ΧΡΗΜΑ, ΕΙΣΟ ΗΜΑ, ΠΡΟΣ ΟΚΙΕΣ ΚΑΙ Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΤΗ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤ/ΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ ΥΠ. Ι ΑΚΤΟΡΑΣ: ΚΑΡΠΕΤΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ : ΑΝ. ΚΑΘ. ΒΑΡΕΛΑΣ ΕΡΩΤΟΚΡΙΤΟΣ ΘΕΜΑ ΙΑΤΡΙΒΗΣ : ΧΡΗΜΑ, ΕΙΣΟ ΗΜΑ, ΠΡΟΣ ΟΚΙΕΣ ΚΑΙ Η ΑΡΧΗ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΗ ΕΠΙΤΑΧΥΝΤΗ j Hj,L ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ //5

2 Πίνακας Συµβόων C C e j e θ i Ι k j i Το ύψος των κρατικών απανών Ο συντεεστής επηρεασµού των επενύσεων από την προσοκώµενη επιτοκιακή µεταβοή Η ορίζουσα Cori. Το ύψος της ιιωτικής κατανάωσης Η οριακή και µέση ροπή προς κατανάωση Ο συντεεστής προσαρµοής στα παίσια του µηχανισµού των αναθεωρού- µενων προσοκιών Ο συντεεστής επηρεασµού της ζήτησης χρήµατος από µεταβοές του εισοήµατος Ο συντεεστής επηρεασµού της ζήτησης χρήµατος από την προσοκώµενη επιτοκιακή µεταβοή Η προσοκώµενη επιτοκιακή µεταβοή µεταξύ της τρέχουσας και της προηούµενης περιόου Η επιτοκιακή ιαορά που προσιορίζεται στα παίσια του µηχανισµού των παινροµικών προσοκιών, όταν η οικονοµία βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας Η επιτοκιακή ιαορά που προσιορίζεται όταν η οικονοµία βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας και οι προσοκίες ιαµορώνονται βάσει του µηχανισµού j όπου j e,, r Το σάµα πρόβεψης στα παίσια του µηχανισµού των ορθοοικών προσοκιών Ο συντεεστής προσαρµοής στα παίσια του µηχανισµού των παινροµικών προσοκιών i, Το ύψος των ιιωτικών επενύσεων Το πραµατικό µέρος των χαρακτηριστικών ριζών στα παίσια των αναπτυχθέντων υποειµάτων j e,,, r Οι ρίζες των χαρακτηριστικών εξισώσεων στα παίσια των αναπτυχθέντων υποειµάτων i,, Ο ιαχρονικά σταθερός ρυθµός αύξησης της προσοράς χρήµατος Μ Η ποσότητα του χρήµατος κατά την περίοο Το ύψος της προσοράς χρήµατος Το ύψος της ζήτησης χρήµατος r Η ζήτηση χρήµατος ια συναακτικούς σκοπούς και σκοπούς προύαξης p Η ζήτηση χρήµατος ια κεροσκοπία

3 Πίνακας Συµβόων Συνέχεια n j Π R j R Το ανταστικό µέρος των χαρακτηριστικών ριζών στα παίσια των αναπτυχθέντων υποειµάτων j e,,, r Το σύνοο των ιαθέσιµων πηροοριών κατά την περίοο Η απόυτη τιµή των µιαικών χαρακτηριστικών ριζών στα παίσια των αναπτυχθέντων υποειµάτων j e,,, r Το ύψος του επιτοκίου * R Το σύνοο των πραµατικών θετικών και µη µηενικών αριθµών Ο επιταχυντής Το ύψος του εισοήµατος και η ενική ύση µίας εξίσωσης ιαορών p j Η συµπηρωµατική ύση µίας εξίσωσης ιαορών Η µερική ύση µίας εξίσωσης ιαορών Το εισόηµα ισορροπίας που εξειικεύεται στα παίσια των ιαορετικών υποειµάτων j e,,, r Το εισόηµα ισορροπίας στο αρχικό υπόειµα του Selon Το εισόηµα ισορροπίας στα παίσια του µηχανισµού των παινροµικών προσοκιών, όταν η επιτοκιακή ιαορά ισορροπίας είναι συνάρτηση του χρόνου

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σεία. Εισαωή Το υπόειµα οικονοµικών κύκων του Selon Η ιαρθρωτική µορή του ιευρυµένου υποείµατος.... Οι µηχανισµοί ιαµόρωσης των προσοκιών Η επίραση του µηχανισµού ιαµόρωσης των προσοκιών στη ύση του υποείµατος Εξαωή της βασικής εξίσωσης ιαορών του υποείµατος στα παίσια του µηχανισµού των αναθεωρούµενων προσοκιών. 5.. Προσιορισµός της συµπηρωµατικής ύσης υπό καθεστώς αναθεωρούµενων προσοκιών 5.. Προσιορισµός της µερικής ύσης υπό καθεστώς αναθεωρού- µενων προσοκιών Συνθήκες ευστάθειας και προσιορισµός της ενικής ύσης υπό καθεστώς αναθεωρούµενων προσοκιών Η ιαχρονική πορεία του εισοήµατος Επηρεασµός του επιπέου του εισοήµατος ισορροπίας από µεταβοές των σταθερών που το συνιστούν Επηρεασµός των υναµικών ιιοτήτων του υποείµατος από µεταβοές των τιµών των παραµέτρων του Εξαωή της βασικής εξίσωσης ιαορών του υποείµατος στα παίσια του µηχανισµού των στατικών προσοκιών Προσιορισµός της συµπηρωµατικής ύσης υπό καθεστώς στατικών προσοκιών Προσιορισµός της µερικής ύσης στα παίσια του µηχανισµού των στατικών προσοκιών Επηρεασµός του επιπέου του εισοήµατος ισορροπίας από µεταβοές των συνιστωσών παραµέτρων του Συνθήκες ευστάθειας και προσιορισµός της ενικής ύσης υπό καθεστώς στατικών προσοκιών. 5. Εξαωή της βασικής εξίσωσης ιαορών του υποείµατος στα παίσια του µηχανισµού των παινροµικών προσοκιών Προσιορισµός της συµπηρωµατικής ύσης στα παίσια του µηχανισµού των παινροµικών προσοκιών Προσιορισµός της µερικής ύσης στα παίσια του µηχανισµού των παινροµικών προσοκιών...

5 Σεία 5.. Επηρεασµός του εισοήµατος ισορροπίας από µεταβοές των συνιστωσών παραµέτρων του Προσιορισµός της ενικής ύσης του υποείµατος υπό καθεστώς παινροµικών προσοκιών και ιερεύνηση της ευστάθείας του Εξαωή της βασικής εξίσωσης ιαορών του υποείµατος στα παίσια του µηχανισµού των ορθοοικών προσοκιών Προσιορισµός της ενικής ύσης και ιερεύνηση των υναµικών ιιοτήτων του υποείµατος στα παίσια του µηχανισµού των ορθοοικών προσοκιών Θεµείωση των θεωρητικών συµπερασµάτων της ανάυσής µας µε τη χρήση της µεθόου της προσοµοίωσης 8 6. Αποτεέσµατα της ιαικασίας προσοµοίωσης στα παίσια του µηχανισµού των αναθεωρούµενων προσοκιών Αποτεέσµατα της ιαικασίας προσοµοίωσης στα παίσια του µηχανισµού των στατικών προσοκιών Αποτεέσµατα της ιαικασίας προσοµοίωσης στα παίσια του µηχανισµού των ορθοοικών προσοκιών Αποτεέσµατα της ιαικασίας προσοµοίωσης στα παίσια του µηχανισµού των παινροµικών προσοκιών Συµπεράσµατα Παράρτηµα Α.. 8 Παράρτηµα Β.. Παράρτηµα Γ.. 5 Παράρτηµα.. 9 Παράρτηµα Ε.. Παράρτηµα ΣΤ... 9 Παράρτηµα Ζ Παράρτηµα Η.. 6 Παράρτηµα Θ.. 66 Βιβιοραία.. 7

6 . Εισαωή Η ταάντωση της τιµής του πραµατικού εισοήµατος ύρω από την τάση του, ύρω ηαή από την τιµή ισορροπίας του, αποτέεσε από πού νωρίς αντικείµενο έρευνας. Εάν επιχειρούσε κανείς µία σύντοµη ιστορική αναροµή, θα ιαπίστωνε ότι η έννοια της υναµικής προσέισης της οικονοµίας προς την κατάσταση ισορροπίας της, εισήχθη ια πρώτη ορά το 776 από τον A Sih στο βιβίο του «Ο Πούτος των Εθνών». Η θεωρία των κυκικών ιακυµάνσεων θεµειώθηκε την περίοο Μεάη ήταν η συµβοή των Tooke και Oerone οι οποίοι και εισήααν ια πρώτη ορά στην οικονοµική οροοία τις έννοιες του «κύκου» και της «περιόου του κύκου», ενώ στην ανάυσή τους ίνεται ιιαίτερη έµαση στο ρόο των πιστώσεων στη ηµιουρία των άσεων των κύκων. Ο Krl rx ίσως ήταν ο πρώτος που ιατύπωσε µια οοκηρωµένη θεωρία οικονοµικής µεέθυνσης και κυκικών ιακυµάνσεων. Στα παίσια της θεωρίας του ιατυπώνεται η έννοια της πτωτικής τάσης του ποσοστού του κέρους, η οποία και αποτεεί κεντρικό στοιχείο της ανάυσής του. Επιπροσθέτως, η καπιταιστική εξέιξη περιράεται ως µία ηµιτονοειή ιαικασία, στα παίσια της οποίας οι οικονοµικές υέσεις ίνονται ιαχρονικά εντονότερες και οηούν στην οικονοµική κατάρρευση. Μία σηµαντική περίοος ια την ανάυση των οικονοµικών ιακυµάνσεων είναι και εκείνη που εκτείνεται µεταξύ των ετών 87 και 9. Ενεικτικά αναέρεται η εξειίκευση της περιοικότητας του κύκου από τον Jglr 86, µέσα από την οπτική ανάυση του ραήµατος των χρονοσειρών, η ιαπίστωση από τους Tgn Brnoky και από τον A. Spiehoff ότι οι κύκοι αµβάνουν σχεόν αποκειστικά χώρα στα παίσια των επενύσεων σε πάιο και µηχανοοικό εξοπισµό, καθώς και η έµαση που όθηκε από τους A. Afelion και J.. Clrk στην αρχή του επιταχυντή ως µηχανισµού εξήησης των πάιων επενύσεων. Στην ίια περίοο τοποθετείται και η ιαµόρωση νοµισµατικών θεωριών στα παίσια των οποίων πραµατοποιείται µία ιάκριση ανάµεσα στις έννοιες του «πραµατικού» επιτοκίου, ηαή της αµοιβής του υσικού κεααίου, και του «νοµισµατικού» επιτοκίου των χρηµατοοικονοµικών στοιχείων, µέσω της οποίας επιχειρείται η ικαιοόηση του αινοµένου των κυκικών ιακυµάνσεων στις επενύσεις. Η ηµοσίευση το 96 από τoν J.. Keyne του βιβίου µε τίτο Generl Theory of Eployen, Ine n oney, σηµατοοτεί την έναρξη µίας νέας περιόου ια την Μακροοικονοµική Ανάυση. Στα παίσια του συκεκριµένου έρου ο Keyne οµεί ένα υπόειµα ανισορροπίας iqiliri oel ιαιρώντας, ια πρώτη ορά, την οικονοµία σε ύο τοµείς. Στην προσπάθειά του να εξηήσει το αινόµενο των οικονοµικών κύκων, ο Keyne κινείται στα παίσια της παράοσης των θεωριών των επιχειρηµατικών κύκων και θεωρεί ότι οι επιχειρήσεις αµβάνουν υπόψη το ύψος των αποθεµάτων τους και τις βραχυχρόνιες προσοκίες τους αναορικά µε το ύψος της ζήτησης, προκειµένου να καθορίσουν το ύψος της παραωής Για µία αναυτικότερη παρουσίαση της ιστορικής ιαροµής της θεωρίας των Επιχειρηµατικών Κύκων, ο ανανώστης παραπέµπεται στο βιβίο του Hillinger C. 99, CCLICAL GROWTH in rke n Plnne Eonoie, Oxfor Clnon P, pp. 5 καθώς και στα άρθρα των Fiher S. 988, Reen Deelopen in roeonoi, The Eonoi Jornl, 98, 9, pp. 9 9, Fiher S.; Genwl B.C.; Hll R.E. & Sigliz J.E. 988, Exining Alernie roeonoi Theorie, Brooking Pper on Eonoi Aiiy, ol. 988, No, pp. 7 7 και Zrnowiz V. 985, Reen Work on Bine Cyle in Hioril Perpeie: A Reiew of Theorie n Eiene, Jornl of Eonoi Lier,,, pp

7 τους. Επιπρόσθετα ο Keyne θεωρεί ότι οι επιχειρηµατικές αποάσεις αναορικά µε το ύψος των πάιων επενύσεων, εξαρτώνται από τη σχέση µεταξύ του κόστους και της µακροπρόθεσµης προσοκώµενης απόοσης του κεααίου, µε το κόστος του κεααίου να εξαρτάται από την τιµή των κεααιουχικών ααθών και το ύψος του επιτοκίου. Στα παίσια του υποείµατος IS L που θεµείωσε ο Hik χρησιµοποιήθηκαν νέες οικονοµικές έννοιες, όπως εκείνες της παίας ρευστότητας, της ψευαίσθησης του χρήµατος, της ακαµψίας των µισθών και της ανεαστικότητας των επενύσεων ως προς το επιτόκιο, βάσει των οποίων ιατυπώθηκαν οι βασικές οικονοµικές κεϋνσιανές θέσεις. Οι θέσεις αυτές, όπως η αποτεεσµατικότητα αναποτεεσµατικότητα της ηµοσιονοµικής νοµισµατικής ποιτικής, η απόοση των πηθωριστικών αινοµένων στην µονοπωιακή ιάρθρωση των αορών και όχι στην ρααία νοµισµατική επέκταση και τέος η χρήση της καµπύης Phillip ια την περιραή της ευσταθούς µακροχρόνιας σχέσης µεταξύ ανερίας και πηθωρισµού, αποτέεσαν τη βάση των σταθεροποιητικών προραµµάτων που υιοθετήθηκαν και εαρµόστηκαν κατά τη µεταποεµική περίοο µέχρι και τη εκαετία του 96. Ο P. Selon, µαθητής του Keyne, ιατύπωσε το 99 ένα µαθηµατικό υπόειµα επιχειρηµατικών κύκων στα παίσια του οποίου εισήχθη µία χρονική υστέρηση στις συναρτήσεις της κατανάωσης και των επενύσεων και ινόταν χρήση της αρχής του ποαπασιαστή επιταχυντή. Το υπόειµα αποθεµάτων του ezler 9 καθώς και το υπόειµα επιχειρηµατικών κύκων του Hik 95 είναι ύο ακόµη υποείµατα τα οποία βασίζονται επίσης στην αηεπίραση µεταξύ ποαπασιαστή επιταχυντή. Η στροή του ενιαέροντος κατά τη εκαετία του 96 στη θεωρία της οικονοµικής µεέθυνσης είχε ως συνέπεια να ατονήσει το ενιαέρον των οικονο- µοόων ια τη θεωρία των επιχειρηµατικών κύκων. Επιπροσθέτως, η εµάνιση του αινοµένου του στασιµοπηθωρισµού στα τέη της εκαετίας του 96 και στις αρχές της εκαετίας του 97, οήησε στην κατάρρευση της καµπύης Phillip ως εραείου περιραής της σχέσης µεταξύ ανερίας και πηθωρισµού, στον κονισµό της Κεϋνσιανής Θεωρίας και στην ανάειξη της Μονεταριστικής Θεωρίας. Θεµειωτής της Μονεταριστικής Θεωρίας θεωρείται ο ilon Frien και στα παίσια αυτής ίνεται αποεκτή η ποσοτική θεωρία του χρήµατος, εισάονται οι έννοιες του υσικού ποσοστού της ανερίας και των αναθεωρούµενων προσοκιών, ως µηχανισµού ιαµόρωσης των προσοκιών και ιατυπώνεται η αρχή της σταθερής ιαχρονικά νοµισµατικής επέκτασης. Η παραοχή ότι τα οικονοµούντα άτοµα εν πραµατοποιούν συστηµατικά άθη στις προβέψεις τους είχε ως συνέπεια η ισχύς της καµπύη Phillip να περιοριστεί µόνο στη βραχυχρόνια περίοο καθώς µακροχρόνια η ανερία προσείζει την τιµή ισορροπίας της, το µέεθος της οποίας προσιορίζεται από τις πραµατικές υνάµεις της οικονοµίας. Επιπροσθέτως στα παίσια της Μονεταριστικής Θεωρίας ιατυπώνεται η θέση ότι οι οικονοµικές ιακυµάνσεις οείονται κυρίως σε ιαταραχές που αµβάνουν χώρα στην αορά χρήµατος και οι οποίες επηρεάζουν την πραµατική οικονοµία. Η Νέα Κασική Θεωρία ήταν εκείνη που ιαέχτηκε την Μονεταριστική Θεωρία και αποτεεί ουσιαστικά µία πιο ακραία µορή της τεευταίας. Στα παίσια της Νέας Κασικής Θεωρίας ίνεται η παραοχή ότι η οικονοµία βρίσκεται πάντα σε κατάσταση ισορροπίας, ενώ επιχειρείται η εξήηση των οικονοµικών κύκων ιατηρώντας Μία προσπάθεια θεµείωσης των µονεταριστικών θέσεων πραµατοποιείται από τους Frien. & Shwrz A. J. 96, A onery Hiory of he Unie Se , Prineon Unieriy P.

8 συχρόνως και τις ύο βασικές αρχές της Γενικής Θεωρίας Ισορροπίας, ηαή της ορθοοικής συµπεριοράς και της ισορροπίας των αορών. Η παραοχή της Νέας Κασικής Θεωρίας ότι οι αορές βρίσκονται πάντα σε κατάσταση ισορροπίας υιοθετείται και από τη Θεωρία των Πραµατικών Επιχειρηµατικών Κύκων, στα παίσια της οποίας ίνεται αποεκτό ότι οι τεχνοοικές ιαταραχές παίζουν σηµαντικό ρόο στην οικονοµία. Θα πρέπει ωστόσο να σηµειωθεί ότι ο nkiw 989 ασκεί κριτική στη συκεκριµένη θεωρία ιότι παρά τη µεάη ση- µασία των τεχνοοικών ιαταραχών, καµία εξ αυτών εν έχει εξειικευθεί ενώ εν έχει προσιοριστεί και κάποια τεχνοοική ιαταραχή που να εξηεί τη βραχυχρόνια ιακύµανση του εισοήµατος. Κριτική στη Νέα Κασική Θεωρία άσκησαν οι Νέοκεϋνσιανοί οικονοµοόοι, οι οποίοι επιχείρησαν να ευρώσουν το χάσµα ανάµεσα στη Μονεταριστική και την Κεϋνσιανή Θεωρία, συµβιβάζοντας τις υποθέσεις της ανισορροπίας και της ορθοοικής συµπεριοράς. Κατά το παρεθόν, προσπάθειες ια την εισαωή του νοµισµατικού παράοντα και της έννοιας των προσοκιών στα παίσια υποειµάτων ποαπασιαστή επιταχυντή πραµατοποιήθηκαν από τους inky 957, Wrigh 958, Syh 96 και W 967, οι οποίοι όµως κινήθηκαν στα παίσια του υποείµατος του Hik 95, στα παίσια ηαή ενός υποείµατος που βρίσκεται αρκετά κοντά στο υπόειµα του Selon 99, καθώς επίσης και από τους Liler 968, Srgen T.J. 97, Bieern 99 και Kkli I. & Vl E Η ανάυσή µας κινείται στο πνεύµα της ανάυσης των Βαρεά Ε. & Καρπέτη Χ. και σε ενικές ραµµές, η ιαοροποίηση έκειται στην εισαωή της προσοκώµενης επιτοκιακής µεταβοής ως ερµηνευτικής µεταβητής στις συναρτήσεις των επενύσεων και της ζήτησης χρήµατος. Στα παίσια της ιατριβής αναπτύσσεται ένα υπόειµα οικονοµικών κύκων, το οποίο κινείται στα παίσια της Κεϋνσιανής οικονοµικής ανάυσης και αποτεεί επέκταση του υποείµατος οικονοµικών κύκων του Selon 99. Οι βασικές υποθέσεις που πραµατοποιούνται και στις οποίες στηρίζεται η ανάυσή µας, σχετίζονται πρώτον, µε τη σταθερότητα των τιµών, εύτερον, µε τον επηρεασµό των επενύσεων και της ζήτησης χρήµατος όχι από την τιµή του επιτοκίου αά από την προσοκώµενη µεταβοή του και τρίτον µε την παραοχή ότι η Κεντρική Τράπεζα αυξάνει ιαχρονικά την ποσότητα του χρήµατος µε ένα σταθερό ρυθµό, το ύψος του οποίου προσιορίζεται εξωενώς από την ίια. Αναορικά µε τον τρόπο ιαµόρωσης των προσοκιών, θα χρησιµοποιήσουµε το µηχανισµό των αναθεωρούµενων, των στατικών, των ορθοοικών και των παινροµικών προσοκιών. Μέσω του αναπτυχθέντος υποείµατος θα επιχειρήσουµε να παρουσιάσουµε την βραχυχρόνια επίραση της ασκούµενης νοµισµατικής ποιτικής και του µηχανισµού που χρησιµοποιούν τα οικονοµούντα άτοµα ια τη ιαµόρωση των προσοκιών τους, πάνω στο εισόηµα ισορροπίας µίας υποθετικής κειστής οικονοµίας και θα ιερευνήσουµε την κατεύθυνση της σχέσης µεταξύ του εισοήµατος ισορροπίας και των συνιστωσών παραµέτρων του. Θα συνεχίσουµε την ανάυσή µας ιερευνώντας τις υναµικές ιιότητες του υποείµατος και ιατυπώνοντας τις προϋποθέσεις υπό τις οποίες το εισόηµα θα συκίνει προς την τιµή ισορροπίας του. Τέος θα επιχειρήσουµε να επιβεβαιώσουµε τα θεωρητικά συµπεράσµατα της ανάυσής µας, πραµατοποιώντας προσοµοιώσεις ια κάθε µία από τις αναπτυσσόµενες, βάσει των ιαορετικών µηχανισµών ιαµόρωσης των προσοκιών, περιπτώσεις.

9 . Το υπόειµα οικονοµικών κύκων του Selon Η ιαρθρωτική µορή του υποείµατος του Selon περιράεται µέσω των ακοούθων σχέσεων : C I., C. I C. όπου,: η οριακή ροπή προς κατανάωση rginl propeniy o onpion, > : ο συντεεστής επιτάχυνσης eleror, > : οι αυτόνοµες επενύσεις onoo inen, C : η κατανάωση της τρέχουσας περιόου onpion, I : οι τρέχουσες επενύσεις inen, : το εισόηµα της τρέχουσας περιόου Gro Doei Pro και C C C. Όπως προκύπτει από τη σχέση. η τρέχουσα κατανάωση C είναι µία θετική συνάρτηση του εισοήµατος της προηούµενης περιόου, ενώ βάσει της σχέσης. οι τρέχουσες επενύσεις Ι αποτεούν µία θετική συνάρτηση της ιαοράς των επιπέων κατανάωσης µεταξύ της τρέχουσας και της προηούµενης περιόου C C C, καθώς και των αυτόνοµων επενύσεων. Από το συνυασµό των σχέσεων.. προκύπτει ως ακοούθως η βασική εξίσωση ιαορών του υποείµατος του Selon: C I. C C C C C. C C περιόους µπροστά. Η σχέση. αποτεεί µία εξίσωση ιαορών iffene eqion εύτερης τάξης και η ενική της ύση generl olion αποτεεί το άθροισµα µίας µερικής ύση pril olion της. µε τη συµπηρωµατική ύση opleenry olion της εν όω εξίσωσης ιαορών. Pl A. Selon 99, Inerion eween he liplier Anlyi n he Priniple of Aelerion, Reiew of Eonoi Sii, pp ; prine in Aerin Eonoi Aoiion, Reing in Bine Cyle Theory, Rihr D. Irwin, In., Hoewoo I., 9, pp Στο αρχικό υπόειµα του Selon η συνοική ζήτηση αποτεούσε το άθροισµα της κατανάωσης, των επενύσεων και των αυτόνοµων κρατικών απανών, το µέεθος των οποίων ταυτίζεται µε εκείνο των αυτόνοµων επενύσεων του ιευρυµένου υποείµατος.

10 Υ µας ίνει το επίπεο του εισοήµατος ισορροπίας και θα µπορούσαµε να υποθέσουµε ότι αυτή είναι της µορής: p Η µερική ύση Υ p p Υ Υ p.5 όπου : ένας σταθερός αριθµός Από το συνυασµό των σχέσεων. και.5 προκύπτει ότι:.6 Όπως προκύπτει από τη σχέση.6, το εισόηµα ισορροπίας αποτεεί θετική συνάρτηση τόσο του επιπέου των αυτόνοµων επενύσεων [καθώς ισχύει ότι > ], όσο και της οριακής ροπής προς κατανάωση [εοµένου ότι > ]. Το εισόηµα θα συκίνει προς την τιµή ισορροπίας του [όπως αυτή περιράεται από τη σχέση.6] εόσον ικανοποιείται το ακόουθο σύστηµα ανισοτήτων: α α α α α > > > Σ. όπου α > και α < εοµένου ότι α α > και α α >, η ευστάθεια της ενικής ύσης της µη οµοενούς εξίσωσης ιαορών µε σταθερούς συντεεστές. εξαρτάται από την ικανοποίηση της ακόουθης ανισότητας: α > > < n.7 Σε εωµετρικούς όρους, οι συνυασµοί, ια τους οποίους επιτυχάνεται σύκιση του εισοήµατος προς τη µακροχρόνια τιµή ισορροπίας του, εντοπίζονται στη σκιαραηµένη περιοχή του ραήµατος.. Στο εν όω ιάραµµα και µέσω της καµπύης V παρουσιάζεται ραικά η συνάρτηση n. Η µορή της ιαχρονικής πορείας του εισοήµατος, εξαρτάται από το πρόσηµο της ιακρίνουσας της χαρακτηριστικής εξίσωσης της εξίσωσης ιαορών.. Η µορή της χαρακτηριστικής εξίσωσης [όπως αυτή προκύπτει από την εξίσωση ιαορών.] έχει ως ακοούθως:.8

11 . n Η ιακρίνουσα της χαρακτηριστικής εξίσωσης.8 έχει την ακόουθη µορή: [ ].9 και όπως ιαπιστώνουµε αποτεεί ένα πουώνυµο ευτέρου βαθµού ως προς τον επιταχυντή. Ως εκ τούτου, θα µπορούσαµε να προσιορίσουµε ένα ιάστηµα τιµών της παραµέτρου εντός του οποίου η ιακρίνουσα θα αποτεεί ένα θετικό ή αρνητικό µέεθος. Προκειµένου να προσιορίσουµε αυτό το ιάστηµα τιµών, θα προσιορίσουµε τις ρίζες της ακόουθης εξίσωσης: Η ιακρίνουσα. n * n της παραπάνω εξίσωσης έχει ως ακοούθως: * n [ ] [ ][ ] [ ] [ ] 6 >. * εοµένου ότι n >, η εξίσωση. θα έχει ύο πραµατικές και ιακριτές ρίζες το µέεθος των οποίων έχει ως ακοούθως:

12 n, * ±. ± 6 n ± ± [ ± ] ± n n > >.... n n Βάσει των παραπάνω ριζών οηούµαστε στο συµπέρασµα ότι εάν, n n n n, και,, θα ισχύει αντιστοίχως ότι n <,, >.,. * * Στο παραπάνω ιάραµµα και µέσω των καµπυών V και V παρουσιάζονται ραικά οι σχέσεις.. και.. αντιστοίχως. Όα τα σηµεία τα οποία εντοπίζονται µεταξύ των ύο καµπυών περιράουν εκείνους τους συνυασµούς, ια τους οποίους ισχύει ότι n <, ια τους οποίους ηαή η ιαχρονική πορεία του

13 εισοήµατος θα χαρακτηρίζεται από τααντώσεις. Η ιαχρονική πορεία του εισοήµατος θα είναι µονοτονικής µορής στην περίπτωση εκείνων των σηµείων του * ισιάστατου χώρου τα οποία εντοπίζονται είτε πάνω από την καµπύη V, είτε * κάτω από την καµπύη V, είτε τέος επί των ύο αυτών καµπυών 5. Από την ανάυση που προηήθηκε ίνεται ανερό ότι µπορούµε να ιακρίνουµε µεταξύ τεσσάρων περιπτώσεων αναορικά µε την πορεία του εισοήµατος έπειτα από µία ιατάραξη : I. < / & n. Στην περίπτωση αυτή θα έχουµε εκθετική σύκιση του εισοήµατος προς τη µακροχρόνια τιµή ισορροπίας του. II. III. IV. < / & n <. Στην περίπτωση αυτή το εισόηµα θα συκίνει προς τη µακροχρόνια τιµή ισορροπίας του µέσω τααντώσεων. > / & n. Στην περίπτωση αυτή το εισόηµα θα αποκίνει εκθετικά από τη µακροχρόνια τιµή ισορροπίας του. > / & n <. Στην περίπτωση αυτή το εισόηµα θα αποκίνει από τη µακροχρόνια τιµή ισορροπίας του µέσω τααντώσεων.. ιαρθρωτική µορή του ιευρυµένου υποείµατος Στα παίσια της ανάυσης που ακοουθεί θα θεωρήσουµε µία κειστή οικονοµία χωρίς ηµόσιο τοµέα, στα παίσια της οποίας οι τιµές είναι σταθερές. Η ιαρθρωτική µορή της εν όω οικονοµίας περιράεται µέσω των ακόουθων σχέσεων : Αορά Προϊόντος C I., C, < <. I C C e,, > & <. Αορά Χρήµατος.,, < <.5 e, > & <.6 5 Θα πρέπει να σηµειωθεί ότι αυτή η µορή της ιαχρονικής πορείας του εισοήµατος είναι υνατό να παρατηρηθεί µόνο εν απουσία αρνητικών χαρακτηριστικών ριζών.

14 όπου : η οριακή και µέση ροπή προς κατανάωση, : οι αυτόνοµες επενύσεις, : ο επιταχυντής, : ο συντεεστής επηρεασµού των σχειαζόµενων επενύσεων plnne inen στις προσοκώµενες µεταβοές του επιτοκίου, : ο συντεεστής επηρεασµού της ζήτησης χρήµατος από µεταβοές του εισοήµατος, : η εαστικότητα της ζήτησης χρήµατος στις προσοκώµενες µεταβοές του επιτοκίου και,,,... Από τη µαθηµατική µορή του υποείµατος ίνεται αµέσως αντιηπτό ότι η ροή του χρόνου εν είναι συνεχής onino αά ιακριτή i. Το εονός αυτό σε συνυασµό µε το υναµικό χαρακτήρα του υποείµατος, όπως αυτός υποηώνεται από την ύπαρξη χρονικών υστερήσεων κυρίως στις συναρτήσεις της κατανάωσης και των επενύσεων, θα µας επιτρέψει στη συνέχεια της ανάυσής µας να εξειικεύσουµε µία εξίσωση ιαορών µε σταθερούς συντεεστές ως προς το εισόηµα. Όπως ιαπιστώνουµε από τη ιαρθρωτική µορή του υποείµατος, η αορά προϊόντος περιράεται από τις σχέσεις.,. και.. Σύµωνα µε τη σχέση. η κατανάωση onpion της τρέχουσας περιόου C αποτεεί θετική συνάρτηση του εισοήµατος της προηούµενης περιόου. Η σχέση. περιράει τις σχειαζόµενες επενύσεις ως µία θετική συνάρτηση της µεταβοής του επιπέου της κατανάωσης µεταξύ της τρέχουσας και της προηούµενης περιόου C ή C C και ως µία αρνητική συνάρτηση της προσοκώµενης µεταβοής του επιτοκίου µεταξύ της τρέχουσας και της προηούµενης περιόου ή R R µε τις προσοκίες expeion να ιαµορώνονται στην περίοο. Το τρέχον επίπεο των σχειαζόµενων επενύσεων I θεωρείται ότι e αποτεεί αρνητική συνάρτηση της προσοκώµενης µεταβοής του επιτοκίου, καθώς αν στην περίοο οι επενυτές αναµένουν πτώση των επιτοκίων κατά την περίοο [εάν ηαή ισχύει ότι e < ] τότε θα πραµατοποιήσουν τα επενυτικά τους σχέια στην περίοο, κάτι που θα προκαέσει την αύξηση των επενύσεων κατά τη συκεκριµένη χρονική περίοο. Εάν αντιθέτως κατά την περίοο αναµένεται αύξηση των επιτοκίων [εάν ηαή έχουµε ότι e > ] τότε οι επενυτές θα επισπεύσουν την πραµατοποίηση των επενυτικών τους σχείων, κάτι που θα έχει ως αποτέεσµα οι επενύσεις κατά την περίοο να παρουσιάζονται αυξηµένες, σε αντίθεση µε το επίπεο των επενύσεων της περιόου το οποίο θα εµανίζεται µειωµένο. Η αορά προϊόντος βρίσκεται σε ισορροπία όταν ικανοποιείται η σχέση., όταν ηαή η συνοική προσορά ggge pply ισούται µε τη συνοική ζήτηση ggge en του προϊόντος. Από το συνυασµό των σχέσεων.,. και. προκύπτει η συνθήκη που θα πρέπει να ικανοποιείται προκειµένου η αορά προϊόντος να βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας και η οποία έχει ως ακοούθως : I C C C C e I I e

15 .7 e e e Η αορά χρήµατος περιράεται µέσω των σχέσεων.,.5 και.6. Σύµωνα µε τη σχέση.5 η προσορά χρήµατος, η οποία θεωρούµε ότι είναι απούτως εεχόµενη από τις νοµισµατικές αρχές Κεντρική Τράπεζα, αυξάνεται ιαχρονικά µε σταθερό ρυθµό. Και αυτό ιότι από τη σχέση.5 προκύπτει ότι :.8 g Από τη σχέση.5 και κινούµενοι µία περίοο µπροστά οηούµαστε στην ακόουθη εξίσωση :.9 Η παραπάνω σχέση αποτεεί µία οµοενή εξίσωση ιαορών πρώτης τάξης µε σταθερούς συντεεστές, η ενική ύση της οποίας θα περιράει τη ιαχρονική εξέιξη του µεέθους της προσοράς χρήµατος. Εάν υποθέσουµε ότι αυτή είναι της µορής : A. κάτι που υπονοεί ότι A, τότε από τη σχέση. προκύπτει ότι : [ ]. A A A Αντικαθιστώντας τη σχέση. στην. προκύπτει η ακόουθη συνάρτηση: A.. όπου Α µία σταθερά το µέεθος της οποίας θα προσιοριστεί µε τη βοήθεια µίας αρχικής συνθήκης. Πιο συκεκριµένα εάν υποθέσουµε ότι κατά τη χρονική στιµή η προσορά χρήµατος ισούται µε Μ, τότε από τη σχέση.. προκύπτει ότι: A A

16 Αντικαθιστώντας την τιµή της σταθεράς Α που µόις προσιορίσαµε στη σχέση.. παίρνουµε την τεική µορή του ακοουθούµενου από την Κεντρική Τράπεζα νοµισµατικού κανόνα onery rle η οποία και έχει ως εξής :. Σύµωνα µε την παραπάνω σχέση η προσορά χρήµατος αυξάνεται ιαχρονικά µε ρυθµό σταθερό και ίσο µε. Βάσει τώρα της σχέσης.7, η συνοική ζήτηση χρήµατος ggge oney en της τρέχουσας περιόου αποτεεί το άθροισµα της τρέχουσας ζήτησης χρήµατος ια συναακτικούς σκοπούς και σκοπούς προύαξης [ r ] και της τρέχουσας ζήτησης χρήµατος ια κεροσκοπία [ ]. p Η ζήτηση χρήµατος ια συναακτικούς σκοπούς της τρέχουσας περιόου [ r ] αποτεεί θετική συνάρτηση του εισοήµατος της ίιας περιόου, ισχύει ηαή ότι:, r >. Η τρέχουσα ζήτηση χρήµατος ια κεροσκοπία [ p ] θεωρείται αρνητική συνάρτηση της προσοκώµενης µεταβοής του επιτοκίου µεταξύ της τρέχουσας και της προηούµενης περιόου ή R R µε τις προσοκίες να ιαµορώνονται στην περίοο, ηαή: e,. p < Το αρνητικό πρόσηµο του συντεεστή σηµαίνει ότι εάν οι κεροσκόποι κατά την περίοο, κατά την περίοο ηαή ιαµόρωσης των προσοκιών τους, αναµένουν ότι το επιτόκιο της επόµενης περιόου θα είναι µικρότερο από εκείνο της περιόου [εάν ηαή ισχύει ότι e < ] θα ζητήσουν χρήµα ια την άσκηση κεροσκοπίας όχι στην περίοο αά στην περίοο. Ως εκ τούτου, µε εοµένη τη ζήτηση χρήµατος ια συναακτικούς σκοπούς, θα οηηθούµε στην αύξηση κατά την περίοο της συνοικής ζήτησης χρήµατος. Η συνοική ζήτηση χρήµατος κατά την τρέχουσα περίοο θα είναι µειωµένη στην περίπτωση που ισχύει ότι e >. Και αυτό ιότι αν κατά την περίοο οι κεροσκόποι αναµένουν την αύξηση των επιτοκίων κατά την επόµενη περίοο, θα ζητήσουν χρήµα ια την άσκηση κεροσκοπίας όχι στην περίοο αά στην περίοο. Η αορά χρήµατος θα βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας όταν ικανοποιείται η σχέση., όταν ηαή η συνοική προσοράς χρήµατος ισούται µε τη συνοική ζήτηση χρήµατος. Η συνθήκη ισορροπίας στην αορά χρήµατος, όπως αυτή ιαµορώνεται έπειτα από την αντικατάσταση των σχέσεων.6 και. στη σχέση., έχει ως εξής: e.5

17 . Μηχανισµοί ιαµόρωσης των προσοκιών Όπως είαµε στην προηούµενη παράραο, οι συνθήκες ισορροπίας της αοράς ααθών και της αοράς χρήµατος [όπως αυτές περιράονται από τις σχέσεις.7 και.5] περιέχουν µία µεταβητή, την, η οποία είναι µη παρατηρήσιµη. Για να προσιορίσουµε ωστόσο τη συκεκριµένη µορή της βασικής εξίσωσης ιαορών θα πρέπει να απααούµε από αυτή τη µη παρατηρήσιµη µεταβητή. Με άα όια θα πρέπει να ιατυπώσουµε τον µηχανισµό βάσει του οποίου τα οικονοµούντα άτοµα ιαµορώνουν τις προσοκίες τους. Μεταξύ των µηχανισµών που συχνά συναντούµε στην οικονοµική βιβιοραία είναι εκείνοι των αναθεωρούµενων προσοκιών pie expeion ehni, των στατικών προσοκιών i or nie expeion ehni, των παινρο- µικών προσοκιών gie expeion ehni και τέος των ορθοοικών προσοκιών rionl expeion ehni. Ας ούµε τον τρόπο ιαµόρωσης των προσοκιών βάσει των παραπάνω µηχανισµών, ξεκινώντας από εκείνον των αναθεωρούµενων προσοκιών. Σύµωνα µε τον µηχανισµό των αναθεωρούµενων προσοκιών 6 η προσοκώµενη τιµή µίας οποιασήποτε µεταβητής ιαµορώνεται από την προσοκώµενη τιµή της κατά την περίοο και από ένα µέρος της απόκισης που πραµατοποιείται ανά- µεσα στην πραµατοποιηθείσα και την προσοκώµενη τιµή της µεταβητής κατά την περίοο. Σε µαθηµατικούς όρους ο εν όω µηχανισµός περιράεται από την ακόουθη σχέση: e e e e. όπου, ο συντεεστής προσαρµοής jn oeffiien ο οποίος µας είχνει την ταχύτητα προσαρµοής µε την οποία αοµοιώνονται τα άθη του παρεθόντος µέσα στην προσοκώµενη τιµή της τρέχουσας περιόου. Όπως προκύπτει από την παραπάνω σχέση, ένα από τα πεονεκτήµατα του µηχανισµού των αναθεωρούµενων προσοκιών είναι ότι µας παρέχει τη υνατότητα σύνεσης παρατηρούµενων και µη παρατηρούµενων οικονοµικών µεταβητών. Αναιατάσσοντας τη σχέση. προκύπτει η ακόουθη εξίσωση: e e. Από την παραπάνω σχέση και παίρνοντας ιαοχικές χρονικές υστερήσεις προκύπτει ότι: e e e e e e Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις στη σχέση. παίρνουµε: 6 P. Cgn 956, The onery Dyni of Hyper Inflion, in. Frien e. Sie of Qniy Theory of oney, Unieriy of Chigo P, Chigo, pp. 5 7.

18 e.. e e.. e..... e e... i i e. i i εοµένου ότι, από την. προκύπτει η ακόουθη σχέση 7 : i i e.5 Όπως ιαπιστώνουµε, η προσοκώµενη µεταβοή των επιτοκίων µε τις προσοκίες να ιαµορώνονται στην περίοο αποτεεί ένα σταθµικό µέσο των παρεθουσών επιτοκιακών µεταβοών µε εωµετρικώς θίνοντες συντεεστές στάθµισης. i Εόσον ο συντεεστής, θα ισχύει ότι li. Με άα όια η προσοκώµενη τιµή της επιτοκιακής µεταβοής επηρεάζεται από τις παρεθούσες πραµατοποιηθείσες τιµές της τόσο ιότερο όσο περισσότερο µετακινούµαστε πίσω στο χρόνο. Ως εκ τούτου, η σύνεση της µη παρατηρούµενης µεταβητής µε µόνο π.χ. τέσσερις υστερήσεις της παρατηρούµενης µεταβητής εν θα συνιστούσε και πού µεάο άθος. Οι συντεεστές στάθµισης w i weigh ίνονται από την ακόουθη σχέση : i i w i i, i,,..6 και ο κάθε ένας από αυτούς ίνει τη σχετική βαρύτητα και σηµασία της επιτοκιακής ιαοράς της i περιόου του παρεθόντος πάνω στην προσοκώµενη τρέχουσα επιτοκιακή µεταβοή. Βάσει της παραπάνω σχέσης οηούµαστε στο συµπέρασµα ότι η βαρύτητα των παρεθουσών τιµών i, i,,., στη ιαµόρωση των προσοκιών µας αναορικά µε το µέεθος της επιτοκιακής ιαοράς της τρέχουσας περιόου, εξαρτάται και από το µέεθος του συντεεστή προσαρµοής. Πιο συκεκριµένα στην περίπτωση που η τιµή του συντεεστή προσαρµοής τείνει προς το µηέν, από τη σχέση.5 προκύπτει ότι όχι µόνο οι σχετικά πρόσατες αά και οι πααιότερες τιµές της επιτοκιακής ιαοράς παίζουν ρόο στη ιαµόρωση των προσοκιών µας. e 7 Το εονός ότι < < < < i καθώς i και ως εκ τούτου θα έχουµε ότι i e. Βέπε σχετικά Μπένος Θ. 99, Θεωρία Χρήµατος, η έκοση, σε. 7 i

19 Όσο η τιµή του συντεεστή προσαρµοής τείνει προς τη µονάα τόσο µεαύτερη είναι η βαρύτητα των πιο πρόσατων παρεθουσών τιµών της επιτοκιακής ιαοράς στη ιαµόρωση των προσοκιών µας. Στην ειική µάιστα περίπτωση που, από τη σχέση.5 προκύπτει ότι: e i i e i.7 Η παραπάνω σχέση περιράει το µηχανισµό των στατικών προσοκιών, σύµωνα µε τον οποίο η προσοκώµενη µεταβοή του επιτοκίου µε τις προσοκίες να ιαµορώνονται στην περίοο είναι ακριβώς ίση µε την πραµατοποιηθείσα επιτοκιακή ιαορά της περιόου κατά την οποία ιαµορώνονται οι προσοκίες. Το σηµαντικότερο µειονέκτηµα του µηχανισµού των αναθεωρούµενων προσοκιών, όπως αυτό προκύπτει από τη σχέση.5, έκειται στο εονός ότι τα οικονοµούντα άτοµα ιαµορώνουν τις προσοκίες τους ια το µέεθος µίας µεταβητής στηριζόµενοι αποκειστικά και µόνο στις παρεθούσες τιµές της. Με άα όια ο συκεκριµένος µηχανισµός ιαµόρωσης προσοκιών υποθέτει την ύπαρξη µη άριστης συµπεριοράς εκ µέρους των οικονοµούντων ατόµων, καθώς αυτά ανοούν τρέχουσες πηροορίες οι οποίες θα µπορούσαν να τους βοηθήσουν στο σχηµατισµό καύτερων προσοκιών. Σύµωνα µε το µηχανισµό των παινροµικών προσοκιών η προσοκώµενη τιµή µίας µεταβητής, µε τις προσοκίες να ιαµορώνονται κατά την περίοο, αποτεεί το σταθµικό µέσο της τιµής ισορροπίας της και της τιµής της κατά την περίοο ιαµόρωσης των προσοκιών. Σε µαθηµατικούς όρους ο µηχανισµός των παινροµικών προσοκιών περιράεται από την ακόουθη σχέση: e θ θ, < θ.8 < όπου : η βραχυχρόνια τιµή ισορροπίας της επιτοκιακής ιαοράς. Αναιατάσσοντας τους όρους της σχέσης.8 παίρνουµε: e θ.8. Όπως προκύπτει από την παραπάνω σχέση, ο συντεεστής θ µας είχνει την ταχύτητα προσαρµοής της επιτοκιακής ιαοράς της περιόου - προς τη βραχυχρόνια τιµή ισορροπίας της. Όσο µικρότερη είναι η τιµή της παραµέτρου θ, όσο ηαή θ, τόσο µικρότερη είναι η ταχύτητα της προσαρµοής. Στην ειική e περίπτωση που θ, από τη σχέση.8 προκύπτει ότι. Με άα όια ια θ αναόµαστε από το µηχανισµό των παινροµικών προσοκιών στο µηχανισµό των στατικών προσοκιών. Τέος, στα παίσια του µηχανισµού των ορθοοικών προσοκιών 8 rionl expeion ehni τα οικονοµούντα άτοµα σχηµατίζουν τις προσοκίες τους µε βάση το σύνοο των πηροοριών που έχουν στη ιάθεσή τους. Αξίζει να σηµειωθεί εώ ότι σ αυτό το σύνοο των πηροοριών περιαµβάνεται και η νώση των 8 Ο µηχανισµός των ορθοοικών προσοκιών εισήχθη από τον h J.F. 96 στο άρθρο του µε τίτο Rionl Expeion n he Theory of Prie oeen, Eonoeri, 9, pp. 5 5.

20 «πραµατικών» σχέσεων βάσει των οποίων προσιορίζεται το µέεθος των οικονο- µικών µεταβητών του υποείµατος. Σε µαθηµατικούς όρους, ο µηχανισµός των ορθοοικών προσοκιών περιράεται από την ακόουθη σχέση: X e e X Π ή ισούναµα X E X E.9 όπου Π : το σύνοο των πηροοριών οι οποίες είναι ιαθέσιµες κατά την περίοο, αναορικά µε τις τρέχουσες και παρεθούσες τιµές των µεταβητών καθώς και των σταθερών συντεεστών του υποείµατος, τις οποίες το οικονοµούν άτοµο χρησιµοποιεί προκειµένου να ιαµορώσει, κατά την ίια περίοο, την προσοκία του αναορικά µε το µέεθος της µεταβητής Χ. Σύµωνα µε τη σχέση.9, όταν η υποκειµενική προσοκία των οικονοµούντων ατόµων ια την τιµή της µεταβητής Χ ισούται µε την αντικειµενική µαθηµατική προσοκία της Χ η οποία ιαµορώνεται βάσει του πηροοριακού συνόου Π, τότε η ιαµορούµενη προσοκία χαρακτηρίζεται ως ορθοοική και συκεντρώνει τις παρακάτω ιιότητες: α εν υπάρχουν συστηµατικά σάµατα πρόβεψης, ισχύει ηαή ότι: X Χ e, Ee E. β Τα σάµατα πρόβεψης εν συσχετίζονται ή ισούναµα: Ee e. Τα σάµατα πρόβεψης εν συσχετίζονται µε την µεταβητή Χ ή µε οποιαήποτε άη µεταβητή του συνόου των πηροοριών Π. Η ιιότητα αυτή ιασαίζει ότι η προσοκία που ιαµορώνεται βάσει του µηχανισµού των ορθοοικών προσοκιών είναι αποοτική effiien, είναι ηαή αµερόηπτη και έχει την µικρότερη ιακύµανση συκριτικά µε την πρόβεψη που θα σχηµατίζαµε βάσει κάποιου άου µηχανισµού. Σε µαθηµατικούς όρους θα ισχύει ότι: e E Π. Στα παίσια προσιοριστικών υποειµάτων, όπως αυτό µε το οποίο ασχοού- µαστε, ο µηχανισµός των ορθοοικών προσοκιών υπονοεί την ύπαρξη τέειας προβεπτικής ικανότητας perfe foigh ή ισούναµα ότι e. Με άα όια στα παίσια του υποείµατος που θα αναπτυχθεί βάσει του µηχανισµού των ορθοοικών προσοκιών, θα πρέπει να ικανοποιείται η ακόουθη σχέση: X Χ E. Στη συνέχεια της ανάυσής µας θα ιαπιστώσουµε ότι η χρήση ιαορετικών µηχανισµών ιαµόρωσης των προσοκιών θα µας οηήσει στην εξειίκευση ιαορετικών βασικών εξισώσεων ιαορών και ως εκ τούτου στον προσιορισµό αενός ιαορετικών µεεθών του εισοήµατος ισορροπίας και αετέρου ιαορετικών συνθηκών ευστάθειας του υποείµατος.

21 5. Η επίραση του µηχανισµού ιαµόρωσης των προσοκιών στη ύση του υποείµατος Όπως θυµόµαστε οι αορές ααθών και χρήµατος θα βρίσκονται σε κατάσταση ισορροπίας όταν ικανοποιούνται αντιστοίχως οι ακόουθες σχέσεις: e.7 e.5 Προκειµένου να προσιορίσουµε τη βασική εξίσωση ιαορών του υποείµατός µας θα πρέπει να απαάξουµε τις ύο παραπάνω εξισώσεις από τη µη παρατηρούe µενη µεταβητή. Με άα όια θα πρέπει να ιατυπώσουµε το µηχανισµό ιαµόρωσης των προσοκιών και βάσει αυτού να προχωρήσουµε στη συνέχεια στην e απαοιή της µεταβητής από τις σχέσεις.7 και.5. Στη συνέχεια της ανάυσής µας και ξεκινώντας από το µηχανισµό των αναθεωρούµενων προσοκιών, θα ούµε αρχικά µε ποιον τρόπο µπορούµε να επιτύχουµε την απααή του υποείµατός µας από τη παρατηρούµενη µεταβητή και στη συνέχεια θα προχωρήσουµε στην εξαωή και τη ύση της βασικής εξίσωσης ιαορών που προκύπτει. e 5. Εξαωή της βασικής εξίσωσης ιαορών του υποείµατος στα παίσια του µηχανισµού των αναθεωρούµενων προσοκιών Στα παίσια της παρούσας ενότητας θα κάνουµε την υπόθεση ότι οι προσοκίες είναι αναθεωρούµενες και ως εκ τούτου ιαµορώνονται βάσει του ακόουθου µηχανισµού: e, < 5. e < Παίρνοντας µία χρονική υστέρηση από τη σχέση.7 και ποαπασιάζοντας µε προκύπτει ότι: e χρον. υστέρηση e e 5.

22 Ααιρώντας στη συνέχεια κατά µέη τις σχέσεις.7 και 5. παίρνουµε: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] e e e e Η παραπάνω σχέση αποτεεί την απααµένη από τις προσοκίες συνθήκη ισορροπίας της αοράς προϊόντος. Ενερώντας κατά τρόπο ανάοο και στην περίπτωση της εξίσωσης.5, παίρνοντας ηαή αρχικά µία χρονική υστέρηση και ποαπασιάζοντας µε, βρίσκουµε ότι: 5. e e υστέρηση χρον. e Προκειµένου να πάρουµε την απααµένη από τις προσοκίες συνθήκη ισορροπίας της αοράς χρήµατος, ααιρούµε κατά µέη τις σχέσεις.5 και 5.: [ ] [ ] 5. e e e e

23 5.5 Προκειµένου να εξάουµε τη βασική εξίσωση ιαορών, αντικαθιστούµε τη σχέση 5.5 στη σχέση 5. και από την αντικατάσταση αυτή προκύπτει ότι: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 5.6, > Από την παραπάνω σχέση και κινούµενοι τρεις περιόους µπροστά παίρνουµε:

24 [ ] 5.7 Η σχέση 5.7 αποτεεί µία µη οµοενή εξίσωση ιαορών τρίτης τάξης µε σταθερούς συντεεστές, η ενική µορή της οποίας έχει ως ακοούθως: 5.8 g [ ] g &,, όπου: < > < Η ενική ύση generl olion της παραπάνω εξίσωσης ιαορών Υ αποτεεί το άθροισµα µίας µερικής ύσης prilr olion της 5.8 p µε τη συµπηρωµατική ύση opleenry olion της εν όω εξίσωσης ιαορών ή ισούναµα µε τη ενική ύση της ακόουθης οµοενούς εξίσωσης ιαορών: 5.9 όπου i, i,,, οι συντεεστές της εξίσωσης ιαορών 5.8. Με άα όια ισχύει ότι : 5. p Η µερική ύση µας ίνει το επίπεο του εισοήµατος ισορροπίας, το µέεθος ηαή προς το οποίο θα συκίνει ή από το οποίο θα αποκίνει η Υ. Η συµπηρω- µατική ύση µας είχνει τη συκεκριµένη µορή της ιαχρονικής πορείας του εισοήµατος καθώς αυτό συκίνει ή αποκίνει από την τιµή ισορροπίας του.

25 5.. Προσιορισµός της συµπηρωµατικής ύσης υπό καθεστώς αναθεωρού- µενων προσοκιών Ξεκινώντας από τον προσιορισµό της συµπηρωµατικής ύσης της εξίσωσης ιαορών 5.8, ας υποθέσουµε ότι αυτή είναι της µορής: 5.. A κάτι που βεβαίως υπονοεί ότι: 5..,, j, A j j όπου Α: µία αυθαίρετη σταθερά το µέεθος της οποίας µπορεί να προσιορισθεί µε τη βοήθεια µίας αρχικής συνθήκης Αντικαθιστώντας τις σχέσεις 5.. και 5.. στη σχέση 5.9 προκύπτει ότι: 5. A A A A A Η παραπάνω σχέση αποτεεί τη χαρακτηριστική εξίσωση hrii eqion της οµοενούς εξίσωσης ιαορών 5.9 και όπως ιαπιστώνουµε είναι µία εξίσωση τρίτου βαθµού ως προς. Ως εκ τούτου η χαρακτηριστική εξίσωση θα έχει τρεις ρίζες οι οποίες έχουν ως ακοούθως: T S i T S T S i T S T S h &,, h, h, h, 9 Q, P, P Q D, D P T, D P S όπου

26 και οι οποίες ικανοποιούν το ακόουθο σύστηµα ισοτήτων: 5. Σ Το εάν και κατά πόσον οι παραπάνω ρίζες θα είναι πραµατικές ή ανταστικές, θα εξαρτηθεί από το πρόσηµο της ιακρίνουσας D Q P 5. Βάσει αυτού µπορούµε να ιακρίνουµε µεταξύ των ακόουθων περιπτώσεων: ον Εάν D >, η 5. έχει µία πραµατική ρίζα και ύο συζυείς µιαικές. ον Εάν D, όες οι ρίζες είναι πραµατικές και τουάχιστον ύο είναι ίσες & ον Εάν D <, η 5. έχει τρεις πραµατικές και ιακριτές ρίζες. Ένα ερώτηµα που ανακύπτει στο σηµείο αυτό έχει να κάνει µε τους παράοντες που καθορίζουν το πρόσηµο της ιακρίνουσας D. Προκειµένου να απαντήσουµε σ αυτό το ερώτηµα θα προσιορίσουµε αρχικά το µέεθος των παραµέτρων P & Q και στη συνέχεια θα αντικαταστήσουµε τα µεέθη αυτά στη σχέση 5.. Το µέεθος της παραµέτρου Q έχει ως ακοούθως: [ ] 5.5 h h h 9 Q h h h 9 h h h h h 9 h h h 9 h h 9 9 Q Το µέεθος της παραµέτρου P ισούται µε:

27 9 P 7 5 h 9 h 5 h 7 h 5 9 h 8 h 9 h 9 h 9 h h 7 h 6 6 h 6 h 6 h 6 h 6 h h 9 h 8 h 9 h 9 h 9 h h 7 h 6 6 h 6 h 6 h 5 6 h 6 h h h 6 h h h 5 h h h h h 9 h h 5 P 5 h [ ] h 9 h h 5.6 Αντικαθιστώντας τις σχέσεις 5.5 και 5.6 στη σχέση 5. βρίσκουµε ότι 9 : 8 [ ] h h h 5.7 D 9 Τα βήµατα που ακοουθήσαµε προκειµένου να προσιορίσουµε το µέεθος της ιακρίνουσας D παρουσιάζονται αναυτικά στο παράρτηµα Α

28 Όπως προκύπτει από την παραπάνω σχέση, το πρόσηµο της ιακρίνουσας D εξαρτάται από το πρόσηµο του ευρισκόµενου εντός των ακυών µεέθους : Ξ 5.8 το οποίο αποτεεί ένα πουώνυµο ευτέρου βαθµού ως προς. Κατά συνέπεια θα µπορούσαµε να προσιορίσουµε κάποια ιαστήµατα τιµών της συκεκριµένης παρα- µέτρου, εντός των οποίων το µέεθος Ξ θα είναι θετικά ή αρνητικά ορισµένο. Για να το πετύχουµε αυτό θα προσιορίσουµε τις ρίζες της ακόουθης ευτεροβάθµιας ως προς εξίσωσης: 5.9 Η ιακρίνουσα της παραπάνω εξίσωσης έχει ως ακοούθως: 6 5. Το εονός ότι: > 5. & > 5. µας οηεί στο συµπέρασµα ότι η ιακρίνουσα αποτεεί ένα θετικό µέεθος, κάτι που σηµαίνει ότι η εξίσωση 5.9 έχει τις εξής ύο πραµατικές και ιακριτές ρίζες:, 5. ± ± 6 ± ± ± ± e e > > Στο ράηµα 5. παρουσιάζεται η ενααή προσήµου των µεεθών Ξ και e e D. Όπως ιαπιστώνουµε ια, ισχύει ότι D >, κάτι που σηµαίνει ότι η χαρακτηριστική εξίσωση 5. θα έχει µία πραµατική και ύο συζυείς µιαικές ρίζες. Με άα όια ια το συκεκριµένο ιάστηµα τιµών της παραµέτρου, η ιαχρονική πορεία του εισοήµατος έπειτα από µία εξωενή ιαταραχή θα χαρακτηρίζεται από τααντώσεις. Για ή θα ισχύει ότι D, κάτι που e e σηµαίνει

29 ότι η χαρακτηριστική εξίσωση θα έχει τρεις πραµατικές ρίζες εκ των οποίων τουάχιστον ύο θα είναι ίσες. Ως εκ τούτου το εισόηµα θα συκίνει ή θα αποκίνει ενεχοµένως εκθετικά από την βραχυχρόνια τιµή ισορροπίας του. Τέος e e ια,, ισχύει ότι D <, κάτι που σηµαίνει ότι η χαρακτηριστική εξίσωση θα έχει τρεις πραµατικές και ιακριτές ρίζες. 5. Αυτό σηµαίνει ότι η ιαχρονική πορεία του εισοήµατος θα είναι ενεχοµένως εκθετικής µορής. Και έµε ότι «ενεχοµένως» θα είναι εκθετική µορής, καθώς ια D µία οι περισσότερες από τις πραµατικές ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι πιθανόν να είναι αρνητικοί αριθµοί. Στην ειική αυτή περίπτωση η ιαχρονική πορεία του εισοήµατος εν θα είναι εκθετικής µορής, αά θα παρουσιάζει µία ταάντωση iproper oillion καθώς η τιµή της µεταβητής θα εναάσσεται µεταξύ µονών και ζυών αριθµών. 5. Στη συνέχεια της ανάυσης µας θα ανοήσουµε ένα τέτοιο ενεχόµενο και θα θεωρούµε ότι η ύπαρξη ταάντωσης στη ιαχρονική πορεία του εισοήµατος θα οείεται αποκειστικά στο θετικό πρόσηµο της ιακρίνουσας D

30 Στο ράηµα 5. παρουσιάζονται ραικά οι σχέσεις 5.. και 5.. e e µέσω των επιανειών V και V αντιστοίχως. Για σηµεία του τρισιάστατου χώρου e όπως το Ε το οποίο εντοπίζεται κάτω από την επιάνεια V και το Ε το οποίο e εντοπίζεται πάνω από την επιάνεια V ισχύει ότι D <. Με άα όια αυτά τα σηµεία του τρισιάστατου χώρου περιράουν συνυασµούς h,, ια τους οποίους η ιαχρονική πορεία του εισοήµατος θα είναι εκθετικής µορής. Η ιαχρονική πορεία του εισοήµατος θα είναι της ίιας µορής και στην περίπτωση σηµείων του τρισιάστατου χώρου, όπως ια παράειµα τα σηµεία Ε και Ε, τα οποία e e εντοπίζονται επί των επιανειών V και V, καθώς αυτά περιράουν συνυασµούς h,, ια τους οποίους ισχύει ότι D. Τέος ια σηµεία του τρισιάστατου χώρου τα οποία εντοπίζονται µεταξύ των ύο επιανειών, όπως το Ε, ισχύει ότι D >, κάτι που σηµαίνει ότι το εισόηµα θα αποκίνει ή θα συκίνει προς τη βραχυχρόνια τιµή ισορροπίας του µέσω τααντώσεων. Έχοντας ιερευνήσει τη µορή της ιαχρονικής πορείας του εισοήµατος έπειτα από µία εξωενή ιαταραχή, ας ούµε τώρα ποια είναι η µαθηµατική µορή της συµπηρωµατικής ύσης της µη οµοενούς εξίσωσης ιαορών 5.8. Σε ενικές ραµµές θα µπορούσαµε να υποστηρίξουµε ότι η συµπηρωµατική ύση αποτεεί το ραµµικό συνυασµό των συναρτήσεων: y, 5.. y, 5.. & y, 5.. εόσον αυτές είναι ραµµικώς ανεξάρτητες. Εόσον ηαή ισχύει ότι: y y y 5.5 C y y,,, y y,,, y y,,, όπου C: η ορίζουσα Cori Αντικαθιστώντας τις σχέσεις στη σχέση 5.5 βρίσκουµε ότι: C Σ Σ Σ Σ Το συκεκριµένο ράηµα έχει παραχθεί ια,, h, &,.5 και η επιοή των συκεκριµένων ιαστηµάτων έινε ια την καύτερη ραική παρουσίαση των ύο επιανειών.

31 5.6 C i i i i i i i i i i Από το σύστηµα Σ-5. νωρίζουµε ότι i i οπότε η σχέση 5.6 παίρνει την ακόουθη µορή: 5.6. C όπου h. Όπως προκύπτει από την παραπάνω σχέση, η ορίζουσα Cori θα είναι οπωσήποτε ιάορη του µηενός, θα ισχύει ηαή ότι C, µόνο εόσον οι χαρακτηριστικές ρίζες είναι όες ιαορετικές µεταξύ τους. Με άα όια εάν ισχύει ότι 5.7 η συµπηρωµατική ύση θα είναι της ενικής µορής: 5.8. A A A όπου Α i, i,,, τρεις αυθαίρετες σταθερές το µέεθος των οποίων µπορεί να προσιοριστεί µε τη βοήθεια τριών αρχικών συνθηκών.

32 Όπως θυµόµαστε, η χαρακτηριστική εξίσωση θα έχει ιακριτές ρίζες στην περίπτωση που ισχύει ότι D >,<. Αντιθέτως στην περίπτωση που D η χαρακτηριστική εξίσωση θα έχει τουάχιστον ύο ίσες ρίζες, κάτι που αενός µας οηεί στο συµπέρασµα ότι C και αετέρου ότι η συµπηρωµατική ύση εν µπορεί να είναι της µορής Στη συνέχεια της ανάυσής µας θα προσιορίσουµε τη συκεκριµένη µορή της συµπηρωµατικής ύσης της εξίσωσης ιαορών 5.8 βάσει του µεέθους της ιακρίνουσας D, ξεκινώντας από την περίπτωση που αυτή είναι θετική. η Περίπτωση: D < Σ αυτήν την περίπτωση η χαρακτηριστική εξίσωση έχει τρεις πραµατικές και ιακριτές ρίζες οι οποίες έχουν ως ακοούθως : ο ο Q P ro θ όπου θ Q o θ Q o θ Q o Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις στη σχέση 5.8., παίρνουµε τη µορή της συµπηρωµατικής ύσης ια D < η οποία και έχει ως ακοούθως: [ ] [ ] [ ] 5. θ Q o A θ Q o A θ Q o A ο ο η Περίπτωση: D > Σ αυτήν την περίπτωση η χαρακτηριστική εξίσωση έχει µία πραµατική και ύο συζυείς µιαικές ρίζες, οι οποίες και παρουσιάζονται µέσω των σχέσεων εοµένου ότι, η συµπηρωµατική ύση µπορεί να εξαχθεί από τη σχέση Πιο συκεκριµένα αντικαθιστώντας τις χαρακτηριστικές ρίζες στη σχέση 5.8. προκύπτει ότι: 5.. T S i T S A T S i T S A T S A Βέπε σχετικά Spiegel.R. 976, «Μαθηµατικό Τυποόιο», σε., Grw Hill, New ork, ΕΣΠΙ, Αθήνα

33 ή ισούναµα 5.. i n k A i n k A T S A e e e e όπου T S n & T S k e e Από το θεώρηµα De oi νωρίζουµε ότι: [ ] 5. χ in i χ o R i n k e e e e e ± ± όπου 5. T S S T T S R 9 T S T S T S 9 T S T S T S 9 T S T 6 S T S T S T S T S 9 T S T S T S T S n k R e e e e & T S S T T S T S k n nχ e e e Να σηµειωθεί εώ ότι στην περίπτωση που R e, η ιαχρονική πορεία του εισοήµατος θα χαρακτηρίζεται από σταθερού εύρους τααντώσεις ύρω από τη βραχυχρόνια τιµή ισορροπίας του.

34 T S S T χ e rn 5. Αντικαθιστώντας τη σχέση 5. στη σχέση 5.. παίρνουµε: AS T A R e [ o χ i in χ ] A R [ o χ i in χ ] e e e e e AS T R e [ A A o χ A A i in χ ] e e AS T R e [ A o χ A in χ ] 5.5 e 5 e όπου: A A & A A A i A 5 Η σχέση 5.5 περιράει τη συµπηρωµατική ύση της µη οµοενούς εξίσωσης ιαορών 5.8 στην περίπτωση που D >. η Περίπτωση: D Στην περίπτωση που η ιακρίνουσα D είναι ίση µε το µηέν η χαρακτηριστική εξίσωση θα έχει, όπως έχουµε ήη αναέρει, τρεις πραµατικές ρίζες εκ των οποίων τουάχιστον ύο θα είναι ίσες. Οι ρίζες όπως αυτές προκύπτουν από τις σχέσεις ια D, και εοµένου ότι ια τη συκεκριµένη τιµή της ιακρίνουσας D ισχύει ότι S T P και ως εκ τούτου S T P & S T, έχουν ως ακοούθως: P P Το εονός ότι µας οηεί βάσει της σχέσης 5.6. στο συµπέρασµα ότι η ορίζουσα Cori θα είναι ίση µε το µηέν, κάτι που σηµαίνει ότι η συµπηρωµατική ύση της µη οµοενούς εξίσωσης ιαορών 5.8 εν µπορεί να είναι της µορής 5.8., καθώς οι συναρτήσεις εν είναι ραµµικώς ανεξάρτητες. Αν ωστόσο υποθέσουµε ότι &, τότε οι συναρτήσεις:

35 y & y y,,, αποεικνύεται ότι συνιστούν ένα θεµειώες σύνοο ύσεων της οµοενούς εξίσωσης ιαορών 5.9, καθώς ι αυτές ισχύει ότι: [ ] [ ] 5.8,, i, εάν C y y y y y y y y y C * i Σ Σ Σ Σ,,,,,,,,, R Στην περίπτωση οιπόν που ισχύει ότι D και, η συµπηρωµατική ύση της µη οµοενούς εξίσωσης ιαορών 5.8 έχει την ακόουθη µορή: 5.9. P A P A P A Υ ή ισούναµα

36 Υ A P A A P 5.9. Ένα ερώτηµα που ανακύπτει ωστόσο σ αυτό το σηµείο έχει να κάνει µε τη µορή της συµπηρωµατικής ύσης στην περίπτωση που η χαρακτηριστική εξίσωση έχει τρεις πραµατικές και ίσες ρίζες. Από τις σχέσεις 5.6. και 5.6. εύκοα προκύπτει ότι µόνο εόσον P, ενώ το µέεθος των τριών ίσων ριζών ισούται µε: 5. Με άα όια ια D & P, η συµπηρωµατική ύση εν αποτεεί το ραµµικό συνυασµό των συναρτήσεων αά των παρακάτω συναρτήσεων: y, 5.. y, 5.. & y, 5.. Και αυτό ιότι η ορίζουσα Cori, όπως αυτή προκύπτει από την αντικατάσταση των τριών παραπάνω σχέσεων στη σχέση 5.5, έχει ως ακοούθως: C 5. Στην περίπτωση οιπόν που D & P, η συµπηρωµατική ύση θα έχει την ακόουθη µορή: Υ A A A 5.. ή ισούναµα Υ i A i i 5.. Στον πίνακα που ακοουθεί παρουσιάζουµε συνοπτικά τις µορές της συµπηρωµατικής ύσης της µη οµοενούς εξίσωσης ιαορών 5.8, όπως αυτή προσιορίζεται βάσει του προσήµου της ιακρίνουσας D.

37 Πίνακας 5.: Μορές της συµπηρωµατικής ύσης βάσει του προσήµου της ιακρίνουσας D D < ο ο θ Q o A θ Q o A θ Q o A P P A A P A Υ D P i i i A Υ D > [ ] χ in A χ o A R T S A e 5 e e Παρατήρηση: Οι σταθερές Α i, i,.,5, µπορούν να προσιορισθούν µε τη βοήθεια τριών αρχικών συνθηκών 5.. Προσιορισµός της µερικής ύσης υπό καθεστώς αναθεωρούµενων προσοκιών Έχοντας οοκηρώσει τη ιερεύνηση της µορής της συµπηρωµατικής ύσης, θα στραούµε τώρα στον προσιορισµό µίας µερικής ύσης της εξίσωσης ιαορών 5.8, το µέεθος της οποίας αποτεεί όπως έχουµε ήη αναέρει την τιµή ισορροπίας του εισοήµατος. Η µορή της συνάρτησης που θα µπορούσαµε να οκιµάσουµε ως µερική ύση εξαρτάται από τη συκεκριµένη µορή της συνάρτησης g. εοµένου ότι: 5. B B g όπου & B B > > ως µερική ύση της 5.8 θα µπορούσαµε να οκιµάσουµε την ανάοης µορής συνάρτηση: 5.5 B B p Από την παραπάνω συνάρτηση εύκοα προκύπτει ότι: B B & B B, B B p p p

38 Αντικαθιστώντας τις σχέσεις στη σχέση 5.8 και επιύοντας ως προς τις σταθερές Β και Β βρίσκουµε ότι: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] B B B B B B B B B B B B B B B B

39 [ ] [ ] [ ] B B B B B B B B Αντικαθιστώντας τις τιµές των σταθερών Β και Β που µόις προσιορίσαµε στη 5.5, παίρνουµε το µέεθος του εισοήµατος ισορροπίας το οποίο και έχει ως ακοούθως: [ ] &,, όπου e p > < > < 5.7

40 Το ερώτηµα το οποίο ανακύπτει στο σηµείο αυτό έχει να κάνει µε τις προϋποθέσεις κάτω από τις οποίες το εισόηµα ισορροπίας, όπως αυτό περιράεται από τη σχέση 5.7, θα αποτεεί ένα θετικό µέεθος. Εόσον >,,, >, < <, >, < <, < και <, οηούµαστε στο συµπέρασµα ότι: > 5.8., > 5.8. & > 5.8. Με άα όια το πρόσηµο του εισοήµατος ισορροπίας θα εξαρτάται, σε µεάο βαθµό, από το πρόσηµο του ακόουθου όρου: 5.9 όπου P Το παραπάνω µέεθος αποτεεί ένα πουώνυµο τρίτου βαθµού ως προς και έχει τις ίιες ακριβώς ρίζες µε εκείνες του χαρακτηριστικού πουωνύµου: 5.5 P Ως εκ τούτου το πρόσηµο του πουωνύµου P, και κατ επέκταση του εισοήµατος ισορροπίας, θα µπορούσε να ιερευνηθεί βάσει του πρόσηµου της ιακρίνουσας D, ιακρίνοντας µεταξύ των ακόουθων περιπτώσεων: η Περίπτωση: D < Όπως έχουµε ήη αναέρει, στην περίπτωση που D < το πουώνυµο P θα έχει τρεις πραµατικές και ιακριτές ρίζες, οι οποίες ίνονται από τις σχέσεις Στο ράηµα 5. παρουσιάζεται η ενααή προσήµου του πουωνύ- P βάσει της ακόουθης σχέσης : µου < < 5.5 όπου * i i R, i,,, οι ρίζες της χαρακτηριστικής εξίσωσης όπως αυτές περιράονται από τις σχέσεις Όπως προκύπτει από τον παραπάνω πίνακα το πουώνυµο P, και συνεπώς το, είναι θετικά ορισµένο στο ιάστηµα,, εισόηµα ισορροπίας e Στην περίπτωση τώρα που, θα ισχύει ότι,. P < και ως εκ τούτου το εισόηµα ισορροπίας θα συνιστά ένα θετικό µέεθος εόσον ισχύει η ακόουθη σχέση: > P 5.5 Η συκεκριµένη σχέση θεµειώνεται στο παράρτηµα Β

41 5. η Περίπτωση: D > Όταν η ιακρίνουσα D συνιστά ένα θετικό µέεθος, το πουώνυµο P έχει µία πραµατική και ύο συζυείς µιαικές ρίζες οι οποίες και περιράονται από τις σχέσεις Με άα όια στην περίπτωση που e e, το πουώνυµο P παίρνει την ακόουθη µορή: 5.5 T S T S S T T S T S P T S 9 T S T S T S T S P T S i T S T S i T S T S P

42 Ο ευρισκόµενος στην πρώτη ακύη όρος, ηαή το µέεθος: S T S T S T S T αποτεεί ένα πουώνυµο ευτέρου βαθµού ως προς και είναι θετικά ορισµένος. Αυτό αποεικνύεται από το εονός ότι η ιακρίνουσά του, η οποία περιράεται από την ακόουθη σχέση: S T S T S T S T S S T S T T 9 S S T T S T S 9 6 S T T S T < 5.5 συνιστά εµανώς ένα αρνητικό µέεθος, οπότε το πρόσηµο του τριωνύµου συµπίπτει µε το πρόσηµο του συντεεστή του όρου. Γίνεται οιπόν ανερό ότι το πρόσηµο του πουωνύµου P εξαρτάται από το πρόσηµο του ακόουθου όρου: S T 5.55 Εξισώνοντας τον όρο αυτό µε το µηέν και επιύοντας ως προς προκύπτει: S T S T 5.56 Υποθέτοντας ότι η σχέση 5.56 περιράει ένα θετικό µέεθος 5, ο περιραόµενος µέσω της σχέσης 5.55 όρος, και κατά συνέπεια το εισόηµα ισορροπίας, θα είναι θετικά ορισµένος εόσον ισχύει ότι: > S T Στην περίπτωση που έναντι της ισχύει η ακόουθη ανισότητα: < S T το εισόηµα ισορροπίας [όπως αυτό περιράεται από τη σχέση 5.7] θα συνιστά ένα θετικό µέεθος µόνο εόσον ικανοποιείται η σχέση Το πρόσηµο της περιραόµενης µέσω της σχέσης 5.56 ρίζας ιερευνάται στα παίσια του παραρτήµατος Γ