Esantionarea semnalelor

Transcript

1 Eantionarea emnalelor Dicretizarea variatiei in timp a emnalului, numita eantionare. Semnale de banda limitata. Problema recontruirii emnalulelor analogice din emnalul eantionat. Teorema eantionarii: eantionarea ideala 1 Teorema eantionarii 1 u t t t Un eantion al lui x(t) ete obtinut prin produul emnalului analogic x(t) cu un impul foarte curt dreptunghiular u Δ (t ) de arie 1: 0 x t u t x u t Un alt eantion poate fi obtinut daca e plaeaza impulul la momentul de timp kt. x t u t kt x kt u t kt 1

2 Procedura de eantionare: eantionam emnalul cu un tren de impuluri foarte curte x t u t kt x kt u t kt k k Pentru valori mici ale lui Δ: 0 lim u t t lim Eantionarea ideala a emnalului x(t) : Ditributia Dirac u t kt t kt x kt t 0 T k k Ditributia Dirac periodica xˆ t xt t xkt t kt T k 3 Eantionarea ideala odelul matematic x t x t t x kt t kt odelul eantionarii ideale T k 4

3 Spectrul emnalului eantionat ideal Semnalul eantionat ideal: x t x t t x kt t kt T k Spectrul emnalului eantionat ideal: Xˆ x t t T 5 Aplicand teorema produului : ˆ 1 X xtt t X k T k T ˆ 1 1 X X k X k T k T T k T Spectrul emnalului eantionat apare prin inumarea unor lobi pectrali indexati dupa k 6 3

4 x t x kt t kt k ˆ 1 X X k T k T Spectrul emnalului eantionat ideal ete repetitia periodica a pectrului emnalului original. Perioada ete inver proportionala cu paul de eantionare T. 7 Din pectrul emnalului eantionat ideal nu e mai poate recupera pectrul emnalului original, deoarece apare o ametecare pectrala (aliere). Semnalul original trebuie a fie de banda limitata pentru ca acete erori a nu apara. Spectrul emnalului original Spectrul ditributiei Dirac periodice Spectrul emnalului eantionat ideal Eroare de aliere ˆ 1 X X k T k T 8 4

5 Teorema eantionarii emnalelor de banda limitata x(t)-de banda limitata X 0 daca 9 Lobii pectrali ucceivi nu e uprapun i pectrul emnalului original poate fi recuperat prin FTJ din pectrul emnalului eantionat daca 10 5

6 FTJ ideal H p ht c in ct t Utilizam un filtru trece jo cu frecventa de taiere ω c i amplificarea in banda T Eroarea de aliere poate fi evitata. Frecventa de eantionare c Conditia de recontructie perfecta: Frecventa de taiere pentru FTJ H r 0 T 11 Rapunul in frecventa al filtrului de recontructie ete: T, Hr T p c 0, c c Semnalul recontruit ete : r cu pectrul: X Xˆ H r c ˆ x t x t h t r 1 X kt pc X T k Spectrele egale implica egalitatea aproape pete tot a emnalului recontruit cu emnalul initial,... x t x t a e w r r 1 6

7 Daca nu e repecta conditia de eantionare aliere., apar erorile de 13 Recontructie in ct Hr T p h c r t T t r ˆ x t h t x t r in ct T x kt t kt t k in t x kt T t kt t k k c in c t kt xktt t kt c t c in t kt xkt kt k c 14 7

8 Frecventa de eantionare minima ete i poarta denumirea de frecventa de eantionare Nyquit. In cazul eantionarii la frecventa Nyquit formula de recontructie devine: xr t x kt k in t t kt kt 15 Teorema WKS (Whittaker, Kotelnikov, Shannon) xt X xt xnt n Z Daca emnalul ete de banda limitata la,in enul ca 0 pentru,atunci ete unic determinat de multimea eantioanelor ale, daca, adica frecventa de eantionare ete cel putin dublul frecventei maxime. In conditiile de mai u emnalul initial xt e poate recontitui din eantioanele ale, a.p.t prin relatia: xkt x t cu conditia ca in c t c k c kt c t kt a fie atfel ale incat a atifaca relatia :. c Frecventa Nyquit: 16 8

9 Recontructia prin filtrare trecejo ideala Semnalul e poate recontrui din curbe de tipul in x / x. Intr-un punct de eantionare, kt, uma e reduce la x(kt). Intre punctele de eantionare, recontructia e obtine prin aportul tuturor termenilor umei Operatia de recontructie e mai numete i interpolare. 17 In punctele de eantionare, un ingur eantion definete emnalul in T n k xkt k T n k in n k xnt xkt xkt, nk x nt k nk k x nt 1, pentru n k nk, 0, pentru n k Eantionare cu frecventa Nyquit Intre punctele de eantionare, recontructia e obtine prin aportul tuturor termenilor umei 18 9

