Modelare si simulare _Seminar 1 SEMINAR 1

Transcript

1 SEMIAR. Experimet aleator U feome a carui evolutie difera semificativ atuci cad este repetat i aceleasi coditii se umeste experimet aleator. Specificarea experimetului aleator costa i stabilirea procedurii de desfasurare a sa, precum si a setului de masuratori si observatii care-l isotesc. Modelarea experimetului aleator este posibila daca evolutia sa se caracterizeaza pri regularitate statistica (expl. mediile...). Rezultatul idivizibil obtiut i urma desfasurarii uui experime t se umeste realizare sau esatio puct ( ζ ). Spatiul realizarilor sau spatiul de esatioare (S) multimea tuturor realizarilor posibile. I. Spatiu de esatioare discret multimea realizarilor uui experimet care e fiita sau ifit umarabila II. Spatiu de esatioare cotiuu multimea realizarilor experimetului e ifiit eumarabila Se umeste eveimet (A) o submultime a spatiului de esatioare daca A S eveimet sigur daca A φ eveimet imposibil sau eveimet ul i spatiul de esatioare discret u eveimet ce costa ditr-o sigura realizare eveimet elemetar Fiid multimi, eveimetele se pot combia cu ajutorul operatiilor cu multimi (,, ) sau se pot compara cu ajutorul relatiilor ditre multimi (icluziue, egalitate). Aplicatia Fie urmatoarele experimete: E : la receptie se detecteaza trei simboluri; se oteaza secveta biara corespuzatoare; E 2 : la receptie se detecteaza trei simboluri; se umara simbolurile de (receptioate) cotiute;

2 OBS Eveimetele E si E 2 se aseamaa pri procedura dar difera pri masuratori E 3 : u od de comutatie deserveste termiale; se oteaza r de termiale active la u momet dat; E 4 : u bloc de iformatie este repetat la trasmisie paa cad primeste u mesaj de cofirmare; se umara repetarile; E 5 : la u cetru de distribuire sosesc mesaje; se masoara durata itre doua sosiri succesive; E 6 : o compoeta e itrodusa itr-u motaj ce se pue i fuctiue; se masoara timpul de fuctioare al compoetei; E 7 : la receptie se urmareste semalul di liie; se masoara si se oteaza tesiuea la mometul t ; E 8 : la receptie se urmareste semalul di liie; se masoara si se oteaza tesiuile la mometele t si t 2 ; i) Sa se determie spatiile de esatioare corespuzatoare; ii) Cosiderad experimetul E 7 : se defiesc urmatoarele eveimete: A - amplitudiea tesiuii e mai mare de 0V B tesiuea e mai mica de -5V C tesiuea e pozitiva Sa se exprime i limbaj matematic eveimetele: C A, B, C, A B, A B, C, ( A B) C, A B C, ( A B) C C ude () reprezita complemetul eveimetului. i) S { 000, 00, 00,00, 0,0,0, } S 2 { 0,, 2, 3} S3 { 0,,, } S { } 4, 2,3, S5 S6 { t t 0 } [0, ) S7 { u < u< } (, ) S ( u, u ) < u <, < u < R R { } (ii) A { u u } > 0 (, 0) (0, + ) { u u } { u u } B < 5 (, 5) C > 0 (0, + ) { } A B u; u< 5 sauu > 0 (, 5) (0, + ) 2

3 { } { u u } A B u; u< 0 (, 0) C C ; 0 (, 0] ( A B) C { u; u > 0} (0, + ) ( A B) C φ C { } ( A B) u; 5 u 0 [ 5,0] Frecveta relativa ( f A ) de aparitie a uui eveimet ori a uui experimet este data de relatia: A ( ) f A A ( ) A pe parcursul repetarii de - frecveta absoluta a eveimetului A OBS: I coditii de regularitate statistica raportul pe terme lug (pt u umar foarte mare de repetari): lim A probabilitate de aparitie a eveimetului A. f ( ) p () A Legatura ditre aceasta marime abstracta probabilitatea si marimea ituitiva, frecveta relativa este oferita de doua teoreme importate:. Legea slaba a umerelor mari Exprima probabilitatea ca raportul A ( ) pa sa tida catre cad. 2. Teorema limita cetrala Masoara abaterea ditre modelul ales (i cazul de fata valoarea relativa f A( ) obtiuta i urma uui umar fiit de icercari. p A ) si frecveta Utilizarea relatiei () ca defiitie a probabilitatii geereaza dificultati i dezvoltarea uei teorii a probabilitatilor, deoarece: u este clar i ce ses exista limita ; u experimet u poate fi repetat la ifiit ; prezita icosisteta i cazul uui eveimet cu aparitie rara. De aceea are ses dezvoltarea uei teorii abstracte a probabilităţilor, plecâd de la premisele: 3

4 I. U experimet aleator a fost defiit pri procedura de desfasurare, masuratorile si observatiile ce se efectueaza iar spatiul de esatioare S a fost idetificat. II. S-a specificat (stabilit) o familie de eveimete Ω astfel icat: S Ω φ Ω. si ; 2. ( ) A Ω A Ω A Ω A Ω 3. C (Ω este u tribut pe S, iar cuplul (S, Ω ) se umeste spatiu masurabil). III. Fiecarui eveimet A i s-a alocat (atasat) u umar (otat P[ A ]) umit probabilitate astfel icat urmatoarele axiome sut satisfacute: Axioma 0 P[ A] Axioma 2 P[ S ] Axioma 3 Fie A, B doua eveimete astfel icat: A B φ, atuci: P[ A B] P[ A] + P[ B] Axioma 3 Fie A, A 2, o secveta de eveimete astfel icat: Ai Aj φ, ( ) i j, atuci P[ A ] P[ Ak] k k k R ( P [ ] ca o masura a probabilitatii este o aplicatie a lui Ω i ( S, Ω, R) se umeste spatiu probabilizat., iar tripletul U model matematic este probabilistic atuci cad coditiile de efectuare a experimetului vizat (ce prezita regularitate statistica) determia exact probabilitatile de aparitie a realizarilor sale. Costruirea uui model probabilistic costa i particularizarea premizelor I, II, si III, la cazul, situatia reala studiata. Ca orice modelare, calculul probabilitatilor este o tehica matematica de descriere a feomeelor aleatorii. Validitatea sa itr-o aplicatie cocreta u poate fi ifaptuita decat cu ajutorul metodelor statistice de iterpretatre a observatiilor. Regula pri care uui eveimet A al uui experimet E i se ataseaza o probabilitate P[ A ] se umeste lege de probabilitate. I cazul uui spatiu de esatioare discret, legea poate fi specificata dad probabilitati eveimetelor elemetare, iar i cazul cotiuu dad probabilitati itervalelor. 4

5 Aplicatia 2 Durata de prelucrare a uui apel telefoic variaza itre 0 si secude. Cosiderad ca toate realizarile sut echiprobabile, sa se determie: i) o lege de probabilitate potrivita petru aplicatia aalizate; ii) probabilitatea ca durata sa se ideparteze cu cel puti 0,3 secude de cetrul itervalului; i) Alocarea de probabilitati uei realizari c,(0 c ) u are ses, i acest caz, deoarece spatiul realizarilor S [0,] este ifiit eumarabil si deci P[{ c }] 0. Fie urmatoarea afirmatie: Probabilitatea ca o realizare sa apartia uui subiterval al multimii S este egala cu lugimea itervalului adica: P[[ ab, ]] b apetru 0 a b Aceasta este o lege de probabilitate deoarece satisface axiomele. ii) Eveimetul i discutie are urmatoarea forma aalitica: Aplicatia 3 A [0;0,2] [0,8;] Itervalele fiid disjucte putem aplica axioma 3 deci: P[ A] P[0;0,2] + P[0,8;] 0,4 I urma masuratorilor timpilor de fuctioare ai uor compoete electroice de acelasi tip s-a ajus la cocluzia ca: proportia compoetelor al caror timp fuctioare depaseste durata t scade expoetial cu rata α. Sa se determia legea de probabilitate care satisface acest rezultat. Spatiul de esatioare este:. S (0, ) Eveimetul cotiut i eut A {timpul de fuctioare depaseste durata t} se exprima aalitic astfel: A { xx ; > t} (, t ) Acestui eveimet i se aloca, coform afirmatiei, urmatoarea valoare: P[ A] P[( t, )] e αt, petru t > 0 si α > 0. Verificam ca aceasta alocare respecta axiomele,3. i) αt 0 P[ t, ] e, t > 0, α> 0 A ii) P[ S] P[(0, )] A2 5

6 Aplicatia 4 iii) petru eveimete de geul: B ( r, s] axiomei 3 impue: ( ] si C (, s ), respectarea P[( r, )] P[ r, s ] + P[( s, )] deci legea geerala cautata este: ( ] αt P[ rs, ] P[( r, )] P[( s, )] e e α Fie u cocetrator ce dispue de trei circuite de iesire. Sa se stabileasca u model probabilistic al procesului de ocupare aleatorie a circuitele de iesire. Experimetul costa i ocuparea celor trei circuite de iesire. Observatiile pot lua i cosiderare modul de ocupare (Variata I) sau umarul circuitelor ocupate (Variata II). Variata I: otad cu L starea de liber si cu 0 starea de ocupare, spatiul realizarilor este: S { LLL, LL0, L0 L, L00,0 LL,0L0,00 L,000} I Putem presupue ca eveimetele sut echiprobabile. I acest caz fiecare eveimet elemetar apare cu probabilitatea /8. Variata II: Spatiul realizarilor este {0,,2,3}. Si i acest caz putem presupue ca realizarile sut echiprobabile; Rezulta: fiecare eveimet elemetar apare cu probabilitatea /4. OBS Desi corecte di puct de vedere teoretic, cele doua doua alocari de probabilitati coduc al valori diferite petru probabilitatile acelorasi eveimete. Astfel, i cazul eveimetului: A {2 circuite di 3 sut ocupate} s petru Var I obtiem: P[ A ] P[ L00,0L0,00 L] petru Var II: I PA [ II ] P[{2}] Rezulta: Trebuie decis care este cea mai potrivita alocare i descrierea feomeului 6

7 2. Probabilitati coditioate Probabilitatea coditioata ca eveimetul A sa se ideplieasca daca eveimetul B a avut loc este defiita de relatia: PA [ / B] P[ A B] P[ B] Aplicatia 5 La u od de comutatie se receptioeaza mesaje ce sut distribuite echiprobabil la u umar de termiele idetificate pri adresele 0,,2,,. Cosideram urmatoarele eveimete: A {mesajul receptioat se trasmite uui termial de adresa para} B {mesajul receptioat se trasmite uui termial de adresa impara} C {mesajul receptioat se trasmite uui termial de adresa M < } i) sa se precizeze specificatiile probabilitatilor: P[ B/ A ] si P[ C / A ] ii) sa se determie expresiile lor; caz particular: 25 si M 6 M ude ID: fara a restrage geeralitatea cosideram M si umere pare. Variata ituitiva Iaitea efectuarii experimetului spatiul realizarilor este: S {0,,, }. Dupa efectuarea experimetului se stie ca eveimetul A s-a idepliit, deci spatiul redus al realizarilor pe care se pot ifaptui C sau B este: Sr A {0,2,4,, 4, 2} Itrucat B cotie doar realizari impare: P[ B/ A ] 0. I privita experimetului C, spatiul redus cotie urmatoarele realizari ce-l satisfac: {0,2,4,, M} Coform ipotezei realizarile sut echiprobabile:. M r de realiz di S ce satisfac r C + 2 M PC [ / A] 72% r de realiz di S r 25 2 Variata aalitica PB [ A] P[ φ] PB [ / A] 0 PA [ ] PA [ ] 7

8 P[ C A] PC [ / A] P[ A] Deoarece: M + r de realizari pare di S mai mici sau egale cu M PC [ A] 2 r de realiz di S r de realiz pare di S PA [ ] 2 r de realiz di S Obţiem: M + 2 M + 2 PC [ / A] /2 B, B,, B Teorema probabilitatii totale: Fie 2 o partitie a spatiului de esatioae S si A u eveimet oarecare. Probabilitatea de aparitie a eveimetului A este data de relatia: P [ A ] P [ A / B ] P [ B ] + P [ A / B 2] P [ B 2] + + P [ A / B ] P [ B ] (utila cad experimetul poate fi vazut ca secveta de mai multe subexperimete). Aplicatia 6 Aboatii uui od de comutatie sut impartiti dupa durata serviciilor cerute i doua categorii. Petru prima categorie durata de servire urmeaza o lege expoetiala de parametru 000μ, iar petru a doua aceeasi lege de parametru μ. Sa se determie probabilitatea ca u serviciu oarecare sa se desfasoare ica dupa t secude de la iitierea lui, ştiid că: a.) cererea de serviciu este aceeasi pe toti aboatii odului de comutatie; b.) umarul aboatilor di prima categorie este de patru ori mai mare decat al aboatilor di categoria a-ii-a. Caz particular: μ serviciu / secuda, t 0 secude. Prezita iteres urmatoarele eveimete; A {serviciul observat apartie primei categorii} B { serviciul observat apartie celei de-a doua categorii} C { serviciul se desfasoara ica dupa t secude de la iitierea sa} Eveimetele A si B realizeaza o partitie dupa categorii a spatiului realizarilor: S A B ude A Bφ Aplicad teorema probabilitatii totale: 8

9 PC [ ] PC [ / A] PA [ ] + PC [ / B] PB [ ] Petru a determia P[A] si P[B] tiem cot de A si B: otad: I umarul aboatilor di categoria I II umarul aboatilor di categoria II umarul total al aboatilor 4 Rezulta: [ ] I PA ; PB [ ] I 5 I 5 Di datele iitiale: 000 PC [ / A] e μt P[ C/ B] e μt 4 000μt μt P[ C] e + e Experimete secvetiale E, E,, E O succesiue de experimete elemetare 2, umite subexperimete costituie u experimet secvetial. Realizarea S a uui astfel de experimet este u vector ale carui elemete sk sut realizarile subexperimetelor implicate (,2,...,k,...): s ( s, s 2,, s k,, s ) Spatiul de esatioare S este produsul cartezia al spatiilor idividuale: S S S2 S A, A,, A ce apar itr-u experimet secvetial este Idepedeta eveimetelor 2 idusa de idepedeta subexperimetelor sale, daca fiecare eveimet Ak depide doar de realizarile subexperimetelor k. I acest caz: P [ A & A 2 & & A ] P [ A ] P [ A 2] P [ A ] Pe baza acestui ratioamet calculele laborioase impuse de verificarea relatiilor ce defiesc idepedeta eveimetelor sut evitate. Secvetele de subexperimete idepedete i care se urmareste umarul aparitiilor ( succeselor ) uui aumit eveimet (de exemplu: receptia simbolului ditr-o secveta biara) se umesc icercari Beroulli idepedete. Ele sut modelate cu ajutorul legii de probabilitate biomiala. Teorema: Fie k umarul de succese obtiute i icercari Beroulli idepedete; atuci probabilitatea lui k este data de legea de probabilitate biomiala: k k k p( k) C p ( p) ; petru k 0,,, 9

10 ude: - probabilitatea de aparitie a k succese i icercari - p ( k ) k! C k!( k)! coef. biomial - p probabilitatea succesului itr-o icercare Aplicatia 7 U od de comutatie deserveste termiale. Sa se determie probabilitatea ca r. de termiale sa fie mai mare ca M stiid ca probabilitatea ca u termial sa fie activ este p. Caz particular: 8; M 6; p 0,3 A { k termiale sut active} k 0,,,. Fie eveimetul k, P[{r de term active > M}] P[{ k termiale sut active}] k M+ k k Ck p ( p) 0,00259 k M+ Petru evitarea dificultatilor geerate de termeii factoriali, i calculele computerizate se foloseste formula recursiva: ( k) p p( k + ) p( k) ( k + )( p) (probabilitatea sa avem k succese i icercari) Secvetele de subexperimete idepedete i care se urmareste r succeselor petru mai multe eveimete reciproc exclusive sut modelate cu ajutorul legii de probabilitate multiomiala. eveimete ce realizeaza o partitie a spatiului de esatioare S. pj, satisfac 2 Fie B, B2,, BM Probabilitatile de aparitie a lor i cadrul uui subexperimet, P[ Bj ] relatia: p + p + + p M. k umarul de succese ale eveimetelor B, j,, M, obtiut i Fie j j repetitii idepedete. Vectorul ( k, k 2,, k M ) ce specifica umarul succeselor petru fiecare eveimet satisface legea de probabilitate multiomiala: 0

11 ! P[( k, k,, k )] p p p 2 M 2 k! k! km! k + k + + k ude: 2 M k k2 k M M Aplicatia 8 U calculator multitaskig, multiuser executa 3 categorii de programe caracterizate pri duratele 0msec, 00msec si 200msec. Aceste programe sut cerute de utilizatori cu probabilitatile: 0,2; 0,3 si 0,5. Sa se determie probabilitatea executiei simultae a cate 3 programe di fiecare categorie. Multimea programelor de orice durata S se partitioeaza i: B B B multimea prog de 0msec cu P[ B ] 0, 2; multimea prog de00msec cu P[ B ] 0,3; multimea prog de 200msec cu P[ B ] 0,5; Eveimetul A {se executa simulta cate trei programe di fiecare categorie} are expresia aalitica: A(3,3,3). Aplicad legea de repartitie multiomiala avem: 9! P [(3,3,3)] (0, 2) (0,3) (0,5) 0, !3!3! Secvetele de subexperimete Beroulli i care se urmareste umarul de repetari paa la aparitia primului succes sut modelate cu ajutorul legii de probabilitate geometrica. ( ) C C C m P m P[ A & A2 & & Am Am] ( p) p, m,2, ude m este umarul de repetari paa la aparitia succesului. C C C A, A2, Am este secveta de isuccese obtiute i primele m- icercari; A m este succesul eveimetului i icercarea m; p este probabilitatea aparitiei succesului itr-o icercare; Probabilitatea ca umarul ecesar de icercari m, petru obtierea succesului sa fie k mai mare decat u umar fixat k este: P[ m> k] ( p)