν είναι πάντοτε απλά. Ακόµα και ένα τόσο κοινό φαινόµενο, όπως η ισορροπία µιας ελαστικής ταινίας, περιγράφεται από πολύπλοκες εξισώσεις. Για να κάνουµε ένα µοντέλο πιο κατανοητό, εφαρµόσιµο σε πραγµατικά συστήµατα και ελέγξιµο, πολλές φορές καταφεύγουµε σε προσεγγίσεις. Η σύγκριση µε αντίστοιχα πραγµατικά φυσικά συστήµατα, τα οποία φιλοδοξούµε να περιγράψουµε µε το µαθηµατικό µοντέλο µας, είναι ο κριτής, τόσο για τις βασικές αρχές πάνω στις οποίες έχει δοµηθεί όλο το λογικό-µαθηµατικό οικοδόµηµα, όσο και για την εµβέλεια των προσεγγίσεων που έχουµε επιβάλει. 6
7 Σχήµα 6 Σχήµα 7 Σχήµα 8 7
8 Σχήµα 9 ΑΝΑΦΟΡΕΣ 1. Ν. Αυγελής (1998), Φιλοσοφία της Επιστήµης, εκδ. Κώδικας, Θεσσαλονίκη Bisdikian G & Psillos D. (5) A computer-based approaches to relating graphs and Physics: The case of heat and temperature. Case studied in labwork, in Science Education, TSER Project, No P95-5, European Commission DG XII. 3. Παπαµιχάλης Κ. Καµπούρης Κ. (8) Μελέτη της ταλάντωσης σώµατος - ελατηρίου, όταν η µάζα του ελατηρίου είναι συγκρίσιµη µε τη µάζα του σώµατος. Πειραµατικός έλεγχος της θεωρίας µε χρήση MB και εκπαιδευτικών λογισµικών. 1 ο Πανελλήνιο Συνέδριο της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών, Καβάλα -3 Μαρτίου 8, Πρακτικά Συνεδρίου. 4. Παπαµιχάλης Κ., Παληός Γ., Χρονόπουλος Χ. () Μελέτη της ελεύθερης ταλάντωσης κυκλώµατος R--C, στο εργαστήριο νέας τεχνολογίας του Ε. Λυκείου. Μια διδακτική πρόταση, σύµφωνη µε τις αντιλήψεις της σύγχρονης επιστηµονικής κοινότητας. Cyprus Pedagogical Institute Cyprus University, nd International Conference on Science Education, November. Πρακτικά του Συνεδρίου σελ Παπαµιχάλης Κ., Παπαευσταθίου Ε., Βαλλιάνος. (9) Μέτρηση του ρυθµού µεταβολής του ph κατά την ηλεκτρόλυση διαλύµατος CuSO 4 µε άνοδο C και κάθοδο Cu, µε σύστηµα MB. Σύγκριση της πειραµατικής µε τη θεωρητική καµπύλη και µέτρηση των σταθερών του συστήµατος, σε περιβάλλον MODEUS. 5 ο Συνέδριο ΤΠΕ στην Εκπαίδευση, Σύρος 9, Πρακτικά Συνεδρίου. 6. Παπαµιχάλης Κ., Ψυχάρης Σ., Φραγκάκης Κ. (7) Μεταβατικά φαινόµενα κατά την εξαναγκασµένη ταλάντωση κυκλώµατος RC. Μελέτη του φαινοµένου µε χρήση MB MODEUS, 1ο Κοινό Συνέδριο των Ενώσεων Ελλήνων και Κυπρίων Φυσικών, 1-4 Μαρτίου 7, Κέρκυρα. Πρακτικά του Συνεδρίου. 7. Craggs J.W. (1973) Calculus of Variations G. Allen & Unwin TD, ondon Fetter A., Walecka J. (3) Theoretical Mechanics of Particles and Continua, Dover Hoffman K. (9) Stability and Existence Results for Elastic Rods Models with Self Contact, Department of Mathematics and Statistics University, Maryland Baltimore USA, March 9, Holton G. () Εισαγωγή στις έννοιες και τις θεωρίες της φυσικής επιστήµης, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 11. Kuhnel W. (6) Differential Geometry, American Mathematical Society, nd ed anczos C. (197) The Variational Principles of Mechanics, Dover, 4th edition, ogan J. D. () Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο. 14. Sagan H. (199) Introduction to the Calculus of Variations, Dover, New York Thomaszeewski B., Wacker M. (6), Bending Models for Thin Flexible Objects, Short Communications proceedings, Vol.9, No.1, ISBN Thornton R. K. (1995) Using large scale classroom research to study students conceptual learning in Mechanics and to develop new approaches to learning. In NATO Advanced Research Workshop on Microcomputer-based aboratory. 8
9 13 ο Πανελλήνιο Συνέδριο της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών Πάτρα, 17 1 Μαρτίου 1 ΦΥΣΙΚΗ και ΑΝΘΡΩΠΟΣ " Ερευνητικά α οτελέσµατα και τεχνολογίες για τη βελτίωση της οιότητας ζωής" ISBN Αρ. εργασίας : 68 Αρ. σελίδων : 9 9
Μεταβατικά φαινόµενα κατά την εξαναγκασµένη ταλάντωση κυκλώµατος RLC. Μελέτη του φαινοµένου µε χρήση MBL MODELLUS.
