ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Σημαντικές παρατηρήσεις. Αν ο τύπος της συνάρτησης συνοδεύεται με το πεδίο ορισμού της, τότε δεν αναζητούμε το πεδίο ορισμού της.. Tο πεδίο ορισμού το βρίσκουμε με τον αρχικό τύπο και όχι από τον τύπο που προκύπτει μετά από τυχόν απλοποιήσεις.. Αν το πεδίο ορισμού Α δεν δίνεται, τότε δεχόμαστε ως τέτοιο το A { / () }. 4. Μελετούμε συναρτήσεις όπου το πεδίο ορισμού Α είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων. 5. Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης είναι το σύνολο (A) {y / υπάρχει με y ()}. 6. Για την συνάρτηση χρησιμοποιούμε τις εκφράσεις: «Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο σύνολο Δ» και εννοούμε ότι το Δ είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της. «Η συνάρτηση είναι ορισμένη στο 0» και εννοούμε ότι το 0 ανήκει στο πεδίο ορισμού της. 7. Όταν γράφουμε 0, αυτόματα θεωρούμε ότι η ορίζεται στο 0. 8. Έστω συνάρτηση : A B. Τότε Αν, τότε (προφανώς) () (),, A. Το αντίστροφο; Αν () (), τότε,, A Το αντίστροφο; 9. Μια συνάρτηση ονομάζεται άρτια στο Α, αν A ισχύουν: και το A και ( ) () Μια άρτια συνάρτηση έχει άξονα συμμετρίας τον y y (γιατί;). 0. Μια συνάρτηση ονομάζεται περιττή στο Α, αν A ισχύουν: και το A και ( ) () Μια περιττή συνάρτηση έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων Ο (γιατί;).. Μια συνάρτηση ονομάζεται περιοδική με περίοδο Τ στο Α, αν A ισχύουν: και τα T, T A και ( Τ) () ( T) Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0
. Κάθε σημείο της γραφικής παράστασης C της επαληθεύει την εξίσωση y (), δηλαδή M(, y) C y (). 0 0 0 0. Οποιαδήποτε κάθετη στον ευθεία τέμνει την C σε το πολύ ένα σημείο. 4. Με την βοήθεια της γραφικής παράστασης της, μπορούμε να βρούμε το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης κ. 5. Η γραφική παράσταση της α β γ,α 0 είναι παραβολή με άξονα συμμετρίας β την ευθεία κα κορυφή το σημείο α α 0 ή προς τα κάτω αν α 0 β Δ K, α 4α 6. Αν γνωρίζουμε την C, τότε με την βοήθεια της βρίσκουμε: Η C είναι συμμετρική της C ως προς τον άξονα. Η C είναι τα μη αρνητικά τμήματα των C και C. Η Η C με g. Η C βρίσκεται προς τα πάνω αν g c, c. Κατακόρυφη μετατόπιση της C κατά c μονάδες πάνω αν c 0 ή κατά c μονάδες κάτω αν c 0. C με g g c, c. Οριζόντια μετατόπιση της C κατά c μονάδες αριστερά αν c 0 ή κατά c μονάδες δεξιά αν c 0. 7. Με την βοήθεια των γραφικών παραστάσεων των, g στο ίδιο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων μπορούμε να λύσουμε γραφικά g, οι τετμημένες των κοινών σημείων. μια εξίσωση Μια ανίσωση g Μέθοδοι από την Cg, προβολή στον του τμήματος τη C που βρίσκεται «πάνω». Για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτηση μιας συνάρτησης της οποίας δίνεται μόνο ο τύπος της y. Θα παίρνουμε για πεδίο ορισμού της το ευρύτερο υποσύνολο του R στο οποίο έχει νόημα πραγματικού αριθμού η έκφραση, δηλαδή Άρα, πρέπει να λάβουμε υπόψη μας τους παρακάτω περιορισμούς: Αν () είναι πολυωνυμική, τότε A g() i Αν (), τότε A { / h() 0} h() ii Αν () k g(), k, k, τότε A { / g() 0} iv) Αν () ln g() v) Αν () ημ g() v Αν () συν g(), τότε A { / g() 0}, τότε A, τότε A vi Αν () εφ g(), τότε vii Αν () σφ g(), τότε h() Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0 Α /. π A { / συν g() 0} { / g() kπ,k } A { / ημ g() 0} { / g() kπ, k } Αν () g(), τότε A { / g() 0 & h() } ή A { D / g() 0} h ) Αν η είναι συνδυασμός από των παραπάνω, κάνω συναλήθευση των περιορισμών.
. Για να βρω τον τύπο της συνάρτησης () για την οποία ισχύει μία ισότητα που περιέχει δυνάμεις της (), μετασχηματίζω την ισότητα στην g 0 g. ν g 0 και παίρνω. Για να βρω τους τύπους δύο συναρτήσεων και g με κοινό π. ορισμού Α τότε αρκεί να έχω: η ένα σύστημα με αγνώστους () και g(), η μία σχέση που μπορεί να πάρει τη μορφή σ g σ 0, οπότε παίρνω από αυτήν σ και g σ 0 4. Για να βρούμε τα σημεία τομής της C με τον άξονα, λύνουμε το σύστημα την εξίσωση 0 και βρίσκω τις τετμημένες. 5. Για να βρούμε τα σημεία τομής των C, C, λύνουμε το σύστημα g g και βρίσκω τις τετμημένες. y y g. y 0. Άρα Άρα την εξίσωση 6. Για να βρούμε τα, για τα οποία η C είναι πάνω (αντίστοιχα κάτω) από τον άξονα, λύνουμε την ανίσωση 0 (αντίστοιχα 0 ). 7. Για να βρούμε τα για τα οποία η C είναι πάνω από τη g. 8. Ο προσδιορισμός του συνόλου τιμών Α τους παρακάτω τρόπους: C g, λύνουμε την ανίσωση μιας συνάρτησης μπορεί να γίνει με έναν από Με τον ορισμό, προσδιορίζοντας το σύνολο Α y / υπάρχει A μέ y Βρίσκω το πεδίο ορισμού Α της. i Λύνω την εξίσωση y () () ως προς (στο ).. ii Στην πορεία επίλυσης της (), σημειώνω τους τυχόν περιορισμούς (α ) για το y ώστε να έχει λύση η () ως προς (στο ). iv) Τα που θα προκύψουν πρέπει να ανήκουν στο πεδίο ορισμού της, δηλαδή A, απ όπου θα προκύψουν πιθανώς νέοι περιορισμοί (β ) για το y. v) Το σύνολο τιμών (A) βρίσκεται από την συναλήθευση των περιορισμών του y (α ) και (β ) Με την βοήθεια των εννοιών του ορίου, της συνέχειας και της μονοτονίας όπως θα δούμε παρακάτω. Με την βοήθεια των παραγώγων όπως θα δούμε στο παρακάτω κεφάλαιο. Με την βοήθεια της γραφικής παράστασης. Η προβολή όλων των σημείων της γραφικής παράστασης της πάνω στον άξονα yy δίνει το σύνολο τιμών της. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Έννοια, Πεδίο ορισμού, Σύνολο τιμών, Γραφική παράσταση συνάρτησης. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: (σχ. Α, σελ 45) () 4 ln i ii () log () 4 iv) () log 4 Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0
v) () () π v () εφ 6 vi ) () π () σφ 6 () e vii () e e i () ημ. Έστω οι συναρτήσεις () και Να βρεθούν τα σημεία τομής των C και i Να βρεθούν τα σημεία τομής των C και g() 5 6. (σχ. Α,Α, σελ 45) C. g Cg με τους άξονες. ii Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η C βρίσκεται πάνω από την iv) Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η C g. Έστω οι συναρτήσεις () log(5 ) και g() log. Εξετάστε αν η C τέμνει τους άξονες; i Εξετάστε αν οι C και Cg έχουν κοινά σημεία. C. g βρίσκεται κάτω από τον άξονα. 4. Να βρεθούν τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της () βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση της g(). 5. Δίνεται η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διακρίνεται στο διπλανό σχήμα: Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. i Να εξετάσετε αν το - είναι τιμή της συνάρτησης. ii Να βρείτε το ( ). iv) Να βρείτε το σύνολο τιμών της. v) Να επιλύσετε την εξίσωση () 0. v Να επιλύσετε τις ανισώσεις () 0 () 0. και 6. Δίνεται η συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση διακρίνεται στο διπλανό σχήμα: Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της. i Να εξετάσετε αν το 0 είναι τιμή της συνάρτησης. ii Να βρείτε το (). iv) Να βρείτε το σύνολο τιμών της. v) Να επιλύσετε την εξίσωση () 0. v Να επιλύσετε τις ανισώσεις () 0 () 0. και 7. Να γίνει η γραφική παράσταση των συναρτήσεων: (σχ. Α6, Β, Β5, σελ 45-8) v) ()( ) i () e () ii v () ln () iv) () ln vi () vii () 8. Να ελέγξετε αν οι αριθμοί 5 και - μπορεί να είναι τιμές της συνάρτησης (). Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0
9. Στο παρακάτω διάγραμμα βλέπουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης. Να βρεθεί το πλήθος των λύσεων της εξίσωσης 6. 0. Να βρεθεί το σύνολο τιμών των συναρτήσεων: v () i () vi () ii () iv) () ln v) () - ln( - 4) e 5 () vii () () ) () ln e. Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης όταν ισχύει: i ii ( ) 4 5 για κάθε. (ln ) για κάθε 0. 6 () για κάθε 0.. Αν για τις συναρτήσεις, g ισχύει είναι σταθερές συναρτήσεις. Άρτιες, περιττές και περιοδικές συναρτήσεις. Να δείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι περιττές: () 4 i [()] [g()] ( g)() για κάθε, τότε οι, g 4 () ii () 4. Να δείξετε ότι οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες: () συν i () ln iv) () ln 5. Δίνεται η συνάρτηση :. Να δείξετε ότι: () ( ) Η συνάρτηση g() είναι άρτια. i () ( ) Η συνάρτηση h() είναι περιττή. ii Κάθε συνάρτηση ορισμένη στο γράφεται ως άθροισμα μιας άρτιας και μιας περιττής συνάρτησης. 6. Δίνεται η συνάρτηση : με τύπο () ημ. Να δείξετε ότι ο αριθμός T π είναι μια περίοδός της. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι5555 ο ο.