10 Recontructie prin interpolare liniara Ete poibila i o recontructie aproximativa a emnalului, prin unirea punctelor determinate de valorile eantioanelor cu linii drepte. Semnalul recontruit x r (t) ete doar aproximativ egal cu x(t) Rapunul la impul al filtrului de recontructie: triunghiular. 19 T in in H r T T T ideal Rapunul in frecventa al filtrului de recontructie 0 10

11 Recontructia prin extrapolare de ordinul zero Ete poibila recontruirea prin extrapolare de ordin zero: valoarea eantionului curent e mentione pana la aparitia noului eantion. T T in T T in j j T h r t pt t e e T T T T in in j j Hr e T e T 1 Diferenta dintre filtre (cel de recontructie i ideal) ete emnificativa erori de recontructie mari odulul rapunului in frecventa al filtrului de recontructie. 11

12 Spectrul emnalului recontruit: in j X r X H e X k k r 3 Lobii pectrali unt puternic deformati. Chiar daca dupa recontructia de ordin zero am aplica un filtru uplimentar, trece jo ideal, tot nu -ar putea recupera emnalul initial Evident pentru ω >> ω, erorile din lobul central pot fi mult diminuate. 4 1

13 Eantionarea ideala a emnalelor periodice Conideram emnale periodice de banda limitata la a N-a armonica. Cea mai mare frecventa din pectrul lor ete N 0; 0 T0 Se eantioneaza emnalul cu o frecventa 0, Prin eantionare lobii pectrali e repeta. Pentru ca a nu apara uprapunerea lobilor pectrali : N N N N0 30 min N 0 c N

14 N N N N N R R 0 0 0, 1,, N R R, R 1,, Diferenta dintre N i N trebuie a fie de forma: Frecventa minima de eantionare min 1 N Recontructie prin filtrare trece jo ideala H r T, c 0, N 0 c N 0 T p Pentru a evita aparitia erorilor de aliere ete necear ca: N 0 N 0 N 0 pre deoebire de emnalele aperiodice unde c ; c Pe perioada celei mai rapide componente pectrale, trebuie a prelevam mai mult de doua eantioane din pectru. Daca eantionarea mentine periodicitatea atunci pe perioada celei mai rapide componente din pectru trebuie a prelevam 3 eantioane 8 (cel putin). 14

15 T 0 - perioada fundamentalei Eantionarea e face cu ω =(N+R)ω 0 atunci: N R T T T0 T ; R1,, N R 0 Doar N+R eantioane pot fi ditincte ca urmare a periodicitatii emnalului upu eantionarii. Toate pot fi prelevate intr-o ingura perioada a fundamentalei T 0. 9 Principiul ocilocopului Acelai rezultat e poate obtine prelevand eantioanele ucceive din perioade diferite. x kt x T kt x KT kt T KT kt KT T N R Aceata poibilitate ete valorificata in contructia ocilocoapelor cu eantionare

16 N 0 N 0 c N rad / c 50 rad / 10 rad / 31 Relatii energetice Pentru emnale aperiodice eantionate, ete valabila relatia de tip Rayleigh W x t dt T x kt k Pentru emnale periodice eantionate, relatia de tip Pareval T0 0 1 P 1 1 x t dt x kt ; N R ; R 1,, T k0 Energia au puterea pot fi calculate fie din forma de variatie in timp, fie in frecventa. 3 16

17 Eantionarea cu memorare ˆ x t x t T t h t x t h t t t in in j t j t t h t p t t e e t t a) Semnal eantionat. b) odel matematic al itemului de modulare a impulurilor in amplitudine (PA) Valoarea eantionului prelevat e patreaza pentru un interval de timp Δt T 33 Spectrul emnalului eantionat cu memorare ˆ x t x t T t h t x t h t Spectrul emnalului eantionat cu memorare e poate crie: t t t in t in 1 j j t X e t X k e X k T k t k T t t t t in in j t t T X e X k X k k T t k T t T 34 17

18 Lobii pectrului emnalului eantionat cu memorare unt deformati, nu e poate recontrui emnalul initial prin FTJ ideala. Pentru ca lobul central a fie putin afectat ete necear ca: Scurtarea duratei impulurilor, Δt t Recontructia prin extrapolare de ordin zero ete un caz particular PA, cu Δt=T 35 Eantionarea naturala Eantionare cu decuparea unor portiuni din emnal; e aplica in multiplexarea in timp a emnalelor analogice -- time diviion multiplexing (TD) 36 18

19 x t x t q t x t h t T t T x t h t kt x t h t kt k k Semnalul ete inmultit cu un tren de impuluri periodice q T (t). t h t p t H e t j t t in 37 Spectrul emnalului eantionat natural X xt ht T t t in 1 j t X e t k t T k k t k t in j t X e k k T k t k e k t j factor numeric factor numeric k t in t X T k t k 38 19

20 T, H t Lobul central ete aemanator cu cel obtinut 0, prin eantionarea ideala, (nu apar ditoriuni ca in cazul eantionarii cu memorare). Recontruire prin FTJ ideala. c c c 39 Relatia dintre pectrul unui emnal dicret i pectrul emnalului analogic din care provine Semnal analogic i pectrul au Semnal dicret i pectrul au ; x t X x n x nt X a a d a d Doua expreii echivalente pentru pectrul emnalului analogic: 1 ˆ ˆ x t x t T t X X a k, T T k xˆ t x t t X x t t kt k ˆ T a x t t kt x kt t kt a k k a k x kt t kt k a a jkt x kt e 40 0

21 1 Xˆ Xa k xa kt e T Spectrul emnalului dicret ete: d Se oberva ca: k k k d jkt Relatia dintre pectrul unui emnal dicret i pectrul emnalului analogic din care provine ete : j k jk a k X x k e x kt e k j kt jk a a k T x kt e x kt e 1 Xd Xa k T k T T 41 Intre cele doua axe de frecventa corepunzatoare pectrului eantionat repectiv emnalului dicret exita relatia: T Se aplica i acum natura periodica a pectrului emnalului dicret Intre frecventele maxime din pectru exita relatia: T; T Xd 4 1

22 Eantionarea emnalelor dicrete Problema: In prelucrarea numerica a emnalelor apar ituatii in care, ulterior achizitionarii eantioanelor, e contata ca frecventa de eantionare a fot prea mare. Solutie: In atfel de ituatii, cand nu e mai poate eantiona emnalul analogic, ete poibila eantionarea emnalului numeric, retinandu-e tot a N-a valoare. Se reduce atfel numarul de eantioane dupa ce emnalul a fot deja eantionat = eantionarea emnalului dicret Semnalul dicret eantionat e obtine prin produul: N xˆ n x n n x n n kn k x kn n kn k 43 Pa de eantionare N=3 44

23 Spectrul emnalului eantionat N n ; k N Xˆ x n n N 1 X k; N N k k Spectrul emnalului dicret eantionat ete periodic, de perioada Ω N1 N1 r r r k0 k0 ˆ 1 1 X X k X k, N N N Retrictia pe π (perioada pectrului emnalului x[n]) 45 Pa de eantionare N=3 Spectrul X periodic, de perioada π Spectrul ˆX periodic, de perioada Ω 46 3

24 Semnalul analogic, x(t), de banda limitata ω, a fot eantionat ideal, cu paul de eantionare T emnal numeric de banda limitata x[n], care ete i el eantionat cu paul N emnal numeric eantionat ˆx n Se dovedete ca emnalul x[n] ete eantionabil cu paul N adica lobii pectrali nu e uprapun, daca emnalul analogic x(t) ar fi putut fi eantionat i cu perioada T =NT repectandu-e teorema WKS. Initial emnalul analogic a fot upra-eantionat. Frecventa maxima ete Ω =ω T, Ω S =π/n, atunci conditia de recontruire perfecta ete: Ω Ω NT ; T T NT 47 Eroarea de aliere 48 4

25 Recontruirea emnalului dicret din eantioanele ale Daca lobii nu e uprapun, prin filtrare trece-jo ideala: H N, k c 0, in ret r c. 49 Caracteritica in frecventa a FTJ ideal in timp dicret (capitolul Filtrare) H 1, k, k in cn 0, in ret n c hn 50 5

26 Eantionarea i decimarea unui emnal dicret Exemplu, N= Eantionarea emnalului dicret Decimare Dupa eantionarea unui emnal dicret, intre doua valori retinute (eantioane) unt intercalate N-1 zerouri, care nu aduc nici o informatie depre emnalul eantionat. Ele pot fi omie. Rezulta emnalul decimat x n. Relatia dintre emnalul dicret decimat i cel eantionat : ˆ x D n xˆ Nn. ˆD Din emnalul decimat e poate recontrui emnalul nedecimat prin inerarea N-1 zerouri intre doua valori conecutive. 51 Spectrul emnalul decimat : ˆ jn jn j m ˆ ˆ ˆ ˆ N ˆ XD xd n xd n e x nn e x m e X N n n m Spectrul emnalul digital eantionat N1 ˆ 1 X X k N k0 Spectrul emnalul digital initial X(Ω) Xˆ Dr N1 1 k Xr N N k0 N k 0: 1/ N X / N 0 Intinderea lobilor pectrali ai emnalului decimat ete de N ori mai mare decat intinderea lobilor pectrali ai emnalului nedecimat x[n]. 5 6

27 exemplu N=. Spectrul emnalului digital initial Spectrul emnalului digital eantionat Spectrul emnalului decimat 53 Eantionarea pectrului unui emnal dicret de durata finita Dicretizarea emnalelor a fot impua de utilizarea calculatoarelor numerice (care nu pot prelucra decat marimi dicrete in timp/frecventa). Prelucrarea in domeniul pectrului ete de multe ori mai impla decat in domeniul timp. Se pune intrebarea cu ce frecventa a eantionam pectrul X(Ω) unui emnal dicret x[n]. X X X k X k k k k 54 7

28 1 N n N N x n X X x n n ; N Fie emnalul x[n] cu uportul 0,-1. Semnalul obtinut prin eantionarea pectrului emnalului x[n] ete o extenie prin repetare cu perioada N a emnalului original x[n]. N x n x n kn k Conditia de recontructie: x[n] a fie de durata finita, N

29 Se eantioneaza pectrul emnalului de durata finita x [n] (zero pentru n<0 i n>-1) emnal periodic ~ xn, perioada Conditia de recontructie : N, nu unt uprapuneri ale grupurilor temporale din emnalul rezultat. Recontructia e face prin inmultirea emnalului cu fereatra temporala rectangulara:, 0 n N 1 xr n xn xnwr n; wr n N 0, in ret Daca pectrul e eantioneaza prea rar, rezulta N< apare uprapunerea grupurilor temporale; deci erori de aliere. N / Semnalul x[n] nu mai poate fi recontruit din pectrul eantionat. 57 auri practice la eantionarea emnalelor analogice Nu e cunoate largimea benzii unui emnal de banda limitata ce urmeaza a fi eantionat. Semnalul poate avea componente pectrala de frecvente mari, neintereante in aplicatia coniderata. Ele pot fi cauzate i de zgomot. Apare atfel ricul erorilor de aliere. Acetea e evita foloind un filtru trece-jo numit i filtru anti-aliere prevazut in tructura lantului de prelucrare a emnalului, inainte de circuitului de eantionare i memorare 58 9

30 Siteme de telefonie numerica (emnal audio) : Frecventa maxima din pectru: f =3.4 khz Frecventa Nyquit de eantionare: f =6.8 khz Frecventa tandard de eantionare: f =8 khz Siteme de televiziune (emnalul video): Frecventa maxima din pectru: f =5 Hz Frecventa Nyquit de eantionare: f =10 Hz Frecventa tandard de eantionare: f =18 Hz 59 Semnal vocal fara aliere. Semnal vocal cu aliere Semnal muzical fara aliere. Semnal muzical cu aliere

31 Eantionarea emnalelor trece-banda Semnale de tip "trece jo" - pectrul concentrat in benzi care includ frecventa nula. Semnale de tip "trece banda" - au uportul pectrului de forma uppx,, m m Recontructia perfecta a unui emnal trece banda eantionat ideal e poate realiza pe baza teoremei WKS: ω ω. Uneori emnalele trece banda pot fi recontruite din eantioanele lor chiar daca -a foloit o frecventa de eantionare mai mica decat frecventa Nyquit. 61 Cazul emnalelor trece banda de banda inguta Semnal trece banda de banda inguta : m 1 Suportul pectrului unui emnal trece banda de banda inguta eantionat ideal ete de forma: upp X n, m n m n, n n m Aici = Recontructie perfecta: filtrare trece-banda ideala chiar daca -a foloit o frecventa de eantionare inferioara frecventei Nyquit 6 31

32 Filtrul trece-banda ideal 1, HTB p p 0, in ret c1 c h BP in t c c1 t t in t t c c1 63 Recontructie perfecta : k, m k m l, l k, l Deplaare in intervalul [-,- m ] cu k Deplaare in intervalul [ m, ] cu l Pentru l=0: k, m k m,, k k m m k 1 k 1 k Daca exita valori intregi ale lui k pentru care aceata conditie ete atifacuta, atunci exita valori ale frecventei de eantionare inferioare frecventei Nyquit pentru care emnalele trece banda de banda inguta pot fi recontruite in urma eantionarii ideale. 64 3

33 Solutia din multimea numerelor intregi a dublei inecuatii obtinute ete m 0 k n0 m frecventa de eantionare va apartine unor intervale de forma: Exemplu m, cu k1,, n k1 k m 8 i 10 atunci n0 4 Valorile m admiibile pentru k unt 1,,3, 4. Intervalele corepunzatoare pentru frecventa de eantionare: 4 5, , 8 10, 16 0, m