Μεταβατικά φαινόµενα κατά την εξαναγκασµένη ταλάντωση κυκλώµατος RLC. Μελέτη του φαινοµένου µε χρήση MBL MODELLUS. Κ. Παπαµιχάλης, Σ. Ψυχάρης, Κ. Φραγκάκης. 1 ο Κοινό Συνέδριο των Ενώσεων Ελλήνων και Κυπρίων
11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου.
11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου. ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΟΥ ΝΟΜΟΥ ΤΗΣ Η/Μ ΕΠΑΓΩΓΗΣ, ΤΟΥ FARADAY ΜΕ ΣΥΣΤΗΜΑ MB. ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΗΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ
S dt T V. Επιμέλεια - Υπολογισμοί: Κ. Παπαμιχάλης Δρ. Φυσικής
Μελέτη της κίνησης μηχανικού ταλαντωτή που προκαλεί διάδοση ελαστικού κύματος σε μονοδιάστατο ελαστικό μέσο Επιμέλεια - Υπολογισμοί: Κ. Παπαμιχάλης Δρ. Φυσικής Κεντρική ιδέα Στην εργασία αυτή, γίνεται
5ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 1
5ο ΣΥΝΕ ΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ- ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗ 1 Μέτρηση του ρυθµού µεταβολής του ph κατά την ηλεκτρόλυση διαλύµατος CuSO 4 µε άνοδο C και κάθοδο Cu, µε σύστηµα MBL. Σύγκριση της πειραµατικής µε τη θεωρητική
Εργασία 2. Παράδοση 20/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες
Εργασία Παράδοση 0/1/08 Οι ασκήσεις είναι βαθμολογικά ισοδύναμες 1. Υπολογίστε τα παρακάτω όρια: Α. Β. Γ. όπου x> 0, y > 0 Δ. όπου Κάνετε απευθείας τις πράξεις χωρίς να χρησιμοποιήσετε παραγώγους. Επιβεβαιώστε
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά
( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η
Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν
14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων
14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.
Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης
Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Εισαγωγή Παραμορφώσεις Ισοστατικών Δοκών και Πλαισίων: Δ22-2 Οι κατασκευές, όταν υπόκεινται σε εξωτερική φόρτιση, αναπτύσσουν
(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα
Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες
Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017
Πανεπιστηµιο Πατρων Πολυτεχνικη Σχολη Τµηµα Μηχανικων Η/Υ & Πληροφορικης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 217 Θ1. Θεωρούµε την συνάρτηση f(x, y, z) = 1 + x 2 + 2y 2 z. (αʹ) Να ϐρεθεί
ΦΥΣ Διαλ Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations)
ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 1 Σήμερα...? q Λογισμό μεταβολών (calculus of variations) Λογισμός μεταβολών - εισαγωγικά ΦΥΣ 11 - Διαλ.09 q Εύρεση του ελάχιστου ή μέγιστου μιας ποσότητας που εκφράζεται με τη μορφή ενός
ds ds ds = τ b k t (3)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Πρώτο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Γνωρίζουμε ότι το εφαπτόμενο διάνυσμα ( t), ορίζεται ως: t = r = d r ds (1) και επιπλέον το διάνυσμα της καμπυλότητας ( k), ορίζεται ως: d t k
5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας
5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.
11ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-31/03, 1-2/04/2006. Πρακτικά Συνεδρίου
ο Πανελλήνιο Συνέδριο της ΕΕΦ, Λάρισα 30-3/03, -/04/006. Πρακτικά Συνεδρίου Έµµεσες µετρήσεις φυσικών µεγεθών. Παράδειγµα: Ο πειραµατικός υπολογισµός του g µέσω της µέτρησης του χρόνου των αιωρήσεων απλού
Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής
Μηχανική στερεού σώµατος, Ροπή ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Α. Ροπή δύναµης ως προς άξονα περιστροφής Έστω ένα στερεό που δέχεται στο άκρο F Α δύναµη F όπως στο σχήµα. Στο Ο διέρχεται άξονας περιστροφής κάθετος στο στερεό
8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ. Φυσική ΙΙ Δ. Κουζούδης. Πρόβλημα 8.6.
1 8. ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΟΣ Πρόβλημα 8.6. Το σύρμα του παρακάτω σχήματος έχει άπειρο μήκος και διαρρέεται από ρεύμα I. Υπολογίστε με τη βοήθεια του νόμου του Biot-Savart με ολοκλήρωση το μέτρο και την κατεύθυνση
( ) Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης. x + y + z = κ ορίζει την επιφάνεια µιας σφαίρας κέντρου ( ) κ > τότε η
Έστω Κλίση και επιφάνειες στάθµης µιας συνάρτησης ανοικτό και σταθερά ( µε κ f ( ) ορίζει µια επιφάνεια S στον f : ) τότε η εξίσωση, ονοµάζεται συνήθως επιφάνεια στάθµης της f. εξίσωση, C συνάρτηση. Αν
αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x
A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Θεµελιώδες Θεώρηµα Θεωρίας Επιφανειών Αφορά στην ανάπτυξη τριών διαφορετικών εξισώσεων (Gauss-Cdazzi)
A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ
A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ÅÐÉËÏÃÇ
ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Σάββατο 8 Απριλίου 2017 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Α1. Θεωρία. Σχολικό βιβλίο σελίδα 83 Α2. α) Σωστό β) Λάθος γ) Σωστό
α) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.
Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς
Το ελαστικο κωνικο εκκρεμε ς 1. Εξισώσεις Euler -Lagrange x 0 φ θ z F l 0 y r m B Το ελαστικό κωνικό εκκρεμές αποτελείται από ένα ελατήριο με σταθερά επαναφοράς k, το οποίο αναρτάται από ένα σταθερό σημείο,
5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών
Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ
ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ [Κ. ΠΑΠΑΜΙΧΑΛΗΣ ρ ΦΥΣΙΚΗΣ] Τίτλος του Σεναρίου ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΚΑΤΟΠΤΡΙΚΗΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑΣ Μελέτη των µετασχηµατισµών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 2004
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Φεβρουάριος 4 Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου Απαντήστε µε σαφήνεια και συντοµία. Η ορθή πλήρης απάντηση θέµατος εκτιµάται περισσότερο από τη
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 24 ιάρκεια εξέτασης: 2 ώρες Θεωρία. 2 (4 µονάδες)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ I ιαγώνισµα 4 ιάρκεια εξέτασης: ώρες Θεωρία (4 µονάδες) (α) Μια συνάρτηση f() έχει την παράγωγο του f () γραφήµατος παραπλεύρως. Να βρεθεί η µέγιστη τιµή της για, υποθέτοντας
7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας
7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων
Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς
Παράρτημα Ι 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς Ας θεωρήσουμε μια κυκλική στεφάνη ακτίνας a η οποία κυλίεται, χωρίς να ολισθαίνει, πάνω σε μια ευθεία (για ευκολία υποθέστε ότι η ευθεία είναι ο
Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Περίθλαση από µία σχισµή.
ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων
Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 1999
Θέµατα Μαθηµατικών Θετικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου 999 Ζήτηµα ο Α. Έστω a, ) και β, ) δύο διανύσµατα του καρτεσιανού επιπέδου Ο. α) Να εκφράσετε χωρίς απόδειξη) το εσωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων a και
Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange. Ν. Παναγιωτίδης
Η Εξίσωση Euler-Lagrange Σφαίρα σε ράγες: Η συνάρτηση Lagrange Ν. Παναγιωτίδης Έστω σύστημα δυο συγκλινόντων ραγών σε σχήμα Χ που πάνω τους κυλίεται σφαίρα ακτίνας. Θεωρούμε σύστημα συντεταγμένων με οριζόντιους
 = 1 A A = A A. A A + A2 y. A = (A x, A y ) = A x î + A y ĵ. z A. 2 A + A2 z
Οκτώβριος 2017 Ν. Τράκας ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Διάνυσμα: κατεύθυνση (διεύθυνση και ϕορά) και μέτρο. Συμβολισμός: A ή A. Αναπαράσταση μέσω των συνιστωσών του: A = (A x, A y ) σε 2-διαστάσεις και
ΑΣΚΗΣΗ 3 : Βολή. όνοµα άσκηση 3 1
ΑΣΚΗΣΗ 3 : Βολή Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι να συνθέσετε µια εργασία που περιλαµβάνει : α. µορφοποιηµένο κείµενο µε σχέσεις-εξισώσεις γ. πίνακα δεδοµένων και γραφική παράσταση δ. προσαρµογή των πειραµατικών
Η έννοια του συναρτησιακού (functional).
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΟΛΩΝ (CALCULUS OF VARIATIONS) Η έννοια του συναρτησιακού (fnctionl). Ορισµός : Εάν σε κάθε συνάρτηση που ανήκει σε κάποιο χώρο συναρτήσεων A, αντιστοιχεί µέσω κάποιου
, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.
Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι
Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ)
3. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Ονοµάζουµε παραβολή µε εστία σηµείο Ε και διευθετούσα ευθεία (δ) το γεωµετρικό τόπο των σηµείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από το Ε και τη (δ). Εξίσωση παραβολής p, όπου
ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.
ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός
ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες
Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων
Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/ E-mail: gloudos@teiath.gr ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Κέντρο βάρους μάζας
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7. Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ροπή και Στροφορµή Μέρος πρώτο Μέχρι εδώ εξετάσαµε την κίνηση ενός υλικού σηµείου υπό την επίδραση µιας δύναµης. Τα πράγµατα αλλάζουν δραµατικά αν αντί υλικού σηµείου έχοµε ένα στερεό σώµα.
Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων
Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης
Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ
Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το
Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου Ερώτηµα 2
Απαντήσεις Διαγωνισµού Μηχανικής ΙΙ Ιουνίου 2000 Ερώτηµα 1 Βα), και, Οι εξισώσεις κίνησης είναι, Έχουµε δύο ασύζευκτους αρµονικούς ταλαντωτές συχνότητας Η Χαµιλτονιανή αυτή θα µπορούσε να περιγράφει µικρές
Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος. Μεταβολή του σχήµατος του στοιχείου (διατµητική παραµόρφωση)
Παραµόρφωση σε Σηµείο Σώµατος Η ολική παραµόρφωση στερεού σώµατος στη γειτονιά ενός σηµείου, Ο, δηλαδή η συνολική παραµόρφωση ενός µικρού τµήµατος (στοιχείου) του σώµατος γύρω από το σηµείο µπορεί να αναλυθεί
Πειραματική μελέτη λεπτών σφαιρικών φακών
Πειραματική μελέτη λεπτών σφαιρικών φακών Τάξη - Τµήµα: Ονόµατα µαθητών οµάδας: ) 2).. 3) 4) Πειραματική μελέτη λεπτών σφαιρικών φακών Στόχοι της εργαστηριακής άσκησης ) Μέτρηση των γεωµετρικών χαρακτηριστικών
1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.
