Matematici Financiare

Transcript

1 Universitatea "Al. I. Cuza" Ia³i Facultatea de Matematic [Iulian Stoleriu] Matematici Financiare - Note de Curs - 20 mai 2015

2 MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] 1 Matematici financiare (C1) Introducere Matematicile financiare (en., Financial mathematics) constituie o ramură a Matematicilor Aplicate care se preocupă de analiza pieţelor financiare. Aceasta ramură este în strânsă legatură cu Economia financiară, dar este mai restrânsă şi mult mai abstractă. Obiectul Matematicilor financiare constă în utilizarea raţionamentului matematic riguros sau a metodelor numerice în vederea studierii modelelor economico-matematice ale operaţiunilor financiare ce apar în Economia financiară. Matematicile financiare urmăresc să impună logica şi rigoarea raţionamentului matematic în introducerea, prezentarea şi studiul modelelor economico-matematice ale operaţiunilor financiare, prin care se plasează anumite sume de bani în anumite condiţii şi se urmăreşte şi analizează rentabilitatea unor astfel de plasamente. Matematicile financiare sunt înrudite cu Ingineria financiară (en., Financial engineering or Computational finance), cu care de multe ori chiar se confundă. Totuşi, Matematicile financiare se preocupă cu derivarea modelelor matematice aplicabile Finanţe, pe când Ingineria financiară se preocupă mai ales de aplicaţii. Operaţiunile financiare pe care Matematicile financiare şi le propune să le studieze intereseaza atât instituţiile financiare (bănci, burse, case de pensii şi economii, societăţi de asigurări, societăţi de acţiuni), cât şi pe particulari, care se preocupă de investiţii. Mai toată lumea urmăreşte să-şi plaseze banii cât mai convenabil sau să facă anumite împrumuturi pentru investiţii industriale, agricole, pentru a cumpăra o maşină, o locuinţă etc. Cu ajutorul teoriei Matematicilor financiare putem estima preţul unui titlu de valoare sau putem determina preţul valorilor derivate, e.g. contracte futures, opţiuni, sau putem găsi un portofoliu optimal în concordanţă cu nevoile fiecarui investitor. Matematica financiară este matematica investiţiilor şi a riscului. Se preocupă de decizii ce trebuiesc luate azi, având în vedere câteva informaţii incerte despre viitor. Exemple de întrebări la care această disciplină îşi propune să raspundă sunt: Cum definim riscul financiar? Fără a intra în detalii, prin risc financiar înţelegem orice eveniment sau acţiune care poate avea un efect negativ în îndeplinirea obligaţiilor şi atingerea obiectivelor unei anumite organizaţii. Există metode de a acoperi riscul financiar? Sigur că există! În acest curs vom discuta unele metode de acoperire a riscului financiar rezultat în urma tranzacţionării contractelor cu opţiuni. Aceste metode sunt numite metode de hedging. Cum am putea evalua valoarea unor acţiuni sau chiar a unei intreprinderi? Care este valoarea actuală a unei opţiuni de a comercializa un titlu de valoare? În aceste note vom discuta metode de evaluare a valorii actuale a unor contracte cu opţiuni. Cum ar trebui gestionat portofoliul de opţiuni în vederea reducerii riscului în afaceri? Ultimul capitol al acestui curs se preocupă de metode de optimizare a portofoliilor. etc. Punctul zero al Matematicilor financiare se consideră a fi anul 1900, atunci când matematicianul francez Louis Bachelier şi-a prezentat teza de doctorat intitulată Théorie de la spéculation, în care a utilizat metode din Analiza stochastică, mai precizs mişcarea Browniană, în evaluarea preţului unor contracte financiare. Dezvoltarea Matematicilor financiare a căpătat amploare în secolul XX, odată cu apariţia teoriei probabilităţilor, de care este strâns legată. 1

3 MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] O persoană implicată în analiza financiară se mai numeşte şi analist cantitativ (en., quantitative analist sau, pe scurt, quant). Preocupările unui quant vor fi legate de modelarea şi analiza unor fenomene economicofinanciare, dar şi de investiţii, schimburi financiare. Un consultant finaciar ce are cunoştinţe solide de matematică şi programare se numeşte în limbajul colocvial rocket scientist. De la o astfel de persoană se aşteaptă inventarea de noi derivate financiare complicate sau construirea de modele matematice sofisticate. În mod curent, un rocket scientist nu construieşte rachete pentru a se întreţine. Ce ai putea face cu banii? Aşadar ai mulţi bani şi totuşi eşti nefericit; nu ştii ce să faci cu ei. Eşti în căutare de un sfat? Un om "strângător" şi-ar lua un "ciorap încăpător" şi "depozita" averea acolo, ceea ce nu sfătuiesc pe nimeni. Dacă "depozitul" s-ar face pe o perioadă mare, atunci ai avea numai de pierdut. Sau, ai putea să-i pui foarte bine într-un cont de economii cu dobânda mare. Este o investiţie sigură, însă nu ai acces la bani pe o perioadă destul de mare şi nu poţi face decât să-i priveşti cum se înmulţesc. Nu prea mult totuşi, dacă ai lua în calcul şi alte opţiuni. Nu uita că banii care tocmai i-ai depus în contul bancar sunt folosiţi de alte persoane, sub forma de împrumut din bancă, ce ii folosesc să-şi cumpere o casă, maşină, teren, sau să-i investească în studii etc., sau de administraţia locală pentru a repara şoselele. Ce face banca de fapt? Împrumută de la tine şi apoi dă sub formă de împrumut altora. Ea constituie astfel o piaţă financiară (piaţă monetară, după cum vom vedea mai târziu), un loc de întâlnire între oferta de capital şi cerere. Banii pot fi foarte profitabil folosiţi în investiţii. Poţi să investeşti banii în proprietăţi ale căror valori sunt crescătoare în timp, sau într-o instituţie oferindu-te să le imprumuţi bani (asta se poate face prin cumpărarea de obligaţiuni, engl. bonds), sau cumpărând o parte din companie (sub formă de acţiuni, engl. shares). Obligaţiunile (bonds) sunt titluri de creanţă reprezentative unor datorii. Sunt instrumente financiare purtătoare de dobândă, emise de guvern, de corporaţii sau de alte organisme, şi vândute investitorilor în scopul acumulării de capital. Acestea se angajează să facă plăţi periodice (sub formă de cupoane) către deţinătorii obligaţiunilor şi să le răscumpere la maturitate. Putem avea obligaţiuni emise de stat, obligaţiuni municipale, obligaţiuni ale unor corporaţii sau euro-obligaţiuni. Un astfel de document va oferi deţinătorului dreptul de a primi o sumă de bani predeterminată, la un moment viitor predeterminat (maturitate). Suma de bani obţinută în viitor se numeşte valoare nominală. Diferenţa dintre valoarea nominală şi suma plătită iniţial de creditor se numeşte dobândă. Părţile implicate într-un contract de tip obligaţiune sunt: debitorul, este partea ce promite plata valorii nominale şi creditorul, cel care urmează să fie plătit. În general, obligaţiunile sunt considerate a fi contracte financiare lipsite de risc, în sensul că printr-un astfel de contract se garantează o sumă de bani la maturitate, sumă care este cunoscută a priori de către ambele părţi contractante. Banii (en., cash) pot fi interpretaţi ca fiind un bond, cu rata dobânzii zero şi maturitatea momentul zero (imediat). Cel care deţine banii va fi creditorul iar debitorul este reprezentat de instituţiile guvernamentale, care garanteaza acceptarea lor ca mod de plată. Acţiunile sunt titluri financiare obişnuite (comune) ce reprezintă drepturi de proprietate ale deţinătorului asupra unei (unor) părţi dintr-o companie, drept obţinut în schimbul investirii de capital. Un instrument financiar este un document ce dovedeşte proprietatea asupra unui activ financiar; de pildă un certificat de depozit, o acţiune, o obligaţiune guvernamentală etc. Activul financiar este o valoare emisă de stat sau de către o unitate administrativ-teritorială ce conferă drepturi băneşti 2

4 MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] deţinătorului acestuia, precum şi drepturi asupra veniturilor viitoare rezultate din valorificarea unor fonduri. Activele financiare includ: certificate de trezorerie, valori mobiliare, efecte de comerţ emise de către o societate comercială, indici bursieri, rata dobânzii, instrumente sintetice care au la bază rata dobânzii, instrumente având la bază moneda naţională, contracte futures, contracte cu opţiuni. Dacă te pricepi, poţi investi într-o mică (sau mare) afacere (business). Afacerile sunt de diverse forme şi dimensiuni. Dacă eşti singur în afacere, atunci toate veniturile iţi revin, dar eşti expus la riscuri sau iţi va veni greu să faci rost de îndeajuns capital. Îţi vine idea să te uneşti cu alte afaceri şi forma un parteneriat. Însă acum nu eşti singurul beneficiar de câştiguri şi s-ar putea ca profiturile să nu fie foarte mari. Şi vrei mai mulţi bani, aşa încât cauţi, împreună cu partenerii, să dezvoltaţi afacerea. Ce se poate face? O variantă e să folosiţi profitul drept capital. Sau puteţi face un împrumut din bancă. Acum că sunteţi mai mulţi, aveţi mai multe şanse de a fi credibili şi puteţi obţine un împrumut bunicel. Cum? Tot nu-ţi ajung banii? Ei, atunci poţi încerca un alt tip de împrumut, prin emiterea de obligaţiuni. În felul ăsta poţi acumula capital bun (în caz că afacerea e credibilă), dar la maturitatea contractului (cel puţin după 6 luni) va trebui să plăteşti investitorilor partea de capital cu care a contribuit, plus o dobândă sau alte premii. Cine poate emite obligaţiuni: societăţile pe acţiuni cu minimum doi ani vechime şi ale căror bilanţuri au fost aprobate în mod regulat de acţionari, sau diverse grupuri de societăţi de acest tip. O altă variantă este să-ţi vinzi o parte din afacere sub formă de acţiuni (termenul englezesc consacrat este go public). Compania ta va trebui să angajeze un bancher de investiţii (broker) care să acţioneze ca intermediar între companie şi investitori. Totodată, el va trebui să determine preţul acţiunilor prin evaluarea companiei. Aici va trebui sa apeleze la Matematicile financiare. Când titlurile de valoare ale unei companii sunt vândute pentru prima oară, aceasta se va face pe piaţa primară. Ulterior, e posibil ca deţinătorii de acţiuni să dorească să "scape" de ele şi le vor tranzacţiona pe piaţa secundară (bursă). Prin vânzarea de acţiuni, o afacere privată devine una publică, deţinută de un număr mare de persoane. Cum atragi investiţiile? Toate investiţiile au loc pe piaţa financiară. Piaţa financiară poate fi definită ca fiind locul de întâlnire al ofertei de capitaluri cu cererea de capitaluri, iar preţurile de schimb sunt stabilite într-un mod eficient (se spune că aceste preţuri verifică aşa-numita ipoteză de piaţă eficientă). Este locul (fizic sau intr-un mediu virtual) unde firme şi persoane specializate se întâlnesc şi cumpără sau vând produse specifice, e.g. diverse bunuri materiale (stock), acţiuni (shares), obligaţiuni (bonds), opţiuni (options), contracte futures etc. Există instituţii specializate, numite intermediari financiari, care ajută şi simplifică foarte mult întâlnirea cererii şi a ofertei de capitaluri sau fonduri băneşti atât în spaţiu (evitând deplasarea fizică a celor interesaţi, adesea costisitoare) cât şi în timp (reducând la minimul posibil perioada necesară căutării contrapartidei interesate). Prin intermediul acestor instituţii, utilizatorul de fonduri, cât şi deţinătorul de fonduri (investitorul), care caută un plasament pentru ele, pot intra în contact într-un timp foarte scurt şi cu costuri minime. Costurile sunt, în general, reprezentate de comisionul intermediarului şi, uneori, de cheltuielile legate de încheierea tranzacţiilor (se poate face o analogie cu piaţa de legume/fructe). De ce se apelează la pieţele financiare? Pentru că pieţele financiare creează un mediu propice pentru asigurarea sau majorarea capitalul necesar derulării unor activităţi. De exemplu, prin intermediul pieţei financiare, administraţiile locale pot face rost de anumite împrumuturi pe diverse perioade, ceea ce le-ar facilita buna desfăşurare a anumitor activităţi. 3

5 MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] Funcţiile pieţei financiare facilitarea schimbului de active. Pieţele financiare permit transferul de fonduri de la un agent financiar la altul, în vederea investiţiilor sau pentru consum; determinarea (negocierea) preţului activelor. Prin intermediul pieţei financiare sunt stabilite preţurile activelor financiare. strângerea de informaţii şi coordonare. Piaţa financiară acţionează ca şi colector de informaţii despre cotarea activelor financiare şi despre transferul de fonduri. În acest fel, piaţa financiară reduce costul de căutare de informaţii. reducerea costurilor de căutare a partenerilor de afaceri. Componente ale pieţei financiare În funcţie de perioada de timp pentru care aceste capitaluri sunt mobilizate, pieţele financiare sunt formate din două componente: pieţe monetare (money market, cu maturitate pe termen scurt, sub 1 an); pieţe de capital (capital market, cu maturitate pe termen lung, de regulă de peste 1 an). Piaţa monetară este locul de întâlnire al ofertei de capitaluri disponibile pe termen scurt şi foarte scurt (sub un an) cu cererea pentru astfel de capitaluri. Această piaţă foarte dinamică asigură finanţarea pe termen scurt a nevoilor temporare care apar la societăţile care derulează activităţi în interes public şi al administraţiile centrale şi locale. La piaţa monetară fac apel băncile (pentru a-şi acoperi deficitul bugetar), persoanele fizice (care apelează, în general, la bănci pentru anumite împrumuturi). Principalii intermediari şi, totodată, utilizatori şi ofertanţi de resurse care acţionează pe această piaţă sunt băncile comerciale. Acestea concentrează în bună măsură capitalurile, în special sub forma depozitelor bancare şi pe care le oferă spre utilizare celor care caută astfel de resurse. Nivelul de dezvoltare al oricărei pieţe monetare depinde de nivelul de dezvoltare economică al ţării pe care este grefată. Piaţa de capital este acea componentă a pieţei financiare care asigură întâlnirea ofertei de capitaluri cu cererea pentru capitaluri pe termen mediu şi lung (1 10 ani). Mobilizarea capitalurilor pe această piaţă se face folosind titluri de valoare (engl. securities) (valori mobiliare) specifice: acţiuni, obligaţiuni, titluri de rentă, obligaţiuni de stat pe termen mediu şi lung. Piaţa de capital asigură pentru investitori individuali şi instituţionali posibilităţi variate de plasare a capitalurilor disponibile, în funcţie de interesele urmărite. Ca urmare, ea asigură finanţările pe termen mediu şi (sau) lung necesare agenţilor economici, administraţiilor centrale şi locale pentru o bună derulare a activităţilor lor. În cadrul pieţelor de capital se pot face speculaţii privind modificarea ulterioară a preţurilor activelor tranzacţionate, în vederea obţinerii de profit. În funcţie de momentul în care tranzacţiile pe aceste pieţe sunt efectuate, putem vorbi despre: piaţa primară; piaţa secundară. Piaţa primară este piaţa pe care se tanzacţionează instrumentele financiare imediat după emiterea lor, încasarile rezultate din acest proces revenind direct emitentului. Este piaţa de pe care societăţile comerciale îşi formează capitalul social sau îşi majorează capitalul social pe termen mediu sau lung. Tot de pe această piaţă, administraţiile centrale şi cele locale obţin prin împrumuturi banii necesari pentru acoperirea nevoilor 4

6 MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] lor temporare. Intermediarii specializaţi care operează pe piaţa primară pot fi: societăţile de valori mobiliare, băncile comerciale autorizate. Piaţa secundară (sau piaţa bursieră, după unii specialişti, care le identifică). Este o piaţă utilizată pentru pentru tranzacţionarea instrumentelor financiare "la mâna a doua". La emiterea lor, instrumente de tipul acţiunilor, obligaţiunilor şi al certificatelor de depozit sunt vândute pe piaţa primară. În mare parte, atracţia pe care acestea o exercită asupra investitorilor rezidă în lichiditatea asigurată de pieţele secundare, pe care instrumentele financiare cumpărate pot fi vândute apoi din nou. Odată ce valorile mobiliare au fost emise şi se află în posesia investitorilor, aceştia s-ar putea să nu dorească să le mai deţină pentru toată durata lor de viaţă (care este uneori foarte lungă în cazul unor obligaţiuni sau nedefinită pentru acţiunile obişnuite), din diverse motive. Ca urmare, după un timp mai lung sau mai scurt de la achiziţionare, investitorii s-ar putea să dorească să transforme în bani valorile mobiliare pe care le deţin sau să dorească să le schimbe cu alte valori mobiliare. Pentru ca acest lucru să se poată realiza la cel mai bun preţ atât pentru deţinătorul valorii mobiliare cât şi pentru viitorul cumpărător a fost necesară organizarea unei pieţe specializate în acest tip de comerţ. Ca urmare, pieţele organizate în scopul asigurării revânzării valorilor mobiliare ce au fost deja puse în circulaţie prin intermediul pieţei primare, s-au numit pieţe secundare. O piaţă secundară asigură concentrarea cererii şi ofertei de valori mobiliare deja emise. Cu timpul, pieţele secundare s-au transformat într-un barometru al interesului publicului investitor pentru valorile mobiliare (în special acţiunile) emise de o companie, un grup de companii, un sector industrial sau pentru alte titluri de valoare. Spre deosebire de piaţa primară, care canalizează capitalurile spre emitenţii de valori mobiliare, piaţa secundară intermediază doar un schimb de bani, respectiv de valori mobiliare, între cei care doresc să deţină, respectiv să vândă, valorile mobiliare. Tipuri de pieţe secundare: burse de valori (engl. stock exchanges), sunt burse unde se negociază titluri; pieţe inter-dealeri (Over-The-Counter). Acestea sunt pieţe deschise (cunoscute şi sub numele de "pieţe la ghişeu"), pe care se tranzacţionează titlurile de valoare necotate la bursa oficială. Pieţele OTC permit companiilor mici - care nu-şi pot permite cheltuielile impuse de listarea la o bursă majoră - să obţină un preţ de piaţă pentru acţiunile emise. De asemenea, constituie o modalitate prin care fondatorii unei companii işi pot compensa o parte din investiţia efectuată. Tranzacţiile OTC au loc, în general, prin reţeaua de Internet sau prin telefon. Tipuri de pieţe financiare, depinzând de ceea ce vrei să cumperi sau vinde: piaţa titlurilor de valoare (stock market pentru acţiuni şi bond market pentru obligaţiuni); piaţa derivatelor financiare (derivatives market), unde sunt tranzacţionate contracte futures, opţiuni, swaps; piaţa de mărfuri (commodity market) - metale preţioase, cărbuni, produse alimentare (suc, ulei etc); piaţa cu venit garantat fix (fixed-income market), unde sunt tranzacţionate obligaţiuni. piaţa asigurărilor (insurance market) piaţa schimburilor valutare (foreign exchange market sau FOREX) Piaţa titlurilor de valoare a apărut din mici întâlniri între persoane ce doreau să vândă sau să cumpere stocurile lor. Un potenţial cumpărător merge la broker şi plasează o cerere de cumpărare pentru o valoare mobiliară. Brokerul va căuta pe piaţa de schimb pe cineva care doreşte să vândă respectivul activ, iar tranzacţia are loc dacă cei doi se inţeleg la preţ. După ce un investitor a cumpărat activul, primeşte un certificat de proprietate, pe care-l poate revinde/păstra, sau chiar lăsa brokerului pentru a-l ţine în numele său. Pieţe de stocuri: New York (NYSE), Chicago, Boston, London, Tokio. În Romania: Bucureşti (Bucharest Stock Exchange), Sibiu (Bursa Monetar financiară şi de mărfuri), Iaşi (Bursa Moldovei Iaşi). 5

7 MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] Piaţa derivatelor financiare (sau a titlurilor de valoare derivate, engl. financial derivatives). Această piaţă este o componentă aparte a pieţei financiare. Piaţa derivatelor financiare este relativ nou sosită în scenă şi dezvoltarea ei s-a realizat mai ales pe parcursul ultimilor 40 ani, deşi tranzacţii cu derivate (contracte la termen - futures sau forward - încheiate mai ales asupra mărfurilor) s-au înregistrat în mod constant începând cel puţin cu sfârşitul secolului al XVIII-lea. Această piaţă conferă posibilitatea unui investitor de a-şi acoperi riscul în afaceri (hedging) sau pentru speculaţii financiare. Cumpărătorul poate obţine protecţie asupra unei creşteri viitoare de preţuri, iar vânzătorul se poate proteja în vederea unei posibile scăderi ale preţurilor. Derivatele financiare pot fi definite ca fiind valori mobiliare (sau titluri de valoare) ale căror preţ este dependent de preţul activului de bază (numit şi activ suport). Exemple de active suport: o acţiune (asset), o obligaţiune (bond), un indice bursier (de regulă pentru acţiuni), o valută, un contract futures, vremea. Mai trebuie să precizăm că derivatele financiare, şi aici ne referim exclusiv la contractele futures şi la contractele cu opţiuni, permit încheierea de tranzacţii la termen asupra activului suport. Cu alte cuvinte, la achiziţionarea sau vânzarea contractului futures sau a celui de tip opţiune se stabileşte atât preţul cu care activul suport va fi cumpărat sau vândut, cantitatea de activ suport ce urmează a fi cumpărată sau vândută, cât şi dată la care tranzacţia urmează să se încheie efectiv, adică dată la care activul suport va fi livrat şi banii vor fi plătiţi (cu alte cuvinte tranzacţia va fi lichidată). Derivatele financiare sunt oferite pe pieţe organizate de tipul burselor sau a pieţelor OTC, şi ca urmare ele sunt standardizate din punctul de vedere al cantităţii tranzacţionate şi al scadenţei. Exemplu de instrument financiar derivat Vreţi să cumpăraţi o maşină nouă cât mai curând, căci aţi auzit zvonuri cum că preţurile ar creşte în curând. În salonul de prezentare al furnizorului, vă decideţi asupra specificaţiei exacte a autoturismului (culoare, motor, mărime etc) şi, ceea ce este mai important, stabiliţi preţul. Nu aveţi totuşi banii necesari cumpărării maşinii, dar vă gândiţi că aţi putea împrumuta de la bancă, însă acest proces ia ceva timp. Furnizorul vă spune că, dacă daţi comanda astăzi şi constituiţi un depozit, puteţi prelua maşina în trei luni. Nici dacă în acest interval de trei luni, furnizorul acordă un discount de 10 procente pentru toate maşinile noi, nici dacă preţul modelului creşte, aceasta nu contează pentru dvs. Preţul pe care îl plătiţi la livrare a fost convenit şi fixat între dvs. şi furnizor. Tocmai aţi intrat într-un contract la termen (forward), deci aveţi dreptul şi obligaţia de a cumpăra automobilul în trei luni de zile la preţul convenit. Piaţa asigurărilor facilitează redistribuirea riscului financiar. Exemple de astfel de pieţe: asigurări de locuinţe, asigurări auto, asigurări de credite, de sănatate, de viaţă sau de şomaj etc. Piaţa schimburilor valutare este una descentralizată şi disponibilă în toată lumea, ce se preocupă de comercializarea valutelor. Această piaţă determină valorile relative ale diverselor valute. Dintre participanţi menţionăm: băncile, companiile private, firme de investiţii, companiile de transfer de monedă (e.g., Western Union), şi alţii. Dacă preţurile scad, aţi pierdut o parte din bani, dar dacă vor creşte, atunci sunteţi în câştig. Pentru a fi în profit ar trebui să nimeriţi atât preţul corect, cât şi momentul scadenţei. Pieţe bull şi bear: sunt termeni ce descriu anumite tendinţe de piaţă. O piaţă bull e o perioadă în care preţurile de stoc în general cresc, iar într-o piaţă bear preţurile scad. Fiecare dintre aceste tendinţe sunt alimentate de percepţia investitorilor asupra direcţiei pieţei sau a economiei. Dacă investitorii se simt a fi într-o piaţă bull, atunci simt nevoia de a investi, pentru ca apoi să vândă activele la preţuri mari. "Taurii" cumpără azi acţiuni, sperând să le poata vinde ulterior la un preţ mai mare. Cei care pierd în urma unor astfel de previziuni sunt numiţi "tauri răsuflaţi". 6

8 MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] "Ursul" vinde diverse valori mobiliare, sperând să le poată cumpăra ulterior la un preţ mai mic. Piaţa sub semnul "ursului" e o piaţă în scădere de preţuri. Aceste tendinţe ale pieţei se pot însă schimba rapid. Instituţiile pieţei financiare Instituţiile care participă la crearea şi schimbul de active financiare sunt: brokerii (agenţii de schimb), dealerii, bancherii de investiţii, intermediarii financiari. Brokerul (agent de schimb) este o persoană fizică sau o firmă care tranzacţionează instrumente financiare în numele altora. Brokerul este un agent care lucrează pentru investitori şi pentru instituţiile financiare, serviciile fiindu-i răsplătite sub forma unui comision stabilit în funcţie de valoarea tranzacţiilor efectuate. Această modalitate de plată creează condiţii pentru apariţia aşa-numitei practici de churn (practica de a tranzacţiona excesiv acţiunile unui client <termenul se poate traduce prin "a bate untul">, astfel încât brokerul să obţină un venit mai mare din comision). În multe ţări această practică este ilegală. Dealerul, ca şi brokerul, facilitează tranzacţiile de active între vânzatori şi cumpărători, însă aceştia se pot implica ei înşişi în tranzacţie, adică pot să-şi facă un stoc de active pe care le pot tranzacţiona. Spre deosebire de broker, acesta nu ia comisioane din vânzări. Aceştia fac profit din cumpărarea de active ieftine şi vânzarea lor mai scump (e.g. car dealers). Dealerii sunt supuşi la un risc mai mare decât brokerii, datorat fluctuaţiilor de preţ. Factori care influenţează piaţa financiară acţiunile investitorilor (instituţii, persoane fizice) pot afecta preţurile activelor. De exemplu, dacă mai multe persoane vor să cumpere acelaşi produs, atunci preţul produsului poate creşte, exact ca atunci când ar licita; condiţiile de afaceri (volumul de vânzări, perioada din an, cantitatea de profituri); acţiunile guvernamentale (dobânzi, taxe, politica); indicii economici. Investitorii urmăresc îndeaproape indicii economici pentru a prezice viitorul unor active. (e.g. GNP gross national product, rata inflaţiei, cât de repede se schimbă preţurile, deficitul bugetar (cât de mult cheltuie guvernul), rata şomajului etc); evenimentele interne şi internaţionale (războaie, dezastre naturale, schimbări pe plan valutar etc). Pieţe financiare majore în lume USA: New York Stock Exchange (NYSE) (tranzacţionează stocuri, obligaţiuni, futures, opţiuni), AMEX (American Stock Exchange), CBOT (Chicago Board Of Trade) (futures), IMM (International Monetary Market) (futures în monedă străină), CBOE (Chicago Board Options Exchange) (opţiuni), NASDAQ (National Associations of Securities Dealers Automated Quotations) (OTC stocuri şi obligaţiuni). UK: LSE (London Stock Exchange) Canada: Toronto Stock Exchange Franţa: Paris Bourse altele: Japan, Germany, Australia, Singapore, Hong Kong etc. 7

9 MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] Principalele preocupări ale matematicilor financiare (relativ la investiţii băneşti) cotarea derivatelor financiare; strategii de hedging pentru derivative; managementul riscului pentru portofolii; optimizarea portofoliilor; Dobânda Dobânda are rădăcinile în Evul Mediu, când termenul de dobândă a înlocuit pe cel de camătă (o dobândă exorbitantă). Ea este justificată prin existenţa unui risc privind rambursarea împrumuturilor sau cu privire la încheierea operaţiunilor financiare. Dobânda este astfel o remuneraţie pentru un împrumut bănesc, este plata de care beneficiază creditorul pentru o sumă de bani împrumutată. Dacă o persoană A împrumută o sumă de bani unei persoane B, atunci A va fi privat de a folosi suma respectivă pe perioada împrumutului (în investiţii, pentru consum propriu), ceea ce atrage în mod firesc o remuneraţie pentru acest serviciu. Există multe polemici în ceea ce priveşte formarea, rolul şi determinarea dobânzilor unitare (procentul întâlnit în calculul financiar), ceea ce denotă faptul că stabilirea dobânzilor nu e un lucru tocmai uşor. Factorii care influenţează dobânda sunt: factori politici, riscul, inflaţia etc. Dobânda simplă Este dobânda care se calculează asupra aceleaşi sume, S 0, pe toată perioada împrumutului. Vom spune că S 0 a fost plasată în regim de dobândă simplă. În practică, se stabileşte mai întâi dobânda care urmează să se plătească pentru suma de 100 de lei (unităţi monetare) plasată pe timp de 1 an, care poartă numele de procent, şi pe care îl vom nota în cele ce urmeaza cu p. Dobânda calculată la unitatea monetară (i.e. pentru 1 leu) se numeşte dobândă unitară şi este r = p 100. Să notăm cu: S 0 suma depusă (sau împrumutată), care mai este numită şi principal; S t suma cumulată la momentul t > 0; t timpul în ani; p procentul (dobânda pentru 100 de lei); r dobânda unitară (sau rata, dobânda pentru 1 leu); D t dobânda simplă. Atunci, dobânda pentru 1 leu pe o perioada de t ani este rt = pt 100. Dacă în loc de 1 leu considerăm suma S 0, atunci D t este p D t = S 0 rt = S 0 t (formula dobânzii simple). 100 În cazul în care dobânda rămâne aceeaşi până la momentul t 0, suma finală la momentul t va fi: S t = S 0 (1 + rt). Fie m un număr de diviziuni (părţi) egale ale anului (m = 1 înseamnă 1 an, m = 2 înseamnă două semestre, m = 4 înseamnă 4 trimestre etc). 8

10 MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] Atunci dobânda pentru suma S 0 pentru un plasament de t m (din m) diviziuni ale anului va fi: D t = S 0 r t m m = S p t m m. Într-un caz particular, se poate obţine dobânda pentru un anumit număr de zile (e.g., dobânda pentru S 0, plasat simplu cu rata anuală r, pentru 120 de zile, în cazul în care anul are 366 de zile este dată de D t = S 0r). Dacă dobânda pentru suma S 0, plasată pe o perioadă t, nu se face cu acelaşi procent pe toată perioada (adică apar diverse procente de-a lungul perioadei t), să zicem r k = p k 100 (k = 1, n), atunci dobânda D t va n fi (presupunem că t = t k ): k=1 D t = n n D tk = S 0 r k t k = S 0 k=1 k=1 n k=1 p k t k 100. Suma finală la momentul t 0 va fi: ) n S t = S 0 (1 + r k t k. k=1 Definiţia 1.1. Vom spune că două operaţiuni sunt echivalente în regim de dobândă simplă în raport cu dobânda dacă generează aceeaşi dobândă. (Vom mai spune, de asemenea, că M şi N sunt substituibile.) Dobânda compusă Spunem că plasarea sumei S 0 s-a efectuat în regim de dobândă compusă dacă S 0 se modifică periodic pe durata de timp, între două modificări consecutive i se aplică o dobândă simplă, iar în perioada următoare modalitatea de calcul a dobânzii tine cont şi de dobânzile anterioare (i.e. dobânda acumulată în fiecare perioadă se adună la principal). n Presupunem că momentul final t = t k, iar în perioada de lungime t k se aplică dobânda unitară r k k=1 (k = 1, n). La sfârşitul perioadei t k avem: S tk = S tk 1 + D tk, unde D tk = S tk 1 r k t k, k = 1, n şi S t0 = S 0, D t0 = 0. Aici D tk este dobânda simplă corespunzătoare plasării în regim de dobândă simplă a sumei S tk 1 pe t k. Propoziţia 1.2. În aceste condiţii avem: n S t = S 0 (1 + r k t k ). k=1 9

11 MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] Demonstraţie. (se arată prin inducţie matematică completă după k) (k = 1) S t1 = S 0 + D t1 = S 0 (1 + r 1 t 1 ); (k = 2) S t2 = S t1 + D t2 = S t1 + S t1 r 2 t 2 = S t1 (1 + r 2 t 2 ) = S 0 (1 + r 1 t 1 )(1 + r 2 t 2 ); etc Observaţia 1.3. Dobânda compusă este astfel D t = S 0 [ n k=1(1 + r k t k ) 1 ]. Cazuri particulare (i) t k = 1 (un an) şi r k = r, ( ) k, atunci suma acumulată după n ani va fi S t = S 0 (1 + r) n. (ii) t = n + t m m (n ani şi o fracţiune dintr-un an, i.e., t k = 1, ( ) k = 1, n şi t k+1 = t m m ), atunci ( n ( t m S t = S 0 + r k )) 1 + r k+1 m k=1(1 ). (iii) Dacă, în plus faţă de (ii), r k = r, ( ) k, atunci ( S t = S 0 (1 + r) n 1 + r t ) m. m În cazul în care S t este dat de (iii), atunci, ţinând cont că în general r 1, putem aproxima ( 1 + r t ) m (1 + r) tm m, m deci S t = S 0 (1 + r) n+ tm m = S0 (1 + r) t. Aşadar, suma finală rezultată în urma unui plasament al sumei S 0 în regim de dobândă compusă anual, cu rata unitară anuală r este, pe o perioadă de t ani, poate fi calculată folosind următoarea formulă (numită şi formula practică de calcul în cazul dobânzii compuse): În general, S t = S 0 (1 + r) t. Propoziţia 1.4. Suma finală după t ani, rezultată în urma unui plasament al sumei S 0 în regim de dobândă compusă de n ori pe an, cu rata unitară r pentru o singură perioadă de compunere, este S t = S 0 ( 1 + r n) nt. 10

12 MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] Exerciţiu 1.1. Care este suma cumulată după 18 luni de pe urma unui plasament în regim de dobândă compusă trimestrial al sumei de cu rata anuală unitară de 4%? ( S 3/2 = ) 6 = Observaţia 1.5. (a) De regulă, dacă t nu e număr întreg, atunci utilizăm formula S t = S 0 (1 + r) t pentru calculul valorii finale în regim de dobândă compusă. (b) Deoarece ( 1 + r t ) m (1 + r) tm m, (0 tm m), m ( s-ar putea spune că soluţia raţională, care este S t = S 0 (1 + r) n 1 + r t m m ), convine celui care încasează dobânda, în timp ce soluţia practică convine celui care plăteşte dobânda. (c) Egalitatea între formula raţională şi cea practică are loc dacă t Z. (d) Diferenţa dintre folosirea dobânzii simple şi cele compuse pe perioade fracţionare (t Z) este mică (i.e., (1 + r) t 1 + rt). Dobânda compusă continuu Plecăm de la formula sumei finale pentru dobânda compusă, S t = S 0 şi presupunem că r k = r, t k = t n, ( ) k, atunci n (1 + r k t k ) k=1 S t = S 0 ( 1 + r t n) n. Dacă dobânda se calculează foarte des în perioada de t ani (aproape în fiecare moment), atunci, trecând la limită în relaţia anterioară când n, obţinem S t = S 0 e rt. Procent nominal, procent efectiv, dobânda instantanee Presupunem că avem următoarele două operaţiuni bancare: (O 1 ) Plasamentul sumei S 0 pe 1 an cu dobânda unitară r. La sfârşitul perioadei vom avea suma: S 1 = S 0 (1 + r). (O 2 ) Presupunem că anul este fracţionat în m părţi egale şi r (m) este o dobândă unitară corespunzătoare fracţionării. Valoarea finală în regim de dobândă compusă va fi ( S 1 = S r ) (m) m. m 11

13 MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] Definiţia 1.6. Spunem că operaţiunile (O 1 ) şi (O 2 ) sunt echivalente din punct de vedere al sumei finale dacă, ( S 0 (1 + r) = S r ) (m) m (m N ). m De aici rezultă că sau ( r = 1 + r ) (m) m 1, m [ ] r (m) = m (1 + r) 1/m 1. Numim r rata anuală efectivă sau RAE (100r este procentul anual efectiv sau real) şi r (m) este rata nominală aferentă perioadei (100r este procentul nominal). Rata anuală efectivă denumeşte rata anuală care generează aceeaşi dobândă la sfârşitul anului ca şi o rată anuală nominală. Se numeşte dobândă unitară instantanee numărul r = lim m r (m) (< r). Exerciţiu 1.2. Banca A oferă un credit cu o dobândă de 6% compusă semestrial, iar banca B oferă un credit cu o dobândă de 5.8%, compusă zilnic. Care dintre cele două oferte este mai profitabilă? Retele anuale efective sunt: ( r A = ) 2 ( 1 = > = r B = ) Aşadar, creditul oferit de banca B este mai avantajos (aveţi de plătit o dobândă mai mică). Exerciţiu 1.3. Presupunem că aţi câştigat la loterie un premiu aparte, prin care primiţi anual suma de 1200 RON, în aceeaşi zi a anului, pentru tot restul vieţii. În plus, această sumă va fi plătită la infinit, copiilor, nepoţilor, stră-nepoţilor ş.a.m.d. Totuţi, vă gândiţi că ar fi mai potrivit să profitaţi de acest câştig acum şi cereţi să vi se plătească valoarea prezentă a tuturor câştigurilor pe care urmează să le primiţi. Ştiind că rata anuală unitară a dobânzii este de 10%, care rămâne fixă, calculaţi ce sumă vă revine acum. Valoarea prezentă este egală cu: PV = r (1 + r) (1 + r) n +... = 1200 ( 1 (1 + r) k = ) r k=0 Pentru r = 0.1, obţinem că PV = Cu alte cuvinte, dacă acum investim suma de RON într-un cont bancar ce oferă o dobândă cu rata anuală efectivă de 0.1, atunci vom putea primi din acel cont câte 1200 RON în fiecare an (până la infinit), fără ca acest cont să devină falimentar. Plasament în condiţii inflaţioniste Inflaţia este o noţiune legată de masa banilor aflaţi în circulaţie şi oglindită de faptul că atunci când în circulaţie se află o masă de bani excesivă în raport cu nevoile circulaţiei băneşti va avea loc o depreciere a monedei în raport cu aurul, precum şi cu alte bunuri sau servicii. Inflaţia poate apărea atunci când salariile sunt mărite, fără ca productivitatea să crească în aceeaşi măsură cu salariile. Inflaţia este variabilă în timp 12

14 MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] şi rata inflaţiei poate depinde de mulţi factori, e.g., factori politici, economici, internaţionali etc. Inflaţia poate fi: controlată (între anumite limite), galopantă sau necontrolată. După un plasament pe 1 an, în regim de inflaţie cu rata a, o unitate monetară devine 1 + r, fără inflaţie S 1 = 1 + r, cu inflaţie. 1 + a Valoarea 100a este procentul anual de inflaţie.! Inflaţia nu e tot una cu devalorizarea. Ultima este determinarea valorii monedei naţionale faţă de etalonul în care această este exprimată, în general, prin scăderea cursului de schimb pe piaţa valutară. Totuşi, atât inflaţia, cât şi devalorizarea au aceleaşi consecinţe asupra nivelului de trai: sărăcire, saturaţie, nemuncă, lumea vrea să scape de bani etc. Dacă a este cunoscut şi poate fi controlat, atunci avem de a face cu o inflaţie controlată. În cazul unui plasament a lui S 0 cu r pentru t în regim DC, suma finală va fi: S 0 (1 + r) t, fără inflaţie ( ) S t = 1 + r t S 0, cu inflaţie. 1 + a Se observă cu usurintă că lim 0, r, a, t) = 0 t dacă a > r. Dacă a r, atunci avem o inflaţie galopantă. Figura 1.1: Dobânda simplă vs. dobânda compusă. Plasament cu DS sau DC Presupunem că S 0 este plasată cu rata anuală a dobânzii r pe durată t. Vom avea: { S 0 rt, în regim de DS D t = S 0 [(1 + r) t 1], în regim de DC. 13

15 MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] Din figura (1.1) observăm că: (a) dacă t < 1 an, atunci dobânda simplă este mai avantajoasă; (b) dacă t = 1 an, atunci D S (t) = D C (t); (c) dacă t > 1 an, atunci dobânda compusă este mai avantajoasă; Inflaţie şi risc catastrofic Riscul catastrofic apare în caz de războaie, atentate, cataclisme naturale. Asemenea evenimente trebuie luate în considerare, deoarece se poate întâmpla că unele credite să nu poată fi rambursate niciodată. Dacă ţinem cont de riscul catastrofal, atunci suma finală a unui plasament cu S 0, r = rata anuală de dobândă, a = rata anuală de inflaţie, b = rata anuală de risc catastrofic, pe t ani este ( ) 1 + r t S t = S 0. (1 + a)(1 + b) Observăm că dacă (1 + a)(1 + b) > 1 + r, atunci Probleme propuse lim S t = 0. t Exerciţiu 1.4. Pe 1 Martie 2012, Ionel a depus suma de 5000 RON într-un cont bancar ce oferă dobândă simplă de 10% p.a.. Ce sumă s-a acumulat până pe 31 Decembrie 2012? Caţi ani va trebui să aştepte până i se va dubla suma? (Presupunem ca Ionel nu a mai efectuat alte tranzacţii bancare legate de acel cont). Exerciţiu 1.5. O bancă oferă un cont de depozit cu o rată nominală a dobânzii de 3.3% p.a., compusă trimestrial. Calculaţi rata anuală efectivă a dobânzii. În câţi ani o sumă depozitată în acest cont se va dubla? Exerciţiu 1.6. Banca A oferă împrumuturi cu o rată nominală a dobânzii de 5%, compusă semestrial, dar utilizează dobândă simplă pentru perioade fracţionare în ani. Banca B oferă împrumuturi cu o rată nominală a dobânzii de 5%, compusă anual. Dorim să investim suma de 2000 RON. (i) Calculaţi suma finală după 3 trei ani şi două luni pentru depozite în fiecare dintre cele două bănci. (ii) Calculaţi suma finală după 3 trei ani şi două luni şi 10 zile pentru depozit în fiecare dintre cele două bănci. Exerciţiu 1.7. Cu ce rată nominală compusă lunar vom obţine aceeaşi sumă finală după 1 an echivalentă cu compunerea de 8% trimestrial? Exerciţiu 1.8. Calculaţi suma finală după 11 ani pentru un principal de 500 RON plasat în regim de dobândă compusă cu rata de 6%, compusă semestrial pentru primii 5 ani, şi în regim de dobândă compusă cu rata de 8%, compusă trimestrial pentru ultimii 6 ani. Exerciţiu 1.9. Suma acumulată după 17 ani într-un cont bancar, plecând de la un principal de 1000 RON, este de RON. Determinaţi rata dobânzii unitare anuale în cazul în care dobânda oferită este compusă (i) anual; (ii) semestrial. Exerciţiu În ultima zi a fiecărui an dintre 2007 şi 2012 (inclusiv), Maria a depozitat într-un cont suma de 1000 RON. Ştiind că dobânda oferită de acest cont este de 5% pe an, compusă semestrial, şi că nu au mai fost efectuate alte tranzacţii, să se determine suma pe care a găsit-o Maria în cont pe 1 Ianuarie

