5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει τα µεγέθη αυτά είναι µία συνάρτηση µιας µεταβλητής και µε τέτοιες συναρτήσεις ασχοληθήκαµε στα προηγούµενα κεφάλαια. Οταν όµως το µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται από περισσότερα από ένα µεταβλητά µεγέθη τότε η σχέση που τα συνδέει είναι µια συνάρτηση πολλών µεταβλητών. Μία σχέση της µορφής z = f(x, y), ορίζει το z σαν συνάρτηση των ανεξάρτητων µεταβλητών x και y, αν για κάθε Ϲευγάρι τιµών (x 0, y 0 ) κάποιου τόπου, υπάρχει ένα και µόνο ένα z 0 τέτοιο ώστε z 0 = f(x 0, y 0 ). Η z λέγεται εξαρτηµένη µεταβλητή γιατί οι τιµές της εξαρτιούνται από τις τιµές των ανεξάρτητων µεταβλητών x, y και το λέγεται τόπος ορισµού της συνάρτησης. Αν σ ένα τρισορθογώνιο σύστηµα συντεταγµένων σηµειώσουµε τα σηµεία µε συντεταγµένες(x, y, f(x, y)) τότε ϑα πάρουµε µία επιφάνεια. Η επιφάνεια αυτή αποτελεί τη γραφική παράσταση της z = f(x, y). Οµοια, µπορούµε να ορίσουµε και συναρτήσεις n, (n N, n > 2) µεταβλ- 61

62 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ητών, δηλαδή z = f(x 1, x 2,..., x n ), (x 1, x 2,..., x n ) R n. Επειδή η µελέτη τέτοιων συναρτήσεων γίνεται ακριβώς όπως και των συναρτήσεων δύο µεταβλητών, στα επόµενα ϑα ασχοληθούµε κυρίως µε συναρτήσεις δύο µεταβλητών. Παράδειγµα: Υπολογίστε τις τιµές των παρακάτω συυναρτήσεων στα σηµεία που δίνονται δίπλα. α) f(x, y) = 2x 2 y + x + y 3, (1, 0), ( 2, 1), (1, 1 2 ) ϐ) f(x, y) = x ln y + e xy, (1, 1), ( 1, 2), (0, 1 2 ). Παράδειγµα: είξτε ότι η συνάρτηση z = x4 + 2x 2 y 2 + y 4 1 x 2 y 2, έχει σταθερή τιµή για όλα τα σηµεία της περιφέρειας x 2 + y 2 = R 2. Βρείτε την τιµή αυτή. 5.2 Συστήµατα συντεταγµένων Για την περιγραφή µιας συνάρτησης δύο µεταβλητών χρειαζόµαστε συστή- µατα συντεταγµένων στο χώρο των τριών διαστάσεων. Χρησιµοποιούµε τα παρακάτω συστήµατα συντεταγµένων. α) Καρτεσιανές συντεταγµένες. Στο σύστηµα αυτό το τυχαίο σηµείο P συµβολίζεται µε την τριάδα (x, y, z) όπου x, y, z R. Τα x και y είναι οι συντεταγµένες της ορθής προβολής P του σηµείου P στο επίπεδο xoy. Το z παριστάνει την απόσταση του σηµείου P από το επίπεδο xoy (σχήµα 5.1(α) ). ϐ) Κυλινδρικές συντεταγµένες. Στο σύστηµα αυτό το τυχαίο σηµείο P συµβολίζεται µε την τριάδα (r, θ, z), όπου r 0 και 0 θ 2π. Το z είναι πάλι η απόσταση του P από το επίπεδο xoy, το r είναι η απόσταση της ορθής προβολής P του P από το O και θ η προσηµασµένη γωνία που σχηµατίζει η OP µε τον άξονα Ox ( σχήµα 5.1(ϐ) ). Οι σχέσεις που συνδέουν

