(.2) Ortogonalitatea subpurtătoarelor rezultă imediat, vezi (.3), pentru subpurtătoarele k şi p: (.3)

Transcript

1 Tehnica de tranmiie cu multiplexare în frecvenţă pe purtătoare ortogonale (OFDM) Datorită propagării multicale, caracteritica de tranfer în frecvenţă a canalelor radio prezintă fenomenul de fading electiv în frecvenţă, care introduce variaţii mari ale atenuării emnalului pentru diferite frecvenţe ale acetuia; un atfel de canal ete caracterizat de banda de coerenţă, B c S(ω 2π/T S(ω ω 2π/T ω Figura. Caracteritica atenuare frecvenţă a unui canal cu propagare multicale (multipath) şi pectrul unei tranmiii multipurtătoare Abordând acum canalul în domeniul timp, răpunul la impul Dirac al unui atfel de canal ete contituit dintr-o ucceiune de impuluri care unt întârziate cu valori ce contituie o variabilă aleatoare cu diperia σ t, iar amplitudinilor lor iau valori aleatorii conform unei ditribuţii Rayleigh. Acet tren de impuluri e întinde pe o perioadă mai mare decât perioada de imbol a unei tranmiii monopurtător, care are T mic, provocând interferenţă interimbol (ISI) nenulă şi necontrolată. Metodele foloite în general pentru a contracara aceată ditorionare unt bazate pe extinderea duratei imbolului. Aceata e poate realiza prin ditribuirea informatiei ce trebuie tranmiă, într-un număr mare de ub-canale; purtatoarea fiecărui ub-canal tranportă un debit redu de informatie. Aceata idee tranforma un canal de banda larga cu o electivitate pronunţată în frecvenţă intr-un numar mare de canale neelective de banda inguta care unt multiplexate în frecvenţa (Frequency Diviion Multiplexing).. Principiul OFDM Fluxul datelor de intrare ete ubdivizat în fluxuri de date cu debit redu care unt modulate independent pe purtatoare ortogonale, divizând atfel canalul în mai multe ub-canale având puterea concentrată în benzi de frecvenţă mai îngute. Fiecare din acete purtatoare poate fi modulata independent i optimizata din punct de vedere al puterii emie. Dacă cele ubcanale în care a fot împărţit canalul de bandă largă au purtătoarele ortogonale între ele (pentru a elimina interferenţa intercanal în momentele de ondare, la receptie) itemul devine unul O.F.D.M. (Orthogonal Frequency Diviion Multiplexing). Pe fiecare ubcanal, având frecvenţa purtătoare f k (k =,,-), e modulează QAM imbolul complex c k = a k +jb k, care corepunde unui număr n k biţi, şi care are valoarea contantă pe o perioadă de imbol. Frecvenţele ubpurtătoare unt eparate prin /T Hz, pentru a le aigura ortogonalitatea reciprocă, şi au valorile: fk = k / T; k =,..., ; (.) Semnalul modulat OFDM în banda de bază ete uma emnalelor modulate QAM (cu produul complex) pe fiecare ubpurtătoare, şi are expreia: z(t) [(a co t b in t) j(b co t a in t)] A (co jin ) e = ω ω + ω + ω = Φ + Φ k = k k k k k k k k k k k k= k= jϖ k t ck e ; t T ; z(t) I(t) jq(t); ck ak jbk A k (co k jin k) k= = = + = + = Φ + Φ Ortogonalitatea ubpurtătoarelor rezultă imediat, vezi (.3), pentru ubpurtătoarele k şi p: jϖ t (.2) T T co(2 πkf t)co(2 π pf ) dt = co[2 π ( k + p) f t] co[2 π( k p) f t] dt = T 2T in[2 π ( k + p) f t] + in[2 π( k p) f t] = C δ 4 π ( k + p) f 4 π( k p) f t= T t= T k, p Schema de principiu a unui modulator OFDM-BB ete prezentată în figura 2 (.3)

