Capitolul 1. Serii Fourier. 1.1 Introducere. 1.2 Forma trigonometrică

Transcript

1 Capitolul Serii Fourier. Introducere Sistemele liniare invariante în timp sunt de departe cele mai studiate şi utilizate sisteme în prelucrarea semnalelor. Un sistem se numeşte liniar dacă răspunsul acestuia la suma a două semnale este identic cu suma răspunsurilor la fiecare semnal în parte. Un sistem se numeşte invariant în timp dacă răspunsul său la un semnal este acelaşi indiferent de momentul când este aplicat semnalul respectiv la intrarea sistemului. Din teoria sistemelor, se ştie că funcţiile proprii ale sistemelor liniare invariante în timp (pe scurt, SLI) sunt (co)sinusoidele. Altfel spus, dacă la intrarea unui SLI aplicăm o cosinusoidă pură de frecvenţă 0, atunci la ieşire vom avea tot o cosinusoidă pură 0 (bineînţeles, având altă amplitudine şi fază). Acest fapt permite studierea comportamentului sistemului la un semnal de intrare oarecare, cu condiţia să putem scrie semnalul respectiv ca o sumă (fie şi infinită) de cosinusoide. Această scriere a semnalelor face obiectul primelor două capitole ale acestei prezentări. În acest capitol vom prezenta cazul semnalelor periodice, arătând că acestea pot fi scrise ca o sumă numărabilă de componente sinusoidale ale căror amplitudini şi faze pot fi calculate cu uşurinţă din semnalul respectiv. În capitolul următor, vom generaliza această descompunere la cazul semnalelor oarecare..2 Forma trigonometrică Fie x(t) un semnal periodic, de perioada : x(t) x(t + ) t R (.) Atunci, se poate arăta că semnalul x(t) se poate scrie sub forma unei sume numărabile de cosinusoide şi sinusoide, de frecvenţe multipli ai frecvenţei de bază a semnalului (numită frecvenţă fundamentală): Ω. (.2)

2 .2. Forma trigonometrică 2 Astfel, are loc relaţia: x(t) c n cos(nωt) + n0 s n sin(nωt). (.3) Coeficienţii {c n } n N şi {s n } n N se numesc coeficienţii dezvoltării semnalului în serie Fourier trigonometrică. Se poate arăta că funcţiile {cos(nωt)} n N şi {sin(nωt)} n N formează un set ortogonal de funcţii. Dacă se defineşte produsul scalar al două funcţii (reale) periodice de perioadă precum: f(t), g(t) f(t)g(t)dt, (.4) unde reprezintă integrala pe o perioadă oarecare, atunci se poate arăta prin calcul direct că: cos(mωt), cos(nωt) sin(mωt), sin(nωt) n dacă m n 0 2 dacă m n 0 0 dacă m n dacă m n 0 2 dacă m n 0 0 dacă m n (.5a) (.5b) cos(mωt), sin(nωt) 0 m, n. (.5c) Din ecuaţiile (.5), rezultă un mod simplu de calcul al coeficienţii dezvoltării semnalului, prin produs scalar între acesta şi funcţia respectivă din baza de funcţii. Astfel, dacă se calculează, spre exemplu: x(t), cos(kωt) x(t) cos(kωt)dt ( ) c n cos(nωt) + s n sin(nωt) cos(kωt)dt n0 c n n0 n cos(nωt) cos(kωt)dt + } {{ } 0 pentru n k { 2 c k dacă k 0 c k dacă k 0. s n n sin(nωt) cos(kωt)dt } {{ } 0 (.6) Reluând demonstraţia de mai sus şi pentru valorile s k, rezultă următoarele relaţii de calcul pentru coeficienţii dezvoltării semnalului x(t) în serie Fourier trigonometrică. c 0 x(t)dt (.7a) c n 2 x(t) cos(nωt)dt n, 2, 3,... (.7b) s n 2 x(t) sin(nωt)dt n, 2, 3,... (.7c)

