LEGI CLASICE DE PROBABILITATE

Transcript

1 7. LEGI CLASICE DE PROBABILITATE Fi (Ω, K, P u câmp d probabilitat şi f : Ω R, o variabilă alatoar. Am văzut că varibili f i s poat asocia o fucţi d rpartiţi F, cotiuă la stâga şi o fucţi caractristică ϕ, car st o fucţi cotiuă. Uori fucţia d rpartiţi F st dfiită d o dsitat d rpartiţi ρ. Di puct d vdr probabilistic, variabila alatoar f poat fi studiată pri itrmdiul la oricar di fucţiil asociat mai sus. Dacă oprim la fucţiil d rpartiţi, obsrvăm că acsta sut, d fapt, probabilităţi p câmpul d vimt (R, B R. Acst fucţii d rpartiţi dscrscătoar, cotiu la stâga, cu F(- şi F( împart variabill alatoar î clas d chivalţă, iar odată cuoscută, clasa d chivalţă a ui variabil alatoar, adică cuoscâd la c fucţi d rpartiţi corspud, caractristicil variabili alatoar sut ddus imdiat, di cl al fucţii d rpartiţi corspuzătoar. Pri frcvţa cu car sut îtâlit, î rzolvara uor problm practic di difrit domii, aumit fucţii d rpartiţi (probabilităţi p drapta rală au primit dumira d lgi (clasic d probabilitat. D câtva di acst lgi vom ocupa î cl c urmază. 7.. Rpartiţia biomială (Lga d probabilitat Broulli Acastă rpartiţi dscri u primt car poat ava două rzultat posibil şi aum, uul d succs S cu probabilitata costată p, ori d cât ori s rptă primtul, şi uul d isuccs I, dasma cu probabilitata costată q - p, ori d cât ori s rptă primtul. Îtrucât primtl c grază vimtl l cosidrăm idpdt, u mplu d variabilă alatoar c corspud ui rpartiţii Broulli st dată pri Schma bili rvit. Cazul cl mai simplu st cl al uui sigur primt, câd variabila alatoar a umărului d ruşit st:

2 5 Lgi clasic d probabilitat - 7 f:, p p car ar mdia M(f p şi variaţa D ( f p( p. Să prsupum că variabila alatoar f ia ca valori umărul d apariţii a uui succs î cursul a primt idpdt. Probabilitata ca î cl primt să avm o scvţă d forma SS 3 KS II { KI st p q, iar umărul d scvţ posibil car difră îtr d ori d - ori l st d C. Di cl d mai sus dducm că variabila alatoar f, a umărului d succs obţiut î rptara primtului d ori, ar distribuţia dată pri tabloul: L L (7.. f:. q Cpq L Cp q L p Câmpul d probalitat corspuzător primtului d mai sus poat fi cosidrat Ω {, }, K P(Ω, PA ( pi ud, ptru i ( ε, ε, K, ε cu ε j i A sau, pi p ( p card j:ε j. Evimtl car, iar { } AΩ i: ( i Ω, Ω K,,,. Rpartiţia Broulli d paramtri N şi p (, s mai otază pri: [ ] (7.. Bp (, ( C p q. Aici [] rprzită parta îtragă a lui, q - p. Graficul fucţii d rpartiţi dată d ( ar trpt corspuzătoar clor + puct d discotiuitat. itrsază sut d forma { } Dfiiţia. Spum că o variabilă alatoar f ar o distribuţi biomială cu paramtrii N şi p (, dacă, f ia valoril,,,,, cu probabilităţil p p f C p q ( (, q - p, adică ar distribuţia dată pri tabloul (. Torma. Dacă f st o variabilă alatoar biomială d paramtri şi p atuci M(f p, iar D ( f p q, ud q - p.

3 .. Rpartiţia biomială (lga d probabilitat Broulli 5 Dmostraţi: Mf ( C p q. Ptru calculul acsti sum cosidrăm idtitata ( pt + q C ( pt q şi o drivăm î raport cu variabila t, rzultă p( pt + q Cp( pt q, ptru t, ţiâd sama că p + q, avm Cp q p, d ud rzultă că M(f p. D ( f M f M( f. Mf ( Ptru calculul disprsii folosim rlaţia ( [ ] poat fi calculat î mod dirct, cum am procdat ptru M(f sau putm utiliza fucţia caractristică ϕ, a variabili alatoar f. Obţim ( it it ϕ( t Cp q C ( p q it ( p + q ( Mf d ϕ i dt t ( dϕ it it p + q pi dt d ϕ ( it ( p q p i it it it ( p q pi dt M f p p p D ( f p p p p pq. Eprimtl biomial, ca cl prztat mai sus, s îtâlsc la tot pasul, d fapt, l st chivalt cu arucara ui mozi la car itrsază umărul d apariţii a ui fţ ba, câd arucăm moda d u umăr d ori. Evidt, î acst caz paramtrul p. + şi (,

