ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός
7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί ότι ο παραπάνω πληθυσµός,συνεχώς ελαττώνεται Β Σε πόσες ώρες τουλάχιστον ο παραπάνω πληθυσµός θα έχει αφανιστεί Γ Να βρεθεί η χρονική στιγµή t o που ο ρυθµός µείωσης του πληθυσµού θα είναι µέγιστος Ένα σώµα κινείται ευθύγραµµα σε άξονα ώστε η θέση του την τυχαία στιγµή t να δίνεται από τον τύπο s(t) = t t + 5t σε µέτρα Να βρείτε: Α Την ταχύτητα u () t και την επιτάχυνση α (t) την τυχαία χρονική στιγµή t Β Την απόσταση των θέσεων του σώµατος όταν αυτό είναι ακίνητο Γ Το ολικό διάστηµα που έχει διανύσει το σώµα στην διάρκεια των πρώτων 0s Το συνολικό κέρδος µιας εταιρείας από την πώληση ενός προϊόντος της, από σήµερα και για t χρόνο t δίνεται από τον τύπο P(t) = A ( e ) t, Α>0 σταθερά Να βρείτε: Α Για πόσα χρόνια το συνολικό κέρδος της εταιρείας δεν έχει παθητικό; Β Σε πόσα χρόνια η εταιρεία πρέπει να σταµατήσει την πώληση αυτού του προϊόντος της; Γ Με τις προϋποθέσεις του ερωτήµατος (β) σε πόσα χρόνια ο ρυθµός µεταβολής του κέρδους P (t) είναι µέγιστος; ίνεται η πραγµατική συνάρτηση f για την οποία ισχύει: f ( ) = + 997 f (000), R Α Να δειχθεί ότι: f (000) = 999 Β Να δειχθεί ότι ο τύπος της f είναι µια ευθεία η οποία εφάπτεται της g() = στο σηµείο M, 5 Μια τουριστική επιχείρηση οργανώνει εκδροµές µε λεωφορεία Κάθε τουριστικό λεωφορείο έχει 50 θέσεις Όταν οι επιβάτες είναι ακριβώς 0,τοτε η εταιρεία ζητά 5000δρχ το άτοµο Για να αυξήσει τους επιβάτες η εταιρεία κάνει την εξής προσφορά: «κάθε επιπλέον επιβάτης θα µειώνει κατά 00δρχ την χρέωση κάθε επιβάτη» Να βρεθεί το πλήθος των επιπλέον επιβατών ώστε η επιχείρηση να έχει µέγιστα έσοδα 6 Έστω ένα ορθογώνιο κουτί (παραλληλεπίπεδο) µε βάση τετράγωνο πλευράς και ύψους y σε cm Α Αν οι διαστάσεις του κουτιού µεταβάλλονται µε σταθερούς ρυθµούς ώστε η πλευρά να cm cm αυξάνεται µε ρυθµό και η πλευρά y να ελαττώνεται µε ρυθµό 6 να εξετάσετε αν την sec sec χρονική στιγµή t o που το κουτί είναι κύβος: α) Αν ο όγκος του αυξάνεται η ελαττώνεται β) Αν το εµβαδόν της ολικής του επιφάνειας αυξάνεται η ελαττώνεται Β Αν το κουτί είναι ανοικτό από πάνω και έχει όγκο V = cm, να βρείτε τις διαστάσεις του κουτιού ώστε για την κατασκευή του να χρειάζεται το ελάχιστο δυνατό υλικό 7 Έστω η συνάρτηση f () = α + β όπου α,β πραγµατικές σταθερές Αν η εφαπτόµενη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο της Α(,) είναι παράλληλη στον άξονα τότε: Α Να βρεθούν τα α,β Β Να βρεθεί το ελάχιστο της f () Γ Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση f () = 0 δεν έχει πραγµατική ρίζα Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός
8 Ένα σώµα κινείται πάνω σε άξονα, ώστε την τυχαία στιγµή 0 να έχει ταχύτητα t t u(t) = e Να βρεθεί: α) η χρονική στιγµή t 0 > 0 που η ταχύτητα και η επιτάχυνση του κινητού είναι αριθµητικά ίσες, β) η χρονική στιγµή t > 0 που το κινητό έχει µεγαλύτερη ταχύτητα 9 Ένα κινητό κινείται σε έναν άξονα έτσι, ώστε η θέση του τη χρονική στιγµή t 0 να δίνεται από τον τύπο (t) = t ln( t + 9) α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση (t) είναι γνησίως αύξουσα β) Να βρεθεί η χρονική στιγµή t o 0 που το κινητό έχει τη µικρότερη ταχύτητα 0 Έστω η συνάρτηση f () = 6 + 8 + α, όπου α R σταθερά α) Να βρείτε τα σηµεία της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στα οποία οι εφαπτόµενες είναι παράλληλες στην ευθεία y=-+8 β) Να βρείτε το α, αν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f στο σηµείο (,f()) διέρχεται από την αρχή των αξόνων Α Το µέσο βάρος 0 ατόµων είναι 77 κιλά Αν φύγουν δύο άτοµα 70 και 66 κιλών αντίστοιχα να βρεθεί το µέσο βάρος των ατόµων που έµειναν Β Το µέσο ύψος 0 αγοριών είναι 80 cm και των κοριτσιών 65 cm Αν το µέσο ύψος όλων των παιδιών είναι 75 cm πόσα ήταν τα κορίτσια Η διάµεσος επτά διαδοχικών αριθµών είναι κ α) Να βρείτε την µέση τιµή των αριθµών β) Να βρείτε την µέση τιµή και την διάµεσο των ακεραίων που είναι διπλάσιοι των αρχικών γ) Αν οι αρχικοί ακέραιοι µεταβληθούν κατά µονάδες να βρεθούν οι νέα µέση τιµή και η καινούργια τυπική απόκλιση των ακεραίων που προκύπτουν Σε ένα δύσκολο διαγώνισµα στα Μαθηµατικά του τµήµατος Γ που αποτελείται από 8 µαθητές και µαθήτριες, η βαθµολογία δίνεται από τον παρακάτω πίνακα: Βαθµολογία Μαθητές ν 5 5 8 6 7 Α Να αντιστοιχίσετε στο γραπτό σας κάθε στοιχείο της στήλης Α µε το ίση του της στήλης Β, σύµφωνα µε το παραπάνω δείγµα Στήλη Α Στήλη Β )µέση τιµή---- 7 ) εύρος (R) 5 ) διασπορά --- ν) συντελεστής µεταβολής (CV) 5,5 6 0, 07 7,8 Β Αν η µέση βαθµολογία των αγοριών είναι α και των κοριτσιών είναι κ, τότε να 65 αποδείξετε ότι α κ Γ Αν η παραπάνω βαθµολογία τροποποιηθεί για τη βαθµολογία του Α τετραµήνου στη βαθµολογία y α + β, όπου α, β θετικές σταθερές, µε µέση τιµή 6 και τυπική απόκλιση = Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός
6, να βρείτε τη βαθµολογία ενός µαθητή στο Α τετράµηνο, αν αυτός στο παραπάνω 5 διαγώνισµα είχε πάρει 7 ίνεται ο παρακάτω πίνακας συχνοτήτων, µε ν 0 κ λ k, λ N Α Αν s είναι η τυπική απόκλιση, να αποδείξετε ότι * s Β Αν το δείγµα είναι οµοιογενές, να βρείτε τη µικρότερη τιµή του λ Ο παρακάτω πίνακας µάς δίνει τη βαθµολογία των ν υποψηφίων της Γ λυκείου ενός σχολείου στο µάθηµα της Έκθεσης, µε άριστα