MODELARE, IDENTIFICARE, SIMULARE

Transcript

1 ODELARE, IDEIFICARE, SIULARE IRODUCERE Î ODELAREA ŞI IDEIFICAREA EERIEALĂ A SISEELOR. rlimirii Dfiiţi: idtificr primtlă sistmlor rprzită smll thicilor pri cr s oţi modl mtmtic l i sistm pri liz răspsli csti l sml d comdă cosct c prcizi. Osrvţii:. Dşi î prctică listl disp, î grl, d l iformţii privid sistml lizt, î ordr tortică sistml st cosidrt o cti gră;. odll dimic s oţi clsiv pri liz vlorilor smllor d itrr rspctiv d işir măsrt simlt. 3. S prsp d sm că smll d itrr/işir st fctt d prtrţii cr pr irt p liiil d măsrr şi d trsmitr cstor. Domiil d plicr l mtodlor d idtificr primtlă sistmlor st: moitorizr, dtctr şi prvir priţii dfctlor î timpl fcţioării sistmlor, cotroll tomt l sistmlor c prmtri vriili, limir virţiilor sistmlor mcic, liz şi prdicţi procslor compl. hicil d idtificr primtlă s tilizză şi î czl sistmlor l cr modll dimic st cosct c rzltt l plicării pricipiilor di ştiiţl trii - dcă vloril prmtrilor modlli pot fi măsrt c prcizi. Idtificr primtlă sistmlor st tiliztă î domii l ştiiţi cm r fi: fizic, chimi, iologi, mdici, cologi, gologi şi î ştiiţl igirşti.. tod d idtificr primtlă Î fcţi d strctr modlli dimic cr s oţi, mtodl d idtificr primtlă sistmlor pot fi: () mtod d idtificr prmtrică, mit şi mtod oritt p modl şi () mtod d idtificr prmtrică. Dfiiţi: mtodl d idtificr prmtrică st mtod d idtificr sistmlor l căror rzltt st st d vlori prmtrilor i modl prţiâd i cls d modl socită sistmli lizt. Dfiiţi: pri mtod d idtificr prmtrică s îţlg cl mtod d idtificr primtlă cr prodc vlori stimt l or fcţii cr dscri sistml... Empl d mtod d idtificr prmtrică todl d idtificr prmtrică l ză lgoritmi cofigrţi să stimz prmtrii modlli fcţi d trsfr sistmli. joritt lgoritmilor d idtificr prmtrică prmit stimr oli prmtrilor c c prmit tilizr cstor mtod î cotroll tomt l procslor. todl d stimr o-li prodc modl c măr miim d prmtri ptr prmit clcll comzii p drt i priod d ştior. todl d idtificr prmtrică frcvt tilizt î prctică st:. tod d stimr clor mi mici pătrt. tod d stimr vriillor istrmtl 3. tod d stimr vrosimilităţii mim IS/DA//DtRv:6//

2 OE DE CURS.. Empl d mtod d idtificr prmtrică czl mtodlor d idtificr prmtrică s oţi vlori l i fcţii d vriilă timp s frcvţă cr crctrizză sistml. Eprsi litică csti fcţii rzltă pri plicr ltrioră i mtod d itrpolr dcvt. todl d idtificr prmtrică frcvt tilizt st:. tod lizi răspsli trzitori: costă î tilizr c sml d itrr i sml trptă itră s i srii d impsri ptr dtrmir prmtrilor fcţii d trsfr rspctiv ptr dtrmir fcţii podr sistmli.. tod lizi răspsli î frcvţă: costă î tilizr i sml d tst sisoidl ptr dtrmir i st d pct l fcţii răspsli î frcvţă i sistm liir 3. tod lizi d corlţi: tilizză sml ltor ptr stimr i st d pct cr crctrizză fcţi podr sistmli (răspsl sistmli l sml d itrr impls Dirc). 4. tod lizi spctrl: folosşt sml d itrr ltor ptr stim vlori l fcţii răspsli î frcvţă sistmli pri dtrmir fcţii dsitt spctrlă d ptr smllor d itrr/işir. St sitţii î cr mtodl d idtificr prmtrică st sigrl mtod d idtificr primtlă cr pot fi tilizt, d mpl: procsr smllor î domil mdicl s stdil prodcrii ctrmrlor. 3. Ipotz şi ordări Aordăril tortic cr st l z lgoritmilor tilizţi î idtificr primtlă porsc d l rmătorl ipotz, tilizt ptr simplificr clcllor:. Sistml cr st lizt st liir (s pot fi proimt c tr), vâd s mi, ct măsril. rtrţi dtrmiistă pot fi rprzttă s mlt itrări, ( t) form i zgomot ditiv, ( t) plict l işir sistmli, Figr. Acstă ipotză prmit sprr modlli sistmli î doă compot distict: modll părţii dtrmiist şi rspctiv modll d prtrţi l sistmli. Est vidt că î prctică cstă ipotză s rgăsşt dorc prtrţi dtrmiistă pr mi l işir ci î tot lmtl compot l sistmli, d mpl l itrr.. rmtrii sistmli lizt st ivriţi i timp. Acstă prcodiţi st vidt vrifictă î tot sitţiil prctic. 3. Crctristicil smlli d itrr, ( t) st cosct c prcizi. 4. Zgomotl ditiv plict sistmli, ( t) st corlt c smll d itrr ( t) ot cst prcodiţii st dmit gric codiţior primtli. Etpl grl cr s prcrg î cdrl i primt d idtificr sistmlor st:. Fig. : Sistm c zgomot ditiv plict l işir dtrmiistă IS/DA//DtRv:6//

3 Itrodcr i odlr, Idtificr, Simlr Fig. : sistm lctric stâg, sistm mcic virtor drpt.. Grr şi chiziţi dtlor di procs.. Estimr modlli. 3. Vlidr modlli. 4. Aplicţii. tr sistml lctric rprztt î Figr să s ddcă o rlţi îtr tsi l orl codstorli C, şi tsi l orl d itrr,.. Aspr sistml mcic virtor rprztt î Figr s rcită o forţă d păsr cr vriză î timp s form i fcţii trptă c mplitdi d. Dpdţ î fcţi d timp dplsării msi m sistmli st rprzttă î Figr 3. orid d l dtl măsrt, să s dtrmi vloril msi m, coficitli d frcr viscosă dşi costti lsic. Fig. 3: Rspsl sistmli mcic virtor di Figr. IS/DA//DtRv:6//

4 ODELARE, IDEIFICARE, SIULARE. Sml discrt EODE DE AALIZĂ A SEALELOR DISCREE Utilizr smllor discrt st strâs lgtă d thicil şi dispozitivl d prlcrr mrică dtlor. Dfiiţi: procsl pri cr s grză sml discrtizt porid d l sml coti s mşt ştior. ri ştior, smll coti st trsformt îtr tr d plsri modlt î mplitdi pri prlvr di smll origil vlorilor csti l momt gl d timp. Dfiiţi: itrvll d timp ditr doă momt scsiv d prlvr s mşt priodă d ştior, ottă. Dfiiţi: dispozitivl fizic, d rglă lctroic, c jtorl cări s oţi sml ştiot di sml coti î timp s mşt dispozitiv d ştior şi rţir. Dfiiţi: dispozitivl fizic, d rglă lctroic, c jtorl cări s oţi sml coti î timp di sml discrt s mşt dispozitiv d trpolr s trpoltor.. Dscrir litică smllor discrt.. Dscrir c jtorl fcţii dlt priodică Fcţi dlt priodică, ottă ( t) priodi d ştior, Figr. δ δ st tr d implsri Dirc l momt mltipl îtrg l ( ) δ( t ) Smll ştiot, * ( t ), s dfişt c rlţi: * t. (.) * ( t) ( t) δ ( t). (.).. Dscrir pri dscompr smlli discrt î sri Forir complă I cstă ordr, smll ştiot s dfişt c jtorl rlţii: Osrvţii: * jω t π, ω. (3.) ( t) ( ) Smll discrt spctr ifiit spr dosir d smll coti î timp cr spctr mărgiit. Cosciţă: pri ştior smllor coti î timp s itrodc rmoic d spctr lrg. IS/DA/Rv9

5 Crsl r. Fig. : scvţ trptă itră stâg, scvţ poţilă drpt..3. Dscrir c jtorl fcţiilor sml d timp discrt tr mit dispozitiv d ştior, priod d ştior st o vlor costtă dfiită p mlţim mrlor rl, R o vriilă d timp discrt, ottă [ ] dfiită p mlţim mrlor crctrisitică cli dispozitiv. ri rmr, s pot soci vriili d timp ( ) îtrgi, Z. Domil d dfiiţi l fcţiilor sml d timp discrt st mlţim mrlor îtrgi; codomil cstor fcţii st mlţim mrlor rl. Fcţiil sml d timp discrt s msc şi scvţ tmporl şi s otză { [ t] } t Z. I dispozitivl fizic, dtorită cpcităţii d mmorr fiit, scvţl tmporl lgim fiită. Scvţl tmporl d lgim fiită s otză dpă cm rmză. lim it sp rior { [ t] } ; { [ t] } t limit ifrior (scvţă ctrtă p origi timpli) (4.) Lgim i scvţ tmporl, LS cr r limit sprioră clcl c rmător rlţi. L S şi limit ifrioră L I s pot LS L L (5.) S I tr scvţl tmporl ctrt p origi timpli, { [ t] } Dmostrţi: LS lgim scvţi st: (6.) LS LS LI, IS/DA/Rv9

