Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21

Transcript

1

2

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 13 Κατάλογος συμβολών και συντμήσεων 15 1 ΓΙΑΤΙ ΝΑ ΑΣΧΟΛΗΘΟΥΜΕ ΜΕ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ; 21 Χρήση στατιστικών τεχνικών στις επιχειρήσεις 21 Οι δυο έννοιες της λέξης στατιστική 22 Πληθυσμοί και δείγματα 23 Εφαρμογή της στατιστικής στις επιχειρήσεις 25 Σχέση μεταξύ πιθανοτήτων και στατιστικής 26 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 28 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 29 2 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 31 Μέτρα κεντρικής τάσης: μέσος, διάμεσος, και επικρατούσα τιμή 31 Μέσος 32 Διάμεσος 33 Επικρατούσα τιμή 35 Μέτρα διασποράς: διακύμανση και τυπική απόκλιση 36 Διακύμανση 39 Τυπική απόκλιση 40 Ιστογράμματα συχνοτήτων 46 Ομαδοποιημένα δεδομένα 49 Το ιστόγραμμα 54 Άλλα γραφήματα 57 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 67 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 68 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 70

4 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 75 Το στρίψιμο του κέρματος 75 Υπολογισμός των πιθανοτήτων 77 Χρήση παραγοντικών 80 Έλεγχος υποθέσεων 82 Η μηδενική υπόθεση και η εναλλακτική υπόθεση 83 Αποφυγή των σφαλμάτων τύπου Ι και τύπου ΙΙ 84 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 90 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 91 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 93 4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 97 Ερμηνείες των πιθανοτήτων 97 Η ερμηνεία των πιθανοτήτων από το χαρτοπαίκτη 98 Χώροι πιθανοτήτων 99 Πιθανότητα ενός ενδεχόμενου 102 Πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο 102 Πιθανότητα να μη συμβεί ένα ενδεχόμενο 104 Πιθανότητα μιας ένωσης 105 Πιθανότητα μιας τομής 107 Η πολλαπλασιαστική αρχή 112 Δειγματοληψία με επανάθεση 113 Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση 115 Μεταθέσεις 117 Συνδυασμοί 119 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 133 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 134 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ 143 Υπολογισμός δεσμευμένων πιθανοτήτων 144 Ανεξάρτητα ενδεχόμενα 148 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 152 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 153 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 155

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7 6 ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 159 Συναρτήσεις πιθανοτήτων 161 Αναμενόμενη τιμή 166 Διακύμανση 169 Δόκιμες Bernoulli 172 Διακύμανση ενός αθροίσματος 174 Τυχαία δείγματα 177 Υπολογισμός της μέσης τιμής 181 Ο νόμος των μεγάλων αριθμών 183 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 183 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 184 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΩΝΥΜΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ, ΚΑΤΑΝΟΜΗ POISSON ΚΑΙ ΥΠΕΡΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ 189 Η διωνυμική κατανομή 190 Υπολογισμός της μαθηματικής ελπίδας και της διακύμανσης μιας διωνυμικής τυχαίας μεταβλητής 193 Εφαρμογές της διωνυμικής κατανομής 194 Υπολογισμός της αναλογίας των επιτυχιών 197 Η κατανομή Poisson 198 Εφαρμογή της κατανομής Poisson: Θεωρία ουρών 199 Άλλες εφαρμογές της κατανομής Poisson 200 Υπολογισμός της αναμενόμενης τιμής και της διακύμανσης μιας τυχαίας μεταβλητής Poisson 201 Η υπεργεωμετρική κατανομή 201 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 204 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 205 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ 211 Η ομοιόμορφη κατανομή 211 Η καμπύλη με το σχήμα καμπάνας 213 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές 214 Συναρτήσεις συνεχών αθροιστικών κατανομών 215 Συναρτήσεις πυκνότητας συνεχών πιθανοτήτων 218

6 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ορισμός της συνάρτησης πυκνότητας μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής 220 Αναμενόμενη τιμή και διακύμανση μιας συνεχούς τυχαίας μεταβλητής 222 Η κανονική κατανομή 222 Ιδιότητες της κανονικής κατανομής 222 Η αθροιστική ιδιότητα των κανονικών τυχαίων μεταβλητών 224 Η τυπική κανονική κατανομή 226 Το κεντρικό οριακό θεώρημα 232 Η κατανομή χ Η κατανομή t 241 Η κατανομή F 243 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 244 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 245 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΜΕ ΔΥΟ ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗ 253 Από κοινού συναρτήσεις πιθανοτήτων 253 Περιθώριες συναρτήσεις πιθανοτήτων ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών 256 Συναρτήσεις δεσμευμένων πιθανοτήτων 258 Ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές 260 Συνδιακύμανση και συσχέτιση 261 Συνδιακύμανση 261 Συσχέτιση 263 Τυχαίες μεταβλητές με τέλεια συσχέτιση 265 Διακύμανση ενός αθροίσματος 266 Χαρτοφυλάκια μετοχών 268 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 271 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 272 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΚΤΙΜΗΣΗ 279 Εκτίμηση του μέσου 280 Εκτιμήτριες μέγιστης πιθανοφάνειας 282 Συνεπείς εκτιμήτριες 283 Αμερόληπτες εκτιμήτριες 283

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 285 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 286 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ 291 Υπολογισμός διαστημάτων εμπιστοσύνης του μέσου όταν είναι γνωστή η διακύμανση 292 Υπολογισμός διαστημάτων εμπιστοσύνης με χρήση της κατανομής t 295 Υπολογισμός του διαστήματος εμπιστοσύνης της διακύμανσης 299 Υπολογισμός του διαστήματος εμπιστοσύνης της διαφοράς δυο μέσων 300 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 304 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 304 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΔΗΜΟΣΚΟΠΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΕΣ 309 Σφυγμομετρήσεις 309 Μέθοδοι για την επιλογή δείγματος 311 Χρήση της διωνυμικής κατανομής 313 Διαστήματα εμπιστοσύνης αναλογιών 314 Με χρήση της κανονικής κατανομής 314 Ανάλυση του ποσοστιαίου σφάλματος σε σχέση με το μέγεθος του δείγματος 319 Είδη μεθόδων δειγματοληψίας 323 Δειγματοληψία κατά συστάδες 323 Στρωματοποιημένη δειγματοληψία 324 Ευκαιριακές δειγματοληψίες 324 Έρευνες αγοράς 326 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 329 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 330 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 333 Στατιστικά ελέγχου 335 Έλεγχος μιας μηδενικής υπόθεσης 336 Αποφυγή σφαλμάτων τύπου Ι και τύπου ΙΙ 336 Έλεγχος της τιμής του μέσου 340 Ο έλεγχος μιας ουράς 344

8 10 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Έλεγχος υποθέσεων που αφορούν την πιθανότητα επιτυχίας 346 Έλεγχος της διαφοράς δυο μέσων 348 Το στατιστικώς σημαντικό είναι και άξιο λόγου; 351 Δείγματα κατά ζεύγη 353 Έλεγχος της διαφοράς δυο αναλογιών 354 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 357 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 358 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ο ΕΛΕΓΧΟΣ Χ Ο πίνακας συνάφειας 361 Ανάπτυξη ενός κριτηρίου ελέγχου 362 Εφαρμογή του ελέγχου χ Έλεγχοι καλής προσαρμογής 369 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 372 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 373 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 381 Έλεγχος της ισότητας πολλών μέσων 381 Άθροισμα τετραγώνων 386 Ολικό άθροισμα τετραγώνων 387 Άθροισμα τετραγώνων των σφαλμάτων 389 Άθροισμα τετραγώνων των αγωγών 389 Μέση τετραγωνική διακύμανση 389 Πίνακας ANOVA 390 Δυο λεπτά σημεία στη χρήση ελέγχων ανάλυσης διακύμανσης 392 Ανάλυση διακύμανσης με δείγματα άνισων μεγεθών 392 Ανάλυση διακύμανσης δυο παραγόντων 394 Αθροίσματα τετραγώνων γραμμών, στηλών και σφαλμάτων 398 Πίνακας ANOVA δυο παραγόντων 399 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 404 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 405 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 409 Η γραμμή παλινδρόμησης 410 Υπολογισμός μιας γραμμής παλινδρόμησης 417

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 11 Ακρίβεια της γραμμής παλινδρόμησης 422 Συσχέτιση 425 Στατιστική ανάλυση της παλινδρόμησης 428 Πρόβλεψη τιμών της μεταβλητής y 435 Τέσσερα σημεία που χρειάζονται προσοχή κατά την πρόβλεψη τιμών 435 Πρόβλεψη των τιμών της εξαρτημένης μεταβλητής 438 Ανάλυση υπολοίπων 440 Μετασχηματισμοί με λογάριθμους 445 Εφαρμογή: Ανάλυση χαρτοφυλακίου 449 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 451 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 452 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 457 Πολλές ανεξάρτητες μεταβλητές 457 Ένα παράδειγμα χρήσης της πολλαπλής παλινδρόμησης 458 Δυο διαφορές μεταξύ της απλής παλινδρόμησης και της πολλαπλής παλινδρόμησης 459 Αποτελέσματα της πολλαπλής παλινδρόμησης 461 Η τιμή R Η στατιστική F 465 Έλεγχος μεμονωμένων συντελεστών 466 Περαιτέρω ανάλυση των μοντέλων παλινδρόμησης 468 Παράρτημα: μαθηματικοί τύποι παλινδρόμησης 472 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 476 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 477 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ 481 Προσημικός έλεγχος 482 Έλεγχος friedman F r 483 Έλεγχος αθροίσματος βαθμίδων του Wilcoxon 486 Έλεγχος Kruskal Wallis H 488 Προσημικός βαθμολογικός έλεγχος Wilcoxon 488 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 491 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 491 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 496

10 12 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 19 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΙΣ 501 Ακαθάριστο εγχώριο προϊόν 502 Οδηγίες για τον υπολογισμό του ΑΕΠ 503 Δείκτες τιμών 507 Ο δείκτης τιμών καταναλωτή 511 Ο δείκτης τιμών παραγωγού 513 Χρονολογικά δεδομένα 513 Συνιστώσες των χρονολογικών δεδομένων 516 Προσδιορισμός της τάσης με τον υπολογισμό κινητών μέσων 517 Προσδιορισμός της τάσης με την παλινδρόμηση 520 Εκθετική εξομάλυνση 523 Προσαρμογή λόγω εποχικότητας 526 Η ανάγκη για προσαρμογές λόγω εποχικότητας 526 Η μέθοδος του λόγου ως προς τον κινητό μέσο 529 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 534 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 535 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ 537 Το δένδρο αποφάσεων 538 Αντικειμενικές μεταβλητές 540 Πίνακας αμοιβών 540 Αναμενόμενη αμοιβή 542 Ωφελεία και ρίσκο 545 ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 547 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 548 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 549 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑTA ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 1 Γλωσσάρι 553 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 2 Υπολογισμοί 573 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 3 Στατιστικοί πίνακες 587 ΛΕΞΙΚΟ ΟΡΩΝ 597 EΥΡΕΤΗΡΙΟ 607

11 3 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ έλεγχος υποθέσεων (hypothesis testing): μια διαδικασία της στατιστικής κατά την οποία συλλέγονται αρχικά ενδείξεις και στη συνέχεια λαμβάνεται μια απόφαση για το αν θα πρέπει μια συγκεκριμένη υπόθεση να γίνει αποδεκτή ή να απορριφθεί. παραγοντικό (factorial): για ένα δεδομένο ακέραιο αριθμό, το γινόμενο όλων των ακέραιων αριθμών από το 1 μέχρι και αυτόν τον αριθμό. πιθανότητα (probability): η μελέτη τυχαίων φαινομένων. Σαν εισαγωγή στις πιθανότητες θα ερευνήσουμε το στρίψιμο ενός κέρματος. Θα πρέπει, βέβαια, να παραδεχθούμε ότι ελάχιστες επιχειρηματικές αποφάσεις εξαρτώνται από το αν ένα κέρμα θα πέσει "κορώνα" ή "γράμματα", αλλά η μελέτη των πιθανοτήτων που έχουν να κάνουν με το στρίψιμο ενός κέρματος θα μας δώσει την ευκαιρία να κάνουμε πολύτιμη πρακτική εξάσκηση για τις δυσκολότερες έννοιες που θα συναντήσουμε στη συνέχεια. ΤΟ ΣΤΡΙΨΙΜΟ ΤΟΥ ΚΕΡΜΑΤΟΣ Αν ρίξετε ένα κέρμα, το αποτέλεσμα θα είναι είτε "κορώνα" είτε "γράμματα". Παρόλα αυτά, πρακτικά είναι αδύνατο να προβλέψει κανείς με βεβαιότητα το αποτέλεσμα. Θα μπορούσαμε, θεωρητικά, να υπολογίσουμε τη διαδρομή του κέρματος χρησιμοποιώντας τους νόμους της μηχανικής αν γνωρίζαμε την αρχική δύναμη

12 76 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ που ασκήθηκε σε αυτό και τις υπόλοιπες δυνάμεις που επηρεάζουν την πορεία του για να προσδιορίσουμε την πλευρά στην οποία θα καταλήξει το κέρμα όταν φτάσει στο τέλος της διαδρομής του. Επειδή, όμως, αυτό είναι εξαιρετικά δύσκολο, για πρακτικούς λόγους μπορούμε να θεωρήσουμε το στρίψιμο ενός κέρματος ένα πολύ καλό παράδειγμα τυχαίου ενδεχομένου: δεν υπάρχει κανείς ακριβής τρόπος για να προβλέψουμε το αποτέλεσμα. Πάντως, αν στρίψουμε ένα κέρμα περισσότερες από μία φορές μπορούμε να κάνουμε μερικές πολύ ενδιαφέρουσες προβλέψεις για το τι θα συμβεί. Πρόκειται για ένα γενικό χαρακτηριστικό των τυχαίων ενδεχομένων και για έναν από τους θεμέλιους λίθους της θεωρίας των πιθανοτήτων: κανείς δεν μπορεί να προβλέψει τι θα συμβεί σε μία περίπτωση, αλλά, αν παρατηρήσουμε το ίδιο πράγμα να συμβαίνει πολλές φορές, είμαστε σε θέση να προβλέψουμε ορισμένα πράγματα. Για παράδειγμα, αν ρίξετε ένα βελάκι στη σελίδα ενός τηλεφωνικού καταλόγου και προσπαθήσετε να μαντέψετε το ύψος του ατόμου στο όνομα του οποίου καρφώθηκε το βελάκι, κατά πάσα πιθανότητα θα πέσετε έξω. Αν διαλέξετε 100 άτομα στην τύχη και προσπαθήσετε να μαντέψετε το μέσο ύψος τους, είναι πολύ πιο πιθανό να το πετύχετε. Αν στρίψετε ένα κέρμα δύο φορές, υπάρχουν τέσσερα δυνατά αποτελέσματα: κορώνα-κορώνα, κορώνα-γράμματα, γράμματα-κορώνα, και γράμματα-γράμματα. (Από εδώ και πέρα, θα συμβολίζουμε το κορώνα με Κ και τα γράμματα με Γ.) Υπάρχουν δύο πιθανά αποτελέσματα για το πρώτο στρίψιμο και, για κάθε πιθανό αποτέλεσμα του πρώτου στριψίματος, υπάρχουν δύο πιθανότητες για το δεύτερο στρίψιμο. Τώρα, αν χρειάζεται να ξέρουμε αν το κέρμα δεν θα έρθει καμία φορά κορώνα, αν θα έρθει μία φορά κορώνα, ή αν θα έρθει δύο φορές κορώνα στα δύο στριψίματά του, μπορούμε να κάνουμε κάποια πρόβλεψη. Με την προϋπόθεση ότι το κέρμα είναι αμερόληπτο ότι έχει, δηλαδή, ίσες πιθανότητες να έρθει κορώνα ή γράμματα καθένα από τα τέσσερα δυνατά αποτελέσματα (ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ) είναι το ίδιο πιθανό με τα υπόλοιπα. Θα φέρουμε δύο φορές κορώνα αν συμβεί το αποτέλεσμα 1 (ΚΚ) και δεν θα φέρουμε καμία φορά κορώνα αν συμβεί το αποτέλεσμα 4 (ΓΓ). Κατά συνέπεια, έχουμε τις ίδιες ακριβώς πιθανότητες να μη φέρουμε καμία φορά κορώνα ή να φέρουμε και τις δύο φορές κορώνα. Αντίθετα, αν συμβεί το αποτέλεσμα 2 (ΚΓ) ή το αποτέλεσμα 3 (ΓΚ) θα φέρουμε ακριβώς μία φορά κορώνα. Έτσι, το καλύτερο που έχουμε να κάνουμε είναι να στοιχηματίσουμε ότι στα δύο στριψίματα θα φέρουμε μία φορά κορώνα. Φυσικά, και πάλι έχουμε 50% πιθανότητες να πέσουμε έξω, αλλά είναι περισσότερο πιθανό να προβλέψουμε σωστά απ' ό,τι αν μαντεύαμε ότι δεν θα φέρουμε καμία φορά κορώνα ή ότι θα φέρουμε και τις δύο.

13 ΤΟ ΣΤΡΙΨΙΜΟ ΤΟΥ ΚΕΡΜΑΤΟΣ 77 Κατά πάσα πιθανότητα, όλα αυτά μπορεί να τα έχετε σκεφτεί και από μόνοι σας, χωρίς να γνωρίζετε το παραμικρό για τη θεωρία των πιθανοτήτων. Δοκιμάστε, λοιπόν, να εφαρμόσετε τις ίδιες αυτές ιδέες για να υπολογίσετε πόσες φορές θα φέρετε κορώνα αν στρίψετε ένα κέρμα n φορές. Δεν θα μας προκαλούσε καμία έκπληξη αν μαντεύατε ότι, αν στρίψετε ένα κέρμα 92 φορές, το πιθανότερο είναι να φέρετε κορώνα περίπου 46 φορές. Στην αρχή του θεατρικού έργου "Ο Ρόζενκραντζ και ο Γκίλντενστερν είναι νεκροί", ο Γκίλντενστερν φέρνει κορώνα 92 φορές στη σειρά, χάνοντας μια περιουσία που την κερδίζει ο Ρόζενκραντζ. Προφανώς καταλαβαίνετε ότι κάτι τέτοιο είναι εξαιρετικά απίθανο να συμβεί. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Γενικά, αν στρίψετε ένα κέρμα n φορές, όπου το n είναι κάποιος μεγάλος αριθμός, θα μπορούσατε να περιμένετε ότι θα φέρετε κορώνα περίπου n/2 φορές και ότι είναι μάλλον απίθανο να φέρετε n κορώνες στη σειρά. Ας εξετάσουμε πρώτα την περίπτωση του στριψίματος ενός κέρματος τρεις φορές. Υπάρχουν οκτώ πιθανά αποτελέσματα: ΚΚΚ, ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΚΓΓ, ΓΚΚ, ΓΚΓ, ΓΓΚ, ΓΓΓ Αυτό είναι το πρώτο βήμα για να υπολογίσουμε μια πιθανότητα: να βρούμε πόσα είναι τα δυνατά αποτελέσματα. Στη συνέχεια, πρέπει να βρούμε πόσα από αυτά τα αποτελέσματα μας οδηγούν στο ενδεχόμενο που μας ενδιαφέρει. Η πιθανότητα (probability) να συμβεί αυτό το ενδεχόμενο ισούται με το πηλίκο της διαίρεσης του πλήθους των τρόπων να συμβεί το συγκεκριμένο ενδεχόμενο δια το συνολικό πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων. Για παράδειγμα: Ενδεχόμενο που μας ενδιαφέρει Καμία φορά κορώνα Μία φορά κορώνα Δύο φορές κορώνα Τρεις φορές κορώνα Αποτελέσματα που οδηγούν στο ενδεχόμενο Πλήθος αποτελεσμάτων Πιθανότητα του ενδεχομένου ΓΓΓ 1 1/8 ΚΓΓ, ΓΚΓ, ΓΓΚ 3 3/8 ΚΚΓ, ΚΓΚ, ΓΚΚ 3 3/8 ΚΚΚ 1 1/8

14 78 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Αν πρέπει οπωσδήποτε να μαντέψετε πόσες φορές θα φέρετε κορώνα σε τρία στριψίματα του κέρματος, καλό θα ήταν να μαντέψετε μία ή δύο φορές. Είναι προφανές ότι δεν πρέπει να μαντέψετε ούτε καμία ούτε τρεις φορές. Μπορούμε να ακολουθήσουμε την ίδια μέθοδο αν χρειάζεται να κάνουμε πρόβλεψη για τα αποτελέσματα που θα φέρουμε αν στρίψουμε ένα κέρμα τέσσερις φορές: θα καταγράψουμε όλα τα δυνατά αποτελέσματα, και μετά θα μετρήσουμε πόσα αποτελέσματα δεν έχουν καθόλου κορώνα, πόσα έχουν μία, και πάει λέγοντας. Αυτή η μέθοδος θα αρχίσει, όμως, να μας κουράζει, και θα γίνει ακόμη πιο δύσκολη αν την εφαρμόσουμε για περισσότερα στριψίματα του κέρματος. Αυτό που χρειαζόμαστε είναι να βρούμε κάποιον τρόπο ώστε να μετράμε τα δυνατά α- ποτελέσματα χωρίς να χρειάζεται να τα καταγράφουμε ένα προς ένα. Αυτό είναι μία από τις σημαντικότερες έννοιες της θεωρίας των πιθανοτήτων. Πρώτα πρώτα, θα πρέπει να μετρήσουμε όλα τα δυνατά αποτελέσματα που μπορούμε να φέρουμε στρίβοντας το κέρμα τέσσερις φορές. Υπάρχουν δύο πιθανότητες για το πρώτο στρίψιμο, μετά για κάθε μία από αυτές υπάρχουν δύο πιθανότητες για το δεύτερο στρίψιμο, έπειτα για καθέναν από αυτούς τους συνδυασμούς υπάρχουν δύο πιθανότητες για το τρίτο στρίψιμο, και ούτω καθεξής. Συνολικά, υπάρχουν = 2 4 = 16 πιθανά αποτελέσματα. Θα πρέπει τώρα να έχετε αντιληφθεί ότι, αν στρίψουμε ένα κέρμα n φορές, υπάρχουν 2 n πιθανά αποτελέσματα. Μπορείτε, λοιπόν, να διαπιστώσετε γιατί δεν είναι δυνατή η καταγραφή όλων των δυνατών συνδυασμών. Αν στρίψουμε ένα κέρμα 10 φορές, τα δυνατά αποτελέσματα είναι 2 10 = Στη συνέχεια, πρέπει να μετρήσουμε σε πόσα αποτελέσματα δεν θα φέρουμε καμία φορά κορώνα, σε πόσα θα φέρουμε μία φορά κορώνα, κ.ο.κ., μέχρι σε πόσα θα φέρουμε τέσσερις φορές κορώνα. Η περίπτωση να μη φέρουμε ούτε μία φορά κορώνα είναι εύκολη, καθώς υπάρχει μόνο ένα τέτοιο αποτέλεσμα (ΓΓΓΓ). Για να υπολογίσουμε τις πιθανότητες να φέρουμε μία φορά κορώνα θα πρέπει να δούμε πόσους διαφορετικούς τρόπους έχουμε για να γράψουμε ένα Κ και τρία Γ. Αφού, λοιπόν, υπάρχουν τέσσερις δυνατές θέσεις για το Κ, έχουμε τέσσερις πιθανές τετράδες: ΚΓΓΓ, ΓΚΓΓ, ΓΓΚΓ, ΓΓΓΚ. Τώρα πρέπει να βρούμε πόσους διαφορετικούς τρόπους έχουμε για να γράψουμε δύο Κ και δύο Γ. Υπάρχουν τέσσερις δυνατές θέσεις για το πρώτο Κ (ας το ονομάσουμε Κ1): Κ1 _, _ Κ1, Κ1 _, _ Κ1 Για κάθε μία από αυτές τις πιθανότητες υπάρχουν τρεις θέσεις για να τοποθετήσουμε το δεύτερο Κ (που θα ονομάσουμε Κ2):

15 Κ1 Κ2, Κ1_ Κ2 _, Κ1 Κ2, Κ2 Κ1, _ Κ1 Κ2 _, _ Κ1 _ Κ2, Κ2 _ Κ1 _, _ Κ2 Κ1 _, Κ1 Κ2, Κ2 Κ1, _ Κ2 _ Κ1, Κ2 Κ1 ΤΟ ΣΤΡΙΨΙΜΟ ΤΟΥ ΚΕΡΜΑΤΟΣ 79 (Προσέξτε ότι μας απασχολεί μόνο η τοποθέτηση των Κ μιας και, όταν το κάνουμε αυτό, η θέση των Γ θα είναι προφανής.) Υπάρχουν, λοιπόν, 12 δυνατοί τρόποι για να τοποθετήσουμε τα δύο πρώτα Κ. Ωστόσο, δεν έχει σημασία ποιο θα είναι το Κ1 και ποιο το Κ2. Ο συνδυασμός (_Κ1 Κ2_) είναι ίδιος με τον (_Κ2 Κ1_). Θα πρέπει, λοιπόν, να διαιρέσουμε με το 2 για να αποφύγουμε τη διπλή καταμέτρηση αυτών των συνδυασμών. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχουν έξι δυνατοί τρόποι για να φέρουμε δύο κορώνες: ΚΚΓΓ, ΚΓΚΓ, ΚΓΓΚ, ΓΚΚΓ, ΓΚΓΚ, ΓΓΚΚ Κατά συνέπεια, τα αποτελέσματα που θα φέρουμε μετά από τέσσερα στριψίματα του κέρματος θα είναι τα εξής: Φορές που θα φέρουμε κορώνα (h) Πλήθος αποτελεσμάτων με h κορώνες Πιθανότητα να φέρουμε h κορώνες 0 1 1/16 = 0, /16 = 0, /16 = 0, /16 = 0, /16 = 0,0625 (Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι οι παραπάνω πιθανότητες είναι συμμετρικές με άλλα λόγια, η πιθανότητα να φέρουμε h κορώνες είναι ακριβώς η ίδια με την πιθανότητα να φέρουμε h γράμματα.) Θα πρέπει τώρα να διατυπώσουμε το γενικό τύπο για τον υπολογισμό του πλήθους των αποτελεσμάτων στα οποία θα φέρουμε h κορώνες σε n στριψίματα του κέρματος. Κατά βάση, δεν θα κάνουμε τίποτε περισσότερο απ' ό,τι κάναμε προηγουμένως: πρέπει να βρούμε όλους τους δυνατούς τρόπους για να γράψουμε h Κ σε n θέσεις. Υπάρχουν n πιθανές θέσεις για το πρώτο Κ που θα γράψουμε, έπειτα απομένουν n 1 θέσεις για το δεύτερο Κ, μετά απομένουν n 2 θέσεις για το τρίτο Κ, και ούτω καθεξής. Συνολικά, έχουμε n (n 1) (n 2) (n 3)... (n h + 1)

16 80 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ δυνατούς τρόπους για να γράψουμε όλα τα Κ. Έπειτα, πρέπει να διαιρέσουμε με h (h 1) (h 2) (h 3) για να μην υπολογίσουμε πολλές φορές ίδια αποτελέσματα που έχουν διαφορετική διάταξη. Κατά συνέπεια, αν στρίψουμε ένα κέρμα n φορές, το πλήθος των δυνατών αποτελεσμάτων να φέρουμε ακριβώς h φορές κορώνα θα είναι: n (n 1) (n 2) (n 3)... (n h + 1) h (h 1) (h 2) (h 3) ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΩΝ Η ποσότητα h (h 1) (h 2) (h 3) έχει μεγάλο ενδιαφέρον. Στη θεωρία των πιθανοτήτων, συχνά πρέπει να υπολογίσουμε το γινόμενο όλων των φυσικών αριθμών από το 1 μέχρι ένα συγκεκριμένο αριθμό. Αυτή η ποσότητα ονομάζεται παραγοντικό (factorial) του αριθμού και συμβολίζεται με ένα θαυμαστικό (!). Για παράδειγμα: 3! = = 6, 4! = = 24, 10! = = ! = 1, Όπως διαπιστώνετε, τα παραγοντικά αυξάνονται πολύ γρήγορα. Θα πρέπει να είναι προφανές ότι 1! = 1. Θα συναντήσουμε επίσης κάποιους τύπους όπου θα πρέπει να υπολογίσουμε το n! όταν n = 0. Αυτοί οι τύποι δίνουν αποτέλεσμα μόνο αν το 0! έχει την τιμή 1, γι' αυτό και θα το δεχθούμε ως ορισμό. Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο του παραγοντικού στον παρονομαστή για να απλοποιήσουμε τον τύπο υπολογισμού του πλήθους των δυνατών συνδυασμών να φέρουμε h φορές κορώνα: n (n 1) (n 2) (n 3)... (n h + 1) h! Μπορούμε, όμως, να γράψουμε και τον αριθμητή με συντομότερο τρόπο χρησιμοποιώντας και εκεί το σύμβολο του παραγοντικού. Για να το κάνουμε, θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε και να διαιρέσουμε τον αριθμητή με (n h)!: n (n 1) (n 2)... (n h + 1) = = n (n 1) (n 2)... (n h + 1) (n h)! = (n h)!

17 ΤΟ ΣΤΡΙΨΙΜΟ ΤΟΥ ΚΕΡΜΑΤΟΣ 81 = n (n 1) (n 2) (n h)! n! = (n h)! Έτσι, μπορούμε να γράψουμε πολύ συνοπτικά τον τύπο μας ως: n! h!(n h)! (Θα ξανασυναντήσουμε αυτόν τον τύπο στο Κεφάλαιο 4.) Όλα αυτά σημαίνουν ότι είμαστε πλέον σε θέση να προβλέψουμε ότι, αν στρίψουμε ένα κέρμα n φορές, η πιθανότητα να φέρουμε h φορές κορώνα είναι n! h!(n h)! 2 n Ας βεβαιωθούμε ότι αυτός ο τύπος δίνει σωστό αποτέλεσμα για n = 5 (σε αυτή την περίπτωση, 2 n = 1/32): Πίνακας 3-1 h 0 5! 0!5! Πλήθος συνδυασμών με h φορές κορώνα = 1 ΓΓΓΓΓ Πιθανότητα να φέρουμε h φορές κορώνα 1/32 = 0, ! 1!4! = 5 ΚΓΓΓΓ, ΓΚΓΓΓ, ΓΓΚΓΓ, ΓΓΓΚΓ, ΓΓΓΓΚ 5/32 = 0, ! 2!3! = 10 ΚΚΓΓΓ, ΚΓΚΓΓ, ΚΓΓΚΓ, ΚΓΓΓΚ, ΓΚΚΓΓ, 10/32 = 0,313 ΓΚΓΚΓ, ΓΚΓΓΚ, ΓΓΚΚΓ, ΓΓΚΓΚ, ΓΓΓΚΚ 3 5! 3!2! = 10 ΓΓΚΚΚ, ΓΚΓΚΚ, ΓΚΚΓΚ, ΓΚΚΚΓ, ΚΓΓΚΚ, ΚΓΚΓΚ, ΚΓΚΚΓ, ΚΚΓΓΚ, ΚΚΓΚΓ, ΚΚΚΓΓ 10/32 = 0, ! 4!1! = 5 ΚΚΚΚΓ, ΚΚΚΓΚ, ΚΚΓΚΚ, ΚΓΚΚΚ, ΓΚΚΚΚ 5/32 = 0, ! 5!0! = 1 ΚΚΚΚΚ 1/32 = 0,031

18 82 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Μπορούμε επίσης να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για να δούμε ότι η πιθανότητα να φέρουμε 92 φορές κορώνα στη σειρά είναι 2, Καλό είναι να το έχετε αυτό υπόψη στην περίπτωση που θα προσπαθήσετε να σπάσετε το ρεκόρ των Ρόζενκραντζ και Γκίλντενστερν. ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΘΥΜΑΣΤΕ 1. Η μελέτη του στριψίματος ενός κέρματος αποτελεί μια πολύ καλή εισαγωγή στη θεωρία των πιθανοτήτων γιατί μας επιτρέπει να κατανοήσουμε εύκολα τη διαδικασία που ακολουθείται. 2. Για να υπολογίσουμε την πιθανότητα να φέρουμε h φορές κορώνα αν στρίψουμε ένα κέρμα n φορές, θα πρέπει να υπολογίσουμε αρχικά το πλήθος των πιθανών αποτελεσμάτων (2 n ). Στη συνέχεια, θα πρέπει να υπολογίσουμε το πλήθος των πιθανών τρόπων να φέρουμε h φορές κορώνα: n! h!(n h)! 3. Το θαυμαστικό παριστάνει μια συνάρτηση που ονομάζεται παραγοντική συνάρτηση, η οποία μας δίνει το γινόμενο όλων των ακέραιων αριθμών από το 1 μέχρι ένα συγκεκριμένο αριθμό: n! = n (n 1) (n 2) (n 3)... (3) (2) (1) Κατά συνέπεια, η πιθανότητα να φέρουμε h φορές κορώνα αν στρίψουμε ένα αμερόληπτο κέρμα n φορές είναι n! h!(n h)! 2 n ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Κατά τη διάρκεια όλων των παραπάνω υπολογισμών υποθέσαμε ότι το κέρμα ή- ταν αμερόληπτο ότι, δηλαδή, σε κάθε στρίψιμό του είχαμε 50% πιθανότητα να φέρουμε κορώνα και 50% πιθανότητα να φέρουμε γράμματα. Τώρα θα εξετάσουμε ένα ακόμη πιο περίπλοκο πρόβλημα: πώς μπορούμε να ξέρουμε ότι το κέρμα είναι πράγματι αμερόληπτο; Αυτό το πρόβλημα θα μπορούσε να σας απασχολήσει ιδιαίτερα αν έπρεπε να γνωρίζετε την απάντηση στην προηγούμενη ερώτηση στην περίπτωση που σκοπεύατε να παίξετε κορώνα-γράμματα με κάποιο μυστήριο τύπο σε κάποια άγνωστη πόλη. Για να το θέσουμε πιο επιστημονικά, αν ονομάσουμε p

19 ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 83 την πιθανότητα να φέρουμε κορώνα σε ένα στρίψιμο του κέρματος, πώς μπορούμε να ξέρουμε ότι p = 1/2; Φυσικά, στο παράδειγμά μας θα μπορούσαμε να εξετάσουμε το κέρμα. Αν το κέρμα έχει δύο κορώνες, τότε p = 1. και αν έχει δύο γράμματα, τότε p = 0. Πέρα από αυτόν τον έλεγχο, πάντως, είναι δύσκολο να διαπιστώσουμε αν ένα κέρμα είναι αμερόληπτο ή όχι με μια απλή οπτική εξέταση. Δεν μπορούμε να σκεφτούμε κάποιο λόγο για τον οποίο θα ήταν πιθανότερο να φέρουμε κορώνα απ' ό,τι γράμματα (ή το αντίστροφο), αλλά μπορεί το κέρμα να μην είναι σωστά ισορροπημένο, έτσι ώστε να ευνοεί το ένα ή το άλλο αποτέλεσμα. Αν στρίψουμε το κέρμα μόνο μία φορά, δεν θα έχουμε καμία ένδειξη για το αν είναι αμερόληπτο. Αν όμως στρίψουμε το κέρμα πολλές φορές, θα αρχίσουμε να έχουμε κάποιες πληροφορίες που θα μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε για να εκτιμήσουμε κατά πόσο είναι αμερόληπτο. Η ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΥΠΟΘΕΣΗ ΚΑΙ Η ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΗ ΥΠΟΘΕΣΗ Τα προβλήματα αυτού του είδους ονομάζονται προβλήματα ελέγχου υποθέσεων (hypothesis testing). Αρχικά αποφασίζουμε ποια υπόθεση να ελέγξουμε. Σε αυτή την περίπτωση, η υπόθεσή μας είναι ότι p = 1/2. Η υπόθεση που πρόκειται να ε- λεγχθεί ονομάζεται συνήθως μηδενική υπόθεση (null hypothesis). Η μοναδική άλλη δυνατότητα είναι η μηδενική υπόθεση να είναι εσφαλμένη. Η υπόθεση ότι "η μηδενική υπόθεση είναι εσφαλμένη" ονομάζεται εναλλακτική υπόθεση (alternative hypothesis). Στην περίπτωσή μας, η εναλλακτική υπόθεση είναι ότι το κέρμα δεν είναι αμερόληπτο (p 1/2). Γνωρίζουμε ότι μόνο μία από αυτές τις υποθέσεις μπορεί να είναι αληθής, μιας και αυτές είναι οι μόνες δυνατότητες. Το ερώτημα είναι: αποδεχόμαστε τη μηδενική υπόθεση και λέμε ότι το κέρμα είναι αμερόληπτο ή την απορρίπτουμε και λέμε ότι το κέρμα δεν είναι αμερόληπτο; Είναι σαφές ότι θα πρέπει να στρίψουμε το κέρμα πολλές φορές. έστω, λοιπόν ότι θα στρίψουμε το κέρμα n φορές. Τότε, αν το πλήθος των φορών που θα έρθει κορώνα πλησιάζει το n/2, θα πρέπει να αποδεχθούμε την υπόθεση ότι το κέρμα είναι αμερόληπτο. Αν το πλήθος των φορών που θα φέρουμε κορώνα απέχει πολύ από το n/2, θα πρέπει να απορρίψουμε την υπόθεση ότι το κέρμα είναι αμερόληπτο. Το μεγάλο ερώτημα είναι το εξής: πόσο πρέπει το αποτέλεσμα να απέχει από το n/2 για να μπορούμε να ισχυριστούμε ότι το κέρμα δεν είναι αμερόληπτο; Κατά συνέπεια, η διαδικασία του ελέγχου μας θα πρέπει να είναι η ακόλουθη. Επιλέγουμε έναν αριθμό c. Αν το πλήθος των φορών που θα φέρουμε (h) είναι μεταξύ (n/2 c) και (n/2 + c), θα αποδεχθούμε τη μηδενική υπόθεση και θα πούμε ότι το κέρμα είναι αμερόληπτο. διαφορετικά, θα πούμε ότι το κέρμα δεν είναι α-

20 84 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ μερόληπτο. Μπορούμε να ονομάσουμε την περιοχή των τιμών από το (n/2 c) μέχρι το (n/2 + c) ζώνη αποδοχής (zone of acceptance). Αν το h δεν βρίσκεται στη ζώνη αποδοχής, θα απορρίψουμε την υπόθεση. Κατά συνέπεια, η ζώνη για την οποία θα απορριφθεί η υπόθεση ονομάζεται περιοχή απόρριψης (rejection region) ή κρίσιμη περιοχή (critical region) δείτε την Εικόνα 3-1. Το βασικό πρόβλημα τώρα είναι το εξής: πόσο θα πρέπει να απέχει από το n/2 το πλήθος των φορών που θα φέρουμε κορώνα προκειμένου να ισχυριστούμε ότι το κέρμα είναι αμερόληπτο με άλλα λόγια, πόσο μεγάλο πρέπει να είναι το c; Εικόνα 3-1. Το πλήθος των φορών που θα φέρουμε κορώνα αν στρίψουμε το κέρμα n φορές ΑΠΟΦΥΓΗ ΤΩΝ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΤΥΠΟΥ Ι ΚΑΙ ΤΥΠΟΥ ΙΙ Επιδιώκουμε να εκτιμήσουμε σωστά τη μηδενική μας υπόθεση. Υπάρχουν δύο τρόποι να οδηγηθούμε στο σωστό αποτέλεσμα: να αποδεχθούμε την υπόθεση όταν είναι σωστή ή να την απορρίψουμε όταν είναι λανθασμένη. Ωστόσο, αυτό σημαίνει επίσης ότι υπάρχουν δύο τρόποι για να πέσουμε έξω: να απορρίψουμε την υ- πόθεση ενώ στην πραγματικότητα είναι σωστή ή να την αποδεχθούμε ενώ στην πραγματικότητα είναι λανθασμένη. Το πρώτο είδος σφάλματος ονομάζεται σφάλμα τύπου Ι (type I error) και το δεύτερο είδος σφάλμα τύπου ΙΙ (type II error). Θα μάθουμε να προβλέπουμε την πιθανότητα του σφάλματος τύπου I. Ωστόσο, η πρόβλεψη της πιθανότητας να οδηγηθούμε σε σφάλμα τύπου II είναι πολύ δυσκολότερη. Αυτό συμβαίνει επειδή υπάρχει μόνο ένας τρόπος για να είναι σωστή η μηδενική υπόθεση, ενώ πολλοί τρόποι για να είναι λάθος. Οι δυνατοί συνδυασμοί παρουσιάζονται στον Πίνακα 3-2. Πίνακας 3-2 Η υπόθεση είναι αληθής Η υπόθεση είναι ψευδής Αποδοχή της υπόθεσης σωστό σφάλμα τύπου ΙΙ Απόρριψη της υπόθεσης σφάλμα τύπου Ι (θέλουμε να το αποφύγουμε) σωστό

21 ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 85 Αν επιλέξουμε μια μεγάλη τιμή για το c, θα έχουμε μεγάλη ζώνη αποδοχής και θα είναι πιθανότερο να αποδεχθούμε την υπόθεση απ' ό,τι με μια μικρή τιμή για το c. Αυτό σημαίνει ότι θα είναι λιγότερο πιθανό να διαπράξουμε σφάλμα τύπου Ι με άλλα λόγια, θα είναι απίθανο να απορρίψουμε την υπόθεση όταν είναι στην πραγματικότητα αληθής. Από την άλλη μεριά, αν μεγαλώσουμε πολύ τη ζώνη α- ποδοχής, αυξάνεται η πιθανότητα να αποδεχθούμε την υπόθεση ενώ θα είναι στην πραγματικότητα ψευδής, διαπράττοντας μια με αυτόν τον τρόπο σφάλμα τύπου ΙΙ. Η άλλη στρατηγική είναι να επιλέξουμε "στενή" ζώνη αποδοχής. Αν το κάνουμε, θα είναι απίθανο να διαπράξουμε σφάλμα τύπου ΙΙ (δεν θα είναι εύκολο να αποδεχθούμε την υπόθεση ενώ θα είναι ψευδής) αλλά αυξάνουμε τις πιθανότητες να διαπράξουμε σφάλμα τύπου Ι (να απορρίψουμε την υπόθεση ενώ θα είναι αληθής). Είναι προφανές ότι ο έλεγχος υποθέσεων εμπεριέχει ένα αντίτιμο. Συνήθως, δεν μπορούμε να βρούμε μια διαδικασία ελέγχου που θα ελαχιστοποιεί τις πιθανότητες να διαπράξουμε και τους δύο τύπους σφαλμάτων. Τις περισσότερες φορές θα μας ανησυχεί περισσότερο η πιθανότητα να απορρίψουμε λανθασμένα την υπόθεση, γι' αυτό και θα δίνουμε μεγαλύτερη σημασία στην αποφυγή σφαλμάτων τύπου Ι. Για να μπορέσουμε να συγκεντρώσουμε όλα τα αποθέματα θάρρους μας και να πούμε σε εκείνον τον μυστήριο τύπο πως θεωρούμε το κέρμα του αναξιόπιστο, θα πρέπει να είμαστε βέβαιοι όσο το δυνατό περισσότερο ότι έχουμε δίκιο. (Αλλιώς μπορεί να γίνει κακός.) Σε μια πιο επιστημονική προσέγγιση, αν αποφασίσουμε να αποδεχθούμε την υπόθεση είναι πολύ πιθανό να συνεχίσουμε να αναζητούμε περισσότερες ενδείξεις που θα μας επιτρέψουν να ισχυροποιήσουμε την κρίση μας. Αν, από την άλλη μεριά, αποφασίσουμε να απορρίψουμε την υπόθεση, αυτό σημαίνει ότι έχουμε πειστεί πραγματικά ότι η υπόθεση είναι ψευδής, οπότε σταματάμε την αναζήτησή μας. Αυτό που γίνεται συνήθως στη στατιστική είναι να ορίζουμε ένα άνω όριο για την πιθανότητα να διαπράξουμε σφάλμα τύπου Ι. Συνήθως, αυτό το όριο ορίζεται ως 10%, 5% ή 1%, ανάλογα με το πόσο δύσκολα θέλουμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση. Στην αρχή μπορεί να δυσκολεύεστε να διακρίνετε τα σφάλματα τύπου Ι και τύπου ΙΙ. Να θυμάστε, λοιπόν, ότι πρώτη προτεραιότητά μας είναι να αποφύγουμε τα σφάλματα τύπου Ι, κάτι που κάνουμε εξασφαλίζοντας ότι δεν θα απορρίψουμε την υπόθεση παρά μόνο αν είμαστε βέβαιοι σε μεγάλο βαθμό ότι είναι λανθασμένη. Αν καταλήξουμε σε έναν έλεγχο της τάξης του 10%, τότε η πιθανότητα να ισούται το h με μια συγκεκριμένη τιμή k είναι n! k!(n k)! 2 n

22 86 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Τώρα θα πρέπει να αποφασίσουμε και για το εύρος της ζώνης αποδοχής. Ας υποθέσουμε, λοιπόν, ότι το κέρμα είναι αμερόληπτο. Από τη στιγμή που θα κάνουμε αυτή την υπόθεση, ξέρουμε ακριβώς τις πιθανότητες, χρησιμοποιώντας τις αρχές που αναπτύξαμε νωρίτερα σε αυτό το κεφάλαιο. Αν n είναι το πλήθος των φορών που θα στρίψουμε το κέρμα και h το πλήθος των φορών που θα έρθει κορώνα, αυτό σημαίνει ότι θέλουμε να εξασφαλίσουμε ότι θα υπάρχει μόνο μία πιθανότητα 10% να καταλήξουμε μετά τον έλεγχο στο συμπέρασμα ότι το κέρμα δεν είναι αμερόληπτο ενώ στην πραγματικότητα είναι. Αν υποθέσουμε ότι n = 20, μπορούμε να δημιουργήσουμε έναν πίνακα των πιθανοτήτων να είναι h = 0, h = 1, h = 2, κ.ο.κ. (δείτε τον Πίνακα 3-3). Αυτές οι πιθανότητες παρουσιάζονται στην Εικόνα 3-2. Πίνακας 3-3. Τα αποτελέσματα από το στρίψιμο ενός κέρματος 20 φορές Πλήθος κορώνες Πιθανότητα 0 0, , , , , , , , , , , έως 12: 11 0, , έως 13: 12 0, , έως 14: 13 0, , έως 15: 14 0, , , , , , , ,000001

23 ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 87 Εικόνα 3-2 Θέλουμε να επιλέξουμε τη ζώνη αποδοχής μας έτσι ώστε να έχουμε περίπου 90% πιθανότητα να βρίσκεται το h μέσα σε αυτή τη ζώνη και μόνο 10% να βρίσκεται έξω από αυτή. Αν προσθέσουμε τις πιθανότητες που υπάρχουν ώστε h = 7, h = 8, h = 9, h = 10, h = 11, h = 12, και h = 13, βρίσκουμε ότι, αν το κέρμα είναι αμερόληπτο, έχουμε 0,8847 (88,47%) πιθανότητα να έχει το h μία από αυτές τις επτά τιμές. Κατά συνέπεια, θα σχεδιάσουμε τον έλεγχό μας ως εξής: Θα στρίψουμε το κέρμα 20 φορές και θα μετρήσουμε πόσες φορές θα φέρουμε κορώνα (h). Αν το h είναι μεταξύ 7 και 13, θα αποδεχθούμε την υπόθεση και θα πούμε ότι το κέρμα είναι αμερόληπτο. Αν το h είναι 6 ή μικρότερο από 6, ή αν το h είναι 14 ή μεγαλύτερο από 14, θα πούμε ότι το κέρμα δεν είναι αμερόληπτο. Με αυτόν τον τρόπο μπορούμε να εξασφαλίσουμε ότι η πιθανότητα να απορρίψουμε εσφαλμένα την υπόθεση (σφάλμα τύπου Ι) είναι μόνο περίπου 12%. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι θα φέρουμε μόνο 5 φορές κορώνα στα 20 στριψίματα. Σε αυτή την περίπτωση, θα μπορούμε να πούμε με αρκετά μεγάλο βαθμό εμπιστοσύνης ότι το κέρμα δεν είναι αμερόληπτο. Δεν μπορούμε, φυσικά, να το ισχυριστούμε αυτό με απόλυτη βεβαιότητα, γιατί υπάρχει μια πιθανότητα της τάξης του 1,48% να φέρουμε μόνο 5 φορές κορώνα σε 20 στριψίματα ενός αμερόληπτου κέρματος. Κατά συνέπεια, εξακολουθεί να υπάρχει μια πιθανότητα να δια-

24 88 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Εικόνα 3-3. Ραβδόγραμμα πιθανοτήτων με σκιασμένη την περιοχή απόρριψης πράξουμε σφάλμα τύπου Ι καταλήγοντας στο συμπέρασμα ότι η υπόθεση είναι εσφαλμένη ενώ στην πραγματικότητα είναι αληθής. Ωστόσο, έχουμε καταφέρει να εξασφαλίσουμε ότι η πιθανότητα να συμβεί κάτι τέτοιο είναι μικρότερη από 12%. Φυσικά, αν θέλουμε μπορούμε να είμαστε ακόμη πιο προσεκτικοί. Ας υποθέσουμε ότι μας ανησυχεί πολύ η πιθανότητα να απορρίψουμε εσφαλμένα την υπόθεση ότι το κέρμα είναι σωστό, με αποτέλεσμα να θέλουμε να εξασφαλίσουμε ότι η περίπτωση να συμβεί αυτό θα είναι περίπου 4%. Σε αυτή την περίπτωση, μπορούμε να αλλάξουμε τη διαδικασία ελέγχου έτσι ώστε να αποδεχθούμε την υπόθεση ότι το κέρμα είναι σωστό αν το h είναι από 6 μέχρι 14. Με αυτή τη διαδικασία θα είμαστε ακόμη πιο σίγουροι ότι δεν θα ισχυριστούμε ότι το κέρμα δεν είναι αμερόληπτο ενώ στην πραγματικότητα είναι. Από την άλλη μεριά, διευρύνοντας τη ζώνη αποδοχής αυξάνουμε τις πιθανότητες να διαπράξουμε σφάλμα τύπου ΙΙ δηλαδή, να καταλήξουμε στο συμπέρασμα ότι το κέρμα είναι αμερόληπτο ενώ στην πραγματικότητα δεν είναι. Δεν υπάρχει τρόπος να υπολογίσουμε την πιθανότητα ενός σφάλματος τύπου ΙΙ γιατί δεν ξέρουμε τις πιθανότητες να φέρουμε κορώνα συγκεκριμένες φορές αν το κέρμα δεν είναι αμερόληπτο. Κατά συνέπεια, ακόμη και αφού αποφασίσουμε να αποδεχθούμε την υπόθεση, δεν μπορούμε να είμαστε απόλυτα βέβαιοι ότι το κέρμα είναι πράγματι αμερόληπτο. Ας υποθέσουμε, για παράδειγμα, ότι η πιθανότητα να φέρουμε κορώνα είναι 0,51. Σε αυτή την περίπτωση, είναι πάρα πολύ πιθανό να αποδεχθούμε την υπόθεση του αμερόληπτου κέρματος παρόλο που το κέρμα δεν είναι. Ο μόνος τρόπος με τον οποίο μπορούμε να βελτιώσουμε αυτή την κατάσταση είναι να στρίψουμε το κέρμα περισσότερες φορές.

25 ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ 89 Σε αυτή την ενότητα ξεκινήσαμε συζητώντας σε ποιο βαθμό θέλουμε να ρισκάρουμε ένα σφάλμα τύπου I. Στη συνέχεια δουλέψαμε αντίστροφα, με σκοπό να βρούμε μια ζώνη αποδοχής που θα μας λέει πόσες φορές μπορούμε να φέρουμε κορώνα ώστε να διατηρούμε το δικαίωμα να υποθέτουμε ότι το κέρμα είναι αμερόληπτο. Μια άλλη τεχνική είναι να δείτε από τα δεδομένα σας πόσες φορές ήρθε κορώνα και να βρείτε την πιθανότητα να πάρετε ένα τέτοιο αποτέλεσμα εφόσον η μηδενική υπόθεση είναι αληθής (το κέρμα είναι αμερόληπτο). Αυτή η πιθανότητα ονομάζεται τιμή p (p-value). Για παράδειγμα, αν η τιμή p είναι 0,005, τότε πρέπει να απορρίψετε τη μηδενική υπόθεση αν είστε διατεθειμένοι να αποδεχθείτε μια πιθανότητα μεγαλύτερη ή ίση του 0,005 να διαπράξετε ένα σφάλμα τύπου I. Μια μικρότερη τιμή p σας δίνει μεγαλύτερη σιγουριά ότι, απορρίπτοντας τη μηδενική υπόθεση, κάνετε τη σωστή επιλογή. Θα εξετάσουμε πάλι τον έλεγχο υποθέσεων και τις τιμές p στο Κεφάλαιο 13. ΤΙ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΘΥΜΑΣΤΕ 1. Πολλά συνηθισμένα προβλήματα στατιστικής είναι προβλήματα ελέγχου υποθέσεων. Η υπόθεση που ελέγχεται ονομάζεται μηδενική υπόθεση, και η υπόθεση ότι "η μηδενική υπόθεση είναι εσφαλμένη" ονομάζεται εναλλακτική υπόθεση. 2. Γενικά, δεν είναι δυνατό να αποδείξουμε ότι η μηδενική υπόθεση είναι αληθής ή ψευδής. Παρόλα αυτά, μετά τη συλλογή ορισμένων παρατηρήσεων, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε στατιστική ανάλυση για να αποφασίσουμε αν η μηδενική υπόθεση πρέπει να γίνει αποδεκτή ή να απορριφθεί. 3. Υπάρχουν δύο τύποι σφαλμάτων: σφάλμα τύπου Ι: να πούμε ότι η μηδενική υπόθεση είναι ψευδής ενώ στην πραγματικότητα είναι αληθής σφάλμα τύπου ΙΙ: να πούμε ότι η μηδενική υπόθεση είναι αληθής ενώ στην πραγματικότητα είναι ψευδής Κοινή πρακτική κατά τη διαδικασία του ελέγχου είναι να σχεδιάζουμε τον έλεγχο έτσι ώστε η πιθανότητα να διαπράξουμε σφάλμα τύπου Ι να είναι μικρότερη από ένα καθορισμένο ποσοστό (συχνά 5%).

26 90 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΞΕΡΕΤΕ ΤΑ ΒΑΣΙΚΑ; Ελέγξτε αν κατανοήσατε τις έννοιες του Κεφαλαίου 3 απαντώντας στις παρακάτω ερωτήσεις: 1. Γιατί μελετούν οι στατιστικολόγοι το στρίψιμο των κερμάτων; 2. Αν θέλουμε να αποφασίσουμε με βεβαιότητα αν ένα κέρμα είναι αμερόληπτο, γιατί δεν το στρίβουμε μερικές χιλιάδες φορές; 3. Αν στρίψουμε ένα κέρμα οκτώ φορές, ποιο από αυτά τα αποτελέσματα είναι περισσότερο πιθανό: ΚΓΚΓΚΓΚΓ ή ΚΚΚΚΚΚΚΚ; 4. Γιατί η πιθανότητα να φέρουμε h φορές κορώνα είναι ίδια με την πιθανότητα να φέρουμε κορώνα n h φορές; 5. Υποθέστε ότι έχουμε 100 κέρματα που είναι πράγματι αμερόληπτα αλλά εμείς δεν το ξέρουμε, και ότι στρίβουμε κάθε κέρμα 20 φορές όπως περιγράψαμε σε αυτό το κεφάλαιο. Θα μας οδηγήσει η έρευνά μας στο συμπέρασμα ότι είναι και τα 100 κέρματα σωστά; 6. Πρέπει να αυξήσουμε σημαντικά το εύρος της ζώνης αποδοχής προκειμένου να ελαχιστοποιήσουμε την πιθανότητα να διαπράξουμε σφάλμα τύπου Ι; 7. Σε μια πραγματική κατάσταση ελέγχου υποθέσεων, πώς πρέπει να καταλήξετε στη μέγιστη πιθανότητα να διαπράξετε σφάλμα τύπου Ι που είστε διατεθειμένοι να ανεχθείτε; ΟΡΟΙ ΓΙΑ ΜΕΛΕΤΗ έλεγχος υποθέσεων εναλλακτική υπόθεση ζώνη αποδοχής κρίσιμη περιοχή μηδενική υπόθεση παραγοντικό περιοχή απόρριψης πιθανότητα σφάλμα τύπου Ι σφάλμα τύπου ΙΙ

27 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 91 ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ Στις Ασκήσεις 1-3, χρησιμοποιήστε τον τύπο που δόθηκε σε αυτό το κεφάλαιο για να δημιουργήσετε έναν πίνακα με τις πιθανότητες να φέρετε κορώνα αν στρίψετε ένα αμερόληπτο κέρμα: 1. 6 φορές 2. 7 φορές 3. 8 φορές Οι πίνακες των Ασκήσεων 4-6 παρουσιάζουν τις πιθανότητες που έχετε να φέρετε κορώνα αν στρίψετε ένα αμερόληπτο κέρμα 50, 75, και 100 φορές αντίστοιχα. Σε κάθε περίπτωση πρέπει να ελέγξετε την υπόθεση ότι το κέρμα που στρίβετε είναι αμερόπληπτο. Υπολογίστε το εύρος της ζώνης αποδοχής έτσι ώστε η πιθανότητα να διαπράξετε σφάλμα τύπου Ι (να απορρίψετε, δηλαδή, την υπόθεση του σωστού κέρματος όταν το κέρμα είναι πράγματι σωστό) να είναι μικρότερη από 5% στριψίματα h Pr(X = h) h Pr(X = h) 15 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,112

28 92 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ στριψίματα h Pr(X = h) h Pr(X = h) 25 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , στριψίματα h Pr(X = h) h Pr(X = h) 35 0, , , , , , , , , , , , , , , , , ,074 h Pr(X = h) h Pr(X = h) 53 0, , , , , , , , , , , , ,016

29 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 93 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΝΩΡΙΣΤΕ ΤΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1. Τους επιτρέπει να μελετήσουν τις αρχές των πιθανοτήτων σε μια απλή κατάσταση όπου η φύση της διαδικασίας είναι κατανοητή. στη συνέχεια, μπορούν να εφαρμόσουν αυτές τις αρχές σε πρακτικές καταστάσεις όπου δεν είναι γνωστή η διαδικασία ή ο πληθυσμός. 2. Δεν στρίβουμε ένα κέρμα μερικές χιλιάδες φορές για τον ίδιο λόγο που δεν ε- ξετάζουμε έναν ολόκληρο πληθυσμό: θα ήταν εξαιρετικά δαπανηρό. (Ο χρόνος είναι χρήμα, και θα χρειαζόμασταν πολύ χρόνο για να στρίψουμε ένα κέρμα μερικές χιλιάδες φορές.) 3. Τα δύο αποτελέσματα είναι το ίδιο πιθανά. 4. Η πιθανότητα να φέρουμε h φορές κορώνα είναι ακριβώς ίδια με την πιθανότητα να φέρουμε h φορές γράμματα. 5. Παρόλο που είναι όλα τα κέρματα σωστά, θα καταλήξουμε πιθανότατα στο συμπέρασμα ότι 12 κέρματα δεν είναι αμερόληπτα επειδή στη διαδικασία του ελέγχου εμπεριέχεται πιθανότητα 12% να απορρίψουμε ένα κέρμα ενώ στην πραγματικότητα είναι αμερόληπτο. Αν ελέγξετε πάρα πολλές υποθέσεις στην καριέρα σας ως στατιστικολόγοι, είναι αναπόφευκτο να κάνετε αυτού του είδους το σφάλμα σε ένα συγκεκριμένο ποσοστό των ελέγχων. 6. Αν διευρύνουμε τη ζώνη αποδοχής αυξάνονται οι πιθανότητες να διαπράξουμε σφάλμα τύπου ΙΙ. 7. Η απόφαση εξαρτάται από τις συνέπειες που θα έχει κάθε τύπος σφάλματος στη συγκεκριμένη περίσταση. ΠΡΑΚΤΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ Ακολουθεί ο τύπος και οι οδηγίες που χρειάζεστε για να λύσετε τις Ασκήσεις 1-6: Για να υπολογίσετε την πιθανότητα να φέρετε h φορές κορώνα αν στρίψετε ένα κέρμα n φορές: n! h!(n h)! 2 n

30 94 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΤΟΝ ΕΛΕΓΧΟ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Για να ελέγξετε την υπόθεση αν ένα κέρμα είναι αμερόληπτο, ορίστε μια ζώνη αποδοχής: (n/2 c) έως (n/2 + c), για την οποία θα επιλέξετε το c έτσι ώστε να κάνετε την πιθανότητα διάπραξης σφάλματος τύπου Ι μικρότερη από ένα καθορισμένο ποσοστό. Ακολουθούν οι υπολογισμοί της Άσκησης 1. Για τις Ασκήσεις 2 και 3 εφαρμόζονται οι ίδιες μέθοδοι στριψίματα: h = 0: h = 1: h = 2: h = 3: 6! 0!6! 64 = 1 64 = 0,016 6! 1!5! 64 = 6 64 = 0,094 6! 2!4! 64 = 6! 3!3! 64 = h = 4: 0,234 h = 5: 0,094 h = 6: 0, στριψίματα: h Pr(X = h) h Pr(X = h) 0 0, , , , , , , ,008 = = 0,234 = = 0,313

31 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ στριψίματα: h Pr(X = h) h Pr(X = h) 0 0, , , , , , , , , Ζώνη αποδοχής: 18 έως 32. Με αυτή τη ζώνη αποδοχής, η πιθανότητα να διαπράξετε σφάλμα τύπου Ι είναι 0,033. (Προσθέστε όλες τις πιθανότητες να φέρετε από 18 έως 32 κορώνες, και μετά αφαιρέστε το σύνολο από το 1.) Αν στενέψετε τη ζώνη αποδοχής στο διάστημα από 19 έως 31, η πιθανότητα να διαπράξετε σφάλμα τύπου Ι αυξάνεται σε 0, Ζώνη αποδοχής: 29 έως 46. Πιθανότητα διάπραξης σφάλματος τύπου Ι: 0,037 Ζώνη αποδοχής: 40 έως 60. Πιθανότητα διάπραξης σφάλματος τύπου Ι: 0,035

32