το 00, στη σχετική του οµαδοποίηση Βαθµοί ν f% F% [0, 5) 5 [5, 50) 0 [50, 75) 9 [75, 00) 0 ΣΥΝΟΛΟ - Α Να συµπληρωθεί ο πίνακας Β Να γίνει το αντίστοιχο κυκλικό διάγραµµα των σχετικών συχνοτήτων Γ Να βρεθεί το πλήθος των ατόµων που έχουν βαθµολογία µεγαλύτερη ή ίση του 7,5 Αν η βαθµολογία των ν υποψηφίων είναι,,, ν, να βρεθεί ο βαθµός α, ώστε η µέση τιµή των παρατηρήσεων = α + 5, y = α + 5,, yν = α ν 5 να είναι ίση µε 70 y +, 5 ίνεται η συνάρτηση f () = 9, < < 6 Εάν η C f είναι το πολύγωνο αθροιστικών, 6 0 συχνοτήτων µε κλάσεις ίσου µήκους τότε: ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Α Να γίνει ιστόγραµµα αθροιστικών συχνοτήτων Β Να βρεθεί η παραβολή y = α αν διέρχεται από το ( δ, f ( δ) ) όπου δ η διάµεσος των παρατηρήσεων δ, f ( δ) ; Γ Ποια η εφαπτόµενη της παραβολής στο σηµείο ( ) ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 6 Σε ένα δείγµα παρατηρήσεων η µέση τιµή είναι πενταπλάσια της διακύµανσης Αν = X = 6 να βρεθεί η µέση τιµή 7 Α Αν ισχύουν οι σχέσεις ( t ) = και ( ) 8 = 60 9 = t = 60 τότε να βρεθεί η παρατήρηση t 9 Β Αν σε ένα δείγµα µεγέθους 0 έχουµε ότι η µέση τιµή είναι διπλάσια της διακύµανσης και 5 επίσης ότι t = 50, τότε να βρεθούν η µέση τιµή και η διακύµανση = 8 Μια εταιρεία αύξησε τους µισθούς των υπαλλήλων κατά 5% Συγχρόνως όµως παρακράτησε ένα σταθερό ποσό από το νέο µισθό κάθε υπάλληλου για υγειονοµική περίθαλψη, ώστε ο τελικός συντελεστής µεταβολής (CV) των µισθών να είναι 0% µεγαλύτερος από τον αρχικό Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός
Αν ο αρχικός µέσος µισθός ήταν 000 Ε να βρείτε: Α Το ποσό που η εταιρεία παρακράτησε από τους µισθούς Β Αν ευνοήθηκαν η όχι οι υπάλληλοι από αυτή την απόφαση της εταιρείας 9 ίνεται ο παρακάτω πίνακας συχνοτήτων µε =, s =, 5 Α Να συµπληρωθεί ο πίνακας ν 5 Σύνολο 0 Β Να βρεθεί η διάµεσος δ και να εξετασθεί αν το δείγµα είναι οµοιογενές Γ Αν από το παραπάνω δείγµα θεωρήσουµε αντίστοιχα ένα νέο δείγµα y = α + β µε τις ίδιες σχετικές συχνότητες και µε µέση τιµή 6 τότε: α) Να βρεθεί η σχέση των α,β β) Αν το γινόµενο αβ είναι µέγιστο να βρεθεί η διακύµανση του νέου δείγµατος 0 Ο αριθµός των παιδιών σε ένα δείγµα ν οικογενειών µιας πόλης δίνεται στον παρακάτω πίνακα 5 Αν είναι γνωστή η µέση τιµή = και η τυπική απόκλιση s = του δείγµατος, να βρείτε: 5 Αριθµός παιδιών Πλήθος οικογενειών ν 0 ν ν α) τις συχνότητες ν και ν, β) τη µικρότερη του c>0, ώστε το δείγµα y = + c, =,,,, ν, να είναι οµοιογενές Σε µια τάξη υπάρχουν 0 µαθητές και µαθήτριες µε αντίστοιχες συχνότητες ν α και ν κ α) Να αποδείξετε ότι να ν κ 00 β) Αν η βαθµολογία της παραπάνω τάξης σε ένα µάθηµα δίνετε στον παρακάτω πίνακα, µε τη σχετική οµαδοποίηση, να βρείτε τη µέση τιµή και τη διακύµανση του δείγµατος Βαθµολογία Μαθητές ν [0,) [,8) [8,) [,6) 9 [6,0) Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 5