3 .3. Forma armonică 3 Este evident că şirul de coeficienţi {c 0, c, c 2,..., s, s 2,...} constituie o altă reprezentare a semnalului x(t), întrucât, conform cu (.3), acesta poate fi reconstruit perfect pe baza coeficienţilor respectivi. Reprezentarea sub formă trigonometrică a seriei Fourier a unui semnal este, însă, destul de greu de interpretat, datorită prezenţei a doi coeficienţi (unul sinusoidal şi celălalt cosinusoidal ) ce caracterizează fiecare frecvenţă nω. Forma armonică a descompunerii în serie Fourier, pe care o vom prezenta în paragraful următor este mai intuitivă, întrucât face să apară o singură componentă sinusoidală pentru fiecare frecvenţă prin compactarea componentei cosinusoidale cu cea sinusoidală..3 Forma armonică Să considerăm cantităţile A n şi ϕ n reprezentând coordonatele polare ale perechii (c n, s n ). Cu alte cuvinte, pentru n > 0 avem relaţiile: respectiv A n c 2 n + s 2 n ϕ n arctan ( sn c n (.8a) ), (.8b) c n A n cos(ϕ n ) s n A n sin(ϕ n ). (.9a) (.9b) în timp ce pentru n 0 luăm: A 0 c 0 ϕ 0 0. (.0a) (.0b) Înlocuind relaţiile (.9) în descompunerea (.3), obţinem: x(t) (A n cos(ϕ n ) cos(nωt) A n sin(ϕ n ) sin(nωt)), (.) n0 de unde, prin restrângere, obţinem forma finală a descompunerii semnalului x(t) în serie Fourier armonică: x(t) A n cos(nωt + ϕ n ) (.2) n0 Forma (.2) este mai uşor de interpretat, întrucât conţine amplitudinile A n şi fazele ϕ n cosinusoidelor de frecvenţe nω ce intervin în descompunerea semnalului nostru periodic. Şirul de coeficienţi {A 0, A, A 2,...} reprezintă spectrul de amplitudini al semnalului x(t), iar şirul {ϕ 0, ϕ, ϕ 2,...} spectrul de faze al acestuia.

4 .4. Forma complexă 4.4 Forma complexă Forma complexă este cea mai generală formă a descompunerii unui semnal periodic în serie Fourier. Se porneşte de la identitatea cos(x) care se înlocuieşte în relaţia (.2), rezultând: exp(jx) + exp( jx), (.3) 2 x(t) 2 (A n exp(jϕ n ) exp(jnωt) + A n exp( jϕ n ) exp( jnωt)) n0 A 0 + n A n 2 exp(jϕ n) exp(jnωt) + n A n 2 exp( jϕ n) exp(jnωt). (.4) În relaţia de mai sus, am folosit faptul că ϕ 0 0. În continuare, introducem cantitatea A nc C cu n Z definită astfel: A nc A 0 pentru n 0 2 n exp(jϕ n ) pentru n > 0 A 2 n exp( jϕ n ) pentru n < 0 Cu notaţia de mai sus, dezvoltarea (.4) devine: x(t) n. (.5) A nc exp(jnωt), (.6) relaţie ce reprezintă dezvoltarea semnalului periodic x(t) în serie Fourier armonică. Unul din avantajele acestei reprezentări constă în modalitatea directă şi mai ales unitară de calcul al coeficienţilor dezvoltării A nc. Astfel, pentru n > 0 avem: A nc 2 A n exp(jϕ n ) 2 (A n cos(ϕ n ) + ja n sin(ϕ n )) 2 (c n js n ) ( 2 x(t) cos(nωt)dt j 2 ) x(t) sin(nωt)dt 2 x(t)(cos(nωt) j sin(nωt)dt x(t) exp( jnωt)dt. Pentru n < 0 avem în mod similar: A nc 2 A n exp( jϕ n ) 2 (A n cos(ϕ n ) ja n sin(ϕ n )) 2 (c n + js n ) ( 2 x(t) cos( nωt)dt + j 2 ) x(t) sin( nωt)dt 2 x(t)(cos(nωt) j sin(nωt))dt x(t) exp( jnωt)dt. (.7) (.8)

5 .4. Forma complexă 5 În dezvoltarea de mai sus, am folosit faptul că funcţia cosinus este pară şi că sinus este impară. În sfârşit, pentru A 0c se poate scrie: A 0c A 0 c 0 x(t)dt x(t)exp( j0ωt) dt. (.9) t }{{} Rezumând, relaţiile (.7),(.8) şi (.9) pot fi scrise în mod unitar precum: A nc x(t) exp( jnωt)dt, n Z. (.20) La sfârşitul expunerii, se impun câteva observaţii importante: Este evident că cele trei forme ale descompunerii în serie Fourier ale unui semnal periodic sunt reprezentări echivalente ale aceleiaşi realităţi fizice, care exprimă descompunerea unui semnal periodic într-o sumă numărabilă de (co)sinusoide; din orice dintre cele trei forme se pot deduce celelalte două. Forma complexă a descompunerii introduce noţiunea de frecvenţă negativă. Este evident că această noţiune provine dintr-o construcţie matematică ce nu are nici o legătură cu realitatea fizică. În realitate, conform cu (.4) şi cu (.5), componenta pe aşa zisa frecvenţă negativă nω împreună cu cea pe frecvenţa nω formează împreună componenta sinusoidală de frecvenţă nω.

6 Capitolul 2 ransformata Fourier 2. Introducere În capitolul dedicat descompunerii unui semnal în serie Fourier, am arătat că un semnal periodic poate fi descompus ca o sumă de un număr numărabil de componente sinusoidale, de frecvenţe multipli ai frecvenţei de bază a semnalului, numită frecvenţă fundamentală. În acest capitol, vom generaliza această descompunere a unui semnal într-o sumă de sinusoide şi pentru semnale neperiodice. Să începem prin a studia forma spectrului semnalului periodic în funcţie de perioada sa. Se observă că pe măsură ce creşte, componentele din spectrul semnalului se îndesesc. Acest lucru este natural, întrucât creşterea lui este echivalentă cu scaderea frecvenţei fundamentale Ω, şi deci, cu scăderea întervalului de frecvenţă între două componente succesive. Figura 2. ilustrează un exemplu. Evident, la limită, când, componentele frecvenţiale se contopesc, iar spectrul semnalului devine de natură continuă. Ajungem, deci, la definiţia transformatei Fourier. Definiţie. Fie x(t) un semnal de modul integrabil: x(t) dt M <. (2.) Atunci, se defineşte transformata Fourier a semnalului x(t) ca fiind semnalul X() obţinut după: X() not F{x(t)}() x(t) exp( jt)dt. (2.2) Semnalul original x(t) poate fi recuperat din transformata sa prin aplicarea operatorului invers: x(t) F {X()}(t) X() exp(jt)d. (2.3) 6

7 2.. Introducere 7 x(t) t 0 2 Ω 0 Ω 2Ω (a) (b) x(t) 0 2 t 0 Ω Ω (c) (d) Figura 2.: Forma spectrului unui semnal periodic în funcţie de perioadă: (a) Semnal periodic de perioada. (b) Modulul coeficienţilor A nc pentru semnalul din figura a. (c) Semnal periodic de perioada >. (d) Modulul coeficienţilor A nc pentru semnalul din figura (c). Este important, pentru înţelegerea noţiunilor, să observăm similitudinile şi diferenţele între relaţiile (2.2) şi (2.3) şi cele care descriu descompunerea în serie Fourier complexă a unui semnal periodic, respectiv (.20) şi (.6). Se observă că semnificaţia valorilor X() este similară cu cea a coeficienţilor A nc, cu singura diferenţă că, în cazul transformatei Fourier, numărul de cosinusoide în care se descompune semnalul devine infinit nenumărabil. În rest, semnificaţia valorilor X() este aceeaşi pe care am discutat-o în capitolul precedent: modului X() şi faza ϕ() ale cantităţii complexe X() X() exp(jϕ()) sunt amplitudinea, respectiv faza cosinusoidei de frecvenţă ce intră în descompunerea spectrală a semnalului x(t). Într-adevăr, observând că, în ipoteza unui semnal x(t) cu valori reale, valorile transformatei Fourier situate simetric faţă de 0 sunt complex conjugate: x(t) R t X( ) X () { X( ) X() ϕ( ) ϕ(), (2.4)

