CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n"

Transcript

1 CURS 5 Spaţii liniare. Spaţiul liniar R n A. Arusoaie Facultatea de Informatică, Universitatea Alexandru Ioan Cuza din Iaşi 30 Octombrie 2017

2 Structura cursului 1 Lege de compoziţie. Grupuri. Corpuri 2 Spaţii liniare Spaţii liniare. Subspaţii liniare Liniară dependenţă şi independenţă Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază 3 Produs scalar. Norme în R n 4 Baze ortonormate. Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 2 / 40

3 Structura cursului 1 Lege de compoziţie. Grupuri. Corpuri 2 Spaţii liniare Spaţii liniare. Subspaţii liniare Liniară dependenţă şi independenţă Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază 3 Produs scalar. Norme în R n 4 Baze ortonormate. Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 3 / 40

4 Lege de compoziţie. Grupuri. Corpuri Definiţie Fie M o mulţime nevidă. Numim operaţie algebrică sau lege de compoziţie pe M o funcţie : M M M, (x, y) x y, care asociază fiecărui element (x, y) M M, un unic element x y M. Definiţie Fie M şi fie operaţia algebrică internă pe M. Atunci (M, ) se numeşte grup dacă sunt verificate următoarele axiome: (A) (x y) z = x (y z), x, y, z M (asociativitate); (EN) dacă există e M, astfel încât x e = e x = x, x M; (element neutru) (ES) dacă x M, x M, astfel încât x x = x x = e; (element simetrizabil) Dacă în plus, este verificată următoarea axiomă (C) x y = y x, x, y R (comutativitate) vom spune că (M, ) este grup abelian (grup comutativ). Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 4 / 40

5 Lege de compoziţie. Grupuri. Corpuri Definiţie Fie K şi fie + şi sunt două operaţii interne pe K. Se numeşte corp un triplet (K, +, ), ce satisface următoarele axiome: 1. (K, +) este un grup comutativ, având elementul neutru notat cu 0; 2. (K \ {0}, ) este grup cu elementul neutru notat cu 1; 3. Înmulţirea este distributivă faţă de adunare, adică x, y, z K, avem x (y + z) = x y + x z, (x + y) z = x z + y z. Dacă, în plus, operaţia este comutativă atunci spunem că (K, +, ) este corp comutativ. Grupul (K, +) se numeşte grupul aditiv al corpului, iar grupul (K \ {0}, ) se numeşte grupul multiplicativ al elementelor nenule ale corpului. Exemple: (R, +, ), (C, +, ) sunt corpuri comutative. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 5 / 40

6 Structura cursului 1 Lege de compoziţie. Grupuri. Corpuri 2 Spaţii liniare Spaţii liniare. Subspaţii liniare Liniară dependenţă şi independenţă Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază 3 Produs scalar. Norme în R n 4 Baze ortonormate. Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 6 / 40

7 Structura cursului 1 Lege de compoziţie. Grupuri. Corpuri 2 Spaţii liniare Spaţii liniare. Subspaţii liniare Liniară dependenţă şi independenţă Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază 3 Produs scalar. Norme în R n 4 Baze ortonormate. Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 7 / 40

8 Spaţii liniare Un spaţiu liniar (spaţiu vectorial) este o colecţie de obiecte, numite vectori, ce pot fi adunate între ele şi înmulţite cu numere, numite scalari. Scalarii sunt elemente din R, C, Q sau orice corp comutativ. Cele mai utilizate spaţii liniare sunt spaţiile Euclidiene: R - dreapta reală - spaţiu liniar 1-dimensional R 2 = R R - planul real - spaţiu liniar 2-dimensional R 3 = R R R - spaţiul real - spaţiu liniar 3-dimensional R n, n 4 - hiperspaţiul real - spaţiu liniar n-dimensional Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 8 / 40

9 Spaţii liniare Fie V o mulţime nevidă şi K un corp comutativ. În general, se consideră K = R sau K = C. Definiţie Se numeşte spaţiu liniar (vectorial) peste corpul K o mulţime V, înzestrată cu - o lege internă + : V V V, (x, y) x + y, x, y V, - o lege externă : K V V, (α, x) α x, α K, x V aşa încât sunt îndeplinite următoarele cerinţe (axiome): (SL1) (V, +) este un grup comutativ; (SL2) α (x + y) = α x + α y, α K, x, y V ; (SL3) (α + β) x = α x + β x, α, β K, x V ; (SL4) α (β x) = (αβ) x, α, β K, x V ; (SL5) 1 x = x, x V (unde 1 este elementul unitate din K). - elementele K-spaţiului liniar V se numesc vectori, iar elementele lui K se numesc scalari. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 9 / 40

