ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

2

Περιεχόµενα 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ 5 1.1 Η έννοια της ακολουθίας..................... 5 1.2 Σύγκλιση ακολουθιών...................... 7 1.3 Η έννοια της σειράς........................ 8 1.4 Κριτήρια σύγκλισης σειρών µε ϑετικούς όρους......... 11 1.5 Σειρές εναλλασσοµένου προσήµου................ 13 1.6 υναµοσειρές 13 1.7 Ασκήσεις.. 14 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 17 2.1 Συνάρτηση. 17 2.2 Βασικές έννοιες.......................... 18 2.3 Οριο και συνέχεια συνάρτησης................. 21 2.4 Ασκήσεις.. 24 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 27 3.1 Η έννοια της παραγώγου..................... 27 3.2 Παράγωγος συνάρτησης..................... 28 3.3 Κανόνες Παραγώγισης...................... 30 3.4 Παραγώγιση σύνθετης, αντίστροφης και πεπλεγµένης συνάρτησης 32 3.5 Παράγωγοι ανώτερης τάξης................... 33 3.6 ιαφορικό συνάρτησης - Προσεγγίσεις.............. 34 3.7 Βασικά ϑεωρήµατα του διαφορικού λογισµού.......... 35 3.8 Ακρότατα - Σηµεία καµπής................... 38 3.9 Ασκήσεις.. 40 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 43 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώµατα........ 43 3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4.2 Κανόνες ολοκλήρωσης...................... 45 4.3 Ολοκλήρωση µε αντικατάσταση - Αλλαγή µεταβλητής..... 46 4.4 Ολοκλήρωση κατά παράγοντες.................. 47 4.5 Ολοκλήρωση ϱητών συναρτήσεων................ 48 4.6 Ολοκλήρωση των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων........ 51 4.7 Το ορισµένο ολοκλήρωµα.................... 52 4.8 Εµβαδά επίπεδων χωρίων.................... 55 4.9 Ασκήσεις.. 58 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 61 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών.......... 61 5.2 Συστήµατα συντεταγµένων.................... 62 5.3 Οριο συνάρτησης δύο µεταβλητών................ 63 5.4 Μερική παράγωγος........................ 64 5.5 Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων, ολικό διαφόρικο..... 66 5.6 Ακρότατα συναρτήσεων δύο µεταβλητών............. 67 5.7 ιπλό ολοκλήρωµα........................ 68 5.8 Πολλαπλό ολοκλήρωµα..................... 71

Κεφάλαιο 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ 1.1 Η έννοια της ακολουθίας Ορισµός 1.1.1. Η απεικόνιση των ϕυσικών αριθµών N στους πραγµατικούς αριθµούς R, δηλαδή ϕ : N R, καλείται πραγµατική ακολουθία. Στην ουσία πρόκειται για µία διαδοχή άπειρου πλήθους αριθµών a 1, a 2, a 3,..., a n,... και συµβολίζεται µε (a n ), n N. Παραδείγµατα ακολουθιών : 1) (a n ) = ( 1 ), n N. n Αποτελείται από τους διαδοχικούς όρους : Για n = 1: a 1 = 1 1 Για n = 2: a 2 = 1 2 Για n = 3: a 3 = 1 3 Για n = n: a n = 1 n Για n = n + 1: a n+1 = 1 n + 1 (Οι όροι της ακολουθίας είναι άπειροι) 2) (a n ) = (1 1 ), n N. n Αποτελείται από τους διαδοχικούς όρους : 5

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ Για n = 1: a 1 = 1 1 1 = 0 Για n = 2: a 2 = 1 1 2 = 1 2 Για n = 3: a 3 = 1 1 3 = 2 3 Για n = n: a n = 1 1 n Για n = n + 1: a n+1 = 1 1 n + 1 3) (a n ) = (n), n N. Αποτελείται από τους διαδοχικούς όρους : Για n = 1: a 1 = 1 Για n = 2: a 2 = 2 Για n = 3: a 3 = 3 Για n = n: a n = n Για n = n + 1: a n+1 = n + 1 Ορισµός 1.1.2. Μία ακολουθία (a n ), n N, καλείται άνω ϕραγµένη, (αντίστοιχα κάτω ϕραγµένη), αν και µόνο αν, υπάρχει πραγµατικός αριθµός L τέτοιος ώστε : a n L, n N, (a n L, n N). Ο αριθµός αυτός καλείται άνω ϕράγµα (αντίστοιχα κάτω ϕράγµα). Μία ακολουθία (a n ), n N, ϑα ονοµάζεται ϕραγµένη αν και µόνο αν είναι συγχρόνως άνω και κάτω ϕραγµένη. Παράδειγµα : Να εξετάσετε αν οι ακολουθίες : είναι ϕραγµένες. i) a n = 1 n n, n N, ii) a n = ( 1) n, n N Ορισµός 1.1.3. Μία ακολουθία (a n ), n N, καλείται αύξουσα (αντίστοιχα ϕθίνουσα), αν και µόνο αν : a n a n+1, (a n a n+1 ), n N,

1.2. ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΩΝ 7 ενώ καλείται αυστηρώς ή γνησίως αύξουσα (αντίστοιχα αυστηρώς ή γνησίως ϕθίνουσα), αν και µόνο αν : a n < a n+1, (a n > a n+1 ), n N. Παράδειγµα : Να εξετάσετε αν οι ακολουθίες : είναι γνησίως αύξουσες ή ϕθίνουσες. i) a n = 1 n 2, n N, ii) a n = n 3 + 1, n N 1.2 Σύγκλιση ακολουθιών Από τα ϐασικότερα ενδιαφέροντα µας σε µια ακολουθία ϑεωρείται η σύγκλιση ή απόκλιση αυτής. Σύγκλιση ακολουθίας : Μία ακολουθία λέµε ότι συγκλίνει όταν το όριο του n-οστού όρου της συγκεκριµένης ακολουθίας ισούται µε έναν πραγµατικό αριθµό. ηλαδή όταν lim a n = k, n όπου k R. Απόκλιση ακολουθίας : Μία ακολουθία λέµε ότι αποκλίνει (ή συγκλίνει στο ± ) όταν το όριο του n-οστού όρου της συγκεκριµένης ακολουθίας ισούται µε ±. ηλαδή όταν lim a n = ±. n Για να αντιληφθούµε τις έννοιες ϑα εξετάσουµε τις ακολουθίες των παραδειγµάτων που παρουσιάστηκαν στην πρώτη παράγραφο. 1) (a n ) = ( 1 ), n N. n Οπως είδαµε ο n-οστός όρος της ακολουθίας είναι ο a n = 1 n.

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ Στην συνέχεια πρέπει να υπολογίσουµε το όριο µε n να τείνει στο του n-οστού όρου. Είναι lim a 1 n = lim n n n = 0. Αφού το όριο υπάρχει και είναι πραγµατικός αριθµός συνεπάγεται ότι η ακολουθία (a n ) = ( 1 ), n N συγκλίνει. n 2) (a n ) = (1 1 ), n N. n Ο n-οστός όρος της ακολουθίας είναι Τότε a n = 1 1 n. lim a n = lim (1 1 n n n ) = 1 0 = 1. Συνεπώς η ακολουθία αυτή συγκλίνει. 3) (a n ) = (n), n N. Ο n-οστός όρος της ακολουθίας είναι Τότε Άρα η ακολουθία αυτή αποκλίνει. a n = n. lim a n = lim n =. n n 1.3 Η έννοια της σειράς Θεωρούµε µία ακολουθία (a n ), n N. Εστω ότι αυτή απαρτίζεται από τους όρους a 1, a 2, a 3,..., a n,.... Για κάθε n σχηµατίζω µε τη σειρά τα ακόλουθα αθροίσµατα : Για n = 1: s 1 = a 1 Για n = 2: s 2 = a 1 + a 2 Για n = 3: s 3 = a 1 + a 2 + a 3 Για n = n: s n = a 1 + a 2 +... + a n Για n = n + 1: s n+1 = a 1 + a 2 +... + a n + a n+1

1.3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΕΙΡΑΣ 9 Αν στο σηµείο αυτό ϕέρουµε στο µυαλό µας την έννοια της ακολουθίας µπορούµε εύκολα να αντιληφθούµε ότι µε τη διαδικασία των αθροισµάτων στη ουσία έχουµε κατασκευάσει µία καινούργια ακολουθία (s n ), n N µε όρους τους s 1, s 2, s 3,..., s n,.... Ορισµός 1.3.1. Μία ακολουθία (s n ), n N, καλείται σειρά µε όρους a n και συµβολίζεται a n. Τα αθροίσµατα s n λέγονται µερικά αθροίσµατα της σειράς. Συνηθίζουµε να γράφουµε a n = a 1 + a 2 +... + a n +.... Οσον αφορά τη σύγκλιση και την απόκλιση των σειρών ισχύει ότι έχουµε αναφέρει για τις ακολουθίες, αφού κάθε σειρά είναι µία ακολουθία. Παράδειγµα : Εστω η σειρά ω n 1. Η σειρά αυτή είναι γνωστή ως γεωµετρική σειρά. Θα εξετάσουµε τη σειρά αυτή ως προς τη σύγκλιση. Ο n-οστός όρος αυτής είναι s n = 1 + ω + ω 2 +... + ω n 1. (1.1) Αν πολλαπλασιάσουµε και τα δύο µέλη της (1.1) µε ω έχουµε ωs n = ω + ω 2 + ω 3 +... + ω n 1 + ω n. (1.2) Αφαιρώντας στη συνέχεια κατά µέλη τις (1.1), (1.2) προκύπτει ή s n ωs n = 1 ω n s n = 1 ωn 1 ω. Για να εξετάσουµε αν η σειρά συγκλίνει ή αποκλίνει πρέπει να υπολογίσουµε το όριο lim s 1 ω n n = lim n n 1 ω. (1.3) Επειδή δεν γνωρίζουµε ποιες τιµές παίρνει το ω διακρίνουµε περιπτώσεις. 1η περίπτωση : ω < 1. Τότε lim n ωn = 0,

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ οπότε από την (1.3) ϑα έχουµε δηλαδή η σειρά συγκλίνει. 2η περίπτωση : ω > 1. Τότε οπότε από την (1.3) ϑα έχουµε δηλαδή η σειρά αποκλίνει. 3η περίπτωση : ω = 1. Τότε Εποµένως ϑα έχουµε δηλαδή η σειρά αποκλίνει. lim s n = 1 n 1 ω, lim n ωn =, lim s n =, n s n = n. lim s n = +, n 4η περίπτωση : ω 1. Τότε lim n s n δεν υπάρχει, άρα η σειρά αποκλίνει αόριστα. Εποµένως η γεωµετρική σειρά συγκλίνει µόνο για ω < 1. Εκτός από την γεωµετρική σειρά, στη συνέχεια ϑα χρησιµοποιήσουµε και τη σειρά 1 n. p Η σειρά αυτή είναι γνωστή ως αρµονική σειρά p-τάξης. Γι αυτήν αποδεικνύεται ότι συγκλίνει για p > 1 και αποκλίνει για p 1. Πριν προχωρήσουµε στη διατύπωση µίας πρότασης για τη σύγκλιση των σειρών, παραθέτουµε κάποια γνωστά όρια : 1. lim n (1 + 1 n )n = e 2. lim n n n = 1

1.4. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΣΥΓΚΛΙΣΗΣ ΣΕΙΡΩΝ ΜΕ ΘΕΤΙΚΟΥΣ ΟΡΟΥΣ 11 3. lim n n a = 1, a R + 4. lim n a n = +, a > 1 5. lim n a n = 0, a < 1. Πρόταση 1.3.1. Αν µία σειρά a n συγκλίνει, τότε ο γενικός της όρος τείνει στο µηδέν, δηλαδή τότε είναι lim a n = 0. n Από την πρόταση αυτή προκύπτει ένα χρήσιµο πόρισµα. Πόρισµα 1.3.1. Αν δεν υπάρχει το όριο lim n a n ή αν υπάρχει και είναι lim n a n 0, τότε η σειρά αποκλίνει. Προσοχή δεν ισχύει το αντίστροφο. Για παράδειγµα η σειρά 1 n (αρµονική σειρά) αποκλίνει και είναι lim a 1 n = lim n n n = 0. Παράδειγµα : Χρησιµοποιώντας το Πόρισµα 1.3.1 να δείξετε ότι οι σειρές αποκλίνουν. ii) i) n 2, n + 1 n 1.4 Κριτήρια σύγκλισης σειρών µε ϑετικούς όρους 1ο κριτήριο σύγκλισης (κριτήριο σύγκρισης): Ας είναι a n και β n δύο σειρές µε ϑετικούς όρους τέτοιες ώστε να είναι a n β n, n N. α) Αν η σειρά β n συγκλίνει, τότε συγκλίνει και η a n. ϐ) Αν η σειρά a n αποκλίνει, τότε αποκλίνει και η β n.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ Παρατήρηση: Η σύγκριση µιας σειράς γίνεται µε γνωστή σειρά, δηλαδή µε σειρά για την οποία γνωρίζουµε ότι συγκλίνει ή αποκλινει. Συχνά σαν γνωστή σειρά χρησιµοποιούµε : τη γεωµετρική σειρά ϑετικών όρων ωn 1, για την οποία γνωρί- Ϲουµε ότι συγκλίνει για 0 < ω < 1 και αποκλίνει για ω 1, την αρµονική σειρά p-τάξης 1, η οποία συγκλίνει για p > 1 και np αποκλίνει για p 1. Παράδειγµα : Να εξεταστεί αν συγκλίνει ή αποκλίνει η σειρά 1 n(n + 2)(n + 3). 2ο κριτήριο σύγκλισης (κριτήριο D Alembert): Ας είναι a n µία σειρά µε ϑετικούς όρους τέτοια ώστε η ακολουθία ( a n+1 a n ), n N να συγκλίνει στο λ R, δηλαδή ( ) an+1 = λ R. Τότε : lim n a n 1. αν λ < 1, η σειρά a n συγκλίνει 2. αν λ > 1, η σειρά a n αποκλίνει 3. αν λ = 1, η σειρά a n µπορεί να συγκλίνει αλλά και να αποκλίνει (δεν µπορούµε να ϐγάλουµε συµπέρασµα). Παράδειγµα : Να εξεταστεί αν συγκλίνει ή αποκλίνει η σειρά n n n!. 3ο κριτήριο σύγκλισης (κριτήριο Cauchy): Ας είναι a n µία σειρά µε ϑετικούς όρους τέτοια ώστε η ακολουθία της n-οστής ϱίζας του γενικού της όρου να συγκλίνει στο λ R, δηλαδή Τότε : lim n n an = λ R.

1.5. ΣΕΙΡΕΣ ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟΥ ΠΡΟΣΗΜΟΥ 13 1. αν λ < 1, η σειρά a n συγκλίνει 2. αν λ > 1, η σειρά a n αποκλίνει 3. αν λ = 1, η σειρά a n µπορεί να συγκλίνει αλλά και να αποκλίνει (δεν µπορούµε να ϐγάλουµε συµπέρασµα). Παράδειγµα : Να εξεταστεί αν συγκλίνει ή αποκλίνει η σειρά ( ) n 3 n. 7 1.5 Σειρές εναλλασσοµένου προσήµου Ορισµός 1.5.1. Μία σειρά της µορφής ( 1)n+1 a n, όπου a n > 0, n N, λέγεται σειρά εναλλασσοµένου προσήµου ή εναλλασσοµένου σηµείου. Λέµε ότι µία σειρά a n συγκλίνει απολύτως αν συγκλίνει η σειρά a n. Αν µία σειρά συγκλίνει απολύτως, τότε συγκλίνει και απλά, δηλαδή αν a n συγκλίνει τότε και a n συγκλίνει. Θεώρηµα 1.5.1. (Leibnitz) Αν η ακολουθία ϑετικών όρων a n, n N είναι ϕθίνουσα και µηδενική, δηλαδή αν a n > a n+1, n N και lim n a n = 0, τότε η σειρά εναλλασσοµένου προσήµου ( 1)n+1 a n συγκλίνει. Παράδειγµα : Να εξεταστεί ως προς τη σύγκλιση η σειρά ( 1) n+1 1 n. 1.6 υναµοσειρές Ορισµός 1.6.1. Μία σειρά της µορφής a n 1(x x 0 ) n 1 = a 0 + a 1 (x x 0 ) + a 2 (x x 0 ) 2 +..., όπου x 0, a i R, i = 0, 1, 2,..., λέγεται δυναµοσειρά η σειρά δυνάµεων. Για κάθε τιµή της µεταβλητής x, η δυναµοσειρά ταυτίζεται µε µια αρι- ϑµητική σειρά. Αν η σειρά αυτή συγκλίνει, το x ϑα λέγεται σηµείο σύγκλισης της δυναµοσειράς. Για κάθε δυναµοσειρά, µία από τις τρεις παρακάτω προτάσεις ισχύει :

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ Η δυναµοσειρά συγκλίνει µόνο για x = x 0. (Τότε λέµε ότι η δυναµοσειρά έχει ακτίνα σύγκλισης ίση µε µηδέν) Η δυναµοσειρά συγκλίνει x R. (Τότε λέµε ότι η δυναµοσειρά έχει ακτίνα σύγκλισης ίση µε + ) Υπάρχει ρ R, ρ > 0, τέτοιος ώστε η δυναµοσειρά συγκλίνει απολύτως για κάθε x R µε x x 0 < ρ και αποκλίνει για κάθε x R µε x x 0 > ρ.(τότε λέµε ότι η δυναµοσειρά έχει ακτίνα σύγκλισης ίση µε ρ) Θεώρηµα 1.6.1. Αν υπάρχει το όριο lim n n a n, τότε η ακτίνα σύγλισης ρ της δυναµοσειράς n=0 a n(x x 0 ) n δίνεται από τον τύπο ρ = 1 lim n n a n. Αν lim n n a n = 0 τότε ρ = + και αν lim n n a n = + τότε ρ = 0. Παρατήρηση: Αφού lim a n+1 = λ = lim n a n = λ, n n a n στο παραπάνω ϑεώρηµα αντί του lim n n a n µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το lim n a n+1 a n. Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το διάστηµα σύγκλισης της δυναµοσειράς 1.7 Ασκήσεις ( 1) n 1 xn Ασκηση 1.1. Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τις παρακάτω σειρές, χρησι- µοποιώντας το κριτήριο της σύγκρισης : 1. 1 n2, n 2. 1 n(n + 1), n.

1.7. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15 3. 1 n!. Ασκηση 1.2. Οµοια, χρησιµοποιώντας το κριτήριο του Cauchy: 1. 2. 1 n, n ( 1 + n) 1 n a n, 3. n ( 2 3) n, 4. ( ) 2n n. 3n 1 Ασκηση 1.3. Οµοια, χρησιµοποιώντας το κριτήριο του D Alembert: 1. n n 2 n n!, 2. n! 10, n 3. 2n sin 4. 2 n + 3. 5 n ( π 3 n ), Ασκηση 1.4. Να ϐρεθεί το διάστηµα σύγκλισης των δυναµοσειρών 1. 3 n x n, n 2. x n n 2 5. n