4 5 Lgi clasic d probabilitat - 7 Emplul. Să prsupum că istă aproimativ.. d potţiali cumpărători ai uui produs al ui fabrici, itrsază c proporţi ditr acştia prfră acst produs, î faţa acluiaşi produs al altor cocurţi. Vrm să vdm dacă acst primt st uul biomial şi să dtrmiăm paramtrul p. Slctăm. d cumpărători di ci.., ficar avâd acaşi şasă d a fi slctat, şi îtrbăm, dacă prfră produsul acli fabrici, faţă d cilalţi cocurţi. Ptru ca u primt alator să fi biomial trbui să posd următoarl caractristici: a să costa di îcrcări idtic; b ficar îcrcar să s fializz pri uul di două rzultat; c probabilitata d a obţi u rzultat, îtr-o sigură îcrcar, rămâ acaşi î ficar îcrcar, dacă p acastă probabilitat o otăm cu p, atuci ca a vimtului cotrar st q - p; d îcrcăril sut idpdt; lgat d primt sutm itrsaţi d obsrvara umărului d ralizări a uia di cl două rzultat î cl îcrcări. Costatăm că cl cici caractristici al uui primt biomial sut vrificat î mplul cosidrat. Dacă coctrăm atţia asupra caractristicii d, obsrvăm îsă că, dacă la prima îcrcar am avut u cumpărător car prfră produsul fabricii î cauză, atuci la a doua îcrcar, probabilitata algrii tot a uui astfl d cumpărător s-a modificat, atât umărul cazurilor favorabil cât şi cl al cazurilor posibil a scăzut cu o uitat, dacă la prima tragr probabilitata p a fost f, la a doua a a dvit s f. S par astfl, că aca codiţi d, d idpdţă u st vrificată şi acst s fapt ar duc la o rstrâgr a sfri primtlor alatoar d tip biomial. Dacă îsă, umărul d îcrcări st mai mic î raport cu umărul d lmt al populaţii di car s fac tragra, probabilitata p poat fi f f cosidrată costată s s. Emplul. Îtr-o itrpridr umărul zillor lucrătoar îtr-o prioadă d timp (luă, a, tc. î car ritmul zilic st îdpliit rprzită o variabilă alatoar. Probabilitata ca acst ritm zilic să fi ralizat st p 3 4. S cr lga d rpartiţi a acsti variabil alatoar p o prioadă d o luă, formată di d zil lucrătoar, valoara mdi şi disprsia acsti variabil alatoar.

5 .. Rpartiţia biomială (lga d probabilitat Broulli 53 S costată că variabila alatoar, a cări rpartiţi s cr, rspctă lga biomială d paramtrii şi p 3. Să o otăm cu f. Avm: 4 L L f: C C L L Mf ( p , 75; D f 3 63 ( 393, Emplul 3. Să prsupum că sut dat ptru o variabilă alatoar f, valoril îrgistrat, {,, K, } şi frcvţl rlativ al acstora { f, f, K, f }. Dacă primtul alator c a grat variabila alatoar f prmit aplicara lgii biomial, s pu problma ajustării frcvţlor îrgistrat (mpiric pri probabilităţil ui lgi biomial corspuzătoar. Ptru idtificara rpartiţii biomial car ajustază sria frcvţlor rlativ mpiric, trbui dtrmiaţi paramtri şi p. Cum iiţial s cuoaşt volumul şatioului şi mdia variabili f, p baza formuli mdii rpartiţii biomial B(, p, M(f p, s calculază Mf ( probabilitata p după rlaţia p. Să prsupum că s rcpţioază u lot d produs alimtar. Ptru acasta au fost prluat u lot d 5 d cutii, ficar cuprizâd d produs. Rpartizara clor 5 d cutii după umărul d produs, c u corspud stadardlor, s rprzită î tablul următor: Număr d produs dfct X i Număr d cutii N i XN i i f i P(f i 3 4 5,4,89 8 8,36,38 9 8,8, ,,4 4 4,6,8,5 5,4,5 Total 5 77,,996

6 54 Lgi clasic d probabilitat - 7 Cosidrăm că pisl c u corspud calităţii, î ficar cuti rcpţioată, urmază o lg biomială d probabilitat p şi. Di totalul d 5 d cutii obsrvat, rzultă o mdi d produs dfct, p 77 cuti, d f 54,. Di ipotza făcută rzultă p,54, d ud rzultă 5 54, p 8,. Dci, produsl dfct îtr-o cuti rspctă o lg biomială B(;,8. Coloaa a cica a tablului d mai sus coţi ajustăril dat p baza rpartiţii biomial B(:,8 a frcvţlor rlativ (mpiric coţiut î coloaa a patra. Eistă difrit tst statistic ptru măsurara coformităţii îtr cl două srii d frcvţ. 7.. Rpartiţia Poisso (Lga vimtlor rar Am văzut că o variabilă alatoar biomială, d paramtri şi p, ar ca valori umărul d apariţii al uui vimt A î îcrcări idpdt, î ficar îcrcar probabilitata vimtului A st costată P(A p. Probabilitata ca variabila alatoar să ia valoara st dată d P C p ( ( p. Să cosidrăm că, umărul al problor st foart mar, iar probabilitata p a apariţii vimtului A îtr-o probă st foart mic, vidt, vimtul A a dvit, î urma acstor prsupuri, u vimt rar, motiv ptru car lga d probabilitat a variabili alatoar c ar ca valori umărul d apariţii al vimtului A, î cl prob, poartă uml d lga vimtlor rar. Să prsupum că, î codiţiil d mai sus, produsul p rămâ costat, p λ, λ fiid umit paramtrul rpartiţii Poisso, şi să dtrmiăm probabilităţil P (, î cazul câd λ tid la. ( ( K( + P lim Cp p lim p ( p! lim ( K( +! λ λ ( K( + λ λ λ λ lim lim!!.

7 7.. Rpartiţia Poisso (lga vimtlor rar 55 λ λ. Am obţiut P! λ λ λ λ S vrifică imdiat că P.! Dfiiţia. Rpartiţia d probabilitat discrtă, dtrmiată d probabilităţil λ P λ,,,,... s umşt rpartiţia lui Poisso d paramtru λ, iar o! variabilă alatoar dscrisă d rpartiţi:... K... (7.. K f : λ λ λ λ λ λ λ......!! K! s umşt rpartiţi alatoar Poisso. Torma. Dacă f st o variabilă alatoar d rpartiţi Poisso, d paramtru λ, atuci, acasta ar valoara mdi M(f λ, disprsia D ( f λ şi fucţia λ caractristică ( ( ϕ t it. λ λ λ λ λ λ λ λ! (! λ λ λ λ ( f M( f ( +!! Dmostraţi: M ( f M ( λ λ λ λ λ λ + λ + λ λ!! [ ] D f Mf Mf λ + λ λ λ d ud ( ( ( λ. + λ, it it λ λ λ ( ( λ it it λ λ λ( ϕ t.!!

8 56 Lgi clasic d probabilitat Rpartiţia hiprgomtrică Să cosidrăm schma bili rvit. Fi U o ură cu a bil alb, b bil gr şi a + b N. Di ură s fac tracţii succsiv fără a pu bila trasă îapoi î ură. Să otăm cu f variabila alatoar car ia ca valori umărul d bil alb tras. Prsupum mi(a, b. Variabila alatoar f poat lua valoril, ud ma(-b, mi(a,. Probabilităţil cu car f ia valoril rspctiv sut: C C (7.3. P ( P( f C a Na,,,...,mi(a, N Dfiiţia 3. Spum că variabila alatoar discrtă f ar o rpartiţi hiprgomtrică dacă distribuţia i st dată pri: (7.3. f: Ca CNa CN Rpartiţia d probabilitat corspuzătoar variabili f s umşt lg d probabilitat hiprgomtrică. Torma 3. Valoara mdi şi disprsia ui variabil alatoar hiprgomtric sut dat pri: M( f p, D ( f pq N, a b ud p iar q a b, + a + b, dci p + q. S obsrvă că o variabilă alatoar hiprgomtrică, dfiită d (5, ar acaşi valoar mdi cu o variabilă alatoar biomială d paramtri şi p, iar disprsiil lor difră. Î cazul variabili alatoar hiprgomtric disprsia st cu atât mai mică cu cât umărul valorilor p car l poat lua variabila alatoar st mai mar. Rpartiţia hiprgomtrică ar u rol importat î cotrolul calităţii produslor. Emplul 4. Fi u lot d d aparat, di car 3% u s îcadrază î limitl d fucţioar admis. Algâd la îtâmplar aparat s cr: a Să s stabilască lga d rpartiţi a variabili alatoar car rprzită umărul d aparat, di cl, car u s îcadrază î limitl d fucţioar. b Să s calculz valoara mdi şi disprsia acsti variabil alatoar.

9 7.4. Rpartiţia uiformă 57 Rzolvar: a Variabila alatoar crută urmază o lg hiprgomtrică, ud a 6, C6C74 b 74,,,,...,. Dci Pf ( şi f st dscrisă d tabloul C f: C6C C.... b Mf ( p a a+ b 6 3, ; D ( f pq N N, Rpartiţia uiformă Dfiiţia 4. Spum că o variabilă alatoar cotiuă f ar o rpartiţi uiformă, p sgmtul [a, b], dacă dsitata i d rpartiţi st dată pri: (7.4. ρ( b a [, ] ptru a b ptru < a, > b Torma 4. a Fucţia d rpartiţi a ui variabil alatoar uiform f, p sgmtul [a, b] st: ( F a b a ptru a ptru a < b ptru > b b Valoara mdi şi disprsia variabili alatoar uiform f, sut dat pri: a b ( b a Mf ( +, D ( f