10 Spaţii liniare Propoziţie Fie n N şi R n = R R... R. Definim operaţiile + : R }{{} n R n R n şi : R R n R n de n ori prin x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,..., x n + y n), x = (x 1, x 2,..., x n), y = (y 1, y 2,..., y n) R n α x = (αx 1, αx 2,..., αx n), α R, x = (x 1, x 2,..., x n) R n. Atunci (R n, R, +, ) este un spaţiu liniar. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 10 / 40

11 Exemple de spaţii liniare Fie X, K un corp comutativ, (V, K, +, ) un spaţiu liniar şi F(X, V ) = {f : X V }. F(X, V ) are o structură algebrică de spaţiu liniar în raport cu adunarea funcţiilor, definită în mod obişnuit prin ( ) (f + g)(x) = f(x) + g(x), x X, f, g F(X, V ) şi înmulţirea funcţiilor cu scalari din K, definită prin ( ) (α f)(x) = α f(x), α K, x X, f F(X, V ). Particularizând X, K, şi V, obţinem diverse exemple de spaţii vectoriale: dacă m, n N, X = {1, 2,..., m} {1, 2,..., n} şi V = K = R, atunci F(X, V ) = M m,n(r), iar (M m,n(r), +, ) este un spaţiu liniar real (exerciţiu); dacă X R şi V = K = R, se obţine R-spaţiul liniar F(X, R) al funcţiilor reale, de o singură variabilă reală, definite pe X; când X = N şi V = K = R, mulţimea F(X, V ) este, în raport cu operaţiile ( ) şi ( ), spaţiul liniar real al şirurilor de numere reale. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 11 / 40

12 Spaţii liniare Propoziţie (Proprietăţi ale operaţiilor unui spaţiu liniar) Fie (V, K, +, ) un spaţiu liniar. Atunci: i) 0 K x = α 0 V = 0 V, x V, α K; ii) ( α) x = α ( x) = α x, α K, x V ; iii) ( α) ( x) = α x, α K, x V ; iv) α x = 0 α = 0 K sau x = 0 V. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 12 / 40

13 Spaţii liniare. Subspaţii liniare Definiţie Fie (V, K, +, ) un spaţiu liniar peste un corp comutativ K şi W o submulţime nevidă a lui V. (W, K, +, ) se numeşte subspaţiu liniar al lui (V, K, +, ) dacă: Exemple: x, y W, rezultă că x + y W ; α K, x W, reiese că α x W. 1) Mulţimea {x = (x 1, x 2,..., x n) R n x 1 = 0} este, în raport cu adunarea n-uplelor din R n şi înmulţirea acestora cu scalari din R, un subspaţiu liniar al lui (R n, R, + ). 2) Mulţimea {f F(R, R) f(x) = f( x), x R} a funcţiilor reale, scalare şi pare este un subspaţiu liniar al spaţiului liniar real (F(R, R), R, +, ). Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 13 / 40

14 Spaţii liniare. Subspaţii liniare Definiţie Dacă n N şi x 1, x 2,..., x n sunt elemente ale unui spaţiu liniar V peste un corp comutativ K, iar α 1, α 2,..., α n sunt scalari din K, atunci elementul x = n α k x k = α 1 x 1 + α 2 x α nx n, k=1 se numeşte combinaţie liniară a elementelor x 1, x 2,..., x n. Definiţie Fie W o submulţime nevidă a unui spaţiu liniar (V, K, +, ). Spunem că W este un subspaţiu liniar al lui V dacă şi numai dacă α, β K, x, y W α x + β y W, altfel spus, dacă orice combinaţie liniară de oricare două elemente ale lui W aparţine lui W. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 14 / 40

15 Spaţii liniare. Subspaţii liniare Definiţie Fie (V, K, +, ) un spaţiu liniar şi U o submulţime nevidă a sa. Mulţimea tuturor combinaţiilor liniare de elemente din U se numeşte acoperire liniară a lui U şi se notează cu Lin(U). Se numeşte subspaţiu generat de submulţimea U, intersecţia tuturor subspaţiilor liniare ale lui V care conţin elementele lui U (vom nota Sp(U)). Se poate constata uşor că Lin(U) este un subspaţiu liniar al lui (V, K, +, ) care o include pe U. Propoziţie Fie (V, K, +, ) un K-spaţiu liniar al lui V. i) Intersecţia a două subspaţii liniare ale lui V este un subspaţiu liniar al lui V. ii) Reuniunea a două subspaţii liniare ale lui V nu este întotdeauna un subspaţiu liniar al lui V. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 15 / 40

16 Spaţii liniare. Subspaţii liniare Propoziţie Oricare ar fi submulţimea nevidă U a unui subspaţiu liniar (V, K, +, ), avem: n Lin(U) = Sp(U) = {x V n N, α i K, x i U, 1 i n, aşa încât x = α i x i }. i=1 Demonstraţie: : Cum Lin(U) este un subspaţiu liniar al lui V care include pe U, intersecţia tuturor subspaţiilor liniare ale lui V cu proprietatea că o includ pe U, cu alte cuvinte Sp(U) Lin(U). : Reciproc, cum orice subspaţiu liniar al lui V, care conţine pe U, conţine şi orice combinaţie liniară de elemente din U (cu scalari din K), adică include subspaţiul liniar Lin(U). Considerând intersecţia tuturor acestor subspaţii, obţinem Lin(U) Sp(U). Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 16 / 40

17 Structura cursului 1 Lege de compoziţie. Grupuri. Corpuri 2 Spaţii liniare Spaţii liniare. Subspaţii liniare Liniară dependenţă şi independenţă Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază 3 Produs scalar. Norme în R n 4 Baze ortonormate. Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 17 / 40

18 Liniară dependenţă şi independenţă Definiţie Fie (V, K, +, ) un spaţiu liniar şi x 1, x 2,..., x n din V. a) Elementele x 1, x 2,..., x n se numesc liniar dependente dacă α 1, α 2,..., α n K, nu toţi nuli, astfel încât α 1 x 1 + α 2 x α nx n = 0 V. b) Elementele x 1, x 2,..., x n V se numesc liniar independente dacă α 1 x 1 + α 2 x α nx n = 0 V = α 1 = α 2 =... = α n = 0. c) O submulţime nevidă U a unui subspaţiu liniar V se numeşte liniar independentă dacă oricare n elemente distincte x 1, x 2,..., x n ale lui U sunt liniar independente. d) Dacă există n N şi x 1, x 2,..., x n elemente din U ce sunt liniar dependente, atunci mulţimea U se numeşte liniar dependentă. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 18 / 40

19 Liniară dependenţă şi independenţă Teorema Vectorii x 1, x 2,..., x n ai unui spaţiu liniar sunt liniar dependenţi dacă şi numai dacă unul dintre vectori se poate scrie ca o combinaţie liniară a celorlalţi. Demonstraţie: : Într-adevăr, dacă vectorii x 1, x 2,..., x n sunt liniar dependenţi, atunci n α 1, α 2,..., α n, nu toţi nuli, astfel încât α k x k = 0 V. k=1 n ( ) Presupunem că α 1 0, ar reieşi atunci că avem: x 1 = α 1 1 α k x k. Deci, unul dintre k=2 elementele x 1, x 2,..., x n, aici x 1, ar fi o combinaţie liniară de celelalte. n : Dacă x j = β k x k, atunci x j n β k x k = 0, ceea ce înseamnă că, pentru elementele k=1 k j k=1 k j x 1, x 2,..., x n, există scalarii β 1,..., β j 1, 1, β j+1,..., β n, evident nu toţi nuli, aşa încât se poate vorbi despre o combinaţie liniară a respectivelor elemente egală cu vectorul nul. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 19 / 40

20 Structura cursului 1 Lege de compoziţie. Grupuri. Corpuri 2 Spaţii liniare Spaţii liniare. Subspaţii liniare Liniară dependenţă şi independenţă Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază 3 Produs scalar. Norme în R n 4 Baze ortonormate. Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 20 / 40

21 Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază Definiţie Fie (V, K, +, ) un K-spaţiu liniar. i) Se numeşte dimensiune (algebrică) a spaţiului liniar V numărul maxim de elemente liniar independente din V. Vom nota dimensiunea spaţiului V cu dim(v ). ii) Spaţiul liniar V este numit infinit-dimensional dacă există cel puţin o submulţime infinită şi liniar independentă a lui V. În caz contrar, V este numit spaţiu liniar finit-dimensional. Exemple: 1. dim R (R n ) = n; 2. dim R M m,n(r n ) = m n. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 21 / 40

22 Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază Definiţie O mulţime nevidă B, dintr-un spaţiu liniar (V, K, +, ), se numeşte bază algebrică a lui V dacă B este liniar independentă şi Sp(B) = V. Fie V un spaţiu liniar n-dimensional. O bază a lui V este o mulţime B alcătuită din n elemente, b 1, b 2,..., b n, liniar independente, din V. Fiecare element x V se reprezintă atunci, în mod unic, sub forma x = n γ k b k, K-scalarii γ 1, γ 2,..., γ n numindu-se coordonatele lui x în baza B. Orice bază a unui spaţiu liniar V are un număr de vectori egal cu dimensiunea lui V. k=1 Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 22 / 40

23 Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază Propoziţie Spaţiul liniar (R n, R, +, ) este n-dimensional. O mulţime de m (m n) elemente din R n este liniar independentă dacă şi numai dacă matricea având drept coloane cele m n-uple reale corespunzătoare elementelor în cauză are rangul egal cu m. Demonstraţie: În Rn există mulţimea B = {e 1, e 2,..., e n}, unde e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e n = (0, 0,..., 1) care alcătuiesc o bază, numită baza canonică a lui R n. Într-adevăr, mulţimea B este liniar independentă în R, întrucât avem α 1 e 1 + α 2 e α n e n = 0 α 1 = α 2 =... = α n = 0. Mai mult, Sp(B) = R n ( x R n, x = x 1 e 1 + x 2 e x n e n). Aşadar, dim(r n ) = n. În al doilea rând, dacă x 1 = (x 11, x 12,..., x 1n ), x 2 = (x 21, x 22,..., x 2n ),... şi x m = (x m1, x m2,..., x mn) (cu m n) sunt m elemente din R n, atunci acestea sunt liniar independente dacă şi numai dacă relaţia α 1 x 1 + α 2 x α m x m = 0 este posibilă doar când α 1 = α 2 =... = α m = 0. Altfel spus, dacă şi numai dacă α 1 x 11 + α 2 x α mx m1 = 0 α 1 x 12 + α 2 x α mx m2 = α 1 x 1n + α 2 x 2n α mx mn = 0 Vom obţine, soluţia banală α i = 0, i = 1, n, dacă şi numai dacă rangul matricii sistemului, este m. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 23 / 40

24 Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază O submulţime nevidă a unui K spaţiu liniar finit dimensional, B = {b 1, b 2,..., b n}, este o bază a n lui V dacă şi numai dacă orice vector x V se exprimă, în mod unic, sub forma x = x k b k, scalarii x 1, x 2,..., x n din K fiind coordonatele lui x în baza B. Dacă notăm cu X B matricea coloană x 1 x 2. x n a coordonatelor vectorului x în baza B şi cu B = [b 1, b 2,..., b n] matricea linie a vectorilor bazei n B, relaţia x = x k b k se poate reda, matriceal, sub forma: k=1 x = B X B. k=1 Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 24 / 40

25 Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază Propoziţie Fie (V, K, +, ) un spaţiu liniar cu dim(v ) = n. Atunci 1. Orice mulţime de m elemente din V, cu m > n, este liniar dependentă; 2. Orice mulţime de n elemente din V este bază a lui V dacă şi numai dacă este mulţime liniar independentă. 3. Orice mulţime de n vectori din V este bază a lui V dacă şi numai dacă mulţimea este un sistem de generatori al lui V. Exemplu: Să se arate că mulţimea B = {v 1 = (1, 0, 1), v 2 = (2, 1, 0), v 3 = (0, 1, 1)} este o bază a spaţiului vectorial R 3. Determinaţi coordonatele vectorului v = (1, 2, 3) în această bază. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 25 / 40

26 Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază Definiţie Fie (V, K, +, ) un spaţiu liniar cu dim(v ) = n, B = {b 1, b 2,..., b n} o bază a sa şi B = {b 1, b 2,..., b m} o mulţime de m elemente ale lui V. Se numeşte matrice de trecere (schimbare) de la baza B la sistemul de vectori B matricea S = (s ij ) i,j M n,m(k), unde 1 i n şi 1 j m, care are, pe coloane, coordonatele vectorilor din B în baza B, adică unde s ij K sunt aşa încât s 11 s s m1 s 12 s s m2 S =......, s 1n s 2n... s mn b 1 = s 11 b 1 + s 12 b s 1n b n b 2 = s 21 b 1 + s 22 b s 2n b n.. b m = s m1b 1 + s m2 b s mnb n Altfel spus, matricial, avem B = B S, unde B = [b 1, b 2,..., b m] şi B = [b1, b 2,..., b n]. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 26 / 40

27 Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază Propoziţie Fie B şi B două baze distincte ale unui spaţiu liniar (V, K, +, ), finit-dimensional şi x V. Dacă X B şi X B sunt matricile coloane ale coordonatelor lui x în baza B şi respectiv în baza B, iar S este matricea de trecere de la B la B, atunci formula de transformare a coordonatelor lui x la schimbarea bazei de la B la B este următoarea: X B = S 1 X B. Demonstraţie: Întrucât x = BX B = B X B şi B = B S, avem: BXB = BSX B. De aici, cum B este nesingulară, prin înmulţirea la stânga cu B 1, rezultă: X B = SX B. În fine, deoarece S este nesingulară, reiese că are loc formula X B = S 1 X B. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 27 / 40

28 Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază Definiţie Fie (V, K, +, ) un spaţiu liniar, finit-dimensional şi două baze ale sale, B şi B. Spunem că bazele B şi B sunt la fel orientate dacă determinantul matricii S de trecere de la B la B este pozitiv; Spunem că bazele B şi B se numesc contrar orientate dacă det(s) < 0. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 28 / 40

29 Structura cursului 1 Lege de compoziţie. Grupuri. Corpuri 2 Spaţii liniare Spaţii liniare. Subspaţii liniare Liniară dependenţă şi independenţă Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază 3 Produs scalar. Norme în R n 4 Baze ortonormate. Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 29 / 40

30 Produs scalar. Norme în R n Definiţie Fie (V, K, +, ) un spaţiu vectorial peste un corp comutativ şi ordonat K. a) Se numeşte produs scalar pe V o aplicaţie, : V V la K, care satisface următoarele proprietăţi: (PS1), este pozitiv definită, adică x, x 0, x V şi x, x = 0, dacă şi numai dacă x = 0 V ; (PS2), este simetrică, adică x, y = y, x, x, y V ; (PS3), este biliniară, adică α x + β y, z = α x, z + β y, z, şi x, α y + β z = α x, y + β x, z, α, β K, x, y, z V. b) Perechea (V,, ), în care V este un spaţiu liniar peste un corp comutativ şi ordonat, iar, este un produs scalar pe V se numeşte spaţiu prehilbertian. c) Un spaţiu prehilbertian pentru care K = R se numeşte spaţiu euclidian. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 30 / 40

31 Produs scalar. Norme în R n Propoziţie Spaţiul liniar real (R n, R, +, ), dotat cu produsul scalar canonic, definit prin n x, y c = x i y i, x = (x 1, x 2,..., x n), y = (y 1, y 2,..., y n) R n, i=1 este un spaţiu euclidian. Observaţie: Produsul scalar, c pe R n se mai numeşte şi produs scalar euclidian. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 31 / 40

32 Produs scalar. Norme în R n Definiţie Fie (V, K, +, ) un spaţiu prehilbertian, dotat cu produsul scalar,. a) Elementele x şi y din V se numesc ortogonale dacă şi numai dacă x, y = 0. (x y) b) Spunem că un vector x V este ortogonal pe o mulţime nevidă U V (notăm x U), dacă x, y = 0, y U. c) Un sistem de vectori din V se numeşte ortogonal dacă este alcătuit din vectori ortogonali doi câte doi. Mai exact, dacă x, y = 0, x, y din respectivul sistem, cu x y. d) Dacă U V, atunci prin suplimentul ortogonal al lui U, înţelegem mulţimea U = {x V x U} Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 32 / 40

33 Produs scalar. Norme în R n Definiţie Fie (V, K, +,,, ) un spaţiu euclidian şi x, y V \ {0}. Unghiul dintre vectorii x şi y, notat prin (x, y) sau (x, y), se defineşte prin relaţia: (x, y) = arccos x, y x, x y, y. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 33 / 40

34 Produs scalar. Norme în R n Definiţie Fie (V, R, +, ) un spaţiu liniar real. a) Se numeşte normă pe V o aplicaţie de la V la R, notată simbolic prin, care satisface următoarele axiome: (N1) x 0, x V şi x = 0 x = 0; (N2) α x = α x, α R, x V ; (N3) x + y x + y, x,y V. b) Perechea (V, ) se numeşte spaţiu normat. Propoziţie Spaţiul liniar real (R n, R, +, ), înzestrat cu aşa-numita normă euclidiană, definită prin x e = x, x = este un spaţiu normat. ( n ) 1 2 x 2 i, x = (x 1, x 2,..., x n) R n, i=1 Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 34 / 40

35 Produs scalar. Norme în R n Definiţie Fie (V, ) un spaţiu normat şi x V. Elementul x se numeşte versor dacă x = 1. Definiţie Fie (V,, ) un spaţiu prehilbertian. a) O submulţime nevidă U V se numeşte sistem ortonormal dacă şi numai dacă { 0, când x y x, y = 1, când x = y, x, y U. b) Dacă B este o baza a lui V şi B este un sistem ortonormal stunci B este o bază ortonormală Exemplu: Baza canonică din R n, {e 1 = (1, 0,..., 0), e 2 = (0, 1,..., 0),..., e 3 = (0,..., 0, 1)} este o bază ortonormală. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 35 / 40

36 Structura cursului 1 Lege de compoziţie. Grupuri. Corpuri 2 Spaţii liniare Spaţii liniare. Subspaţii liniare Liniară dependenţă şi independenţă Dimensiunea unui spaţiu liniar. Bază algebrică. Schimbare de bază 3 Produs scalar. Norme în R n 4 Baze ortonormate. Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 36 / 40

37 Baze ortonormate. Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt Fie B = {b 1, b 2,... b n} o bază a unui spaţiu euclidian V, cu dim(v) = n, şi fie Fie, este produsul scalar definit pe V. Vom nota cu G = (g ij ) 1 i,j n M n(r), unde g ij = b i, b j. Determinantul matricii G se numeşte determinant Gram. Cum pentru doi vectori arbitrari din x, y V, avem reprezentările (în baza B) x = BX B şi y = BY B, unde X B, Y B sunt matricile asociate lui x şi y, găsim expresia analitică a produsului scalar, în baza B n x, y = g ij x i y j = XB T GY B. i,j=1 Baza B este numită ortogonală ori de câte ori matricea G este diagonală, adică g ij = 0, i, j {1, 2,..., n}, i j. Spunem că baza B este ortonormală dacă şi numai dacă G este matricea unitate I n. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 37 / 40

38 Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt Teorema În orice spaţiu prehilbertian finit dimensional (V,, ) există baze ortonormale. Demonstraţie: Fie (V,, ) un spaţiu prehilbertian n-dimensional şi B = {b 1, b 2,..., b n} o bază a lui. Pentru a arăta existenţa unei baze ortonormale, este suficient să găsim o bază ortogonală. Plecând de la B, se poate construi o bază B = {b 1, b 2,..., b n }, ortogonală, a spaţiului V, utilizând algoritmul lui Gram-Schmidt, după cum urmează: Pasul 1: Fie b 1 = b 1. Pasul 2: Se determină scalarul λ 1 R, aşa încât vectorul b 2 = b 2 + λ 1 b 1 să fie ortogonal pe b 1, adică să avem 0 = b 1, b 2 + λ 1 b 1, b 1. Aşadar, b 2 = b 2 b 1, b 2 b 1, b 1 b 1. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 38 / 40

39 Procedeul de ortonormalizare Gram-Schmidt Pasul 3: Se caută scalarii µ 1 şi µ 2 din R, aşa încât b 3 = b 3 + µ 1 b 1 + µ 2b 2 să fie ortogonal pe sistemul {b 1, b 2 }, adică să avem b 3, b 1 = 0 şi b 3, b 2 = 0. Găsim µ 1 = b 1, b 3 b 1, b 1 şi µ 2 = b 2, b 3 b 2,. Prin urmare, avem: b 2 b 3 = b 3 b 1, b 3 b 1, b 1 b 1 b 2, b 3 b 2, b 2 b 2. Pasul k: Continuând procedeul, obţinem formula generală: k 1 b k = b b i k, b k b i=1 i, b i b i, k = 2, n. În final, plecând B, putem obţine baza ortonormată B = {b 1,..., b n }, dacă luăm b k = b k b k, k = 1, n, unde este norma indusă de produsul scalar,, considerat pe V. Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 39 / 40

40 Bibliografie Anca Precupanu - Bazele analizei matematice (Cap. 10), Editura Polirom, Iaşi, V. Postolică - Eficienţă prin matematică aplicată. Analiză matematică (Cap. 10, 11 şi 12), Editura Matrix Rom, Bucureşti, Emil Popescu - Analiză matematică. Calcul diferenţial, Editura Matrix Rom, Bucureşti, E. Macovei, F. Iacob - Matematică pentru anul I), Editura Universităţii Al. I. Cuza, Iaşi, W. F. Trench - Introduction to Real Analysis (Chap. 4), Library of Congress Cataloging-in-Publication Data, M. Postolache - Analiză matematică ( teorie şi aplicaţii ), Editura Fair Partners, Bucureşti, Steven Heilman - Sequences and Series of Functions.Convergence, UCLA Department of Mathematics, Los Angeles, M. Deisenroth, M. Cheraghchi - Mathematical Methods (Chap.4:Power Series), Imperial College London, Department of Computing, Matematică, Anul I A. Arusoaie FII (UAIC, Iaşi) 40 / 40

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă.

CURS 11: ALGEBRĂ Spaţii liniare euclidiene. Produs scalar real. Spaţiu euclidian. Produs scalar complex. Spaţiu unitar. Noţiunea de normă. Sala: 2103 Decembrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 11: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

Contract POSDRU/86/1.2/S/ POSDRU ID * Bucureşti 2012

Contract POSDRU/86/1.2/S/ POSDRU ID * Bucureşti 2012 Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Algebră Liniară POSDRU ID 62485 * Bucureşti 212 Prefaţă Algebra liniară şi geometria analitică stau la baza pregătirii matematice universitare, oferind modelări bazate pe

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Vladimir BALAN. Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială. Student Web Copy. = Bucureşti 2011 =

Vladimir BALAN. Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială. Student Web Copy. = Bucureşti 2011 = Vladimir BALAN Algebră Liniară, Geometrie Analitică, şi Elemente de Geometrie Diferenţială = Bucureşti 2011 = Prefaţă Acest material include noţiunile, rezultatele teoretice de bază, precum şi probleme

Διαβάστε περισσότερα

Algebră liniară CAPITOLUL 1

Algebră liniară CAPITOLUL 1 Algebră liniară CAPITOLUL SPAŢII VECTORIALE FINIT DIMENSIONALE. Definiţia spaţiilor vectoriale Pentru a introduce noţiunea de spaţiu vectorial avem nevoie de noţiunea de corp comutativ de caracteristică

Διαβάστε περισσότερα

Algebră liniară CAPITOLUL 3

Algebră liniară CAPITOLUL 3 Algebră liniară CAPITOLUL 3 TRANSFORĂRI LINIARE 3.. Definiţia transformării liniare Definiţia 3... Fie V şi W două spaţii vectoriale peste un corp comutativ K. O funcţie u: V W se numeşte transformare

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE. Teorie şi probleme

ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE. Teorie şi probleme ALGEBRĂ LINIARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI GEOMETRIE DIFERENŢIALĂ. Teorie şi probleme Florian MUNTEANU Departamentul de Matematici Aplicate, Universitatea din Craiova Al. Cuza 3, 585 Craiova, Dolj, România

Διαβάστε περισσότερα

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE

Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ GEOMETRIE Gheorghe PROCOPIUC PROBLEME DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI GEOMETRIE IAŞI, 005 CUPRINS 1 MATRICE ŞI SISTEME ALGEBRICE LINIARE 5 1.1 Matrice şi determinanţi.......................... 5 1. Sisteme de ecuaţii algebrice

Διαβάστε περισσότερα

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0

Seminar Algebra. det(a λi 3 ) = 0 Rezolvari ale unor probleme propuse "Matematica const în a dovedi ceea ce este evident în cel mai puµin evident mod." George Polya P/Seminar Valori si vectori proprii : Solutie: ( ) a) A = Valorile proprii:

Διαβάστε περισσότερα

Sala: 2103 Octombrie 2014 CURS 1: ALGEBRĂ. Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare.

Sala: 2103 Octombrie 2014 CURS 1: ALGEBRĂ. Fie K corp comutativ cu elementul neutru la înmulţire notat prin 1 iar 0 la adunare. Sala: 2103 Octombrie 2014 Conf. univ. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 1: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat.

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu

GEOMETRIE ANALITICĂ. Mihai-Sorin Stupariu GEOMETRIE ANALITICĂ Mihai-Sorin Stupariu Sem. al II-lea, 007-008 Cuprins 1 Elemente de algebră liniară 3 1.1 Spaţii vectoriale. Definiţie. Exemple................ 3 1. Combinaţii liniare. Baze şi repere..................

Διαβάστε περισσότερα

Adriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs

Adriana-Ioana Lefter DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs Adriana-Ioana Lefter MATEMATICĂ (ALGEBRĂ ŞI ECUAŢII DIFERENŢIALE) Anul I, Facultatea de Chimie Note de curs Cuprins Partea 1 ALGEBRĂ 1 Capitolul 1 Matrice şi determinanţi 3 11 Corpuri 3 12 Matrice 4 13

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n

1 Preliminarii. M 3, (a b) c = a (b c) (notăm a b c, obţinând astfel şi x 1 x 2... x n 1 Preliminarii Fie M, A mulţimi nevide şi n N. Se muneşte operaţie n ară (sau lege de compoziţie n-ară) definită pe M orice aplicaţie τ : M n M (M n = } M {{... M } ). In cazul n = 2, obţinem operaţiile

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi

Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Orientarea spatiului E 3 Denitia produsului vectorial. Proprietati Rezolvari de ecuatii vectoriale Schimbari de baze ortonormate in spatiu Aplicatii Lectia IV Produsul vectorial a doi vectori liberi Oana

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Sala: Octombrie 2014 SEMINAR 1: ALGEBRĂ. este un Q-spaţiu vectorial, faţă de operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire cu un număr raţional.

Sala: Octombrie 2014 SEMINAR 1: ALGEBRĂ. este un Q-spaţiu vectorial, faţă de operaţiile uzuale de adunare şi înmulţire cu un număr raţional. Sala: Octombrie 24 SEMINAR : ALGEBRĂ Conf univ dr: Dragoş-Pătru Covei Programul de studii: CE, IE, SPE Nota: Acest curs nu a fost supus unui proces riguros de recenzare pentru a fi oficial publicat distribuit

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE ANALITICĂ. Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA

GEOMETRIE ANALITICĂ. Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA GEOMETRIE ANALITICĂ Gheorghe MUNTEANU, Adelina MANEA 2 Cuprins Prefaţă 7 I Consideraţii teoretice 9 1 Spaţii vectoriale 11 1.1 Definiţie, exemple......................... 12 1.2 Subspaţii..............................

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare

Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare Matrici şi sisteme de ecuaţii liniare 1. Matrici şi determinanţi Reamintim aici câteva proprietăţi ale matricilor şi determinanţilor. Definiţia 1.1. Fie K un corp (comutativ) şi m, n N. O funcţie A : {1,...,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

elemente de geometrie euclidiană

elemente de geometrie euclidiană Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Fizică Algebră liniară şi elemente de geometrie euclidiană Adrian NECULAE - Curs pentru uzul studenţilor - Timişoara - 2010 Tipografia Universităţii de

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate

Curs 4. I.4 Grafuri. Grafuri orientate Curs 4 I.4 Grafuri I.4.1 Grafuri orientate Definiţia I.4.1.1. Un graf orientat este un tuplu G = (N, A, ϕ : A N N), unde N şi A sunt mulţimi, numite mulţimea nodurilor, respectiv mulţimea arcelor, iar

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ Liliana Brǎescu Eva Kaslik Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ CURS DE GEOMETRIE Timişoara 2007

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013

O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 O generalizare a unei probleme de algebră dată la Olimpiada de Matematică, faza judeţeană, 2013 Marius Tărnăuceanu 1 Aprilie 2013 Abstract În această lucrare vom prezenta un rezultat ce extinde Problema

Διαβάστε περισσότερα

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE

CAPITOLUL 4 FUNCŢIONALE LINIARE, BILINIARE ŞI PĂTRATICE CAPITOLUL FUNCŢIONALE LINIAE BILINIAE ŞI PĂTATICE FUNCŢIONALE LINIAE BEIA TEOETIC Deiniţia Fie K X un spaţiu vecorial de dimensiune iniă O aplicaţie : X K se numeşe uncţională liniară dacă: ese adiivă

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R 3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3

Διαβάστε περισσότερα

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A = Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta:

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Ariadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ

Ariadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ Ariadna Lucia Pletea Adrian Corduneanu Mircea Lupan LECŢII DE ALGEBRĂ LINIARĂ IASI, 005 1 Cuprins Capitolul 1 1.1. Matrice şi determinanţi...5 1.1.1. Determinantul unei matrice pătratice...8 1.1.. Matricea

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

(Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013)

(Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013) ALGEBRĂ (Îndrumar pentru examenul licenţă valabil începând cu sesiunea de finalizare a studiilor iulie 2013) CUPRINS Pentru specializările Matematică şi Matematică informatică: 1 Introducere 1 2 Grupuri,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea

Geometrie afină. Conf. Univ. Dr. Cornel Pintea Geometrie afină Conf Univ Dr Cornel Pintea E-mail: cpintea mathubbclujro Cuprins 1 Săptămâna 13 1 2 Endomorfismele unui spaţiu afin 1 21 Translaţia 1 22 Subspaţii invariante 2 23 Omotetii 2 24 Proiecţii

Διαβάστε περισσότερα

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL

Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi CALCUL DIFERENŢIAL Prof. univ. dr. Ion CRĂCIUN Departamentul de Matematică Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi ANALIZĂ MATEMATICĂ CALCUL DIFERENŢIAL IAŞI 2011 Cuprins 1 Noţiuni fundamentale de teoria mulţimilor

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor

Capitolul II. Grupuri. II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Capitolul II Grupuri II.1. Grupuri; subgrupuri; divizori normali; grupuri factor Definiţia 1. Fie G o mulţime nevidă şi " " operaţie algebrică pe G. Cuplul (G, ) se numeşte grup, dacă sunt satisfăcute

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau

Διαβάστε περισσότερα

Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare

Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare Pseudoinversă şi inversă generalizată ale unei aplicaţii liniare Adrian REISNER 1 1. Pseudoinversă a unui endomorfism într-un spaţiu vectorial de dimensiune finită. Fie S un R-spaţiu vectorial de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011 Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI APLICATE ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ-

MATEMATICI APLICATE ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ- UNIVERSITATEA "LUCIAN BLAGA" DIN SIBIU Dumitru Acu Petrică Dicu Mugur Acu Ana Maria Acu MATEMATICI APLICATE ÎN ECONOMIE - NOTE DE CURS - PENTRU - ÎNVǍŢǍMÂNTUL LA DISTANŢǍ- Cuprins Introducere 6. Necesitatea

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα