ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ υ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. Να βρείτε τα αρακάτω όρια: α. ( 4 8) + 6 + 8 0 Αλές εριτώσεις Εφαρμόζυμε τις ιδιότητες των ρίων. Ουσιαστικά κάνυμε αντικατάσταση. α. 4 + 8 4 + 8 + 4 + 8 9 8 0 8 4 0 0 + 6 + 6. Αν f ( ) και α. ( f ( ) 4 g ( ) ) g 4. Να βρείτε τα όρια: Εφαρμόζυμε τις ιδιότητες των ρίων. α. ( f ( ) 4 g ( ) ) f ( ) 4 g ( ) g g( ) f + Εειδή g ( ) 4 > 0 η συνάρτηση g( ) αίρνει θετικές τιμές σε εριχή τυ α και έτσι η g( ) ρίζεται καλά. ( ) 4 49 6 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.8..7 49 0
g ( ) f + f + g f + g g g g + 4 6+ 4 4. Να υλγίσετε τα αρακάτω όρια: α. 4 + 0 + 4 Στις εριτώσεις ρητών συναρτήσεων της μρφής: g( ) f ( ) h όυ g( ), h( ) λυώνυμα τυ και τ f ( ) καταλήγει στη 0 μρφή, τότε σίγυρα τ α είναι ρίζα των λυωνύμων και αυτά 0 γράφνται με τη μρφή: g g h α h ( α ) και με συνέεια τ κλάσμα να αλιείται. α. ( ) 4 + + 4 ( )( + ) + 4 ( + ) 6 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.8..7 49
Τ λυώνυμ g( ) + έχει ρίζα τ. Με τη βήθεια τυ σχήματς Horner: αραγντιύμε: Εμένως τ όρι γράφεται: + 0 ( )( + + ) g 0 ( )( + + 0) + + 0 8 4. Να βρείτε τα αρακάτω όρια: α. 0 + + 7 + 8 4 6 Ταυτότητες υ «αραγντιύν» α β αβ α+β α β ( αβ)( α +αβ+β ) όυ ρ, ρ ι ρίζες της εξίσωσης α +β ( α+β)( α αβ+β ) α +β +γα( ρ )( ρ ) α +β +γ 0 α. Οι ρίζες της εξίσωσης: 0 είναι: ρ ± Δ 9, ρ, ρ Εμένως: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.8..7 49
( ) + ( ) 0, 0 + 0 0 0 0 + ( )( + + ) 8 4 6 4 4 + 4 ( ) ( )( + )( + 4 ) ( + )( + 4) + + 4 + + 4 4+ 4+ 4 4 4 4+ 4 4 8 8 ( + )( + ) + 7 + 9 7 + +. Να βρείτε τα αρακάτω όρια: α. 9 9 + 4+ 0+ 6 6 Συζυγείς αραστάσεις Α+Β ΑΒ Α Β Α+Β Α Β Α+ Β Α + Β Α Β Αν η ύαρξη μιας ρίζας ατελεί εμόδι για την αραγντίηση τυ κλάσματς, λλαλασιάζυμε και τυς δυ όρυς τυ κλάσματς με την συζυγή αράσταση. α. ( )( + ) 9 9 9 9 9 + 9 + 9 9 9 + 9+ 6 ( 9)( + ) ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.8..7 49
( )( + ) + 9 0 ( )( + ) ( )( + ) ( )( + ) ( ) + + 6 ( )( + ) 6 6 ( + 4+ + 0)( + 4 + 0) + 4+ + 0 6 6 + 4 + 0 + 4 + 0 + 8+ 6 + 0 6 6 6 + 4 + 0 6 + 4 + 0 + 7+ 6 ( + 6)( + ) 6 6 6 + 4 + 0 6 + 6 + 4 + 0 + 6+ 6 48 ( 6)( + 4 + 0) ( 66)( 6+ 4 6+ 0) 6. Να βρείτε τα όρια: α. + + 8 + 0 4 Στην άσκηση αυτή, εμφανίζνται ριζικά και στυς δυ όρυς τυ κλάσματς. Θα λλαλασιάσυμε και τυς δυ όρυς τυ κλάσματς με τις συζυγείς αραστάσεις τυ αριθμητή και τυ αρνμαστή. α. ( )( + )( + + ) + + + + + ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.8..7 49 4
+ + + + 4 + + + + + 4 + + 8 + 0 4 ( + )( + + ) 8 ( 0) + ( ) ( + + ) + ( ) 4 8 0 8 0 + 8+ 0 4 8 ( 0) ( + + ) _ 8+ 0 4 8 ( 40 400 ) + ( + + ) 4 8+ 0 4 4 408 ( + )( + + ) Εειδή γνωρίζυμε ότι τ τριώνυμ: + 4 408 έχει ρίζα τ 4, μρύμε να αραγντιήσυμε με Horner. Άρα τ όρι γράφεται: ( 4)( + 7)( + + ) ( + 7)( + + ) 4 8+ 0 8+ 0 4+ 4 4 4 4 70 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.8..7 49
7. Δίνεται η συνάρτηση:, < f ( ) +, Να υλγίσετε τα λευρικά όρια: f f Να εξετάσετε αν υάρχει τ όρι f ( ) και. + Η έκφραση σημαίνει ότι: και < ενώ η έκφραση + σημάνει ότι: και > Παρατηρύμε ότι: και Εειδή: Δεν υάρχει τ όρι f ( ) f 4 f + 4 + + + f f ( ) +. 8. Δίνεται η συνάρτηση: +, f ( ) 4, > Να βρείτε τα λευρικά όρια: f f και + Να εξετάσετε αν υάρχει τ όρι f ( ). Παρατηρύμε ότι: και Εειδή: Υάρχει τ f ( ) f f 4 4 0 + + και είναι: f f 0 + f 0 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.8..7 49 6
9. Δίνεται η συνάρτηση: f +, και Να εξετάσετε αν υάρχει τ όρι f ( ) Για να ααλείψυμε την αόλυτη τιμή,.χ. Α ( ), αό μια έκφραση ρέει να γνωρίζυμε τι τιμές (θετικές ή αρνητικές) αίρνει η εντός τυ αλύτυ σότητα, στην ρκειμένη Α. ερίτωση η Αν Α ( ) > 0 τότε ( ) ( ) Αν Α ( ) < 0 τότε Α ( ) Α ( ) Α Α. Αν < τότε < 0, άρα: + Αν > τότε > 0, άρα: Έτσι η συνάρτηση γράφεται: ( ) +, αν < f ( ) + +, αν > Άρα: f 4 ενώ: f + + 6 + + Τα λευρικά όρια δεν είναι ίσα, άρα δεν υάρχει τ f ( ). 0. Δίνεται η συνάρτηση f με τύ: f + 9 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.8..7 49 7
Να βρείτε: α. Τ εδί ρισμύ της f Τ όρι ( + ) f ( ) Την τιμή υ ρέει να άρει ραγματικός αριθμός λ, ώστε: ( + ) f ( ) λ 8 α. Πρέει 9 0, άρα: 9, Εμένως τ εδί ρισμύ της f είναι: (, ) (,) (, ) Α + Είναι: + + ( ) f ( ) ( ) ( ) + + + 9 ( )( + ) + 6+ Θέλυμε να είναι: ( + ) f ( ) λ 8 Άρα: λ λ + 8 8 7 λ 8 λ. Δίνεται η συνάρτηση: f Να βρείτε τις τιμές τυ λ Παρατηρύμε ότι: ημ +, 6 λ +, > 6 6 λ για τις ίες υάρχει τ όρι f ( ) 6. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.8..7 49 8
και άρα: f ( ) ( ημ + ) ημ + + 6 6 6 6 f + + λ + λ + λ 6 6 Για να υάρχει τ f ( ) 6, ρέει: f 6 6 6 f ( ) + 6 6 λ 6 λ 6 ή λ 6. Να εξετάσετε ως ρς τη συνέχεια στ σημεί τις αρακάτω συναρτήσεις: e +, 0 α. f( ) 0 n( + ) +, > 0 4, g + 4, Όταν θέλυμε να εξετάσυμε τη συνέχεια μιας συνάρτησης σε σημεί τυ εδίυ ρισμύ της, αρχικά βρίσκυμε αν υάρχει τ f ( ). Αν τ όρι δεν υάρχει, η f δεν είναι συνεχής στ. Αν τ όρι υάρχει, θα ρέει στη συνέχεια να είναι: f f α. Παρατηρύμε ότι: f e + e 0 + 0 0 και f ( ) n ( ) n ( 0 ) 0 n 0 + + + + + + 0 0 Εειδή: f f + 0 0 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.8..7 49 9
