ISJ VÂLCEA OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA a V-a

Transcript

1 ISJ VÂLCEA OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA a V-a 1. Determinaţi cifrele a, b, c astfel încât : abc + 3 abc = 4 abc +134 (Valer Pop, Şanţ, Bistriţa- Năsăud, Gazeta Matematică). Fie a = , numărul obţinut prin alăturarea cifrelor numerelor 1,, 3,,009. a) Câte cifre are numărul a? b) Aranjăm numerele 1,,3,.,009 astfel: 1 5;6;7;8;9; 1;,3;4;5; 37;38; 4 10; 0; 6; ; 19; 7; 35; 4 1; 18; 8, 34; ;14;15;16;17 9;30;31;3;33: Pe care linie se află 009? Justificaţi! (Ştefan Smărăndoiu, Râmnicu Vâlcea) 3. Pe un ecran este scris numărul 34. După fiecare minut, în locul numărului iniţial, se scrie un număr cu 18 mai mare decât produsul cifrelor sale. a) Ce număr va fi scris, pe ecran, după minute? b) Ce număr va fi scris, pe ecran, după 009 minute? Justificaţi! (Cristina Drăgan, Râmnicu Vâlcea) 4. Demonstraţi că pentru orice 37 de numere naturale, nenule putem găsi 7 numere cu suma divizibilă cu 7. (Constantin Bărăscu, Râmnicu Vâlcea) Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: ore.

2 SUCCES! ISJ VÂLCEA OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA a VI-a 1 Determinaţi mulţimea: A= abc 13 a 6 b 3 c = 0 (Damian Marinescu, Târgovişte, Gazeta Matematică). Determinaţi numerele naturale de patru cifre a căror descompunere în factori primi este x y xy yx. ( Gheorghe Radu, Râmnicu Vâlcea ) 3. Se consideră şirul următor de numere naturale: 1 1, 1, 1 3,, 1 9, 1,,, 9, 3 1,, 9 9. a) Să se compare valorile termenilor al 15 lea, al 30 lea şi al 65 lea. b) Să se determine numărul de valori diferite pe care le pot lua termenii şirului din enunţ. c) Să se arate că suma valorilor diferite, pe care le iau termenii şirului, nu este pătrat perfect. ( Gabriel Vrînceanu, Bucureşti) 4. Fie AOB şi BOC unghiuri neadiacente suplementare,astfel încât m(aob) şi m(boc) sunt direct proporţionale cu 11 şi respectiv 7. În semiplanul opus cu [AO, B se ia punctul D astfel încât OD OA. Fie OE OC. Să se afle măsurile unghiurilor DOC şi EOB. (Ştefan Smărăndoiu, Râmnicu Vâlcea) Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: ore. SUCCES!

3 ISJ VÂLCEA OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA a VII-a 1. Aflaţi numerele întregi x, y, z ştiind că : x x + y + ( z 4 ) 0. (Vasile Predan, Curtea de Argeş, Gazeta Matematică ). Fie A = a 009 aa aaa aaaa ; ; ; ; a e cifră nenulă Demonstraţi că A şi N nu sunt mulţimi disjuncte. (Constantin Bărăscu, Râmnicu Vâlcea) 3. Se dă triunghiul ABC cu măsura unghiului BAC de 10 0 şi AB = AC = a. Fie D simetricul punctului A faţă de mediana [CM], unde M [AB]. a) Demonstraţi că patrulaterul ACDM este romb. b) Calculaţi perimetrul triunghiului DON, unde O este mijlocul segmentului [CM], iar {N} = BC DM. c) Determinaţi cât la sută reprezintă aria triunghiului BCM din aria patrulaterului ABDC. 4. Un elev scrie pe tablă numerele 56; 6561; ( Gheorghe Radu, Râmnicu Vâlcea ) Pasul 1 : Şterge cele trei numere şi în locul fiecăruia scrie media geometrică a celorlalte două numere; Pasul al -lea :Aplică pasul 1 pentru numerele obţinute. Pasul al n-lea :Aplică pasul 1 pentru numerele obţinute la pasul anterior. a) Ce numere a scris elevul pe tablă după primul pas? b) Este posibil, ca după un număr finit de paşi, să scrie pe tablă numerele 3000; 009; 7175? Justificaţi! (Ştefan Smărăndoiu, Râmnicu Vâlcea) Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore.

4 ISJ VÂLCEA OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA a VIII-a 1. a) Demonstraţi că ecuaţia ( x +1 )( x + ) = y ( y + ) nu are soluţii în NN. b) Demonstraţi că ecuaţia ( x +1 )( x + ) = ( y + ) ( y +3 ) are o infinitate de soluţii în NN.. a) Demonstraţi că oricare ar fi x, y, z R, avem : (Damian Marinescu, Târgovişte, Gazeta Matematică) ; b) Fie trei numere reale, strict pozitive, astfel încât. Să se demonstreze că :. ( Cezar Lupu, student, Bucureşti ) 3. Fie punctul P interior unghiului XOY şi PM OX ; PN OY cu PM = 3 cm, PN = 1 cm, unde M( OX ; N ( OY. Dacă dreapta QP este perpendiculară pe planul (XOY) şi PQ = 5 demonstraţi că : măsura unghiului XOY = 45 0 măsura unghiului ( OQ, (XOY) )= cm, (Constantin Bărăscu, Râmnicu Vâlcea) 4. Se consideră un cub ABCDA B C D. În fiecare din vârfurile A, B, D şi A se înscrie numărul 1, iar în ficare din vârfurile C,C, B şi D se înscrie numărul 0. Numim operaţie faptul că mărim sau micşorăm cu acelaşi număr numerele de pe aceeaşi muchie. Este posibil ca după un număr finit de operaţii să obţinem în fiecare vârf numărul 009? ( Marius Perianu, Slatina) Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare subiect se punctează de la 0 la 7 puncte. Pe foaia de concurs se trec rezolvările complete. Timp de lucru: 3 ore. SUCCES!

5 OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ TIMIŞ SUBIECTE - clasa a V-a: I. a) Numerele naturale m, n, p, x, y, z verifică relaţia 005 m n p = 006 x y z. Să se calculeze 009 mnpxyz. Ioan Miclea, TMMATE nr.6 / 009 b) Determinaţi cifrele a, b, c, d, e cu proprietatea că abc cde abc. Andrei Eckstein, TMMATE nr.6 / 009 II. a) Aflaţi restul împărţirii numărului B = la 8. b) Aflaţi restul împărţirii numărului A = la 8. Prelucrare, GM nr.9 / 008 III. a) scrieţi numărul 009 ca un produs în care un factor este pătrat perfect supraunitar. b) Să se determine numărul natural nenul n, ştiind că n 4 n 3 n este un număr egal cu suma celor mai mari resturi posibile la împărţirea cu 000, cu 10 şi respectiv cu. Petria-Elena Boldea IV. a) Calculaţi ultima cifră a numărului C = n + 4 n + 6 n + 8 n, unde n număr natural nenul oarecare b) Fie n număr natural nenul oarecare. Cercetaţi dacă numărul D = n + 4 n + 6 n n este divizibil cu 10. DR. RMT nr.4 / 008 Probleme selectate de inspector şcolar de specialitate, prof. Petria-Elena Boldea SUBIECTE - clasa a VI-a: a b 4 a c I. Se consideră egalităţile şi, unde a, b, c numere naturale. 4 b a) Arătaţi că 4 divide a. b) Găsiţi toate tripletele (a, b, c) care verifică simultan relaţiile din enunţ. Cerasela Bociu II. Fie numerele naturale nenule a, b astfel încât 7a, b 3a b, unde b a, este c. m. m. m. c. al numerelor a şi b. a) Arătaţi că b = a. b) Determinaţi numerele naturale a, b. Cerasela Bociu III. Fie (OC şi (OD două semidrepte situate în interiorul unghiului AOB astfel ca (OD int( AOC). Aflaţi măsurile unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOC şi BOD, O O ştiind că m( AOD)= 60 şi m( BOC)= 50. IV. Triunghiul ABC are AB = AC = 3 cm şi BC = 5 cm. Bisectoarea unghiului ABC intersectează (AC) în punctul D. Perpendiculara din punctul C pe dreapta BD intersectează dreapta AB în M. a) Construiţi triunghiul ABC cu dimensiunile din enunţ. b) Demonstraţi că triunghiul DMC este isoscel.

6 c) Calculaţi perimetrul triunghiului ADM. Probleme selectate de prof. Cerasela Bociu, Colegiul Naţional Bănăţean Timişoara OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ TIMIŞ SUBIECTE - clasa a VII-a: I. a) Numerele a 1, a, a 3,, a 009 N şi sunt direct proporţionale respectiv cu numerele 1,, 3,,009, iar a1 a 3 a 5... a Aflaţi numerele a 1, a, a 3,, a b) Să se rezolve ecuaţia x 101 II. a) Fie a, b, c, d Q +. Să se arate că dacă c a d b Q, atunci a şi b Q. a b c b) Demonstraţi inegalitatea pentru a, b, c Q +. b c a c a b III. Fie ABCD un patrulater convex în care bisectoarea [AF a unghiului A, cu F CD, este paralelă cu BC. Notăm cu E punctul de intersecţie al dreptelor AF şi DB. Demonstraţi că dacă BC = CDEF, CD AB atunci are loc relaţia 1. BC AD IV. Fie ΔABC cu AB = AC şi D(BC), dacă DE AC, EAC şi EF AB, FAB. Să se arate că: ABCDEF = BCDEAE. Probleme selectate de prof.adriana Roman şi prof. Vasile Roman, Şcoala cu cls. I-VIII nr. 7 Sf. Maria Timişoara SUBIECTE - clasa a VIII-a: I. a) Găsiţi n N astfel încât numărul n să fie natural. b) Fie x = k , unde k Z. Dacă x (0,1), determinaţi valoarea lui k pentru care x este minim. c) Fie a, b, c numere naturale nenule şi distincte două câte două. Arătaţi că a(1 a) b(1 b) c(1 c) 1 Cerasela Bociu II. Aflaţi numerele a, b N*, a < b, astfel încât a + b + (a, b) + [a, b] = 009, unde cu (a, b) notăm cel mai mare divizor comun al numerelor a şi b, iar cu [a, b] notăm cel mai mic multiplu comun al numerelor a şi b. Andrei Eckstein III. Fie cubul ABCDA'B'C'D', iar M şi N mijloacele segmentelor [AB] şi respectiv [B'C]. a) Demonstraţi că dreapta MN este paralelă cu planul (DAB'). b) Arătaţi că dreapta MN este perpendiculară pe planul (CB'D').

7 , IV. Se dă paralelipipedul dreptunghic ABCDA'B'C'D'. Dacă AC BD O P OC' şi BP C' D F, DP BC' E, atunci arătaţi că dreptele D ' F, B' E şi CC ' sunt concurente. Probleme selectate de prof. Cerasela Bociu, Colegiul Naţional Bănăţean Timişoara şi prof. Petria-Elena Boldea, inspector şcolar de specialitate I.Ş.J. Timiş INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN SIBIU Clasa a VII-a OLIMPIADA DE MATEMATICĂ FAZA LOCALĂ, Se consideră numerele x... şi y (3p) a) Calculaţi produsul x y ; (p) b) Demonstraţi că x y ; (p) c) Demonstraţi că x. 11 a b c. Numerele a, b şi c îndeplinesc condiţiile:. b 1 c 1 (4p) a) Determinaţi numerele naturale nenule a, b şi c, ştiind că b este media aritmetică dintre a şi c. (3p) b) Aflaţi numerele raţionale strict pozitive a, b şi c, ştiind că a b 1 c. Prof. Doina Negrilă 3. Pe semidreptele perpendiculare (Ox şi (Oy se aleg, în ordinea dată dinspre origine, câte trei puncte A, C, E, respectiv B, D, F. Se notează cu M, N, P, Q, R, respectiv mijloacele segmentelor [AB], [BC], [CD], [DE], [EF]. Dacă AC=CE=a şi BD=DF=b, a b, atunci: (p) a) Calculaţi suma MN+NP+PQ+QR; (p) b) Arătaţi că P este mijlocul segmentului [MR]; (3p) c) Demonstraţi relaţia. Prof. Teodor Mărcuţ ABC DEF BCD CDE 4. (7p) Se consideră un triunghi dreptunghic cu lungimile laturilor de 6cm, 8cm şi 10cm. Distanţele unui punct M, situat în interiorul triunghiului, la laturile acestuia sunt direct proporţionale cu laturile respective. Calculaţi aceste distanţe. Gazeta Matematică Clasa a VIII-a 1. Fie a, b, c, 0, ; arătaţi că: (3p) a) (4p) b) c ; a b a b b c c a b a b c b a c. Fie a şi b numere reale distincte; a b a b (3p) a) Arătaţi că: (4p) b) Ştiind că a a b a, ştiind că a b c =1. Prof. Petru Vlad a b ; b b b a sunt numere raţionale, demonstraţi că a b este număr raţional. a şi Gazeta Matematică 3. Fie triunghiul ABC cu AB=13 cm, BC=14 cm, CA=15 cm. În punctul O, mijlocul medianei (AD), se ridică 15 perpendiculara MO pe planul triunghiului ABC, MO= cm. Calculaţi: 5 (4p) a) distanţele de la punctul M la laturile (AC) şi (BC);

8 (3p) b) distanţa de la punctul O la planul (AMC). Prof. Gheorghe Floarea 4. (7p) VABC este o piramidă triunghiulară în care măsurile unghiurilor diedre formate de planele (VAB), (VBC), (VAC) cu planul (ABC) sunt egale cu 60 0, 45 0, respectiv Ştiind că triunghiul ABC este isoscel, cu baza BC=1 cm şi aria triunghiului ABC este de 36 cm, calculaţi distanţa de la V la planul (ABC). Inspectoratul Şcolar Judeţean Satu Mare Olimpiada de matematică faza locală 4 ianuarie 009 CLASA a-v-a Subiectul I (4p) Arătaţi că numărul A este multiplu de 10. Propusă de prof. Baciu Nicolae, ISJ Satu Mare.(3p) Arătaţi că numărul B poate fi scris ca suma pătratelor a o sută de numere naturale. Propusă de prof. Şteţ Anca Raluca, Şc. Tăşnad Subiectul II 1.(4p) Suma a trei numere naturale este egală cu Dacă din fiecare număr se scade acelaşi număr, se obţin respectiv numerele 15, 13 şi 346. Care sunt cele trei numere? Şc. Căpleni.(3p) Câte zerouri are la sfârşit numărul A ? Justificaţi răspunsul. Propusă de prof. Chiorean Vasile, Şc. V. Lucaciu Carei Subiectul III (7p) Într-un hotel sunt 0 de camere. Cu ocazia unui simpozion de matematică sosesc un număr de 11 participanţi. Precizaţi dacă este posibil ca aceştia să fie cazaţi în cele 0 de camere, astfel încât să nu existe două camere cu acelşi număr de persoane. Justificaţi răspunsul. Propusă de prof. Baciu Nicolae, ISJ Satu Mare Subiectul IV 1.(4p) Calculaţi m + 4n + p, ştiind că m + n = 15 şi n + p = 45..(3p) Fie mulţimea A={1,, 3,,009}. Justificaţi dacă există o submulţime nevidă B a lui A, astfel încât produsul elementelor mulţimii B să fie egal cu produsul elementelor mulţimii A-B. Propusă de prof. Culic Camelia, Şc. A. Iancu Satu Mare Notă: Timp de lucru 3 ore Toate subiectele sunt obligatorii Fiecare subiect se notează cu 7 puncte

9 Inspectoratul Şcolar Judeţean Satu Mare Olimpiada de matematică faza locală 4 ianuarie 009 CLASA a-vi-a Subiectul I 34 y 305 x y 5 x 1.(4p) Să se arate că, x, y N 51 y 183 x y 3 x 3 Propusă de prof. Culic Camelia, Şc. A. Iancu Satu Mare 17.(3p) Determinaţi numerele de forma ab în baza 10, ştiind că fracţia este echiunitară. a b Propusă de prof. Baciu Nicolae, ISJ Satu Mare Subiectul II 1.(4p) Arătaţi că (3p) Să se determine numărul natural prim p, astfel încât numărul 1 Şc. Căpleni 15 n p 1 să fie natural, n N. Propusă de prof. Baciu Nicolae, ISJ Satu Mare Subiectul III Se consideră punctele A 1, A,,A n coliniare, în această ordine, astfel încât A 1 A = 1 cm, A A 3 = cm,, A n-1 A n = n 1 cm., n fiind un număr natural, n > 1. a) (p) Calculaţi lungimea segmentului [A 1 A 4 ] b) (3p) Să se determine numărul natural n astfel încât lungimea segmentului [A 7 A n ] să fie de 79 cm. c) (p) Determinaţi distanţa dintre mijloacele segmentelor [A 1 A 4 ] şi [A 1 A 4 ]. Propusă de prof. Vanţ Anca, Şc. Gr. Moisil Satu Mare Prof. Culic Camelia, Şc. A. Iancu Satu Mare Subiectul IV În jurul punctului O sunt desenate unghiuri având măsurile în ordinea,4,6,...,16,,4,6,...,16 şi asa mai departe. a) (4p) Câte unghiuri sunt desenate în jurul punctului O? b) (4p) Notând cu O 1, O, O 3, unghiurile determinate anterior în jurul punctului O, determinaţi măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor O 6 şi O 14. Propusă de prof. Baciu Nicolae, ISJ Satu Mare Notă: Timp de lucru 3 ore Toate subiectele sunt obligatorii Fiecare subiect se notează cu 7 puncte

10 Inspectoratul Şcolar Judeţean Satu Mare Subiectul I (7p) Olimpiada de matematică faza locală 4 ianuarie 009 CLASA a-vii-a m 1 3 Determinaţi numerele m,n naturale nenule, astfel încât 1 1 Subiectul II n Propusă de prof. Culic Camelia, Şc. A. Iancu Satu Mare 1. (4p) Fie numărul a 0, x(y) 0, y(x).determinaţi cifrele x y pentru care a este număr natural nenul. Propusă de prof. Nagy Elisabeta, Şc. Hodişu-Hododului (3p) Arătaţi că R Q. Subiectul III În triunghiul ABC, dreptunghic în A, notăm cu G intersecţia înălţimii [AD], D BC E AB, iar EF BC, FBC. Propusă de prof. Baciu Nicolae, ISJ Satu Mare, cu bisectoarea (CE, a) (1p) Arătaţi că AEC FEC b) (p) Arătaţi că triunghiul AEG este isoscel c) (p) Arătaţi că AGFE este romb d) (p) Dacă (EH este bisectoarea unghiului FEB, determinaţi măsura unghiului CEH. Propusă de prof. Baciu Nicolae, ISJ Satu Mare Prof. Boar Mihai, Şc. nr. 3 Negreşti Oaş Subiectul IV (7p) Mediatoarele bisectoarelor triunghiului ABC se intersectează în A 1, B 1 respectiv C 1. Demonstraţi că ΔABC ~ ΔA1B 1C1 dacă şi numai dacă triunghiul ABC este echilateral. Propusă de prof. Braica Petru Prof. Voicu Constantin Şc. G. Moisil Satu Mare Notă: Timp de lucru 3 ore Toate subiectele sunt obligatorii Fiecare subiect se notează cu 7 puncte

11 Inspectoratul Şcolar Judeţean Satu Mare Olimpiada de matematică faza locală 4 ianuarie 009 CLASA a-viii-a Subiectul I 1. (3p) Arătaţi că nu există pătrate perfecte de forma 4m + 3, oricare ar fi numărul natural m. n n1 n. (p) Arătaţi că numărul x R Q, n N. 3. (p) Fie numerele 1,a,..., a 009 Calculaţi suma S a1 a... a a astfel încât a 1 a... a Subiect propus de prof. Pop Ionela, Şc. Lipău Subiectul II (4p) Să se aducă la o formă mai simplă (3p) Arătaţi că Propusă de prof. Culic Camelia, Şc. A. Iancu Satu Mare Subiectul III ' Fie triunghiul ABC cu m A 90, m C 30, AC 4 3 cm, AA ABC Propusă de prof. Baciu Nicolae, ISJ Satu Mare şi triunghiul A ' BC isoscel cu vârful în B. a) (3p) Determinaţi lungimea segmentului AA b) (p) Calculaţi distanţa de la punctul A la dreapta BC c) (p) Determinaţi distanţa de la punctul A la planul (A BC). Propusă de prof. Gal Ana, Şc. Apa Subiectul IV (7p) Segmentele [AB] şi [CD] sunt situate pe drepte necoplanare, iar M [AB], N[CD],Z [MD],X [MC], Y [BN],T [AN], astfel încât AM = MB, CN = 3ND, 3ZD = MZ, 3MX = XC, YN = BY, AT = TN. Demonstraţi că X (YZT). Propusă de prof. Braica Petru, Şc. Gr. Moisil Satu Mare Notă: Timp de lucru 3 ore Toate subiectele sunt obligatorii Fiecare subiect se notează cu 7 puncte

12 OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ, CLASA a-v-a 1) a) Calculaţi: [3 1 ( )] b) Comparaţi: 7 15 şi *** ) Arătaţi că este divizibil cu 10. prof. Balint Attila Sandor 3) Dacă a, b, c N şi a + c = 5, iar b = 4, aflaţi produsul p = (009 a ) c 009 (009 b ) c prof. Sebestyen Julia 4) Fie şirul de numere a n = n n, n N. a) Precizaţi dacă numerele 1,, 5, 1, 7, 58 sunt termeni ai şirului. b) Calculaţi suma primilor 0 de termeni ai şirului. GM 006 E:13160 CLASA a-vi-a 1) a) Determinaţi numerele de forma a 7b45 b) Arătaţi că numărul x = este divizibil cu 13. *** ) Aflaţi numerele naturale în baza 10 cuprinse între numerele 1000 şi 000 care împărţite la 17 să dea câtul egal cu restul. *** 3) a) Se dă unghiul AOB cu măsura de 8 o 30. Construim (OC bisectoarea unghiului AOB, (OD bisectoarea unghiului AOC şi (OE bisectoarea unghiului DOB. Calculaţi măsura unghiului COE. b) Fie A 1, A,... A i puncte coliniare. Ştiind că A 1 A = 1cm, A A 3 = (1 + )cm,..., A 9 A 10 = ( )cm, aflaţi lungimea segmentului A 1 A 10. prof. Sebestyen Julia şi prof. Gruiţă Dorel 4) Demonstraţi că numărul A = n 19 n m este divizibil cu 5, oricare ar fi m, n N. GM 006 E:1311

13 CLASA a-vii-a ) a) Calculaţi: S = b) Demonstraţi că S Q. 198 prof. Botez Radu x y z 3 4x 3y z ) Dacă x, y, z Q astfel încât şi, arătaţi că y x 3y z 5 *** 3) a) În triunghiul ABC, [AD bisectoarea unghiului BAC, D(BC). Dacă P ABC = 33, AB=1, AC=10, calculaţi BD şi DC. b) Dacă E(AB), F(AC) astfel încât AEDF paralelogram, calculaţi P AEDF. prof. Belean Marin si Botez Radu 4) Precizaţi numărul de soluţii ale ecuaţiei x + y + z = 009, x, y, z Z prof.gigel Buth Satu-mare CLASA a-viii-a 1) a) Dacă 0 < a < b, arătaţi că m a, b m a b b) Demonstraţi că g a, ) Determinaţi laturile a, b, c ale unui triunghi şi unghiurile, ştiind că: a 4 3a 1 b 3b 8 c 6c 5 1 *** 3) Fie un segment [AB] şi un plan astfel încât [AB] şi [AB] neparalel cu. Pr [AB] = [MN]. a) Determinaţi poziţia punctului C, pentru care AC + BC este minimă. b) Dacă AB = 50 cm, AM = 10 cm, BN = 40 cm, determinaţi d(p,mn) astfel încât P şi triunghiul ABP echilateral. prof. Sebestyen Julia 4) a) Fie triunghiul echilateral ABC. Considerăm punctul M interior triunghiului ABC. Arătaţi că suma distanţelor de la M la laturile triunghiului este constant. b) Fie ABCD un tetraedru regulat şi O(ABC) oarecare. Ridicăm pe planul (ABC) în punctul O o perpendiculară d care intersectează feţele laterale în punctele M, N, P. Arătaţi că MO + NO + PO = conctant. prof. Florica si Vasile Ginta ***

14 Inspectoratul Şcolar Judeţean Dolj Filiala Craiova a SSMR OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ- Etapa locală Craiova, 4 ianuarie 009 Clasa a VII a Problema 1. Arătaţi că 009 a 009 a 008 Q, unde a = 0, 0,4 0,6... 1,6 1, Problema. a) Pentru a,b N arătaţi că ( a b ) = a + b ab. b) Calculaţi 5 6 şi c) Ordonaţi crescător soluţiile reale ale ecuaţiei x =. Problema 3. Fie ABCD un trapez isoscel cu bazele AB = 4 cm şi CD = cm. Să se determine lungimile laturilor neparalele ale trapezului ştiind că există un punct M în trapez cu proprietatea că distanţele de la M la laturile trapezului sunt direct proporţionale, respectiv, cu lungimile laturilor. Problema 4. Să se determine unghiurile triunghiului ABC în care AC = BC şi m ( C ) = m ( A ). Clasa a VIII a Problema 1. Fie a,b,c R * + cu proprietatea abc = 1. Considerăm E( a,b,c)=. Arătaţi că E(a,b,c) = 1. ab b 1 bc c 1 ca a 1 *** Problema.a) Fie x,y,t R, cu proprietatea că x 0, y 0, t 0. Să se compare numerele y x şi x t. y t b) Fie numerele reale strict pozitive a 1,, a n, b 1,, b n care îndeplinesc condiţiile b i a i, 1 i n, a i b i -1 a i-1, i n. a 1 a şi P = a n. b1 b bn Să se arate că P a1 b n a n M. Popescu Problema 3. Fie un romb ABCD cu proprietatea că m ( A ) = Pe planul rombului se duce perpendiculara AE. Notăm cu P şi Q mijloacele segmentelor [AB] şi respectiv [ AD]. Să se arate că există un punct egal depărtat de punctele A,E,P,C şi Q. G.M.B.nr.10 / 007 Problema 4. În planul se consideră punctele A,B,C şi D, cu AB = CD = x, BC = DA = y şi m ( DAB) = Fie O [AC] şi P un punct al perpendicularei ridicate din O pe planul ( ABCD). Proiecţiile lui P pe laturile AB, BC, CD şi DA se notează cu E,F,G şi H, respectiv.

15 a) Să se arate că HE GF. b) Să se calculeze aria patrulaterului EFGH. V. Slesar MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ CLUJ-NAPOCA Piaţa Ştefan cel Mare nr. 4 Tel. +(40) , ; Fax. +(40) cluj@yahoo.com OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA a V-a Subiectul I.(40 puncte ) (0 puncte) 1. Două eleve de clasa a V-a au cumpărat portocale şi kiwi. O elevă, pentru 5 kg de portocale şi 4 kg de kiwi, a plătit 140 lei, iar a doua elevă, pentru 7 kg de portocale şi kg de kiwi a plătit 106 lei. Cât costă 4 kg de portocale şi 5 kg de kiwi? Prof. Ioan Todea Lic.T. Gh.Şincai (0 puncte). Pentru un concurs de matematică au fost propuse 40 de probleme. Pentru o problemă corect rezolvată se acordă 5 puncte, iar pentru o problemă greşit rezolvată se scad 3 puncte din total puncte. Ştim că un elev promovează la faza următoare dacă a rezolvat corect cel puţin 0 de probleme şi a rezolvat greşit mai puţin de 5 probleme. Verificaţi dacă un elev care a rezolvat 38 de probleme şi a obţinut 10 puncte a promovat pentru faza următoare. Subiectul II.(40 puncte) (0 puncte) 1. Se consideră sumele S şi S Arătaţi că S1 S se divide cu 10. Prof. Ioan Pop Şc.O.Goga (0 puncte). Suma cifrelor numărului abc este 5. Calculaţi suma cifrelor numărului abc. Subiectul III.(10 puncte ) (10 puncte ) Să se arate că suma numerelor naturale care dau câtul 009 la împărţirea cu 009 nu este pătrat perfect. Prof. Vasile Şerdean Şc.nr.1 Gherla Prof. Iulia Brătfălean-Igna, Şcoala Internaţională Cluj -Toate subiectele sunt obligatorii.se acordă 10 puncte din oficiu. -Timp efectiv de lucru- ore.

16 MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ CLUJ-NAPOCA Piaţa Ştefan cel Mare nr. 4 Tel. +(40) , ; Fax. +(40) cluj@yahoo.com Subiectul I.( 45 puncte ) (10 puncte) 1. Să se afle numărul natural a, ştiind că a a 3 (3 1) OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA a VI-a (0 puncte). Aflaţi numerele naturale abc, astfel încât să fie îndeplinită condiţia: (15 puncte) 3. Arătaţi că : Subiectul II.( 30 puncte) a,( b) b,( c) c,( a) 3,(3) prof. Feurdean Gherasim Lic.T.Ana Ipătescu prof. Pop Ioan (15 puncte) 1. Se consideră numărul x= Aflaţi numărul cifrelor numărului x. (15 puncte). Fie triunghiul ABC cu AB=8 cm, M este mijlocul lui (BC) şi [BE bisectoarea unghiului ABC, E(AC) iar BE AM. Să se calculeze lungimea lui (BC). Subiectul III.(15 puncte ) (15 puncte ) 1.Determinaţi N proporţionale cu numerele 101, respectiv 11. n, astfel încât numerele 10 n 1 -Toate subiectele sunt obligatorii.se acordă 10 puncte din oficiu. -Timp efectiv de lucru- ore. şi 10 n 1 1 să fie direct Şc.O.Goga prof. Lucia Iepure Şc.Ioan Bob prof. Vasile Şerdean Şc.nr. 1 Gherla prof. Alb Nicolae Lic.T.O.Goga Huedin

17 MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ CLUJ-NAPOCA Piaţa Ştefan cel Mare nr. 4 Tel. +(40) , ; Fax. +(40) cluj@yahoo.com OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA a VII-a Subiectul I.( 30 puncte ) (0 puncte) 1. Fie numerele: A= şi B Calculaţi: A 009B prof. Elena Coţa Col.Naţ. G.Bariţiu (10 puncte). Aflaţi toate perechile de numere naturale (x;y) care verifică ecuaţia : n1 xy ( y x) ( 1) 009, n N prof. Ioan Pop Şc.O.Goga Subiectul II.( 5 puncte) Se dau numerele raţionale: 3 A n n1, B n n 1 n şi Să se arate că (15 puncte) a) B (10 puncte) b) A B) C 7 A pentru orice n N ; ( nu depinde de n. C n n 4 4 n n 3 n,... n N. prof. Teodor Poenaru Lic.T. N.Bălcescu Subiectul III.(15 puncte ) Considerăm trapezul ABCD cu baza mare AD. Bisectoarele exterioare ale unghiurilor A şi B se intersectează în punctul P, iar bisectoarele exterioare ale unghiurilor C şi D se intersectează în Q. Să se demonstreze că lungimea segmentului PQ este egală cu semiperimetrul trapezului. prof. Magdaş Camelia şi prof. Jecan Eugen Col.Nat. A.Muresanu Dej Subiectul IV.(0 puncte ) Se consideră paralelogramul ABCD, iar M şi N mijloacele laturilor (AB), respectiv (CD).Dreapta BN intersectează dreapta AD în punctul E.Să se arate că: a) (DE) (BC) ; b) Punctele E,P şi M sunt coliniare, unde {P}=BD AN ; c) PR CD,unde {R}=AC BE. -Toate subiectele sunt obligatorii.se acordă 10 puncte din oficiu. -Timp efectiv de lucru-3 ore. prof. Ioan Groza Şc.Avram Iancu Turda

18 MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI INOVĂRII INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN CLUJ CLUJ-NAPOCA Piaţa Ştefan cel Mare nr. 4 Tel. +(40) , ; Fax. +(40) cluj@yahoo.com OLIMPIADA DE MATEMATICĂ ETAPA LOCALĂ CLASA a VIII-a Pop Subiectul I.(30 puncte ) (15 puncte) 1. Se consideră numerele reale x şi y astfel încât 0 x y 16x 64xy 60y x 4xy, să se calculeze : (15 puncte). Fie E n ( x) x nx ( n 1), (5 puncte) a) Arătaţi că E ( x) ( x 1)( x 010) 009 n N. şi x y x y E ( x) E ( x)... E ( x) 0 (10 puncte) b) Rezolvaţi ecuaţia Subiectul II.(30 puncte) (15 puncte) 1. Determinaţi toate numerele naturale nenule a astfel încât: ( a (15 puncte). Demonstraţi că a 9) 3a ( a a 9) 4a 4131 prof. Lucia Iepure Şc.Ioan Bob nu este număr raţional. Prof.Mihai Mărcuş prof. Vasile Şerdean Şc.nr. 1 Gherla prof. Ioan Şc.O.Goga Lic.T.N.Bălcescu Subiectul III.(0 puncte ) Fie triunghiul dreptunghic ABC cu catetele AB=40 cm şi AC=30 cm. În punctul O, piciorul perpendicularei duse din A pe (BC),se ridică perpendiculara PO=4 cm pe planul (ABC).Calculaţi: a) distanţa dintre dreptele DE şi AP, unde D şi E sunt mijloacele laturilor (AB), respectiv (AC); b) tg u, unde u este măsura unghiului dintre planele (PAC) şi (ABC); c) distanţa de la punctul O la planul (PAC). prof. Ioan Pop Şc.O.Goga Subiectul IV.(10 puncte ) Pe fiecare faţă a cubului ABCDA B C D se scrie un număr natural diferit de zero, iar în fiecare vârf se scrie produsul celor trei numere scrise pe feţele care se întâlnesc în vârful respectiv. Ştiind că suma numerelor din vârfurile cubului este 663, să se afle suma numerelor de pe feţele cubului. prof. Vasile Şerdean Şc.nr. 1 Gherla -Toate subiectele sunt obligatorii.se acordă 10 puncte din oficiu. -Timp efectiv de lucru-3 ore.

19 OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ- ETAPA LOCALĂ 14 februarie 009 BISTRIŢA-NASAUD Clasa a IV-a 1. Intr-o livadă sunt 0 de pomi. Ştiind că numărul prunilor reprezintă jumătate din numărul merilor, iar numărul cireşilor un sfert din numărul prunilor, aflaţi câţi meri, pruni şi cireşi sunt in livadă, dacă numărul nucilor este 5.. Un număr împărţit la 9 dă un cât şi restul 3. Împărţind câtul la 8, obţin un alt cât şi rest 7. Din împărţirea ultimului cât la 5 se obţine rezultatul 359 şi restul. Aflaţi numărul iniţial. 3. Dublul unui număr este cu 7 mai mic decât triplul unui alt număr. Aflaţi numerele ştiind că ele sunt consecutive. Ioan Duicu, Şc. Gen. Nr. 4 Bistriţa Clasa a V-a 1. Dublul unui număr este egal cu triplul altui număr, iar diferenţa lor este 16. Aflaţi numerele: Valer Pop G.M. nr. 9/008. Determinaţi mulţimea numerelor naturale de forma abc, scrise în baza zece, unde ab este pătrat perfect, iar c ab ; Graţiela Silvia Candale, CN Andrei Mureşanu Bistriţa 3. Suma a două numere naturale este 18. Împărţind numărul mai mare la numărul mai mic se obţin următoarele rezultate: câtul şi restul sunt numere naturale consecutive iar suma dintre cât şi rest este egală cu împărţitorul. Aflaţi cele două numere. Daniel Stanciu, Şcoala Generală Braniştea Elisabeta Stanciu, C.N. Petru Rareş Beclean Clasa a VI-a 3n 1. Se ştie că fracţia, cu n număr natural impar, este reductibilă. 7n 3 Aflaţi ultima cifră a numărului n. Radu Gologan G.M. Supliment cu exerciţii; Mai Iunie 008. Fracţiile următoare sunt aşezate asfel : 1, 1 1,,, ,,,,, ,,,,,,, a).câte fracţii se află pe linia 009? b).arătaţi că, dacă scriem n linii complete, numărul total al fracţiilor scrise pe cele n linii este un pătrat perfect. Radu Burz,Şc. Gen. Avram Iancu Bistriţa 3. În jurul punctului O se formează unghiurile AOB, BOC, COD, DOA. Notăm cu [OX, [OY, [OZ, [OT bisectoarele unghiurilor (în ordinea data a unghiurilor).ştiind c m( ZOB) este cu m( XOC) si m( XOY ) este cu 1 mai mică decât ( XOT ) 3 mai mare decât m, să se afle m( XOZ ). Ştefan Iloaie, Şc. Gen A.P.Alexi Sîngeorz-Băi

20 Clasa a VII- a OLIMPIADA NAŢIONALĂ DE MATEMATICĂ- ETAPA LOCALĂ 14 februarie 009 BISTRIŢA-NASAUD 1. Să se rezolve în mulţimea numerelor întregi ecuaţia: xy 7y 5x 3. Teodor Szasz, Şc. Gen. Nimigea. Fie ABCD un patrulater convex în care triunghiurile ABC, ACD şi BDC au arii egale. a) Să se arate că ABCD este paralelogram. b) Dacă triunghiurile ABC şi DBC au şi perimetrele egale, atunci ABCD este dreptunghi. Lia Săplăcan, C. N. P.Rareş Beclean 3. Demonstrati că: n <, n( n 1) 3 4 n oricare ar fi n * - {1}. G.M. nr. 10 / 008 Clasa a VIII-a 1.a) Fie a,b,c ( 0; ) şi a+b+c=16. Arătaţi că: ab ac ab bc ac bc 4 Gheorghe Căzănel, G.M. nr. 10/008 b) Calculaţi valoarea expresiei: (a) a 8 a E 4 7 a a a a a a 1 1 dacă a 3. a a Vasile Scurtu, G.M. nr. 7-8/008. Considerăm numerele reale a şi b care îndeplinesc condiţia: a + b - 6 a b Determinaţi numărul natural n în funcţie de numărul natural p astfel încât a b a ( )n ( b ) p a b a b = Horaţiu Morar, Şc. Gen. Stefan cel Mare Bistriţa 3. Fie pătratul ABCD şi triunghiul ABF isoscel, situate în plane diferite, AB 6cm, m(<abf)=10, astfel încât CM (ABF), M (AF ). a) Aflaţi distanţa de la punctul M la planul (ABC). b) Aflaţi măsura unghiului format de dreptele AD şi BF. Sorin Budişan, Şc. Gen. Uriu

21 ETAPA LOCALĂ BIHOR 14 februarie 009 CLASA a V-a 1. La un concurs se dau 30 de probleme. Pentru fiecare răspuns corect se acordă 5 puncte, iar pentru fiecare răspuns greşit se scad 3 puncte. Câte răspunsuri corecte a dat un elev care a obţinut 118 puncte?. Dacǎ a + b = 7 şi b+c = 98, calculaţi 3a + 8b + 5c, 3. a) Scrieţi numărul în baza. b) Suma de 009 lei este împărţită în mai multe plicuri. Fiecare plic conţine o sumă de bani care se exprimă printr-o putere a lui. Aflaţi cel mai mic număr de plicuri ce poate fi folosit şi ce sumă de bani este în fiecare plic. Valer Pop,Şanţ,,Bistriţa-Năsăud(G.M.nr.7-8/008)e Fie numarele: a a) Comparaţi numerele; b. b) Care este suma cifrelor numǎrului a + b? R.M.T.nr. 008 CLASA a VI-a A 34 1., B x N 1. Fie mulţimile: x N x, a) Determinaţi mulţimile A, B, C. b) Aflaţi B \ (A C). 1 N x 1, C x N 34x3. Perimetrul unui triunghi isoscel este de 6cm. Aflaţi lungimile laturilor triunghiului ştiind că una dintre laturi este de 8cm. 3. Ştiind cǎ numerele raţionale pozitive nenule a, b, c sunt direct proporţionale cu 3; 5 respectiv 6, sǎ se 3 c c c arate cǎ:. R.M.T. 3 3 a b a b a b 4. Se dau unghiurile AO B şi BO C astfel încât m( AOB) 3 m( BOC). Ştiind că bisectoarele lor formează un unghi cu măsura 40 : a) Calculaţi măsurile unghiurilor AOB, BOC şi AOC. b) Dacă OB este semidreapta opusă lui OB, calculaţi m( AOB). G.M.nr.11/008)

22 CLASA a VII-a ETAPA LOCALĂ BIHOR 14 februarie Să se determine valorile întregi ale lui x pentru care expresia: x E este întreagă. x 7. Fie [BM] mediană în Δ ABC. Dacă AD este mediatoarea segmentului [BM], D(BM), AD BC P iar MT AP unde T[BC], să se arate că: a) Δ BM Teste dreptunghic; b) [MP] [TC];c) dacă m MBC 30, să se calculeze m BAC. 3. Demonstraţi inegalitatea Se consideră trapezul ABCD, AB CD, CD AB, în care AB BC RMT. Perpendiculara în C pe AC intersectează dreapta AD în N şi dreapta AB în E.DacăM BN DC, demonstraţi că M este mijlocul segmentuluidc. E.Blăguţ, Bacău(G.M.nr.9/008) CLASA a VIII-a 1. a)arătaţi că a a a 1 3a 3a 5 a este cubul unui număr real, oricare ar fi ar. b) Fie expresia: 3 3x 18x x 9 3x x 10x 5 E(x)= : x x x 9x 1 i) Să se determine valorile reale ale lui x pentru care E(x) are sens. ii) Să se aducă expresia E(x) la forma cea mai simplă. iii) Pentru ce valori întregi ale lui a, E(a) este număr întreg?. Dimensiunile a, b, c ale unui paralelipiped dreptunghic verifică relaţia a b c 160 şi sunt proporţionale cu numerele 3, 4 şi 5. Calculaţi: a) Dimensiunile paralelipipedului b) Suma ariilor tuturor feţelor paralelipipedului şi lungimea unei diagonale c) Distanţele de la vârfurile unei baze la o diagonală a paralelipipedului 3. Calculaţi valoarea expresiei: a a a a a a a a 1 1 Ea, dacă a. 4 3 a a G.M.nr.7-8/ Fie M,N mijloacele muchiilor BC, DD ale unui cub ABCDA B C D şi notǎm {P} = DM AC, {Q} = CN DC. Demonstraţi cǎ PQ // (ABC ). RMT

23 Etapa locală-4 ianuarie 009 Clasa a V a Inspectoratul Şcolar al Judeţului Prahova Olimpiada de matematică Subiecte 1.Demonstrati ca suma dintre abcde si edcba are cel putin o cifra para. Prof.Moldoveanu Calin Dragos, Sinaia.Suma a patru numere naturale este 66.Impartindu-le prin acelasi numar natural nenul, se obtin caturile numere naturale consecutive si resturile 1,,3 respectiv 4.Aflati numerele.cate solutii are problema? Prof. Maria si Anton Negrila, Ploiesti 3.Aratati ca exista o infinitate de numere naturale pentru care jumatatea si dublul lor sunt numere naturale patrate perfecte, iar sfertul lor este numar natural cub perfect.care este cel mai mic numar natural cu aceasta proprietate? Prof. Tomescu Ion, Mizil; Prof Lupea Ion, Ploiesti 4.In scoala noastra jumatate dintre elevi sunt baieti. Jumatate dintre elevi sunt inscrisi la ciclul primar iar restul la ciclul gimnazial. Aratati ca numarul de baieti de la gimnaziu este egal cu numarul de fete din ciclul primar. Prof.Ioana Craciun si Gheorghe Craciun, Ploiesti Notă: Timp de lucru : 3 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 1 la 10

24 Etapa locală-4 ianuarie 009 Clasa a VI- a Inspectoratul Şcolar al Judeţului Prahova Olimpiada de matematică Subiecte 1.Aflati numerele xy si zt stiind ca xy ( zt 1) zt 010 Prof. Gh. Achim, Mizil. a) Stabiliti daca numarul este prim. b) Aratati ca exista 009 numere naturale consecutive astfel incat nici unul sa nu fie numar prim ; aflati cel mai mare divizor comun al acestora. Prof. Dragos Moldoveanu, Sinaia 1 3.Fie A n N, n n a) Calculati :. 3 6 b) Scrieti numarul 1 ca suma a 1 elemente din multimea A. c) Numarul 1 poate fi scris ca suma de elemente din A, avand numitorii numere prime? Prof. Dragos Moldoveanu, Sinaia 4. Fie m, n N, m < n astfel incat (m,n)=1 si fractia Prin ce numar se simplifica fractia F? F 4n m 3n 4m este reductibila. Prof. Petre Nachila si Catalin Nachila 5. Fie M 1 mijlocul segmentului [AB], M mijlocul segmentului [AM 1 ], M 3 mijlocul segmentului [AM ],, M n mijlocul segmentului [AM n 1 ]. Daca AM n =1, calculati S=AM n +AM n 1 +.+AM 3 +AM +AM 1. Aflati n daca S=17. Prof. Ion Tomescu si Ion Lupea Notă: Timp de lucru : 3 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 1 la 10

25 Etapa locală-4 ianuarie 009 Clasa a VII a Inspectoratul Şcolar al Judeţului Prahova Olimpiada de matematică Subiecte 1. a) Verificaţi că b) Arătaţi că : k k k , pentru orice k. k 009 Prof.Samuel Ioniţă, Bărcăneşti. Numerele naturale nenule a, b şi numărul real x verifică relaţia x a b a b a) Arătaţi că a b 1 b) Demonstraţi că x este număr iraţional. Prof.Gh.Bumbăcea, Buşteni 3. În triunghiul ABC, M AB, F şi G CM iar AF BC D, AG BC E. astfel încât BM 3 AM, CF FG GM a) Demonstraţi că triunghiurile AGF si EGM sunt congruente. b) Arătaţi că BE 6 CD. Prof. Silvia şi Ionel Brabeceanu, Plopeni 4. Fie ABCD trapez dreptunghic cu AB CD şi AB CD, AC BD şi m(bdc )= a). Demonstraţi că CD = 3AB; b). Fie O intersecţia diagonalelor trapezului.dacă P este simetricul lui D faţă de O şi S este mijlocul segmentului [AC],atunci dreapta PS împarte triunghiul BOC în două suprafeţe de arii egale. Prof.Elena Tudor, Sinaia Notă: Timp de lucru : 3 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 1 la 10

26 Etapa locală-4 ianuarie 009 Clasa a VIII a Inspectoratul Şcolar al Judeţului Prahova Olimpiada de matematică Subiecte Fie expresia E(x) = x x x 3x. a) Arătaţi că E(x) 0, oricare ar fi x R. b) Determinaţi a Z astfel încât E(a) să fie pătrat perfect. ***. Să se determine x, y, z numere întregi ştiind că şi xy 3xz 5yz 75 9x 5y 5z 675 Prof. Silvia şi Ionel Brabeceanu, Plopeni 3. Dreptunghiul ABCD şi triunghiul ABE cu AE=13cm, AB=14cm,EB=15cm şi BC =1cm,sunt situate în plane diferite.dacă H este ortocentrul triunghiului ABE si EH BC,aflaţi distanţa de la H la (EDC). Prof. Ion Tomescu, Ion Lupea 4. In cubul ABCDA B C D se consideră un punct T un punct pe (AO) unde O este centrul fetei BCC B. Aflati unghiul dintre dreptele D B si B T. Prof Ioana Craciun si Gheorghe Craciun,Ploiesti Notă: Timp de lucru : 3 ore. Fiecare subiect se notează cu puncte de la 1 la 10

27 OLIMPIADA DE MATEMATICĂ BACAU ETAPA LOCALĂ 4 IANUARIE 009 C LASA A V-A 1. a) AflaŃi numerele de două cifre care împărńite la 4 dau câtul de o cifră şi restul trei. b) Fie şirul de numere naturale 3, 7, 11, 15,... i) VerificaŃi dacă 131 şi 009 sunt numere din şir. ii) DeterminaŃi al 100-lea termen al şirului.. DiferenŃa a două numere este 3. AflaŃi numerele ştiind că unul dintre ele este cu 11 mai mic decât triplul celuilalt. 3. Să se determine numerele a, b, c ştiind că 5a + 3b = 57, a c = 7, iar b c = DeterminaŃi numerele naturale a, b, c, d, e, f, g nenule, distincte, cele mai mici posibile, din pătratul alăturat, pentru a face un pătrat magic (suma numerelor pe linii, pe coloane şi pe diagonale să fie aceeaşi). Nici un număr nu trebuie să se repete în pătrat. JustificaŃi fiecare alegere. a 4 3 b 6 11 c 9 d 7 8 e 5 f g C LASA A VI-A 1. Să se determine numerele naturale prime a, b, c cu proprietatea: 87 a + 8b+ 14c= ArătaŃi că rezultatul calculului natural, oricare ar fi n N *. 1,4+,4+ 3, n,4 1 n + n 10 este număr 3. Se consideră cele nouă puncte obńinute prin intersecńia dreptelor din figura de mai jos. ExplicaŃi cum putem desena, fără a ridica creionul de pe hârtie, o linie frântă formată din patru segmente care să conńină toate cele nouă puncte (punctele menńionate nu sunt în mod obligatoriu capete ale segmentelor). 4. a) DesenaŃi AOB cu măsura de 3 şi apoi BOC cu măsura de cinci ori mai mare decât măsura AOB. b) Pornind de la figura realizată la punctul a), desenańi un unghi cu măsura de 16 15, folosind numai rigla negradată şi compasul (precizańi fiecare pas făcut în realizarea desenului).

28 OLIMPIADA DE MATEMATICĂ BACAU ETAPA LOCALĂ 4 IANUARIE 009 C LASA A VII-A 1. ArătaŃi că numărul A este natural, unde A= Precizăm că sub fiecare radical este o sumă cu număr impar de termeni.. Să se verifice egalitatea: = Triunghiurile ABD, ABC şi ACE nu au puncte interioare comune. Fie M (BA), N (CA) astfel încât MN BC. ConstruiŃi P (AD), Q (AE) astfel încât AP NC = PD AN şi AQ MB + = 1. StabiliŃi pozińia dreptelor PQ şi DE. AE AB 4. Fie pătratul ABCD. Considerăm punctele M (BD), N (CD) şi P (AB, astfel încât (DM) (DC), (BM) (DN) şi (DB) (AP). Dacă MN AB={E}, să se demonstreze că EPCN este paralelogram C LASA A VIII-A 1. DeterminaŃi numerele a şi b, distincte, ştiind că [ a, b] Z = { a, b} 4b + 9a 1b+ 6a 7= 0. *. a) Suma numerelor a, b, c R este 16. ArătaŃi că: +, iar ab + ac + ab+ bc + bc+ ac 4. b) Suma numerelor întregi a, b şi c este pară. Dacă b = (a+)(c+), arătańi că a, b şi c sunt numere pare. 3. Pe un cerc C(O, 6cm) se consideră punctele A, B, C, D, în această ordine, astfel încât măsurile arcelor AB, BC, CD şi CDA să fie direct proporńionale cu numerele, 4, 3, 6. În punctul A se ridică perpendiculara AE pe planul (ABC), AE = 6 cm. Se cere: a) Aria patrulaterului ABCD b) DistanŃa de la punctul A la planul (BCE) c) Măsura unghiului format de planele (ABC) şi (CDE). 4. Fie ABCD un romb cu m( ABC)=10 o. În punctul P (AC) se ridică perpendiculara MP pe planul (ABC). ProiecŃiile punctului M pe laturile (AB), (BC), (CD) şi (DA) sunt punctele E,F,G şi respectiv H. a) DemonstraŃi că EFGH este trapez isoscel b) Dacă d este dreapta de intersecńie a planelor (MEH) şi (MFG), arătańi că dreptele d şi AC sunt necoplanare.

29 INSPECTORATUL COLAR JUDEEAN BRILA OLIMPIADA DE MATEMATIC ETAPA LOCAL, CLASA A V-A 1. S se arate c numrul natural a = este ptrat perfect. ***. S se compare numerele 7 3 n+ i 3n+ 11, unde n este numr natural. Gazeta Matematic 3. Determinai toate numerele naturale de forma abc care împrite la bc dau câtul 5 i restul bc 5. prof. Liliana Stoian 4. Câte numere naturale de forma abcd se împart exact la a0 c? prof. Narcis Turcu Not: 1) Toate subiectele sunt obligatorii. ) Timpul de lucru este de 3 ore.

30 INSPECTORATUL COLAR JUDEEAN BRILA OLIMPIADA DE MATEMATIC ETAPA LOCAL, CLASA A VI-A 1. Unghiurile AOBi BOC sunt adiacente. Bisectoarea unghiului AOB formeaz cu semidreapta [OC un unghi de msur 105, iar unghiul format de bisectoarele unghiurilor AOBi BOC are msura de 65. Determinai m( AOC ) i m( AOB). ***. În exteriorul triunghiului ascuitunghic MNP se construiesc triunghiurile echilaterale MNQi MPR. S se demonstreze c QP = NR. *** 3. S se determine cardinalul mulimii: { i exist numr natural prim astfel încât ( ) } 3 A = abc a > c p abc cba p. prof. Narcis Turcu 4. S se arate c pentru n *, n 4, suma tuturor fraciilor de forma a b cu 1 a < b n este numr natural. prof. Gerea-Teodorescu Nicolae Not: 1) Toate subiectele sunt obligatorii. ) Timpul de lucru este de 3 ore.

31 INSPECTORATUL COLAR JUDEEAN BRILA OLIMPIADA DE MATEMATIC ETAPA LOCAL, CLASA A VII-A S se arate c < ***. Determinai numerele naturale xi y care verific relaia: xy + x + y = 85. prof. Octavia Popa 3. Fie dreptunghiul ABCD cu AB>BC. Bisectoarea unghiului ABC intersecteaz CD în Q i AD în P. Fie [DT bisectoarea unghiului PDQ, T (BP). Dac CT AD={M} i AT CD={S}, artai c SQ=DM. prof. Nicolae Stnic 4. (enun modificat) Fie triunghiul isoscel ABC, [ AB] [ AC] i punctul P situat în exteriorul triunghiului, dar în interiorul unghiului BAC. Dac APB APC i unghiurile ABP, ACP sunt obtuze, demonstrai c [ BP] [ CP]. prof. Marius Damian Not: 1) Toate subiectele sunt obligatorii. ) Timpul de lucru este de 3 ore.

32 INSPECTORATUL COLAR JUDEEAN BRILA OLIMPIADA DE MATEMATIC ETAPA LOCAL, CLASA A VIII-A 1. Determinai valorile numerelor reale ai b care îndeplinesc condiia: a + b 6a + 4b + 13 = 0. ***. Fie numerele naturale nenule a, b, c, d, x, y astfel încât x = a + c i y = b + d. Artai c x y = 4. b d a c prof. Marius Damian 3. Fie tetraedrul ABCD i punctele M, N mijloacele segmentelor [ AB ], respectiv [ ]. AD + BC CD Demonstrai c MN <. *** 4. Fie ABCDMNPQ cub i C1, C cercurile circumscrise ptratelor ABCD i ADQM. Fie R, T mijloacele arcelor mici AD din C1 i respectiv C. Demonstrai c RT UV, unde { U} = RP ( ADQ) i { V} = TP ( ABC ). prof. Nicolae Stnic Not: 1) Toate subiectele sunt obligatorii. ) Timpul de lucru este de 3 ore.

33

34 CALARASI Ν

35 [ ] [ ] = = = + + = + + [ ] + +

36 MINISTERUL EDUCAIEI, CERCETRII I INOVARII INSPECTORATUL COLAR AL JUDEULUI CARA-SEVERIN Strada Ateneului Nr.1, 3011 REIA-ROMANIA Tel: 055/1438; Fax: 055/1604 OLIMPIADA DE MATEMATIC FAZA LOCAL CLASA a V-a 7p 1. Într-o familie de 4 persoane, suma vârstelor acestora este de 97 7p de ani. Biatul s-a nscut când tatl avea 3 de ani, iar fata s-a nscut când mama avea de ani i fratele su 4 ani.putei gsi ce vârst are fiecare acum? Prof. Mariana Drghici, Reia. S se gseasc mulimile A i B care au fiecare câte 3 elemente, numere naturale, tiind c satisfac urmtoarele proprieti : a) 4 A B; b) x A x B ; c) suma elementelor mulimii B este triplul sumei elementelor mulimii A. Prof. Marius andru, Reia 7p 3. Artai c diferena dintre jumtatea lui 57 4 i sfertul lui 8 16 este 7p NOT: divizibil cu 14, iar suma dintre treimea lui 45 9 i 9 7 este divizibil cu 10. Prof. Emilia-Dana Schiha, Berzasca 4. Considerm mulimea tuturor numerelor naturale care împrite la 101 dau câtul egal cu restul. Artai c dublul sumei elementelor acestei mulimi se poate scrie ca produsul a trei numere naturale consecutive. Prof.Vasile Chi, Reia. TIMP DE LUCRU ORE. TOATE SUBIECTELE SUNT OBLIGATORII.

37 MINISTERUL EDUCAIEI, CERCETRII I TINERETULUI INSPECTORATUL COLAR AL JUDEULUI CARA-SEVERIN Strada Ateneului Nr.1, 3011 REIA-ROMANIA Tel: 055/1438; Fax: 055/1604 OLIMPIADA DE MATEMATIC FAZA LOCAL CLASA a VI-a 7p 1. Se consider numerele B A... i a) Artai c A B este numr natural ; b) Demonstrai c 1003 B A 006. Prof. Delia i Adrian Dragomir, Caransebe p. a) Artai c numrul 4 : 4 n este mai mic decât b) Stabilii care dintre numerele a i b 3 este mai mare. Prof.Adriana i Lucian Dragomir, Oelu Rou 0 7p 3. Fie m AOB 90 i OC o semidreapt situat în interiorul 0 unghiului AOB, iar maob m AOC 180. a) Artai c bisectoarea OX a unghiului BOC este perpendicular pe dreapta OA. b) Dac maob 5m BOC, determinai msurile unghiurilor AOB, AOC i XOY, unde OY este bisectoarea unghiului AOC. Prof. Monica Moco, Reia. 7p NOT: 4. Pe latura [OX a unghiului XOY cu msura de 60º se consider punctul P. Dac punctele R i S sunt pe latura [OY astfel ca OR=8 cm iar RS = cm, atunci determinai perimetrul triunghiului OPS tiind c el este echilateral. Realizai un desen corespunztor. Prof. Irina Avrmescu, Reia TIMP DE LUCRU ORE. TOATE SUBIECTELE SUNT OBLIGATORII.

38 MINISTERUL EDUCAIEI, CERCETRII I TINERETULUI INSPECTORATUL COLAR AL JUDEULUI CARA-SEVERIN Strada Ateneului Nr.1, 3011 REIA-ROMANIA Tel: 055/1438; Fax: 055/1604 OLIMPIADA DE MATEMATIC FAZA LOCAL CLASA a VII-a 7p 1. a) Artai c nu exist ptrate perfecte de forma 4k, oricare ar fi numrul natural k. b)artai c numrul x 85 n 115 n1 5 n 6 \, n. Prof. Irina Avrmescu, Reia 7p 7p 7p. Fie y Calculai valoarea lui y.. Prof. Monica Moco, Reia. 3. Considerm triunghiul ABC i un punct M situat în interiorul triunghiului. Dac E i F sunt simetricele punctului M în raport cu mijloacele segmentelor [AB] i respectiv [AC], artai c M se afl pe înlimea din A a triunghiului ABC dac i numai dac segmentele [CE] i [BF] sunt congruente. Prof. Vasile Chi, Reia 4. Fie ABCD un paralelogram în care AD BD, AD =6cm, M mijlocul lui (CD), N mijlocul lui (AB), AM BD = i CN BD = F. Dac EF = 6 cm, aflai aria paralelogramului ABCD. Prof. Mariana Drghici, Reia. NOT: TIMP DE LUCRU 3 ORE. TOATE SUBIECTELE SUNT OBLIGATORII.

39 MINISTERUL EDUCAIEI, CERCETRII I TINERETULUI INSPECTORATUL COLAR AL JUDEULUI CARA-SEVERIN Strada Ateneului Nr.1, 3011 REIA-ROMANIA Tel: 055/1438; Fax: 055/1604 OLIMPIADA DE MATEMATIC FAZA LOCAL CLASA a VIII-a 7p 1. S se determine numerele întregi nenule a i b pentru care a1 b1 i 3 4. b a a b Prof. Ovidiu Bdescu, Reia 7p. Fie numrul a ( x 1)( x )( x 3)( x 4), x a) Artai c a 1 este ptrat perfect; b) Artai c, dac x 5 n, n, atunci a 009 este un numr iraional.. Prof. Mariana Drghici, Reia 7p 7p 3. Fie cubul cu vârfurile A,L,G,E,B,R,I,C în care suma dintre lungimea unei muchii, a diagonalei unei fee i a diagonalei cubului este Artai c distana de la punctul A la planul BEL este mai mic decât 0,(6). Prof. Irina Avrmescu, Reia 4. Triunghiul echilateral ABC i triunghiul dreptunghic isoscel DBC m D 90, se afl în plane diferite, msura unghiului 0 dintre ele fiind de 30 o. a) Dac P este proiecia punctului D pe planul (ABC) i M este mijlocul lui [BC], artai c punctele M, A, P sunt coliniare. b) Stabilii poziia punctului P în raport cu ABC. Prof. Vasile Chi, Reia NOT: TIMP DE LUCRU 3 ORE. TOATE SUBIECTELE SUNT OBLIGATORII.

40

41 Olimpiada de Matematic faza local- Galai 14 februarie-009 CLASA a V-a Problema I S se scrie numrul ca suma de ase numere naturale consecutive. Problema II. Problema III S se afle restul împririi numrului 7 5 n prin 31, n Problem propus de prof. Maricel Manea Problem propus de prof. Cornel Hahui Se consider mulimea A={1,5,9,...,009} i o submulime B a lui A, format din 54 elemente. S se arate c exist în submulimea B dou elemente a cror sum este 018. Problem propus de prof. Mihai Totolici Problema IV Fie numrul natural x= cifre a) S se determine suma cifrelor numrului x. b) S se demonstreze c numrul format din ultimele patru cifre ale lui x are forma 7k+1 i s se afle k Problem propus de prof. Andrei Nicoar Dorina Not 1. Toate problemele sunt obligatorii. Timp efectiv de lucru 3 ore 3. Fiecare problem se noteaz cu puncte de la 0 la 7

42 Olimpiada de Matematic faza local- Galai 14 februarie-009 CLASA a VI-a Problema I S de afle numerele naturale de forma xyz, în baza 10, x 0, tiind c xyz +5=(x-4) y 3 + z Problema II Problem propus de prof. Saulea Tatiana Determinai numrul natural n tiind c este îndeplinit condiia : n n+ 1 card A=1500, unde A= { x 5 < x 5 } Problema III Problem propus de prof. Dorina Savin S se determine numrul abc, divizibil cu 9, tiind c a 1 b 3 c 4 = = i 1 a 9 ; 3 b 9 ; 4 c Problem propus de prof. Rodica i Dumitru Blan Problema IV Fie AOB cu masura de 18 0 i [OA 1 bisectoarea AOB, [OA bisectoarea AOA1, [OA 3 bisectoarea AOA,..., [OA 7 bisectoarea AOA6. 1) Aflai msura unghiurilor AOA5 i BOA7 ) Aflai msura unghiului dintre bisectoarea unghiului AOA5 i bisectoarea unghiului BOA3 Problem propus de prof. Serghie Cristi Not 4. Toate problemele sunt obligatorii 5. Timp efectiv de lucru 3 ore 6. Fiecare problem se noteaz cu puncte de la 0 la 7