1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα
Φυσική Γ Λυκείου. Ορμή. Ορμή συστήματος σωμάτων Τ Υ Π Ο Λ Ο Γ Ι Ο Κ Ρ Ο Υ Σ Ε Ω Ν. Θετικού προσανατολισμού
Τ Υ Π Ο Λ Ο Γ Ι Ο Κ Ρ Ο Υ Σ Ε Ω Ν Φυσική Γ Λυκείου Θετικού προσανατολισμού Ορμή Ορμή Ρ ενός σώματος ονομάζουμε το διανυσματικό μέγεθος που έχει μέτρο το γινόμενο της μάζας m του σώματος επί την ταχύτητά
Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 16/5/2000 Μηχανική ΙI Ροή στο χώρο των φάσεων, θεώρηµα Liouville Στη Χαµιλτονιανή θεώρηση η κατάσταση του συστήµατος προσδιορίζεται κάθε στιγµή από ένα και µόνο σηµείο
2 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5.
Ευθεία Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 5. Εξίσωση γραμμής Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας Συνθήκες καθετότητας και παραλληλίας ευθειών Εξίσωση ευθείας ειδικές περιπτώσεις Σχόλιο Το σημείο είναι ο θεμελιώδης λίθος της
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ. (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης ) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ - ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ (εκπαιδευτικό υλικό Τεχνολογικής κατεύθυνσης 999-000) ΜΕΡΟΣ Α : ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό -
Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής
3.1 Ο ΚΥΚΛΟΣ. 1. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) 2. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου. 3. Εφαπτοµένη κύκλου
3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Εξίσωση κύκλου (Ο, ρ) + y ρ. Παραµετρικές εξισώσεις κύκλου ρσυνφ και y ρηµφ 3. Εφαπτοµένη κύκλου + yy ρ 4. Εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο Κ( o, y ο ) και ακτίνα ρ ( o ) + (y y ο
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.. Κατά την πλαστική κρούση δύο σωµάτων ισχύει ότι : (δ) η ορµή του συστήµατος των δύο σωµάτων παραµένει
3.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/x-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/ Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=α/-η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ποσά αντιστρόφως ανάλογα- Η υπερβολή Δύο ποσά λέγονται αντιστρόφως ανάλογα, όταν η τιμή του ενός πολλαπλασιαστεί επί έναν αριθµό, τότε η τιµή του
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά. Μαθηματικού
117 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Μανώλη Ψαρρά Μαθηματικού Περιεχόμενα 1. Διανύσματα (47) ελ. - 9. Ευθεία (18) ελ. 10-1 3. Κύκλος (13).ελ. 13-15 4. Παραβολή (14) ελ. 16-18 5. Έλλειψη (18)..
Εργαστηριακά Κέντρα Φυσικών Επιστηµών Ανατολικής (ΕΚΦΕ) Αττικής 2010 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΦΩΤΟΠΥΛΗΣ
Εργαστηριακά Κέντρα Φυσικών Επιστηµών Ανατολικής (ΕΚΦΕ) Αττικής 010 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΚΥΛΙΝΔΡΙΚΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΦΩΤΟΠΥΛΗΣ Στόχοι. Σχεδιασµός, συναρµολόγηση και λειτουργία απλών πειραµατικών
ΦΥΣΙΚΗ Ι. ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος. Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,,
ΦΥΣΙΚΗ Ι ΤΜΗΜΑ Α Ευστάθιος Στυλιάρης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟN ΑΘΗΝΩΝ,, 06 0 07 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ Πολικές Συντεταγμένες Κυλινδρικές Συντεταγμένες Σφαιρικές Συντεταγμένες Στοιχειώδεις Όγκοι ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ Ιδιότητες
Κεφάλαιο 2ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Κεφάλαιο ο: ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Η ισότητα στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών ορίζεται από την ισοδυναµία: α +βi = γ + δi α = γ και β = δ. Σ Λ. * Αν z = α + βi, α, β
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9
Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9 Λουκάς Βλάχος και Μανώλης Πλειώνης Άσκηση : Η καµπύλη y = /x µε x >, περιστρέφεται γύρω από τον άξονα Ox και δηµιουργεί ένα στερεό µε επιφάνεια S και όγκο V. είξτε
1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής
Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα
ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε
Κέντρο µάζας. + m 2. x 2 x cm. = m 1x 1. m 1
ΦΥΣ - Διαλ.25 Κέντρο µάζας Μέχρι τώρα είδαµε την κίνηση υλικών σηµείων µεµονωµένα. Όταν αρχίσουµε να θεωρούµε συστήµατα σωµάτων ή στερεά σώµατα κάποιων διαστάσεων είναι πιο χρήσιµο και ευκολότερο να ορίσουµε
Καρτεσιανό Σύστηµα y. y A. x A
Στη γενική περίπτωση µπορούµε να ορίσουµε άπειρα συστήµατα συντεταγ- µένων τα οποία να µας επιτρέπουν να προσδιορίσουµε τη θέση ενός σηµείου. Στη Φυσική χρησιµοποιούνται αρκετά. Τα βασικά από αυτά θα εξετάσουµε
Η παιδαγωγική διάσταση των πολλών τρόπων επίλυσης ενός προβλήµατος ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Μία χαρακτηριστική ιδιότητα των Μαθηµατικών
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.