5.3. ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 63 τις καρτεσιανές µε τις κυλινδρικές συντεταγµένες είναι : x = r cos θ y = r sin θ z = z. γ) Πολικές συντεταγµένες. Στο σύστηµα αυτό το τυχαίο σηµείο P συµ- ϐολίζεται µε την τριάδα (r, θ, φ), όπου r 0, 0 θ 2π και π/2 φ π/2. Εδώ το r είναι η απόσταση τυο σηµείου P από το O, θ η προσηµασµένη γωνία που σχηµατίζει η OP µε τον άξονα Ox και φ η προσηµασµένη γωνία που σχηµατίζει η OP µε τον άξονα Oz ( σχήµα 5.1(γ) ). Οι σχέσεις που συνδέουν τις καρτεσιανές µε τις κυλινδρικές συντεταγµένες είναι : x = r sin φ cos θ y = r sin φ sin θ z = r cos φ. Σχήµα 5.1: 5.3 Οριο συνάρτησης δύο µεταβλητών Το όριο µιας συνάρτησης z = f(x, y), όταν το x τείνει στο x 0 και το y τείνει στο y 0, ορίζεται µε τρόπο ανάλογο µε τον ορισµό του ορίου της συνάρτησης µιας µεταβλητής. Το όριο αυτό είναι λ, δηλαδή lim x x 0 y y 0 f(x, y) = λ,

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ όταν για κάθε ε > 0 υπάρχει δ > 0 που εξαρτάται από το ε και το (x 0, y 0 ), τέτοιο ώστε f(x, y) λ < ε, για όλα τα x και y για τα οποία 0 < x x 0 < δ, 0 < y y 0 < δ. Αν το όριο αυτό υπάρχει, τότε ϑα υπάρχουν και τα δύο διπλά όρια lim { lim f(x, y)}, lim { lim f(x, y)}, x x 0 y y0 y y0 x x0 και ϑα είναι ίσα. Στο πρώτο από τα όρια αυτά, υπολογίζεται πρώτα το όριο µέσα στην αγκύλη, ϑεωρώντας το x ως σταθερά, και µετά το όριο ως προς x. Ανάλογα υπολογίζεται και το δεύτερο όριο. Αν τα όρια αυτά είναι ίσα δεν είµαστε ϐέβαιοι για την ύπαρξη ή όχι του ορίου lim x x 0 y y 0 f(x, y) = λ, (5.1) (πρέπει να καταφύγουµε στον ορισµό του ορίου). Αν όµως τα δύο αυτά όρια είναι διαφορετικά τότε σίγουρα το όριο (5.1) δεν υπάρχει. Παράδειγµα: Να υπολογιστούν τα παρακάτω όρια : sin (xy) i) lim x 0 x y 2 ii) x 2 y 2 lim x 0 x 2 + y. 2 y 0 5.4 Μερική παράγωγος Εστω η συνάρτηση δύο µεταβλητών z = f(x, y), ορισµένη στον τόπο και (x 0, y 0 ) σηµείο του. Η συνάρτηση f(x, y 0 ) είναι συνάρτηση µιας µόνο µεταβλητής και εποµένως µπορούµε να υπολογίσουµε την παράγωγό της στο σηµείο x 0. Η παράγωγος αυτή λέγεται µερική παράγωγος της z = f(x, y) ως προς x στο σηµείο (x 0, y 0 ) και συµβολίζεται : (x 0, y 0 ), f(x 0, y 0 ), f x(x (x0,y 0 ), 0, y 0 ).

5.4. ΜΕΡΙΚΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 65 Ετσι, έχουµε (x 0, y 0 ) f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) = lim. x x0 x x 0 Εστω το υποσύνολο του, για τα σηµεία του οποίου υπάρχει παράγωγος αριθµός. Η ύπαρξη της παραγώγου στα σηµεία αυτά ορίζει µία συνάρτηση δύο µεταβλητών που λέγεται µερική παράγωγος της f(x, y) ως προς x και τη συµβολίζουµε. Εποµένως, είναι = lim h 0 f(x + h, y) f(x, y), (x, y). h Ακριβώς ανάλογα, ορίζεται και η µερική παράγωγος της f ως προς y στο (x 0, y 0 ), (x 0,y 0 ), καθώς και η συνάρτηση δύο µεταβλητών. Είναι δηλαδή, και (x 0, y 0 ) = lim h 0 = lim y y0 f(x 0, y) f(x 0, y 0 ) y y 0, f(x, y + h) f(x, y), (x, y). h Οι προηγούµενοι ορισµοί εύκολα γενικεύονται και για τις συναρτήσεις µε περισσότερες από δύο µεταβλητές. Παράδειγµα: Να ϐρεθούν οι µερικές παράγωγοι της συνάρτησης στο σηµείο (1, 2). f(x, y) = 2x 2 y 3 x 3, Παράδειγµα: Αν f(x, y) = x 2 y + sin(xy 2 ) και z = x y sin(x2 y 3 ), τότε να υπολογίσετε τις µερικές παραγώγους,, z και z. Οπως έχουµε αναφέρει και προηγουµένως, οι µερικές παράγωγοι,, είναι και αυτές συναρτήσεις δύο µεταβλητών, και εποµένως έχουν και αυτές µερικές παραγώγους ως προς x και ως προς y. Η µερική παράγωγος της, ως προς x λέγεται δεύτερη µερική παράγωγος της f ως προς x και συµβολίζεται 2 f 2. ηλαδή είναι 2 f = 2 ( ).

66 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Οµοια ορίζεται και η δεύτερη µερική παράγωγος της f ως προς y, 2 f 2 = ( ), καθώς και οι µεικτές παράγωγοι δεύτερης τάξης, 2 f = ( ). Ανάλογα ορίζονται και οι µερικές παράγωγοι µεγαλύτερης τάξης. Παράδειγµα: Να ϐρεθούν οι µερικές παράγωγοι πρώτης και δεύτερης τάξης της συνάρτησης f(x, y) = e 2x sin y. 5.5 Παραγώγιση σύνθετων συναρτήσεων, ολικό διαφόρικο Εστω z = f(x, y) µία συνάρτηση δύο µεταβλητών, όπου όµως x = g(r, s) και y = h(r, s). Τότε αν αντικαταστήσουµε τα x, y στην f ϑα ϐρούµε ότι η z είναι συνάρτηση των r, s. Για τις παραγώγους της z ως προς r και ως προς s, έχουµε z r = z r + z r, z s = z s + z s. Αν οι µεταβλητές x και y εξαρτώνται µόνο από µία µεταβλητή, αν δηλαδή x = g(t) και y = h(t), τότε η z ϑα είναι συνάρτηση µόνο του t µε παράγωγο dz dt = z dx dt + z dy dt. Οι σχέσεις αυτές είναι γνωστές ως κανόνας αλυσίδας, και εύκολα γενικεύονται και για συναρτήσεις µε περισσότερες µεταβλητές.

5.6. ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 67 Εστω πάλι η συνάρτηση δύο µεταβλητών z = f(x, y). Ονοµάζουµε ολικό διαφορικό της συνάρτησης αυτής την ποσότητα dz = dx + dy. Το ολικό διαφορικό είναι γενίκευση της έννοιας του διαφορικού της συνάρτησης µιας µεταβλητής. Εκφράζει τη µεταβολή της εξαρτηµένης µεταβλητής z, όταν οι ανεξάρτητες µεταβλητές µεταβάλλονται κατά dx και dy αντίστοιχα. Το ο- λικό διαφορικό χρησιµοποιείται για την εύρεση προσεγγιστικών τιµών µιας συνάρτησης. Παράδειγµα: Να ϐρεθεί το ολικό διαφορικό dz των συναρτήσεων i) z = x 3 y + x 2 y 2 + xy 3, ii) z = x sin y y sin x. 5.6 Ακρότατα συναρτήσεων δύο µεταβλητών Εστω f(x, y) συνάρτηση δύο µεταβλητών. σηµείο (x 0, y 0 ) τοπικό µέγιστο αν Θα λέµε ότι η f(x, y) έχει στο f(x, y) f(x 0, y 0 ), για όλα τα σηµεία (x, y) που ανήκουν σε µία περιοχή γύρω από το (x 0, y 0 ). Θα λέµε ότι η f(x, y) έχει στο σηµείο (x 0, y 0 ) τοπικό ελάχιστο αν f(x, y) f(x 0, y 0 ), για όλα τα σηµεία (x, y) που ανήκουν σε µία περιοχή γύρω από το (x 0, y 0 ). Εχει αποδειχτεί ότι αν στο σηµείο (x 0, y 0 ) έχουµε τοπικό µέγιστο ή ελάχιστο, και αν στο σηµείο αυτό υπάρχουν οι µερικές παράγωγοι τότε ϑα ισχύει = 0, = 0. Ετσι, λύνοντας το σύστηµα των παραπάνω εξισώσεων, παίρνουµε σηµεία τα οποία ονοµάζονται κρίσιµα σηµεία και έχουν τη δυνατότητα να είναι ακρότατα. Αν ένα κρίσιµο σηµείο είναι ή όχι ακρότατο, εξασφαλίζεται από το παρακάτω ϑεώρηµα.

68 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Θεώρηµα 5.6.1. Εστω ότι η συνάρτηση f(x, y) έχει παραγώγους τουλάχιστον µέχρι δεύτερης τάξης και ότι (x 0, y 0 ) είναι ένα κρίσιµο σηµείο, δηλαδή (x 0, y 0 ) = 0, (x 0, y 0 ) = 0. Τότε αν ϑέσουµε 2 f(x 0, y 0 ) 2 = A, 2 f(x 0, y 0 ) 2 = B, 2 f(x 0, y 0 ) = C, ϑα ισχύει µία από τις παρακάτω συνεπαγωγές. 1. AB C 2 > 0, A > 0 f(x, y) έχει τοπικό ελάχιστο στο (x 0, y 0 ). 2. AB C 2 > 0, A < 0 f(x, y) έχει τοπικό µέγιστο στο (x 0, y 0 ). 3. AB C 2 < 0 f(x, y) δεν έχει τοπικό ακρότατο στο (x 0, y 0 ). 4. AB C 2 = 0 f(x, y) άλλες ϕορές έχει και άλλες δεν έχει τοπικό ακρότατο στο (x 0, y 0 ). Παράδειγµα: Να ϐρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x, y) = x 2 + xy + y 2 3x 6y. Παράδειγµα: Να ϐρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης z = f(x, y) = 2x x 2 y 2 4y 4. 5.7 ιπλό ολοκλήρωµα Εστω z = f(x, y) µία συνάρτηση ορισµένη σ ένα τοπό. Οπως έχουµε δει, τα σηµεία (x, y, f(x, y)) παριστάνουν µία επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο. Ας ϑεωρήσουµε για απλότητα ότι ολόκληρη η επιφάνεια ϐρίσκεται στο άνω ηµιεπίπεδο, ότι δηλαδή για όλα τα (x, y) του τόπου είναι f(x, y) > 0. Ορίζεται τότε κάτω από την επιφάνεια και µέχρι το επίπεδο xoy ένα στερεό ( σχήµα 5.2(α) ). Ο όγκος του στερεού αυτού µπορεί να ϐρεθεί αν αθροίσουµε τους στοιχειώδεις όγκους V, που σχηµατίζονται αν από κάθε σηµείο της

5.7. ΙΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 69 Σχήµα 5.2: περιµέτρου ενός στοιχειώδους εµβαδού E ϕέρουµε κατακόρυφες ευθείες (σχήµα 5.2(α) ). Ο όγκος αυτός ϑα συµβολίζεται f(x, y)dxdy, και ϑα λέγεται διπλό ολοκλήρωµα της f(x, y) στον τόπο. Για τον υπολογισ- µό του διπλού ολοκληρώµατος υπολογίζουµε διαδοχικά δύο απλά ολοκληρώ- µατα. Ας υποθέσουµε ότι ο τόπος ( σχήµα 5.2(ϐ) ) ορίζεται από τις ανισότητες α x β, Τότε το διπλό ολοκλήρωµα γράφεται f(x, y)dxdy = ϕ 1 (x) y ϕ 2 (x). = β ϕ2 (x) α β α ϕ 1 (x) f(x, y)dydx { } ϕ2 (x) f(x, y)dy dx. ϕ 1 (x) Πρώτα υπολογίζουµε το ολοκλήρωµα µέσα στην αγκύλη ϑεωρώντας ως µεταβλητή µόνο το y. Το x στο ολοκλήρωµα αυτό ϑεωρείται ως σταθερά. Μετά τον υπολογισµό αυτού του ολοκληρώµατος, ότι αποµένει είναι ένα ολοκλήρω- µα ως προς τη µεταβλητή x. Ο τόπος µπορεί να οριστεί ισοδύναµα και µε τις ανισότητες γ y δ,

