2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice..."

Transcript

1 Geometrie Afină

2 Contents 1 Spaţii vectoriale Spaţii vectoriale peste un corp K Exemple de spaţii vectoriale Dependenţă liniară de vectori Baze. Coordonate de vectori. Dimensiune Schimbări de baze Subspaţii vectoriale Morfisme de spaţii vectoriale Subspaţii invariante. Vectori proprii. Valori proprii Forme liniare pe un K-spaţiu vectorial Forme biliniare Forme pătratice. Aducerea la forma canonică Forme pătratice pe spaţii vectoriale complexe Forme pătratice pe spaţii vectoriale reale Spaţii afine Structura afină a unui spaţiu vectorial Spaţii afine. Proprietăţi imediate Exemple de spaţii afine Combinaţii afine de puncte Subspaţii afine Spaţii afine finit dimensionale Dimensiunea unui spaţiu afin Repere şi coordonate carteziene Repere şi coordonate afine Raport şi biraport de puncte coliniare Reprezentări analitice ale unui p-plan Morfisme de spaţii afine Translaţii şi centro-afinităţi Proiectori şi automorfisme afine involutive Morfisme de spaţii afine finit dimensionale Ecuaţiile carteziene ale unui p-plan Forme afine

3 2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice Clasificarea afină a conicelor Clasificarea afină a cuadricelor

4 Chapter 1 Spaţii vectoriale 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K Fie K un corp comutativ (poate fi corpul numerelor complexe C, cel al numerelor reale R, cel al numerelor raţionale Q sau al claselor de resturi modulo p, Z /p (p prim), etc). Fie (V, +) un grup pe care definim o operaţie externă K V V care satisface axiomele: V1. (αβ) v = α (β v) (α, v) α v V2. (α + β) v = α v + β v V3. α (v + w) = α v + α w V4. 1 v = v, pentru orice α, β K şi orice v, w V. (V, +, ) se numeşte K-spaţiu vectorial (sau spaţiu vectorial peste corpul K). Observaţie. Într-un spaţiu vectorial (V, +, ), adunarea este comutativă. iar (1 + 1) (a + b) = (1 + 1) a + (1 + 1) b = a + a + b + b (1 + 1) (a + b) = 1 (a + b) + 1 (a + b) = a + b + a + b, deci a + b = b + a. Elementele lui V se numesc vectori, iar elementele lui K se numesc scalari. Operaţia internă + este adunarea vectorilor, iar operaţia externă este înmulţirea vectorilor cu scalari. Când K = C, respectiv K = R, spaţiul V se numeşte spaţiu vectorial complex, respectiv spaţiu vectorial real. 3

5 Propoziţie. Într-un K-spaţiu vectorial V, au loc: 0 K v = 0 V, v V, unde 0 K este elementul neutru al grupului aditiv (K, +), iar 0 V este elementul neutru al grupului (V, +), numit vectorul nul al spaţiului vectorial V. α 0 v = 0 v, α K α v = 0 v dacă şi numai dacă α = 0 K sau v = 0 V ( 1) v = v, v V, unde v este opusul vectorului v V în grupul (V, +). 1.2 Exemple de spaţii vectoriale 1. Spaţiul vectorilor legaţi şi spaţiul vectorilor liberi sunt spaţii vectoriale reale. 2. Spaţiile vectoriale standard K n, n N Pe produsul cartezian K n = {x = (x 1, x 2,..., x n ), x i K, i = 1, n} se poate defini o structură de K-spaţiu vectorial, numită structura canonică a lui K n. Operaţia externă este dată de x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n ), x = (x 1, x 2,..., x n ), y = (y 1, y 2,..., y n ) K n, iar cea externă de αx = (αx 1, αx 2,..., αx n ), α K n, x = (x 1, x 2,..., x n ) K n. 3. Spaţiul M m,n (K) al matricelor dreptunghiulare cu elemente din K este un K-spaţiu vectorial. Dacă A = (a i,j ) şi B = (b i,j ) sunt două matrici din M m,n (K), iar α K, atunci operaţiile care dau structura de spaţiu vectorial sunt şi A + B = (a i,j + b i,j ) M m,n (K) αa = (αa i,j ) M m,n (K). Dacă m = n, se obţine K-spaţiul vectorial al matricelor pătratice de ordinul n. Dacă m = 1, se obţine K-spaţiul vectorial al matricelor linie, iar dacă n = 1, se obţine K-spaţiul vectorial al matricelor coloană. Aceste ultime două spaţii se identifică cu K n. 4

6 4. Spaţiul funcţiilor V A = {f : A V } unde V este un K-spaţiu vectorial, este, la rândul lui, un K-spaţiu vectorial. Operaţia de adunare a funcţiilor este dată de f + g : A V, (f + g)(x) = f(x) + g(x), iar operaţia externă pe V A peste K (α, f) αf, K V A V A (αf)(x) = αf(x). Spaţiile K n şi M m,n (K) sunt, de fapt, spaţii de tipul V A, unde V = K şi A = {1, 2,..., n}, respectiv A = {1, 2,..., m} {1, 2,..., n}. 5. Spaţiul F(A; K) al funcţiilor cu suport finit este un K-spaţiu vectorial. Pe mulţimea F(A; K) = {f : A K, f(x) = 0 cu excepţia unui număr finit de puncte } se defineşte suma şi înmulţirea cu scalari ca în exemplul anterior. 6. Spaţiul vectorial real C([a, b]) al funcţiilor continue pe [a, b], cu operaţiile definite mai sus. De asemenea, 7. Spaţiul vectorial real D([a, b]) al funcţiilor derivabile pe [a, b] 8. Spaţiul vectorial K n [X] al polinoamelor într-o variabilă X (de grad mai mic sau egal cu un n fixat), cu coeficienţi in corpul K, relativ la operaţiile uzuale de adunare a polinoamelor şi înmulţire a acestora cu numere reale. 9. K-spaţiul polinoamelor de forma a 0 (X 2 + Y 2 ) + a 1 X + a 2 Y + a 3, cu a i K, a 0 0 este legat de mulţimea cercurilor din plan. La fel, 10. K-spaţiul polinoamelor de forma a 0 XY + a 1 X + a 2 Y + a 3, cu a i K, a 0 0 este legat de mulţimea hiperbolelor cu asimptotele paralele cu axele sistemului de coordonate. 11. Corpul numerelor reale R este un Q-spaţiu vectorial. Evident, corpul numerelor raţionale Q nu este un R-spaţiu vectorial (operaţia externă nu se poate defini). 5

7 12. Numerele reale de forma a + b 2 + c 3 formează un Q-spaţiu vectorial. 13. Mulţimea soluţiilor unui sistem de ecuaţii liniare şi omogene cu coeficienţi într-un corp K formeaza un K-spaţiu vectorial. 14. Complexificatul unui spaţiu vectorial real Dacă V este un spaţiu vectorial complex, pe el se poate defini întotdeauna o structură de spaţiu vectorial real. Operaţia internă rămâne aceeaşi, iar operaţia externă peste R este restricţia la R a operaţiei externe peste C. Să presupunem acum că V este un spaţiu vectorial real. Se poate defini pe V 2 = V V o structură de spaţiu vectorial complex astfel: operaţia internă este dată de iar operaţia externă peste C V 2 V 2 V 2, (v 1, w 1 ) + (v 2, w 2 ) = (v 1 + v 2, w 1 + w 2 ), C V 2 V 2, (α + iβ)(v, w) = (αv βw, αw + βv). Spaţiul V 2, cu structura de spaţiu vectorial complex, se numeşte complexificatul lui V şi se notează C V. 1.3 Dependenţă liniară de vectori Fie S = {v 1,..., v n } un sistem finit de vectori dintr-un K-spaţiu vectorial V. Spunem că un vector v V este combinaţie liniară de vectorii sistemului S dacă există scalarii λ 1,... λ n K, astfel încât v = λ 1 v λ n v n. Exemple. În spaţiul vectorial real al numerelor complexe, orice număr complex z = a + bi este o combinaţie liniară a numerelor complexe 1 şi i. În spaţiul vectorial K 2[X] al polinoamelor de grad cel mult 2, orice polinom P (X) = ax 2 + bx + c este o combinaţie liniară a polinoamelor 1, X şi X 2. Un sistem finit de vectori S = {v 1,..., v n } (din K-spaţiul vectorial V ) se numeşte liniar independent (sau vectorii săi sunt liniar independenţi) dacă În caz contrar, S este liniar dependent. 0 V = λ 1 v λ n v n = λ 1 =... = λ n = 0 K. Propoziţie. Sistemul S = {v 1,..., v n } este liniar dependent dacă şi numai dacă cel puţin unul din vectorii săi este o combinaţie liniară a celorlalţi. 6

8 Propoziţie. Fie S = {v 1,..., v n } un sistem finit de vectori din V. Dacă un subsistem al lui S este liniar dependent, atunci şi S este liniar dependent. Dacă S este liniar independent, atunci orice subsistem al să este liniar independent. Exemple. Numerele complexe z 1 = 1 i, z 2 = 2 + 2i şi z 3 = 3 + 3i sunt liniar dependente (peste corpul numerelor raţionale), deoarece z 2 = 2 3 z 3, chiar dacă z 1 nu este liniar dependent de z 2 şi z 3. Polinoamele P 1 (X) = X X 2, P 2 (X) = 1 2X, P 3 (X) = 1+X 2 şi P 4 (X) = 1 2X 2 sunt liniar dependente peste Q, deoarece P 4 = 2P 1 + P 2. Se verifică uşor că numerele complexe 1 + i şi 1 i sunt liniar independente peste corpul numerelor reale. Vectorii e 1 = (1, 0,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1) din K n sunt liniar independenţi peste corpul K. Sistemul {1, sin x, cos x} este liniar independent în spaţiul vectorial real R R. În RR, sistemul {1, sin 2 x, cos 2 x} este liniar dependent. Sistemul alcătuit dintr-un singur vector v este liniar dependent dacă şi numai dacă v este vectorul nul. Doi vectori sunt liniar dependenţi dacă şi numai dacă au aceeaşi direcţie. Trei vectori (legaţi) sunt liniar dependenţi dacă şi numai dacă sunt coplanari. Patru vectori sunt întotdeauna liniar dependenţi. Ideea de vectori liniar independenţi se extinde şi la sisteme infinite de vectori. Un sistem infinit S = {v α : α I} de vectori din spaţiul vectorial V este liniar independent dacă orice subsistem finit al său este liniar independent. În caz contrar, sistemul este liniar dependent. Un vector v V este combinaţie liniară a unui sistem de vectori S (finit sau infinit) dacă este combinţie liniară a unui subsistem finit al lui S. Exemplu. Fie K[X] spaţiul vectorial al polinoamelor într-o variabilă X, cu coeficienţi într-un corp K. Sistemul infinit de polinoame {1, X, X 2, X 3,...} este liniar independent, deoarece orice subsistem finit al său {X m 1,... X m k} este liniar independent. 1.4 Baze. Coordonate de vectori. Dimensiune Fie S = {v α : α I} un sistem oarecare (finit sau infinit) de vectori din K-spaţiul vectorial V. Sistemul S este sistem de generatori pentru V dacă orice vector din V este o combinaţie liniară a lui S. Un sistem de vectori B = {v α : α I} din K-spaţiul vectorial V este o bază a lui V dacă 7

9 B este liniar independent B este sistem de generatori pentru V. Dacă B = {v α : α I} este o bază a K-spaţiului vectorial V, atunci orice vector v V se poate exprima în mod unic în forma v = λ 1 v λ n v n, unde λ 1,..., λ n K, iar {v 1,..., v n } B. Sistemul de scalari {λ 1,..., λ n } poartă numele de coordonatele vectorului v în baza B. Evident, dacă un v V se scrie sub forma v = λ α v α şi, în acelaşi timp v = µ α v α α I α I (coeficienţii λ α şi µ α sunt zero, cu excepţia unui număr finit, deci sumele sunt finite), atunci µ α v α = 0, α I λ α v α α I deci α I(λ α µ α )v α = 0, adică λ α = µ α. Exemple. În spaţiul vectorial E 3 al vectorilor legaţi într-un punct O, orice sistem format din trei vectori necoplanari determină o bază. Coordonatele unui vector arbitrar vor fi date de descompunerea (se poate face geometric...) acestui vector după direcţiile vectorilor din bază. În Kn, sistemul de vectori e 1 = (1, 0,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1) este o bază, numită baza canonică (sau baza naturală). Orice vector v = (v 1,..., v n ) K n se scrie în mod unic v = v 1 e v n e n. O bază a lui C peste R este dată de numerele complexe 1 şi i. O bază pentru spaţiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult 2 este dată de monoamele 1, X şi X 2. În K-spaţiul vectorial M m,n(k), o bază este formată din sistemul de matrici E i,j, unde E i,j = (1 la intersecţia liniei i cu coloana j) O matrice A = (a i,j ) K se va scrie în mod unic sub forma A = m a i,j E i,j, iar {a i,j } sunt coordonatele lui A în baza {E i,j }. 8

10 Subspaţiul nul {0 V } nu admite bază, deoarece sistemul {0 V } este liniar dependent. Fie A o mulţime nevidă oarecare şi F(A; K) = {f : A K, f(x) = 0 cu excepţia unui număr finit de puncte }. Această mulţime are o structură de K-spaţiu vectorial în raport cu adunarea funcţiilor şi înmulţirea acestora cu scalari. Construim o bază în acest spaţiu. Pentru orice a A, definim funcţia f a : A K, f a (x) = { 1, dacă x = a 0, dacă x a. Sistemul de funcţii B = {f a, a A} este o bază a spaţiului F(A; K). Într-adevăr, o funcţie f F(A; K) se scrie sub forma f(x) = k λ k f ai (x), unde {a i, i = 1, k} este mulţimea (finită) a punctelor unde f nu se anulează, iar λ i = f(a i ). În plus, dacă k λ k f ai = 0 F(A; K), atunci, egalând cele două funcţii pentru punctele a i, obţinem λ 1 =... = λ k = 0. Orice sistem de generatori al unui spaţiu vectorial conţine o bază. Fiecare sistem de vectori liniar independenţi dintr-un spaţiu vectorial poate fi extins la o bază. Orice spaţiu vectorial netrivial admite cel puţin o bază. Spaţiile vectoriale care admit o bază finită se vor numi spaţii finit dimensionale. Propoziţie Dacă B = {e 1,..., e n } este o bază finită a K-spaţiului vectorial V şi w = w 1 e w n e n V are proprietatea că w i 0, atunci sistemul B = {e 1,..., e i 1, w, e i+1,..., e n } este, de asemenea, o bază pentru V. Dem: Sistemul B este liniar independent. Într-adevăr, dacă λ 1 e λ i 1 e i 1 + λw + λ i+1 e i λ n e n = 0, ( ) înlocuind pe w, se obţine (λ 1 + w 1 )e (λ i 1 + w i 1 )e i 1 + λw i e i + (λ i+1 + w i+1 )e i (λ n + w n )e n = 0 9

11 şi, deci, λ 1 + w 1 = 0,..., λ i 1 + w i 1 = 0, λ i+1 + w i+1 = 0,... λ n + w n = 0, λ = 0. Înlocuind λ = 0 în (*), rămâne doar o combinaţie liniară de vectori din B, deci λ 1 =... = λ i 1 = λ i+1 =... = λ n = 0. B este sistem de generatori. Orice vector v V se scrie ca o combinaţie liniară de vectori din B. Înlocuind în această expresie vectorul e i (care se exprimă din w ca o combinaţie liniară de vectori din B, va rezulta o expresie a lui v ca o combinaţie liniară de vectori din B. Teoremă (Teorema înlocuirii, Steinitz) Dacă B = {e 1,..., e n } este o bază a K- spaţiului vectorial V şi S = {v 1,..., v p } V este un sistem de vectori liniar independenţi, atunci 1) p n 2) renumerotând, eventual, vectorii lui B, sistemul B = {v 1,... v p, e p+1,..., e n } este, de asemenea, o bază a lui V. Dem: Vom folosi inducţia după p. Dacă p = 1, avem Propoziţia Presupunem că teorema are loc pentru p 1. Fie S 1 = {v 1,..., v p 1 }. Aceasta înseamnă că p 1 n şi că mulţimea este o bază pentru V. B 1 = {v 1,..., v p 1, e p,..., e n } Nu putem avea p 1 = n. În caz contrar, S 1 = B, deci S 1 este o bază a lui V. Vectorul v p (care nu se află în S 1 ) se va putea exprima ca o combinaţie liniară de elemente din S 1. Dar aceasta ar însemna că sistemul S nu este liniar independent, ceea ce contrazice ipoteza. Deci p 1 < n, adică p n. Deoarece B 1 este o bază a lui V, vectorul v p se poate scrie v p = α 1 v α p 1 v p 1 + α p e p α n e n, unde cel puţin unul din coeficienţii α p,..., α n este nenul (altfel, v p ar fi, din nou, combinaţie liniară de elemente din S 1 ). Renumerotând, eventual, putem presupune că α p 0. Folosind, din nou, Propoziţia 1.4.1, B va deveni o bază pentru V. Consecinţă. Dacă un spaţiu vectorial V are o bază formată din n vectori, atunci orice bază a sa este formată din n vectori. 10

12 Dem: Considerând două baze ale lui V, una cu m elemente şi una cu n elemente, oricare dintre acestea poate fi considerată sistemul liniar independent din Teorema Vom avea m n şi n m, adică m = n. Numărul elementelor dintr-o bază a unui spaţiu vectorial V cu bază finită se numeşte dimensiunea spaţiului vectorial V (dim V ). Corolar. Dacă dim V = n, atunci oricare n vectori liniar independenţi din V formează o bază a lui V. De asemenea, un sistem de generatori format din n elemente este o bază. Dimensiunea spaţiului nul {0 V } este 0. Spaţiile vectoriale de dimensiune 1 se numesc drepte vectoriale, iar cele de dimensiune 2 plane vectoriale. Un spaţiu vectorial este de dimensiune infinită dacă nu admite baze finite (un spaţiu infinit dimensional admite sisteme finite şi infinite de vectori liniar independenţi. 1.5 Schimbări de baze Fie V un K-spaţiu vectorial n-dimensional şi B = {e 1,..., e n } şi B = {e 1,..., e n} două baze oarecare. Vectorii lui B sunt combinaţii liniare de vectori din B, iar vectorii lui B sunt combinaţii liniare de vectori din B. e i = e j = p ji e j, i = 1, n, p ij K, (1.1) p ije i, j = 1, n, p ij K, (1.2) Formulele (1.1) sunt formulele de trecere de la baza B la baza B, iar matricea P = (p ij ) este matricea de trecere de la baza B la baza B. Analog, (1.2) sunt formulele de trecere de la baza B la baza B, iar matricea P = (p ji ) este matricea de trecere de la baza B la baza B. Evident, matricele P şi P sunt unic determinate de cele două baze. Propoziţie. O matrice P M n (K) este matricea unei schimbări de baze într-un K-spaţiu vectorial n-dimensional V dacă şi numai dacă det P 0. Dem: = Fie B şi B două baze ale lui V, ca mai sus, iar P matricea de trecere de la B la B. Deoarece B este bază, relaţia λ i e i = 0 11

13 are loc numai pentru scalarii λ 1 =... = λ n = 0. Dar, folosind formulele de trecere de la baza B la baza B, relaţia de mai sus este echivalentă cu adică λ i ( p ji e j ) = 0 ( λ i p ji )e j = 0. Dar şi B este bază, deci ultima relaţie este echivalentă cu λ i p ji = 0. (1.3) Rezultă, de fapt, că sistemul liniar şi omogen (1.3) trebuie să admită doar soluţia banală λ 1 =... = λ n = 0, deci determinantul matricei asociate acestui sistem (care este chiar matricea P ) este nenul, det P 0. = Fie B = {e 1,..., e n } o bază oarecare a lui V şi P = (p ij ) M n (K) o matrice arbitrară, cu det P 0. Vom arăta că există o bază B a lui V, pentru care matricea de trecere de la B la B este chiar P. Definim elementele muţimii B chiar prin formulele de trecere (1.1). e i = p ji e j, i = 1, n, p ji K. Deoarece B are n elemente, este suficient să arătăm că sistemul B este liniar independent. Dacă n λ i e i = 0, înlocuind vectorii e i, obţinem n ( n λ i p ji )e j = 0, deci λ i p ji = 0. Deoarece matricea P coincide cu matricea acestui sistem şi este nesingulară, sistemul admite doar soluţia banală λ 1 =... = λ n = 0, deci B este o bază a lui V, iar matricea de trecere le la B la B este P. Propoziţie. Fie V un K-spaţiu vectorial de dimensiune n, B = {e 1,..., e n } şi B = {e 1,..., e n} două baze oarecare ale sale, v V un vector, iar v = (v 1,..., v n ) şi v = (v 1,..., v n) coordonatele lui v respectiv în cele două baze. Dacă P = (p ij ) şi P = (p ji ) sunt matricele de trecere de la o bază la alta (ca şi în (1.1) şi (1.2)), atunci formulele de transformare a coordonatelor lui v la schimbarea bazelor sunt v i = p ij v j, i 1, n (1.4) respectiv v i = p ijv j, i 1, n. (1.5) 12

14 Dem: Rezultă din unicitatea scrierii unui vector ca o combinaţie liniară de elemente dintr-o bază. v = v i e i = v je j = v j( p ij e i ) = ( p ij v j)e i, deci v i = p ij v j. Folosind formulele de trecere de la B la B, obţinem expresiile pentru v i. Fie, din nou, B = {e 1,..., e n } şi B = {e 1,..., e n} două baze oarecare ale unui spaţiu vectorial V, v = (v 1,..., v n ) şi v = (v 1,..., v n) coordonatele unui vector v respectiv în cele două baze, iar P = (p ij ) şi P = (p ji ) sunt matricele de trecere de la o bază la alta. Am văzut că v i = p ij v j, i 1, n şi Va rezulta că deci n, v i = p ij v j = v j = p jk v k, i 1, n. k=1 p ij ( p jk v k) = k=1 k=1 p ij p jk v k = ( p ij p jk )v k p ij p jk = δk i, adică produsul matricelor de trecere este matricea unitate de ordinul P P = P P = I n. Rezultă că matricele care intervin în formulele de schimbare de baze (şi în formulele de schimbare de coordonate ale vectorilor) sunt nesingulare şi sunt una inversa celeilalte P = P 1. Formulele (1.4) şi (1.5) au o formă matriceală. Identificând un vectorul v = (v 1,..., v n ) cu matricea coloană [v] B =, formulele de schimbare de coordonate (1.4) devin v n v 1 p 11 p 1n v 1 =, v n p n1 p nn v n 13 v 1 k=1

15 sau, pe scurt, [v] b = P [v] B. (În matricea P, coloanele reprezintă componentele vectorilor bazei B ). 1.6 Subspaţii vectoriale Fie V un K-spaţiu vectorial. Un subspaţiu vectorial al lui V este o submulţime nevidă W a lui V, care rămâne un K-spaţiu vectorial în raport cu operaţiile induse din V. Aceasta înseamnă că W este subspaţiu vectorial al lui V dacă W V, W şi (w 1, w 2 ) W W, w 1 + w 2 W (λ, w) K W, λw W. Vom nota W V. O formulare echivalentă: W V dacă şi numai dacă W V, W şi λ 1, λ 2 K, w 1, w 2 W = λ 1 w 1 + λ 2 w 2 W. Exemple. Numerele complexe de forma a(1+i) formează un subspaţiu vectorial real al lui C (peste R). Spaţiul vectorial al polinoamelor de grad cel mult trei este un subspaţiu al spaţiului vectorial al polinoamelor de grad cel mult 7 (peste acelaşi corp). Q nu este subspaţiu vectorial al lui R (peste corpul numerelor reale). Mulţimea funcţiilor pare R R este un subspaţiu vectorial al spaţiului tuturor funcţiilor R R (peste R). Orice spaţiu vectorial V admite cel puţin două subspaţii: subspaţiul nul şi subspaţiul însuşi. Ele se numesc subspaţiile triviale ale lui V. În spaţiul vectorilor legaţi într-un punct O, mulţimea vectorilor care au aceeaşi dreaptă suport d O este un subspaţiu vectorial de dimensiune 1, iar mulţimea vectorilor cu suportul conţinut într-un plan π O este un subspaţiu vectorial de dimensiune 2. Următoarele submulţimi sunt subspaţii vectoriale ale lui M(K): n(n + 1) mulţimea matricelor simetrice este un subspaţiu vectorial de dimensiune. 2 mulţimea matricelor antisimetrice este un subspaţiu vectorial de dimensiune n(n 1). 2 mulţimea matricelor triunghiulare este un subspaţiu vectorial de dimensiune n(n + 1). 2 14

16 mulţimea matricelor diagonale este un subspaţiu vectorial de dimensiune n. Propoziţie. Dacă W 1 şi W 2 sunt subspaţii ale K-spaţiului vectorial V, atunci intersecţia şi suma acestora sunt subspaţii ale lui V. W 1 W 2 = {v V, v W 1 şi v W 2 }, W 1 + W 2 = {w 1 + w 2, w 1 W 1 şi w 2 W 2 }. Fie S = {v α, α J} un subsistem oarecare al K-spaţiului vectorial V. Intersecţia tuturor subspaţiilor lui V care conţin S se numeşte subspaţiul generat de S (sau închiderea liniară a lui S, sau înfăşurătoarea liniară a lui S); îl vom nota < S >. Este subspaţiul cel mai mic (în raport cu incluziunea) care conţine pe S. Propoziţie Fie S = {v α, α J} un subsistem de vectori al K-spaţiului vectorial V. Atunci < S >= {λ 1 v λ n v n, n N, λ i K, v i S} (sume finite). Dem: Subspaţiul generat de S este < S >= W V S W W. Notăm N = {λ 1 v λ n v n, n N, λ i K, v i S}. N este, evident, un subspaţiu vectorial al lui V şi îl conţine pe S, deci conţine şi < S >, < S > N. Un subspaţiu W al lui V, care conţine pe S, va conţine şi orice combinaţie liniară de elemente din S, deci orice vector de forma λ 1 v λ n v n. În consecinţă, îl va conţine pe N, adică N se află în intersecţia acestor subspaţii şi Deci N =< S >. N < S >. S este un sistem de generatori pentru spaţiul < S >. Dacă S este liniar independent, atunci S este bază pentru < S >. Dacă S este un subspaţiu al lui V, atunci S =< S >. Subspaţiul generat de mulţimea vidă este identic cu subspaţiul nul < >= {0 v }. 15

17 Subspaţiul generat de un vector nenul este o dreaptă vectorială < v >= {λv, λ K}. Subspaţiul generat de doi vectori liniar independenţi este un plan vectorial < v 1, v 2 >= {λ 1 v 1 + λ 2 v 2, λ 1 λ 2 K}. Dacă S = {v 1,..., v n } este o mulţime finită, atunci subspaţiul generat de v 1,..., v n este < v 1,..., v n >= {λ 1 v λ n v n, λ i K}. Se numeşte rang al sistemului S = {v α, α I} dimensiunea spaţiului < S > generat de S. Rangul unui sistem finit de vectori S = {v 1,..., v n } este egal cu numărul maxim de vectori liniar independenţi din S. Mulţimea soluţiilor unui sistem de ecuaţii liniare şi omogene ( cu m ecuaţii şi n necunoscute) are o structură de spaţiu vectorial. Dacă rangul matricei coeficienţilor sistemului este r, atunci dimensiunea spaţiului soluţiilor sale este n r. Propoziţie Dacă spaţiul vectorial V este de dimensiune finită şi W este un subspaţiu al lui V, atunci dim W dim V. Dacă, în plus, dim W = dim V, atunci W = V. Dem: Deoarece W este un subspaţiu al lui V, orice sistem de vectori liniar independenţi în W va fi liniar independent şi în V. Conform Teoremei 1.4.2, acesta se poate completa până la o bază în V, deci are cel mult atâtea elemente cât este dimensiunea lui V. În consecinţă, dim W dim V. Presupunem că dim W = dim V. Atunci, o bază a lui W, fiind cuprinsă într-o bază a lui V şi având acelaşi cardinal, coincide cu aceasta din urmă. Spaţiile W şi V vor fi, deci, generate de aceeaşi bază şi vor coincide. Propoziţie. Fie W 1 şi W 2 două subspaţii ale lui V. Atunci < W 1 W 2 >= W 1 + W 2. În general, dacă {W α, α I} este o mulţime de subspaţii ale lui V, subspaţiul generat de mulţimea M = W α se numeşte suma subspaţiilor W α şi se scrie α I < M >= W α. α I Suma a două subspaţii W 1 şi W 2 ale lui V se numeşte sumă directă dacă fiecare vector v W 1 + W 2 se scrie în mod unic sub forma v = w 1 + w 2. Suma directă a subspaţiilor W 1 şi W 2 se notează W 1 W 2. 16

18 Propoziţie. Suma a două subspaţii W 1 şi W 2 ale lui V este sumă directă dacă şi numai dacă intersecţia acestora este subspaţiul nul W 1 W 2 W 1 W 2 = {0 V }. Dem: = Fie v W 1 W 2. Dacă v 0 V, atunci un vector arbitrar w W 1 W 2 ar admite două scrieri distincte w = w 1 +w 2 W 1 +W 2 şi w = (w 1 +v)+(w 2 v) W 1 +W 2, contradicţie cu faptul că suma este directă. = Presupunem că un vector w W 1 + W 2 admite două scrieri de forma w = w 1 + w 2 W 1 + W 2 şi w = u 1 + u 2 W 1 + W 2. Atunci 0 v = (w 1 u 1 ) + (w 2 u 2 ). Cum W 1 W 2 = {0 V }, va rezulta că w 1 u 1 = w 2 u 2 = 0 V, adică scrierea lui w este unică şi suma subspaţiilor W 1 şi W 2 este directă: W 1 W 2. Fie W 1,..., W n un număr finit de subspaţii ale lui V. Suma acestora va fi subspaţiul W i = W W n, iar un vector w n W i este de forma w = w w p, w i W i, i 1, n. Dacă w se scrie în mod unic în forma de mai sus, atunci suma de spaţii este directă şi se notează n W 1... W n = W i. Subspaţii suplimentare. Hiperplane vectoriale Două subspaţii vectoriale W 1 şi W 2 ale unui K-spaţiu vectorial V se numesc suplimentare dacă V este suma lor directă V = W 1 W 2. Un subspaţiu H V se numeşte hiperplan vectorial dacă este suplimentar unei drepte vectoriale din V. Exemple. Două drepte distincte din spaţiul euclidian 3-dimensional, care trec prin origine, sunt subspaţii vectoriale independente (adică intersecţia lor este subspaţiul nul {0 V }). Suma lor este o sumă directă şi este planul vectorial determinat de cele două drepte. Un plan şi o dreaptă care nu aparţine planului, în spaţiul euclidian 3-dimensional, care trec prin origine, sunt subspaţii vectoriale independente. Suma lor este directă şi este întreg spaţiul. Sunt, deci, subspaţii vectoriale suplimentare. 17

19 Subspaţiile matricelor simetrice, respectiv antisimetrice, sunt subspaţii suplimentare. Pentru orice matrice A M(K), avem A = A s + A a, unde A s = 1 2 (A +t A) este o matrice simetrică, iar A a = 1 2 (A t A) este o matrice antisimetrică. Subspaţiile matricelor triunghiulare şi al matricelor simetrice nu sunt independente, doarece intersecţia lor este subspaţiul matricelor diagonale. Propoziţie. Fie V un K-spaţiu vectorial n-dimensional. Orice subspaţiu W de dimeniune m al lui V admite cel puţin un subspaţiu suplimentar în V. Subspaţiul suplimentar va avea dimensiunea n m. Dem: W este, la rândul său, un spaţiu vectorial m-dimensional, deci admite o bază finită, cu m elemente, B = {e 1,..., e m }. Această bază se poate completa până la o bază a lui V. Fie S = {f m+1,..., f n } un sistem de vectori din V, astfel încât B S să fie bază a lui V. Fie U spaţiul vectorial generat de S, evident un subspaţiu (n m)-dimensional al lui V. Este imediat faptul că U este un spaţiu suplimentar al lui W. Dacă V este un spaţiu vectorial n-dimensional, atunci hiperplanele sunt subspaţii de dimensiune n 1. Hiperplanele unui spaţiu vectorial 2-dimensional sunt dreptele vectoriale. Hiperplanele unui spaţiu vectorial 3-dimensional sunt planele vectoriale. Propoziţia anterioară este adevărată şi în cazul spaţiilor vectoriale infinit dimensionale: Orice subspaţiu propriu al unui spaţiu vectorial admite cel puţin un subspaţiu suplimentar. Teoremă (existenţa hiperplanelor) Fie V un spaţiu vectorial (finit sau infinit dimensional) şi W un subspaţiu propriu al său. Există cel puţin un hiperplan vectorial al lui V care conţine pe W. Dem: Fie B o bază a lui W. Aceasta se poate completa până la o bază a lui V. Fie S un sistem de vectori din V, pentru care B S este bază a lui V. Sistemul S este nevid (altfel, B ar fi o bază a lui V, deci W şi V ar fi generate de acelaşi sistem de vectori, adică ar coincide şi W nu ar mai fi un subspaţiu propriu al lui V ). Fie v S şi fie H =< B (S \ {v}) >. Evident, V =< v > H, deci H este un hiperplan al lui V. Mai mult, deoarece H conţine baza lui W, H va conţine întreg spaţiul W. Teoremă Fie V un K-spaţiu vectorial n-dimensional şi W un subspaţiu de dimeniune m al lui V. Atunci W este intersecţia a n m hiperplane vectoriale. 18