2 Fig. 2 Schema bloc de principiu a emiţătorului OFDM Pentru a aigura o eficienţă pectrală ridicată a tranmiiei numărul ubcanalelor trebuie ă fie mare, putând ajunge la ordinul miilor. De aceea, realizarea analogică au digitală a modulatoare eparate ete ineficientă şi extrem de complexă. Principial, demodularea QAM e poate realiza foloind metodele decrie în curul de TD. În principiu, demodularea unui ubcanal k implică înmulţirea emnalului OFDM-BB cu emnalul ubpurtător local complex recuperat (e jω k t, adică coω k t şi inω k t), filtrarea TJ a produelor obţinute pe cele două ramuri în cuadratură, şi ondarea cu tactul de imbol recuperat, a emnalelor obţinute. Schema de principiu a demodulatorului OFDM ete dată în figura 3. (u unt reprezentate blocurile de ondare ale tactului de imbol). Datorită ortogonalităţii ubpurtătoarelor (.3), în urma înmulţirii cu ubpurtătoarea locală complexă de ordin k şi medierii, emnalul rezultat ete emnalul modulator de pe ubcanalul k. Demodularea QAM eparată a celor ub-canale ridică probleme de implementare deoebite. Fig. 3 Schema bloc de principiu a receptorului OFDM 2. Modularea-demodularea digitală Pentru generarea digitală a emnalului x(t) ete neceară eşantionarea etului de perechi de nivele modulatoare (a k, b k, k =,...,-) generate de ecvenţa de date, de pe durata celui de-al i-lea imbol OFDM, cu rata /T e =/T (f e = f ), atfel încât ă e obţină câte o pereche de eşantioane ale fiecărei perechi de nivele modulatoare de pe fiecare ubcanal (index k), şi converia a A/D. Deoarece nivelele modulatoare provenite prin maparea multibiţilor de date, etul de imboluri complexe c k =a k +jb k, au valori contante pe durata unei perioade de imbol, adică a perioade de eşantionare, rezultă că utilizarea câte unei ingure perechi de eşantioane pentu fiecare c k ete uficientă pentu a-i defini valoarea. Vom exprima emnalele ubpurtătoare ca fiind generate foloind aceeaşi frecvenţă de eşantionare (.4). nte 2π kn nte 2π kn co 2π kft co 2π k = co ; in 2π kft in 2π k = in ; T T Semnalul OFDM atfel eşantionat are expreia (.5). e k k= j2π kn / x(nt ) x(n) = c e, n=,,2, -. (.5) (.4) 2

3 - Expreia (.5) reprezintă tranformata Fourier inveră dicretă (IDFT) în puncte a emnalului modulator de date, etul de numere complexe { c k }, k=,,, -, care e implementează cu algoritmul IFFT. - În (.5), n reprezintă indexul timpului dicret (multiplu al perioadei de eşantionare), iar k reprezintă indexul frecvenţei dicrete (multiplu al eparaţiei în frecvenţă dintre ubpurtătoare au al frecvenţei de imbol OFDM). Pentru interpretarea relaţiei (.5)vezi deenul de pe tablă - Integrala de definiţie a tranformatei Fourier invere trebuie aplicată pe domeniul de frecvenţe,..., (- ) f, iar frecvenţa nu variază continuu, ci ia valori dicrete k f ; mai mult, timpul nu ete nici el continuu, ci ia valori dicrete, nt e. De aceea integrala e tranformă într-o umă finită, vezi curul de PS. - imbolurile modulatoare complexe c k = a k + jb k, pot fi coordonatele unor emnale de tip A+PSK, au ale unor emnale de tip DPSK au ale oricărui tip de emnale care pot fi generate utilizând tehnica QAM; - Rezultă că fiecare ubpurtătoare poate fi modulată ditinct cu divere tipuri de modulaţii, prin contruirea corepunzătoare a tabelului de mapare a fiecărui cadru (imbol) OFDM; trebuie înă ţinut cont de complexitatea realizării tabelului de mapare (şi implicit a celui de demapare-decizie, la recepţie) - Dacă a k = b k =, atunci ubpurtătoarea repectivă are amplitudine nulă. - Pentru a genera canale unice, ete neceară tranmiterea de eşantioane complexe cu frecvenţa f e = f. - Ieşirea IDFT-ului (.5) poate fi puă ub forma: n 2πkn 2πkn x(n) = [ ak + jbk] co( ) + jin( ) = I(n) + jq(n) k= - Ieşirile IDFT ( reale şi imaginare) unt acum eparat multiplexate pentru a obţine eşantioane complexe pe o perioada de imbol T, vezi figura 4. Dupa aceată multiplexare eparată a celor două parti, imaginară i reală, are loc converia digital-analogică şi o filtrare TJ, cu f t = f e /2, pentru a limita banda de bază a emnalelor modulatoare. - Semnalul OFDM-BB de bandă limitată trebuie tranlatat în banda de frecvenţă a canalului de tranmiie, axată pe f p. Aceată tranlatare ete realizată printr-o modulare QAM [TD-anIV], care pentru frecvenţe purtătoare mari e realizează analogic. (.6) Fig. 4 Schema bloc de principiu a emițătorului OFDM - varianta digitală cu IFFT - După filtrare timpul devine continuu. Deci, ştiind că t = nt e şi = f e /f = /(T e f ), obţinem: /2 2πkn j /2 /2 j2πkfnte j2πkft j2πkft k k k k k= /2 k= /2 k= k= /2 (.7) x( n) = c e x() t = c e = c e + c e = I() t + jq() t - Modularea pe purtătoarea din canal e o modulaţie QAM care poate fi puă ub forma: jωt /2 j2 π (f + kf )t j2 π (f + kf )t p p k k k= k= /2 p p p (t) = I(t)coω t Q(t)inω t = Re{x(t)e } = Re{ c e + c e } (.8) - La recepţie are loc tranlaţia emnalului în banda de bază, converia analog-digitală a emnalelor de pe cele două căi, în fază şi în cuadratură, obţinându-e 2 valori ( reale, imaginare) pe o perioadă de imbol OFDM. - Se preupune că frecvenţa de eşantionare a receptorului ete egală cu frecvenţa de eşantionare a emiţătorului, iar cele două emnale de eşantionare unt incronizate. - Coniderând că emnalul OFDM ete tranmi printr-un canal radio caracterizat de un răpun finit la impul h(t) cu durata maximă τ M, emnalul recepţionat pe o perioadă de imbol va fi: Δ j2π fkt j2π fkτ OFDM BB () = MP ()* () = k k ; < S; k = ( ) k= y t t h t h c e t T h h τ e dτ (.9) unde h k ete tranformata Fourier a răpunului la impul h(t) evaluată în banda ubpurtătoarei k. Acet răpun complex modelează ditoriunile de fază și amplitudine ale canalului analogic. 3

4 - Semnalul analogic recepţionat va fi de forma : /2 j2 π (f p+ kf )t j2 π (fp+ kf )t r(t) = Re[ hk cke + hk c ke ], t T (.) k= k= /2 - Motivaţia înmulţirii ennalului modulator complex, pe perioada unui imbol OFDM, cu valorile caracteriticii în frecvenţă a canalului, va fi dată după explicarea intervalului de gardă. - demodularea QAM (tranlaţia în banda de bază) ete echivalentă cu înmultirea cu e -jω p t urmată de FTJ, pentru atenuarea componentelor axate pe frecvenţa 2f p. - După tranlatarea în banda de bază, foloind un ocilator local cu frecvenţa f p, emnalul complex va fi de forma: /2 j2 π (fp+ kf )t j2 π (fp+ kf )t j2πfpt k k k k k= k= /2 /2 j2πkf t j2πkft k k + k k = + k= k= /2 y'(t) = [ h c e + h c e ] e = [ h c e h c e ] [I '(t) jq '(t)] - Dacă în ecuatia (.) e ubtituie t=nt e e obtine expreia emnalului eşantionat, după tranlaţia de pe frecvenţa purtătoare în banda de bază: /2 j2πkn/ j2πkn/ y'(n) = hk cke + hk c ke k= k= /2 (.), n=,,,- (.2) - Aplicând tranformata Fourier dicretă în puncte emnalului y (nt e ), la ieşirea w a acetui bloc e obţin nivelele demodulate corepunzătoare ubpurtătoarei w (3), vezi curul de TD. - otând p = k-w, avem: j2πpn j2 wn / π y' n e = hwcw + hp cp e = n= p= n= p n j2πp j2πp hp cp hp cp e = hwcw + e = hwcw + = h j2 p wcw p n p π = = = p p e, w =,,- (.3) - În (3), emnalul obţinut la ieşirea w ete compu din doi termeni: primul arată contribuţia emnalului modulat pe ubcanalul w la emnalul obţinut pe ieşirea w, iar al doilea arată uma contribuţiilor emnalelor modulate pe celelalte - ubcanale (k w) la ieşirea w. Datorită ortogonalităţii relative a ubpurtătoarelor, contribuţiile celorlalte - ubpurtătoare unt nule, în ipoteza unor incronizări perfecte - vezi curul de TD - Aceata îneamnă că demodularea nivelului modulator afectat de canal pe ubpurtătoarea w, h w c w, e obţine aplicând tranformata Fourier dicretă (DFT) etului {y n }, n=,,,-. Dacă e preupune că atât frecvenţa purtătoare cât şi frecvenţa de imbol OFDM (şi implicit frecvenţa de eşantionare) au fot corect recuperate la recepţie, şi dacă ditoriunile introdue de canal e conideră a fi corectate de egalizorul în domeniul frecvenţă plaat după blocul FFT, cele ieşiri ale DFT-ului unt nivelele complexe modulatoare ale fiecărei ubpurtătoare şi unt contante pe durata unei perioade de imbol T. - Tranformatele Fourier dicrete (inveră, la emiie, şi directă, la recepţie) e implementează prin algoritmii IFFT şi, repectiv, FFT. - Din cele de mai u rezultă că în tranmiiile OFDM, alături de operaţiile de modulare-demodulare (IFFT-FFT în puncte), modulare-demodulare QAM (pentru tranlaţia pe purtătoare de canal) şi de egalizare a canalului (DFE) unt neceare următoarele operaţii de incronizare: incronizarea purtătorului local incronizarea emnalului de eşantionare incronizarea tactului de imbol OFDM, pentru a delimita corect, după tranlaţia în BB şi eşantionare, eşantioanele ce corepund unei perioade de imbol OFDM. - Schema bloc a demodulatorului QAM-OFDM ete prezentată în fig.5, în care nu au fot reprezentate blocurile de recuperare ale emnalelor de tact, egalizare, decizie, demapare şi erializare a datelor demodulate. - Sitemul OFDM ete, în eenţă, un item QAM generalizat care reuneşte un număr mare de iteme QAM, care unt înã interdependente, nici un item QAM elementar nefiind filtrat (vezi fig. 5). 4

5 Fig. 5 Schema bloc de principiu a receptorului OFDM - varianta digitală cu FFT 4. Proprietăţi pectrale ale tehnicii OFDM - Semnalul de date modulator OFDM ete, aşa cum -a mai precizat, un impul dreptunghiular, g(t), de duratã T, acet impul fiind modulat pe ubpurtãtoarea ubcanalului fără filtrare. efiltrarea emnalului modulator ete o condiţie neceară pentru obţinerea modulaţiei OFDM prin utilizarea algoritmului IFFT. Spectrul corepunzător acetui impul dreptunghiular va fi un inu atenuat: ωt T T in ; t, 2 g() t = 2 2 ; G( ω) T = (.4) ωt în ret 2 - Spectrul emnalului OFDM-BB e format din pectre elementare inu atenuat, axate pe ubpurtătoarele ditanţate cu ω, după cum e prezintă în fig. 6. Subcanalele OFDM prezintă o uprapunere pectrală accentuată, demodularea imbolurilor de pe un anumit canal fiind totuşi poibilă datorită ortogonalităţii ubpurtătoarelor. Fig. 6. Suprapunerea pectrală a emnalelor OFDM. - Lărgimea de bandă a emnalului OFDM banda de bază, coniderând trict necear pentru o demodulare corectă numai lobul principal pe fiecare ub-purtătoare, ete: LBOFDM BB = f (.5) - O altă particularitate importantă legată de proprietăţile pectrale ale emnalului OFDM-BB generat digital prin utilizarea algoritmului IFFT, contă în faptul cã emnalul ete obţinut cu o frecvenţă de eşantionare f e, care nu repectã teorema eşantionãrii emnalelor reale. Spectrul emnalului OFDM-BB depăşeşte limita f /2=f e /2, ultima ubpurtătoare având valoarea (-) f. - Eşantionând emnalul cu lărgimea de bandă dată de ecuaţia (.5), aparent nu e repectă teorema eşantionării, dar dacă e conideră că emnalul modulat pe o ubpurtătoare ete un emnal complex de forma (.6), obţinut prin produele complexe dintre ubpurtătoarele complexe de tip e jkω t şi emnalele modulatoare complexe c k căruia îi unt tranmie ambele componente ale fiecărui produ complex. jωkt () () () () t = x t e ; x t = c g t ; ω = 2 π f ; (.6) k k k k k k şi e conideră că X k (f) ete tranformata Fourier a funcţiei modulatoare x(t), pectrul emnalului modulat pe ub-purtătoarea k pe baza teoremei convoluţiei va fi (.7), unde δ ( ) ete funcţia Dirac: ( ω) = ( ω) * 2πδ ( ω+ ω ) = 2π ( ω+ ω ) Sk Xk k X (.7) k k - Pe baza relaţiei (.7) pectrul emnalului OFDM ete decri de ecuaţia (.8), care arată că, pentru un emnal modulator cu banda de frecvenţă finită, emnalul OFDM bandă de bază are componente pectrale numai în domeniul frecvenţelor pozitive (Fig.7.a). S (.8) ( ω) = 2π X ( ω+ ω ) OFDM k k k = 5

6 - emnalul OFDM în banda de bază ete generat digital cu frecvența de eșantionare f e. De aceea ji ω pectrul ău unilateral (2) trebuie înmultit cu e e ; rezultă că pectrul unilateral dat de (2) va i= apărea atât pe multiplii pozitivi ai lui f e cât și pe cei negativi, ceea ce face ca pectrul emnalului OFDM-BB generat digital ă aibă componente atât în domeniul frecvențelor pozitive, cât și în domeniul frecvențelor negative - vezi Fig. 7.a - În cazul în care emnalul modulat pe o ubpurtătoare ete un emnal real, imilar celui decri de (.8), pectrul emnalului OFDM va fi decri de ecuaţia (.9), adică pectrul de frecvenţă al emnalului ete bilateral, având componente atât în domeniul negativ cât şi în domeniul pozitiv a frecvenţelor, Fig.7.b. S X X ( ω) = 2π ( ω ω ) + ( ω+ ω ) OFDM k k k k k= k= (.9) - Pentru repectarea teoremei eşantionării, frecvenţa de eşantionare în cazul emnalului complex trebuie ă fie f, iar în cazul emnalului real 2f, Fig.7.b. în ipoteza în care ultima componentă pectrală nenulă a emnalului OFDM banda de bază are frecvenţa (-)f +f, datorită benzii laterale uperioare a emnalului modulat pe ubpurtătoarea de frecvență (-)f. Fig.7. Alura pectrală a emnalului OFDM complex eşantionat cu f e =f (a.) şi a emnalului real eşantionat cu f e =2f (b.) - Rezultă că pectrul emnalului OFDM- BB nu va mai prezenta imetrie faţă de axa Oy datorită j t tranmiterii produelor complexe ck e ω k pe fiecare ubpurtătoare - Ținând cont de pectrul emnalului OFDM complex exprimat în relația (.7) și reprezentat principial în Fig. 7.a., e obţine relaţia următoare pentru ubpurtătoarele de frecvenţă negativă: ωm = ω m m /2 (.2) adicã ubpurtătoarea cu frecvenţa -mf coincide cu ubpurtătoarea de frecvenţă (-m)f. - La trececerea pe purtătoarea canalului f, datorită acetei neimetrii, ubcanalele vor fi dipue, în raport cu frecvenţa purtătoare, în felul următor (vezi fig. 8): ubcanalele până la /2, vor fi plaate în banda laterală uperioară, iar canalele /2+ până la - vor fi plaate în banda laterală inferioară, în ordine crecătoare înpre purtătoare canalul /2, va avea partea inferioară în banda uperioară a emnalului tranlatat şi partea uperioară în banda inferioară a emnalului tranlatat. canalul va fi axat pe purtătoarea f. - Semnalul tranlatat va fi filtrat trece-bandă, [f -f /2, f +f /2]. Datorită realizării practice a filtrului TB de ieşire, canalul /2, va fi tranmi în ambele benzi laterale, ceea ce face ca după tranlatarea în BB la recepţie el ă apară ditorionat. De aceea e impune precauţie în modularea acetui canal. C -/2 C - C - C -/2 BF - Emiie - f =f e f -/2 f f - f f f + /2 f (-) f f =f e f f =f e Fig. 8. Spectrul emnalului OFDM generat digital şi tranlatat în banda canalului de tranmiie 6

7 - Canalul ete lăat uneori nemodulat, pentru a e tranmite un emnal pilot pe frecvenţa purtătoare. - Conecinţe ale acetor proprietăţi pectrale: - nu ete neceară tranmiterea a două benzi laterale, ca la QAM; - e pot utiliza benzi de frecvenţă concatenate au agregate - vezi exemplificare pe tabla 4. Intervalul de gardă. - O condiţie eenţială pentru demodularea corectă a imbolurilor tranmie cu modulaţia OFDM ete legată de menţinerea ortogonalităţii ubpurtătoarelor, aceata fiind ingura poibilitate de a e elimina efectul uprapunerii pectrale între ubcanale. - Datoritã întârzierilor diferite cu care ajung la recepţie copiile emnalului pe diferitele căi ce compun propagarea multicale introduă de canalului radio, apare interferenţă interimbol între imbolurile OFDM tranmie; prin imbol ODFM e înţelege uma tuturor emnalelor de pe toate ubcanalele, tranmie pe durata T, a perioadei de imbol a datelor paralele. - Aceată interferenţă e manifetă prin extinderea în timp a imbolurilor OFDM, ceea ce duce la uprapunerea parţială a acetor imboluri. Datorită debitului redu al imbolurilor OFDM aceatã interferenţã, raportatã la perioada de imbol T, nu ete foarte mare, dar totuşi o parte a imbolului OFDM va fi afectată, ceea ce va duce la apariția I.S OFDM.I. şi la demodularea eronată a datelor tranmie, datorită ditorionării unora dintre eşantioanele emnalului OFDM care vor intra în blocul FFT. Din relaţia (.3) e poate vedea cã fiecare eşantion de timp OFDM influenţeazã fiecare ieşire FFT, şi implicit fiecare imbol de date c k demodulat. - O metodă de eliminare a efectelor acetei interferenţe contă în inerarea unui interval de gardă între imbolurile OFDM. - Aceata contă în mărirea duratei imbolului OFDM, fără mărirea numărului de ubpurtătoare. O parte anterioară a unui imbol OFDM va fi ditorionată de interferenţa interimbol, introduă de imbolul anterior, dar aceatã parte nu va fi foloitã în demodulare. - Durata imbolul OFDM ete mãrită cu o valoare Δ = u T (u ¼), numită interval de gardă, care trebuie ă fie (ete mai) mare decât durata τ T a rãpunului la impul a canalului. În acet Δ T fel porţiunea de durată Δ a imbolului OFDM poate fi ditorionată fără ca acet lucru ã afecteze demodularea. - Uzual durata intervalului de gardă e poate extinde pînã la T /4. - deci, perioada cu care e chim b[ etul de rãpun la imp ul h( t) al canalului nivele modulatoare c k, k =,...,-, ete: T = T (+u) (.2.a) τ E - Frecvenţa de imbol utilă va fi înă M micşrată având valoarea: M R f = f /(+u); (.2.b) Figura 9 Sem nal O FD M cu interval de gardã - La extinderea perioadei de imbol modulatorul cu IFFT va genera pe durata T cele eşantioane corepunzătoare imbolurilor modulatoare introdue în repectiva perioadă de imbol OFDM, iar apoi va genera din nou, în intervalul Δ, primele M = u eşantioane, (partea uperioară a ultimei axe din fig.9) - La recepţie, primele M eşantioane, potenţial ditorionate de ISI vor fi ştere, iar receptorul va foloi ultimele eşantioane. Acet grup conţine toate eşantioanele unei perioade de imbol T ' neceare demodulării datelor, dar ele unt dipue în următoarea ordine: M+,,-,,, M. Aceată ituaţie impune introducerea unei operaţii de reordonare a eşantioanelor oite la recepţie. - Inerarea unei porţiuni din emnalul modulat, cu pătrarea continuităţii emnalului modulat pe durata T, e numeşte prefix ciclic (CP). - Introducerea intervalului de gardă şi a prefixului ciclic pe durata acetuia va afecta modul în care canalul influenţează emnalul tranmi, ditribuţia pectrală şi eficienţa pectrală a emnalului OFDM. - Datorită periodicităţii emnalului tranmi (cauzată de introducerea celor M eşantioane pe durata intervalului de gardă în maniera decriă anterior) va apărea o convoluţie ciclică între răpunul la impul al canalului şi emnalul tranmi. - Prin utilizarea prefixului ciclic de M eşantioane pe durata intervalulului de gardă, emnalul OFDM va fi: 7