16 MF1 [Dr. Iulian Stoleriu] Exerciţiu O bancă oferă un cont de economii cu dobânda de 3% compusă lunar. Un client doreşte să depoziteze în acest cont o sumă fixă, la începutul fiecărei luni, astfel încât după 3 ani să acumuleze suma de 5000 RON. Determinaţi această sumă lunară. Exerciţiu Pe 1 Ianuarie 2009, Andrei a deschis un cont bancar în care a depus 2000 RON. După exact un an, el a scos din cont 500 RON, iar pe 1 Iulie 2012 a depus în cont suma de 1500 RON. Ştiind că pentru acel cont banca oferă o dobândă de 7.5%, compusă semestrial, şi că nu au mai fost efectuate alte operaţiuni bancare legate de acel cont, să se determine câţi bani a găsit Andrei în cont pe 1 Ianuarie Exerciţiu Pentru un anumit cont bancar, o bancă oferă dobândă de 6.4%, compusă semestrial. (i) Ce sumă ar trebui depusă azi în acel cont, astfel încât suma fructificată după doi ani să fie de 1000 RON? Determinaţi RAE pentru acest cont. (ii) Aceeaşi întrebare în cazul în care dobânda se calculează continuu. 15

17 MF2 [Dr. Iulian Stoleriu] 2 Matematici financiare (C2) Derivate financiare Un instrument financiar reprezintă un document fizic sau electronic care are valoare monetară intrinsecă ori înregistrează o tranzacţie financiară. Exemple: numerar (cash), o cambie (cec), un certificat de depozit, o obligaţiune, o opţiune, o acţiune, carte de debit sau de credit etc. Activul financiar (asset) este orice activ deţinut (care e în posesie sau urmează a fi în posesie, prin drept) ce are o valoare de schimb. Exemple: o valoare mobiliară emisă de stat sau de către o unitate administrativteritorială, o acţiune, o obligaţiune, cash, un portofoliu de valori mobiliare, terenuri, imobile. Activele financiare pot fi riscante (e.g. acţiuni, valută), a căror preţ la un anumit timp în viitor este necunoscut (stochastic) astăzi, sau lipsite de risc (sau sigure) (e.g. aur, depozite în bancă, obligaţiuni), a căror preţ (valoare) în viitor este deterministă. Ansamblul activelor financiare care aparţin unei persoane se numeşte portofoliu. Un portofoliu diversificat conţine o gamă largă de instrumente financiare, ca acţiuni, depozite bancare, aur şi obligaţiuni guvernamentale. Un instrument financiar derivat este un instrument financiar (un contract financiar sau o înţelegere între două sau mai multe părţi) a cărui valoare viitoare (la scadenţă) este determinată de preţul (sau de preţurile) unui activ de referinţă sau activ suport (underlying asset). Exemple de active suport: valori mobiliare, acţiuni, rate de schimb, titluri de creanţe, comodităţi, rate ale dobânzilor, indici bursieri, valute, vremea etc. Derivatele financiare au schimbat faţa finanţelor prin crearea a noi căi de înţelegere, măsurare şi gestionare a riscului. Specialiştii cred că piaţa derivatelor o subminează pe cea a activelor originale. Derivatele financiare cele mai simple şi mai utilizate se mai numesc şi plain vanilla (valinie simplă), iar pe lângă acestea se mai întâlnesc şi derivate exotice. La bursele de valori sunt inventate în fiecare zi noi tipuri de derivate financiare, care de fapt sunt bazate pe patru tipuri principale de derivate. Scopul acestor noi invenţii este, în special, de a oferi o mai bună gestiune a riscului în condiţii incerte. Derivatele financiare nu sunt găselniţe noi. Primele descrieri ale acestor instrumente financiare au apărut la Aristotel, care a redat povestea lui Thales, un filozof sărac din Milet. El povesteşte cum Thales a inventat un mecanism financiar care are la bază un principiu de aplicaţie universală. Oamenii îl mustrau pe Thales că era sărac din cauza că era filozof, filosofia fiind văzută ca o ocupaţie fără folos şi care nu aducea nici un venit. Însă Thales avea să le dovedească contrariul, arătând că înţelepciunea poate aduce bani. Povestea zice că Thales era foarte dibaci în a prezice cum va fi cultura de măsline de anul ce va urma. Încrezător în previziunile sale, a făcut înţelegeri cu cei ce deţineau prese pentru ulei de măsline de a le inchiria pentru toamna următoare în ideea de a le putea utiliza, în mod exclusiv. Pentru că deţinătorii preselor nu ştiau cu siguranţă ce an va urma şi îşi doreau să câştige ceva în caz că nu va urma un an bun, au acceptat repede afacerea propusă de Thales, chiar pentru un preţ mic. Povestea lui Aristotel se încheie exact aşa cum bănuiţi. Anul ce a urmat a fost unul excepţional de bun pentru cultura de măsline, iar cum numai Thales avea prese de închiriat, le-a oferit pentru preţuri mari şi şi-a facut o avere din asta. Astfel, Thales a aratat lumii că filosofii pot face şi bani dacă vor, dar ambiţia lor este totuşi de o cu totul altă natură. Thales din Milet şi-a exercitat primul contract cu opţiuni cunoscut. Dacă nu ar fi fost o cultură aşa cum prezicea, nu avea decât să nu onoreze contractele şi să minimizeze pierderile la suma de bani plătită pentru opţiuni. Opţiunile (sau contractele cu opţiuni) sunt doar un tip de derivate financiare. Un alt exemplu de instrument financiar derivat: Ionel cumpără de obicei preparate din carne de la un magazin local. Ionel are un prieten patron de supermarket care susţine ca preţurile la marketul lui sunt cele mai joase pentru preparatele respective. Ba chiar e dispus să-i plătească diferenţa de preţ dacă găseste aceleaşi produse la un preţ mai mic altundeva. Această 16

18 MF2 [Dr. Iulian Stoleriu] înţelegere între cei doi prieteni este un instrument financiar derivat, în sensul că valoarea ei depinde de preţul preparatelor în discuţie. Bine-bine, aţi putea spune că ăsta nu-i decît un pariu pe preţul preparatelor din carne. Aşa şi este, instrumentele financiare derivate pot fi gîndite ca fiind nişte "pariuri" pe preţul altor active. De fapt, noţiunea de instrument financiar derivat poate fi văzută ca pe un nume cochet al jocului de noroc. Această înţelegere conferă pentru Ionel asigurarea că plăteşte cel mai mic preţ pe produsele respective şi, astfel, economiseşte ceva bani. Şi pentru prietenul său înţelegerea e benefică; îşi vinde marfa şi, totodată, Ionel poate aduce noi clienţi la supermarket, ceea ce înseamnă ca-şi va spori veniturile. Alte persoane (investitori) s-ar putea folosi de această informaţie şi ar putea specula preţurile pieţei. Principalele instrumente financiare derivate: contracte forward şi futures, opţiuni, swaps. Un contract forward este un acord încheiat astăzi, care prevede achiziţionarea unei cantităţi specificate de mărfuri sau de monedă în viitor, la o dată (maturitate) şi pentru un preţ (preţul de livrare) bine precizate. Un contract futures este similar cu un contract forward, cu deosebirea că primul este standardizat şi, la intrarea într-un astfel de contract, se plăteşte o sumă de bani (marjă). Printr-un contract cu opţiune (sau, simplu, opţiune) se înţelege un contract ce conferă unei persoane (deţînătorului) dreptul, dar nu şi obligaţia, de a vinde (put) (sau cumpăra <call>) o cantitate determinată dintr-o marfă, un activ monetar, financiar sau un contract futures, la un preţ convenit, denumit preţ de exerciţiu, într-un termen definit sau la expirarea acestuia, în schimbul plăţii unei prime. Cel ce deţine o opţiune poate să-şi exercite dreptul pînă la scadenţă contractului, să abandoneze opţiunea pînă la scadenţă, sau să-şi compenseze contractul. Tipuri de opţiuni: call (de cumpărare) şi put (de vânzare). Un swap (credit încrucişat) este o tranzacţie prin intermediul căreia două părţi schimbă între ele active financiare, de regulă, dobânzi şi valute. Aceste contracte vor fi prezentate mai pe larg mai târziu. Arbitraj (free lunch) Arbitrajul este modalitatea de a realiza un profit fără a fi expus la risc, adică a scoate profit din diferenţele de preţuri de pe piaţa financiară (e.g. a cumpăra valuta sau comodităţi de pe o piaţa şi a o vinde în aproape acelaşi timp la un preţ diferit pe o altă piaţa). O glumă din care reiese bine ideea esenţială a arbitrajului: Un profesor de Finanţe şi copilul său se plimbau pe o stradă aglomerată. La un moment dat, copilul sau vede pe jos o bancnotă de 100 $. Uite, tată, o bancnotă de 100 pe stradă! Când copilul se apleacă să o ridice, tatăl îi spune: "E inutil sa te apleci. Nu există nicio bancnotă acolo, căci dacă ar fi existat, ar fi ridicat-o altcineva înaintea ta." Arbitrajul stă la baza teoriei de evaluare a activelor prin arbitraj (Asset Pricing T heory). Pentru a putea modela evaluarea preţurilor activelor financiare ne vom limita la piaţa financiară în echilibru, adică o piaţă pe care nu există oportunităţi de arbitraj. Este foarte dificil de modelat aceste evaluări în cadrul unei pieţe care nu e în echilibru. Arbitrageurii vor căuta să obţină cantităţi nelimitate de câstiguri lipsite de risc, ceea ce implică o piaţa dezordonată, imposibil de modelat matematic. Absenţa arbitrajului de pe piaţa este un atuu minimal şi suficient în modelarea pieţei financiare, care este şi indeajuns de realistic. Oportunităţi de arbitraj există pe piaţa dar ele dispar foarte repede. De îndata ce un agent observă posibilitatea arbitrajului, o va exploata la maximum, până discrepanţa între preţuri dispare. Principiul inexistenţei arbitrajului zice ca o piaţa financiară nu ar trebui să permită posibilităţi de arbitraj. În capitolele următoare vom vedea cum putem exprima lipsa arbitrajului în termeni matematici. O piaţă financiară în care nu există oportunităţi de arbitraj se numeşte piaţă financiară viabilă. 17

19 MF2 [Dr. Iulian Stoleriu] Utilitatea derivatele financiare 1. Gestionarea riscului (hedging). Sunt unelte pentru persoane fizice sau companii pentru a reduce riscul. Spre exemplu, un fermier ce produce porumb intră într-un contract forward încă din primăvară pentru a-şi acoperi riscul unei eventuale pierderi în toamnă, când preţurile ar putea scădea foarte mult. O acţiune de hedging este utilă atunci când se doreşte minimizarea riscului generat de incertitudinea dobânzilor, a ratelor de schimb sau de alte variabile de piaţă. Pe de altă parte, riscul poate creşte atunci când se recurge la o acţiune de hedging iar competitorii direcţi nu o fac. 2. Speculaţie. Derivatele financiare pot servi ca modalităti de investiţie. Un speculator preia riscul de la hedger cu scopul de a scoate un profit mai târziu când preţurile pe piaţa se vor schimba favorabil. 3. Arbitraj. Prin tranzacţionarea acestor instrumente financiare poţi obţine profituri fără a risca nimic, prin specularea diferenţelor de preţ existente pe piaţă pentru acelaşi activ financiar. Acesta sunt numite acţiuni de arbitraj. 4. Schimbarea naturii responsabilităţii. În locul deţinerii efective a unui activ riscant, un investitor poate achiziţiona doar dreptul de a deţine activul, evitând eventualele pierderi foarte mari. Prin tranzacţionarea derivatelor financiare, o persoană poate vinde active şi, totodată, să continue să le deţină fizic, se poate păstra dreptul de vot în cazul unor acţiuni sau elimina riscul deţinerii unor active ale căror preţuri pot scădea. De asemenea, există posibilitatea de a scăpa de plata unor taxe. 5. Schimbarea naturii investiţiei, fără a fi nevoie de a vinde un portofoliu şi de a cumpăra un altul, fapt ce atrage costuri suplimentare. Spre exemplu, în cazuri derivatelor de tip swaps, putem schimba două active financiare între ele, reducând astfel costurile de tranzacţionare. Actorii de pe piaţa derivatelor financiare Putem categorisi persoanele care tranzacţioneaza derivate financiare în trei mari categorii: 1. Hedgerii. Hedgingul (acoperirea riscului) este încercarea de a acoperi (asigura împotriva) posibilele (-lor) riscuri rezultate din fluctuaţiile de preţ pe piaţa financiară. 2. Speculatorii iau poziţia opusă hedgerilor. Ei preiau riscul pe care hedgerii îl transmit. Nu există speculaţie fără hedging şi vice-versa. În procedeul de speculaţie, fondurile disponibile sunt plasate strategic în scopul de a scoate profit. 3. Arbitrajeurii intra în două sau mai multe tranzacţii echivalente în acelaşi timp, în care preţurile contractelor sunt diferite. Ei urmăresc a scoate profit din nimic, adică fără a se expune la risc. Vi-i puteţi imagina ca persoane cu cel puţin două telefoane în mana şi cu panouri electronice în faţă. Presupuneri de modelare Dacă dorim să creăm modele matematice pentru aceste derivate financiare, atunci e necesar să facem următoarele presupuneri, care ne-ar uşura lucrul: costurile de tranzacţionare, comisioanele, taxele sunt neglijate (pentru simplicitate, căci toate pieţele reale implică astfel de costuri). A înţelege pieţele fără fricţiuni e un pas inainte în a inţelege pe cele cu fricţiuni; nu sunt restricţii asupra cantităţilor tranzacţionate şi că aceasta nu va schimba preţul activelor tranzac- 18

20 MF2 [Dr. Iulian Stoleriu] ţionate; aceeaşi rata a dobânzii, r, atât pentru împrumut cât şi pentru credit; investitorii preferă tot mai mult; lipsa arbitrajului pe piaţa financiară; Problema fundamentală a matematicii instrumentelor derivate financiare este stabilirea preţului lor. Primele modele de evaluare au apărut în 1973, in lucrarile scrise de Black, Scholes şi Merton. Valoarea în timp a banilor (time value of money) În cele ce urmează, vom utiliza dobânda unitară r, ca fiind rata lipsită de risc a profitului unei companii, şi va fi considerată constantă în timp. De asemenea, vom considera că dobânda se calculează în mod continuu. Asta înseamnă că suma S 0 la timpul t = 0, va valora S 0 e rt la momentul t (timp ce îl vom măsura în ani). Invers, orice sumă S T la timpul viitor t = T valorează S T e rt în momentul de faţă, adică la t = 0, şi valorează S T e r(t t) la momentul t [0, T ]. Contracte forward Este cel mai simplu derivat financiar. Este o înţelegere (obligaţie) de a cumpăra sau vinde un activ financiar la o dată pre-stabilită în viitor (maturitate sau dată livrării sau scadenţa), pentru un preţ (preţ de livrare) stabilit la semnarea contractului. A se face distincţie între un contract forward şi un contract spot, pentru care livrarea are loc astăzi, la momentul înţelegerii. Într-un astfel de contract sunt implicate două părţi: cel care cumpăra activul (se spune că el deţine o poziţie long) şi cel care îl vinde (care deţine o poziţie short). Aceste contracte sunt tranzacţionate pe piaţa OTC (Over-The-Counter sau inter-dealeri). Poziţia cumpărătorul contractului futures se numeşte long forward (LF). Cel care intră într-o poziţie LF va câştigă din tranzacţie dacă preţul viitor al activului cumpărat va creşte faţă de momentul intrării în poziţie. Cumpărătorul unui contract futures urmăreşte ori să se protejeze împotriva unor creşteri viitoare ale preţului respectivului activ pe piaţa spot (la vedere), ori doreşte să speculeze o astfel de creştere la momentul sau momentele pe care le considerǎ potrivite. Poziţia cumpăratorului este considerată acoperită deoarece el urmează să achiziţioneze activul de bază. Poziţia vânzătorului este considerată descoperită (deoarece cel care vinde activul suport s-ar putea să nu îl deţină în momentul intrării în contract, astfel la scadenţa el va trebui fie să cumpere activul suport pe piaţa spot, pentru a-l vinde şi a-şi onora obligaţiile contractuale, fie va trebui să-l împrumute, şi în acest caz va apărea, mai târziu obligaţia rambursării împrumutului. În limbaj de specialitate, poziţia vânzătorului se numeşte short forward (SF) şi este o poziţie în oglindă faţă de poziţia LF. Atunci când poziţia LF înregistrează un câştig, poziţia SF va înregistra o pierdere şi invers; cu alte cuvinte, investitorul care intră într-o poziţie SF urmăreşte fie să se protejeze împotriva unei eventuale scăderi a preţului activului suport, fie doreşte să speculeze scăderea preţului la momentul potrivit. Caracteristici ale contractelor forward: contractul forward este o înţelegere privată, încheiată între doi parteneri care, de obicei, se cunosc; contractele forward (la termen) nu sunt tranzacţionate la bursă (sunt contracte nestandardizate); un contract forward implică un risc de credit pentru ambele părţi, similar celui de pe piaţa la vedere 19

21 MF2 [Dr. Iulian Stoleriu] (spot). Astfel, părţile contractuale pot solicita o garanţie; activul suport sau obiectul contractului poate fi orice marfă sau orice activ financiar pentru care cei doi parteneri îşi manifestă interesul; tranzacţiile se fac numai pe pieţele OTC; livrarea este specificată la momentul iniţierii contractului; nu se face nici o plată la momentul scrierii contractului; valutele sunt cele mai tranzacţionate prin contracte forward. Vânzări prin lipsă (short selling) Este procedeul prin care se poate vinde un activ pe care nu-l deţii. Etapele: ia cu împrumut activul şi vinde-l. La maturitate cumpăra activul şi înapoiază-l de unde l-ai împrumutat plus, eventual, o dobândă pentru împrumut. În acest caz, profitul va fi: pozitiv, dacă preţurile scad şi negativ, dacă preţurile cresc. În cazul vânzărilor short, investitorii speră că preţurile pe piaţa spot să scadă pentru a face un profit. În general, vânzările short sunt utilizate pentru a profită de o scădere asteptată de preţuri anumite active. Sunt trei motive pentru a vinde short: speculaţie (obţii un profit dacă preţurile scad). De exemplu, George Soros, 1992, "the man who broke the Bank of England", a anticipat că pound-ul britanic va scădea şi a pariat 10 miliarde de dolari pe aşa ceva, scoţând numai într-o zi un profit de cca 2 miliarde dolari americani. finanţare (e o modalitate de a împrumuta bani, folosită mai ales la obligaţiuni); hedging (pentru acoperirea riscului deţinerii unor active). În practică, când vinzi short un activ brokerul tău îţi va împrumută activul respectiv din contul firmei sau al altei firme de brokeraj. Apoi activul e vândut şi banii îţi revin, dar mai târziu sau mai devreme va trebui să închizi poziţia short prin înapoierea împrumutului făcut. Se pot plăti sau nu dividende pentru activul deţinut. Preţul forward (forward price) Dacă preţul de livrare este mai mare decât preţul spot, atunci e de preferat de a fi într-o poziţie short, iar dacă este mai mic, atunci o poziţie long e preferată. Aşadar va trebui să existe un preţ unic de livrare pentru care nici una dintre cele două poziţii nu e avantajată. Un astfel de preţ se numeşte preţ forward. Cu alte cuvinte, preţul forward este preţul (unic) de livrare pentru care nu e nevoie de nici un schimb de bani la momentul iniţierii contractului (i.e. nu ne costă nimic pentru a întra într-un astfel de contract). Vom deriva în continuare o formula pentru preţul forward, bazată pe principiul absenţei arbitrajului. Vom utiliza următoarele notaţii: K = preţul de livrare; S t = preţul (spot) al activului la momentul t; (S 0 e preţul la momentul t = 0, care e cunoscut, şi S T la momentul t = T, necunoscut); T = momentul livrării sau scadenţa; Π t = câştigul (profitul) net la momentul t. 20

22 MF2 [Dr. Iulian Stoleriu] F 0 preţul forward la momentul t = 0 (acesta se modifică în timp). Pentru un investitor ce deţine o poziţie long forward (i.e., ne punem în poziţia cumpărătorului) cu preţul de livrare K şi scădenţa T, profitul este Π T = S T K, iar pentru unul ce deţine o poziţie short forward (i.e. suntem pe poziţia vânzătorului), Π T = K S T (vezi Figura 2.1). Profit Profit K S T K S T (a) (b) Figura 2.1: Profitul pentru un long forward (a) şi un short forward (b). Întrebările la care ne propunem să răspundem sunt: Cum va trebui să-l alegem pe K astfel încât nu este nevoie de schimb de bani la momentul t = 0, intre părţile implicate in contract? Cu alte cuvinte, aceasta intrebare ne cere sa determinam preţul forward. Care este preţul corect al contractului forward la momentul iniţierii lui, dacă preţul de livrare nu este preţul forward? Pentru a răspunde la (1) să punem problema preţului corect astfel: considerăm contractul futures ca fiind un joc având următoarea regulă. La timpul t = T jucătorul J1 (care se află pe poziţia long futures) primeşte de la J2 (poziţia short futures) suma S T K în cazul în care acesta este pozitivă, altfel plăteşte suma K S T. Întrebarea (1) reformulată este: Care este preţul corect, V, pe care jucătorul J1 ar trebui să-l plătească pentru a participa la joc? Observaţia 2.1. Deoarece suma V trebuie plătită la t = 0 dar plăţile mai sus amintite se fac la t = T, va trebui să luăm în calcul valoarea banilor în timp (dobândă). Să presupunem că rata unitară anuală a dobânzii este r, aceeaşi pentru împrumut şi credit, şi că dobândă se calculează compus continuu. Aşadar, suma V platită la momentul t = 0 valorează V e rt la momentul t = T. D.p.d.p. al teoriei jocurilor, acest joc este cinstit dacă valoarea medie asteptată a sumei tranzacţionate la t = T este 0. Însă, valoarea sumei tranzacţionate la t = T este S T K V e rt, deci avem E[S T K V e rt ] = 0, adică V = e rt (E[S T ] K ). În concluzie, pentru a părticipa la joc J1 va trebui să platească la t = 0 suma V = e rt (E[S T ] K ), 21

23 MF2 [Dr. Iulian Stoleriu] dacă această e pozitiva, altfel J2 va trebui să-i platească V = e rt (K E[S T ]). Mai mult, valoarea lui K pentru care nu trebuie platită nici o primă la intrarea în joc este K = E[S T ]. Deci pare rezonabil de a alege un astfel de K ce să reprezinte preţul forward. Însă, sunt două obiecţii majore pentru această alegere: prima V depinde de E[S T ], adică de valoarea asteptată a preţurilor viitoare, care sunt aleatorii, deci necunoscute investitorilor. Putem doar prezice valoarea lui S T. După cum vom vedea mai târziu, în capitolele viitoare, se obişnuieşte ca S T să fie ales astfel încât să urmeze o anumită repartiţie probabilistică, de regula repartiţia lognormală. Reamintim, Y logn (m, σ) dacă ln Y N (m, σ), adică densitatea de repartiţie a lui Y este f Y (x) = { 1 xσ 2π e (ln x m)2 2σ 2, dacă x > 0 0, dacă x 0 Media şi dispersia sunt date de E(Y ) = e m+σ 2 /2, D 2 (Y ) = e 2m+σ 2 (e σ 2 1).. alegând K = E[S T ], pot aparea oportunităţi de arbitraj. Intr-adevar, să presupunem că E[S T ] = S 0, deci K = S 0. Un investitor poate proceda astfel: La t = 0 vinde short n unităti din activ şi investeşte banii obţinuţi (i.e. ns 0 ) într-un cont bancar sau obligaţiuni. Pentru a acoperi poziţia short, în acelaşi timp intra într-un contract forward prin care se angajează să cumpere n active la preţul spot la t = T, adică pentru S 0. Aşadar, la t = T va avea în cont ns 0 e rt. Onorează poziţia long şi cumpăra n active, pentru care plăteşte ns 0, le returnează, împreuă cu dobândă pentru deţinerea lor pana la scădenţa. Facând balantă la t = T, va rămâne cu: ns 0 (e (r q)t 1) (în general, r > q). În plus, dacă q = 0 (nu se iau în considerare taxele de deţinere a unui activ), atunci va avea un profit garantat ns 0 (e rt 1) > 0, deci oportunităţi de arbitraj. Ingredientul esential in evaluarea valorii contractului forward este presupunerea ca piata financiara este viabila (lipsita de arbitraj). Propoziţia 2.2. Preţul forward pentru un activ aflat în proprietate şi care nu generează dividende este K = S 0 e rt. (2.1) Demonstraţie. Cazul I: K < S 0 e rt. La t = 0: Vindem short n active, banii obţinuţi ns 0 în punem într-un cont bancar cu rată r şi intrăm într-un contract forward în care ne angajăm să cumpăram n active la t = T cu preţul K, pentru a acoperi poziţia short. La t = T : Cumpăram n active şi închidem poziţia short. Profitul net va fi: ns 0 e rt nk > 0. Cazul II: K > S 0 e rt. La t = 0: Împrumutăm suma de ns 0, cumpărăm n active şi intrăm într-un contract forward de vânzare a lor la t = T, cu preţul K. La t = T : Vindem cele n active şi plătim împrumutul. Profitul net: nk ns 0 e rt > 0. Observaţia 2.3. Să notăm că preţul stabilit prin lipsa arbitrajului este tocmai valoarea la scădenţa t = T a sumei S 0 dacă aceasta este investită într-un cont bancar pe toată perioada contractului. 22

24 MF2 [Dr. Iulian Stoleriu] Propoziţia 2.4. Preţul forward pentru un activ aflat în proprietate şi care produce dividende cu o rată q este K = S 0 e (r q)t. Aici q reprezintă rata medie aşteptată de plată dividendelor. Propoziţia 2.5. Preţul forward pentru un activ împrumutat şi care nu produce dividende este K = (S 0 I)e rt. Aici I este suma fructificată ce trebuie plătită pentru activul împrumutat. Observaţia 2.6. Deşi, în general, valoarea K este aleasă astfel încât contractul forward nu costă nimic la momentul iniţierii, în cazul în care K nu e preţul forward, atunci contractul va avea o anumită valoare iniţiala. Aceasta este: (F 0 K )e rt, pentru cel care deţine o poziţie long forward, şi (K F 0 )e rt, pentru cel care deţine o poziţie short forward. Contracte futures Un contract futures este un acord contractual ferm între două părţi, negociat într-o piaţa organizată, care obligă ambele părţi să cumpere sau să vândă o cantitate de bunuri, obligaţiuni, acţiuni etc la o dată viitoare, pentru un preţ stabilit la dată semnării contractului. Preţul contractului va varia în funcţie de localizarea pieţei, dar este fixat atunci când tranzacţia este încheiată. Contractul futures este, de fapt, un contract forward standardizat. Exemplu Cumpărare de 500 g de RON180/g în Decembrie 2013; 2. Vânzare de e e/ron în August 2014; Trasături comune ale contractelor futures: sunt standardizate (anumite maturităti, dimensiuni ale contractelor, tipuri de active suport etc) şi organizate de casele de compenstaţie. Implicarea casei de compensaţie implică fatul că nu există un contract între vânzător şi cumpărator, ci un contract între fiecare dintre aceştia şi casă de compensaţie. Casa de compensare actionează astfel ca o contrapartida pentru ambele părţi, care conferă protecţie acestora şi permite ca tranzacţionarea să aibă loc mai liber; preţul este stabilit prin mecanismul cerere/ofertă pentru contractul futures pe un anumit activ suport şi este influenţat şi de scadenţa anuntată pentru acestă; sunt tranzacţionate la bursă; la momentul semnării contractului se cere fiecărei părţi depunerea unei sume de bani numită marja sau garanţie. Această marjă este ajustată zilnic, pentru a minimiza posibilele pierderi. marcarea la piaţa: înregistrarea preţului unui activ în fiecare zi în vederea calculării profiturilor şi a pierderilor. 23

25 MF2 [Dr. Iulian Stoleriu] sunt utilizate în special de: hedgeri, speculatori şi arbitrageuri. Din punctul de vedere al modelării matematice, putem considera contractele forward şi cele futures a fi identice. Probleme propuse Exerciţiu 2.1. Un investitor a semnat un contract forward cu scadenţa de 6 luni, prin care va cumpăra un pachet de acţiuni ale unei companii cu suma totală de 200 RON. Preţul actual al pachetului de acţiuni este de 194 RON. Ştiind că nu există oportunităţi de arbitraj şi că pentru aceste acţiuni nu se plătesc dividende pentru perioada contractuală, să se determine rata anuală unitară (efectivă) lipsită de risc. Exerciţiu 2.2. Determinaţi preţul forward pentru un contract forward cu scadenţa de 1 an, bazat pe un portofoliu de active ce valorează 1.1 milioane RON şi care are o rată anuală de plată a activelor de 5% p.a., plătibile în mod continuu. Rata anuală unitară lipsită de risc este de 5% p.a.. Exerciţiu 2.3. Pe piaţa aurului, preţul spot al unui gram de Au (1XAU) este de 140 RON. Pe această piaţă se comercializează contracte forward cu scadenţa de jumătate de an, ce oferă posibilitatea vânzării gramului de aur cu 150 RON (r = 0.05). (a) Determinaţi dacă există oportunităţi de arbitraj pe piaţă. În caz afirmativ, construiţi o strategie de arbitraj. (b) Determinaţi preţul forward pentru un contract forward de vânzare a 1g Au cu 150 RON, cu scadenţa de 6 luni. (c) Care este preţul corect al unui contract forward considerat mai sus? Exerciţiu 2.4. Într-o anumită ţară, guvernul a decretat următoare bandă de variaţie pentru rata de schimb dintre valuta autohtonă ($LOC) în raport cu EUR: 0.95 EUR 1 $LOC 1.05 EUR. Presupunem că acest decret are aplicabilitate pentru cel puţin un an. Tot în această ţară, guvernul emite titluri de valoare (obligaţiuni) cu scadenţa de 1 an, în valuta autohtonă, şi care plătesc dobândă de 30% p.a.. Dacă dobânda pentru depozite în EUR este de 6% p.a., investigaţi dacă există oportunităţi de arbitraj. Exerciţiu 2.5. Un activ financiar costă $152 în New York şi 100 în Londra. Ştiind că rata de schimb este /$ = 1.55, construiţi o strategie de arbitraj. 24

26 MF3 [Dr. Iulian Stoleriu] 3 Matematici financiare (C3) Contracte cu opţiuni Printr-un contract cu opţiune sau, simplu, opţiune (în engleză, option) se înţelege un contract ce conferă unei persoane (deţinătorului) dreptul, dar nu şi obligaţia, de a tranzacţiona in viitor un anumit activ financiar, la un preţ convenit, într-un termen definit sau la expirarea acestuia, în schimbul plăţii unei prime. Dacă prin acest contract se vinde activul suport, atunci avem o opţiune de tip put, iar dacă se cumpără activul, avem o opţiune de tip call. Preţul convenit pentru tranzacţionarea activului se numeşte preţ de exerciţiu, iar termenul limită de valabilitate a opţiunii este denumit scadenţă (sau maturitate). Activele suport pot fi foarte variate. De exemplu, pot fi: acţiuni, devize, indici bursieri, contracte futures, rate ale dobânzii. Cel ce deţine o opţiune poate să-şi exercite dreptul până la scadenţă contractului, să abandoneze opţiunea pînă la scadenţă, sau să-şi compenseze contractul. În funcţie de timpul când se face exercitarea, opţiunile pot fi: europene (opţiunea este exercitată doar la maturitate), americane (opţiunea poate fi exercitată oricând între semnarea contractului şi maturitate), exotice (bermudiene, asiatice, ruseşti) etc. Cele mai multe opţiuni tranzacţionate la bursă sunt cele de tip american, deoarece pot conferi flexibilitate celor ce tranzaţionează. Cumpăratorul unui call nu e obligat să cumpere, dar dacă acesta doreşte, atunci vânzatorul e obligat să vândă, indiferent dacă la momentul exercitării contractului piaţa este sau nu favorabilă lui. Asumarea acestui risc de către vânzatorul opţiunii se face în schimbul încasării la t = 0 a unei prime, care de altfel este preţul opţiunii. Astfel, vânzatorul obţine câştiguri limitate, dar certe, la nivelul primei încasate, în schimbul asumării unor riscuri nelimitate. În acelaşi timp, opţiunea reprezintă pentru cumpărător o poliţă de asigurare. Prima plătită poate să-i aducă câştiguri teoretic nelimitate, în cazul unei pieţe favorabile la scadenţă, sau să-l apere într-o piaţă defavorabilă. Tranzacţiile cu opţiuni sunt operaţiuni de vânzare/cumpărare de riscuri. Cumpărătorul opţiunii are aversiune faţă de risc (riscofob), iar vânzătorul este riscofil (preferă riscul). Opţiunile pot fi oferite în cadrul unor burse specializate sau pe pieţele OTC. În primul caz, contractele sunt standardizate şi oferă un grad scăzut de flexibilitate în alegerea termenilor. În cel de al doilea caz, contractele se încheie, în general, prin negociere între cele două părţi contractante. Între anii , opţiunile erau inaccesibil de scumpe pentru majoritatea investitorilor. Acum preţurile sunt accesibile şi, de multe ori, chiar sub-evaluate. Detinătorul unei opţiuni poate obţine un profit de multe ori mai mare decât ceea ce ar obţine dacă ar deţine activul suport. Există astfel posibilităţi de a realiza profituri foarte mari cu investiţii mici. Elementele componente ale unei opţiuni: Elemente intrinseci: prima C 0 pentru call (call to purchase) şi P 0 pentru put (put to sell); preţul de exerciţiu (preţul de lovire - strike price) K ; durata de valabilitate T (scadenţă - maturity); preţul spot (de piaţă) al activului suport, S t (S 0 este preţul actual al activului); rata dobânzii anuale, r, unică pentru vânzări şi cumpărări; rata de plată a dividendelor, q, dacă acestea se plătesc. 25

27 MF3 [Dr. Iulian Stoleriu] Opţiunea are şi o variabilă necunoscută, volatilitatea (volatility) preţului activului suport, dar care poate fi estimată. Aceasta volatilitate este, de fapt, dispersia valorilor activului suport pe perioada de viaţă a opţiunii şi este un factor important în determinarea valorii primei opţiunii. Volatilitatea preţului unor acţiuni la compania X poate fi de două ori mare decât a companiei Y, determinând astfel o valoare dublă a primei opţiunii de cumpărare a acţiunilor primei firme. În continuare, vom nota prin Ct E = C t şi prin Pt E = P t valorile pentru un call, respectiv, put european la momentul t. De asemenea, vom nota prin Ct A şi Pt A valorile corespunzătoare pentru call şi put americane, la momentul t. Dacă nu este pericol de confuzie, vom prefera notaţiile C t şi P t pentru opţiuni europene. Valorile pentru call şi put (atât europene, cât şi americane) pot fi privite ca fiind nişte funcţii de următoarele variabile: C t = C(K, S t, T, q, r), P t = P(K, S t, T, q, r). Factori determinanţi ai preţului unei opţiuni preţul activului suport, S t. Spre exemplu, valoarea opţiunii de tip call va fi mai mare cu cât diferenţa între preţul activului suport şi preţul de exerciţiu este mai mare. preţul de exerciţiu, K. Acesta are o influenţă inversă faţă de preţul activului suport. intervalul de timp până la scadenţă, T. Cu cât acesta este mai mare, cu atât valoarea opţiunii creşte, deoarece oferă o flexibilitate mai mare de a exercită opţiunea în mod favorabil. rata dobânzii fără risc (risk-free rate), r. dividendele (dividends). Valoarea opţiunilor de tip call va scădea în cazul plăţii dividendelor în perioada de viaţă a opţiunii, pe când preţul unei opţiuni put va creşte. volatilitatea preţului activului suport, σ. Aceasta este greu de determinat în practică. Este o măsură a incertitudinilor legate de evoluţia preţului activului suport. Un activ cu o volatilitate ridicată prezintă fluctuaţii accentuate ale preţului. Preţul de exerciţiu este stabilit în jurul preţului activului suport, S 0. Pentru un call european cu preţul de exerciţiu K, vom spune că preţul activului suport la maturitate este: sub-paritate (in-the-money), dacă K < S 0. Se spune că, în acest caz, opţiunea are valoare tangibilă. În plus, această opţiune are valoare în timp, aceasta fiind asigurare pentru cazul în care valoarea activului suport scade sub valoarea preţului de exerciţiu. Spre exemplificare, să presupunem că valoarea unui activ este astăzi S 0 = 30 $ şi valoarea unui call european de cumpărare a acestui activ cu K = $ la momentul viitor T = 1/4 (3 luni) este C 0 = 3.15 $. Deţinând un astfel de derivat financiar, poţi pierde maximum 3.15 $, adică tocmai prima plătită pentru call, şi aceasta se întâmplă în cazul în care opţiunea expiră neexercitată. Din cei 3.15 $, suma de 2.50 $ reprezintă valoarea intrinseca (tangibilă) a opţiunii (i.e., diferenţa între S 0 si K ), iar 0.65 $ reprezintă valoarea timp a opţiunii. Nivelul cu care preţul opţiunii depăşeşte la un moment dat valoarea intrinsecă se numeşte valoare timp. La scadenţă valoarea timp este nulă. la paritate (at-the-money), dacă K = S 0. În cazul activului anterior, o opţiune call european la paritate ar semnifica un preţ de exerciţiu K = 30 $. Prima pentru un astfel de call ar fi de, să zicem, 1.35 $. Se poate observă că valoarea în timp a opţiunii este mai mare decât în cazul precedent, deoarece acest call poate fi privit ca asigurare pentru cazurile în care preţul activului ar scădea sub preţul de exerciţiu K sau că l-ar depăşi pe K. supra-paritate (out-of-the-money), dacă K > S 0. 26

28 MF3 [Dr. Iulian Stoleriu] De exemplu, un call european cu K = 33 $ şi T = 1/4 (3 luni) asupra activului precedent este la supra-paritate. Valoarea unui call (put) european la maturitate e dată de C T = (S T K ) +, respectiv, P T = (S T K ) = (K S T ) +. Vom nota prin FV (C 0 ) valoarea viitoare la momentul T (future value) pentru C 0. Similar, vom nota prin FV (P 0 ) valoarea viitoare la momentul T pentru P 0. În funcţie de modul cum este calculată dobânda, FV (X 0 ) poate fi una dintre următoarele valori: X 0 (1 + rt ), X 0 (1 + r) T sau X 0 e rt. Ţinând cont de prima plătită la semnarea contractului, profitul net de cumpărare a (sau rezultatul cumpărării) unui call (long call) este Π c T = (S T K ) + FV (C 0 ), iar al unui put (long put) este Π p T = (K S T ) + FV (P 0 ). Acestea sunt profiturile ce le poate obţine cumpărătorul de opţiuni call sau put. Din punctul de vedere al vânzătorului, profit pentru cumpărător înseamnă pierdere pentru vânzător. Aşadar, profiturile pentru vânzare de call (short call) şi put (short put) sunt, respectiv, Π c T = FV (C 0) (S T K ) + şi Π p T = FV (P 0) (K S T ) + (vezi Figurile 3.1 şi 3.2 unde, pentru simplitate, am luat r = 0, de unde FV (C 0 ) = C 0 şi FV (P 0 ) = P 0 ). Profit abandon Profit exercitare exercitare abandon 0 K 0 K P 0 K K+C C 0 0 S(t) P 0 S(t) Figura 3.1: Profitul pentru un long call (a) şi un long put (b). Terminologie: - a vinde o opţiune call (en., to write (or sell) a call option) = a avea obligaţia de a vinde un activ la un preţ prestabilit. Dacă un investitor este în această poziţie, el va trebui să livreze activul suport la scadenţă în cantitatea convenită şi la preţul convenit, în cazul în care cumpărătorul îşi exercită dreptul; - a cumpăra o opţiune call (en., to buy a call option) = a avea dreptul de a cumpăra un activ la un preţ prestabilit, de la cel care a scris (vândut) opţiunea; - a cumpăra o opţiune put = a avea dreptul de a vinde un activ la un preţ prestabilit; - a vinde o opţiune put = a avea obligaţia de a cumpăra un activ la un preţ prestabilit; - preţ de exerciţiu (de lovire) = preţul stabilit la momentul scrierii opţiunii (convenit de ambele părţi); 27

29 MF3 [Dr. Iulian Stoleriu] Profit Profit P C 0 0 K K+C K P K S(t) S(t) abandon exercitare exercitare abandon Figura 3.2: Profitul pentru un short call (a) şi un short put (b). - scadenţa (maturitatea) = dată când contractul expiră; - premium (sau prima) = taxa încasată de cel care scrie opţiunea (emite contractul), de la cumpărător. Gândiţi-vă la această primă ca fiind o asigurare pentru luarea unor eventuale decizii financiare greşite. În continuare, vom determina limite pentru preţurile opţiunilor la orice timp între 0 şi T. Presupunem că avem opţiuni put şi call europene cu acelaşi preţ de exerciţiu, acelaşi activ suport (al cărui preţ la t este S t şi pentru care nu se plătesc dividende) şi acelaşi T. Mai mult, considerămexistenţa unei rate unitare unice, r, compusă continuu. Putem demonstra următoarea propoziţie: Propoziţia 3.1. (paritatea put-call) Într-o piaţă financiară viabilă (i.e., în care nu există oportunităţi de arbitraj), are loc relaţia: S t + P E t C E t = K e r(t t), ( ) t [0, T ]. (3.1) Demonstraţie. Considerăm un portofoliu compus dintr-un activ S, un put P şi o poziţie short pentru un call (cel care deţine portofoliul a scris call-ul). Fie V t valoarea portofoliului. Avem: Dar la t = T avem V t = S t + P E t C E t, ( ) t [0, T ]. V T = S T + (S T K ) (S T K ) + = K. Aşadar, acest portofoliu garantează profitul K la t = T. Folosind principiul lipsei arbitrajului (care ne garantează că două active ce au un acelaşi preţ la un anumit moment, atunci ele vor valora la fel în orice alt moment), găsim că V t = K e r(t t), ( ) t [0, T ]. Observaţia 3.2. (1) Pentru t = 0, obţinem relaţia: S 0 + P 0 C 0 = K e rt. (3.2) 28

30 MF3 [Dr. Iulian Stoleriu] (2) În cazul opţiunilor de tip american ce au la bază acelaşi activ suport pentru care nu se plătesc dividende şi aceeaşi scadenţă, o relaţie similară cu cea anterioară (care uneori poartă denumirea de paritatea put-call pentru opţiuni americane) este: S 0 K C A 0 PA 0 S 0 K e rt. (3.3) Propoziţia 3.3. În aceleaşi condiţii ca în propoziţia anterioară, putem arata că: { } max S t K e r(t t), 0 Ct E S t, ( ) t [0, T ]. Demonstraţie. Rezultă din propoziţia anterioară. Evident, Ct E 0, deoarece Ct E < 0 generează oportunităţi de arbitraj (obţinem un profit la timpul T, când CT E = (S T K ) + 0). În mod similar, trebuie să avem C t S t, altfel ar însemna că dreptul de a cumpăra un activ are o valoare mai mare decât deţinerea efectivă a activului, ceea ce e fals. Deţinerea activului oferă beneficii suplimentare, e.g. dobândă. Din (3.1) obţinem că S t K e r(t t) = Ct E Pt E Ct E, ceea ce încheie demonstraţia. Observaţia 3.4. E clar că o opţiune americană costă mai mult decât una europeană, deoarece are în plus caracteristica de a putea fi exercitată oricând înainte de termen. Aşadar, în general avem C A t C E t, ( ) t [0, T ]. Propoziţia 3.5. Într-o piaţă financiară viabilă, pentru un activ financiar pentru care nu se plătesc dividende, avem C A t = C E t, ( ) t [0, T ]. Demonstraţie. Arătăm că C A t C E t, ( ) t [0, T ]. Ştim că: C A t = max{s t K, C E t }, ( ) t [0, T ]. Dar, dacă nu se plătesc dividende, atunci, folosind Propozitia 3.3, obţinem: S t K S t K e r(t t) C E t, de unde rezultă inegalitatea C A t C E t, ( ) t [0, T ]. Observaţia 3.6. Sunt două motive pentru care exercitarea unei opţiuni americane de tip call pentru care nu se plătesc dividende mai devreme de maturitate nu e indicată: (i) investitorul care deţine un call american în locul activului suport este asigurat împotriva unei căderi a valorii activului. Dacă exercită mai devreme, atunci pierde asigurarea. (ii) Când deţinătorul unui call exercită opţiunea, atunci el cumpără activul plătind preţul de exerciţiu K. Cumpărând mai devreme, el va pierde dobânda câştigată pentru K pentru perioada rămasă până la maturitate. 29

31 MF3 [Dr. Iulian Stoleriu] Observaţia 3.7. (1) piaţă viabilă avem: Putem determina valori maxime şi minime şi pentru un put european. Astfel, într-o max{k e r(t t) S t ; 0} P E t K e r(t t), ( ) t [0, T ]. Demonstraţia este similară cu cea pentru Propoziţia 3.3. (2) În cazul opţiunilor de tip american, putem arăta doar că: C E t C A t S 0 şi P E t P A t K, ( ) t [0, T ]. Strategii de investiţii cu opţiuni Piaţa opţiunilor poate fi o piaţă ideală pentru cei ce doresc să obţină câştiguri nelimitate, speculând preţurile opţiunilor, sau pentru investitorii care doresc să se asigure împotriva riscului financiar. Opţiunile pot fi folosite şi in acţiuni de arbitraj. Vom discuta aici strategii ce includ doar opţiuni call şi put europene. Opţiunile pot fi utilizate pentru: speculaţie; hedging (acoperirea riscului sau asigurare); arbitraj. Aceste operaţiuni sunt posibile datorită versatilităţii opţiunilor. Putem vorbi despre strategii bull, în care investitorii anticipează o creştere viitoare a preţului activului suport, sau strategii bear, când acest preţ este anticipat a fi în scădere. Strategiile de investiţie cu opţiuni sunt nenumărate; amintim aici doar cateva, mai uzuale: strategii simple. De exemplu, cumpărare de opţiuni call şi put neacoperite, în funcţie de anticipările investitorilor asupra evoluţiei viitoare a cursului activului suport. combinaţii. Aceste strategii sunt combinaţii de opţiuni asupra aceluiaşi activ suport. De exemplu: salturile (en., spreads), prima dublă (en., stellage) sau gâtuirile (en., strangles). cumpărarea de portofolii formate din opţiuni call şi put şi active suport, în vederea luării unei poziţii cât mai bune pe piaţă la scadenţă. Pentru simplitate, vom considera aici că r = 0. Dacă r 0, atunci C 0 si P 0 vor fi înlocuite cu FV (C 0 ), respectiv FV (P 0 ). Strategii simple cu opţiuni cumpărare de opţiuni call (naked long call). Alături de cumpărarea de opţiuni put, acestea sunt cele mai simple strategii speculative. Această acţiune poate fi propice în cazul în care se anticipează o creştere importanţă a cursului activului suport până la maturitate. Dacă anticipările nu se adeveresc, se pierde prima platită pentru achizitionarea opţiunii call. În cazul în care apar pierderi, atunci spunem că ele au efect de levier (sunt limitate). Profitul net la maturitate este Π c T = (S T K ) + C 0. 30

32 MF3 [Dr. Iulian Stoleriu] cumpărare de opţiuni put (naked long put). Este o acţiune speculativă, ce poate fi propice în cazul în care se anticipează o scădere importantă a cursului activului suport pe durată de viaţă a opţiunii. Dacă anticiparile nu se adeveresc, se pierde prima platită pentru achizitionarea opţiunii call. Şi în acest caz, eventualele pierderi au efect de levier. Profitul net la maturitate este Π p T = (K S T ) + P 0. vânzare de opţiuni call (naked short call). Este tot o acţiune speculativă, propice în cazul în care se anticipează că valoarea activului suport nu va creşte pe durata de viaţă a opţiunii. Dacă anticipările nu se adeveresc, se pot produce pierderi nelimitate, mult mai mari decât primele încasate. Dacă pierderea survine, atunci vom spune că are efect de măciucă. Profitul net la maturitate este egal cu Π c T. vânzare de opţiuni put (naked short put). Acţiunea poate fi propice în cazul in care se anticipează că valoarea activului suport nu va scădea pe durata de viaţă a opţiunii. Dacă anticipările nu se adeveresc, se pot produce pierderi mari, mult mai mari decât primele încasate. Şi în acest caz, aceasta este o acţiune speculativa, cu profitul net la maturitate Π p T şi pierderea maximă în valoare de K P 0. vânzare de opţiune call şi deţinere de activ suport (covered call). Prin strategia call acoperit, investitorul îşi stabileşte o poziţie short pentru un call şi deţine un număr de active suport câte sunt vândute prin short call. Valoarea profitului în acest caz este (vezi şi figura 3.3): { Π c T + S C 0 + K, S T K ; T = C 0 + S T, S T < K. K P 0 C 0 K S(t) K S(T) Figura 3.3: Profitul pentru un call acoperit. Figura 3.4: Profitul pentru un put protectiv. cumpărare de put şi deţinere de activ suport (protective put). E o strategie de acoperire a riscului. Un investitor procedând astfel plăteşte premium pentru put şi se protejează împotriva scăderii preţului activului suport. Profitul total pentru această strategie este (vezi figura 3.4): { K P 0, S T < K ; P T P 0 + S T = S T P 0, S T K. cumpărare de put şi cumpărare activ suport (married put). E o strategie de hedging (acoperire a riscului). Un investitor cumpără active suport la un moment viitor T şi le protejează în eventualitatea 31

33 MF3 [Dr. Iulian Stoleriu] deprecierii preţului lor prin cumpărarea unui put asupra aceluiaşi număr de active suport câte au fost cumpărate şi cu acelaţi preţ de exerciţiu, K. Profitul total pentru această strategie este: { P 0, S T < K ; S T K + P T P 0 = S T P 0 K, S T K. Combinaţiile Sunt combinaţii de mai multe serii de opţiuni asupra aceluiaşi activ-suport. Aceste strategii se bazează pe anticipări foarte exacte ale evoluţiei cursului activului suport. Dacă anticipările sunt corecte, atunci câştigurile pot fi mult mai mari decât profiturile realizate prin strategii simple. salturile (en., spreads). Gestionarul de portofoliu cumpără şi vinde în acelaşi timp două opţiuni call (sau două opţiuni put) asupra aceluiaşi activ suport, dar cu preţuri de exerciţiu diferite. Salturile pot fi crescătoare (în cazul în care se anticipează o creştere a lui S t ) sau descrescătoare (dacă se anticipează o scădere a lui S t ). Să presupunem că avem un salt cu două opţiuni call, cu preţurile de exerciţiu K c si K v şi primele C0 c si C 0 v (indicii c şi v sunt pentru cumpărare si vânzare, respectiv). Salturile crescătoare sunt strategii bull, denumite şi bull spreads), iar cele descrescătoare sunt strategii bear (bear spreads). Exemplu de bull-spread: un 100 call 110 call, ce semnifică: cumpărarea unui call cu K c = 100 la T şi vânzarea simultană a unui call asupra aceluiaşi activ, cu K v = 110, la T. Profitul în cazul unui salt crescător (K v > K c ) este (vezi Figura 3.5): C (S T K c ) + C0 c (S T K v ) + + C0 v 0 v C 0 c, S T K c ; = S T K c C0 c + C 0 v, S T (K c, K v ); K v K c + C0 v C 0 c, S T K v butterfly spreads. Sunt strategii de tip salt care folosesc o combinaţie de bull şi bear spreads. Are 3 preţuri de exerciţiu. Investitorul ce doreşte utilizarea unei astfel de tehnici anticipează ca preţul activului suport va rămâne într-o anumită regiune, K 1 < S T < K 3. Prezentăm în continuare un exemplu de butterfly spread cu opţiuni call. Fie K 1, K 2, K 3 preţurile de exerciţiu pentru 3 diferite opţiuni de tip call, C 1, C 2, C 3, asupra unui aceluiaşi activ suport, cu aceeaşi scadenţă. Suntem în poziţia long C 1, short 2C 2, long C 3. Diagrama profitului va fi (vezi figura 3.6): Π T = C 1 2C 2 + C 3 (C 0 1 2C C 0 3 ) = (S T K 1 ) + C 1 0 2(S T K 2 ) + + 2C (S T K 3 ) + C 3 0. prima dublă (en., straddle, fr., stellage). Este o strategie prin care se cumpără sau se vinde simultan opţiuni call-put pentru acelaşi activ suport, acelaşi preţ de exerciţiu şi aceeaşi scadenţă. Foarte importantă în această strategie este volatilitatea preţului activului suport. Se speră într-o variaţie puternică (la cumpărare), sau o variaţie foarte mică (la vânzare) a preţului activului suport, fără a şti exact în ce direcţie este variaţia. De exemplu, un 100 call & 100 put semnifică: cumpărarea unui call cu K = 100 la T, cumpărarea simultană a unui put cu K = 100. În general, pentru un K call & K put, diagrama profitului este (vezi figura 3.7): { (S T K ) + C 0 + (K S T ) + S T K C 0 P 0, S T K ; P 0 = K S T C 0 P 0, S T < K. 32

34 MF3 [Dr. Iulian Stoleriu] K c K v S(t) Figura 3.5: Profitul pentru un bull-spread. Figura 3.6: Profitul pentru un butterfly-spread. Figura 3.7: Profitul pentru o prima dublă. gatuirea (en., strangle). Este o operaţiune similara cu prima dublă, în care una dintre caracteristicile pentru call şi put, de exemplu preţul de exercitiu K, este diferită. Opţiunile ca asigurare Opţiunile pot fi folosite ca asigurare în situaţii nesigure ale pieţei. Este uşor de înţeles faptul că opţiunile vin cu asigurare, deoarece opţiunea este exercitată doar dacă aceasta aduce un avantaj deţinătorului. De exemplu, să presupunem că aţi ezitat la un moment dat să cumparaţi acţiuni la o anumită firmă, părându-se în acel moment ceva neprofitabil sau chiar prea riscant. Dar, în schimbul cumpărării acelor acţiuni, aţi putea achizitiona o opţiune de tip call, care sa va confere dreptul (nu si obligatia) de a le cumpăra peste 3 luni. În cazul în care firma devine foarte profitabilă şi actiunile cresc i n valoare, atunci nu veţi mai putea spune: "Acum mi-aş fi dorit să fi cumparat acel pachet de acţiuni când am avut ocazia". Pe de alta parte, dacă acele acţiuni se devalorizeaza în timp, atunci nu nu mai puteţi spune: "Îmi doresc să nu fi cumpărat acel activ". În mod similar, dacă deţii o opţiune de tip put, nu vei mai fi la un moment viitor în situaţia de a spune: "Mi-aş fi dorit să fi pastrat acel activ" sau "Ar fi trebuit să vând acel activ la momentul potrivit". 33

35 MF3 [Dr. Iulian Stoleriu] Probleme propuse Exerciţiu 3.1. Un investitor cumpără un put european pentru un pachet de acţiuni cu 2 RON. Preţul pachetului de acţiuni este acum 50 RON şi preţul de exerciţiu este 49 RON. (a) În ce situaţie va avea cumpărătorul profit? (b) Când va fi opţiunea exercitată? (c) Desenaţi o diagramă care să reprezinte profitul cumpărătorului la maturitate. Exerciţiu 3.2. Un investitor vinde un call european pentru un pachet de acţiuni cu 2 RON. Preţul pachetului de acţiuni este acum 49 RON şi preţul de exerciţiu este 50 RON. (a) În ce situaţie va avea cumpărătorul profit? (b) Când va fi opţiunea exercitată? (c) Desenaţi o diagramă care să reprezinte profitul cumpărătorului la maturitate. Exerciţiu 3.3. Descrieţi şi reprezentaţi grafic profitul pentru următorul portofoliu de investiţii asupra aceluiaşi activ suport: un contract long forward (LF), o poziţie long într-un put european (PO), cu aceeaşi maturitate ca şi LF, cu preţul de exerciţiu egal cu preţul forward stabilit pentru livrarea prin LF. Arătaţi că, în acest caz, prima pentru contractul put european este aceeaşi cu prima pentru un call European stabilit la momentul iniţierii portofoliului, asupra aceluiaşi activ suport, cu acelaşi preţ de exercitare şi maturitate ca PO. Exerciţiu 3.4. Determinaţi o margine inferioară pentru o opţiune call cu maturitatea de 4 luni asupra unui activ suport ce nu generează dividende, ştiind că preţul actual al activului suport este 30 RON, preţul de exerciţiu este 27 RON şi rata unitară anuală lipsită de risc este de 5% pe an. Exerciţiu 3.5. Determinaţi o margine inferioară pentru o opţiune put europeană cu maturitatea de 3 luni asupra unui activ suport ce nu generează dividende, ştiind că preţul actual al activului suport este 27 RON, preţul de exerciţiu este 30 RON şi rata unitară anuală lipsită de risc este de 5% pe an. Exerciţiu 3.6. Desenaţi diagrama pentru funcţia de plată (pay-off) pentru o primă dublă 100 call & 100 put cu C 0 = 3, P 0 = 4. Exerciţiu 3.7. Creaţi valoarea unui contract forward folosind constracte opţiuni. Exerciţiu 3.8. Determinaţi şi reprezentaţi grafic funcţia de plată (pay-off) pentru un 100 call 110 call bull spread, cu C c 0 = 3, C v 0 = 2. Exerciţiu 3.9. Considerăm trei opţiuni de tip put european, P 1, P 2 şi P 3, având acelaşi activ suport şi aceeaşi scadenţă. Pentru aceste opţiuni, preţurile de exerciţiu sunt K 1 = 50, K 2 = 60, K 3 = 70, iar preţurile de tranzacţionare sunt P 0 1 = 2, P0 2 = 3, P0 3 = 5. Construim un portofoliu format din cumpărarea opţiunilor P 1 şi P 3 şi vânzarea a două opţiuni P 2. (a) Care este valoarea iniţială a portofoliului? Determinaţi profitul acestui portofoliu la maturitate. (b) Reprezentaţi grafic profitul portofoliului. (c) Folosind paritatea put-call pentru opţiuni europene, arătaţi că preţul acestui portofoliu este identic cu preţul unui portofoliu similar, în care opţiunile put sunt înlocuite cu opţiuni de tip call european. Exerciţiu Care dintre următoarele cinci variante vor genera profit pentru vânzător: (a) un call european în care preţul activului suport e mai mare decât preţul de exerciţiu cu cel puţin valoarea primei plătite iniţial pentru call; (b) un put european în care preţul activului suport e mai mare decât preţul de exerciţiu; (c) un contract futures în care preţul activului suport scade sub valoarea preţului de exerciţiu; 34

36 MF3 [Dr. Iulian Stoleriu] (d) un call european în care preţul activului suport e mai mic decât preţul de exerciţiu; (e) o acţiune speculativă de tip butterfly spread cu opţiuni call în care preţul activului suport este apropiat de preţul de exerciţiu pentru poziţia short; Exerciţiu Care este pierderea maximă pe care o poate avea la scadenţă cel ce vinde un put european (poziţia short put)? Exerciţiu Demonstraţi inegalităţile din Observaţia

37 MF4 [Dr. Iulian Stoleriu] 4 Matematici financiare (C4) Model discret de piaţă financiară Problema fundamentală în modelarea instrumentelor financiare derivate este stabilirea preţului lor. Primele modele de evaluare au apărut în 1973, dezvoltate de F. Black, M.S. Scholes şi R. Merton. Ulterior, J. C. Cox, S. A. Ross şi M. E. Rubinstein au introdus un model discret de piaţă financiară, bazat pe arbori binomiali. În cele ce urmează, vom prezenta un model discret de piaţă financiară cu o singură perioadă (i.e., un singur interval de timp, [0, T ], iar în acest interval tranzacţiile pot fi făcute doar la momentele t = 0 şi t = T ), iniţiat de Arrow şi Debreu. Aici, T > 0 se măsoară în ani (e.g., T = 1 2 semnifică o jumătate de an). Pe baza acestui model simplu, vom determina ulterior valoarea corectă a unui derivat financiar tranzacţionabil pe această piaţă. Fixăm o rată r 0 a dobânzii de referinţă, pe care o vom considera ca fiind rata lipsită de risc a profitului unei companii. Vom nota cu S t valoarea unui activ financiar la momentul t [0, T ]. Deoarece suntem în cazul unei pieţe în care tranzacţiile se pot realiza doar într-un număr finit de momente, vom considera ca dobânda se calculează în mod compus. Aceasta înseamnă că, după acumularea dobânzii, o sumă S 0 la momentul iniţial t = 0 va valora S 0 (1 + r) t la momentul t. Invers, orice sumă S t la momentul t > 0 are valoarea S t (1 + r) t la momentul t = 0. În cazul unui model discret cu o singură perioadă, legăturile dintre valorile de interes pentru un activ financiar vor fi: S 0 = S T (1 + r) T şi S T = S 0 (1 + r) T. Presupuneri de modelare: costurile de tranzacţionare, comisioanele, taxele sunt neglijate (pentru simplitate, căci toate pieţele reale implică astfel de costuri). A înţelege pieţele fără fricţiuni e un pas înainte în a înţelege pe cele cu fricţiuni; nu sunt restricţii asupra cantităţilor tranzacţionate (e.g., putem tranzacţiona 2 sau 5 2 dintr-un activ) şi că această nu va schimba preţul activelor tranzacţionate; toţi investitorii împrumută sau dau cu împrumut cu aceeaşi dobândă r; investitorii sunt raţionali (preferă tot mai mult); lipsa arbitrajului (no free lunch) este o presupunere esenţială; Model de piaţă cu o singură perioadă (Arrow 1 -Debreu 2 ) Considerăm un model de piaţa în care există un număr finit (posibil mare) de active tranzacţionabile şi doar doi timpi: t = 0 (prezent), timpul la care ştim totul despre piaţă, şi t = T (viitor), este punctul terminus pentru toate activităţile economice considerate. Timpul t = T este timpul la care nu ştim cu certitudine ce se va întampla. Vom lua astăzi decizii de investiţii, care vor conduce la rezultate incerte la t = T. Pentru început, urmărim să găsim o caracterizare matematică a lipsei de arbitraj pentru această piaţă. 1 Kenneth Joseph Arrow (n. 23 august 1921-, este un economist american, laureat al Premiului Nobel pentru economie (1972). S-a născut în New York. Mama sa, Lilian, era născută la Iaşi, iar tatăl său, Harry, era din Podu Iloaiei. 2 Gérard Debreu: , economist francez, laureat al Premiului Nobel pentru economie (1983). 36

38 MF4 [Dr. Iulian Stoleriu] Să presupunem că pe această piaţa se pot tranzacţiona exact N +1 active, pe care le notăm cu a 0, a 1, a 2,..., a N. De regulă, se consideră că activul a 0 este un activ sigur (e.g., cont bancar sau obligaţiune), iar activele a 1, a 2,..., a N sunt active riscante. Scopul principal al activului sigur este de a oferi o percepţie a valorii în timp a unităţii monetare. La momentul iniţial, un investitor achiziţionează un portofoliu format din cele N + 1 active, pe timpul unei perioade de timp în care le tranzacţionează (perioada de tranzacţionare), ceea ce-i conferă dreptul de a cere (sau datora) dividende generate de active. Astfel, rezultă un câştig (sau pierdere) de capital. La maturitate, investitorul lichidează poziţia şi va avea un profit (sau pierdere) net(ă) în urma acestor tranzacţii. Acest profit (sau această pierdere) este datorat(ă) fluctuaţiilor de preţ de pe piaţă pentru activele deţinute. Să presupunem că la sfârşitul perioadei de tranzacţionare piaţa financiară considerată se poate afla într-una din următoarele M stări posibile: ω 1, ω 2,..., ω M, iar investitorul nu ştie cu exactitate în momentul investiţiei (i.e., la t = 0) care dintre aceste stări va apărea. Presupunem că P({ω j }) > 0, pentru orice j {1, 2,..., M} (i.e., orice stare este posibilă). Vom nota prin St i (t = 0 sau T ) valoarea la momentul t a activului a i, i {0, 1,..., N}. Menţionăm că S0 i sunt cunoscute investitorului iar Si T = Si T (ω) sunt necunoscute la momentul t = 0, ele fiind, în fapt, variabile aleatoare. Modelul va fi specificat în totalitate dacă se cunosc: preţurile iniţiale pentru active, adică vectorul S 0 = (S 0 0, S1 0,..., SN 0 )tr (aici, v tr semnifică transpusa unui vector v), valorile activelor la maturitate, specificate în matricea cash-flow (flux de lichidităţi): D = S 0 T (ω 1) S 0 T (ω 2)... S 0 T (ω M) S 1 T (ω 1) S 1 T (ω 2)... S 1 T (ω M) S N T (ω 1) S N T (ω 2)... S N T (ω M). Elementele matricei D = S T (ω) reprezintă suma obţinută/datorată pentru fiecare activ în fiecare din stările posibile la maturitate (linia i reprezintă fluxurile posibile asociate cu deţinerea unei unităţi din activul i). Definim un portofoliu de active tranzacţionabile printr-un vector θ = (θ 0, θ 1,..., θ N ) tr. Aici, θ i (i = 0, N) reprezintă numărul de unităţi deţinute din activul i. Pentru simplitate, presupunem că θ i R. Dacă pentru un i fixat avem: 1. θ i > 0, atunci investitorul deţine o cantitate θ i din activ până la scadenţă şi are dreptul la posibile dividende, în valoare de {S i (T, ω j ) θ i } j=1, M ; 2. θ i = 0, atunci investitorul nu investeşte în activul i; 3. θ i < 0, atunci investitorul vinde short activul (i.e., îl ia cu împrumut şi apoi îl vinde) şi va avea posibilele datorii {S i (T, ω j ) θ i } j=1, M până la scadenţă. Preţul iniţial al portofoliului θ este: S tr N 0 θ = S0 i θ i, iar profitul/pierderea la maturitate (t = T ) va fi dată de vectorul D tr θ. i=0 37

39 MF4 [Dr. Iulian Stoleriu] Dinamica pieţei: N La momentul iniţial, t = 0, investim suma S0 tr θ = S0 i θ i. La maturitate, t = T, obţinem un câştig (pierdere) aleator (aleatoare): D tr θ = de starea în care se va afla piaţa la acel moment, i.e., depinde de ω. i=0 N ST i (ω) θ i, care depinde i=0 Notaţie: Pentru un vector x R d, vom spune că x 0 dacă x R d +. Vom spune că x > 0 dacă x 0 şi x 0. Menţionăm că x > 0 nu înseamnă că x este pozitiv în toate coordonatele. Definiţia 4.1. Spunem că portofoliul θ generează oportunităţi de arbitraj dacă (a) S tr 0 θ = 0 şi Dtr θ > 0, sau(b) S tr 0 θ < 0 şi Dtr θ 0. (4.1) Observaţia 4.2. Din (a) observăm că, deşi la momentul iniţial investiţia este zero, la maturitate obţinem un profit sigur. Condiţia (b) spune că am putea împrumuta bani pentru consum la t = 0 şi să nu avem nimic de returnat la scadenţă, adică am avut un free lunch la t = 0 pe cheltuiala pieţei. Teorema 4.3. Spunem că piaţa este lipsită de arbitraj dacă şi numai dacă există un vector ψ = (ψ 1, ψ 2,..., ψ M ) tr, cu ψ j > 0, ( ) j = 1, M, astfel încât S 0 = Dψ. (4.2) Observaţia 4.4. Un astfel de vector ψ se numeşte vector de stare. Cu alte cuvinte, lipsa arbitrajului este echivalentă cu existenţa unui vector de stare. Teorema anterioară spune că într-o piaţă lipsită de arbitraj trebuie să existe o anumită relaţie între preţurile iniţiale şi fluxul de lichidităţi. Putem rescrie (4.2) în forma S 0 0 S 1 0. S N 0 = S 0 T (ω 1) S 1 T (ω 1). S N T (ω 1) ψ 1 + S 0 T (ω 2) S 1 T (ω 2). S N T (ω 2) ψ S 0 T (ω M) S 1 T (ω M). S N T (ω M) ψ M Vectorul multiplicat cu ψ i este vectorul preţ al activului suport în cazul în care acesta se află în starea ω i la maturitate. Demonstraţie. : S 0 = Dψ implică S tr 0 θ = (Dψ)tr θ = ψ tr D tr θ. (4.3) Dacă presupunem prin absurd că θ e un portofoliu ce generează arbitraj, atunci sau care conduc la o contradicţie cu (4.3). S tr 0 θ < 0 şi Dtr θ 0 ψ tr D tr θ 0, S tr 0 θ = 0 şi Dtr θ > 0 ψ tr D tr θ > 0, : Pentru a demonstra această implicaţie ne vom folosi de o lemă. Să considerăm conul convex R M+1 + = {x R M+1 ; x i 0, ( ) i = 1, M + 1} R M+1. 38

40 MF4 [Dr. Iulian Stoleriu] (C este con convex dacă x C λx C, ( ) λ > 0.) şi fie subspaţiul liniar L R M+1, definit prin L = Lema 4.5. Într-o piaţă lipsită de arbitraj avem {( S tr 0 θ D tr θ ), θ R N+1 }. L R M+1 + = {0}. (4.4) Într-adevăr, dacă am presupune prin absurd că {a, b} L R M+1 +, atunci cu siguranţă a 0 şi b 0. Dacă am presupune că a > 0 şi b > 0, aceasta implică S tr 0 θ > 0 şi Dtr θ > 0, ceea ce implică oportunitate de arbitraj. Dacă presupunem a = 0 şi b > 0, atunci S tr 0 θ = 0 şi Dtr θ > 0, ceea ce înseamnă arbitraj. În sfârşit, dacă a > 0 şi b = 0, atunci S tr 0 θ < 0 şi Dtr θ = 0, adică o oportunitate de arbitraj. Acum să trecem la demonstrarea implicaţiei directe. Din faptul că R M+1 + nu e subspaţiu liniar al lui R M+1, L e un subspaţiu liniar al lui R M+1 şi (4.4), obţinem că (folosind o teoremă de separare de tip Hahn-Banach) există un hiperplan H de forma H = {x R M+1 ; M λ i x i = 0} R M+1, i=0 astfel încât L H şi H R M+1 + = {0}. Aici, λ = (λ 0, λ) R M+1 şi λ = (λ 1, λ 2,..., λ M ). Dar H R M+1 + = {0} λ i > 0, pentru toţi i, ori λ i < 0, pentru toţi i. (λ este direcţia normală la H) Avem succesiv: L H λ 0 S0 tr θ + λd tr θ = 0, ( ) θ S0 tr = λ D tr. λ 0 Dacă alegem ψ = 1 λ 0 λtr, i = 1, 2,..., M, atunci avem S 0 = Dψ. Observaţia 4.6. Componentele ψ j ale vectorului de stare ψ, j = 1, M, se numesc preţuri de stare. Interpretarea probabilistic a teoremei: Fie ψ = M ψ k şi considerăm k=1 ( ψ1 ψ = ψ, ψ 2 ψ,..., ψ ) M ψ, care este un vector ce are drept componente nişte cantităţi pozitive, numite probabilităţi neutre la risc (riskless probabilities) sau probabilităţi ajustate la risc. Mai spunem că ψ defineşte o măsură martingală M echivalentă (MME). Avem: ψ k = 1 şi ψ k 0, ( ) k, deci le putem considera că fiind probabilităţi ale unei repartiţii discrete, k=1 Q(ω) = M j=1 ψ j χ Aj (ω), unde χ Aj = { 1, dacă ω = ωj 0, dacă ω ω j. 39

41 MF4 [Dr. Iulian Stoleriu] Vrem să-l găsim pe ψ. Să presupunem că piaţa permite împrumuturi lipsite de risc, i.e. există un portofoliu θ astfel încât 1 D tr θ 1 =. M M 1, 1 (i.e., valoarea portofoliului la maturitate este 1, indiferent de starea în care se află piaţa). Dorim să calculăm preţul iniţial al acestui portofoliu. Deoarece ψ este un vector de stare, atunci folosind teorema anterioară putem scrie: S tr 0 θ = (Dψ) tr θ = ψ tr (D tr θ) = ψ tr M = ψ k = ψ, de unde rezultă că ψ este chiar factorul de actualizare (e.g., ψ = (1 + r) T, în cazul în care dobânda se calculează compus sau ψ = e rt, în cazul în care dobânda se calculează în mod continuu) pentru un împrumut fără risc. Aşadar, avem S tr 0 θ = ψ. Putem calcula valoarea aşteptată a preţului activului ST i (ω) în raport cu repartiţia de probabilitate dată de ψ. Folosind (4.2), avem: Aşadar, E Q [S i T (ω)] = M j=1 S i T (ω j) ψ j ψ = 1 ψ j=1 M ST i (ω j)ψ j = 1 ψ Si 0. S0 i = ψ E Q [ST i (ω)] = (1 + r) T E Q [ST i (ω)], i = 0, 1, 2,..., N. Astfel, putem demonstra următoarea teoremă: Teorema 4.7. Presupunem că într-o piaţă lipsită de arbitraj există oportunităţi de investiţii neriscante (împrumuturi) cu o rată unitară anuală r. Atunci există o măsură de probabilitate astfel încât valoarea iniţială a oricărui portofoliu este egală cu valoarea aşteptată actualizată a fluxurilor de lichidităţi viitoare corespunzătoare investiţiei. Demonstraţie. Pentru un portofoliu θ, valoarea sa iniţială este S tr 0 θ = ψ ( E Q [S T ] ) tr θ unde S T (ω) = [S 0 T (ω), S1 T (ω),..., SN T (ω)]. j=1 = (1 + r) T (E Q [S 0 T (ω)], E Q[S 1 T (ω)],..., E Q[S N T (ω)])θ N = (1 + r) T E Q [ST i (ω)]θ i i=0 = (1 + r) T E Q [S T (ω)θ], Observaţia 4.8. Dacă dobânda se calculează în mod compus, atunci avem: S tr 0 θ = e rt E Q [S T (ω)θ]. 40

42 MF4 [Dr. Iulian Stoleriu] Pentru a înţelege mai bine măsurile neutre la risc, vom prezenta ce înseamnă acestea în cazul pariurilor. Exemplu de piaţă financiară cu oportunităţi de arbitraj. Pariuri sportive (odds) O casa de pariuri va cota un eveniment cu m n pentru (odds in favour) ca el sa se realizeze dacă din n + m repetitii ale evenimentului, vom astepta ca acel eveniment sa se realizeze de m ori si nu se va realiza in celelalte n cazuri. O alta notatie este m : n. In general, scriem odds in favour = successes : failures. Astfel, "probabilitatea implicita" de realizare a evenimentului este m+n. Spre exemplu, odds in favor pentru obtinerea fetei cu 3 puncte la aruncarea unui zar ideal sunt 1 : 5 sau 1 5. Pe de altă parte, vom spune ca o casa de pariuri va cota un eveniment cu m n împotrivă (odds against) ca evenimentul sa se intample atunci cand evenimentul nu are loc in m dintre cele m + n cazuri, si are loc in celelalte n cazuri. O casă de pariuri va folosi mai degrabă m n împotrivă, decât cealaltă variantă. In general, scriem odds against = failures : m successes. Spre exemplu, odds against pentru obtinerea fetei cu 3 puncte la aruncarea unui zar ideal sunt 5 : 1 sau 5 1. Presupunem ca un parior va paria 30 pentru ca un cal sa castige o cursa, stiind ca el este cotat cu 5 2 in favour, atunci pentru fiecare 2 pariati primeste 5, plus cei 2 inapoi. Astfel, pariorul va primi in mana suma de 105, profitul sau net fiind de 75. Exerciţiu 4.1. Ion este acum bookmaker. La un meci de fotbal între echipele Olandei şi României, şansele reale pentru o victorie a Olandei sunt de 60%, pentru o victorie a Romaniei sunt de 10%, iar sansa unui egal este de 30%. Dacă Ion doreste un joc cinstit pentru clienţii casei de pariuri, care ar trebui sa fie cotele corecte pariurilor? (joc cinstit = joc in care sansa ca cineva sa obtina profit este 0.) Presupunem ca Ana doreste sa parieze 1 ca Olanda sa castige, care este cotat la casa de pariuri cu şansele x 1 against. Profitul/pierderea net(ă) al(a) Anei va fi ( ) x 1 W A = Pariul e cinstit dacă E(W A ) = 0.6 ( x) = 0, de unde x = 2 3. Asadar cota cinstita pentru ca Olanda sa castige este against, echivalent cu 2 3 against. În mod similar, găsim că o cotă cinstită pentru ca Romania să castige este 9 1 against, iar pentru egalitate cota corectă este 7 3 against. In general, dacă un eveniment se realizeaza cu probabilitatea p, atunci cotarea corecta la casa de pariuri (en., odds against) este x 1 împotrivă, cu x = 1 p p. Insa, in realitate lucrurile stau cu totul diferit. Casa de pariuri doreste sa obtina un profit din pariuri, astfel nu si-ar putea justifica existenta. Mai mult, va dori sa aiba un profit ce sa nu depinda de rezultatul evenimentului. Sa presupunem ca suntem in cazul in care casa de pariuri doreste sa castige un procent, sa 41

43 MF4 [Dr. Iulian Stoleriu] spunem 10%, din intreaga suma pariata de pariori. Pentru simplitatea calculelor, sa mai presupunem ca, dacă seful de la pariuri presimte ca sansele Olandei de a castiga sunt de 60%, atunci poate presupune ca 60% din suma pariata va fi pentru ca Olanda sa castige evenimentul. Un rationament similar se poate aplica si pentru celelalte doua cazuri, astfel ca putem presupunem ca 10% din suma totala a fost pariata pe Romania sa castige, iar 30% din suma pariata pe un rezultat de egalitate. Sa presupunem ca intreaga suma pariata este S iar casa de pariuri doreste sa stabileasca cotele x 1, y 1 si z 1 pentru ca Olanda, Romania, respectiv, niciuna dintre cele doua sa castige meciul, astfel incat sa obtina profit oricare ar fi rezultatul meciului. Dacă Olanda va castiga meciul, atunci casa de pariuri va ramane cu suma S 0.6 S(x + 1) = 0.1 S, de unde x = 1 2. Dacă Romania va castiga meciul, atunci casa de pariuri va ramane cu suma S 0.1 S(y + 1) = 0.1 S, de unde y = 8. Dacă meciul se va termina la egalitate, atunci casa de pariuri va ramane cu suma S 0.3 S(z + 1) = 0.1 S, de unde z = 2. Echipa Probabilitati lipsite de risc Cote corecte Probabilitati modificate Cote modificate Olanda /3 1 2 Romania /9 8 1 Egalitate /3 2 1 Tabela 4.1: Cotele corecte si modificate pentru pariuri. In cazul in care casa de pariuri isi propune sa castige indiferent de rezultat (ceea ce este firesc si se intampla de fiecare dată in realitate), atunci suma probabilitatilor din penultima coloana a tabelului 4.1 este mai mare decat 1. Interpretarea este urmatoarea: piata pariurilor nu este una viabila, adica exista posibilitati de arbitraj. Ca aceasta piata sa fie viabila, ar fi trebuit ca inaintea meciului sa apara afisate cotele corecte, adica cele din a treia coloana a tabelului 4.1, implicit, probabilitatile neutre de risc sunt cele din a doua coloana. Piaţă completă Să presupunem că pe o piaţă pot fi tranzacţionate N + 1 active şi că fiecare activ poate fi, la scadţă, în una din cele M stări posibile, (ω 1, ω 2,..., ω M ). Definiţia 4.9. (1) Spunem că un activ financiar poate fi protejat împotriva riscului (hegdeable, replicated sau reachable) dacă există un portofoliu (θ 0, θ 1,..., θ N ) tr de active astfel încât activul financiar şi portofoliul generează la t = T fluxuri de lichidităţi identice. (2) Un astfel de portofoliu se numeşte portofoliu de acoperire sau reproductibil (replicating sau hedgeable portfolio). (3) O piaţă cu N + 1 active tranzacţionabile şi M stări posibile se numeşte piaţă completă dacă, pentru orice vector de lichidităţi (cash-flow) = ( 1, 2,..., M ), există un portofoliu θ = (θ 0, θ 1,..., θ N ) de active ce are valoarea j în starea ω j, j = 1, M. Deoarece portofoliul de acoperire şi activul au fluxuri de lichidităţi identice (la t = T ), lipsa arbitrajului de pe piaţă implică faptul că ele au şi aceeaşi valoare iniţială. În caz contrar, putem contrui o oportunitate de 42

44 MF4 [Dr. Iulian Stoleriu] arbitraj ori prin vânzarea short a portofoliului şi cumpărarea activului (în cazul în care valoarea portofoliului este mai mare decât cea a activului), ori prin vânzarea short a activului şi cumpărarea portofoliului (dacă valoarea portofoliului este mai mică decât valoarea activului financiar). Aşadar, putem enunţa următoarea propoziţie: Propoziţia Într-o piaţă lipsită de arbitraj, dacă un activ financiar admite un portofoliu reproductibil, atunci valoarea activului este aceeaşi cu cea a portofoliului, în orice moment. Prin definiţie, o piata financiara viabila este si completa dacă orice activ financiar poate fi replicat printr-un portofoliu de active deja existente pe piata. Aşadar, completitudinea pieţei este echivalentă cu existenţa unui portofoliu θ = (θ 0, θ 1,..., θ N ) de active existente pe piaţă, astfel încât, pentru orice = ( 1, 2,..., M ), unde D = (D i j ) i=0, N j=1, M este matricea flux de lichiditati. Aceasta relaţie este echivalentă cu faptul că sistemul D tr θ =, (4.5) N D i j θ i = j, j = 1, M (4.6) i=0 are soluţia θ R N+1, pentru orice R M. Din Algebra liniară ştim că această proprietate este satisfăcută dacă rang D = M. (4.7) Proprietatea de completitudine a pieţei financiare este una foarte tare, care simplifică mult evaluarea preţului derivatelor financiare. Folosind relaţia (4.7) pentru sistemul de ecuaţii (4.2) (cu necunoscutele ψ j ), regula lui Cramer ne dă o soluţie unică (ψ 1, ψ 2,..., ψ M ). Aşadar, dacă într-o piaţă financiară nu există oportunitati de arbitraj, atunci există un unic vector de stare, ceea ce implică un unic set de probabilităti neutre la risc. Invers, dacă există un unic vector de stare, atunci piaţa este completă. Cu alte cuvinte, avem: Propoziţia O piaţă viabilă (lipsită de arbitraj) este completă dacă şi numai dacă există o unică măsură martingală echivalentă. sau, O piaţă viabilă (lipsită de arbitraj) este completă dacă şi numai dacă există un unic sistem de preţuri. Observaţia (a) Dacă într-o piaţă financiară numărul de active tranzacţionabile este mai mic decât numărul de stări de incertitudine (N + 1 < M), atunci piaţa nu poate fi completă. (b) Din punct de vedere tehnic, dacă un activ financiar a i din lista celor tranzacţionabile este aşa încât St(ω i j ) > 0 (i = 0, N, j = 1, M), atunci îl putem alege drept activ de referinţă şi putem determina toate celelalte preţuri relativ la acest activ (i.e., în unităţi din acest activ). Un astfel de activ de referinţă se numeşte numerar (fr., numéraire). 43

45 MF4 [Dr. Iulian Stoleriu] Probleme propuse Exerciţiu 4.2. Un call european cu preţul de exerciţiu K = 30 şi scadenţa de 6 luni, asupra unui activ suport ce nu generează dividende, valorează acum cu Valoarea spot a activului suport este de 32 şi rata unitară anuală lipsită de risc este r = 0.08 p.a. Investigaţi dacă există oportunităţi de arbitraj. În caz afirmativ, construiţi o astfel de strategie. Exerciţiu 4.3. Considerăm un model de piaţă financiară cu o sigură perioadă (T ), în care se pot tranzacţiona doar: o obligaţiune cu B 0 = 1 şi B T = 1.1 şi un activ riscant, cu S 0 = 100, S T = (99, 154, 88). (a) Cercetaţi viabilitatea pieţei. (b) Este piaţa completă? Exerciţiu 4.4. Considerăm un model de piaţă financiară cu o sigură perioadă (T ), în care se pot tranzacţiona doar o obligaţiune (B t ) şi două tipuri de acţiuni (St 1 şi St 2 ). Presupunem că preţurile actuale ale activelor sunt: ( S 0 = 1, , 1440 ) tr. 11 La maturitate vom avea următoarea diagramă de posibile preţuri: D = (a) Cercetaţi viabilitatea şi completitudinea pieţei; (b) Care este MME în cazul în care activul sigur este numeraire? (c) Care este MME în cazul în care prima acţiune este numeraire? (d) Care este valoarea unei opţiuni care permite să se schimbe S 1 cu S 2 (i.e., valoarea la scadenţă a opţiunii este O T = (ST 2 S1 T )+ )? Exerciţiu 4.5. Considerăm un model de piaţă financiară cu o perioadă şi trei stări de incertitudine {ω 1, ω 2, ω 3 }, în care singurele active tranzacţionabile sunt: un activ sigur (notat aici prin B) şi două active riscante (notate aici prin ST 1 şi S2 T ). Ştim că B 0 = 10, S0 1 = 24, S2 0 = 40, iar la scadenţa scadenţă T diagrama de preţuri este: ω 1 ω 2 ω 3 B T ST ST (a) Determinaţi dacă piaţa considerată este lipsită de arbitraj. Este piaţa completă? (b) Determinaţi măsura martingală echivalentă în cazul în care activul sigur este numéraire. (c) Considerăm un activ derivat (notat aici prin D t ) având activul riscant drept activ suport. Ştiind că la scadenţă valorile derivatului pot fi D T (ω 1 ) = 8, D T (ω 2 ) = 14, D T (ω 3 ) = 22, determinaşi valoarea lipsită de arbitraj a lui D 0. 44

46 MF5 [Dr. Iulian Stoleriu] 5 Matematici financiare (C5) Evaluarea opţiunilor În continuare, abordăm problema evaluării derivatelor financiare tranzacţionate pe o piaţă financiară ideală, modelată ca în paragraful precedent. Reamintim caracteristicile unei pieţe financiare ideale: costurile de tranzacţionare, comisioanele, taxele sunt neglijate; nu sunt restricţii asupra cantităţilor tranzacţionate şi că această condiţie nu va schimba preţul activelor tranzacţionate; aceeaşi dobândă pentru împrumut sau credit; investitorii preferă tot mai mult - sunt nesătui; lipsa arbitrajului (nu exită free lunch); Să presupunem că r este rata fixă a dobânzii unitare atât pentru împrumut cât şi pentru credit, iar dobânda este calculată compus continuu. Bineînteles, în cazul în care dobânda se calculează în alt mod, formulele ce le vom obţine se pot adapta în mod corespunzător. Problema principala la care dorim sa raspundem in acest capitol este urmatoarea. Dorim sa evaluam preţul unui contract cu opţiune in conditiile in care valoarea activului suport se poate modifica de un numar finit de ori in intervalul de timp pana la scadenta, iar valorile posibile ale activului suport la t = T sunt in numar finit. Pentru a rezolva aceasta problema, vom considera mai intai cazul cel mai simplu, in care modificarea de pret ce o poate avea activul suport se face doar la scadenta (adica avem o singura perioada), model pe care il vom generaliza aopoi la mai multe perioade. Modelul (binomial) cu o perioadă Punerea problemei În această secţiune, vom considera cel mai simplu caz particular, netrivial, ce se poate obţine din modelul Arrow-Debreu. Folosindu-ne de acest model de piaţă, vom determina preţul corect (lipsit de arbitraj) al unui derivat financiar. Chiar dacă modelul prezentat mai jos este cel mai simplu model discret de piaţă financiară, el conţine totuşi toate trăsăturile şi elementele modelelor viitoare mai complicate şi este un excelent punct de start. În pofida simplităţii sale, este totuşi un model îndeajuns de riguros. Sa consideram un activ financiar al cărui preţ este S t la momentul t şi un contract (derivat financiar) de tip european (i.e. tranzacţia precizată prin contract are loc doar la t = T ) a cărui valoare depinde de preţul activului, care astfel devine activ suport pentru derivat. (In exemplul 5.1, activul suport este o maşină, iar derivatul financiar este un contract cu opţiune de tip call european, adică dreptul de a cumpăra maşina la un moment viitor, cu un preţ prestabilit.) Cunoaştem preţul actual, S 0, al activului suport (al maşinii în exemplul dat) şi faptul că la t = T activul poate avea doar două preţuri posibile, S T = S u, sau S T = S d (S d < S u ). Cu alte cuvinte, la scadenţa t = T piaţa poate avea doar două stări de incertitudine, ω 1 şi ω 2. 45

47 MF5 [Dr. Iulian Stoleriu] La un moment dat t, valoarea contractului derivat este, sa zicem, f t = f(s t ). Dorim să evaluăm valoarea derivatului financiar (contractului) la momentul iniţial (t = 0), adica f 0 = f(s 0 ). Dar, înainte de a prezenta modelul, să propunem următoarea problema simplă, care va fi rezolvată ulterior prin aplicarea modelului binomial. Exemplu 5.1. O anumită maşină costă astăzi S 0 = iar, după exact un an (i.e., T = 1), se estimează costul maşinii a fi ori S T = ori S T = Suntem interesaţi de evaluarea unei opţiuni de tip call european ce depinde de costul maşinii, cu preţul de livrare K = 11000, la T = 1 an (considerăm că rata unitară anuală este r = 0.05). Cu alte cuvinte, cât ar trebui să plătiţi pentru dreptul de a cumpăra maşina după exact un an, cu preţul K = 11000? pretul activului suport pretul unui call european cu pretul de livrare K S u = us 1 (0) C u = (S u K) + S 1 (0) C 0 =? S d = ds 1 (0) C d = (S d K) + t = 0 t = T t = 0 t = T Figura 5.1: Arbore binomial cu o perioadă pentru un call european. Observăm că, la maturitate, sunt doar două variante posibile de preţ pentru maşină: S u = şi S d = not 9000 şi, deci, două variante de preţ opţiunea de tip call european la scadenţă: C u = (S u K ) + sau not C d = (S d K ) + (vezi diagrama 5.1). Vom prezenta rezolvarea acestui exercitiu mai tarziu, in Observatia 5.6. Observaţia 5.2. Cu alte cuvinte, vrem să evaluăm dreptul de a cumpăra activul la momentul t = T pentru preţul K. Ne interesează preţul corect, i.e. acel preţ pentru care nici cumpărătorul şi nici vânzatorul nu câstigă sau pierde în urma tranzacţiei (deci nu există oportunităţi de arbitraj). Aşadar, trebuie să evaluăm opţiunea astfel încât să nu creăm oportunităţi de arbitraj. Ideea de bază este contruirea unui portofoliu format dintr-un activ neriscant (obligaţiune sau depozit în bancă) şi unul riscant (activul suport), astfel încât la fiecare moment t [0, T ] portofoliul de active şi opţiunea au aceeaşi valoare. De remarcat că ambele active sunt active financiare ce au valori variabile în timp. Să considerăm problema evaluării valorii derivatului financiar din punct de vedere intuitiv. Deoarece la t = T activul financiar poate lua valoarea S u cu probabilitatea p sau valoarea S d cu probabilitatea 1 p, atunci derivatul financiar la scadenţă poate lua valoarea f(s u ) cu probabilitatea p sau valoarea f(s d ) cu probabilitatea 1 p. Dacă am determina preţul derivatului financiar folosind principiul valorii aşteptate (i.e. valoarea actuala este valoarea aşteptată la t = T, înmulţită cu factorul de actualizare), atunci am avea o relaţie de genul: V 0 = (1 + r) T (pf(s u ) + (1 p)f(s d )). (5.1) Însă, după cum am văzut în cursurile anterioare, un astfel de preţ generează oportunităţi de arbitraj, deci nu 46

48 MF5 [Dr. Iulian Stoleriu] este preţul raţional (corect). Mai mult, din moment ce avem libertate în alegerea lui p, nu putem obţine un preţ V 0 unic. Reamintim că, in general, valoarea lui S T nu este cunoscută la momentul încheierii contractului (deci nici f(s T ) nu este cunoscut a priori), ci doar poate fi anticipată (ghicită). Putem astfel considera S T ca fiind o variabilă aleatoare, care ia diverse valori, în funcţie de starea pieţei la maturitate. Evaluarea prin lipsa arbitrajului Pentru a rezolva această problemă, vom utiliza modelul Arrow-Debreu, în care considerăm o piaţă lipsită de arbitraj, cu o perioadă, în care se pot tranzacţiona doar două active financiare (i.e., N = 1): un activ riscant (a cărui valoare la momentul t o vom nota prin B t ) şi unul lipsit de risc (a cărui valoare la momentul t o vom nota prin S t ). Menţionăm că, în notaţiile de la modelul Arrow-Debreu, avem: S 0 t = B t şi S 1 t = S t. Cunoaştem preţurile iniţiale ale ambelor active financiare (i.e., B 0 şi S 0 ) şi, de asemenea, rata anuală unitară (r) este cunoscută. Activul riscant va avea două variante de preţ la scadenţă, iar preţul activului lipsit de risc la scadenţa va fi preţul iniţial înmulţit cu factorul de fructificare. Vom presupune că valoarea activului riscant la t = 0 este S 0 şi că preţul lui la t = T > 0 poate creşte cu un factor u la valoarea S u, sau poate scădea cu un factor d la valoarea S d. Acesta este un model discret (binomial) cu o perioadă şi este prezentat în detaliu mai jos. Elementele caracteristice modelului cu o singură perioadă: o piaţă financiară în care se pot tranzacţiona doar două active: a 0 un activ financiar sigur (e.g., o obligaţiune sau un depozit bancar cu o dobândă precizată, fixă) şi a 1 este un activ riscant (e.g., acţiune). Ca o observaţie, activul lipsit de risc (sigur) ne ajută la stabilirea valorii în timp a banilor; un singur interval de timp (perioadă), între t = 0 (actual) şi t = T (scadenţă sau maturitate). două stări posibile ale pieţei la maturitate: Ω = {ω 1, ω 2 }, în care preţurile pot scădea sau creşte; rata dobânzii unitare anuale este r, considerată fixă in toată această perioadă. (Uneori se noteaza cu 1 R factorul de fructificare, deci R este factorul de actualizare. Astfel, dacă dobânda se calculează în mod compus, atunci R = (1 + r) T, iar în cazul continuu este R = e rt. Valoarea la t = T a B 0 unităţi din activul a 0, deţinute la t = 0, va fi RB 0 ). vectorul preţ iniţial pentru un portofoliu format dintr-un singur activ sigur şi un singur activ riscant: ( ) B0 S 0 =. (Aici, B 0 > 0, S 0 > 0). fluxul de lichidităţi sau cash-flow (preţurile posibile ale activelor) la t = T : D = S 0 ( BT (ω 1 ) B T (ω 2 ) S T (ω 1 ) S T (ω 2 ) not not unde S T (ω 1 ) = ds 0 = S d, S T (ω 2 ) = us 0 = S u şi B T (ω 1 ) = B T (ω 2 ) = B 0 (1 + r) T (d < u). Constanta r este rata unitară lipsită de risc. pentru un portofoliul θ, ( ) θ1 θ = θ 2 ), 47

49 MF5 [Dr. Iulian Stoleriu] (i.e., θ 1 unităţi din activul sigur şi θ 2 unităţi din activul riscant), valoarea iniţială a acestuia este θ 1 B 0 +θ 2 S 0. urmarim sa evaluam valoarea un contract derivat, al carui pret depinde de valoarea activului suport. Deoarece la scadenta preţul activului suport are doua preţuri posibile, atunci si derivatul financiar va avea doua valori, f u = f(s u ) si f d = f(s d ) (vezi Figura (5.2)). pretul activului suport pretul unui derivat european cu pretul de exercitiu K p S u = us 1 (0) f u S 1 (0) f 0 =? 1 p S d = ds 1 (0) f d t = 0 t = T t = 0 t = T Figura 5.2: Arbore binomial cu o perioadă. Cazuri particulare de derivate financiare (a) derivatul financiar este un contract forward cu preţul de livrare K şi maturitate T. Atunci f(s d ) = S d K şi f(s u ) = S u K. În acest caz dorim să găsim pe F 0. (b) derivatul financiar este o opţiune call europeană cu preţul de livrare K şi maturitate T. Atunci f(s d ) = C d = (S d K ) + şi f(s u ) = C u = (S u K ) +. Căutăm să-l evaluăm pe C 0. Următoarea propoziţie este o caracterizare a lipsei arbitrajului: Propoziţia 5.3. Într-o piaţă lipsită de arbitraj (i.e., o piaţă viabilă) trebuie să avem: d < (1 + r) T < u. (5.2) Demonstraţie. Demonstrăm prin reducere la absurd. Presupunem că d < u < (1+r) T. Considerăm portofoliul Φ = ( S 0 B 0, 1) (i.e., o poziţie long asupra a S 0 B 0 unităţi din activul sigur şi o poziţie short asupra unei unităţi din activul suport). Valoarea lui iniţială este V 0 (Φ) = S 0 B 0 B 0 + ( 1)S 0 = 0. Dacă preţul activului la t = T este S u, atunci valoarea portofoliului Φ în acel moment este V 1 (Φ) = S 0 B 0 B 0 (1 + r) T us 0 = ((1 + r) T u)s 0 > 0, ceea ce generează arbitraj (avem investiţie zero la t = 0 şi profit la t = T ). Deci (1 + r) T < u. Analog se arată d < (1 + r) T. 48

50 MF5 [Dr. Iulian Stoleriu] Observaţia 5.4. Concluzia propoziţiei anterioare se traduce astfel: într-o piaţă financiară o investiţie riscantă (i.e. a investi în acţiuni) poate fi, în cazul unei pieţe favorabile, mai profitabilă decât una lipsită de risc (e.g. depozit în bancă), dar poate fi şi mai puţin profitabilă, când piaţa devine defavorabilă investiţiilor riscante. Acesta este cadrul (modelul de piaţă financiară) în care considerăm instrumentul financiar derivat, de tip european. Valoarea la maturitate a derivatului va depinde (este o funcţie) de preţul activului a 1. Aşadar, dacă S t este preţul lui a 1 la momentul t, atunci valoarea derivatului la momentul t va fi V t = f(s t ). Cum derivatul financiar considerat este de tip european, avem chiar V T = f(s T ). În exemplul nostru, acest derivat financiar este o opţiune de tip call european, pentru care, de regulă, notăm valoarea sa prin C t = f(s t ). Mai ştim că C T = max{s T K, 0}. Dorim să evaluăm preţul derivatului la t = 0 în condiţiile în care piaţa este lipsită de arbitraj (viabilă). Cunoaştem doar posibilele (două) valori pe care le poate avea derivatul la t = T, şi anume: f(s u ) sau f(s d ). Metoda evaluarii prin lipsa arbitrajului constă în construirea unui portofoliu format din activele tranzacţionabile pe piaţă, în cazul nostru activele a 0 şi a 1, astfel încât valoarea portofoliului să fie egală cu cea a derivatului financiar la scadenţă (t = T ). Un astfel de portofoliu l-am numit portofoliu de acoperire, sau reproductibil (replicating portfolio) şi notat prin (θ1, θ 2 ). Deoarece piaţa e lipsită de arbitraj şi valorile portofoliului şi derivatului la maturitate sunt egale, rezultă că ele trebuie să fie egale la orice moment în perioada considerată, inclusiv la t = 0. Aşadar, valoarea căutată pentru derivatul financiar este valoarea iniţială a portofoliului astfel construit. Dacă B 0 şi S 0 sunt preţurile iniţiale ale activelor a 0 şi, respectiv, a 1, atunci avem: V 0 = B 0 θ1 + S 0θ2 (5.3) Intenţionăm să evaluăm valoarea acestui derivat financiar prin crearea unui portofoliu de acoperire (reproductibil), i.e., un portofoliu care să aibă în orice moment aceeaşi valoare cu derivatul financiar. Vom construi acest portofoliu reproductibil pe baza celor două active financiare existente pe piaţă. Să notăm prin V t not valoarea derivatului financiar la momentul t. Scopul nostru este să-l evaluăm pe V 0 = V (0). Fie portofoliul θ format din θ 1 unităţi din activul sigur şi θ 2 unităţi din activul riscant. Valoarea iniţială a acestui portofoliu este V 0 = θ 1 B 0 + θ 2 S 0. (5.4) Pentru a-l afla pe V 0 va trebui să găsim structura portofoliului θ. La maturitate, valoarea derivatului financiar va fluctua în funcţie de starea în care se va află piaţa financiară la acel moment. Putem avea sau V d = θ 1 B 0 (1 + r) T + θ 2 S d, V d = θ 1 B 0 (1 + r) T + θ 2 S u. Dorim ca valoarea portofoliului să fie aceeaşi cu cea a derivatului financiar în orice moment t, adică, { V d = f(s d ) V u = f(s u ). Acesta este un sistem cu două ecuaţii şi două necunoscute, care are soluţie unică (deoarece determinantul sistemului este = B 0 (1 + r) T (S u S d ) 0). Soluţia unică a acestui sistem este: θ 1 = S uf(s d ) S d f(s u ) B 0 (1 + r) T (S u S d ), θ 2 = f(s u) f(s d ) S u S d. (5.5) 49

51 MF5 [Dr. Iulian Stoleriu] Aşadar, portofoliul (θ1, θ 2 ) este portofoliul reproductibil pe care-l căutăm. Folosindu-ne de aceste valori putem afla V 0 din (5.4). Acesta este unde V 0 = θ1 B 0 + θ2 S 0 = S uf(s d ) S d f(s u ) B 0 (1 + r) T (S u S d ) B 0 + f(s u) f(s d ) S 0 S u S d = (1 + r) T [ψf(s u ) + (1 ψ)f(s d )], ψ = (1 + r)t d (0, 1). (5.6) u d ((ψ, 1 ψ) sunt, de fapt, probabilităţile neutre la risc, sau MME.) Putem să demonstrăm următoarea teoremă: Teorema 5.5. Într-o piaţă viabilă, preţul unic al unui derivat financiar asupra unui activ suport cu preţul S t (ce nu generează dividende) este unde ψ e dat de (5.6). V 0 = (1 + r) T [ψf(s u ) + (1 ψ)f(s d )]. (5.7) Demonstraţie. Să notăm prin W 0 valoarea din membrul drept (i.e., preţul portofoliului construit mai sus). Dacă V 0 < W 0, atunci putem vinde short portofoliul (θ1, θ 2 ) şi cumpăra derivate financiare (în valoare de V 0 ). Totodată, intrăm în două contracte forward: primul contract ne permite să vindem derivatele în vederea returnării împrumutului, iar prin al doilea contract cumpărăm cantitatea de portofoliu ce trebuie returnată. Investiţia la t = 0 generează un profit în valoare de W 0 V 0. La scadenţă, t = T vom obţine pe derivate exact cât trebuie să plătim pe portofoliu, adică profitul de la t = 0 a fost obţinut construind o strategie de arbitraj. Aşadar, rămâne cu un profit W 0 V 0 > 0, ceea ce este o oportunitate de arbitraj. Deci trebuie sa avem V 0 W 0. Similar, se poate arăta că V 0 W 0, ceea ce demonstrează rezultatul. Observaţia 5.6. Revenind la problema propusă mai sus, în care Obtinem ca Folosind formula S 0 = 10000, S u = 12000, S d = 9000, r = 0.05, K = d = 0.9, u = 1.2, C u = 1000, C d = 0. V 0 = (1 + r) T [ ψ(s u K ) + + (1 ψ)(s d K ) +], găsim că preţul unei opţiuni de tip call european cu preţul de livrare K, la maturitatea T = 1 este C 0 = Structura portofoliului reproductibil este (vezi formulele 5.5): Măsura martingală echivalentă este dată de: (θ 1, θ 2 ) = ( , 1 3 ). (ψ, 1 ψ) = (0.5042, ). 50

52 MF5 [Dr. Iulian Stoleriu] Exerciţiu 5.1. Sa consideram o piata financiara cu o perioada, [0, T ], in care avem doar doua active tranzactionabile: un activ sigur (e.g., un cont bancar) a carui valoare la momentul t o notam cu B t, si un activ riscant (e.g., o actiune) a carui valoare la t o notam cu S t. Presupunem ca la t = 0 valorile sunt B 0 = 1, S 0 = 150 si la scadenta, t = T, avem: B T = 1 si S T poate lua doua valori, 90 sau 180. Se cere: (a) sa se cerceteze viabilitatea si completitudinea pietei si existenta uni masuri neutre la risc; (b) Consideram un activ financiar derivat, un call de tip european, care are drept activ suport activul riscant, scadenta T si preţul de exercitiu K = 150. Se cere sa se calculeze prima C 0 pentru acest call european si valoarea portofoliului de acoperire (sau replicabil). (a) Asadar, vectorul pret initial este: iar matricea cash flow este S 0 = D = ( ( Din teorema fundamentala, piata este lipsita de arbitraj dacă Rezolvând acest sistem pentru ψ, găsim: ), ). ψ R 2 astfel incat S 0 = D ψ. ψ 1 = 1 3 > 0, ψ 2 = 2 3 > 0, asadar piata este viabila. Deoarece ψ 1 + ψ 2 = 1, urmeaza ca acestea sunt si probabilitatile lipsite de risc. Deoarece rang D = 2 = M, rezulta ca piata este si completa. (b) Cautam un portofoliu (θ 1, θ 2 ) pentru care unde Gasim portofoliul de acoperire: Asadar, ( Cu C d ) = ( ) ( θ1 θ 2 ), C u = max{ ; 0} = 30, C u = max{90 150; 0} = 0. Θ = (θ 1, θ 2 ) = ( 30, 1 3 ). C 0 = θ θ = 20. Aceasi valoare o puteam gasi direct, folosind formula (5.7), C 0 = (1 + r) T E Q [C(T, ω)] = 1 [ψc u + (1 ψ)c d ] = 20. Observaţia 5.7. (a) Dacă notam cu R factorul de fructificare (care depinde de modul cum se calculeaza dobânda), atunci relatia (5.7) se poate rescrie astfel: V 0 = 1 R [ψf(s u) + (1 ψ)f(s d )]. (5.8) unde ψ este dat de ψ = R d u d (0, 1). (5.9) 51

53 MF5 [Dr. Iulian Stoleriu] (b) Comparând formulele (5.1) şi (5.7), observăm că preţul corect se obţine pentru p = ψ, unde ψ e dat de (5.6). De remarcat faptul ca in formula (5.7), ψ si 1 ψ sunt probabilitatile ca preţul initial S 0 al activului să crească la S u, respectiv, să scadă la S d. Probabilitatea ψ se numeşte probabilitate (pondere) lipsită de risc. Dacă notăm cu V T valoarea derivatului financiar european la t = T, atunci (5.7) devine unde Q este aşa numita măsură martingală echivalentă (MME), V 0 = (1 + r) T {ψf(s u ) + (1 ψ)f(s d )} (5.10) = (1 + r) T E Q [V T ], (5.11) Q(ω) = ψχ {ω=ω1 } + (1 ψ)χ {ω=ω2 }. Relaţia (5.11) spune că valoarea prezent a unui derivat nanciar este egal cu valoarea actualizat a valorii a³teptate a derivatului nanciar la scadenµ, în raport cu m sur martingal echivalent. Acest principiu este denumit de economişti ipoteza valorii aşteptate raţionale. Totodată, este interesant de observat că pentru a calcula V 0 ne sunt necesare doar valorile posibile ale lui f(s T ) (care pot fi simulate ca fiind valorile unei variabile aleatoare ce urmeaza repartitia lognormala) şi probabilitatea lipsită de risc (vezi (5.10)). (c) Dacă derivatul financiar este un contract forward, atunci f(s T ) = S T K şi, conform cu (5.7), preţul contractului este V 0 = (1 + r) T [ψ(s u K ) + (1 ψ)(s d K )] = (1 + r) T [RS 0 K ] = S 0 K (1 + r) T, adică tocmai valoarea găsită într-un curs anterior. Totodată, putem determina cu uşurinta şi preţul forward pentru un astfel de contract. Reamintim ca preţul forward este preţul de livrare pentru care valoarea iniţială a contractului este 0. Aşadar, preţul forward, F 0, se obţine când V 0 = 0, şi este dat de relaţia obtinuta in relaţia (2.1). F 0 = S 0 (1 + r) T, (d) Dacă derivatul financiar este un call european, atunci f(s T ) = (S T K ) + ṣi V 0 = (1 + r) T [ ψ(s u K ) + + (1 ψ)(s d K ) +]. (5.12) Să notăm că, în cazul particular S d < K < S u, (5.12) devine: V 0 = (1 + r) T d u d (S u K ). (e) Dacă derivatul financiar este un put european, atunci f(s T ) = (K S T ) + ṣi V 0 = (1 + r) T [ ψ(k S u ) + + (1 ψ)(k S d ) +]. (5.13) Să notăm că, în cazul particular S d < K < S u, (5.13) devine: V 0 = u(1 + r) T 1 (K S d ). u d 52

54 MF5 [Dr. Iulian Stoleriu] Modelul binomial pentru o piaţă financiară Modelul binomial cu două perioade Sa presupunem ca suntem in cazul unei piete financiare in care preţul unui activ financiar se modifica de exact doua ori in perioada [0, T ], o dată la t = T 2 si a doua oara la t = T. Dacă la t = 0 preţul activului este S 0, atunci preţul acestuia pana la t = T se poate modifica dupa schema din Figura 5.3. (f u ) p S uu = u 2 S 0 (f uu ) S 0 (f 0 ) p 1 p S u = us 0 1 p p S ud = u d S 0 (f ud ) S d = ds 0 (f d ) 1 p S dd = d 2 S 0 (f dd ) X X X t = 0 t = T/2 t = T Figura 5.3: Variaţiile preţului unui activ suport în modelul binomial cu 2 perioade. Să presupunem că dorim să tranzacţionăm un activ financiar derivat la t = T, a cărui valoare depinde de preţul activului considerat mai înainte. Notăm cu f(s t ) valoarea acestui derivat financiar la momentul t şi facem următoarele notaţii: f uu = f(s uu ); f ud = f(s ud ); f dd = f(s dd ). Piaţa considerată este lipsită de arbitraj dacă p = ψ, unde ψ este probabilitatea lipsită de risc (en., riskless probability), ψ = (1 + r) T 2 d. u d Aplicând rezultatul din modelul cu o perioadă, putem scrie: f u = (1 + r) T 2 [ψfuu + (1 ψ)f ud ]; f d = (1 + r) T 2 [ψfud + (1 ψ)f dd ], 53

55 MF5 [Dr. Iulian Stoleriu] de unde: f 0 = (1 + r) T 2 [ψfu + (1 ψ)f d ] = (1 + r) T [ψ 2 f uu + 2 ψ(1 ψ)f ud + (1 ψ) 2 f dd ] 2 = (1 + r) T Cnψ j j (1 ψ) n j f(u j d n j S 0 ). (5.14) j=0 După cum se observă, derivatul financiar poate lua trei valori la maturitate, şi anume: f uu, f ud şi f dd, pe care le ia cu probabilităţile lipsite de risc: ψ 2, 2ψ(1 ψ) şi, respectiv, (1 ψ) 2. Putem scrie astfel că repartiţia valorii derivatului la scadenţă este variabila aleatoare cu tabloul de repartiţie următor: f T f uu f ud f dd Q ψ 2 2ψ(1 ψ) (1 ψ) 2 Ţinând cont de acest fapt, putem rescrie formula (5.14) sub forma: f 0 = (1 + r) T E Q [f T ]. În cuvinte, valoarea actuală a unui derivat financiar este egală cu media lipsită de risc actualizată a tuturor valorilor posibile ale acestui derivat la t = T. Probleme propuse Exerciţiu 5.2. Într-un model de piaţă financiară cu o perioadă singurele active tranzacţionabile sunt: un activ sigur (notat prin B) şi un activ riscant (notat prin S). Ştim că B 0 = 10, S 0 = 50, iar la t = T, B T = 11 şi S T poate fi lua dintre valorile 48 sau 56. (a) Determinaţi dacă piaţa considerată este lipsită de arbitraj. Este piaţa completă? (b) Există o unică măsura martingală echivalentă? În caz afirmativ, să se calculeze aceasta. (c) Un investitor cumpără dreptul, dar nu şi obligaţia, de a achiziţiona activul riscant cu preţul K = 52 la t = T. Care este preţul lipsit de risc şi portofoliul de acoperire al unui astfel de contract încheiat astăzi? Exerciţiu 5.3. Considerăm un model de piaţă financiară cu o perioadă, în care singurele active tranzacţionabile sunt: un activ sigur (notat aici prin B) şi un activ riscant (notat aici prin S). Ştim că B 0 = 1, S 0 = 100, iar la scadenţa T avem: B T = 1.1 şi S T poate fi lua dintre valorile 99, 154 sau 88. (a) Determinaţi dacă piaţa considerată este lipsită de arbitraj. Este piaţa completă? (b) Determinaţi toate măsurile martingale echivalente în cazul în care activul sigur este numéraire. (c) Considerăm un call european cu activul riscant drept activ suport, cu preţul de exerciţiu K = 77 şi maturitatea t = T. Determinaţi valoarea la t = 0 a acestui call şi construiţi un portofoliu replicant format din activele (B, S). (d) Considerăm un nou activ derivat, D t, cu activul riscant drept activ suport, care la scadenţa t = T poate avea valorile posibile 99, 154 sau 66. Care sunt limitele pentru valoarea derivatului la momentul iniţierii contractului (i.e.,? D 0?), astfel încât această valoare să nu genereze oportunităţi de arbitraj? 54

56 MF5 [Dr. Iulian Stoleriu] Exerciţiu 5.4. Considerăm un model de piaţă financiară cu o perioadă, cu scadenţa de 1 an. Pe această piaţă pot fi tranzacţionate doar două active financiare: un activ sigur (depozit bancar) şi unul riscant. Preţul actual al activului riscant este de 20, iar la scadenţă acesta poate valora 24 sau 18. Dobânda este calculată în mod simplu, cu un procent de 10% pe an. (a) Verificaţi lipsa oportunităţilor de arbitraj şi completitudinea acestei pieţe; (b) Există o unică măsură martingală echivalentă? În caz afirmativ, să se calculeze aceasta. Considerăm o opţiune de tip call european, cu maturitatea de un an şi preţul de exerciţiu K = 21. (c) Care este preţul lipsit de arbitraj şi portofoliul de acoperire al unui astfel de contract încheiat astăzi. Exerciţiu 5.5. Considerăm un model de piaţă financiară cu o perioadă (T = 1), în care pot fi tranzacţionate: un activ sigur, ce oferă o rentabilitate de 10% pe an şi un activ riscant (notat prin S). Ştim că S 0 = 30, iar S T poate lua doar una dintre valorile 32 sau 35. (a) Verificaţi lipsa arbitrajului şi completitudinea pieţei. (b) Determinaţi preţul de tranzacţionare al unui call european la paritate, cu scadenţa T. (c) Construiţi un portofoliul de acoperire pentru contractul de tip call de mai sus? (d) Determinaţi preţul forward la T pentru activul S. 55

57 MF6 [Dr. Iulian Stoleriu] 6 Matematici financiare (C6) Modelul binomial. Formula Cox-Ross-Rubinstein Modelul binomial cu n perioade Putem generaliza modelul binomial cu 2 perioade prezentat în cursul anterior la unul cu n perioade. Considerăm un activ financiar ce urmează a fi tranzacţionat la momentul t = T (scadenţa). Presupunem că preţul acestuia, S t, fluctuează în intervalul de timp [0, T ] de un număr finit de ori şi că acest interval este împărţit în perioade egale, astfel încât la sfârşitul fiecărei perioade sunt doar două variante posibile pentru preţul activului: în care S t poate lua o anumită valoare S u cu probabilitatea p, sau poate lua valoarea S d, cu probabilitatea 1 p. În Figura 6.1 am reprezentat grafic cazul în care preţurile activului se modifică de-a lungul a trei perioade. Putem generaliza foarte uşor modelul la unul cu n perioade. O astfel de figură se numeşte arbore binomial. (f uuu ) (f uu ) p S uuu = u 3 S 0 (f u ) p S uu = u 2 S 0 1 p (f uud ) (f 0 ) p S u = us 0 1 p (f ud ) p S uud = u 2 d S 0 S 0 1 p (f d ) S d = ds 0 p 1 p S ud = u d S 0 (f dd ) S dd = d 2 S 0 1 p p (f udd ) S udd = u d 2 S 0 (f ddd ) 1 p S ddd = d 3 S 0 X X X X t = 0 t = T/n t = 2T/n t = T Figura 6.1: Variaţiile preţului unui activ suport în modelul binomial cu 3 perioade. Din Figura 6.1, se poate observa cu uşurinţă că suma probabilităţilor la fiecare nivel este egală cu 1. Dacă dorim să aflăm, spre exemplu, care este probabilitatea ca preţul activului să fie S udd la finele celei de a treia perioade, procedăm după cum urmează. Sunt trei drumuri care leagă S 0 de S udd, şi anume: S 0 S u S ud S udd, S 0 S d S ud S udd şi S 0 S d S dd S udd. Probabilitatea căutată este astfel suma a trei probabilităţi, pqq + qpq + qqp = 3pq 2. Considerăm un contract financiar derivat (în engleză este folosit termenul contingent claim) a cărui valoare, f, depinde de preţul activului suport (i.e. f = f(s)). Scopul nostru este să evaluăm acest contract financiar la momentul iniţierii lui, adică la t = 0. Metoda de evaluare este aşa numita inducţie matematică inversă sau retrogradă (backward induction) şi are la bază metoda de evaluare folosită în cazul unui arbore binomial cu 56

58 MF6 [Dr. Iulian Stoleriu] o singură perioadă. Deoarece cunoaştem valorile derivatului financiar la maturitate, putem determina preţul contractului la toate momentele imediat anterioare. În Figura 6.1, aceste preţuri sunt scrise cu caractere îngroşate. Spre exemplu, f udd = f(s udd ) = f(ud 2 S 0 ). Piaţa considerată este lipsită de arbitraj dacă p = ψ, unde ψ este probabilitatea lipsită de risc (en., riskless probability), ψ = (1 + r) T n d (0, 1). u d În cazul unui activ al cărui preţ se modifică după un arbore binomial cu n perioade, preţul raţional al unui contract de tip call european cu acest activ suport este o simplă extensie a relaţiei (5.14), şi este dat de: f 0 = (1 + r) T n Cn k ψ k (1 ψ) n k f(u k d n k S 0 ). (6.1) k=0 După cum se observă, derivatul financiar poate lua n + 1 valori la maturitate, şi anume: f(u k d n k S 0 ), cu k = 0, 1,..., n. Aceste valori le ia cu probabilităţile lipsite de risc C k n ψ k (1 ψ) n k, k = 0, 1,..., n. Putem scrie astfel că repartiţia valorii derivatului la scadenţă este variabila aleatoare cu tabloul de repartiţie următor: f T f(u k d n k S 0 ) Q C k n ψ k (1 ψ) n k (k = 0, 1,..., n). Ţinând cont de acest fapt, putem rescrie formula (6.1) sub forma: f 0 = (1 + r) T E Q [f T ]. În cuvinte, valoarea actuală a unui derivat financiar este egală cu media lipsită de risc actualizată a tuturor valorilor posibile ale acestui derivat la t = T. Cazuri particulare: (I) Dacă f(s) = s (derivatul financiar este chiar activul suport), atunci f(u k d n k S 0 ) = u k d n k S 0 şi formula (6.1) devine n f 0 = (1 + r) T Cn k ψ k (1 ψ) n k u k d n k S 0 k=0 n = (1 + r) T Cn k (ψu) k (d ψd) n k S 0. k=0 Dar ψu + d ψd = ψ(u d) + d = (1 + r) T n d + d = (1 + r) T n, de unde (ψu) + (d ψd) = (1 + r) T n. Găsim că ] n u d f 0 = S 0 [ψ + (1 ψ) = S (1 + r) T n (1 + r) T 0, n după cum era de aşteptat. 57

59 MF6 [Dr. Iulian Stoleriu] (II) În cazul unui contract forward, avem că f(s) = s K. Atunci formula (6.1) devine n f 0 = (1 + r) T Cnψ i i (1 ψ) n i u i d n i S 0 (1 + r) T i=0 = S 0 K (1 + r) T, n Cnψ i i (1 ψ) n i K i=0 adică tocmai ceea ce am găsit cand am calculat preţul contractului forward. Putem găsi foarte uşor şi preţul forward (preţul de livrare pentru care contractul are valoare nulă). Aşadar, făcând f 0 = 0 în relaţia anterioară, găsim că preţul forward este F 0 = S 0 (1 + r) T. (III) În cazul unei opţiuni de tip call european avem f(s) = (s K ) +, de unde: C 0 = (1 + r) T n Cnψ i i (1 ψ) n i (u i d n i S 0 K ) +. (6.2) i=0 Fie a = min{i N; u i d n i S 0 K }. Atunci n C 0 = (1 + r) T Cnψ i i (1 ψ) n i (u i d n i S 0 K ) k=a n = (1 + r) T Cn(ψu) i i (d ψd) n i S 0 K (1 + r) T i=a n Cnψ i i (1 ψ) n i. i=a Notez prin B(a, n, ψ) = n Cnψ i i (1 ψ) n i (funcţia de repartiţie binomială complementară) şi prin B(a, n, ψ ) = i=a B(a, n, ψu(1 + r) T n ). Găsim astfel că C 0 = S 0 B(a, n, ψ ) K (1 + r) T B(a, n, ψ). (6.3) Dacă momentul iniţial este un anumit t > 0, atunci preţul unui call european la momentul t este C t = S 0 B(a, n, ψu(1 + r) (T t)/n ) K (1 + r) (T t) B(a, n, ψ). (6.4) Aceste formule au fost descoperite de Cox, Ross şi Rubinstein în [9]. (IV) Pentru evaluarea unui contract de tip put european cu acelaşi preţ de exerciţiu şi cu aceeaşi maturitate ca şi contractul call european precedent, ne putem folosi de formula (6.4) şi de paritatea put-call. Într-adevăr, din paritatea put-call, S 0 + P 0 C 0 = K (1 + r) T, aflăm cu uşurinţă pe P 0, P 0 = S 0 [B(a, n, ψ ) 1] K (1 + r) T [B(a, n, ψ) 1]. (V) In calculele precedente am considerat faptul ca preţul unui activ financiar urmeaza un arbore binomial (denumirea de binomial vine din faptul ca in formula (6.1) apare binomul lui Newton). Desigur, se mai pot considera si alte modele discrete, in care preţul activului suport evolueaza dupa un arbore binar (vezi Figura 6.2) sau un arbore trinomial (caz discutat pe scurt mai jos). Dacă modelul trinomial are aplicatii practice (el este, de fapt, discretizarea ecuatiei cu derivate partiale Black-Scholes), un model binar (in care, de exemplu, S ud S du ) nu are aplicatii practice importante in evaluarea derivatelor financiare. * * * 58

60 MF6 [Dr. Iulian Stoleriu] Drift şi Volatilitate În realitate, rata unitară anuală r nu este o constantă, ci este, de fapt, o variabila aleatoare. Într-un anumit interval de timp pot exista fluctuaţii în jurul acestei valori. Valoarea medie a acestor fluctuaţii, µ, se numeşte drift. Volatilitatea (sau sensibilitatea) este un termen (măsură statistică) utilizat(ă) pentru a desemna amploarea şi frecvenţa fluctuaţiilor înregistrate de preţul unui activ financiar sau de un indice al pieţei de valori mobiliare (desemnează variaţiile cursului bursier). În termeni statistici, măsoară gradul de împrăştiere a unui set de date de la valoarea medie. Cu cât datele sunt mai împrăştiate, cu atât deviaţia (implicit volatilitatea) este mai mare. În practică, volatilitatea nu poate fi observată direct şi trebuie să fie estimată. Volatilitatea e reprezentată de deviaţia standard, σ, care este rădăcina pătrată a dispersiei. Aşadar, un activ financiar volatil va avea o deviaţie standard mare. O legătură între drift, volatilitate şi rata unitară r, este următoarea: λ = r µ, σ numită riscul ratei dobânzii pieţei. Notăm faptul că λ reprezintă scorul statistic. Cum alegem factorii u şi d? Una dintre dificultăţile modelului binomial este alegerea lui d şi u. Ei bine, în practică alegem aceste valori astfel încât sa fie în concordanţă cu driftul şi volatilitatea preţului activului financiar. Pentru a vedea exact cum se aleg, să presupunem că preţul unui activ la t = 0 este S 0, iar dobânda anuală unitară r este variabilă, calculată în mod simplu, cu media lui r fiind E(r) = µ. Atunci, valoarea medie a acestui activ după o perioadă τ = δt va fi E(S τ ) = S 0 (1 + µτ) (i.e., preţul activului suport creşte, în medie, în concordanţă cu rata µ). Volatilitatea preţului activului, σ, este definită aşa încat S 2 0 σ 2 τ este varianţa ratei de dobânda în perioada τ. Să presupunem că, prin procedee empirice, am determinat probabilitatea p ca preţul activului să devină us 0 Figura 6.2: Arbore binar. 59

61 MF6 [Dr. Iulian Stoleriu] la momentul t = τ, iar cu probabilitatea 1 p acest preţ va fi ds 0. Va trebui să egalăm valoarea empirică aşteptată a preţului cu S 0 (1 + µτ). Avem: Totodată, egalăm şi valorile pentru dispersie, Eliminând p din ultimele două relaţii, obţinem: p u S 0 + (1 p) d S 0 = S 0 (1 + µτ). pu 2 S (1 p)d2 S 2 0 (pus 0 + (1 p)ds 0 ) 2 = S 2 0 σ 2 τ. (u 1 µτ)(1 + µτ d) = σ 2 τ. Căutăm o soluţie (folosind perturbaţii ordinare pentru τ 1) de forma: u(τ) = u 0 + u 1 τ + O(τ), d(τ) = d0 + d 1 τ + O(τ) Vom avea: (u 0 + u 1 τ 1 µτ)(1 + µτ d0 + d 1 τ) = σ 2 τ. Egalăm acum termenii de acelaşi ordin. Vom avea: O(1) : u 0 u 0 d 0 1 d 0 = 0, de unde alegem u 0 = 1 şi d 0 = 1. O( τ) : u 1 (1 d 0 ) + (1 u 0 )d 0 = 0, de unde 0 = 0. O(τ) : u 1 d 1 = σ 2, şi alegem u 1 = d 1 = σ. Astfel, ignorând puterile de ordin superior ale lui τ, găsim că o soluţie a sistemului este (se poate verifica uşor!): u = 1 + σ τ, d = 1 σ τ. În teoria Cox-Ross-Rubinstein, u şi d sunt alese în următorul mod: u = e σ τ, d = e σ τ, care, în cazul în care τ 1, sunt similare cu cele anterioare. (Să notăm încă o dată că σ este volatilitatea anuală, iar τ este timpul scurs între două schimbări de preţuri.) Exemplu 6.1. Preţul curent este S 0 = 10, σ = 0.2, T = 2, n = 731, τ = T n. Atunci, u = e σ τ = , d = e σ τ = O posibilă traiectorie a preţului S t într-o piaţă în care tranzacţiile se fac zilnic, tot timpul anului (adică cu n = 731 de perioade), este reprezentată grafic în Figura

62 MF6 [Dr. Iulian Stoleriu] Figura 6.3: Evolutia preţului unui activ financiar. Modelul binomial pentru call/put american Dorim sa calculăm preţul unui contract american ce are la baza un activ suport a carui valoare se modifica dupa un arbore binomial cu n perioade. Vom nota cu S t, f t valorile activului suport, respectiv derivatului, la momentul t. Aici, t [0, T ]. Presupunem ca valoarea initiala a activului suport este S 0 si că ea se modifica la fiecare perioada cu factorii d si u, d < u. Discretizam intervalul in n intervale egale si vom considera o latice (i, j), in care i = 0, n, j = 0, n. La fiecare nod al retelei, definim: La scadenţă, avem: f i, j valoarea opţiunii de tip european în nodul (i, j); S i, j = S 0 u j d i j. f n, j = max{s 0 u j d n j K, 0}, j = 0, 1,..., n, pentru un call american; f n, j = max{k S 0 u j d n j, 0}, j = 0, 1,..., n, pentru un put american. Cu probabilitatea ψ, valoarea S i, j la momentul i T n va urca la valoarea S i+1, j+1, la momentul (i + 1) T n. Cu probabilitatea 1 ψ, valoarea S i, j de la momentul i T n va coborî la valoarea S i+1, j 1 la momentul (i + 1) T n (vezi Figura 6.4). Dacă opţiunea nu este exercitată, atunci avem: fi, E j = (1 + r) ( ) T n ψfi+1, j+1 + (1 ψ)f i+1, j, i = n 1, n 2,..., 0, j = 0, 1,..., i. Dacă opţiunea este exercitată, atunci: pentru un call american, valoarea este: { fi, A j = max S 0 u j d i j K, (1 + r) ( ) } T n ψfi+1, j+1 + (1 ψ)f i+1, j, i = n 1, 0, j = 0, i. pentru un put american, valoarea este: { fi, A j = max K S 0 u j d i j, (1 + r) ( ) } T n ψfi+1, j+1 + (1 ψ)f i+1, j, i = n 1, 0, j = 0, i. 61

63 MF6 [Dr. Iulian Stoleriu] Figura 6.4: Latice binomiala. Valoarea căutată pentru derivatul financiar de tip american va fi f 0, 0. Când n, atunci obţinem valoarea reală, lipsita de arbitraj, a unui call sau put american. Modelul trinomial Să considerăm un activ financiar ce urmează a fi tranzacţionat la momentul t = T (scadenţa). Presupunem că preţul acestuia, S t, se poate modifică în intervalul de timp [0, T ] de un număr finit de ori şi că acest interval este împărţit în perioade egale, astfel încât la sfârşitul fiecărei perioade sunt trei variante posibile pentru preţul activului: în care S t creşte cu probabilitatea p u, scade cu probabilitatea p d, sau rămâne acelaşi cu probabilitatea p 0 = 1 p u p d. Cu alte cuvinte, în fiecare nod t k al diviziunii, S tk este o variabilă aleatoare ce poate lua una din trei posibile valori. În Figura 6.5 am reprezentat grafic un model trinomial cu trei perioade. Putem construi un arbore trinomial astfel: intervalul pana la scadenţă, [0, T ], îl divizăm echidistant, cu δt = T n. Dacă plecăm cu valoarea S 0 a activului financiar, atunci după fiecare perioadă, această valoare poate ajunge la S u = us 0 cu probabilitatea p u, poate deveni S d = ds 0 cu probabilitatea p d, sau poate rămâne tot S 0, cu p 0 = 1 p u p d. O alegere a factorilor u şi d poate fi: u = e σ 3 δt, d = 1 u. Probabilităţile lipsite de risc sunt: δt p u = (r 12σ 2 σ 2 ) , p 0 = 2 δt 3, p d = 12σ 2 (r σ 2 2 ) Dacă vom considera un derivat financiar a cărui valoare depinde de valoarea activului suport, f t = f(s t ), atunci putem determina preţul acestui derivat la t = 0 într-o piaţă trinomială cu o perioadă, lipsită de arbitraj, astfel: f 0 = e rδt [p u f(s u ) + p 0 f(s 0 ) + p d f(s d )]. 62

64 MF6 [Dr. Iulian Stoleriu] Figura 6.5: Arbore trinomial. Piaţă completă şi incompletă Pentru a evalua un activ financiar este important de a verifica dacă piaţa este completă. Reamintim, o piaţă financiară este completă dacă orice activ financiar este replicabil, adică dacă există un portofoliu de active existente pe acea piaţă care are aceeaşi valoare cu activul la scadenţă. O piaţă financiară in care nu se întâmplă aşa ceva se numeşte piaţă incompletă. În cazul unei pieţe cu o singură perioadă, am determinat completitudinea pieţei în două moduri: prin existenţa unei unice măsuri neutre la risc (i.e., rang(d) = M), sau dacă numărul de stări de incertitudine la scadenţă este acelaşi cu numărul de vectori independenţi din matricea cash flow (i.e., M = N + 1). În cazul unui model cu mai multe perioade, o piaţă financiară este completă dacă ea este completă pentru fiecare singură perioadă în parte. Pe de altă parte, completitudinea pieţei pe fiecare perioadă este echivalentă cu existenţa unei măsuri unice neutre la risc pentru fiecare ramură, ceea ce implică existenţa unei măsuri unice neutre la risc pentru modelul cu mai multe perioade. În cazul unei pieţe incomplete bazate pe un model cu mai multe perioade, există măcar un activ financiar pentru care avem cel puţin două astfel de măsuri. Totuşi, într-o piaţă incompletă pot exista active derivate care sunt replicabile, cu condiţia ca valoarea acestui activ la scadenţă, E Q [f T ], să nu depindă de Q. Putem afirma astfel că: Într-o piaţă incompletă, un activ derivat este replicabil (hedgeable) dacă E Q [f T ] = constant, pentru orice măsură martingală echivalentă Q. În acest caz, f 0 = (1 + r) T E Q [f T ]. Exemplu 6.2. (vezi şi Exerciţiul 5.3) Considerăm un model de piaţă financiară cu o sigură perioadă (T ), în care se pot tranzacţiona doar: o obligaţiune cu B 0 = 1 şi B T = 1.1 şi un activ riscant, cu S 0 = 100, S T = (99, 154, 88). (a) Cercetaţi viabilitatea şi completitudinea pieţei. (b) Ce condiţie ar trebui să verifice un derivat financiar care are activul S t drept activ suport şi care poate fi protejat împotriva riscului (replicabil, hedgeable ori marketable). (c) Determinaţi care ar trebui să fie preţul de exerciţiu pentru un call european asupra lui S t care este replicabil. (d) Determinaţi valoarea unui call european asupra lui S t cu preţul de exerciţiu K =

65 MF6 [Dr. Iulian Stoleriu] Soluţie: (a) Verificăm dacă există un vector de stare ψ = (ψ 1, ψ 2, ψ 3 ) astfel încât ψ i > 0, i = 1, 3 şi formula 4.2 să fie satisfăcută, i.e.: 1 = 1.1(ψ 1 + ψ 2 + ψ 3 ) 100 = 99ψ ψ ψ 3. Găsim că ψ 1 = α, ψ 2 = α, ψ 3 = α. Piaţa va fi viabilă doar pentru 0 < α < Piaţa nu este completă, deoarece ψ nu este unic. Pentru 0 < α < 20, familia de măsuri martingale 33 echivalente (obţinută prin normalizarea vectorului ψ) este Q α (ω) = ( α, α, α). (b) Considerăm un derivat financiar care are valoarea X t la momentul t. Acest derivat este hedgeable dacă poate fi evaluat în mod unic, adică valoarea sa nu depinde de α. Valoarea aşteptată la scadenţă a derivatului va fi ( 4 E Q [X T ] = 5 33 ) ( 1 25 α XT ) ( ) α XT α XT 3 = 1 5 (4X T 1 + X T 2 ) (X T 2 + 5X T 3 6X T 1 )α Condiţia pe care va trebui să o îndeplinească derivatul ca să poate fi evaluat în mod unic este aşadar În acest caz, valoarea sa la t = 0 este X 0 = X 2 T + 5X 3 T = 6X 1 T. ( ) 1 5 (4X T 1 + X T 2 ) = 2 ( ) 4XT X T 2. (c) Fie K preţul de exerciţiu pentru un call european având S t ca activ suport. Valorile acestui call la t = T trebuie să satisfacă condiţia max{154 K, 0} + 5 max{88 K, 0} = 6 max{99 K, 0}. Valorile lui K pentru care această ecuaţie are soluţii sunt K 88 şi K 154. (d) Valoarea 77 este în mulţimea admisibilă de la (c). La scadenţă, avem CT 1 = 22, C T 2 = 77, C T 3 = 11. Obţinem că C 0 = 2 ( ) 4CT C T 2 = 30. Exemplu 6.3. Considerăm o piaţă financiară cu două perioade în care pot fi tranzacţionate doar două active financiare, un bond B t şi un stock S t. Presupunem că: S 0 = 10, T = 2, r = 0, K = 10 şi S t evoluează după modelul: t la t = 0 la t = 1 la t = 2 ω \ S t S 0 S 1 S 2 ω ω ω ω ω

66 MF6 [Dr. Iulian Stoleriu] Aici, mulţimea tuturor stărilor de incertitudine ale pieţei este Ω = {ω 1, ω 2, ω 3, ω 4, ω 5 }. La momentul t = 0, un investitor observă preţul S 0 = 5; informaţia sa despre piaţă în acest moment este F 0 = {, Ω}. La momentul t = 1, observă că S 1 = 8 sau S 1 = 4, aşadar informaţia sa despre piaţă în acest moment este F 1 = {, {ω 4, ω 5 }, {ω 1, ω 2, ω 3 }, Ω}. La momentul t = 2, investitor observă S 2 şi informaţia sa despre piaţă în acest moment devine F 2 = P(Ω). Astfel, curgerea informaţiei despre piaţă este: F 0 F 1 F 2. Pentru a determina măsura neutră la risc, Q(ω) = (Q(ω 1 ), Q(ω 2 ), Q(ω 3 ), Q(ω 4 ), Q(ω 5 )) not = (q 1, q 2, q 3, q 4, q 5 ), rezolvăm sistemul S t = (1 + r) T E[S s ], t, s 0, i.e.: t = 0, s = 2 : 5(1 + r) 2 = 9q 1 + 7q 2 + 6q 3 + 6q 4 + 3q 5 ; t = 0, s = 1 : 5(1 + r) = 8(q 1 + q 2 + q 3 ) + 4(q 4 + q 5 ); t = 1, s = 2 : 8(1 + r)(q 1 + q 2 + q 3 ) = 9q 1 + 7q 2 + 6q 3 ; t = 1, s = 2 : 4(1 + r)(q 4 + q 5 ) = 6q 4 + 3q 5 ; q 1 + q 2 + q 3 + q 4 + q 5 = 1. Obţinem soluţia nedeterminată Q(ω) = ( q 4, 2 3q, 2q 1, , 1 ), unde 1/2 < q < 2/3. Un derivat 2 financiar D(ω) = (D(ω 1 ), D(ω 2 ), D(ω 3 ), D(ω 4 ), D(ω 5 )) not = (D 1, D 2, D 3, D 4, D 5 ) este replicabil în această piaţă dacă şi numai dacă E Q [D T ] este independentă de q. Obţinem că qd 1 +(2 3q)D 2 +(2q 1)D 3 +D 4 +2D 5 este independentă de q, de unde D 1 3D 2 + 2D 3 = 0. Avantaje: Avantaje şi dezavantaje ale modelului discret (binomial & trinomial) deşi este un model simplu, nu este simplist. Modelul discret conferă premizele aplicării modelului continuu. modelul binomial este foarte uşor de implementat numeric şi oferă o aproximare bună pentru cazul continuu; derivatele de tip american sunt uşor de evaluat folosind modelul binomial; Dezavantaje: la fiecare perioadă preţurile pot lua doar un număr finit de valori posibile ("up" şi "down" în cazul binomial), pe când în realitate S t poate lua orice valoare pozitivă, inclusiv S = 0; volatilitatea σ este presupusă constantă în tot intervalul [0, T ], însă realitatea poate fi alta. tranzacţiile se fac într-un număr discret de momente iar perioadele sunt echidistante; în realitate, tranzacţiile au loc în mod continuu, în fiecare moment. din punct de vedere calculatoriu, modelul binomial este încet. Probleme propuse Exerciţiu 6.1. Preţul actual al unui activ ce nu generează dividende este S 0 = 100. Presupunem că preţul S t al activului evoluează după un model binomial cu perioada de 4 luni şi că, la finalul fiecărei perioade, este 65

67 MF6 [Dr. Iulian Stoleriu] de aşteptat ca preţul activului să crească cu un procent de 10% sau să scadă cu 5%. Rata dobânzii lipsite de risc este r = 0.03 p.a. (dobândă simplă). (a) Determinaţi repartiţia preţurilor activului la momentul T = 1 şi calculaţi valoarea aşteptată a lui S 1. (b) Care este probabilitatea ca, după 2 ani, valoarea activului să crească cu cel puţin 50%? (c) Determinaţi valoarea unui put european ce conferă dreptul de a vinde la paritate activul S la T = 1. (d) Care este valoarea unui put american la paritate asupra activului S cu scadenţa T = 1? Exerciţiu 6.2. Preţul unui activ financiar evoluează după un model binomial cu u = 1.1, d = 0.9, T = 2, K = 100 şi r = 0.1. Considerăm un call european având activul suport considerat mai sus. Calculaţi preţul opţiunii la t = 0 ca o funcţie de S 0 şi desenaţi-i graficul. Exerciţiu 6.3. Preţul actual al unui activ financiar ce nu generează dividende este S 0 = 10. Presupunem că preţul activului evoluează după un model binomial cu perioada de 3 luni şi cu u = 1.1, d = 0.9. Rata dobânzii anuale unitare (lipsită de risc) r = 0.06 (dobândă simplă). (a) Determinaţi repartiţia preţurilor activului la T = 0.5. Care este probabilitatea ca preţul activului după exact jumătate de an să fie S 0? (b) Care este valoarea unui put european cu preţul de exerciţiu K = 10 şi maturitatea T = 1/2? (c) Care este valoarea unui put american cu preţul de exerciţiu K = 10 şi maturitatea T = 1/2? Exerciţiu 6.4. Preţul actual al unui activ financiar (un pachet de acţiuni) ce nu generează dividende este S 0 = 100. Presupunem că preţul S t al activului evoluează după un model binomial cu perioada de 4 luni şi că, la finalul fiecărui semestru, este de aşteptat ca preţul activului să crească cu un procent de 10% sau să scadă cu 10%. Rata dobânzii lipsite de risc este r = 0.04 p.a. (dobândă simplă). (a) Determinaţi preţul activului pentru fiecare nod al unei reţele binomiale cu 3 perioade. (b) Determinaţi repartiţia preţurilor activului la momentul T = 1. Calculaţi probabilitatea P(S 1 100). (c) Care este probabilitatea ca preţul pachetului la momentul T = 1 să se afle între 95 şi 105? (d) Determinaţi valoarea actuală unui contract derivat ce conferă dreptul de a vinde la paritate pachetul de acţiuni la T = 1. (e) Determinaţi valoarea actuală unui put american cu K = 100, la T = 1. Exerciţiu 6.5. Preţul actual al unui activ financiar ce nu generează dividende este S 0 = 100. Presupunem că preţul activului se modifică după un model binomial cu perioada de 1 an, cu u = 1.1, d = 0.8 şi rata dobânzii anuale unitare r = 0.05 (compusă continuu). (a) Determinaţi repartiţia preţurilor activului la T = 3. Calculaţi probabilitatea P(S 3 > 100). (b) Care este valoarea unui put european cu preţul de exerciţiu K = 100 şi maturitatea T = 3? (c) Care este valoarea unui put american cu preţul de exerciţiu K = 100 şi maturitatea T = 3 Exerciţiu 6.6. Într-o piaţă viabilă, preţul unui activ financiar ce nu generează dividende este acum de 50 RON. Presupunem că preţul activului se modifică după un model binomial cu perioada de o lună, iar după fiecare lună este de aşteptat ca preţul să crească cu 20% sau să scadă cu 10%. Rata dobânzii anuale unitare este r = 0.12 p.a. (compusă continuu). Pe această piaţă se tranzacţionează drepturi de vânzare a activului la termen, cu preţul de exerciţiu de 52 RON şi maturitatea de 3 luni. (a) Pentru ce valoare minimă pot fi tranzacţionate aceste drepturi de vânzare? (b) Care este valoarea unui astfel de drept de vânzare şi care este probabilitatea ca el să fie exercitat? (c) Determinaţi valoarea unui put american cu preţul de exerciţiu de 52 RON şi maturitatea de 3 luni. Precizaţi în ce moment(e) până la scadenţă exercitarea opţiunii este avantajoasă pentru deţinător. 66

68 MF7 [Dr. Iulian Stoleriu] 7 Matematici financiare (C7) Modelul discret general pentru o piaţă financiară În acest capitol, vom generaliza modelul binomial prezentat în paragrafele precedente. Vom introduce un model discret general pentru o piaţă financiară ce poate fi generalizat ulterior la un model continuu. Fie (Ω, F, P) un câmp de probabilitate, cu Ω finită, F P(Ω) şi P : (Ω, F) [0, 1] o probabilitate cu P({ω}) > 0, pentru orice ω Ω. Să presupunem că pe o anumită piaţă financiară există un număr finit (N + 1) de active tranzacţionabile, notate prin a 0, a 1,..., a N. Vom presupune că a 0 este un activ sigur (e.g., cont bancar sau obligaţiune) şi restul de active sunt riscante (i.e., valorile lor viitoare nu pot fi cunoscute cu siguranţă). Activul sigur ne va ajuta în stabilirea valorii monetare în timp. De asemenea, presupunem că avem un număr finit de momente în care cele N + 1 active pot fi tranzacţionate, şi anume: 0, 1,..., T, cu T <. Fie I o mulţime ordonată de indecşi. O familie {F t } t I de sub-σ algebre ale lui F se numeşte filtrare dacă F s F t pentru orice s t. Observaţia 7.1. (1) În cazul modelului discret de piaţă financiară, vom considera filtrarea {F t } T t=0, cu F 0 F 1 F T, unde F 0 = {, Ω} (la momentul t = 0 nu avem informaţii detaliate despre piaţa financiară) şi F T = P(Ω) (la scadenţă avem informaţia completă). (2) Filtrările sunt utilizate pentru a modela curgerea informaţiei în funcţie de timp. (3) Şirul de incluziuni se interpretează prin faptul că informaţia creşte cantitativ la fiecare moment. (4) Media condiţionată a unei v.a. X în raport cu F t, i.e., E[X F t ], reprezintă valoarea aşteptată a lui X pe baza informaţiilor disponibile la momenul t. (vezi Anexa). Vom nota prin S i t valoarea activului a i la momentul t, unde i {0, 1,..., N} şi t {0, 1,..., T }. Vom nota prin S t = (S 0 t, S 1 t,..., S N t ) vectorul preţ pentru cele N + 1 active la momentul t. Din faptul că piaţa considerată este finită în spaţiul stărilor (card(ω) = T + 1 < ), mulţimea valorilor pe care le poate lua S t este finită, pentru orice moment t. Deoarece am considerat că a 0 este activ sigur, vectorul preţ pentru acesta va fi procesul determinist S 0 = {St 0 } T t=0 (i.e., S0 t nu sunt variabile aleatoare). Este convenabil să presupunem că St 0 > 0 pentru orice t şi, astfel, putem considera acest activ drept numéraire (activ de referinţă). Reamintim, un numéraire este un şir (proces) {X t } T t=0 ce are toate valorile strict pozitive. Dacă rata dobânzii de referinţă este r 0, atunci vom avea că St 0 = S0 0 (1 + r)t pentru orice t {0, 1, 2,..., T }. Pe de altă parte, valorile S i t (i = 1, 2,..., N) ale activelor riscante sunt variabile aleatoare, i.e., S i t = S i t(ω). Vom presupune că S i t sunt F t măsurabile (spunem astfel că procesul S t este un proces adaptat filtrării F t ), pentru orice i = 1, 2,..., N şi t = 0, 1,..., T. De îndată ce avem un activ financiar de referinţă, putem defini pentru orice t = 0, 1,..., T procesul 67

69 MF7 [Dr. Iulian Stoleriu] normalizat S t dat prin S t = (S 0 t, St 1,..., St N ) = 1 St 0 (St 0, St 1,..., St N ). Astfel, găsim că S 0 t = 1 pentru orice t = 0, 1,..., T. Vom numi strategie de tranzacţionare (sau portofoliu dinamic) o colecţie de vectori aleatori N+1 dimensionali: )} T φ = {φ t } T t=1 {(φ = t 0 (ω), φt 1 (ω),..., φt N (ω), t=1 astfel încât pentru orice i = 0, 1,..., N, φ i t sunt variabile aleatoare F t 1 măsurabile (vom spune astfel că strategia este previzibilă), pentru orice t = 1, 2,..., T. Pentru fiecare i, φ i t reprezintă cantitatea din activul a i deţinută de investitor la momentul t, care este determinată de cantitatea de informaţii conţinută în F t 1. Aceasta semnifică faptul că portofoliul investitorului la momentul t este determinat de preţurile activelor la momentul t 1, adică de S t 1. Acest portofoliu va fi deţinut până la anunţarea preţurilor la momentul t, i.e., S t. Putem avea valori atât pozitive, cât şi negative pentru φ i t. Dacă φ i t > 0 pentru un anumit t şi indice i, atunci investitorul deţine activul a i în intervalul de timp [t 1, t), în cantitatea φ i t. Dacă φ i t < 0 pentru un anumit t şi indice i, atunci investitorul a vândut short (prin lipsă) activul a i în intervalul de timp [t 1, t), în cantitatea φ i t. De exemplu, φ i t = 1 înseamnă că la momentul t 1 investitorul a împrumutat o sumă de bani în valoare de S i t 1 (i.e., tocmai valoarea activului a i la momentul t 1), cumpără activul a i şi îl vinde la momentul t pentru preţul S i t, apoi urmând să returneze împrumutul făcut la momentul t 1. Prin valoarea unui portofoliu dinamic {φ t } T t=1, notată {V φ(t)} T t=1, înţelegem φ 1 S 0, t = 0; V φ (t) = N φ t S t := φts i t, i, t = 1, 2,..., T, i=0 unde reprezintă produsul scalar în R N+1. Valoarea V φ (0) = φ 1 S 0 se numeşte investiţia iniţială. Valoarea φ t S t 1 reprezintă valoarea portofoliului dinamic în intervalul [t 1, t), iar φ t S t este valoarea portofoliului dinamic după ce preţurile pentru active au fost anunţate la momentul t. Astfel, putem defini procesul câştig, notat {G φ (t)} T t=1, prin: unde S τ = S τ S τ 1. G φ (t) = t φ τ S τ, t = 1, 2,..., T (7.1) τ=1 Un portofoliu dinamic {φ t } T t=1 se numeşte portofoliu autofinanţant (sau strategie autofinanţantă) dacă φ t S t = φ t+1 S t, t = 1, 2,..., T 1. (7.2) Relaţia (7.2) spune că valoarea portofoliului dinamic la un moment t nu se modifică dacă activele din portofoliu sunt actualizate (redistribuite) la acel moment; valoarea portofoliului s-ar schimba doar dacă preţurile la momentul t se modifică. Pentru un portofoliu autofinanţant, observăm că: G φ (t) = t φ τ S τ = V φ (t) V φ (0), t = 1, 2,..., T (7.3) τ=1 68

70 MF7 [Dr. Iulian Stoleriu] Un portofoliu dinamic autofinanţant φ se numeşte admisibil dacă V φ (t) 0 pentru orice t = 0, 1, 2,..., T. Pe această piaţă financiară, vom spune că X este un intrument financiar derivat de tip european (sau derivat financiar european) cu maturitatea T dacă X este o variabilă aleatoare F T măsurabilă. Termenul în limba engleză pentru instrument financiar derivat este contingent claim. Un exemplu tipic de derivat financiar este un call european cu un activ suport ce valorează S t la momentul t, cu maturitatea t = T şi cu preţul de exerciţiu K. Valoarea acestui call european la scadenţă va fi C(T ) = max{s(t ) K ; 0}. Un instrument financiar derivat X se numeşte replicabil (hedgeable sau attainable) dacă există un portofoliu dinamic autofinanţat φ astfel încât valoarea lui X este f T = V φ (T ). Portofoliul dinamic se va numi portofoliu de acoperire (strategie de acoperire) sau portofoliu replicabil (strategie replicabilă). Un portofoliu dinamic φ se numeşte oportunitate de arbitraj dacă una dintre următoarele condiţii este îndeplinită: P({V φ (0) = 0}) = 1, P({V φ (T ) 0}) = 1 şi P({V φ (T ) > 0}) > 0. (7.4) sau P({V φ (0) < 0}) = 1 şi P({V φ (T ) 0}) > 0. (7.5) O piaţă financiară se numeşte viabilă dacă nu există astfel de oportunităţi de arbitraj. O piaţă viabilă se numeşte piaţă completă dacă orice derivat financiar este replicabil. Pentru a putea determina preţul lipsit de arbitraj pentru orice derivat financiar, va trebui să considerăm următoarele ipoteze simplificatoare: (1) Nu există oportunităţi de arbitraj pe piaţă; (2) Piaţa este fără fricţiuni, i.e., activele sunt perfect divizibile, nu există restricţii în vânzări short, nu există consturi de tranzacţionare sau de depozitare, nu există taxe; (3) Toţi investitorii au aceleaşi informaţii despre piaţă şi cad de acord în ce priveşte stările posibile ale pieţei la orice moment t > 0; (4) La momentul t = 0 preţurile sunt cunoscut şi unice pentru fiecare activ în parte şi fiecare investitor poate investi în orice activ doreşte, în ce cantităţi doreşte; (5) Investitorii cad de acord în ce priveşte evoluţia procesului stochastic S t ; (6) Investitorii preferă din ce în ce mai mult (lipsă de saţietate); (7) Rata dobânzii unitare anuale este aceeaşi atât pentru credit, cât şi pentru debit; Definiţia 7.2. Două măsuri de probabilitate P şi P definite pe (Ω, F, P) sunt echivalente (scriem P P ) dacă P(A) = 0 P (A) = 0, pentru orice A F. Definiţia 7.3. Un proces stochastic discret {X t } T t=0 (care este o colecţie de variabile aleatoare) cu valori reale, cu E[ X t ] <, se numeşte martingal în raport cu măsura de probabilitate Q dacă E Q [X t X s, X s 1,..., X 0 ] = X s, pentru orice s, t {0, 1,..., T }, s t. În particular, dacă X t ar fi valoarea prezentă, atunci valoarea aşteptată a valorii imediat următoare, X t+1, ţinând cont de istoria de până atunci (i.e., X 0, X 1,..., X t ) este tocmai valoarea prezentă X t, adică ultima valoare din şir, adică: E Q [X t+1 X t, X t 1,..., X 0 ] = X t, pentru orice t {0, 1,..., T 1}. 69

71 MF7 [Dr. Iulian Stoleriu] Definiţia 7.4. O măsură de probabilitate Q definită pe un câmp de probabilitate (Ω, F, P) se numeşte măsură martingală echivalentă (MME) dacă este echivalentă cu P şi, în plus, S este un martingal relativ la măsura Q (şi filtrarea {F t } T t=0 ), i.e., avem: E Q [S t F s ] = S s pentru orice s, t {0, 1,..., T }, s t. (7.6) Teorema 7.5. (teorema fundamentală) Piaţă financiară (construită ca un model discret) este viabilă dacă şi numai dacă există o măsură martingală echivalentă Q. Observaţia 7.6. Teorema fundamentală spune că o piaţă este viabilă dacă şi numai dacă există o măsură de probabilitate Q în raport cu care procesul {St } T t=0 (preţurile normalizate) este martingal, i.e., pentru orice i = 1, 2,..., N, avem: [ ] S i E t Q St 0 F s = Si s Ss 0, pentru orice s, t {0, 1..., T }, s t. De menţionat că această teoremă nu va mai rămâne validă şi pentru cazul modelului continuu. Luând s = t 1 în relaţia (7.6), o putem rescrie în forma: E Q [ S t F t 1 ] = 0, pentru orice t = 1, 2..., T, adică, la fiecare moment, valoarea aşteptată condiţionată a variaţiei preţurilor activelor de pe piaţă este zero. Teorema 7.7. O piaţă financiară viabilă este completă dacă şi numai dacă există o unică măsură martingală echivalentă. Se pune următoarea problemă: Avem un derivat financiar X a cărui valoare (sau funcţie pay-off, notată aici prin f t la momentul t) la scadenţă (i.e., la t = T ) este variabila aleatoare f T. Cum putem determina valoarea acestui derivat la un moment anterior scadenţei, t < T? Dacă derivatul financiar este replicabil, atunci ar trebui să existe un portofoliu dinamic unic a cărui valoare la fiecare moment să reproducă valoarea derivatului financiar în acel moment. Teorema 7.8. Considerăm modelul discret de piaţă financiară de mai sus. Dacă piaţa financiară este completă, atunci pentru orice derivat financiar replicabil (cu funcţia de pay-off f t la momentul t) există un unic portofoliu replicant φ format din activele existente pe această piaţă, i.e., f t = V φ (t) pentru orice t = 0, 1,..., T. Teorema 7.9. Considerăm modelul discret de piaţă financiară de mai sus şi presupunem că piaţa financiară este viabilă. Atunci, preţul lipsit de arbitraj la momentul t pentru un derivat financiar ce valorează f T la maturitate este [ ] f t = St 0 ft E Q ST 0 F t, t = 0, 1,..., T. (7.7) În particular, dacă r 0 este rata fixă a dobânzii de referinţă şi S 0 t = S 0 0 (1 + r)t, pentru t = 0, 1,..., T, atunci formula (7.7) devine f t = (1 + r) (T t) E Q [f T F t ], t = 0, 1,..., T. Pentru t = 0, obţinem: f 0 = (1 + r) T E Q [f T F 0 ] = (1 + r) T E Q [f T ]. 70

72 MF7 [Dr. Iulian Stoleriu] Dacă derivatul financiar este un call de tip european cu scadenţa T, atunci valoarea acestuia la momentul t = 0 este: C 0 = (1 + r) T E Q [C T ]. Am folosit faptul că E Q [C T F 0 ] = E Q [C T ]. Probleme propuse Exerciţiu 7.1. Preţul actual al unui activ ce nu generează dividende este S 0 = 100. Presupunem că preţul S t al activului evoluează după un model binomial cu perioada de 4 luni şi că, la finalul fiecărei perioade, este de aşteptat ca preţul activului să crească cu un procent de 10% sau să scadă cu 5%. Rata dobânzii lipsite de risc este r = 0.03 p.a. (dobândă simplă). (a) Determinaţi repartiţia preţurilor activului la momentul T = 1 şi calculaţi valoarea aşteptată a lui S 1. (b) Scrieţi procesele valoare şi câştig la fiecare moment t până la scadenţă; (c) Pentru un call european la paritate, determinaţi valoarea portofoliilor replicante în fiecare nod al reţelei. (d) Care este valoarea derivatului de la (c) în fiecare nod al reţelei? Exerciţiu 7.2. Cotaţia de azi pentru un euro este 1e = 4.5 RON. Presupunem că valoarea monedei unice europene faţă de leu se modifică după un model binomial cu perioada de o zi, cu σ = 0.1. Rata dobânzii anuale unitare este r = 0.05 (compusă continuu). (a) Determinaţi repartiţia preţurilor activului după exact o săptămână. (b) Determinaţi valoarea unui drept de cumpărare a 1000e, după exact 3 zile, la cotaţia de azi. (c) Determinaţi valoarea unui drept de vânzare a 1000e, după exact 3 zile, la cotaţia de azi. (d) Generaţi în Matlab o posibilă evoluţie a cursului e/ron pentru următorul an. (e) Pentru derivatele financiare de la (b) şi (c), determinaţi valoarea portofoliilor replicante în fiecare nod al reţelei. (f) Pentru derivatul financiar de la (c), scrieţi procesele valoare şi câştig la fiecare moment t până la scadenţă; (g) Determinaţi valoarea unui put american, de vânzare a 1000e la cotaţia de azi, cu scadenţa de 4 săptămâni. 71

73 MF8 [Dr. Iulian Stoleriu] 8 Matematici financiare (C8) Elemente de analiză stochastică Mişcarea aleatoare Mişcarea aleatoare (random walk sau drunkard s walk) este un formalism matematic al unei traiectorii ce reprezintă paşi succesivi. A fost introdus de Karl Pearson în Are aplicaţii în diverse ştiinţe, dintre care menţionăm: traiectoria unei molecule suspendate într-un lichid (în Biologie) sau preţul unui activ financiar (în Finanţe) etc. O posibilă evoluţie a preţului unui activ financiar într-un model binomial este o astfel de mişcare aleatoare. O reprezentare grafică a acestei mişcări este cea din Figura 6.3, generată în Matlab de codul din Exerciţiul Un alt exemplu: Considerăm un joc prin care cineva poate câştiga 1 RON, dacă la aruncarea unei monede ideale apare faţa cu stema, şi pierde 1RON dacă apare cealaltă faţă. Fie X variabila aleatoare care ia valoarea 1 dacă a apărut faţa cu stema şi X = 1 altfel. Se aruncă moneda de n ori (experimente independente) şi fie S n suma cumulată din n aruncări. Atunci, procesul aleator {S n } n 0 este o mişcare aleatoare. Procesul Wiener (sau mişcarea Browniană) În 1828, botanistul scoţian Robert Brown a studiat mişcarea particulelor de polen suspendate într-un lichid, observând o mişcare iregulară şi haotică. Această mişcare a rămas în literatură cu numele de mişcare Browniană. Ea a fost studiată matematic pentru prima oară de matematicianul Louis Bachelier, în teza sa de doctorat Theorie de la Spéculation, susţinută în Bachelier a utilizat mişcarea Browniană pentru a modela fluctuaţiile de preţ pentru active financiare riscante. În 1905, Albert Einstein a explicat această mişcare ca fiind rezultatul interacţiunii particulelor de polen cu moleculele de fluid întâlnite în cale, derivând astfel ecuaţii de evoluţie pentru această mişcare. Fundaţiile matematice riguroase pentru mişcarea Browniană au fost stabilite de Norbert Wiener, un matematician american care s-a preocupat de studiul proceselor stochastice si a zgomotului aplicat pe diverse sisteme. De aici şi numele alternativ de proces Wiener pentru mişcarea Browniană. Fie (Ω, F, P) un câmp de probabilitate. Vom numi proces stochastic o familie parametrizată de variabile aleatoare definite pe câmpul de probabilitate. Un proces stochastic discret este o familie {X 1 (ω), X 2 (ω),..., X n (ω),... } de variabilele aleatoare. Procesul stochastic se numeşte continuu dacă familia este indexată după o mulţime de indici J R (scriem {X t (ω), t J R + }) şi X t este continuu P a.s. în raport cu t. Dacă ω este fixat, atunci aplicaţia t X t (ω) se va numi traiectoria procesului. Definiţia 8.1. Procesul stochastic W : R + Ω R se numeşte proces Wiener (cu o dimensiune) dacă următoarele patru condiţii sunt îndeplinite (vom nota prin W t = W (t, ω)): (1) W 0 = 0, a.s., adică aproape toate traiectoriile pleacă din 0 la momentul zero (este o convenţie); (2) Aplicaţia t W t ( ) este continuă P a.s. (continuitatea traiectoriilor); 72

74 MF8 [Dr. Iulian Stoleriu] Figura 8.1: O reprezentare a 5 procese Wiener. (3) ( ) 0 s t, W t W s N (0, t s), (media 0 şi dispersia t s); (4) ( ) 0 = t 0 < t 1 < < t n, variabilele aleatoare W t1 W t0, W t2 W t1,..., W tn W tn 1 sunt independente stochastic (i.e., creşterile sunt independente). Observaţia 8.2. (1) Procesul Wiener este un proces Gaussian, i.e., pentru orice 0 t 1 t 2... t k, vectorul aleator V = (W t1, W t2,..., W tk ) este un vector aleator ce are repartiţia normală k dimensională. (2) Pentru orice t 0, putem scrie ca W t+1 W t = ε t t, unde εt N (0, 1) sunt v.a. independente stochastic. Proprietăţi 8.3. (1) Fie W t = W (t, ω) un proces Wiener şi notăm cu W = W t W s. Atunci, din definiţie, E( W ) = 0, D 2 ( W ) = t s, ( ) 0 s t. (2) Dacă 0 = t 0 < t 1 < < t n = T este o divizare a intervalului [0, T ], atunci: E(W T ) = 0; D 2 (W T ) = T. Putem scrie că: n n W T W 0 = [W tk W tk 1 ] = ε k t. k=1 k=1 Dar E(W T ) = E(W T W 0 ) + E(W 0 ) = 0 şi, utilizând independenţa stochastică, putem scrie: n D 2 (W T ) = D 2 (W T W 0 ) = D 2 (W tk W tk 1 ) = n t = T. k=1 73

75 MF8 [Dr. Iulian Stoleriu] Definiţia 8.4. (1) σ-algebra W s = {σ(w r ); 0 r s} se numeşte istoria procesului Wiener până la momentul s sau filtrarea naturală ataşată procesului Wiener. (2) σ-algebra W + s = {σ(w t W s ); t s} se numeşte viitorul procesului Wiener după momentul s. Propoziţia 8.5. Proprietăţi ale procesului Wiener (fără demonstraţie): (1) Pentru aproape toţi ω Ω, traiectoriile procesului Wiener (adică t W t (ω)) nu sunt nicăieri diferenţiabile. (2) Procesul Wiener are variaţie infinită în orice interval (i.e., distanţa între oricare două puncte W s şi W t (s t) ale unui proces Wiener este infinită). (3) Procesul Wiener este un proces Markov, i.e., pentru orice B B (R) and all 0 s t, avem că P(W t B W s ) = P(W t B W s ) a.s. (4) Procesul Wiener este un fractal. (5) Dacă W t este un proces Wiener, atunci procesul stochastic W t este tot un proces Wiener. (6) Dacă W t este un proces Wiener, atunci procesul stochastic αw t α este tot un proces Wiener. Definiţia 8.6. O familie (filtrare) {F t } t de σ algebre se numeşte non-anticipativă în raport cu W t dacă: (i) F s F t, ( ) 0 s t; (ii) W t F t, ( ) t 0; (iii) F t este independentă de σ algebra W + t, ( ) t 0. Definiţia 8.7. (1) Un proces stochastic {X t } t 0 se numeşte adaptat filtrării F t (sau non-anticipativ în raport cu F t ) dacă X t este F t măsurabil, pentru orice t 0. Cu alte cuvinte, valorile lui X t depind doar de informaţia existentă în F t. (2) Un proces stochastic se numeşte progresiv măsurabil dacă pentru orice timp t, aplicaţia [0, t] Ω R definită prin (s, ω) X s (ω) este măsurabilă în raport cu σ algebra generată de [0, t] A (cu A F t ), i.e., X(t, ω) este o funcţie măsurabilă în ambele variabile. Se observă cu uşurinţă că X t progresiv măsurabil implică faptul că X t este F t adaptat. (3) Vom nota prin M 2 (0, T ) spaţiul proceselor stochastice X t : Ω [0, T ] R progresiv măsurabile, astfel încât T 0 X 2 t dt <. (4) Pentru p N, vom nota prin L p (0, T ) spaţiul proceselor stochastice X t : Ω [0, T ] R progresiv măsurabile, astfel încât ( ) T E X t p dt <. Definiţia 8.8. Un proces stochastic {X t } t 0 de forma: 0 X t = x 0 + µt + σ W t, t 0, (8.1) cu W t este proces Wiener, se numeşte proces Wiener generalizat. Punctul de plecare este x 0, are media x 0 +µt şi dispersia σ 2. Valoarea medie a modificării în timp a unui proces stochastic se numeşte drift. Driftul unui proces Wiener standard este 0, iar pentru un proces Wiener generalizat este x 0 + µt. Se observă că X t = X(t, W t ). Dependenţa lui X t si W t de ω se subînţelege şi nu va fi scrisă explicit decât uneori, când este necesar. Spunem că x 0 + µt este partea deterministă a procesului stochastic {X t } t 0, iar σ W t este partea aleatoare. Termenul σ dw poate fi interpretat ca fiind un zgomot adăugat pe sistem. 74

76 MF8 [Dr. Iulian Stoleriu] Considerăm un activ financiar a cărui valoare la momentul t este S t. Dacă valoarea activului se modifică în timp doar datorită ratei dobânzii (µ), atunci putem scrie de unde găsim că ds t dt = µ S t, t 0, (8.2) S t = S 0 e µ t, t 0, Însă, cazul determinist este doar un caz ideal. În practică, apar diverse fluctuaţii aleatoare ale preţului activului. Dorim să luam în considerare aceste fluctuaţii şi presupunem că σ este o măsură a variaţiei valorilor în jurul mediei. Adăugăm în ecuaţia (8.2) un factor de perturbare ξ t (zgomot alb) care să ţină cont de preţul activului şi vom scrie: ds t = µ S t + σ S t ξ t, t 0. (8.3) dt Acest factor de perturbare se consideră a fi ξ t = dw t dt sau, altfel scris, (scriere formală). Înlocuind în (8.3), obţinem: ds t S t = µ dt + σ dw t, t 0, (8.4) ds t = µ S t dt + σ S t dw t, t 0. (8.5) Un proces stochastic ce verifică o relaţie de forma (8.4) sau (8.5) se numeşte mişcare Browniană geometrică. În general, un proces stochastic {X t } t 0 ce verifică relaţia: dx t = f(t, X t ) dt + g(t, X t ) dw t, t 0, (8.6) se numeşte proces Itô. Driftul acestui proces este f(t, X t ) iar volatilitatea este g(t, X t ). Relaţia (8.6) mai poartă numele de ecuaţie diferenţială stochastică. Deoarece aproape toate traiectoriile procesului Wiener sunt nicăieri diferenţiabile, termenul dw t este doar o scriere formală, o notaţie. Cu alte cuvinte, termenul dw t nu are nicio însemnătate de unul singur. Mai mult, termenul de ecuaţie diferenţială stochastică este o noţiune formală, căreia în vom da un sens în cele ce urmează. În acest sens, vom introduce noţiunea de integrală Itô a unui proces stochastic adaptat X t în raport cu procesul Wiener, notată prin T 0 X t dw t. Următoarea discuţie se doreşte a fi o motivaţie pentru modul în care integrala Itô pentru un proces adaptat oarecare este definită. Observaţia 8.9. Să considerăm un set de N active financiare tranzacţionabile, care au preţurile St i la momentul t [0, T ] (i = 1, N). Presupunem că momentele la care aceste active pot fi tranzacţionate sunt 0 = t 0 < t 1 < < t n = T. Aceste preţuri sunt, de fapt, nişte procese stochastice de tip (8.6). Intuitiv, ar trebui ca aceste preţuri să depindă doar de istoria până la momentul t şi să nu anticipeze viitorul după momentul t. Aşadar, vom cere ca procesul stochastic ce defineşte portofoliul dinamic să fie non-anticipativ. Un investitor investeşte în aceste active, construindu-şi un portofoliu dinamic {φ t } T t=1. Valoarea iniţială a acestui portofoliu dinamic este V φ (0) = φ 1 S 0. (Aici, este produsul scalar a doi vectori.) Dacă presupunem că acest portofoliu dinamic este autofinanţant (i.e., valoarea acestuia se modifică doar datorită fluctuaţiilor 75

77 MF8 [Dr. Iulian Stoleriu] de preţ ale activelor, şi nu pentru că au fost investite sau retrase sume de bani din portofoliu după momentul t = 0), atunci variaţia valorii portofoliului la un moment t = 1, 2,..., n 1 este dv φ (t) = φ t ds t := (ds t = S t+1 S t, ds i t = S i t+1 Si t, i = 1, N.) = N φt i dst, i i=1 N φt i (St+1 i Si t). i=1 Astfel, dacă presupunem că norma diviziunii tinde la 0 (i.e., n tinde la ), valoarea portofoliului la T poate fi obţinută (formal) prin integrarea relaţiei de mai sus. Formal, vom avea că: unde integrala este interpretată în sensul următor: T 0 T V φ (T ) = V φ (0) + φ t ds t, 0 n 1 φ t ds t = lim φ tk (S tk+1 S tk ). n k=0 Folosind argumentele de mai sus, suntem îndreptăţiţi să ne propunem a defini această integrală într-un cadru mai general. Definiţia Fie 0 = t 0 < t 1 < < t n = T este o divizare a intervalului [0, T ] şi {X t } t 0 un proces stochastic din L 2 (0, T ). Atunci, variabila aleatoare T 0 T 0 k=0 X t dw t, definită prin n 1 X t dw t := lim X tk (W tk+1 W tk ). (8.7) n se numeşte integrala în sens Itô pe intervalul (0, T ) a procesului stochastic X t în raport cu procesul Wiener. Observaţia (1) Este important ca în suma din definiţie să apară valorile X tk, deoarece aceste variabile aleatoare sunt non-anticipative, pentru fiecare interval [t k, t k+1 ). Pentru orice τ (t k, t k+1 ), variabilă aleatoare X τ este o valoare anticipată, care ar depinde de valorile viitoare ale preţurilor (i.e., de S tk+1 ), deci fără interes în dinamica pieţei. (2) Integrala stochastică este o variabilă aleatoare, pe când integrala obişnuită Riemann-Stieltjes, dacă există, este un număr real. Reamintim că integrala Riemann-Stieltjes se defineşte prin T 0 n 1 F(t) dg(t) := lim F(ξ k ) (G(t k+1 ) G(t k )). (8.8) n k=0 pentru orice puncte intermediare ξ k (t k, t k+1 ). Aici G(t) este o funcţie cu variaţia mărginită şi F o funcţie continuă. Dacă s-ar încerca definirea integralei stochastice în acelaşi mod, pentru orice puncte intermediare ξ k, am găsi în membrul drept o limită ce nu există. Aşadar, ξ k trebuie să fie fixate a priori. În definiţia integralei de tip Itô se alege ξ k = t k, ( ) k. Pentru orice altă alegere, obţinem o altă integrală stochastică, dacă aceasta 76

78 MF8 [Dr. Iulian Stoleriu] este definită, şi aceasta va fi diferită de cea de tip Itô. Spre exemplu, putem defini integrala stochastică de tip Stratonovich prin T n 1 X tk + X tk+1 X t dw t := lim (W tk+1 W tk ). (8.9) 0 n 2 k=0 Această integrală este utilă în aplicaţiile din Fizică, dar nu în Finanţe. Observaţia Folosind definiţia anterioară, forma corectă a ecuaţiei (8.6) este: t t X t = X 0 + f(s, X s ) ds + g(s, X s ) dw s, t 0 a.s., (8.10) 0 0 unde prima integrala este integrala în sens Riemann, iar cea de-a doua este integrala în sens Itô. Probleme propuse Exerciţiu 8.1. Arătaţi că dacă W t este un proces Wiener, atunci procesul stochastic W t este tot un proces Wiener. Exerciţiu 8.2. Arătaţi că dacă W t este un proces Wiener, atunci procesul stochastic αw t α proces Wiener. Pentru α = 2, simulaţi o posibilă traiectorie a acestui proces. este tot un Exerciţiu 8.3. Considerăm variabila aleatoare ε N (0, 1) şi definim procesul stochastic W t = ε t pentru t 0. Verificaţi dacă W t este un proces Wiener. Simulaţi o posibilă traiectorie a acestui proces. Exerciţiu 8.4. Considerăm procesele Wiener W t şi Wt. Dacă α (0, 1) fixat, arătaţi că procesul stochastic αw t + 1 α 2 W t este un proces Wiener. Simulaţi o posibilă traiectorie a procesului. Exerciţiu 8.5. Arătaţi că dacă (W t ) t 0 este un proces Wiener, atunci cov(w t, W s ) = min(s, t). [[Indicaţie: Wiener]] Pentru s < t, scriem W t = W s + (W t W s ) şi folosim proprietăţile din definiţia procesului Exerciţiu 8.6. Arătaţi că dacă {W t } t 0 este un proces Wiener, atunci procesul { W t } t 0, definit prin W t = tw 1/t, cu W 0 = 0 a.s., este tot un proces Wiener. Simulaţi o posibilă traiectorie a acestui proces. 77

79 MF9 [Dr. Iulian Stoleriu] 9 Matematici financiare (C9) Elemente de analiză stochastică (II) Continuăm discuţia din cursul precedent. Fie {W t } t 0 este o mişcare Browniană şi f, g nişte funcţii măsurabile. Un proces stochastic {X t } t 0 ce verifică relaţia dx t = f(t, X t ) dt + g(t, X t ) dw t, t 0, (9.1) se numeşte proces Itô. Relaţia (9.1) mai poartă numele de ecuaţie diferenţială stochastică. În particular, un proces stochastic ce satisface relaţia: ds t = µ S t dt + σ S t dw t, t 0 (µ R, σ > 0) se numeşte mişcare Browniană geometrică. Deoarece mişcarea Browniană W t nu este diferenţiabilă, relaţia (9.1) este doar o scriere formală. Forma corectă a ecuaţiei (9.1) este: t t X t = X 0 + f(s, X s ) ds + g(s, X s ) dw s, t 0 a.s., (9.2) 0 0 unde prima integrala este integrala în sens Riemann, iar cea de-a doua este integrala în sens Itô, adică în sensul definiţiei următoare: Definiţia 9.1. Fie 0 = t 0 < t 1 < < t n = T o divizare a intervalului [0, T ] şi {X t } t 0 un proces stochastic din L 2 (0, T ). Atunci, variabila aleatoare T 0 T 0 X t dw t, definită prin n 1 X t dw t := lim X tk (W tk+1 W tk ). (9.3) n k=0 se numeşte integrala în sens Itô pe intervalul (0, T ) a procesului stochastic X t în raport cu procesul Wiener. Proprietăţi 9.2. (proprietăţi ale integralei Itô) (I 1 ) Pentru orice constante reale a şi b şi X t, Y t L 2 (0, T ), avem: T 0 T T (ax t + by t ) dw t = a X t dw t + b Y t dw t. 0 0 ( ) T (I 2 ) E X t dw t =

80 MF9 [Dr. Iulian Stoleriu] ( T (I 3 ) E 0 ) 2 ( ) T X t dw t = E Xt 2 dt. 0 Din această proprietate observăm necesitatea ca procesul care se integrează, X t, să fie din L 2 (0, T ). Se observă că dispersia v.a. T 0 X t dw t este ( ) ( T ) T D 2 X t dw t = E Xt 2 dt. 0 0 (I 4 ) Pentru oricare procese stochastice X t şi Y t de pătrat integrabile avem: ( T ) ( T ) T E X t dw t Y t dw t = E X t Y t dt. 0 0 Definiţia 9.3. Pentru X L 2 (0, T ), variabila aleatoare 0 I(t) = se numeşte integrala Itô nedefinită. Avem că I(0) = 0. t 0 X s dw s Se poate demonstra că procesul stochastic I(t) este un martingal în raport cu istoria procesului Wiener, i.e., E[I(t) W s ] = I(s), 0 s t. Lema lui Itô (regulă de diferenţiere stochastică) Considerăm procesul Itô X t definit prin relaţia dx t = f(t, X t ) dt + g(t, X t ) dw t, t 0, (9.4) şi presupunem că f(t, X t ) L 1 (0, T ), g(t, X t ) L 2 (0, T ). ( T ) ( T ) (i.e., sunt progresiv măsurabile şi E f(t, X t (ω)) dt <, E g 2 (t, X t (ω)) dt <.) 0 Considerăm funcţia H(t, x), de clasă C 1 în variabila t şi de clasă C 2 în x. Intenţionăm să găsim ecuaţia diferenţială stochastică (formală) pe care o satisface procesul stochastic compus H(t, X t ). Dacă factorul dw t ar fi determinist, atunci, datorită regulii lanţului, putem scrie: În cazul stochastic avem: dh(t, X t ) = H t dt + H x dx t = ( H t + f H x ) 0 dt + g H x dw t. Lema 9.4. (formula lui Itô) Dacă funcţia H este de clasă C 2 în variabila X şi de clasă C 1 în variabila t, atunci procesul H(t, X t ) satisface ecuaţia diferenţială stochastică: ( H dh(t, X t ) = t + f H x + 1 ) 2 g2 2 H x 2 dt + g H x dw t. (9.5) 79

81 MF9 [Dr. Iulian Stoleriu] Observaţia 9.5. Deoarece procesul Wiener este nicăieri diferenţiabil, ecuaţia (9.5) este doar o scriere formală. Dacă procesul stochastic X t este scris sub forma (9.2), atunci forma integrală (corectă) a lemei lui Itô este: t H(t, X t ) = H(0, X 0 ) + t [ H(s, Xs ) s g(s, X s ) H(s, X s) x + f(s, X s ) H(s, X s) x + 1 ] 2 g2 (s, X s ) 2 H(s, X s ) x 2 ds + dw s, a.s. (t 0) (9.6) Aşadar, în cazul regulii lanţului în varianta stochastică mai apare un termen în plus, şi anume g2 2 Exerciţiu 9.1. Determinaţi diferenţiala stochastică a procesului Wiener generalizat, 2 H x 2 dt. Y t = y 0 + µt + σw t, t 0. lema Itô pentru X t = W t şi H(t, x) = y 0 + µt + σx. Avem că: H t = µ, H x = σ, de unde dh(t, X t ) = µdt + σdx t şi, astfel, dy t = µdt + σdw t. 2 H x 2 = 0, Exerciţiu 9.2. Arătăm că În particular, t s W τ dw τ = W 2 t W 2 s 2 T 0 W t dw t = W 2 T 2 T 2. t s 2. Aplicăm lema lui Itô pentru X t = W t, f 0, g 1, H(t, x) = x 2. Avem: H t = 0, H x = 2x, 2 H x 2 = 2, de unde d(wt 2 ) = 2W t dw t +dt. Folosind forma integrală (vezi Exerciţiul 9.5 pentru a integra ultima relaţie), scriem astfel: t t Wt 2 = Ws W τ dw τ + dτ s s = W 2 s + 2 t s W τ dw τ + t s, de unde relaţia cerută. Proprietăţi 9.6. (alte reguli de calcul stochastic) d(tw t ) = W t dt + t dw t, t 0. d(wt m ) = mwt m 1 d W t + m(m 1) 2 W m 2 t dt, m 2, t 0. 80

82 MF9 [Dr. Iulian Stoleriu] Dacă X 1, X 2 sunt procese Itô, { dx 1 = f 1 (t, X 1 ) dt + g 1 (t, X 1 ) dw t, t 0, dx 2 = f 2 (t, X 2 ) dt + g 2 (t, X 2 ) dw t, t 0, cu f i L 1 (0, T ) şi g i L 2 (0, T ) (i = 1, 2), atunci d(x 1 X 2 ) = X 2 dx 1 + X 1 dx 2 + g 1 g 2 dt. Exerciţiu 9.3. Considerăm un contract forward cu scadenţa T, care are la bază un activ suport ce valorează S t la momentul t şi nu generează dividende. Dacă r este rata dobânzii unitare, atunci preţul forward la momentul t este: F(t, S t ) = S t e r(t t), ( ) t [0, T ]. Să presupunem că valoarea activului suport satisface ecuaţia diferenţiala stochastică (8.3). Pentru a calcula df, folosim lema lui Itô pentru F(t, s) = se r(t t). Mai întâi, calculăm: F t = r S t e r(t t), F s = er(t t), 2 F s 2 = 0. Obţinem ecuaţia diferenţială stochastică: [ df = e r(t t) µ S t r S t e r(t t)] dt + e r(t t) σ S t dw t, sau, rescrisă, df = (µ r)f t dt + σ F t dw t. (9.7) Observăm că preţul forward (dat de relaţia (9.7) este o mişcare Browniană geometrică cu driftul µ r şi volatilitatea σ. Exerciţiu 9.4. Considerăm acum că G(t, S t ) = ln(s t ). Atunci: G t = 0, G s = 1 S t, 2 F s 2 = 1 St 2, de unde, aplicând lema lui Itô, obţinem: d ln(s t ) = (µ σ 2 ) dt + σ dw t, t 0. (9.8) 2 Acesta este un proces Wiener generalizat cu driftul µ σ pentru o metodă de integrare), obţinem 2 şi volatilitatea σ. Integrând (9.8) (vezi Exerciţiul ln(s t ) = ln(s 0 ) + (µ σ 2 ) t + σ W t, t 0, (9.9) 2 de unde σ2 (µ S t = S 0 e 2 ) t+σ W t, t 0, a.s.. (9.10) 81

83 MF9 [Dr. Iulian Stoleriu] Observaţia 9.7. În particular, dacă luăm t = T în relaţia (9.9), atunci deducem că ln S T N (ln S 0 + (µ σ 2 ) 2 )T, σ T, (9.11) adică preţurile la scadenţă ale unui activ financiar urmează o repartiţie lognormală, i.e., S T log N (ln S 0 + (µ σ 2 ) 2 )T, σ T. (9.12) Mai putem rescrie (9.11) astfel: ( ) ST ln N ((µ σ 2 ) S 0 2 )T, σ T. (9.13) Valoarea aşteptată şi dispersia procesului S T sunt (vezi repartiţia lognormală): ( E(S T ) = S 0 e µt, D 2 (S T ) = S0 2 e2µt e σ 2T ) 1. (9.14) Relaţia (9.14) 1 se traduce prin faptul că valoarea aşteptată a preţurilor activului suport la t = T este tocmai suma ce o vom obţine dacă am depune suma S 0 într-un cont bancar cu rata dobânzii unitare anuale µ. Observaţia 9.8. Deoarece este practic imposibil să anticipăm valoarea exactă a activului la momentul T (i.e., S T ) la momentul iniţierii unui contract, putem căuta în schimb un interval de încredere pentru valoarea activului la scadenţă. Fie α un nivel de semnificaţie apropiat de 0 (de regulă, se ia α = 0.05 sau 0.02 sau 0.01). Dacă X este o variabilă aleatoare, atunci un interval de încredere pentru E(X) la nivelul de semnificaţie α este un interval (a, b) astfel încât: P(a < EX < b) = 1 α. Dacă X ar fi normal N (µ, σ), atunci un interval de încredere centrat pentru µ = E(X) este intervalul aleator [X z 1 α2 σ n, X + z 1 α2 σ n ], astfel încât: echivalent cu z 1 α2 z 1 α2 P (X ) σ σ n < µ < X + z 1 α2 n = 1 α, (9.15) P (µ ) σ σ n < X < µ + z 1 α2 n = 1 α, (9.16) unde X este media de selecţie asociată v.a. X şi z 1 α 2 este cuantila de ordin 1 α pentru repartiţia normală 2 standard. Să fixăm α = 0.05, de unde z 1 α 2 = Ţinând cont de relaţia (9.13), dacă în relaţia (9.16) considerăm n = 1 şi în loc de X folosim ln ( ST S 0 ) (care are media (µ σ 2 2 )T şi abaterea standard σ T ), atunci găsim că: P ((µ σ 2 ( ) 2 )T 1.96 σ ST T < ln < (µ σ 2 ) 2 )T σ T = 0.95, (9.17) S 0 82

84 MF9 [Dr. Iulian Stoleriu] de unde P ( ( S 0 e µ σ2 2 ) T 1.96 σ ( T < ST < S 0 e µ σ2 2 ) T σ ) T = (9.18) Aşadar, am găsit că un interval de încredere pentru valoarea activului la scadenţă este ( ( ) µ S 0 e σ2 2 µ σ2 2 T σ T ) T 1.96 σ ( T, S0 e ). (9.19) Deoarece nu este nimic special în legătură cu alegerea lui t = T, se poate construi astfel câte un interval de încredere pentru fiecare S t, cu t > 0. Forma acestui interval este cea de mai înainte, în care T este înlocuit cu t. Dacă presupunem că T este mic, atunci putem neglija termenii ce în conţin pe T şi scrie: e e ( ( µ σ2 2 µ σ2 2 ) T 1.96 σ T e 1.96 σ T σ T ) T σ T e 1.96 σ T σ T. Intervalul de încredere devine: ( S 0 ( σ T ), S 0 ( σ ) T ). Acest interval de încredere este în concordanţă cu percepţia investitorilor conform căreia, pentru perioade mici de timp, riscul unei investiţii creşte proporţional cu rădăcina pătrată a timpului. De regulă, riscul poate fi considerat a fi dispersia posibilelor valori viitoare. Ecuaţii diferenţiale stochastice Vom prezenta aici o scurtă introducere în teoria ecuaţiilor diferenţiale stochastice. Pentru simplitate, vom lucra într-o singură dimensiune. Definiţia 9.9. Fie W t un proces Wiener şi X 0 o variabilă aleatoare independentă de W t. Pentru orice t 0 fixat, considerăm următoarea σ algebră: F t = σ{(x 0, W s ), 0 s t}, şi o vom numi σ algebra generată de X 0 şi istoria procesului Wiener până la momentul t. Următoarea ecuaţie (scrisă formal) dx t = f(t, X t ) dt + g(t, X t ) dw t, 0 t T, (9.20) cu f şi g funcţii reale (f : R [0, T ] R, g : R [0, T ] R) o vom numi ecuaţie diferenţială stochastică. Scrierea corectă a acestei ecuaţii este: T T X t = X 0 + f(t, X t ) dt + g(t, X t ) dw t, 0 t T, a.s. (9.21) 0 0 Definiţia Vom spune că procesul stochastic real X t este o soluţie a problemei stochastice: { dx = f(t, X) dt + g(t, X) dw, 0 < t T, dacă: X(0) = X 0, 83

85 MF9 [Dr. Iulian Stoleriu] X t este progresiv măsurabil în raport cu F t ; f(t, X t ) L 1 (0, T ), g(t, X t ) L 2 (0, T ); X t = X 0 + T 0 f(t, X t ) dt + T 0 g(t, X t ) dw t, 0 t T, a.s. Teorema (teorema de existenţă şi unicitate) Să presupunem că funcţiile f : R [0, T ] R, g : R [0, T ] R sunt continue şi există un L > 0 astfel încât: şi f(t, x) f(t, y) L x y, g(t, x) g(t, y) L x y, pentru orice 0 t T şi x, y R, f(t, x) L (1 + x ), g(t, x) L (1 + x ), pentru orice 0 t T şi x, y R. Fie X 0 o variabilă aleatoare reală cu E( X 0 2 ) <, pe care o considerăm independentă de σ algebra W + (0) = σ{w t, 0 < t T }. În aceste condiţii, problema stochastică (9.20) admite o soluţie unică X t L 2 (0, T ). O metodă de rezolvare a ecuaţiilor diferenţiale stochastice Căutăm o funcţie h : [0, ) R R astfel încât soluţia ecuaţiei (9.20) este de forma X t = h(t, W t ), cu W t proces Wiener. Folosind lema lui Itô (pentru X t = W t, H(t, X t ) = h(t, W t )), scriem: t ( h X t := h(t, W t ) = h(0, 0) + s ) h t h 2 x 2 ds + x dw s, t [0, T ]. (9.22) Din (9.22) şi (9.21), găsim că X este o soluţie a ecuaţiei (9.20) dacă: 1 2 h(s, x) h(s, x) 2 x 2 + = f(s, x); s h(s, x) = g(s, x); x h(0, 0) = X 0. Exerciţiu 9.5. Să se rezolve problema stochastică: { dx = µdt + σ dw, 0 < t T, unde µ şi σ sunt constante reale. X(0) 0 = x 0 R 0 Aici f µ, g σ. Folosim metoda de mai sus şi găsim sistemul de ecuaţii: 1 2 h(s, x) 2 x 2 + h(s, x) = σ; x h(0, 0) = x 0. h(s, x) s = µ; Soluţia acestui sistem este: X(t, W t ) = x 0 + µt + σw t, t [0, T ]. (9.23) 84

86 MF9 [Dr. Iulian Stoleriu] Observaţia O formulare echivalentă a problemei de mai sus este: Să se rezolve ecuaţia integrală stochastică: t t X t = X 0 + µ ds + σ dw s, t [0, T ], 0 0 care, evident, are soluţia (9.23). Exerciţiu 9.6. Să se rezolve problema stochastică: { dx = σ XdW, 0 < t T, unde σ este o constantă reală. X(0) = x 0 R Aici f 0, g σx. Folosim metoda de mai sus şi găsim sistemul de ecuaţii: 1 2 h(s, x) h(s, x) 2 x 2 + = 0; s h(s, x) = σ h(s, x); x h(0, 0) = x 0. Din ecuaţia a doua găsim că Înlocuind în prima ecuaţie, obţinem: de unde h(s, x) = f(s)e σ x, s [0, T ]. f (s) = σ 2 2 f(s), f(s) = C e σ2 2 s, s [0, T ]. Aşadar, după considerarea condiţiei iniţiale, găsim că soluţia problemei propuse este X t = h(t, W t ) = x 0 e σ2 2 t+σ W t, t [0, T ]. Exerciţiu 9.7. Să se rezolve problema stochastică: { ds t = µs t dt + σ S t dw t, 0 < t T, unde µ şi σ sunt constante reale. S(0) = S 0, Metoda 1. Aici f(t, x) = µx, g(t, x) = σx. Folosim metoda de mai sus şi găsim sistemul de ecuaţii: 1 2 h(s, x) h(s, x) 2 x 2 + = µ h(s, x); s h(s, x) = σ h(s, x); x h(0, 0) = x 0. 85

87 MF9 [Dr. Iulian Stoleriu] Din ecuaţia a doua găsim că Înlocuind în prima ecuaţie, obţinem: de unde h(s, x) = f(s)e σ x, s [0, T ]. f (s) = (µ σ 2 ) f(s), 2 f(s) = C e ( µ σ2 2 ) s, s [0, T ]. Aşadar, după considerarea condiţiei iniţiale, găsim că soluţia problemei propuse este cea din formula (9.10), i.e., ( ) µ S t = h(t, W t ) = S 0 e σ2 2 t+σ W t, t [0, T ]. Metoda 2. Aplicăm lema lui Itô pentru H(t, S t ) = ln(s t ). Obţinem: d(ln(s t )) = (µ σ 2 ) dt + σ dw t, t [0, T ]. (9.24) 2 Observăm că ecuaţia diferenţială stochastică (9.24) este de forma celei din Exerciţiul 9.5. soluţia acesteia: ln(s t ) = ln(s 0 ) + (µ σ 2 ) t + σ W t, t [0, T ], 2 de unde găsim că soluţia S t este cea găsită mai sus. Scriem direct Exerciţii Exerciţiu 9.8. Determinaţi diferenţiala stochastică pentru procesul X t = (t + W t ) 2 şi, astfel, găsiţi ecuaţia diferenţială stochastică pe care o satisface X t. Exerciţiu 9.9. Determinaţi diferenţiala stochastică pentru procesul X t = C e µt+σw t. Rezolvaţi ecuaţia diferenţială stochastică dx t = µx t dt + σx t dw t, t 0. Exerciţiu Rezolvaţi problema diferenţială stochastică dx t = dt + 2 X t dw t, t > 0, X(0) = 1. Exerciţiu Folosiţi formula lui Itô pentru a găsi diferenţiala stochastică a următorului proces stochastic: X t = 2 + t + e W t, t 0. 86

88 MF10 [Dr. Iulian Stoleriu] 10 Matematici financiare (C10) Modelul Black-Scholes Consideram un activ financiar care valoreaza S 0 la t = 0 şi un call european asupra acestui activ, cu preţul de exercitiu K si scadenta T. Reamintim formula Cox-Ross-Rubinstein pentru un call european, bazată pe modelul binomial. Dacă valoarea activului suport se modifică de un număr finit de ori în intervalul [0, T ], atunci valoarea derivatului financiar, este dată de relaţia: C 0 = S 0 B(a, n, ψ ) K (1 + r) T B(a, n, ψ), (10.1) unde r este rata dobânzii unitare anuale neutre la risc, u şi d sunt factorii de modificare a preţului activului suport la fiecare pas, ψ = (1 + r) T n d, ψ = ψ u (1 + r) T n u d şi n B(a, n, ψ) = Cn k ψ k (1 ψ) n k. k=a În acest capitol urmărim să determinăm preţul acestui call european în condiţiile în care tranzacţiile se pot face în orice moment, nu doar la anumite momente precizate. Vom preciza mai întâi notaţiile folosite. Notaţii S = S t este preţul activului suport la momentul t; K este preţul de exerciţiu (strike price); r este rata dobânzii unitare anuale; σ este volatilitatea pieţei (măsură a variaţiei preţului activului suport); T este scadenţa (momentul terminus al tuturor operaţiunilor financiare considerate. Evident, T > 0); C = C t este valoarea la momentul t a unui call european (t [0, T ]). f = f t este valoarea la momentul t a unui derivat financiar general, considerat a fi de tip european (t [0, T ]). Să notăm că f T este cunoscut, în sensul că acesta poate fi determinat pe baza preţurilor activului suport la scadenţă (se va presupune că S T urmează o repartiţie lognormală). W = W t este mişcarea Browniană; Caracteristici ale modelului Black-Scholes: Este un model continuu de piaţă financiară, atât în timp, cât şi în spaţiul stărilor (i.e., S t = S(t) este continuu în t şi poate lua valori într-un interval); 87

89 MF10 [Dr. Iulian Stoleriu] A fost propus de Fisher Black (matematician) şi Myron Scholes (economist) într-un articol din 1973, "The Pricing of Options and Corporate Liabilities" ([8]). Modelul a fost apoi dezvoltat şi îmbunătăţit de Robert C. Merton (economist) în 1974; Deşi articolul a fost privit cu mult scepticism în momentul trimiterii spre publicare (el fiind respins de câteva ori, până să fi fost publicat în 1973), formula Black-Scholes a devenit una dintre cele mai faimoase formule din sfera Matematicilor financiare; Scholes şi Merton în 1997 au obţinut premiul Nobel în Economie pentru modelul Black-Scholes-Merton (Black murise în 1995); Printr-o întâmplare fericită, modelul Black-Scholes apare în acelaşi timp cu apariţia CBOE (Chicago Board of Options Exchange), prima bursă de opţiuni; Formula era aşa de populară în acea vreme, încât atunci când bursa americană de active a căzut (în 1987), multă lume a dat vina pe formula Black-Scholes. Totuşi, Scholes argumentează că vina e a investitorilor, care nu erau indeajuns de pregătiţi ca să o poată înţelege; Punctul de plecare al articolului a fost teza de doctorat a lui James Boness (Chicago). Ipoteze de lucru: În articolul lor, Black şi Scholes au considerat următoarele condiţii ideale pentru piaţa financiară: (i) toate opţiunile evaluate sunt de tip call european (i.e., pot fi exercitate doar la maturitate); (ii) repartiţia posibilelor preţuri la t = T ale activului suport este una lognormală, de forma (9.12). (Aşadar, putem presupune că procesul stochastic ce reprezintă preţul S t al activului suport este o mişcare Browniană geometrică, cu driftul µ şi volatilitatea σ, i.e., unde W t este mişcarea Browniană.) ds t = µs t dt + σs t dw t, t [0, T ], (10.2) (iii) nu există dividende pe toată durata de viaţă a opţiunii (desi modelul se poate extinde la unul pentru care se platesc dividende); (iv) piaţa financiară este considerată a fi lipsită de risc şi perfectă (i.e. nu sunt costuri de tranzacţionare, se poate cumpăra orice cantitate de activ suport (spunem astfel că activele sunt perfect divizibile), nu sunt restricţii şi penalităţi pentru vânzarea short); (v) rata dobânzii fără risc, r, este fixată şi este aceeasi pentru împrumut, cât şi pentru credit. Derivarea ecuaţiei Black-Scholes Deoarece se consideră că S t verifică relaţia (10.2) iar f t = f(s t ), aplicăm lema lui Itô şi obţinem: df = ( ft t + µ S f t t S σ 2 St 2 2 ) f t f t S 2 dt + σ S t S dw t. (10.3) 88

90 MF10 [Dr. Iulian Stoleriu] Pentru intervalul de timp [t, t + dt), fixat arbitrar, considerăm următoarea strategie de tranzacţionare: o poziţie long asupra derivatului financiar şi o poziţie short asupra activului suport, prin care vindem o cantitate f t S din ( activ la finele intervalului considerat. Simbolic, vom scrie strategia de investiţie (portofoliul investit) astfel: 1, f ) t. Dacă notăm cu Π(t) valoarea la momentul t a acestui portofoliu (funcţia pay-off), atunci: S Variaţia profitului între doi timpi este Π(t) = f t f t S S t. Π(t) = f t f t S S t. În particular, pentru perioada [t, t + dt) cu dt foarte mic, profitul instantaneu este dπ(t) = df t f t S ds t. Prin înlocuirea în ultima relaţie a termenilor df şi ds daţi de relaţiile (10.3) şi, respectiv, (10.2), obţinem că variaţia valorii portofoliului în intervalul [t, t + dt) este: dπ(t) = ( ft t σ 2 S 2 t 2 ) f t S 2 dt. Prin ipoteza, ştim că rata dobânzii unitare anuale, r, este lipsită de risc şi este aceeaşi pentru împrumut şi credit, aceasta însemnând că în perioada [t, t + dt) nu există oportunităţi de arbitraj pe piaţă. Rata de variaţie a valorii portofoliului Π(t) într-o piaţă viabilă este Astfel, din ultimele două relaţii obţinem: de unde găsim ecuaţia cu derivate parţiale dπ(t) dt = r Π(t). ( r f t f ) ( t S S ft t dt = t σ 2 St 2 f t t σ 2 S 2 t 2 ) f t S 2 dt, 2 f t S 2 + r S f t t S = r f t, t [0, T ]. (10.4) Ecuaţia (10.4) este o ecuaţie deterministă, de tip parabolic. În cazul unui call european (i.e., f t = C t ), ecuaţia devine: C t t σ 2 St 2 2 C t S 2 + rs C t t S = rc t, t [0, T ]. (10.5) Aceasta este o ecuaţie parabolică retrogradă (cu condiţie finală), cunoscută în literatură sub numele de ecuaţia Black-Scholes (pentru call european). Pentru a determina complet toate constantele ce apar la integrarea unei astfel de ecuaţii, avem nevoie de condiţie iniţială (sau finală) şi de condiţii la limită. Deoarece valoarea unui call european la scadenţă este determinată de valoarea activului, vom avea următoarea condiţie finală: C(T, S T ) = (S T K ) +, la t = T. (10.6) 89

91 MF10 [Dr. Iulian Stoleriu] Condiţiile la limită sunt: C(t, 0) = 0, pentru S = 0; (10.7) C(t, S) S 1, pentru S. (10.8) Utilizând următoarele transformări de variabile şi de funcţie (C(t, S) u(τ, x)): τ = T t, ( ) St x = ln + (r σ 2 ) τ, K 2 C = u e r τ, problema de mai sus (ecuaţia Black-Scholes şi condiţia finală) devine u τ = σ 2 2 u 2 x 2 ; (ecuaţia căldurii) u(0, x) = K max(e x 1, 0). Această problemă se rezolvă folosind teoria clasică a ecuaţiilor cu derivate parţiale şi găsim soluţia: 1 u(τ, x) = σ 2πτ Dupa rearanjare, putem scrie soluţia în forma: unde Φ(d) = 1 2π d u 0 (y)e (x y)2 2 σ 2 τ dy. σ2 x+τ u(τ, x) = K e 2 Φ(d1 ) K Φ(d 2 ), e s2 2 ds, d1 = x + τ σ 2 σ τ, d 2 = x σ t. Revenind la functia şi variabilele iniţiale, obţinem celebra formulă Black-Scholes pentru un call european, la momentul t: C t = S t Φ(d 1 ) K e r(t t) Φ(d 2 ), (10.9) unde ( ) St ln + K 2 d 1 = σ T t (r + σ 2 ) (T t) Dacă, în particular, momentul iniţial este t = 0, atunci cu ( ) S0 ln + K d 1 = σ T şi d 2 = d 1 σ T t. C 0 = S 0 Φ(d 1 ) K e rt Φ(d 2 ), (10.10) (r + σ 2 2 ) T şi d 2 = d 1 σ T. (10.11) Observaţia Să considerăm acum un put european cu acelaşi preţ de exerciţiu şi cu aceeaşi maturitate. Din paritatea put-call (3.1) găsim că, pentru orice t [0, T ], r(t t) P t = C t S t + K e = S t [Φ(d 1 ) 1] + K e r(t t) [1 Φ(d 2 )] = S t Φ( d 1 ) + K e r(t t) Φ( d 2 ). (deoarece Φ( x) = 1 Φ(x).) Pentru t = 0, găsim că: cu d 1 şi d 2 din relaţiile (10.11). P 0 = S 0 Φ( d 1 ) + K e rt Φ( d 2 ), (10.12) 90

92 MF10 [Dr. Iulian Stoleriu] Observaţia (a) În cazul în care preţurile de piaţă pentru call şi put sunt altele decât cele de mai sus, atunci vor exista posibilităţi de arbitraj. Dacă ele apar, atunci acestea vor fi exploatate la maximum de către investitori, până la stabilirea echilibrului preţurilor pe piaţa financiară. (b) Unul dintre neajunsurile formulei Black-Scholes este că nu poate fi aplicată pentru un call american general. Reamintim, un call american este dreptul dar nu şi obligaţia de a cumpăra activul suport, la un preţ prestabilit, în orice moment până la scadenţă. Însă, în cazul în care activul suport nu generează dividende, atunci nu este optimal de a exercita opţiunea call americană înainte de scadenţă, din doua motive importante: pierderea asigurării şi pierderea dobânzii pentru K pe perioada rămasă până la scadenţă. Aşadar, preţul unui astfel de call american este acelaşi cu cel al unui call european, deci puteam afla preţul opţiunii call americană cu formula Black-Scholes. (c) Formula Black-Scholes este varianta continuă a formulei Cox-Ross-Rubinstein (10.1). De fapt, se poate demonstra ca putem obtine formula Black-Scholes prin trecerea la limita, n, in formula (10.1), demonstrand astfel convergenta modelului binomial la modelul Black-Scholes. Aceasta demonstratie are la baza Teorema limită centrală. O justificare numerică a acestui fapt este prezentată în Exerciţiul (d) Formula pentru C t se poate adapta şi pentru active suport pentru care se plătesc dividende. Dacă presupunem că dividendele se plătesc în mod continuu cu rata q şi că plata dividendelor în perioada de timp [t, t + dt) este qs t dt, atunci procesul stochastic S t satisface ecuaţia diferenţială stochastică d S t = (µ q)s t dt + σs t dw t, t 0. (10.13) În acest caz, se arată că preţul lipsit de arbitraj pentru un call european devine: iar pentru un put european este: unde C t = S t e q(t t) Φ(d 1d ) K e r(t t) Φ(d 2d ), t [0, T ], (10.14) P t = S t e q(t t) Φ( d 1d ) + K e r(t t) Φ( d 2d ), t [0, T ], (10.15) ( ) St ln + K d 1d = (r q + σ 2 σ T t 2 ) (T t) şi d 2d = d 1d σ T t. Se observă că formula (10.14) este, în fapt, formula (10.9) pentru un activ suport cu preţul S t e q(t t) la momentul t [0, T ]. Estimarea volatilităţii După cum vom vedea din studiul indicelui de senzitivitate ν, volatilitatea σ este cel mai critic parametru de care depinde valoarea derivatului financiar, în sensul că preţurile pentru activele derivate sunt foarte sensibile la modificări ale lui σ. Volatilitatea preţului unui activ financiar nu poate fi observată în mod direct, ci va trebui estimată. O posibilă valoare pentru volatilitate este cea estimată folosind metode statistice. Se observă variaţiile de preţ ale activului suport într-o perioadă de timp imediat anterioară, iar valoarea estimată pe baza acestor observaţii se va numi volatilitate istorică. O altă metodă de estimare a volatilităţii este următoarea: estimăm valoarea lui σ care, introdusă în formula Black-Scholes (10.9) să ne dea o valoarea teoretică pentru C egală cu valoarea lui C de pe piaţa curentă (piaţa spot). O astfel de estimare a volatilităţii se numeşte volatilitate implicită (implied volatility). 91

93 MF10 [Dr. Iulian Stoleriu] Totuşi, analiştii financiari cu experienţă nu se vor baza doar pe una dintre valorile de mai sus, ci le vor monitoriza pe ambele, astfel înainte să tragă o concluzie despre posibilele variaţii ale activului în perioada următoare. Volatilitate istorică În general, aceasta ia valori între 15% şi 60% (i.e., σ [0.15, 0.6]). Preţul activului de interes este monitorizat la intervale fixe de timp (e.g., zilnic, săptămânal, lunar etc). Să presupunem că, la momentele de timp {0, 1,..., n} am cules observaţiile {S 0, S 1,..., S n } asupra preţului activului suport (acestea fiind observate la finalul fiecărei perioade considerate). Să notăm cu τ lungimea intervalului de timp (în ani) dintre două observaţii. Considerăm valorile: ( ) Si u i = ln, i = 1, n. Din relaţia (9.13), observăm că u i satisfac S i 1 u i N ((µ σ 2 ) 2 )τ, σ τ, i = 1, n, adică u i sunt variabile aleatoare normale cu dispersia D 2 (u i ) = σ 2 τ, exactă a lui σ prin dispersia de selecţie, i.e., prin i = 1, n. Putem estima valoarea σ = 1 τ 1 n 1 n (u i u) 2, i=1 unde u = 1 n n u i este media de selecţie. Eroarea de aproximarea a volatilităţii prin σ este i=1 E = σ 2n. Volatilitate implicită Pentru a determina o estimare pentru volatilitatea σ prin metoda implicită, se foloseşte o metodă iterativă. Prezentăm următorul exemplu: Presupunem că avem un activ suport cu S 0 = 21 şi un call european asupra acestui activ suport, cu scadenţa T = 0.25, preţul de exerciţiu K = 20 şi că opţiunea considerată valorează pe piaţa curentă C 0 = Se ştie rata dobânzii de referinţă, r = 0.1. Aşadar, volatilitatea este o funcţie σ = σ(s 0, K, r, T, C 0 ). Pentru a găsi o aproximare pentru σ, încercăm mai întâi valoarea σ = 0.2. Pentru această valoare a lui σ, valoarea unui call european obţinută prin formula Black-Scholes (10.9) este C BS 0 = 1.76 < C 0 = Deoarece C este o funcţie crescătoare în raport cu σ, încercăm acum σ = 0.3. Pentru această valoare, obţinem C BS 0 = 2.10 > C 0 =

94 MF10 [Dr. Iulian Stoleriu] Aşadar, valoarea exactă pentru σ se află în intervalul (0.2, 0.3). Încercăm σ = 0.25, ş.a.m.d., până estimăm pe σ cu o eroare cât mai mică (metoda înjumătăţirii intervalului). În cele din urmă, vom obţine valoarea σ = (i.e., o volatilitate de 23.5%). Folosind arborii binomiali, se poate estima volatilitatea implicită şi pentru opţiuni americane. Volatility smiles Analiştii financiari îşi pun următoarele întrebării (teme de cercetare): Cât de apropiate sunt preţurile opţiunilor pe piaţa reală de cele determinate de formula Black-Scholes? Sunt, în realitate, preţurile activelor financiare lognormal repartizate? Aşadar, o altă întrebare apare în mod firesc: Folosesc investitorii formula Black-Scholes pentru a evalua preţurile opţiunilor? Se pare că formula Black-Scholes este folosită de investitori, însă nu chiar în forma sugerată de Black şi Scholes prin modelul introdus de ei. Investitorii permit ca σ să depindă de preţul de exerciţiu K. Graficul volatilităţii ca o funcţie de K se numeşte volatility smile (vezi Figura 10.1). În general, preţul de exerciţiu este stabilit în jurul lui S 0. Vom spune că avem: sub-paritate (in-the-money), dacă K < S 0. la paritate (at-the-money), dacă K = S 0. supra-paritate (out-of-the-money), dacă K > S 0. Din figură, se observă că opţiunile la paritate au o volatilitate mai mică decât celelalte. Modelarea acestor volatility smiles este un domeniu activ al Finanţelor cantitative. Un astfel de analist financiar (quantitative analyst sau quant) va calcula volatilitatea implicită pentru opţiunile obişnuite (vanilla) şi o va folosi în evaluarea opţiunilor exotice. Figura 10.1: Volatility smile. 93

95 MF10 [Dr. Iulian Stoleriu] Pentru un σ fixat, din formula Black-Scholes găsim valorile pentru call şi put europene la t = 0, fie ele C BS şi P BS. Va trebui ca paritatea put-call să fie satisfăcută, i.e., P BS + S 0 = C BS + K e rt. (10.16) Dacă nu există oportunităţi pe piaţa financiară, atunci valorile pentru call şi put la care acestea sunt tranzacţionate (le notăm aici prin C p şi P p ) vor trebui să satisfacă şi ele paritatea put-call, i.e., Din relaţiile (10.16) şi (10.17) deducem că: P p + S 0 = C p + K e rt. (10.17) C BS C BS = P p P p. Indici de senzitivitate (The Greeks) După cum am văzut, valoarea unui derivat financiar este o funcţie f = f(s, t, σ, r). Pentru o variaţie mică a fiecărei variabile, putem dezvolta în serie Taylor şi scrie: f = f f f f S + t + σ + S t σ r r + 2 f S 2 ( S)2 + 2 f σ 2 ( σ) Coeficienţii fiecărei variaţii ale variabilelor se definesc ca fiind indici de senzitivitate ai derivatului financiar in raport cu variabila respectiva. Indicele (Delta) Indicele t = (t, S) este derivata valorii derivatului financiar, f, în raport cu S. Aşadar, În particular, pentru un call european, definim: t = f S (0, 1). Folosind formula Black-Scholes, găsim că c t = C t S. C t = S t Φ(d 1 ) K e r(t t) Φ(d 2 ), Dar, C t S = Φ(d 1 ) + S t Φ (d 1 ) d 1 S K e r (T t) Φ (d 2 ) d 2 S [ ] = Φ(d 1 ) + S t Φ (d 1 ) K e r (T t) Φ d1 (d 2 ) S. Φ (d 2 ) = 1 2π e d2 2 2 de unde găsim că indicele la momentul t este: = Φ (d 1 ) S t K er (T t), c t = Φ(d 1 ), (10.18) 94

96 MF10 [Dr. Iulian Stoleriu] unde Φ( ) este funcţia lui Laplace. Indicele c este o funcţie de preţul activului suport. Graficul indicelui c ca funcţie de S este reprezentat în Figura Pentru un put european, indicele este: p = P t S = Φ( d 1), (10.19) În cazul în care activul suport generează dividende, cu rata q, atunci valorile (10.18) şi (10.19) devin: c = e qt Φ(d 1 ) şi p = e qt Φ( d 1 ). (10.20) Observaţia [1] Putem determina chiar şi o ecuaţie cu derivate parţiale pe care o satisface, după cum urmează. Diferenţiem ecuaţia Black-Scholes (10.5) în raport cu S şi obţinem: ( ) Ct + σ 2 ( S 2 2 ) C t t S t 2 S S 2 + r ( ) C t S t = r S S S (C t), t [0, T ], de unde, ţinând cont că c = C t S, c t σ 2 S 2 t 2 c S 2 + (r + σ 2 )S t c Condiţia finală pentru această ecuaţie parabolică în c este { c 1, dacă S T > K ; (T, S T ) = 0, dacă S T K, adică S = 0, t [0, T ], (10.21) c (T, S T ) = 1 {ST >K }. (10.22) [2] Indicele poate fi aproximat folosind o metodă Monte-Carlo folosind următoarea formula: ] c (t, S t ) = E Q [e r(t t) 1 {ST >K }. Observaţia Exemple de utilizare a indicelui : Dacă c = 0.5, spunem că avem un call la paritate; pentru c < 0.5 avem un call la sub-paritate şi pentru c > 0.5 avem un call la supra-paritate; Să presupunem că c = 0.6. Atunci, variaţia cu o unitate a preţului activului suport determină o variaţie egală cu 0.6 a opţiuni call, i.e., deţinerea unui call european este echivalentă cu deţinerea a unui procent de 60% dintr-un activ suport. Dacă acest activ suport ar fi un pachet de acţiuni (care conţine 100 de acţiuni), atunci c = 0.6 ar însemna că deţinerea unui call european este echivalentă cu deţinerea a 60 de acţiuni). Acoperire cu Delta (Delta hedging). Fie S 0 = 10, C 0 = 1, c = 0.5. Un investitor ce a vândut 12 opţiuni call se poate proteja (acoperirea riscului) prin cumpărarea a = 600 acţiuni. Funcţia Matlab pentru indicele este blsdelta şi poate fi apelată astfel: [Cdelta, Pdelta] = blsdelta(so, K, r, T, sigma, q), 95

97 MF10 [Dr. Iulian Stoleriu] unde: Cdelta şi Pdelta sunt valorile indicelui pentru call şi, respectiv, put, q este rata de plată a dividendelor şi celelalte variabile au notaţiile obişnuite. Indicele Γ (Gama) Acest indice măsoară senzitivitatea indicelui în raport cu S, i.e., Pentru un call european, avem: Γ t = S = 2 f t S 2. Γ c = 2 C t S 2. Utilizând formula Black-Scholes, găsim că indicele Γ c 0 la momentul t = 0, pentru un call european, este: Γ c 0 = Φ(d 1) S = Φ (d 1 ) d 1 S = Φ (d 1 ) S 0 σ T. (10.23) Se arată că, pentru un put european, valoarea indicelui Γ p 0 = 2 P t S 2 la momentul t = 0 este tot (10.23). Graficul indicelui Γ ca funcţie de S este reprezentat în Figura Funcţia Matlab pentru indicele Γ este blsgamma şi poate fi apelată astfel: G = blsgamma(so, K, r, T, sigma, q), unde q este rata de plată a dividendelor şi celelalte variabile au notaţiile obişnuite. Indicele Θ (Teta) Măsoara senzitivitatea derivatului financiar în raport cu t. Se defineşte astfel: Θ t = f t t. Pentru un call european (dat de formula (10.9)), acesta este: Θ c t = C t t = S 0 φ (d 1 ) σ 2 T r K e r T Φ(d 2 ), (10.24) unde φ(x) = Φ (x) = 1 2π e x2 2, x R. În general, Θ 0 pentru un call european. Pentru un put european, acesta este: Θ p t = P t t = S 0 φ(d 1 ) σ 2 T + r K e r T Φ( d 2 ). (10.25) 96

98 MF10 [Dr. Iulian Stoleriu] Funcţia Matlab pentru indicele Θ este blstheta şi poate fi apelată astfel: [Ctheta, Ptheta] = blstheta(so, K, r, T, sigma, q), unde: Ctheta şi Ptheta sunt valorile indicelui Θ pentru call şi, respectiv, put, q este rata de plată a dividendelor şi celelalte variabile au notaţiile obişnuite. Din ecuaţia Black-Scholes (10.4), obţinem următoarea relaţie între indicii, Γ si Θ: Θ c + r S c σ 2 S 2 Γ c = r C. (10.26) Indicele ν (Vega) Acest indice masoara senzitivitatea derivatului in raport cu volatilitatea σ. Pentru un call european, definim indicele ν la momentul t prin: ν c = C t σ = S t φ(d 1 ) T t = K e r(t t) φ(d 2 ) T t, unde φ(x) = Φ (x) = 1 2π e x2 2, x R. Acest indice este cel mai important dintre toţi indicii de senzitivi- Figura 10.2: Indicele ν c pentru două valori ale lui σ. tate de ordinul întâi. În Figura (10.2) am reprezentat indicele ν pentru două valori ale volatilităţii. Indicele ρ (Rho) Acest indice măsoară senzitivitatea indicelui C în raport cu rata dobânzii de referinţă r, i.e., ρ = f t r. 97

99 MF10 [Dr. Iulian Stoleriu] Pentru un call european, definim indicele ρ la momentul t: Pentru un put european, ρ c = C t r = K (T t) e r(t t) Φ(d 2 ). (10.27) ρ p = P t r = K (T t) e r(t t) Φ( d 2 ). (10.28) Acest indice este cel mai puţin folosit dintre toţi indicii de senzitivitate de ordinul întâi. Figura 10.3: Indicele ρ în funcţie de preţul activului suport. Observaţia Se pot defini indici de senzitivitate şi pentru derivate evaluate prin modelul binomial. Pentru, definim: = f u f d S u S d. Pentru indicele Γ: unde Indicele Θ poate fi definit astfel: f u = f uu f ud S uu S ud, Γ = f u f d 1 2 (S uu S dd ), Θ = f u f d. δt f d = f ud f dd S ud S dd. 98

100 MF10 [Dr. Iulian Stoleriu] Exerciţii propuse Exerciţiu Determinaţi ecuaţia cu derivate parţiale pe care o satisface indicele p t (indicele pentru un put european) folosind o metodă similară cu cea care a condus la formula (10.21). Exerciţiu Determinaţi o legătură între indicii p, Θ p şi Γ p, similară cu relaţia (10.26). Exerciţiu Aproximaţi valoarea indicelui t c la t = 0 pentru un call european folosind o metodă Monte Carlo, plecând de la formula [ ] 0 c = E Q e r(t t) 1 {ST >K }. Exerciţiu Notăm prin P(t) preţul unui activ financiar la momentul t 0. Un model standard presupune dp că variaţia relativă a acestui preţ,, evoluează după formula: P dp P = 0.2(2dW + dt), t 0, unde W este un proces Wiener. Preţul iniţial al activului este P 0 = 10. (a) Determinaţi preţul acestui activ la fiecare moment t 0. (b) Scrieţi un cod Matlab pentru a simula un posibil curs al preţului P în decurs de 2 ani (i.e., în intervalul de timp [0, 2]). (c) Care este probabilitatea ca preţul activului la momentul T = 2 să fie mai mare ca 10? (d) Folosind o metodă Monte Carlo, estimaţi valoarea unui put european cu activul de mai sus drept activ suport, cu scadenţa T = 2 şi preţul de exerciţiu K = 10 (se va lua r = 0.2). Exerciţiu Preţul S t al unui pachet de acţiuni evoluează după o mişcare Browniană geometrică cu driftul µ = 0.36 şi volatilitatea σ = 0.2. Preţul iniţial al pachetului de acţiuni este S 0 = 100. (a) Determinaţi repartiţia preţului la momentul T = 1. (b) Care este probabilitatea ca preţul pachetului la momentul T = 1 să se afle între 98 şi 103? (c) Determinaţi valoarea actuală a unui contract derivat ce conferă dreptul de a vinde la paritate pachetul de acţiuni peste exact 1 an (rata dobânzii lipsite de risc este r = 0.05) Exerciţiu Preţul actual al unui activ ce nu generează dividende este S 0 = 100. Presupunem că preţul S t al activului evoluează după o mişcare Browniană geometrică cu µ = 0.3 şi volatilitatea σ = 0.2. Rata dobânzii anuale lipsite de risc r = 0.03 p.a. (compusă continuu). (a) Determinaţi repartiţia preţurilor activului la momentul T = 1 şi calculaţi valoarea aşteptată a lui S 1. (b) Care este probabilitatea ca, după 2 ani, valoarea activului să crească cu cel puţin 50%? (c) Determinaţi valoarea unui put european ce conferă dreptul de a vinde la paritate activul S la T = 1. (d) Care este valoarea unui call american la paritate asupra activului S cu scadenţa T = 1? Exerciţiu Notăm prin S t preţul unui activ financiar la t 0. Se presupune că variaţia acestui preţ satisface formula: ds t = 0.1 S t dt S t db t, t > 0, unde B t este mişcarea Browniană. Preţul iniţial al activului este S 0 = 10. (a) Care este probabilitatea ca preţul activului la momentul T = 2 să fie mai mare de 9.5? (b) Determinaţi valoarea actuală a unui put european ce are la bază activul S t de mai sus, cu scadenţa de 2 ani, şi preţul de exerciţiu K = 10 (rata dobânzii lipsite de risc este r = 0.2). (c) Determinaţi indicele de senzitivitate care măsoară rata de variaţie a valorii contractului de la (b) în raport cu preţul activului suport. 99

101 MF11 [Dr. Iulian Stoleriu] 11 Matematici financiare (C11) Teoria alegerii raţionale Motivaţie Conceptul de utilitate a fost introdus de Daniel Bernoulli în 1738, într-o lucrare apărută la St. Petersburg. Cramer spunea: În teoria lor, matematicienii evaluează banii proporţional cu cantitatea acestora dar, în practică, oamenii cu bun simţ evaluează banii în raport cu utilitatea câştigului pe care aceştia îl aduc. D. Bernoulli a avut ideea de a introduce o funcţie de preferinţele utilizatorului de capital (sau a jucătorului de noroc) astfel încât, dintre două repartiţii ale venitului (sau câştigului) pe care le-ar putea realiza, acesta să o aleagă pe cea care conduce la cea mai mare utilitate medie (sau la cel mai mare câştig util). Utilitatea este o măsură a gradului de satisfactie. Poate fi: cardinală (dacă poate fi măsurata printr-un anumit indicator economic), sau ordinala (dacă nu poate fi măsurata printr-un indicator). De multe ori însă apar şi situaţii mixte. Von Neumann şi Morgenstern (1944) au fost primii care au considerat utilitatea ca pe o cuantificare a preferinţelor, formulând primul sistem de axiome. Se pune problema definirii unui set de axiome acceptate din punctul de vedere al intuiţiei, din care să rezulte forma pe care ar trebui să o aiba măsura utilităţii. Paradoxul de la Sankt Petersburg Este un paradox ce apare in urma determinarii preţului pe care un individ ar fi dispus sa-l plateasca pentru a participa la o anumita loterie. Problema a fost pusă în discuţie pentru prima dată de Nicolas Bernoulli in 1913, iar numele a fost atribuit de varul sau, Daniel Bernoulli in Sa presupunem ca intr-un cazino se desfasoara urmatorul joc: o moneda ideala se arunca iar, dacă apare fata cu stema (S), atunci jucatorul primeste $2, iar jocul continua. Dacă la a doua aruncare apare tot stema, atunci jucatorul primeste $4 si jocul continua mai departe, pana cand la o aruncare apare cealalta fata, caz in care jocul se opreste. La fiecare noua aparitie a fetei S, suma pe care jucatorul o avea se dubleaza. Se pune intrebarea urmatoare: Care este prima pe care jucatorul ar trebui sa o plateasca pentru a putea participa la acest joc? O sugestie ar fi ca aceasta suma sa fie tocmai valoarea medie a castigului pe care un jucator l-ar putea avea dacă ar jucat acest joc. Dacă notam cu X variabila aleatoare ce reprezinta suma castigata de jucator, atunci: ( n )... X = n... Insa, E(X) = 2 k 1 2 k =, k=1 100

102 MF11 [Dr. Iulian Stoleriu] si acesta nu poate fi considerat a fi un posibil pret. De-a lungul timpului, mai multi oameni de stiinta au cautat sa rezolve aceasta problema. Prezentam mai jos cateva dintre posibilele soluţii aduse de-a lungul timpului. (1) Poisson si Condorcet au propus o limitare a averii totale a cazinoului. Suma de care dispune un cazino este finita (sa spunem, A = 2 n ), de aceea ei au propus ca media de mai sus sa fie urmatoarea: E A (X) = min(a, 2 k ) 1 2 k. k=1 Dacă notam cu m = sup{n N; A 2 n }, atunci putem scrie: m E A (X) = min(a, 2 k ) 1 2 k + = k=1 m 2 k 1 2 k + k=1 k=m+1 k=m+1 A 1 2 k m + 2 [log 2 A] + 2. min(a, 2 k ) 1 2 k De exemplu, dacă n = 25, atunci A = $ si costul biletului ar fi $27. Pentru n = 30, am gasi un pret de intrare in joc de $32, ceea ce pare rezonabil. (2) Buffon introduce un prag de probabilitate, Π, astfel incat orice situatie de castig a carei probabilitate e mai mica decat Π sa fie considerata a fi imposibila, deci de probabilitate egala cu 0. Alegerea pragul ar crea o alta problema, si anume, jucatorul va fi la indemana cazinoului, ceea ce face ca ideea sa nu fie perfecta. Buffon a facut urmatorul experiment. A lasat un copil sa joace jocul de M = 2 11 = 2048 ori (i.e., a considerat o selectie {X k } k de volum M asupra variabilei aleatoare X) si apoi a calculat media empirica de selectie X = 1 M M X k, unde X k este profitul din jocul k. A obţinut ca X = Totusi, Feller a arătat ca 1 X 1, cand n, n deci nu valoarea propusă de Buffon nu este întotdeauna finită, deci nu convine. (3) Daniel Bernoulli si Gabriel Cramer au introdus ideea de utilitate a câştigului. Utilitatea este o funcţie care cuantifică preferinţele unui agent economic astfel încât, dintre două repartiţii posibile, să o aleagă pe cea care conduce la cea mai mare utilitate medie a câştigului. Ei au introdus o funcţie de utilitate care atribuie fiecărei valori numerice W (ce reprezintă averea pe care o are agentul) utilitatea averii respective, U(W ). Această funcţie determină gradul de satisfacţie a agentului faţă de averea sa. Astfel, dacă in cazul paradoxului de la St. Petersburg am ţine cont de utilitatea câştigului şi aceasta este o funcţie descrescătoare de câştig, am putea obţine o valoare finită pentru suma de intrare. În acest caz, valoarea aşteptată a utilităţii câştigului în cazul problemei propusă de D. Bernoulli va fi E(U(X)) = U(2 k ) 1 2 k, k=1 k=1 unde U este o funcţie aleasă aşa încât această sumă să fie finită. Astfel, E(U(X)) poate fi o posibilă valoare pentru prima de participare la joc. 101

103 MF11 [Dr. Iulian Stoleriu] Teoria alegerii raţionale în condiţii incerte Evaluarea rezultatelor diverselor acţiuni financiare pe care le intreprinde un agent economic ridică două probleme importante: (1) cum se pot măsura rezultatele acţiunilor intreprinse? (2) cum pot fi apreciate sau evaluate măsurătorile efectuate? O simplă măsurare a rezultatelor acţiunilor unui consumator de capital financiar nu e suficientă pentru aprecierea acestor rezultate. Astfel, e necesar să asociem rezultatelor nişte numere, în mod independent de mărimea lor, prin care să se poată face şi o altă apreciere a acestora decât cea dimensională. Fie Ω = {x, y, z,... } o mulţime de entităti (numite şi stări, obiective sau premii), ale căror valori trebuie măsurate. Aceste entităţi pot fi interpretate ca posibile alegeri ale unui agent economic. Considerăm o relaţie binară pe Ω, notată prin. Relaţia se numeşte relaţie completă dacă ( )x, y Ω, ori x y, ori y x. Relaţia se numeşte relaţie tranzitivă dacă ( )x, y, z Ω, x y şi y z implică x z. Vom numi o relaţie de preferinţă (sau relaţie raţională) o relaţie completă şi tranzitivă. În cele ce urmează, relaţia x y se va citi x este preferat lui y ; Dacă x y şi y x, atunci scriem x y. Vom denumi relaţia relaţia de indiferenţă (unui agent îi este indiferent dacă alege x sau y). Dacă x y şi y x, atunci scriem x y (i.e. x este strict preferat lui y ). Spunem că o relaţie de preferinţă poate fi reprezentată printr-o funcţie u dacă: x y u(x) u(y), x, y Ω. Fiecare acţiune posibilă a unui agent economic poate avea mai multe rezultate. Vom presupune că agentul economic are la îndemână estimări pentru probabilitatea de apariţie a fiecărui rezultat. Numim loterie (sau proiect riscant, sau experiment, sau alternativă) entitatea L = (p 1, x 1 ; p 2, x 2 ;... ; p n, x n ), cu x i Ω, i = 1, n şi P = (p 1, p 2,..., p n ) o repartiţie discretă. Interpretăm pe L ca fiind alegerea lui x 1 cu probabilitatea p 1, sau alegerea lui x 2 cu probabilitatea p 2, s.a.m.d., sau alegerea lui x n cu probabilitatea p n. Notăm cu L(Ω) mulţimea tuturor loteriilor pe Ω. În cazul n = 2, L = (p, x; 1 p, y), p (0, 1), x, y Ω (e.g., în cazul aruncării unei monede ideale avem loteria L = (0.5, S; 0.5, B). Loteriile pot fi simple sau compuse. Loteriile compuse pot avea ca elemente alte loterii. O loterie compusă este o medie de loterii simple. De exemplu, fie L = (p 1, x 1 ; p 2, x 2 ;... ; p n, x n ) şi L = (p 1, x 1 ; p 2, x 2 ;... ; p n, x n ). Atunci, loteria compusă L = (α, L; 1 α, L ), cu α (0, 1), poate fi scrisă ca o loterie simplă: L = (αp 1 + (1 α)p 1, x 1; αp 2 + (1 α)p 2, x 2;... ; αp n + (1 α)p n, x n ) = αl + (1 α)l. Este necesară o teorie care să ţină cont de preferinţele unui agent economic pentru obiectivele sale şi să poată decide ce loterie (proiect riscant) să aleagă. Astfel, a apărut Teoria valorii aşteptate a utiliţii (en., Expected Utility Theory) 102

104 MF11 [Dr. Iulian Stoleriu] Funcţie de utilitate O funcţie U : L(Ω) R se numeşte funcţie de utilitate în sens von Neumann & Morgenstern asociată relaţiei (prescurtat, vom spune funcţie de utilitate în sensul vnm) dacă satisface condiţiile: L 1 L 2 U(L 1 ) U(L 2 ), L 1, L 2 L(Ω). (11.1) U(pL 1 + (1 p)l 2 ) = p U(L 1 ) + (1 p)u(l 2 ), L 1, L 2 L(Ω), p (0, 1). (11.2) Propozitie: O funcţie de utilitate U : L(Ω) R este funcţie de utilitate în sensul vnm dacă şi numai dacă pentru orice loterie L = (p 1, x 1 ; p 2, x 2 ;... ; p n, x n ), putem scrie: U(L) = n p i u i. i=1 Valorile u i = u(x i ) = U(L i ) se numesc utilităţi marginale sau utilităţi Bernoulli, unde L i sunt definite prin: L i = (0, x 1 ; 0, x 2 ;..., 0, x i 1 ; }{{} 1, x i ; 0, x i+1 ;... ; 0, x n ). i Pentru L = (p 1, x 1 ; p 2, x 2 ;... ; p n, x n ) şi L = (q 1, x 1 ; q 2, x 2 ;... ; q n, x n ) din L(Ω), din condiţia de reprezentare obţinem că L L U(L) = n p i u(x i ) U(L ) = i=1 n q i u(x i ) E(U(L)) E(U(L )). i=1 Din ultima relatie se observa ca un investitor raţional în sensul vnm va acţiona ca şi când ar maximiza valoarea aşteptată a unei funcţii de utilitate. De fapt, acesta va alege proiectul pe care îl preferă mai mult, însă din relaţia (11.1), această acţiune este echivalentă cu a maximiza o anumită funcţie de utilitate. Exemplu: Unui investitor raţional vnm i se propune proiectul L = (2/3, 4400; 1/3, 5100). Ştiind că preferinţele acestuia sunt reprezentate de funcţia de utilitate U(w) = w, să se determine dacă investitorul acceptă proiectul. (Presupunem că averea actuală a investitorului este de w 0 = 10000). Decizia se ia prin aplicarea principiului maximizării valorii aşteptate a utilităţii. Investitorul va accepta proiectul riscant dacă valoarea aşteptată a averii după acceptarea acestuia este mai mare decât utilitatea aşteptată a averii iniţiale. Matematic, scriem astfel: E[U(w 0 + L)] = > E[U(w 0 )] = 100. Funcţiile de utilitate considerate de D. Bernoulli şi Cramer în cazul paradoxului de la St. Petersburg sunt: u(x) = ln(x) şi u(x) = x. Axiomatica von Neumann & Morgenstern Axioma 1: Relaţia este raţională (completă şi tranzitivă); Axioma 2: (axioma de continuitate) Dacă L 1 L 2 L 3, atunci există p (0, 1) astfel încât L 2 p L 1 + (1 p) L 3. Axioma 3: (axioma de independenţă) Pentru oricare L 1, L 2 L(Ω), L 1 L 2 p L 1 + (1 p) L 3 p L 2 + (1 p) L 3, p (0, 1), L 3 L(Ω). 103

105 MF11 [Dr. Iulian Stoleriu] Consecinţe: C1: Fie L 1, L 2, L 3 L(Ω), date. Dacă L 1 L 2, atunci axioma de independenţă implică (luăm L 3 = L 2 ): p L 1 + (1 p) L 2 p L 2 + (1 p) L 2, ( ) p [0, 1] L 2 L 1. (curbele de indiferenţă sunt segmente) C2: Dacă L 1 L 2, atunci p L 1 + (1 p) L 3 p L 2 + (1 p) L 3, p (0, 1), L 3 L(Ω), de unde deducem că toate curbele de indiferenţă sunt paralele. Teorema fundamentală Teoremă: Dacă o relaţie de preferinţă satisface axiomele 1-3 de mai sus, atunci există o funcţie de utilitate vnm asociată acesteia. Etape în demonstraţie: Considerăm L ca fiind cea mai bună loterie posibilă din L(Ω) (dă cel mai bun rezultat) şi L ca fiind cea mai proastă loterie posibilă (cu cel mai prost rezultat). Evident, L L. Pentru orice L L(Ω), avem că L L L. Din axiomele 2 şi 3, există un unic α L [0, 1], astfel încât L α L L + (1 α L )L. Fie U : L(Ω) R astfel încât U(L) = α L. Se arată că U este o funcţie de utilitate vnm (i.e., este o reprezentare pentru şi este afină). Teoremă (de unicitate până la o funcţie afină): Să presupunem că U : L(Ω) R este o funcţie de utilitate vnm pentru relaţia. Atunci V : L(Ω) R este tot o funcţie de utilitate vnm pentru relaţia dacă şi numai dacă există a, b R (b > 0) astfel încât V (L) = a + b U(L), ( )L L(Ω). Implicaţia = este imediată. = : Considerăm L şi L ca mai sus şi presupunem că L L. Pentru orice L L(Ω), avem că L L L. Din axioma de continuitate, de unde Găsim că ( )α L [0, 1], astfel încât L α L L + (1 α L )L, U(L) = α L U(L) + (1 α L )U(L). α L = Dacă V este o funcţie de utilitate vnm, atunci: U(L) U(L) U(L) U(L). V (L) = V (α L L + (1 α L )L) = α L V (L) + (1 α L )V (L). 104

106 MF11 [Dr. Iulian Stoleriu] Definim: b = V (L) V (L) U(L) U(L) şi a = V (L) b U(L), Alte proprietăţi (continuitate arhimedeană) Dacă L 1 L 2 L 3, atunci ( ) p, q (0, 1) astfel încât: p L 1 + (1 p) L 3 L 2 q L 1 + (1 q) L 3. (11.3) (i.e. nu există o combinaţie infinit mai bună sau infinit mai proastă) (compunerea loteriilor) Pentru orice L 1, L 2, L 3 L(Ω) şi p, q [0, 1], avem p L 1 + (1 p) (q L 2 + (1 q) L 3 ) p L 1 + (1 p)q L 2 + (1 p)(1 q) L 3. (11.4) Loterii monetare Dacă X este mulţime finită, atunci funcţia de utilitate vnm este U(L) = n u(x i ) p i i=1 ( E L [u(x)]). Considerăm că X R. Atunci, loteriile sunt descrise de densităţi de repartiţie. În cazul continuu, mulţimea valorilor unei loterii poate fi un interval. Dacă F : R [0, 1] este funcţia de repartiţie ce descrie loteria, atunci funcţia de utilitate vnm este U(F) = u(x) df(x) ( E F [u(x)]). Valoarea reală c u se numeşte echivalentul sigur al unei loterii L dacă: R u(c u ) = U(L) = n u(x i ) p i i=1 (în cazul discret), 105

107 MF11 [Dr. Iulian Stoleriu] sau u(c u ) = E F [u(x)] = R u(x) df(x) Aplicaţii (în cazul continuu). Asigurare de maşină simplificată: Un investitor (u(x) = x) are averea iniţială w 0 = şi o maşină în valoare de O firmă de asigurări determină că, cu probabilitatea p = 0.1, maşina i se poate fura. Averea investitorului în condiţiile date (d.p.d.v. al firmei): w = (0.9, 12100; 0.1, 10000). Valoarea aşteptată a averii: E(w) = Valoarea aşteptată a utilităţii averii: E[u(w)] = 109. Pp. că investitorul doreşte să cumpere asigurare pentru maşină. În schimbul unei prime, firma de asigurare îi răscumpără maşina dacă aceasta este furată. Cât de mult este dispus individul să plătească pentru poliţa de asigurare? Notăm valoarea poliţei cu p a. Avem: E[u(w asig )] 109 = E[u(w)], de unde p a 219. Va profita firma de asigurări de pe urma unui contract cu p a = 219? Profitul aşteptat al firmei este E(Π) = ( ) = 9 > 0. DA! Risk sharing Doi investitori, A 1 şi A 2, au fiecare funcţia de utilitate u(w) = w. Amândoi investesc separat în active riscante L = (0.5, 100; 0.5, 0), independent unul de celălalt. Valoarea câştigului aşteptat de fiecare va fi E[U(L)] = 5. Dacă aceştia creează un fond mutual, punând în comun activele, atunci fiecare cotă parte fiind L m = (0.25, 100; 0.5, 50; 0.25, 0), de unde E[U(L m )] = > 5 (!!!). Probleme propuse Exerciţiu Demonstraţi proprietatea de continuitate arhimediană a funcţiei de utilitate (relaţia (11.3)). Exerciţiu Demonstraţi proprietatea de compunere a loteriilor (relaţia (11.4)). Exerciţiu a) Presupunem că funcţia de utilitate a Mariei este U(s) = 10 s, unde s reprezintă salariul ei anual (exprimat în mii de RON). Presupunem că salariul curent al Mariei este RON, (i.e., s = 42), salariu care rămâne acelaşi şi anul viitor, dacă Maria îşi păstrează locul de muncă. O firmă concurentă 106

108 MF11 [Dr. Iulian Stoleriu] îi propune Mariei un serviciu nou unde, în funcţie de performanţe, poate câştiga RON pe an cu probabilitatea 0.6 sau RON pe an, cu probabilitatea 0.4. (a) Dacă Maria este o persoană raţională în sensul teoriei von Neumann&Morgenstern, va accepta oferta? (b) Care este atitudinea Mariei faţă de risc? Calculaţi echivalentul cert al ofertei de salariu primită de la firma concurentă? (c) Să presupunem că Maria acceptă oferta firmei concurente, însă va dori să cumpere asigurare pentru a se proteja împotriva unei posibile scăderi a salariului asociat cu noul serviciu sub cel actual. În cazul în care salariul anual al acesteia la noua firmă va scădea sub salariul actual, o firmă de asigurări se angajează să îi plătească diferenţa de salariu până la salariul curent, în schimbul unei prime anuale. Cât de mult este dispusă să plătească pentru asigurare? Exerciţiu Averea actuală a Anei este de RON. Ion îi propune un pariu în urma căruia Ana poate câştiga 4400 RON cu probabilitatea 2/3, sau poate pierde 5100 RON cu probabilitatea 1/3. (a) Ştiind că Ana este o persoană raţională în sens von Neumann & Morgenstern şi că funcţia ei de utilitate este U(W ) = W, să se determine dacă ea acceptă pariul. (b) Cum este atitudinea Anei faţă de risc? Exerciţiu Ion este fermier şi cultivă cartofi pentru a le comercializa. El estimează că va câştiga RON din vânzarea cartofilor, dacă vremea va fi propice culturii. În cazul unei secete, cultura îşi va pierde 36% din valoare, iar în caz de inundaţie va câştiga doar 900 RON pentru toată cultura. S-a estimat că există 20% şanse pentru secetă şi 10% şanse de inundaţie în acel an. Ion este o persoană raţională în sens von Neumann-Morgenstern, preferinţele lui fiind reprezentate de funcţia de utilitate U(x) = x. (a) Care este valoarea aşteptată a profitului obţinut de pe urma culturii de cartofi? (b) Care este valoarea aşteptată a utilităţii profitului obţinut de pe urma culturii de cartofi? (c) Lui Ion i se oferă o poliţă de asigurare care îi va plăti 90% din valoarea pagubelor în caz de secetă sau inundaţie. Ştiind că Ion nu deţine alte active financiare, care este preţul maxim (prima) pe care l-ar plăti pentru poliţa de asigurare? (scrieţi doar inecuaţia pentru primă, fără a o rezolva) Exerciţiu Un tip deţine un bilet de loterie care, cu probabilităţi egale, îi poate aduce un câştig de RON sau poate fi necâştigător. Preferinţele sale sunt reprezentate de funcţia de utilitate U(w) = ln w. În absenţa biletului de loterie, averea sa este W 0. Un prieten se oferă să îi cumpere biletul, oferindu-i în schimb suma de 5000 RON. Dacă deţinătorul biletului este raţional în sensul teoriei von Neumann şi Morgenstern (vnm), care este valoarea minimă pentru W 0 pentru care ar respinge oferta prietenului? (b) Care este echivalentul cert al biletului de loterie? (c) Să ne îndreptăm acum atenţia asupra prietenului. Acesta este şi el raţional vnm şi are aceeaşi funcţie de utilitate, U(w) = ln w. Care este valoarea minimă a averii sale iniţiale pentru care ar accepta să cumpere biletul de loterie pentru 5000 RON? Exerciţiu Averea actuală a Mariei este de 4. Presupunem că, în plus, ea deţine un bilet de loterie prin care, cu probabilităţi egale, poate câştiga câştiga 12 sau nimic. Maria este o persoană raţională în sensul teoriei von Neumann & Morgenstern, iar preferinţele sale sunt reprezentate de funcţia de utilitate este U(W ) = W. (a) Să se determine care este preţul minim pentru care ar accepta să vândă biletul de loterie. (b) Să presupunem că Maria nu deţine niciun bilet de loterie. Care ar fi preţul maxim pe care l-ar plăti pentru a-l obţine pe cel de mai sus? (c) Care este echivalentul sigur al biletului de loterie? 107

109 MF12 [Dr. Iulian Stoleriu] 12 Matematici financiare (C12) Teoria alegerii raţionale în condiţii incerte (continuare) Atitudine faţă de risc Riscul este o nesiguranţă relativă la posibilele stări/investiţii viitoare (e.g., bolnav sau sănătos, sărac sau bogat, război sau pace, soare sau ploaie etc). Ce aţi alege între un câştig sigur de 1000 RON şi o loterie de pe urma căreia puteţi câştiga 2500 RON cu p = 1/2 sau nimic? Dacă alegeţi câştigul sigur (i.e., 1000 RON), atunci aveţi aversiune faţă de risc (riscofobie). În practică, un investitor raţional vnm cu averea iniţială W 0 va investi într-un proiectul riscant L doar dacă valoarea aşteptată a utilităţii averii sale după acceptarea proiectului este mai mare decât ceea ce a avut înainte de proiect. Dacă notăm prin W f = W 0 + L, atunci va accepta proiectul riscant doar dacă W f W 0 E(U(W f )) > U(W 0 ). Să presupunem că un investitor A are preferinţele reprezentate de funcţia de utilitate U A. Se pun următoarele întrebări: Cum determinăm dacă A agrează riscul sau nu? Cum determinăm dacă A are o toleranţă mai mare pentru risc decât un alt investitor B, care are U B? În teoria jocurilor, o loterie L = (p, x; 1 p, y) se numeşte loterie cinstită (sau joc cinstit) dacă E(L) = 0. D.p.d.v. al atitudinii faţă de risc, un investitor poate fi riscofob, riscofil sau indiferent (neutru) Un investitor este riscofob (en., risk-averse) dacă preferă câştigul dat de valoarea aşteptată a loteriei în detrimentul loteriei. În cazul discret (i.e., o loterie ce are doar o multţime cel mult numărabilă de rezultate), scriem E(L) L U(E(L)) E(U(L)), i.e. U(p x + (1 p) y) p U(x) + (1 p) U(y), ( ) p (0, 1), ( ) x, y Ω; Dacă c L este echivalentul cert al loteriei L, i.e., U(c L ) = E(U(L)), atunci relaţia de mai sus este echivalentă cu U(E(L)) U(c L ). Dacă U este o funcţie crescătoare, atunci E(L) c L. Aceasta înseamnă c, pentru un riscofob, echivalentul cert al proiectului riscant este mai mic decât utilitatea câştigului sigur. Un investitor este riscofil (en., risk-loving) dacă preferă loteria în detrimentul câştigului dat de valoarea aşteptată a loteriei. În cazul discret, scriem L E(L) E(U(L)) U(E(L)), i.e. p U(x) + (1 p) U(y) U(p x + (1 p) y), ( ) p (0, 1), ( ) x, y Ω; 108

110 MF12 [Dr. Iulian Stoleriu] Un investitor este indiferent (neutru) (în ce priveşte riscul) (en., risk-neutral) dacă E(L) L U(E(L)) = E(U(L)), i.e. p U(x) + (1 p) U(y) = U(p x + (1 p) y), ( ) p (0, 1), ( ) x, y Ω; În cazul continuu (i.e., o loterie pentru care multţimea tuturor rezultatelor posibile este infinita <un interval sau chiar R>), un investitor este riscofob dacă ( ) pentru orice funcţie de repartiţie F, u(x) df(x) u x df(x). În general, putem avea unul dintre următoarele trei cazuri: - riscofob (aversiune faţă de risc), u este concavă, i.e., E(u(W )) u(e(w )) investitor: - riscofil (plăcere pentru risc), u este convexă, i.e., E(u(W )) u(e(w )) - indiferent (neutru la risc), u este afină, i.e., E(u(W )) = u(e(w )). R R Un investitor A având preferinţele reprezentate de funcţia de utilitate u este mai riscofob decât inverstitorul B, ce are funcţia de utilitate v, dacă avem următoarea relaţie între echivalentele certe: c u (F) c v (F), pentru orice funcţie de repartiţie F. Ecivalentul cert pentru investitorul A este mai mic decât echivalentul cert al investitorului B, ceea ce inseamnă că A este dispus să rişte mai puţin decât B. Un individ ce are preferinţele reprezentate de funcţia de utilitate u(x) = x este riscofob, el preferând un câştig sigur de 36 RON în detrimentul unei loterii (0.5, 100; 0.5, 0). Această decizie poate fi determinată şi de faptul că echivalentul cert al proiectului riscant este mai mic decât utilitatea câştigului sigur, i.e., c u = = 5 < 6 = u(36). Pentru o funcţie de utilitate U C 2, strict concavă şi strict crescătoare, se pot defini indicii de aversiune faţă de risc (indicii Arrow-Pratt), şi anume, ARA = indice absolut de risc (en, absolute risk aversion) şi RRA = indice relativ de risc (en, relative risk aversion), definiţi prin: ARA(U, w) = U (w) U (w) > 0 şi RRA(U, w) = w U (w) U (w) > 0. premiu de risc = suma ce ar plăti-o un investitor care doreşte să evite o situaţie riscantă (EL c u ). În cazul asigurărilor de locuinţă, premiul de risc este chiar valoarea unui contract de asigurare. Exemple de funcţii de utilitate: u(x) = ln(x), u(x) = x (ca în problema paradoxului de la St. Petersburg) CRRA (constant relative risk aversion) u(x) = x1 r 1 r, r > 0. CARA (constant absolute risk aversion) u(x) = β e Ax, A >

111 MF12 [Dr. Iulian Stoleriu] HARA (hyperbolic absolute risk aversion) u(x) = r (a + br ) 1 r x. Unui investitor cu indicele ARA constant îi pasă de pierderile absolute. Un investitor cu indicele RRA constant va plăti o parte fixă din averea sa pentru a evita riscul pierderii unei proporţii din avere. Aplicaţie în asigurări: Considerăm o poliţă de asigurare în caz de accident pentru care fiecare leu asigurat costă q lei. Un individ riscofob (strict), cu averea iniţială w 0, doreşte să se asigure. Firma de asigurări stabileşte că acesta va suferi un accident cu probabilitatea p, iar accidentul îl va costa suma D. Problema care se pune este: Pentru ce valoare se va asigura individul? Fie a suma pentru care doreşte să se asigure. Atunci, profitul asiguratorului va fi: Π = (p, (q 1)a; 1 p, qa). Poliţa de asigurare este cinstită dacă E(Π) = 0 = q = p. Averea individului ce doreşte să se asigure va fi: cu accident (p) fără accident (1 p) fără asigurare W 0 D W 0 cu asigurare W 0 D + a q a W 0 q a Problema de maximizare pentru asigurat este: Cazul I: poliţă de asigurare corectă max {p u(w 0 D + (1 q) a) + (1 p) u(w 0 q a)}. 0 a D Pentru q = p, avem de rezolvat problema de optim: max {p u(w 0 D + (1 p) a) + (1 p) u(w 0 p a)}. 0 a D Condiţiile pentru o soluţie a de maxim în intervalul (0, D) sunt: u (W 0 D + (1 q) a ) u (W 0 p a ) = 0. (1 p) u (W 0 D + (1 p) a ) + p u (W 0 p a ) < 0. fără soluţie! Pentru fiecare dintre capetele intervalului, prima condiţie de extrem este: u (W 0 D) u (W 0 ) 0, pentru a = 0. fără soluţie! u (W 0 p D) u (W 0 p D) 0, pentru a = D. 110

112 MF12 [Dr. Iulian Stoleriu] Găsim că a = D (asigurare completă). Cazul II: poliţă de asigurare părtinitoare Poliţă incorectă: q > p. Prima condiţie pentru o soluţie a de maxim în [0, D] este, în fiecare caz, p (1 q) u (W 0 D + (1 q) a ) (1 p) q u (W 0 q a ) = 0, pentru 0 < a < D. p (1 q) u (W 0 D) (1 p) q u (W 0 ) 0, pentru a = 0.!!! p (1 q) u (W 0 q D) (1 p) q u (W 0 q D) 0, pentru a = D.!!! Din prima relaţie găsim că u (W 0 D + (1 q) a ) u (W 0 q a ) = (1 p) q (1 q) p > 1, de unde u (W 0 D + (1 q) a ) > u (W 0 q a ), adică W 0 D + (1 q) a a < D. (asigurare parţială). < W 0 q a, deci Concluzie: Dacă poliţa de asigurare ar fi cinstită (i.e., q = p), atunci asiguratul va cere asigurare completă, pentru întreaga sumă ce o poarte pierde. Dacă q > p, atunci el se va asigura doar parţial, pentru o sumă sub valoarea pierderii ce o poate avea. O problemă de optimizare a portofoliului Un investitor neutru la risc, cu averea iniţială w 0, are oportunitatea de a investi în două active financiare: unul sigur (bond cu r) şi unul riscant (share, cu rata profitului z F(x), E F (z) > r). Investiţia este a z + (w 0 a) r. principiul maximizării utilităţii aşteptate: max a E F [u(a z + (w 0 a) r)] = max a R u(a z + (w 0 a) r) df(x). Prima condiţie de optim: R (z r) u (a z + (w 0 a ) r) df(x) = 0. Un investitor neutru la risc are u(x) = α x + b. Condiţia de optim interior devine α (z r) df(x) = 0, R adică fără soluţie. Rămâne doar a = w 0 (un investitor neutru la risc va investi doar în shares). 111

113 MF12 [Dr. Iulian Stoleriu] Critici aduse teoriei utilităţii aşteptate Paradoxul lui Alais: Se consideră un joc ce are rezultatul final unul dintre: {4000, 3000, 0}. Considerăm următoarele două scenarii: A L A = (0.8, 4000; 0, 3000; 0.2, 0) şi L A = (0, 4000; 1, 3000; 0, 0); B L B = (0.2, 4000; 0, 3000; 0.8, 0) şi L B = (0, 4000; 0.25, 3000; 0.75, 0) Ce variantă alegeţi din fiecare scenariu? Pp. u(0) = 0. Majoritatea persoanelor vor alege L A şi L B. Din L A L A şi L B L B, rezultă că u(3000) > 0.8 u(4000) şi 0.8 u(4000) > u(3000).!!! În cazul mai general, avem de ales câte o variantă dintre următoarele două: L A = p L + (1 p) A şi L A = p c x + (1 p) A sau L B = p L + (1 p) B şi L B = p c x + (1 p) B unde L, A, B sunt loterii iar c x este alegerea cu siguranţă a valorii x. Loteria P este astfel încât are rezultate posibile atât mai mici, cât şi mai mari ca x. Din axioma de independenţă, găsim că L A L A c x L L B L B. Însă, în cazul în care loteria A domină loteria B (i.e., loteria A dă rezultate mai bune decât repartiţia B), cele mai multe persoane ar fi tentate să aleagă L A şi L B. Aceasta înseamnă că preferinţele celor mai mulţi ar fi: L A L A şi L B L B. Discuţii, critici Alegerea probabilităţilor este subiectivă. Este dificil de găsit o măsură cantitativă a gradul de satisfacţie al unui investitor pentru un anumit obiectiv. Este imposibil de determinat utilitatea ordinală (e.g., ce factori a determinat o persoană să cumpere un anumit produs) Teoria utilităţii aşteptate (EU) generează diverse paradoxuri (observaţii empirice inconsistente cu teoria) Teorii non-eu au fost introduse şi utilizate ca alternative (e.g., Teoria EU generalizată, Teoria regretului) 112

114 MF13 [Dr. Iulian Stoleriu] 13 Matematici financiare (C13) Optimizarea portofoliilor Un investitor ce deţine o avere W 0 doreşte să o investească într-un portofoliu de active financiare, {a 1, a 2,..., a n }, astfel incât să obţină o satisfacţie maximă. Să presupunem că aceste n active au rentabilităţile R 1, R 2,..., R n. Prin rentabilitate înţelegem nivelul câştigului asigurat de către o investiţie. Cel mai răspandit mod de exprimare a rentabilităţii unui activ este exprimarea procentuală. Pentru rentabilitatea unui activ a i se foloseşte, în general, formula de calcul: R i = suma finală - suma iniţială investită suma iniţială investită 100. Spre exemplu, rentabilitatea unui depozit bancar va fi determinată de nivelul dobânzii acordate de bancă. Dacă într-un cont bancar depunem suma S 0, atunci în cazul în care în intervalul de timp [0, 1] dobânda se calculează în mod simplu cu rata unitară anuală r, la t = 1 vom avea în cont suma S T = S 0 (1 + r). Rentabilitatea acestei investiţii va fi adică tocmai procentul dobânzii obţinute. R = S T S 0 S = 100 r, Să notăm prin θ i şi w i = θ i W 0 (i = 1, n) cantitatea din averea W 0 investită în activul a i şi, respectiv, ponderea activului a i în portofoliul considerat. Prin rentabilitatea unui portofoliu de active vom înţelege o medie ponderată a rentabilităţilor activelor componente, ponderile fiind tocmai w i, adică procentele din suma alocată portofoliului investite pentru fiecare activ în parte. Matematic, scriem astfel: n R p = w i R i, i=1 unde prin R p am notat rentabilitatea portofoliului. Dacă notăm prin R i = E(R i ), rentabilitatea aşteptată ale activului a i, atunci rentabilitatea aşteptată a portofoliului este: Varianţa (riscul) portofoliului este: R p not = E(R p ) = n w i R i = w T R. (13.1) i=1 n σ 2 (R p ) = D 2 ( w i R i ) = i=1 n n w i w j σ ij = w T Σ w, (13.2) i=1 j=1 unde Σ este matricea de covarianţă, Σ = (σ ij ) i, j=1, n. 113

115 MF13 [Dr. Iulian Stoleriu] În cazul particular n = 2, avem R p = w 1 R 1 + w 2 R 2, unde R p = w 1 R 1 + w 2 R 2, σ 2 (R p ) = D 2 (w 1 R 1 + w 2 R 2 ) = w 2 1 σ w2 2 σ w 1w 2 σ 12, σ 12 = σ 21 = E [ (R 1 R 1 )(R 2 R 2 ) ]. Pentru σ 12 > 0, cele două portofolii tind să se modifice în aceeaşi direcţie. Pentru σ 12 < 0, o scădere a randamentului unui activ este corelată cu o creştere a randamentului celuilalt activ. Se poate defini coeficientul de corelaţie între cele două active, ρ = σ 12 σ 1 σ 2 [ 1, 1]. O tentativă naivă de optimizare a portofoliului ar fi considerarea următoarei probleme: [ n ] max E w i R i w i=1 astfel încât n w i = 1. i=1 (13.3) Aceasta se traduce prin găsiţi acele ponderi w i pentru care se realizează maximum valorii aşteptate a randamentului portofoliului. Acesta este criteriul valorii aşteptate a rentabilităţii. Potrivit acestui criteriu, portofoliul optim ar fi cel ce ne conferă o valoare aşteptată maximă pentru rentabilitatea portofoliului. Însă, după cum am văzut în cursurile anterioare (vezi Paradoxul de la St. Petersburg), speranţa matematică nu poate fi un criteriu potrivit pentru evaluare/optimizare. Spre exemplificare, să considerăm cazul a două active, unul lipsit de risc si celălat riscant. Presupunem că rata dobânzii unitare pentru activul lipsit de risc este r, iar pentru activul riscant suma iniţială S 0 investită la t = 0 poate deveni la momentul t = 1: S 1 = u S 0 (cu probabilitatea p) sau S 1 = d S 0 (cu probabilitatea 1 p). Investim averea iniţială W 0 astfel: θ 1 B 0 + θ 2 S 0 = W 0, (13.4) echivalent cu La momentul t = 1, averea poate deveni θ 1 B 0 W 0 + θ 2 S 0 W 0 = 1. (13.5) sau W u = θ 1 B 0 (1 + r) + θ 2 us 0 (cu probabilitatea p) W d = θ 1 B 0 (1 + r) + θ 2 ds 0 (cu probabilitatea 1 p). Dacă îl scoatem pe θ 1 B 0 din relaţia (13.4) şi notăm R = 1 + r, atunci problema de optim (13.3) aplicată pentru aceste două active devine: max θ {pw u + (1 p)w d }, echivalentă cu max θ 2 {p[(w 0 θ 2 S 0 )R + θ 2 us 0 ] + (1 p)[(w 0 θ 2 S 0 )R + θ 2 ds 0 ]}, 114

116 MF13 [Dr. Iulian Stoleriu] echivalentă cu max θ 2 {p[θ 2 S 0 (u R) + RW 0 ] + (1 p)[θ 2 S 0 (d R) + RW 0 ]}. Valorile de extrem se află printre punctele critice ale funcţiei f(θ 2 ) = p[θ 2 S 0 (u R)+RW 0 ]+(1 p)[θ 2 S 0 (d R) + RW 0 ], i.e., trebuie să fie soluţii ale ecuaţiei ps 0 (u R) + (1 p)s 0 (d R) = 0. Însă, această ultimă relaţie nu îl conţine pe θ 2, deci nu putem rezolva problema de optim fără alte restricţii suplimentare. Aşadar, criteriul valorii aşteptate a rentabilităţii nu poate fi aplicat. Observaţia Prezentăm în continuare un caz potrivit aplicabilităţii principiului speranţei rentabilităţii. Considerăm cazul unei asigurări CASCO pentru o maşină. Să presupunem că valoarea unei maşini este W 0 = 8000 RON şi că posesorul acestei maşini doreşte să se asigure pentru accident. O firmă de asigurare determină că, cu o probabilitate medie p = 0.4, maşina va suferi un accident şi că valoarea medie a avariei este 2500 RON. Presupunem că în celelalte cazuri (corespunzătoare probabilităţii 1 p) maşina se păstrează la valoarea iniţială. Loteria asociată maşinii este: L = (0.4, 2500; 0.6, 0). Valoarea aşteptată a loteriei este E(L) = 0.4 ( 2500) = 1000 RON, riscul loteriei (reprezentat prin valoarea dispersiei) este σ 2 (L) = 0.4 ( 2500 ( 1000)) 2 = RON, de unde σ(l) RON. Pentru a îşi asigura maşina, deţinătorul acesteia va trebui să scoată din buzunar 1000 RON pe an, adică 12.5% din valoarea maşinii. În condiţiile în care a firma de asigurări ar avea un singur asigurat, atunci în decurs de 8 ani cu asigurare CASCO, acesta va trebui să pătească firmei de asigurări valoarea totală a maşinii. Din fericire, acesta nu este un caz realist. În realitate, firma de asigurări are foarte mulţi clienţi ce se asigură, făcând ca riscul de accident să fie împărţit la toţi aceştia. Spre exemplu, să presupunem că un număr de N = 1000 de asiguraţi deţin fiecare maşini de acelaşi tip ca cel din povestea de mai sus şi că loteriile aferente acestora sunt toate egale cu L. Mai mult, presupunem că riscurile de avarii între oricare asiguraţi sunt independente. Astfel, pentru un portofoliu format din mai multe asigurări identice şi independente, valoarea medie a loteriei, L este L = 1 N N E(L) = E(L) = 1000 RON, i=1 iar riscul asociat portofoliului de asigurări este de unde σ 2 (L) = 1 N σ 2 (L) = 900 RON, σ(l) = 30 RON. Pentru un risc aşa mic, ar fi de aşteptat ca valoarea contribuţiei (primei de asigurare) plătibile de fiecare asigurat să scadă considerabil. Acesta este un caz clasic de contribuţie a celor mulţi la ghinionul câtorva (Lloyd s). 115

117 MF13 [Dr. Iulian Stoleriu] În cazul prezentat mai sus, speranţa matematică poate reprezenta un criteriu de evaluare a funcţiei payoff (câştig/pierdere). Se pare că acest criteriu este valid doar pentru portofolii largi de riscuri identice şi independente. Aplicarea acestui criteriu, ar duce la concluzia eronată că investiţia în acţiuni mai rentabile (dar şi mai riscante!) ar fi mai profitabilă decât investiţia în active lipsite de risc, dar mai puţin rentabile (cu o funcţie pay-off inferioară). Astfel de acţiuni pot duce la dezastre financiare (vezi fenomene de tip CARITAS) pentru investitori. Laureatul premiului Nobel pentru Economie, Harry Markowitz, aduce în [13] argumente similare celor de mai sus în susţinerea ideii că valoarea unui portofoliu nu poate fi dată de speranţa matematică a rentabilităţilor. Soluţia prezentată de Markowitz este un criteriu de tip risc-rentabilitate, potrivit căruia un investitor raţional va urmări maximizarea rentabilităţii aşteptate pe unitatea de risc asumată, echivalent cu minimizarea riscului pe unitatea de rentabilitate sperată. Dacă am fixa valoarea aşteptată a rentabilităţii portofoliului, atunci portofoliul optim va fi cel ce are riscul minim. Cu alte cuvinte, minimizăm dispersia portofoliului când valoarea aşteptată a acestuia este fixată. Acest criteriu este un caz particular al criteriului valorii aşteptate a utilităţii. Conform criteriului valorii aşteptate a utilităţii, problema de optim (13.3) ar trebui înlocuită cu problema [ n ] max E w i U(R i ) w i=1 astfel încât n w i = 1, i=1 (13.6) unde U este funcţia de utilitate ce reprezintă preferinţele investitorului. Dificultatea vine din faptul că, în general, specificarea unei funcţii de utilitate este dificilă. Modelul lui Markowitz (sau mean-variance portfolio optimization) Presupuneri: rentabilitatea unui activ riscant este o variabilă aleatoare normal repartizată; riscul este măsurat prin deviaţia standard a rentabilităţii portofoliului; investitorii sunt raţionali (preferă tot mai mult); piaţa este eficientă informaţional (în sensul că avem la îndemână informaţiile referitoare la istoria preţurilor activelor, informaţiile publice şi cele privilegiate). Se caută ponderile w i ale activelor în cadrul portofoliului astfel încât, pentru o rentabilitate aşteptată a portofoliului fixată, R T, să obţinem un risc minim (i.e., variaţia rentabilităţii portofoliului este minimă). Un portofoliu optim este acel pentru care nu este posibil de a obţine rentabilităţi aşteptate mai mari fără a mări riscul. 116

118 MF13 [Dr. Iulian Stoleriu] Problema generală de optim este o problemă de programare pătratică: Mai sus, min w T Σ w w (13.7) astfel încât w T R = R T (13.8) n w i = 1. (13.9) i=1 w i 0, i = 1, n. (13.10) condiţia (13.7) se traduce prin faptul că se caută acele ponderi w i care minimizează riscul (variaţia) rentabilităţii portofoliului. Matricea Σ este matricea de corelaţie între diversele active componente ale portofoliului (vezi şi relaţia (13.2)); legătura (13.8) reprezintă obţinerea unei valori ţintă (target) pentru rentabilitatea aşteptată a portofoliului (vezi şi relaţia (13.1)); legătura (13.9) spune că suma ponderilor este 1; condiţia (13.10) nu permite short-selling (vânzarea prin lipsă sau pe debit). La această problemă de optim se mai pot ataşa restricţii suplimentare asupra ponderilor. Mai mult, relaţia (13.10) poate fi relaxată, astfel încât să permită short-selling. (i.e., putem avea w i < 0, pentru anumiţi indici i). Modelul de piaţă CAPM (Capital Asset Pricing Model) Determină relaţia dintre valoarea aşteptată (teoretică) a rentabilităţii unui activ financiar (asset) şi risc într-o piaţă financiară aflată în echilibru (i.e., în care care cererea este egală cu oferta). Relaţia CAPM este: R i = R f + β i (R m R f ), unde R i este valoarea aşteptată a rentabilităţii activului i, R f este rata lipsită de risc a dobânzii de referinţă, R m este valoarea aşteptată a rentabilităţii portofoliului pieţei. Portofoliul pieţei este un portofoliu de active în care aceste active sunt considerate cu ponderile reale de pe piaţă, presupunând că aceste active sunt lichide (perfect divizibile). Coeficientul β (senzitivitatea rentabilităţii activului la rentabilitatea pieţei) măsoară felul cum activul se modifică în interiorul portofoliului şi magnitudinea modificării sale. Cantitatea R m R f se mai numeşte şi premiul pieţei. Pentru un activ i, acesta este: β i = Cov(R i, R m ) σ 2. (i = 1, n). (R m ) β > 0 arată o modificare a valorii activului în concordanţă cu valoarea portofoliului, β < 0 arată o modificare a valorii activului invers faţă de valoarea portofoliului. Pentru β = 1, activul se modifică în acelaşi mod ca şi portofoliul pieţei, pentru β > 1, valoarea activului se modifică în aceeaşi direcţie cu a portofoliului, dar mai rapid ca cea din urmă. Cazul a două active, unul sigur (cu rata de rentabilitate R f ) şi celălalt riscant (cu rata de rentabilitate R a ). Rentabilitatea portofoliului este R = wr a + (1 w)r f. 117

119 MF13 [Dr. Iulian Stoleriu] de unde, Riscul portofoliului este: Înlocuind în (13.11), găsim că: R = wr a + (1 w)r f. (13.11) σ 2 = w 2 σ 2 R a = w = σ σ Ra. R = R f + σ σ Ra (R a R f ). Există anumite funcţii în Matlab care să rezolve probleme de optim pentru rentabilitatea portofoliilor. Amintim aici funcţiile: frontcon, portcons, portopt. Funcţia frontcon Formatul general de apelare a funcţiei este: [Sp, Rp, wi] = frontcon(rib, Cov, N, RT, ActLim, Grupe, GrupLim) unde variabilele de intrare sunt: Rib este vectorul cu valorile aşteptate ale rentabilităţilor activelor din portofoliu R i. Cov este matricea de covarianţă Σ; N este numărul de portofolii eficiente ce dorim să le obţinem. Implicit, acesta este 10. RT sunt valorile target pentru portofolii. ActLim sunt restricţiile inferioare sau superioare pentru ponderile activelor portofoliului. Implicit, limita inferioară este 0 (i.e., vânzarea prin lipsă nu este permisă) iar limita superioară este 1. Grupe sunt grupele de active pentru care se impun restricţii. Această intrare este o matrice [ng na], unde ng este numărul de grupe şi na este numărul de active. Elementul (i, j) al matricei poate fi 1 sau 0, după cum activul de rang j este sau nu în grupul i. GrupLim este o matrice [ng 2] care specifică limitele inferioare şi superioare pentru fiecare grup. Limitele implicite sunt 0 (inferioară) şi 1 (superioară). Variabilele de ieşire sunt: Sp este riscul (dispersia) rentabilităţii portofoliului optimal. Rp este rentabilitatea aşteptată a portofoliului optimal. wi sunt ponderile portofoliului optimal. Dacă dorim reprezentarea grafică frontierei optime, atunci folosind aceeaşi funcţie de mai sus, dar fără a specifica variabilele de ieşire. Exerciţiu Să presupunem că un investitor doreşte să investească în două active riscante, cu rentabilităţile aşteptate R 1 = 0.35, R 2 = 0.1 şi cu riscurile pentru investirea în fiecare activ în parte sunt 118

120 MF13 [Dr. Iulian Stoleriu] σ 2 1 = 0.25, σ 2 2 = 0.6. Corelaţia dintre rentabilităţile activelor 1 şi 2 este σ 12 = 0.2. La o primă vedere, activul al doilea nu pare a fi tentant pentru investiţie, deoarece are o rentabilitate medie scăzută şi riscul investiţiei ar fi mare. Totuşi, acesta merită a fi luat în consideraţie, deoarece corelaţia între rentabilităţilor este negativă, aceasta însemnând că o eventuală descreştere a rentabilităţii activului 1 este corelată cu o creştere a rentabilităţii activului 2. Pentru a găsi 10 portofolii optime, folosim următorul cod Matlab: Rib = [ ]; Cov = [ ; ]; N = 10; [Sp, Rp, wi] = frontcon(rib, Cov, N); [wi Rp Sp] şi obţinem: Primele două coloane reprezintă ponderile corespunzătoare celor două active în portofoliul optim, a treia coloană reprezintă rentabilitatea portofoliului optim, iar în a patra coloană apar riscurile asociate cu portofoliul optim. Se verifică faptul că suma primelor două coloane este 1 (suma ponderilor). Ultima linie corespunde unui portofoliu format doar din activul 1, însă prezintă riscul cel mai mare, σ p = σ1 2 = 0.5. Exerciţiu Se cere găsirea unui portofoliu optim format din 5 active financiare, ce au rentabilităţile aşteptate R 1 = 0.3, R 2 = 0.19, R 3 = 0.17, R 4 = 0.21, R 5 = 0.29 şi matricea de covarinţă Cov = Se impun următoarele restricţii asupra ponderilor individuale 0 w ; 0 w 2 0.2; 0 w 3 0.3, 0.2 w 4 0.6; 0.3 w 5 0.7, şi pentru următoarele două grupuri: Codul Matlab care rezolvă problema este: 0.25 w 1 + w 2 + w ; w 4 + w Rib = [ ]; N = 10; 119

121 MF13 [Dr. Iulian Stoleriu] Cov = [ ; ; ; ; ]; RT = []; ActLim = [ ; ]; Grupe = [ ; ]; GrupLim = [ ; ]; [Sp, Rp, wi] = frontcon(rib, Cov, N, RT, ActLim, Grupe, GrupLim) [wi Rp Sp] Rezultatele sunt: Semnul negativ ilegitim poate apărea din cauza erorilor numerice. De exemplu, valoarea numerică exactă pentru w 3 în cadrul ultimului portofoliu este wi(10, 3) = , adică practic zero. Am folosit RT = [] deoarece nu avem un portofoliu target. 120

122 Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu] 14 Scheme ³i metode numerice implementate în Matlab Exerciţiu Consideram un activ financiar al carui pret initial este 30 RON. Rata dobânzii lipsite de risc este r = Vrem sa calculăm preţul forward al acestui activ, pentru livrare în 9 luni si, de asemenea, care este valoarea pe care ar trebui sa o plateasca, la initierea contractului, un investitor, careia i se ofera posibilitatea de a intra intr-o pozitie long forward cu acelasi pret de livrare si in acelasi timp mentionat mai sus. Codul Matlab este urmatorul: S0= 30; K=30; r=0.06; Ti = 9/12; disp('pretul forward este:') F0 = S0*exp(r*Ti) disp('valoarea platita la initierea contractului este:') LF0 = (F0-K)*exp(-r*Ti) Exerciţiu Consideram ca un pachet de acţiuni costa astazi 100 lei. Dorim sa calculăm valoarea unui put european cu preţul de exercitiu K = 110, scadenta T = 2 ani. Rata dobânzii lipsita de risc este r = Folosind paritatea put-call, sa se calculeze valoarea unui call european avand la baza aceleasi caracteristici ca si contractul put european anterior. Codul Matlab este urmatorul: S0=100; K=110; T=2; r=0.04; ST = S0*exp(r*T); disp('valoarea pentru put european:') PT = max(k-st,0); disp('valoarea pentru call european:') CT = ST+PT-K; for t=1:2 profit(t)=max(k-s0*exp(r*t),0)-max(k-s0,0); end plot(t,profit,'*b'); legend(' = profitul') Exerciţiu Construiţi o funcţie Matlab care să simuleze evoluţia preţului unui activ financiar după un arbore binomial. Funcţia este următoarea: function evols(s0, sigma, T, n) u = exp(sigma*sqrt(t/n)); d = 1/u; k = (rand(n, 1) < 0.5); S = S0*cumprod(u.^k.*d.^(1-k)); plot(1:n,s) % factorii de modificare Rulând funcţia prin evols(10,0.2,2,731) (vezi Exerciţiul 6.1), obţinem Figura

123 Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu] Exerciţiu Construiţi o funcţie Matlab care să calculeze preţul unui call european folosind formula Cox-Ross-Rubinstein 6.2. function CRR(S0,K,r,T,n,sigma) dt = T/n; u = exp(sigma*sqrt(dt)); d = 1/u; psi = (exp(r*dt)-d)/(u-d); S = zeros(n+1,1); C = zeros(n+1,1); for k=0:n S(k+1) = S0*u^k*d^(n-k) CT(k+1) = nchoosek(n,k)*psi^k*(1-psi)^(n-k)*max(s(k+1)-k,0); end C0 = exp(-r*t)*sum(ct); disp('valoarea pentru call european este: '); disp(c0); Exerciţiu Construim urmatoarea funcţie Matlab, ce calculează valorile pentru call european (pentru flag =1) sau put european (pentru flag =0) folosind modelul binomial. Rezultatele sunt apoi comparate cu cele obţinute prin rularea funcţiei Matlab binprice. function EU(S0,K,r,T,dt,sigma,flag) %%% simuleaza valorile pentru call si put european %%% n = T/dt; %%% numarul de perioade u = exp(sigma*sqrt(dt)); d = 1/u; psi = (exp(r*dt)-d)/(u-d); %%% probabilitatea neutra la risc S = zeros(n+1,n+1); C = zeros(n+1,n+1); P = zeros(n+1,n+1); %%% simuleaza valorile pentru S, C si P la scadenta %%% for i = 1:n+1 S(i,n+1) = S0*u^(n+1-i)*d^(i-1); %%% valorile activului C(i,n+1) = max(s(i,n+1)-k,0); %%% call european P(i,n+1) = max(k-s(i,n+1),0); %%% put european end %%% simuleaza valorile intermediare pentru S, C si P %%% for i = n:-1:1 for j = 1:i C(j,i) = exp(-r*dt)*(psi*c(j,i+1)+(1-psi)*c(j+1,i+1)); P(j,i) = exp(-r*dt)*(psi*p(j,i+1)+(1-psi)*p(j+1,i+1)); end end if flag == 1 disp('valoarea pentru call european este C0 = '); disp(c(1,1)); else disp('valoarea pentru put european este P0 = '); disp(p(1,1)); end O rulare a funcţiei, e.g. EU(100,105,0.05,2,2/4,0.1,1), ne furnizează rezultatul: 1 122

124 Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu] Valoarea pentru call european este C0 = Valorile pentru C (call european) la fiecare nod sunt cele din matricea: C = Pentru EU(100,105,0.05,2,2/4,0.1,0), obţinem rezultatul: Valoarea pentru put european este P0 = Se poate verifica cu usurinta ca relatia (3.2) (paritatea put-call) este verificata, adica: = 105 e Rulăm acum funcţia binprice din Matlab astfel: [S,O] = binprice(100,105,0.05,2,2/4,0.1,1) Aici am folosit datele de mai sus. Obţinem: S = C = unde: S este matricea de valori a activului suport şi C este matricea de valori pentru un call european asupra acestui activ suport, cu preţul de livrare K = 105 scadenţa T = 2 şi 4 perioade. Se observă că C 0 = , găsit mai sus. Exerciţiu Construim urmatoarea funcţie Matlab, ce calculează valorile pentru call american (pentru flag =1) sau put american (pentru flag =0) folosind modelul binomial

125 Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu] function AM(S0,K,r,T,dt,sigma,flag) %%% simuleaza valorile pentru call si put american %%% %%% flag = 1 pentru call, flag = 0 pentru put n = T/dt; %%% numarul de perioade u = exp(sigma*sqrt(dt)); d = 1/u; psi = (exp(r*dt)-d)/(u-d); %%% probabilitatea neutra la risc S = zeros(n+1,n+1); C = zeros(n+1,n+1); P = zeros(n+1,n+1); %%% simuleaza valorile pentru S, C si P la scadenta %%% for i = 1:n+1 S(i,n+1) = S0*u^(n+1-i)*d^(i-1); %%% valorile activului C(i,n+1) = max(s(i,n+1)-k,0); %%% call european P(i,n+1) = max(k-s(i,n+1),0); %%% put european CA(i,n+1) = max(s(i,n+1)-k,0); %%% call american PA(i,n+1) = max(k-s(i,n+1),0); %%% put american end %%% simuleaza valorile intermediare pentru S, CA si PA %%% for i = n:-1:1 for j = 1:i S(j,i) = u^(i-j)*d^(j-1)*s0; C(j,i) = exp(-r*dt)*(psi*c(j,i+1)+(1-psi)*c(j+1,i+1)); CA(j,i) = max(c(j,i), max(u^(i-j)*d^(j-1)*s0-k, 0)); C(j,i) = CA(j,i); P(j,i) = exp(-r*dt)*(psi*p(j,i+1)+(1-psi)*p(j+1,i+1)); PA(j,i) = max(p(j,i), max(k-u^(i-j)*d^(j-1)*s0, 0)); P(j,i) = PA(j,i); end CA(1,1) = exp(-r*dt)*(psi*ca(1,2)+(1-psi)*ca(2,2)); PA(1,1) = exp(-r*dt)*(psi*pa(1,2)+(1-psi)*pa(2,2)); end if flag == 1 disp('valoarea pentru call american este C0 = '); disp(ca(1,1)); else disp('valoarea pentru put american este P0 = '); disp(pa(1,1)); end O rulare a funcţiei, e.g., AM(100,105,0.05,2,2/4,0.1,0), ne furnizează rezultatul: Valoarea pentru put american este P0 = Se observă că, după cum era de aşteptat, această valoare este mai mare decât cea pentru un put european, găsită în Exerciţiul (14.5). Folosind comanda disp(pa) putem afişa toate valorile pentru put american de pe arborele binomial. Acestea sunt: PA =

126 Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu] Exerciţiu Următorul cod Matlab generează o mişcare aleatoare 2D (folosind repartiţia Bernoulli = discretă): function walk2d(n) x = cumsum(2*(rand(n,1)<0.5)-1); y = cumsum(2*(rand(n,1)<0.5)-1); plot(x,y,'-') Următorul cod Matlab generează o mişcare Browniană 2D (folosind repartiţia normală = continuă): Funcµia Matlab de mai jos produce gura din partea dreapt. function walk2d(n) x = [0; cumsum(randn(n,1))]; y = [0; cumsum(randn(n,1))]; plot(x,y) Rulând funcţia prin walk2d(1e4), obţinem Figura 6.3. Exerciţiu Generaţi cinci traiectorii ale unui proces Wiener, ca în Figura

127 Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu] function wiener(t,n) clf; dt = T/n; dw = randn(5,n)*sqrt(dt); for i = 1:5; W = [0 cumsum(dw(i,:))]; plot(w); hold on; end 15 Metoda Monte-Carlo pentru evaluarea opţiunilor europene Prezentam mai jos un algoritm de simulare a preţului unei opţiuni de tip european folosind o metoda Monte Carlo. Reamintim, o metoda Monte-Carlo este o metoda numerica ce are la baza generarea de numere aleatoare (vezi Anexa). Pentru a acoperi atat opţiunile de tip call cat si pe cele de tip put, folosim o notatie comuna. Vom nota prin S t valoarea activului suport la momentul t si cu f(s) valoarea derivatului financiar a carui valoare depinde de valoarea S t. Fie T scadenta acestui contract derivat si K preţul de exercitiu (de lovire). Asadar, vom avea f(s T ) = max{k S T ; 0} pentru un put european si f(s T ) = max{s T K ; 0} pentru un call european. Dupa cum am stabilit in sectiunile anterioare, posibilele preţuri ale activului suport la t = T urmeaza o repartitie lognormala. Astfel, dacă S 0 este preţul initial al activului suport, atunci valoarea activului suport la scadenta (t = T ) este: σ2 (µ S T = S 0 e 2 ) T +σ T Z, (15.1) unde Z este o variabila aleatoare normala, Z N (0, 1), µ este driftul si σ este volatilitatea preţului activului. Deoarece S T este o variabila aleatoare, tot o variabila aleatoare va fi si valoarea derivatului financiar la scadenta, adica f(s T ). Valoarea derivatului financiar (adica f 0 = f(s 0 )) este calculată dupa formula f 0 = e r T E [f(s T )], unde notatia E semnifica faptul ca valoarea aşteptată pentru variabila aleatoare f(s T ) se calculeaza in raport cu masura lipsita de risc. Valoarea E [f(s T )] se obtine cand in formula E[f(S T )] inlocuim driftul µ cu r, rata dobânzii unitare neutre la risc. In general, dacă S t este o valoarea dată, atunci valoarea derivatului financiar la momentul t (t [0, T ]) este dată de f t = e r (T t) E [f(s T )] = e r (T t) E[f(S T )], cu µ = r in relatia (15.1). Pentru a aproxima valoarea f 0 printr-o metoda Monte Carlo, procedam dupa urmatorul algoritm: Pas 1 Pas 2 Generam un set de n valori (de exemplu, n = 10 6 ) ce urmeaza repartitia N (0, 1). Sa notam aceste valori prin Z 1, Z 2,..., Z n ; Calculăm valorile corespunzatoare pentru activului suport la t = T (folosim formula (15.1), cu µ = r). Avem: ST i = S σ2 (r 0 e 2 ) T +σ T Z i, i = 1, 2,..., n. Astfel, pentru fiecare ( indice i {1, 2,..., n}, v.a. ST i va urma repartitia lognormala (i.e., ln ST i N ln S 0 + (r σ 2 2 ) T, σ ) T )

128 Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu] Pas 3 Pas 4 Aproximez valoarea derivatului financiar la scadenta (pe care o notam cu f T ) prin media sirului de valori {f(st 1 ), f(s2 T ),..., f(sn T )}. Avem: f T = E [f(s T )] = 1 n f(st i n ). Aproximarea pentru valoarea cautata f 0 va fi valoarea actualizata a lui f T, adica f 0 = e r T f T. i=1 Codul următor calculează valoarea unui call european folosind o metodă Monte-Carlo. Opţiunea call considerată este asupra unui activ suport ce valorează S 0 = 10 la t = 0, preţul de exerciţiu este K = 11, scadenţa este T = 2, µ = r = 0.05, σ = 0.3. Am efectuat o generare de 10 6 numere aleatoare repartizate normal standard. function MC(S0,K,r,T,sigma,n) Z = randn(n,1); ST = S0*exp((r-sigma^2/2)*T + sigma*sqrt(t)*z); CT = max(st-k,0); C0 = exp(-r*t)*mean(ct); disp('valoarea pentru call european este: '); disp(c0); Astfel, rulând funcţia prin MC(10,11,0.05,2,0.3,1e6), obţinem: Valoarea pentru call european este: Valoarea pentru acelasi call european obţinută cu modelul binomial, i.e., rulăm funcţia [S,C]=binprice(10,11,0.05,2,0.005,0.3,1)) este: C(1,1) = Observaţia În algoritmul anterior am generat un număr suficient de mare de numere aleatoare repartizate N (0, 1), simulând astfel valorile la maturitate ale derivatului financiar. Putem însă genera direct numere aleatoare log-normal repartizate. Astfel, putem înlocui paşii 1 şi 2 din algoritm printr-un singur pas, şi anume: S T log N (ln S 0 + (r σ 2 2 ) T, σ ) T. În codul Matlab de mai sus vom schimba liniile 1 şi 2 printr-o singură linie, obţinând codul alternativ: function MC2(S0,K,r,T,sigma,n) ST = random('lognormal',log(s0)+(r-sigma^2/2)*t,sigma*sqrt(t),n,1); CT = max(st-k,0); C0 = exp(-r*t)*mean(ct); disp('valoarea pentru call european este: '); disp(c0); 127

129 Scheme numerice în Matlab [Dr. Iulian Stoleriu] Astfel, rulând funcţia prin MC2(10,11,0.05,2,0.3,1e6), obţinem: Valoarea pentru call european este: Exerciţiu Construiţi o funcţie în Matlab care să genereze posibile traiectorii ale preţului unui activ financiar printr-o metodă Monte-Carlo. Se va considera faptul că preţurile urmează o repartiţie lognormală. Considerăm o divizare echidistantă a intervalului [0, T ], 0 = t 1 < t 2 < < t n = T, într-un număr N suficient de mare de diviziuni, cu norma diviziunii δt = T N. Aşadar, t k = k δt, k = 0, N. Notăm prin Din relaţia (9.13), observăm că u k satisfac S k = S tk şi u k = S k S k 1, k = 1, n. u k logn ((µ σ 2 ) 2 )δt, σ δt, k = 1, n, Pentru fiecare p {1, 2,..., N}, traiectoria care pleacă din S 0 şi ajunge la nodul p va fi T p = S 0 p u k. k=0 Codul de mai jos reprezintă 5 astfel de posibile traiectorii. function Paths(S0,r,sigma,T,n,m) % S0=pretul initial; r=rata de referinta; % sigma= volatilitatea;t=scadenta; % n=numarul de noduri in traiectorie; % m=numarul de traiectorii dt = T/n; u = random('logn',(r-sigma^2/2)*dt, sigma*sqrt(dt), n, m); % sau % u = exp((r-sigma^2/2)*dt +... %... + sigma*sqrt(dt)*randn(n,m)); S = S0*cumprod(u); plot(s) Exerciţiu Dorim sa reprezentam in acelasi grafic valorile unui contract de tip put european in functie de numarul de perioade. Se va verifica pe grafic dacă aceste valori converg la valoarea aceluiasi contract put european, dar calculata prin formula Black-Scholes. Codul Matlab este următorul: 128