6 tod d liză smllor discrt 3. Vlori mdii tmporl l smllor discrt 3.. Vlor mdi tmporlă d ordil (mdi ritmtică) Dfiiţi: fiid dtă o scvţă tmporlă ctrtă p origi timpli, vlor mdi tmporlă d ordiml st rportl ditr sm ttror vlorilor scvţi şi lgim csti, rspctiv: [ t] [ t] (7.) t 3.. Vlor mdi tmporlă d ordil doi Dfiiţi: fiid dtă o scvţă tmporlă ctrtă p origi timpli, vlor mdi tmporlă d ordiml doi st rportl ditr sm pătrtlor ttror vlorilor scvţi şi lgim csti, rspctiv: [ t] ( [ t] ) (8.) t 3.3. Vriţ (disprsi) tmporlă Dfiiţi: vriţ tmporlă i scvţă tmporlă ctrtă p origi timpli st vlor mdi tmporlă d ordil doi scvţi tmporl ctrt p vlor mdi tmporlă d ordil. ) ( [ t] ) [ t] [ t] t ( ) vr( (9.) t 4. Fcţiil d corlţi l scvţlor tmporl. Fcţiil d corlţi st fcţii d rgmt d timp discrt cr s oţi pri mdir tmporlă prodslor d vlori cosidrt l momt d timp difrit. tr czl scvţlor priodic, fcţiil d corlţi s clclză p st d vlori măsrt p drt i mltipl îtrg l priodi scvţi. 4.. Fcţi d tocorlţi i scvţ tmporl Dfiiţi: Fi { [ t] } scvţ st dtă d rlţi: o scvţă tmporlă d lgim fiită. Fcţi d tocorlţi csti R t [ τ] [ t τ] [ t] (.) Osrvţii:. Fcţi d tocorlţi s formă mtriclă: IS/DA/Rv9 3

7 Crsl r. IS/DA/Rv9 4 3 R R R R. (.). ptr fcţiil priodic, τ R clcltă p o scvţă d lgim mltipl îtrg l priodi st glă c τ R clcltă ptr scvţ ifiită. tr fcţiil priodic s ptr smll ltor, dcă << τ tci τ R proimză î pctl τ vlor fcţii d tocorlţi scvţi ifiit. roprităţil fcţiilor d tocorlţi ropoziţi: Vlor î origi fcţii d tocorlţi i scvţ st glă c mdi tmporlă d ordil doi cli scvţ. ( ) t t R. (.) Dmostrţi: di rlţi (.) ptr τ. ropoziţi: fcţi d tocorlţi i scvţ tmporl st o fcţi pră: τ τ R R. (3.) Dmostrţi: fcţi τ R corspd scvţi ivrst: 3 3 R 3 R R R ; dcă s fctză clcll î mmrl drpt l rlţii d mi ss şi s compră c rzlttl cr s oţi di rlţi (.) s costtă că rzltă clşi vlori. 4.. Fcţiil d itrcorlţi l scvţlor tmporl Dfiiţi: fi doă scvţ tmporl d lgim fiită { } t şi { } t. Fcţiil d itrcorlţi îtr cl doă scvţ tmporl st dt d rlţiil:

8 tod d liză smllor discrt R R t [ τ] [ t τ] [ t] t [ τ] [ t τ] [ t] (4.) Osrvţi: Fcţi d itrcorlţi s formă mtriclă: R [ ] R R R 3 [ ] [ ] roprităţil fcţiilor d tocorlţi ropoziţi: fcţiil d itrcorlţi doă scvţ tmporl st tisimtrică. R R [ τ] τ. (5.) τ (6.) ropoziţi: fcţi d itrcorlţi itrr-işir scvţi ivrst st glă c fcţi d itrcorlţi işir-itrr scvţi dirct. [ τ] R [ τ] R. (7.) 5. Fcţiil d covriţă l scvţlor tmporl Dfiiţi: Fcţiil d covriţă l scvţlor tmporl st fcţii d corlţi clclt ptr sml ctrt p vlor mdi tmporlă d ordil cstor scvţ. Fiid dt doă scvţ tmporl { [ t] } şi { [ t] } mdi tmporlă d ordil st dt d rlţiil:. Scvţl tmporl ctrt p vlor µ t t [ t] [ t] [ t] µ t t [ t] [ t] [ t]. ; (8.) Fcţiil d covriţă s dfisc dpă cm rmză. ( ) ( ) [ τ] R [ τ] [ t τ] [ t] [ t τ] µ t µ C, (9.) IS/DA/Rv9 5

9 Crsl r. ( ) ( ) [ τ] R [ τ] [ t τ] [ t] [ t τ] µ t µ C [ τ] R [ τ] [ t τ] [ t] [ t τ] µ t µ C ( ) ( ) ( ) ( ) [ τ] R [ τ] [ t τ] [ t] [ t τ] µ t µ C ropoziţi: vlor î origi fcţii d tocovriţă i scvţ tmporl st glă c vriţ cli scvţ tmporl. vr( ) C. (.) Dmostrţi: î rlţi (9.) ptr τ C [ t] rzltă: ( µ ) vr( ) t..,, 6. Aplicţii. Să s clclz trsformtl z l smllor di list rmător. riod d ştior [ s ]. 4 αt ( t) ( t) ( t) ( t) si( ωt) αt αt ( t) α t ( t) si( ωt) ( t) t si( ωt) c. Să s clclz vlor mdi şi vriţ ptr scvţ tmporlă ptr scvţ priod d ştior, s î itrvll {,,,3,4,5 }. 3. Să s clclz fcţiil d corlţi ptr scvţl tmporl { } {,,3,4,5 } { } {,,,4, }. 4. Să s dmostrz că ptr trsformtl z st vlilă rlţi cr rmză. { ( t) } ( z) du t,t > dz Z. z csti rlţii să s clclz trsformtl { t} Z şi { t } Z. şi IS/DA/Rv9 6

10 ODELARE, IDEIFICARE, SIULARE IS/DA//DtRv:8// EODE DE AALIZĂ A SEALELOR DISCREE rsformt Forir Discrtă Dfiiţii Dfiiţi: fi { } p o scvţă priodică cări priodă st costitită ditr- măr fiit d ştio. rsformt Forir discrtă scvţi s dfişt pri rlţi: { } ( ) π j p W FD (.) Dfiiţi: rsformt Forir discrtă ivrsă st dtă d rlţi: ( ) { } ( ) p W FDI (.) Osrvţii: roprităţil mărimii W st rmătorl. ) W ; ) W ; c) j W 4 ; d) j W 4 3 ; ), W ; f),r, W W r r. rsformt Forir discrtă dirctă s formă mtriclă. ( ) ( ) ( ) ( ) W W W W W W R (3.) rsformt Forir discrtă ivrsă s formă mtriclă. Figr. : sml priodic prtrt d zgomot ltor

11 OE DE CURS IS/DA//DtRv:8// ( ) ( ) ( ) ( ) W W W W W W (4.) roprităţil trsformti Forir discrt ormă (liiritt): fiid dt doă scvţ priodic c cşi priodă { } p şi { } p şi doă costt şi, tci: { } { } ( ) ( ) Y FD p p (5.) ormă (ivrsi î timp): fiid dtă o scvţă priodică { } p : { } ( ) ( ) FD p (6.) Dmostrţi: clclăm mi îtâi scvţ priodică dirctă c jtorl trsformti Forir discrt ivrs. Figr : spctrl smlli priodic di Figr ; mplitdi grficl d ss si fz grficl d jos.

12 rsformt Forir discrt IS/DA//DtRv:8// (i) ( ) { } ( ) p W FDI. tr scvţ priodică ivrstă s oţi: (ii) ( ) W. r r ( ) ( ) r W r ( ) ( ) r r W r W W r 3 ( ) ( ) ( ) W A mi răms d lizt czl r. Dorc scvţ st priodică ( ) ( ) dci şi cşti trmi î rlţiil (i) şi (ii) st rspctivi gli. ormă (dplsări ciclic î timp şi î frcvţă): fiid dtă o scvţă priodică { } p c trsformt Forir discrtă ( ). Următorl rlţii st dvărt: { } ( ) r p W r FD (7.) ( ) { } r p W r FDI Dmostrţi: scvţ priodică { } r p s oţi pri rotţi circlră c r ştio scvţi origil: ( ) ( ) ( ) r W W W r r ormă: fiid dtă o scvţă priodică { } p c trsformt Forir discrtă ( ). rsformt Forir discrtă scvţi dt st glă c trsformt Forir discrtă compl cojgtă scvţi ivrs. { } ( ) ( ) ( ) FD * * p (8.) Dmostrţi: ( ) ( ) * W W ( ) ( ) W *

13 Covolţi Circlră { } { } Dfiiţi: fiid dt p şi h p cstor scvţ st dtă d rlţi: p l [ l] h [ l] p p OE DE CURS doă scvţ priodic d priodă, covolţi circlră (9.) ormă: trsformt Forir discrtă prodsli d covolţi doă scvţ priodic st glă c prodsl trsformtlor Forir discrt l clor doă scvţ. Dmostrţi: Y Y ( ) H ( ) ( ) (.) ( ) [ l] h [ l] W l l W ( l ) [ l] h[ l] W H ( ) l H ( ) [ l] l W H l ( ) ( ) ( ) Osrvţi: prodsl d covolţi s form mtriclă. h[ ] h h h h h h h h[ 3] h h h [ ] (.) Aplicţii. Să s fctz covolţi circlră scvţlor priodic: ( ) { ;;; } şi ( ) { ;;3;4 }.. Să s clclz covolţi circlră scvţlor priodic di mpll prcdt c jtorl trsformti Forir discrt şi trsformti Forir discrt ivrsă. 3. C jtorl rlţii ditr trsformt Forir discrtă şi trsformt z, să s clclz trsformt z scvţi ( ) { ;;3;4 }. IS/DA//DtRv:8//

14 ODELARE, IDEIFICARE, SIULARE SEALE ALEAOARE. Dfiiţii.. Sml ltor Dfiiţi: smll ltor st procs coti s discrt î timp gvrt î totlitt s prţil d hzrd. Osrvţii:. Smll ltor coti s mi msc şi procs ltor; smll ltor discrt s mi msc şi scvţ ltor.. Smll ltor pot fi dscris pri fcţii litic d timp. 3. Stdil smllor ltor s pot fc c jtorl trorii proilităţilor şi sttisticii mtmtic. Dfiiţi: s mşt proă s rlizr i sml ltor o îrgistrr smlli p itrvl d timp dt. Dfiiţi: s mşt sml l i sml ltor o mlţim d.. Vriil ltor rlizări l smlli ltor. Dfiiţi: fi Ω o mlţim vidă. Fmili vidă d părţi l li Ω s mşt corp d părţi l mlţimii Ω dcă,. ptr oric mlţim. ptr oric,b A, mlţim complmtră ( A) C şi A, ri clor doă mlţimi, ( A B). Dfiiţi: fi Ω o mlţim vidă. Fmili vidă d părţi l li Ω s mşt corp orli dcă,. ptr oric mlţim. A, A. A, mlţim complmtră ( A) C şi Dfiiţi: fiid dt corp orli d părţi l mlţimii vid Ω, s mşt proilitt plicţi stisfăcâd ioml:. ptr oric A : ( A). dcă { }, : R. (.), A st o fmili mărilă d mlţimi disjct doă cât doă di tci: A ( A ). (.) IS/DA/Rv9

15 ot d crs 3. ( Ω ) Dfiiţi: fiid dtă o mlţim vidă Ωşi corp orli dfiit p c mlţim, smll s mşt câmp d vimt. ( Ω, ) Dfiiţi: s mşt vriilă ltor rlă p câmpl d vimt ( Ω, ) : Ω R ptr cr oricr r fi itrvll { t : ( t) I} R I. Osrvţi: o proă ( t),t [, ] dfiiţii d mi ss.. (3.) o plicţi i sml ltor dt st o vriilă ltor î ssl.3. Fcţiil rprtiţi şi dsitt d rprtiţi d proilitt Dfiiţi: s mşt fcţi d rprtiţi vriili ltor plicţi F : R [, ] rlţi ( ) ( ) F <. (4.) dtă d Cosciţă: Dcă st sml d rlizări l i sml ltor, şi st vriil socită vlorilor prolor prlvt, fcţi d rprtiţi s dfişt stfl F ( ;t ) ( ( t ) ) lim. (5.) î cr st mărl rlizărilor cr stisfc codiţi ( ) smlli. Osrvţi: t di totll d rlizări dispoiil l. I czl smllor ltor, fcţi d rprtiţi dpid d doă vriil rspctiv vlor triită vimtli cât şi d vriil timp.. fcţi d rprtiţi stfl dfiită s mi mşt şi fcţi d rprtiţi d ordil. 3. s pot dfii fcţii d rprtiţi d ordi sprior dcă s i î cosidrr doă s mi mlt vimt dpă cm rmză. Fcţii d proilitt d ordil doi. F (, ;t, ) ( ( t ) ; ( t ) ). (6.) Fcţii d proilitt d ordi. F (,,, ;t,t,,t ) ( ( t ) ( t ) ( t ) ). (7.) ormă: Fi F : R [, ]. F st dscrscător p R fcţi d rprtiţi vriili ltor, tci, IS/DA/Rv9

16 . lim F( ) Vriil ltor ( ) F( ),, < F c. lim F( ) d. F st cotiă l stâg, lim F R. ( ) F( ) Dfiiţi: o vriilă ltor stfl c p : R, [ ) r o dsitt d rprtiţi dcă istă o plicţi ( ) p( t) F dt (8.) î cr F st fcţi d rprtiţi vriili dt. p : R R ormă: o plicţi st dsitt d rprtiţi i vriil ltor dcă st îdpliit rmătorl doă codii:. ( ), ( ) R p (9.). f st itgrilă p R şi f ( ) d Osrvţii:. I czl smllor ltor, fcţi dsitt d rprtiţi dfişt stfl F ( ) ( ;t ) ;t ( ( t ) d ),,t [, ) p R (.). ptr czl doă s mi mltor vimt l clişi vriil ltor s pot dfii fcţii dsitt d rprtiţi d ordil doi s d ordi sprior. F ( ) (, ;t,t ), ;t,t p (.) ( ( t ) d ( t ) d ), t,t [, ) R.4. Fcţii d proilitt zl l smllor ltor.4.. Distriţi iformă Dfiiţi: fiid dtă o vriilă ltor socită i sml ltor. Vriil ltor st iform distriită î itrvll [, ] dcă vloril vriili ltor cşi dsitt d rprtiţi î,. itrvll IS/DA/Rv9 3

17 ( ) [,] ot d crs p (.) (-, ) (, ) Cosciţă: fcţi d rprtiţi i vriil ltor iform distriită st dtă d rlţi: ( ) (-, ) [,] F (3.) Dmostrţi: s plică rlţi (8.). (, ).4.. Distriţi ormlă (distriţi gssiă) Dfiiţi: fiid dtă o vriilă ltor c mdi sttistică d ordil µ şi vriţ σ socită i sml ltor. Vriil ltor st orml distriită dcă fcţi dsitt d rprtiţi vrifică rlţi: p ( ) π σ µ σ (4.) Cosciţă: fcţi d rprtiţi i vriil ltor orml distriită c mdi µ şi vriţ σ s mşt fcţi itgrlă li Lplc şi st dtă d rlţi: Φ ( ) π IS/DA/Rv9 4 ξ d ξ. (5.) Vloril csti fcţii st dt î tl s st clclt c lgoritmi d clcl mric. Clcl fcţii d rprtiţi vriillor ltor orml distriit c mdi rspctiv vriţ difrit d vlorl d mi ss s fc schimr d vriilă (5.).. Vlori mdii sttistic.. Vlor mdi sttistică d ordil z µ Dfiiţi: Fi o vriilă ltor c dsitt d rprtiţi (,t) ordil st dtă d prsi, Osrvţii: ( ) p ( ;t) d, R µ t şi prsi dtă s rdc l rlţi σ p. Vlor mdi sttistică d (6.). di sttistică d ordil st dmită şi momt sttistic d ordil ott ( t) m.

18 Vriil ltor. Itgrl di mmrl drpt l rlţii (9.) st frcvt îtâlită î clcl motiv ptr cr st dmită şi oprtor d mdir sttistică s sprţă mtmtică, ott E... Vlor mdi sttistică d ordil doi Dfiiţi: Fi o vriilă ltor c dsitt d rprtiţi (,t) ordil doi st dtă d prsi, m ( t) p ( ;t) d, R p. Vlor mdi sttistică d (7.).3. Vriţ (Disprsi) Dfiiţi: Fi o vriilă ltor c dsitt d rprtiţi (,t). Vriţ vriili ltor st momtl sttistic d ordil doi l vriili ctrt p vlor mdi sttistică d ordil, σ ( ) p ( ;t) d, R t ( ) µ ( t). (8.).4. Oprtorl d mdir sttistică Dfiir mdiilor sttistic c jtorl oprtorli d mdir sttistică st przttă î tll d mi jos. di sttistică d ordil E ( t) omtl sttistic d ordil doi E ( t) p Vriţ [ ( t ) ( )] E µ t ormă: fiid dt doă vriil ltor, ( ) şi ( ) ltor c smlril ( t) t Y t,, t R t : şi Y ( t), şi o fcţi dtrmiistă d timp ( ). E ( t ) Y ( t ) E ( t ) E Y ( t ) µ ( t ) µ ( ) t. E ( t) ( t) ( t) E ( t) t dfiit ptr sml, (9.), (.) c. E ( t ) Y ( t ) E ( t ) E Y ( ) (.) t Cosciţă: rlţi d lgătră ditr vriţă, momtl sttistic d ordil doi şi mdi sttistică d ordil. Dmostrţi: ( t) m ( t) ( t) σ. (.) µ (i) σ ( t) E ( t) µ ( t) E ( t) µ ( t) ( t) µ ( t) IS/DA/Rv9 5

19 E ( t) µ ( t) E ( t) ot d crs ( t) m ( t) µ ( t) 443 m ( t ) µ ( t ) µ 443 IS/DA/Rv9 6

20 ODELARE, IDEIFICARE, SIULARE SEALE ALEAOARE. Fcţiil d corlţi sttistică l smllor ltor Fcţiil d corlţi sttistică l smllor ltor st mdii sttistic l prodsli doă vriil ltor socit or smlri l smlli, cosidrt l momt d timp difrit. Fcţiil d covriţă sttistică st fcţii d corlţi sttistică clclt ptr vriill ltor ctrt p vloril mdii sttistic d ordil... Fcţi d tocorlţi sttistică Dfiiţi: fiid dtă o vriilă ltor socită i sml ltor, fcţi d tocorlţi s dfişt dpă cm rmză: r I cr domil ( t,t ) E [ ( t ) ( t )] p (, ;t,t ) D R R. ( D) d d (.) Osrvţi: ( t,t ) E [ ( t ) ( t )] E ( t ) [ ] m ( t ) r (.).. Fcţiil d itrcorlţi sttistică Dfiiţi: fiid dtă doă vriil ltor, Y socit l doă sml ltor, fcţiil d itrcorlţi s dfisc dpă cm rmză: r r I cr domil ( t,t ) E [ ( t ) Y ( t )] p (, ;t,t ) ( D) ( t,t ) E [ Y ( t ) ( t )] p (, ;t,t ) D R R. ( D).3. Fcţi d tocovriţă sttistică Dfiiţi: fiid dtă o vriilă ltor socită i sml ltor vâd mdi sttistică d µ, fcţi d tocovriţă sttistică s dfişt dpă cm rmză: ordil ( ) t ( t,t ) E [ ( t ) µ ( t )] [ ( t ) ( t )] c µ (4.) roprităţi l fcţii d tocovriţă sttistică.. Rlţi îtr fcţi d tocovriţă, fcţi d tocorlţi şi momtl sttistic d ordil. ( t,t ) r ( t,t ) µ ( t ) ( t ) c µ (5.) d d d d (3.) IS/DA//DtRv:3//

