ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ

ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ Έζησ : R R κηα ζπλάξηεζε πνιιώλ κεηαβιεηώλ. ε θάζε κηα από ηηο αθόινπζεο πεξηπηώζεηο ε θαζώο θαη όιεο νη ζπλαξηήζεηο πνπ νξίδνληαη ζεσξνύληαη θιάζεο ηνπιάρηζηνλ εθηόο αλ ξεηά δηαηππώλεηαη θάηη δηαθνξεηηθό. Οξίδνπκε ην δηάλπζκα θιίζεο ηεο θαζώο θαη ηελ Δζζηαλή ηεο σο εμήο: '... (δηάλπζκα θιίζεο) H i j (ην ζηνηρείν πνπ βξίζθεηαη ζηελ ζέζε ( i j) ηνπ πίλαθα ηεο i j Δζζηαλήο.) Αλ έρσ κηα ζπλάξηεζε m : R R νξίδεηαη ε Ηαθσβηαλή ηεο ζπλάξηεζεο σο εμήο: (... )...... m.... Σνηε ε Ζ κπνξεί λα γξαθεί σο Ηαθσβηαλή είλαη έλαο πίλαθαο δηάζηαζεο i ίζν κε J i j j m ηνπ νπνίνπ ην ζηνηρείν ( i j) είλαη Παράδειγμα: Έζησ. Να βξεζεί ε θιίζε θαη ε Δζζηαλή ηεο. Λύζη: Τπνινγίδνπκε ηηο πξώηεο θαη δεύηεξεο κεξηθέο παξαγώγνπο ηεο ζπλάξηεζεο: θαη άξα: θαη H Παράδειγμα: Να βξεζεί ε Ηαθσβηαλή ηεο δηαλπζκαηηθήο ζπλάξηεζεο Λύζη: Έρσ νπόηε ε δεηνύκελε Ηαθσβηαλή είλαη έλαο πίλαθαο. Τπνινγίδσ ηηο κεξηθέο παξαγώγνπο θαη νπόηε J Αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη παξαγσγίζηκε ζην ζεκείν εθαπηόκελν (ππεξ)επίπεδν ηεο... ηόηε ην : R R δίλεηαη από ηελ εμίζσζε: i i i i Παράδειγμα Να βξεζεί ην εθαπηόκελν επίπεδν ηνπ γξαθήκαηνο ηεο (). 4 ζην ζεκείν

Λύζη: Τπνινγίδσ ηεο κεξηθέο παξαγώγνπο ηεο : 4. ην ζεκείν κνπ νη ηηκέο ησλ κεξηθώλ παξαγώγσλ είλαη θαη αληίζηνηρα άξα ην εθαπηόκελν επίπεδν είλαη ην Καλόλαο αιπζίδαο Πρώηη περίπηωζη: Έζησ νη ζπλαξηήζεηο g : R R : R R ηέηνηεο ώζηε g( t) ( t)... ( t)... θαη έζησ ε ζύλζεζε ηνπο g θαη t)... t. Σόηε: ( d dt Παράδειγμα: Έζησ g( t) t t ηεο gt Λύζη: Έζησ t) t t i θαη i d dt ( ) i. Να βξεζεί ε παξάγσγνο ( ε ζύλζεζε. Σόηε από ηνλ θαλόλα ηεο αιπζίδαο έρσ: d d d dt dt dt όπνπ t t t t νπόηε: d d t t θαη ηειηθά έρσ dt dt d t t (*) dt Αληηθαζηζηώληαο ηα από ηηο εθθξάζεηο ηνπο t t t t ε (*) γίλεηαη 6 d 6 t t 5 t t 4t t 6t dt m Δεύηερη περίπηωζη: Έζησ νη ζπλαξηήζεηο g : R R : R R ηέηνηεο ώζηε g... ) g...... g...... θαη έζησ ε ζύλζεζε ( m m m θαη ηνπο g...... g...... Jg m m m. Σόηε: όπνπ Jg είλαη ε Ηαθσβηαλε ηεο g. Παράδειγμα: Να ππνινγηζηεί κε ηνλ θαλόλα ηεο αιπζίδαο ε θιίζε ηεο ζύλζεζεο ησλ ζπλαξηήζεσλ w w θαη g( ) Λύζη: Πξνθαλώο ε κνλαδηθή ζύλζεζε πνπ νξίδεηαη είλαη ε g (γηαηί;). Θα ππνινγίζσ ηελ θιίζε ηεο θαη ηελ Ηαθσβηαλή ηνπ δηαλπζκαηηθνύ πεδίνπ w4 w θαη w

w w w Jg γηαηί ) ( g θ.ν.θ. πλεπσο έρσ: w 4 =.= 8 4 Παράδειγμα: Να βξεζεί κε ηνλ θαλόλα ηεο αιπζίδαο ε Δζζηαλή ηεο ζύλζεζεο g ησλ ζπλαξηήζεσλ ) ( θαη g Λύζη: (Γηα ιόγνπο απιόηεηαο ε κεξηθέο παξάγσγνη ζα ζπκβνιίδνληαη κε δείθηεο πρ αληί γηα ζα γξάθνπκε θαη αληίζηνηρα.). Έζησ ) ( ε ζύλζεζε ησλ δπν ζπλαξηήζεσλ. Απιά ζα εθαξκόζνπκε θνξέο ηνλ θαλόλα ηεο αιπζίδαο. Έρνπκε θαη. Δύθνια επαιεζεύεηαη όηη αξα ε έθθξαζε γηα ηηο θαη γίλεηαη θαη νπόηε: (από ηνλ θαλόλα ηνπ γηλνκέλνπ ). Αξθεί λα ππνινγίζσ ηηο κεξηθέο παξαγώγνπο θαη. Με εθαξκνγή ηνπ θαλόλα ηηο αιπζίδαο έρσ: νκνίσο. Ζ κηθηή δεπηεξε κεξηθή παξάγσγνο ππνινγίδεηαη αλάινγα όπσο νη θαη : θαη. Άξα ηειηθά έρσ όπνπ / αθνύ θαη

ΣΔΣΡΑΓΩΝΙΚΔ ΜΟΡΦΔ Κάζε ζπλάξηεζε : R R πνπ κπνξεί λα γξαθεί ζηελ κνξθή A όπνπ Α έλαο πίλαθαο ιέγεηαη ηεηξαγσληθή κνξθή. Ο πίλαθαο Α δελ νξίδεη κνλνζήκαληα ηελ ηεηξαγσληθή κνξθή. Αλ ν Α δελ είλαη ζπκκεηξηθόο κπνξεί λα κεηαηξαπεί ζε έλα ζπκκεηξηθό πίλαθα Β σο εμήο: Σα δηαγώληα ζηνηρεία ησλ δπν πηλάθσλ είλαη ίζα (δειαδή aii bii i... ) ελώ γηα ηα κε δηαγώληα ζηνηρεία ηνπ aij a ji πίλαθα Β ηζρύεη όηη bij i j... Παράδειγμα: Γίλεηαη ε ηεηξαγσληθή κνξθή 4 8. Να γξαθεί ε ηεηξαγσληθή κνξθή ζε γιώζζα πηλάθσλ κε ηελ βνήζεηα ελόο ) Σξηγσληθνύ πίλαθα Α ) πκκεηξηθνύ πίλαθα Β. Λύζη: ) Ο πίλαθαο Α πξνθύπηεη άκεζα από ηελ εμίζσζε ηεο ηεηξαγσληθήο κνξθήο ηνπνζεηώληαο ηνπο ζπληειεζηέο ησλ ζηνηρείσλ ζην ηεηξάγσλν ζηελ θύξηα δηαγώλην θαη ηνπο ζπληειεζηέο ησλ γηλνκέλσλ ζηελ αληίζηνηρε ζέζε πάλσ από ηελ θύξηα δηαγώλην δειαδή: 4 A 8 ) Με ηελ βνήζεηα ηνπ πίλαθα Α ππνινγίδνπκε ηα εύθνια ηα ζηνηρεία ηνπ πίλαθα Β ζύκθσλα κε ηα παξαπάλσ. Έηζη έρνπκε: ( ) 4 ( ) 8 B 4 8 Ζ νξηζηηθόηεηα ηνπ πίλαθα Α θαη θαη επέθηαζε ηεο ηεηξαγσληθήο κνξθήο A θαζνξίδεη ην είδνο θαη ηελ ύπαξμε νιηθνύ αθξνηάηνπ ηεο ηεηξαγσληθήο κνξθήο ζύκθσλα κε ην ζρόιην ηεο ζειίδαο 8 ηόκνο ΗΗ ελώ ε νξηζηηθόηεηα ηνπ πίλαθα Α πξνθύπηεη είηε κε εθαξκνγή ηνπ ζεσξήκαηνο ζειίδα 85 ηόκνο ΗΗ είηε ηνπ πνξίζκαηνο ζειίδα 89 ηόκνο ΗΗ. Παράδειγμα: Να πξνζδηνξίζεηε ηελ νξηζηηθόηεηα ηεο ηεηξαγσληθήο κνξθήο A όπνπ A 5 Λύζη: ( ος ηρόπος) 4 4