Δεν υάρχει τ όρι f ( ) 0. Εμένως η f δεν είναι συνεχής στ 0. Παρατηρύμε ότι: 4 ( )( + ) g ( ) ( ) 4 + + Άρα ισχύει: g g Εμένως η g είναι συνεχής στ.. Στ αρακάτω διάγραμμα δείχνει την σότητα F της βενζίνης (σε λίτρα) σε σχέση με τ χρόν t (σε μέρες), στ ρεζερβυάρ ενός αυτκινήτυ, κατά τη διάρκεια ενός μήνα. Σε ιες χρνικές στιγμές η συνάρτηση F είναι ασυνεχής. Τι μρεί να συνέβει τότε; Αό τ διάγραμμα F t φαίνεται ότι: t 0 και F t F t 0 + t 0 Άρα τη χρνική στιγμή t 0 η συνάρτηση F είναι ασυνεχής, αφύ: F t F( t) + t 0 t 0 Τ ίδι συμβαίνει και τη χρνική στιγμή t, διότι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.8..7 49 40
t (), ενώ F t F t 0 + t Πρφανώς εκείνες τις χρνικές στιγμές χρήστης τυ αυτκινήτυ συμλήρωνε βενζίνη στ ρεζερβυάρ τυ αυτκινήτυ. 4. Να μελετήσετε ως ρς τη συνέχεια τις συναρτήσεις υ ακλυθύν: α. f( ), 0 g( ), + +, < h( ), α. Για κάθε με 0 f f Άρα η f είναι συνεχής για κάθε, με 0. Για κάθε έχυμε + 0 και τότε: g g + + Άρα η g είναι συνεχής για κάθε. Όταν η συνάρτηση είναι δίκλαδη (ή γενικότερα λύκλαδη) ή μρεί να μετασχηματιστεί σε δίκλαδη (ή σε λύκλαδη), ιθανά σημεία ασυνέχειας είναι εκείνα στα ία αλλάζει τύς της συνάρτησης. Για <, η συνάρτηση είναι: h( ) + Άρα είναι συνεχής. Για >, είναι: h Άρα και σ αυτή την ερίτωση είναι συνεχής. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.8..7 49 4
Ειδικότερα στ σημεί, αρατηρύμε ότι: και Εειδή: Δεν υάρχει τ h ( ) h + + h + + h h ( ) +, εμένως δεν είναι συνεχής στ σημεί.. Να εξηγήσετε γιατί η συνάρτηση: f( ) ημ ( + 9 ), είναι συνεχής. Υενθύμιση Αν δύ συναρτήσεις είναι συνεχείς και ι ράξεις υ ρίζνται μεταξύ αυτών θα είναι συνεχείς. Η συνάρτηση g( ) + 9, είναι συνεχής ως λυωνυμική. Είσης και η συνάρτηση h( ) ημ, είναι συνεχής. Εειδή: f ( ) ( h g)( ), η f θα είναι είσης συνεχής ως σύνθεση συνεχών συναρτήσεων. 6. Για ια τιμή τυ σταθερύ ραγματικύ αριθμύ α η συνάρτηση: α +, < f ( ) + 4, είναι συνεχής στ. Για < η f ( ) α + είναι συνεχής ως λυωνυμική. Για > και η f + 4 είναι συνεχής ως λυωνυμική. Ειδικότερα στ θα ρέει να ισχύει: f f f + ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.8..7 49 4
Όμως ισχύει: και Είσης είναι: Άρα ρέει: f α + α+ f + 4 + 4 + + f ( ) + 4 α+ α 7. Δίνεται η συνάρτηση: 4 +, < 0 f ( ) +β, 0 e α, > 0 όυ αβ,, σταθερί αριθμί. Ι. Να βρείτε: f f α. 0 + 0 Την τιμή τυ α ώστε να υάρχει τ όρι f ( ) ΙΙ. Αν α 4, να υλγίσετε τν αριθμό β ώστε η f να είναι συνεχής στ 0. (Πανελλήνιες 007, Ημερήσια Τ.Ε.Ε.) Ι. α. 0 0 0 0 ( + ) 4 + 4 f f e 0 e 0 0 + + α α α Για να υάρχει τ όρι, θα ρέει: ( ) 4+ 0 άρα: f f ( ) + 0 0 α α 4 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.8..7 49 4
ΙΙ. Για να είναι συνεχής στ 0, θα ρέει: Όμως για α 4, είναι: Άρα ρέει: f f f 0 + 0 0 f f + 0 0 +β β 0 ΣΟΛΩΜΟΥ 9 ΑΘΗΝΑ 0.8..7 49 44