21 OE DE CURS. Vlor fcţii d tocovriţă măsrtă ptr t t st glă c vriţ smlli ltor. Dmostrţi: c ( t,t ) σ ( t ) (6.). S plică proprităţil oprtorli d mdir sttistică dpă cm rmză. (i) c ( t,t ) E [ ( t ) µ ( t )] [ ( t ) µ ( t )] [ ( t ) ( t ) µ ( t ) ( t ) µ ( t ) ( t ) µ ( t ) µ ( )] E t ( t ) ( t ) E µ r ( t,t ) ( t ) E ( t ) µ 443 µ ( t ) ( t ) E ( t ) µ 443 µ ( t ) ( t ) µ ( ) t ( t,t ) µ ( t ) ( t ) r µ.. I rlţi (4.), ptr t t s oţi: c ( t,t ) E [ ( t ) µ ( t )] σ ( t ).4. Fcţiil d itrcovriţă sttistică Dfiiţi: fiid dt doă vriil ltor şi Y socit l doă sml ltor vâd mdiil sttistic d ordil µ ( t ) şi ( ) rmză: µ, fcţiil d itrcovriţă sttistică s dfisc dpă cm t ( t,t ) E [ ( t ) µ ( t )] [ Y ( t ) ( t )] c µ (7.) ( t,t ) E [ Y ( t ) µ ( t )] [ ( t ) ( t )] c µ roprităţi l fcţiilor d itrcovriţă sttistică. Rlţiil îtr fcţiil d itrcovriţă, fcţiil d itrcorlţi şi momtl sttistic d ordil. ( t,t ) r ( t,t ) µ ( t ) ( t ) c µ (8.) ( t,t ) r ( t,t ) µ ( t ) ( t ) c µ Dmostrţi: s plică proprităţil oprtorli d mdir sttistică.. Fcţiil dsitt spctrlă d ptr l smllor ltor I czl smllor ltor, fcţiil dsitt spctrlă d ptr s dfisc porid d l o rlizr orcr smlli trchită p itrvl tmporl. I cotir dsitt spctrlă d ptr smlli î sml s oţi pri plicr oprtorli d mdir sttistică spr ttror rlizărilor smlli ptr itrvl tmporl tis l itrg ă rlă. IS/DA//DtRv:3//

22 Fcţiil d corlţi sttistică l smllor ltor Dfiiţi: fiid dtă o rlizr i ( t) i sml ltor trchită p itrvll tmporl i şi ( ω) trsformt Forir csti, dsitt spctrlă d ptr csti rlizări tisă p îtrg domil timpli st: S i i i ( ω) lim ( ω) Dfiiţi: fiid dtă smll ( t) socit i sml ltor, fcţi dsitt spctrlă d ptr socită csti st dtă d prsi: S i ( ω) lim E ( ω), ω R (.) Dfiiţi: fiid dt doă rlizări i ( t) şi j ( t) i i tmporl şi ( ω), ( ω) doă sml ltor trchit p itrvll Y trsfromtl Forir l cstor, dsitt spctrlă mtlă d ptr st dtă d rlţi: S j i j* ( ω) lim ( ω) Y ( ω) i (.) Dfiiţi: fiid dt doă smlri ( t), Y ( t) socit l doă sml ltor, fcţi dsitt spctrlă d ptr socită cstor st dtă d prsi: S i * j ( ω) lim E ( ω) Y ( ω), ω R (.) 3. Sml ltor spcil 3.. Sml ltor pr Dfiiţi: Smll ltor pr st complt crctrizt pri fcţiil d proilitt d ordil, rspctiv fcţi d rprtiţi şi fcţi dsitt d rprtiţi. Osrvţi: U cz prticlr d sml ltor pr st zgomotl l. 3.. Sml ltor stţior Dfiiţi: smll ltor stţior st sml ltor căror fcţii d proilitt rspctiv fcţi d rprtiţi şi fcţi dsitt d rprtiţi st ivrit l schimr origiii timpli. p (,,, ;t,t,,t ) p (,,, ;t τ,t τ,,t τ) ; ( ) τ R (3.) (9.) ropoziţi: ptr oricr sml ltor stţior rmătorl mărimi st ivriil î rport c timpl: 3. mdi sttistică d ordil µ cost. 4. momtl sttistic d ordil doi cost. m 5. vriţ (disprsi) σ cost. IS/DA//DtRv:3//

23 OE DE CURS Codiţi d rgodicitt Dfiiţi: sml ltor stţior st mit rgodic dcă mdiil sttistic d ordil şi doi st gl c mdiil tmporl d ordil rspctiv ordil doi clclt p o rlizr orcr di sml. Empl: vloril mdii. 6. mdi sttistică d ordil µ i ( t) cost. 7. momtl sttistic d ordil doi 8. vriţ (disprsi) m σ i [ ( t) ] cost. i i [ ( t) ( t) ] cost. fcţii d corlţi şi covriţă.. fcţi d tocorlţi r ( τ) i ( τ) R i. fcţiil d itrcorlţi r ( τ) j ( τ), r ( τ) j ( τ) R i 3. fcţi d tocovriţă c ( τ) i ( τ) C i R i 4. fcţiil d itrcovriţă c ( τ) j ( τ), c ( τ) j ( τ) C i C i 3.3. roprităţil fcţiilor d corlţi l smllor ltor rgodic ormă: fi ( t) sml ltor rgodic şi ( t) proprităţi l fcţiilor d corlţi st dvărt:. fcţi d tocorlţi st o fcţi pră. ( τ) R ( τ) o proă di smll socit csti; rmătorl R (4.). Vlor fcţii d tocorlţi tid spr vlor mdi d ordil smlli tci câd vriil tid spr ifiit. lim µ τ R ( τ) (5.) 3. Vlor î origi fcţii d tocorlţi st glă c sm pătrtlor vriţi şi mdii d ordil. ( ) σ R µ (6.) Dmostrţi:. tr τ, ( t) şi ( t τ) st corlt sttistic, dci: (i) lim R ( τ) lim E [ ( t τ) ( t) ] lim E ( t τ) E ( t) µ τ τ 3. Di rlţiil (5.) şi (6.) ptr t şi s ţi cot că ptr smll stţior rgodic vlor mdi şi vriţ st costt î rport c timpl rzltă: τ. IS/DA//DtRv:3//

24 Fcţiil d corlţi sttistică l smllor ltor ( ) σ R µ. Cosciţă: ptr corspzător rlizării ( t) fcţii d tocorlţi. ( ) smlli st glă c vlor î origi R (7.) Dmostrţi: fcţi d tocorlţi st glă c trsformt Forir ivrsă fcţii dsitt spctrlă d ptr: (i) R ( τ) S ( ω) tr ω, rzltă: S ( ω) π cos ωτ dω F. ω π d. (ii) R ( ) S ( ω) Itgrl di mmrl drpt d l pctl (ii) rprzită ptr smlli ( t). IS/DA//DtRv:3//

25 ODELARE, IDEIFICARE, SIULARE. Zgomotl l SEALE ALEAOARE DE SECRU LARG Dfiiţi: Zgomotl l st sml ltor cr r fcţi dsitt spctrlă d ptr costtă î tot spctrl d frcvţ. î cr c st o costtă rlă. otţii: ( ω ) c ( ω) ; ( ) ω R S (.) E ( t) : smll d pro socit zgomotli l; ( t) : o proă (o rlizr) zgomotli l. ropoziţi: Fcţi d tocorlţi zgomotli l st dtă d prsi: î cr δ ( τ ) st implsl Dirc. Dmostrţi: ( τ ) c δ ( τ ); ( ) τ R R (.) Dorc fcţi d tocorlţi st glă c trsformt Forir ivrsă fcţii dsitt spctrlă d ptr, rzltă: R jωτ c dω π π 3 c( τ ) ( τ ) S ( ω) jωτ dω c δ ( τ ); ( ) τ R ropoziţi: di sttistică d ordil zgomotli l pr st glă c zro. Dmostrţi: Dorc ştiol zgomotli l pr st corlt sttistic mdi sttistică prodslor rlizărilor zgomotli l l itrvl d timp difrit st glă c prodsl mdiilor sttistic l rlizărilor lt sprt; dci rzltă: (i) ( τ ) E{ [ E( t τ ) E( t) ]} E{ E( t τ )} E{ E( t) } R µ µ µ (ii) δ ( τ ) ; ( ) τ R \{ } R ( τ ) c δ ( τ ) ; ( ) τ R \{ } µ. ropoziţi: Vriţ zgomotli l pr st ifiită. Dmostrţi: ( ) (i) R σ µ { σ (ii) ( ) c δ ( ) R σ. IS/DA//DtRv://

26 OE DE CURS Fig. : fcţi dsitt spctrlă d ptr stâg şi fcţi d tocorlţi drpt l zgomotli l c dă limittă. Cosciţ:. tr csră ptr grr zgomotli l pr st ifiită. Dmostrţi: Ergi i sml orcr st dtă d rlţi rmător. R ω ( ) ( t) dt tr czl zgomotli l pr vlor fcţii d tocorlţi vrifică rlţi: ( ) c δ ( ) R.. tr plicţii st csră dfiir or sml ltor cr să proimz zgomotl l pr şi cr să potă fi grt c grtorl d sml.. Zgomotl l c dă limittă Dfiiţi: Zgomotl l c dă limittă st sml ltor cr r fcţi dsitt spctrlă d ptr costtă îtr- itrvl fiit d vlori l plsţii. c ω < Ω S ( ω) (3.) ω Ω ropoziţi: Fcţi d tocorlţi zgomotli l c dă limittă st dtă d prsi: Dmostrţi: R c Ω R ( τ ) si c( Ω τ ) (sis tt) (4.) π Ω Ω c dω π π π Ω Ω jωτ jωτ ( τ ) S ( ω) dω c dω [ cos( ω τ ) j si( ω τ ) ] c π Ω cos Ω ( ω τ ) c si dω π τ ( ω τ ) c si( Ωτ ) c Ω si( Ωτ ) Ω Ω π τ π Ω τ Rprztăril grfic l clor doă fcţii st prztt î Figr. c Ω si c π ( Ωτ ) IS/DA//DtRv://