Τπνινγίδσ ηηο εγεηηθέο θύξηεο ειιάζζνλεο δειαδή ηηο νξίδνπζεο ησλ πηλάθσλ A A θαη A A νη νπνίεο είλαη: A A 5 θαη A 5 νπόηε ν Α θαη ε αληίζηνηρε ηεηξαγσληθή κνξθή είλαη ζεηηθά νξηζκέλεο. ( ος ηρόπος). Θα ππνινγίδσ ηηο ηδηνηηκέο ηνπ Α ιύλνληαο ηελ ραξαθηεξηζηηθή εμίζσζε A I 5 5 4 5 5 (δηπιή ξίδα) θαη. Δπεηδή νη ηδηνηηκέο ηνπ πίλαθα Α είλαη όιεο ζεηηθέο ν πίλαθαο Α είλαη ζεηηθά νξηζκέλνο. Παράδειγμα: Να βξεζνύλ ηα νιηθά αθξόηαηα ηεο ηεηξαγσληθήο κνξθήο ( ) 6 5 4 4 6 Λύζη: Γξάθσ ηελ ηεηξαγσληθή κνξθή ζε κνξθή πηλάθσλ A όπνπ ν πίλαθαο Α είλαη: 6 A 5 4 Γλσξίδσ όηη ηα αθξόηαηα ηεο ηεηξαγσληθήο κνξθήο θαζνξίδνληαη από ηελ νξηζηηθόηεηα ηνπ πίλαθα Α. Δθαξκόδσ ινηπόλ κηα από ηηο κεζόδνπο ηνπ πξνεγνύκελνπ παξαδείγκαηνο θαη έρσ όηη ν πίλαθαο Α είλαη ζεηηθά νξηζκέλνο ζπλεπώο ε ηεηξαγσληθή κνξθή εκθαλίδεη νιηθό ειάρηζην ζην (). ΒΔΛΣΙΣΟΠΟΙΗΗ ΥΩΡΙ ΠΔΡΙΟΡΙΜΟΤ Ζ εύξεζε ησλ αθξνηάησλ κηαο ζπλάξηεζεο : R R ρσξίο πεξηνξηζκνύο πξνθύπηεη κε ηελ εμήο δηαδηθαζία: ) Βξίζθνπκε όια ηα ζεκεία * γηα ηα νπνία *. Σα ζεκεία απηά θαινύληαη στάσιμα σημεία. ) Τπνινγίδνπκε ηελ Δζζηαλε ηεο ζπλάξηεζεο ζε θάζε έλα από ηα ζεκεία απηά. Αλάινγα κε ην πνηα ζπλζήθε ηνπ ζεσξήκαηνο ζειίδα ηόκνο ΗΗ ηθαλνπνηείηαη πξνθύπηεη αλ ην ζηάζηκν ζεκείν είλαη κέγηζην ειάρηζην ή ζαγκαηηθό. Παράδειγμα. Να πξνζδηνξηζηνύλ θαη λα ηαμηλνκεζνύλ ηα θξίζηκα ζεκεία ησλ ζπλαξηήζεσλ ) ( ) 6 6 ) ( ) ( Λύζη: 4 ) ) Τπνινγίδσ ην δηάλπζκα θιίζεο 6 6 6 ηελ εύξεζε ησλ ζηάζηκσλ ζεκείσλ ιύλσ ην ζύζηεκα δειαδή:. Γηα

