CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie"

Transcript

1 Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R sau K=C). Se umeşte produs scalar pe V o aplicaţie < : V V K care are următoarele proprietăţi:. <x, x 0 petru orice x V; <x, x= 0 x = 0 V.. <x + y, z = <x, z + <y, z petru orice x, y, z V. 3. <λx, y = λ<x, y petru orice λ K şi x V. 4. <x, y = < y, x petru orice x, y V. Perechea (V,<, ) se umeşte spaţiu prehilbertia real dacă K= R, respectiv complex dacă K= C. Dacă V este u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R sau K=C), îzestrat cu produsul scalar <,, atuci:. două elemete x şi y di V se umesc ortogoale (şi se foloseşte otaţia x y) dacă <x, y = 0.. spuem că vectorul x V este ortogoal pe submulţimea evidă A a lui V şi otăm x A, dacă <x, y=0 petru orice y A. 3. două submulţimi evide A şi B ale lui V sut ortogoale şi se otează A B, dacă <x, y=0 petru orice x A şi orice y B. 4. o familie {x i } i I de elemete ale lui V se umeşte sistem ortogoal sau familie ortogoală dacă <x i, x j =0 petru orice i j, i,j I.

2 Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială 5. u sistem ortogoal {x i } i I se umeşte ortoormat dacă x i = petru orice i I. U spaţiu vectorial real (respectiv complex)iit dimesioal, dotat cu u produs scalar se umeşte spaţiu vectorial euclidia (respectiv spaţiu uitar). Observaţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R sau K=C) îzestrat cu produsul scalar <,. Atuci. <0, y = <x, 0 = 0 petru orice x, y V. (Îtr-adevăr, aplicâd proprietatea 3 a produsului scalar petru λ = 0, obţiem <0, y = 0; ţiâd cot de proprietatea 4, rezultă < x, 0 = < 0, x = 0). <αx + βy, z = α< x, z + β < x, z petru orice α, β K şi x, y, z V. (Afirmaţia rezultă di proprietăţile şi 3 ale produsului scalar). 3. <x, αy + βz = α < x, y + β < x, z petru orice α, β K şi x, y, z V. Îtr-adevăr, <x, αy + βz = < αy + βz, x = α < y,x +β < z, x = α < y, x + β < z, x = α<x, y + β<x, z. 4. Dacă K = R, atuci <x, y = <y, x petru orice x, y V. De aici rezultă <x, αy + βz = α < x, y + β < x, z petru orice α, β K şi x, y, z V. Exemplul Spaţiul vectorial real R poate fi îzestrat cu produsul scalar (umit produsul scalar stadard sau caoic) < x, y = x y + x y + + x y, ude x = (x, x,, x ) şi y = (y, y,, y ).. Î spaţiul vectorial complex C (K = C) se poate itroduce produsul scalar (umit produsul scalar stadard sau caoic) < x, y = x y + x y + + x y 3

3 Spaţii vectoriale euclidiee/uitare ude x = (x, x,, x ) şi y = (y, y,, y ). 3. Fie spaţiul vectorial real C([a, b]) = {f : [a, b] R f cotiuă}, (K = R). Aplicaţia <.,. : C([a, b]) C([a, b]) R, <f, g = f ( x) g( x) este u produs scalar. 4. Cosiderăm spaţiul vectorial real M (R)(mulţimea matricelor de ordiul N * cu elemete di R). Aplicaţia <.,. : M (R) M (R) R, <A, B = Trace(B t A) = i= j= b jia ji b a dx, ude A= (a ij ) i, j şi B= (b ij ) i, j este u produs scalar. 5. Î spaţiul M (C) peste corpul C se poate itroduce produsul scalar <A, B = Trace( B t A) = i= j= b, ude A= (a ij ) i,j şi B= (b ij ) i,j. jia ji 4.. Norma idusă de u produs scalar Teorema 4... (iegalitatea lui Schwarz). Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K = R sau K = C) îzestrat cu produsul scalar <,. Petru orice x, y V, < x, y < x, x < y, y. Egalitatea are loc dacă şi umai dacă vectorii x şi y sut liiar depedeţi. Demostraţie. Dacă <x, y = 0, iegalitatea este evidetă, deci putem presupue <x, y 0 (ceea ce implică x 0 şi y 0). Petru orice λ K, avem <λx + y, λx + y 0, adică λ <x, x + λ <x, y + λ<y, x + <y, y 0. Cosiderâd λ = t y + <y, y 0. < < x, y x, y 4, t R obţiem t <x, x + t <x,

4 Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială Cum iegalitatea de mai sus are loc petru orice t R, rezultă că discrimiatul 0, ude = 4 <x, y - 4<x, x <y, y. Deci <x, y <x, x <y, y. Presupuem că avem egalitate: <x, y = <x, x <y, y. Atuci discrimiatul = 4 <x, y - 4<x, x <y, y = 0. Ca urmare, există t 0 astfel îcât t 0 <x, x + t 0 <x, y + <y, y = 0. Cosiderâd λ 0 = t 0 < x,y < x,y, obţiem λ 0 <x, x + λ 0 <x, y + λ 0 <y, x + <y, y 0 adică <λ 0 x + y, λ 0 x + y = 0. De aici rezultă că λ 0 x + y = 0 sau, echivalet, x şi y sut liiar depedeţi. Reciproc, dacă x şi y sut liiar depedeţi, atuci există α K astfel îcât y = αx, deci <x, y = <x, αx = α<x, x. Î coseciţă, <x, y = α <x, x =<x, x<αx, αx =<x, x<y, y. Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R sau K=C). Aplicaţia. : V R cu proprietăţile următoare:. x 0, petru orice x V; x = 0 x = 0 V.. α x = α x, petru orice x V şi α K; 3. x + y x + y, petru orice x, y V se umeşte ormă pe V. Spaţiul vectorial pe care s-a defiit o ormă se umeşte spaţiu vectorial ormat. Teorema 4... Orice spaţiu prehilbertia V peste corpul K (K =R sau K = C) poate fi îzestrat cu o ormă: x = < x, x petru orice x V. 5

5 Spaţii vectoriale euclidiee/uitare Demostraţie. Verificăm faptul că îdeplieşte proprietăţile uei orme. Evidet x 0 petru orice x V, şi x = 0 dacă şi umai dacă x = 0. Fie α K şi x V, αx = <αx, αx = α α<x,x = α x. Fie x, y V. Avem x + y = <x + y, x + y = <x, x + <x, y + <y, x + <y, y = <x, x + Re<x, y + <y, y <x, x + <x, y + <y, y <x, x + < x,x < y, y + <y, y = x + x y + y = ( x + y ), de ude obţiem x +y x + y (iegalitatea lui Mikowski). Observaţia Dacă V este u spaţiu prehilbertia şi este orma idusă de produsul scalar <, de pe V ( x = < x, x ), atuci iegalitatea lui Schwarz se scrie <x, y x y, petru orice x, y V.. Orice spaţiu prehilbertia V este u spaţiu metric, putâd fi îzestrat cu distaţa defiită pri d(x, y) = x - y = < x y,x y. petru orice x, y V. Î virtutea acestei proprietăţi se poate vorbi despre şiruri covergete şi şiruri fudametale (sau Cauchy) î V Baze ortoormate Propoziţia Fie V u spaţiu prehilbertia (real sau complex). Orice sistem ortogoal {x, x,, x } de vectori euli di V este liiar idepedet. Demostraţie. Fie scalarii α, α,, α astfel îcât α x + α x α x = 0 Petru orice j, avem <α x + α x α x, x j = 0 adică α <x, x j + α <x, x j α < x, x j = 0. Di codiţia de 6

6 Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială ortogoalitate deducem că α j <x j, x j = 0. Cum x j 0, rezultă că <x j, x j 0, şi deci α j = 0 petru orice j. Defiiţia O bază {e i } i I a spaţiului prehilbertia V se umeşte bază ortogoală dacă este sistem ortogoal (adică dacă < e i, e j = 0 petru orice i j). Dacă, î plus, e i = petru orice i I, atuci baza {e i } i I se umeşte bază ortoormată. Teorema (procedeul de ortogoalizare Gram-Schmidt) Fie V u spaţiu euclidia sau uitar şi fie {v, v,, v } o bază î V. Atuci există o bază ortoormată {e, e,, e } î V astfel îcât petru orice k, sistemele de vectori {v, v,, v k } şi {e, e,, e k } geerează acelaşi subspaţiu. Demostraţie. Vom costrui mai îtâi o bază ortoormală {f, } î V astfel îcât petru orice k, sistemele de vectori {v, v,, v k } şi {f, k } geerează acelaşi subspaţiu. Baza cu proprietăţile di euţul teoremei se obţie di {f, } defiid e i = fi, i =,..,. f i i α Luăm f i = v i + j= ijf j, i şi vom determia scalarii α ij ( i, j i -) di codiţiile <f i j = 0, i j. Folosim iducţia după k. Petru k =, avem f = v 0, şi deci {f } şi {e } geerează acelaşi subspaţiu. Petru k = = v + α f. Codiţia <f = 0 coduce la α = - < v,f < f,f. 7

7 Spaţii vectoriale euclidiee/uitare Cum f = v şi f = v + α f, rezultă că f şi f aparţi spaţiului geerat de {v, v }. Deci spaţiul geerat de {f } este coţiut î spaţiului geerat de {v, v }. Reciproc, deoarece v = f şi v = f - α f, spaţiul geerat de {v, v } este coţiut î spaţiului geerat de {f }. Să presupuem că am costruit vectorii f, k ortogoali doi câte doi şi că, petru orice i k, sistemele de vectori {v, v,, v i } şi {f, i } geerează acelaşi subspaţiu. Avem f k+ = v k+ + α k,jf j, iar relaţiile <f k+ i = k j= + 0, petru orice i k, sut echivalete cu α k+,i = - < + vk < f i,fi, i,f i k. Numitorul <f i i este eul petru i k. Î caz cotrar, spaţiul geerat de vectori {f, i } este egal cu {f, i- } şi, di ipoteza de iducţie, rezultă că {v, v,, v i } şi {v, v,, v i- } geerează acelaşi subspaţiu. Deci v i se scrie ca o combiaţie liiară de vectorii v, v,, v i-, ceea ce cotrazice liiar idepedeţa vectorilor v, v,, v i. Deoarece f k+ = v k+ + α k j= k+,j j f şi spaţiile geerate de {v, v,, v k } şi {f,, f k } coicid, rezultă că spaţiul geerat de {f, k+ } este coţiut î spaţiul geerat de {v, v,, v k+ }. Icluziuea iversă se obţie ţiâd cot de faptul că v k+ = f k+ - α k j= k+,j j f iar spaţiile geerate de {v, v,, v k } şi {f, k } coicid. Î coseciţă, sistemul de vectori {f, } este sistem de geeratori petru spaţiul vectorial V. El este şi sistem liiar idepedet fiid format di vectori ortogoali. Deci {f, } este o bază ortogoală a lui V. Ca urmare, {e, e,, e }, ude 8

8 Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială e i = fi petru orice i, f i este o bază ortoormată a lui V cu proprietatea că petru orice k, {v, v,, v k } şi {e, e,, e k } geerează acelaşi subspaţiu. Exemplul Fie spaţiul vectorial R 4 îzestrat cu produsul scalar caoic (stadard): 4 < x, y = x iy i petru x = (x, x, x 3, x 4 ), y = (y, y, y 3, y 4 ). i= Fie B = {v, v, v 3, v 3 }, ude v = (-,,, ), v = (-,, -5, -3), v 3 = (-3,, 8, 7), v 4 = (0, -,, 0). Vom aplica bazei B procedeul de ortogoalizare Gram- Schmidt (ca î demostraţia teoremei precedete). Avem f = v = (-,,, ) = v + α f ude α se determiă puâd codiţia ca < f = 0: α = - < v < f 0 = - 0 =. Deci f = v + f =( -, 3, -3, -). Mai departe 3 = v 3 + α 3] f + α 3 f, ude α 3 şi α 3 sut determiate de codiţiile < f 3 i = 0, i =,: α 3i = - < v < f 3 i i i, i =,. Efectuâd calculele obţiem α 3 = - < v < f 3 30 = - = -3 0 α 3 = - < v < f 3-6 = - = şi f 3 = v 3-3f + f = (-, -, -, ). 6 Ultimul vector di baza ortogoală este f 4 = v 4 + α 4] f + α 4 f + α 43 f 3, ude α 4i sut determiate de codiţiile < f 4 i = 0, i =,,3: α 4i = - < v < f 4 i i i, i =,,3. 9

9 Spaţii vectoriale euclidiee/uitare Efectuâd calculele obţiem α 4 = - < v < f 4 0 = - = 0, α4 = - 0 < v < f 4-6 = - 6 = 3 3, α43 = - < v < f = - = şi f 4 = v 4 + 0f + f + 0f 3 = v 4 + f =(-, -,, ) Baza ortoormată corespuzătoare {e, e, e 3, e 4 } se obţie luâd e i = fi, i =,,3,4. Deci e = f i f = f (-,,, ), 0 e = f = f ( -, 3, -3, -), e3 = 6 f3 = f 3 0 (-, -, -, ) e 4 = f4 = f (-, -, , 3 ) = 8 3 (-3, -,, 3 ) 3 = 6 (-3, -,, 3 ) = (-3, -,, 3 ). 3 6 Teorema Fie V u spaţiu vectorial euclidia sau uitar fiit dimesioal, dim K V =, şi fie V V u subspaţiu al lui V. Atuci există şi este uic u subspaţiu vectorial V V ortogoal pe V (V V ) astfel îcât V = V V. Suspaţiul V, otat şi V, este umit complemetul ortogoal al lui V. Demostraţie. Fie B = {e, e,, e m } o baza ortoormată a lui V. Completăm B la o bază B ={e, e,, e m,..,e } a lui V. Folosid procedeul de ortoormare Gram Schmidt obţiem o bază ortoormată B' ={e, e,, e m m+,..,f } a lui V. Notăm cu V subspaţiul geerat de familia {f m+,..,f }. Î mod evidet V + V = V. Î plus, V V = (0). Îtr-adevăr, dacă x V V, atuci există x i K, i =,.., astfel îcât x 30

10 m i= Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială = x ie i = x if i. De aici rezultă că avem o combiaţie liiară ulă, m x ie i - i= i= m+ i= m+ x if i = 0, a vectorilor di baza B'. Acest lucru u este posibil decât dacă x i = 0, i =,..,. Deci x = 0 şi V V = (0). Pri urmare V = V V şi existeţa complemetului ortogoal a fost demostrată. Petru a arăta uicitatea, cosiderăm u alt subspaţiu vectorial V 3, V 3 V astfel îcât V = V V 3. Fie v 3 V 3. Cum v 3 V 3 V = V V, v 3 se poate reprezeta uic sub forma v 3 = v + v cu v V şi V. Di faptul că V 3 şi V sut ortogoale pe V rezultă că v 3 - v V şi deci < v 3 - v, v = 0, de ude < v, v = 0, adică v =0. Ţiâd cot că v 3 = v + v, obţiem v 3 = v V. Aalog se demostrează faptul că V V Operatori liiari pe spaţii euclidiee sau uitare Defiiţia Fie V şi W două spaţii euclidiee sau uitare şi fie u : V W u operator liiar (trasformare liiară). Trasformarea liiară u* : W V defiită pri <u(x), y = <x, u * (y) petru orice x V şi y W, se umeşte trasformarea adjuctă lui u. U edomorfism u : V V cu proprietatea că uu* = u*u = I (trasformarea liiară idetică) se umeşte operator uitar, dacă V este spaţiu uitar, sau operator ortogoal, dacă V este spaţiu euclidia. U edomorfism u : V V se umeşte autoadjuct dacă u = u *. Î cazul î care V este spaţiu euclidia, u edomorfism autoadjuct se mai umeşte edomorfism simetric, iar i cazul î care V este uitar, u 3

11 Spaţii vectoriale euclidiee/uitare edomorfism autoadjuct se mai umeşte edomorfism hermitia. Observaţia Trasformarea adjuctă lui u este bie defiită, î sesul că u * L(V). Îtr-adevăr, dacă x, y, y V şi α, β K (K = R sau C) atuci <x, u * ( αy + βy ) = < u(x), αy + βy = α <u(x), y + β <u(x), y = <x, αu * (y ) + βu * (y ). Î particular, şirul de egalităţi de mai sus are loc şi petru x = u * ( αy + βy ) - αu * (y ) + βu * (y ). Î acest caz avem <x,x = 0, de ude x = 0, adică u * ( αy + βy ) = αu * (y ) + βu * (y ). Demostraţia este termiată î virtutea Observaţiei 3... Propoziţia Fie V u spaţiu euclidia sau uitar. Aplicaţia u u * [: L(V) L(V)] are următoarele proprietăţi:. (u + v) * = u * + v * ;. (uv) * = v * u * ; 3. (u * ) * = u 4. (αv) * = αu *, dacă V este uitar; (αv) * = αu *, dacă V este euclidia 5. I * = I (I este trasformarea liiară idetică pe V) 6. O * = O (O este trasformarea liiară ulă pe V) 7. Dacă u este iversabil, atuci (u - ) * = (u * ) -. Demostraţie. Toate afirmaţiile de mai sus rezultă pri aplicarea directă a proprietăţilor produsului scalar. De exemplu, î cazul proprietăţii, observăm că <(u + v)(x), y = <x, (u + v) * (y), oricare ar fi x, y V. Pe de altă parte, <(u + v)(x), y =<u(x) + v(x), y =<u(x), y + <v(x), y =<x, u * (y) + <x, v * (y) =<x, u * (y) + v * (y) = <x, (u * + v * )(y). Deci, petru orice x, y V, avem <x, (u + v) * (y) = <x, (u * + v * )(y) 3

12 Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială sau, echivalet, <x, (u + v) * (y) - (u * + v * )(y) = 0. ca şi î observaţia de mai sus luăm x = (u + v) * (y) - (u * + v * )(y) şi obţiem <(u + v) * (y) - (u * + v * )(y), (u + v) * (y) - (u * + v * )(y) = 0, de ude (u + v) * (y) - (u * + v * )(y) = 0 petru orice y. Î coseciţă, (u + v) * = u * + v *. (Restul afirmaţiilor sut lăsate ca exerciţiu cititorului.) Propoziţia Fie V u spaţiu uitar (respectiv euclidia) şi u : V V u edomorfism. Următoarele afirmaţii sut echivalete:. u este uitar (respectiv ortogoal);. u * u = I (trasformarea liiară idetică); 3. u păstrează produsul scalar ( < u(x), u(y) =< x, y petru orice x, y V); 4. u(x) = x petru orice x V ( x = < x, x ); 5. u trasformă orice bază ortoormată îtr-o bază ortoormată; 6. matricea A a lui u îtr-o bază ortoormată, satisface codiţia t A A = I (respectiv, A t A = I). Demostraţie. Este evidet că " ". Arătăm că " ". Di u * u = I rezultă uşor că u este ijectivă, deoarece I este, î particular, ijectivă. Deoarece V este de dimesiue fiită, rezultă că de fapt u este u operator liiar bijectiv. Î coseciţă, codiţia u * u = I implică u * = u -. Pri urmare uu * = uu - = I, şi deci u este uitar (respectiv, ortogoal). " 3". Petru orice x, y V, <u(x), u(y) = <x, u * (u(y)) = <x, y. "3 ". Petru orice x, y V, <x, y = <u(x), u(y) = <x, u * (u(y)) = <x, u * u(y). Deci, <x, u * u(y) - y = 0 petru orice x, y V. Î particular, petru x = u * u(y) - y, obţiem < u * u(y) - y, u * u(y) - y = 0, de ude 33

13 Spaţii vectoriale euclidiee/uitare u * u(y) - y = 0 petru orice y V. Deci u * u = I. "3 4". Petru orice x V, u(x) = <u(x), u(x) = <x, x = x. "4 3". Dacă V este uitar, atuci petru orice x, y V <x, y = (/4)( x + y - x - y + i x + iy - i x - iy ). Deci, petru orice x, y V, avem <u(x), u(y) = (/4)( u(x) + u(y) - u(x) - u(y) + i u(x) + i u(y) - i u(x) - i u(y) ) = (/4)( u(x + y) - u(x -y) + i u(x + iy) - i u(x - iy) ) = (/4) ( x + y - x - y + i x + iy - i x - iy ) = <x, y. Dacă V este euclidia, atuci <x, y = (/4) ( x + y - x - y ), oricare ar fi x, y V. Deci, petru orice x, y V, avem <u(x), u(y) = (/4) ( u(x) + u(y) - u(x) - u(y) ) = (/4) ( u(x + y) - u(x -y) ) =(/4) ( x + y - x - y ) =<x, y. "3 5". Fie {e, e,, e } o bază ortoormată a lui V. Deoarece <u(e i ), u(e j ) = <e i, e j = 0 petru i j şi <u(e i ), u(e i ) = <e i, e i =, rezultă că {u(e ), u(e ),, u(e )} este o bază ortoormată. "5 3". Fie {e, e,, e } o bază ortoormată a lui V şi fie x = xie i V şi y = y ie i V. Avem <u(x), u(y) =<u( x ie i ), u( y ie i ) i= = x <u(e i ), u(e j ) = x = x i= j= i y j i= i y i i= j= i y j i= <e i, e j = <x, y. " 6". Fie B={e, e,, e } o bază ortoormată a lui V şi fie A matricea asociată lui u î baza respectivă. Dacă A = (a ij ) i,j este matricea asociată lui u î baza B, atuci este clar că <u * (e i ), e j = < e i, i= i= u(e j ) = a ji. Dacă V este euclidia atuci a ji = a ji. De aici rezultă că matricea lui u * î baza B este t A dacă V este uitar, respectiv A t dacă V 34

14 Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială este euclidia. Relaţia u * u = I este echivaletă cu uitar, respectiv cu A t A = I dacă V este euclidia. t A A = I dacă V este 4.5. Vectori şi valori proprii petru edomorfisme autoadjucte Teorema Fie V u spaţiu uitar. Dacă u: V V este u edomorfism hermitia, atuci valorile proprii asociate lui u sut reale. Demostraţie. Fie λ o valoare proprie a lui u şi fie x u vector propriu asociat valorii proprii λ. Avem λ = ( x) < u,x < x,x = ( x) < x, u < x, x = ( x) < u,x < x,x = λ. Deci λ R. Teorema Fie V u spaţiu uitar sau euclidia. Dacă u: V V este u edomorfism autoadjuct, atuci vectorii proprii corespuzători la valorile proprii disticte sut ortogoali. Demostraţie. Fie x şi x vectori proprii corespuzători valorilor proprii λ, respectiv λ. Avem λ <x, x = <λ x, x =<u(x ), x = <x, u(x ) = <x, λ x = λ <x, x = λ <x, x. Dacă λ λ, atuci <x, x = 0. Teorema Fie V u spaţiu uitar sau euclidia. Dacă u: V V este u edomorfism autoadjuct, atuci există o bază ortoormată a lui V formată di vectori proprii ai lui u. Pri urmare, u este diagoalizabil. Demostraţie. Presupuem că dimesiuea lui V este. Poliomul caracteristic P u (λ) asociat lui u admite cel puţi o rădăciă complexă λ 35

15 Spaţii vectoriale euclidiee/uitare (evetual multiplă de ordiul ). Deoarece u este autodjuct, coform Teoremei 4.5., λ este reală (fiid valoare proprie). Valorii proprii λ îi corespude u vector propriu e. Putem presupue că e = (evetual îlocuidu-l cu e ). Fie V, complemetul ortogoal al spaţiului e geerat de e, V ={e }. Subspaţiul V este ivariat la u *). Îtr-adevăr, dacă x V, atuci <u(x), e = <x, u(e ) = <x, λ e = λ <x, e = 0, deci u(x) {e } = V. Dacă u = u V este restricţia lui u la V, atuci u este u edomorfism autoadjuct. Fie e u vector propriu de ormă al lui u (î particular, e este vector propriu al lui u). Deoarece e V, rezultă că e e. Fie V ={e, e }. De asemeea V este subspaţiu ivariat al lui u. Cosiderăm u = u V şi cotiuăm procedeul. La fiecare pas k se obţie u subspaţiu V k = {e, e,,e k } ivariat al lui u, cu proprietatea că e k e i petru orice i k-. Dimesiuea lui V k este - k (deoarece V = V k sp{e, e,,e k }). După paşi se obţie o bază ortoormată a lui V formată di vectori proprii ai lui u. Coform Teoremei 3.7. u este diagoalizabil Exerciţii. Se cosideră spaţiul vectorial real R 4 dotat cu produsul scalar caoic. Să se determie vectorul x R 4 de ormă, care împreuă cu vectorii a = (, 0,, -) şi b = (0,,, ) formează u sistem ortogoal. *) Subspaţiul V V este ivariat la u L K (V) dacă u(v ) V. 36

16 Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială R: Dacă x = (x, x, x 3, x 4 ), atuci, impuâd codiţiile cerute, x =, < x, a = 0, < x, b = 0, obţiem sistemul x + x 3 - x 4 = 0, x + x 3 + x 4 = 0, x + x + x 3 + x 4 = 0. Primele două ecuaţii formează u sistem liiar şi omoge, compatibil edetermiat, cu soluţiile x = - α + β, x = - α - β, x 3 = α, x 4 = β ude α, β R. Îlocuid aceste soluţii î ultima ecuaţie a sistemului de mai sus, obţiem 3α + 3β =. Ecuaţiile parametrice ale compoetelor x i, i =,, 3, 4 sut x = (/ 3 )(cos ϕ - si ϕ), x = - (/ 3 ) (cos ϕ + si ϕ), x 3 = (/ 3 )si ϕ, x 4 = (/ 3 /3)cos ϕ.. Să se demostreze că aplicaţia <.,. : C x C C, < z, z = z z este u produs scalar î spaţiul vectorial complex C. R: Se observă că < z, z = z 0, iar < z, z = 0 z = 0. De asemeea < z, z = < z z, şi, cum liiaritatea î primul argumet este u exerciţiu simplu petru cititor, rezultă cocluzia. 3. Să se arate că îtr-u spaţiu vectorial complex, dotat cu produs scalar, are loc idetitatea 4< x, y = x + y - x y + i x + iy - i x iy. R: Avem x + iy = <x + i y, x + iy = x + i < y, x - i < x, y + y şi aalog x iy = x - i < y, x + i < x, y + y, x + y = x + <y, x + < x, y + y, x y = x - <y, x - < x, y + y. Folosid relaţiile de mai sus rezultă cocluzia. 4. Să se verifice dacă aplicaţia <.,. : C x C C < x, y = x y + x y + x y + x y, ude x = (x, x ), y = (y, y ), x, y C, defieşte u produs scalar î spaţiul vectorial complex C. 37

17 Spaţii vectoriale euclidiee/uitare R: Avem < x, x = x + Re x x + x, ude am otat pri Re z partea reală a umărului complex z. Deoarece Re x x x x = x x, este clar că < x, x x - x x + x = ( x - x ) 0. Dacă < x, x = 0, atuci, di iegalitatea de mai sus, rezultă că x = x = a. Pe de altă parte, dacă scriem umerele complexe x şi x sub formă trigoometrică, avem x = a(cos ϕ + i si ϕ), x = a(cos τ + i si τ), ϕ, τ [0, π) şi Re x x = a cos (ϕ - τ). Atuci < x, x = 0 a cos (ϕ - τ) = - a ϕ - τ = π. Î cazul particular ϕ = π, τ = 0, a 0, avem x = (-a, a) 0 C şi < x, x = 0. Deci aplicaţia defiită mai sus u este u produs scalar pe C. 5. Să se arate că aplicaţia <.,. : C x C C, <x, y = x y + 3 x y, ude x = (x, x ), y = (y, y ), x, y C, defieşte u produs scalar î spaţiul vectorial complex C. Idicaţie: Se verifică axiomele produsului scalar î maiera prezetată la exerciţiul precedet. 6. Folosid procedeul de ortoormare Gram Schmidt să se ortoormeze sistemele de vectori liiar idepedete de mai jos: a) {e = (, 0, ), e = (,, -3), e 3 = (-,, 0)} R 3 ; b) {e = (, 0,, 0), e = (0,, 0, ), e 3 = (, -, 0, ), e 4 = (,,, -)} R 4 ; c) {e = (,, ), e = (,, 0), e 3 = (3, 0, 0)} R 3 ; d) {e = (, ), e = (, )} R. R: a) Î prima etapă se costruieşte u sistem ortogoal g, g, g 3. Coform procedeului Gram Schmidt, avem g = e. Căutăm g de forma g = e + αe, α R astfel îcât < g, g = 0. Obţiem α = -< e, g / g. Deci α = / iar g = (5/,, 38

18 Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială -5/). Alegerea lui g 3 se face astfel îcât g 3 = e 3 + αg + β g şi < g 3, g = 0, < g 3, g = 0. De aici rezultă α = - < e 3, g / g = /, β = -< e 3, g / g = /9 şi g 3 = (- /9, 0/9, /9). Sistemul S = {g / g, g / g, g 3 / g 3 } este ortoormat. Deci S = {(/, 0, / ), (5 6 /8, 6 /8, -5 6 /8 ), (- 3 /9, 5 3 /9, 3 /9)}. Procedâd asemăător se vor determia sistemele ortoormate î cazul puctelor b) - d). Astfel, î cazul puctului b) avem sistemul {(/, 0, /, 0), (0, /, 0, / ), (/ 0, -/ 0, -/ 0, / 0 ), (/ 0, / 0, -/ 0, -/ 0 )}, petru c) obţiem {(/ 3, / 3, / 3 ), (0, /, - / ), (/ 6, -/ 6, - / 6 )}, iar î cazul puctului d) avem sistemul ortoormat {(-/ 5, / 5 ), (/ 5, / 5 )}. 7. Fie V mulţimea C 0 ([a, b]) = {f : [a, b] R cotiuă}, a, b R. a) Să se demostreze că V împreuă cu operaţiile de aduare a fucţiilor şi de îmulţire a acestora cu umere reale capătă o structură de spaţiu vectorial real. b) Fie ρ C 0 ([a, b]) o fucţie fixată î V, ρ(x) 0 oricare ar fi x [a, b]. Să se arate că aplicaţia b < f, g ρ = a ρ(x)f(x)g(x)dx defieşte u produs scalar pe V, umit produs scalar cu poderea ρ. Idicaţie: a) Se produsului scalar. verifică axiomele spaţiului vectorial. b) Se verifică axiomele 8. Fie V subspaţiul vectorial al spaţiului V = C 0 ((a, b)), - a < b format di toate polioamele de orice grad cu edetermiata x şi coeficieţi reali. Este uşor de văzut că dacă ρ(x) V, ρ(x) 0 este o podere adecvată (adică ρ(x) este astfel îcât itegrala di formula de mai 39

19 Spaţii vectoriale euclidiee/uitare b jos este covergetă), atuci formula < f, g ρ = a ρ(x)f(x)g(x)dx defieşte u produs scalar pe V. Să se ortogoalizeze sistemul S = { f = = x 3 = x 4 = x 3 } folosid procedeul Gram Schmidt, dacă poderea ρ şi valorile a şi b sut cele de mai jos: a) a = -, b =, ρ(x) = ( - x ) ; b) a = 0, b =, ρ(x) = xe -x. R: a) Alegem g =. Costruim g = f + αg astfel îcât < g, g ρ = 0. Avem α = - < f, g ρ / g. Deoarece < f, g ρ = x( - x ) dx = 0 rezultă că g = x. Următorul vector g 3 di sistemul ortogoal va satisface codiţiile g 3 = f 3 + αg + βg, < g, g 3 ρ = 0, < g, g 3 ρ = 0. Deci α = - < f 3, g ρ / g, β = - < f 3, g ρ / g. Avem < f 3, g ρ = x ( - x ) dx = 6/05, g = < g, g ρ = ( - x ) dx = 6/5, < f 3, g ρ = x 3 ( - x ) dx = 0 şi g = < g, g ρ = x ( - x ) dx = 6/05. Obţiem g 3 = x - /7. Aalog g 4 = f 4 + αg + βg + γg 3, ude α = - < f 4, g ρ / g = 0, β = - < f 4, g ρ / g = /3, γ = - < f 4, g 3 ρ / g 3 = 0. Sistemul ortogoal căutat este S' = { g =, g = x, g 3 = x - /7, g 4 = x 3 - /3x}. Polioamele g i, i =,, 3, 4 reprezită primele 4 polioame Jacobi corespuzătoare poderii ρ(x). b) g = ; g = f + αg ude α = - < f, g ρ / g, < f, g ρ = 0 x e -x dx =, g = < g, g ρ = 0 e -x dx =. Deci g = x -. Avem g 3 = f 3 + αg + βg cu α = - < f 3, g ρ / g, β = - < f 3, g ρ / g, < f 3, g ρ = 0 x 3 e -x dx = 6, < f 3, g ρ = 0 x 3 (x - )e -x dx =, g = 0 x(x - ) e -x dx =. Deci g 3 = x - 6(x - ) - 6 = x 40

20 Algebră liiară, geometrie aalitică şi difereţială - 6x + 6. Aalog se stabileşte că g 4 = f 4 + αg + βg + γg 3, ude α = 4, β = -36, γ = -. Deci g 4 = x 3 - x + 36x - 4. Polioamele g, g, g 3, g 4 se umesc polioame Laguerre şi formează sistemul ortogoal căutat. 9. Să se determie adjuctul operatorilor liiari de mai jos relativ la produsul scalar caoic: a) f : R 3 R 3 (x, y, z) = (x + y - z, x - y + z, x + z); b) f : R R 3 (x, y) = (x + y, x - y, x + 3y); c) f 3 : R R 3 (x, y) = (x + y, x); d) f 4 : R 4 R 4 4 (x, y, z, t) = (x - y, y - z, z - t, t - x). R: a) Matricea A = (a ij ) i, j =,, 3, asociată lui f î baza caoică B = {e = (, 0, 0), e = (0,, 0), e 3 = (0, 0, )} a lui R 3, este dată de relaţiile u (e i ) = a i e + a i e + a i3 e 3, i = *,, 3. Deci A = 0. Fie B matricea asociată lui f î baza caoică. Dacă v, w R 3, atuci u (v) = va * (w) = wb, < u (v), w = vaw şi <v * (w) = vb T w. De aici şi di defiiţia operatorului adjuct rezultă că B = A T, adică matricea asociată lui f * este A T. Acum este clar că f * (x, y, z) = (x, y, z)a T. Deci f * : R 3 R 3 * (x, y, z) = (x + y + z, x - y, - x + y + z). b) f * : R 3 R * (x, y, z) = (x + y + z, x - y + 3z); c) f * 3 : R R * 3 (x, y) = (x + y, x); d) f * 4 : R 4 R 4 * 4 (x, y, z, t) = (x - t, - x + y, - y + z, - z + t). 0. Se cosideră spaţiul vectorial R [X] al tuturor polioamelor, de grad cel mult, î edetermiata x, dotat cu produsul vectorial defiit la puctul a) al Exerciţiului 8. Să se determie adjuctul operatorului liiar u : R [X] R [X], u(f) = f ' - 3f, ude f ` este derivata poliomului f. R: Se ştie că o bază a spaţiului R [X] este {, x, x }. După cum am arătat deja î exerciţiul 8, o bază ortogoală a acestui spaţiu este B' = { g =, g = x, g 3 = x - /7}. 4

21 Spaţii vectoriale euclidiee/uitare Ortoormăm această bază şi obţiem baza B = { g = 5/6, g = 05/6 x, g 3 = 05/6 (x - /7)}. Î această bază operatorul u are matricea asociată A = (a ij ) i, j =,, 3, ude u(g i ) = a i g + a i g + a i3 g 3, i =,, 3. Avem u(g ) = - 45/6, u(g ) = 05/6( - 3x), u(g 3 ) = 05/6 (- 3x + x + 3/7). Deci a = < u(g ), g ρ = - 45/6, a = < u(g ), g ρ = 0, a 3 = < u(g ), g 3 ρ = 0, a = < u(g ), g ρ = 05/8, a = < u(g ), g ρ = -35/6, a 3 = < u(g ), g 3 ρ = 0, a 3 = < u(g 3 ), g ρ = 0, a 3 = < u(g 3 ), g ρ = 05/8, a 33 = < 3/ 4 u(g 3 ), g 3 ρ = - 665/4. Obţiem A = 5/4 7 / 0 asociată operatorului adjuct u * î aceeaşi bază va fi A T. 0 / 4 47 / 0 0. Deci matricea 44 Deoarece = 6/05(7g ), x = 6/05g iar x = 6/05(/g 3 + g ), deducem că u * (ax + bx + c) = 6/05[a/g 3 + a g + b g + 7 c g ] = 6/05[a/ u * (g 3 ) + (a + 7c) u * (g ) + b u * (g ) ] = 4/7[a/(44g 3 ) + (a + 7c) (-3/4g + 7/g ) + b(-/4g + 47/g 3 )] = 665/8(a + 7b)( x - /7) -45/a - 45/6c + 05/6( a - 3b + 4c)x. Deci u * (ax + bx + c) = 665/8(a + 7b)( x - /7) - 45/a - 45/6c + 05/6( a - 3b + 4c)x.. Să se verifice dacă operatorul f : R 3 R 3 (x, y, z) = (/ x + / z, 5 6 /8x + 6 /8y /8 z, - 3 /9x /9y + 3 /9z) este ortogoal. R: Matricea asociată operatorului î baza caoică di R 3 este A = / 5 6 /8 3/ /8 5 3/9. Deoarece A T = A - se deduce că îtr-adevăr operatorul / 5 6 /8 3/9 f este ortogoal (vezi Propoziţia 4.4.). 4

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE

7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ

Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit

Διαβάστε περισσότερα

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate

Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs

Διαβάστε περισσότερα

Inegalitati. I. Monotonia functiilor

Inegalitati. I. Monotonia functiilor Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert

Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert Metode de Optimizare Noţiui recapitulative de Aaliză Matematică şi Algebră Liiară Spaţii topologice. Spaţii metrice. Spaţii ormate. Spaţii Hilbert Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile

Διαβάστε περισσότερα

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.

a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A. Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI 122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi

Διαβάστε περισσότερα

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă

6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se

Διαβάστε περισσότερα

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare

SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1

Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1 Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se

Διαβάστε περισσότερα

2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE

2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică

CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul

Διαβάστε περισσότερα

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice

Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior

4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior 4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

IV. Rezolvarea sistemelor liniare

IV. Rezolvarea sistemelor liniare IV. Rezolvarea sistemelor liiare IV.. Elemete de aaliză matriceală Fie V u spaţiu vectorial (liiar peste corpul K (K=R sau K=C. Reamitim o serie de defiiţii şi teoreme legate de spaţiile ormate şi spaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017

Formula lui Taylor. 25 februarie 2017 Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =

Διαβάστε περισσότερα

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII

5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare

Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI

3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A

BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +

Διαβάστε περισσότερα

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi

COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0 Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:

Διαβάστε περισσότερα

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.

3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii. Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI

PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre

Διαβάστε περισσότερα

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011

Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011 Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila

Διαβάστε περισσότερα

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.

Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn. 86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

sistemelor de algebrice liniarel

sistemelor de algebrice liniarel Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris

Διαβάστε περισσότερα

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII

6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII 7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE

CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale

Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode

Διαβάστε περισσότερα

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008

Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008 Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot

Διαβάστε περισσότερα

Algebră liniară CAPITOLUL 3

Algebră liniară CAPITOLUL 3 Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE . ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1 - rezolvari mate MT1

Varianta 1 - rezolvari mate MT1 Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri

Διαβάστε περισσότερα

PENTRU CERCURILE DE ELEVI

PENTRU CERCURILE DE ELEVI G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...

1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii... Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,

Διαβάστε περισσότερα

5. PROBABILITĂŢI Evenimente

5. PROBABILITĂŢI Evenimente 5 PROBABILITĂŢI Teoria probabilităţilor este u domeiu importat al matematicii, apărut di activităţi şi ecesităţi practice ale oameilor sau di observaţii directe asupra aturii Î viaţa de zi cu zi se îtâlesc

Διαβάστε περισσότερα

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea

CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie

Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR

DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR IOANA MONICA MAŞCA Prezetăm mai multe procedee de calcul al puterilor matricelor ilustrate pri probleme cu soluţii cometate. Putem realiza selecţii de metode şi/sau exemple

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE

1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Algebră liniară CAPITOLUL 1

Algebră liniară CAPITOLUL 1 Algebră liniară CAPITOLUL SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE. Definiţia spaţiilor vectoriale Pentru a introduce noţiunea de spaţiu vectorial avem nevoie de noţiunea de corp comutativ de caracteristică

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =

Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n = Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Algebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen.

Algebră 1. Disciplină obligatorie; Anul I, Sem. 1, ore săptămânal, învăţământ de zi: 2 curs, 2 seminar, total ore semestru 56; 6 credite; examen. Uiversitate Spiru Haret Facultatea de Matematica-Iformatica Algebră 1 Discipliă obligatorie; Aul I, Sem 1, ore săptămâal, îvăţămât de zi: curs, semiar, total ore semestru 56; 6 credite; exame I CONŢINUTUL

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real

Partea întreagă, partea fracţionară a unui număr real Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

8. Introducere în metoda elementului finit

8. Introducere în metoda elementului finit Itroducere î metoda elemetului fiit 45 8 Itroducere î metoda elemetului fiit Formularea variaţioală a diferitelor probleme la limită împreuă cu ceriţele mai slabe de regularitate coduc î mod atural la

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :

T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z : Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet

Διαβάστε περισσότερα

Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial

Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul difereţial MATHEMATICAL ANALYSIS Differetial calculus The preset book is the first part of the cours of Mathematical Aalysis give by the author for may years

Διαβάστε περισσότερα

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul

în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV

CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV CAPITOLUL I CAPITOL INTRODUCTIV Prezetarea uor elemete de bază di teoria mulţimilor, teoria relaţiilor biare, fucţii, sisteme de umere ş. a. presupue cuoscute elemete de logică matematică la ivelul maualelor

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5

Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei

Διαβάστε περισσότερα

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.

lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii. 5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare

Διαβάστε περισσότερα

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE IAŞI, 005 CUPRINS 1 MATRICE ŞI SISTEME ALGEBRICE LINIARE 5 1.1 Matrice şi determinanţi.......................... 5 1. Sisteme de ecuaţii algebrice

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ

CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1

Varianta 1 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p

Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări

Διαβάστε περισσότερα

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII

ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.

Διαβάστε περισσότερα

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert

Spaţii metrice. Spaţii normate. Spaţii Hilbert 3 Spaţii etrice Spaţii orate Spaţii Hilbert Spaţiile etrice au fost itroduse la îceputul secolului XX de ateaticiaul fracez M Fréchet şi costituie cadrul atural de prezetare a pricipiului cotracţiei, care

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Sala: 2103 Octombrie 2014 CURS 1: ALGEBRĂ. Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare.

Sala: 2103 Octombrie 2014 CURS 1: ALGEBRĂ. Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare. Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 1: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].

Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ]. Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea

Διαβάστε περισσότερα

Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat 2009

Structuri algebrice, grupuri, probleme bacalaureat 2009 Grup Fie G-evidã şi *: GxG G, (x,y) x*y, œx,y0g. Axiomele grupului: G1. (x*y)*z = x*(y*z) x,y,z G (asociativitatea); G2. e G astfel îcât x*e = e*x = x, x G (e elemet eutru); G3. x G x G astfel îcât x *x

Διαβάστε περισσότερα