ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Προσομοίωση Βασικών Στοχαστικών Ανείξεων : Ανέιξη Pi και Κίνηση Bw Είναι γνωστό ότι, αν το αποτέεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι ένας αριθμός στο R, τότε αυτό να μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας μία τυχαία μεταβητή Χ. Υπάρχουν όμως τυχαία πειράματα στα οποία το αποτέεσμα δεν μπορεί να περιγραφεί από έναν μόνο αριθμό, αά από αριθμούς. π.χ. το αποτέεσμα της ρίψης ζαριών. Σε αυτή την περίπτωση συνήθως χρησιμοποιούμε τυχαία διανύσματα Χ Χ, Χ,..., Χ R για να εκφράσουμε το αποτέεσμα. Υπάρχουν όμως και πειράματα με ακόμη «συνθετότερο» σύνοο αποτεεσμάτων. Για παράδειγμα, η παρακοούθηση της εξέιξης ενός τυχαίου πειράματος στο χρόνο ή στο χώρο δεν μπορεί να εκφρασθεί με μία ή με μόνο τυχαίες μεταβητές π.χ. η παρακοούθηση μιας διαδικασίας αφίξεων πεατών σε ένα κατάστημα, ή η παρακοούθηση της αυξομείωσης της τιμής μιας μετοχής κατά τη διάρκεια του χρόνου. Σε τέτοιες περιπτώσεις επιθυμούμε να γνωρίζουμε την τιμή μιας ή περισσοτέρων ποσοτήτων π.χ. πήθος αφίξεων ή τιμή μετοχής κάθε χρονική στιγμή. Ο απούστερος τρόπος να εκφράσουμε ένα τέτοιο «σύνθετο» αποτέεσμα είναι μέσω μιας οικογένειας τυχαίων μεταβητών {X, } έτσι ώστε η τ.μ. Χ να εκφράζει την τιμή της ποσότητας που μεετούμε την χρονική στιγμή. Η οικογένεια αυτή των τ.μ. η οποία περιγράφει την εξέιξη ενός τυχαίου πειράματος στο χρόνο ή στο χώρο καείται στοχαστική διαδικασία ή στοχαστική ανέιξη. Είναι επίσης γνωστό ότι μία τ.μ. Χ αντίστοιχα, ένα τυχαίο διάνυσμα X είναι μία μετρήσιμη απεικόνιση από έναν χώρο πιθανότητας Ω,Α,P στον R αντίστοιχα στον R. Δηαδή, αν τεικά πραγματοποιηθεί το στοιχειώδες ενδεχόμενο ω του Ω, τότε η τ.μ. Χ ή το τ.δ. Χ παίρνει μία συγκεκριμένη τιμή Χω R ή Χω R. Αντίστοιχα τώρα, μία στοχαστική ανέιξη {X, } μπορεί να θεωρηθεί ως μία μετρήσιμη απεικόνιση από τον Ω,Α,P στο σύνοο D των συναρτήσεων με πεδίο ορισμού το R + και τιμές στο R. Και αυτό γιατί αν τεικά πραγματοποιηθεί το στοιχειώδες ενδεχόμενο ω του Ω, τότε η ανέιξη {X, }ω {X,ω, } μας δείχνει την τιμή της «ποσότητας» Χ σε κάθε χρονική στιγμή, δηαδή πρόκειται για μία συνάρτηση από τον R + στον R κατά αντιστοιχία με τα τυχαία διανύσματα, οι στοχαστικές ανείξεις θα μπορούσαν να έγονται και τυχαίες συναρτήσεις. Είναι προφανές ότι οι Χ, είναι τυχαίες μεταβητές που, εκτός ειδικών περιπτώσεων, είναι εξαρτημένες. Παράδειγμα α Αν η {X, } περιγράφει την εξέιξη της τιμής μιας μετοχής στο χρόνο, τότε μια πραγματοποίησή της, {X,ω, } για συγκεκριμένο ω μπορεί να έχει τη μορφή το γράφημα περιορίζεται στο χρονικό διάστημα [,]: Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 48
..5 4 6 8.95.9 Η πραγματοποίηση αυτή μπορεί να θεωρηθεί ως μία απεικόνιση από το R + στον R όπου κάθε απεικονίζεται στο Χω, το σχήμα μάιστα δείχνει μια συνεχή συνάρτηση διότι θεωρούμε ότι η εξέιξη της τιμής δεν παρουσιάζει άματα. β Σε ένα άο παράδειγμα, η {X, } μπορεί να περιγράφει το πήθος των πεατών που έχουν εισέθει σε ένα κατάστημα κατά τη διάρκεια του χρόνου. Σε αυτή την περίπτωση μια πραγματοποίησή της {X,ω, } μπορεί να έχει τη μορφή το γράφημα περιορίζεται στο χρονικό διάστημα [,.6]: 8 6 4...3.4.5.6 β. δηαδή την χρονική στιγμή.96 εισήθε ο ος πεάτης, τη χρονική στιγμή.4 εισήθε ο ος, κ.ο.κ.:.5 β. -.5 -...3.4.5 Η {X,ω, } σχ. β. μπορεί να θεωρηθεί ως μία απεικόνιση από το R + στο Ν R η οποία μάιστα είναι σταθερή κατά διαστήματα και παρουσιάζει άματα σε κάποια σημεία σημεία αφίξεων πεατών. 4.. Προσομοίωση ανέιξης Pi. Στοχαστικές ανείξεις {N, } όπως αυτή του παραδείγματος β παραπάνω προτιμούμε να συμβ. με {N, } τέτοιες ανείξεις καούνται απαριθμήτριες στοχαστικές ανείξεις cui pc διότι η Ν απαριθμεί το πήθος των «συμβάντων» που συνέβησαν μέχρι και τον χρόνο. Η απούστερη απαριθμήτρια ανέιξη την οποία και θα προσπαθήσουμε να προσομοιώσουμε είναι η γνωστή ως ανέιξη Pi. Η ανέιξη αυτή μπορεί να ορισθεί με διαφόρους τρόπους. Ένας από αυτούς είναι ο ακόουθος: Ορισμός. Μια απαριθμήτρια στοχαστική ανέιξη {N, } καείται ανέιξη Pi στο [, με συνάρτηση έντασης,, αν N και σε κάθε απειροστό χρονικό διάστημα, +d] μπορεί να συμβεί ένα γεγονός με πιθ. d, ανεξάρτητα από το παρεθόν. Αυστηρότερα, θα πρέπει να ισχύει ότι Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 49
P N + N N, +, +,, όπου με ο συμβοίζουμε μία συνάρτηση f του με την ιδιότητα f / όταν δη. η f τείνει στο πιο γρήγορα από την συνάρτηση, π.χ. οι συναρτήσεις, 5/4 3 είναι. Συνήθως, το συμβοίζει χρόνο ή χώρο και το Ν εκφράζει πήθος κάποιων συμβάντων που μεετάμε στο χρονικό ή χωρικό διάστημα [,]. Προφανώς, όταν η ένταση της διαδικασίας είναι «μεγάη» σε ένα διάστημα, τότε αναμένεται να πραγματοποιηθούν περισσότερα συμβάντα στο διάστημα αυτό. Το μοντέο της διαδικασίας Pi εμφανίζεται αρκετά συχνά στην πράξη π.χ. αφίξεις πεατών σε ένα κατάστημα, ατυχήματα σε μία περιοχή κατά τη διάρκεια μιας ημέρας, γεννήσεις ή θάνατοι ανθρώπων κ.ο.κ.. Από τις παραπάνω υποθέσεις για την N αποδεικνύεται σχετικά εύκοα ότι οι προσαυξήσεις της διαδικασίας είναι α- νεξάρτητες τ.μ. που ακοουθούν κατανομή Pi με παράμετρο που εξαρτάται από την ένταση της διαδικασίας στο εκάστοτε διάστημα. Συγκεκριμένα, + x + x d d P N x N +,,,...! και οι τ.μ. N + N, N + N είναι ανεξάρτητες όταν τα διαστήματα, + και, + είναι ξένα. Εξετάζοντας από μια άη σκοπιά το παραπάνω μοντέο, μια διαδικασία Pi μπορεί επίσης να ενταχθεί στις εγόμενες σημειακές διαδικασίες pi pc οι οποίες είναι μετρήσιμες απεικονίσεις από ένα χώρο πιθανότητας σε ένα χώρο που περιέχει σημειακά μέτρα pi mau. Όπως π.χ. μία τυχαία μεταβητή είναι μία μετρήσιμη απεικόνιση από έναν χώρο πιθανότητας στον R, έτσι και μία σημειακή διαδικασία μπορεί να θεωρηθεί ως απεικόνιση από έναν χώρο πιθανότητας σε ένα σύνοο που περιέχει ως στοιχεία σύνοα σημείων π.χ. {x i, i,,...} ενός ευκείδειου χώρου R τα οποία αναπαριστούμε ως σημειακά μέτρα m με macad{i: x i A}. Με αυτό τον τρόπο, μία διαδικασία Pi Ν όπως την ορίσαμε παραπάνω στο [, είναι ένα τυχαίο σημειακό μέτρο στον χώρο [, και το N είναι στην ουσία το μέτρο Ν[, του συνόου [, το οποίο ισούται με το πήθος των ατόμων - συμβάντων που περιέχει το [,. Στα παίσια της παραπάνω θεωρίας που περιγράψαμε με πού αδρές γραμμές, η διαδικασία Pi μπορεί να γενικευτεί και να θεωρηθεί επί οποιουδήποτε υποσυνόου ενός ευκείδειου χώρου R. Στη συνέχεια όμως για όγους απότητας θα αρκεστούμε στην μεέτη της προσομοίωσης μιας διαδικασίας Pi επί του [, και μάιστα θα ξεκινήσουμε με την ομογενή διαδικασία Pi. 4..A Η ομογενής διαδικασία Pi Στην περίπτωση που η ένταση της διαδικασίας είναι σταθερή, δηαδή, τότε η αντίστοιχη διαδικασία καείται ομογενής διαδικασία Pi. Σε κάθε απειροστό διάστημα μήκους η πιθανότητα πραγματοποίησης ενός συμβάντος είναι σταθερή. Επίσης ισχύει ότι P N + N,,,...,! Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 5
δηαδή οι προσαυξήσεις της διαδικασίας σε οποιοδήποτε διάστημα μήκους ακοουθούν κατανομή Pi με παράμετρο. Επιπέον, όπως είδαμε και σε προηγούμενη παράγραφο, οι ενδιάμεσοι χρόνοι ή διαστήματα μεταξύ διαδοχικών συμβάντων είναι ανεξάρτητες τ.μ. οι οποίες ακοουθούν εκθετική κατανομή με παράμετρο. Με βάση αυτή την τεευταία παρατήρηση, θα επιχειρήσουμε να προσομοιώσουμε μία διαδικασία Pi σε ένα διάστημα [, ]. Έστω οιπόν X, X,... ανεξάρτητες τ.μ. από την εκθετική κατανομή με παράμετρο. Η τ.μ. Χ i μπορεί να θεωρηθεί ως ο ενδιάμεσος χρόνος μεταξύ του i και του i διαδοχικού συμβάντος. X X X 3... X i 3 i i Η διαδικασία {Ν, } καθορίζεται από τους διαδοχικούς χρόνους πραγματοποίησης συμβάντων, δηαδή τους χρόνους Χ, Χ + Χ, Χ + Χ + Χ 3,... Επομένως μπορούμε να προσομοιώσουμε ένα τμήμα μίας ομογενούς διαδικασίας Pi {Ν, [, ]} αν παράγουμε τυχαίους αριθμούς Χ,Χ,...~ Exp και καταγράψουμε τους διαδοχικούς χρόνους συμβάντων S, S,..., S N στο διάστημα [, ]: j { S j X i, j : S j } i Ο σχετικός αγόριθμος είναι ο ακόουθος: BHMA. Θέτουμε ; N ; BHMA. Παράγουμε U ~ U, και θέτουμε X lu. BHMA 3. Θέτουμε + X και εάν > σταματάμε. Διαφορετικά συνεχίζουμε στο 4. BHMA 4. Θέτουμε Ν Ν+ και SN BHMA 5. Επιστρέφουμε στο. Στον παραπάνω αγόριθμο, η μεταβητή εκφράζει το χρόνο και η Ν εκφράζει το πήθος των συμβάντων έως το χρόνο Ν. Η τεευταία τιμή της Ν είναι ίση με το Ν και οι τιμές S, S,..., SΝ που καταγράφονται είναι οι διαδοχικοί χρόνοι των συμβάντων. Υοποιώντας των παραπάνω αγόριθμο μέσω του Mamaica θα έχουμε ; : ; ; S {}; ; ; X -L[Radm[]]/; + X; Wil[ <, + ; S Appd[S, ]; X -L[Radm[]]/; + X]; Pi[S,, ] {.679,.9347,.7966,.96386, 3.993, 5.973, 5.4383, 5.6435, 5.6977, 6.9885, 7.669, 8.4, 8.6939, 8.75535, 9.338, 9.379, 9.5943, 9.8778} 8 Μπορούμε επίσης να δούμε γραφικά τους χρόνους συμβάντων της παραπάνω πραγματοποίησης ως εξής: Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 5
S Tabl[{S[[i]], }, {i,, }]; LiPl[S, ApcRai ->.].5 -.5-4 6 8 Επανααμβάνοντας την παραπάνω διαδικασία αρκετές αμβάνουμε κάθε φορά τις πραγματοποιήσεις:.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 -.5 - κ.ο.κ 4 6 8 4 6 8 4 6 8 4 6 8 N 4 N N 3 N 5 Οι τυχαίοι αριθμοί Ν που αμβάνονται κάθε φορά προέρχονται προφανώς από τη κατανομή Pi με παράμετρο. Εάν επαναάβουμε ποές π.χ. φορές την παραπάνω διαδικασία μπορούμε να δούμε με τι συχνότητα πραγματοποιούνται συμβάντα στα διάφορα υποδιαστήματα του [, ]. Iσοδύναμα μπορούμε να εκτεέσουμε μία φορά την παραπάνω διαδικασία με. από τον ορισμό της διαδικασίας Pi προκύπτει ότι το άθροισμα ανεξάρτητων διαδικασιών Pi με ένταση i, i,,..., είναι και πάι μία διαδικασία Pi με ένταση το άθροισμα των i. Έτσι π.χ. εκτεώντας τον παραπάνω αγόριθμο με,, αμβάνουμε N σημεία τα οποία κατανέμονται στο [,] όπως χονδρικά φαίνεται στο παρακάτω ιστόγραμμα. Γίνεται αντιηπτό ότι η ένταση είναι σταθερή σε όο το [,]. <<Gapic`Gapic` Hiam[S, HiamScal ->, HiamCai -> Tabl[i, {i,,,.5}]];..8.6.4.. 4. 6. 8.. Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 5
Μία εναακτική μέθοδος προσομοίωσης μιας ομογενούς διαδικασίας Pi βασίζεται στο εξής γνωστό αποτέεσμα: δεδομένου ότι Ν, οι μη-διατεταγμένοι χρόνοι των συμβάντων στο [, ] είναι ανεξάρτητοι και ακοουθούν την ομοιόμορφη στο, κατανομή. Επομένως, μπορούμε να παράγουμε μία ομογενή διαδικασία Pi ως εξής: ΒΗΜΑ. Παράγουμε Ν ~ P. ΒΗΜΑ. Παράγουμε τυχαίους αριθμούς U, U,...,U N ~ U, και τους διατάσσουμε: U, U,..., U N. ΒΗΜΑ 3. Θέτουμε Si U i, i,,...,n. Στον παραπάνω αγόριθμο, η τιμή της Ν είναι το Ν και οι τιμές S, S,..., SΝ είναι οι διαδοχικοί χρόνοι των συμβάντων. Ο αγόριθμος αυτός δεν είναι α- πούστερος από τον προηγούμενο, διότι απαιτεί την παραγωγή τυχαίου αριθμού από την Pi πράγμα όχι τόσο από και επίσης απαιτεί τη διάταξη των U i. 4..B. Μη ομογενής διαδικασία Pi. Η μη ομογενής διαδικασία Pi αποτεεί γενίκευση της ομογενούς διαδικασίας. Στην περίπτωση αυτή, σε κάθε απειροστό διάστημα, + πραγματοποιείται ένα συμβάν με πιθανότητα που εξαρτάται από το, ανεξάρτητα από τι έχει συμβεί στο παρεθόν. Είναι γεγονός ότι κατά την μαθηματική μοντεοποίηση ποών φυσικών φαινομένων, θεωρείται η ομογενής διαδικασία Pi αντί της μη ομογενούς η οποία συνήθως περιγράφει ορθότερα το φαινόμενο. Αυτό συμβαίνει διότι η μη ομογενής δεν μπορεί εύκοα να μεετηθεί αναυτικά. Για το όγο αυτό είναι πού χρήσιμη η μεέτη της μέσω προσομοίωσης. Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε 3 μεθόδους προσομοίωσης.. Μέθοδος εκέπτυνσης της ομογενούς διαδικασίας Pi. Η μέθοδος εκέπτυνσης για την προσομοίωση μιας μη ομογενούς διαδικασίας Pi βασίζεται στην επόμενη παρατήρηση: Έστω {Ν, } μία ομογενής διαδικασία Pi με ένταση, και {M, } μία διαδικασία η οποία καταμετρά το i-συμβάν της {Ν, } το οποίο όπως είδαμε συμβαίνει στο χρόνο S i με πιθανότητα ps i όπου p, >, είναι μια δεδομένη συνάρτηση με τιμές στο [,]. Επίσης κάθε ένα συμβάν της ομογενούς καταμετράται ή όχι στην {M, } ανεξάρτητα από τα υπόοιπα. S S S N ps ps ps M Αποδεικνύεται ότι η νέα διαδικασία {M, } είναι μία μη ομογενής διαδικασία Pi με ένταση p. Πράγματι, για μικρό ώστε η p να θεωρείται σταθερή στο [, +], θα ισχύει ότι P M + M M, i P M + M N + N i P N + N i Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 53
i i i p p P N + N i + + p + + p + + i i p p +, p +,, i p ip p i, i i, p i, και συνεπώς, από τον ορισμό, η {M, } θα είναι μία διαδικασία Pi με έ- νταση p,. Επομένως μπορούμε να προσομοιώσουμε μία μη ομογενή διαδικασία Pi βασιζόμενοι σε μία ομογενή διαδικασία Pi. Συγκεκριμένα, αν παράγουμε S, S,..., SN διαδοχικούς χρόνους πραγματοποίησης συμβάντων μίας ομογενούς διαδικασίας Pi με ένταση,, και κρατήσουμε τον καθένα από αυτούς ανεξάρτητα από τους υπόοιπους με πιθανότητες S S S Ν,,..., δηαδή p / αντίστοιχα, τότε οι χρόνοι που θα γίνουν αποδεκτοί μπορούν να θεωρηθούν ως οι χρόνοι πραγματοποίησης συμβάντων μιας διαδικασίας Pi με ένταση. Ο α- ντίστοιχος αγόριθμος για ένα διάστημα [, ] και ένταση είναι ο ακόουθος: Θέτουμε up{: [, ]}. BHMA. Θέτουμε ; N ; BHMA. Παράγουμε U ~ U, και θέτουμε X lu. BHMA 3. Θέτουμε + X και εάν > σταματάμε. Διαφορετικά συνεχίζουμε στο 4. BHMA 4. Παράγουμε U ~ U, και αν U < / θέτουμε Ν Ν+ και SN BHMA 5. Επιστρέφουμε στο. Υοποιώντας των παραπάνω αγόριθμο για ; και άρα : max{, [, ] μέσω του Mamaica θα έχουμε: ; ; S {}; ; ; [_] : ; X -L[Radm[]]/; + X; Wil[ <, If[Radm[] < []/, + ; S Appd[S, ]]; X -L[Radm[]]/; + X ]; Pi[S,, ] {.98,.8746,.7577, 3.388, 3.7745, 4.53673, 4.9993, 4.999, 5.6669, 5.4784, 5.6955, 5.83677, 5.93546, 6.6446, 6.3346, 6.4665, 6.966, 7.79, 7.88, 7.364, 7.873, 7.84473, 7.89496, 7.9565, 7.9967, 8.43, 8.554, 8.685, 8.867, 8.33779, 8.36997, 8.5989, 8.797, 8.9344, 8.9479, 9.3395, 9.385, 9.338, 9.36676, 9.45345, 9.65, 9.665, 9.97, 9.9985, 9.9689, 9.9767, 9.99958} 47 Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 54
S Tabl[{S[[i]], }, {i,, }]; LiPl[S, ApcRai ->.].5 -.5 4 6 8 - Το πήθος Ν των τυχαίων αριθμών που αμβάνονται προέρχονται από την κατανομή Pi με παράμετρο Λ d d / / 5. Εάν επαναάβουμε ποές π.χ. φορές την παραπάνω διαδικασία μπορούμε να δούμε με τι συχνότητα πραγματοποιούνται συμβάντα στα διάφορα υποδιαστήματα του [, ] [, ]. Όπως είδαμε και στην ομογενή περίπτωση, μπορούμε ισοδύναμα να εκτεέσουμε μία φορά την παραπάνω διαδικασία με ένταση. Έτσι π.χ. εκτεώντας τον παραπάνω αγόριθμο με ; και άρα : max{, [, ], αμβάνουμε N σημεία τα οποία κατανέμονται στο [,] όπως χονδρικά φαίνεται στο παρακάτω ιστόγραμμα. Γίνεται αντιηπτό ότι η ένταση αυξάνεται γραμμικά στο [,]. <<Gapic`Gapic`; Hiam[S,HiamCai->Tabl[i,{i,,,.5}]]; p Pl[*5, {,, }]; Sw[, p] 5 4 3. 4. 6. 8.. Σε κάθε ένα από τα παραπάνω υποδιαστήματα [i/, i/], i,,..., του [,] αναμένονται περίπου i/ 5 i παρατηρήσεις αντίστοιχα για αυτό και έχει συμπεριηφθεί στο γράφημα η ευθεία x 5x. Έτσι μπορούμε να προσομοιώσουμε οποιαδήποτε μη ομογενή διαδικασία Pi με ένταση σε ένα διάστημα [, ]. Είναι φανερό όμως ότι όταν το είναι αρκετά μικρότερο του, ο αγόριθμος απορρίπτει ποούς από τους τυχαίους χρόνους που παράγονται από την βοηθητική ομογενή διαδικασία. Για παράδειγμα, στην περίπτωση που εξετάσαμε παραπάνω, στο διάστημα [,.5] απορρίπτεται πάνω από το 95% των αριθμών που παράγονται. Για να αποφύγουμε μια τόσο μεγάη σπατάη χρόνου, μια ύση είναι να χωρίσουμε το διάστημα [, ] σε μικρότερα διαστήματα και να προσομοιώσουμε την μη ομογενή διαδικασία Pi ξεχωριστά στο καθένα από αυτά. Λόγω του ότι η διαδικασία Pi έχει ανεξάρτητες προσαυξήσεις Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 55
και άρα το τι συμβαίνει σε ένα διάστημα είναι ανεξάρτητο από το τι συμβαίνει στα υπόοιπα διαστήματα, μπορούμε στο τέος να ενώσουμε όα τα σύνοα με τους χρόνους από τα ξεχωριστά διαστήματα σε ένα σύνοο το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ότι περιέχει τους χρόνους συμβάντων μιας διαδικασίας Pi στο [, ]. Με αυτό τον τρόπο το πήθος των απορριφθέντων αριθμών γίνεται μικρότερο γιατί σε κάθε υποδιάστημα Α [, ] η αντίστοιχη πιθανότητα αποδοχής μιας τιμής / A /max{, A} είναι προφανώς μεγαύτερη από την πιθανότητα / /max{, [, ]} που αντιστοιχεί στην περίπτωση που θεωρήσουμε οόκηρο το διάστημα [, ]. Έτσι θα πρέπει να χωρίσουμε το [, ] σε κατάηα υποδιαστήματα ώστε σε καθένα από αυτά η ένταση να είναι περίπου σταθερή. Από την μία οιπόν η θεώρηση του αγορίθμου σε μικρότερα διαστήματα αυξάνει την πιθανότητα αποδοχής / A αά από την άη όμως, αν πάρουμε ποά διαστήματα θα χάσουμε χρόνο ξεκινώντας έναν αγόριθμο παραγωγής τυχαίων χρόνων σε καθένα από αυτά χρειαζόμαστε τουάχιστον μία εκθετική τ.μ. ακόμη και αν τεικά δεν παραχθεί κανένα συμβάν στο υποδιάστημα. Συνεπώς, χρειάζεται προσοχή στην εκογή της βέτιστης διαμέρισης του [, ] η οποία προφανώς εξαρτάται από την μορφή της συνάρτησης έντασης. Κάτι επιπέον που μπορούμε να κάνουμε για να μην χάνουμε άσκοπα τυχαίους αριθμούς είναι οι εκθετικές τ.μ. που υπερβαίνουν το όριο του υποδιαστήματος να μετασχηματίζονται κατάηα χρησιμοποιώντας την αμνήμονη ιδιότητα της κατανομής αυτής και να χρησιμοποιούνται στο επόμενο υποδιάστημα κάτι που όμως δεν προσφέρει και μεγάη βετίωση.. Η μέθοδος παραγωγής των ενδιάμεσων χρόνων. Μία άη μέθοδος προσομοίωσης μιας μη ομογενούς διαδικασίας Pi βασίζεται, όμοια με την ομογενή περίπτωση, στην παραγωγή των ενδιάμεσων χρόνων μεταξύ συμβάντων. Στην μη ομογενή περίπτωση οι ενδιάμεσοι χρόνοι X, X,... προφανώς δεν είναι ανεξάρτητοι εκθετικοί αά παρόα αυτά μπορούμε γνωρίζοντας τους i πρώτους να παράγουμε τον i+. Συγκεκριμένα, αν Si X + X +...+X i ισχύει ότι F x P X x S i P N x + N S i i+ P N x + N όγω των ανεξάρτητων προσαυξήσεων P N x + N + x d + x d! + x d Επομένως μπορούμε να παράγουμε πρώτα τον χρόνο Χ ~ F, δεδομένου αυτού να παράγουμε το Χ ~ F S, δεδομένου αυτού να παράγουμε το Χ 3 ~ F S κ.ο.κ. Ο αντίστοιχος αγόριθμος θα είναι: BHMA. Θέτουμε ; N ; BHMA. Παράγουμε X ~ F SN. BHMA 3. Θέτουμε + X και εάν > σταματάμε. Διαφορετικά συνεχίζουμε στο 4. BHMA 4. Θέτουμε Ν Ν+ και SN BHMA 5. Επιστρέφουμε στο.. Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 56
Μία ενδεχόμενη δυσκοία αυτού του αγορίθμου βρίσκεται στην παραγωγή του Χ. Ανάογα με την περίπτωση αυτή μπορεί να γίνει π.χ. με την μέθοδο της αντιστροφής ή την μέθοδο της απόρριψης. Ας δούμε για παράδειγμα πως μπορούμε με τη μέθοδο αυτή να προσομοιώσουμε και πάι την μη ομογενή διαδικασία Pi στο [, ] με. Σε αυτή την περίπτωση, F x από όπου εύκοα προκύπτει ότι + x d + x d + x F y l y, και χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αντιστροφής υοποιούμε τον παραπάνω αγόριθμο: ; S {}; ; ; X - *L[Radm[]]^.5; + X; Wil[ <, + ; S Appd[S, ]; X ^ - *L[Radm[]]^.5 - ; + X]; Pi[S, " ", ]; {.6738,.9849,.8936, 3.4693, 3.5864, 3.654, 3.98, 4.3735, 4.54, 4.3754, 5.67, 5.975, 5.667, 6.933, 6.776, 6.3965, 6.398, 6.43, 6.564, 6.658, 6.76, 6.75446, 6.8884, 6.93648, 7.9589, 7.9889, 7.38344, 7.5549, 7.6436, 7.693, 7.9433, 7.9688, 7.98534, 8.354, 8.3769, 8.44, 8.454, 8.596, 8.6775, 8.939, 8.9956, 9.93, 9.3748, 9.464, 9.46377, 9.58, 9.5956, 9.776, 9.83844, 9.997} 5 S Tabl[{S[[i]], }, {i,, }]; LiPl[S, ApcRai ->.].5 -.5 4 6 8-3. Η μέθοδος μετασχηματισμού της ομογενούς διαδικασίας Pi. Η τεευταία αυτή μέθοδος βασίζεται στην εξής πρόταση: Πρόταση. Αν {Ν, Α} είναι μία διαδικασία Pi στο διάστημα Α με ένταση και σημεία συμβάντων S, S,..., και : A R είναι μία γνήσια αύξουσα συνάρτηση με, για την οποία υπάρχει η παράγωγος της -, η διαδικασία {M, Β} που έχει ως σημεία συμβάντων τα S, S,..., είναι και αυτή μία διαδικασία Pi στο A με ένταση Απόδειξη. Ισχύει ότι d '. d P M + M M, P N + N Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 57
Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 58 + +,,, όπου + και επειδή, d d +, d d θα είναι d d + και και άρα τεικά, + + +,,,, P d d d d M M M Εάν οιπόν επιθυμούμε να προσομοιώσουμε μία μη ομογενή διαδικασία Pi με ένταση, τότε αρκεί να προσομοιώσουμε μία ομογενή με ένταση και να μετασχηματίζουμε τους χρόνους συμβάντων σύμφωνα με μία συνάρτηση για την οποία θα πρέπει να ισχύει ότι dx x d d d d Λ. Αν η ομογενής διαδικασία είναι στο [,a], η παραγόμενη μη ομογενής θα είναι στο [, a]. Οπότε, αν επιθυμούμε η μη ομογενής να είναι στο [, ] θα πρέπει να θεωρήσουμε την βοηθητική ομογενή στο [, - ]. Συνεπώς, για την ομογενή θα παραχθούν κατά μέσο όρο dx x dx x Λ τυχαίοι αριθμοί χρόνοι συμβάντων, όσοι δηαδή αντιστοιχούν και στη μη ομογενή. Συνοψίζοντας, ο αντίστοιχος αγόριθμος προσομοίωσης μιας μη ομογενούς διαδικασίας Pi με ένταση στο διάστημα [, ] θα είναι αμβάνουμε : BHMA. Παράγουμε S, S,... SNΛ τους χρόνους συμβάντων μιας ομογενούς διαδικασίας Pi με ένταση στο διάστημα [, Λ ]. BHMA. Θέτουμε S i Λ - Si, i,,..., NΛ. Οι χρόνοι συμβάντων S i μπορούν να θεωρηθούν ότι προέρχονται από την ζητούμενη μη ομογενή διαδικασία. Εάν, π.χ., τότε xdx Λ Λ Λ και επομένως αν παράγουμε χρόνους συμβάντων S, S,..., S N από μία ομογενή διαδικασία Pi στο ] [,5 ] / [,, τότε οι τυχαίοι αριθμοί N S S S,...,, μπορούν να θεωρηθούν ως οι χρόνοι συμβάντων από την μη ομογενή Pi στο [, ] [, ] με ένταση.
4.. Προσομοίωση Κίνησης Bw και Γεωμετρικής Κίνησης Bw Στην προηγούμενη παράγραφο είδαμε πως μπορούμε να προσομοιώσουμε μια απαριθμήτρια στοχαστική διαδικασία. Είδαμε σε αυτή την περίπτωση ότι σε κάθε α- πειροστό χρονικό διάστημα η Ν παραμένει σταθερή ή αυξάνεται κατά δη. συμβαίνει ένα γεγονός με απειροστή πιθανότητα και ανεξάρτητα από το παρεθόν. Ας εξετάσουμε τώρα μια διαφορετική αά επίσης σημαντική περίπτωση στοχαστικής διαδικασίας όπου η Χ αάζει τιμές «συνεχώς». a. Η Κίνηση Bw Μια αποποιημένη περιγραφή του μοντέου αυτού είναι η ακόουθη: σε κάθε απειροστό χρονικό διάστημα θεωρούμε ότι η Χ αυξάνεται ή μειώνεται απειροστά και με πιθανότητα σχεδόν.5, ανεξάρτητα από το παρεθόν. Αρχικά οιπόν ας χωρίσουμε το χρονικό διάστημα [, ] σε υποδιαστήματα πάτους Δ το καθένα Δ / και ας υποθέσουμε ότι X ή c και X i Δ + σ Δ, με πιθ. p μ X iδ όπου p + Δ, i,,,. X i Δ σ Δ, με πιθ. p σ Θέτοντας Υ i ή ανάογα με το αν η Χ αυξάνεται ή μειώνεται κατά το i-οστό χρονικό διάστημα, i,,...,, θα ισχύει ότι X X Δ σ Δ Y i i σ Δ Y Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 59 i i σ Yi σ i Δ / Yi p i σ p p + σ p p p και αν χωρίσουμε το [,] σε απειροστά διαστήματα, δηαδή πάρουμε, τότε χρησιμ. και το Κ.Ο.Θ. ισχύει ότι i Yi p d N, p p, σ p p σ, σ p μ, και άρα X d σ Z + μ όπου Z ~ N, δηαδή, X ~ N μ, σ. Επίσης, επειδή οι ααγές της Χ είναι ανεξάρτητες σε ξένα χρονικά διαστήματα, συμπεραίνουμε ότι η {Χ, } έχει ανεξάρτητες προσαυξήσεις, δηαδή η τ.μ. Χ + y Χy, > είναι ανεξάρτητη από τις Χu, u < y και σύμφωνα με τα παραπάνω, X + y Xy ~ Nμ, σ. Θα μπορούσαμε να προσομοιώσουμε την παραπάνω διαδικασία χρησιμοποιώντας τις εντοές: ; L {{, }}; x ; Dla /; D[If[Radm[]>.5, J., J -.]; x x + J*Dla^.5; AppdT[L, {i*dla, x}];, {i,, }] LiPl[L, PlJid -> Tu, PlRa -> {-, }] Για, και μπορούμε να πάρουμε μια ιδέα για την σύγκιση αμβάνοντας τις πραγματοποιήσεις:
.75.5.5,.75.75.5.5.5.5 -.5..4.6.8 -.5..4.6.8 -.5..4.6.8 -.5 -.5 -.5 -.75 -.75 -.75 - - - Παρατήρηση. Θα μπορούσε κανείς σε αυτό το σημείο να αναρωτηθεί τι θα γινόταν αν υποθέταμε κάτι που ίσως φαίνεται πιο φυσιοογικό με την πρώτη ματιά ότι X + σδ, με πιθ. p X + Δ X σδ, με πιθ. p δηαδή ότι οι προσαυξήσεις της διαδικασίας σε ένα διάστημα μήκους Δ είναι ανάογες του Δ και όχι της ρίζας του Δ. Σε αυτή την περίπτωση είναι εύκοο να επαηθεύσουμε από τον νόμο των μεγάων αριθμών ότι Χ με πιθ. αμβάνοντας, δηαδή προκύπτει μια τετριμμένη περίπτωση. Αυτό θα μπορούσε να φανεί και σχηματικά χρησιμοποιώντας το αμέσως παραπάνω πρόγραμμα βάζοντας Dla στη θέση του Dla^.5:,.75.5.5 -.5 -.5 -.75 -..4.6.8.75.5.5 -.5 -.5 -.75 -..4.6.8.75.5.5 -.5 -.5 -.75 -..4.6.8 Οι προσαυξήσεις επομένως θα πρέπει να μην είναι ανάογες του μήκους Δ του διαστήματος, αά «αρκετά μεγαύτερες». Τέτοια είναι η περίπτωση που παρουσιάσθηκε παραπάνω με προσαυξήσεις ανάογες του Δ / που όταν Δ είναι πού μεγαύτερες του Δ. Τα παραπάνω μας οδηγούν φυσιοογικά στον επόμενο ορισμό: Ορισμός. Μία στοχαστική ανέιξη {Χ, > } καείται κίνηση Bw με παραμέτρους μ dif paam και σ vlailiy ή vaiac paam συμβ. ΒΜμ, σ αν ισχύει ότι: Η τ.μ. Χ + y Χy ~ Nμ, σ. Η τ.μ. Χ + y Χy, > είναι ανεξάρτητη από τις Χu, u < y. Συνήθως αμβάνεται Χ ή c. Είναι γνωστό, ότι η κίνηση Bw μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να περιγράψει ποά φυσικά φαινόμενα. Έχει το όνομα του Άγγου βοτανοόγου Rb Bw, ο οποίος πρώτος περιέγραψε 87 την κίνηση ενός μικρού σώματος μέσα σε ένα υγρό ή αέριο. Ο Γερμανός φυσικός Alb Eii έδειξε 95 ότι η κίνηση αυτή μπορεί να ερμηνευθεί θεωρώντας ότι το σωματίδιο «βομβαρδίζεται» από τα μόρια του υγρού ή του αερίου και για αυτό κινείται ακανόνιστα με «τυχαίο» τρόπο στο χώρο. Τέος, ο Αμερικανός μαθηματικός Nb Wi όρισε αυστηρά και μεέτησε σε βάθος 98 την διαδικασία αυτή αποδεικνύοντας ποές ιδιότητές της για αυτό και η διαδικασία είναι γνωστή και ως Wi Pc. Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 6
Προσομοίωση Κίνησης Bw Θεωρητικά, αν {Χ, } ~ BM, η Χ αάζει απειροστά τιμή κάθε απειροστό χρονικό διάστημα και συνεπώς παρουσιάζει «ιδιάζουσες διαδρομές» iula pa. Συγκεκριμένα, μία πραγματοποίηση της στοχαστικής διαδικασίας {X, } δη. η {X,ω, } για κάποιο ω Ω αποδεικνύεται ότι είναι μία συνεχής συνάρτηση του διότι δεν κάνει «άματα» η οποία όμως δεν είναι πουθενά παραγωγίσιμη! σχεδόν για κάθε ω Ω. Αυτό μπορεί διαισθητικά να γίνει φανερό και από τον τρόπο με τον οποίο κατά κάποιο τρόπο «κατασκευάσαμε» την κίνηση Bw. Συγκεκριμένα θεωρήσαμε ότι σε κάθε «πού μικρό» διάστημα μήκους Δ, η διαδικασία κινείται πάνω ή κάτω κατά Δ /, δηαδή η «παράγωγος» της στο διάστημα αυτό θα είναι ίση με Δ / /ΔΔ -/ η οποία συγκίνει στο άπειρο όταν το Δ. Επιπέον, η διαδικασία αάζει τυχαία κίση πάνω ή κάτω σε κάθε απειροστό διάστημα. Προφανώς, μία τέτοια διαδικασία δεν μπορεί να προσομοιωθεί δη. να αναπαρασταθεί μια πραγματοποίησή της με κάθε επτομέρεια διότι σε ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα, αμβάνει άπειρες διαφορετικές τιμές. Ευτυχώς όμως, στις περισσότερες εφαρμογές αρκεί να γνωρίζουμε την τιμή της Χ σε συγκεκριμένους χρόνους,,,..., και επομένως μας αρκεί να προσομοιώσουμε την {Χ, } μόνο σε κάποια χρονικά σημεία < < <... <. Στις περιπτώσεις τώρα που θα πρέπει να αναπαραστήσουμε με κάποια ακρίβεια ένα τμήμα την διαδρομής ampl pa της διαδικασίας, π.χ. γιατί θέουμε να εκτιμήσουμε μια παράμετρο που εξαρτάται από οόκηρη τη διαδρομή {X,ω, [,a]}, μπορούμε και πάι να παράγουμε την τιμή της X σε συγκεκριμένους χρόνους, Δ, Δ,..., Δ, αμβάνοντας το Δ πού μικρό και το πού μεγάο ώστε Δ a. Προφανώς, όσο μικρότερο Δ άβουμε, τόσο καύτερη είναι η αναπαράσταση μιας διαδρομής της διαδικασίας. Σε κάθε περίπτωση θα πρέπει να παράγουμε κάποια X, X,, X. Αυτό μπορεί να γίνει παρατηρώντας ότι Χ ~ N μ, σ αν τότε Χ, Χ X + X X, όπου η τ.μ. X X ~ N μ, σ, και είναι ανεξάρτητη της X ανεξ. προσαυξήσεις Χ X + X X, όπου η τ.μ. X X ~ N μ, σ, και είναι ανεξάρτητη της X ανεξ. προσαυξήσεις κ.ο.κ.... Επομένως μπορούμε να παράγουμε έναν τυχαίο αριθμό X ~ N μ, σ, στη συνέχεια να παράγουμε έναν άο τυχαίο αριθμό από την N μ, σ και να τον προσθέσουμε στην X αμβάνοντας το Χ, κ.ο.κ. Ο γενικός αγόριθμος παραγωγής της διαδικασίας X, X,, X σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές,,, είναι ο ακόουθος: Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 6
ΒΗΜΑ. Θέτουμε i και Χ. ΒΗΜΑ. Παράγουμε Ζ ~, ΒΗΜΑ 3. Θέτουμε X N με οποιαδήποτε μέθοδο, i i i i i i X + μ + σ Z, ΒΗΜΑ 4. Θέτουμε i i + και αν i επιστρέφουμε στο BHMA. Είναι προφανές ότι οι παραπάνω τυχαίες μεταβητές Χ,Χ,...,Χ ακοουθούν όες κανονική κατανομή με διαφορετικές παραμέτρους, Χ i ~ N i μ, i σ αά δεν είναι ανεξάρτητες. Εάν τις είχαμε παράγει με τέτοιο τρόπο ώστε να είναι ανεξάρτητες, τότε θα ήταν σαν να είχαμε παράγει τιμές της {Χ, } από διαφορετικές πραγματοποιήσεις διαδρομές της. Π.χ. για i δ i, i,,...,, ο παραπάνω αγόριθμος υοποιείται μέσω Mamaica ως εξής για την παραγωγή τυχαίων αριθμών από την κανονική χρησιμοποιούμε για απότητα το πακέτο CiuuDiibui, αά εναακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιονδήποτε αγόριθμο παραγωγής που μεετήσαμε στο Κεφάαιο 3, μ., σ., δ /. ; m.;.; d /; X Tabl[, { + }]; D[Z Radm[NmalDiibui[, ]]; X[[i]] X[[i - ]] + d*m + d^.5**z;, {i,, + }]; Pi[X] {,.848, -.373,.49789,.33457,.68844,.765,.97586,.7747,.368,.7739} Σημειώνεται ότι στην θέση i της ίστας Χ X[[i]] καταγράφουμε το Χ i-, i,,..., + διότι τα + στοιχεία μίας ίστας συμβοίζονται πάντα ως X[[]],X[[]],..., X[[+]], και όχι X[[]],...X[[]] Εάν επιθυμούμε να δούμε σε περισσότερα σημεία την διαδικασία, μπορούμε να μεγαώσουμε το και πάι θεωρούμε, δ /. Μπορούμε επίσης να δούμε και γραφικά την διαδρομή της διαδικασίας ως εξής:, μ., σ., δ /. LiPl[Χ, PlJid -> Tu, ApcRai ->.3].5..5 4 6 8 Εδώ έχουμε ενώσει με ευθύγραμμα τμήματα PlJid τα σημεία που παριστούν τις διαδοχικές τιμές που παράγονται διότι στο γράφημα τα σημεία απέχουν εάχιστα μεταξύ τους δεν θα ήταν σωστό να ενώσουμε διαδοχικές τιμές που απέχουν πού στο γράφημα, π.χ. αν, διότι τότε θα δίνονταν η εντύπωση ότι α- νάμεσα στα i η S κινείται γραμμικά, κάτι, που όπως είδαμε, δεν συμβαίνει με κανέναν τρόπο. Μπορούμε να επαναάβουμε την παραπάνω διαδικασία φορές και δούμε τις διαδρομές πραγματοποιήσεις της διαδικασίας σε ένα γράφημα: Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 6
<< Saiic`CiuuDiibui` ; m.;.; d /; D[ X Tabl[, { + }]; D[Z Radm[NmalDiibui[, ]]; X[[i]] X[[i - ]] + d*m + d^.5**z;,{i,, + }]; l[j] LiPl[X,PlJid -> Tu, ApcRai->.3, DiplayFuci -> Idiy];,{j,, }] Sw[Tabl[l[i],{i,,}],DiplayFuci->$DiplayFuci].5..5..5 -.5 4 6 8 -. Θεωρητικά, αναμένουμε π.χ. ότι στο χρόνο, η τιμή Χ είναι η τιμή της Χ στο δεξιό άκρο του παραπάνω γραφήματος θα ακοουθεί κανονική κατανομή με E X μ., V X σ.. Προφανώς μπορούμε να προσομοιώσουμε την Χ σε όσα σημεία θέουμε και για όποιες τιμές των παραμέτρων μ, σ, επιέξουμε. b. Η Γεωμετρική Κίνηση Bw Είναι ενδιαφέρον ότι, στη διδακτορική του διατριβή το 9, ο Γάος μαθηματικός Bacli πρώτος χρησιμοποίησε την κίνηση Bw για να περιγράψει την εξέιξη τιμών αγαθών ή μετοχών {S, } όπου S είναι η τιμή στο χρόνο. Παρόα αυτά, η συγκεκριμένη διαδικασία δεν είναι κατάηη για την περιγραφή τέτοιων φαινομένων διότι i μπορεί να άβει και αρνητικές τιμές, κάτι που δεν είναι αποδεκτό, ενώ ii η αύξηση ή μείωση μιας τιμής είναι, σύμφωνα με το μοντέο αυτό, ανεξάρτητη από την ίδια την τιμή π.χ. είναι το ίδιο πιθανό το ενδεχόμενο «η τιμή να κινηθεί στο + σε διάστημα μήκους Δ» με το ενδεχόμενο «η τιμή να κινηθεί στο + σε διάστημα μήκους Δ» κάτι που δεν φαίνεται ογικό και δεν ταιριάζει σε πραγματικά δεδομένα. Αντίθετα, θα περίμενε κανείς η ποσοστιαία αύξηση ή μείωση της τιμής να είναι ανεξάρτητη από την τιμή δηαδή το πάει στο. με την ίδια πιθανότητα που το πάει στο.. Θεωρούμε εναακτικά οιπόν τώρα ότι, σε ένα πού μικρό χρονικό διάστημα μήκους Δ, η τιμή S μπορεί είτε να αυξηθεί είτε να μειωθεί με κάποια πιθανότητα και ανεξάρτητα από το παρεθόν ως εξής: S S + Δ S σ Δ σ Δ, με πιθ. p, με πιθ. p όπου μ p + Δ. σ Δηαδή, η ποσοστιαία μείωση ή αύξηση της τιμής S+Δ/S σε κάθε απειροστό διάστημα χρόνου είναι σταθερή και ανεξάρτητη από το παρεθόν, ενώ η αντίστοιχη πιθανότητα αύξησης ή μείωσης είναι «κοντά» στο.5. Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 63
Παρατηρούμε ότι αν θέσουμε Χ ls, τότε η X+ΔΧ ± σδ / με πιθ p το + και p το, και επομένως η ανέιξη {X, } {ls, } είναι μια κίνηση Bw. Δηαδή, η τ.μ. X+y X ls+y lsy ls+y/sy ακοουθεί κανονική κατανομή Νμ,σ και είναι ανεξάρτητη από το παρεθόν Su, u < y. Μια στοχαστική ανέιξη με τις παραπάνω ιδιότητες καείται γεωμετρική κίνηση Bw. Ιδιαίτερα, έχουμε τον ακόουθο ορισμό. Ορισμός. Μία στοχαστική ανέιξη {S, } καείται γεωμετρική κίνηση Bw με παραμέτρους μ dif paam και σ vlailiy paam συμβ. GΒΜμ, σ αν ισχύει ότι: Η τυχαία μεταβητή S + y l ~ N μ, σ, y >. S y Η τ.μ. S + y/sy είναι ανεξάρτητη από τις Su, u < y Είναι προφανές ότι αν {Χ, } ~ BMμ,σ X, τότε η {, } ~ GBMμ,σ. Άρα, ένα σχετικά από μοντέο που μπορεί να περιγράψει την εξέιξη τιμών στο χρόνο είναι η γεωμετρική κίνηση Bw. Στην πράξη, η γεωμετρική κίνηση Bw είναι ένα αρκετά αποδεκτό μοντέο το οποίο, όγω της απότητάς του, χρησιμοποιείται ως βάση για τη θεωρητική μεέτη ποών προβημάτων που σχετίζονται με την εξέιξη τιμών στο χρόνο περισσότερα θα εξετάσουμε σε επόμενο κεφάαιο. Αν οιπόν {S, } ~ GBMμ, σ τότε η S ακοουθεί την ογαριθμοκανονική κατανομή, δηαδή ο ογάριθμός της ακοουθεί την κανονική κατανομή, l S ~ N μ + l S, σ και επομένως, αν Ζ ~ Ν,, Αά, E S E l S z E σ Z + μ + l S zu + u S u μ E σ Z x uz uz E dz dz dx x zu π π π και συνεπώς, από όπου προκύπτει ότι μ + σ E S S + μ σ σ E S S, V S E S E S S. Προσομοίωση Γεωμετρικής Κίνησης Bw μ + σ Όμοια με την BM, η GBM αάζει απειροστά τιμή κάθε απειροστό χρονικό διάστημα και συνεπώς και αυτή παρουσιάζει «ιδιάζουσες διαδρομές» iula pa. Και αυτή η ανέιξη δεν μπορεί να προσομοιωθεί με κάθε επτομέρεια διότι ακόμη και σε ένα μικρό χρονικό διάστημα, αμβάνει άπειρες διαφορετικές τιμές. Τις περισσότερες όμως φορές αρκεί να προσομοιώσουμε την {S, > } μόνο σε κάποια χρονικά σημεία < < <... <. Αρκεί οιπόν να παράγουμε κάποια S S, S S,, S S. Αυτό μπορεί να γίνει παρατηρώντας ότι u Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 64
S l S i i ~ N i i μ, i i σ, i,,..., και άρα, αν Z i, i,,..., ανεξάρτητες τ.μ. με Z i ~ N, τότε S i S i i μ + σ i i i Zi, i,,..., Ο αντίστοιχος αγόριθμος προσομοίωσης της GBM στις χρονικές στιγμές,,, είναι: ΒΗΜΑ. Θέτουμε i και S. ΒΗΜΑ. Παράγουμε Z ~, N με οποιαδήποτε μέθοδο, μ + σ i i i i i ΒΗΜΑ. Θέτουμε S S,, i ΒΗΜΑ 3. Θέτουμε i i + και αν i επιστρέφουμε στο BHMA. Z Στον παραπάνω αγόριθμο θα πρέπει να είναι γνωστές οι τιμές μ, σ, S και φυσικά οι χρόνοι,,...,. Π.χ. για i δ i, i,,...,, ο παραπάνω αγόριθμος υοποιείται μέσω Mamaica ως εξής για την παραγωγή τυχαίων αριθμών από την κανονική χρησιμοποιούμε και πάι για απότητα το πακέτο CiuuDiibui, αά εναακτικά μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε οποιονδήποτε αγόριθμο παραγωγής που μεετήσαμε στο Κεφάαιο 3, μ., σ., δ /, S. << Saiic`CiuuDiibui` ; m.;.; d /; S Tabl[, { + }]; D[Z Radm[NmalDiibui[, ]]; S[[i]] S[[i - ]]*Exp[d*m + d^.5**z];, {i,, + }]; Pi[S] {,.9756,.377,.67,.88,.673,.793,.3,.97977,.9734,.9695} όπως και στην περίπτωση της BM, στην θέση i της ίστας S S[[i]] καταγράφουμε το S i-, i,,..., + Εάν επιθυμούμε να δούμε σε περισσότερα σημεία την διαδικασία, μπορούμε να μεγαώσουμε το και πάι θεωρούμε, δ /. Μπορούμε επίσης να δούμε και γραφικά την πραγματοποίηση που παράγεται:, μ., σ., δ /. LiPl[S, PlJid -> Tu, ApcRai ->.3]..5.95 4 6 8.9 Όπως και στην BM, μπορούμε να επαναάβουμε την παραπάνω διαδικασία φορές και δούμε τις διαδρομές πραγματοποιήσεις της διαδικασίας σε ένα γράφημα: << Saiic`CiuuDiibui` ; m.;.; d /; Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 65
D[S Tabl[, { + }]; D[Z Radm[NmalDiibui[, ]]; S[[i]] S[[i - ]]*Exp[d*m + d^.5**z];, {i,, + }]; l[j] LiPl[S, PlJid->Tu, ApcRai->.3, DiplayFuci -> Idiy];, {j,, }] Sw[Tabl[l[i], {i,, }], DiplayFuci -> $DiplayFuci].3.. 4 6 8.9 Θεωρητικά, αναμένουμε π.χ. ότι στο χρόνο, η τιμή S είναι η τιμή της S στο δεξιό άκρο του παραπάνω γραφήματος θα ακοουθεί ογαριθμοκανονική κατανομή με E S S μ + σ.+..5.7, V S S μ + σ σ...4. Προφανώς μπορούμε να προσομοιώσουμε την S σε όσα σημεία θέουμε και για όποιες τιμές των παραμέτρων μ, σ, επιέξουμε. Εφαρμογή. Έστω S η αξία μιας μετοχής την χρονική στιγμή και έστω ότι {S, } ~ GBMμ,σ. Έστω επίσης S S i, i η μέση αξία της μετοχής το χρονικό διάστημα [,] με βάση χρονικά σημεία. i Να βρείτε τη μορφή μέσω ιστογράμματος που θα έχει η κατανομή της S,, σ., μ., S ii Να εκτιμήσετε μέσω προσομοίωσης την πιθανότητα P S <. iii Να εκτιμήσετε μέσω προσομοίωσης την αναμενόμενη τιμή Emax{ S K,}, Κ. iv Πως θα αντιμετωπίζατε τα παραπάνω αν αντί της μέσης αξίας S χρησιμοποιούσαμε τη συνεχή μέση αξία S S x dx. Buia M.V. 4 Σημειώσεις μαθήματος «Μέθοδοι Προσομοίωσης και Στατιστικές Υποογιστικές Τεχνικές» 66