70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Τότε το διπλό ολοκλήρωµα ισούται f(x, y)dxdy = g 1 (y) x g 2 (y). δ γ { } g2 (y) f(x, y)dx dy. g 1 (y) Παράδειγµα: Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωµα (x + y)dxdy, όταν ο τόπος είναι το καµπυλόγραµµο τρίγωνο που ορίζεται από τις καµπύλες y = x 2, y = 1 3 (4 x2 ) και x = 2. Οπως στο απλό ολοκλήρωµα έτσι και στο διπλό υπάρχουν περιπτώσεις, όπου µε αντικατάσταση των µεταβλητών προκύπτει ευκολότερο ολοκλήρωµα. Για την αντικατάσταση µεταβλητών στο διπλό ολοκλήρωµα χρειαζόµαστε την Ιακωβιανή ορίζουσα. Ορισµός 5.7.1. Αν u(x, y) και v(x, y) είναι παραγωγίσιµες συναρτήσεις σε κάποιο τόπο, τότε η Ιακωβιανή ορίζουσα των u και v ως προς x και y είναι η ορίζουσα (u, v) (x, y) = Για την Ιωκωβιανή ορίζουσα ισχύει u v u v. (u, v) (x, y) (x, y) (u, v) = 1. Οταν κάνουµε αλλαγή µεταβλητών σ ένα διπλό ολοκλήρωµα (τις µεταβλητές x και y τις αντικαθιστούµε µε τις µεταβλητές u(x, y) και v(x, y)), αποδεικνύεται ότι dxdy = (x, y) (u, v) dudv. Παράδειγµα: Να υπολογιστεί το διπλό ολοκλήρωµα (x 2 + y 2 )dxdy, όπου ο τόπος ορίζεται ως το χωρίο που περικλείεται από τις υπερβολές x 2 y 2 = 1, x 2 y 2 = 9, xy = 2 και xy = 4.

5.8. ΠΟΛΛΑΠΛΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 71 5.8 Πολλαπλό ολοκλήρωµα Γενικεύοντας τον ορισµό του διπλού ολοκληρώµατος, µπορούµε να ορίσουµε και ολοκληρώµατα µεγαλύτερης τάξης. Ετσι, το τριπλό ολοκλήρωµα µιας συνάρτησης f(x, y, z) ϑα είναι f(x, y, z)dxdydz, όπου το είναι υποσύνολο του τρισδιάστατου χώρου. Οµοια ορίζεται το πολλαπλό ολοκλήρωµα τάξης n... f(x 1, x 2,..., x n )dx 1 dx 2... dx n, V όπου το V είναι υποσύνολο του n-διάστατου χώρου. Για τον υπολογισµό του πολλαπλού ολοκληρώµατος εκφράζουµε, όπως και στο διπλό ολοκλήρωµα, τον τόπο V µε ένα σύστηµα ανισοτήτων της µορφής : a x 1 b, f 1 (x 1 ) x 2 f 2 (x 1 ), g 1 (x 1, x 2 ) x 3 g 2 (x 1, x 2 ),................................. h 1 (x 1, x 2,..., x n 1 ) x n h 2 (x 1, x 2,..., x n 1 ). Τότε το πολλαπλό ολοκλήρωµα ισούται µε b a f2 (x 1 ) g2 (x 1,x 2 ) dx 1 dx 2 dx 3... f 1 (x 1 ) g 1 (x 1,x 2 ) h2 (x 1,x 2,...,x n 1 ) h 1 (x 1,x 2,...,x n 1 ) f(x 1, x 2,..., x n )dx n. Με τη ϐοήθεια του τριπλού ολοκληρώµατος µπορούµε να υπολογίσουµε τον όγκο ενός στερεού χωρίου. Αποδεικνύεται ότι dxdydz = Ογκος (V ). V Παράδειγµα: Εστω V το στερεό χωρίο, που ϕράσεται από το επίπεδο xoy, το παραβολοειδές z = x 2 + y 2 και τον κύλινδρο x 2 + y 2 = a 2. Να υπολογιστεί ο όγκος του χωρίου αυτού.