6 6 6 6 8 9 6 6 6 8 9 6 8 9 6 5 6 7 5 πλεπώο ππάξρνπλ ζηαζηκα ζεκεία ην ( /) θαη ην (5 7/). Τπνινγίδσ ηελ Δζζηαλή ηεο ζπλάξηεζεο 6 6 H 6 ην ζεκείν Α( /) έρσ 6 6 H / 6 H / 6 4 6 Άξα ην Α είλαη ζαγκαηηθό ζεκείν ην ζεκείν Β(5 7/) έρσ 6 H 57 / H 57 / 6 4 6 Ζ Δζζηαλε ζην Β είλαη ζεηηθά νξηζκέλε νπόηε ην ζεκείν είλαη ειάρηζην. ) Οκνίσο κε ην ) έρσ: 4 4 4 θαη 4 Σν ζύζηεκα είλαη κε γξακκηθό. Ζ πξώηε εμίζσζε δίλεη 4 4 ή 4. Γηα ε δεύηεξε δίλεη ή. Γηα 4 ε δεύηεξε νπόηε πξνθύπηεη. Αξα ζπλνιηθά έρσ 5 ζηάζηκα ζεκεία Ο() Α() Β(-) Γ() θαη Γ(-) Ζ Δζζηαλή ηεο ζπλάξηεζεο είλαη 4 5 4 8 4 5 H 4 4 8 Αληηθαζηζηώληαο ηηο ζπληεηαγκέλεο ησλ 5 ζεκείσλ έρσ: H O H O 8 άξα ην Ο() είλαη ειάρηζην H H H H A 4 HO B 4 HB 6 H 96 H 96 6 άξα ην Α είλαη ζαγκαηηθό άξα ην Β είλαη ζαγκαηηθό άξα ην Γ είλαη ηνπηθό κέγηζην άξα ην Γ είλαη ηνπηθό κέγηζην Σν γξάθεκα ηεο ζπλάξηεζεο θαηαζθεπάζηεθε κε ηελ βνήζεηα ηνπ ινγηζκηθνύ MATLAB θαη δίλεηαη παξαθάησ

5 4 - - - - - - ΔΦΑΡΜΟΓΔ ΣΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ Παράδειγμα Γηα κηα επηρείξεζε ε ζπλάξηεζε δήηεζεο εμαξηάηαη από ηελ ηηκή ηνπ πξνηόληνο Ρ θαη ηα έμνδα δηαθήκηζεο Α ζύκθσλα κε ηελ ζπλάξηεζε Q( P A) 5PA c όπνπ c ζεηηθή παξάκεηξνο. Αλ ην κνλαδηαίν κεηαβιεηό θόζηνο είλαη ρ.κ. θαη ηα ζηαζεξά θόζηε. + Α δεηείηαη ) Να θαηαζηξώζεηε ηελ ζπλάξηεζε θέξδνπο ) Να βξεζεί ην εύξνο ηηκώλ γηα ηελ ζηαζεξά c ώζηε ηα θέξδε λα κεγηζηνπνηνύληαη Λύζη ) Έζησ ΣΡ ε ζπλάξηεζε ζπλνιηθώλ θεξδώλ. Γλσξίδσ όηη TP TR T όπνπ: TR( P A) P Q( P A) P 5P A θαη T V Q F ( 5P) A A άξα 5PP A A TP ) Θα πξέπεη λα βξώ ηα αθξόηαηα ηεο ζπλάξηεζεο ΣΡ. TR TP TP P A c( 5P)( P ) A Q ζπλζεθώλ πξώηεο ηάμεο είλαη: A. Σν ζύζηεκα ησλ

