Tehnici de modulare multipurtător
|
|
- Θαλής Γεωργίου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Tehnici de modulare multipurtător Tehnicade tranmiie (Modulaţia) OFDM (Orthogonal Frequency Diviion Multiplex) - ete denumită în mod curent modulaţie, dar poate fi privită ca o tehnică ce permite modularea imultană a mai multor emnale purtătoare (ubpurtătoare) eceitatea multiplexării în frecvenţă - datorită propagării multicale, caracteritica de tranfer în frecvenţă a canalelor radio prezintă fenomenul de fading electiv în frecvenţă, care introduce variaţii mari ale atenuării emnalului pentru diferite ubbenzi de frecvenţă ale acetuia; - un atfel de canal ete caracterizat de banda de coerenţă, B c - tranmiterea unui debit binar de valoare mare, modulat pe un ingur emnal purtător, implică utilizarea unei frecvenţe ridicate de imbol, care conduce la o lărgime mare de bandă a emnalului modulat, (). D = n f ; LB = f (+α); () - variaţiile caracteriticii de tranfer în frecvenţă a acetui tip de canal provoacă ditorionări emnificative ale emnalului recepţionat, care provoacă la rândul lor creşterea emnficativă a BER şi apariţia unor pachete de erori de lungime mare. - pentru a reduce efectele caracteriticii canalului, fluxul de date ete împărţit în fluxuri paralele, cu debite binare mai redue, care unt modulate pe emnale purtătoare, vezi (2). f f D= n = f n = D ; LB= ( +α) i i (2) i= i= - atfel frecvenţa de imbol (comună) a acetor tranmiii paralele ete mai mică de ori, ceea ce face ca banda de frecvenţă a unei tranmiii ă fie reduă, devenind mai mică au comparabilă cu B c, ceea ce face ca efectele ditorionării emnalului recepţionat de către caracteritica de tranfer a canalului ă fie enibil redue, vezi figura S(ω 2π/T S(ω ω 2π/T ω Figura. Caracteritica atenuare frecvenţă a unui canal cu propagare multicale (multipath) şi pectrul unei tranmiii multipurtătoare - abordând acum canalul în domeniul timp, răpunul la impul Dirac al unui atfel de canal ete contituit dintr-o ucceiune de impuluri care unt întârziate cu valori ce contituie o variabilă aleatoare cu diperia σ t, iar amplitudinilor lor iau valori aleatorii conform unei ditribuţii Rayleigh. - acet tren de impuluri e întinde pe o perioadă mai mare decât perioada de imbol a unei tranmiii monopurtător, care are T mic, provocând interferenţă ISI nenulă şi necontrolată. - tranmiia multipurtător decriă mai u are f de valoare mică, ceea ce conduce la o valoare mare a T, mai mare au comparabilă cu întârzierea impulurilor, reducând ISI introduă de propagare multicale a canalului. - metoda decriă mai u tranformă un canal de bandă largă, cu o electivitate pronunţată în frecvenţă şi o diperie temporală ridicată, într-un număr mare de canale de bandă îngută, neelective în frecvenţă (au cu o electivitate reduă) şi o diperie temporală reduă (faţă de perioada de imbol a tranmiiei). - acete canale unt multiplexate în frecvenţă (FDM) pe ubpurtătoare ortogonale. Principiul OFDM - fluxul datelor de intrare ete ubdivizat în fluxuri de date cu debit redu care unt modulate independent pe (ub)purtatoare ortogonale, divizând atfel canalul în mai multe ub-canale având puterea concentrată în benzi de frecvenţă mai îngute. Fiecare din acete ubpurtătoare poate fi modulată independent şi optimizată din punct de vedere al puterii emie și al performanțelor de eroare impue. - dacă cele ubcanale, în care a fot împărţit canalul de bandă largă, au ubpurtătoarele ortogonale între ele (pentru a elimina interferenţa intercanal în momentele de ondare, la receptie) itemul devine unul O.F.D.M. (Orthogonal Frequency Diviion Multiplexing).
2 - pe fiecare ubcanal, având frecvenţa purtătoare f k (k =,,-), e modulează QAM imbolul complex c k = a k +jb k, pe care e mapează un număr de n k biţi şi care are coordonatele contante pe o perioadă de imbol, prin efectuarea produului complex dintre emnalul purtător complex şi emnalul modulator complex. - frecvenţele ubpurtătoarelor unt eparate prin /T = f Hz, pentru a e aigura ortogonalitatea lor, şi au valorile: fk = k / T = k f ; k =,,..., ; (3) - emnalul modulat OFDM în banda de bază ete uma emnalelor modulate QAM (cu produul complex) pe fiecare ubpurtătoare şi are expreia (4) în care I(t)ete uma părţlor reale, iar Q(t) uma părţilor complexe: z(t) = [(a coω t b in ω t) + j(b coω t + a in ω t)] = k k k k k k k k k= jω t jω t k k k k k= k= = Φ + Φ = A (co jin ) e k c e k ; t T ; z(t) = I(t) + jq(t); ck = ak + jbk = A k (coφ k + jin Φk) - dacă fiecare ubpurtătoare ete demodulată coerent (înmulţire pe 2 ramuri cu co(ω p t) şi in(ω p t), urmate de FTJ, vezi curul de TM), atunci vor apărea produe de tipurile co(ω k t) co(ω p t), in(ω k t) co(ω p t), in(ω k t) co(ω p t) şi in(ω k t) in(ω p t). - după filtrarea TJ, care ete echivalentă cu o mediere pe perioada de imbol T, toate acete produe e vor anula, pentru k p, ceea ce arată ortogonalitatea ubpurtătoarelor - relaţia (5) arată acet lucru pentru unul din tipurile de produe: co(2πkft) co(2π pft)dt = co[2 π (k + p)ft]dt + co[2 π(k p)ft]dt = T T 2T T 2T T (5) = in(2 π (k + p)ft t= T + in(2 π(k p)ft t= T= ; k p 4 π (k + p)ft 4 π(k p)ft - chema de principiu a unui modulator OFDM-BB ete prezentată în figura 2. (4) e j ω t e jω t c Date com plexe e j ω k t c k e jω - t c - Σ z(t) Sem nal OFDM-BB com plex F ig. 2. M od ulato r OFDM -BB Sem nal OFDM - BB F ig u ra 3. Demodulator OFDM-BB e jω k t e jω - t T T T T T T c c k c - - pentru a îndeplini condiţiile menţionate mai u, precum şi o eficienţă pectrală ridicată a tranmiiei, numărul de ubcanale trebuie ă fie mare, putând ajunge la ordinul miilor au zecilor de mii. - realizarea analogică au digitală a modulatoare eparate ar fi complexă şi ineficientă tehnologic. - demodularea emnalului modulat QAM pe o ubpurtătoare poate fi realizată cu metodele decrie în cururile de TM şi TD, capitolele dedicate A+PSK. - în principiu demodularea unui ubcanal OFDM-BB, de index k, implică înmulţirea (complexă) a emnalului modulat cu ubpurtătătorul local complex conjugat e -jω k t, filtrarea TJ a emnalului atfel obţinut şi ondarea părţilor reale şi imaginare a k şi b k ale emnalului modulator obţinute pe cele două ramuri în cuadratură, aşa cum e arată în figura 3. - datorită ortogonalităţii ubpurtătoarelor (5), după înmulţirea cu ubpurtătoarea locală complexă de index k şi mediere, emnalul demodulat pe calea k nu mai conţine emnalele modulatoare ale celorlate ubcanale de index w k. - demodularea eparată a celor ubcanale ete foarte complexă şi ineficientă d.p.d.v. tehnologic. 2
3 - al doilea rând al relaţiei (4) arată că emnalul OFDM poate fi privit ca un emnal care are componente pectrale la frecvenţele k f, având modulele A k şi fazele Φ k. vezi deen (frecvență-timp) pe tablă Modularea-demodularea digitală Modularea OFDM - pentru generarea digitală a emnalului z(t) ete neceară eşantionarea, cu rata dată de (6), a emnalului de date (a k şi b k ) de pe durata celui de-al i-lea imbol OFDM (cea de a i-a perioadă T ), atfel încât ă e obţină câte un eşantion al fiecărui nivel modulator de pe fiecare ubcanal (index k), şi converia a A/D. f e =/T e = /T = f ; (6) - emnalele ubpurtătoare vor fi generate foloind aceeaşi frecvenţă de eşantionare f e. nte 2π kn nte 2π kn co 2π kft co 2π k = co ; in 2π kft in 2π k = in ; T T - emnalul OFDM, pe durata celui de-al i-lea imbol OFDM, dat de (4) are, după aceată eşantionare, expreia: e k k= j2π kn/ z(nt ) z(n) = c e, n=,,2, -. (8) - (8) reprezintă tranformata Fourier inveră dicretă (IDFT) în puncte implementată cu algoritmul IFFT, a emnalului format din câte un eşantion al fiecărui nivel modulator; eşantioanele unt luate ucceiv în ordinea crecătoare a ubpurtătoarelor dată de indexul k. Deoarece nivelele modulatoare provenite prin maparea multibiţilor de date, adică etul de numere complexe c k, k =,,, -, au valori contante pe durata unei perioade de imbol, care conţine perioade de eşantionare, rezultă că utilizarea câte unei ingure perechi de eşantioane pentru fiecare nivel modulator c k =a k +jb k, de pe ubpurtătoarea de index k, ete uficientă pentu a-i defini valoarea. - integrala de definiţie a tranformatei Fourier invere trebuie aplicată pe domeniul limitat de frecvenţe,..., (-) f, iar frecvenţa nu variază continuu, ci ia valori dicrete k f ; mai mult, timpul nu ete nici el continuu, luând valori dicrete nt e. De aceea integrala de definiție a tranformatei Fourier invere e tranformă într-o umă finită. - în (8), n reprezintă indexul timpului dicret (multiplu al perioadei de eşantionare), iar k reprezintă indexul frecvenţei dicrete (multiplu al frecvenţei de imbol OFDM). - imbolurile modulatoare complexe c k = a k + jb k, pot fi coordonatele unor emnale de tip A+PSK, au ale unor emnale de tip DPSK au ale oricărui tip de emnale care pot fi generate utilizând tehnica QAM; - rezultă că fiecare ubpurtătoare poate fi modulată ditinct cu divere tipuri de modulaţii, prin contruirea corepunzătoare a tabelului de mapare al fiecărui cadru (imbol) OFDM; trebuie înă ţinut cont de complexitatea realizării tabelului de mapare (şi implicit a celui de demapare-decizie, la recepţie) - dacă a k = b k =, atunci ubpurtătoarea repectivă are amplitudine nulă. - pentru a genera canale unice, ete neceară tranmiterea de eşantioane complexe. - ieşirea IDFT-ului (8) poate fi puă ub forma (9), vezi şi (4): n 2πkn 2πkn z(n) = [ ak + jbk ] co( ) + jin( ) = k= = [(ak co( ωknt e) bk in( ω knt e)) + j(bk co( ω knt e) + ak in( ω knt e))] = I(n) + jq(n) k= - ieşirile IDFT generează ucceiv câte un eşantion în timp (nt e ), n =,..., -, al părţilor reale şi imaginare ale emnalului OFDM - acete ieşiri ( reale şi imaginare) unt multiplexate eparat pentru a obţine o ucceiune de eşantioane complexe pe o perioada de imbol T, vezi figura 4. (7) (9) date f b Convertor Serie/Paralel M a p a r e c c c k c - ID F T în puncte f = f b /( p ) O F D M - B B Figura 4 M odulator O FD M -Q A M chem a bloc f R e Im M U X M U X z n f e E şan tio n are D A C D A C FTJ FTJ -π /2 Σ O c ila to r p urtătoare z(t) p-q A M O F D M - B B 3
4 - după aceată multiplexare, cele două emnale I(n) şi Q(n) unt convertite D/A şi filtrate TJ-RRC pentru a le limita banda de frecvenţă şi a reduce ISI interimbol OFDM, obţinându-e emnalele I(t) şi Q(t) care formează împreună emnalul OFDM în banda de bază, vezi ecuaţia (): 2πkn j j2πkfnte j2πkft k k k k= k= k= z(n) = ce = ce z(t) = ce = I(t) + jq(t); () - emnalul OFDM-BB ete alcătuit din două emnale reale, care unt părţile reală şi imaginară ale IDFT, care ocupă aceeaşi bandă limitată de frecvenţă. - pentru a putea fi tranmie imultan, acete emnale trebuie tranlatate în banda de frecvenţă a canalului de tranmiie, printr-o modulare QAM pe frecvenţa purtătoare din canal f p, vezi cur TM, aşa cum e arată în ecuaţia () şi figura 4; modulaţia QAM foloită pentru tranmiia emnalului OFDM-BB pe canal tranmite doar partea reală a produului complex dintre emnalul modulator complex OFDM-BB şi emnalul purtător complex. jωpt /2 j2 π (f p+ kf )t j2 π (fp+ kf )t p p k k k= k= /2 I(t)coω t Q(t)inω t = Re{z(t)e } = Re{ c e + c e } () - proprietăţile pectrale ale emnalului OFDM modulat pe purtătorul din canal, vezi ecuaţia (), vor fi dicutate într-un paragraf ulterior. Demodularea - ditoriunile lineare ale canalului analogic unt modelate de răpunul complex h k pe fiecare ubpurtătoare k, aceta indicând ditoriunile de atenuare şi fază introdue de tranmiia analogică în ubbanda de frecvenţă a ubpurtătorului k. - emnalul analogic recepţionat va fi de forma : /2 j( ω p+ω k)t j( ω p+ k ω)t k k k k k= k= /2 r(t) = Re[ h c e + h c e ], t T (2) - motivaţia înmulţirii ennalului modulator complex cu răpunul complex al canalului, în locul produului de convoluţie dintre ele, va fi dată după explicarea intervalului de gardă. - înaintea demodulării, la recepţie au loc următoarele operaţii: tranlaţia emnalului în banda de bază, printr-o demodulare QAM în varianta cu FTJ (vezi curul de TM); în acet material vom preupune că purtătorul local ete perfect incronizat cu purtătorul recepţionat (θ(t) ). converia analog-digitală a emnalelor de pe cele două căi, în fază şi în cuadratură, obţinându-e 2 valori ( reale, imaginare) pe o perioadă de imbol OFDM. Se preupune că frecvenţa de eşantionare a receptorului ete egală cu frecvenţa de eşantionare a emiţătorului, iar cele două emnale de eşantionare unt incronizate. converia erie-paralel a eşantioanelor emnalului modulat care corepund unui cadru (imbol) OFDM, ceea ce implică incronizarea unui tact local de imbol OFDM cu frecvenţa f OFDM = f e /. - emnalul OFDM complex, după tranlatarea în BB foloind un ocilator local cu frecvenţa f p, va fi: j2πkt/t jπt/t z'(t) = [ h e kcke ] = e [I'(t) jq'(t)] (3) k= 2 - frecvenţa maximă a acetui emnal ete de f e, dar el conţine atât partea reală cât şi cea imaginară, şi poate fi eşantionat cu o frecvenţă f e. (Teorema eşantionării tudiată în anii anteriori e referă numai la emnale reale!). - dacă în ecuatia (3), după o amplificare cu 2 şi o chimbare a emnului lui Q, e ubtituie t = nt e e obtine expreia emnalului eşantionat, după tranlaţia de pe frecvenţa purtătoare în banda de bază: j2πkn/ j2πkn/ e = k k = k k k= k= z'(nt ) h c e h c e, n=,,,- (4) - demodularea propriu-ziă a emnalului OFDM ete efectuată prin aplicarea tranformatei Fourier dicrete (implementată prin algoritmul FFT), în puncte, emnalului z (nt e ). - în integrala de definire a tranformatei Fourier timpul ete dicontinuu, t = nt e, dt = T e şi ete limitat la o perioadă de imbol OFDM, n =,..., (-)T, ceea ce face ca integrala ă e tranforme în uma finită de la începutul ecuaţiei (5). 4
5 - ă arătăm că la ieşirea cu index w a acetui bloc e obţin nivelele demodulate pe ubpurtătoarea de index w, pentru orice w =,..., -: j2πwn j2πwn j2 π(k w )n j2 wn / π z' n e = hw cw e e + hk ck e n= n= k= n= k w - notând cu p = (k-w) mod(), p va lua valori de la până la - şi ecuaţia (5) devine: j2πpn j2 wn / π z' n e = hwcw + hp cp e = n= p= n= n j2πp j2πp hp cp hp cp e = hwcw + e = hwcw + = h j2 p wcw p n p π = = = e - relaţia (6) arată că DFT furnizează la ieşirea de index w, imbolul complex modulat pe intrarea w de j la emiie înmulțit cu coeficientul complex al canalului ( h e ϕ w )pe frecvența w f. - relaţia (6) mai arată că, ieşirea de index w nu ete influenţată de imbolurile modulate pe celelalte ubpurtătoare k w. Aceata e datorează ortogonalităţii ubpurtătoarelor; - demodularea prin aplicarea DFT în domeniul digital ete echivalentă cu înmulţirea emnalului complex în banda de bază recepţionat cu ubpurtătoarea complexă de index w (frecvenţă w f ) urmată de filtrarea TJ, acete operaţii fiind efectuate imultan pentru toate cele ubpurtătoare. - datorită ortogonalităţii ubpurtătoarelor, emnalul modulator de pe ubpurtătoarea w, nu va influenţa emnalele demodulate pe celelalte ubpurtătoare, de index diferit de w. TEMĂ: Arătaţi că înmulţirea cu ubpurtătorul local complex cu index w va produce ieşiri nule la ieşirile corepunzătoare celorlalte ubpurtătoare. - acete coniderente unt valabile atâta vreme cât purtătorul local (de frecvenţă f p ) ete perfect incronizat cu purtătorul recepţionat, iar frecvenţa de imbol şi frecvenţa de eşantionare de la recepţie unt pefect incronizate cu cele de la emiie. - în ituaţia reală, când cele două emnale locale nu unt perfect incronizate cu cele ale emnalului recepţionat, emnalele demodulate uferă ditorionări emnificative. - efectele recuperării incorecte a purtătorului local unt imilare cu cele de la demodularea QAM pe emnal monopurtător în ceea ce priveşte interferenţa între nivelele a w şi b w modulate pe acelaşi ubpurtător de indice w; lor li e adaugă înă interferenţele datorate emnalelor modulatoare de pe celelalte ubpurtătoare, de indice diferit de w. - tudiul acetor efecte va fi prezentat pe curt la laborator; o analiză detaliată depăşeşte cadrul curului de faţă şi va fi efectuată în cadrul tudiilor materale. - chema bloc a demodulatorului QAM-OFDM ete prezentată în figura 5, în care nu au fot reprezentate blocurile de recuperare ale emnalelor de tact, cele decizie-decodificare şi erializare au ditribuire către detinatari a datelor demodulate. w (5) (6) intrări com plexe I ( t ) ADC h?c h?c canal h k =H k?e jφ k r(t) O c. local π/2 f e FFT puncte h k?c k Fig. 5 Schema bloc a de principiu a dem odulatorului Q A M -O F D M realizat cu F F T Q ( t ) - concluzionând, demodularea nivelelor modulatoare afectate de caracteritica de tranfer a canalului, h k c k, e obţine aplicând tranformata Fourier dicretă (DFT) etului de eşantioane {z n }, n=,,,-. - dacă e preupune că, atât frecvenţa purtătoare cât şi frecvenţa de cadru OFDM (şi implicit frecvenţa de eşantionare) au fot corect recuperate la recepţie şi dacă e ignoră ditoriunile introdue de canal, cele ADC z (nt e ) n= - h -?c - 5
6 ieşiri ale DFT-ului unt nivelele complexe modulatoare ale fiecărei ubpurtătoare şi unt contante pe durata unei perioade de imbol T. - tranformatele Fourier dicrete (inveră, la emiie, şi directă, la recepţie) e implementează prin algoritmii IFFT şi repectiv FFT. - din cele de mai u rezultă că în tranmiiile OFDM, alături de operaţiile de modulare-demodulare OFDM (IFFT-FFT în puncte) şi de modularea-demodularea QAM (pentru tranlaţia pe/de pe purtătoarea canalului radio), unt neceare următoarele operaţii de incronizare: incronizarea tactului de imbol OFDM, pentru a delimita corect, după tranlaţia în BB şi eşantionare, eşantioanele ce corepund unei perioade de imbol OFDM, incronizarea emnalului de eşantionare (în pecial dacă pe fiecare ubpurtătoare e foloec contelaţii QAM cu M > 4) incronizarea purtătorului local. Proprietăţi pectrale ale emnalelor OFDM - emnalul modulator al unei ubpurtătoare OFDM ete un impul dreptunghiular, g(t) (7.a), de duratã T, care ete modulat fără a fi filtrat. - nefiltrarea emnalului modulator ete o condiţie neceară pentru obţinerea modulaţiei OFDM prin utilizarea algoritmului IFFT. - pectrul corepunzător acetui impul dreptunghiular va fi un inu atenuat, vezi (7.b): T T in ; t, 2 ωt () 2 2 ( ) ωt g t = ; a. G ω = T ; b. (7) în ret 2 - pectrul emnalului OFDM-BB e format din pectre elementare inu atenuat, axate pe ubpurtătoarele ditanţate între ele cu ω, după cum e prezintă în figura 6. - ubcanalele OFDM (emnalele modulate pe ubpurtătoare) prezintă o uprapunere pectrală accentuată, vezi figura 6, demodularea imbolurilor de pe un anumit canal fiind totuşi poibilă datorită ortogonalităţii ubpurtătoarelor. S(ω) 2π/T ω Figura 6. Suprapunerea pectrală a emnalelor OFDM. - o altă proprietate pectrală importantă a emnalului OFDM-BB generat digital prin utilizarea algoritmului IFFT, contă în faptul cã emnalul ete obţinut cu o frecvenţă de eşantionare, f e care nu repectã teorema eşantionãrii pentru emnale reale, în enul că pectrul emnalului OFDM-BB depăşeşte limita f /2=f e /2, ultima ubpurtătoare având valoarea (-) f, pectrul ajungând până la f, vezi figura 7. - totuşi emnalul OFDM-BB nu va prezenta uprapuneri pectrale, datorită faptului că pectrul emnalului complex OFDM-BB va fi unilateral deoarece ete obţinut prin produele complexe dintre ubpurtătoarele complexe de tip e jkω t şi emnalele modulatoare complexe c k şi pentru că unt tranmie ambele componente, reală şi imaginară, ale fiecărui produ complex corepunzător fiecărei ubpurtătoare. - f =f e -/2 f - f f /2 f (-) f f =f e f f =f e Figura 7. Spectrul emnalului complex OFDM-BB generat digital - emnalele obţinute la ieşirea modulatorului OFDM, prin efectuarea IFFT, după epararea părţilor reale şi imaginare, vor fi înă emnale reale. Deci pectrele vor trebui interpretate ca şi în cazul emnalelor reale, ceea ce îneamnã cã va fi de intere banda de frecvenţă cuprină între limitele f e /2=-f /2 şi f e /2=f /2; f /2 devine frecvenţa yquit a emnalului OFDM-BB. 6 f f (+α)
7 - ţinând cont de fenomenul de aliere ce apare datorită nerepectării teoremei eşantionării, pentru emnalele componente e obţine relaţia următoare pentru ubpurtătoarele de frecvenţă negativã: ω = ω pt m /2; c = c ptm /2; (8) m m m m adică ubpurtătoarea cu frecvenţa -mf coincide cu ubpurtătoarea de frecvenţă (-m)f. - rezultă că pectrul emnalelor componente OFDM- BB nu va mai prezenta imetrie faţă de axa Oy. - aceata face ca în pectrul emnalului modulat pe purtătoarea din canal f p, la frecvenţa f p -mf ă e afle ubpurtătoarea de index -m, care a fot modulată cu nivelul modulator c -m. - emnalul tranlatat va fi filtrat trece-bandă, [f -f /2, f +f /2] - la tranlatarea pe purtătoarea canalului f p, datorită acetei neimetrii, ubcanalele vor fi dipue, în raport cu frecvenţa purtătoare, în felul următor (vezi fig. 8): ubcanalele până la /2, vor fi plaate în banda laterală uperioară, iar canalele /2 + până la - vor fi plaate în banda laterală inferioară, în ordine crecătoare înpre purtătoare. canalul /2, va avea partea inferioară în banda uperioară a emnalului tranlatat şi partea uperioară în banda inferioară a emnalului tranlatat. canalul va fi axat pe purtătoarea f p. C /2 C - C C /2 FTB - Emiie Figura 8. Spectrul emnalului OFDM generat digital şi tranlatat în banda canalului de tranmiie - f =f e f -/2 f f - f f p f + /2 f (-) f f =f e f -f (+α) -f f =f e +f +f (+α) - datorită realizării practice a filtrului TB de ieşire, canalul /2, va fi tranmi în ambele benzi laterale, ceea ce face ca după tranlatarea în BB la recepţie el ă apară ditorionat. De aceea e impune precauţie în modularea acetui canal. - acet fenomen poate fi redu emnificativ prin filtrarea TJ, cu un filtru cu caracteritică yquit RRC, a fiecăruia dintre emnalele OFDM-BB (vezi fig.7), urmărindu-e repartizarea uniformă între emiie şi recepţie a unei caracteritici RC, pentru o mai bună comportare în prezenţa zgomotului. În acet caz, filtrul TB de ieşire va trebui ă aibă o caracteritică plată, şi o bandă de trecere mai largă. - de aemenea, canalul (şi câteva din canalele învecinate) ete (unt) lăat(e) uneori nemodulat(e), pentru a e tranmite un emnal pilot pe frecvenţa purtătoare. Intervalul de gardă - o condiţie eenţială pentru demodularea corectă a imbolurilor tranmie cu modulaţia OFDM ete legată de menţinerea ortogonalităţii ubpurtătoarelor, aceata fiind ingura poibilitate de a e elimina efectul uprapunerii pectrale între ubcanale. - datoritã propagării multicale şi întârzierilor diferite introdue de aceata, apare interferenţă interimbol între imbolurile OFDM tranmie; prin imbol ODFM e înţelege uma tuturor emnalelor de pe toate ubpurtătoarele, tranmie pe durata T, a perioadei de imbol a datelor paralele. - aceată interferenţă e manifetă prin extinderea în timp a imbolurilor OFDM, ceea ce duce la uprapunrea parţială, în timp, a acetor imboluri. Datorită debitului redu al imbolurilor OFDM aceată interferenţă, raportată la perioada de imbol T, nu ete mare, dar totuşi o parte a imbolului OFDM va fi afectată, conducând la pierderea ortogonalităţii ubpurtătoarelor şi demodularea eronată a datelor tranmie. - vezi deen pe tablă - aceată pierdere a ortogonalităţii ete cauzată de ditorionarea unei părţi din eşantioanele emnalului OFDM care vor intra în blocul FFT. Din relaţiile (5) şi (6) e poate vedea cã fiecare eşantion de timp al emnalului OFDM influenţeazã fiecare ieşire FFT, şi implicit fiecare imbol complex c k demodulat, deoarece el reprezintă un eşantion al umei emnalelor modulate pe fiecare ubpurtãtoare. - o metodă de a reduce efectul propagării multicale, şi implicit a ISI introdue de aceata, contă în inerarea unui interval de gardă între imbolurile OFDM, adică în mărirea duratei imbolului OFDM fără a a mări numărul de ubpurtătoare şi implicit, fără a micşora eparaţia de frecvenţă f dintre ele. - durata acetui interval de gardă (u T ; u <, au M T e eșantioane, M< ) trebuie ă fie mai mare decât întârzirea maximă a propagării multicale 7
8 Δ τ T M Figura 9 Semnal OFDM cu interval de gardã T rãp un la im p ul h( t ) al canalului M E R - partea anterioară a unui imbol OFDM care e etimează că va fi ditorionată de interferenţa interimbol introduă de imbolul anterior nu va fi foloitã în demodulare. Cele M eşantioane componente vor fi tranmie încă o dată la fârşitul imbolului repectiv, vezi figura 9. - inerarea unei porţiuni din emnalul modulat pe durata Δ a intervalului de gardã, cu pătrarea continuităţii emnalului modulat pe durata T, e numeşte prefix ciclic. - dacã durata intervalului de gardă e alege mai mare decât diperia întîrzierilor introdue de canalul cu propagare multicale, imbolurile OFDM vor fi tranmie practic fără interferenţă interimbol. - durata imbolul OFDM ete mărită cu o valoare Δ = u T (u ¼), numită interval de gardă, care ete mai mare decât durata τ a rãpunului la impul a canalului. În acet fel porţiunea de durată Δ a imbolului OFDM poate fi ditorionată fără ca acet lucru ã afecteze demodularea. - la recepţie, primele M eşantioane vor oi ditorionate de ISI introdu de canal şi vor fi ştere, iar receptorul va foloi ultimele eşantioane. Acet grup conţine toate eşantioanele neceare demodulării datelor, dintr-o perioadă de imbol T, dar ele unt dipue în următoarea ordine: M,,-,,, M-. Aceată ituaţie impune introducerea unei operaţii de reordonare a eşantioanelor oite la recepţie. - introducerea intervalului de gardă şi a prefixului ciclic pe durata acetuia va afecta ditribuţia pectrală şi eficienţa pectrală a emnalului modulat OFDM, Aceata conduce la reducerea gradului de uprapunere pectrală între emnalele de pe ubpurtătoarele kf. - vezi explicații pe tablă - datorită periodicităţii emnalului tranmi (cauzată de introducerea intervalului de gardă în maniera decriă anterior) va apărea o convoluţie ciclică (în locul unei convoluţii liniare) între răpunul la impul al canalului şi emnalul tranmi. Aceata va face ca efectul canalului ă fie redu la o multiplicare element cu element între tranformata Fourier a răpunului la impul al canalului (h w ) şi emnalul tranmi, ceea ce va introduce atenuări şi întârzieri contante pe fiecare ub-bandă f, dacă T = T (+u) e mai mic decât T c, timpul de coerență al canalului. Acete câştiguri şi întârzieri vor putea fi apoi eliminate la recepţie cu un egalizor, eliminându-e atfel şi interferenţa între ubcanale (InterChannel Interference) introduă de propagarea multicale. - frecvenţa de imbol utilă f (9) va fi înă mai mică decît f : f = f /(+u) < f ; - vezi deen pe tablă (9) Schema bloc implificată a lanţului de tranmiie OFDM - Schema bloc implificată a unui item OFDM care realizează operaţiile decrie mai u ete dată în figura ; nu unt figurate blocurile de incronizare din receptor. Figura Lanţul de tranmiie implificat al unui item OFDM Eficienţa pectrală a tranmiiilor OFDM - pentru a calcula debitul binar al tranmiiei coniderăm că numărul de ubcanale utile u ( u ) ete împărţit în G grupuri a câte g i ubpurtătoare/grup şi că fiecare ubpurtătoare din cadrul unui grup ete modulată cu o contelaţie cu n i biţi/imbol QAM; - dacă tranmiia are frecvenţa de imbol f, în urma inerării intervalului de gardă frecvenţa de imbol efectivă (utilă) devine f, dată de relaţia (9). - în acete ipoteze debitul binar nominal al tranmiiei ete: 8
9 f D f ' g n g n ; g ; G G G n = i i = i i i u i= u + = i= i= - pentru cazul în care toate cele u ubpurtătoare e modulează cu acelaşi număr n de biţi/imbol QAM, adică G =, relaţia (2) devine: f u n Dn = f ' u n = ; (2) + u - banda de frecvenţă ocupată de emnalul OFDM după filtrare ete uneori aproximată prin BW OFDM (+3)f, înă banda ocupată depinde de caracteritica de filtrare foloită. În multe tudii lărgimea de bandă utilizată e conideră a fi egală BW OFDM = f. - eficienţa pectrală nominală a tranmiiei ete : Dn f u n u n n u η nofdm = = = ; pt.foartemare; (22) BW (+ u)(+ 3) f (+ u)(+ 3) (+ u) OFDM - relaţia (22) arată că eficienţa pectrală nominală cade de circa (+u) ori; aceta ete preţul plătit pentru eliminarea ISI între imbolurile OFDM, prin introducerea intervalului de gardă. - de aemenea, eficienţa pectrală mai ete micşorată de procentul de ubpurtătoare de erviciu din numărul total de ubpurtătoare tranmie. - expreia (22) a eficienţei pectrale nominale nu include calitatea biţilor tranmişi, adică BER. - dacă e conideră doar biţii corect recepţionaţi, atunci tranmiia ete caracterizată de debitul binar efectiv (throughput) care are expreia (23); eficienţa pectrală efectivă e obţine împărţind throughputul la banda de frecvenţă ocupată BW OFDM. Θ (SR) = D n ( BER(SR)); (23) - în ipoteza recuperării şi incronizării perfecte a purtătorului local, a tactului de imbol şi a celui de eşantionare în receptor, tranmiia OFDM poate fi privită ca o uprapunere de emnale modulate QAM (cu contelaţii DPSK au A+PSK) nefiltrate. - probabilitatea de eroare aigurată de tranmiia O FDM în prezenţa zgomotului gauian depinde de probabilitatea de eroare de bit BER i aigurată de contelaţia utilizată (n i biţi/imbol) pe fiecare grup de g i ubpurtătoare, care la rândul ei depinde de valoarea SR i a raportului emnal/zgomot de pe acel grup de ubpurtătoare. Ea e calculează foloind relaţiile definite pentru contelaţiile utilizate în cazul tranmiiei pe o ingură purtătoare pe canal AWG, vezi curul TM. - pentru calculul SR, puterea emnalului va fi egală cu puterea medie a contelaţiei utilizate pe ubpurtătoarea repectivă, iar banda de frecvenţă utilă a emnalului modulat (neceară pentru calculul puterii zgomotului) e va conidera egală cu f. - preupunând o mapare multibit fazor de tip Gray, BER a OFDM ar avea expreia: p (SR ) g BER = ; G ei i i= ni i G ni gi i= - dacă toate ubpurtătoarele foloec aceeaşi contelaţie, probabilitatea de eroare ete exprimată de (25); u p ei (SR i ) i= pe i = = = = u i = = (25) n u n pt. n n BER ; pt. G, g i SR SR BER - reţineţi că în general nu e poate preupune că toate grupurile de ubpurtătoare au acelaşi SR. În acet ultim caz, probabilitatea de eroare a OFDM e media aritmetică a probabilităţilor de eroare aigurate de contelaţia utilizată pentru valorile SR de pe fiecare ubpurtătoare. - calculul probabilităţii de eroare de bit aigurată de tranmiia OFDM ce utilizează contelaţii QAM au DPSK pe canale cu fading Rayleigh au Rice şi elective au neelective în frecvenţă ete complex şi nu ete tratat în curul de faţă. Trebuie înă menţionat că valorile uzuale ale BER pe acete canale unt de ordinul , ceea ce face ca OFDM ă fie utilizată numai în combinaţie cu coduri corectoare de erori, generând tranmiii COFDM. Conideraţii privind PAPR - datorită faptului că emnalul modulat OFDM ete o umă de emnale modulate A+PSK, amplitudinea emnalului rezultat are variaţii foarte mari, în pecial pentru număr mare de ubpurtătoare, şi implicit valori ridicate ale raportului dintre puterea de vârf şi puterea medie ale emnalului modulat. (2) (24) 9
10 - aceată caracteritică introduce ditoriuni emnificative ale emnalului modulat la trecerea prin amplificatoarele HP-RF; - exită numeroae metode de reducere a efectelor HP-RF aupra emnalului modulat, dar cu toate acetea efectele rămân emnificative şi trebuie luate în coniderare la calculul BER. - din acet motiv în unele iteme de tranmiiuni -a trecut la utilizarea unei tehnici de tranmiie numită SC-FDM, în locul tehnicii OFDM, pentru enul Uplink, unde amplificatorul final al taţiei mobile prezintă neliniarităţi mai pronunţate. Modulaţia OFDM codată (Coded OFDM) - COFDM - pe canale radio probabilităţile de eroare aigurate de tranmiiile OFDM unt de ordinul -2-4 şi de aceea modulaţia OFDM trebuie utilizată împreună cu coduri corectoare de erori, generând modulaţia Coded OFDM (COFDM) - modulaţiile codate utilizate unt, cel mai adeea modulaţii codate cu extenie de bandă; tranmiia codată utilizează aceleaşi contelaţii ca şi cea necodată, biţii de control ai codului utilizat fiind tranmişi pe un număr de purtătoare uplimentare (faţă de numărul de ubpurtătoare necear pentru a tranmite doar biţii informaţionali). - în multe aplicaţii modulaţia OFDM utilizează coduri concatenate, codul exterior fiind detinat corectării pachetelor de erori. - datorită tructurii ale paralele, modulaţia OFDM aigură o întreţeere a datelor ce urmează a fi tranmie, întreţeere care îmbunătăţeşte performanţele codurilor concatenate. Aplicaţii ale modulaţiei COFDM - principalele aplicaţii ale modulaţiei COFDM, cu particularităţile aferente, unt: în itemele de tranmiie teretră a televiziunii digitale DVB-T; e utilizează 68 au 8 purtătoare utile codate cu coduri convoluţionale şi RS. oile tandarde DVB-T2 utilizează 6 au 32 ubpurtătoare și coduri LDPC în itemele de tranmiie teretră a programelor radio digitale DAB în itemele de tranmiii TV şi radio digitale pe atelit DVB-S şi DVB-S2; primul utilizează coduri convoluţionale concatenate cu coduri RS, iar cel de al doilea, coduri LDPC concatenate cu coduri BCH în itemele de tranmiiuni wirele (nomadice) itemele WiFi şi Wimax - modulaţiile COFDM unt utilizate în oluţiile propue pentru legătura downlink a interfeţei radio a următoarei generaţii de tranmiuni radio mobile (4G), şi anume LTE-A şi WiMax; de aemenea, unele din din itemele comerciale, de ex. WiMax, prevăd utilizarea modulaţiilor COFDM şi pe legătura uplink. Sitemul LTE-A ia în coniderare utilizarea unei alte tehnici de tranmiie pentru conexiunea uplink, SC- FDMA, care va fi dicutată în curul de la mater. - în prezent e fac cercetari privitoare la utilizarea unei variante a OFDM care ă nu foloeacă intervalul de gardă pentru eliminarea interferenței inter-imbol OFDM datorată propagării multicale. Se analizează poibilitatea de a reduce ISI prin utilizarea unei combinații între metode de etimare a acetei interferențe și metode de compenare ale ei. O atfel de abordare ar mări mult eficiența tranmiiei, deoarece durata intervalului de gardă poate reprezenta până la 25% din perioada utilă a unui imbol OFDM. - e mai efectuează tudii privitoare la utilizarea contelațiilor Offet-QAM (imlare cu OQPSK tudiată în curul de TM), care au un coeficient PAPR mai redu i care unt mai puțin afectate de neliniaritățile amplificatoarelor finale de radiofrecvență. - acete apecte unt coniderate pentru tehnicile de tranmiie de urmează a fi utilizate în itemele beyond 5G.
(.2) Ortogonalitatea subpurtătoarelor rezultă imediat, vezi (.3), pentru subpurtătoarele k şi p: (.3)
Tehnica de tranmiie cu multiplexare în frecvenţă pe purtătoare ortogonale (OFDM) Datorită propagării multicale, caracteritica de tranfer în frecvenţă a canalelor radio prezintă fenomenul de fading electiv
Transformata Laplace
Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate
N 1 N 1. i i s. 2π/T s
Tehnici de modulare multipurtător Tehnicade transmisie (Modulaţia) OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplex) - este denumită în mod curent modulaţie, dar poate fi privită ca o tehnică ce permite modularea
Transformări de frecvenţă
Lucrarea 22 Tranformări de frecvenţă Scopul lucrării: prezentarea metodei de inteză bazate pe utilizarea tranformărilor de frecvenţă şi exemplificarea aceteia cu ajutorul unui filtru trece-jo de tip Sallen-Key.
* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
S MAQ-f i. Cosω i t. + Σ - Gen. ω t. Sinω i t. F.F.E. Figura 6 Suma semnalelelor recepţionate de staţia de bază -reprezentare schematică.
.4. Performanţe de SINR ale tehnicii DS-SS - deoarece emnalul modulat DS-SS al unui utilizator ocupă o bandă foarte largă (în multe cazuri el ocupând practic întreaga bandă alocată celulei au purtătorului
5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Esantionarea semnalelor
Eantionarea emnalelor http://hannon.etc.upt.ro/teaching/p/cap9_1.pdf http://hannon.etc.upt.ro/teaching/p/cap9_.pdf Dicretizarea variatiei in timp a emnalului, numita eantionare. Semnale de banda limitata.
1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice
4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.
Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:
Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,
Modulaţia combinată ASK+PSK (QAM)
Modulații Digitale cur 4 Modulaţia combinată AK+PK (QAM) - Utilizarea indeendentă a modulaţiilor AK au PK entru M 8 fazori ar fi oibilă numai în canale de comunicaţii cu un raort emnal zgomot ridicat (la
MARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
riptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Subiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
( ) () t = intrarea, uout. Seminar 5: Sisteme Analogice Liniare şi Invariante (SALI)
Seminar 5: Sieme Analogice iniare şi Invariane (SAI) SAI po fi caracerizae prin: - ecuaţia diferenţială - funcţia de iem (fd) H() - funcţia pondere h - răpunul indicial a - răpunul la frecvenţă H(j) ăpunul
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
V O. = v I v stabilizator
Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,
II. 5. Probleme. 20 c 100 c = 10,52 % Câte grame sodă caustică se găsesc în 300 g soluţie de concentraţie 10%? Rezolvare m g.
II. 5. Problee. Care ete concentraţia procentuală a unei oluţii obţinute prin izolvarea a: a) 0 g zahăr în 70 g apă; b) 0 g oă cautică în 70 g apă; c) 50 g are e bucătărie în 50 g apă; ) 5 g aci citric
Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie
FITRE DE MIROUNDE Proiectarea filtrelor prin metoda pierderilor de inserţie P R Puterea disponibila de la sursa Puterea livrata sarcinii P inc P Γ ( ) Γ I lo P R ( ) ( ) M ( ) ( ) M N P R M N ( ) ( ) Tipuri
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Transformata Radon. Reconstructia unei imagini bidimensionale cu ajutorul proiectiilor rezultate de-a lungul unor drepte.
Problema Tranformaa Radon Reconrucia unei imaini bidimenionale cu auorul roieciilor rezulae de-a lunul unor dree. Domeniul de uilizare: Prelucrarea imainilor din domeniul medical Prelucrarea imainilor
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Capitolul 14. Asamblari prin pene
Capitolul 14 Asamblari prin pene T.14.1. Momentul de torsiune este transmis de la arbore la butuc prin intermediul unei pene paralele (figura 14.1). De care din cotele indicate depinde tensiunea superficiala
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice
Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională
Criptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Stabilizator cu diodă Zener
LABAT 3 Stabilizator cu diodă Zener Se studiază stabilizatorul parametric cu diodă Zener si apoi cel cu diodă Zener şi tranzistor. Se determină întâi tensiunea Zener a diodei şi se calculează apoi un stabilizator
VII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,
vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se
Conice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2
.1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,
Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Lucrarea Nr. 5 Circuite simple cu diode (Aplicaţii)
ucrarea Nr. 5 Circuite simple cu diode (Aplicaţii) A.Scopul lucrării - Verificarea experimentală a rezultatelor obţinute prin analiza circuitelor cu diode modelate liniar pe porţiuni ;.Scurt breviar teoretic
Câmp de probabilitate II
1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4 Sistem complet de evenimente Definiţia 1.1 O familie de evenimente
Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili
Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru
Circuit activ de ordin I derivator
Scopul lucrarii... Caracterizarea circuitului... 2 Circuit real cu rezitenta erie... 2 Decrierea circuitului... 2 Calculul teniunilor nodale i a curentilor prin laturi... 2 Calcularea functiei de tranfer...
Lucrarea 20 FILTRE DE TIP K-constant
Lucrarea 151 Lucrarea FILTRE DE TIP K-contant.A. OBIECTIVE 1. Proiectarea celulelor elementare filtre tip K-contant.. Studiul comportării în frecvenţă a acetor celule. 3. Studiul unui format din mai multe
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25
Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25 LAGĂRELE CU ALUNECARE!" 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.!" 25.2.Funcţionarea lagărelor cu alunecare.! 25.1.Caracteristici.Părţi componente.materiale.
Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
Demodularea semnalelor FSK
TM curs -3 Demodularea semnalelor FSK - demodularea semnalelor FSK este un caz particular al demodulării MF. În consecinţă, se pot utiliza metodele generale de demodulare MF; se mai pot utiliza metode
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care
CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii
Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1
Tratarea numerică a semnalelor
LUCRAREA 5 Tratarea numerică a semnalelor Filtre numerice cu răspuns finit la impuls (filtre RFI) Filtrele numerice sunt sisteme discrete liniare invariante în timp care au rolul de a modifica spectrul
a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
(.48) - Egalizorul ZF forţează anularea efectelor introduse de canal conform ecuaţiei: ' '' = = + (.49)
8. Consideraţii privitoare la egalizarea canalului în sistemele OFM - Egalizarea canalului poate fi realizată atât în domeniul timp cât şi în domeniul frecvenţă - Egalizarea în domeniul frecvenţă, mai
Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener
Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare
SEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. 1. Probleme. ω2 s s 2, Re s > 0; (4) sin ωt σ(t) ω. (s λ) 2, Re s > Re λ. (6)
SEMINAR TRANSFORMAREA LAPLACE. Probleme. Foloind proprieaea de liniariae, ă e demonreze urmăoarele: in σ(, Re > ; ( + penru orice C. co σ( h σ( ch σ(, Re > ; ( +, Re > ; (3, Re > ; (4. Să e arae că penru
Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Seminar 3. Problema 1. a) Reprezentaţi spectrul de amplitudini şi faze pentru semnalul din figură.
Seminar 3 Problema 1. a) Reprezentaţi spectrul de amplitudini şi faze pentru semnalul din figură. b) Folosind X ( ω ), determinaţi coeficienţii dezvoltării SFE pentru semnalul () = ( ) xt t x t kt şi reprezentaţi
f s Acosω l t Asinω l t
Recuperarea purtătorului local şi a tactului de simbol ( ) FTB-f 1 FTB-f 0 Fig.9 Schema bloc a circuitului de recuperare a f s şi f l - ecuaţiile care descriu funcţionarea metodei sunt: F 1 F 0 FTB JF
Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1
Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric
prin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Zgomotul se poate suprapune informaţiei utile în două moduri: g(x, y) = f(x, y) n(x, y) (6.2)
Lucrarea 6 Zgomotul în imagini BREVIAR TEORETIC Zgomotul este un semnal aleator, care afectează informaţia utilă conţinută într-o imagine. El poate apare de-alungul unui lanţ de transmisiune, sau prin
z a + c 0 + c 1 (z a)
1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei
Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Circuite electrice in regim permanent
Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme apitolul. ircuite electrice in regim permanent. În fig. este prezentată diagrama fazorială a unui circuit serie. a) e fenomen este
Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Curs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare Copyright Paul GASNER Adunarea în sistemul binar Adunarea se poate efectua în mod identic ca la adunarea obişnuită cu cifre arabe în sistemul zecimal
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Modulaţia şi recepţia în sistemul de telefonie mobilă GSM
Reţele de comunicaţii mobile Modulaţia şi recepţia în sistemul de telefonie mobilă GSM Scopul lucrării: a) Studiul tehnicii de modulaţie GMSK şi a avantajelor sale, comparativ cu alte tipuri de modulaţie
11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.