10 58 Lgi clasic d probabilitat - 7 Dmostraţi: F ( ρ ( tdt. Itgrâd ptru valori al lui ( -,a], (a, b] şi (b, + rzultă prsia lui F(. ρ( ba F( a b a b b a a b Mf ( ρ ( d d b a + ( b a b a ( ( D M( f [ M( f a+ b b a ] d b a b a 7.5. Rpartiţia ormală (Lga d probabilitat Gauss - Laplac Acastă rpartiţi ar u rol fudamtal î toria probabilităţiilor, a stă la baza mtodlor d prlucrar a datlor d măsurar şi ar o importaţă dosbită î statistică. Dfiiţia 5. O variabilă alatoar f cotiuă ar o rpartiţi ormală, d paramtri m şi (sau st supusă ui lgi ormal d probabilitat N (m, dacă dsitata sa d rpartiţi st dată pri: ( m (7.5.. ρ(, m,, R, π

11 7.5. Rpartiţia ormală (lga d probabilitat Gauss - Laplac 59 ud m şi sut paramtri. Rzultă imdiat că fucţia d rpartiţi a ui variabil alatoar ormal st dată pri: (7.5.. F( ( tm dt, R. π Rpartiţia discrtă biomială s apropi d distribuţia ormală, câd umărul problor dvi foart mar. Î statistică, spum că o distribuţi urmază o lg ormală N(m, dacă, scvţl mpiric s apropi d probabilităţil dat pri (7.5.. Următoara tormă prcizază itrprtara paramtrilor m şi di lga ormală N(m,. Torma 5. Dacă f st o variabilă alatoar c s supu lgii ormal N(m,, atuci valoara mdi şi disprsia lui f sut dat pri: M(f m, D ( f Dmostraţi: Să obsrvăm că ρ(, m, îdplişt codiţiil ui dsităţii d rpartiţi ρ( şi ρ( m,, d, ca c rzultă î urma schimbării d variabilă t pri t + m. ( m Mf ( d. Π Î itgrala d mai sus s fctuază schimbara d variabilă t, dată pri m t sau t + m şi s obţi: t t t m M ( f ( t m dt t + dt + dt m π π π.

12 6 Lgi clasic d probabilitat - 7 t Am ţiut sama că t dt, fiid o itgrală ditr-o fucţi impară, t iar dt st itgrala impropri a lui Poisso c ar valoara π. pri: Disprsia variabili alatoar f, d rpartiţi ormală N(m,, s calculază D [ ] ( m ( f M ( f m π şi după fctuara aclaşi schimbări d variabilă s obţi: D ( f t π π t t + t t dt dt π t π ( m d t dt π Am utilizat itgrara pri părţi, cosidrâd fucţiil u(t t şi t vt ( t şi am ţiut sama d itgrala Poisso. Obsrvăm că paramtrii m şi ai rpartiţii ormal N(m, rprzită valoara mdi şi rspctiv disprsia ui variabil alatoar c urmază acastă lg. Î aclaşi timp, fucţia d rpartiţi a ui variabil alatoar ormal st complt dtrmiată d valoara mdi m şi d disprsia. Rprztâd grafic dsitata d rpartiţi ormală, acst grafic ar forma uui clopot, umit clopotul lui Gauss. Ptru difrit valori al lui m şi s obţi difrit curb al dsităţii d rpartiţi ormal. Toat acst curb au îsă următoarl proprităţi: a admit ca asimptotă orizotală aa abscislor, O;

13 7.5. Rpartiţia ormală (lga d probabilitat Gauss - Laplac 6 b admit u puct d maim M m,, ţiâd sama d coordoatl acstui π puct rzultă că clopotul lui Gauss st cu atât mai ascuţit cu cât st mai mic; c sut simtric faţă d paralla la aa Oy, d cuaţi m; d admit două puct d ifliu d abscis m - şi m +. ρ( m,, m - m m + Fi f o variabilă alatoar car s supu lgii ormal Nm, (. Să f m cosidrăm variabila alatoar g. Costatăm imdiat că, Mg ( [ Mf ( m] ; ( D ( g M( g M f mf + m [ Mf ( mmf m ] ( m m m ( + + +, adică variabila alatoar g s supu ui lgi ormal N (,. Dfiiţia 6. Spum că variabila alatoar g ar o rpartiţi ormală rdusă, dacă dsitata sa d rpartiţi s obţi di (7 făcâd m şi, adică ar ca dsitat d rpartiţi fucţia:

14 6 Lgi clasic d probabilitat - 7 (7.5.3 r (. π Fucţia d rpartiţi a ui variabil alatoar ormal rdus st dată pri: u (7.5.4 Φ( r( u du du, π şi a st cuoscută sub uml d fucţia lui Laplac. Să obsrvăm că: u u Φ( du du π π u du Φ(, π dci ar loc: (7.5.4 Φ(- + Φ(. Fi f o variabilă alatoar d rpartiţi ormală Nm (, < b dat. Atuci: b b m Pa ( < f< b ( m d ( ρ,, d. π a a Î urma acliaşi schimbări d variabilă m t ( t s obţi: b m t Pa ( < f< b dt π a m b m a m t t b m a m dt dt Φ Φ π şi umrl ral a

15 7.5. Rpartiţia ormală (lga d probabilitat Gauss - Laplac 63 Dci, chiar dacă variabila alatoar f s supu ui lgi d rpartiţi ormală Nm (, d paramtrii m şi probabilitata P(a < f < b s poat prima cu ajutorul fucţii d rpartiţi corspuzătoar variabili alatoar ormal rdus, fucţia lui Laplac Φ(, motiv ptru car, d obici, valoril i s găssc îrgistrat şi pot fi utilizat ptru dtrmiara probabilităţilor vimtlor lgat d o variabilă alatoar ormală. Fi acum α >, atuci: Pm ( < f< m+ P( f m< α α α α α Φ Φ Să cosidrăm α 3. Obţim: α α α Φ Φ Φ. ( m P f < 3 Φ( 3. Aplâd la valoril fucţii lui Laplac obţim că Φ(3,9987 şi dci, ( m P f < 3, 9987, 9974, ca c susţi afirmaţia că valoril ui variabil alatoar ormal u s abat d la valoara mdi m cu mai mult d 3 sau cu alt cuvit, acst valori s abat d la valoara mdi cu mai mult d 3, cu o probabilitat foart mică ( -,9974,6. Pa ( < m< b P( f m < 3 a m b f m - 3 m m + 3 f Emplul 4. Să cosidrăm u asamblu statistic d valori, rprztâd o caractristică a uui lot d produs (cost, cosum lctric, tc., car sut rpartizat după o lg ormală N (, 64. Luâd la îtâmplar di acst produs, car

16 64 Lgi clasic d probabilitat - 7 st probabilitata d a s abat cu mai mult d 8 uităţi d la valoara omială d? Rzolvar: Să otăm cu f variabila alatoar car ia acst valori şi s supu lgii ormal N(, 64. Trbui să dtrmiăm P(m - < f <m + P( - 8 < f < + 8 Φ( -. Di tablul cu valoril fucţii lui Laplac Φ obţim Φ(,843 şi dci probabilitata căutată st p,686, q - p,374, adică 3,74% d produs s abat cu mai mult d 8 uităţi d la valoara mdi d uităţi. O propritat importată a rpartiţii ormal st dată d faptul că, suma uui umăr fiit d variabil alatoar idpdt d rpartiţi ormală st o variabilă alatoar c s supu acliaşi lgi ormal. Mai act ar loc: Torma 6. Dacă variabill alatoar f şi g sut idpdt şi urmază o lg ormală, atuci f + g urmază d asma o lg ormală. Lga ormală a lui Gauss - Laplac s przită ca limită a altor lgi d probabilitat. Torma 7. Fi ( f λ λ> o famili d variabil alatoar, d distribuţi d probabilitat Poisso cu paramtrul λ >. Atuci fucţia d rpartiţi a variabili fλ λ alatoar gλ tid cătr fucţia d rpartiţi ormală rdusă (cu paramtrii λ şi câd λ tid la. Torma 8. Fi ( f u şir d variabil alatoar d distribuţi biomială, f d paramtri şi p (p u dpid d şi f o variabilă alatoar d distribuţi ormală rdusă. Atuci ar loc f p Pa ( < f< b lim P a < < b pq, ud q - p. Torma d mai sus poartă uml lui Moivr - Laplac şi st u caz particular al Tormi limită ctrală car arată că, fucţia d rpartiţi a ui sum d variabil alatoar idpdt tid, î codiţii dstul d gral, câd umărul trmilor sumi tid la, cătr fucţia d rpartiţi ormală. Ea arată, î aclaşi timp, că putm utiliza, câd st foart mar, rpartiţia ormală rdusă ptru studiul variabillor alatoar distribuit biomial.

17 7.5. Rpartiţia ormală (lga d probabilitat Gauss - Laplac 65 Următoara tormă arată importaţa rpartiţii ormal î prlucrara datlor d măsurar.

18 66 Lgi clasic d probabilitat - 7 Fi a o mărim ptru car s dtrmiă pri măsurători valoril a, a,..., a. Catităţil a a,, s umsc rori accidtal (d măsurar î cl măsurători. Torma 9. (Torma lui Laplac - Gauss. Variabila alatoar car ia ca valori roril accidtal (d măsurar,, urmază o rpartiţi ormală. Emplul 5. Variabila alatoar f car idică roril d măsurar al uui aparat s supu lgii ormal N (, 9. S cr probabilitata ca di tri măsurători idpdt roara să aparţiă cl puţi o dată itrvalului,. 5 Rzolvar: Notăm cu A vimtul a cărui probabilitat st crută. PA ( PA (, PA ( [ P( < f<, 4 ] 3, iar 4, P( < f < 4, ( 8, 3 3 Φ Φ Φ, 5763, 88. S obţi P(A, Rpartiţia Gama Vom przta mai îtâi câtva proprităţi al fucţii gama ( Γ a lui Eulr, car itrvi î rpartiţia cu aclaşi um, cât şi î alt rpartiţii d probabilitat. Ptru > (7.6. Γ( t d paramtrul. Utilizâd critriil d covrgtă ptru astfl d itgral s arată că a st covrgtă ptru oric >. y Dacă facm schimbara d variabilă (t y pri t rzultă Itgrala di mmbrul drpt st o itgrală impropri gralizată dpizâd t dt

19 7.6. Rpartiţia Gama 67 (7.6. Γ( y dy iar ptru cazul particular s obţi y Γ( π dy Sa cosidrăm Γ(+ şi să itgrăm pri părţi, avm : y π Γ( + t t dt t t + t t dt Γ( Dci fucţia Γ(gama vrifică cuaţia fucţioală (7.6.3 Γ ( + Γ(, > Dâd succsiv lui valoril atural :,,3,, şi ţiâd sama că Γ ( rzultă că ptru oric îtrg (7.6.4 Γ (+! Di cl d mai sus rzultă că (7.6.5 ( 3 Γ( + Γ( π Γ şi di aproap î aproap putm calcula Γ ( + ptru oric îtrg. Dfiiţia 7. Spum dspr o variabilă alatoar f ca urmază o rpartiţi gama dacă dsitata i d rpartiţi st data pri - - (7.6.6 ρ(, <, > Γ( ptru < cosidrăm ρ(. Evidt ρ( st o dsitat d rpartiţi : ρ( şi ρ (d Γ( Γ( d Γ( Vom ota pri ( mulţima variabillor alatoar a căror dsitat d probabilitat st fucţia ρ( data mai sus.

20 68 Lgi clasic d probabilitat - 7 O astfl d variabilă alatoar posdă momtl d u ordi oarcar dat pri: ( (7.6.8 M (f + Γ + d ( + ( +...( + Γ ( Γ( Ptru momtl acsta găsim: (7.6.9 m (f M (f [M(f] m (f 3 3 m (f ( + Fucţia caractristică asociată ui variabil alatoar d rpartiţi gama st: ϕf (t Γ( Γ ( +! it + d Γ d(it ( +...( + (it! ( Γ ( (i +! ( it Γ( + (it! Rfritor la opraţii cu variabil alator d rpartiţi gama ar loc. d Torma. Dacă variabill alatoar idpdt sut d rpartiţi gama aparţiâd claslor f (, rspctiv f (, atuci f + f st d rpartiţi gama şi aparţi clasi. ( + Dmostraţi. Fucţia caractristică corspuzătoar variabili alatoar f + f st f+ f (t ( it ( it ( (+ ϕ it, car corspud rpartiţii ( + Următoara tormă stabilşt o rlaţi d lgătură îtr rpartiţia gama şi rpartiţia ormală (Gauss-Laplac Torma. Dacă variabila alatoar f st ormală d paramtrii m şi (f N(m,, atuci variabila alatoar

21 7.7. Rpartiţia Bta 69 (f m (7.6. g st d rpartiti gama şi aparţi clasi ( Dmostraţi. Fi >, atuci fucţia d rpartiţi asociată variabili alator st: f m G( P(g < P({ω Ω : g(ω<ş P( < < f m P( < < du du Γ π v v ( u (am fctuat schimbara d variabilă u v, v, am îlocuit π Γ(. u dv π D aici rzultă că dsitata d rpartiţi asociată variabili alatoar g st dg( ρ g (, adică g ( d Γ(. u 7.7. Rpartiţia Bta Rpartiţia d probabilitat bta st dfiită pri fucţia bta a lui Eulr p q (7.7. B(p, q ( d, p >, q > Pri schimbara d variabilă y, - y, rzultă imdiat că (7.7. B (p,q B(q,p D asma pri schimbara d variablă următoara primar a fucţii bta : p g (7.7.3 B(p, q si θcos θ dθ, π θ, si θ obţim

22 7 Lgi clasic d probabilitat - 7 iar pri schimbara d variabilă y, obţim + y y (7.6.4 B (p,q dy p+ q ( + y Îtr fucţiil lui Eulr bta şi gama s stabilşt următoara rlaţi d lgătură Γ(p Γ(q (7.6.5 B(p, q Γ(p,q Dfiitia 8. Spum dspr o variabilă alatoar f că urmază o rpartiţi d probabilitat bta dacă dsitata sa d probabilitat st d forma: m ( (7.6.6 ρ (, B(m, ud, m >, > Evidt, ρ( st o dsitat d probabilitat doarc ρ( şi m ( d B(m, implică ρ( d. Vom ota β(m, mulţima tuturor variabillor alatoar a căror dsitat d rpartiţi st dată pri rlaţia ( Momtl d ordiul al ui variabil alatoar d rpartiţi β sut: (7.6.7 M Î particular avm : (f B(m, q ( m(m +...(m + (m + (m (m m B(m +, d B(m, m M(f, m + M m(m + (f (m + (m + + (7.6.8 m (f (f M (f [M(f ] m (m + (m + +

23 7.8. Rpartiţia logormală 7 Îtr variabill alatoar d rpartiţi bta şi gama istă următoara rlaţi d lgatură. Torma. Dacă f şi f sut variabil alatoar idpdt d rpartiţi gama f (m si f ( atuci, variabila alatoar f (7.6.9 g f + f urmază o rpartiţi bta d paramtri m si (g β(m,. D asma s poat costrui o variabilă alatoar d rpartiţi bta porid d la variabil alatoar d rpartiţi ormală Torma3. Dacă variabill alatoar idpdt urmază o rpartiţi ormală d paramtrii o si f + f f (7.6. h f + f f + g + g st d distribuţi bta aparţiâd clasi β m,. m ( ( f i, i m, ( g j ; j, atuci variabila alatoar m g 7.8. Rpartiţia logormală Dfiitia 9. O variabilă alatoar f cotiuă ar o rpartiti logormală dacă dsitata sa d rpartiţi st dată pri : (l a (7.8. ρ (,a,, π ud IR +, iar a şi sut valoara mdi şi rspctiv, disprsia logaritmului lui f. Să cosidrăm variabila alatoar (7.8. g (l f a, atuci avm : (7.8.3 a + f g, iar variabila alatoar g st rpartizată dupa lga ormală rdusă ( g N(,

24 7 Lgi clasic d probabilitat - 7 Torma 4. Valoara mdi a ui variabil alatoar logormal f d paramtrii a şi st a+ (7.8.4 M(f, iar disprsia st dată pri a+ ( (7.8.5 D (f. Dmostraţi: ρ (l a M(f (,a, d d. π l a Efctuâd schimbara d variabilă ( u pri u şi fctuâd calcull rzultă valoara mdi dată d (35. D (f ( M(f ρ(,a, d π a+ ( (l Efctuâd acaşi schimbar d variabilă şi calcull rzultă disprsia dată pri (5. Obsrvaţia. ρ(,a, lim ρ(,a, > a d ca c costitui o propritat importată a variabili alatoar logormal câd ar smificaţia timp, propritat c u st îdpliită î cazul ui variabil alatoar ormal. Obsrvaţia. Fi f,f,..., f variabil alatoar d rpartiţi logormală idpdt. Atuci, variabila alatoar produs (7.8.6 g f,f,..., f st o variabilă alatoar logormală. Îtr-advăr f,, fiid d rpartiţi logormală, atuci variabill alatoar lf,, sut d rpartiţi ormală şi folosid propritata d aditivitat a variabillor alatoar idpdt d rpartiţi ormală rzultă că variabila alatoar l g l f st d rpartiţi ormală şi dci g st d rpartiţi logormală.

25 7.9. Rpartiţia studt Rpartiţia Studt Dfiitia. Spum că o variabilă alatoar f ar o rpartiţi Studt cu grad d librtat, dacă dsitata sa d probabilitat st dată pri : + + Γ( (7.9. ρ ( ( + πγ( ud R, * N iar Γ st fucţia lui Eulr d spţa a doua ( Γ(u. Fucţia ρ( dfiită d (38 idplişt codiţiil ui dsităţi d probabilitat: a ρ(, ptru oric R st vizibil. b ρ( d, rzultă di calcul. Îtr-advăr ρ + (d ( d Γ( + πγ( + Γ( + πγ( t + ( + u d, doarc ρ( st o fucţi pară. Efctuâd schimbara d variabila ( y pri y s obţi (+ (+ ( + Γ( Γ(, + Γ( d d ud rzultă că ρ( d. y ( + y dy β(, t dt

26 74 Lgi clasic d probabilitat - 7 Doarc dsitata d rpartiţi a ui variabil alatoar studt st o fucţi pară, valoara mdi şi momtl d ordi impar a ui variabil f rpartizat studt sut zro: M(f, M + (f. Ptru momtl d ordi par s obţi î urma acliaşi schimbări d variabil, utilizat mai sus, rzultatl: (7.9. M (f Γ( + Γ(, < π Γ( Cum 3 3 Γ( + ( (... Γ( ( (... π, Γ ( ( (...( Γ( obţim ptru momtl d ordi par primăril: 3...( (7.9.3 M (f, </ ( ( 4...( iar ptru cazul particular al disprsii avm (7.9.4 D (f m(f M (f Î cotiuar dăm fără dmostraţi următoara tormă car arată lgătura asimptotică ditr rpartiţia studt şi rpartiţia ormală. Torma 5. a Dacă ρ ( st dsitata d rpartiţi studt cu grad d librtat, atuci : (7.9.5 lim ρ ( ρ (,, ud ρ N (,, st dsitata d rpartiţi ormală d paramtri si. b Dacă variabill alatoar idpdt f,f,..,f, f + au ficar o dsitat d rpartiţi ormală d paramtrii si, atuci variabila alatoar (7.9.6 g f N + f ar o distribuţi d probabilitat studt cu grad d librtat.

27 7.. Rpartiţia Hlmrt 75 Î statistică o variabilă alatoar studt cu grad d librtat s mai otază pri t, iar α-cuatila suprioară s otază pri t α, şi a st dtrmiată d rlaţia (7.9.7 P(t > t α α Gomtric α rprzită aria suprafţi cupris îtr aa O, graficul dsităţii d rpartiţi studt, situată la drapta paralli cu Oy d cuaţi t α,.mulţima variabillor alatoar c urmază o rpartiţi d probabilitat Studt cu grad d librtat s otază d obici cu S(. Rpartiţia Studt st utilizată ptru fctuara d tst statistic î vdra vrificării uor ipotz statistic rfritoar la mdiil populaţiilor tc.î cadrul acstor tst dsitata d rpartiţi Studt cu grad d librtat s mai otază cu f(t,, iar valoril i şi al α-cuatili suprioar s găssc tablat (îrgistrat., 7.. Rpartiţia Hlmrt Acastă rpartiţi a fost dscoprită î 876 d cătr Hlmrt şi pusă î valoar d K. Parso cu 3 d ai mai târziu. Ea st u caz particular al rpartiţii gama, obţiâdu-s di acasta ptru a, b Dfiiţia. Spum dspr o variabilă alatoar f că urmază o rpartiţi d probabilitat Hlmrt ( χ d paramtrii si dacă dsitata sa d rpartiţi st dată pri: (7.. ρ( Γ( ptru oric [,, ud st u umăr atural dat, umit umărul gradlor d librtat, iar > st d asma dat. S vrifică uşor că ρ( d.

28 76 Lgi clasic d probabilitat - 7 Vom ota cu H(, mulţima tuturor variabillor alatoar avâd o rpartiţi d probabilitat Hlmrt d paramtrii,. Pri calcul dirct s dduc că fucţia caractristică asociată ui variabil alatoar hi-pătrat st : (7.. ϕ (t ( ti Drivâd succsiv obţim (7..3 dy dt d y 4 i ( + ( ti dt... d dt i ( ti i ( +...( + ( ti. Dâd lui t valoara zro, di rlaţiil d mai sus s obţi momtl d difrit ordi ptru o variabilă alatoar f d rpartiţi hi-pătrat (7..4 dϕ M(f i dt d ϕ M (f ( + i dt t... M (f i t d ϕ dt t iar ptru momtl ctrat s obţi valoril : ( m (f 8 8 m (f ( ( +...( + m (f M (f [M (f ] ,

29 7.. Rpartiţia Hlmrt 77 Cu ajutorul fucţii caractristic asociat rpartiţii Hlmrt s poat arăta că, dacă f st o variabilă alatoar c aparţi clasi H(,atuci variabila alatoar f (7..6 g st asimptotic ormală (N(,, ptru. Să cosidrăm variabill alatoar H(, şi H(, şi fucţiil caractristic corspuzătoar acstora f f ϕ (t ( ti, rspctiv ϕ (t ( ti. Atuci variabila alatoar f f + f va ava fucţia caractristică ϕ(t ϕ ( (t ϕ ti (t ( +, ti ( ti d ud rzultă că f f + f H( +, Următoarl torm furizază modalităţi d a obţi variabil alatoar d rpartiţi H(,. Torma 6. Fi variabill alatoar idpdt f,f,.., f, f + N(,. Atuci variabila alatoar f (7..7 g f + f +,.., + aparţi clasi H(,. aparţiâd clasi Dmostraţi. Fi. Fucţia caractristică a variabili alatoar obţi pri: f j, j s F( P( ω Ω : f j ( ω < P({ ω Ω : t π < f dt. j ( ω < } π t dt

30 78 Lgi clasic d probabilitat - 7 df( d π t D aici rzultă că fucţia caractristică asociată variabili alatoar f j st dată d : ϕ f j (t M( f j ti π ti d Dzvoltâd î sri d putri (Taylor fucţia ti ti (ti!, ţiâd sama d dfiiţia fucţii Γ a lui Eulr şi d prsia srii biomial, î urma uui calcul similar cu cl di dtrmiara fucţii caractristic asociat rpartiţii gama s obţi ϕ f j (t M( f j ti ( ti Fucţia d rpartiţi asociată variabili alatoar f j j g s obţi pri : g itf j M( j j ( ϕ (t M( ti it f j j, M( j ( car st fucţia caractristică corspuzătoar ui variabil alatoar d rpartiţi Hlmrt (g Η(, d paramtrii si. Lga d rpartiţi χ (hi-pătrat cu -grad d librtat s mai otază cu χ, iar α - cuatila suprioară corspuzătoar ui variabil alatoar d rpartiţi χ s otază pri χ, α. Ea s dtrmiă pri rlaţia ti itf j

31 7.. Rpartiţia Hlmrt 79 (7..8 P(χ > χ, α α, α rprzită aria haşurată di figura alăturată şi ptru dtrmiara α-cuatili suprioar χ, α s găssc îrgistrări (tabl cu valoril i î fucţi d α. ρ( α Rpartiţia χ st utilizată frcvt î statistică la ajustara rpartiţiilor statistic rzultat î aaliza statistică.