Enočlenske metode veljajo trenutno za najprimernejše metode v numeričnem reševanju začetnih problemov. Skoraj vse sodijo v
|
|
- Δυσμάς Μάγκας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Enočlenske metode J.Kozak Uvod v numerične metode - / 4 Enočlenske metode veljajo trenutno za najprimernejše metode v numeričnem reševanju začetnih problemov. Skoraj vse sodijo v skupino Runge-Kutta metod. Ime Runge-Kutta metode je skovanka priimkov, po avtorjih, ki sta največ prispevala k začetku razvoja teh metod. Ideja izpeljave: osnovni Eulerjevi metodi, modificirana Eulerjeva metoda, trapezno pravilo,... k = f (x n, y n ) = f (x n + h, y n + h k ), k = f (x n, y n ) = f (x n + h, y n + h k ). Metodo tega tipa določajo tri konstante, α, β in γ, k = f (x n + α h, y n + β h k ), y n = y n + γ h k. Shema: α β γ
2 J.Kozak Uvod v numerične metode - / 4 Izboljšana Eulerjeva metoda, trapezno pravilo: in.
3 Splošna dvostopenjska shema: α β β α β β γ γ Konstante α i, β ij in γ j so svobodni parametri. Določajo metodo, ki najprej izračuna odvoda k i, ki zadoščata enačbama k = f(x n + α h, y n + h (β k + β k )), k = f(x n + α h, y n + h (β k + β k )). Nato sledi numerični približek v novi točki x n kot y n = y n + h (γ k + γ k ). J.Kozak Uvod v numerične metode - 3 / 4
4 Ideja izpeljave Runge-Kutta metod J.Kozak Uvod v numerične metode - 4 / 4 Osnovna zahteva Lokalna napaka y(x n ) y n pri pogoju y(x n ) = y n naj bo čim višjega reda! Razvoj točne rešitve v Taylorjevo vrsto y(x n +h) = y(x n )+h y (x n )+ h! y (x n )+ h3 3! y (x n )+... dobimo z upoštevanjem dejstva, da je y rešitev diferencialne enačbe y = f(x, y). V numerični rešitvi y n = y n + h (γ k + γ k ) moramo v vrsto okoli h razviti k i, torej spet y = f. Spet uporabimo dejstvo, da je y rešitev diferencialne enačbe.
5 J.Kozak Uvod v numerične metode - 5 / 4 Zgled računanja odvodov k Uporabimo verižno pravilo. Vse vrednosti, ki nastopajo, f, f x, f y,... naj bodo izračunane pri h =, torej pri argumentih (x n, y n ). Razvoj k : k = f + (α f x + (β + β ) f y f ) h+ ( + α f x x + (β + β ) (f y y f) f + (α β + α β ) f y f x + ( ) + β + β β + β (β + β ) f y f y f+ ) + α (β + β ) f x,y f h +...
6 Primerjava obeh razvojev J.Kozak Uvod v numerične metode - 6 / 4 V razliki obeh razvojev skušamo z izborom konstant uničiti čim več koeficientov pri naraščajočih potencah h i. Elementarni diferenciali Treba je biti pazljiv. Koeficient pri potenci h i sestavlja običajno več neodvisnih členov, elementarnih diferencialov. Za vsakega od njih je treba poskrbeti ločeno, torej je treba konstante izbrati tako, da je prispevek vsakega od njih enak nič. Primer: pri h dobimo neodvisna člena in (α (γ ) α γ + ) f x ( (γ ) β + (γ ) β γ β γ β + ) f y f.
7 Rezultat izpeljave v dvostopenjskem primeru J.Kozak Uvod v numerične metode - 7 / 4 Eksplicitne metode: Lokalna napaka O ( h 3). β β β β. Med najbolj pogostimi izbirami β srečamo, 3 in, torej metode, ,. Zadnja od njih je Heunova.
8 Rezultat izpeljave v dvostopenjskem primeru Diagonalno implicitne metode metode: lokalna napaka O ( h 4). β β β = 3 ± 3, 6 β β β. Prednost diagonalno implicitne metode je v tem, da rešimo najprej sistem d = dim k = dim k nelinearnih enačb, da dobimo k, nato še en podoben sistem za k. J.Kozak Uvod v numerične metode - 8 / 4
9 Rezultat izpeljave v dvostopenjskem primeru J.Kozak Uvod v numerične metode - 9 / 4 Polno implicitna metoda, Hammer & Hollingsworth (tudi Gauss-Legendre četrtega reda): lokalna napaka O ( h 5)
10 Runge-Kutta metoda v splošnem J.Kozak Uvod v numerične metode - / 4 BucherjevaShema s-stopenjske metode α β β β s α β β β s..... α s β s β s β ss γ γ γ s Runge-Kutta metoda: k i = f x n + α i h, y n + h s β ij k j, i =,,..., s, j= y n = y n + h s γ i k i. i=
11 Zelo uporabljana metoda RK4, lokalna napaka O ( h 5) J.Kozak Uvod v numerične metode - / k = f(x n, y n ), ( k = f x n + h, y n + h ) k, ( k 3 = f x n + h, y n + h ) k, k 4 = f(x n + h, y n + hk 3 ), y n = y n + h 6 (k + k + k 3 + k 4 ).
12 Stabilnost in konvergenca enočlenskih metod J.Kozak Uvod v numerične metode - / 4 Splošna oblika enočlenske metode y n = y n + h ψ(x n, y n, h), }{{} n =,,..., y = y a. numerični odvod Tu je funkcija ψ numerični odvod, približek pravega odvoda f. Definicija Enočlenska metoda je stabilna, če za vsako diferencialno enačbo, ki zadošča zahtevam eksistenčnega izreka, obstajata konstanti h > in c >, takšni, da za dve numerični rešitvi (y n ) in (ỹ n ), z začetnima vrednostima y in ỹ, velja y n ỹ n c y ỹ za vsak h, < h h in vse n.
13 Izrek Če je ψ Lipschitzova v y, je enočlenska metoda stabilna. Definicija Enočlenska metoda je konvergentna, če za vsako diferencialno enačbo, ki zadošča zahtevam eksistenčnega izreka, za vsak n velja ko h. Izrek y n y(x n ), Naj bo ψ Lipschitzova v y in zvezna v spremenljivkah h in x [a, b]. Potreben in zadosten pogoj za konvergenco je konsistentnost numerične metode, ψ(x, y, ) = f(x, y). J.Kozak Uvod v numerične metode - 3 / 4
14 RK4 in numerični korak za avtonomno enačbo y = f(y): J.Kozak Uvod v numerične metode - 4 / 4 k (y n ) = f(y n ), k (y n ) k (ỹ n ) L y n ỹ n ( k (y n ) = f y n + h ) k (y n ), k (y n ) k (ỹ n ) L( + hl) y n ỹ n ( k 3 (y n ) = f y n + h ) k (y n ) k 3 (y n ) k 3 (ỹ n ) L( + hl + 4 (hl) ) y n ỹ n k 4 (y n ) = f (y n + k 3 (y n )) k 4 (y n ) k 4 (ỹ n ) L( + hl + (hl) + 4 (hl)3 ) y n ỹ n ψ(x n, y n, h) ψ(x n, ỹ n, h) ( L + hl + 6 (hl) + ) 4 (hl)3 y n ỹ n Le (b a)l y n ỹ n
15 Red metode J.Kozak Uvod v numerične metode - 5 / 4 Lokalna napaka: razlika y n y(x n ) pri pogoju y n = y(x n ). Torej τ n (h) = y n y(x n ) = = y n + h ψ(x n, y n, h) y(x n ) = = y(x n ) + h ψ(x n, y(x n ), h) y(x n ). Izrek Naj bo ψ takšna, kot jo zahteva konvergenčni izrek. Naj za lokalno napako velja, da obstajata konstanti h > in C >, da za vse h, < h h in n velja ocena τ n (h) Ch r+. Tedaj za globalno napako velja y n y(x n ) Ch r ( e (b a)l ) L + e(b a)l y y(x ).
16 Kontrola koraka in vgnezdene metode: Mersonova metoda y n y(x n ) = y n + h 6 (k + 4k 4 + k 5 ) y(x n ) = ( 7 h5 y (5) (x n ) +O }{{} ε ỹ n y(x n ) = y n + h (k 3k 3 + 4k 4 ) y(x n ) = = h5 y (5) (x n ) }{{} 6ε 6 y n ỹ n y(x n ) = O 5 ( +O h 6), ( h 6), J.Kozak Uvod v numerične metode - 6 / 4 6
17 Splošna vgnezdena Runge-Kutta metoda Butcherjeva shema: α β β s α β β s.... α s β s β ss γ γ s γ γ s Osnovni Runge-Kutta korak: Cenilka: y n = y n + h ỹ n = y n + h s γ i k i, i= s γ i k i. i= J.Kozak Uvod v numerične metode - 7 / 4
18 Praktična uporaba Približek in cenilka: y n = (y n,i ), ỹ n = (ỹ n,i ). Cilj: y n,i ỹ n,i η i ε, i =.,..., d. Uteži komponente η i : η i := ρ i + ( ρ i ) y n,i, ρ i (, ]. Merila izračunane ocene napake: δ n = d ( ) yn,i ỹ n,i, δ n = max y n,i ỹ n,i d η i i d η i i= Korak h n := x n x n zavržemo, če δ n > ε ali δ n > h n ε. Ker h n ni sprejemljiv, ga razpolovimo h n h n in ponovimo izračun iz x n. J.Kozak Uvod v numerične metode - 8 / 4.
19 J.Kozak Uvod v numerične metode - 9 / 4 Korak h n sprejemljiv. Določimo h n+. Ocena napake naj se obnaša kot razlika lokalnih napak osnovne metode in cenilke, ( ) δ n C hn r+ C h r+ n Chn p+, p := min (r, r). Če velja to tudi za nov korak, z isto neznano konstanto, izločimo C in dobimo δ n+ h p+ n+. δ n hn p+ Absolutni kriterij zahteva δ n+ ε, relativni δ n+ ε h n+. To da kandidata za nov korak kot ε ε h q n h n, kjer je q n = p+ ali q n = p n. δ n δ n Faktorji varnosti: τ = 9, q min Nov korak h n+ izberemo z [ 5 3], [ ] 3, q max, 5. h n+ = h n min (q max, max (q min, τ q n )).
20 Fehlbergova šest-stopenjska metoda metoda J.Kozak Uvod v numerične metode - /
21 Dormand & Prince metode petega reda J.Kozak Uvod v numerične metode - / 4 4
22 Veččlenske metode Veččlenska metoda določi numerično vrednost y n y(x n ) tako, da uporabi več že izračunanih vrednosti y n, y n,... Naj k IN označi število uporabljenih vrednosti; k-členska metoda iz vrednosti določi y n k, y n k+,..., y n y n y(x n ). Pri metodah te vrste običajno ne spreminjamo koraka. Zato se omejimo na ekvidistantno izbiro koraka h in x n i = x n i h, i =,,..., k. Veččlenske metode so lahko precej hitrejše od enočlenskih metod, saj na vsakem koraku ni treba izračunati s vrednosti desne strani f kot pri s-stopenjski Runge-Kutta metodi, ampak le eno. Imajo tudi svoje šibke strani: numerična stabilnost, začetek. k-členska metoda potrebuje k že izračunanih vrednosti () na začetku. Te metode niso prilagodljive, spreminjanje koraka h ni zelo preprosto. J.Kozak Uvod v numerične metode - / 4
23 J.Kozak Uvod v numerične metode - 3 / 4 Poznamo tri razrede pomembnejših veččlenskih metod: Adamsove metode, metode Milneovega tipa, BDF metode. Dva izpeljemo z integracijo diferencialne enačbe (Adamsove metode, metode Milneovega tipa), tretjega pa z diferenčno aproksimacijo odvoda (BDF metode).
24 Adamsove metode J.Kozak Uvod v numerične metode - 4 / 4 Izpeljimo najprej eksplicitne Adamsove metode, ki jih imenujemo Adams-Bashforthove metode. Dobimo jih tako, da diferencialno enačbo integriramo vzdolž rešitve y(x) po zadnjem podintervalu [x n, x n ], in od tod x n x n y (x) dx = y(x n ) = y(x n ) + x n x n x n f(x, y(x)) dx x n f(x, y(x)) dx. Preostane aproksimacija integrala na desni strani. Ker y ne poznamo, ne poznamo vrednosti vektorske funkcije f(., y(. )). Uporabimo aproksimacijo f z interpolacijskim polinomom v drugi Newtonovi obliki.
25 J.Kozak Uvod v numerične metode - 5 / 4 Novo spremenljivko t vpeljemo s t = x x n in h ( ) k t p(x) = p(x n + h t) = ( ) i i f n i i= in, ob zamenjavi integracijske spremenljivke x t, x n x n f(x, y(x)) dx = h k i= ( ) i ( t i ) i f n dt + Rf. Tako dobimo kjer je k y n = y n + h γ i i f n, γ i := ( ) i i= ( ) t dt. i
26 Uporabimo zaključeno obliko obratne končne diference in izpeljemo ( ) k k γ i i i i f n = γ i ( ) j f n j = j i= i= j= ( ) k k = ( ) j i k f n j γ i = β k,j+ f n j, j kjer smo označili j= i=j ( ) k β k,j+ := ( ) j i γ i. j Poglejmo si še ostanek Rf, ki ga lahko pišemo tudi kot R (y ), saj je y točna rešitev, po eksistenčnem izreku vsaj zvezno odvedljiva.produkt i=j j= ω(x) = (x x n )(x x n ) (x x n k ) = ( ) t = ω(x n + h t) = ( ) k h k k! k za x [x n, x n ], torej t [, ] ne spremeni predznaka. J.Kozak Uvod v numerične metode - 6 / 4
27 J.Kozak Uvod v numerične metode - 7 / 4 Ostanek, torej lokalno napako, lahko zapišemo v obliki R ( y ) = xn x n ω(x)[x n, x n,..., x n k, x]y dx = γ k h k+ y (k+) (ξ). Zamenjajmo še indeks j + j in dobimo Adams-Bashforthove metode izražene takole k y n = y n + h β kj f n j, k =,,.... j=
28 J.Kozak Uvod v numerične metode - 8 / 4 Koeficienti Adams-Bashforthovih metod za k 3 Izračunajmo najprej γ i, γ = ( ) γ = ( ) ( ) t dt =, γ = ( ) t! dt =, ( t)( t )! dt = 5. Pri k = dobimo spet eksplicitno Eulerjevo metodo, in vse tri skupaj k = : y n = y n + hf n, ( 3 k = : y n = y n + h f n ) f n, ( 3 k = 3 : y n = y n + h f n 4 3 f n + 5 ) f n 3.
29 J.Kozak Uvod v numerične metode - 9 / 4 Tabela Adams-Bashforthovih metod Izračunajmo tabelo koeficientov β kj Adams-Bashforthove metode za k 6, kjer izpostavimo skupni imenovalec koeficientov: β ki \i β i β i 3 β 3i β 4i β 5i β 6i
30 Implicitne Adamsove-Moultonova metode Izpeljimo še implicitne Adamsove metode, ki jim rečemo Adams-Moultonove metode. Ravnamo tako kot v izpeljavi Adams-Bashforthovih metod. Diferencialno enačbo y = f(x, y) integriramo po zadnjem podintervalu. Razlika nastane pri izbiri interpolacijskega polinoma p. Tokrat za konstrukcijo uporabimo še zadnjo točko x n in iskano vrednost y n, torej tudi f n, ( ) k t p(x) = p(x n + h t) = ( ) i i f n + Rf. i i= Vidimo, da je tu izraz i f n zamenjal i f n, saj upoštevamo tudi zadnjo točko. Prav tako je k zamenjal k. Polinomi temeljijo na eni interpolacijski točki več kot pri eksplicitni metodi. Seveda je pri danem k implicitna metoda še vedno k-členska. Po integraciji diferencialne enačbe in zamenjavi integracijske spremenljivke dobimo y (x n ) = y (x n ) + h ( ) k t ( ) i i f n dt + Rf. i i= J.Kozak Uvod v numerične metode - 3 / 4
31 J.Kozak Uvod v numerične metode - 3 / 4 To da metodo kjer je Zpomba γi = ( ) i k y n = y n + h γi i f n, i= ( t i ) dt = ( ) i Izračunajmo nekaj koeficientov γ i, γ = ( ) γ = ( ) ( ) t + dt. i ( ) t dt =, γ = ( ) t! dt =, ( t)( t ) dt = (! 3 ) =.
32 J.Kozak Uvod v numerične metode - 3 / 4 Splošna oblika metod y n = y n + h k βkjf n j. j= Zpomba Tabela koeficientov Adams-Moultonove metode βki k 5: za βki \i βi βi βi 5 8 4β3i β4i β5i
33 Splošne linearne veččlenske metode Vzemimo Adamsove metode prejšnjega razdelka kot izhodišče za formulacijo splošne linearne k-členske metode. Adamsova metoda določi y n iz y n in linearne kombinacije odvodov f. Razširimo to v splošno linearno k-člensko metodo: k k α i y n i + h β i f n i =. i= Ker je enačba homogena, izberimo α :=, z mislijo na to, da y n sodi na drugo stran enačbe, saj ga računamo. Ostane k + svobodnih parametrov. Metoda je eksplicitna, če je β =, sicer je implicitna. Linearni k-členski metodi priredimo rodovna polinoma k ρ(ξ) := α i ξ k i in i= i= k σ(ξ) := β i ξ k i, () i= J.Kozak Uvod v numerične metode - 33 / 4
34 J.Kozak Uvod v numerične metode - 34 / 4 Izrek Linearna k-členska metoda (33) je reda r natanko tedaj, ko velja relacija ( ρ( + z) + ln( + z)σ( + z) = c r+ z r+ + O z r+), () kjer je c r+. Zpomba Naj bo k-členska metoda vsaj reda. Vstavimo z = in ugotovimo ρ() =. Če je red r vsaj, lahko enačbo odvajamo in ponovno vstavimo z =. To da ρ () + σ() =. Če je torej metoda vsaj prvega reda, rečemo, da je konsistentna, podobno kot v izreku. Linearna veččlenska metoda je konsistentna, če velja ρ() =, ρ () + σ() =.
35 Zpomba Adamsove metode smo izpeljali tako, da smo diferencialno enačbo integrirali po zadnjem podintervalu. Torej je prvi rodovni polinom nujno oblike ρ(ξ) = ξ k + ξ k. Privzemimo k = in poiščimo σ za eksplicitno metodo. Ker je β =, je σ kvečjemu prve stopnje. Iz () ugotovimo ρ( + z) σ( + z) = ( ln( + z) + O z ) = ( + z) ( + z) ln( + z) ( z + ) z ( + O z ) = ( + z) = ( + z)z = 3 ( + z) + O (z ). Tako smo dobili ( + O z ) = ( + z ) ( + O z σ(ξ) = 3 ξ in ( 3fn y n = y n + h ) J.Kozak Uvod v numerične metode - f n. 35 / 4
36 J.Kozak Uvod v numerične metode - 36 / 4 Zpomba Naj bo ponovno k =. Izpeljimo še implicitno metodo, β. Polinom σ je stopnje, lokalna napaka je reda 3. Torej ρ( + z) σ( + z) = Sledi metoda je ( ln( + z) + O z 3) = ( + z) ( + z) ln( + z) ( z + ) z ( + O z 3) = = ( + z)z = 5 ( + z) + 3 ( + z). σ(ξ) = 5 ξ + 3 ξ, ( 5 y n = y n + h f n + 3 f n ) f n. ( + O z 3) =
37 Milneove metode Razred veččlenskih metod, ki temeljijo na Newton-Cotesovih integracijskih pravilih, poimenujmo po najbolj znanem predstavniku, po Milneovi metodi. Ta je četrtega reda. Te metode najpogosteje uporabljamo kot prediktor-korektor metode. Eksplicitni del koraka da začetni približek, implicitni korektor vrednost popravi. Pri tem izbiramo prediktor in korektor tako, da sta istega reda. Formalno te metode izpeljemo z integracijo diferencialne enačbe po vseh zadnjih k podintervalih, [x n k, x n ]. Tako dobimo x n x n y (x) dx = y(x n ) y(x n k ) = f(x, y(x)) dx. x n k x n k Z izbiro intervala integracije je prvi rodovni polinom ρ določen, ρ(ξ) = ξ k + za vse metode Milneovega tipa. Za aproksimacijo integrala f uporabimo Newton-Cotesova pravila, za prediktor odprtega, za korektor pa zaprtega tipa. J.Kozak Uvod v numerične metode - 37 / 4
38 J.Kozak Uvod v numerične metode - 38 / 4 Da dosežemo enak red lokalne napake za prediktor in korektor, moramo za prediktor izbrati za dva večji k. Metoda se glasi k+ y (p) n = y n k + h β (p) i f n i, y n (k) = y n k + h i= k i= β i (k) f n i, Tu (p) označuje prediktor, (k) pa korektor. z f n = f ( x n, y n (p) ).
39 J.Kozak Uvod v numerične metode - 39 / 4 Zpomba (Milneova metoda) Tu je k = 4 za prediktor, torej k = za korektor. Prediktor: ρ(ξ) = ξ 4 +, ρ( + z) ( σ( + z) = ln( + z) + O z 4) = Dobili smo = 8 3 ( + z) ( + z) ( + z) + O (z 4). y n (p) = y n 4 + h 3 (8f n 4f n + 8f n 3 ). Še korektor (Simpsonovo pravilo), ρ(ξ) = ξ +, ρ( + z) ( σ( + z) = ln( + z) + O z 4) = = 3 ( + z) ( + z) O (z 4).
40 Implicitne BDF metode Kratica BDF označuje metode, ki temeljijo na obratnih končnih diferencah. Izpeljemo jih tako, da v diferencialni enačbi aproksimiramo odvod. Stabilne so le v implicitni obliki. Veliko se uporabljajo tudi v reševanju togih problemov. Izpeljava: ( ) k t y(x) p(x) = p(x n + t h) = ( ) i i y n. i Sledi dp dx = p d t = t d x h x=xn t= Odvod binomskega koeficienta da d dt ( ( t)( t ) ( t (i )) i! dp dx i= ( d k ( ) ) t ( ) i i y n. dt i i= t= = h ) = t=, i =, ( ) i, i i >, J.Kozak Uvod v numerične metode - x=x i= 4 / 4 k i i y n.,
41 J.Kozak Uvod v numerične metode - 4 / 4 To pomnožimo s h in dobimo BDF metode v obliki k i i y n = hf(x n, y n ), k =,,... i= k metoda y n = y n + hf (x n, y n ) y n = 4 3 y n 3 y n + 3 hf (x n, y n ) 3 y n = 8 y n 9 y n + y n hf (x n, y n ) 4 y n = 48 5 y n 36 5 y n y n y n hf (x n, y n ) 5 y n = 3 37 y n 3 37 y n + 37 y n y n y n hf (x n, y n )
Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότερα8. Navadne diferencialne enačbe
8. Navadne diferencialne enačbe 8.1. Začetni problem prvega reda Iščemo funkcijo y(x), ki zadošča diferencialni enačbi y = f(x, y) in začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0, kjer je f dana dovolj gladka funkcija
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Poglavje 6 Navadne diferencialne enačbe 6.1 Uvod Splošna rešitev navadne diferencialne enačbe n-tega reda F(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 je n-parametrična družina funkcij. Kadar želimo iz splošne rešitve
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe Navadne diferencialne enačbe prvega reda V celotnem poglavju bo y = dy dx. Diferencialne enačbe z ločljivima spremeljivkama Diferencialna enačba z ločljivima spremeljivkama
Διαβάστε περισσότεραvezani ekstremi funkcij
11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραNekaj zgledov. J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) / 21
Nekaj zgledov J.Kozak Numerične metode II (IŠRM) 2011-2012 1 / 21 V robnih problemih rešitev diferencialne enačbe zadošča dodatnim pogojem, ki niso vsi predpisani v isti točki. Že osnovna zahteva, kot
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραα i y n i + h β i f n i = 0, Splošni nastavek je k
10.4 Večkoračne metode Splošni nastavek je k α i y n i + h i=0 k β i f n i = 0, kjer je f i = f(x i, y i ), privzamemo pa še α 0 = 1. Če je β 0 = 0, je metoda eksplicitna, sicer pa implicitna. i=0 Adamsove
Διαβάστε περισσότεραAnaliza 2 Rešitve 14. sklopa nalog
Analiza Rešitve 1 sklopa nalog Navadne diferencialne enačbe višjih redov in sistemi diferencialnih enačb (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) 6 + 8 0, (b)
Διαβάστε περισσότερα3.1 Reševanje nelinearnih sistemov
3.1 Reševanje nelinearnih sistemov Rešujemo sistem nelinearnih enačb f 1 (x 1, x 2,..., x n ) = 0 f 2 (x 1, x 2,..., x n ) = 0. f n (x 1, x 2,..., x n ) = 0. Pišemo F (x) = 0, kjer je x R n in F : R n
Διαβάστε περισσότεραFAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila
FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22 junij 212 Ime in priimek: Vpisna št: Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja Veljale bodo samo rešitve na papirju, kjer
Διαβάστε περισσότεραReševanje sistema linearnih
Poglavje III Reševanje sistema linearnih enačb V tem kratkem poglavju bomo obravnavali zelo uporabno in zato pomembno temo linearne algebre eševanje sistemov linearnih enačb. Spoznali bomo Gaussovo (natančneje
Διαβάστε περισσότεραPodobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik
Podobnost matrik Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Matjaž Željko FKKT Kemijsko inženirstvo 14 teden (Zadnja sprememba: 23 maj 213) Matrika A R n n je podobna matriki B R n n, če obstaja obrnljiva
Διαβάστε περισσότεραNavadne diferencialne enačbe
Navadne diferencialne enačbe (študijsko gradivo) Matija Cencelj 1. maja 2003 2 Kazalo 1 Uvod 5 1.1 Preprosti primeri......................... 8 2 Diferencialne enačbe prvega reda 11 2.1 Ločljivi spremenljivki.......................
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότερα11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE
11.5 Metoda karakteristik za hiperbolične PDE Hiperbolična kvazi linearna PDE ima obliko au xx + bu xy + cu yy = f, (1) kjer so a, b, c, f funkcije x, y, u, u x in u y, ter velja b 2 4ac > 0. Če predpostavimo,
Διαβάστε περισσότεραDragi polinom, kje so tvoje ničle?
1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.
Διαβάστε περισσότεραMatematično modeliranje 3. poglavje Dinamično modeliranje: diferencialne enačbe, sistemi diferencialnih enačb
Matematično modeliranje 3. poglavje Dinamično modeliranje: diferencialne enačbe, sistemi diferencialnih enačb Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani 2017/2018 Za kaj rabimo diferencialne
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραIzpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega
Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,
Διαβάστε περισσότεραV tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.
Poglavje IV Determinanta matrike V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant 1 Definicija Preden definiramo determinanto,
Διαβάστε περισσότεραInterpolacija in aproksimacija funkcij
Poglavje 4 Interpolacija in aproksimacija funkcij Na interpolacijo naletimo, kadar moramo vrednost funkcije, ki ima vrednosti znane le v posameznih točkah (pravimo jim interpolacijske točke), izračunati
Διαβάστε περισσότεραLinearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti
Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika 1 Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 21. april 2008 102 Poglavje 4 Odvod 4.1 Definicija odvoda Naj bo funkcija f definirana na intervalu (a, b) in x 0 točka s tega intervala. Vzemimo
Διαβάστε περισσότεραOdvode odvisnih spremenljivk po neodvisni spremenljivki bomo označevali s piko: Sistem navadnih diferencialnih enačb prvega reda ima obliko:
4 Sisemi diferencialnih enačb V prakičnih primerih večkra naleimo na več diferencialnih enačb, ki opisujejo določen pojav in so medsebojno povezane edaj govorimo o sisemih diferencialnih enačb V eh enačbah
Διαβάστε περισσότεραOsnove matematične analize 2016/17
Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1
Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije
Διαβάστε περισσότεραKombinatorika. rekurzivnih enačb in rodovne funkcije. FMF Matematika Finančna matematika. Vladimir Batagelj. Ljubljana, april
FMF Matematika Finančna matematika Kombinatorika Reševanje rekurzivnih enačb in rodovne funkcije Vladimir Batagelj Math fun: Pascal triangle Ljubljana, april 2008 4. Dec 2012 različica: December 4, 2012
Διαβάστε περισσότεραDomača naloga 6: dušeno nihanje
Domača naloga 6: dušeno nihanje Vaje iz predmeta Numerične metode v fiziki Igor Grešovnik Kazalo: 1 Naloga 6a Nihanje... 1.1 Enačbe nihanja... 1. Numerično reševanje problema... 3 1..1 Reševanje sistema
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραDefinicija 1. Naj bo f : D odp R funkcija. Funkcija F : D odp R je primitivna funkcija funkcije f, če je odvedljiva in če velja F = f.
Nedoločeni integral V tem razdelku si bomo pogledali operacijo, ki je na nek način inverzna odvajanju. Za dano funkcijo bomo poskušali poiskati neko drugo funkcijo, katere odvod bo ravno dana funkcija.
Διαβάστε περισσότεραMatematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.
1 / 46 Univerza v Ljubljani, FE Potenčna Korenska Melita Hajdinjak Matematika I (VS) Kotne 013/14 / 46 Potenčna Potenčna Funkcijo oblike f() = n, kjer je n Z, imenujemo potenčna. Število n imenujemo eksponent.
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραProblem lastnih vrednosti
Problem lastnih vrednosti Naj bo A R n n. Iščemo lastni par, da zanj velja Ax = λx, kjer je x C n, x 0 (desni) lastni vektor, λ C pa lastna vrednost. Vektor y 0, pri katerem je y H A = λy H, je levi lastni
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA III Maribor, september 215 ii Kazalo Diferencialni račun vektorskih funkcij 1 1.1 Skalarne funkcije...........................
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραMatematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija
Matematika 1 3. vaja B. Jurčič Zlobec 1 1 Univerza v Ljubljani, Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija Matematika FE, Ljubljana, Slovenija 2011 Določi stekališča zaporedja a
Διαβάστε περισσότεραZbirka rešenih izpitnih nalog iz numeričnih metod
Zbirka rešenih izpitnih nalog iz numeričnih metod Borut Jurčič - Zlobec Andrej Perne Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Ljubljana 6 Kazalo Iterativno reševanje nelinearnih enačb 4 Navadna
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότεραMatematika. Funkcije in enačbe
Matematika Funkcije in enačbe (1) Nariši grafe naslednjih funkcij: (a) f() = 1, (b) f() = 3, (c) f() = 3. Rešitev: (a) Linearna funkcija f() = 1 ima začetno vrednost f(0) = 1 in ničlo = 1/. Definirana
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ
UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA NIKA HREN INTEGRALI RACIONALNIH FUNKCIJ DIPLOMSKO DELO LJUBLJANA, 203 UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA MATEMATIKA - RAČUNALNIŠTVO NIKA HREN Mentor: izr.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dveh in več spremenljivk
Poglavje 3 Funkcije dveh in več spremenljivk 3.1 Osnovni pojmi Definicija 3.1.1. Funkcija dveh spremenljivk je preslikava, ki vsaki točki (x, y) ravninske množice D priredi realno število z = f(x, y),
Διαβάστε περισσότεραShefferjeva polinomska zaporedja
Shefferjeva polinomska zaporedja Marko Razpet Matematični kolokviji Ljubljana, 23. marca 2006 Page 1 of 63 Predstavljen bo osnovni koncept umbralnega računa, kakršnega sta razvila Gian-Carlo Rota in Steven
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA II
UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO Petra Žigert Pleteršek MATEMATIKA II Maribor, 2016 Kazalo Uvod v linearno algebro 1 1.1 Matrike................................ 1 1.2 Računanje
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta
Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,
Διαβάστε περισσότεραUvod v numerične metode
Uvod v numerične metode B. Plestenjak, J.Kozak: Uvod v numerične metode 2011-2012 1 / 56 Jernej Kozak Jadranska 21, IV. nadstropje, št. 407. Iz dvigala, v desno, do konca hodnika in korak v smeri Krima.
Διαβάστε περισσότεραVARIACIJSKE SUBDIVIZIJSKE SHEME
UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Seminar za Numerično analizo VARIACIJSKE SUBDIVIZIJSKE SHEME Ljubljana, 004 Marjeta Krajnc . Uvod Subdivizija je postala v zadnjih letih zelo pomembno
Διαβάστε περισσότεραLastne vrednosti in lastni vektorji
Poglavje VIII Lastne vrednosti in lastni vektorji V tem poglavju bomo privzeli, da so skalarji v vektorskih prostorih, koeficienti v matrikah itd., kompleksna števila. Algebraične operacije seštevanja,
Διαβάστε περισσότεραD f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,
Linearna funkcija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k, n ᄀ. k smerni koeficient n začetna vrednost D f, Z f Definicijsko območje linearne funkcije so vsa realna števila. Zaloga
Διαβάστε περισσότεραUporabna matematika za naravoslovce
Uporabna matematika za naravoslovce Zapiski predavanj Študijski programi: Aplikativna kineziologija, Biodiverziteta Študijsko leto 203/4 doc.dr. Barbara Boldin Fakulteta za matematiko, naravoslovje in
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραUvod v numerične metode (matematika)
Bor Plestenjak Uvod v numerične metode (matematika) delovna verzija verzija: 5. oktober 202 Kazalo Uvod 5. Numerična matematika................................. 5.2 Plavajoča vejica......................................
