Prelucrarea numerică a semnalelor, Capitolul 2 2. SINTEZA FILTRELOR NUMERICE

Transcript

1 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia. SITEZA FILTRELOR UMERICE roictara uui filtru umric prsupu parcurgra următoarlor tap : - Sita fucţii d trasfr c satisfac codiţiil impus; - Algra ui structuri car raliaă acastă fucţi d trasfr. Raliara sa va prsupu cuatiara coficiţilor la u umăr fiit d biţi si fctuara opraţiilor aritmtic cu o prcii fiită; - Evaluara fctlor grat d formatl fiit d rprtar a smallor si coficiţilor posibilitata dpăşirii capacităţii rgistrlor, limiara pri scalar a acsti posibilităţi, stabilira dfiitivă a formatlor d rprtar, gomotul d cuatiar datorat opraţiilor aritmtic, oscilaţii datorat formatlor fiit d rprtar.. Sita fucţii d trasfr ptru filtr RFI.. roprităţi gral al filtrlor RFI Sut caractriat pritr-o cuaţi cu difrţ fiit d forma : Rultă o fucţi d podr y ak k k k x k a δ k.. dci a,,.3,i rst Fucţia d trasfr st pri urmar Z { } k a k k.4 Filtrl RFI s caractriaă dci pritr-o fucţi d trasfr poliomială, î. S spu că filtrul st d lugim lugima suportului fucţii podr sau d ordi -. vom rfri î cl c urmaă la caul frcvt îtâlit câd { a } R coficiţii filtrului sut rali. Î acst ca, rouril fucţii vor fi ral, sau prci complx cougat. Există u sigur pol, d ordiul -, î origi, fctul sau

2 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia apărâd umai î îtârira itrodusă d filtru. O cosciţă imdiată st că u filtru RFI st stabil, oricar ar fi coficiţii a. Să vdm c fct ar u ul al fucţii d trasfr asupra caractristicilor d frcvţă. Vom cosidra o fucţi d trasfr cu u sigur ul; θ r, r ; >.5 Î domiul frcvţă ϕ θ r.6 θ r r r cos θ r si θ tg ϕ r cos θ Valoril xtrm al modulului sut : max r mi r S costată xistţa uui miim, ptru o frcvţă ormată θ. Acst miim st ciar ro, daca ulul s află p crcul uitar r. Itrprtara gomtrică a acsti obsrvaţii rulta di Fig.. Im - r R Fig. Î gral, miimul va fi cu atât mai prouţat cu cât ulul s află mai aproap d crcul d raă uitat. Existţa mai multor rouri fac ca fctl acstora să itracţio. Ca urmar, st posibil ca ul rouri, situat mai aproap d ctrul crcului uitar, să u mai gr miim, iar miiml să apară la frcvţ difrit d argumtl ulurilor.

3 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia ' θ S poat simplu arăta că fctul uui ul ar asupra caractristicii r θ amplitudi frcvţă, aclaşi fct c şi ulul r, cu xcpţia uui factor d scară. Îtr-advăr, r θ r r cos θ. r r O fucţi d trasfr d tip RFI avâd toat rouril î itriorul crcului d raă uitat s umşt fucţi d faa miimă. tru a ustifica acastă dumir, putm lua ca xmplu r r cos r si. Argumtul faa fucţii d mai sus rultă di rlaţiil : siϕ r si r r cos cosϕ r cos r r cos. S obsrvă ca r, r < cosϕ.3 r, r > aşa îcât ϕ, ptru r < şi ϕ ptru r >. Curbl rspctiv sut dat i Fig., d ud s vd o variaţi i limit mai largi a fai i caul r > ul î afara crcului uitar dcât i caul r <. ϕ r > r < Fig. 3

4 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia O fucţi d trasfr cu toat rouril i afara crcului d raă uitat s va umi d faa maximă. O propritat rmarcabilă a filtrlor RFI, îtâlită i caul filtrlor aalogic cu costat coctrat, costă i posibilitata raliării uor filtr cu faă absolut liiară. ată fiid importaţa acstui tip d filtr, vom coctra atţia asupra lor.... Filtr cu faă liiară Fucţia d trasfr poat fi scrisă sub forma ϕ.4 Trcril pri ro al fucţii d trasfr coduc la salturi d faă d, aşa îcât ϕ ar discotiuităţi i acst puct. i acst motiv vom prfra o alta formă: î car θ θ ±.5 st o fucţi rală, poitivă sau gativă, umită fucţi d faa ulă, iar θ st o fucţi cotiuă. orim sa raliăm u filtru avâd u timp d îtârir d grup costat î toată bada d frcvţ [, ]. Sut posibil două variat : A. Caractristica d faa st liiara, cu trcr pri origi, θ.6 aşa îcât timpul d îtârir d grup ormat st dθ t g.7 d Acasta coduc la.8 Vom gala părţil ral şi imagiar : si si aşa îcât cos cos.9 4

5 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia si si tg. cos cos acă am impu ca faa să fi ulă,, ar rulta si, ptru [, ]. ca c coduc la,,...,. şi fucţia d trasfr s-ar rduc la costata. Excludm dci acastă situaţi si rămâ : cos si si cos.3 sau si.4 S poat uşor vrifica faptul ca rlaţia d mai sus st îdpliită dacă : şi.5,,,...,.6 Îtr-advăr, iolâd oric prc d trmi ai sumi.4 simtrici î raport cu ctrul sumi, obţim si si acă st impar, mai rămâ u trm ctral, si rima di cl două codiţii,.5, arată că ptru u dat, valoara timpului d îtârir d grup ptru u asma filtru st bi dtrmiată. Ea st gală cu u umăr îtrg d prioad d şatioar ptru filtr d lugimi impar, şi u umăr îtrg d smiprioad, ptru lugimi par. 5

6 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia A doua codiţi,.6, impu o simtri a coficiţilor i raport cu ctrul scvţi. Î figuril 3 şi 4 sut dat xmpl ptru impar şi par. axa d simtri 7 axa d simtri Fig. 3 Fig. 4 B. Caractristica d faă st o draptă car u mai trc pri origi: θ β.7 aşa îcât şi î acst ca timpul d îtârir d grup ormat st costat t.8 Î mod asmăător ca i caul A, s poat arăta că acasta implică : g β,.9 Costatăm că d acastă dată fucţia podr trbui să fi atisimtrică. ouă asma xmpl sut dat î figuril 5 şi 6. axa d simtri axa d simtri Fig.5 Fig.6 6

7 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia Î cosciţă, filtrl RFI cu faa liiară s pot clasifica î 4 catgorii, după cum urmaă:. Fucţi d podr simtrică,, lugim impara, ;. Fucţi d podr simtrică,, lugim pară, ; 3. Fucţi d podr atisimtrică,, lugim impară, ; 4. Fucţi d podr atisimtrică,, lugim pară,. Ficar di acst 4 tipuri d filtr ar caractristici spcific, car îl rcomadă sau u ptru o aumită aplicaţi. Est, i cosciţă, util să aaliăm sparat fucţiil d trasfr corspuătoar. Filtr RFI cu faă liiară d tipul Î acst ca,, dci timpul d îtârir d grup ormat st şi ar loc rlaţia:,,...,.3 Fucţia d trasfr s scri :.3 Î ultima sumă, p car o vom ota cu S, facm o scimbar a idiclui d îsumar car să prmită valorificara rlaţii d simtri : m S obţi : S m m m Îlocuid şi scoţâd i factor trmul d faă liiară, S grupaă cl două sum şi s obţi.3.33 cos.34 Î acastă rlaţi s fac scimbara idiclui d îsumar, m şi rămâ : mcos m.35 m Catitata di parată rprită vidt fucţia d faă ulă, car poat fi scrisă mai compact : a' cos ud coficiţii a' sut daţi d rlaţia :.36 7

8 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia.37,,...,, ' a Fucţia d trasfr î asamblu st.38 Filtr RFI cu faă liiară d tipul oarc î acst ca, rlaţia d simtri dvi, iar timpul d îtârir d grup ormat st Fucţia d trasfr st:.39 Î ultima sumă, p car o vom ota cu S vom fac o scimbar d idic d îsumar car să prmită utiliara rlaţii d simtri, m.4 m m m S Îlocuid i xprsia fucţii d trasfr s obţi succsiv: cos.4 Evidt, suma rprită fucţia d faă ulă si vom mai fctua îcă o scimbar d idic d îsumar, după car rultă m m m m cos.4 sau b cos '.43 ud b,...,, '.44 şi î fial.45 Filtr RFI cu faă liiară d tipul 3 8

9 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia Î acst ca,, si. rocdâd asmăător ca i cauril prcdt, s găsşt ud şi c' si.46 c ',,..., Filtr RFI cu faă liiară d tipul 4 ud şi acastă dată,, aşa îcât. S găsşt d' si.49 d ',,...,.5.5 Obsrvaţii Rstricţii privid poiţiil rourilor tru oricar di cl 4 tipuri d filtr putm scri : sau ţiâd sama d codiţia d simtri/atisimtri... ± d altă part, valuâd xprsia costatăm că ± 3 3 ±... ± ± ± ±.5 Cocluia imdiată st că dacă i st u ul al fucţii d trasfr, i va fi d asma ul. O cosciţă imdiată o costitui faptul ca filtrl cu faa liiară u pot fi î aclaşi timp filtr d faă miimă sau d faă maximă. ϕ Î caul frcvt îtâlit al filtrlor cu coficiţi rali, daca i i ri st u ul, vor mai fi d asma uluri şi : ϕi i* ri ; ϕi i ϕ ; i i * r r vi Fig.7. 9

10 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia Existţa uui asma ul coduc dci la u factor d ordiul 4 î fucţia d trasfr, d forma ϕi ϕi ϕi ϕ r i i ri.53 r r Im i i - R i i Fig. 7 Apar următoarl situaţii particular: ϕ. acă r, ϕ,, ulul s află p crcul uitar, i i. Î acst ca va mai apar u ro, i i * i ϕi. Cllalt două rouri, obţiut pri ivrsara primlor două, ϕ * * Fig. 8. Î cosciţă, rămâ doar două uluri, car graă u factor d gradul doi i fucţia d trasfr : s cofudă cu acsta : i i i, i i ϕ ϕ.54 i * i ϕ i ϕ i * i i Fig. 8. acă ϕ i, dci xistă u ro ral, i ri, va mai xista implicit şi i ri Acştia graă d asma u factor d ordiul doi i fucţia d trasfr Fig. 9..

11 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia i i ri ri Fig Î fi, î caul ri si ϕ i sau ϕi, dci i ±, roul st gal şi cu ivrsul şi cu complx cougatul său. El graă u factor d ordiul uu Fig., i i i i Fig. i i i i Fig. Rstricţii i comportara i domiul frcvţă. I caul xprsia găsită ptru u prsupu rstricţii spcial privid comportara i domiul frcvţă, aşa îcât poat fi utiliat ptru raliara filtrlor trc os FTJ, trc sus FTS, trc badă FTB, oprşt badă FOB. S rmarcă î plus că st fucţi pară. I caul, s obsrvă imdiat ca, dci fucţia d trasfr ar u ul la. Acasta îsamă u ul la frcvt îalt, aşa îcât acst tip d filtru u

12 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia poat fi folosit ptru raliara FTS, FOB, dar poat fi folosit ptru FTJ si FTB. Şi î acst ca st fucţi pară. I caul 3, s costată că şi, ca c implică rouri al lui ptru ±. Caractristica d frcvţă prită rouri atât la frcvt oas cât si îalt, dci u poat fi utiliat ptru FTJ, FTS, FOB. oat fi utiliat ptru FTB. S st fucţi impară d costată d asma că Fucţiil d tipul 4 au vidt, dci. Frcvţl oas sut rctat, dci acst tip u poat fi folosit ptru raliara d FTJ, st fucţi st u ul al fucţii FOB. El poat fi utiliat ptru a ralia FTS sau FTB. Si i acst ca, impară d. aritata fucţii trbui avută î vdr i raliara uor catgorii d filtr. xmplu difrţiatorul idal si trasformatorul ilbrt csită o fucţi impară, ca c prsupu utiliara tipurilor 3 sau 4. Tipul : fucţi pară şi simtrică faţă d Tipul 3: fucţi impară şi atisimtrică faţă d Tipul : fucţi pară şi atisimtrică faţă d Tipul 4: fucţi impară şi simtrică faţă d Tablul. Simtria fucţii d faă ulă ptru cl 4 tipuri d filtr

13 Tip Lugim Scvţa θ simtrică impar a cos Zrouri obligatorii, S pot proicta fără costrâgri fără costrâgri FTJ FTS FTB FOB u s pot proicta tr. ilbrt difrţiator par simtrică b cos fără costrâgri FTJ FTB FTS, FOB tr. ilbrt difrţiator 3 impar atisimtrică c si FTB tr. ilbrt difrţiator FTJ FTS FOB 4 par atisimtrică d si fără costrâgri FTS FTB tr. ilbrt difrţiator FTJ FOB

14 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia..3. Mtod d sita a fucţiilor d trasfr ptru filtr RFI Vom prta i cotiuar 4 mtod d sită a fucţiilor d trasfr.. Mtoda frstrlor.. Mtoda şatioării i domiul frcvţă. 3. Mtodă baată p miimiara rorii maxim. 4. Mtodă baată p miimiara rorii pătratic î ssul clor mai mici pătrat Mtoda frstrlor Fi fucţia d trasfr dorită d. Evidt, acasta trbui să fi o fucţi priodică i cu prioada şi s poat dvolta itr-o sri Fourir : ud d d d d d.55 d altă part, filtrul umric RFI ar o fucţi d trasfr d forma.56 orid d la obsrvaţia că trmii clor două sum rprtâd fucţia dorita şi fucţia d trasfr a filtrului sut d acaşi formă, s poat ralia o idtificar a uui umăr fiit d trmi, d,,...,.57 Acasta st civaltă cu o trucir a srii d ptru a o puta idtifica cu suma fiită. Frcvt, s dorşt u filtru cu o caractristică d faă liiară şi cu o caractristică amplitudi frcvţă impusă. Vom prsupu dată şi lugima d cl puţi aproximativă a filtrului. ciia asupra tipului d filtru als s ia avâd î vdr rstricţiil prt mai îait. Îtr-o sită cu coficiţi rali, d îdplişt codiţia d paritat:.58 d Î cauril si, st fucţi pară şi s poat lua d d, [, ].59 car s compltaă cu factorul d faă d d.6 d 4

15 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia Î caul filtrlor d tip 3 sau 4, st o fucţi impară d, aşa îcât s poat lua : d,, ] d d, [,.6 Evidt, opţiua ptru acst tipuri st ustificată umai dacă compltaă apoi cu trmul d faă liiară, d d d.6. S upă stabilira lui d s fac dscompura î sri Fourir, avâd ca rultat scvţa ifiită d,,...,. Î fial, s dtrmiă coficiţii filtrului sittiat cu d,,,.63 Acastă trucir a srii Fourir st civaltă cu o îmulţir a srii cu o frastră tmporală, w, d w.64 cu propritata w, ptru [, ].65 Est d aştptat ca trucira srii sa coducă la aumit fct asupra caractristicilor raliat. tru a pu i vidţă acst fapt vom itroduc trasformatl Z Z{ d } d şi Z{ w } Îmulţira scvţlor ar drpt fct covoluţia i plaul Z, dci d w d.66 ci fucţia d trasfr a filtrului obţiut st d v v dv v C.67 u C v C v { } Făcâd scimbara d variabilă v si trcâd p crcul uitar, ptru a obţi caractristicil d frcvţă obţim d u u u du.68 car vidt u coicid i gral cu d. I caul siti filtrlor cu faă liiară, fucţia frastră va trbui să îdpliască codiţia d simtri w w.69 5

16 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia dci s poat scri.7 Fig. Aşa cum s va vda i cotiuar, ptru frstrl uual, caractristicil amplitudi frcvţă au u lob pricipal, ctrat p si u umăr lobi scudari, cu o tdiţă grala d dscrştr Fig. d Fig. Efctul produs asupra caractristicii obţiut cuoscut sub uml d fct Gibbs s poat costata î spcial i ol d traiţi rapidă. Î figura st luat xmplul uui filtru trc os idal caractristica dorită. S costată apariţia a două fom : - Apar o badă d traiţi d lărgim fiită îtr bada d trcr si ca d oprir i caul filtrului idal, lărgima acsti bi ra ulă. S poat arăta că lărgima acsti bi st cu atât mai mar cu cât st mai mar lărgima lobului pricipal al spctrului frstri. - Apar işt odulaţii ripluri, atât î bada d trcr cât şi î ca d oprir, cu amplitudii mai mari i apropira traiţiilor. S poat arăta că amplitudia acstora şi vita lor d scădr st dtrmiată d amplitudia şi vita d scădr a lobilor scudari ai spctrului frstri. 6

17 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia Î coclui, ptru a ava o bada d traiţi cât mai mică şi odulaţii cât mai rdus, fucţia frastra utiliată ar trbui sa aibă u lob pricipal cât mai îgust şi lobi scudari cât mai mici. La limită, codiţiil acsta ar fi îdpliit d δ, ca c ar coduc vidt la d Acst rultat u ar îsă valoar practică, doarc i acst ca w cost., ptru oric, dci lipsşt frastra. Obsrvaţiil d mai sus coduc la o modalitat d spcificar a gabaritului impus ptru câştigul sau atuara filtrului. Sa cosidram tot caul uui FTJ Figura 3 S pot prcia : - limita suprioară a bii d trcr, t ; - odulaţia maximă roara i bada d trcr, δ t ; - limita ifrioară a bii d oprir b ; - odulaţia maximă roara i bada d oprir blocar, δ b. Evidt, acst mod d dfiir prsupu ca : δ ptru, Oricar di acst ripluri s poat xprima i db t [ t ] [, ] δ b ptru b.7 δ δ t t Fig. 3 δ b t b S mai poat idica, i loc d δ t, abatra maximă a atuării i bada d trcr : δ t Δ a t lg δ t lg δ t lg db.7 δ Asmăător, i loc d δ b s poat spcifica atuara miimă î bada d oprir : Δ ab lgδ b db.73 i multitudia d fucţii frastră propus î litratură, vom prta î cotiuar câtva car sut cl mai frcvt folosit. t 7

18 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia Frastra drptugiulară S dfişt pri :, [, ] w.74, i rst şi st rprtată î figura 4. w Fig. 4 Trasformata st :.75 iar spctrul dat d si.76 si Cum ra d aştptat, avâd i vdr rlaţia d simtri w w, apar si aici trmul d faa ulă si.77 si Modulul spctrului, st rprtat, ptru 8 i Fig. 5 8

19 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia Fig. 5 Rmarcăm următoarl puct caractristic : - tru k s obţi maxim pricipal gal cu ; - tru, dci r, dar r m, s obţi aulări; - Îtr două rouri succsiv apar cât u maxim scudar; rouril dlimitaă lobii scudari; - Să facm o valuar a amplitudiii primului lob scudar. Vom prsupu suficit d mar, aşa îcât si variaă mult mai rpd dcât si. Maximul i modul s obţi câd si ±. rima frcvţă la car st îdpliită 3 acastă codiţi, st dci. Să valuăm raportul îtr amplitudia acstui lob şi aca a lobului pricipal. 3, sau -3dB. Acastă valoar s-a obţiut ptru suficit d mar. La valori mici al lui, poat rulta o valoar cva mai mar a lobului scudar, dar p măsura c crşt, acasta u mai dpid d, îcât poat fi cosidrată practic costată. Valoara raportului d mai sus, xprimată î dcibli, st rprtată î figura 6, ptru 9. Î caractristica rultată a filtrului sittiat, vor rulta odulaţii cu amplitudia maximă d circa 9% - db di amplitudia traiţii. 9

20 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia db frcvta ormata Frstrl ammig Fig. 6 S dfisc pri rlaţia : cos w,, [, ] i rst.79 Est d fapt o famili d frstr, cu paramtrul. tru, 54 s obţi frastra ammig propriu-isa, iar ptru, 5 s obţi frastra a dsori, i mod impropriu umită aig.9.8 w Fig. 7

21 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia Aspctul scvţi st sugrat î Fig 7, ptru 45. Eşatioal d la capt primul si ultimul au valoara w w w cos tru lugimi mari, w w valoar apropiată d ptru 5,. Trmul ctral dacă xistă, dci dacă impar ar valoara w Cădra abruptă la xtrmităţil frstri st îlocuită cu ua mai ltă, avâd drpt fct, p d o part lărgima lobului pricipal al spctrului, iar p d alta part, rducra importată a lobilor latrali. Să ustificăm pritr-u calcul acst afirmaţii. w poat fi scris w w w w.8 tru valuara spctrului vom utilia torml liiarităţii şi dplasării :.8 ud st spctrul frstri drptugiular: si si,.8 Î cosciţă :.83 dar aşa îcât.84

22 rlucrara umrică a smallor, Capitolul Silviu Ciocia Î faţa parati s-a obţiut trmul d faă liiară, aşa îcât catitata di parată rprită fucţia d faă ulă.85 Acasta fucţi st rprtată î Figura 8, cu lii cotiuă. Î acaşi figură, sut rprtaţi cu lii puctată, ci tri trmi ai sumi di rlaţia.85. S costată : 8 - o dublar a lăţimii lobului pricipal faţă d caul frstri drptugiular 4 - î caul frstri ammig propriu-isă mai apar o aular a spctrului îtr 6 şi, car fac ca pricipalul lob scudar sa aibă o valoar foart rdusa circa 4dB faţă d lobul pricipal. Spctrul rprtat î figura 9, ptru 9. Acasta va coduc la odulaţii al caractristicii d amplitudi a filtrului raliat c u dpăşsc -54dB di amplitudia saltului. 4 6 Fig. 8

23 rlucrara umrică a smallor, Capitolul - db Silviu Ciocia frcvta ormata Fig. 9 - î caul, 5 frastra a, amplitudia clui mai mar lob scudar st d circa -3dB di aca a lobului pricipal. Spctrul st rprtat î figura, ptru 9. Odulaţiil caractristicii d frcvţă sut d circa 44 db di amplitudia traiţii. db frcvta ormata Fig. 3