Μαθηματική Λογική (προπτυχιακό) Εξέταση Ιανουαρίου 2018 Σελ. 1 από 5 Στη σελίδα αυτή γράψτε μόνο τα στοιχεία σας. Γράψτε τις απαντήσεις σας στις επόμενες σελίδες, κάτω από τις αντίστοιχες ερωτήσεις. Στις απαντήσεις σας μην ξεπερνάτε, για οποιοδήποτε λόγο, τα καθορισμένα όρια αριθμού γραμμών. Γράψτε τον ΑΜ σας σε όλες τις σελίδες. Επώνυμο: Όνομα: ΑΜ: Βαθμοί 1 [2] 2 3 4 Σύνολο Κ Ε
ΑΜ: Σελ. 2 από 5 Θέμα 1 [2 μονάδες]. Έστω N = N, < N ; S N, + N, N, E N, 0 N, 1 N η δομή των φυσικών αριθμών στην πρωτοβάθμια γλώσσα L θα της θεωρίας αριθμών με τις συνήθεις σχέσεις, πράξεις και σταθερές (υπενθυμίζουμε ότι S N είναι η μονομελής πράξη του διαδόχου και E N η διμελής πράξη της ύψωσης σε δύναμη). Έστω ακόμη A μία οποιαδήποτε άλλη δομή στην ίδια γλώσσα στην οποία επαληθεύονται ακριβώς οι ίδιες προτάσεις της πρωτοβάθμιας γλώσσας L θα όπως και στην N. Πόσοι από τους παρακάτω ισχυρισμούς αληθεύουν; (I) Στην A αληθεύει ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί (ως προς τις ερμηνείες < A, S A, + A, A, E A, 0 A, 1 A των συμβόλων της L θα στη δομή A). (II) Οποιοδήποτε μη κενό πεπερασμένο υποσύνολο του σύμπαντος A έχει μέγιστο στοιχείο (ως προς την < A ). (III) Οποιοδήποτε μη κενό υποσύνολο του σύμπαντος A έχει ελάχιστο στοιχείο (ως προς την < A ). Κυκλώστε το σωστό, χωρίς αιτιολόγηση ούτε σχόλια: (1) Αληθεύει ακριβώς ένας από τους ισχυρισμούς (Ι ΙΙΙ). (2) Αληθεύουν ακριβώς δύο από τους ισχυρισμούς (Ι ΙΙΙ). (3) Ουδείς αληθεύει. (4) Αληθεύουν όλοι Υπόδειξη: Κοιτάξτε τα θέματα 3 και 4. Επίσης προσέξτε τα σύμβολα N και A είναι διαφορετικά. Απάντηση: Σωστό είναι το (2) (αληθεύουν οι Ι και ΙΙ).
ΑΜ: Σελ. 3 από 5 Θέμα 2 [3 μονάδες]. Έστω Σ = {σ 1,..., σ n } πεπερασμένο σύνολο στην Προτασιακή Λογική τέτοιο ώστε για κάθε απονομή αληθοτιμών επαληθεύεται τουλάχιστον ένας από τους σ i. Έστω ακόμη T άλλο σύνολο τύπων (ενδεχομένως άπειρο) ώστε για κάθε πεπερασμένο υποσύνολο T T υπάρχει τουλάχιστον μία απονομή αληθοτιμών που επαληθεύει όλα τα στοιχεία του T. Να αποδείξετε, προσεκτικά και σύντομα, χωρίς χρήση του Θεωρήματος Συμπάγειας, ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα υπερσύνολο ˆT T τέτοιο ώστε: (i) ˆT Σ και (ii) όλα τα πεπερασμένα υποσύνολα του ˆT επαληθεύoνται από μία τουλάχιστον απονομή. Υπόδειξη: Αρκεί να αποδείξετε το (ii) για κάποιο από τα T {σ i } χρησιμοποιήστε απαγωγή σε άτοπο ξεκινώντας από την άρνηση του τελευταίου. Απάντηση: Ας υποθέσουμε, προς άτοπο, ότι ο ισχυρισμός που αναφέρεται στην Υπόδειξη δεν ισχύει. Τότε υπάρχουν πεπερασμένα υποσύνολα T i T, i = 1,..., n έτσι ώστε τα T i {σ i } να μην είναι ικανοποιήσιμα. Αλλά το σύνολο n i=1 T i είναι πεπερασμένο υποσύνολο του T, άρα ικανοποιήσιμο, έστω από την απονομή a. Από την υπόθεση η απονομή a θα ικανοποιεί ένα τουλάχιστον στοιχείο του Σ, έστω το σ i0. Τότε όλα τα στοιχεία του T i0 {σ i0 } θα ικανοποιούντο από την a, άτοπο.
ΑΜ: Σελ. 4 από 5 Θέμα 3 [3 μονάδες]. Για όποιον ή όποιους ισχυρισμούς του θέματος 1 πιστεύετε ότι δεν αληθεύει να κατασκευάσετε αντιπαράδειγμα. Υπόδειξη: Θα χρειαστεί να χρησιμοποιήσετε το Θεώρημα Συμπάγειας για σύνολο τύπων που περιλαμβάνει τους τύπους {v i+1 < v i i = 0,...}, όπου v i μεταβλητές. Απάντηση: Ο ισχυρισμός ΙΙΙ δεν αληθεύει. Θεωρούμε το σύνολο των τύπων Σ = ThN {v i+1 < v i i = 0,...}. Θα αποδείξουμε πρώτα κάθε πεπερασμένο υποσύνολο του Σ είναι ικανοποιήσιμο. Πράγματι για ένα πεπερασμένο υποσύνολο Σ Σ, υπάρχει i 0 τέτοιο ώστε Σ ThN {v i+1 < v i i = 0,..., i 0 }, και είναι φανερό ότι το Σ ικανοποιείται από τη δομή N και την απονομή που απονέμει στις μεταβλητές v i τις τιμές i 0 + 1 i, για, i = 0,..., i 0 + 1. Επομένως, από το Θεώρημα Συμπάγειας, υπάρχει δομή A και απονομή a ώστε να επαληθεύονται όλα τα στοιχεία του Σ. Τότε όμως το σύνολο {a(v i ) i = 0,...} δεν έχει ελάχιστο στοιχείο.
ΑΜ: Σελ. 5 από 5 Θέμα 4 [3 μονάδες]. Για όποιον ή όποιους ισχυρισμούς του θέματος 1 πιστεύετε ότι αληθεύει να δώσετε αναλυτική απόδειξη. Υπόδειξη: Αν χρειαστεί να αποδείξετε κάτι για πεπερασμένα σύνολα, κάντε το με επαγωγή στο πλήθος τους θα χρειαστεί να επιβεβαιώσετε ότι η < A είναι σχέση γνήσιας ολικής διάταξης. Απάντηση: Ο ισχυρισμός Ι αληθεύει. Πράγματι, η σύζευξη ϕ των προτάσεων ϕ 1 : x y((x < y) (x y)) ϕ 2 : x y z((x < y) (y < z) (x < z)) ϕ 3 : x y((x = y) (x < y) (y < x)) ϕ p : x y [(1 < y) u v((y = u v) (u = 1 v = 1))] εκφράζει ότι η < N είναι γνήσια ολική διάταξη και ότι για κάθε στοιχείο του σύμπαντος N υπάρχει στοιχείο μεγαλύτερό του που είναι πρώτος ως προς τις ερμηνείες των συμβόλων της γλώσσας στη δομή N. Η σύζευξη ϕ επαληθεύεται από την υπόθεση και για τη δομή A. Επομένως η < A είναι γνήσια ολική διάταξη. Επίσης για κάθε στοιχείο του σύμπαντος A υπάρχει στοιχείο μεγαλύτερό του που είναι πρώτος ως προς τις ερμηνείες των συμβόλων της γλώσσας στη δομή A. Επομένως και για την A υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Ο ισχυρισμός ΙΙ αληθεύει. Πράγματι όπως είδαμε στο προηγούμενο, η < A είναι γνήσια ολική διάταξη και οποιοδήποτε πεπερασμένο σύνολο A 0 A έχει μέγιστο στοιχείο ως μία γνήσια ολική διάταξη. Το τελευταίο αποδεικνύεται επαγωγικά ως προς τον πληθάριθμο του A 0. Πράγματι, το ζητούμενο είναι φανερό αν το A 0 είναι μονοσύνολο. Αν τώρα A 0 = {a 1,..., a n, a n+1 } με a n+1 a i, i = 1,... n και a το ελάχιστο στοιχείο του {a 1,..., a n }, τότε το ελάχιστο στοιχείο του A 0 είναι το a (ή το a n+1 ) αν το a < a n+1 (ή a n+1 < a, αντίστοιχα).