20 Dem: Fie B = {e 1,..., e m } o bază a lui W. Aceasta se poate completa până la o bază a lui V. Fie S = {f m+1,..., f n } un sistem de vectori din S, pentru care B S este o bază a lui V. Fie B i = (B S) \ {f m+i }, i 1, n m. Sistemele B i conţin câte n 1 vectori: toţi vectorii din baza lui V, mai puţin respectiv câte un vector din S. Fie H i =< B i >, i 1, n m. Evident, H i sunt n m hiperplane ale lui V. Vom arăta că Fie M = n m H i. W = n m W B i, i 1, n m, deci W < B i >= H i, i 1, n m, adică W n m M. H i. H i = Dacă v M, atunci v H i, i 1, n m, deci v va fi o combinaţie liniară de vectori numai din B (elementele lui S dispar pe rând), adică v < B >= W şi M W. Teorema anterioară are loc şi în cazul spaţiilor vectoriale infinit dimensionale: Dacă W este un subspaţiu propriu al unui spaţiu vectorial V, atunci există o familie de hiperplane H α, α I, astfel încât W = α I H α. Teorema dimensiunii, Grassmann Fie W 1 şi W 2 două subspaţii (de dimensiune finită) ale spaţiului vectorial V. relaţia dim W 1 + dim W 2 = dim(w 1 + W 2 ) + dim(w 1 W 2 ). Dem: Presupunem că dim W 1 = m, dim W 2 = n şi dim(w 1 W 2 ) = p. Fie B = {e 1,..., e p } Are loc o bază a lui W 1 W 2. Aceasta se poate completa atât la o bază B 1 a lui W 1, cât şi la o bază B 2 a lui W 2. Să presupunem că Fie B 1 = {e 1,..., e p, a p+1,..., a m } este o bază a lui W 1 şi B 2 = {e 1,..., e p, b p+1,..., b n } este o bază a lui W 2. Vom arăta că B 3 este o bază a lui W 1 + W 2. B 3 = {e 1,..., e p, a p+1,..., a m, b p+1,..., b n }. 19

21 Mai întâi, B 3 este un sistem de generatori pentru W 1 + W 2. Fie v W 1 + W 2. Atunci v = w 1 + w 2, unde w 1 W 1 şi w 2 W 2. Deci v = λ 1 e λ p e p + λ p+1 a p λ m a m + µ 1 e µ p e p + µ p+1 b p µ m b m, }{{}}{{} w 1 w 2 adică v este o combinaţie liniară de vectori din B 3. Sistemul B 3 este liniar independent. Fie ( ) λ 1 e λ p e p + λ p+1 a p λ m a m + µ p+1 b p µ m b m = 0. Vom arăta că toţi coeficienţii se anulează. Relaţia de mai sus este echivalentă cu λ 1 e λ p e p + λ p+1 a p λ m a m = µ p+1 b p+1... µ m b m. Termenul din partea stângă este un vector din W 1, iar cel din dreapta un vector din W 2. Rezultă că ambii membri se află în W 1 W 2. Deoarece µ p+1 b p µ m b m W 1 W 2, rezultă că µ p+1 b p µ m b m = α 1 e α p e p şi relaţia (*) devine sau λ 1 e λ p e p + λ p+1 a p λ m a m + α 1 e α p e p = 0 (λ 1 + α 1 )e (λ p + α p )e p + λ p+1 a p λ m a m = 0. Aceasta din urmă este o combinaţie liniară de vectori din B 1, care este o bază pentru W 1, deci toţi scalarii sunt zero. În particular, λ p+1 =... = λ m = 0. Înlocuind în (*), obţinem o combinaţie liniară de vectori din B 2, deci şi restul scalarilor se anulează. Rezultă că B 3 este o bază a lui W 1 +W 2 şi dimensiunea acestuia este egală cu numărul de elemente din bază. dim(w 1 +W 2 ) = p+(m p)+(n p) = m+n p = dim W 1 +dim W 2 dim(w 1 W 2 ). Dacă W 1 şi W 2 sunt subspaţii independente, atunci dim W 1 + dim W 2 = dim(w 1 + W 2 ). Dacă W 1 şi W 2 sunt subspaţii ale spaţiului vectorial n-dimensional V şi dim W 1 + dim W 2 > n, atunci W 1 W 2 {0 v }. 20

22 1.7 Morfisme de spaţii vectoriale Fie V şi W două spaţii vectoriale peste acelaşi corp K. O aplicaţie f : V W se numeşte morfism al lui V în W (sau aplicaţie liniară, sau omomorfism) dacă satisface condiţiile: Condiţiile de mai sus sunt echivalente cu f(v 1 + v 2 ) = f(v 1 ) + f(v 2 ) v 1, v 2 V, f(λv) = λf(v) λ K, v V. f(λ 1 v 1 + λ 2 v 2 ) = λ 1 f(v 1 ) + λ 2 f(v 2 ) λ 1, λ 2 K, v 1, v 2 V. O aplicaţie liniară f : V V se numeşte endomorfism (sau operator liniar) al spaţiului vectorial V. O aplicaţie liniară bijectivă f : V W se numeşte izomorfism al lui V pe W. Două spaţii vectoriale V şi W sunt izomorfe (V W ) dacă există un izomorfism f : V W. Un izomorfism f : V V se numeşte automorfism al lui V. Propoziţie. 1) Fie f : V W un morfism de spaţii vectoriale. Atunci a) f( v) = f(v), v V b) f(0 V ) = 0 W. 2) Dacă f : V W este un izomorfism de spaţii vectoriale, atunci şi f 1 : W V este un izomorfism. Exemple. Aplicaţia identică 1 V : V V, 1 V (v) = v, v V, este o aplicaţie liniară. Dacă V este un spaţiu vectorial, iar W un subspaţiu al său, injecţia canonică a lui W în V, i : W V, i(w) = w, w W, este o aplicaţie liniară. Aplicaţia nulă 0 : V W, 0(v) = 0 W, v V, este o aplicaţie liniară. Omotetia de raport h este o aplicaţie liniară. Dacă V este un K-spaţiu vectorial şi h K, omotetia de raport h este definită prin H h : V V, H h (v) = hv, v V. Deoarece h 0, H h admite o inversă H 1/h : V V, deci o omotetie a unui spaţiu este un automorfism al acestuia. Operaţia de derivare, în spaţiul vectorial R[X], este o aplicaţie liniară a spaţiului în el însuşi. 21

23 Fie V un K-spaţiu vectorial şi W 1 şi W 2 două subspaţii suplimentare: V = W 1 W 2. Un vector v V admite o descompunere unică de forma v = w 1 + w 2, cu w 1 W 1 şi w 2 W 2. Aplicaţia p W1 : V W 1, p W1 (v) = w 1, v V se numeşte proiecţia lui V pe W 1, făcută paralel cu W 2. Analog se poate defini proiecţia lui V pe W 2, făcută paralel cu W 1. Aplicaţia s W1 : V V, s W1 (v) = w 1 w 2, v V se numeşte simetria lui V faţă de W 1, făcută paralel cu W 2. Analog se poate defini simetria lui V faţă de W 2, făcută paralel cu W 1. Proiecţiile şi simetriile definite mai sus sunt aplicaţii liniare. Fie E O1 spaţiul vectorial (3-dim) al vectorilor legaţi în O 1 şi E O2 spaţiul vectorial (3-dim) al vectorilor legaţi în O 2. Aplicaţia f : E O1 E O2, f(o 1 A 1 ) = O 2 A 2, unde vectorii O 1 A 1 şi O 2 A 2 sunt echipolenţi, este un izomorfism de spaţii vectoriale. Propoziţie. Fie F : V W o aplicaţie liniară între două spaţii vectoriale. a) Dacă M V, atunci f(m) W, unde este mulţimea valorilor lui f. b) Dacă N W, atunci f 1 (N) V, unde este preimaginea lui N. f(m) = {f(v), v V } f 1 (N) = {v V, f(v) N} Fie Im f = f(v ) imaginea aplicaţiei f şi ker f = f 1 (0 W ) nucleul lui f. Acestea sunt subspaţii ale lui W, respectiv V. Propoziţie. Fie f : V W o aplicaţie liniară. Atunci: a) f este injectivă dacă şi numai dacă ker f = {0 V }. b) f este surjectivă dacă şi numai dacă Im f = W. c) f este bijectivă dacă şi numai dacă ker f = {0 V } şi Im f = W. Propoziţie. Fie f : V W o aplicaţie liniară şi S = {v α, α J} un sistem de vectori din V. a) Dacă f este injectivă şi S este liniar independent, atunci şi f(s) este liniar independent. 22

24 b) Dacă f este surjectivă şi S este sistem de generatori pentru V, atunci şi f(s) este sistem de generatori pentru W. c) Dacă f este bijectivă şi S este o bază pentru V, atunci f(s) este o bază pentru W. Notăm cu Hom(V, W ) mulţimea aplicaţiilor liniare de la V la W şi cu Izo(V, W ) mulţimea izomorfismelor de la V la W. În raport cu operaţiile de adunare a funcţiilor şi înmulţire a acestora cu scalari, Hom(V, W ) are o structură de K-spaţiu vectorial. El este un subspaţiu vectorial al lui W V. Notăm End(V ) mulţimea endomorfismelor unui K-spaţiu vectorial V. Mulţimea End(V ) este un K-spaţiu vectorial şi admite o structură de inel cu unitate (relativ la compunerea funcţiilor), în consecinţă, este o K-algebră asociativă cu unitate. Notăm Aut(V ) mulţimea automorfismelor unui K-spaţiu vectorial V. Mulţimea Aut(V ) admite o structură de grup în raport cu operaţia de compunere a funcţiilor. Grupul automorfismelor unui K-spaţiu vectorial V se mai numeşte şi grupul general liniar al lui V şi se notează cu GL(V ). Proiectori Un endomorfism p : V V se numeşte proiector al spaţiului V dacă p 2 p 2 = p p. = p, unde Propoziţie. Dacă p : V V este un proiector, atunci a) Im p ker p = V ; b) endomorfismul q = 1 V p este, şi el, un proiector. Dem: a) Fie v 1 = p(v) şi v 2 = v v 1. Evident v = v 1 + v 2, v 1 Im p şi p(v 2 ) = p(v) p(v 1 ) = p(v) p 2 (v) = 0 V, deci v 2 ker p. Rezultă că Im p + ker p = V. Deoarece imaginea unui vector prin f este unică, rezultă că v 1 este unic, la fel v 2, deci suma este directă. b) Se verifică direct. Avem Im p = {p(v), v V } Vom arăta că Im p = ker q şi Im q = ker p. Im q = {v p(v), v V } ker p = {v V, p(v) = 0 V } ker q = {v V, v p(v) = 0 V }. 23

25 Im p = ker q Fie w Im p v V cu w = p(v). Deoarece w p(w) = v(v) p 2 (v) = 0 V, w ker q, deci Im p ker q. Fie v ker q v = p(v) Im p v Im p, deci ker q Im p. Im q = ker p Fie w Im q v V cu w = v p(v). Deoarece p(w) = p(v) p 2 (v) = 0 V w ker p, deci Im q ker p. Fie v ker p p(v) = 0 V, deci v se poate scrie v = v 0 v = v p(v) v Im q, adică ker p Im q. Deci spaţiul V se descompune ca sumă directă V = Im p ker p şi V = ker q Im q. Aplicaţia p : V Im p este proiecţia lui V pe Im p, făcută paralel cu ker p, iar q : V Im q este proiecţia lui V pe Im q, făcută paralel cu ker q. În general, dacă W 1 şi W 2 sunt două subspaţii suplimentare ale lui V, V = W 1 W 2, iar p : V W 1 şi q : V W 2 sunt proiecţiile lui V pe cei doi factori, avem p 2 = p, q 2 = q şi p + q = 1 V. (desene) Automorfisme involutive Un endomorfism s : V V este involutiv dacă s 2 = 1 V. Deci orice endomorfism involutiv este un automorfism. Pentru fiecare automorfism involutiv s, definim p s : V V, p s (v) = 1 (v + s(v)) 2 q s : V V, p s (v) = 1 (v s(v)). 2 Aplicaţiile p s şi q s sunt proiectori şi satisfac relaţia p s + q s = 1 V. Deci, plecând de la un automorfism involutiv s, se pot construi doi proiectori p s şi q s, cu p s + q s = 1 V. Plecând de la un proiector p : V V, se poate construi automorfismul involutiv s p : V V, s p (v) = 2p(v) v. De fapt, un automorfism involutiv s : V V nu este decât o simetrie a lui V faţă de subspaţiul Im p s, făcută paralel cu subspaţiul ker p s. (desene p.48) 24

26 Morfisme de spaţii finit dimensionale Presupunem acum că morfismele sunt definite între spaţii vectoriale de dimensiuni finite. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional, W un spaţiu vectorial m-dimensional şi fie f : V W un morfism. Morfismul f este unic determinat de valorile sale pe vectorii unei baze B V = {e 1,..., e n } a lui V. Într-adevăr, orice vector v admite o scriere unică de forma adică f(v) = f( v = x i e i, x i e i ) = x i f(e i ). Cunoscând valorile f(e i ), i = 1, n, f este determinat în mod unic. Dacă B W = {r 1,..., r m } este o bază a spaţiului W, atunci orice vector de forma f(e i ) W, i = 1, n, se poate exprima ca o combinaţie liniară de vectori din B W : f(e i ) = m a ji r j, i = 1, n. (1.6) Sistemul de scalari (a ji ) determinat în (1.6) poartă numele de coordonatele morfismului f în bazele B V şi B W. Vom vedea cum se comportă morfismul f la o schimbare de baze. Fie B V = {e 1,..., e n} o altă bază a lui V şi B W = {r 1,..., r m} o altă bază a lui W. Formulele de schimbare de baze (în V şi în W ) sunt, respectiv e i = r j = p ji e j, i = 1, n, det(p ji ) 0, (1.7) m q kj r k, j = 1, m, det(q kj ) 0. (1.8) k=1 Ţinând seama de (1.6) şi (1.7), avem m m f(e i) = f( p ji e j ) = p ji f(e j ) = p ji ( a kj r k ) = ( p ji a kj )r k i = 1, n. k=1 k=1 25 (1.9)

27 Pe de altă parte, f(e i ) este un vector din W, deci se scrie ca o combinaţie liniară de vectori din B W, m f(e i) = a jir j, unde (a ji ) sunt coordonatele lui f în bazele B V şi B W. Folosind (1.8), vom avea f(e i) = m a jir j = m a ji( m q kj r k ) = k=1 m m ( a jiq kj )r k i = 1, n. (1.10) Identificând coeficienţii vectorilor r k în (1.9) şi (1.10) (B W este o bază a lui W, deci vectorii săi sunt liniar independenţi), obţinem formulele de schimbare de coordonate ale unui morfism la schimbarea bazelor: p ji a kj = k=1 m a jiq kj i = 1, n, k = 1, m. (1.11) Dacă v V are coordonatele v = (x 1,..., x n ), w = f(v) W are coordonatele w = (y 1,..., y m ), iar matricea morfismului f : V W în bazele B V şi B W este A = (a ij ) dată prin formulele (1.6), atunci, identificându-l pe v cu matricea coloană X = x 1. x n şi pe w cu Y = iar coordonatele lui f(v) sunt date prin y j = y 1. y n, relaţia w = f(v) are o scriere matriceală Y = AX, (1.12) a ji x i, j = 1, n. (1.13) Dacă X şi X sunt matricele lui v în bazele B V respectiv B V, Y şi Y matricele lui f(v) în bazele B W respectiv B W, P = (p ij) şi Q = (q jk ) sunt matricele de schimbare de baze definite prin (1.7) şi (1.8), avem X = P X şi Y = QY. Ecuaţia matriceala (1.12) devine adică QY = AP X Y = (Q 1 AP )X. (1.14) Rezultă că, atunci când schimbăm bazele în V şi W, matricele asociate morfismului f se schimbă după legea A = Q 1 AP. 26

28 Exprimând elementele lui A în relaţia matriceală anterioară, obţinem unde ( q ij ) = Q 1. a iα = m k=1 q ij a jk p kα i = 1, n α = 1, m, Dacă V este un spaţiu vectorial n-dimensional şi B = {e 1,..., e n } o bază a sa, atunci coordonatele lui f în baza B sunt date de sistemul de scalari (a ji ), unde f(e i ) = n a ji e j. Matricea lui f în baza B este A = (a ij ). Dacă schimbăm baza în V, iar matricea schimbării de baze este P, atunci A = P 1 AP. Teoremă Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional, W un spaţiu vectorial m- dimensional şi f : V W un morfism. Atunci dim Im f + dim ker f = dim V. Dem: Fie d = dim ker f şi r = dim Im f. Fie B d = {e 1,..., e d } o bază a lui ker f. Ea poate fi completată până la o bază B = {e 1,..., e d, e d+1,..., e n } a lui V. Dacă v = x 1 e x n e n este un vector arbitrar din V, atunci f(v) = x 1 f(e 1 )+...+ x n f(e n ), adică sistemul {f(e 1 ),..., f(e n )} este un sistem de generatori pentru Im f. Dar e 1,..., e d ker f, adică f(e 1 ) =... = f(e d ) = 0. Rezultă că sistemul {f(e d+1 ),..., f(e n )} este sistem de generatori pentru Im f. Arătăm că sistemul {f(e d+1 ),..., f(e n )} este liniar independent. Fie Atunci deci λ d+1 f(e d+1 ) λ n f(e n ) = 0. f(λ d+1 f(e d+1 ) λ n f(e n )) = 0 W, λ d+1 f(e d+1 ) λ n f(e n ) ker f. Dar ker f este generat de baza sa B d, care nu conţine vectorii e d+1,..., e n. Rezultă că λ d+1 =... = λ n = 0. În consecinţă, sistemul {f(e d+1 ),..., f(e n )} este o bază pentru Im f, adică dim Im f = n d. Dimensiunea subspaţiului Im f W se numeşte rangul morfismului f. Dimensiunea subspaţiului ker f V se numeşte defectul morfismului f. Teorema afirmă că rang f+ def f = n. Rangul unei aplicaţii liniare nu poate depăşi dimensiunea nici unuia dintre spaţiile V şi W ; rang f min {n, m}. 27

29 rang f = m n f este surjectivă (deoarece dim Im f = dim V, deci Im f = V ). rang f = n m f este injectivă (deoarece dim ker f = 0, deci ker f = {0 V }). rang f = n = m f este bijectivă. Două spaţii vectoriale sunt izomorfe dacă şi numai dacă au aceeaşi dimensiune. Propoziţie. Fie V un spaţiu vectorial n-dimensional, W un spaţiu vectorial m-dimensional şi f : V W un morfism, fie B V = {e 1,..., e n } o bază a lui V şi B W = {r 1,..., r m } o bază a lui W. Atunci rang f = rang A, unde A = (a ij ) este matricea lui f în bazele B V şi B W. Dem: Avem rang f = dim Im f = n dim ker f. Vom calcula dimensiunea nucleului lui f. Fie v = n x i e i ker f = f(v) = 0 W = n x i f(e i ) = 0 W. Înlocuind expresiile lui f(e i ), obţinem f(v) = m x i a ji r j = 0 W = m ( x i a ji )r j = 0 W şi, deoarece vectorii r j sunt liniar independenţi, rezultă că n x i a ji = 0. Deci componentele (x 1,..., x n ) ale unui vector v ker f sunt soluţiile unui sistem de ecuaţii liniare şi omogene, adică determină un spaţiu vectorial de dimensiune n rang A. Rezultă că dim ker f = n rang A şi, deci, rang f = n (n rang A) = rang A. Următoarele afirmaţii sunt imediate: Rangul aplicaţiei produs nu poate depăşi rangul nici uneia dintre aplicaţiile factor rang (f g) min { rang f, rang g}. Rangul unei aplicaţii este invariant la compunerea cu izomorfisme f izomorfism = rang (f g) = rang (g f) = rang g. Dacă A este matricea asociată morfismului f : V W în bazele B V şi B W, iar B este matricea asociată morfismului g : W U în bazele B W şi B U, atunci matricea asociată prodului g f : V U, în bazele B V şi B U este BA. Rangul matricei asociate unui morfism f : V W nu depinde de alegerea bazelor în spaţiile vectoriale V şi W. Într-adevăr, la schimbarea bazelor, matricea lui f se schimbă după formula A = Q 1 AP, unde Q şi P sunt matrici pătratice nesingulare. Deci rang A = rang A. 28

30 Dacă f End (V ) (V finit dimensional), atunci, din A = P 1 AP, vom avea det A = det A, deci determinantul matricei asociate unui endomorfism f este invariant la o schimbare de bază în V. Numărul det A (invariant) se numeşte determinantul endomorfismului f şi se notează det f. Teoremă a) Fie V şi W două spaţii vectoriale finit dimensionale şi fie B V şi B W câte o bază fixată în fiecare din cele două spaţii. Corespondenţa Hom (V, W ) M m,n (K), f A, unde A este matricea lui f în bazele B V şi B W, este un izomorfism de spaţii vectoriale. În consecinţă, spaţiul Hom (V, W ) este finit dimensional şi are dimensiunea mn. b) Corespondenţa este un izomorfism de algebre. c) Corespondenţa este un izomorfism de grupuri. End (V ) M n (K), f A, GL(V) GL(n, K), f A, 1.8 Subspaţii invariante. Vectori proprii. Valori proprii Un subspaţiu W V este invariant în raport cu un operator f End (V ) dacă f(w ) W. Exemple. Subspaţiile triviale {0 V } şi V ale spaţiului V sunt invariante faţă de orice endomorfism. Orice dreaptă vectorială < v > V, v V, este invariantă în raport cu omotetia h ρ : V V, h ρ (w) = ρw. Într-adevăr, dacă λv < v >, atunci h ρ(λv) = ρ(λv) = (ρλ)v < v >. Fie p End (V ) un proiector, p 2 = p. Am văzut că V = Im p ker p. Spaţiile Im p şi ker p sunt invariante în raport cu p. Într-adevăr, w Im p = v V, p(v) = w = p(w) = p(p(v)) = p(v) Im p = p( Im p) Im p, v ker p = p(v) = 0 V = p(p(v)) = p(0 V ) = 0 V = p(v) ker p = p(ker p) ker p. 29

31 Fie s End (V ) un operator involutiv, s 2 = 1 V. Fie W 1 = Im (1 V + s) şi W 2 = Im (1 V s) două subspaţii ale lui V. În raport cu s, W 1 şi W 2 sunt subspaţii invariante. Într-adevăr, w 1 W 1 v 1 V, w 1 = v 1 +s(v 1 ) s(w 1 ) = s(v 1 +s(v 1 )) = s(v 1 )+s 2 (v 1 ) = s(v 1 )+v 1 = w 1 W 1 s(w 1 ) W 1, w 2 W 2 v 2 V, w 2 = v 2 s(v 2 ) s(w 2 ) = s(v 2 s(v 2 )) = s(v 2 ) s 2 (v 2 ) = s(v 2 ) v 2 = w 2 W 2 s(w 2 ) W 2. Fie V un K-spaţiu vectorial şi f End (f). Se numeşte vector propriu al lui f un vector v V, v 0 V, pentru care există un scalar λ K, astfel încât f(v) = λv. Scalarul λ asociat vectorului propriu v 0 V se numeşte valoare proprie a endomorfismului f. Propoziţie Fie λ K o valoare proprie a endomorfismului f : V V. Mulţimea V (λ), a tuturor vectorilor proprii asociaţi lui λ, este un subspaţiu vectorial al lui V. Dem: V (λ) = {v V, f(v) = λv}. Mulţimea V (λ) coincide cu ker(f λ1 V ). Întradevăr, Deci v ker(f λ1 V ) (f λ1 V )(v) = 0 V f(v) = λv v V (λ). V (λ) = ker(f λ1 V ), iar acesta din urmă este un subspaţiu al lui V. Spaţiul V (λ) se numeşte spaţiul propriu al endomorfismului f, corespunzător valorii proprii λ. Propoziţie Dacă {λ 1,..., λ p } sunt valori proprii distincte două câte două, ale endomorfismului f : V V şi {v 1,..., v p } sunt, respectiv, vectori proprii corespunzători acestor valori proprii, atunci sistemul {v 1,..., v p } este liniar independent. Dem: Vom demonstra prin inducţie după p. Dacă p = 1, avem o valoare proprie {λ}, căreia i se asociază un vector propriu v V, în mod necesar nenul, v 0 V. Presupunem acum că sistemul de vectori proprii {v 1,..., v p 1 }, asociat sistemului de valori proprii distincte două câte două, {λ 1,..., λ p 1 }, este liniar independent. Fie λ p o altă valoare proprie a lui f, distinctă de celelate p 1 şi fie v p un vector propriu asociat lui λ p. Presupunem, prin absurd, ca vectorul v p este liniar dependent de vectorii din {v 1,..., v p 1 }. Rezultă că există scalarii α 1..., α p 1, nu toţi nuli, astfel încât v p = α 1 v α p 1 v p 1. 30

32 Multiplicând cu λ p, obţinem Pe de altă parte λ p v p = λ p α 1 v λ p α p 1 v p 1. (1.15) f(v p ) = f(α 1 v α p 1 v p 1 ) = α 1 f(v 1 ) α p 1 f(v p 1 ), deci Scăzând relaţiile (1.15) şi (1.16), obţinem λ p v p = α 1 λ 1 v α p 1 λ p 1 v p 1. (1.16) 0 V = α 1 (λ 1 λ p )v α p 1 (λ p 1 λ p )v p 1. Dar sistemul {v 1,..., v p 1 } este liniar independent, deci relaţia de mai sus este echivalentă cu λ 1 =... = λ p 1 = λ p, contradicţie cu faptul că valorile proprii sunt alese distincte două câte două. Corolar. Un endomorfism al unui spaţiu vectorial de dimensiune n are cel mult n valori proprii distincte. Teoremă Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune n, B o bază a lui V, f : V V un endomorfism al lui V şi A = (a ij ) matricea asociată lui f în baza B. Valorile proprii ale endomorfismului f sunt rădăcinile ecuaţiei polinomiale det(a λi n ) = 0. Dem: Fie λ K o valoare proprie a lui f şi v V, v 0 V, un vector propriu asociat acesteia, f(v) = λv. Presupunem că, în baza B, componentele lui v sunt (x 1,..., x n ), iar cele ale lui f(v) sunt (y 1,..., y n ) şi identificăm pe v şi pe f(v) respectiv, cu matricele coloană X şi Y. Relaţia f(v) = λv se scrie, matriceal, deci AX = λx, (A λi n )X = 0 M n,1 (K). Scriind pe componente egalitatea matriceală de mai sus, obţinem (a ij λδj)x i j = 0 i = 1, n (1.17) deci un sistem de ecuaţii liniare şi omogene în necunoscutele x i, i = 1, n, sistem care trebuie să admită soluţii diferite de cea banală. Rezultă că determinantul matricei asociate acestui sistem trebuie să fie nul. Dar matricea asociată este chiar A λi n, deci det(a λi n ) = 0. 31

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n

CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie arusoaie.andreea@gmail.com andreea.arusoaie@info.uaic.ro Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017 Structura

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE IAŞI, 005 CUPRINS 1 MATRICE ŞI SISTEME ALGEBRICE LINIARE 5 1.1 Matrice şi determinanţi.......................... 5 1. Sisteme de ecuaţii algebrice

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Algebră liniară CAPITOLUL 3

Algebră liniară CAPITOLUL 3 Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0 Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Algebră liniară CAPITOLUL 1

Algebră liniară CAPITOLUL 1 Algebră liniară CAPITOLUL SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE. Definiţia spaţiilor vectoriale Pentru a introduce noţiunea de spaţiu vectorial avem nevoie de noţiunea de corp comutativ de caracteristică

Διαβάστε περισσότερα

Contract POSDRU/86/1.2/S/ POSDRU ID * Bucureşti 2012

Contract POSDRU/86/1.2/S/ POSDRU ID * Bucureşti 2012 Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Algebră Liniară POSDRU ID 62485 * Bucureşti 212 Prefaţă Algebra liniară şi geometria analitică stau la baza pregătirii matematice universitare, oferind modelări bazate pe

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu

GEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu GEOMETRIE ANALITICĂ Mihai-Sorin Stupariu Sem. al II-lea, 007-008 Cuprins 1 Elemente de algebră liniară 3 1.1 Spaţii vectoriale. Definiţie. Exemple................ 3 1. Combinaţii liniare. Baze şi repere..................

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea

Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 13 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 24 Proiecţii

Διαβάστε περισσότερα

Vladimir BALAN. Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială. Student Web Copy. = Bucureşti 2011 =

Vladimir BALAN. Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială. Student Web Copy. = Bucureşti 2011 = Vladimir BALAN Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială = Bucureşti 2011 = Prefaţă Acest material include noţiunile, rezultatele teoretice de bază, precum şi probleme

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Sala: 2103 Octombrie 2014 CURS 1: ALGEBRĂ. Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare.

Sala: 2103 Octombrie 2014 CURS 1: ALGEBRĂ. Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare. Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 1: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE. Teorie şi probleme

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE. Teorie şi probleme ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ. Teorie şi probleme Florian MUNTEANU Departamentul de Matematici Aplicate, Universitatea din Craiova Al. Cuza 3, 585 Craiova, Dolj, România

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Sala: Octombrie 2014 SEMINAR 1: ALGEBRĂ. este un Q-spaţiu vectorial, faţă de operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire cu un număr raţional.

Sala: Octombrie 2014 SEMINAR 1: ALGEBRĂ. este un Q-spaţiu vectorial, faţă de operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire cu un număr raţional. Sala: Octombrie 24 SEMINAR : ALGEBRĂ Conf univ dr: Dragoş-Pătru Covei Programul de studii: CE, IE, SPE Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat distribuit

Διαβάστε περισσότερα

Adriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs

Adriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs Adriana-Ioana Lefter MATEMATICĂ (ALGEBRĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs Cuprins Partea 1 ALGEBRĂ 1 Capitolul 1 Matrice şi determinanţi 3 11 Corpuri 3 12 Matrice 4 13

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare

Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare 1. Matrici şi determinanţi Reamintim aici câteva proprietăţi ale matricilor şi determinanţilor. Definiţia 1.1. Fie K un corp (comutativ) şi m, n N. O funcţie A : {1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi

Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare

Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare Adrian REISNER 1 1. Pseudoinversă a unui endomorfism într-un spaţiu vectorial de dimensiune finită. Fie S un R-spaţiu vectorial de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

Lucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi

Lucian Maticiuc CURS I II. 1 Matrice şi determinanţi. Sisteme de ecuaţii liniare. 1.1 Matrice şi determinanţi Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC http://mathettituiasiro/maticiuc/ CURS I II Matrice şi determinanţi Sisteme de ecuaţii

Διαβάστε περισσότερα

Ariadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ

Ariadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ Ariadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ IASI, 005 1 Cuprins Capitolul 1 1.1. Matrice şi determinanţi...5 1.1.1. Determinantul unei matrice pătratice...8 1.1.. Matricea

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM

Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM Ion CRĂCIUN CAPITOLE DE MATEMATICI SPECIALE EDITURA PIM IAŞI 2007 2 Cuprins 1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordin superior 7 1.1 Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi variabili 7 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Varietăţi algebrice. 1.1 Definiţia spaţiului proiectiv şi primele proprietăţi

Varietăţi algebrice. 1.1 Definiţia spaţiului proiectiv şi primele proprietăţi Facultatea de Matematică Anul II Master, Geometrie Algebrică Varietăţi algebrice 1 Spaţiul proiectiv 1.1 Definiţia spaţiului proiectiv şi primele proprietăţi Fie n N şi E un spaţiu vectorial de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ Liliana Brǎescu Eva Kaslik Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ CURS DE GEOMETRIE Timişoara 2007

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 25 martie 2018 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, 5 martie 18 Proba scrisă la MATEMATICĂ NOTĂ IMPORTANTĂ: 1 Problemele tip grilă (Partea A pot avea unul

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii.

1. Mulţimi. Definiţia mulţimii. Definiţia mulţimii. 1. Mulţimi Definiţia 1.1. (Cantor) Prin mulţime înţelegem o colecţie de obiecte bine determinate şi distincte. Obiectele din care este constituită mulţimea se numesc elementele mulţimii.

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel

Funcţii Ciudate. Beniamin Bogoşel Funcţii Ciudate Beniamin Bogoşel Scopul acestui articol este construcţia unor funcţii neobişnuite din punct de vedere intuitiv, care au anumite proprietăţi interesante. Construcţia acestor funcţii se face

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE ANALITICĂ. Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA

GEOMETRIE ANALITICĂ. Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA GEOMETRIE ANALITICĂ Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA 2 Cuprins Prefaţă 7 I Consideraţii teoretice 9 1 Spaţii vectoriale 11 1.1 Definiţie, exemple......................... 12 1.2 Subspaţii..............................

Διαβάστε περισσότερα