8 2πkn j ( n) = c ke ; n = M,..., k= (.22) - Dacă h(nt e ) reprezintă răpunul (complex) la impul al canalului, atunci emnalul aplicat la intrarea blocului FFT, r (nte) va fi exprimat de (.22), unde L ete lungimea (durata, în perioade de eşantionare a) răpunului la impul al canalului, iar (nte) ete emnalul OFDM BB; M trebuie ale atfel încât M L. L r' ( nte) = h( nte) ( nte) = h(qt e) ((n q)te) (.22) q= - În cazul utilizării prefixului ciclic pe durata intervalului de gardă, după FFT emnalul va fi: ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) FFT r ' nte = FFT h nte nte = H k S k (.23) adică imbolul modulator demodulat pe ubpurtătorul k va fi: ' c k = h k c k (.24) h k fiind coeficienţii caracteriticii de frecvenţă a canalului la frecvenţa f c + f k, k = -/2,,,/2 - Coniderentele de mai u unt valabile pentru un canal invariant în timp, adică având caracteritici contante pe durata unei perioade de imbol OFDM. - Aceată condiţie poate fi aigurată daca e conideră un canal lent variabil in timp, ce are timpul de coerenţă T c mult mai mare decât T (au decât T ). - Aceata va face ca efectul canalului ă fie redu la o multiplicare element cu element între tranformata Fourier a răpunului la impul a canalului, caracteritica în frecvenţă a canalului, şi tranformata Fourier a emnalul tranmi, ceea ce va introduce câştiguri (au atenuări) şi întârzieri contante pe fiecare canal, pe durata acelei perioade de imbol OFDM. - Câştigurile (atenuările) unt exprimate de modulul coeficientului h k al caracteriticii canalului, iar defazajele introdue, unt exprimate de exponentul acetui coeficient complex - Acete câştiguri şi defazaje vor putea fi apoi eliminate la recepţie cu un egalizor în domeniul frecvenţă în banda de bază, plaat după FFT. - Similar e poate arăta că, dacă pe durata intervalului de gardă nu e tranmite nimic, atunci va apărea o convoluție liniară între răpunul la impul al canalului și emnalul tranmi. - Din punct de vedere pectral, introducerea prefixului ciclic pe durata intervalului de gardă conduce la reducerea gradului de uprapunere pectrală între emnalele de pe ubpurtătoarele kf, iar neutilizarea prefixului ciclic (CP) pe durata Δ face ca uprapunerea pectrală dintre ubpurtătoare va fi mai accentuată, vezi figura - Introducerea intervalului de gardă va afecta şi eficienţa pectrală a tranmiiei OFDM în enul că frecvenţa efectivă (utilă) de imbol OFDM va fi f < f, vezi relaţia (.2) M 2-M M Figura. Semnalul OFDM în timp (u) şi în frecvenţă (jo), cu CP (tânga) şi fără CP (dreapta) - Schema bloc a unui item OFDM care realizează operaţiile decrie mai u ete dată în fig.; nu unt figurate blocurile de incronizare şi egalizare din receptor. 8

9 5. Eficienţa pectrală a tranmiiilor OFDM - Pentru varianta care nu utilizează intervalul de gardă, debitul binar al tranmiiei e calculează coniderând că tranmiia are frecvenţa de imbol f, un număr de b biţi/imbol-qam şi u ubpurtătoare modulate cu date utile, şi are valoarea: D = b f u [bp] (.25) - Banda de frecvenţă ocupată de emnalul OFDM după filtrare poate fi aproximată prin m f +BT z, în cazul coniderării unor filtre de ieşire (TB) cu o pantă finită a caracteriticii (care au banda de tranziție egală cu BT z ), au prin m f, în cazul coniderării unor filtre TB de ieşire ideale (cu caracteritică dreptunghiulară). Prin m -a notat numărul ubpurtătoarelor modulate (nu neapărat cu date utile). În general m <. Mapare r-dn- r- r Flux de date de intrare DEMUX Flux Flux2 Flux3 Flux Mapare Mapare c c2 c3 c IFFT In puncte r r2 r-dn- r- i-dn- i- i i i2 CPS CPS CDA CDA FTJ FTJ I(t) co(ωpt) Generator de purtatoare Q(t) in(ωpt) Sumator OFDM(t) Mapare i-dn- i- a) yofdm(t) FTB co(ωlt) Circuit de recuperare a purtatorului in(ωlt) FTJ FTJ I(t) Q(t) CAD fe fe CAD I(n) Circuit de recuperare a tactului de imbol Q(n) f f CSP CSP r-dn- r- i-dn- i- r' r' r2' r-' i' i' i2' i-' FFT In puncte c' c' c2' c-' Demapare Demapare Demapare Demapare Flux Flux Flux2 Flux- MUX Date Receptionate b) Fig.. Schema bloc a emițătorului (a.) şi receptorului (b.) OFDM cu inerarea/eliminarea prefixului ciclic - eficienţa pectrală pectrală va avea în cele două cazuri expreiile: β[bp/hz] = b u f /( m f +BT z ) ; au β[bp/hz] = b u / m ; (.26) - În cazul tranmiiei ce foloeşte intervalul de gardă, debitul util ete: D' = b u f '= b u f /(+u) Δ = ut ; (.27) iar banda de frecvenţă ocupată rămâne aceeaşi, deci eficienţa pectrală pentru cele două cazuri devine: β'[bp/hz] = b u f /[( m f +BT z )(+u)] ; β'[bp/hz] = b u /[ m (+u)] ; (.28) - Deci debitul binar nominal și eficienţa pectrală cad de +u ori. Aceta ete preţul plătit pentru eliminarea ISI între imbolurile OFDM, generată de propagarea multicale, prin introducerea intervalului de gardă. - expreia (28) a eficienţei pectrale nominale nu include calitatea biţilor demodulați, măurată prin BER. - dacă e conideră doar biţii corect recepţionaţi, atunci tranmiia ete caracterizată de debitul binar efectiv (throughput) care are expreia (29); eficienţa pectrală efectivă e obţine împărţind throughputul la banda de frecvenţă ocupată BW OFDM. Θ (SR) = D n ( BER(SR)); (29) - în ipoteza recuperării şi incronizării perfecte a purtătorului local, a tactului de imbol şi a celui de eşantionare în receptor, tranmiia OFDM poate fi privită ca o uprapunere de emnale modulate QAM (cu contelaţii DPSK au A+PSK) nefiltrate. - probabilitatea de eroare aigurată de tranmiia OFDM în prezenţa zgomotului gauian depinde de probabilitatea de eroare de bit BER i aigurată de contelaţia utilizată (n i biţi/imbol) pe fiecare grup de g i ubpurtătoare, care la rândul ei depinde de valoarea SR i a raportului emnal/zgomot de pe acel grup de ubpurtătoare. Ea e calculează foloind relaţiile definite pentru contelaţiile utilizate în cazul tranmiiei pe o ingură purtătoare pe canal AWG, vezi curul TM. 9

10 - pentru calculul SR, puterea emnalului va fi egală cu puterea medie a contelaţiei utilizate pe ubpurtătoarea repectivă, iar banda de frecvenţă utilă a emnalului modulat (neceară pentru calculul puterii zgomotului) e va conidera egală cu f. - preupunând o mapare multibit fazor de tip Gray, BER a OFDM ar avea expreia: G p ei (SR i ) gi i= BER = ; G n g i= i i - dacă toate ubpurtătoarele foloec aceeaşi contelaţie, probabilitatea de eroare ete exprimată de (3); u p ei (SR i ) i= pe pt. ni = n BER = ; pt. G =, g = u i SRi = SR BER = (3) n u n - reţineţi că în general nu e poate preupune că toate grupurile de ubpurtătoare au acelaşi SR. În acet ultim caz, probabilitatea de eroare a OFDM e media aritmetică a probabilităţilor de eroare aigurate de contelaţia utilizată pentru valorile SR de pe fiecare ubpurtătoare. - calculul probabilităţii de eroare de bit aigurată de tranmiia OFDM ce utilizează contelaţii QAM au DPSK pe canale cu fading Rayleigh au Rice şi elective au neelective în frecvenţă ete complex şi nu ete tratat în curul de faţă. Trebuie înă menţionat că valorile uzuale ale BER pe acete canale unt de ordinul , ceea ce face ca OFDM ă fie utilizată numai în combinaţie cu coduri corectoare de erori, generând tranmiii COFDM. (3)