Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β06 03. Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς Άσκηση 1. Ερευνούμε ένα δείγμα 50 καθηγητών του σχολείου μας, ως προς το χαρακτηριστικό: «Πόσες χώρες της Ευρώπης έχετε επισκεφθεί» και σχηματίζουμε τον παρακάτω πίνακα: Να βρεθεί το Εύρος, η διακύμανση, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβλητότητας. Άσκηση 2. Οι βαθμοί των 11μαθητών μιας τάξης ενός ΤΕΕ σε ένα μάθημα είναι: 12, 12, 9, 15, 12, 16, 17, 7, 19, 18, 17 Για τα δεδομένα αυτά: Να κατασκευάσετε τον πίνακα συχνοτήτων Να βρείτε τη μέση τιμή Να βρείτε την επικρατούσα τιμή Να βρείτε τη διάμεσο Να βρείτε τη διακύμανση. 1
Άσκηση 3. Στον παρακάτω πίνακα φαίνονται οι αναλυτικές βαθμολογίες στο πτυχίο που είχαν δύο μαθητές της Γ τάξης των ΤΕΕ Α. Να βρεθεί ο Γενικός βαθμός πτυχίου των δύο μαθητών Β. Να βρεθεί το Εύρος, η διακύμανση, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβλητότητας στις δυο παραπάνω κατανομές Άσκηση 4. Μια μεταβλητή παίρνει τις τιμές: 5, 3, 3ω, 3, 2ω, 3, 3ω, ω με ω>0 1. Αν η μέση τιμή τους είναι 4, να αποδείξετε ότι ω=2 2. Για ω=2 να βρείτε: Το εύρος των τιμών Την επικρατούσα τιμή Την τυπική απόκλιση Άσκηση 5. Το ύψος (σε εκατοστά) των 40 μαθητών της Γ τάξης του σχολείου μας έχει καταγραφεί στον παρακάτω πίνακα: Να συμπληρωθεί ο παραπάνω πίνακας Να εξετάσετε αν είναι ομοιογενής ο πληθυσμός του παραπάνω δείγματος; 2
Άσκηση 6. τα τελευταία 80 τροχαία ατυχήματα. Να βρεθεί η διακύμανση, η τυπική απόκλιση και ο συντελεστής μεταβλητότητας Άσκηση 7. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τον αριθμό των βιβλίων που διάβασαν 40 μαθητές κατά την διάρκεια των θερινών διακοπών. Να υπολογιστούν : Η μέση τιμή Η επικρατούσα τιμή Η διάμεσος Η τυπική απόκλιση και συντελεστής μεταβολής. Άσκηση 8. Σε ένα τεστ στο μάθημα της Στατιστικής με άριστα το 20 οι 57 μαθητές του 2ου ΤΕΕ πήραν τις παρακάτω βαθμολογίες: Να υπολογίσετε τη μέση τιμή, τη διάμεσο, την επικρατούσα τιμή, την τυπική απόκλιση και το συντελεστή μεταβολής 3
Κι άλλες ασκήσεις 1. Δίνονται οι βαθμολογίες στις εξετάσεις του σχολείου στα μαθηματικά 10 μαθητών: 5 15 10 12 19 14 17 8 9 16. Να υπολογιστούν η διασπορά και η τυπική απόκλιση. 2. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι τιμές ενοικίασης σε δείγμα 115 δίκλινων δωματίων σε ένα παραθεριστικό μέρος το προηγούμενο καλοκαίρι (σε Eυρώ). Ενοίκιο fi 20 30 5 30 40 18 40 60 24 Να υπολογιστούν η διασπορά και η τυπική απόκλιση της κατανομής. Ο υπολογισμός να γίνει και με τον έμμεσο τρόπο. 60 80 33 80 100 21 100 150 14 Σύνολο 115 3. Δίνονται οι μετρήσεις όζοντος (σε μέρη ανά 100.000) στο κέντρο της Αθήνας σε 45 χρονικές στιγμές. Όζον fi α) Να υπολογιστούν η διασπορά και η [1,1 2,3) 5 τυπική απόκλιση της κατανομής. β)να υπολογιστεί ο συντελεστής [2,3 3,5) 6 μεταβλητότητας. γ) Μετά από έκτακτα μέτρα που [3,5 4,7) 6 ελήφθησαν κατά του όζοντος, πραγματοποιήθηκαν εκ νέου μετρήσεις [4,7 5,9) 14 και βρέθηκαν όλες μειωμένες κατά 0,2 [5,9, 7,1) 11 μέρη ανά 100.000. Μπορείτε να πείτε αν οι αλλαγές αυτές επηρεάζουν τη διασπορά ή [7,1, 8,3) 2 όχι της κατανομής; Ισχύει το ίδιο και για το συντελεστή μεταβλητότητας; [8,3, 9,5) 1 Σύνολο 45 4
4. Στον παρακάτω πίνακα δίνονται οι χρόνοι αναμονής (σε λεπτά) στα εξωτερικά ιατρεία δυο Κέντρων Υγείας σε επαρχιακές περιοχές της χώρας. Κέντρο Υγείας Α Κέντρο Υγείας Β Χρόνος αναμονής (σε λεπτά) fiα fiβ <6 215 240 6 10 370 360 10 15 170 150 15 20 85 100 20+ 35 45 Σύνολο 875 895 α) Να υπολογιστούν η διασπορά και η τυπική απόκλιση των δυο κατανομών χωριστά. β) Να συγκριθούν οι δυο κατανομές ως προς την ομοιογένειά τους με τη χρήση του συντελεστή μεταβλητότητας. Ποιο το συμπέρασμα που προκύπτει; Δείτε επίσης: http://users.sch.gr Γ.Μαντζώλας Ασκήσεις Στατιστικής 5
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ Μέτρα Διασποράς. 1. Εύρος R: είναι η διαφορά μεταξύ της ελαχίστης παρατήρησης από την μεγίστη. Δηλαδή R = Xmax Xmin 2. Ενδοτεταρτημοριακό εύρος N Q=Q3 Q1 Q1= L i + 4 F i 1 h i f i 3 N Q2 = L i + 4 F i 1 h i Li το κατώτερο όριο της κλάσης που περιέχει το αντίστοιχο τεταρτημόριο, fi η συχνότητα και hi το πλάτος της κλάσης αντίστοιχα, Fi 1 η αθροιστική συχνότητα της προηγούμενης κλάσης N το μέγεθος του δείγματος. f i 3. Διακύμανση ή Διασπορά s 2 (Second Moment or Variation): ορίζεται από την σχέση ο τύπος αυτός μπορεί να μετασχηματισθεί κάνοντας τις πράξεις και ως εξής: ή εάν οι παρατηρήσεις έχουν συχνότητες νi οι τύποι γράφονται ως εξής: 5. Τυπική απόκλιση s (Standard Deviation): είναι η τετραγωνική ρίζα της διασποράς. Δηλαδή 6. Συντελεστής Μεταβλητότητας : CV = s x 100 Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές όταν ο CV είναι μικρότερος ή ίσος από το 10%. 6