27 Sml ltor d spctr lrg Fig. : fcţiil d tocorlţi ss şi dsitt spctrlă d ptr - jos l zgomotli colort. 3. Zgomotl colort Dfiiţi: Zgomotl colort st sml ltor cr r fcţi dsitt spctrlă d ptr dtă d prsi: Ω S ( ω) λ. ω Ω (5.) ropoziţi: Fcţi d tocorlţi zgomotli colort st: ( τ ) Ωτ R λ, λ cost. R, Ω cost. R. (6.) Cosciţ: (i) ( ) τ R τ µ, (ii) τ R ( ) λ 4. Zgomotl l discrt. Dfiiţi: Zgomotl l discrt st o scvţă d vriil ltor rciproc idpdt şi corlt sttistic mi c l îsl. Distriţi sttistică zgomotli l discrt pot fi: distriţi iformă s distriţi ormlă. ropoziţi: Fcţi d tocorlţi zgomotli l discrt st dtă d prsi: IS/DA//DtRv://

28 OE DE CURS R c ; ; Z \ { }. (7.) d c R o costtă, - priod d ştior. Dmostrţi: S cosidră sml zgomot l c dă limittă c lăţim csti sml î origi st: ω Ω π. Fcţi d tocorlţi π c si π c si ( ) ( ) c R lim π lim π π π τ 4 tr clllt vlori l vriili d timp discrt fcţi d tocorlţi i vlor zro: R Cosciţ: c ; ; Z \ { }. (8.) (i) R [ ] µ, (ii) ( ) { c σ µ (vriţ zgomotli l discrt). R σ 5. Sml psdoltor Dfiiţi: Smll psdoltor st sml grt dtrmiist dr cr przită crctristicil sttistic l smllor ltor. rmit rptr primtli d idtificr î clşi codiţii d îcrcr dorc st priodic (rptil); prodc rori d stimr socit fcţiilor d corlţi fiid prcis dfiit. Fc prt di ctgori smllor stţior rgodic. Dpă modl d grr pot fi:. Sml psdoltor ir: pot l dor doă vlori distict comtr îtr cl doă ivl s fc psdoltor. Acst sml s grză c chipmt hrdwr.. Sml psdoltor c grr cogrţilă: s prodc p z i lgoritm d clcl rcrt. 5.. Sml psdoltor ir. Smll r doă ivl, ± şi pot comt d l ivl l ltl dor l mit itrvl d timp t, t, t, 3 t,. IS/DA//DtRv://

29 Sml ltor d spctr lrg Fig. 3: grr smllor psdoltor ir stâg şi rprztr grfică i scvţ prţiâd i sml psdoltor ir.. rziţiil îtr ivl l smlli st prdtrmit ptr mit itrvl d timp dorc smll st dtrmiist. 3. Smll st priodic vâd priod s t î cr st măr îtrg impr. 4. drt oricări priod smlli, istă ( ) itrvl î cr smll i ditr vlori şi ( ) î cr sm ll i clltă vlor. 5. Fcţi d tocorlţi smlli psdoltor ir st fort propită d fcţi d tocorlţi i imps fiid dtă d prsi rmător. R ( τ ) τ t t < τ < t t < τ < ( ) Difrţl ditr fcţi d tocorlţi smlli psdoltor ir şi fcţi d tocorlţi i impls priodic idl st: () f Grr smllor psdoltor ir 6. tr grr smlli psdoltor ir s pot tiliz rgistr d dplsr c locţii prvăzt c o rţ d rcţi formtă ditr circit d dr modlo-. riod mimă smlli psdoltor s oţi ptr mit cofigrţii d coctr l locţiilor rgistrli l rţ d rcţi. Lgim mimă scvţi priodic st. I Figr? s przită circit c rgistr d dplsr d 4 iţi. Eştiol smlli psdoltor rzltt l işir circitli st prztt î ll r.. R4 R R 4 R 3 R R IS/DA//DtRv://

30 OE DE CURS Aplicţii. Să s dimsioz grtor d sml psdoltor ir c rgistr d dplsr şi circit d rcţi modlo ştiid că timpl d crştr l procsli, tc,4 s, priod d ştior, s.. Cr ditr cl tri firmţii d mi jos st corctă?. Smll ltor pr przită dor itrs tortic dr pot fi grt c ici dispozitiv fizic.. Smll ltor pr pot fi grt c dispozitiv fizic sficit d prcis dr s îtâlsc rr î prctică, d c przită itrs. c. Smll ltor pr r pt fi grt c dispozitiv fizic dcă s-r pt limi î totlitt iflţ prtrţiilor dică î sistm fizic tortic complt izolt. IS/DA//DtRv://

31 ODELARE, IDEIFICARE, SIULARE SISEE LIIARE SOCHASICE DISCREE Dfiiţi: U sistm liir st d tip stochstic dcă cl pţi lmt s ssistm compot prlcrză sml c chrctr ltor. Ipotză simplifictor: prtrţiil cr pr p prcrsl dsfăşrării procsli st plict ditiv l işir părţii dtrmiist sistmli, Figr.. odll d prtrţi l sistmlor liir stochstic discrt.. Dfiiţi odll d prtrţi prmit oţir scvţi smlli d prtrţi porid d l scvţ zgomotli l discrt pri covolţi, coform rlţii: [ t] ( h )[ t] h [ t ] ν (.) î cr h st scvţ podr modlli d prtrţi şi l discrt. st scvţ zgomotli ropoziţi: odll oprţiol d prtrţi l i sistm liir stochstic discrt st dt d prsi grlă: ν [ t] H ( q) [ t] d H ( q) h q (.) Dmostrţi: ν [ t] h [ t ] h [ t] q h q t H ( q) H ( q) [ t].. roprităţil modlli d prtrţi ropoziţi: vlor mdi scvţi d prtrţi st glă c zro. Dmostrţi: µ ν (3.) Fig. : odll grl l i sistm liir stochstic discrt (stâg) şi modll d prtrţi (drpt).

32 odll dimic l sistmlor µ ν E { ν [ t] } E h [ t ] h E{ [ t ] } ( ) 443 ropoziţi: Fcţi d itrcorlţi prtrţi zgomot l discrt R [ τ ] I cr Dmostrţi: Rν [ τ ] λ h[ τ ] λ st vriţ zgomotli l discrt. ο st dtă d rlţi: (4.) Rν ν [ τ ] E{ ν [ t τ ] [ t] } [ t τ ] [ ( t τ ) ] R [ τ ] E h [ ( t τ ) ] [ t] ν (i) h E{ ( [ ( t τ ) ] ) [ t] } d ltă prt: R [ τ ] (ii) R [ τ ] λ δ [ τ ] Rzltă: (iii) R [ τ ] λ h δ [ τ ] λ h[ τ ] ν ( h R )[ τ ] ropoziţi: Fcţi d fcţi d tocorlţi R [ τ ] I cr Dmostrţi: νν [ τ ] λ h h[ t ] st dtă d rlţi: νν (5.) R λ st vriţ zgomotli l discrt. Dfiiţi: Fcţi d frcvţă modlli d prtrţi s oţi pri plicr trsformti Forir scvţr podr modlli d prtrţi. H jω jω ( ) h (6.).3. rdicţi p ps îit mărimii d prtrţi Formlr prolmi: Fiid cosct tot vloril ştiolor scvţi d prtrţi pâă l ν,, t cr st vlor stimtă (s proilă) momtl vlorii scvţi m momtl t iclsiv, rspctiv ( ) t, dică ν [ t]?

33 Sistm liir stochstic discrt ν } [ t] h [ t ] h [ t ] h [ ] [ t ] 443 trm cosct c mdi zro sttistic trm cosct di vlori trior l stiolor [ t t ] h [ t ] ν (7.) otă: Dcă modll oprţiol d prtrţi dt d prsi (.) st ivrsil, tci rprztr oprţiolă vlorii stimt mărimii d prtrţi st dtă d prsi rmător. ν Dmostrţi: H ( q) t t ν [ t]. (8.) H ( q) ν ν [ t] h [ t ] h q [ t] H ( q) [ t] [ t ] [ t ] ν [ t t ] ( q ) [ t ] [ t ] [ t t ] H ν (i) ν [ t t ] H ( q) [ t] S primă [ t] î fcţi d ν [ t] [ t] ( q) [ t] şi s oţi: ν (dcă modll d prtrţi st ivrsil) H [ ] H ( q) H (ii) ( q) ν t t [ t] ν. Strctri d modl poliomil l sistmlor liir stochstic discrt.. odll grl odll grl l i sistm liir stochstic discrt st, Figr : G [ t] G( q) [ t] H ( q) [ t] H Osrvţii: (9.) ( q) g q ( q) h q, h 3