P PA 5 c P P A A 65c Τπνινγίδσ ηελ Δζζηαλή ζην ζηάζηκν ζεκείν πνπ πξνέθπςε από ηηο ζπλζήθεο πξώηεο ηάμεο A c PA HTP cc P 5P 4A νπόηε 8 c HTP HTP... 65c 9 HTP είλαη ζεηηθή (νπόηε ηα θέξδε κεγηζηνπνηνύληαη όηαλ c <. πλεπώο ην Ζ εύξνο ηηκώλ γηα ην c είλαη c Παράδειγμα Μηα βηνκεραληθή επηρείξεζε παξάγεη ην πξνηόλ ηεο ζε εξγνζηάζηα έλα ζηελ Αζήλα θαη έλα ζηελ Θεζζαινλίθε. Σν θόζηνο παξαγσγήο δηαθέξεη ζηα εξγνζηάζηα θαη δίλεηαη από ηηο ζπλαξηήζεηο: T q q 6q 45q & T q q 5q 6q 6 6 Ζ εηαηξεία ιεηηνπξγεί ζε ζπλζήθεο πιήξνπο αληαγσληζκνύ θαη ε ηηκή ηνπ πξνηόληνο ηεο είλαη 5 ρ.κ. Εεηείηαη ην κίγκα παξαγσγήο πνπ κεγηζηνπνηεί ηα θέξδε ηεο εηαηξείαο. Λύζη Σα ζπλνιηθά έζνδα ηεο επηρείξεζεο είλαη Δλώ ηα ζπλνιηθά θόζηε δίλνληαη από ηελ ζπλάξηεζε Οπόηε ε ζπλάξηεζε θεξδώλ είλαη: Από ηελ νπνία ππνινγίδνπκε ην δηάλπζκα θιίζεο θαη εμηζώλνληάο ην κε ην πξνθύπηνπλ ηα θξίζηκα ζεκεία ηεο ζπλάξηεζεο κεδέλ πλεπώο ππάξρεη έλα κνλαδηθό θξίζηκν ζεκείν ην Α(676 65). Θα ππνινγίζσ ηελ Δζζηαλή ζην Α ώζηε λα βγάισ ζπκπέξαζκα γηα ην είδνο ηνπ θξίζηκνπ ζεκείνπ.

Δίλαη πξνθαλέο νηη ε Δζζηαλή ζην ζεκείν Α είλαη αξλεηηθά νξηζκέλε ζπλεπώο ην ζεκείν Α είλαη κέγηζην ηεο ζπλάξηεζεο θεξδώλ ηεο ζπλάξηεζεο θεξδώλ. Παράδειγμα Μηα βηνκεραληθή επηρείξεζε δξαζηεξηνπνηείηαη ζε αγνξέο αιιά όια ηα πξνηόληα ηεο παξάγνληαη ζην ίδην εξγνζηάζην. Ζ ζπλάξηεζε δήηεζεο ζε θάζε κηα από ηηο αγνξέο δίλεηαη από ηηο ζρέζεηο: Δλώ ε ζπλάξηεζε ζπλνιηθνύ θόζηνπο Όπνπ q = q + q Εεηείηαη:. Να βξείηε ηελ ζπλάξηεζε θεξδώλ θαη λα ηελ κεγηζηνπνηείζεηε. Να ππνινγηζηνύλ νη ειαζηηθόηεηεο δήηεζεο ζην κέγηζην Λύζη. Ζ ζπλάξηεζε θεξδώλ δίλεηαη από ηελ ζρέζε: Από ηελ ιύζε ηνπ ζπζηήκαηνο ησλ ζπλζεθώλ πξώηεο ηάμεο πξνθύπηεη όηη Ζ Δζζηαλή ζην θξίζηκν ζεκείν είλαη ίζε κε Ζ νπνία εύθνια απνδεηθλύεηαη νηη είλαη αξλεηηθά νξηζκέλε ζπλεπώο ε ζπλάξηεζε θεξδώλ εκθαλίδεη κέγηζην ζην ζεκείν Α(8 95). Ζ ειαζηηθόηεηα δήηεζεο ζηελ θάζε κηα από ηηο αγνξέο δίλεηαη από ηελ ζρέζε:

Οπόηε έρνπκε: