ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΨΗΦΙΑΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΣΗΜΑΤΟΣ Δρ. Χαράλαμος Π. Στρουθόουλος Καθηγητής ΣΕΡΡΕΣ, ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Κεφάλαιο - Εισαγγή. Κεφάλαιο - Διακριτά σήματα και συστήματα.. Διακριτά σήματα.... Θεμελιώδη διακριτά σήμα.... Διάρκεια διακριτού σήματος... Περιοδικότητα διακριτού σήματος..4. Συμμετρικά σήματα..5. Αντιστροφή, ολίσθηση και κλιμάκση σήματος..6. Πράξεις διακριτών σημάτν..7. Ανάλυση διακριτού σήματος σε διακριτές κρουστικές ώσεις.. Διακριτά συστήματα... Διασύνδεση συστημάτν... Μνήμη διακριτού συστήματος... Αμεταβλητότητα κατά τη μετατόιση..4. Γραμμικότητα..5. Αιτιότητα..6. Ευστάθεια φραγμένης εισόδου-φραγμένης εξόδου..7. Αντιστρέψιμα συστήματα..8. Αόκριση συστήματος σε κρουστική διέγερση, το συνελικτικό άθροισμα..9. Ιδιότητες της συνέλιξης διακριτών σημάτν... Τρόοι υολογισμού της συνέλιξης διακριτών σημάτν. Κεφάλαιο Περί μετασχηματισμών σημάτν διακριτού χρόνου.. Εισαγγή. Ερμηνεία μετασχηματισμών με διανυσματική ανάλυση. Ερμηνεία μετασχηματισμών με γραμμική άλγεβρα.4 Ο διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT: Discrt Cosi Trsform.4. Ο δισδιάστατος Δ διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου D-DCT: Discrt Cosi Trsform.5 Ερμηνεία και υολογισμοί μετασχηματισμών μιγαδικών σημάτν διακριτού χρόνου. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

4. Κεφάλαιο 4 Ο μετασχηματισμός Fourir 4. Εισαγγή 4. Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir -σημείν 4. Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου. 4.. Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου 4.4 Σχέση της συνέλιξης με το μετασχηματισμό και τον διακριτό μετασχηματισμό Fourir. 5. Κεφάλαιο 5 - Ανάλυση σημάτν και συστημάτν με τον μετασχηματισμό Fourir 5. Εισαγγή. 5. Αόκριση συχνότητας. 5.. Φίλτρα ειλογής συχνοτήτν 5. Ανάλυση της δειγματοληψίας. 6. Κεφάλαιο 6 Ο μετασχηματισμός Ζ 6. Εισαγγή 6. Ορισμός του μετασχηματισμού Ζ 6.. Ιδιότητες του μετασχηματισμού Ζ 6.. Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Ζ, ανάλυση σε μερικά κλάσματα 6. Ο Μονόλευρος μετασχηματισμό Ζ 7. Κεφάλαιο 7 - Ανάλυση συστημάτν με τον μετασχηματισμό Z 7. Εισαγγή. 7. Συνάρτηση μεταφοράς. 7. Έλεγχος ευστάθειας και αιτιότητας LTI συστήματος 7.4 Εκτίμηση του λάτους και της φάσης της αόκρισης συχνότητας 8. Κεφάλαιο 8 Υλοοίηση συστημάτν διακριτού χρόνου 8. Εισαγγή. 8. Ψηφιακά δικτυώματα 8. Περιγραφή συστημάτν FIR 8.4 Περιγραφή συστημάτν IIR Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγγή Η εεξεργασία ψηφιακού σήματος είναι ένας τομέας της ειστήμης και της εφαρμοσμένης μηχανικής ου έχει ανατυχθεί γρήγορα κατά τη διάρκεια τν ροηγούμενν ετών. Αυτή η γρήγορη ανάτυξη είναι αοτέλεσμα τν σημαντικών λεονεκτημάτν της τεχνολογίας τν ψηφιακών υολογιστών και της βιομηχανίας τν ολοκληρμένν κυκλμάτν. Οι ψηφιακοί υολογιστές και τα ψηφιακά κυκλώματα ριν τρεις δεκαετίες ήταν σχετικά ογκώδη και ακριβά και κατά συνέεια η χρήση τους εριορίστηκε σε ειστημονικούς υολογισμούς και εφαρμογές γενικής χρήσης, χρίς ααιτήσεις εκτέλεσης σε ραγματικό χρόνο. Η γρήγορη ανάτυξη στην τεχνολογία ολοκληρμένν κυκλμάτν ου άρχισε αό την μέση κλίμακα ολοκλήρσης Mdium Scl Itgrtio και εξελίχθηκε στην μεγάλη Lrg Scl Itgrtio, και τώρα την ολύ μεγάλη κλίμακα ολοκλήρσης Vr Lrg Scl Itgrtio τν ηλεκτρονικών κυκλμάτν έχει οδηγήσει στην ανάτυξη ιο ισχυρών, μικρότερν, γρηγορότερν και φτηνότερν ψηφιακών υολογιστών και ειδικευμένου ψηφιακού εξολισμού. Αυτά τα φθηνά και σχετικά γρήγορα ψηφιακά κυκλώματα κατέστησαν δυνατόν να κατασκευαστούν ιδιαίτερα ερίλοκα ψηφιακά συστήματα ικανά να εκτελέσουν σύνθετες λειτουργίες εεξεργασίας ψηφιακού σήματος ου είναι συνήθς δύσκολο ή/και άρα ολύ ακριβό να εκτελεστούν για αναλογικά σήματα με συστήματα αναλογικών κυκλμάτν. Ως εκ τούτου ολλοί αό τους στόχους εεξεργασίας σήματος ου εκτελέστηκαν συμβατικά με τα αναλογικά μέσα ραγματοοιούνται σήμερα αό λιγότερο ακριβό και συχνά ιο αξιόιστο ψηφιακό υλικό. Αυτό δεν σημαίνει ότι η εεξεργασία ψηφιακού σήματος είναι η κατάλληλη λύση για όλα τα ροβλήματα εεξεργασίας σήματος. Για σήματα με εξαιρετικά μεγάλο εύρος ζώνης όου ααιτείται η εεξεργασία σε ραγματικό χρόνο, η αναλογική εεξεργασία ή η εεξεργασία οτικού σήματος είναι ίσς η μόνη ιθανή Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

λύση. Εντούτοις, όου τα ψηφιακά κυκλώματα είναι διαθέσιμα και ροσφέρουν ικανοοιητική ταχύτητα ροτιμώνται διότι είναι φτηνότερα και τα συστήματα ιο αξιόιστα και αραμετροοιήσιμα. Ειδικότερα, το υλικό ψηφιακής εεξεργασίας ειτρέει την ενσμάτση λογισμικού ου μορεί να τροοοιήσει ευκολότερα τις λειτουργίες εεξεργασίας σήματος ου εκτελούνται. Κατά συνέεια το ψηφιακό υλικό και το σχετικό λογισμικό αρέχουν έναν μεγαλύτερο βαθμό ευελιξίας στο σχεδιασμό τν συστημάτν. Είσης ειτυγχάνεται συχνά ακρίβεια μεγαλύτερης τάξης με το ψηφιακό υλικό και το λογισμικό έναντι τν αναλογικών κυκλμάτν και τν συστημάτν εεξεργασίας αναλογικού σήματος. Για όλους αυτούς τους λόγους, υήρξε μια εκρηκτική αύξηση της θερίας εεξεργασίας ψηφιακού σήματος και τν εφαρμογών της κατά τη διάρκεια τν τελευταίν δεκαετιών. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διακριτά σήματα και συστήματα. Διακριτά σήματα Διακριτό σήμα ή σήμα διακριτού χρόνου ονομάζουμε μία ακολουθία ραγματικών ή μιγαδικών τιμών, Z και C. Το διακριτό σήμα είναι δηλαδή μία συνάρτηση της οοίας η ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ακέραιος αριθμός. Στην Ψηφιακή Εεξεργασία Σημάτν ΨΕΣ η ανεξάρτητη μεταβλητή ονομάζεται και «χρόνος» αν και μορεί να αριστάνει συντεταγμένες χώρου, αύξοντες αριθμούς κ.α.. Ένα διακριτό σήμα δεν ορίζεται για τιμές του ου δεν είναι ακέραιες. H γραφική αράσταση ενός διακριτού σήματος έχει την μορφή ου δείχνεται στο Σχ... Σχήμα.. Τα διακριτά σήματα ροέρχονται αό α μεγέθη ου αό τη φύση τους είναι αριθμήσιμα,.χ. έσοδα ανά ημέρα, κίνηση ανά ώρα, β μεγέθη ου μεταβάλλονται σε σχέση με μία συνεχή μεταβλητή συνεχή σήματα ύστερα αό μία διαδικασία δειγματοληψίας. Ο ιο συνήθης τρόος μετατροής ενός αναλογικού σήματος σε διακριτό είναι η εριοδική ή ομοιόμορφη δειγματοληψία. Λαμβάνονται δείγματα του σήματος σε διαδοχικές τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής. Αν η αόσταση δύο Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 5

διαδοχικών τιμών είναι σταθερή ίση με Τ s και t είναι η συνάρτηση της συνεχούς μεταβλητής t, το διακριτό σήμα ροκύτει αό τη σχέση α T.. s Η οσότητα f s λέγεται ρυθμός δειγματοληψίας. Η ειλογή κατάλληλης τιμής του T s ρυθμού δειγματοληψίας θα εξετασθεί αργότερα στο σχετικό κεφάλαιο. Αν ένα συνεχές ή διακριτό σήμα αίρνει τιμές αό ένα εερασμένου λήθους σύνολο τιμών, τότε λέγεται σήμα διακριτών τιμών. Μ άλλα λόγια το εδίο τιμών του σήματος είναι ένα σύνολο εερασμένου λήθους στοιχείν. Ένα διακριτό σήμα διακριτών τιμών λέγεται ψηφιακό. Ένα ψηφιακό σήμα εερασμένου μήκους μορεί να αοθηκευτεί στη μνήμη ενός ψηφιακού υολογιστή με ακρίβεια όση η μικρότερη αόσταση ου υάρχει μεταξύ τν τιμών του. Η ψηφιοοίηση μη ψηφιακών σημάτν ααιτεί την δειγματοληψία του εδίου ορισμού τους και τον κβαντισμό του εδίου τιμών τους ός θα δούμε σε εόμενο κεφάλαιο.... Θεμελιώδη διακριτά σήματα Ακολούθς θα αναφέρουμε μερικά διακριτά σήματα ου χρησιμοοιούνται ευρές στην ψηφιακή εεξεργασία σημάτν. Τέτοια σήματα είναι η διακριτή κρουστική ώση, η μοναδιαία βηματική ακολουθία, η εκθετική ακολουθία, η μιγαδική ακολουθία, η μοναδιαία γραμμική ακολουθία. Η διακριτή συνάρτηση δέλτα ή διακριτή κρουστική ώση συμβολίζεται δ και ορίζεται αό τη σχέση για δ... για Η γραφική της αράσταση φαίνεται στο Σχ... Σχήμα... Η διακριτή κρουστική ώση δ. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 6

Η μοναδιαίαβηματική ακολουθία συμβολίζεται u και ορίζεται αό τη σχέση για u... για < Η γραφική της αράσταση φαίνεται στο Σχ... Σχήμα... Η μοναδιαία βηματική ακολουθία u. Η εκθετική ακολουθία ορίζεται αό τη σχέση, C... Η γραφική της αράσταση για διαφορετικές τιμές του α, φαίνεται στο Σχ... α Η εκθετική ακολουθία για α.8. β Η εκθετική ακολουθία για α.. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 7

Σχήμα... γ Η εκθετική ακολουθία για α-.. Ιδιαίτερο ενδιαφέρον αρουσιάζει η εκθετική ακολουθία όταν, R. Τότε ονομάζεται μιγαδική εκθετική ακολουθία και βάσει της ταυτότητας του Eulr ισχύει η σχέση cos si...4 Η μιγαδικές εκθετικές ακολουθίες είναι η βάση της ανάλυσης Fourir ου θα αρουσιάσουμε σε ακόλουθο κεφάλαιο.... Διάρκεια διακριτού σήματος.. Ένα διακριτό σήμα λέγεται εερασμένου μήκους αν οι τιμές του μηδενίζονται για κάθε τιμή του ου δεν ανήκει σε ένα εερασμένο διάστημα [L,R], αν δηλαδή ικανοοιείται η σχέση, [ L, R], L, R Z... Στις λείστες τν εριτώσεν L, R έχουν μη μηδενικές τιμές. Η έκταση του διαστήματος [L,R] λέγεται μήκος του σήματος και είναι ΝR-L... Σήματα ου δεν είναι εερασμένου μήκους ονομάζονται αείρου μήκους. Ένα διακριτό σήμα αείρου μήκους λέγεται σήμα δεξιάς λευράς αν ικανοοιεί τη σχέση Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 8

, < L... και αριστερής λευράς αν, > R...4 Τέλος, αν ένα διακριτό σήμα αείρου μήκους δεν είναι δεξιάς ή αριστερής λευράς λέγεται αμφίλευρο. Τα σήματα εερασμένου μήκους και τα σήματα δεξιάς ή αριστερής λευράς μορούν να εριγραφούν αλγεβρικά με κατάλληλη χρήση διακριτών μοναδιαίν βηματικών ακολουθιών. Αν σήμα αείρου μήκους τότε μορεί να ορισθεί το εερασμένου μήκος σήμα στο διάστημα [L,R] ς εξής [ u L u R ]...5 ή [ u L u R ]...6 Το σήμα u...7 είναι δεξιάς λευράς με, <... Περιοδικότητα διακριτού σήματος Ένα σήμα λέγεται εριοδικό αν υάρχει θετικός ακέραιος Ν ώστε... Ο ακέραιος Ν λέγεται ερίοδος του σήματος. Είναι ροφανές ότι αν Ν η ερίοδος του σήματος, τότε οι τιμές Ν, Ν και κάθε θετικό ακέραιο ολλαλάσιο του Ν είναι ερίοδοι του σήματος. Η μικρότερη τιμή της εριόδου ονομάζεται ρτεύουσα ερίοδος. Αν δεν υάρχει θετικός ακέραιος Ν ώστε να ισχύει η σχέση..., το σήμα λέγεται μη εριοδικό. Παράδειγμα εριοδικού διακριτού σήματος είναι το σήμα cos με ερίοδο Ν5... 5 Παράδειγμα μη εριοδικού σήματος είναι το u.....4. Συμμετρικά σήματα Ένα ραγματικό διακριτό σήμα λέγεται άρτιο αν ισχύει η σχέση Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 9

, Z..4. Η γραφική αράσταση ενός άρτιου σήματος αρουσιάζει αξονική συμμετρία ς ρος τον κάθετο άξονα. Για αράδειγμα το σήμα είναι άρτιο με γραφική αράσταση ός φαίνεται στο Σχ...4.. Σχήμα..4... Ένα ραγματικό διακριτό σήμα λέγεται εριττό αν ισχύει η σχέση, Z..4. Η γραφική αράσταση ενός εριττού σήματος αρουσιάζει κεντρική συμμετρία ς ρος την αρχή τν αξόνν. Για αράδειγμα το σήμα είναι εριττό με γραφική αράσταση ός φαίνεται στο Σχ...4.. Σχήμα..4.. Κάθε ραγματικό σήμα μορεί να γραφεί σαν άθροισμα ενός άρτιου και ενός εριττού σήματος. Πράγματι αν α άρτιο και εριττό σήμα θα ρέει να ισχύουν οι σχέσεις..4. α α α Αό την ρόσθεση τν..4. και..4.4 ροκύτει ότι..4.4 Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

α..4.6 Αό την αφαίρεση τν..4. και..4.4 ροκύτει ότι..4.7 Ένα μιγαδικό διακριτό σήμα λέγεται συζυγές συμμετρικό αν ισχύει η σχέση, Z..4.8 Ένα μιγαδικό διακριτό σήμα λέγεται συζυγές αντισυμμετρικό αν ισχύει η σχέση, Z..4.9 Κάθε μιγαδικό σήμα μορεί να γραφεί σαν άθροισμα ενός συζυγούς συμμετρικού και ενός συζυγούς αντισυμμετρικού σήματος. Η αόδειξη αφήνεται ς άσκηση στον αναγνώστη...5. Αντιστροφή, ολίσθηση και κλιμάκση σήματος Εάν σε ένα σήμα εφαρμοσθεί ένας μετασχηματισμός στην ανεξάρτητη μεταβλητή, f : Z Z, ροκύτει το σήμα f. Αν f- τότε λέμε ότι το σήμα έχει υοστεί αντιστροφή και μετασχηματίζεται στο σήμα -...5. Η γραφική αράσταση του - είναι συμμετρική ς ρος τον κάθετο άξονα με αυτήν του Σχ...5.. Αν f-, τότε λέμε ότι το σήμα έχει υοστεί μετατόιση ή ολίσθηση κατά και μετασχηματίζεται στο σήμα -...5. Η γραφική αράσταση του - ροκύτει με μετατόιση της γραφικής αράστασης του κατά, στον οριζόντιο άξονα Σχ...5.. Γενικά, αν εφαρμοσθεί ολίσθηση ενός σήματος και ακολούθς αντιστροφή του, ροκύτει διαφορετικό αοτέλεσμα αό ότι θα ροέκυτε αό την εφαρμογή ρώτα αντιστροφής του και ακολούθς ολίσθησης. Αυτό φαίνεται αό ακόλουθες σχέσεις z z..5. z z..5.4 Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

Το αοτέλεσμα θα ήταν ίδιο αν η ολίσθηση σε μία αό τις δύο διαδικασίες γίνει κατά. Σχήμα..5. Σχήμα..5.. Τελικά με τις ράξεις τις ολίσθησης και της αντιστροφής αό το αρχικό σήμα ροκύτουν τα σήματα -,, -, --. Στο Σχ...5. δείχνεται ένα αράδειγμα τν γραφικών αραστάσεν τν σημάτν αυτών σε σχέση με την γραφική αράσταση του. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

Κλιμάκση υφίσταται ένα σήμα αν fμ ή f/μ, όου Μ ακέραιος. Στην ρώτη ερίτση το διακριτό σήμα λέμε ότι υέστη υοδειγματοληψία και στη δεύτερη υερδειγματοληψία. Κατά την υοδειγματοληψία ροκύτει το σήμα M..5.5 και κατά την υερδειγματοληψία το σήμα /Μ αν / M Z..5.6 Για τις μη ακέραιες τιμές του ηλίκου /M το σήμα /M δεν ορίζεται. Στο Σχ...5.4. δείχνεται η γραφική αράσταση υοδειγματοληψίας ενός σήματος. Σχήμα..5. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

Σχήμα..5.4..6. Πράξεις διακριτών σημάτν. Μεταξύ τν ακολουθιών δύο διακριτών σημάτν μορούν να εκτελεστούν οι βασικές ράξεις μεταξύ τν τιμών τους ου αντιστοιχούν στην ίδια τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής και να ροκύψει μία νέα ακολουθία ου λέμε ότι είναι το αοτέλεσμα της ράξης μεταξύ τν δύο αρχικών ακολουθιών. Έτσι ορίζονται οι ράξεις ου φαίνονται στον ακόλουθο ίνακα Πρόσθεση Αφαίρεση Πολλαλασιασμός Διαίρεση - * /, C Πίνακας..6....7. Ανάλυση διακριτού σήματος σε διακριτές κρουστικές ώσεις Η διακριτή ώση δ μορεί να χρησιμοοιηθεί για την εριγραφή ενός διακριτού σήματος σύμφνα με τη σχέση Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 4

δ - - L δ δ δ δ - δ - L..7. Αό την αραάν σχέση μορούμε να εράσουμε σε διανυσματική ερμηνεία τν διακριτών σημάτν και της κρουστικής ώσης. Ας θερήσουμε το εερασμένου μήκους σήμα με μήκος Ν,,, L, R και την διανυσματική εριγραφή του με τον ίνακα στήλης [,, ] T...7. Σύμφνα με την σχέση..7. δ - δ δ - δ -..7. Για,, οι δ, δ-, δ- εριγράφονται διανυσματικά αό τους ίνακες στήλης ς εξής: δ, ήτοι διανυσματικά δ [,,] Τ, δ -, ήτοι διανυσματικά δ [,,] Τ,..7.4 δ -, ήτοι διανυσματικά δ [,,] Τ Αό τις..7. και..7.4 οδηγούμαστε στην γραφή τν ακόλουθν σχέσεν δ δ δ..7.5 [ δ δ δ ] Ι..7.6 Διαιστώνουμε ότι υάρχει ομοιότητα τν σχέσεν..7. και..7.5. Θερώντας τα δ, δ, δ ς τα μοναδιαία διανύσματα στον τρισδιάστατο Ευκλείδειο Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 5

χώρο Ε, το εερασμένο διακριτό σήμα με μήκος Ν ανααρίσταται αό το διάνυσμα ός φαίνεται στο Σχ...7.. Σχήμα..7.. Οι συντεταγμένες του διανύσματος είναι οι ροβολές του στα μοναδιαία διανύσματα δ, δ, δ και δίνονται αό τις σχέσεις του εστερικού του γινομένου με αυτά ς ακολούθς δ [ ] δ..7.7 Τ [ ] δ-..7.8 Τ δ [ ] δ -..7.9 Τ δ και γενικά για,, δ Τ δ - δ δ - δ -..7. Προέκυψε δηλαδή η σχέση..7. ου είναι η ίδια με την..7.. Στο αράδειγμα αυτό το μήκος του διακριτού σήματος είναι Ν και με αριστερό δείκτη L και δεξιό R. Αν ο L άρει οσοδήοτε μικρή τιμή και R οσοδήοτε μεγάλη μορούμε ούμε ότι κάθε διακριτό σήμα είναι διάνυσμα σε ένα χώρο με Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 6

οσοδήοτε μεγάλο λήθος διαστάσεν άειρο λήθος διαστάσεν και συντεταγμένες ροβολές στα μοναδιαία διανύσματα δ- τις τιμές ός φαίνεται και αό την..7.. Ας σημειθεί ακόμη ότι T αν m δm - δ - δ m δ.7.. αν m δηλαδή οι κρουστικές διακριτές ώσεις ς διανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους με μέτρο μονάδα. Αοτελούν δηλαδή μία ορθοκανονική βάση. Σε εόμενο κεφάλαιο θα αναφέρουμε και άλλες ορθοκανονικές και ορθομοναδιαίες βάσεις και θα δούμε την ανάλυση τν διακριτών σημάτν σε αυτές. Η ανάλυση αυτή αφορά διάφορους μετασχηματισμούς ός ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir, ο μετασχηματισμός του συνημιτόνου κ.α... Διακριτά συστήματα Σε ολλές εφαρμογές αό ένα διακριτό σήμα ροκύτει ένα διακριτό σήμα σύμφνα με κάοιο αλγόριθμο σαφές και εερασμένο σύνολο ράξεν ή εντολών. Στη ερίτση αυτή ο αλγόριθμος ονομάζεται διακριτό σύστημα. Το σήμα λέγεται σήμα εισόδου iput sigl ή σήμα διέγερσης cittio sigl του συστήματος και το σύστημα σήμα εξόδου output sigl ή σήμα αόκρισης rspos sigl του συστήματος. Λέμε ακόμη ότι το σήμα μετασχηματίζεται στο σήμα και ονομάζουμε το σύστημα μετασχηματισμό trsformtio του στο. Η γενική μαθηματική έκφραση για ένα σύστημα είναι T[].. όου το σύμβολο Τ συμβολίζει το μετασχηματισμό και συχνά ονομάζεται τελεστής oprtor. Το σύστημα λειτουργεί ς μία αεικόνιση τν τιμών του σήματος εισόδου στις τιμές του σήματος εξόδου. Η εριγραφή της αεικόνισης μορεί να γίνει ανάλογα με τη φύση της, με χρήση αλγεβρικών αραστάσεν, ινάκν αντιστοίχησης loo up tbls ή εντολών. Ακολούθς αναφέρονται αραδείγματα συστημάτν με διαφορετικό τρόο ορισμού. Α αλγεβρικά: [ ] si Β Με ίνακα αντιστοίχησης Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 7

4 - -.4 Αλλιώς Γ Για με μήκος Ν, το αοτελείται αό τις τιμές του ταξινομημένες σε φθίνουσα σειρά. αλγόριθμος φθίνουσας ταξινόμησης. Ένα σύστημα διαγραμματικά αριστάνεται ς ακολούθς Τ[] ή T... Διασύνδεση συστημάτν Όταν η έξοδος ενός συστήματος αοτελεί είσοδο ενός άλλου το λέμε ότι τα δύο συστήματα είναι συνδεδεμένα σε σειρά.σχ... Τ [] Τ [] z Σχήμα... Όταν οι έξοδοι δύο συστημάτν αθροιστούν τότε λέμε ότι έχουν συνδεθεί αράλληλα Σχ... Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 8

Τ [] Τ [] Σχήμα...... Μνήμη διακριτού συστήματος Σύστημα χρίς μνήμη λέγεται το σύστημα ου για κάθε τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής, η έξοδός του εξαρτάται μόνο αό την αντίστοιχη τιμή της εισόδου και όχι αό ροηγούμενες ή εόμενες τιμές της. Σε διαφορετική ερίτση το σύστημα λέγεται σύστημα με μνήμη. Για αράδειγμα το σύστημα ου δίνεται αό τη σχέση... είναι σύστημα χρίς μνήμη. Αντίθετα τα συστήματα ου δίνονται αό τις σχέσεις... και... είναι συστήματα με μνήμη. Το σύστημα ου εριγράφεται αό τη σχέση... λέμε ότι ααιτεί εερασμένη μνήμη. Αντίθετα το σύστημα ου εριγράφεται αό τη σχέση... λέμε ότι ααιτεί αεριόριστη μνήμη.... Αμεταβλητότητα κατά τη μετατόιση Αμετάβλητο κατά τη μετατόιση σύστημα ΑΚΜ, TI: Tim Ivrit, SI: Shift ivrit λέγεται ένα σύστημα του οοίου η έξοδος εξαρτάται μόνο αό το σήμα εισόδου και όχι αό την χρονική στιγμή ου αυτό εισήλθε στο σύστημα. Δηλαδή, αν η είσοδος καθυστερήσει κατά, τότε η έξοδος θα είναι η καθυστερημένη κατά. Μαθηματικά αυτό εκφράζεται ς ακολούθς. Έστ ότι το σύστημα δίνεται αό τη σχέση Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 9

T[ ]... η ολισθημένη είσοδος είναι... και η αντίστοιχη έξοδος T[ ] T[ ]... Το σύστημα Τ[.] είναι χρονικά αμετάβλητο κατά τη μετατόιση αν...4 Δηλαδή το σύστημα Τ[.] είναι χρονικά αμετάβλητο κατά τη μετατόιση αν ισχύει η σχέση: T[ ]...5 Η ροηγούμενη σχέση...5 ίσς δημιουργεί στον αναγνώστη την αίσθηση ότι ρέει να αληθεύει άντοτε αφού ροκύτει αό την..., αν θέσει όου την οσότητα -. Αυτό θα ήταν αληθές αν ο τελεστής Τ εριέγραφε μία συνάρτηση με μοναδική ανεξάρτητη μεταβλητή την. Αυτό όμς δεν συμβαίνει στη γενική ερίτση. Ας δούμε αραδείγματα χρονικά αμετάβλητν ή μεταβαλλόμενν κατά τη μετατόιση συστημάτν. Παράδειγμα Π... Έστ το σύστημα ου δίνεται αό τη σχέση K...6 και εριγράφει έναν ενισχυτή λάτους με κέρδος Κ ου μένει σταθερό κατά τη διάρκεια λειτουργίας του. Για την μετατοισμένη είσοδο...7 η αντίστοιχη έξοδος είναι K K...8 Η [] μετατοισμένη κατά δίνεται αό τη σχέση K...9 Αό τις...8 και...9 ροκύτει ότι T[ ] άρα το σύστημα είναι χρονικά αμετάβλητο. Παράδειγμα Π... Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

Έστ ότι στον ενισχυτή του ροηγούμενου αραδείγματος το κέρδος Κ μεταβάλλεται λόγ δυσλειτουργίας υερθέρμανση σύμφνα με τη σχέση K. 9. Το σύστημα θα δίνεται αό τη σχέση.9... Για την μετατοισμένη είσοδο... η αντίστοιχη έξοδος είναι.9.9 Η [] μετατοισμένη κατά δίνεται αό τη σχέση.9...... Αό τις... και... ροκύτει ότι T[ ] άρα το σύστημα είναι χρονικά μεταβαλλόμενο. Παράδειγμα Π... Έστ το σύστημα ου δίνεται αό τη σχέση...4 Για την μετατοισμένη είσοδο...5 η αντίστοιχη έξοδος είναι...6 Η [] μετατοισμένη κατά δίνεται αό τη σχέση...7 Αό τις...6 και...7 ροκύτει ότι T[ ] άρα το σύστημα είναι χρονικά μεταβαλλόμενο...4. Γραμμικότητα Ένα σύστημα λέγεται γραμμικό Lir αν για αυτό ισχύουν οι ιδιότητες της ομογένειας και της εαλληλίας. Η αρχή της ομογένειας ισχύει για ένα διακριτό σύστημα όταν ισχύει η ακόλουθη σχέση T[ c ] c T[ ]..4. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

όου c είναι γενικά μιγαδική σταθερά Η αρχή της εαλληλίας ισχύει για ένα σύστημα όταν ισχύει η σχέση T ] T[ ] T[ ]..4. [ Η γραμμικότητα ενός συστήματος μορεί να εριγραφεί με μία μαθηματική σχέση ς ακολούθς T [ c c ] c T[ ] c T[ ]..4. Παράδειγμα Π...4. Έστ το σύστημα ου δίνεται αό τη σχέση [ ]..4.4 T [ c ] [ c c ]..4.5 c T[ ] c [ ] [ c c ]..4.6 Αό τις..4.5 και..4.6 έεται ότι το σύστημα έχει την ιδιότητα της ομογένειας. T [ ] [ ]..4.7 T [ ] T[ ] [ ] [ ] [ ]..4.8 Αό τις..4.7 και..4.8 έεται ότι το σύστημα έχει την ιδιότητα της εαλληλίας. Δεδομένου ότι ισχύουν η ομογένεια και η εαλληλία το σύστημα είναι γραμμικό. Παράδειγμα Π...4. Έστ το σύστημα ου δίνεται αό τη σχέση..4.9 T [ c ] c..4. c T[ ] c [ ] c c..4. Αό τις..4. και..4. έεται ότι το σύστημα δεν έχει την ιδιότητα της ομογένειας. T ]..4. [ Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

T ] T[ ]..4. [ Αό τις..4. και..4. έεται ότι το σύστημα δεν έχει την ιδιότητα της εαλληλίας. Δεδομένου ότι δεν ισχύουν η ομογένεια και η εαλληλία το σύστημα δεν είναι γραμμικό. Εύκολα μορεί να δειχθεί ότι ένα σύστημα της μορφής K..4. όου α σταθερός όρος είναι γραμμικό και αμετάβλητο κατά την μετατόιση ΓΑΚΜ, LTI: Lir Tim Ivrit. Για αράδειγμα το σύστημα είναι LTI. Γραμμικό και αμετάβλητο κατά την μετατόιση μορεί να είναι είσης ένα σύστημα ου εριγράφεται αό μια εξίσση διαφορών της μορφής Λ λ K β λ..4.4 λ Για αράδειγμα ένα σύστημα ου ικανοοιεί την σχέση.5 μορεί να είναι LTI. Εάν στο αριστερό μέρος της..4.4 κρατήσουμε μόνο τον όρο η ακόλουθη σχέση μορεί να εριγράφει ένα σύστημα LTI K Λ β λ β λ λ, β λ..4.5 β λ Το σύστημα.5 μορεί να είναι LTI. Οι σχέσεις..4.4 και...4.5 αοτελούν έναν αναδρομικό τρόο εριγραφής τν συστημάτν...5 Αιτιότητα Ένα σύστημα λέγεται αιτιατό cusl αν η τιμή της εξόδου εξαρτάται ενδεχομένς αό την τιμή του σήματος εισόδου και ροηγούμενές της τιμές, φυσικός αριθμός. Διαφορετικά το σύστημα λέγεται μη αιτιατό ή αντιαιτιατό. Για αράδειγμα το σύστημα [ ] είναι αιτιατό. Αντίθετα το σύστημα [ ] είναι μη αιτιατό. Τα αιτιατά συστήματα καλούνται ροβλέψιμα. Όταν η μεταβλητή αφορά τον ραγματικό χρόνο rl tim το Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

σύστημα είναι μόνο αιτιατό αφού οι τιμές της εισόδου μετά τη τρέχουσα χρονική στιγμή είναι άγνστες. Εάν όμς η μεταβλητή αφορά τον χώρο θέσεις μνήμης, αύξοντες αριθμούς κ.λ.. είναι δυνατό το σύστημα να είναι αιτιατό ή αντιαιτιατό. Ένα σύστημα εεξεργασίας ηχοσήματος σε ραγματικό χρόνο είναι μόνο αιτιατό. Ένα σύστημα ου αοθηκεύει τις τιμές ενός ηχοσήματος και ακολούθς τις εεξεργάζεται μορεί να είναι αιτιατό ή μη αιτιατό...6. Ευστάθεια φραγμένης εισόδου-φραγμένης εξόδου Ένα σύστημα λέγεται ότι είναι ευσταθές υό την έννοια της φραγμένης εισόδουφραγμένης εξόδου, αν για οοιαδήοτε αολύτς φραγμένο σήμα εισόδου το σήμα εξόδου είναι και αυτό αολύτς φραγμένο. Δηλαδή για οοιοδήοτε A R : A, Z B R : T[ ] B, Z..6. το σύστημα Τ[.] είναι ευσταθές φραγμένης εισόδου-φραγμένης εξόδου...7. Αντιστρέψιμα συστήματα Ένα σύστημα λέγεται αντιστρέψιμο αν μορεί να ροσδιοριστεί μοναδικά το σήμα εισόδου αό το σήμα εξόδου. Για να συμβαίνει αυτό θα ρέει να ισχύει η συνθήκη..7...8. Αόκριση συστήματος σε κρουστική διέγερση, το συνελικτικό άθροισμα Την έξοδο ενός συστήματος όταν είσοδος του είναι η διακριτή κρουστική ώση αοκαλούμε αόκριση σε κρουστική διέγερση και την συμβολίζουμε ς h h T[ δ ]..8. Έστ το γραμμικό ανεξάρτητο κατά την μετατόιση Lir Sift Ivrit: LSI ή αλλιώς Lir Tim Ivrit: LTI σύστημα T. Σύμφνα με τη σχέση..7. η έξοδος του συστήματος θα είναι - T[ ] T[ δ - ]..8. Εειδή το σύστημα είναι γραμμικό ισχύει η αρχή της εαλληλίας και της ομογένειας και ς εκ τούτου Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 4

- T[ δ - ] T[ δ - ]..8. - - T[δ - ]..8.4 - h..8.5 Αν το σύστημα είναι ανεξάρτητο κατά την μετατόιση τότε h h..8.6 Αό τις σχέσεις..8.5 και..8.6 συνεάγεται ότι η έξοδος ενός γραμμικού ανεξάρτητο κατά τη μετατόιση συστήματος σε οοιαδήοτε είσοδο, δίνεται αό τη σχέση h..8.7 Η σχέση..8.7 λέγεται και συνελικτικό άθροισμα τν ακολουθιών, και h Γενικά, για δύο ακολουθίες, και το συνελικτικό άθροισμα τους συμβολίζεται ή { } και δίνεται αό τη σχέση { }..8.8 Συχνά χρησιμοοιείται η ονομασία συνέλιξη τν διακριτών σημάτν εννοώντας το συνελικτικό άθροισμα. Αό τη σχέση..8.7 συμεραίνουμε ότι αν γνρίζουμε την αόκριση σε κρουστική διέγερση ενός συστήματος LTI, μορούμε να υολογίσουμε την έξοδό του σε οοιαδήοτε είσοδο αό τη σχέση * h.8.8.9 Για το λόγο αυτό λέμε ότι η αόκριση σε κρουστική διέγερση ενός συστήματος LTI το ροσδιορίζει λήρς. Αό την αόκριση σε κρουστική διέγερση ενός LTI συστήματος ελέγχεται η αιτιότητα και η ευστάθειά του. Συγκεκριμένα αφού σε ένα αιτιατό σύστημα η έξοδος δεν εξαρτάται αό τιμές τις εισόδου ου ακολουθούν την τιμή τότε η αόκρισή του σε κρουστική διέγερση είναι ένα σήμα δεξιάς λευράς διότι δεν εξαρτάται αό τιμές δ, >. Ένα σύστημα LTI με αόκριση σε κρουστική διέγερση h είναι ευσταθές ΒΙΒΟ αν ισχύει η συνθήκη h R.8.8. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 5

Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 6 Αόδειξη Για κάθε φραγμένο σήμα εισόδου ισχύει ότι Z A R A, :. Αν h η αόκριση σε κρουστική διέγερση ενός LTI συστήματος για την έξοδό του θα ισχύει ότι h A A h h h h.8.8. Άρα για να είναι BIBO ευσταθές το σύστημα ρέει και αρκεί να ισχύει η.8.8....9.ιδιότητες της συνέλιξης διακριτών σημάτν Η συνέλιξη δύο ακολουθιών είναι μια ράξη τελεστής μεταξύ δυο ακολουθιών. Είναι γραμμικός τελεστής και έχει την αντιμεταθετική, ροσαιτεριστική και ειμεριστική ς ρος την ρόσθεση ιδιότητα. Η αντιμεταθετική ιδιότητα..9. Αόδειξη, θέτοντας m-..9. m m m m m m..9. Η ροσεταιριστική ιδιότητα ] * [ ] [ z z..9.4 Η αόδειξη γίνεται με κατάλληλη αντικατάσταση τν δεικτών και αφήνεται ς άσκηση στον αναγνώστη. Αν δύο συστήματα LTI με αοκρίσεις κρουστικής διέγερσης h και h είναι συνδεδεμένα σε σειρά, η ροσεταιριστική ιδιότητα έχει σαν αοτέλεσμα τα δύο συστήματα να ισοδυναμούν με ένα σύστημα με κρουστική αόκριση h h * h Η ειμεριστική ιδιότητα ς ρος την ρόσθεση

Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 7 ] ] [ z z..9.5 Η αόδειξη αφήνεται ς άσκηση στον αναγνώστη. Αν δύο συστήματα LTI με αοκρίσεις κρουστικής διέγερσης h και h είναι συνδεδεμένα αράλληλα, η ειμεριστική ιδιότητα έχει σαν αοτέλεσμα τα δύο συστήματα να ισοδυναμούν με ένα σύστημα με κρουστική αόκριση h h h.... Τρόοι υολογισμού της συνέλιξης διακριτών σημάτν Ο υολογισμός της συνέλιξης δύο ακολουθιών ου ορίζονται αλγεβρικά μορεί να γίνει με χρήση ταυτοτήτν ου αφορούν αθροίσματα όρν και όρια σύγκλισης ακολουθιών ός στα ακόλουθα αραδείγματα Να υολογισθεί η συνέλιξη u * u- u u u u u u... u u Να υολογισθεί η συνέλιξη ] [ u u, u u u u...... ] [... Αν και σήματα με εερασμένα μήκη Ν και Ν, στα διαστήματα [L, R ] και [L, R ] αντίστοιχα η συνέλιξη τους θα είναι με R L... και R L...4 L R...5 Αό τις σχέσεις... και...4 ροκύτει με ρόσθεση κατά μέλη ότι

και L L R R...6 m L, R mi R, L...7 Συνεώς το αοτέλεσμα της συνέλιξης τν δύο σημάτν θα είναι ένα σήμα με εερασμένο μήκος ΝΝ Ν - στο διάστημα [L L, R R ] και τιμές mi R, L m L. R...8 Για την εκτέλεση της συνέλιξης σημάτν εερασμένου μήκους ου εριγράφονται αό τις αριθμητικές τιμές τους, οργανώνουμε τους υολογισμούς γράφοντας αρχικά τα σήματα ός ααιτεί ο ορισμός του συνελικτικού αθροίσματος για κάθε τιμή του στο διάστημα [L L, R R ] και ακολούθς εκτελούμε τις ράξεις. Για αράδειγμα αν [ 4] με L και [ -] με L οι τιμές τν μεταβλητών, και τν σημάτν και - φαίνονται στoν Πιν..., του οοίου οι γραμμοσκιασμένες εριοχές εριέχουν τις τιμές εκτέλεσης ράξεν για τον υολογισμό της συνέλιξης. Η σκιασμένη εριοχή εριέχει τα γινόμενα με αράγοντες όλους τους συνδυασμούς ανά δύο, τν τιμών τν δύο σημάτν. Αό αυτές τις τιμές η διαδικασία της ολίσθησης καθορίζει οια γινόμενα θα χρησιμοοιηθούν στο υολογισμό του συνελικτικού αθροίσματος για κάθε τιμή της ακέραιας μεταβλητής Η διαδικασία μορεί να συμτυχθεί ός φαίνεται στον Πιν... -4 - - - 4 5 4 - { * } - -- - - - - - 5 - - - - - - 4 9 4 4- - -4 5 5 5- - 4 - -4 6 6- - Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 8

7 7- Πίνακας... Πίνακας... Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ Περί μετασχηματισμών σημάτν διακριτού χρόνου.. Εισαγγή Υάρχει ένα λήθος μετασχηματισμών ου χρησιμοοιούνται στην ανάλυση τν σημάτν και τν συστημάτν. Οι ιο βασικοί είναι, ο μετασχηματισμός Fourir και ο μετασχηματισμός Ζ. Άλλοι μετασχηματισμοί είναι αυτοί του συνημιτόνου του ημιτόνου, ο Sort Τim Fourir Trsform και τν κυματιδίν wvlts. Οι μετασχηματισμοί Fourir, ημιτόνου και συνημιτόνου, είναι μετασχηματισμοί τν διακριτών σημάτν σε ορθοκανονικές και ορθομοναδιαίες βάσεις Υάρχει λούσια βιβλιογραφία για τον ορισμό τν μετασχηματισμών αυτών και την αυστηρή μαθηματική τους διερεύνηση. Εδώ θα εστιάσουμε στην ερμηνεία τους ώστε να βοηθηθεί ο αναγνώστης να αντιληφθεί γεμετρικά και αραστατικά την βασική ιδέα αό τις συνήθεις μαθηματικές εκφράσεις τους. Αυτό θα βοηθήσει σημαντικά στην δυνατότητά του να κατανοήσει την χρήση τν μετασχηματισμών αυτών σε διάφορα εδία σχεδιασμός φίλτρν, συμίεση καθώς και να ροχρήσει στην κατανόηση της φύσης ιο σύνθετν μετασχηματισμών ός τα κυματίδια. Ερμηνεία μετασχηματισμών με διανυσματική ανάλυση. Ας υοθέσουμε λοιόν για λόγους αλότητας και για να έχουμε τη δυνατότητα γεμετρικής ανααράστασης, το σήμα με εερασμένο μήκος Σχ... και ραγματικές τιμές [], []. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

Σφάλμα! u r r θ u r θ u r Σχήμα... Το άνυσμα r με συντεταγμένες, με [], [], γράφεται με την άλγεβρα τν ανυσμάτν σύμφνα με τον κανόνα του αραλληλογράμμου ς r r r.. u u όου u r και u r ανύσματα κάθετα μεταξύ τους με μήκος τη μονάδα και συντεταγμένες, και, αντίστοιχα στο ορθογώνιο σύστημα αξόνν ου ορίζουν. Εειδή τα u r και u r είναι κάθετα μεταξύ τους ο κανόνας του αραλληλογράμμου έχει ς αοτέλεσμα οι τιμές και να είναι οι ροβολές του r σ αυτά. Ακόμη, εειδή τα u r και u r έχουν μέτρο τη μονάδα, οι συντεταγμένες, δίνονται αό τις σχέσεις:.. r cosθ και r cosθ Υενθυμίζεται ότι για το εστερικό γινόμενο τν ανυσμάτν r, και r, ισχύει.. r r cos θ. Εειδή τα u r και u r έχουν μέτρο τη μονάδα μοναδιαία ανύσματα ισχύει:..4 r u r και r u r Ζεύγη κάθετν διανυσμάτν με μήκος μονάδα υάρχουν αείρου λήθους, για αράδειγμα τα: Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

, και,,, και,,,- με,. u r r c g r c g r g r u r g r u r u r Έστ g r g, g και g r g, g διανύσματα κάθετα μεταξύ τους με μήκος μονάδα έκαστο ός δείχνει το Σχ... Το άνυσμα r γράφεται σαν άθροισμα r r r..5 cg cg όου c και c οι ροβολές του r στα g r και g r. Εειδή τα g r και g r είναι κάθετα μεταξύ τους ο κανόνας του αραλληλογράμμου έχει ς αοτέλεσμα οι τιμές c, c να είναι οι ροβολές του r σ αυτά. Ακόμη, εειδή τα g r και g r έχουν μέτρο τη μονάδα, οι συντεταγμένες c, c δίνονται αό τις σχέσεις:..6 c r g r και c r g r r r r Αντικαθιστώντας το u uαό την.. στις..6 r r r r r r r..7 c u u g u g ug g g και αν χρησιμοοιήσουμε την γραφή [] και g g [], g g [] ου χρησιμοοιείται στα σήματα διακριτού χρόνου...8 c Όμοια έχουμε..9 c Σχήμα... []g [] []g [] Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

Για να υολογίσουμε τα [], [] αό τα c, c αντικαθιστούμε αό την σχέση r r r..5 το cg cg στις..4 r u r και r u r οότε r r r r r r r.. cg cg u cg u cgu cg cg και αν χρησιμοοιήσουμε την γραφή [] και g g [], g g [] ου χρησιμοοιείται στα σήματα διακριτού χρόνου.. [] c Όμοια έχουμε.. [] c g [] g []. Ερμηνεία μετασχηματισμών με γραμμική άλγεβρα Η εριγραφή του σήματος με διανυσματική ανααράσταση, γραφή και υολογισμούς, μορεί να γίνει με την χρήση της γραμμικής άλγεβρας ου αοτελεί εξαιρετικό εργαλείο για τα σήματα διακριτού χρόνου, χρίς τον εριορισμό του φυσικού χώρου τν ανυσμάτν []..,. u [], u Τα διανύσματα u, u είναι μοναδιαία και κάθετα μεταξύ τους ορθοκανονικά και αοτελούν μία ορθοκανονική βάση. Ισχύουν ροφανώς οι σχέσεις: T T T T.. u u u u και u u u u.. [] και [] u T u T Παρατηρείστε τον συσχετισμό τν σχέσεν..4,.....4 u [] u [] u u u u T T Παρατηρείστε τον συσχετισμό τν σχέσεν..,..4. Τα u και u έχουν τιμές τν δ[] και δ[-] αντίστοιχα και ς γνστόν ισχύει η σχέση..5 [ ] [ ] δ[ - ] δ[] [] δ[ -] [] αρατηρούμε την ομοιότητα τν σχέσεν..5,..4 και... Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr

G Αν g [] g[] g, g g [] g[] [ ] g g, θα ισχύουν οι σχέσεις: ζεύγος ορθοκανονικών διανυσμάτν και T T T T..6 g g g g και g g g g οι ροβολές του σ αυτά θα δίνονται ς εστερικά γινόμενα αό τις σχέσεις: g T c [ ] g [] g [] g [] [] g [] [] g [] [] []..7..8 [] g T c [ ] g [] g[] g[] [] g[] [] g[] [] [] [] Παρατηρείστε την ομοιότητα τν σχέσεν..7 και..8 με τις..6. και ότι καταλήγουν στις..8 και..9. Γενικά αν..- και..-, θα ισχύει ότι..9 c g [] [] Με βάση τα αραάν αν c C c, ισχύει ότι T.. C G Το ζητούμενο τώρα είναι να υολογισθεί ο αν είναι γνστοί οι ίνακες G και C. Αν υάρχει ο ίνακας G - αντίστροφος του G τότε.. G T C Εειδή η βάση είναι ορθοκανονική ισχύουν οι.. αρα g g T T g.. g g g g G G [ g g ].. GG T -..4 G C [] [] T c c T T g g T T g Ι g [] g [] c g [] c g [] c g[] g[] cg[] cg[]..5 [ g g ] c g c g c..6 [] c g [] cg[] c g [] και..7 [] c g [] cg[] c g [] Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 4

Οι σχέσεις..6 και..7 είναι ίδιες με τις.. και... Στις ρώτες οδηγηθήκαμε αό την.. ενώ στις δεύτερες αό τον κανόνα του αραλληλογράμμου, και στις δύο εριτώσεις όμς βασισθήκαμε στην ορθοκανονικότητα τν διανυσμάτν της βάσης. Γενικά αν..- και..-, θα ισχύει..8 [] c g [] δηλαδή ένα ανάτυγμα του [] σε σειρά τν g [] Τα αραάν ισχύουν για οοιεσδήοτε τιμές του Ν και η σχέση..9 c g [] [] υολογίζει τις ροβολές συντελεστές ανατύγματος σειράς του διακριτού σήματος ακολουθίας στο σύστημα συντεταγμένν ου ορίζει ο ίνακας G, ενώ η σχέση..8 [] c g [] δίνει τις τιμές [] του σήματος. Για αράδειγμα για Ν τα ανύσματα g [ ], g [ ], g [ ] 6 6 αοτελούν μία ορθοκανονική βάση και το σήμα [,, ] ροβάλλεται σ αυτά με ροβολές ου δίνουν οι συντελεστές c, /, 6 /. Για,, [] g [] / g [] / g [] 6 Τα ροηγούμενα ορθοκανονικά διανύσματα ροήλθαν θέτοντας Ν στις σχέσεις για..- και,..,ν- Ν..9 g, g cos οότε ροέκυψαν οι τιμές τν g, g, g αό τις σχέσεις c c Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 5

.. g cos, g cos 6 g.4 Ο διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT: Discrt Cosi Trsform για..- και Ν H σχέση..9 g, g cos,..,ν- είναι ένας υρήνας rl δημιουργίας ορθοκανονικών διανυσμάτν για κάθε τιμή του Ν. Γενικά αν τα g δίνονται αό την..9 οι συντελεστές c για ένα διακριτό σήμα [] δηλαδή οι ροβολές του στα g ροκύτουν με αντικατάσταση τν g αό την..9 στην..9 αό τη σχέση:.4. c [], c cos [] για..- Ν Η σχέση.4. αοτελεί τον μονοδιάστατο διακριτό μετασχηματισμό συνημιτόνου D-DCT: Discrt Cosi Trsform. Οι τιμές [] δηλαδή το ροκύτουν με αντικατάσταση τν g αό τις..9 στη..8 σύμφνα με τη σχέση.4. c [] c Ν cos Η σχέση.4. αοτελεί τον αντίστροφο διακριτό μετασχηματισμό του συνημιτόνου. Στο Σχ..4. δείχνονται τα ανύσματα βάσης του DCT για Ν8. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Για αράδειγμα για Ν τα ανύσματα g [ ], g [ ], g [ ] 6 6 ροήλθαν αό τις σχέσεις g για..- και,..,ν- Ν, g cos Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 6

αοτελούν μία ορθοκανονική βάση και το σήμα [,, ] Τ ροβάλλεται σ αυτά με ροβολές ου δίνουν οι συντελεστές c, /, 6 /. Για,, [] g [] / g [] / g [] 6 c c Για [,,, -] Τ η τιμή Ν4 και για,,, τα ανύσματα βάσης είναι: g [] ή g [.5,.5,.5,.5] T g [] cos Ν ή g [.65,.7, -.7, -.65] T g cos ή g [.5, -.5,.5, -.5] T g cos ή g [.7, -.65..65, -.7] T Οι συντελεστές c είναι τα στοιχεία του ίνακα.5.65 C G T.5.7.5.5.7.7.5.5.65.65.5.65.5.7.5.58.5. οι συντελεστές c ροκύτουν όμοια και αό τις.4.. Το σήμα ανακτάται αό τις σχέσεις.4. ή αό τον ίνακα.5.5 G C.5.5.65.7..7.65.5.5.5.5.7.5.65.58.65.5.7. Στο Σχ..4. δείχνονται τα ανύσματα βάσης του DCT για Ν4, οι συντελεστές c του DCT του σήματος [,,, -] και η ανάλυση του στις τέσσερις συνιστώσες c g. Κάθε τιμή του [] είναι [].5g [].58g []-.5g []-.g [].. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 7

Σχήμα.4. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 8

[,,, ] g [],5g [] g [],58g [] g [] -,5g [] - g [],g [] Σχήμα.4.. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 9

.4. Ο δισδιάστατος Δ διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου D-DCT: Discrt Cosi Trsform Για διακριτά σήματα δύο διαστάσεν με μήκη Ν, Ν τα ανύσματα βάσης για,.., -,,.., -,,.., -,,.., - είναι:.4.. g, g g.. g, g g.χ. g,, g, cos, g, cos cos Για ένα δισδιάστατο διακριτό σήμα [, ] με μήκη Ν, Ν, οι ροβολές του στα αραάν ορθοκανονικά ανύσματα βάσης είναι:.4.. c [, ] c c c [, [, [, ] cos ] cos ] cos cos για,. Οι αραάν σχέσεις αοτελούν τον δισδιάστατο Δ διακριτό μετασχηματισμό συνημιτόνου D-DCT: Discrt Cosi Trsform. Το σήμα [, ] ανακτάται σύμφνα με τη σχέση:.4.. [, ] c g [, ] Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 4

ου είναι ο αντίστροφος δισδιάστατος Δ διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου. Μετασχηματισμοί τν οοίν η βάση ικανοοιεί την.4.. λέγονται διαχρίσιμοι και οι υολογισμοί τους μορούν να αναχθούν σε υολογισμούς τν μονοδιάστατν εκφράσεών τους..5 Ερμηνεία και υολογισμοί μετασχηματισμών μιγαδικών σημάτν διακριτού χρόνου. Ας εξετάσουμε τώρα αν τα αραάν μορούν να εφαρμοσθούν και σε μιγαδικά διακριτά σήματα εερασμένου μήκους. Η διανυσματική εριγραφή τέτοιν σημάτν γίνεται με ίνακες στήλης ου τα στοιχεία τους είναι μιγαδικοί αριθμοί. Οι σχέσεις ου καταλήξαμε στην ερίτση τν ραγματικών σημάτν εερασμένου μήκους Ν R είναι αοτέλεσμα του γεγονότος ότι αναλύσαμε το σήμα σε μία βάση ορθοκανονικών διανυσμάτν, διανυσμάτν δηλαδή ου έχουν μέτρο ίσο με την μονάδα και είναι μεταξύ τους κάθετα. Προς τούτο χρησιμοοιήσαμε σχέσεις.. την ράξη Τ για, R. Αν όμς εκφράσουμε τον μιγάδα ου έχει μέτρο σε διανυσματική μορφή, η ράξη [ ] και όχι ός θα έρεε. Εειδή για το μέτρο ενός μιγάδα zb ισχύει ότι z b z z, η ράξη T b, με δίνει το ειθυμητό αοτέλεσμα. Το ίδιο ισχύει και με τον b υολογισμό της ροβολής του διανύσματος ενός μιγάδα στο διάνυσμα ενός άλλου. Εάν τελικά για ένα μιγαδικό διάνυσμα με Ν μιγαδικές τιμές C ορίσουμε ς τετράγνο του μέτρου την οσότητα T εξασφαλίζουμε ότι αυτή είναι ραγματικός αριθμός. Δύο μιγαδικά διανύσματα ίνακες στήλης g, g λέγονται ορθομοναδιαία αν T T T T.5. g g g g και g g g g Στη γραμμική άλγεβρα ο συζυγής ενός μιγαδικού ίνακα Α, γράφεται A και αοτελείται αό τα συζυγή στοιχεία του Α. Ο ανάστροφος του συζυγούς του Α, δηλαδή ο A T, λέγεται αναστροφοσυζυγής του Α ή Α Ερμιτιανός και γράφεται Α Η. Συνεώς η 4. γράφεται H H H H.5. g g g g και g g g g Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 4