34 . Fcţiil G( q) şi H ( q) odll dimic l sistmlor, primt s form or srii ifiit dfisc strctr modlli sistmli liir stochstic discrt.. tr pt dtrmi pri clcl o vlor postriori di vlori măsrt priori, c lt cvit ptr stim vloril smlli, tri c polioml G( q) şi H ( q) să iă măr fiit d trmi. 3. zl, G( q) şi H ( q) s rprzită s form or fcţii rţiol vâd c vriilă oprtorl d îtârzir c ps, q. 4. Rformlr prolmi idtificării modlli st chivltă c dtrmir vlorilor coficiţilor q H q. fcţiilor rţiol G( ) şi ( ) 5. odll î cr fcţiil G( q) şi H ( q) modl prmtric. st primt s form or fcţii rţiol s msc.. Rprztr pri rgrsii modllor poliomil l sistmlor liir stochstic discrt S scri cţi (.) s form rmător. [ t] [ t ] [ t ] [ t ] [ t] [ t ] [ t ] c [ t] c [ t ] c [ t c] S plicitză trml [ t], [ t] [ t ] [ t ] [ t ] [ t] [ t ] [ t ] c [ t] c [ t ] c [ t c] şi s rscri Ecţi (9.) s formă mtriclă stfl: [ t] θ φ φ θ î cr, [ c c c ] c c.. (.) θ c st vctorl prmtrilor şi [ [ t ] [ t ] [ t] [ t ] [ t] [ t c ] φ st vctorl măsrătorilor mit şi vctorl rgrsorilor..3. Ecţi rorii Dfiiţi: Fiid dt modll dimic l i sistm liir stochstic discrt (9.) cţi rorii st: [ t] G( q, θ) [ t] H ( q, θ) 3 t t, θ. modll [ t, θ] : dpizd dtrmiist d vctorl prmtrilor ror difrt vlor msrt ditr si vlor stimt (.) 4

35 Sistm liir stochstic discrt î cr: [ t] - vlor măsrtă işirii l momtl t, [ t] - vlor stimtă işirii l momtl t clcltă p z vlorilor trior, [ t] - vlor mărimii d comdă l itrr dtrmiistă sistmli, [ t] - vlor zgomotli l discrt l momtl t. ropoziţi: Fiid dt modll dimic l i sistm liir stochstic discrt, (9.), c [ t] - vlor măsrtă işirii l momtl t, [ t] vlorilor trior, [ t] - vlor stimtă işirii l momtl [t] clcltă p z - vlor mărimii d comdă l itrr dtrmiistă sistmli, prdictorl mărimii d işir st dt d rlţi: [ t, θ] ( θ) ( q, θ) G q, H [ t] Dmostrţi: di cţi rorii, s plicitză [ t,θ] ( ). (.) H q, θ 3. Strctri d modl l cţii rorii 3.. odl d tip AR. Ecţi c difrţ modlli [ t] [ t ] [ t ] [ t ] [ t] [ t ] [ t ] [ t] C otţiil: A.. (3.) ( q ) q q (4.) A ( q) [ t] B( q) [ t] [ t] B ( q ) q q cţi (3.) [ t] ( q) ( ) B A q [ t] A q ( ) [ t]. Cz prticlr: ( ) ; [ t] A( q) [ t] [ t] A q, (modll răspsli fiit). c. Osrvţii: odll s mşt torgrsiv c itrr tră dtrmiistă. Fig. : odll d tip AR (stâg) şi modll d tip ARA (drpt). 5

36 odll dimic l sistmlor Fig. 3: odl ARARA (drpt); odl OE (stg). Dzvtj: zgomotl ditiv st modlt s form zgomotli l discrt c c corspd rlităţii î sitţiil rl. Vctorl prmtrilor st dt d rlţi rmător. θ [ ] Digrm loc modlli AR st przttă î Figr. 3.. odl d tip ARA. Ecţi c difrţ modlli [ t] [ t ] [ t ] [ t ] [ t] [ t ] [ t ] [ t] c [ t ] c [ t c]. Ecţi oprţiolă: [ t] ( q) ( ) B A q [ t] ( q) ( ) C A q [ t] c. (5.) C q c q. Î cr: ( ) c. Alt modl di cşi clsă. [ t] ( q) ( ) B A q [ t] ( ) ( q) ( ) C A q D q [ t], modl ARARA. 4. Strctri d modl l rorii d işir Dzvtjl strctrii d modl l cţii rorii st cl că fcţiil G( q) şi H ( q) st prmtrizt idpdt ( clşi fctor l mitor). tr oţi o rprztr fliilă, cl doă fcţii rţiol tri prmtrizt idpdt. ( q) ( q) B [ t] F [ t] [ t], or 6

37 Sistm liir stochstic discrt Fig. 4: odl Bo-Jis [ t] f [ t ] f [ t ] f [ t ] [ t ] [ t ] [ t] f [ t ] f [ t c] odl Bo-Jis. St dscris pri cţi oprţiolă cr rmză. [ t] B F ( q) ( q) odll grl. A ( q) [ t] B F [ t] ( q) ( q) ( q) ( ) C D q [ t] [ t] ( q) ( ) C D q [ t]. 7

38 ODELARE, IDEIFICARE, SIULARE 8

39 ODELARE, IDEIFICARE, SIULARE EODE DE IDEIFICARE EERIEALĂ A ROCESELOR. tod răspsli trzitori.. ricipil mtodi tod răspsli trzitori prmit dtrmir primtlă fcţii podr s răspsli idicil l procsli lizt. tod costă î plicr i sml d comdă trptă itră s o sri d implsri; răspsl trzitori l sistmli st îrgistrt. I cdrl primtli s fctză tst dpă cr s clclză cr mdi d vriţi răspsli. tod răspsli trzitori st o mtodă rpidă d idtificr procslor. tr implmtr csti mtod st csr mijloc thic ddict. I l domii, mdiciă şi sismologi, mtod răspsli trzitori st sigr mtodă d idtificr primtlă cr pot fi plictă. C otţiil: i [ t] vlor ştioli l momtl [t] scvţi răspsli sistmli, dtrmit î cdrl tstli c mărl i l primtli h [ t] vlor tortică fcţii podr sistmli i h [ t] [ t] vlor ştioli zgomotli ditiv l momtl [t] l işir sistmli vlor stimtă scvţi răspsli sistmli l momtl [t] rzltă ( ) i [ t] h[ t] i [ t] h t i Dcă zgomotl ditiv [ t] i. (.) i st corlt c răspsl sistmli şi dcă tci rzltă ptr vlor mdi stimtli prsi rmător. E h [ t] h[ t] µ ; (.) î cr { [ t] } µ E st vlor mdi sttistică zgomotli ditiv l işir procsli... Eror sistmtică d idtificr Eror sistmtică d idtificr procsli st difrţ ditr vlor stimtă răspsli l momt orcr [t] şi vlor tortică csti, rspctiv: ε E h[ t] h[ t] µ ; (3.) şi st glă c vlor mdii sttistic zgomotli ditiv d l işir procsli.

40 Error! Rfrc sorc ot fod. Dcă vlor mdi sttistică zgomotli ditiv st zro tci ror sistmtică d idtificr procsli v tid cătr zro dcă mărl d tst tid spr ifiit. tr dtrmir vlorii mdii sttistic zgomotli ditiv s măsoră răspsl sistmli tci câd l itrr s plică sml d comdă, L [ t] şi s clclză vlor mdi corspzător. µ lim L[ t]. (4.) t.3. Clcll vriţi stimtorli răspsli podr ropoziţi: Dcă scvţl zgomotli ditiv î tot cl tst d idtificr st corlt sttistic îtr l, tci vriţ stimtorli răspsli podr l sistmli st dtă d prsi: î cr vr h [ t] σ. (5.) Dmostrţi: σ st vriţ zgomotli ditiv [ t] (i) h[ t] h[ t] l işir sistmli. E ( µ ) E h[ t] h[ t] µ. ( µ ) (ii) h[ t] h[ t] i t µ i [ t] Di rlţiil (i) şi (ii) rzltă, i vr h[ t] E (iii) i t µ E i t Osrvţi: i i i ( µ ) σ σ vriţ stimtorli răspsli podr dscrşt dcă mărl d tst, crşt. stimtor covrgt spr vlor tortică prtrtă procsli s mşt stimtor cosistt.. tod lizi î frcvţă.. ricipil mtodi tod lizi î frcvţă prmit dtrmir primtlă fcţii d frcvţă procsli lizt. tod costă î plicr i sml d comdă sisoidl c mplitdi şi frcvă cosct c prcizi; s măsoră sccsiv mplitdi răspsli şi dfzjl ditr smll d comdă şi răsps ptr vlori crscător l frcvţi d l zro pâă l o vlor mimă dmisiilă tortic pâă l ifiit. Avtjl mtodi costă î fptl că prmit trgr dor i sigr frcvţ di spctrl d frcvţlor răspsli c c prmit vidţir frcvţlor d rzoţă l răspsli procsli.

41 Error! Rfrc sorc ot fod. ropoziţi: Fiid dt sistm stil, liir, coti, c o sigră itrr şi o sigră işir, dcă l itrr s plică sml d comdă sisoidl d form ( t) U si( t) sistmli v fi dt d rlţi: ( t) U G( j ω) si( ω t rg{ G( j ω) }) ω, tci răspsl (6.) Dmostrţi: Fiid dt sistm liir coti c fcţi podr g ( t) şi smll d comdă ( t) răspsl sistmli, ( t) s clclză pri covolţi stfl:, t ( t) ( g )( t) g( θ ) ( t θ ) dθ ( t) U si( ω t) t ( t) g( θ ) U si( t θ ) dθ t ( θ ) [ si( ω t) cos( ω θ ) cos( ω t) si( ω θ )] d U g θ (i) U si( ω t) g( θ ) cos( ω θ ) dθ cos( ω t) g( θ ) si( ω θ ) t t dθ Eprsi (i) pot fi psă î lgătră c rmător prsi î domil compl. jωt t g jωθ ( θ ) dθ [ cos( ω t) j si( ω t) ] g( θ ) [ cos( ω θ ) j si( ω θ )] dθ t (ii) t g j ( θ ) [ cos( ω t) cos( ω θ ) si( ω t) si( ω θ )] g dθ. t ( θ ) [ si( ω t) cos( ω θ ) cos( ω t) si( ω θ )] dθ S compră prsiil (i) şi (ii) şi rzltă: jωt (iii) ( t) U Im g( θ ) t jωθ dθ t I rgim stţior, ptr t dpid d timp dorc sistml st stil, dci t j ω θ t itgrl lim g( θ ) dθ jωθ jωθ (iv) lim g( θ ) dθ g( θ ) dθ G( j ω) t S plicitză rlţi (iii) şi rzltă dpă cm rmză. jωt ( t) U Im G( j ω) jωt jrg G { } ( ) ( jω U Im G j ω ). { { }} st covrgtă s ltfl sps 3

42 Osrvţi: Error! Rfrc sorc ot fod. j ( ) ( ωt rg { { G( jω U ω )}) G j Im } U G( j ω) si ω t rg G( j ω). Fcţi ( j ω) ( { }) G dfiită î rlţi (7.) s mşt fcţi d frcvţă procsli.. Fcţi d frcvţă st glă c trsformt Forir fcţii podr procsli. rocdr d măsrr mplitdiii şi dfzjli răspsli st cocptă stfl îcât prtrţiil dtort zgomotlor d măsrr prcm şi distorsiil dtort liirităţii sistmli mit să fi p cât posiil limit. Acst prolm s pot rzolv dcă răspsl sistmli, ( t) rzltt pri măsrători st mi îtâi îmlţit c doă sml rspctiv c sml sisoidl şi l doil sml cosisoidl dpă cr cl doă rzltt st itgrt p măr îtrg d priod. Dispozitivl fizic cr rlizză cstă liză s mşt lizor d corlţi î frcvţă. Digrm fcţiolă lizorli st przttă î Figr?. Jstificr pricipili d fcţior l lizorli d corlţi st przttă î cotir. Fiid dt sistm, liir, coti şi smll d comdă ( t) U si ( ω t) sistmli ( t) U G( j ω) si ( ω t rg{ G( j ω) }). tr cll d işir î sis, s oţi rmătorl sml. ( ) U G( j ω) si( ω t) si( ω t Φ) dt R U G dt U G ( j ω ) [ cos Φ si( ω t Φ) ] ω ( j ω) cos Φ si Φ si( ω Φ) U G cos R ( j ω) cos Φ U G( j ω) Φ, U ( ) G( j ω) cos Φ tr cll d işir î cosis, s oţi smll: I U ( ) G( j ω) si Φ. ω π si Φ ω, rspctiv răspsl. (7.). (8.) tr limi roril d măsrr socit c offst-l işirii sistmli, mdir smllor s fc p itrvl d form π, ω. (9.) 4

43 Error! Rfrc sorc ot fod... Rdcr iflţi zgomotlor spr rzlttlor măsrtorilor ricipil cr stă l z rdcrii iflţi zgomotlor costă î crştr drti î cr s fctză mdir vlorilor smlli d işir. Fi zgomotl ditiv ( t) socit smlli d işir ( t) şi R( ), rspctiv I( ) rlă rspctiv imgiră l işir lizorli d corlţi dtort zgomotli. R I ( ) ( t) si( t) ( ) ( t) cos( t) dt vriţi vlorilor ω, (.) dt ω, Î cr ω st plsţi smlli l cr s fctză măsrător. Dcă π ω tci, di rlţi (.) s pot ddc prsi: R dt ( ) ( t) si( t) dt ( t) siω ( t) h ( t ) ( h)( t) ω, (.) î cr h( t) st fcţi podr lizorli d corlţi. Di rlţi (.) fcţi podr h( t) st dfiită dpă cm rmză, Figr. h si ( ) ( ω ) [ ; ) t t t t ( ; ) [ ; ). (.) tr clcl trsformt Lplc fcţii h( t) s tilizză rprztr: h ( t) [ ( t) si( t) ( t ) ω ( t )] si ω, (3.) Şi s plică torm dplsării î domil timpli. Rzltă, H ω s ( s) ( ) s ω. (4.) Fcţi d trsfr (4.) dscri filtr trc-d c frcvţ ctrlă ω. Bd d trcr filtrli s îgstză p măsră c drt itrvlli crşt, Figr?. 5

44 ODELARE, IDEIFICARE, SIULARE EODE DE IDEIFICARE EERIEALĂ A ROCESELOR. tod lizi d corlţi.. ricipil mtodi tod lizi d corlţi prmit dtrmir fcţii podr sistmli mit. L itrr sistmli mit s plică procs ltor ( t) ; răspsl sistmli ( t) st î grl prtrt t. d l doil procs ltor ( t) corlt c procsl ltor ( ) ropoziţi: Dcă { [ t] t Z} sistm stil, lim [ t] dcă [ t], t Z tci, răspsl sistmli { [ t] t Z} t stochstic stţior., st procs stochstic stţior şi H st fcţi d trsfr i Răspsl i sistm vâd fcţi podr g ( τ ) l sml d itrr ( t) prodsl d covolţi: z ( t) ( ) g( t τ ) dτ ( g)( t), st procs pot fi clclt c τ. (.) Dcă ( t) st procs ltor stţior, tci istă rmătorl rlţii îtr fcţiil d corlţi. R R R z z z ( τ ) E{ ( t) z( t τ )} R ( τ ) g( τ ), (.) ( τ ) R ( τ ) g( τ ) ( τ ) R ( τ ) g( τ ) g( τ ) C prspr că işir măsrilă sistmli, ( t) rzltă pri îsmr işirii z( t) procsli ltor ( t) corlt c işir z ( t) dpă cm rmză. şi, tci rlţiil ditr cst procs ltor st ( τ ) E{ [ z( t) ( t) ] [ z( t τ ) ( t τ )]} R ( τ ) R ( τ ) R ( τ ) R ( τ ) R ( τ ) R ( τ ) R ( τ ) R z Dorc procsl ltor st corlt, rzltă: ( τ ) R ( τ ) R ( τ ) R R z z z z, (3.), (4.) ( τ ) R ( τ ) R ( τ ) g( τ ). z z ltimi rlţii, dcă l itrr sistmli s plică procs ltor zgomot l tci clcll fcţii podr sistmli mit s pot fc simpl, c rlţi: R ( τ ) σ g( τ ).

45 Error! Rfrc sorc ot fod. Dorc zgomotl l pot fi grt c dispozitiv fizic, s tilizză î prctică sml psdoltor ir.. Clcll fcţiilor d tocorlţi.. Clcll fcţiilor d corlţi di dt primtl Czl procslor coti R << τ R ( τ ) ( t τ ) ( τ ) dτ, τ τ τ ( τ ) ( t τ ) ( τ ) dτ, τ << Czl procslor discrt τ R t t << τ τ ( τ ) τ t τ τ R << tτ t t τ ( τ ) τ, (5.)., (6.).. Clcll fcţiilor d corlţi c jtorl tormi rzidrilor. S cosidră că procsl mit st rzlttl trcrii zgomotli l pritr sistm c fcţi d trsfr rport doă poliom d tip ARA. Ecţi c difrţ csti procs s pot scri s form rmător. [ t] C ( z ) ( ) A z [ t]. (7.) Fcţi dsitt spctrlă d ptr procsli ltor [ t] ( ω) jω ( ) jω ( ) C A ( ω) S 3 σ st dtă d prsi: S. (8.) Fcţi d tocovriţă st trsformt Forir ivrsă fcţii dsitt spctrlă d ptr. R σ π π π jω ( ) jω ( ) C A jω dω. (9.) tr clcll itgrli (9.) s tilizză torm rzidrilor dpă cm rmză. Î itgrl (9.) s itrodc sstitţi z jω şi S clclză fcţi d tocorlţi c forml:

46 R Empll : ( ) C R z A ( z) ( z) tod lizi î frcvţă C A z ( z ) ( ) z,,,, σ. (.) Fiid dt sistm coti dscris pri rmător cţi difrţilă. d dt ( t) ( t) ( t). (.) Fcţi dsitt spctrlă d ptr răspsli sistmli st dtă d rlţi: ω ( ω) S. (.) Să s clclz vriţ răspsli sistmli ştiid că l itrr s plică procs ltor coti zgomot l pr c vriţ glă c. Solţi: Vriţ răspsli sistmli st glă c vlor fcţii d tocorlţi csti ptr. tr czl procslor ltor coti, rlţi (9.) s scri stfl: dω ( t) S ( ω) dω vr. (3.) π π ω C ststitţi vr s j ω s oţi itgrl î domil compl: j ( t) π j s j ds. (4.) tr tiliz torm rzidrilor imgiră s compltză c smicrc d rză ifiit cr îcojoră smipll compl stâg. Itgrl p cst smicrc tid spr zro tci câd rz smicrcli tid spr ifiit. Rzltă, vr ( t) ds R z s π j C ( s) ( s) ( s) ( s). (5.) 3

47 ODELARE, IDEIFICARE, SIULARE EODE DE IDEIFICARE EERIEALĂ todl d idtificr prmtric prsp: () lgr i cls d modl poliomil şi ordili socit şi () implmtr lgoritmli d stimr vâd c dt d itrr vloril măsrt l itrrii rspctiv işirii şi c mărimi d işir prmtrii dfiiţi i modlli. Algoritmii d idtificr sociţi mtodlor d idtificr prmtric st implmtţi tât î vrit off-li cât şi î vrit o-li. I priml cz, lgoritml procsză dt măsrt priori. S fctză mi mlt stimări p z or modl poliomil difrit şi rzltă mi mlt modl cdidt. odll optim s lg p z thicilor d vlidr. odll cr s oţi st tilizt fi ptr stimr or prmtri fizici fi ptr lgr şi optimizr rgltorlor. I czl l doil, lgoritml procsză dtl măsrt p măsră c cst dvi dispoiil. Clcll s fctză î itrvll ditr doă chiziţii d dt motiv ptr cr stimtl s prvd c măr miim d prmtri. odll cr rzltă s tilizză ptr dtrmir lgii d rglr î rgltorl dptiv.. tod clor mi mici pătrt.. Algr modlli ptr idtificr tod clor mi mici pătrt s plică ptr clsl d modl poliomil d tip AR rprztt pri cţi oprţiolă: ( q ) [ t] B( q ) [ t] [ t] A î cr: ( q ), B( q ), (.) A st polioml l căror prmtri s dtrmiă, [ t], [ t] măsrt l işirii rspctiv itrării l momtl [t] şi [ t] Ecţi c difrţ corspzător rprztării () st [ t ] [ t ] [ t], st vloril st ştiol zgomotli l l momtl [t].. (.) Di cr, dpă c s plicitză ştiol işirii l momtl t s oţi [ t] ( [ t ] ) [ t ] [ t]. (3.) Rprztr (3.) pot fi rscrisă s formă mtriclă dpă cm rmză. [ t] [ [ t ] [ t ] [ t] [ t ] [ t] φ [ t] Θ[ t] [ t] î cr φ[ t] st vctorl măsrătorilor şi [ t].. Formlr prolmi şi mpl Θ st vctorl prmtrilor.. (4.)