ΠΕΙΡΑΜΑ Ι-β Μελέτη Φυσικού Εκκρεµούς
ΠΕΙΡΑΜΑ Ι-β Μελέτη Φυσικού Εκκρεµούς Σκοπός πειράµατος Στο πείραµα αυτό θα µελετήσουµε το φυσικό εκκρεµές και θα µετρήσουµε την επιτάχυνση της βαρύτητας. Θα εξετάσουµε λοιπόν πειραµατικά τα εξής: Την ταλάντωση
πάχος 0 πλάτος 2a μήκος
B1) Δεδομένου του τύπου E = 2kλ/ρ που έχει αποδειχθεί στο μάθημα και περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο Ε μιας άπειρης γραμμής φορτίου με γραμμική πυκνότητα φορτίου λ σε σημείο Α που βρίσκεται σε απόσταση ρ
ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ. Καθ. Βλάσης Κουµούσης
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ ΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΛΥΦΩΝ Καθ. Βλάσης Κουµούσης Θεωρία Κελυφών Βασικές αρχές (διαφορική γεωµετρία) Καµπύλη στο χώρο Μοναδιαίο Εφαπτοµενικό ιάνυσµα
Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης
Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Κ. Ι. Παπαχρήστου Τοµέας Φυσικών Επιστηµών, Σχολή Ναυτικών οκίµων papachristou@snd.edu.gr Θα συζητήσουµε µερικά λεπτά σηµεία που αφορούν το έργο ενός χρονικά µεταβαλλόµενου
ισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.
ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
Κανάρη 6, Δάφνη Τηλ. 10 97194 & 10 976976 ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις A1-A4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Μαθηματικά για μηχανικούς ΙΙ ΛΥΣΕΙΣ/ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο 1 1 Να βρείτε (και να σχεδιάσετε) το πεδίο ορισμού των πιο κάτω συναρτήσεων f (, ) 9 4 (γ) f (, ) f (, ) 16 4 1 D (, ) :9 0, 4 0 (, ) :
Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΤΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Θέµα Α Στις ερωτήσεις -4 να βρείτε τη σωστή απάντηση. Α. Για κάποιο χρονικό διάστηµα t, η πολικότητα του πυκνωτή και
1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων
3 1.1 Διανύσματα 1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΗ 1.1 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα î + ĵ + ˆk και î + ĵ ˆk. z k i j y x Τα δύο διανύσματα που προκύπτουν από
1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.