8 2.2. Proprietăţile transformatei Fourier 8 atunci (2.3) poate fi rescrisă ca: x(t) 0 X() exp(jt)d + X() exp(jt)d 0 Ω 0 X( Ω) exp( jωt)dω + X() exp(jt)d X (Ω) exp( jωt) dω + }{{} [X(Ω) exp(jωt)] 0 X() exp(jt)d (X() exp(jt) + [X() exp(jt)] ) d. (2.5) În continuare, folosind faptul că z C, avem z+z 2Re{z} şi că Re{X() exp(jt)} Re{ X() exp(j(t + ϕ()))} X() cos(t + ϕ()), (2.5) devine: x(t) π 0 X() cos(t + ϕ())d, (2.6) relaţie ce justifică afirmaţia despre semnificaţia modulului şi fazei lui X(). În continuare, vom demonstra câteva proprietăţi importante ale transformatei Fourier. 2.2 Proprietăţile transformatei Fourier Liniaritatea. ransformata Fourier este liniară. Fie x(t) şi y(t) două semnale de modul integrabil şi fie a şi b două constante complexe. Liniaritatea transformatei Fourier se traduce prin faptul că aceasta comută F{ax(t) + b(y(t)}() af{x(t)}() + bf{y(t)}(). (2.7) Deplasarea în timp. Deplasarea în timp cu o cantitate constantă t 0 a unui semnal corespunde unei deviaţii induse in faza spectrului: Demonstraţie: F{x(t t 0 )}() F{x(t t 0 )}() X() exp( jt 0 ). (2.8) x(t t 0 ) exp( jt)dt t t 0τ x(τ) exp( j(τ + t 0 ))dτ exp( jt 0 ) x(τ) exp( jτ)dτ. (2.9) } {{ } X()

9 2.2. Proprietăţile transformatei Fourier 9 Deplasarea în spectru. Deplasarea spectrului unui semnal cu o frecvenţă constantă 0 corespunde înmulţirii semnalului în timp cu o cosinusoidă complexă: F {X( 0 )}(t) x(t) exp(j 0 t). (2.0) Demonstraţie: F {X( 0 )}(t) X( 0 ) exp(jt)d 0Ω exp(j 0 t) X(Ω) exp(jωt)dω. } {{ } x(t) X(Ω) exp(j(ω + 0 )t)dω (2.) Schimbarea de scală. O contracţie a semnalului cu o constantă a corespunde unei relaxări a spectrului cu acceaşi constantă şi vice versa. Demonstraţie: F{x(at)}() ( ) a X, a R, a 0. (2.2) a F{x(at)}() x(at) exp( jt)dt atτ S ( x(τ) exp j τ a) a dτ Sa x(τ) exp ( j ) a τ dτ } {{ } X( a ) S ( ) a X. a (2.3) unde S sgn(a) Derivarea în timp. Demonstraţie: dx(t) d dt dt { dacă a > 0 dacă a < 0. { } dx(t) F () jx(). (2.4) dt X() exp(jt)d jx() exp(jt)d. (2.5)

10 2.2. Proprietăţile transformatei Fourier 0 Integrarea în timp. { F Demonstraţie: Se aplică relaţia precedentă } x(t)dt () X(). (2.6) j Conservarea energiei. Demonstraţie: ransformata Fourier conservă energia semnalului. x 2 (t)dt X() 2 d. (2.7) x 2 (t)dt x(t) X() exp(jt)d dt }{{} X() x(t) x(t) exp(jt)dt d } {{ } X () X() 2 d. (2.8) Simetria. F{x(t)}() X() F{X(t)}() x( ). (2.9) Demonstraţie: Se foloseşte simetria între relaţiile care dau transformata Fourier directă şi inversă. Convoluţia în timp. Spectrul semnalului obţinut prin convoluţia temporală a două semnale se obţine ca produsul spectrelor celor două semnale. Fie x(t) şi y(t) două semnale de modul integrabil, şi fie z(t) produsul lor de convoluţie: z(t) x(t) y(t) x(τ)y(t τ)dτ x(t τ)y(τ)dτ. (2.20) Atunci, între transformatele Fourier ale celor trei semnale are loc relaţia: Z() X()Y () R. (2.2)

11 2.2. Proprietăţile transformatei Fourier Demonstraţie: Z() z(t) exp( jt)dt x(τ)y(t τ)dτ exp( jt)dt t τθ x(τ)y(t τ) exp( jt)exp( jτ) exp(jτ) dtdτ }{{} x(τ) exp( jτ) x(τ) exp( jτ) y(t τ) exp( j(t τ))dt dτ. y(θ) exp( jθ)dθ dτ. (2.22) Y () x(τ) exp( jτ)dτ } {{ } X() } {{ } Y () X()Y (). Convoluţia în frecvenţă. Spectrul semnalului obţinut prin produsul a două semnale se obţine prin convoluţia spectrelor celor două semnale. Fie x(t) şi y(t) două semnale de modul integrabil, şi fie z(t) semnalul obţinut prin produsul lor: z(t) x(t)y(t) t R. (2.23) Atunci, între transformatele Fourier ale celor trei semnale are loc relaţia: Z() X() Y () X(Ω)Y ( Ω)dΩ X( Ω)Y (Ω)dΩ. (2.24)

12 2.3. ransformatele Fourier ale câtorva semnale de interes 2 Demonstraţie: z(t) ( ( ΩΨ Z() exp(jt)d ) 2 ) 2 ( ) 2 X(Ω)y( Ω)dΩ exp(jt)d X(Ω)Y ( Ω) exp(jt)exp( jωt) exp(jωt) ddω }{{} X(Ω) exp(jωt) X(Ω) exp(jωt) Y ( Ω) exp(j( Ω)t)d dω. y(t) X(Ω) exp(jωt)dω x(t)y(t). } {{ } x(t) Y (Ψ) exp(jψt)dψ dω. } {{ } y(t) (2.25) 2.3 ransformatele Fourier ale câtorva semnale de interes Impulsul Dirac F{δ(t)}() δ(t) exp( jt)dt. (2.26) În relaţia de mai sus s-a folosit proprietatea impulsului Dirac: f(x)δ(x x 0 )dx f(x 0 ). (2.27) x(t) δ(t) X() t Figura 2.2: Impulsul Dirac şi transformata sa Fourier

13 2.3. ransformatele Fourier ale câtorva semnale de interes 3 Semnalul constant Calculul transformatei Fourier a semnalului constant x(t) nu poate fi făcut direct, datorită imposibilităţii calculului limitei lim exp( jt). Pentru t rezolvarea problemei, se foloseşte rezultatul anterior (conform căruia transformata Fourier a unui impuls Dirac este funcţia constantă) şi se aplică proprietatea simetriei transformatei Fourier, care afirmă că, cu excepţia unor constante şi a unei operaţii de simetrizare, două funcţii fac pereche Fourier indiferent care din ele e exprimată în timp şi care în frecvenţă. Rezultatul anterior poate fi scris compact ca: de unde, aplicând (2.9), avem: (t) δ(t) F () (2.28) F δ( ) δ(). (2.29) Într-adevăr, calculând transformata Fourier inversă a semnalului X() δ(), avem F {X()}(t) δ() exp(jt)d x(t), (2.30) ceea ce completează demonstraţia noastră. x(t) X() δ() t Figura 2.3: Semnalul constant şi transformata sa Fourier Observaţie. Având în vedere semnificaţia transformatei Fourier a unui semnal, era normal să ne aşteptăm la acest rezultat, care se interpretează în sensul că în descompunerea unui semnal constant ca o sumă de sinusoide intră numai componenta de frecvenţă zero, adică semnalul constant! Funcţia cosinus. La fel ca şi în cazul semnalului constant, calculul transformatei Fourier a funcţiei x(t) cos( 0 t) nu poate fi abordat în mod direct, ci tot folosind rezultate deja determinate şi proprietăţi ale transformatei Fourier. Pornind de la identitatea (.3) şi folosind rezultatul anterior şi teorema deplasării în frecvenţă, avem succesiv: exp( j 0 t) exp(j 0 t) cos( 0 t) F δ() F δ( + 0 ) F δ( 0 ) F π (δ( 0 ) + δ( + 0 )). (2.3)

14 2.3. ransformatele Fourier ale câtorva semnale de interes 4 x(t)cos(t) πδ(+ 0 ) X() πδ( 0 ) t 0 0 Figura 2.4: Semnalul cosinusoidal pur şi transformata sa Fourier ransformata Fourier a semnalului x(t) sin( 0 t) se poate deduce în mod absolut similar pornind de la: exp(jx) exp( jx) sin(x) (2.32) 2j Observaţie. La fel ca în cazul transformatei Fourier a semnalului constant, rezultatul obţinut mai sus este intuitiv, întrucât arată faptul că descompunerea unui semnal cosinusoidal pur de frecvenţă 0 ca o sumă de cosinusoide este compusă dintr-o singură cosinusoidă, şi anume cea pe frecvenţa respectivă! Semnalul de tip box. Fie semnalul: { dacă t x(t) 0 în rest. (2.33) ransformata Fourier a lui x(t) se calculează direct precum: X() exp( jt) j exp( jt) 2j sin( ) j 2 sinc( ). exp(j ) exp( j ) j (2.34) unde cu sinc(x) am notat funcţia sinus cardinal: sinc(x) sin(x) x. (2.35) Semnalul sinus cardinal. Aplicând rezultatului anterior teorema simetriei şi folosind faptul că funcţia box e pară, rezultă că transformata Fourier a unei funcţii de tip sinc este o funcţie box: { π F sinc( 0 x) 0 dacă 0. (2.36) 0 în rest Rezultatul de mai sus este extrem de util în studiul filtrelor liniare.

15 2.3. ransformatele Fourier ale câtorva semnale de interes 5 x(t) X() 2 t Figura 2.5: Semnalul de tip box şi transformata sa Fourier x(t)sinc( 0 t) X() π/ 0 t 0 0 Figura 2.6: Semnalul de tip sinus cardinal şi transformata sa Fourier

16 Capitolul 3 eorema eşantionării Fie x(t) un semnal de modul integrabil, al cărui spectru estec mărginit. Dacă X() este spectrul semnalului, dat de transformata Fourier a acestuia: X() F{x(t)}() x(t) exp( jt)dt, (3.) atunci mărginirea spectrului semnalului poate fi scrisă precum: X() 0, > Ω max, (3.2) cu Ω max frecvenţa maximă a acestuia. cu spectru limitat. În figura 3. este prezentat un exemplu de semnal X() Ω max Ω max Figura 3.: Exemplu de semnal cu spectru limitat Având în vedere (3.2), rezultă că semnalul original x(t) poate fi recuperat din spectrul său X() după: x(t) F {X()}(t) Ω max X() exp(jt)d X() exp(jt)d. (3.3) Ω max 6

17 7 În continuare, vom face următoarea construcţie: dezvoltăm spectrul X() al semnalului nostru într-o serie Fourier în interiorul intervalului [ Ω max, Ω max ]! În legătură cu această construcţie, se impun următoarele precizări importante pentru înţelegerea ei: Dezvoltarea în serie Fourier a fost prezentată şi discutată în contextul unor semnale de timp. Acest lucru nu ne împiedică, însă, aplicarea aceleiaşi teorii pentru un semnal reprezentat în frecvenţă, întrucât este vorba despre o construcţie matematică valabilă indiferent de semnificaţia fizică pe care o atribuim mărimilor cu care operează. În acest context, să observăm că, dacă semnificaţia fizică a coeficienţilor dezvoltării în serie Fourier a unui semnal temporal este de componente frecvenţiale, atunci, invers, semnificaţia fizică a coeficienţilor dezvoltării unui semnal de frecvenţă va fi de componente temporale. Dezvoltarea în serie Fourier a unui semnal a fost discutată numai pentru semnale periodice. Or, să ne reamintim că semnalul pe care intenţionăm să îl dezvoltăm nu este periodic! Din acest motiv, descompunerea semnalului nu este valabilă decât în interiorul intervalului considerat, respectiv [ Ω max, Ω max ]. Astfel, introducând perioada semnalului (în cazul de faţă 2Ω max ) în (.2), relaţia (.6) care ne dă dezvoltarea în serie Fourier complexă se scrie: X() n ( ξ n exp jn ) 2Ω max [ Ω max, Ω max ]. (3.4) unde ξ n sunt coeficienţii dezvoltării, ce, conform cu (.20), pot fi deduşi ca: ξ n Ω max 2Ω max Ω max ( X() exp jn ) d. (3.5) 2Ω max Prin identificarea termenilor din relaţiile (3.5) şi (3.3), rezultă că ξ n nu sunt alceva decât valori ale semnalului original x(t) la anumite momente de timp: ξ n π ( x n π ) n Z. (3.6) Ω max Ω max În continuare, înlocuim pe X() dat de (3.5) în relaţia (3.3), obţinând: x(t) Ω max Ω max Ω max Ω max n X() exp(jt)d ( ξ n n Ω max Ω max ( ξ n exp jn ) ) exp(jt)d 2Ω max ( exp j t + n π ) Ω }{{ max d. } not α (3.7)

18 8 Prin calcul direct, integrala de mai sus poate fi scrisă precum: Ω max Ω max exp(jα)d jα exp(jα) exp (jαω max) exp ( jαω max) jα Ω max Ω max 2j sin (αω max) jα 2Ω max sinc (αω max ). (3.8) În dezvoltarea de mai sus, am folosit identitatea (2.32), funcţia sinc(x) fiind dată de (2.35). Înlocuind (3.8) în (3.7), obţinem: x(t) 2Ω max n ( ξ n sinc (Ω max t + n π Ω max )). (3.9) Ultimul pas este înlocuirea în relaţia de mai sus a valorilor ξ n date de (3.6): x(t) π Ω π ( max x n π ) ( sinc (Ω max t + n π )), (3.0) Ω max n Ω max de unde, reducând termeni, introducând notaţia Ω max e not π Ω max, (3.) şi schimbând variabila după care se face sumarea k n obţinem relaţia finală ce reprezintă teorema eşantionării: x(t) x (k e ) sinc (Ω max (t k e )), t R. (3.2) k Interpretarea relaţiei (3.2), respectiv enunţul teoremei eşantionării, este următoarea: eoremă: Un semnal de spectru mărginit poate fi complet reconstruit din eşantioanele sale, cu condiţia ca frecvenţa de eşantionare să fie cel puţin dublul frecvenţei maxime a semnalului. Într-adevăr, relaţia (3.2) ne arată că, având disponibile numai valorile semnalului x(t) într-o mulţime discretă de puncte, respectiv la valori de timp distanţate cu cantitatea e una faţa de alta, putem calcula valoarea semnalului la orice moment de timp t R. Or, notând cu Ω e frecvenţa corespunzătoare valorii e definite în (3.), avem: Ω e e π 2Ω max, (3.3) Ω max ceea ce justifică afirmaţia din enunţul teoremei conform căreia frecvenţa de eşantionare trebuie să fie cel puţin dublul frecvenţei maxime a semnalului. Relaţia (3.2) prezintă recompunerea semnalului din eşantioanele lui luate cu exact dublul frecvenţei sale maxime Ω max. Este evident, însă, că întreg calculul prezentat aici poate fi reluat şi pentru o valoare superioară frecvenţei maxime a semnalului Ω max > Ω max, de unde rezultă că semnalul poate fi reconstruit în mod similar şi dacă frecvenţa de eşantionare este mai mare decât dublul frecvenţei sale maxime.

19 9 Reconstrucţia semnalului din eşantioanele sale se face printr-o sumă de funcţii de tip sinus cardinal, ponderate cu valorile eşantionate ale semnalului. Cu alte cuvinte, relaţia (3.2) ne dă descompunerea semnalului original x(t) în baza ortonormală de funcţii {f k (t)} k Z cu f k (t) not sinc (Ω max (t k e )). (3.4) În sfârşit, o observaţie extrem de utilă pentru o întelegere mai bună a problemei. După cum am precizat şi înainte, datorită faptului că funcţia X() nu este periodică, descompunerea acesteia în serie Fourier nu este valabilă decât în interiorul intervalului considerat pentru funcţia respectivă, si anume [ Ω max, Ω max ]. Pentru ca descompunerea (3.4) să fie valabilă pentru R, ar trebui considerat semnalul obţinut prin periodizarea lui X() cu perioadă 2Ω max. Cu alte cuvinte, dacă luăm în considerare semnalul X() obţinut ca: X() k Z X( 2kΩ max ), (3.5) atunci relaţia (3.4) devine: X() n ( ξ n exp jn ) 2Ω max R, (3.6) cu ξ n daţi de (3.5). Reamintindu-ne că valorile ξ n nu sunt altceva decât eşantioanele semnalului continuu, interpretarea relaţiilor (3.6) şi (3.5) este următoarea: spectrul semnalului eşantionat cu frecvenţa Ω e se obţine prin periodizarea spectrului semnalului continuu cu perioada Ω e! Figura 3.2 ilustrează acest apect important, care ne oferă o altă interpretare intuitivă a aceleiaşi teoreme a eşantionării: dacă semnalul este eşantionat cu o frecvenţă de eşantionare mai mică decât dublul frecvenţei maxime (Ω e < 2Ω max ) atunci în spectrul semnalului apare un fenomen (numit aliasing) caracterizat de întrepătrunderea bucătilor de spectru deplasate cu multipli de Ω e (de exemplu, întrucât Ω max > Ω e Ω max, partea superioară a spectrului nedeplasat se va suprapune cu partea inferioară a spectrului deplasat la dreapta cu Ω e etc.) de unde rezultă că semnalul original nu mai poate fi recuperat din eşantioanele sale! otodată, această periodizare a spectrului semnalului prin eşantionare ne conduce şi la o modalitate practică de a recupera originalul, adică semnalul continuu, din versiunea sa eşantionată: prin aplicare unui filtru trece jos de frecvenţă de tăiere Ω t [Ω max, Ω e Ω max ].

20 20 X() t (a) 0 (b) X() t 2Ω e Ω e 0 Ω e 2Ω e (c) (d) Figura 3.2: Legătura între spectrele semnalului continuu şi al celui eşantionat: (a) Semnal continuu. (b) Spectrul semnalului continuu. (c) Semnalul eşantionat cu frecvenţa Ω e. (d) Spectrul semnalului eşantionat, obţinut prin periodizarea spectrului semnalului continuu.