Αν.5. G[g, g,, g - ] ίνακας ορθομοναδιαίν διανυσμάτν τότε ο.5.4 G H και ισχύει ότι H g H g M H g.5.5 G H GI άρα.5.6 G H G - Ακριβώς ός και στην ερίτση τν ορθοκανονικών βάσεν ένα μιγαδικό διάνυσμα C μορεί να ροβληθεί σε ορθομοναδιαία μιγαδικά διανύσματα g C,,..,- με μιγαδικές εν γένει ροβολές c c C. Με βάση τους αραάν όρισμούς και ράξεις, ός αυτές ου ακολουθήσαμε στην ερίτση τν ραγματικών διανυσμάτν, ισχύουν οι σχέσεις: g H.5.7 c c.5.8 C c H G M c και GC λόγ της.5.6.5.9 c g [] [].5. [] c g [], δηλαδή ένα ανάτυγμα του [] σε σειρά τν g [] Ο ερμιτιανός ενός ίνακα ραγματικών αριθμών είναι ο ανάστροφος του, συνεώς οι σχέσεις ου καταλήξαμε για τα ραγματικά διανύσματα είναι ειδικές εριτώσεις τν σχέσεν ου ισχύουν για τα μιγαδικά. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο μετασχηματισμός Fourir 4. Εισαγγή. Ός ροαναφέρθηκε ο μετασχηματισμός Fourir είναι θεμελιώδους σημασίας στην ανάλυση τν σημάτν και τν συστημάτν συνεχούς ή διακριτής ανεξάρτητης μεταβλητής. Μέσ αυτού εριοδικές συναρτήσεις και ακολουθίες αναλύονται σε αθροίσματα όρν ου καθένας τους εκφράζει μία αρμονική ταλάντση. Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε στο διακριτό μετασχηματισμό Fourir Discrt Fourir Trsform, DFT, την διακριτή σειρά Fourir Discrt Fourir Siris, DFS, τον μετασχηματισμό Fourir διακριτού χρόνου Discrt Tim Fourir Trsform, DTFT και τον αντίστροφο μετασχηματισμό Fourir. Οι ορισμοί, οι ιδιότητες, οι μεταξύ τους σχέσεις και οι σχέσεις τους με τα συνελικτικά αθροίσματα αοτελούν ροϋόθεση για την κατανόηση της χρήσης τους στην ανάλυση τν σημάτν και τν συστημάτν. 4. Ο διακριτός μετασχηματισμός Fourir- σημείν. Ένας υρήνας αραγγής ορθομοναδιαίν διανυσμάτν είναι ο τύος 4.. g [] W όου W Η βάση είναι ορθομοναδιαία διότι ισχύουν οι σχέσεις.5. ός δείχνεται ακολούθς m H 4.. g g m m H 4.. g m g για m m Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 4

Αό τις.5.9 και.5. ροκύτουν οι συντελεστές και το ανάτυγμα σε σειρά ενός εερασμένου μήκους Ν σήματος [] 4..4 c 4..5 [] c H σχέση 4..4 αοτελεί τον μοναδιαίο uitr διακριτό μετασχηματισμό Fourir Discrt Tim Fourir Trsform ή DFT -σημείν και η 4..5 την αντίστοιχη σειρά. Αν θέσουμε C c στις αραάν σχέσεις ροκύτουν οι σχέσεις 4..6 C [ ] ή X [ ] 4..7 [ ] C ή [ ] X Όου αντί τν του συμβολισμού C χρησιμοοιείται ο X. H σχέση 4..6 αοτελεί τον διακριτό μετασχηματισμό Fourir Discrt Fourir Trsform ή DFT -σημείν και η 4..7 τη διακριτή σειρά Fourir Discrt Fourir Sris ενός διακριτού σήματος. Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 44

Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 45 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ: Για το σήμα [,,],,,,,,,, τα ορθομοναδιαία διανύσματα βάσης είναι: w 4 si 4 cos si cos w 8 si 8 cos 4 si 4 cos w [ ],,,,, w w w W,,,,, H W Οι τιμές c του DFT είναι τα στοιχεία του ίνακα 6,,,,, H W C

Οι τιμές του σήματος ανακτούνται αό τις τιμές c του DFT στο ίνακα, W C,,,, 6 Ν Ν Εειδή και m Ν Ν αν m-, oι ίνακες W και W H είναι συμμετρικοί ς ρος τη διαγώνιο και το στοιχείο μιας γραμμής ισούται με το συζυγές του Ν- στοιχείου της ίδιας γραμμής όταν αυτό υάρχει και ς εκ τούτου οι υολογισμοί ειταχύνονται. 4. Ο μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου Η οσότητα,..-, ονομάζεται κυκλική συχνότητα και αίρνει Ν Ν διακριτές τιμές αό ές Ν-/Ν. Για σήματα μη εερασμένου μήκους το και η μεταβλητή αντικαθίσταται αό την μεταβλητή [,]. Ο Μετασχηματισμός Fourir διακριτού χρόνου Discrt Tim Fourir Trsform ή DTFT ορίζεται αό τη σχέση: ~ 4.. X Χ [ ] Για να υολογιστούν οι τιμές [] αό την 4.. ενεργούμε ς ακολούθς: Πολλαλασιάζουμε και τα δύο μέλη της 45 με m m 4.. Χ [ ] m m 4.. Χ [] m m [] ολοκληρώνουμε ς ρος αό - ές τα μέλη της ισότητας 4.. m m 4..4 Χ d []d [] αν m - m 4..5 d d d - - - - m d Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 46

αν m 4..6 - m d cosm - m m - m sim - m - m - cos-m - m - si-m - m - άρα η 4..4 γίνεται - 4..7 Χ d [] 4..8 [ ] Χ d - Η σχέση αυτή αοτελεί τον Aντίστροφο Mετασχηματισμό Fourir διακριτού χρόνου. Για να ορίζεται ο DTFT ενός σήματος είναι ροφανές ότι ρέει το [] να συγκλίνει. Αυτό δεν συμβαίνει για σήματα μη εερασμένου μήκους ου είναι εριοδικά και ς εκ τούτου δεν υάρχει γι αυτά DTFT. Αν ~ [] εριοδικό διακριτό σήμα με ρτεύουσα ερίοδο Ν ισχύει ότι 4..9 ~ [] ~ [ λ] Αν [] σήμα εερασμένου μήκους σημείν, 4.. [] ~ []u[] u[ ] τότε 4.. ~ [] [ mod ] όου mod το υόλοιο της διαίρεσης του με το. Ισχύει ροφανώς ότι 4.. λ mod και mod - όου λ το ηλίκο της διαίρεσης του με το Ν. Για το [] ου είναι εερασμένου μήκους υάρχει ο DFT και η DFS ου δίνονται αό τις σχέσεις 4..6 και 4..7 Εειδή [] ~ [] για,..,- η 4..6 γράφεται 4.. C X ~ [ ] και αοτελεί τον διακριτό μετασχηματισμό Fourir DFT του ~ [] του ~ []. Αό τις 4.. και 4..7 ροκύτει ότι Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 47

Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 48 λν λν mod C C C [ mod ] ~ [] 4..4 ] ~ [ C ή ] ~ [ X ου αοτελεί την διακριτή σειρά Fourir DFS του σήματος. Άρα για τα εριοδικά διακριτά σήματα χρησιμοοιούμε τον διακριτό μετασχηματισμό Fourir DFT και την διακριτή σειρά Fourir DFS. Σύμφνα με τα αραάν για ένα διακριτό σήμα εερασμένου μήκους Ν ορίζεται και υάρχει ο FT και ο DFT-Ν δειγμάτν σύμφνα με τις σχέσεις X, ], X Αό τις οοίες ροκύτει ότι 4..5 X X,,,- Δηλαδή ο DFT-Ν σημείν του, ροκύτει αό την δειγματοληψία της κυκλικής συχνότητας του FT του με δείγματα ου αέχουν διαδοχικά μεταξύ τους αόσταση /Ν. Αν αυξήσουμε το μήκος Ν ροσθέτοντας μηδενικές τιμές στο τέλος του, ο FT δεν θα αλλάξει θα αυξηθεί όμς το λήθος τν δειγμάτν του DFT-Ν σημείν Σχ.4...

Σχήμα 4... Διάγραμμα λάτους του FT{cos/8} και οι DFT-Ν σημείν για Ν8 και Ν6 Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 49

4.. Ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourir διακριτού χρόνου. Αό μαθηματικής αόψες υάρχουν ιδιότητες του FT ου βοηθούν στον υολογισμό αυτού και του αντιστρόφου του καθώς και στην ερεταίρ διαδικασία ανάλυσης τν σημάτν και τν συστημάτν. Περιοδικότητα Ο DTFT είναι εριοδικός ς ρος με ερίοδο. Ισχύει δηλαδή η σχέση 4... X X Συμμετρία Ο DTFT αρουσιάζει κάοια είδη συμμετρίας ανάλογα με το διακριτό σήμα. Τα είδη αυτά συμμετρίας αναγράφονται στο ακόλουθο ίνακα 4... X Πραγματική και άρτια Πραγματική και εριττή Φανταστική και άρτια Φανταστική και εριττή Πραγματική και άρτια Φανταστική και εριττή Φανταστική και άρτια Πραγματική και άρτια Πίνακας 4... Γραμμικότητα DTFT 4... b X b X Ιδιότητα της Μετατόισης DTFT 4... X Αντιστροφή στο χρόνο DTFT 4...4 X Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 5

Διαμόρφση DTFT 4...5 X 4...6 X cos DTFT X Το Θεώρημα της Συνέλιξης DTFT 4...7 h H X Το Θεώρημα του Πολλαλασιασμού DTFT θ θ 4...8 X Y dϑ Το Θεώρημα του Prsvl 4...9 X d Οι αραάν ιδιότητες αναγράφονται συνοτικά στον ίνακα 4... Ιδιότητα Ακολουθία Γραμμικότητα b Μετατόιση στο χρόνο Αντιστροφή στο χρόνο Διαμόρφση Συνέλιξη στο χρόνο Μιγαδική συζυγία Μετασχηματισμός FOURIER διακριτού χρόνου X b Y X X X Y X X Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 5

Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 5 Παραγώγιση d dx Πολλαλασιασμός στο χρόνο θ ϑ ϑ d Y X i Πίνακας 4... Παράδειγμα 4.. Ο DTFT της ακολουθίας < u είναι X Με χρήση γεμετρικών ροόδν, το άθροισμα αυτό είναι X Με την ροϋόθεση ότι α <. Παρόμοια, για την ακολουθία > u ο DTFT είναι X Αλλάζοντας τα όρια του αθροίσματος, έχουμε X Αν είναι α >, το άθροισμα είναι X Εομένς, οι ακολουθίες και u u, έχουν τον ίδιο DTFT Στο ίνακα 4... αρουσιάζεται ο DTFT μερικών βασικών ακολουθιών Ακολουθία Μετασχηματισμός FOURIER διακριτού χρόνου δ

δ δ δ u, < u, > u, < cos δ δ Πίνακας 4... Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 5

4.4 Σχέση της συνέλιξης με το μετασχηματισμό και τον διακριτό μετασχηματισμό Fourir Αν ~ και ~ εριοδικές ακολουθίες με ίδια ρτεύουσα ερίοδο Ν, η εριοδική συνέλιξη τους γράφεται και ορίζεται σύμφνα με την ακόλουθη σχέση: 4.4. { ~ ~ } ή ~ ~ ~ ~ Μορούμε να γράψουμε ακόμη ότι 4.4. ~ mod, ~ mod, με 4.4. ~ [ u u ], ~ [ u u ], σήματα εερασμένου μήκους Ν. Αό τις 4.4. και 4.4. ροκύτει ότι 4.4.4 ~ ~ ~ ~ mod To dεξιό μέρος της 4.4.4 ονομάζεται κυκλική συνέλιξη δύο σημάτν εερασμένου μήκους Ν και γράφεται 4.4.5 Αριθμητικά η εριοδική συνέλιξη αράδειγμα Έστ mod { ~ ~ } υολογίζεται ός φαίνεται στο ακόλουθο -4 - - - ~ ~ με ρτεύουσα ερίοδο Ν4 4 4 4 4-4 - - - ~ 4 4 ~ 4 4 { ~ ~ } ~ 4 4 { ~ ~ } 4 4 ~ 4 4 { ~ ~ } 4 4 ~ 4 4 { ~ ~ } 4 4 5 ~ 4 4 { ~ ~ } 4 4 5 Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 54

Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 55 Στη γραμμοσκιασμένη εριοχή του ίνακα φαίνονται οι τιμές ου χρησιμοοιούνται για τον υολογισμό της κυκλικής συνέλιξης και της εριοδικής συνέλιξης ~ ~. Η γραμμική συνέλιξη και ο DTFT δύο σημάτν συνδέονται με την σχέση: 4.4.6 FT Y X όου, Y X οι μετασχηματισμοί Fourir τν και Αόδειξη m Y X Η εριοδική συνέλιξη και ο DFT δύο εριοδικών σημάτν συνδέονται με την σχέση: 4.4.7 ~ ~ ~ ~ Y X DFT όου ~, ~ Y X οι διακριτοί μετασχηματισμοί DFΤ τν ~ και ~ Αόδειξη ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ Y X l X l l X l l X l l X l X m m m m m m m m l l l m l l m l l m l l l l m l l m l l m m l m m l m m m m m m m m m DFT Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Ν Η κυκλική συνέλιξη και ο DFT δύο σημάτν εερασμένου μήκους Ν συνδέονται με την σχέση: 4.4.8 Y X DFT

όου X, Y οι διακριτοί μετασχηματισμοί DFΤ-Ν δειγμάτν τν και. Η σχέση αυτή ροκύτει αό τις 4.4. και 4.4.5 Έστ σήμα εερασμένου μήκους Ν με DFT X και σήμα εερασμένου μήκους Ν. Προσθέτοντας στο τέλος του λήθος Ν - μηδενικών τιμών και στο λήθος Ν - μηδενικών τιμών ροκύτουν δύο νέα σήματα p και p εερασμένου μήκους Ν Ν -. H διαδικασία αυτή ονομάζεται zro pddig. Εύκολα μορούμε να δούμε με κάοιο τυχαίο αράδειγμα αλλά και να αοδείξουμε ότι γενικά: 4.4.9 p p Για αράδειγμα αν [ 4 -], [ ], τότε p [ 4 - ], p [ ]. 4 - * 4 - p p 7 7 - - - - Με βάση τα αραάν, αν X p και Υ p οι DFT τν p και p αντίστοιχα θα ισχύει ότι: 4.4. p p X Y DFT DFT 4.4. X Y p p p p Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 56

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ανάλυση σημάτν και συστημάτν με τον μετασχηματισμό Fourir 5. Εισαγγή Ο μετασχηματισμός Fourir DTFT και DFT είναι σημαντικότατος για την ανάλυση τν σημάτν και τν συστημάτν. Οι συχνότητες τν αρμονικών ταλαντώσεν συχνοτικό εριεχόμενο ου ενυάρχουν σε ένα σήμα ευρίσκονται μέσ του FT. Είσης, με την σύγκριση τν FT τν σημάτν εισόδου και εξόδου ενός συστήματος αναλύεται η συμεριφορά του συστήματος. Ο σχεδιασμός συστημάτν φίλτρα με ειθυμητή συμεριφορά βασίζεται στον FT. 5. Αόκριση συχνότητας Ας θερήσουμε ένα σύστημα γραμμικό και χρονικά αμετάβλητο με αόκριση κρουστικής διέγερσης h. Η έξοδος του για οοιοδήοτε είσοδο θα είναι *h Σύμφνα με το θεώρημα της συνέλιξης ισχύει ότι h DTFT H X όου Η DTFT{h}. H Η ονομάζεται αόκριση συχνότητας του συστήματος και καθορίζει την είδραση του συστήματος στο DTFT του σήματος εισόδου. Με άλλα λόγια η αόκριση συχνότητας καθορίζει την είδραση του συστήματος στο συχνοτικό εριεχόμενο του σήματος εισόδου. Η Η αίρνει μιγαδικές τιμές και ς εκ τούτου μορεί να γραφεί με το λάτος Η και τη φάση της φ σύμφνα με τη σχέση Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 57

Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 58 Η Η φ Η μελέτη της αόκρισης συχνότητας αφορά τον υολογισμό και τη γραφική αράσταση του λάτους και της φάση της. Συχνά μελετάται και η καθυστέρηση ομάδας group dl τ ου ορίζεται ς φ τ d d Όταν η φάση φ είναι μια γραμμική συνάρτηση του, το σύστημα λέγεται σύστημα γραμμικής φάσης. Παράδειγμα 5.. Έστ το σύστημα.5 -.5. Να υολογισθούν το λάτος και η φάση της αόκρισης συχνότητας και να γίνουν οι γραφικές τους αραστάσεις. ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ h δ δ δ H cos si cos si cos cos H Αφού η αόκριση συχνότητας του συγκεκριμένου συστήματος είναι ραγματική συνάρτηση του, συμεραίνεται ότι η φάση φ είναι μηδέν. Η γραφική αράσταση του λάτους Η w της αόκρισης συχνότητας

Το σύστημα είναι ένα κατδιαβατό ή χαμηλοερατό φίλτρο. Παράδειγμα 5.. Έστ το σύστημα.5 -.5 -. Να υολογισθούν το λάτος και η φάση της αόκρισης συχνότητας και να γίνουν οι γραφικές τους αραστάσεις. h[ ] δ [ ] δ[ ] cos H cos H, φ, dφ τ d Στο ακόλουθο σχήμα φαίνονται τα διαγράμματα λάτους και φάσης της αόκρισης συχνότητας του συστήματος. cos H φ Το σύστημα είναι γραμμικής φάσης. Η αράγγος του είναι σταθερός αριθμός. Συνεώς η καθυστέρηση ομάδας ου δείχνει την καθυστέρηση σε λήθος δειγμάτν ου υφίσταται το σήμα εισόδου αό το σύστημα είναι η ίδια για κάθε τιμή του. Παράδειγμα 5.. Θερούμε το LTI σύστημα με κρουστική αόκριση h u όου α, ένας ραγματικός αριθμός με α <. Η αόκριση συχνότητας είναι Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 59

Δρ.Χ. Στρουθόουλος, -mil: strch@tisr.gr 6 h H Το τετράγνο του λάτους της αόκρισης συχνότητας είναι cos H H H και η φάση είναι ϕ cos si t t H H R I Τέλος, η καθυστέρηση ομάδας υολογίζεται αραγγίζοντας την συνάρτηση της φάσης. Το αοτέλεσμα είναι τ cos cos 5.. Φίλτρα ειλογής συχνοτήτν Ανάλογα με τη μεταβολή του λάτους της αόκρισης συχνότητας σε σχέση με τη συχνότητα τα συστήματα διακρίνονται στις ακόλουθες κατηγορίες: Χαμηλοερατά Low pss: Το λάτος έχει μεγάλες τιμές για χαμηλές τιμές της συχνότητας και μικρές τιμές για υψηλές τιμές της συχνότητας. Στην ιδανική ερίτση το λάτος της αόκρισης συχνότητας μεταβάλλεται ός στο Σχ.5.. Σχήμα 5..: Ιδανικό Χαμηλοερατό Φίλτρο Low-Pss - c - c H