A Μια µεταβλητή µε τιµές,,, 8 έχει µέση τιµή = 8 και τυπική απόκλιση S = 6 ' ' ' Η ίδια µεταβλητή µε τιµές,,, έχει µέση τιµή ' = και τυπική απόκλιση S ' = Να βρεθούν η µέση τιµή και η τυπική απόκλιση της µεταβλητής µε τιµές ' ' ',,, 8,,,, Β Από τον έλεγχο απουσιών Α τετραµήνου των µαθητών ενός λυκείου προέκυψε ότι για κ µαθητές δεν σηµειώθηκε απουσία, ενώ για λ µαθητές σηµειώθηκε απουσία Αν S η τυπική απόκλιση του δείγµατος των µαθητών που απουσίασαν το πολύ µια µέρα δείξτε ότι: S < Η βαθµολογία 0 µαθητών σε ένα test στα Μαθηµατικά δίνεται στον παρακάτω πίνακα: Βαθµολογία Μαθητές ν 6 8 9 ν 0 ν ΣΥΝΟΛΟ 0 Αν η µέση βαθµολογία του τµήµατος είναι 9, να βρείτε: α) τις συχνότητες ν και ν, β) αν το δείγµα είναι οµοιογενές, γ) εκλέγοντας τυχαία έναν µαθητή από τους παραπάνω 0, την πιθανότητα ώστε αυτός να έχει βαθµό µε ) =8 ) 6<<0 ίνεται ο δειγµατικός χώρος Ω = { ω, ω ω } µε ( ω ), P( ), συνάρτησης f ( ) = + Α Να βρεθεί το ακρότατο της συνάρτησης P Β Να βρεθεί η ( ) ω P τη θέση και το ακρότατο της ω ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 5 Έστω F,g συναρτήσεις παραγωγισιµες στο R τέτοιες ώστε ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 g() = f ( ) + f ( + ), R και f () =, f () = Α Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτόµενης (ε) της γραφικής παράστασης της g στο σηµείο A (,g() ) είναι η y = 5 + 5 Β Αν πάρουµε 00 διαφορετικά σηµεία (, y), (, y ),,( 00, y00 ) της προηγούµενης εφαπτόµενης και οι τετµηµενες τους έχουν µέση τιµή = 00 και τυπική απόκλιση s = 00 να βρεθούν: α Η µέση τιµή των τεταγµένων β Η µέση τιµή των τετραγώνων των τετµηµενων, δηλαδή των:,,, 00 6 ίνεται ο ακέραιος αριθµός k µε 5 k και η συνάρτηση f ( ) = + k ( k ) +, R Α Να βρεθεί ο k αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης έχει δύο σηµεία στα οποία η εφαπτοµένη της είναι παράλληλη στον άξονα Β Ποια είναι η πιθανότητα να συµβεί το παραπάνω; Γ Να βρεθεί η πιθανότητα η δοθείσα συνάρτηση να είναι γνησίως αύξουσα στο R 6 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός
Να βρεθεί η πιθανότητα η γραφική παράσταση της συνάρτησης να έχει ένα µόνο σηµείο στο οποίο η εφαπτοµένη της να είναι παράλληλη στον άξονα 7 Α Έστω A ένα ενδεχόµενο ενός πειράµατος τύχης µε ( A) = λ + 6λ + 0 P α) Να βρείτε την τιµή του λ β) Να αποδείξετε ότι A = Ω Β Έστω ότι Ω = {,,,, 5 } µε P ( ω ) = λω, λ > 0 α) Να βρεθεί το λ + β) Εάν τα Α,Β είναι ασυµβίβαστα µε P(A) =, P(B) = να βρεθεί το 8 Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τα ύψη σε εκατοστά δείγµατος 8 νεογέννητων αγοριών και κοριτσιών που γεννήθηκαν σε ένα µαιευτήριο της Αθήνας Ύψος σε cm Αριθµός αγοριών 50 57 59 60 α) Βρείτε την µέση τιµή ύψους των αγοριών και βρείτε την µέση τιµή ύψους των κοριτσιών β) Βρείτε τις διασπορές και τις τυπικές αποκλίσεις των δύο δειγµάτων Σε ποιο δείγµα παρουσιάζεται η µεγαλύτερη απόκλιση από την µέση τιµή 9 Οι βαθµολογίες 00 µαθητών σε ένα διαγώνισµα µαθηµατικών είναι πό 0 έως 00 µόρια Αν 0 µαθητές είχαν βαθµολογία από 0 έως 0 µόρια 0 µαθητές είχαν βαθµολογία κάτω από 0 µόρια 0 µαθητές είχαν βαθµολογία πάνω από 60 µόρια 0 µαθητές είχαν βαθµολογία πάνω από 80 µόρια Να υπολογίσετε: α) τη µέση τιµή β) την διάµεσο γ) την τυπική απόκλιση 0 Σε µία σχολή ο µέσος βαθµός 800 φοιτητών είναι 70 και η τυπική απόκλιση είναι 8 Υποθέτουµε ότι οι βαθµοί ακολουθούν κανονική κατανοµή α) Πόσοι φοιτητές είχαν βαθµό µεταξύ 6 και 86 µορίων β) Πόσοι φοιτητές είχαν βαθµό µεταξύ 70 και 9 µορίων γ) Πόσοι φοιτητές είχαν βαθµό µεταξύ 5 και 78 µορίων δ) Πόσοι φοιτητές είχαν βαθµό µεταξύ 5 και 6 µορίων ε) Πόσοι φοιτητές είχαν βαθµό κάτω από 6 µόρια στ) Πόσοι φοιτητές είχαν βαθµό πάνω από 78 µόρια ζ) Πόσοι φοιτητές είχαν βαθµό κάτω από 5 µόρια ή πάνω από 9 µόρια Σε µία έρευνα που έγινε στους µαθητές µιας πόλης για τον χρόνο που κάνουν να πανε από το σπίτι στο σχολείο, διαπιστώθηκε ότι το 50% περίπου των µαθητών χρειάζεται λιγότερο από 0 λεπτά Υποθέτουµε ότι η κατανοµή του χρόνου της διαδροµής είναι κατά προσέγγιση κανονική α) Να βρείτε τον µέσο χρόνο διαδροµής των µαθητών και την τυπική απόκλιση του χρόνου της διαδροµής β) Να εξετάσετε, αν το δείγµα είναι οµοιογενές γ) Αν οι µαθητές της πόλης είναι 000 πόσοι µαθητές θα κάνουν χρόνο διαδροµής από έως 6 λεπτά δ) Μια µέρα, λόγω έργων στον κεντρικό δρόµο της πόλης, κάθε µαθητής καθυστέρησε 5 λεπτά Να βρείτε πόσο µεταβάλλεται ο συντελεστής µεταβολής(cv) Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7
Μια δισκογραφική εταιρία ελέγχει τα CD που παράγει Ο έλεγχος σταµατά όταν βρεθούν ελαττωµατικά ή όταν έχουν ελεγχθεί CD Να βρεθούν: α) Ο δειγµατικός χώρος β) Οι πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων: Α: Ακριβώς ένα ελαττωµατικό Β: Τουλάχιστον δύο ελαττωµατικά Γ: Το πολύ δύο ελαττωµατικά : Κανένα ελαττωµατικό Ε: Να σταµατήσει ο έλεγχος στα CD Η πιθανότητα να κρυολογήσουµε το χειµώνα είναι πλάσια από το να µην κρυολογήσουµε Να υπολογίσετε την πιθανότητα να κρυολογήσουµε το χειµώνα ιαθέτουµε λαµπτήρες φωτισµού από τους οποίους οι τρεις είναι καµένοι (Κ) και ο ένας είναι ικανός να λειτουργήσει (Ι) Τους ελέγχουµε τον έναν κατόπιν του άλλου µέχρι να βρούµε τον (Ι) λαµπτήρα οπότε σταµατά ο έλεγχος Να βρεθούν οι πιθανότητες των παρακάτω ενδεχοµένων: α) Να γίνει µόνο µια δοκιµή β) Να γίνουν το πολύ δύο δοκιµές Γ) Να γίνουν ακριβώς τρεις δοκιµές 5 Τα βάρη 0 µαθητών µιας τάξης του λυκείου είναι τα έξης (σε κιλά): 70,7,70,80,75,80,7,75,80,50,70,75,80,90,75,65,8,69 α) Να κατασκευαστεί ο πίνακας συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων β) Να κατασκευάσετε ραβδόγραµµα και πολύγωνο συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων γ) Βρείτε το µέσο βάρος των µαθητών και την διασπορά γύρω από το µέσο βάρος δ) Αν πάρουµε στη τύχη ένα µαθητή ποια η πιθανότητα να έχει βάρος 70 κιλά 6 Σε ένα διαγώνισµα στο µάθηµα της Στατιστικής τα παιδιά χωρίστηκαν σε Α και Β οµάδα Τα 60 παιδιά της Α οµάδας έγραψαν κατά µέσο όρο 6 και η τυπική απόκλιση ήταν και τα 0 παιδιά της Β οµάδας έγραψαν κατά µέσο όρο και η τυπική απόκλιση ήταν Να βρεθεί η µέση βαθµολογία και η τυπική απόκλιση της βαθµολογίας και των 00 µαθητών 7 Σε ένα κουτί υπάρχουν άσπρες, y κόκκινες και ω µαύρες σφαίρες Επιλέγουµε στην τύχη µια σφαίρα Αν η πιθανότητα να είναι άσπρη είναι /5, η πιθανότητα να είναι κόκκινη είναι πενταπλάσια από την πιθανότητα να είναι µαύρη και yω=60, να βρείτε πόσες σφαίρες υπάρχουν στο κουτί 8 Μια τάξη έχει 0 αγόρια και κορίτσια Τα / των αγοριών και τα / των κοριτσιών έχουν κινητό τηλέφωνο Επιλέγουµε τυχαία ένα άτοµο Αν η πιθανότητα να είναι κορίτσι που έχει κινητο είναι 0, να βρεθούν: α) Πόσα είναι τα αγόρια της τάξης β) Ποια η πιθανότητα το άτοµο να είναι κορίτσι ή να έχει κινητό 9 Το 60% των περιπτώσεων βλάβης των αυτοκίνητων κάποιας µάρκας οφείλεται σε βλάβη του κινητήρα (Α), το 0% σε βλάβη του ηλεκτρικού συστήµατος (Β), το 0% σε βλάβη κινητήρα και ηλεκτρικού συστήµατος και το υπόλοιπο ποσοστό σε άλλους παράγοντες (Γ) Επιλέγουµε τυχαία ένα αυτοκίνητο µε βλάβη Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχοµένων: α) Να έχει βλάβη από κινητήρα ή από ηλεκτρικό σύστηµά β) Να έχει χαλάσει από άλλους παράγοντες 0 ύο άτοµα (Α) και (Β) θα διαγωνιστούν στις πανελλήνιες εξετάσεις Η πιθανότητα να πετύχουν και οι δύο είναι 0,08 Να βρεθούν οι πιθανότητες: α) Να πετύχει ένας τουλάχιστον από τους δύο 8 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός
β) Να πετύχει µόνο ο (Α) γ) Να πετύχει µόνο ο ένας από τους δύο Από µια έρευνα που έγινε σε µια συνοικία διαπιστώθηκε ότι η πιθανότητα µια οικογένεια να έχει κ παιδιά είναι διπλάσια από την πιθανότητα να έχει κ+ παιδιά, ενώ θεωρείται βέβαιο ότι καµιά οικογένεια δεν έχει πάνω από πέντε παιδιά Να υπολογίσετε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: α) Μια οικογένεια έχει τουλάχιστον τρία παιδιά β) Μια οικογένεια έχει το πολύ δύο παιδιά γ) Μια οικογένεια έχει από ένα ως τρία παιδιά Από ένα κουτί µε τέσσερις κόκκινες, δύο πράσινες και πέντε γαλάζιες σφαίρες βγάζουµε τυχαία µία Ποια η πιθανότητα η σφαίρα που βγάζουµε: α) Να είναι κόκκινη β) Να µην είναι πράσινη γ) Να είναι πράσινη ή γαλάζια Ένας αθλητής των 00 µέτρων δήλωσε σε µια συνέντευξή του ότι η πιθανότητα να κερδίσει σε έναν αγώνα είναι 90% ενώ ο καθένας από τους υπόλοιπους συναθλητές του έχει το πολύ % πιθανότητα ο καθένας να κερδίσει Ένας δηµοσιογράφος του ανταπάντησε ότι το όνειρό του δεν µπορεί να γίνει πραγµατικότητα Σε τι στήριξε ο δηµοσιογράφος αυτήν την άποψη; Έστω Ω είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης και Χ, Ψ ενδεχόµενά του τέτοια ώστε Χ Ψ Έστω P ( Χ), P( Ψ) είναι οι πιθανότητες των Χ, Ψ αντιστοίχως Έστω ότι οι P Χ, P Ψ είναι οι θέσεις τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης f µε πραγµατικοί αριθµοί ( ) ( ) f ( ) = 5 + + 000, R P ( Χ) P( Ψ), P( Χ Ψ), P( Χ Ψ), P( Χ Χ ) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες:, όπου Χ το αντίθετο του Χ 5 Ένα κουτί περιέχει 0 µαύρες, άσπρες και ψ πράσινες σφαίρες Αν επιλέξουµε τυχαία µια σφαίρα η πιθανότητα να είναι άσπρη είναι 5 και η πιθανότητα να είναι πράσινη είναι 5 Να βρείτε: Α Την πιθανότητα η σφαίρα να µην είναι µαύρη Β Την πιθανότητα η σφαίρα να είναι µαύρη ή άσπρη Γ Πόσες είναι όλες οι σφαίρες; 6 Έστω Ω = { A, B, Γ, } ένας δειγµατικός χώρος µε P ( ) διπλάσια της P ( ), P( A) ελαχίστου της συνάρτησης f ( ) = + 5 και ( B) εφαπτοµένη της g ( ) = + είναι παράλληλη στον άξονα Α Την P( A) Β Την P( B) Γ Την P( Γ) Β Την P( ) Γ τη θέση του P την τετµηµένη του σηµείου στο οποίο η Να υπολογίσετε: ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 7 Αν είναι η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου σε ένα πείραµα τύχης να υπολογίσετε: + + Α Το όριο lm Β Αν A και B δύο ενδεχόµενα σε ένα πείραµα τύχης και P ( A) + P( B) = + τότε να δείξετε ότι P( A B) Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 9
8 Σε µια τάξη Λυκείου υπάρχουν v αγόρια και v + v + κορίτσια Επιλέγουµε τυχαία ένα άτοµο Να βρείτε πόσα αγόρια και πόσα κορίτσια υπάρχουν στην τάξη ώστε η πιθανότητα το άτοµο που επιλέξαµε να είναι αγόρι να είναι η µέγιστη Ποια είναι αυτή η πιθανότητα; 9 Έστω A ενδεχόµενο και λ πραγµατικός αριθµός τέτοιος ώστε P( A) + = λ + P( A) () Να βρεθεί η µέγιστη καθώς και η ελάχιστη τιµή του πραγµατικού αριθµού λ 50 Αν λ R, να βρεθούν: Α Η ελάχιστη τιµή a και η µέγιστη τιµή β που µπορεί να πάρει το λ όταν ( A) P( A) + = λ + 9 P 9 Β Τα όρια lm και a + lm β 6 5 ίνονται δύο ενδεχόµενα A και B ενός δειγµατικού χώρου Ω για τα οποία ισχύουν: P ( A B) =, P( A B) = και P( B A) = 0 Α Να βρείτε την πιθανότητα P ( A) Β Να αποδείξετε ότι η πιθανότητα P ( B) = Γ Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχοµένου να πραγµατοποιηθεί µόνο ένα από τα ενδεχόµενα A και B 8 P y, P z, P ω 5 Έστω ο δειγµατικός χώρος Ω = {, y, z,ω} µε P ( ) = Αν 8 ( y) + P( z) + P( ω) = 6 P () z 8P( ω) 0, να βρεθούν τα ( ) ( ) ( ) = P και 5 Μια κάλπη περιέχει 0 µπάλες από τις οποίες οι 0 είναι λευκές και οι υπόλοιπες µαύρες ή λ κόκκινες Επιλέγουµε µια µπάλα τυχαία Η πιθανότητα να είναι κόκκινη είναι ενώ να λ + λ είναι µαύρη είναι Πόσες είναι οι κόκκινες και πόσες οι µαύρες µπάλες; λ + 5 5 Σε ένα κουτί υπάρχουν τρεις κόκκινες, τέσσερις κίτρινες και µερικές πράσινες σφαίρες 5 Επιλέγουµε στην τύχη δύο Αν η πιθανότητα να πάρουµε µια πράσινη είναι, πόσες σφαίρες έχει το κουτί; 55 Αν A B ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688, ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε P ( A) =, P ( B) = και ( A B ) Να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχοµένου να πραγµατοποιούνται τα πραγµατοποιείται κανένα από τα δύο 5 P = A B συγχρόνως ή να µην 56 Έστω Ω ένας δειγµατικός χώρος και A, B δύο ενδεχόµενα ασυµβίβαστα ώστε A B = Ω Αν P ( A) P( B) = και P ( A) + P( B) =, όπου θ > 0, να βρεθούν τα P ( A), P( B) και θ θ θ 0 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός
57 Έστω = {,,,,5 } Ω ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης και η συνάρτηση a, P ( ) = Να βρεθεί ο a a, 5 58 Έστω A B, οι λύσεις της εξίσωσης 5 P( A) + P( A B) = 0 Αν P ( A B) = να βρεθούν οι πιθανότητες 9 P A, P A B, P A B, P A B, δύο ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε P ( A) P( B) ( ) ( ) ( ) ( ) 59 Έστω A ενδεχόµενο ενός δειγµατικού χώρου Ω µε ( A) P( A) a f ( ) = ( + ) + a, R P = και η συνάρτηση ln Να βρεθεί ο a R ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα στο R 60 Θεωρούµε τα ενδεχόµενα A B 7 µεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης + = 0 : Α Να βρεθούν οι P ( A), P( B) Β Να δείξετε ότι P ( A B) 6 Γ Να δείξετε ότι P ( A B) 6 Αν ( A), του δειγµατικού χώρου Ω Αν P ( A) η µικρότερη και ( B) P είναι η πιθανότητα ενός ενδεχοµένου A, ενός δειγµατικού χώρου Ω και ισχύει P ( A) + P( A) = 8λ µε λ R, να δειχθεί ότι λ 8 6 Αν A ενδεχόµενο ενός δειγµατικού χώρου, να δειχθεί ότι: Α 0 P( A) P( A ) Β [ ( A) ] + [ P( A )] P P η ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός