BỔ ĐỀ PONCELET, MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG

Transcript

1 Ổ ĐỀ PONELET, MỞ RỘNG VÀ ỨNG ỤNG Trần Minh Ngọc Sinh viên K38, Khoa Toán-Tin, Đại học sư phạm TP.HM I. Giới thiệu Để chứng minh một định lý về chùm đường tròn, nhà toán người Pháp Jean Victor Poncelet ( ) đã sử dụng bổ đề sau: ho tứ giác nội tiếp đường tròn ( O. Đường tròn ( O ) lần lượt tiếp xúc, tại M, N. Đường thẳng MN lần lượt cắt,,, tại P, Q, R, S. Khi đó tồn tại đường tròn ( O3 ) lần lượt tiếp xúc, tại PQvà, đường tròn ( O4 ) lần lượt tiếp xúc, tại RSsao, cho ( O ),( O ),( O3 ),( O4 ) có cùng trục đẳng phương. Trong bài viết này, tác giả sẽ chứng minh và mở rộng bổ đề trên, sau đó vận dụng chúng để chứng minh lại định lý Poncelet và giải những bài toán hình học khác. II. hứng minh P N M Q O O 3 O Gọi ( O3 ) là đường tròn qua Q và tiếp xúc tại P o NP MQ, PN QM nên PN ~ QM. Suy ra PN QM. o đó tiếp xúc ( O3 ) tại Q

2 P P P /( O ) M sin PM sin PN N /( O ) N M /( O ) /( O ) sin sin /( O ) /( O ) Từ P P MP NP P P P Q P nên đường tròn ( O ) qua,, có cùng trục đẳng phương với ( O,( O Gọi ( O4 ) là đường tròn qua S và tiếp xúc tại R. Tương tự ta được tiếp xúc ( O4 ) đường tròn ( O ),( O ),( O 4) có cùng trục đẳng phương. ài toán được chứng minh. tại S và III. Mở rộng ổ đề Poncelet được mở rộng bởi thầy Trần Quang Hùng, hiện là giáo viên trường chuyên KHTN, ĐHQGHN. Định lý được phát biểu như sau: ho tứ giác nội tiếp đường tròn ( O. Đường tròn ( O ) lần lượt cắt, tại ( M, N),( P, Q ). Đường thẳng MP, NQ lần lượt cắt,,, tại ( R, S),( T, U),( V, W),( X, Y ). Khi đó R, S, T, U cùng thuộc đường tròn ( O3 ), V, W, X, Y cùng thuộc đường tròn ( O4 ) sao cho ( O ),( O ),( O3 ),( O4 ) có cùng trục đẳng phương. hứng minh: P M T R S Q N U O O 3 O o PR NU, PR NU nên PR ~ NU. Suy ra RP UN nên tứ giác R, S, T, U cùng nằm trên đường tròn ( O. Tương tự ta được QS ~ MT Từ

3 P M. N sin RM sin SN sin RP sin SQ P. Q P P. Q N. M P.. P R. S sin MR sin NS sin PR sin QS R. S P R. S U. T P /( O ) /( O ) /( O ) /( O3 ) /( O3 ) /( O3 ) nên đường tròn ( O ) qua,, có cùng trục đẳng phương với ( O,( O Tương tự V, W, X, Y cùng thuộc đường tròn ( O4 ) và ( O ),( O ),( O4 ) có cùng trục đẳng phương. ài toán được chứng minh IV. Ứng dụng Ta bắt đầu với định lý Poncelet về chùm đường tròn ài toán (Định lý Poncelet về chùm đường tròn): ho các đường tròn ( O ),..,( On ) có cùng trục đẳng phương ( ( O chứa các đường tròn còn lại). Từ điểm ( O vẽ tiếp tuyến đến ( O ) cắt ( O ) tại. Định nghĩa tương tự,..., 3 n. hứng minh luôn n tiếp xúc với một đường tròn cố định khi di động trên ( O. Trường hợp n 3 hứng minh và G E O 4 O 3 O O I O F H Lấy ( O ),. Từ điểm vẽ một tiếp tuyến đến ( O ) và cắt ( O ) tại, từ điểm vẽ một tiếp tuyến đến ( O3 ) và cắt ( O ) tại 3 sao cho khi thì, 3 3. Gọi, G, E, H lần lượt là tiếp điểm của, với ( O, 3, 3 với ( O,,, 3 lần lượt là giao điểm G với,, EH với, 3 3.

4 o, tiếp xúc ( O ) nằm trong ( O ) và khi thì nên nằm giữa,, nằm giữa,. Tương tự ta được nằm giữa,, 3 nằm giữa 3, 3. Theo bổ đề Poncelet: tồn tại đường tròn ( O) lần lượt tiếp xúc, tại, và đường tròn ( O) lần lượt tiếp xúc, 3 3 tại, 3, hơn nữa ( O),( O) có cùng trục đẳng phương với ( O ),( O ),( O. Mà chỉ vẽ được duy nhất một đường tròn tiếp xúc tại một điểm nằm giữa, và có cùng trục đẳng phương với ( O ),( O ),( O3 ) nên ( O) ( ) Gọi FIlần, lượt là giao điểm 3với 3, 3 O. Suy ra. Theo bổ đề Poncelet thì tồn tại đường tròn ( O4 ) lần lượt tiếp xúc 3, 3 tại FIvà, ( O4 ) cùng trục đẳng phương với ( O ),( O ),( O. Mặt khác tương tự trên, ta được F nằm giữa, 3, I nằm giữa, 3. Suy ra ( O4 ) nằm trong ( O Vậy 3 luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi di động trên ( O có 4 O O O 4 3 O O Giả sử bài toán đúng với n k. Ta chứng minh bài toán đúng với n k Lấy ( O ),. Từ điểm vẽ một tiếp tuyến đến ( O ) và cắt ( O ) tại, định nghĩa tương tự,..., 3 n sao cho khi thì, i, k. i Theo giả thiết quy nạp thì k, kcùng tiếp xúc với đường tròn ( O) có cùng trục đẳng phương với ( O ),..,( Ok ) và nằm trong ( O. Mà k k, k k cùng tiếp xúc với ( Ok có cùng trục đẳng phương với ( O ),..,( Ok ) và nằm trong ( O nên theo trường hợp n 3, k, k cũng tiếp xúc đường tròn ( Ok có trục đẳng phương với ( O ),..,( O k ). i

5 Vậy k luôn tiếp xúc với đường tròn cố định khi di động trên ( O ài toán được chứng minh. Ta tiếp tục với bài toán từng là đề thi của cuộc thi Mathley ài toán (Trần Minh Ngọc): ho tứ giác nội tiếp ( O ). Đường tròn () I lần lượt tiếp xúc, tại M, N. Đường thẳng MN lần lượt cắt, tại PQ., Gọi H là giao điểm của,. Đường tròn ngoại tiếp tam giác HMN lần lượt cắt các đường tròn ngoại tiếp tam giác H, H tại KLkhác, H. hứng minh PK, QL, OI đồng quy hứng minh S H K Y L N M O X I O Q Z P O Theo bổ đề Poncelet: tồn tại đường tròn ( O ) lần lượt tiếp xúc, tại PQvà, ( O),( I),( O ) có cùng trục đẳng phương Qua phép nghịch đảo f cực H, phương tích k 0, các điểm,,,, M, N, K, L lần lượt biến thành,,,, M, N, K, L. Khi đó:

6 ác đường thẳng, qua H biến thành chính nó nên, ;,. ( O) biến thành đường tròn ( O) qua,,, () I biến thành đường tròn ( I ) tiếp xúc với, tại M, N. ( H),( H),( HMN ) lần lượt biến thành các đường thẳng,, M N K, L lần lượt là giao điểm MN với, Theo bổ đề Poncelet: tồn tại đường tròn ( O ),( I ),( O ) có cùng trục đẳng phương. o f bảo tồn góc và chùm đường tròn nên đường tròn ( O ) lần lượt tiếp xúc, tại K, L và ( O ) f ( O ) lần lượt tiếp xúc với ( H),( H) tại KLvà, ( O),( I),( O ) có cùng trục đẳng phương. Gọi d là trục đẳng phương của ( O),( I), S là giao điểm của PK, QL o MN là trục đẳng phương của ( I),( HMN ), KL là trục đẳng phương của ( O ),( HMN ) và d là trục đẳng phương của ( I),( O nên MN, KL, d đồng quy tại X. o ( O ) lần lượt tiếp xúc với( H),( H) tại KLnên, tiếp tuyến tại KLcủa, đường tròn ( O ) lần lượt là trục đẳng phương của ( O ),( H) và ( O ),( H ). Tương tự ta được tiếp tuyến tại K của, ( O ), d, đồng quy tại Y và tiếp tuyến tại L của ( O ), d, đồng quy tại Z Từ YP, YK lần lượt là tiếp tuyến của ( O,( O và OP, OK là tiếp tuyến của ( Y, YP) suy ra đường tròn ( Y, YP) trực giao với ( O,( O.Tương tự, ta được đường tròn ( Z, ZQ) trực giao với ( O,( O. o đó OO X /( O X /( O OI là trục đẳng phương của ( X, XP),( Y, YQ ). Mặt khác từ XP. XQ XK. XL suy ra PQKL nội tiếp, nên P SK. SP SL. SQ P. Vậy S, O, I thẳng hàng S /( Y, YP) S /( Z, ZP) ài toán 3 (Trần Minh Ngọc): ho ba đường tròn ( O ),( O ),( O3 ) có cùng trục đẳng phương d. Hai đường thẳng d, dlần lượt cắt ( O,( O tại (, ),(, ),( P, Q),( R, S ). Gọi (,( lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác tạo bởi các bộ đường thẳng ( d, P, S),( d, Q, R ). Giả sử ( O3 ) đều cắt (,(. hứng minh góc tạo bởi ( O,( bằng với góc tạo bởi ( O,( hứng minh

7 F N Ω T L J E O 4 P Q G Z U V R S O O 3 H X Y Ω W I K M Gọi E, F, G, X, Y, Z, M, N lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng ( P, S),( P, d),( S, d),( Q, R),( Q, d),( R, d),( P, R),( Q, S ) Theo mở rộng bổ đề Poncelet: M, X, E, N cùng nằm trên đường tròn ( O4 ) có cùng trục đẳng phương với ( O ),( O ),( O Gọi TUlà, giao điểm của ( O3 ) với (, H, I, J, K lần lượt là các giao điểm khác UTcủa, ( O3 ) với GU, FT, GT, FU, V, W lần lượt là giao điểm khác IHcủa, ( O3 ) với ZI, YH GE. GN P P GJ. GT suy ra tứ giác ENTJ nội tiếp nên Từ G/( O4) G/( O NJG TEG TUH TJH. o đó N, J, H thẳng hàng. Gọi L là giao điểm của NJ, FG Từ ENL ENJ ETJ ETG EFG EFL suy ra NFLE nội tiếp. o đó NXZ NEF NLF. Suy ra tứ giác NXZLnội tiếp. o GF. GL GE. GN GJ. GT nên tứ giác FLJT nội tiếp. suy ra ZLJ FTJ JVI. o đó LJVZ nội tiếp Gọi J là giao điểm khác V của YV với ( O

8 YZ. YL YX. YN P P YV. YJ suy ra tứ giác LJ VZ nội tiếp. o đó Từ Y /( O4) Y /( O J J hay Y, V, J thẳng hàng. Suy ra YXZ NLZ JVZ nên tứ giác VYXZ nội tiếp hay V (. Tương tự ta được W (. Với kí hiệu ( O),( O) là góc tạo bởi hai đường tròn ( O),( O ), ta có biến đổi góc sau: 3 ( O3 ) ( O3 ) O3 O3T O3TU TU TFU ( ),( ) ( ) TO U T U sdtu sd IK sd HJ ( O3 ) Tương tự: ( O,(. Mặt khác từ GFI GFT TUH TIH FIH suy ra HI // d. Tương tự ta được JK // d. o đó HIKJ là hình thang cân. nên sdik ( O3 ) sdhj ( O3 ). Vì vậy ( O3 ),( ( O,( Ta kết thúc bài viết với kết quả về tam giác hình chiếu ài toán 4 (Trần Minh Ngọc): ho tam giác 3 nội tiếp đường tròn ( O ). X là một điểm nằm trong tam giác 3. Gọi, E, F lần lượt hình chiếu của X lên, 3, 3. Từ điểm ( O), vẽ đường tròn đường kính X cắt đường tròn ( EF) tại một điểm M. Đường thẳng M cắt ( O) tại. Từ điểm vẽ đường tròn đường kính X cắt ( EF) tại điểm N M. Đường thẳng Ncắt ( O) tại 3. hứng minh hình chiếu của X lên 3 nằm trên ( EF ) Ta phát biểu và chứng minh hai bổ đề sau: hứng minh ổ đề : ho tứ giác nội tiếp đường tròn ( O ). Trên đường thẳng qua vuông góc và đường thẳng qua vuông góc lần lượt lấy hai điểm XYsao, cho X, Y, O thẳng hàng. Gọi E là giao điểm,. Khi đó vuông góc X, Y X, Y, E đồng quy hứng minh:

