Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p

Transcript

1 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I (p) Variata Să se determie umărul atural di egalitatea = Să se rezolve î mulţimea umerelor reale iecuaţia 5+ Să se determie iversa fucţiei bijective f :(, ) (, ), f( ) = + 4 Se cosideră mulţimea A = {,,,,} Să se determie umărul submulţimilor cu trei elemete ale mulţimii A, care coţi elemetul 5 Să se determie m, astfel îcât distaţa ditre puctele A(, m ) şi Bm (, ) să fie 4 π π 6 Să se calculeze cos si Variata, SUBIECTUL II (p) Variata a b Se cosideră matricea A = b a, cu a, b şi b a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atuci eistă uv,, astfel îcât u v X = v u * ( ) ( ) ( ) ( ) b) Să se arate că, y a + b + a b a+ b a b A =, ude, y y = = c) Să se rezolve î mulţimea ( ) X = Se cosideră 7 6 a şi poliomul f X ax 5ˆ [ X] = + + a) Să se verifice că, petru orice b 7, b ˆ, are loc relaţia b 6 = ˆ 6 b) Să se arate că + ˆ5 = ( 4)( ˆ + 4), ˆ 7 c) Să se demostreze că petru orice 7 7 a, poliomul f este reductibil î [ ] 7 X SUBIECTUL III (p) Variata Se cosideră umărul real a > şi fucţia f :, f( ) = e a a) Să se determie asimptota oblică la graficul fucţiei f către b) Să se determie puctele de etrem local ale fucţiei f c) Să se determie a (, ), ştiid că f( ), l Se cosideră fucţia f :(, ), f( ) = BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ - Proba D, MT, programa M F:,, F( ) = l, este o primitivă a fucţiei f a) Să se arate că fucţia ( ) ( ) b) Să se arate că orice primitivă G a fucţiei f este crescătoare pe [, ) c) Să se calculeze aria suprafeţei plae cuprise ître graficul fucţiei f, aa O şi dreptele de ecuaţii = şi = e e

2 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I (p) Variata Să se arate că umărul ( i) 4 este real Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia + + = + f :,, f( ) = e + Să se determie iversa fucţiei bijective ( ) 4 Să se determie probabilitatea ca, alegâd u umăr ab di mulţimea umerelor aturale de două cifre, să avem a b 5 Să se calculeze lugimea mediaei di A a triughiului ABC, ude A(, ), B(,), C(,6) 6 Fie vectorii u = mi + j v = m i j Să se determie m > astfel îcât vectorii u şi v să fie perpediculari şi ( ) Variata SUBIECTUL II (p) Variata Se cosideră matricea A M ( ), A = a) Să se arate că eistă a astfel îcât 9 b) Să se calculeze ( A A ) t A = aa 5 c) Să se rezolve ecuaţia X = A, X ( ) M Petru ab, di mulţimea M = [, ) se defieşte operaţia a b= l( e + e ) a) Să se arate că dacă a, b M, atuci a b M b) Să se arate că legea de compoziţie este asociativă c) Petru,, să se determie a M astfel îcât a a a= a de ori a a b SUBIECTUL III (p) Variata Se cosideră şirul ( a ) * dat de ( ), a) Să se arate că ( ) * a,, a+ = a a, a şi ( ) * b) Să se demostreze că şirul ( a ) * este strict descrescător BACALAUREAT c) Să se arate 9-MATEMATICĂ că şirul ( b ) *, dat - Proba de * bd, = MT, a + programa a + + am,, este mărgiit superior de a Se cosideră fucţia f :, f( ) = a) Să se arate că fucţia F:, F( ) = arctg,, este o primitivă a fucţiei f b) Să se calculeze aria suprafeţei delimitate de dreptele =, =, O şi graficul fucţiei g :, g( ) = (+ ) f( ) c) Să se calculeze lim f( ) d, ude *

3 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I (p) Variata Să se ordoeze crescător umerele 4, 4, 5 Să se determie valoarea miimă a fucţiei f : R R, f ( ) = 4 8+ Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia lg( ) + lg(6 5) = 4 Să se determie probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea umerelor aturale de două cifre, acesta să fie pătrat perfect 5 Să se determie ecuaţia dreptei care trece pri puctul A (6,4) şi este perpediculară pe dreapta d: y+ = 6 Ştiid că siα =, să se calculeze cos α Variata SUBIECTUL II (p) Variata Se cosideră matricea A = M ( ) a) Să se verifice egalitatea b) Să se calculeze A A A = I c) Să se arate că A 9 A 8 8 ( A I ) Se cosideră cuoscut că (,, ) + = + este u iel comutativ, ude y = + y şi y = y y+,, y a) Să se arate că elemetul eutru al legii de compoziţie este 4 b) Să se determie ab, astfel îcât ître ielele (,, ) şi (, +, ) să eiste u izomorfism de forma f :, f( ) = a + b c) Să se rezolve î mulţimea ecuaţia de 9 ori 9 = + SUBIECTUL III (p) Variata Se cosideră fucţia ( ) ( ) f :,, f = 8 l a) Să se determie itervalele de mootoie ale fucţiei f f a,, b) Să se determie a petru care ( ) ( ) c) Să se determie umărul de rădăcii reale ale ecuaţiei ( ) f = m, ude m este u parametru real BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ - Proba D, MT, programa M Se cosideră fucţiile fa :, fa( ) =, ude a a + a) Să se arate că, petru orice a, fucţia f a are primitive strict crescătoare pe b) Să se calculeze ( ) f d a d a c) Să se calculeze lim f ( )

4 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete 4 SUBIECTUL I (p) Variata 4 Să se arate că umărul este real i + i Să se arate că vârful parabolei y = + 5+ este situat î cadraul III Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia 9 + = 4 Să se determie probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea umerelor aturale de trei cifre, acesta să aibă eact două cifre egale 5 Să se determie a petru care vectorii u = ai+ ( a+ ) j şi v = (5a ) i+ j sut perpediculari 6 Să se calculeze lugimea laturii BC a triughiului ascuţitughic ABC ştiid că AB = 6, AC = şi că aria triughiului ABC este egală cu 5 Variata 4 4 SUBIECTUL II (p) Variata 4 Se cosideră matricea A = a) Să se calculeze ragul matricei A t b) Să se demostreze că det( A A) = c) Să se determie o matrice eulă B M, ( ) astfel îcât AB= O Se ştie că ( G, ) este grup, ude G = (, ) şi y = ( )( y ) + Se cosideră fucţia f :(, ) G, f( ) = + a) Să se calculeze b) Să se demostreze că fucţia f este u izomorfism de grupuri, de la ((, ), ) G c) Să se demostreze că dacă H este u subgrup al lui G care coţie toate umerele aturale k 4, atuci H coţie toate umerele raţioale q > la (, ) 4 SUBIECTUL III (p) Variata 4 + Se cosideră fucţia f : \ {, }, f ( ) = ( ) + a) Să se determie asimptotele graficului fucţiei f b) Să se demostreze că fucţia f u are pucte de etrem local ( ) BACALAUREAT c) Să se calculeze 9-MATEMATICĂ lim f () + f- ( Proba ) + fd, ( ) MT, + + programa f ( ), M ude Se cosideră şirul ( ) * a) Să se calculeze I b) Să se arate că I * I, I = d, + *, c) Să se calculeze lim I *

5 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I (p) Variata 5 Să se calculeze + + i i Să se rezolve î iecuaţia + f, f( ) = log Să se determie iversa fucţiei bijective :, ( ) (, ) 4 Să se determie umărul fucţiilor :{,,,4} {,,,4} f cu proprietatea că f() = f(4) 5 Să se determie coordoatele vârfului D al paralelogramului ABCD ştiid că A(,9), B(7, 4), C(8, ) 6 Triughiul ABC are laturii AC Variata 5 B = π şi lugimea razei cercului circumscris egală cu Să se calculeze lugimea 5 SUBIECTUL II (p) Variata 5 Se cosideră puctele A(, 6), B(, 4), C(, 8) şi matricea M = a b, ude ab, a) Să se arate că puctele A, B, C sut coliiare b) Să se determie ragul matricei M î cazul a=, b= c) Să se arate că dacă uul ditre miorii de ordi trei ai lui M, care coţi ultima coloaă, este ul, atuci rag( M ) = Pe mulţimea defiim legea de compoziţie y = 5y+ 6+ 6y+ 6 a) Să se arate că legea este asociativă b) Să se determie elemetele simetrizabile ale mulţimii î raport cu legea c) Să se rezolve ecuaţia = de 9 ori 5 SUBIECTUL III (p) Variata 5 ( ) Se cosideră fucţia f :(, ), f ( ) = l + a) Să se calculeze derivata fucţiei f b) Să se determie puctele graficului fucţiei f î care tageta la grafic este paralelă cu dreapta de ecuaţie 9y = BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ - Proba D, ( MT, ) programa M c) Să se arate că, dacă >, atuci l + Se cosideră fucţia f: (, ), f ( ) = şi şirul ( a ), a= f() + f() + + f( ) k+ a) Să se arate că f ( k + ) f ( ) d f( k), k (, ) k lim d, b) Să se calculeze f ( ) c) Să se arate că şirul ( a ) este coverget

6 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete 6 SUBIECTUL I (p) Variata 6 Să se calculeze suma tuturor umerelor aturale de două cifre care se divid cu Să se determie fucţia f de gradul al doilea ştiid că f( ) =, f() =, f() = Să se rezolve î mulţimea (,π ) ecuaţia si = si 4 Câte umere aturale de trei cifre disticte se pot forma cu elemete ale mulţimii {,4,6,8 }? 5 Se cosideră triughiul ABC cu vârfurile î A (, ), B(, ) şi C (4,6) Să se calculeze cos B Variata 6 6 Să se calculeze lugimea razei cercului circumscris triughiului ABC ştiid că C = π şi AB = SUBIECTUL II (p) Variata Se cosideră permutarea σ= S5 5 4 a) Să se calculeze 9 σ b) Să se dea eemplu de o permutare τ S5 astfel îcât τσ e şi ( τσ ) = e c) Să se demostreze că, petru orice τ S5, eistă p astfel îcât τ = e Se cosideră a,,, rădăciile ecuaţiei + a= şi determiatul = a) Petru a =, să se determie, şi b) Să se arate că, petru orice a, ecuaţia are o sigură rădăciă reală c) Să se arate că valoarea determiatului u depide de a p SUBIECTUL III (p) Variata 6 f :,, f = e 6 Se cosideră fucţia ( ) ( ) l a) Să se arate că f ( ) = f ( )( + l ), > b) Să se determie valoarea miimă a fucţiei f c) Să se arate că fucţia f este coveă pe (, ) BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ - Proba D, MT, programa M Se cosideră, petru fiecare, fucţiile f :(, ), f( ) = şi g :(, ), + g( ) = f( ) a) Să se calculeze g ( d ) * b) Să se arate că f ( ), d + c) Să se calculeze lim + + +, 4

7 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete 7 SUBIECTUL I (p) Variata i Să se calculeze modulul umărului comple z = 7 4i Să se determie valoarea maimă a fucţiei f : Să se rezolve î mulţimea [,π ) ecuaţia R R, f ( ) = si = petru care mulţimea { } Variata 7 4 Să se determie,,, are eact de submulţimi cu două elemete 5 Se ştie că, î triughiul ABC, vectorii AB+ AC şi AB AC au acelaşi modul Să se demostreze că triughiul ABC este dreptughic 6 Să se calculeze lugimea razei cercului îscris î triughiul ABC care are lugimile laturilor egale cu, 4 şi 5 7 SUBIECTUL II (p) Variata y+ z+ 4t = Se cosideră matricele A=, B= ( ) şi sistemul y+ z+ t = z + t = a) Să se determie ragul matricei A b) Să se determie mulţimea soluţiilor sistemului c) Să se demostreze că ecuaţia XA = B u are soluţii X M, ( ) k k Se cosideră mulţimea G A ( k ) k k k = =, şi petru fiecare t otăm cu Ht = { A( kt ) k } Se admite faptul că ( G, ) este u grup, ude este îmulţirea matricelor a) Să se arate că, p, A ( ) Ap ( ) = A ( + p+ ) b) Să se demostreze că, petru orice t, H t este u subgrup al grupului ( G, ) c) Să se demostreze că grupurile ( G, ) şi (, + ) sut izomorfe 7 SUBIECTUL III (p) Variata 7 * Se cosideră fucţia f :(, ), f( ) = l şi şirul ( ) *, = l, a) Să se determie asimptotele graficului fucţiei f b) Să se arate că, petru orice k >, < f ( k + ) f ( k) < k + k BACALAUREAT c) Să se arate 9-MATEMATICĂ că şirul ( ) - Proba D, MT, programa M * este descrescător şi are termeii pozitivi Se cosideră fucţiile f :(, ), f ( ) = ( ) + ( + ) şi F :(, ), F( ) = al( + ) + bl( + ) + carctg, ude a, b, c sut parametri reali a) Să se determie a, b, c astfel îcât F să fie o primitivă a fucţiei f b) Să se calculeze f( ) d c) Să se studieze mootoia fucţiei F, î cazul î care F este primitivă a fucţiei f

8 Probă scrisă la MATEMATICĂ - Proba D Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I (p) Variata 8 Să se rezolve î mulţimea umerelor complee ecuaţia Se cosideră fucţia f : R R, f ( ) a c z = 4 graficului fucţiei f, să se determie umerele reale a şi c = + + Ştiid că puctele A (, ) şi (,) Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia 7 + = B aparţi,,5, 7,9? 5 Se cosideră paralelogramul ABCD şi puctele E şi F astfel îcât AE = EB, DF = FE Să se demostreze că puctele A, F şi C sut coliiare 6 Fie triughiul ABC Să se calculeze lugimea îălţimii corespuzătoare laturii BC ştiid că AB =, AC = 4 şi BC = 5 4 Câte umere aturale de patru cifre disticte se pot forma cu cifre di mulţimea { } Variata 8 8 SUBIECTUL II (p) Variata 8 Se cosideră matricea A = M ( ) a) Să se calculeze det ( A ) b) Să se arate că c) Să se determie + A = A + I, petru orice A Se cosideră a şi ecuaţia + a=, cu rădăciile complee,, a) Să se calculeze ( + )( + )( + ) b) Să se determie şi ştiid că = c) Să se determie a petru care,, sut umere îtregi 8 SUBIECTUL III (p) Variata 8 Se cosideră fucţia f :, f ( ) cos, =, = f, = + şi şirul ( ) ( ) + a) Să se arate că fucţia f este crescătoare pe BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ π b) Să se arate că, - Proba D, MT, programa M c) Să se arate că şirul ( ) este coverget la π Se cosideră şirul de umere reale ( ) a) Să se calculeze b) Să se arate că şirul ( I ) I, defiit de π I = şi este descrescător π c) Să se arate că II =, I π d * = cos,

9 Filiera teoretică, profilul real, specializarea matematică - iformatică Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I (p) Variata 9 Să se determie umărul atural petru care = 5 Să se determie valorile parametrului real m ştiid că graficul fucţiei f :, ( ) f = + m m itersectează aa O î două pucte situate la distaţa Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia log ( ) = 4 Să se arate că C7 > C7 5 Fie heagoul regulat ABCDEF de latură 4 Să se calculeze modulul vectorului AC+ BD 9 6 Să se arate că si + si + + si 9 = Variata 9 9 SUBIECTUL II (p) Variata 9 Fie A(, y ), B(, y ), C(, y ) trei pucte di pla şi matricea M = y ( ) A A B B C C A B C y y A B C M a) Să se arate că, dacă A, B, C se află pe dreapta de ecuaţie y=, atuci det ( M ) = b) Să se arate că, dacă triughiul ABC este dreptughic şi are catetele de lugime, atuci det ( M ) =± c) Să se arate că, dacă matricea M este iversabilă, atuci suma elemetelor matricei M este a b Se cosideră mulţimea de matrice A= a, b b a a) Să se arate că, dacă X A şi Y A, atuci X + Y A b) Să se arate că, dacă X A,Y A şi XY = O, atuci X = O sau Y = O c) Admitem cuoscut faptul că A este iel î raport cu aduarea şi îmulţirea matricelor Să se determie elemetele iversabile ale acestui iel 9 SUBIECTUL III (p) Variata 9 f :, f = si Se cosideră fucţia ( ) a) Să se arate că fucţia f este crescătoare b) Admitem că petru fiecare ecuaţia f ( ) = are o soluţie uică Să se arate că şirul ( ) * este emărgiit BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ - Proba D, MT, programa M c) Să se calculeze lim, ude şirul ( ) a fost defiit la b) * Fie fucţiile f, g: [, ), f( ) =, g( ) =, ude a) Să se calculeze ( f ( ) g ( )) d * b) Să se arate că g ( ) d, c) Să se arate că lim l =

10 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I (p) Variata 4 Ştiid că z şi că z + z+ =, să se calculeze z + 4 z f f( ) = f +, oricare ar fi Să se determie fucţia f de gradul îtâi, petru care ( ) ( ) Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia lg( ) lg 9 lg + = 4 Să se determie umărul termeilor raţioali di dezvoltarea ( ) + Variata 5 Să se determie coordoatele cetrului de greutate al triughiului ABC, ştiid că A(,), B(,), C(, ) 6 Să se arate că ughiul vectorilor u = 5i 4j şi v = i + j este obtuz SUBIECTUL II (p) Variata Se cosideră permutările e, α S, e =, α= a) Să se calculeze α b) Să se rezolve ecuaţia α 9 = e, S c) Să se demostreze că, oricare ar fi ordiea factorilor, produsul tuturor permutărilor di S este permutare impară Fie ielul [] i = { a+ bi a, b } a) Să se dea eemplu de u umăr comple z astfel îcât z [] i z i b) Să se determie elemetele iversabile ale ielului [] i c) Să se arate că mulţimea H = ( m+ ) + ( m ) i m, este parte stabilă a lui [] i î raport cu îmulţirea { } şi [ ] SUBIECTUL III (p) Variata Se cosideră fucţia f :, f ( ) = arctg l ( + ) a) Să se arate că fucţia f este coveă pe b) Să se arate că fucţia f ' este mărgiită c) Să se demostreze că f( ), BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ - Proba D, MT, programa M * Se cosideră şirul ( I), I, = d + a) Să se calculeze I * b) Să se arate că I, + c) Să se calculeze lim I

11 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I (p) Variata Să se determie a, b ştiid că umerele, a, b sut î progresie geometrică şi, 7, a sut î progresie aritmetică f f( ) =, ştiid că f :, f( ) = + Să se rezolve ecuaţia ( ) Să se rezolve î mulţimea [ ) 4 Să se determie umărul fucţiilor :{,,} {,,},π ecuaţia tg( ) = tg Variata f care verifică relaţia f () = 5 Se cosideră triughiul ABC şi puctele DEastfel, îcât AD= DB, AE = EC Să se arate că dreptele DE şi BC sut paralele 6 Să se calculeze lugimea razei cercului circumscris triughiului ABC, dacă A = π, B = π şi AB = SUBIECTUL II (p) Variata a b c d b a d c Petru abcd,,,, se cosideră matricea A = c d a b d c b a a) Petru a = c = şi b= d =, să se calculeze det ( A ) t b) Să se arate că A A =α I4, ude α= a + b + c + d c) Să se demostreze că dacă A O4, atuci A este iversabilă Se cosideră a, b, c şi poliomul îcât,, a) Să se demostreze că a b) Să se arate că, dacă c) Să se arate că, dacă a=, c=, atuci b = t şi matricea traspusă A f = X + ax + bx + c, cu rădăciile,,, astfel c <, poliomul are cel puţi o rădăciă reală î itervalul ( ), SUBIECTUL III (p) Variata Se cosideră fucţia f : { }, f ( ) = e + a) Să se studieze derivabilitatea fucţiei f î puctul = b) Să se determie puctele de etrem local ale fucţiei f c) Să se determie umărul de rădăcii reale ale ecuaţiei ( ) f = m, ude m este u parametru real BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ - Proba D, MT, programa M si t Se cosideră fucţiile f :, f ( ) = si + şi g :(,], g ( ) = dt 6 t Se admite cuoscut faptul că f ( ), a) Să se calculeze f( ) d b) Să se arate că fucţia g este strict descrescătoare lim g >,9 c) Să se arate că ( ) >

12 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I (p) Variata Să se calculeze + + i i Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia + = Să se rezolve î mulţimea [,π ) ecuaţia cos = 4 Să se determie a > ştiid că termeul di mijloc al dezvoltării 5 Să se determie ecuaţia simetricei dreptei d: y 6 Ştiid că ctg =, să se calculeze ctg a + 4 este egal cu 848 a + = faţă de puctul A(,4) Variata SUBIECTUL II (p) Variata Se cosideră polioamele f, g [ X], f = X + X +, cu rădăciile complee, şi c b a g = ax + bx + c, cu a Fie matricele AV M, ( ), A = a c b şi V = b a c a) Să se arate că det ( V ) = ( ) g() g( ) g( ) b) Să se arate că A V = g() g( ) g( ) g() g( ) g( ) c) Să se arate că det ( A ) = dacă şi umai dacă a+ b+ c= sau a = b = c Se cosideră fucţia f : 5 5, f ( ) = + 4 a) Să se calculeze f () ˆ şi f () ˆ b) Să se arate că fucţia f u este surjectivă 4 c) Să se descompuă poliomul X + ˆ4 X 5[ X] î factori ireductibili peste 5 4 ˆ SUBIECTUL III (p) Variata l ( + ) Se cosideră fucţia f :(, ), f ( ) = a) Să se arate că şirul ( ) ude () = f + f + f + + f b) Să se calculeze lim f ( ) BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ - Proba D, MT, programa M c) Să se arate că fucţia f este descrescătoare t Se cosideră fucţia f :, ( ), f ( ) = e t dt a) Să se calculeze f () b) Să se demostreze relaţia f( ), > c) Să se demostreze relaţia f ( + ) = f ( ), > e este diverget

13 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I (p) Variata Să se arate că umărul ( + i ) + ( i ) este umăr îtreg Să se rezolve î sistemul de ecuaţii + y = 4 y = Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia 6( ) = 4 Să se determie termeul care u coţie pe di dezvoltarea + 5 Să se calculeze distaţa de la puctul A (,) la dreapta d: 4y+ = 6 Triughiul ABC are AB = 4, BC = 5 şi 6 m B = m C CA = Să se arate că ( ) ( ) 9 Variata SUBIECTUL II (p) Variata y+ z = Se cosideră sistemul de ecuaţii + y + z =, ude m Petru fiecare m, otăm cu S m m+ y+ z = m mulţimea soluţiilor reale ale sistemului a) Să se determie m petru care sistemul are soluţie uică b) Să se arate că petru orice m sistemul este compatibil c) Să se determie mi { y z (, y, z) S } Se cosideră matricele { ( ) det ( ) } G = X M X = a) Să se verifice că + + A =, B =, I =, C = A B şi mulţimea A 4 = B 6 = I b) Să se arate că ( G, ) este u subgrup al grupului multiplicativ al matricelor iversabile de ordi doi, cu elemete umere complee c) Să se demostreze că C I, petru orice SUBIECTUL III (p) Variata Se cosideră fucţia f :, f ( ) = + 4, a) Să se determie asimptota oblică a graficului fucţiei f spre b) Să se arate că f ( ) f '( ) = +, {,} BACALAUREAT c) Să se determie 9-MATEMATICĂ derivatele laterale - Proba ale D, fucţiei MT, programa f î puctul M = Petru * se cosideră fucţia ( ) ( ) a) Să se calculeze ( ) F :,, F = t e dt, > F, > b) Să se determie puctele de ifleiue ale graficului fucţiei F c) Să se calculeze lim F ( ) t

14 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete 4 SUBIECTUL I (p) Variata 4 99 Să se calculeze lg + lg + lg + + lg 4 Să se determie a petru care ( a ) a a <, oricare ar fi Variata 4 Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia 8 = Să se determie umărul elemetelor uei mulţimi ştiid că aceasta are eact 45 de submulţimi cu două elemete 5 Să se determie ecuaţia dreptei AB ştiid că A (,) şi B( 5,4) 6 Triughiul ABC ascuţitughic are AC = şi lugimea razei cercului circumscris egală cu Să se determie măsura ughiului B 4 SUBIECTUL II (p) Variata 4 a b c Se cosideră matricea A a b c =, ude abc,, a b c a) Să se calculeze ragul matricei A b) Să se arate că eistă d astfel îcât A = da c) Să se arate că eistă matricele ( ) K M, Se cosideră umărul a şi L M, ( ) = i şi poliomul f [ X] a) Să se arate că f( a ) = b) Să se determie rădăciile poliomului f c) Să se arate că poliomul f este ireductibil î [ X ] astfel îcât A= K L, 4 f = X 4X SUBIECTUL III (p) Variata 4 Petru *, se cosideră fucţia f :, f( ) = si şi se otează cu abscisa π puctului de ifleiue di itervalul,, al graficului fucţiei f '' a) Să se arate că f ( ) = ( si ) si,, şi BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ - Proba D, MT, programa M b) Să se arate că si =, c) Să se calculeze lim f( ) + a + a+ 5 Se cosideră a şi fucţiile f, F:, f ( ) =, F( ) = ( + ) + + a) Să se arate că fucţia F este o primitivă a fucţiei f b) Petru a =, să se determie aria suprafeţei plae cuprisă ître graficul fuctiei f, aa O şi dreptele = şi = c) Să se determie a astfel îcât F( ) d F( ) d=

15 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete 5 SUBIECTUL I (p) Variata 5 Să se calculeze ( ) ( ) log log log Variata 5 Să se determie fucţia de gradul al doilea al cărei grafic este taget la aa O î puctul (, ) şi trece pri puctul (,) Să se rezolve î mulţimea [,π ) ecuaţia si + cos = 4 Câte umere aturale de patru cifre se pot forma cu elemete ale mulţimii {,,5, 7,9 }? 5 Să se determie ecuaţia dreptei care coţie puctul A(,) şi este paralelă cu dreapta determiată de puctele C (,), D(, ) π 6 Fie α π, astfel îcât 5 cosα = Să se calculeze siα 5 SUBIECTUL II (p) Variata 5 a b c Fie a, b, c şi matricea A = c a b b c a a) Să se calculeze det ( A ) b) Să se arate că dacă a b c + + şi A u este iversabilă î ( ) a+ by+ cz = c) Să se arate că sistemul de ecuaţii liiare c+ ay+ bz = y b+ cy+ az = z Se cosideră poliomul f [ X] a) Să se calculeze, M, atuci a = b = c f = > are eact două rădăcii a (,) şi b (, ) c) Să se calculeze lim a, ude a s-a defiit la puctul b) BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ - Proba D, MT, programa M Se cosideră şirul ( I ), ude I = d + * I = d, + π a) Să se arate că I = 4 b) Să se arate că I = I,, c) Să se arate că lim ( ) = I 5 7 admite umai soluţia = y = z = f = X 5X + 5, cu rădăciile,,, 4 b) Să se arate că poliomul f are toate rădăciile reale c) Să se arate că dacă g Miisterul este u poliom Educaţiei, cu coeficieţi Cercetării reali care şi Iovării are proprietatea că petru orice real Cetrul g( ) fnaţioal ( ), atuci petru eistă Curriculum a [,] astfel şi Evaluare îcât g = af î Îvăţămâtul Preuiversitar 5 SUBIECTUL III (p) Variata 5 Petru fiecare,, se cosideră fucţia f :[, ), f ( ) = + a) Să se arate că b) Să se arate că ecuaţia ( ), f este strict descrescătoare pe [ ; ] şi strict crescătoare pe [ ) ;

16 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete 6 SUBIECTUL I (p) Variata 6 i Să se calculeze modulul umărului comple z = + i Să se determie a petru care + a+, oricare ar fi umărul real Să se rezolve î itervalul [,] ecuaţia 4 Să se rezolve ecuaţia C 8 C =,, arcsi + arcsi = π 5 Să se afle măsura celui mai mare ughi al triughiului ABC ştiid că A(, ), B(, ), C(,) π 6 Fie α, π astfel îcât siα = Să se calculeze si α 5 Variata 6 6 SUBIECTUL II (p) Variata 6 a b Se cosideră mulţimea G= X = a, b, a> a) Să se arate că dacă A, B G, atuci AB G b) Să se găsească două matrice C, D G petru care CD DC c) Să se arate că dacă A G, atuci Se cosideră abc,, şi poliomul I A+ A G f = X + ax + bx + c a) Să se determie a, b, c astfel îcât poliomul f să aibă rădăciile = = şi = b) Să se arate că dacă f are rădăcia, atuci f are o rădăciă raţioală c) Să se arate că dacă abc,,, iar umerele f () şi f () sut impare, atuci poliomul f u are rădăcii îtregi 6 SUBIECTUL III (p) Variata 6 si, \ {} Se cosideră fucţia f :, f ( ) =, = a) Să se arate că fucţia f este derivabilă pe b) Să se calculeze lim f '( ) BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ - Proba D, MT, programa M c) Să se demostreze că fucţia f este mărgiită pe * Petru fiecare se cosideră fucţia f :[,], f( ) = ( ) a) Să se calculeze f ( ) d b) Să se arate că c) Să se calculeze f ( ) d =, oricare ar fi ( + )( + ) lim f d

17 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete 7 SUBIECTUL I (p) Variata 7 Să se arate că umărul ( ) Să se determie imagiea fucţiei + i este îtreg f :, f( ) = + Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia + = 5 4 Să se determie probabilitatea ca, alegâd u umăr ab di mulţimea umerelor aturale de două cifre, să avem a+ b= 4 5 Să se determie ecuaţia dreptei care trece pri puctul A(,) şi este perpediculară pe dreapta d:5 4y+ = 6 Să se calculeze perimetrul triughiului ABC ştiid că AB = 6, B = π şi C = π 4 6 Variata 7 7 SUBIECTUL II (p) Variata 7 Se cosideră matricele A = şi 8 B = a) Să se calculeze A B 4 b) Să se calculeze det( I + A+ A + A + A ) c) Să se arate că ecuaţia X = I are o ifiitate de soluţii î ( ) 4 Se cosideră polioamele f, g [ X], f X X X X M şi g = X a) Să se determie restul împărţirii poliomului f la poliomul g b) Să se calculeze ( ) ( ) ( ) ( 4) c) Să se calculeze g ( ) g( ) g( ) g( ) 4 = , cu rădăciile,,, 4 7 SUBIECTUL III (p) Variata 7 Se cosideră şirul ( ) *, ude ( ) a) Să se arate că ( ) *,, b) Să se arate că şirul ( ) *, şi este coverget BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ - Proba D, MT, programa M + 9 c) Să se arate că lim = 6 Se cosideră o fucţie f :, cu proprietatea că f ( ) = si, a) Să se calculeze π f( ) d * =, 4 π b) Să se arate că fucţia f este itegrabilă pe itervalul, c) Să se arate că f ( ) d cos π

18 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete 8 SUBIECTUL I (p) Variata 8 Să se rezolve î mulţimea umerelor complee ecuaţia + 4= Să se afle valoarea miimă a fucţiei f : Să se rezolve î itervalul [,] ecuaţia, f( ) = + π arcsi + arccos = 4 Care este probabilitatea ca, alegâd u umăr k di mulţimea { } 5 Să se determie a petru care vectorii u = ai + j şi = 4 + ( + 4) 6 Să se calculeze AB ( AC+ BC), ştiid că A(,4), B(4, ) şi C (, ) Variata 8,,,,7, umărul C 7 să fie prim v i a j sut coliiari k 8 SUBIECTUL II (p) Variata 8 Se cosideră matricea A = M ( ) a) Să se calculeze A b) Să se afle ragul matricei I + A + A c) Să se determie iversa matricei t Se cosideră ab, şi poliomul f = X + 4aX + X + b, cu rădăciile,, a) Să se determie,, î cazul a=, b= b) Să se demostreze că ( ) + ( ) + ( ) = 8(4a 5) c) Să se determie ab, astfel îcât poliomul f să aibă o rădăciă dublă egală cu a 8 SUBIECTUL III (p) Variata 8 + Se cosideră fucţia f :[, ) [, ), f( ) = şi şirul ( ) + dat de =, + = f( ), a) Să se determie asimptotele graficului fucţiei f b) Să se arate că şirul ( ), are limita c) Să se arate că şirul ( y) dat de y = , este coverget BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ - Proba D, MT, programa M Se cosideră fucţiile f :, f( ) = + cos şi F :, F( ) = f ( t) dt π a) Să se calculeze f ( ) b) Să se arate că F este fucţie pară c) Să se determie itervalele de mootoie ale fucţiei F

19 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete 9 SUBIECTUL I (p) Variata 9 Să se ordoeze crescător umerele 4, 5, 8 Să se determie fucţia f : ştiid că graficul său şi graficul fucţiei g :, g ( ) = + sut simetrice faţă de dreapta = + + Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia + 7= 4 Să se determie probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea umerelor aturale de trei cifre, acesta să aibă toate cifrele pare 5 Să se determie ecuaţia mediaei duse di vârful A al triughiului ABC, ude A (, ), B (,) şi C(, 5) ctg tg 6 Să se arate că ctg = Variata 9 9 SUBIECTUL II (p) Variata 9 + y+ z+ t = y + z + t = Se cosideră sistemul şi A matricea sistemului + y z + t = + y+ z t = a) Să se calculeze det ( A ) b) Să se rezolve sistemul c) Să se determie A Fie poliomul f X 4 X ax X [ X] a) Să se calculeze b) Să se arate că ( ) = şi,,, 4 rădăciile sale f = + + a+, c) Să se determie a petru care toate rădăciile poliomului f sut umere reale 9 SUBIECTUL III (p) Variata 9 + Se cosideră fucţia f :(, ), f( ) = l a) Să se determie asimptotele graficului fucţiei f b) Să se determie puctele de ifleiue ale graficului fucţiei f c) Să se calculeze lim a f BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ, ude a este u umăr real - Proba D, MT, programa M Se cosideră fucţia a) Să se calculeze ( ) b) Să se calculeze f :, f( ) =, + 4 f d 4 ( + f( ) ) d d c) Ştiid că fucţia f este bijectivă, să se calculeze f ( ) 4 5