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότεραOsnovne lastnosti odvoda
Del 2 Odvodi POGLAVJE 4 Osnovne lastnosti odvoda. Definicija odvoda Odvod funkcije f v točki x je definiran z f f(x + ) f(x) (x) =. 0 Ta definicija je smiselna samo v primeru, ko x D(f), ita na desni
Διαβάστε περισσότεραBor Plestenjak. Numerične metode. delovna verzija. verzija: 4. marec 2010
Bor Plestenjak Numerične metode delovna verzija verzija: 4. marec 200 Kazalo Uvod 7. Numerična matematika................................. 7.2 Plavajoča vejica...................................... 0.3
Διαβάστε περισσότεραUvod v numerične metode
Uvod v numerične metode Bor Plestenjak soba 4.04 bor.plestenjak@fmf.uni-lj.si http://www-lp.fmf.uni-lj.si/plestenjak/vaje/vaje.htm asistent: Gašper Jaklič Režim 2 sklopa domačih nalog - 20% pisne ocene
Διαβάστε περισσότεραMatrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1
Poglavje II Matrike Matrika je pravokotna tabela realnih števil Na primer: [ ] 1 1 1, 2 3 1 1 0 1 3 2 1, 0 1 4 [ ] 2 7, Matrika je sestavljena iz vrstic in stolpcev Vrstici matrike [ ] 1 1 1 2 3 1 [ ]
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Διαβάστε περισσότεραPoglavje 2. Sistemi linearnih enačb
Poglavje 2 Sistemi linearnih enačb Najpogostejši problem, na katerega naletimo pri numeričnem računanju, je reševanje sistema linearnih enačb Tak sistem lahko dobimo direktno iz matematične formulacije
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραRealne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1
Realne funkcije Funkcija f denirana simetri nem intervalu D = ( a, a) ali D = [ a, a] (i) je soda, e velja f(x) = f( x), x D; (ii) je liha, e velja f(x) = f( x), x D. Naj bo f denirana D f in x 1, x 2
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραJasna Prezelj DIFERENCIALNE ENAČBE. za finančno matematiko
Jasna Prezelj DIFERENCIALNE ENAČBE za finančno matematiko Ljubljana 211 naslov: DIFERENCIALNE ENAČBE ZA FINANČNO MATEMATIKO avtorske pravice: Jasna Prezelj izdaja: prva izdaja založnik: samozaložba Jasna
Διαβάστε περισσότεραZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko Andrej Perne ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I Skripta za vaje iz Matematike I (UNI + VSP) Ljubljana, množice Osnovne definicije: Množica A je podmnožica
Διαβάστε περισσότεραOsnove linearne algebre
Osnove linearne algebre Matrike Matrika razsežnosti n m je A = a 1 1 a 1 2 a 1 m a 2 1 a 2 2 a 2 m a n 1 a n 2 a n m Če je n = m, tedaj matriko imenujemo kvadratna matrika Elementi matrike so lahko realna
Διαβάστε περισσότεραNumerična analiza. Bor Plestenjak. Fakulteta za matematiko in fiziko. Jadranska 21, 4. nadstropje, soba 4.04
Numerična analiza Bor Plestenjak Fakulteta za matematiko in fiziko Jadranska 21, 4. nadstropje, soba 4.04 govorilne ure: četrtek 11-12 oz. po dogovoru bor.plestenjak@fmf.uni-lj.si http://www-lp.fmf.uni-lj.si/plestenjak/vaje/vaje.htm
Διαβάστε περισσότερα1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE
1. UREJENE OBLIKE KVADRATNE FUNKCIJE A) Splošna oblika Definicija 1 : Naj bodo a, b in c realna števila in a 0. Realno funkcijo: f : x ax + bx + c imenujemo kvadratna funkcija spremenljivke x v splošni
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότερα8. Posplošeni problem lastnih vrednosti
8. Posplošeni problem lastnih vrednosti Bor Plestenjak NLA 13. april 2010 Bor Plestenjak (NLA) 8. Posplošeni problem lastnih vrednosti 13. april 2010 1 / 15 Matrični šop Dani sta kvadratni n n matriki
Διαβάστε περισσότεραRačunalniško vodeni procesi I
Šolski center Velenje Višja strokovna šola Velenje Trg mladosti 3, 33 Velenje Računalniško vodeni procesi I Osnove višješolske matematike Interno gradivo - druga, popravljena izdaja Robert Meolic. september
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραPoliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009
Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009 Pri linearnem programiranju imamo opravka s končnim sistemom neenakosti in končno spremenljivkami, torej je množica dopustnih rešitev presek končno mnogo polprostorov.
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU
I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH
Διαβάστε περισσότερα