48 tod d idtificr primtlă S dorşt stimt modlli dimic l i sistm s form i modl d tip AR(). S prsp că fost fctt primt p z cări fost oţit dt l mărimilor d itrr şi işir sficit ptr form stri cât ştio. otţii: şi - vloril măsrt l ştiolor mărimilor d itrr rspctiv d işir l momtl. - vlor stimtă răspsli sistmli l momtl, dtrmită p z modlli AR() şi clişi ştio l smlli d itrr,,. η - ror d prdicţi l momtl. φ - vctorl măsrătorilor. Θ - vctorl prmtrilor. Formlr prolmi: Cr st prmtrii modli i, i,, i,i,,, stfl îcât sm pătrtlor rorii d prdicţi corspzător clor ştio să fi miimă? Empll r.: Fiid dt stl d ştio şi l smllor d itrr/işir s stimză sistml mit s form i modl d tip A() vâd cţi c difrţ: Solţi: [ ] [ ] [ ], (5.) Fi J sm pătrtlor vlorilor rorilor d prdicţi: ( ) J (6.) rmtrii modlli (5) cr corspd vlorii miim fcţii J st dţi d rlţiil rmător. J J (7.) J i, i, Rzltă:

49 tod clor mi mici pătrt 3 ( ) J (8.) ( ) J (9.) S oţi sistml d cţii liir cr rmză c cosctl şi. (.) Sistml d cţii (.) s scri s formă mtriclă stfl: { φ Θ φ φ, (.) φ Θ φ φ. Solţi sistmli d cţii (.) st dtă d rlţi: φ φ φ Θ. (.) Osrvţi: vrificr codiţii d miim (7.), tmă ptr cititor. Empll r.: fiid dt stl d ştio şi l smllor d itrr/işir s stimză sistml mit s form i modl d tip AR () vâd cţi c difrţ:, (3.) Solţi: Fi J sm pătrtlor vlorilor rorilor d prdicţi:

50 tod d idtificr primtlă 4 ( ) ( ) ( ) J (4.) rmtrii modlli (3.) cr corspd vlorii miim fcţii J st dţi d rlţiil rmător. J, J, J, J (5.) 4, i, J i Rzltă. ( ) ( ) ( ) J (6.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) J (7.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) J (8.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) J (9.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

51 tod clor mi mici pătrt 5 S oţi rmătorl sistm d 4 cţii. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (.) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Sistml d ptr cţii liir c ptr cosct s scri tot s form: φ Θ φ φ. (.) î cr: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) φ φ (.) Θ şi φ. (3.) Solţi sistmli d cţii (.) st

52 tod d idtificr primtlă 6 φ φ φ Θ. (4.).3. Algoritml mtodi clor mi mici pătrt otţii:. vctorl măsrătorilor: φ, (5.). vctorl prmtrilor: Θ. (6.) 3. s formză mtric: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) φ φ φ φ φ (7.) 4. Vctorl vlorilor stimt l răspsli sistmli stimt 3. (8.) 5. Vctorl vlorilor măsrt l răspsli sistmli mit (9.) Rzltă vctorl rorilor. Θ η. (3.) rmtrii modlli optim miimizză sm J pătrtlor rorilor, mită şi fcţi cost: η η J η. (3.) Di rlţiil (3.) şi (3.) s oţi prsi rmător. Θ Θ Θ Θ Θ Θ J. (3.) S difrţiză rlţi (3) î rport c Θşi s oţi vlor vctorli prmtrilor cr miimizză fcţi cost.

53 tod clor mi mici pătrt 7 Θ Θ J. Θ (33.) prsi (33.) corspd i miim dcă: Θ Θ J. (34.) Di rlţi (33) rzltă vctorl prmtrilor modlli.. Θ (35.)

54 ODELARE, IDEIFICARE, SIULARE CURSUL III EODE DE IDEIFICARE EERIEALĂ. roprităţil stimtorli clor mi mici pătrt.. Eror sistmtică d stimr ropoziţi: Atr stimtli prmtrilor fţă d vlor rlă st dtă d prsi rmător. ΘΘ [ ] (.) Î cr: [ [ ] [ ] Dmostrţi: st vctorl vlorilor zgomotli l. (i) Θ (ii) Θ [ ] [ ] Θ [ ] [ ( Θ ) ] [ ] [ Θ ] Θ Θ [ ]. Czl î cr mtric st dtrmiistă E Θ [ ] E{ } Θ. (.) { µ ri rmr ror sistmtică tortică stimtli clor mi mici pătrt st zro.. Czl î cr lmtl mtrici st ltor dr idpdt sttistic d zgomotl ditiv d l işir. E Θ E [ ] ] { } E{ } Θ. (3.) { µ Eror sistmtică tortică st d sm glă c zro dcă mdi sttistică zgomotli ditiv st glă c zro... Covriţ stimtorli clor mi mici pătrt ropoziţi: Dcă lmtl mtrici şi zgomotli ditiv st corlt tci covriţ stimtli clor mi mici pătrt st dtă d rlţi rmător. Î cr Dmostrţi: [ ] CovΘ σ. (4.) σ rprzită vriţ zgomotli ditiv d l işir. IS/DA/Rv9

55 E Cov E ΘΘ ΘΘ tod d idtificr primtlă Θ. [ ] ] [ ] IS/DA/Rv9 E [ ] ] E [ ] [ ] E{ [ ]} [ ] σ [ ] E 443 σ I [ ] { } [ ] 443 Osrvţi: tr mdi pătrtică prmtrilor stimtli st dtrmită d mtric [ ] rspctiv d dtrmitl dt[ ] dtrmitl [ ] σ I. Dcă mtric st ră codiţiotă rspctiv dt r vlori propit d zro tci tr mdi pătrtică prmtrilor stimtli st mr şi dci stimtl st cosistt. Acst lcr s îtâmplă dcă smll d comdă st coti s lt vriil rspctiv dcă sistml lizt st î clă îchisă.. tod clor mi mici pătrt î doă tp. tod s plică ptr czl modllor poliomil d tip ARA, rprztt pri cţi oprţiolă: A ( q ) [ t] B( q ) [ t] C( q ) [ t]. odll d prdicţi s primă pritro rgrsi liiră d form: [ t] φ [ t]θ. (5.). (6.) Î cr: φ[ t] [( [ t ] ) ( [ t ] ) ( [ t] ) ( [ t ] ) ε[ t ] ε[ t c ] Θ [ t] [ c c ] c. rmtrii coscţi i modlli s dtrmiă pri miimizr fcţii critri: t c J [ t] [ t]. (7.) d. tr clcll rorii d prdicţi s rscri cţi modlli ARA îtr-o formă spcifică i modl AR stfl: C ( ) ( q ) A q [ t] ( ) ( q ) B q C [ t] [ t] S proimză fcţiil rţiol pri poliom d lgim fiită. C otţiil: ( q ) [ t] Q( q ) [ t] [ t].t (8.). (modl AR) (9.),

56 Θ φ [ p p r ] p r r tod clor mi mici pătrt : vctorl prmtrilor şi [ t] [( [ t ] ) ( [ t p] ) [ t] [ t r ] : vctorl măsrătorilor Estimtl clor mi mici pătrt rzltă c rlţi Θ [ ] [ ] (.) Î cr φ φ [ t] t. 3. Czl idtificării sistmlor c rcţi Empl: Fi sistml discrt c rcţi dt d cţi c difrţ: [ t] [ t ] [ t ] [ t] [ t] g [ t] (.) Dcă s sstiti cţi do î cţi c difrţ p cl dirctă s oţi rmătorl doă rprztări. [ t] ( g ) [ t ] [ t] şi (.) g [ t] [ t ] [ t] Di rlţiil (.) rzltă că:. ptr ml rprztări s pot oţi stimări fi ptr prmtrl ( g ) ( g ) ; pot fi dtrmiţi sprt prmtrii,, g i sistmli. fi ptr prmtrl. prolm idtificării st ivocă, î ssl că istă doă sistm difrit cr cşi sml d comdă şi sml d işir dr modll dimic difră. Rzltă că î czl sistmlor c rcţi st posiilă idtificr prmtrilor fcţii d trsfr oprţiolă î clă îchisă. Acst lcr s dtorză fptli că î czl sistmlor c rcţi î mtric pr liii s colo liir dpdt c c fc c grdl sistmli d cţii liir să fi mi mic dcât mărl d cosct. tr rzolvr prolmi s dgă o compotă zgomot corlt l cţi căii d rcţi s s vriză lg d rglr, g. 4. ropritt d ortogolitt clor mi mici pătrt Fi prsiil stimtli prmtrilor şi l cţii răspsli sistmli, rspctiv: Θ [ ] [ ] [ ] (3.) IS/DA/Rv9 3