20 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I (p) Variata Să se arate că ( log 4, 5 ) Să se rezolve î mulţimea umerelor complee ecuaţia Să se rezolve î [, π ) ecuaţia si + cos = = 4 Să se calculeze C4 + C5 + C6 5 Pe laturile AB şi AC ale triughiului ABC se cosideră puctele M, respectiv N astfel îcât AM = 4MB şi MN BC Să se determie m R astfel îcât CN = mac 6 Să se calculeze perimetrul triughiului OAB, ştiid că O (,), A(,) şi B(,) Variata SUBIECTUL II (p) Variata Se cosideră triughiul ABC, cu laturile AB = c, BC = a, CA = b şi sistemul ay+ b= c c+ az = b bz+ cy = a a) Să se rezolve sistemul î cazul a=, b= 4, c= 5 b) Să se demostreze că, petru orice triughi, sistemul are soluţie uică,,, y, z, c) Ştiid că soluţia sistemului este ( y z ), să se demostreze că ( ) a b Se cosideră mulţimea G= a, b b a a) Să se determie umărul elemetelor mulţimii G b) Să se arate că AB G, petru orice A, B G c) Să se determie umărul matricelor di mulţimea G care au determiatul ul SUBIECTUL III (p) Variata Se cosideră fucţia f :, f ( ) = e a) Să se demostreze că fucţia f este strict crescătoare pe [, ) b) Să se arate că fucţia f u este surjectivă f '( ) BACALAUREAT c) Să se calculeze 9-MATEMATICĂ lim - Proba D, MT, programa M f ( ) ( + t )( + t ) Se cosideră fucţia f :, [ ), f() t = a) Să se calculeze ( t + ) f( t) dt b) Să se arate că () () c) Să se calculeze lim f () t dt f t dt = t f t dt, >

21 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I (p) Variata Să se rezolve î mulţimea umerelor complee ecuaţia 8+ 5= Să se determie a, petru care graficul fucţiei f :, f( ) = ( a+ ) + ( a ) + a, itersectează aa O î două pucte disticte Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia = Să se calculeze C8 C7 C7 5 Să se determie ecuaţia perpedicularei duse di puctul A (, ) pe dreapta d: + y = 6 Ştiid că si =, să se calculeze cos Variata SUBIECTUL II (p) Variata Petru abc,,, se cosideră sistemul a+ by+ cz = b c+ ay+ bz = a b+ cy+ az = c f a) Să se calculeze lim 4 BACALAUREAT b) Să se calculeze 9-MATEMATICĂ lim f ( ) - Proba D, MT, programa M c) Să se arate că ecuaţia f ( ) = are eact trei rădăcii reale, yz,, a) Să se arate că determiatul sistemului este = ( a + b + c)( a + b + c ab ac bc) b) Să se rezolve sistemul î cazul î care este compatibil determiat c) Ştiid că a + b + c ab ac bc =, să se arate că sistemul are o ifiitate de soluţii (, y, z ), astfel îcât + y = z a b Se cosideră mulţimea G= abc,, c 4 a) Să se determie umărul elemetelor mulţimii G b) Să se dea u eemplu de matrice A G cu proprietatea că det A ˆ şi ˆ ˆ c) Să se determie umărul soluţiilor ecuaţiei X = ˆ ˆ, X G det A = ˆ SUBIECTUL III (p) Variata Se cosideră fucţia f :, f( ) = ( )( )( 5)( 7) ( ) * Se cosideră fucţiile f :, f( ) =, + a) Să se calculeze aria suprafeţei cuprise ître graficul fucţiei f, aele de coordoate şi dreapta = b) Să se calculeze ( ( )) f d π lim () + () + () + + ( ) = 4 c) Să se arate că ( f f f f )

22 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I (p) Variata Să se calculeze + i + i + + i Se cosideră fucţiile f, g:, f( ) = +, g( ) = Să se rezolve ecuaţia ( f g)( ) = Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia ( ) lg( + 9) + lg 7 + = + lg( + 9) 4 Să se rezolve iecuaţia C <,, atural 5 Se cosideră dreptele paralele de ecuaţii d : y = şi d : 4y = Să se calculeze distaţa ditre cele două drepte 6 Să se calculeze si 75 + si5 Variata SUBIECTUL II (p) Variata + y+ z = Fie sistemul a + by + cz =, cu a, b, c, disticte două câte două şi A matricea sistemului a+ by+ cz= a) Să se arate că det ( A) = ( a+ b+ c)( c b)( c a)( b a) b) Să se rezolve sistemul î cazul a+ b+ c c) Să se demostreze că dacă a+ b+ c=, atuci sistemul este icompatibil Se cosideră şirul de umere reale ( a), cu a = şi f [ X], cu f () = şi cu proprietatea că a) Să se calculeze f ( 5) b) Să se arate că, f ( a ) c) Să se arate că f = X = a a a + = +, şi poliomul f( + ) = ( f( )) +, SUBIECTUL III (p) Variata Se cosideră fucţia f :, a) Să se calculeze f ( ), f( ) = BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ f f y - Proba y D, MT, y programa M Se cosideră fucţia f :, f( ) = b) Să se determie mulţimea valorilor fucţiei f c) Să se arate că ( ) ( ),, a) Să se calculeze b) Să se calculeze f( ) d d f( ) c) Să se determie puctele de etrem ale fucţiei g :, g ( ) ftedt ( ) = t

23 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I (p) Variata Să se calculeze suma primilor de termei ai progresiei aritmetice ( ) a+ a + a5 + a6 = Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia Să se calculeze π tg arctg + = + a, ştiid că a4 a = 4 şi 4 Să se determie probabilitatea ca, alegâd u elemet di mulţimea {,,,,4 }, umărul să fie pătrat perfect Să se calculeze coordoatele cetrului de greutate al triughiului ABC, dacă A(5, ), B(, ), C(,9) 6 Ştiid că tgα =, să se calculeze si4α Variata SUBIECTUL II (p) Variata b C A = X = a, b a 5 Se cosideră matricea A = şi mulţimea ( ) a 5 b a) Să se arate că X C( A), XA = AX b) Să se arate că dacă Y C( A) şi Y = O Y O c) Să se arate că dacă Z C( A), Z O =, atuci şi Z are toate elemetele raţioale, atuci det Z Se cosideră f = X + ˆ X + a X f ˆ + f ˆ + f ˆ a şi poliomul [ ] a) Să se calculeze ( ) ( ) ( ) b) Petru a = ˆ, să se determie rădăciile di ale poliomului f c) Să se determie a petru care poliomul f este ireductibil î [ X ] SUBIECTUL III (p) Variata Se cosideră fucţia f :, f( ) = + + a) Să se arate că, petru orice, ecuaţia f ( ) = + are o uică soluţie + b) Să se arate că lim =, ude este soluţia reală a ecuaţiei f ( ) = + BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ - Proba D, MT, programa M +, c) Să se determie lim ( ), ude este soluţia reală a ecuaţiei f ( ) = + +, sit Se cosideră fucţia f :, [ ), f() = dt + t a a) Să se arate că dt = l( + a), a > + t b) Să se arate că f( ) < l( + ), > c) Să se arate că f( π ) > f( π )

24 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete 4 SUBIECTUL I (p) Variata 4 + i Să se calculeze z + petru z = z Să se determie fucţia de gradul al doilea f : petru care f( ) = f() =, f() = 6 Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia log + log4 + log 8= 6 4 Să se demostreze că dacă şi, atuci ( + ) + ( ) 4 5 Să se determie ecuaţia îălţimii duse di B î triughiul ABC, ştiid că A (, 9), B(, ) şi C(5, ) i + 5j i 4j 6 Să se calculeze ( ) ( ) Variata 4 4 SUBIECTUL II (p) Variata 4 Se cosideră o matrice A M ( ) a) Să se demostreze că z b) Să se demostreze că det ( A A ) = c) Ştiid că t Se otează cu t A traspusa matricei A, X M ( ), det ( zx) z det ( X) t A A, să se demostreze că rag ( A A ) = 4 t = Se cosideră poliomul f [ X], cu f = X 5X + 4 a) Să se determie rădăciile poliomului f b) Să se determie poliomul h [ X ], petru care h () = şi care are ca rădăcii iversele rădăciilor poliomului f g = g = g = g =, c) Ştiid că g este u poliom cu coeficieţi îtregi, astfel îcât ( ) ( ) ( ) ( ) să se arate că ecuaţia g( ) = u are soluţii îtregi 4 SUBIECTUL III (p) Variata 4 Se cosideră fucţia f :, f( ) = si a) Să se arate că fucţia f este strict crescătoare b) Să se arate că graficul fucţiei u are asimptote c) Să se arate că fucţia g :, g ( ) = f( ) este derivabilă pe BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ - Proba D, MT, e programa e M Se cosideră fucţia f :, [ ), f ( ) =, >, = a) Să se arate că fucţia f are primitive pe [, ) b) Să se calculeze f( ) d c) Folosid evetual iegalitatea e +,, să se arate că f () t dt <, >

25 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete 5 SUBIECTUL I (p) Variata 5 i + i i Să se calculeze ( )( ) ( ) Să se arate că petru oricare a, dreapta y 4 = + itersectează parabola ( ) + y = a + a + Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia + 8=,,,,4, suma cifrelor lui să 4 Să se determie probabilitatea ca, alegâd u umăr di mulţimea { } Variata 5 fie divizibilă cu 5 Î triughiul ABC puctele M, N, P sut mijloacele laturilor Fie H ortocetrul triughiului MNP Să se demostreze că AH = BH = CH 6 Să se calculeze si π π si π π SUBIECTUL II (p) Variata 5 Î mulţimea S a permutărilor de elemete se cosideră permutarea a) Să se verifice că permutarea σ este pară b) Să se determie toate permutările S, astfel îcât σ=σ c) Să se rezolve ecuaţia = σ, cu S Se cosideră matricea A = σ= { \ } şi mulţimea G = X ( a) = I + aa a { } a) Să se arate că ab, \{ }, X ( a) X ( b) = X ( ab+ a+ b) b) Să se arate că ( G, ) este u grup abelia, ude,, reprezită îmulţirea matricelor c) Să se determie t astfel îcât X() X() X(9) = X( t ) 5 SUBIECTUL III (p) Variata 5 Se cosideră fucţia f :(, ), f ( ) = l a) Să se arate că fucţia este coveă pe itervalul (, e ] b) Să se determie asimptotele graficului fucţiei l l 4 l 5 l BACALAUREAT c) Să se arate 9-MATEMATICĂ că şirul ( a ), dat - Proba de ad, = MT, + programa + M + + f ( ), este descrescător 4 5 Se cosideră fucţia f :,, f ( ) = cos a) Să se calculeze aria suprafeţei cuprise ître graficul fucţiei f şi aele de coordoate b) Să se calculeze volumul corpului obţiut pri rotirea graficului fucţiei f î jurul aei O c) Să se calculeze lim f f + f + f + + f

26 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete 6 SUBIECTUL I (p) Variata 6 Fie z şi z soluţiile complee ale ecuaţiei z + z+ 5= Să se calculeze z + z Se cosideră fucţia f :, f ( ) = Să se arate că fucţia f f f este strict descrescătoare Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia + 9 = f A A Să se calculeze 4 Fie mulţimea A = {,,,, } şi o fucţie bijectivă : f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) + f ( ) 5 Î sistemul cartezia de coordoate Oy se cosideră puctele A(, ) şi (, ) ecuaţia mediatoarei segmetului AB π 6 Fie α, π cu siα = Să se calculeze tgα Variata 6 B Să se determie 6 SUBIECTUL II (p) Variata 6 Se cosideră matricele A = şi cos t si t B = si t cos t, cu t a) Să se arate că dacă matricea X M ( ) verifică relaţia AX = XA, atuci eistă ab,, astfel îcât a b X = b a b) Să se demostreze că, * cos t si t B = si t cos t c) Să se rezolve î mulţimea M ( ) ecuaţia X = A Se cosideră a şi poliomul a) Să se calculeze 4 4 f = X X + X + ax [ X] + + +, ude,,, 4 sut rădăciile poliomului f b) Să se determie restul împărţirii poliomului f la ( X ) c) Să se demostreze că f u are toate rădăciile reale 6 SUBIECTUL III (p) Variata 6 f : R R, f = arctg arcctg Fie fucţia ( ) a) Să se determie asimptota la graficul fucţiei f spre + b) Să se arate că fucţia f este strict crescătoare pe R c) Să se arate că şirul ( ), Fie fucţia [ ] ( ) dat de ( ) BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ f :, R, f - Proba = arcsi D, MT, programa M + = f, N şi =, este coverget a) Să se arate că fucţia g :[,], g ( ) = f( ) are primitive, iar acestea sut crescătoare b) Să se calculeze f( ) d π c) Să se arate că f( ) d 4

27 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I (p) Variata 7 Să se calculeze modulul umărului comple Să se determie valoarea maimă a fucţiei f : Să se rezolve î itervalul ( ; ) ecuaţia 6 z = + i+ i + i + + i, f ( ) = + lg + 5lg 6 = 4 Să se determie umărul fucţiilor f :{,,,} {,,,} care au proprietatea f ( ) f ( ) 5 Î sistemul cartezia de coordoate Oy se cosideră puctele O (, ), A (, ) şi B (, ) determie măsura ughiului AOB 6 Ştiid că α şi că siα + cosα =, să se calculeze si α Variata 7 = = Să se 7 SUBIECTUL II (p) Variata 7 Î mulţimea M ( ) ', se cosideră matricele a) Să se determie ragul matricei A+ I A = şi I = b) Să se demostreze că dacă X M'( ) astfel îcât AX = XA, atuci eistă, y astfel îcât X = y c) Să se demostreze că ecuaţia Y = A u are icio soluţie î mulţimea M'( ) Pe mulţimea se defieşte legea de compoziţie y = + y+ y a) Să se arate că legea este asociativă b) Fie fucţia f :, f ( ) = + Să se verifice relaţia f ( y) = f ( ) f ( y),, y c) Să se calculeze SUBIECTUL III (p) Variata 7 f :, R, f = ( )arcsi Fie fucţia [ ] ( ) f( ) a) Să se calculeze lim b) Să se determie puctele î care fucţia f u este derivabilă c) Să se arate că fucţia f este coveă BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ - Proba D, MT, programa M 4 Se cosideră fucţiile f : R R, f ( ) = şi F :, F ( ) = f ( t) dt a) Să se arate că fucţia F este strict crescătoare pe R b) Să se arate că fucţia F este bijectivă a c) Să se calculeze F ( ) d, ude F este iversa fucţiei F şi a =

28 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete 8 SUBIECTUL I (p) Variata 8 + i + i Să se calculeze ( ) ( ) Fie fucţia f :, f ( ) 6 = Să se ordoeze crescător umerele ( ), ( ) Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia = 4 Să se determie umărul fucţiilor :{,,,} {,,,} f f şi ( ) f care au proprietatea că ( ) Variata 8 f f este umăr impar BM 5 Fie triughiul ABC şi M ( BC ) astfel îcât BC = AM = AB+ AC π 6 Ştiid că α, π şi că siα =, să se calculeze tgα 5 8 SUBIECTUL II (p) Variata 8 Se cosideră matricea A = 8 a) Să se rezolve ecuaţia det( A I) = X M verifică relaţia AX = XA, atuci eistă ab, astfel b) Să se arate că dacă matricea ( ) îcât a X = b c) Să se determie umărul de soluţii ale ecuaţiei X Se cosideră mulţimea de fucţii ( ) = A, X M ( ) * { ab, : ab,,, } G = f f = a+ b a b a) Să se calculeze f, f,, ude este compuerea fucţiilor b) Să se demostreze că ( G, ) este u grup c) Să se arate că grupul G coţie o ifiitate de elemete de ordi 8 SUBIECTUL III (p) Variata 8 Fie fucţia :[,], f, ( ) f R ( ) = { } { } ude { } a) Să se calculeze ( ) este partea fracţioară a umărului lim f < b) Să se determie domeiul de cotiuitate al fucţiei f BACALAUREAT c) Să se determie 9-MATEMATICĂ puctele î care - Proba fucţia D, MT, f u programa este derivabilă M Se cosideră fucţiile f : R R, f ( ) = şi F :, [ + ) R, F( ) f() t dt si = π a) Să se calculeze f ( ) cos d b) Să se demostreze că fucţia F este strict crescătoare c) Să se determie lim F( )

29 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete 9 SUBIECTUL I (p) Variata 9 Să se demostreze că umărul a = este umăr atural Se cosideră fucţia f :, f( ) 5 = + Să se rezolve iecuaţia ( ) f Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia = 4 Să se calculeze probabilitatea ca, alegâd o mulţime di mulţimea submulţimilor evide ale mulţimii A =,,, 4, 5, 6, aceasta să aibă toate elemetele impare { } 5 Fie puctele (, ), (,) A B şi (, ) C Să se calculeze si C π 6 Ştiid că α, şi că tg ctg α + α =, să se calculeze si α Variata 9 9 SUBIECTUL II (p) Variata 9 + y+ z = Se cosideră sistemul m + y + z = m, m şi matricea + my + z = a) Să se determie m petru care det ( A ) = b) Să se calculeze lim f BACALAUREAT 9-MATEMATICĂ - Proba D, MT, programa M c) Să se demostreze că f are eact u puct de etrem local Se cosideră şirul ( I ) N defiit pri I = d, N + a) Să se calculeze I A= m m b) Să se arate că petru orice m sistemul este compatibil c) Să se determie m ştiid că sistemul are o soluţie (, y, z ) cu z = Se cosideră mulţimea M( ), submulţimea ( ) O ˆ ˆ ˆ ˆ = ˆ ˆ şi I = ˆ ˆ a) Să se verifice că dacă, y, atuci b) Să se arate că mulţimea H G\{ O} iversabile di M( ) y ˆ G X a ˆ b = M X = b a şi matricele + = dacă şi umai dacă = y = ˆ = este u subgrup al grupului multiplicativ al matricelor c) Să se rezolve ecuaţia Miisterul X = I, X Educaţiei, G Cercetării şi Iovării 9 SUBIECTUL III (p) Variata 9 * + Se cosideră şi fucţiile f, g:, f( ) = + + +, g( ) = + g ( ) g( ) a) Să se verifice că f ( ) =, \{ } + ( + ) b) Să se demostreze că şirul ( I ) c) Să se calculeze lim I N este strict descrescător

30 Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică - iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări complete SUBIECTUL I (p) Variata Să se demostreze că umărul este atural Se cosideră fucţia f :, f ( ) = m+ Să se determie mulţimea valorilor parametrului real m petru care graficul fucţiei f itersectează aa O î două pucte disticte log + + log + = Să se rezolve î mulţimea umerelor reale ecuaţia ( ) ( ) 4 Să se calculeze probabilitatea ca, alegâd o mulţime di mulţimea submulţimilor evide ale mulţimii A =,,, 4, 5, aceasta să aibă produsul elemetelor { } 5 Se cosideră puctele (, ), (, ) al triughiului ABC A B şi C (, 4) π 6 Să se demostreze că si = 8 Variata Să se calculeze coordoatele cetrului de greutate SUBIECTUL II (p) Variata Se cosideră umerele reale a, b, c, fucţia A = a b c şi a b c B = a b c f( a) f( b) f( c) a) Să se arate că A = ( a b)( b c)( c a)( a+ b+ c) SUBIECTUL III (p) Variata Se cosideră fucţia f : R R, f ( ) = si 6 a) Să se determie lim f ( ) b) Să se calculeze derivata a doua a doua fucţiei f BACALAUREAT c) Să se demostreze 9-MATEMATICĂ că f ( ) -, Proba D, MT, programa M f :, f( ) = + + şi determiaţii b) Să se arate că A= B c) Să se arate că, petru orice trei pucte disticte, cu coordoate aturale, situate pe graficul fucţiei f, aria triughiului cu vârfurile î aceste pucte este u umăr atural divizibil cu Se cosideră matricea a) Să se arate că ab, A = 9, X ( a) X ( ) X ( a) b) Să se arate că mulţimea ( ) îmulţirea matricelor şi mulţimea ( ) { } G = X a = I + aa a = şi X ( axb ) ( ) = Xa ( + b ab) H = X a a \ este parte stabilă a lui ( ) M î raport cu c) Să se rezolve ecuaţia X = I, X G Fie fucţia f :, + = + R R f ( ) a) Să se arate că fucţia F :, b) Să se calculeze f( ) d c) Să se arate că şirul ( a ) R R F( ) arctg l ( ) = + + este o primitivă a fucţiei f N, defiit de + k a =, N, este coverget + k k=