β) ΙΣΟΤΗΤΑ, ΠΡΑΞΕΙΣ, ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ.β) ΙΣΟΤΗΤΑ, ΠΡΑΞΕΙΣ, ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σημαντικές παρατηρήσεις. Δύο συναρτήσεις είναι ίσες όταν ισχύουν δύο () προϋποθέσεις: D D A (δηλαδή να έχουν ίσα πεδία ορισμού) g A : () g() (δηλαδή να έχουν τις ίδιες τιμές για κάθε στοιχείο του κοινού τους πεδίου ορισμού). Είναι ΛΑΘΟΣ η έκφραση: Δύο συναρτήσεις είναι ίσες, όταν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού και 4 τον ίδιο τύπο. Για παράδειγμα οι συναρτήσεις και g με A,0, ίσες, αλλά δεν έχουν τον ίδιο τύπο. είναι. Είναι δυνατόν δύο συναρτήσεις να έχουν ίδιο πεδίο ορισμού ίδιο σύνολο τιμών και να μην είναι ίσες π.χ. οι συναρτήσεις ημ g συν. 4. Αν, όμως είναι ίσες δύο συναρτήσεις τότε: (D) g(d) g C C g και (δηλαδή να έχουν ίσα σύνολα τιμών) (δηλαδή οι γραφικές τους παραστάσεις ταυτίζονται) 5. Δυο συναρτήσεις είναι διάφορες μεταξύ τους και γράφουμε g αν και μόνο αν μια από τις συνθήκες του ορισμού δεν ισχύει (δηλαδή αν D Dg ή αν υπάρχει τουλάχιστον στο κοινό πεδίο ορισμού για το οποίο να ισχύει g ). 6. Δύο συναρτήσεις και g μπορεί να μην είναι ίσες στο πεδίο ορισμού τους, αλλά σε ένα κοινό υποσύνολό τους Δ D D να ισχύει Δ : () g(). Τότε, λέμε ότι οι g συναρτήσεις και g είναι ίσες στο Δ. Άρα, αν είναι να είναι g. g, ζητείται το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του (αν υπάρχει) τέτοιο ώστε 7. ()g() 0, A ()=0 ή g() 0, A, δηλαδή για κάποιες τιμές του θα είναι 0 και για κάποιες τιμές του θα είναι g 0. ΔΕΝ ΣΗΜΑΙΝΕΙ ότι () 0 για κάθε A ή g() 0 για κάθε A (δηλαδή ()g() 0, A ()=0, A ή g() 0, A ). Π.χ., 0 0, 0 και g 0, 0, 0, τότε g 0 για κάθε Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0
8. Ομοίως, αν για κάθε A για κάθε A κάποιες τιμές του θα είναι Π.χ., 0, 0 ισχύει, δεν σημαίνει ότι για κάθε A. Σημαίνει ότι για κάποιες τιμές του θα είναι., τότε για κάθε. *********************** και για 9. Οι πράξεις μεταξύ συναρτήσεων έχουν νόημα μόνο αν το εκάστοτε πεδίο ορισμού δεν είναι το κενό. 0. Οι πράξεις μεταξύ συναρτήσεων δημιουργούν ΝΕΕΣ συναρτήσεις.. Εκτός από τις πράξεις συναρτήσεις k, k με D D και (k)() k (), αλλά και k ν, ν * με D ν D και ν ()() g, g, g,, μπορούμε να ορίσουμε και: g () ν ***********************. Η σύνθεση συναρτήσεων δημιουργεί ΝΕΑ συνάρτηση.. Αν :Α και g:β τότε Η σύνθεση g Η σύνθεση g ορίζεται, αν ορίζεται, αν 4. Για να ορίσουμε την συνάρτηση g Β Β / g Α ή αλλιώς αν g(b) A. Α A / B ή αλλιώς αν (A) B. πρώτα βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της και μετά τον τύπο της γιατί σε άλλη περίπτωση μπορούμε να οδηγηθούμε σε λάθος συμπεράσματα. 5. Ειδικές περιπτώσεις: Αν D, τότε επειδή g της με την g. Αν D, τότε επειδή g της g με την. D : () g, προκύπτει ότι ορίζεται ΠΑΝΤΑ η σύνθεση g D : g(), προκύπτει ότι ορίζεται ΠΑΝΤΑ η σύνθεση 6. Η αντιμεταθετική ιδιότητα δεν ισχύει πάντα στην σύνθεση συναρτήσεων. Δηλαδή αν δυο συναρτήσεις είναι τέτοιες ώστε να ορίζονται g και g τότε δεν ισχύει πάντα g g. ή Φυσικά και υπάρχουν περιπτώσεις όπου η αντιμεταθετική ιδιότητα μπορεί να ισχύει, όπως στο παράδειγμα παρακάτω, αλλά αυτό δεν είναι ο κανόνας!!! Έστω τυχαία συνάρτηση : και η ταυτοτική συνάρτηση g(),. Τότε ισχύει ότι g g 7. Η προσεταιριστική ιδιότητα, όμως, ισχύει πάντα στην σύνθεση συναρτήσεων. Δηλαδή ισχύει πάντα g h g h, εφόσον οι τρεις συναρτήσεις είναι τέτοιες ώστε να ορίζονται οι εκάστοτε συνθέσεις. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0
Μέθοδοι. Για να προσδιορίσουμε οποιαδήποτε πράξη μεταξύ συναρτήσεων πρέπει πρώτα να βρίσκουμε το αντίστοιχο πεδίο ορισμού και να εξετάζουμε αν είναι διάφορο του κενού.. Για να προσδιορίσουμε την συνάρτηση g ακολουθούμε την παρακάτω διαδικασία: Προσδιορίζουμε τα πεδία ορισμού Α και Β των,g αντίστοιχα, αν φυσικά δεν δίνονται. Προσδιορίζουμε το σύνολο ή αλλιώς Β / Β και g() Α Β Β / g Α και εξετάζουμε αν είναι διάφορο του κενού οπότε ορίζεται η g. Η g έχει πεδίο ορισμού Β και τύπο g g. Θεωρούμε τις συναρτήσεις και g με τύπους: Για να προσδιορίσουμε την g «κλάδους» της g και έτσι θα έχουμε:., A g,β και g, A g, Β θα συνθέσουμε κάθε «κλάδο» της με όλους τους g, Β Β / g Α g, Β Β / g Α g g, Β Β / g Α g, Β Β / g Α Αν οποιοδήποτε από τα σύνολα Β, Β, Β, Β είναι κενό τότε ο αντίστοιχος κλάδος δεν ορίζεται και παραλείπεται.. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ισότητα συναρτήσεων 7. Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις είναι = g. Στις περίπτωση που είναι g, να προσδιορίσετε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του στο οποίο ισχύει () g(). (σχ. Α7, σελ 46) () - - 6 και g() - i () και g() - ii () και g() iv) () - και g() - 8. Να δειχθεί ότι οι συναρτήσεις h,, g είναι ίσες όταν για κάθε ισχύει: ()[() g()] g()[g() h()] h()[h() ()] 0 Πράξεις μεταξύ συναρτήσεων 9. Σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις να ορίσετε τις συναρτήσεις: (σχ. Α8, σελ 46) g, g, : g i () - και g() 4, () και g() ln Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0
ii, 4, 5 () και g()= 5, 4 7, 5 6 Σύνθεση συναρτήσεων 0. Για κάθε ένα από τα ζεύγη συναρτήσεων και g που παρουσιάζονται παρακάτω, να προσδιορίσετε τις νέες συναρτήσεις που ζητούνται: (σχ. Α0, Α, Α, σελ 46-7) () - και g() ln, τις g i ii iv) () και g()= () e e και g()=ln(-) και g, τις g, g και, τις g, g,, και g g. +, 4<<6 +, <<4 ()= και g()=, την σύνθεση της g με την -, 6 <8 -, 4 <7. Να βρείτε τη συνάρτηση στις παρακάτω περιπτώσεις: (σχ. Β6, σελ 48) ( g)() 4 4 αν g() ii ( g)() αν g() ln iv) (g )() 9 ημ αν g() v). Oι συναρτήσεις () α και παράμετρος α, ώστε να ισχύει g, για κάθε. i ( g)() αν g() (g )() αν g() g() α α ορίζονται στο. Να βρεθεί η. Δίνεται η συνάρτηση :[,]. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: g() ( ) i h() 4. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο () ii φ() (ln ) (). Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και ο τύπος της συνάρτησης h με τύπο h() (ln ) ( ). 5. Έστω συνάρτηση :. Αν για οποιαδήποτε σταθερή συνάρτηση g είναι g g, να αποδείξετε ότι η είναι η ταυτοτική συνάρτηση. 6. Έστω οι συναρτήσεις,g :. Να δείξετε ότι: αν η είναι άρτια και η g περιττή, τότε οι g,g είναι άρτιες i αν, g είναι περιττές, τότε οι g,g είναι περιττές ii αν η είναι άρτια, τότε η g Συναρτησιακή εξίσωση είναι άρτια. 7. Αν για τη συνάρτησης, ισχύει () ( ) για κάθε, να βρείτε: τον τύπο της και i το σύνολο τιμών της. 8. Αν για κάθε ισχύει εξίσωση Συναρτησιακή σχέση () ( ), να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης. 9. Αν για την συνάρτηση :, είναι (0)= και ισχύει η σχέση (+y)-(-y) =y, για κάθε, y, να βρεθεί ο τύπος της. 0. Να βρεθεί η συνάρτηση :, όταν για κάθε, y ισχύει η σχέση (-y)=()(y) Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0
. Αν για την : ισχύει η σχέση (y) () y(y) y, για κάθε, y, να βρεθεί ο τύπος της.. * Aν για την : ισχύουν () και ( y) () (y), για κάθε, y, να δειχθεί ().. Έστω συνάρτηση :, η οποία για κάθε, y ικανοποιεί τη σχέση: ( y) () (y) Να αποδειχθεί ότι: (0) 0 και i η είναι περιττή. 4. Έστω συνάρτηση :, για την οποία ισχύουν οι σχέσεις: () 0 για κάθε και ( y) ( y) () (y), για κάθε, y. Να αποδείξετε ότι: (0) και i η είναι άρτια. 5. Έστω συνάρτηση :, η οποία για κάθε ικανοποιεί τη σχέση () Να αποδείξετε ότι: () 4 για κάθε, i 4 6. Αν για την συνάρτηση :, είναι () 4 ότι ().. 4, για κάθε, y, να δειχθεί Προβλήματα (σχ. Α4, Α45, Β, Β, Β4, Β9, σελ 45-8) 7. Το κόστος μονάδων προϊόντος είναι προϊόντος είναι Π() 5, τότε: Να εκφράσετε το κέρδος Ρ ως συνάρτηση του. i Να βρείτε πότε η επιχείρηση θα έχει κέρδος και πότε ζημιά. K() 4. Αν η τιμή πώλησης μονάδων 8. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â 90 ). Αν (BΓ) 4 και (AB), να εκφράσετε την προβολή της κάθετης πλευράς ΑΓ πάνω στην υποτείνουσα ως συνάρτηση του. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης [ ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης] 0-0
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 6 ο ο.α) ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ Σημαντικές παρατηρήσεις. Μια συνάρτηση μπορεί να παρουσιάζει το ίδιο είδος μονοτονίας σε δύο υποσύνολα A,A (ξένα μεταξύ τους) του πεδίου ορισμού της, χωρίς όμως να είναι μονότονη στο A A. Π.χ. α), 0 () ή β) (), 0. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει το ίδιο είδος μονοτονίας σε δύο υποσύνολα A( α, 0 ] και A [,β) του πεδίου ορισμού της, τότε είναι μονότονη στο A A( α,β). 0. Αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της τότε έχει το ίδιο είδος μονοτονίας σε κάθε υποσύνολό της. 4. Για να δείξω ότι μια συνάρτηση δεν είναι γνησίως αύξουσα (π.χ.) σε ένα διάστημα Δ, αρκεί ένα αντιπαράδειγμα!!! Δηλαδή αρκεί να δείξω ότι υπάρχουν, Δ με τέτοια ώστε () (). 5. Αν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε: «η γραφική παράσταση C της τέμνει τον άξονα το πολύ σε ένα () σημείο» ή αλλιώς «η εξίσωση () 0 έχει το πολύ μία ρίζα στο Δ». 6. Αν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ και η εξίσωση () 0 πολύ μία ρίζα στο Δ, τότε αυτή η ρίζα είναι μοναδική. έχει το 7. Αν οι συναρτήσεις και g έχουν διαφορετικό είδος μονοτονίας σε ένα διάστημα Δ, τότε η εξίσωση () g() έχει το πολύ μία ρίζα στο Δ. 8. Για κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ ισχύει ότι η C τέμνει κάθε οριζόντια ευθεία y k, k το πολύ σε ένα () σημείο 9. Έστω :Δ και, () () α) () () β) 0 0 Δ με. Τότε ισχύουν οι παρακάτω ισοδυναμίες: και () () και () () ομόσημοι γνησίως αύξουσα στο Δ ετερόσημοι γνησίως φθίνουσα στο Δ ***************** 0. Αν μια συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο διάστημα (α, ] και γνησίως φθίνουσα στο 0 [,β) του πεδίου ορισμού της, τότε η παρουσιάζει στο (α,β) μέγιστο στο το (). 0 0 0. Αν μια συνάρτηση γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (α, ] και γνησίως αύξουσα στο 0 [,β) του πεδίου ορισμού της, τότε η παρουσιάζει στο (α,β) ελάχιστο στο το (). 0 0 0 Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 0-0 --
. Αν μια συνάρτηση γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα (α,β), τότε η δεν παρουσιάζει στο (α,β) ακρότατα.. Αν μια συνάρτηση γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα [α,β], τότε η παρουσιάζει ελάχιστο στο α και μέγιστο στο β. 4. Αν μια συνάρτηση γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα [α,β], τότε η παρουσιάζει μέγιστο στο α και ελάχιστο στο β. Σχόλιο: Στις παραπάνω δύο προτάσεις, αν κάποιο άκρο δεν συμπεριλαμβάνεται στο διάστημα (α, β), τότε η συνάρτηση δεν παρουσιάζει σε αυτό ακρότατο. 5. Έστω συνάρτηση : A με σύνολο τιμών (A) Δ. Υπάρχουν οι εξής περιπτώσεις: α) αν είναι Δ [λ,μ], τότε min β) αν είναι Δ [λ,μ), τότε min γ) αν είναι Δ(λ,μ] δ) αν είναι Δ(λ,μ), τότε min, τότε min λ λ και ma και ma μ, δεν υπάρχει, δεν υπάρχει και ma και ma, τότε () 0, A. 6. α) Αν είναι μ 0 ma β) Αν είναι ε 0, τότε () 0, A. min 7. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Αν για μια συνάρτηση ισχύει: Για να είναι ma μ, δεν υπάρχουν. () α, A δεν είναι σωστό να γράψουμε ma να έχει λύση στο α, πρέπει υποχρεωτικά και η εξίσωση () α α. A!!! Σημαντικές Προτάσεις. [Βασική Πρόταση: για χρήση σε επίλυση ανισώσεων] Αν μια συνάρτηση : A είναι γνησίως αύξουσα στο Α, τότε ισχύει η συνεπαγωγή: «αν () () τότε». [Άρα, αν A τότε ισχύει η ισοδυναμία: «() ()»].. [Βασική Πρόταση: για χρήση σε επίλυση ανισώσεων] Αν μια συνάρτηση : A είναι γνησίως αύξουσα στο Α, τότε ισχύει η συνεπαγωγή: «αν () () τότε». [Άρα, αν A τότε ισχύει η ισοδυναμία: «() ()»].. [Βασική Πρόταση: για χρήση σε επίλυση εξισώσεων] Αν μια συνάρτηση : A είναι γνησίως αύξουσα (ή γνησίως φθίνουσα) στο Α, τότε ισχύει η συνεπαγωγή: «αν () () τότε» [Άρα, ισχύει η ισοδυναμία: () () ]. 4. Η σύνθεση συναρτήσεων με ίδιο είδος μονοτονίας στο, οδηγεί πάντα σε συνάρτηση γνησίως αύξουσα στο. 5. Η σύνθεση συναρτήσεων με διαφορετικό είδος μονοτονίας στο, οδηγεί πάντα σε συνάρτηση γνησίως φθίνουσα στο. ***************** 6. Αν είναι μια μη σταθερή και άρτια συνάρτηση, τότε σε συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων διαστήματα (υποσύνολα του πεδίου ορισμού) η έχει αντίθετο είδος μονοτονίας. (π.χ. γνησίως αύξουσα στο (α,β) και γνησίως φθίνουσα στο ( β, α) ) Συμπέρασμα: μια άρτια συνάρτηση δεν μπορεί να είναι γνησίως μονότονη. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 0-0 --
7. Αν είναι μια μη σταθερή και περιττή συνάρτηση, τότε σε συμμετρικά ως προς την αρχή των αξόνων διαστήματα (υποσύνολα του πεδίου ορισμού) η έχει το ίδιο είδος μονοτονίας. (π.χ. γνησίως αύξουσα στο [α,β] και στο [ β, α] ) ***************** 8. Αν μια συνάρτηση είναι άρτια και παρουσιάζει στο 0 μέγιστο, τότε στο 0 παρουσιάζει πάλι μέγιστο, το 0. (αντιστοίχως για το ελάχιστο). Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 0-0 -- 9. Αν μια συνάρτηση είναι περιττή και παρουσιάζει στο 0 μέγιστο, τότε στο παρουσιά- 0 ζει ελάχιστο, το 0. (αντιστοίχως για το ελάχιστο). Συμπέρασμα: μια άρτια συνάρτηση διατηρεί τα ακρότατα, ενώ μια περιττή την μονοτονία. Μέθοδοι. Για να μελετήσουμε μια συνάρτηση ως προς την μονοτονία εργαζόμαστε με έναν από τους παρακάτω τρόπους: Απευθείας με τον ορισμό με τη βοήθεια της «κατασκευαστικής μεθόδου» και με την βοήθεια των ιδιοτήτων της διάταξης. Χρήσιμες ιδιότητες διάταξης: ν ν 0 α β α β, ν ν ν 0 α β α β, ν κ κ α β α β, κ κ κ * 0 α β α β, κ κ κ * α β 0 α β, κ Αν α β 0, τότε Αν α 0 β, τότε 0 α β α β α β α β α β α β Με τη βοήθεια του «λόγου μεταβολής», όπου εξετάζουμε το πρόσημό του λ,, Α με. Προσπαθούμε να γράψουμε την σαν άθροισμα ή σύνθεση συναρτήσεων γνωστής μονοτονίας. Με παραγώγους [ο ποιο εύχρηστος, αλλά αργότερα ]. Στις συναρτήσεις «πολλαπλού τύπου» εξετάζουμε την μονοτονία σε κάθε κλάδο. Αν προκύψει το ίδιο είδος μονοτονίας σε όλους τους κλάδους εξετάζουμε την μονοτονία σε όλο το πεδίο ορισμού. Αν προκύψει διαφορετική μονοτονία σε δύο κλάδους δεν είναι μονότονη στο πεδίο ορισμού της.. Για να εξετάσουμε αν μια συνάρτηση έχει ακρότατα εργαζόμαστε με έναν από τους παρακάτω τρόπους:
Απευθείας με τον ορισμό με τη βοήθεια της «κατασκευαστικής μεθόδου» και με την βοήθεια χρήσιμων ανισοϊσοτήτων. α ν 0, α, με το «ίσον» να ισχύει για α 0, α 0, α, με το «ίσον» να ισχύει για α 0, α 0, α, με το «ίσον» να ισχύει για α 0, α, α 0, με το «ίσον» να ισχύει για α, α α, α 0, με το «ίσον» να ισχύει για α. α Με την βοήθεια του συνόλου τιμών της συνάρτησης. Με την μονοτονία και την συνέχεια (λίγο αργότερα ) Με την παράγωγο της συνάρτησης (αρκετά αργότερα ). Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 0-0 -4-
Μονοτονία συνάρτησης Ασκήσεις 9. Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: (σχ. Α, Α4 σελ 56-7) [α) Συνθετική μέθοδος πάνω στον ορισμό και β) μέθοδος του λόγου μεταβολής ] () ln( ) e i ()=-+ - ii () ln iv) () v), 0 () v, 0 ()=, 0 (), 0 vi ()= 5 9- vii - () 40. α) Έστω η συνάρτηση που είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα. β) Έστω οι συναρτήσεις,g που είναι γνησίως φθίνουσες σε ένα διάστημα Δ. Να δείξετε ότι η συνάρτηση +g είναι γνησίως φθίνουσα. γ) Nα βρεθεί η μονοτονία της συνάρτησης συν () e συν, 0,π 4. Αν : A(0,) είναι γνησίως αύξουσα στο Α και η g : A(0,) είναι γνησίως φθίνουσα στο Α, να αποδειχθεί ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο Α. 4. α) Η συνάρτηση, ορισμένη στο, είναι άρτια και γνησίως μονότονη στο [0,α],α 0 (0) α,(α) 0. Αποδείξτε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο [ α,0] και γνησίως φθίνουσα στο [0,α]. i Αποδείξτε ότι η [0,α]. είναι γνησίως φθίνουσα στο [ α,0] β) Μελετήστε την μονοτονία της συνάρτησης h() και γνησίως αύξουσα στο στο [,]. 4. α) Να αποδειχθεί ότι κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ μία ρίζα β) Να λυθούν οι εξισώσεις: 44. α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση 7 0 και i ln. () γνησίως φθίνουσα στο. 4 β) Να λυθούν η ανίσωση 9 45. α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση () ln γνησίως αύξουσα στο (0,). β) Να λυθούν η ανίσωση ln( ) ln( ) π 46. α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση () συν στο [0,π]. β) Να αποδείξετε π συνe e συνe. 47. Να λυθεί η ανίσωση ( ) ( ), όταν () e. 48. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln( e) 4e έχει μοναδική λύση. 49. α) Αν η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ και για κάθε Δ ισχύει (()) g() 0 (), τότε να αποδείξετε ότι η δεν είναι γνησίως μονότονη στο Δ., με Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 0-0 -5-
β) Αν (()) 0 () για κάθε, τότε να δείξετε ότι η δεν είναι γνησίως μονότονη. 50. α) Αν η είναι γνησίως αύξουσα στο, να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() () () είναι επίσης γνησίως αύξουσα στο. β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h() e e είναι γνησίως αύξουσα στο. 5. α) Να αποδείξετε ότι αν η είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ και g γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (Δ), τότε η σύνθεση της με την g είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. β) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση γ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση 5. Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει: g() στο [,]. g() συν συν στο [0,π]. 5 () e 6() για κάθε. Να δείξετε ότι η δεν είναι γνησίως φθίνουσα. 5. Έστω : γνησίως μονότονη συνάρτηση. Αν η C σημεία με τετμημένη και τεταγμένη αντίστοιχα α) να βρείτε το είδος της μονοτονία της. β) Αν g γνησίως φθίνουσα στο, να εξετάσετε ως την μονοτονία της g g τέμνει τους άξονες και y y στα 7 54. Έστω η συνάρτηση () 5 με D [0,). α) Να την εξετάσετε ως την μονοτονία. β) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό σημείο στο οποίο η C τέμνει τον άξονα. γ) Να λύσετε την ανίσωση () 0 στο [0,). 4 και της g. Ακρότατα συνάρτησης 55. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων: () i (), A [,6] ii φ() 7 0 56. Αν η γραφική παράσταση της διέρχεται από τα σημεία A(0,), B(,) και ισχύει 57. Αν () 5, αποδείξτε ότι η συνάρτηση έχει μέγιστη και ελάχιστη τιμή. () 4 6, α) να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία την και β) να προσδιορίσετε τα ακρότατά της. 58. α) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατά τη συνάρτηση () 5. 8 β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () παρουσιάζει μέγιστο. 4 8 59. Έστω οι συναρτήσεις,g : για τις οποίες ισχύει () g() για κάθε. Να βρείτε την ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση των C και 60. Έστω οι συναρτήσεις,g : για τις οποίες ισχύει C. g () (g() ) για κάθε. Αν η γραφική παράσταση της g τέμνει την ευθεία y σε τουλάχιστον ένα σημείο, να δείξετε ότι η παρουσιάζει ολικό ελάχιστο. Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 0-0 -6-
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 7 ο ο.β - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Σημαντικές παρατηρήσεις. Πρόκειται για συναρτήσεις οι οποίες έχουν ένα μόνο πρότυπο A για κάθε τιμή τους, ή σε διαφορετικά (πρότυπα) του πεδίου ορισμού αντιστοιχούν διαφορετικές εικόνες.. [Συνέπεια του ορισμού] Μια συνάρτηση είναι - αν και μόνο αν : η εξίσωση y με y και A, έχει το πολύ μια λύση για κάθε y(a) η εξίσωση () y έχει μοναδική λύση ως προς. κάθε οριζόντια ευθεία ( y k ) τέμνει την γρ. παράσταση C της το πολύ σε ένα σημείο.. Κάθε γνησίως μονότονη συνάρτηση στο πεδίο ορισμού της, είναι και συνάρτηση - σε αυτό. 4. Προσοχή!!! Το αντίστροφο ΔΕΝ ισχύει. Κάθε συνάρτηση - στο πεδίο ορισμού της, δεν είναι απαραιτήτως γνησίως μονότονη συνάρτηση σε αυτό. (βρείτε αντιπαράδειγμα) Ισχύει, όμως ότι: 5. Αν η δεν είναι -, τότε δεν είναι και μονότονη (λόγω αντιθετοαντιστροφής στο ). 6. Μια συνάρτηση μπορεί να είναι - σε υποσύνολα του D, αλλά όχι στο (βρείτε αντιπαράδειγμα) 7. Μια - συνάρτηση έχει το πολύ μια ρίζα (δηλ. η εξίσωση () 0 ***************** D. έχει το πολύ μια λύση). 8. [Συνέπεια του ορισμού] Η αντίστροφη συνάρτηση της : έχει ως πεδίο ορισμού, το σύνολο τιμών (A) της, έχει ως σύνολο τιμών, το πεδίο ορισμού της ισχύει y y Αυτό σημαίνει, ότι αν η αντιστοιχίζει το στο y, τότε η αντιστοιχίζει το y στο και αντιστρόφως. Δηλαδή, η είναι η αντίστροφη διαδικασία της, οπότε για κάθε A και y y για κάθε y Α. A, Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 0-0 --
9. Προσοχή!!! στον συμβολισμό της αντίστροφης 0. Αν η είναι αντιστρέψιμη, τότε και η και το σύμβολο είναι αντιστρέψιμη με.. Αν η δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε δεν είναι - (λόγω αντιθετοαντιστροφής).. Αν η δεν είναι αντιστρέψιμη, τότε δεν είναι γνησίως μονότονη (λόγω αντιθετοαντιστροφής).. Αν η δεν είναι γνησίως μονότονη, τότε δεν συνεπάγεται ότι η δεν είναι αντιστρέψιμη (βρείτε αντιπαράδειγμα). 4. Πολλές φορές ξέρουμε ότι μια συνάρτηση έχει αντίστροφη δεν μπορούμε να βρούμε τον τύπο της. Αυτό συμβαίνει γιατί δεν μπορούμε να λύσουμε αλγεβρικά ως προς την εξίσωση y. Είναι όμως σημαντικό να γνωρίζουμε ότι υπάρχει.. Βασικές Προτάσεις [χρειάζονται απόδειξη]. Εάν η συνάρτηση είναι άρτια τότε δεν είναι -.. Εάν η συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη και περιττή, τότε και η συνάρτηση. Εάν η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο A, τότε και η συνάρτηση μονότονη στο (A) και μάλιστα με το ίδιο είδος μονοτονίας. είναι περιττή. είναι γνησίως y () 4. Τα κοινά σημεία των C και C βρίσκονται από την επίλυση του συστήματος y () αλλιώς της εξίσωσης () (). 5. Αν :Α γνησίως αύξουσα τότε: ή και η είναι γνησίως αύξουσα. i με Α Α, δηλ. τα κοινά σημεία των C και βρίσκονται πάνω στην διχοτόμο της γωνίας του πρώτου και τρίτου τεταρτημορίου, την y C. (Αυτό ισχύει διότι, υπό τις συγκεκριμένες προϋποθέσεις, οι εξισώσεις είναι ισοδύναμες [απόδειξη]). () () και () C 6. Αν :Α γνησίως φθίνουσα τότε οι C και ευθείας y. (βρείτε αντιπαράδειγμα) μπορεί να έχουν κοινά σημεία και εκτός της Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 0-0 --
Μέθοδοι. Για να δείξουμε ότι μία συνάρτηση είναι συνάρτηση - τότε : θεωρούμε δύο τυχαία, A τέτοια ώστε () () και καταλήγουμε στο ότι (χρησιμοποιείται κυρίως όταν μας δίνεται ο τύπος της συνάρτησης) θεωρούμε δύο τυχαία, A τέτοια ώστε και καταλήγουμε στο ότι () () (χρησιμοποιείται κυρίως σε θεωρητικές ασκήσεις). Δείχνουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. Θεωρούμε ένα τυχαίο y και δείχνουμε ότι η εξίσωση y έχει το πολύ μια ρίζα στο Α. Γραφικά. Για να δείξουμε ότι μία συνάρτηση «πολλαπλού τύπου» είναι συνάρτηση - τότε δείχνουμε ότι κάθε κλάδος είναι - (όπως παραπάνω) και στην συνέχεια: δείχνουμε ότι τα σύνολα τιμών, ανά δύο, είναι ξένα μεταξύ τους, είτε δείχνουμε ότι είναι - στην ένωση, ανά δύο, κάθε συνόλου των εν λόγω κλάδων, επιλέγοντας τυχαία, που να ανήκουν στα σύνολα αυτά, ένα στο καθένα, είτε γραφικά κατασκευάζοντας την γραφική παράσταση.. Για να δείξω ότι μια συνάρτηση ΔΕΝ είναι - αρκεί να δείξω ότι: υπάρχουν, A με τέτοια ώστε () () ή ότι υπάρχει ευθεία παράλληλη στον που να τέμνει την C σε περισσότερα του ενός σημεία. 4. Κάνουμε χρήση της ιδιότητας της - συνάρτησης σε επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων. 5. Για την εύρεση της αντίστροφης μίας συνάρτησης, εξασφαλίζουμε το - της συνάρτησης και στη συνέχεια βρίσκουμε το σύνολο τιμών της (A). 6. Για την εύρεση του τύπου της και λύνουμε ως προς. Κατόπιν εναλλάσσουμε το y με το. θέτουμε y 7. Εάν η συνάρτηση είναι περιττή τότε μπορεί να είναι - (π.. (π.. ημ ). αλλά μπορεί και όχι Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 0-0 --
Ασκήσεις Συνάρτηση -. Να εξετάσετε αν είναι - οι παρακάτω συναρτήσεις: e () i () ii () e v), 0 () e v () e vi () -, 0 vii (), <,. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση με (), 0, δεν είναι -. (σχ. Α σελ 56) iv) (). Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το είναι περιοδική, τότε δεν είναι -. 4. Έστω : για την οποία ισχύει: ( )() (), για κάθε. α) Να δειχθεί ότι η είναι - β) Να υπολογισθεί το (0). γ) Να αποδειχθεί ότι δεν είναι άρτια στο. δ) Να λυθεί η εξίσωση ( ) ( 8). 5. Αν η συνάρτηση ορίζεται στο και η είναι -, τότε δείξετε ότι και η είναι -. 6. Να λυθεί η εξίσωση 0-=+ln. 7. Να λυθεί η εξίσωση ln 8. Δίνεται η συνάρτηση : για την οποία ισχύει η σχέση:. Να εξετάσετε αν η είναι -. 5 9. Δίνεται η συνάρτηση (). α) Να δειχθεί ότι η είναι -. β) Να λυθεί η εξίσωση 5. 5 γ) Να λυθεί η ανίσωση e e e. 0. (Γενικές Εξετάσεις 998) Η συνάρτηση : ικανοποιεί τη σχέση έτσι ώστε α) Να δειχθεί ότι η είναι -. β) Να λυθεί η εξίσωση έτσι ώστε με 0. (Γ) ( ) (4 ).. Αν για τη συνάρτηση : ισχύει ( )() () e( )() για κάθε (()) (),. (), να δείξετε ότι: α) Η συνάρτηση είναι -. β) Η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη.. γ) Η συνάρτηση είναι περιττή.. Δίνεται η συνάρτηση : ώστε να ισχύει ( y) () (y) για κάθε,y. α) Να δειχθεί ότι η (0) 0. β) Να δειχθεί ότι η συνάρτηση είναι περιττή. γ) Αν η εξίσωση () 0 έχει μοναδική ρίζα την 0 0, να δείξετε ότι η είναι -. (Δ) Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 0-0 -4-
Αντίστροφη συνάρτηση (σχ. Α σελ 56). Να βρεθούν οι αντίστροφες (αν υπάρχουν) των παρακάτω συναρτήσεων (Β) () i () ln ii () iv) e e v) () v () ln( ) vi () e e 4. Αποδείξτε ότι δεν είναι αντιστρέψιμες οι συναρτήσεις: 4 συν () 5 i () ii () e 5. Αν ()( α ) β, να βρεθούν τα α,β ώστε 6. Αν για μια συνάρτηση : ισχύει, να αποδειχθεί ότι η είναι αντιστρέψιμη. ( )() ()= --, - 4, Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 0-0 -5-. 7. * Θεωρώντας γνωστή την συνάρτηση : να βρείτε την αντίστροφή της (σε συνάρτηση με την () ), αν ισχύει η σχέση ( )() (), για κάθε. 8. Aν να βρείτε: α) το () 9. Αν οι : A B και β) το ώστε (). και g : B είναι αντιστρέψιμες, να αποδειχθεί ότι και η g είναι αντιστρέψιμη. 0. Αν η ορίζεται στο και η είναι αντιστρέψιμη, να αποδειχθεί ότι και η είναι αντιστρέψιμη.. Αν () 0 και (()) () για κάθε 0, να αποδειχθεί ότι: α) υπάρχει η και β) () (Γ). Να βρείτε τις αντίστροφες των παρακάτω συναρτήσεων και να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις τους στο ίδιο σύστημα αξόνων: () i (),. Να βρεθεί η αντίστροφη της συνάρτησης :(0,) για την οποία ισχύει () 5 για κάθε 0. 4. Έστω : (0, + ) με (α β) α β, για κάθε α, β (0,+ ). Να δειχθεί ότι: () 0 i () ii Αν η έχει μοναδική ρίζα την =, να δειχθεί ότι η αντιστρέφεται. 5. Να αποδείξετε ότι η :[,) με () 4 είναι - και να βρείτε την. 6. Να δείξετε ότι αν μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το είναι περιττή και -, τότε και η είναι περιττή. 7. Δίνεται η συνάρτηση () με πεδίο ορισμού A [0,). α) Να την εξετάσετε ως προς τη μονοτονία της. β) Να βρείτε το ελάχιστό της. γ) Να βρείτε την αντίστροφή της. δ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της 8. Δίνεται η συνάρτηση :, για την οποία ισχύει ( )() () () για κάθε. α) Να δείξετε ότι (0) 0. β) Αν () 0 για κάθε 0 τότε να δείξετε ότι η αντιστρέφεται. (Γ) 9. Δίνεται η συνάρτηση () 6 0. (Γ)
α) Να βρείτε την αντίστροφή της. β) Να λυθεί η εξίσωση ( )(). (Γ) 0. Αν για κάθε ισχύει () 4() 9, να δείξετε ότι η δεν αντιστρέφεται.. Έστω η συνάρτηση που είναι γνησίως μονότονη και διέρχεται από τα σημεία A(,5) και B(,). α) Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της. β) Να βρείτε τους αριθμούς (5) και () γ) Να λυθεί η ανισότητα ( )... Να βρείτε την αντίστροφη της () e e,.. Αν για μια συνάρτηση : ισχύει ( y) () (y) για κάθε,y, να δειχθεί ότι: (0) 0 i η είναι περιττή ii (ν) ν (), ν iv) (α) α (),α v) (ρ) ρ (),ρ 4. Δίνεται η συνάρτηση : έτσι ώστε ( y) () (y), (). α) Να δείξετε ότι (0), ( ) για κάθε. () β) Να δείξετε ότι () 0, για κάθε. γ) Αν η είναι -, να δείξετε ότι y y,, y 0. (Δ) 5. Έστω : η οποία είναι γνησίως αύξουσα με (). Να δείξετε ότι: α) Η αντιστρέφεται. β) Η - είναι γνησίως αύξουσα στο. γ) Οι εξισώσεις () () και () είναι ισοδύναμες στο (έχουν το ίδιο σύνολο λύσεων) 6. Να βρείτε τα κοινά σημεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης αντίστροφή της. 7. Δίνεται η συνάρτηση () e e. α) Να δείξετε ότι αντιστρέφεται. β) Να λυθεί η εξίσωση () (). γ) Να λυθεί η εξίσωση ( ln ) (ln ). 8. α) Να βρείτε την αντίστροφη της συνάρτησης (). β) Να κάνετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων γ) Να λυθεί η εξίσωση () (). 9. Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει α) Να δείξετε ότι η είναι -. β) Να βρείτε την. γ) Να εξετάσετε αν το σημείο Ο(0,0) C δ) Να εξετάσετε αν το σημείο Σ(,) C ε) Να δείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα. στ) Να λύσετε την εξίσωση () (),. () (), με (). (Δ) () με την (Δ) Επιμέλεια: Δούδης Δημήτρης ο Ενιαίο Λύκειο Αλεξανδρούπολης 0-0 -6-