9 Y O X E ( ) Gọi, lần lượt là giao điểm của X, X với ( O ) o 90 nên, O, thẳng hàng. Tương tự ta được, O, thẳng hàng Áp dụng định lý Pascal cho lục giác nội tiếp ta được EXOthẳng,, hàng hay X, Y, E thẳng hàng ( )Từ X, Y, E thẳng hàng suy ra EXOthẳng,, hàng. Áp dụng định lý Pascal cho lục giác nội tiếp suy ra EX,, đồng quy hay, O, thẳng hàng. Suy ra X. Tương tự ta được Y ổ đề : ho tứ giác nội tiếp đường tròn ( O ). X là một điểm bất kì. Đường thẳng vuông góc X tại cắt ( O) tại điểm. Định nghĩa tương tự,,. Khi đó giao điểm các cặp đường thẳng (, ),(, ),(, ),(, ) thẳng hàng hứng minh:

10 P R S T X M Y V Q U N Gọi M, N, P, Q, R, S, T, U, V lần lượt là giao điểm các cặp đường thẳng (, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ),(, ) Theo bổ đề : X, Y, R, S, T thẳng hàng Áp dụng định lý Pascal cho lục giác ta được: U, V, T thẳng hàng. Áp dụng đính lý esargues cho hai tam giác MRS và N có giao điểm các cặp cạnh đối là U, V, T thẳng hàng ta được MN, R, S đồng quy hay M, N, Q thẳng hàng. Tương tự ta được: M, P, Q thẳng hàng. Vậy M, N, P, Q thẳng hàng Quay lại bài toán

11 3 V S P F G U X J Y I R W 3 3 M Q N E H 3 Gọi Y là điểm đẳng giác của X đối với tam giác 3 G, H, I, Q, R lần lượt là hình chiếu của Y lên, 3, 3,, 3 Khi đó:, E, F, G, H, I, M, N, Q, R cùng nằm trên đường tròn tâm J là trung điểm XY Gọi,,,, 3, 3 lần lượt là giao điểm của GM với, ER ; Q với, HN ; 3 3với ER, HN Theo bổ đề :,,, thẳng hàng Theo mở rộng bổ đề Poncelet:,,,, 3, 3 cùng nằm trên đường tròn ( O,,, 3, 3 cùng nằm trên đường tròn ( O ) và có cùng trục đẳng phương với ( O),( J ). Mà qua chỉ vẽ được duy nhất một đường tròn có cùng trục đẳng phương với ( O),( J) nên ( O ( O Gọi U, V, W lần lượt là giao điểm các cặp đường thẳng (,,( 3, 3 ),( 3, 3 o,,,, 3, 3 cùng nằm trên đường tròn ( O ) nên theo định lý Pascal: U, V, W thẳng hàng Mặt khác theo chiều thuận bổ đề thì U, V, X, Y thẳng hàng nên U, V, W, X, Y thẳng hàng Gọi PSlần, lượt là giao điểm khác I, F của 3I, 3F với ( J ) o X, Y, W thẳng hàng nên theo chiều đảo bổ đề : PS vuông góc XP, YS.

12 Gọi 3 là giao điểm NR, PS Theo bổ đề : 3, 3, 3, 3 thẳng hàng nên 3 3. o đó P, S, 3 thẳng hàng. Tương tự P, S, thẳng hàng. ài toán được chứng minh. ài viết xin được dừng lại ở đây nhưng còn rất nhiều thú vị đằng sau bổ đề Poncelet và mở rộng của nó đang chờ bạn đọc khám phá TÀI LIỆU THM KHẢO. Nguyễn Văn Linh, Ứng dụng của tỉ số phương tích, Euclidean Geometry log Nguyễn Văn Linh, Một số vấn đề về đa giác lưỡng tâm, Euclidean Geometry log 3. Poncelet s porism, Wolfram Mathworld Lachlan, "oaxal ircles", h. 3 in n Elementary Treatise on Modern Pure Geometry. London: Macmillian, pp. 99-7, Mathley No, Mathley No 3, 04