1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει
1 3 (a2 ρ 2 ) 3/2 ] b V = [(a 2 b 2 ) 3/2 a 3 ] 3 (1) V total = 2V V total = 4π 3 (2)
Γενικά Μαθηματικά ΙΙΙ Δεύτερο σετ ασκήσεων, Λύσεις Άσκηση 1 Για την επίλυση της άσκησης και την εύρεση του ζητούμενου όγκου, αρχικά αναγνωρίζουμε ότι ο τόπος ολοκλήρωσης, είναι ο κύκλος x + y = b, ο οποίος
Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική
Κίνηση στερεών σωμάτων - περιστροφική ΦΥΣ 211 - Διαλ.29 1 q Ενδιαφέρουσα κίνηση: Ø Αρκετά περίπλοκη Ø Δεν καταλήγει σε κίνηση ενός βαθµού ελευθερίας q Τι είναι το στερεό σώµα: Ø Συλλογή υλικών σηµείων
Κανόνες παραγώγισης ( )
66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών
website:
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα
Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου
Εργαστηριακή Άσκηση 6 Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Υπολογισμός της σταθεράς ελατηρίου, k. Πειραματική διάταξη: Κατακόρυφο ελατήριο, σειρά πλακιδίων μάζας m. Μέθοδος: α) Εφαρμογή
Μηχανική ΙI Ταλαντωτής µε µεταβλητή συχνότητα
Τµήµα Π Ιωάννου & Θ Αποστολάτου 22/5/2000 Μηχανική ΙI Ταλαντωτής µε µεταβλητή συχνότητα Τι θα συµβεί στην περίοδο ενός εκκρεµούς εάν το µήκος του νήµατος µεταβάλλεται µε αργό ρυθµό; Το πρόβληµα προτάθηκε
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥ- ΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΡΙΒΗΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΟΥ ΣΥ- ΝΤΕΛΕΣΤΗ ΤΡΙΒΗΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ [Π. Μουρούζης, Γ. Παληός, Κ. Παπαμιχάλης, Γ. Τουντουλίδης, Τζ. Τσιτοπούλου, Ι. Χριστακόπουλος]
Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Επανεξέταση του αρμονικού ταλαντωτή
Κεφάλαιο 11 ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μία ειδική κατηγορία διδιάστατων δυναμικών συστημάτων είναι τα λεγόμενα συντηρητικά συστήματα. Ο όρος προέρχεται από την μηχανική, όπου για υλικό σημείο που δέχεται δύναμη
Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 2 0 Κεφάλαιο
Φυσική Θετικών Σπουδών Γ τάξη Ενιαίου Λυκείου 0 Κεφάλαιο Περιέχει: Αναλυτική Θεωρία Ερωτήσεις Θεωρίας Ερωτήσεις Πολλαπλής Επιλογής Ερωτήσεις Σωστού - λάθους Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ 4- ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην μέχρι τώρα
( ) ( ) ( ) Ασκήσεις στην ελαστική γραµµή. Γενικές Εξισώσεις. Εφαρµογές. 1. Η γέφυρα. ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος
ΤΜ ΙΙΙ Ασκήσεις : Ι. Βαρδουλάκης & Ι. Στεφάνου, Οκτώβριος 005 Ασκήσεις στην ελαστική γραµµή Γενικές Εξισώσεις () p w ( x) = x+ M ( x) = w ( x) p w ( ) ( ) ( ) ( ) ( x) = x + x+ onst x p x onst x dm x =
Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση
8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα. Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός
Η αρνητική φορά του άξονα z είναι προς τη σελίδα. Για να βρούμε το μέτρο του Β χρησιμοποιούμε την Εξ. (2.3). Στο σημείο Ρ 1 ισχύει
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.. Σταθερό ρεύμα 5 Α μέσω χάλκινου σύρματος ρέει προς δεξαμενή ανοδείωσης. Υπολογίστε το μαγνητικό πεδίο που δημιουργείται από το τμήμα του σύρματος μήκους, cm, σε ένα σημείο που
Μηχανική ΙI. Μετασχηµατισµοί Legendre. της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα). Εάν
Τµήµα Π. Ιωάννου & Θ. Αποστολάτου 7/5/2000 Μηχανική ΙI Μετασχηµατισµοί Legendre Έστω µια πραγµατική συνάρτηση. Ορίζουµε την παράγωγο συνάρτηση της : (η γραφική της παράσταση δίνεται στο ακόλουθο σχήµα).
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Άξονας Έστω η ευθεία x x (σχ. 21) και τα σηµεία Ο, Ι πάνω σ αυτή, ώστε ΟΙ= i όπου i το µοναδιαίο διάνυσµα, δηλαδή ένα διάνυσµα που θεωρούµε ότι η φορά του είναι θετική και το µέτρο